PROBLEMAS RESUELTOS
1.- Una caja rectangular de lados a, b y c esta localizada a una distancia d del origen de coordenadas. En la región existe un campo eléctrico que esta dado por la expresión:
onde las constantes son "alcule el #lujo eléctrico a tra$és de cada tapa.
: y la distancia d esta en metros. a!
b! etermine la carga neta que %ay en la caja, suponiendo que d & ',1m ( a & ',)m( b & ',*m y c & ',+m.
olución "omo podemos obser$ar las cuatro caras que son paralelas al eje y, el $ector campo es perpendicular a los $ectores de reas, por lo tanto el #lujo en estas caras es cero.
ig.+.+ 2roblema 1
El #lujo total:
s/ el #lujo uno es:
"alcule el #lujo en la cara ) donde x & d 0 c y posteriormente introduzca los resultados de los
#lujos 1 y ) en +.3 para obtener:
)! Una carga puntual 4 se encuentra en el centro de un cubo de lado )a, como indica la #igura. etermine el #lujo en una de sus caras.
olución
plicando la ley de 5auss:
onde 4 es la carga total encerrada por el 2roblema ) cubo. El cubo tiene ig.+.; seis caras, por lo tanto el #lujo en una sola cara ser di$idiendo el total entre seis, es decir:
Este resultado se puede obtener aplicando integrales dobles, desarróllelo usted. *! Una l/nea de carga in#initamente larga, con densidad 67"8m!, atra$iesa un cubo de lado a, perpendicularmente a dos de sus caras y por su centro .9 "ual es el #lujo del campo eléctrico que atra$iesa cada una de las caras del cubo
olución
olo cuatro caras son atra$esadas por las l/neas de campo ig.+.< 2roblema *
eléctrico. 92or qué
2or lo tanto el #lujo en una sola cara es:
+! e tiene una l/nea in#inita con densidad de carga uni#orma. etermine el ca mpo eléctrico a una distancia r de la l/nea.
olución
plicando la ley de 5auss, tenemos:
ig.+.3 2roblema + =as super#icies de las tapas laterales no entran en la solución del problema. 92or qué
En este caso es la super#icie de en$oltura del cilindro imaginario o 5aussiana, desarrollando:
4uedando #inalmente:
; ! Una es#era no conductora de radio a tiene una densidad de carga por unidad de $olumen uni#orme. etermine el campo eléctrico dentro y #uera de la es#era.
olución
a.- Dentro de la esfera
>maginase una es#era de radio r menor que a. Esta super#icie encierra una carga total 4? que llega %asta r, a 2roblema ; como podemos obser$ar enig.+.@la #ig.
[email protected]
plicando 5auss:
onde 4An es la carga total encerrada por la 5aussiana. "alculemos esta carga por el concepto de densidad $olumétrica de carga, es decir , asi:
>ntroduciendo en +.@ tenemos:
b.- Fuera de la esfera
>maginase una es#era de radio r mayor que a. Esta super#icie encierra una carga total 4 que llega %asta ; a, como podemos obser$arig.+. en la @-b #ig. 2roblema
[email protected]
pliquemos otra $ez 5auss:
,
"alculamos 4 por el concepto de densidad:
>ntroduciendo en +.B, obtenemos:
5ra#ique ambos resultados y analice que ocurre en r & a
< ! Una es#era no conductora solida de radio a y carga uni#orme 4 est ubicada en el centro d una es#era conductora %ueca descargada, de radio interior b y exterior c. Calle el $alor del campo E en las regiones siguientes: a! entro de la es#era no conductora. b! Entre la es#era no conductora y la conductora. c! entro de la es#era conductora. d! uera de las es#eras. e! 9"ules son las densidades de cargas inducidas e n las super#icies interna y externa de la es#era no conductora
olución
=as partes 7a! y 7b!, tienen el mismo resultado que el problema anterior, es decir:
ig.+.B-a 2roblema < c! 2or de#inición dentro del conductor es cero. Damos a demostrarlo.
2or inducción en la super#icie r = b aparece una carga 4 , idéntica a la de la es#era no conductora, por lo tanto al pasar la 5aussiana entre b y c nos queda como en la #igura y la carga total encerrada por esta es cero, es decir:
plicando 5auss tenemos:
ig.+.B-b.2roblema <
Es decir:
d.- En la
ig.+.B.c 2roblema <
super#icie c se induce una carga 04 debido a la presencia de la carga 4 en la super#icie b,
por lo tanto la carga total es:
plicando 5auss tenemos:
4uedando #inalmente:
e.- =a densidad de carga super#icial se de#ine co mo la carga por unidad de super#icie, por lo tanto para la super#icie de radio b, tenemos:
F para la super#icie de radio c:
3! os lminas in#initas no conductoras, con carga uni#orme estn en#rentadas paralelamente. =a de la izquierda tiene una densidad de carga super#icial derec%a . Calle el campo eléctrico en todas las regiones , para la siguiente con#iguración :
olución
y l. a de la
El campo eléctrico producido por una lamina in#inita esta dado por:
Gormal a la super#icie ig.+.1'-a- 2roblema 3 El campo resultante se obtiene por la superposición de los campos generados por cada lmina.
Izquerda! "entro! Dere#$a!
ig- +.1'-b- 2roblema 3
@ ! .-ea una lamina plana e in#inita de espesor )a, no conductora, con una carga uni#orme con densidad $olumétrica . Calle el campo eléctrico en términos de la distancia x, medido desde el plano medio de la lamina. a.- entro de la lmina. b.-uera de la lamina. c.-5ra#ique el modulo de E en #unción de x.
olución
a.- 2ara x H a se escoge una super#icie gaussiana, , en #orma de una cajita cil/ndrica de largo )x..ig.+.11.b.
ig.+.11.a 2roblema @
ig.+11.b 2roblema @ a.-En las caras laterales el campo E es paralelo al $ector super#icie S1 y por lo tanto el #lujo en cada cara es EA. obre las super#icies cur$as el #lujo es cero ¿Por qué? .plicando 5auss-:
onde:
2or lo tanto, el campo eléctrico dentro de la lmina es:
b.-2ara %allar el campo a#uera se escoge una super#icie gaussiana mas grande ), en #orma de cajita cil/ndrica de la largo )I y rea . El #lujo total sobre la super#icie de la cajita es:
y la carga encerrada es:
plicando la ley de 5auss:
2or lo tanto, el campo eléctrico #uera de la
placa es:
c.- entro de la lmina el crece linealmente, mientras que a#uera el campo es uni#orme.
B ! Una es#era de radio J y carga uni#orme por unidad de $olumen , tiene una ca$idad es#érica. El centro de la ig.+.11.c 2roblema @ ca$idad esta desplazada respecto al centro de la es#era por una distancia a. emuestre que el campo eléctrico en la ca$idad es uni#orme y $iene dada por:
iendo a el $ector posición que apunta desde el centro de la es#era al centro de la ca$idad.
olución upongamos que la ca$idad es una es#era de signo negati$o. 2or lo tanto el campo total en un punto situado dentro de la ca$idad es la superposición del campo creado por la es#era de radio J y por la es#era de ig.+.1).a. 2roblema B radio b que es la ca$idad.
el problema ;, tenemos que el campo E en el punto p debido a la es#era de radio R, es:
F el campo E’ creado por la ca$idad en el mismo punto es:
2or el principio de la superposición:
e la #ig.+.11.b, tenemos: y s/:
esarrollando: ig.+ .1)b 2roblema B
1'.- Una es#erita no conductora de masa m tiene una carga q y esta suspendida por un %ilo aislante que #orma un ngulo Ѳ con una %oja no conductora y muy grande uni#ormemente cargada. "alcule la densidad super#icial K, de la %oja.
olución
"omo la es#erita esta en equilibrio, la #uerza neta en cada dirección es cero:
ig.+.1* 2roblema 1'
Eliminando T y tomando
tenemos:
