1.4 PROBLEME REZOLVATE
Pentru Pentru circuitul cu schema din Fig. 1.1.R-a, în care se cunosc E 1= E 2 = E 3=6V, J =2A, =2A, R1= R4=1, R2=1/2, R3=2/3. Să se determine valoarea intensităţii curentului electric prin rezistenţa R4 folosind metoda transfigurărilor elec e lectrice. trice. 1.1.R
Fig. 1.1.R-a
Pentru a putea determina valoarea intensităţii curentului electric prin rezistenţa R4 va trebui să reducem schema la un singur circuit electric ce conţine rezistorul respectiv. Pentru a realiza acest lucru vom folosi teoremele de echivalenţă dintre generatoarele de tensiune şi curent, precum şi relaţiile de conexiun co nexiunee dintre rezistenţele electrice. Astfel, laturile ce conţin E 1 şi R1, respectiv E 2 şi R2, pot forma o singură sursă de tensiune E 12 12 în serie cu o singură rezistenţă R12 care la rândul său este înseriată cu o rezistenţă R3 aşa cum se poate observa din figurile Fig. 1.1.R-b, respectiv Fig. 1.1.R-c:
Fig. 1.1.R-b
Fig. 1.1.R-c
În baza relaţiilor de echivalenţă a surselor reale de tensiune şi a conexiunii rezistenţelor, vom avea:
17
E 12
E 2 R1 E 1 R 2 R1 R 2
2 V R12
R1 R 2 R1 R 2
1 R123 R12 R3 1 3
În cele ce urmează vom echivala sursa de curent aflată în conexiune paralel cu latura ce conţine sursa E 12 12 şi rezistenţa R12 cu o sursă de tensiune conform teoremelor de echivalenţă (ilustrată în Fig. 1.1.R-d) obţinând astfel circuitul echivalent din Fig. 1.1.R-e.
Fig. 1.1.R-d
Fig. 1.1.R-e
Prin urmare, valoarea intensităţii sursei de energie va fi E e R123 J E 12 4 V . În aceste condiţii valoarea intensităţii curentului electric căutat va fi, în baza schemei echivalente echivalente dată dat ă de Fig. 1.1.R-e: I 4
E 4 E e R 4 R123
6A
Pentru circuitul cu schema din Fig. 1.2.R-a, în care se cunosc E 4=100V, E 5 =160V, J =10A, =10A, R2= R5=20, R3= R4=10, R6=30. Se cer: a) Să se scrie ecuaţiile corespunz co respunzătoare ătoare teoremel t eoremelor or lui Kirchhoff. b) Să se determine intensităţile curenţilor prin laturile circuitului folosind metoda curenţilor de contur (ciclici). c) Să se verifice bilanţul puterilor. d) Să se calculeze tensiunea t ensiunea U BD între punctele B şi D pe două căi diferite şi să se arate că nu depinde de “drum”. e) Să se rezolve circuitul utilizând ut ilizând metoda potenţialelor la noduri. f) Să se determine elementele generatoarelor echivalente de tensiune şi curent între punctele B şi D ale circuitului. g) Determinaţi curentul prin rezistorul R6 folosind teorema lui Thevenin. h) Ce valoare ar trebui să aibă rezistenţa R6 pentru ca puterea absorbită de aceasta să fie maximă ? Care ar fi puterea maximă transferată în acest caz? 1.2.R
18
Fig.1.2.R-a
Fig.1.2.R-b
Circuitul prezintă N = 4 noduri şi L= 6 laturi. Prin urmare vom avea N -1=3 -1=3 ecuaţii prin aplicarea primei teoreme a lui Kirchhoff. Ar trebui să avem şi L- N N +1 +1 =3 ecuaţii pentru teorema a doua a lui Kirchhoff, dar datorită faptului că circuitul prezintă şi N J =1, o sursă ideală de curent, ecuaţiile corespunzătoare teoremei a doua a lui Kirchhoff vor fi numai două ( L- N N +1+1- N N J=2). Prin urmare I 1= J =10 =10 A. Am ales în mod arbitrar sensul de parcurgere al curentului prin fiecare latură precum şi sensul de parcurgere al celor două bucle obţinând: ( A) I 4 I 2 J 0 Kirchhoff I: ( B ) I 2 I 3 I 6 0 (C ) I J I 0 5 3
(O ) E 4 R 2 I 2 R6 I 6 R 4 I 4 Kirchhoff II I (O II ) E 4 R3 I 3 R 6 I 6 R5 I 5
Ecuaţiile de mai sus reprezintă un sistem de 5 ecuaţii cu 5 necunoscute compatibil determinat ce are ca soluţii curenţii prin laturile circuitului exceptând curentul I 1 a cărui intensitate este J . Numeric se obţin următoarele valori: valori: I 1 10A; I 2 4A; I 3 8A; I 4 6A; I 5 2A; I 6 4A Metoda curenţilor curenţilo r ciclici
Pentru a aplica metoda curenţilor ciclici avem mai întâi sensurile curenţilor de contur ca în Fig 1.2.R-c:
19
Fig.1.2.R-c Metoda curenţilor curenţil or ciclici.
Fig.1.2.R-d Metoda potenţialelor potenţialel or la noduri
Ecuaţiile prin această metodă vor fi: R11 I 1' R12 I 2' R13 I 3' E 1' ' ' ' ' R 21 I 1 R 22 I 2 R 23 I 3 E 2 ' ' ' ' R31 I 1 R32 I 2 R33 I 3 E 3
Deoarece R33 , ultima ecuaţie din sistemul de mai sus se înlocuieşte cu I 3' J 10A . Având în vedere sensurile alese pentru curenţii ciclici (Fig.1.2.-c) vom avea: R11 R 2 R 6 R 4 60 ; R12 R 21 R 6 30 ; R13 R 31 R 2 20 ; R 22 R 3 R5 R 6 60 ; R 23 R32 R 3 10 ; E 1' E 4 100 V; E 2' E 5 160 V.
Cu aceste valori se obţine o bţine sistemul: 60 I 1' 30 I 2' 200 100 I 1' 6 A ' ' I 3 10A ' ' 30 I 1 60 I 2 100 160 I 2 2 A
Alegem curenţii reali prin circuit ca în Fig.1.2.R-c pe care determinăm în funcţie de curenţii ciclici : '
'
'
'
'
I 1 I 3 10A; I 2 I 1 I 3 4A; I 3 I 2 I 3 8A; I 4 I 1' 6 A; I 5 I 2' 2A; I 6 I 1' I 2' 4A.
20
Bilanţul puterilor
Pentru a putea efectua bilanţul puterilor trebuie t rebuie să cunoaştem tensiunea la bornele sursei de curent U g care reprezintă tensiunea între punctele A şi C . Putem determina această tensiune aplicând teorema a doua a lui Kirchhoff pe traseul ABCA, astfel: U g R 2 I 2 R3 I 3 0
U g 160V
Puterea consumată (absorbită), respectiv r espectiv debitată debitată (generată): P c R 2 I 22 R3 I 32 R 4 I 42 R5 I 52 R 6 I 62 1880W P d E 4 I 4 E 5 I 5 U g J 1880W
Cum P c P d , ecuaţia de bilanţ a puterilor este satisfacută. satisfacută. Tensiunea între punctele B şi D.
Vom calcula tensiunea între punctele B şi D pe căile ABDA, respectiv CBDC, folosind a doua teoremă a lui Kirchhoff:
ABDA ABDA
E 4 R 2 I 2 U BD R 4 I 4 U BD E 4 R 2 I 2 R 4 I 4 120V E 5 R3 I 3 U BD R5 I 5 U BD E 5 R3 I 3 R5 I 5 120V
Se obţine aceeaşi valoare pentru tensiune, indiferent de calea aleasă pentru calculul acesteia. Metoda potenţialelor potenţialelo r la noduri
Alegând ca potenţial de referinţă nodul D (Fig.1.2.R-d) vom avea: G11V 1' G12V 2' G13V 3' I sc' 1 ' ' ' ' G 21V 1 G 22V 2 G 23V 3 I sc 2 ' ' ' ' G 31V 1 G 32V 2 G33V 3 I sc3
În care V 1' ; V 2' ; V 3' reprezintă potenţialele electrice ale nodurilor 1, 2 şi 3 faţă de nodul de referinţă D. Conductanţele vor fi:
21
3 1 1 1 S; G12 G 21 S; G13 G 31 0S; R 2 R 4 20 R 2 20 1 1 1 11 1 1 G 22 S; G 23 G32 S; R 2 R3 R6 60 R3 10 1 1 1 3 G 33 S R3 R5 20 G11
1
I sc' 1 J
1
E 4 R 4
1
0A; I sc' 2 0A; I sc' 3 J
E 5 R5
18A.
Se va obţine sistemul de ecuaţii în care necunoscutele necunoscutele reprezintă potenţialele nodurilor 1, ' ' ' 2 şi 3 V 1 ; V 2 ; V 3 . 3 ' 1 ' 20 V 1 20 V 2 0 1 ' 11 ' 1 ' V 1 V 2 V 3 0 60 10 20 1 ' 3 ' 20 V 2 20 V 3 18
V 1' 40V V 2' 120V V ' 200V 3
Curenţii prin fiecare latură se determină aplicând teorema a doua a lui Kirchhoff pe fiecare latură cunoscându-se cunoscându-se potenţialele între care este cuprinsă cuprinsă fiecare latură: I 1 J 10A; I 2
V 1' V 2' R 2
'
I 4
E 4 V 1 R 4
6A; I 5
4A; I 3
E 5 V 3' R5
V 2' V 3' R3
8A;
'
2A; I 6
V 2
R6
4A
Se poate obţine acum mult mai uşor tensiunea la bornele sursei de curent U g V 3' V 3' 160V . Se pot prezenta grafurile curenţilor şi tensiunilor pentru circuitul dat (Fig.1.2.R-e): ( Fig.1.2.R-e):
Fig.1.2.R-e. Grafurile curenţilor şi tensiunilor.
22
Generatoarele echivalente între punctele B şi D.
Pentru a putea determina elementele generatoarelor echivalente între punctele B şi D va trebui mai întâi să deteminăm tensiunea între cele două puncte. Acesta este simplu de apreciat din relaţia: U BD R6 I 6 V 2' 0 120V Rezistenţa echivalentă a circuitului între punctele B şi D se determină prin pasivizarea circuitului Fig.1.2.R-f.
Fig.1.2.R-f
Fig.1.2.R-g
Rezistenţa echivalentă echivalentă este prin urmare dată dată de conexiunea conexiunea paralel dintre: grupul R2, R4 conectate în serie, grupul R3, R5 conectate în serie şi rezistenţa R6. RBD va fi:
R BD
1 R 2 R4
1 R3 R5
1 R6
10
Generatorul echivalent de tensiune va fi compus dintr-o sursă de tensiune de valoare U BD 120V în serie cu o rezistenţă R BD 10 . Generatorul echivalent de curent este compus dintr-o sursă de curent de valoare J BD U BD R BD 12A , în paralel cu rezistenţa R BD 10 . Valoarea curentului prin R6 utilizând utilizând teorema lui Thevenin
Pentru a determina curentul prin rezistenţa R6 folosind această metodă va trebui să eleminăm din schema circuitului rezistenţa R6 determinând generatorul echivalent de tensi t ensiune une între punctele B şi D pentru noul circuit circuit format (tensiunea U BD 0 , respectiv r espectiv R BD 0 ). Apoi în baza teoremei lui Thevenin se determină curentul căutat. Circuitul după eleminarea rrezistenţei ezistenţei R6 va deveni (Fig.1.2.R-h ( Fig.1.2.R-h): ):
23
Fig.1.2.R-h
Fig.1.2.R-i
Pentru a determina tensiunea U BD0 trebuie mai întâi determinaţi curenţii I 2 si I 4 deoarece curentul I 1 J 10A . Având în vedere noua structură a circuitului, o metodă foarte uşoară de rezolvare a circuitului o reprezintă metoda curenţilor ciclici în care avem doar două bucle şi un curent ciclic cunoscut I 1' J 10A : R11 I 1' R12 I 2' E 1' R21 I 1' R22 I 2' E 2'
Prima ecuaţie este echivalentă echivalentă cu I 1' J 10A R 22 R 2 R3 R 4 R5 60 R 21 R12 ( R 2 R3 ) 30
E 2' E 4 E 5 60V
Soluţia sistemului este I 1' 10A; I 2' 4A . Deci, curenţii reali prin laturile circuitului, având sensurile alese ca în Fig.1.2.R-h vor fi: I 1 I 1' 10A; I 2 I 2' I 1' 6A I 4 I 2' 4A. Putem calcula tensiune t ensiuneaa U BD0 aplicând a doua teoremă a lui Kirchhoff pe traseul ABDA : E 4 R 2 I 2 U BD0 R 4 I 4 U BD 0 E 4 R 2 I 2 R 4 I 4 180V
Rezistenţa echivalentă R BD 0 reprezintă rezistenţa circuitului pasivizat între punctele B şi D.
Aşa cum se poate observa din Fig.1.2.R-i ea se compune din conexiunea paralel a gruprurilor de rezistenţe R2 şi R4 respectiv R3 şi R5 aflate în serie. R BD 0
( R 2 R3 )( R2 R3 ) R 2 R3 R 2 R3
24
15
Prin urmare, generatorul de tensiune între punctele B şi D este format din generatorul de tensiune de valoare U BD0 în serie cu rezistenţa R BD 0 . Pentru a determina curentul prin rezistenţa R6 vom conecta această rezistenţă la bornele generatorului format: Fig.1.2.R-j. I 6
U BD0 R BD 0 R6
4A
Prin urmare valoarea intensităţii curentului ce străbate rezistenţa r ezistenţa R6 este aceeaşi cu cea determinată prin celelalte metode. Este deci o verificare a justeţii acestei valori.
Fig.1.2.R-j Transferul maxim de putere
Transferul maxim de putere se obţine conform teoremei de transfer maxim a puterii, în cazul în care valoarea rezistenţei R6 are aceeaşi valoare ca şi rezistenţa R BD 0 , adică în momentul în care R6 R BD 0 15 . În acest caz, curentul prin rezistenţă va fi: I 0 2 P max R BD 0 I 0
2 U BD 0
4 R BD 0
U BD 0
2 R BD0
6A , iar puterea este
540W .
Pentru circuitul cu schema din Fig. 1.3.R-a, în care se cunosc E 4=10V, E 5= E 6=9V, J =1A, =1A, R1= R2= R3= R4= R5= R6=1. Se cer: a) Să se scrie ecuaţiile corespun cor espunzătoare zătoare teoremel t eoremelor or lui Kirchhoff. b) Să se determine intensităţile curenţilor prin laturile circuitului folosind metoda curenţilor de contur (ciclici). c) Să se verifice bilanţul puterilor. d) Să se calculeze tensiunea U AC între între punctele A şi C pe pe două cai diferite şi să se arate că nu depinde de “drum”. e) Să se rezolve circuitul utilizând ut ilizând metoda potenţialelor la noduri. f) Să se determine elementele generatoarelor echivalente de tensiune şi curent între punctele A şi B ale circuitului. g) Determinaţi curentul prin rezistorul R1 folosind teorema lui Thevenin. h) Ce valoare ar trebui să aibă rezistenţa R1 pentru ca puterea absorbită de aceasta să fie maximă ? Care ar fi puterea maximă transferată în acest caz ? 1.3.R
25
Fig.1.3.R-a
Fig.1.3.R-b
Circuitul prezintă N = 4 noduri şi L= 7 laturi. Prin urmare vom avea N -1=3 -1=3 ecuaţii prin aplicarea primei teoreme a lui Kirchhoff. Ar trebui să avem şi L-N+1 =4 ecuaţii pentru teorema a doua a lui Kirchhoff, dar datorită faptului că circuitul prezintă şi N J =1, o sursă ideală de curent, ecuaţiile corespunzătoare corespunzătoare teoremei a doua a lui Kirchhoff vor fi numai două (L-N+1-N ( L-N+1-NJ=3). Prin urmare, I = J =10 =10 A. Am ales în mod arbitrar sensul de parcurgere al curentului prin fiecare latură precum şi sensul de parcurgere al celor două bucle obţinând (Fig.1.3.R-b): ( A) J I 6 I 1 0 Kirchhoff I: ( B) I 1 I 5 I 2 0 (C ) I I I 0 4 2 3
(O I ) E 5 E 6 R5 I 5 R1 I 1 R6 I 6 Kirchhoff II (O II ) E 5 R5 I 5 R 2 I 2 R3 I 3 (O ) E R I R I 4 4 4 3 3 III
Ecuaţiile de mai sus reprezintă un sistem de 6 ecuaţii cu 6 necunoscute compatibil determinat ce are ca soluţii curenţii prin laturile circuitului exceptând curentul I a cărui intensitate este J . Numeric se obţin următoarele valori: I 1 1A; I 2 2A; I 3 6A; I 4 4A; I 5 1A; I 6 0A I 1A Metoda curenţilor curenţilo r ciclici
Pentru a aplica metoda metoda curenţilor curenţilor ciclici avem mai mai întâi sensurile curenţilor de contur ca în Fig 1.3.R-c:
26
Fig.1.3.R-c Metoda curenţilor curenţil or ciclici.
Fig.1.3.R-d Metoda potenţialelor potenţialel or la noduri
Ecuaţiile prin această metodă vor fi: R11 I 1' R12 I 2' R13 I 3' R14 I 4' E 1' ' ' ' ' ' R 21 I 1 R 22 I 2 R 23 I 3 R 24 I 4 E 2 ' ' ' ' ' R31 I 1 R 32 I 2 R33 I 3 R34 I 4 E 3 R I ' R I ' R I ' R I ' E ' 41 1 42 2 43 3 44 4 4
Deoarece R44 , ultima ecuaţie din sistemul de mai sus se înlocuieşte cu I 4' J 1A . Având în vedere sensurile alese pentru curenţii ciclici (Fig.1.3.-c) vom avea: R11 R 2 R5 R6 3 ; R12 R 21 R5 1 ; R13 R31 0 ; R14 R 41 R6 1 R 22 R 2 R3 R5 3 ; R 23 R32 R3 1 ; R 24 R 42 0 ; R33 R3 R 4 2 ; R34 R 43 0 E 1' E 5 E 6 0 V; E 2' E 5 9 V; E 3' E 4 10 V.
Cu aceste valori se obţine o bţine sistemul: 3 I 1' I 2' 1 0 I 1' 1 A ' ' ' ' ' I 1 3 I 2 I 3 9 I 2 2 A I 4 1A ' ' ' I 2 2 I 3 10 I 3 4A
Alegem curenţii reali prin circuit ca în Fig.1.3.R-c pe care determinăm în funcţie de curenţii ciclici :
27
'
'
'
'
I 1 I 1 1A; I 2 I 2 2A; I 3 I 2 I 3 6 A; I 4 I 3' 4A; I 5 I 1' I 2' 1A; I 6 I 1' I 4' 0A; I I 4' 1A
Bilanţul puterilor
Pentru a putea efectua bilanţul puterilor trebuie t rebuie să cunoastem tensiunea la bornele sursei de curent U g care reprezintă tensiunea între punctele A şi 0. Putem determina acestă tensiune aplicând teorema a doua a lui Kirchhoff, astfel: ast fel: E 6 R 6 I 6 U g U g E 6 R6 I 6 9V
Puterea consumată (absorbită), respectiv r espectiv debitată debitată (generată): P c R1 I 12 R 2 I 22 R 3 I 32 R 4 I 42 R5 I 52 R6 I 62 58W P d E 4 I 4 E 5 I 5 E 6 I 6 U g J 58W
Cum P c P d , ecuaţia de bilanţ a puterilor este satisfacută. satisfacută. Tensiunea între punctele A şi C.
Vom calcula tensiunea între punctele B şi D pe căile AOCA, respectiv ABCA, folosind a doua teoremă a lui Kirchhoff:
AOCA E 6 R6 I 6 U AC R3 I 3 U BD E 6 R6 I 6 R3 I 3 3V ABCA 0 R1 I 1 R2 I 2 U BD U BD R1 I 1 R2 I 2 3V Se obţine prin urmare aceeaşi valoare pentru tensiune indiferent de calea aleasă pentru calculul acesteia. Metoda potenţialelor potenţi alelor la noduri
Alegând ca potenţial de referinţă nodul O (Fig.1.3.R-d) vom avea: G11V 1' G12V 2' G13V 3' I sc' 1 ' ' ' ' G 21V 1 G 22V 2 G 23V 3 I sc 2 ' ' ' ' G 31V 1 G 32V 2 G33V 3 I sc3
În care V 1' ; V 2' ; V 3' reprezintă potenţialele electrice ale nodurilor 1, 2 şi 3 faţă de nodul de referinţă D. Conductanţele corespunzătoare corespunzătoare vor fi:
28
G11 G 22 G 33
1 R1
1 R1
1 R 2
I sc' 1 J
1
R 6
1
R 2
1 R3
E 6 R6
1
2S;
1 R5
1 R 4
G12 G 21
1 R1
3S; G 23 G 32
1 R2
1S; G13 G 31
1
0S;
1S;
3S
10A; I sc' 2
E 5 R5
9A; I sc' 3
E 4 R 4
10A.
Se va obţine sistemul de ecuaţii în care necunoscutele necunoscutele reprezintă potenţialele nodurilor 1, ' ' ' 2 şi 3 V 1 ; V 2 ; V 3 . 2V 1' V 2' 10 ' ' ' V 1 3V 2 V 3 9 ' ' V 3 V 10 2 3
V 1' 9V V 2' 8V ' V 3 6V
Curenţii prin fiecare latură se determină aplicând teorema a doua a lui Kirchhoff pe fiecare latură cunoscându-se cunoscându-se potenţialele între care este cuprinsă cuprinsă fiecare latură: '
I 1 I 4
'
V 1 V 2 R1
E 4 V 3' R 4
1A; I 2
V 2' V 3'
4A; I 5
R 2
2A; I 3
E 5 V 2' R5
V 3' R3
1A; I 6
6A;
E 6 V 1' R6
0A I J 1A
Se poate obţine acum mult mai uşor tensiunea la bornele sursei de curent U g V 1' 9V . Se pot prezenta grafurile curenţilor şi tensiunilor pentru circuitul dat (Fig.1.2.R-e):
Fig.1.2.R-e. Grafurile curenţilor şi tensiunilor.
29
Generatoarele echivalente între punctele A şi B.
Pentru a putea determina elementele generatoarelor echivalente între punctele A şi B va trebui mai întâi să determinăm tensiunea între cele două do uă puncte. Acest lucru se poate aprecia din relaţia: U AB R1 I 1 V 1' V 2' 1V Rezistenţa echivalentă a circuitului între punctele B şi D se determină prin pasivizarea circuitului Fig.1.3.R-f.
Fig.1.2.R-f
Fig.1.2.R-g
Rezistenţa echivalentă este dată de conexiunea paralel dintre R3, R4 notată cu R34 , în serie cu R2 formând astfel R234, care se află în paralel cu R5 alcătuind rezistenţa R2345; aceasta se află în serie cu R6. Tot ansamblul este în paralel cu R1. R34 R 2345
1 3 ; R 234 R34 R 2 R 2 R 4 2 2 R 234 R5 3 8 R 23456 R 2345 R6 R 234 R5 5 5 R3 R 4
R AB
R 23456 R1 R 23456 R1
8 13
Generatorul echivalent de tensiune va fi compus dintr-o sursă de tensiune de de valoare U AB 120V în serie cu o rezistenţă R AB 8 13 . Generatorul echivalent de curent este compus din o sursă de curent de valoare J AB U AB R AB 13 8 A , în paralel cu rezistenţa R BD 8 13 . Valoarea curentului prin R1 utilizând teorema lui Thevenin
Pentru a determina curentul prin rezistenţa R1 folosind această metodă, va trebui să eleminăm din schema circuitului rezistenţa R1 determinând generatorul echivalent de tensiune între punctele A şi B pentru noul circuit format for mat (tensiunea U AB 0 respectiv R AB 0 ). Apoi în baza teoremei lui Thevenin se determină curentul căutat. Circuitul, după eleminarea rezistenţei r ezistenţei R1, va deveni (Fig.1.2.R-h):
30
Fig.1.3.R-h
Fig.1.3.R-I
Pentru a determina tensiunea U AB 0 trebuie să determinăm curentul I 5 (curentul I 6 J 10A pentru cazul de faţă) apoi aplicând teorema lui Kirchhoff pe traseul ABOA putem evalua cu cu uşurinţă tensiunea tensiunea căutată. Având în vedere noua structură a circuitului, o metodă foarte uşoară de determinare a curentului I 5, este metoda transfigurărilor electrice. Putem forma un generator echivalent de tensiune format de E 4 şi R4 în paralel cu rezistenţa R3, care este conectat în serie cu E 4, R4 şi R2. Se poate determina apoi uşor valoarea curentului curentului I 5: E 34
E 4 R3 R3 R 4
5V R34
R3 R 4 R3 R 4
E 5 E 34 1 8 I 5 2 R5 R 2 R34 5
Putem acum calcula tensiunea U AB 0 aplicând a doua teorema a lui Kirchhoff pe traseul ABOA din schema din Fig.1.3.R-h. E 6 E 5 JR6 U AB 0 R5 I 5 U BD 0 E 6 E 5 JR 6 R5 I 5
13 V 5
Rezistenţa echivalentă R AB 0 reprezintă rezistenţa circuitului pasivizat între punctele A şi B.
Aşa cum se poate observa din Fig.1.3.R-i ea reprezintă rezistenţa R23456 calculată la punctul anterior. R 23456
31
8 5
Generatorul de tensiune între punctele A şi B este format din generatorul de tensiune de valoare U AB 0 în serie cu rezistenţa R AB 0 . Pentru a determina curentul prin rezistenţa R1 vom conecta această rezistenţă la bornele generatorului format: Fig.1.2.R-j. I 6
U AB 0 R AB 0 R1
1A
Prin urmare valoarea intensităţii curentului curentu lui ce străbate rezistenţa rezistenţa R1 este aceeaşi cu cea determinată prin celelalte metode. Este deci o verificare a justeţii justeţ ii acestei valori. Fig.1.2.R-j Transferul maxim de putere
Transferul maxim de putere se obţine conform teoremei de transfer maxim a puterii, în cazul în care valoarea rezistenţei R1 are aceeaşi valoare ca şi rezistenţa R AB 0 , adică în 8 momentul în care R1 R AB 0 . 5 U 13 Curentul prin rezistenţă va fi I 0 AB 0 A , iar puterea este 2 R AB 0 16 2 U AB 169 2 0 P max R AB 0 I 0 W. 4 R AB 0 160 Pentru Pentru circuitul cu schema din Fig. 1.4.R-a, în care se cunosc E 1=10V, E 2 =4V, E 3=2V, E 4 =6V, J =2A, =2A, R1=1, R2=2, R3=3, R4=4, R5 =5. Se cer: a) Curenţii prin fiecare latură a circuitului utilizând atât metoda curenţilor ciclici cât şi metoda potenţialelor la noduri. b) Valoarea puterilor consumate şi debitate de circuit. circuit. 1.4.R
Fig.1.4.R-a
32
Metoda curenţilor curenţilo r ciclici
Pentru a aplica metoda metoda curenţilor curenţilor ciclici avem mai mai întâi sensurile curentilor de contur contur ca în Fig 1.4.R-b.
Fig.1.4.R-b Metoda curenţilor curenţil or ciclici. ciclici .
Fig.1.3.R-c Metoda potenţialelor potenţialel or la noduri
Ecuaţiile prin această metodă vor fi: R11 I 1' R12 I 2' R13 I 3' E 1' ' ' ' ' R 21 I 1 R 22 I 2 R 23 I 3 E 2 ' ' ' ' R31 I 1 R32 I 2 R33 I 3 E 3
Deoarece R33 , ultima ecuaţie din sistemul de mai sus se înlocuieşte cu I 3' J 2A . Având în vedere sensurile alese pentru curenţii ciclici (Fig.1.4.-b) vom avea: R11 R2 R3 R4 8 ; R12 R21 R4 4 ; R13 R31 ( R3 R4 ) 7 ; R22 R2 R4 6 ; R23 R32 R4 4 ; E 1' E 1 E 3 E 4 6 V; E 2' E 2 E 4 10 V;
Cu aceste valori se obţine o bţine sistemul: 8 I 1' 4 I 2' 14 6 I 1' 4 A ' I 3 2A 4 I 1' 6 I 2' 8 10 I 2' 3 A
Alegem curenţii reali prin circuit ca în Fig.1.4.R-b pe care determinăm în funcţie de curenţii ciclici :
33
'
'
'
'
I 1 I 1 4A; I 2 I 2 3A; I 3 I 1 I 3 2A; I 4 I 2' I 3' I 1' 1A; I 5 I 3' 2A.
Tensiunea la bornele sursei de curent U g se poate determina folosind teorema a doua a lui Kirchhoff pe traseul tr aseul ABCA: E 1 R1 I 1 R5 I 5 U g U g R1 I 1 R5 I 5 E 1 4V Metoda potenţialelor potenţi alelor la noduri
Alegând ca potenţial de referinţă nodul O (Fig.1.4.R-d) vom avea: G11V 1' G12V 2' G13V 3' I sc' 1 ' ' ' ' G 21V 1 G 22V 2 G 23V 3 I sc 2 ' ' ' ' G 31V 1 G 32V 2 G33V 3 I sc3
În care V 1' ; V 2' ; V 3' reprezintă potenţialele electrice ale nodurilor 1, 2 şi 3 faţă de nodul de referinţă O . Conductanţele corespunzătoare corespunzătoare vor fi: G11 G 22 G 33
1 R1
1 R5
1
R 3
R1
I sc' 1
1
E 1 R1
1
1
4 3
S;
1 5 1
G12 G 21
S; G 23 G32
1
R 2
E 6 R 6
R 4
1
R 5
J
1 R5
1
0S; G13 G 31
1 R1
1S;
1 5
S;
39 S 20
E E E 19 22 A; I sc' 2 J 2A; I sc' 3 1 2 4 A. 3 R1 R 2 R 4 2
Se va obţine prin urmare ur mare sistemul de ecuaţii în care necunoscutele necunoscutele reprezintă potenţialele ' ' ' nodurilor 1, 2 şi 3 V 1 ;V 2 ; V 3 . 4V 1' 3V 3' 10 ' ' V 2 V 3 9 ' ' ' V V V 190 20 4 39 1 2 3
V 1' 4V V 2' 8V ' V 3 2V
Curenţii prin fiecare latură se determină aplicând teorema a doua a lui Kirchhoff pe fiecare latură cunoscându-se cunoscându-se potenţialele între care este cuprinsă cuprinsă fiecare latură:
34
'
I 1
'
E 1 V 3 V 1
I 4
R1 E 4 V 3' R 4
'
4A; I 2
E 2 V 3 R 2
'
3A; I 3
E 3 V 1 R3
2A;
1A; I 5 J 2A;
Se poate obţine acum mult mai uşor tensiunea la bornele sursei de curent U g V 1' V 2' 4V . Bilanţul puterilor
Puterea consumată (absorbită), respectiv debitată(generată): P c R1 I 12 R 2 I 22 R 3 I 32 R 4 I 42 R5 I 52 70 W P d E 1 I 1 E 2 I 2 E 3 I 3 E 4 I 4 U g J 70 W
Cum P c P d ecuaţia de bilanţ a puterilor este satisfacută. satisfacută. Pentru circuitul cu schema din Fig. 1.5.R-a, în care se cunosc E =1V, =1V, E 3 =2V, J =3A, =3A, R1= R2= R4=1, R3=2. Se cer: c) Curenţii prin fiecare latură a circuitului utilizând atât metoda curenţilor ciclici cât şi metoda potenţialelor la noduri. d) Valoarea puterilor consumate şi debitate de circuit. circuit. 1.5.R
Fig.1.5.R-a
35
Metoda curenţilor curenţilo r ciclici
Pentru a aplica metoda metoda curenţilor curenţilor ciclici avem mai mai întâi sensurile curenţilor de contur ca în Fig 1.5.R-b.
Fig.1.5.R-b Metoda curenţilor curenţil or ciclici. ciclici .
Fig.1.5.R-c Metoda potenţialelor potenţialel or la noduri
Ecuaţiile prin această metodă vor fi: R11 I 1' R12 I 2' R13 I 3' E 1' ' ' ' ' R 21 I 1 R 22 I 2 R 23 I 3 E 2 ' ' ' ' R31 I 1 R32 I 2 R33 I 3 E 3
Deoarece R33 , ultima ecuaţie din sistemul de mai sus se înlocuieşte cu I 3' J 3A . Având în vedere sensurile alese pentru curenţii ciclici (Fig.1.4.-b) vom avea: R11 R1 R 2 R3 R 4 5 ; R12 R 21 ( R3 R 4 ) 3 ; R13 R31 R1 R 4 2 ; R 22 R3 R 4 3 ; R 23 R32 R 4 1 ; E 1' E 3 2 V; E 2' E 3 E 3 V;
Se obţine sistemul: 5 I 1' 3 I 2' 6 2 I 1' 1 A ' ' I 3 3A ' ' 3 I 1 3 I 2 3 3 I 2 1 A
Alegem curenţii reali prin circuit ca în Fig.1.4.R-b pe care determinăm în funcţie de curenţii ciclici : 36
'
'
'
'
'
I 1 I 1 I 3 2A; I 2 I 1 1A; I 3 I 2 I 1 2 A; I 4 I 1' I 3' I 2' 1A. I I 3 I 2 1A
Am notat cu I intensitatea curentului electric ce străbate sursa de tensiune E ; el se determină uşor aplicând prima teoremă a lui Kirchhoff în nodul C de de exemplu. Tensiunea la bornele sursei de curent U g se poate determina folosind teorema a doua a lui Kirchhoff pe traseul tr aseul AOBA: 0 R1 I 1 R4 I 4 U g U g R1 I 1 R4 I 4 3V Metoda potenţialelor potenţi alelor la noduri
Alegând ca potenţial de referinţă nodul O (Fig.1.4.R-d) vom avea: G11V 1' G12V 2' G13V 3' I sc' 1 ' ' ' ' G 21V 1 G 22V 2 G 23V 3 I sc 2 ' ' ' ' G 31V 1 G 32V 2 G33V 3 I sc3
În care V 1' ; V 2' ; V 3' reprezintă potenţialele electrice ale nodurilor 1, 2 şi 3 faţă de nodul de referinţă O. Datorită alegerii potenţialului de referinţă, valoarea potenţialului din a treia ecuaţie este echivalentă echivalentă cu V 3' E 1V . Conductanţele corespunzătoare corespunzătoare vor fi: G11 G 22 G 33
1 R1
1
1 R 2
R3
1 R 2
1 R 4
1 R3
1
1
2S;
G12 G 21
3 2
1
S; G 23 G32
0S; G13 G31
1 R3
1 R 2
1S;
1 2
S;
3 2
S
I sc' 1 J 3A; I sc' 2
E 3 R3
J 2A; I sc' 3
E 3 R3
1A.
Se va obţine prin urmare ur mare sistemul de ecuaţii în care necunoscutele necunoscutele reprezintă potenţialele nodurilor 1 şi 2 V 1' ; V 2' :
37
2V 1' 1 3 3 ' 1 V 2 2 2 2
V 1' 2V ' V 3' 1V V 2 1V
Curenţii prin fiecare latură se determină aplicând teorema a doua a lui Kirchhoff pe fiecare latură cunoscându-se cunoscându-se potenţialele între care este cuprinsă cuprinsă fiecare latură: I 1
V 1' R1
'
2A; I 2
'
V 1 V 3 R 2
'
1A; I 3
'
V 3 V 2 E 3 R 3
2A;
'
I 4
V 2
R 4
1A; I 1A;
Se poate obţine acum mult mai uşor tensiunea la bornele sursei de curent U g V 1' V 2' 3V . Bilanţul puterilor
Puterea consumată (absorbită), respectiv r espectiv debitată debitată (generată): P c R1 I 12 R 2 I 22 R3 I 32 R 4 I 42 14W P d EI E 3 I 3 U g J 14 W
Cum P c P d ecuaţia de bilanţ a puterilor este satisfacută. satisfacută.
38
