PROBABILIDAD CONDICIONAL La probabilidad condicional se da cuando la ocurrencia de un evento depende de la ocurrencia de otro. La probabilidad de que un evento B ocurra dado que un evento A ya ocurrió se denota por P(B/A) y se lee “ probabilidad de B dado A.
DEFINICIÓN DE PROBABILIDAD CONDICIONAL Sean A y B dos eventos en un espacio muestral la probabilidad condicional de B dado A, es el numero denotado por P(B/A) que se define por
(/) Interpretación grafica
(∩) ()
si P(A) > 0
PROPIEDADES: a) Si P(A) = 0, se define P(B/A) = 0 b) Si A
B= , P(B/A) = 0
c) Si A B, P(B/A) = 1 d) Si B A,
(/)
() ()
Como ABA , para cualquier evento B podemos interpretar P(B/A) como la probabilidad de B con respecto al espacio muestral reducido
EJEMPLO Un lote contiene 15 piezas de fierro fundido de un proveedor local y 25 de un proveedor de otro estado. Se eligen dos piezas al azar, sin remplazo, del lote de 40. Sean A: el evento donde la primera pieza seleccionada es del proveedor local, y B: en evento donde la segunda pieza seleccionada es del proveedor de otro estado a) ¿Cuál es el valor de
()?
b) ¿Cuál es el valor de
(/)?
c) ¿Cuál es el valor de
(∩)?
EJEMPLO Se seleccionan dos semillas aleatoriamente, una por una, de una bolsa que contiene 10 semillas de flores rojas y 5 de flores blancas. ¿Cuál es la probabilidad de que: a) La primera semilla sea roja? b) La segunda semilla sea blanca dado que la primera fue roja?
EJEMPLO Al tomar una muestra aleatoria de empleados para determinar el potencial en su trabajo se determinó que Empleados Potencial
Administración Producción Mantenimiento
Regular
5
30
25
Bueno
15
50
45
Es posible utilizar un diagrama del árbol para describir las probabilidades condicionales
EVENTOS INDEPENDIENTES Dos eventos A y B se denominan independientes si la probabilidad de que alguno ocurra no depende de la ocurrencia del otro.
(/) () (/) () La principal característica de los eventos independientes es que el estado original de la situación no cambia cuando ocurre un evento
Si los eventos son independientes, es posible establecer la siguiente propiedad,
∩ () A esta propiedad se le denomina también regla de la multiplicación
EJEMPLO: Se lanza un dado dos veces. ¿Cuál es la probabilidad de que en el primer lanzamiento resulte 3 y en el segundo lanzamiento un número impar?
EJEMPLO En la prueba de la tarjeta de un circuito impreso en la que se utiliza un patrón de prueba aleatorio, un arreglo de 10 bits tiene la misma probabilidad de ser uno o cero. Suponiendo que los bits son independientes ¿Cual es la probabilidad de que todos los bits sean 1?
∩ ∩ ⋯ ∩ 0 0 1 2
EJEMPLO Dos bombas conectadas en paralelo fallan independientemente una de la otra en un día dado. La probabilidad de que solo la bomba más vieja falle es 0.10 y la probabilidad de que solo la bomba más nueva falle es 0.05 ¿Cuál es la probabilidad de que el sistema de bombeo falle en cualquier día dado (lo que pasa si ambas bombas fallan )?
EL TEOREMA DE LA PROBABILIDAD TOTAL Y EL TEOREMA DE BAYES Consideraremos un espacio muestral para el cual existe una partición en eventos Ai , tal que Ai=, tal que Ai A j = para i j. El evento B pertenece al espacio muestral .
EL TEOREMA DE LA PROBABILIDAD TOTAL Si A1, A2,…, Ak es una partición de para cualquier evento B en se tiene que
(/) =
El teorema se puede probar como sigue
(⋂)⋃(⋂)⋃⋯⋃(⋂) ⋂ + ⋂ + ⋯+ ⋂ ⋂
(/) =
=
EL TEOREMA DE BAYES
Si A1, A2,…, Ak es una partición de entonces para cualquier evento B de
(/ ) / (/ ) =
EJEMPLO Una fabrica tiene tres maquinas independientes que producen cierto tipo de pieza. La maquina 1 produce el 10% de las piezas con un 2% de piezas defectuosas. La maquina 2 produce el 40% de las piezas con un 3% defectuosas y la maquina 3 produce el 50% con un 4% de defectuosas. Si se selecciona al azar una de estas piezas : a) ¿Cual es la probabilidad de que sea defectuosa? b) Si la pieza esta defectuosa ¿Cual es la probabilidad de que provenga de la maquina 3?
EJEMPLO Una empresa presta servicios de transporte con 4 líneas a un determinado distrito de modo que: el 20% de los ómnibus cubren el servicio de la línea 1, el 40% cubren el servicio de la línea 2, el 30 % cubren el servicio de la línea 3, el 10% cubren el servicio de la línea 4. Se sabe que la probabilidad de que diariamente se averíe es de 3% en la línea 1; 2% en la línea 2; 4% en la línea 3; 1% en la línea.
a) Determine la probabilidad de que, en un día, un ómnibus sufra una avería b) Si un ómnibus sufre una avería, cual es la probabilidad de que sea de la línea 3
