Probabilidad Probabilidad total Recordemos: En general, dado un experimento, cuyo espacio muestral es E, un suceso o evento A es un subconjunto de E. Se dice que un suceso A ocurre, si, al realizar el experimento, el resultado es un elemento de A. Sea E = e!,e",e#,....,en$ el espa espaci cio o mues muestr tral al %ini %inito to corr corres espo pond ndie ient nte e a un ⊆ experimento aleatorio y sea & una %unci'n que a cada suceso A E le asigna un n(mero real &)A*. & es una %unci'n %unci'n de probabilidad probabilidad y P(A) es la probabilidad del suceso A , si se veri%ica: +. a probab probabilid ilidad ad de un suceso suceso es un n(mero n(mero real real no negativo negativo menor menor o igual igual a !. ∀ A ⊆ 7 ≤ &)A* ≤ !
P(E) = 1
++. a proba probabili bilidad dad del del suces suceso o seguro seguro es !. !.
+++. a probabi probabilida lidad d de la uni'n de sucesos sucesos mutuame mutuamente nte excluye excluyentes ntes es igual igual a la suma de las probabilidades de los sucesos. &)A! ∪ A" ∪ .... ∪ An* = &)A!*8&)A"*8.. &)A!*8&)A"*8...8&)An* .8&)An* Probabilidad Total Si A y - son dos sucesos cualesquiera, entonces
(
)
( )
( )
(
P A ∪ B = P A + P B − P A ∩ B
)
A ∪ - puede expresarse como uni'n de " sucesos excluyentes: A - y -. / sea
(
E
)
A ∪ B = A − B ∪ B
uego, por axioma de probabilidad es
(
)
(
)
A
( )
P A ∪ B = P A − B + P B
)!*
A -
-
&or otra parte A puede puede expresarse como uni'n de los sucesos excluyentes A 0 - y A ∩ -, es decir
(
)
(
A = A − B ∪ A ∩ B
)
uego, por axioma de probabilidad
( )
(
)
(
P A = P A − B + P A ∩ B
)
de donde
(
)
( )
(
P A − B = P A − P A ∩ B
)
)"*
y reemplazando )"* en )!*, resulta
(
)
( )
( )
(
P A ∪ B = P A + P B − P A ∩ B
)
Ejemplo !: En un %lorero 1ay # claveles, " rojos y ! blanco y 2 rosas, " rojas y " blancas. Si se elige una %lor al azar 3cu4l es la probabilidad de que sea un clavel o una %lor roja5 6onsideremos los sucesos E RR 6R RR 6R R6 A R-
A: se elige un clavel -: se elige una %lor roja
a probabilidad pedida es la probabilidad del suceso A ∪ B : se elige un clavel o una %lor roja 6omo &)A* =
3 7
,
&)-* =
4 7
,
&)A ∩ -* =
2 7
resulta
(
)
( )
( )
(
P A ∪ B = P A + P B − P A ∩ B
)
3 7
+
4 7
−
2 7
=
5 7
Ejemplo ": Se arroja una moneda equilibrada # veces 3cu4l es la probabilidad de que salga al menos una cara5 A: sale al menos una cara A9: sale ceca en los tres tiros )A9 suceso complementario de A* A9 = )s, s, s*$ ⇒ &)A9* =
1 8
luego P ( A) = 1 − P ( A' ) = 1 −
1 8
=
7 8
Ejercicios: !. na comisi'n est4 integrada por !" mujeres y !2 1ombres de los cuales la mitad de las mujeres y la mitad de los 1ombres son pro%esionales. Si se elige una persona al azar 3cu4l es la probabilidad de que la persona elegida sea una mujer o sea pro%esional5 A: persona elegida es mujer -: la persona elegida es pro%esional A ∪ B = la persona elegida es mujer o pro%esional ". Se tiran dos dados equilibrados. 6alcular la probabilidad de que el producto de los n(meros obtenidos sea mayor que #;. #. olas se extrae al azar ! carta. Si A y - son los sucesos. A: sale un cuatro -: sale un basto 6alcular a* &)A* b* &)-* c* &)A ∩ -* d* &)A ∪ -* 2. Se tienen " mazos de 2 cartas y se extraen al azar ! carta de cada uno. Sean A y - los sucesos A: se extraen un rey del primer mazo. -: se extrae un rey del segundo mazo.
6alcular: a* A ∪ b* &)A ∪ -* ?. a carpeta de matem4tica de un alumno tiene intercaladas 1ojas rayadas y cuadriculadas, numeradas con n(meros consecutivos del ! al ?7. a s 1ojas numeradas del ! al !7 son rayadas, del !! al !? son cuadriculadas, del !; al #7 son rayadas y del #! al ?7 cuadriculadas. Si se extrae una 1oja al azar de dic1a carpeta 3cu4l es la probabilidad de que sea rayada o tenga un n(mero mayor que !"5 ;. Se arrojan 2 monedas equilibradas 3cu4l es la probabilidad de obtener al menos ! cara5 @. Se arrojan # dados equilibrados 3cu4l es la probabilidad de que la suma de los n(meros obtenidos sea mayor que #5 . olas y luego se extraen " cartas m4s 3cu4l es la probabilidad de que al menos una de estas " (ltimas cartas sea un oro5
PROBABILIDAD TOTAL Cinco ejercicios Ejercicio 1 e tiran dos dados e!uilibrados" uno rojo # otro blanco$ 6alcul4 la probabilidad de que al menos salga un n(mero par Ejercicio % De una caja !ue contiene 1& bolillas blancas" ' rojas # erdes" se e*trae una bolilla$ 6alcul4 la probabilidad de que sea blanca o roja Ejercicio ' +n talonario tiene recibos nu,erados del - al 1%$ e e*trae un recibo al a.ar$ 36u4l es la probabilidad de que salga un m(ltiplo de #5 Ejercicio / De un ,a.o de / cartas se e*trae al a.ar 1 carta$ 6alcul4 la probabilidad de extraer un cuatro o basto. Ejercicio En una canasta 0a# po,elos # 2i3is" se e*traen dos 4rutas al a.ar$ 36u4l es la probabilidad de que salga al menos un BiCi5
5oja de respuestas Ejercicio 1 a probabilidad de que salga al menos par es #D2 Ejercicio % a probabilidad de que salga blanca o roja es !#D"! Ejercicio ' a probabilidad de que sea m(ltiplo de # es #D Ejercicio / a probabilidad de extraer un cuatro o basto es !?D2 Ejercicio a probabilidad de que salga al menos un BiCi es de D!#
Probabilidad condicional Sea un suceso de un espacio muestral tal que &)-* 7. a probabilidad de que ocurra un suceso A, sabiendo que al realizarse el experimento ocurri' -, se llama probabilidad condicional de A dado B # se indica P(A6B) . P ( A ∩ B) &)AD-* = P ( B ) Ejemplo: &ara armar la siguiente tabla se 1an tenido en cuenta las cali%icaciones )F, A, S* obtenidas en una evaluaci'n de matem4tica tomada en un curso de 27 alumnos, compuesto por ! mujeres y "! varones. Sexo
6ali%. F A S Iotal
Gujer
Har'n
Iotal
@ !7 " !
2 "!
!; ! ; 27
Si entre los 27 alumnos de dic1o curso se elige uno al azar, 1allar la probabilidad de que: a* Jaya obtenido A en la evaluaci'n. lamemos A al suceso Kobtuvo AL casos posibles: "! )n(mero total de alumnos* casos %avorables: ! n(mero total de alumno que obtuvieron A*
entonces
&)A* =
18 40
b* Jaya obtenido A sabiendo que el alumno elegido es var'n. lamando - al suceso: Kes var'nL, debemos calcular la probabilidad de que ocurra el suceso A, teniendo como dato que 1a ocurrido el suceso -, es decir &)AD-* casos posibles: "! )n(mero total de varones* casos %avorables: )n(mero total de varones que obtuvieron A* luego &)AD-* =
8 21
)!*
/bservemos que !M* El 1ec1o de tener como dato que el alumno elegido es var'n redujo a "! los casos posibles, es decir, al n(mero de elementos del suceso -. "M* El n(mero de casos %avorables es el n(mero de elementos del suceso A ∩ -, por lo tanto dividiendo en )!* el numerador y el denominador por 27 )n(mero de elementos del espacio muestral* resulta 8 40 = P ( A ∩ B) &)AD-* = 21 P ( B )
40 Ejercicios: !. Se arrojan # monedas equilibradas 3cu4l es la probabilidad de que todas sean cara si se sabe que la segunda result' cara5 ".
