PROBABILIDAD CONDICIONAL
Una probabilidad condicional es la probabilidad de que ocurra un evento considerando que otro evento ha sucedido. La probabilidad condicional se expresa con P (B\A) y se lee "la probabilidad de B dado A". De igual forma, P (A\B) podría significar "la probabilidad de A dado B"
() )
() )
()
()
(()
() ) , y análogamente (
La noción de probabilidad condicional proporciona la capacidad de reevaluar la idea de probabilidad de un evento cuando se sabe que ocurrió otro evento, es decir, a la luz de una información adicional.
Ejemplo 1: Una encuesta realizada a 600 familias pretende relacionar el número
de hijos con el ingreso mensual en cada una. Por vía telefónica se preguntó a los encuestados por el número de hijos que tienen y por el ingreso económico, medido en miles de pesos, que recibe la familia por concepto del trabajo de sus padres. Los resultados se muestran en la siguiente tabla: Número de hijos
Ingreso
0
1
2
Más de 2
Total
Menos de 400
25
32
14
9
80
401 a 800
40
45
32
21
138
801 a 1.200
35
65
41
27
168
Más de 1.200
65
80
50
19
214
Total
165
222
137
76
600
Al seleccionar una familia, dentro de las que tienen un hijo, ¿cuál es la probabilidad de que tenga ingresos mayores a $1.200.000? Solución
Los eventos relacionados son: A: La familia tiene un hijo. hijo. B: La familia tiene ingresos superiores a $1.200.000 Puesto que, la familia seleccionada debe tener un hijo, el evento A es condición sobre el B, además, ( ) ( )
Por tal razón, ()
() ()
La probabilidad de que la familia tenga ingresos superiores a $1.200.000 dado que tiene un hijo es 0,3604
PROBABILIDAD MARGINAL
Una probabilidad marginal, o también llamada simple, es solamente la probabilidad de que un evento ocurra. PROBABILIDAD CONJUNTA
Una probabilidad conjunta es la probabilidad de que dos sucesos A y B se den simultáneamente. La probabilidad conjunta se define como: ( ) ( )() , o bien ( ) ( )()
Ejemplo 2: Su corredor de bolsa le informa que si el mercado de valores llega al
nivel de 12,500 puntos en enero, existe una probabilidad de 70% de que Tubeless Electronics aumente su valor. Su pronóstico es que solamente existe una posibilidad de 40% de que el promedio del mercado llegue a 12,500 puntos en enero. Calcule la probabilidad de que tanto el mercado de valores llegue a 12,500 puntos como de que aumente el precio de Tubeless Electronics. Solución
Suponiendo que M representa el evento de que el mercado de valores llegue al nivel de 12,500 y que T representa el evento de que Tubeless aumente su valor. Entonces, ( ) ( ) () ()()
Por tanto, solamente hay una posibilidad de 28% de que ambos eventos ocurran.
La probabilidad de un evento de un evento B queda generalmente modificada cuando un evento A ha ocurrido, es decir, la probabilidad del evento B es generalmente diferente de la probabilidad condicional de B, dado A. No obstante, hay casos en que no sucede de esta manera, sino que la probabilidad marginal y
condicional de un evento, son iguales. Si éste es el caso, se dice que los eventos A y B son independientes, así: () ( )
( ) ()
Ejemplo 3: Una cubeta contiene 3 pelotas negras y 7 pelotas verdes. Se saca una
pelota de la cubeta, se reemplaza y se saca una segunda pelota. a. ¿Cuál es la probabilidad de sacar una pelota negra en la primera ocasión? b. ¿Cuál es la probabilidad de sacar dos pelotas verdes? c. ¿Cuál es la probabilidad de sacar una pelota negra en la segunda ocasión si la primera fue verde? Solución
Suponiendo que N representa el evento de sacar una pelota negra y V el evento de sacar una pelota verde. Entonces:
a. () (Ésta es una probabilidad marginal)
b. () .Por tal razón, ( ) () () ()() (Ésta es una probabilidad conjunta de dos eventos independientes) c. () () (Ésta es una probabilidad condicional igual a la marginal debido a que las dos sacadas son eventos independientes).
TEOREMA DE BAYES
El teorema de Bayes se utiliza para incorporar información adicional a medida que se dispone de ella y ayuda a crear probabilidades posteriores o revisadas. Lo anterior, significa que se pueden tomar datos nuevos o recientes y por consiguiente revisar y mejorar los cálculos anteriores de probabilidades de un evento FORMA GENERAL DEL TEOREMA DE BAYES Sean B1, B2,……,Bn, n sucesos mutuamente excluyentes que representan las n posibles causas del resultado del experimento, siendo A el suceso que representa el resultado se tiene que: P(B i \A)=
() ()
()()
∑
()()
Ejemplo 4: En una gasolinera, el 49% de los automóviles usa gasolina regular, el
27% usa gasolina extra y el resto usa gas natural vehicular. El 68% de los automóviles que usa gasolina regular llenan el tanque, mientras el 78% de los que usa gasolina extra llenan el tanque y el 95% de los que usa gas natural vehicular llenan el tanque. a. Si se selecciona al azar un cliente que usa gasolina regular,¿cuál es la probabilidad de que llene el tanque? b. Si se selecciona al azar un cliente que llena el tanque, ¿cuál es la probabilidad de que use gasolina extra? Solución
Sean los eventos: A1, que consiste en que el cliente use gasolina regular. A2, que consiste en que el cliente use gasolina extra. A3, que consiste en que el cliente usa gas natural vehicular. A1, A2, A3 son mutuamente excluyentes y exhaustivos. Sea B el evento que consiste en que el cliente llene el tanque. Se sabe que P(B/A1)= 0,68,P(B/A2)=0,78, P(B/A3)=0,95
a. Si se supone como condición que use gasolina regular, la probabilidad de que llene el tanque es: P(B/A1)= 0,68
Luego la probabilidad de que llena el tanque dado que usa gasolina regular es del 68% b. Por el teorema de Bayes se tiene que: ( )
( )( ) ()( ) ( )( ) ( )( ) ()() ()() ()() ()()
Es decir, la probabilidad de que se llene el tanque es 0,2729, o el 27,29% de los vehículos que les llenan el tanque.
