´ ´ ESCUELA POLITECNICA DEL EJERCITO M´etodos Numericos u ´mericos M´eto etodo Gauss Gauss-L -Lege egend ndre re An dr´´es Andr es Ter´ Teran a´n Juan N´ unez u˜ n ˜ ez Sebasti´ an an Valencia Alexander Pazmi˜ no no Alexis S´anchez anchez 16 de julio de 2012
´ Indice 1. Introducci´ Introducci´ on on
2
2. Regla de Gauss-Legendre con dos nodos
4
3. Regla de Gauss-Legendre con tres nodos
6
4. Traslaci´ raslaci´ on del m´ eto do de Gauss-Legendre
7
5. Programa
7
6. Ejercicio
8
7. Ejercicio Gauss Legendre
8
8. Ejercicio Gauss Legendre
9
1
1.
Introducci´ on Queremos hallar el ´area limitada por la curva y = f (x)
−1≤x≤1
Si solo pueden hacerse dos evaluaciones a la funci´on tenemos que utilizar un m´etodo especial. Ya que el m´etodo de trapecios en ciertas funciones puede generar errores grandes como se muestra en la Figura 1(a). Si usamos dos nodos distintos x1 y x2 interiores al intervalo [ 1, 1], entonces la l´ınea recta que pasa por (x1 , f (x1 )) y (x2 , f (x2 )) corta a la curva y el ´area limitada por la recta es una aproximaci´on mejor al ´area limitada por la curva, como se aprecia en la Figura 1(b). La ecuaci´on de esta l´ınea recta es
−
y = f (x1 ) +
(x
− x )(f (x ) − f (x )) x −x 1
2
2
1
(1)
1
y el ´area del trapecio limitado por dicha recta es
2x2 2x1 (2) f (x1 ) f (x2 ) x2 x1 x2 x1 Hagamos notar que la regla del trapecio es un caso especial de la f´ormula (2), ya que si elegimos x1 = 1, x2 = 1 y h = 2, entonces Atrap =
− −
−
−
2 T (f, h) = f (x1 ) 2
− −22 f (x ) = f (x ) + f (x ) 2
2
1
2
Camos a usar el m´etodo de los coeficientes indeterminados para hallas las dos abscisas x1 , x2 y dos pesos w1 , w2 de manera que la f´ormula 1
f (x)dx
−1
≈ w f (x ) + w f (x ) 1
1
2
(3)
2
sea exacta para polinomios c´ ubicos de la forma f (x) = a3 x3 + a2 x2 + a1 x + a0 . Puesto que hay que determinar cuatro n´umeros¿w1 , w2 , x1 y x2 en la ecuaci´on (3), podemos seleccionar cuatro condiciones que deben cumplirse. Usando que la integraci´on es aditiva, ser´a suficiente con exigir que la f´ormula (3) sea exacta para las cuatro funciones f (x) = 1, x , x2 , x3 . Las cuatro condiciones de integraci´on son, entonces, 1
f (x) = 1
1dx = 2 = w1 + w2
−1 1
f (x) = x
xdx = 0 = w1 x1 + w2 x2
−1
2
f (x) = x
1
x2 dx =
−1
3
f (x) = x
1
−1
2 = w1 x21 + w2 x22 3
x3 dx = 0 = w1 x31 + w2 x32 3
(4)
y tenemos que resolver el sistema de ecuaciones no lineales w1 + w2 = 2 w1 x1 = w2 x2 2 w1 x21 + w2 x22 = 3 3 3 w1 x1 = w2 x2
(5) (6)
−
(7) (8)
−
Dividiendo (8) entre (5) y teniendo en cuenta que x1 = x2 nosqueda
x21 = x22
x1 =
asi que
(9)
−x
2
Ahora, usando (9) y dividiendo (6) entre x1 por la derecha y izquierda, obtenemos
−x
w1 = w2
2
por la
(10)
Sustituyendo (10) en (5) resulta 2w1 = 2 y, por tanto, w1 = w2 = 1
(11)
Usando (11) y (9) en (7), tenemos 2 1 con lo cual x22 = 3 3 Finalmente, de (12) y (9) se deduce que los nodos son w1 x21 + w2 x22 = x21 + x22 =
−x
1
= x2 = 1/31/2
(12)
≈ 0,5773502692
Hemos encontrado los nodos y los pesos con los que se construye la regla de Gauss-Legendre con dos nodos. Puesto que la f´ormula es exacta para polinomios de grado tres, el t´ermino del error incluir´a la derivada cuarta.
2.
Regla de Gauss-Legendre con dos nodos Si f es continua en [-1,1], entonces 1
−1
f (x)dx
≈ G (f ) = f 2
4
√ − √ 1 3
+ f
1 3
(13)
La regla de Gauss-Legendre con dos nodos G2 (f ) tiene grado de precisi´on n = 3 y si f C 4 [ 1, 1], entonces
∈ − 1
siendo
f (x)dx = f
−1
√ − √ 1 3
+ f
1 3
+ E 2 (f ),
(14)
f (4) (c) (15) E 2 (f ) = 135 para alg´ un punto c [ 1, 1] La regla general de Gauss-Legendre con N nodos es exacta para funciones polinomiales de grado menor o igual que 2N 1 y su f´ormula de cuadratura es
∈−
−
GN (f ) = wN,1 f (xN,1 ) + wN,2 f (xN,2 ) +
··· + w
N,N f (xN,N )
(16)
Los nodos xN,k y los pesos wN,k que hay que usar est´an tabulados y pueden conseguirse f´acilmente; en la Tabla 1 se relacionan los valores para las reglas de GL con hasta ocho nodos, as´ı como la forma de los t´erminos del error E N (f ) correspondientes a las aproximaciones GN (f ); estos t´erminos pueden usarse para estimar la precisi´on del m´ etodo de la integraci´o n de Gauss-Legendre.
5
3.
Regla de Gauss-Legendre con tres nodos Si f es continua en [-1,1], entonces 1
−1
f (x)dx
≈ G (f ) =
5f (
3
−
3/5) + 8f (0) + 5f ( 3/5) 9
(17)
La regla de Gauss-Legendre con tres nodos G3 (f ) tiene grado de precisi´on n = 5. Si, adem´as, f C 6 [ 1, 1], entonces 1
−1
∈ − 5f (− f (x)dx =
3/5) + 8f (0) + 5f ( 3/5) + E 3 (f ) 9 6
(18)
y existe alg´un punto c
∈ [−1,1] tal que f (6) (c) E 3 (f ) = 15750
4.
(19)
Traslaci´ on del m´ etodo de Gauss-Legendre
N Supongamos que tenemos los nodos xN,k N k=1 y los pesos wN,k k=1 necesarios para aplicar la regla de Gauss-Legendre con N nodos en [-1,1]. Entonces, para aplicar el m´etodo de Gauss-Legendre en un intervalo [a,b], se puede usar el cambio de variable
{
t=
a+b b a + x 2 2
−
}
{
dt =
con
b
− a dx 2
}
(20)
y la relaci´on b
1
−
a+b b a b a + f (t)dt = f x dx 2 2 2 a −1 proporciona la f´ormula de cuadratura
b
f (t)dt =
a
5.
b
−a 2
−
N
a+b b a + wN,k f xN,k 2 2 k=1
−
(21)
(22)
Programa
El siguiente programa toma como datos de entrada la funci´on f, con sus respectivos l´ımites de integraci´on superior e inferior ademas del n´umero de nodos. En la ejecuci´on del programa se llama a la funci´on matriz-G la cual almacena una matriz de 35 x 2 con los valores de los nodos y de los pesos. sol=legendre(f,a,b,n) If (n mayor 1 o menor que 9) aux=matriz-G(); A=aux(n:2*n-1,1)’; W=aux(n:2*n-1,2)’; T=zeros(1,n); T=((a+b)/2)+((b-a)/2)*A;
function
7
sol=((b-a)/2)*sum(W.*feval(f,T)); else fprintf(’El valor de N debe estar entre [2,8]’); end
6.
Ejercicio Usar el metodo de Gauss-Legendre con tres nodos para aproximar: 5
(dt/t) = ln(5)
1
− ln(1) ≈ 1,609438
En este caso a=1 y b=5 asi que aplicandolo en la formula b
(f (t)dt) =
b
a
N
−a
2
wN,k f (
k=1
a+b b a + xN,k ) 2 2
−
remplazando en la formula queda
G3 (f ) = (2)
5f (3
1/2
− 2(0,6)
G3 (f ) = (2)
) + 8f (3 + 0) + 5f (3 + 2(0,6)1/2 ) 9
3,446359 + 2,666667 + 1,099096 9 G3 (f ) = 1,602694
se puede observar que tiene una buena aproximacion
7.
Ejercicio Gauss Legendre 1
Usar la regla de Gauss Legendre con dos nodos para aproximar −1 comparar con error en los m´etodos de Simpson y de los trapecios. 1
−1
f (x)dx = f
− √ 13 8
+ f
√ 13
dx x+2
y
1
dx = −1 x + 2
1 −1 + 2 √ 3
+
1 1 √ +2 3
1
dx = 0, 702913709 + 0, 387995381 = 1, 09091 −1 x + 2 Si comparamos la respuesta con el valor real tiene un error absoluto de 0,0077 Al analizar el mismo ejercicio con la regla del trapecio con h=2 tenemos un error absoluto de -0,23427 Y con el m´etodo de Simpson con h=1 tenemos un error de -0,0125 Como conclusi´on podemos observar que el m´etodo de Gauss-Legendre tiene una mejor aproximaci´on en este caso.
8.
Ejercicio Gauss Legendre
Aproximar mediante la f´ormula de Gauss-Legendre de tres puntos la integral: 1,5
2
e−x dx
1
Utilizando la f´ormula de cuadratura del m´etodo de Gauss-Legendre: b
f (t)dt =
a
Sabemos que:
b
−a 2
N
wN,k f
k=1
a+b b a + xN,k 2 2
N = 3 a=1 b = 1, 5 a + b 1 + 1, 5 5 = = 2 2 4 9
−
b
− a = 1, 5 − 1 = 1 2
2
4
entonces nos queda: 1,5
2
e−t dt =
1
1 4
tambi´en:
3
w3,k f
k=1
w3,1 = w3,3 =
5 9
8 9
w3,2 = x3,1 =
5 1 + x3,k 4 4
3 5
−
x3,2 = 0 x3,3 = reemplazamos: 1,5
1
2
e−t dt =
1 5 −( e 4 9
5 4
1,5
√ ∗−
+ 14 (
3 5
))2
3 5
8 + e−( 9
5 4
)2
5 + e−( 9
2
e−t dt = 0,109364196
1
el valor real de la integral es: 1,5
2
e−t dt = 0,1093642608
1
y el error es: 6, 48 10−8
∗
10
5 4
+ 14
√ ∗
3 5
)2
