Pye-clase 2u2 Probabilidad Condicional Industrial 2014

FACULTAD DE CIENCIAS EXACT. FÍS. Y NATURALES. UNC. CÁTEDRA DE PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA

Probabilidad Condicional : Si B es un suceso cualquiera de un espacio muestral Ω , tal que P(B) ≠ 0, entonce entonces s la probabilida probabilidad d de que ocurra ocurra un suceso A, dado que !a ocurrido B", se denota P(A#B) y es: Ω

P( A / B ) =

P(A ∩ B) P(B)

A B

$ntonces, la probabilidad de la intersecci%n de los e&entos A y B es: P( A

∩

B)

' P( P( A#B A#B )P( )P( B ) ' P( B#A B#A )P( )P( A ) U2: Probabilidad y Variables aleatorias


Observaciones: Observaciones: P( A

∩

B )' P( A#B )P( B ) ' P( B#A )P( )P( A )

Probabilidad Conjunta ó Compuesta Probabilidad Condicional Probabilidad Marginal ó In Incon condic dicion ional al $n eneral se tiene que P(A#B) ≠ P(A) $n este caso se dice que el suceso el suceso A depende del suces suceso o B. U2: Probabilidad y Variables aleatorias

1


*+unto &ale la Probabilidad +ondicional de A dado B+AS. /

+AS. 2

A

A

B

P(A) = 0,25 P(B) = 0,06 P(A∩B) = 0,06

B

⇒ P(A

B)=1 B⊆A

P(A) = 0,25 P(B) = 0,06 ⇒ P( A P(A∩B) = 0,04

B)=0,67

U2: Probabilidad y Variables aleatorias


*+unto &ale la Probabilidad +ondicional de A dado B+AS. 1

+AS.  A

A

B

B

P(A) = 0,25 P(B) = 0,06 ⇒ P( A P(A∩B) = 0,01

B)=0,17

P(A) = 0,25 P(B) = 0,06 ⇒ P(A B)=0 P(A∩B) = 0 A ∩ B =∅ ∅ U2: Probabilidad y Variables aleatorias

2


Sucesos independientes os sucesos o e&entos A y B son estadísticamente independientes entre s3, si la probabilidad de ocurrencia de uno de ellos, a condici%n de que !aya ocurrido el otro, es iual a la probabilidad sin condicionamiento

Se verifica: P (A/B) = P (A) y P (B/A) = P (B)

Como:

P( A

∩

B ) ' P( A#B )P( B ) ' P( B#A )P( A )

Entonces se cumple: A y B son independientes si y solo sí P(A ∩ B) ' P(A)P(B) U2: Probabilidad y Variables aleatorias


*+unto &ale la Probabilidad +ondicional de e&entos independientes+AS. 4

P(A) ' 0,24 P(B) ' 0,05 P(A∩B)'0,0/4

A

B

P(A#B)'

P(A ∩ B) 0,015 = = 0,25 P(B) 0,06

P(B#A)'

P(A ∩ B) 0,015 = = 0,06 P(A) 0,25

P(A∩B)'P(A)P(B)'0,0/4 U2: Probabilidad y Variables aleatorias

3


*Son independientes los sucesos en los +AS.S /, 2 ,  y 1-



Situación conveniente de considerar Sean A/, A2, A, A16 una colecci%n de sucesos de 7 tales que, la uni%n de todos ellos 8orman el espacio muestral y sus intersecciones son dis9untas

Ai ∩ A j = φ ∀i ≠ j A A22

A11 A

n

Ω = ∪ Ai i =1

Si se tiene un suceso B en Ω y se quiere calcular P(B)6

B

*+%mo se !aceA A33

A44 A

*$s til la descomposici%n del espacio muestral Ω- U2: Probabilidad y Variables aleatorias

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eorema de la probabilidad total A2

A1

ada la colecci%n Ai es posible descomponer a B como siue: B =(B∩A1) U (B∩A2) U (B∩A3) U (B∩A4)

B

*+%mo es posible calcular la probabilidad de B-

A3

A4

P(B)=P[(B∩A1)U(B∩A2)U(B∩A3)U(B∩A4)]

P(B) ' P(B∩A/) ; P(B∩A2 ) ; P( B∩A ) ; P( B∩A1 ) P(B)=P(B|A1) P(A1)+P(B|A2) P(A2)+P(B|A3) P(A3)+P(B|A4) P(A4) n

P(B)=∑ P(B/Ai ) P(Ai ) U2: Probabilidad y Variables aleatorias

i=1


eorema de Bayes A2

A1

Si se conoce la probabilidad de B en cada uno de los componentes (A/,A2, ) de Ω Si ocurre B, se calcula la probabilidad (a posteriori ) de la ocurrencia de cualquier A <

B

P(Ak/B)= A3

P( Ak B)=

A4

P(B ∩ Ak ) P(B)

onde P(B) se puede calcular usando el teorema de la probabilidad total $ntonces

P(B Ak ).P(Ak ) n

∑ P(B A i ).P(A i ) i=1


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Problema a resolver $n una 8brica !ay dos mquinas =/ y =2 para producir los componentes de un aparato =/ produce el 10> de las componentes y =2 el 50> Se sabe que el 4> de los componentes producidos por =/ y que el 2> de los producidos por =2, son de8ectuosos Un componente es e?tra3do al a@ar a) *+ul es la probabilidad de que sea de8ectuosob) Si el componente es de8ectuoso *+ul es la probabilidad de que !aya sido producido por =/-



Ejercicio de confiabilidad Sean los circuitos Subsistema /

a) +ircuito / Subsistema 2

b) +ircuito 2

Subsistema /

Subsistema 2


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onde la probabilidad de 8alla del subsistema / es 002 y del subsistema 2 es 005 en ambos circuitos Si los subsistemas 8uncionan independientemente, calcule la con8iabilidad del circuito / y del circuito 2

Observación: considere la con8iabilidad como la probabilidad de que un sistema cualquiera 8uncione sin 8alla en un tiempo supuestamente ya establecido


FACULTAD DE CIENCIAS EXACT. FÍS. Y NATURALES. UNC. CÁTEDRA DE PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA !studio de Caso espus de anali@ar los reclamos de sus clientes, la 8irma Cementera del Centro S.A" est interesada en pro8undi@ar el alcance del estudio, con el ob9eti&o de determinar en qu sector de clientes se producen los reclamos, y su relaci%n con los tipos de reclamos planteados Para relacionar el ori"en del reclamo" (concretamente si tiene que &er con el producto elaborado o con el ser&icio de distribuci%n) con el #destino del $ormi"ón% (es decir el tipo de construcci%n a la que est destinado), se traba9% con reistros !ist%ricos en los cuales se dispon3a de in8ormaci%n clasi8icada de acuerdo a estos dos criterios $l inters de la empresa radica en determinar si el tipo de reclamo es independiente del destino del material, para &eri8icar si e?iste o no la misma percepci%n en todos los sementos de clientes con respecto a las e?pectati&as no satis8ec!as U2: Probabilidad y Variables aleatorias

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as proporciones que suren del anlisis de los datos !ist%ricos son:

Origen Distribución del reclamo Elaboración Total

Vivienda 0,17 0,13 0,3

Destino Pavimento Obras Civiles 0,05 0,22 0,07 0,36 0,12 0,58

Total 0,44 0,56 1

a) $?plicitar todas las probabilidades con9untas b) $?plicitar todas las probabilidades marinales c) +alcular todas las probabilidades condicionadas por destino (columna) d) +alcular todas las probabilidades condicionales por tipo de reclamo (8ila)



Cesol&er el problema inicial y e9ercicios de la uia


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