Guía No. 7: Probabilidad Condicional y Teorema de Bayes – UAN
DEPARTAMENTO DE MATEMATICAS PROBABILIDAD y ESTADÍSTICA Facultades de Ingeniería Electromecánica Electromecánica y Sistemas Sistemas Distancia
TALLER No. 7 PROBABILIDAD CONDICIONAL CONDICIONAL y BAYES I-2011 Profesor: Mg. José Ciro Anzola Caldas. E-mail:
[email protected] 1. PRESENTACIÓN En esta guía encuentra la introducción al concepto de probabilidad en eventos simples, las reglas para el cálculo de eventos compuestos, es decir aquellos que involucran dos o más eventos simples, en las cuales están las reglas multiplicativas, de la probabilidad condicional y el Teorema de Bayes. Para su comprensión y desarrollo operativo se requiere utilizar los conceptos básicos de la teoría de conjuntos y técnicas de conteo.
2. OB OBJE JET TIV IVO OS • Conceptualizar la definición de probabilidad de un evento simple • Definir los eventos a considerar en cada caso • Identificar la regla de cálculo requerida para la solución de las diferentes situaciones y aplicaciones de la probabilidad.
3. MA MARC RCO O TEOR TEORIC ICO O 3.1. PROBABILIDAD CONDICIONAL La probabilidad de ocurrencia de un evento A cuando se conoce que ya ocurrió un evento B se llama probabilidad probabilidad condicional condicional de A dado B y se denota denota P(A|B). Definición 1. 1. Sean A y B eventos de un espacio muestral S. La probabilidad de A dado B, está dada por: (
P A B
)=
(
P A ∩ B
)
( )
P B
,
con
( ) ≠0
P B
Ejemplo 1. Considere el experimento de lanzar dos dados simultáneamente, determine la probabilidad, de que la suma total sea 7, dado que salió un número primo. El espacio muestral tiene 21 elementos que son: 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 2,2 2,3 2,4 2,5 2,6 3,3 3,4 3,5 3,6 4,4 4,5 4,6 5,5 5,6 6,6 Sea A el evento de obtener suma total 7 y B el evento de obtener un número primo 1
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P(AnB)=3/21 P(B)=14/21 3 P ( A B )
=
P ( A ∩ B ) P ( B )
21 14
=
=
3 14
21
Definición 2. A y B son eventos independientes si: 3.2.
(
P A B
) = P ( A) y
(
)
( )
P B A = P B
REGLA MULTIPLICATIVA
Hace referencia a la probabilidad de la intersección de dos eventos Definición 1. Sean A y B eventos de un espacio muestral S. La probabilidad de A intersección B, esta dada por: (
P A ∩ B
) = P ( A B ) • P ( B )
Teorema 1. Si A y B son independientes, entonces:
(
P A ∩ B
o
(
P A ∩ B
) = P ( B
) • P ( A)
A
) = P ( A) • P ( B )
Ejemplo 1. Consideremos el experimento de extraer cartas de una baraja ¿Cuál es la probabilidad de extraer dos reyes . a) sin devolver la 1ª carta b) con devolución. Solución: a) R1 : “conseguir rey en la 1ª extracción” b) R2 : “ conseguir rey en la 2ª extracción” a)
P(R1∩R2) = P(R1) P(R2/R1) = 4/40 · 3/39
b)
P(R1∩R2) = P(R1) P(R2) = 4/40 · 4/40
Ejemplo 2. De acuerdo con una encuesta, la probabilidad de que una familia posea dos automóviles si su ingreso anual es mayor que $35.000.000 es 0.75. De los hogares encuestados, 60% tenían ingresos mayores que $35.000.000 y 52% tenía dos autos. Cuál es la probabilidad de que una familia tenga dos autos y un ingreso mayor que $35.000.000 al año? Sea A el evento de poseer dos autos y B el evento de tener ingresos anuales mayores que $35.000.000 P(A|B)=0.75
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P(A) = 0.52 P(B) = 0.60 Luego:
(
)
P A ∩ B =
3.3.
(0.75) (0.60) = 0.45
TEOREMA DE LA PROBABILIDAD TOTAL
Sea B1, B2,…,Bn, los eventos de una partición de un experimento de espacio muestral “S”, tal que la probabilidad de cada uno de ellos es diferente de de cero, entonces para cualquier evento A, de “S” tenemos: k
k
P ( A) = ∑ P ( Bi ∩ A) = ∑ P ( Bi ) ⋅ P ( A i =1
Bi
)
i =1
Demostración:
(
A = A ∩ E = A ∩ B1
∪ B2 ∪ ... ∪ Bn
) = ( A ∩ B1 ) ∪ ( A ∩ B2 ) ∪ ... ∪ ( A ∩ Bn )
Entonces: k
k
= ∑ P ( Bi ∩ A) = ∑ P ( Bi ) ⋅ P ( A
P ( A)
i =1
3.4.
Bi )
i =1
TEOREMA DE BAYES
Si los eventos B 1, B2,…,Bk, constituyen una partición del espacio muestral “S”, donde P ( Bi ) ≠ 0 , para i = 1, 2,…, k , entonces para cualquier evento A en “S” tal que P ( A) ≠ 0 ,
(
)=
(
P Br
P Br A
∩ A)
=
k
∑=
(
P Bi
i
∩ A)
(
P Br
) ⋅ P ( A Br )
k
∑=
, para
r
= 1,2,..., k
( ) ⋅ P ( A Bi )
P Bi
i
1
1
Demostración:
(
P B r A
)=
(
P B r
∩ A
)
( )
P A
Usando el Teorema anterior (3.3. Probabilidad Total) en el denominador, tenemos:
(
(
P Br
)=
P Br A
∩ A)
k
∑=
(
P Bi
i
∩ A)
1
Aplicando el Teorema anterior (3.2. regla de la multiplicación) al numerador y denominador, tenemos: P ( Br ) ⋅ P ( A Br ) P ( Br A) = k P ( Bi ) ⋅ P ( A Bi )
∑= i
1
1
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Ejemplo: Se tienen dos urnas, la “M” tiene 3 bolas blancas y 2 negras, la “N” tiene 2 bolas blancas y 3 negras. Se elige una urna al azar y de ella se extrae una bola. Calcular la probabilidad de que sea blanca. Sea: A1: “elegir la urna M” A2: “elegir la urna N” B : “extraer bola blanca” P(B) = P(M) · P(B/M) + P(N) · P(B/N) = 1/2 · 3/5 + 1/2 · 2/5 = 1/2 Aplicando el Teorema de Bayes:
1 ⋅ 3 P ( M ) ⋅ P ( B M ) 3 2 5 = = P ( M B ) = P ( M ) ⋅ P ( B M ) + P ( N ) ⋅ P ( N ) 1 ⋅ 3 + 1 ⋅ 2 5 2 5 2 5 3.5. 3.5.1.
TABLAS DE DOBLE ENTRADA Y DIAGRAMAS DE ARBOL TABLAS DE DOBLE ENTRADA.
Presenta variables que surgen cuando se estudian dos características asociadas a la observación de un fenómeno o suceso. Son tablas de datos referentes a dos variables, formada, en las cabeceras de las filas, por las categorías o valores de una variable y en las de las columnas por los de la otra, y en las casillas de la tabla, por las frecuencias o numero de elementos que reúnen a la vez las dos categorías o valores de las dos variables que se cruzan en cada casilla (o probabilidades compuestas).También llamadas tablas de contingencias (variables cualitativas, principalmente).
Y
y1
X
x1 n11 n Donde: x n n 2 21 22 n : Número de individuos que presentan la modalidad Xi de la variable X y la modalidad Yj de la ij
variable Y. (Compuesta o intersección) … … ni* : Número de individuos que presentan la modalidad Xi . (Marginal)
xs
ns1
ns2
…
…
nk1 n*1
nk2 n*2
n*j : Número de individuos que presentan la modalidad Yj . (Marginal) n : Número de individuos de la población …o muestra.
xk
1
…
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Las distribuciones marginales de las variables estadísticas X, e, Y se obtienen a partir de la tabla de doble entrada considerando una sola variable. Representan las frecuencias de los valores de una variable independientemente de los valores de la otra. 3.5.1.1.
Utilidad
Para representar variables estadísticas bidimensionales, esto es brindan información estadística de dos eventos relacionados entre sí. Es útil en casos en los cuales los experimentos son dependientes de otro experimento. Cuando el número de "parejas" de valores (x,y) es numeroso y además muchos de ellos aparecen repetidos. Cuando se quiere calcular la probabilidad de sucesos de experimentos compuestos, estos están representados al interior de cada casilla.
Ejemplo1: Se representa por X el número de hijos de 100 familias y por Y el número de hijas
Información Origi Nro de hijas (
1 (F) La lectura de esta tabla es sencilla. Por ejemplo: habría 31 familias que tendrían un hijo, 38 que Nro de1 hijo hijos (X)tendrían 3 hijos y 3 hijas. tendrían 2 hijas, 11 familias que tendrían y 2 hijas y 2 familias (A) 0 19 3.5.2. DIAGRAMAS DE ÁRBOL (B) 1 16 El Diagrama de Árbol, o sistemático, es una técnica que permite obtener una visión de conjunto de los medios necesarios para alcanzar una meta o resolver un problema. Esto es, un (C) 2 7 diagrama de árbol es una representación gráfica de un experimento que consta de “r” pasos, donde cada uno de los pasos tiene un número finito de maneras de llevarse a cabo. (D) 3 5 3.5.2.1. Utilidad DescomponerSub cualquier meta general, de modo gráfico, en fases u objetivos concretos. Total 47 Determinar acciones detalladas para alcanzar un objetivo.
Visualizar las probabilidades condicional y conjunta y en particular para el análisis de decisiones administrativas que involucran varias etapas. En el cálculo de probabilidades de sucesos de experimentos compuestos, las ramas indican las distintas posibilidades de ocurrencia.
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Ejemplo 1: Un médico general clasifica a sus pacientes de acuerdo a: su genero: masculino (H) o femenino(M), tipo de sangre: A, B, AB u O y en cuanto a la presión sanguínea: Normal (N), Alta (A)o Baja (B).
Si contamos todas las ramas terminales, nos damos cuenta que el número de clasificaciones son 2 x 4 x 3 = 24 que igualmente se podrían enumerar (H,A,N); (H,A,A); (H,A,B); (H,B,N), (H,B,A); (H,B,B); . . . ; (M,O,B). 3.6.
DEPENDENCIA ESTADÍSTICA
Las variables (o eventos) X, e, Y son independientes si el valor de una variable no influye en el valor de la otra, lo que significa que las distribuciones condicionadas relativas coinciden. 3.7.
PROBABILIDAD CONDICIONAL Y DIAGRAMAS DE ÁRBOL
Un evento B es dependiente de otro A, si para que ocurra B es necesario que ocurra el evento A. Un instrumento útil dentro de la probabilidad condicional son las representaciones que nos permiten analizar la problemática de los eventos cuando estos ocurren uno después del otro. Concretamente estamos hablando de las tablas de doble entrada y de los diagramas de árbol. Este último está constituido de varias ramas, cada rama parte de un nodo que representa un evento aleatorio diferente. Cada evento forma un universo, por lo que cada rama, de acuerdo con el axioma de normalizabilidad, tendrá que ser igual a uno.
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3.7.1. TABLAS DE CONTINGENCIA Y DIAGRAMAS DE ÁRBOL. En los problemas de probabilidad y en especial en los de probabilidad condicionada, resulta interesante y práctico organizar la información en una tabla de contingencia o en un diagrama de árbol. Las tablas de contingencia y los diagramas de árbol están íntimamente relacionados, dado uno de ellos podemos construir el otro. Unas veces, los datos del problema permiten construir fácilmente uno de ellos y a partir de él podemos construir el otro, que nos ayudará en la resolución del problema. 3.7.1.1.
Conversión de una Tabla en Diagrama de Arbol
Las tablas de doble entrada (o de contingencia) están referidas a dos características que presentan cada una dos o más sucesos.
a
En el caso de los sucesos A, Ā, B y B , expresados en frecuencias absolutas, relativas o probabilidades la tabla, adopta la forma del diagrama de árbol del dibujo. En éste, cada uno de los sucesos A y Ā se les ha asociado los sucesos B y B .
Sobre las ramas del diagrama de árbol se han anotado las probabilidades condicionales correspondientes, deducidas de las relaciones análogas a:
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3.7.1.2.
Conversión de un diagrama de árbol en tabla de doble entrada o de contingencia
De manera recíproca, dado el diagrama de árbol podemos construir la tabla de contingencia equivalente si más que utilizar la expresión: P( B∩A ) = P( B/A ) · P( A ), para calcular las probabilidades compuestas (de las intersecciones) de sucesos que forman la tabla.
ES TR UCTURA TABLA DE D
Y T
Para el Ejemplo 1, se tienen la siguientes representaciones:
Información Origi Nro de hijas (
1 (F)
2 (G)
Nro de hijos (X) Tabla de probabii (A) 0 19 18 Probab ilidad es Co m pu estas Nro de hijas ( (B) 1 16 11 1 2 (C) 2 7 6 (F) (G) Condicionales: (D) 3 5 3 (A) 0 0,19 0,1 Sub Total 47 38 (B) 1 1 0,16 0,1
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Es importante resaltar, que el diagrama de árbol se construyo, partiendo de los eventos inherentes a la variable X (número de hijos) y tanto las probabilidades marginales como compuestas son exactamente las mismas para ambos diagramas. Igualmente el árbol puede diseñarse partiendo de los eventos que conforman la variable Y (número de hijas), hecho que varia las probabilidades marginales y condicionales, más no las compuestas. La elección de la variable (o sucesos) que atiende la primera rama (marginal) depende de los objetivos que se persigan en el análisis y/o toma de decisiones.
4. ACTIVIDADES 1. Suponiendo que la riqueza es independiente del género, calcular: Adinerado (a) Hombre Mujer Total
Pobre
Total 0,607 0,393
0,002
a) Las probabilidades que faltan en la tabla. b) La probabilidad de que sabiendo que una persona no es pobre que sea hombre. c) La probabilidad de que una persona sea adinerada o mujer. d) Si e hombre que sea pobre. 2. En una pequeña ciudad hay dos bibliotecas. En la primera, el 50% de los libros están relacionados con medicina, mientras que, en la segunda lo son el 70%. Un lector elige al azar una biblioteca siguiendo un método que implica que la probabilidad de elegir la primera biblioteca es el triple que la de elegir la segunda. Una vez llega a la biblioteca seleccionada, elige al azar un libro, relacionado o no con medicina.
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a) Sabiendo que acudido a la primera biblioteca, obtener la probabilidad de que no haya seleccionado uno relacionado con medicina. b) Sabiendo que acudido a la primera biblioteca, obtener la probabilidad de que haya seleccionado uno relacionado con medicina. c) Sabiendo que acudido a la segunda biblioteca, obtener la probabilidad de que haya seleccionado uno relacionado con medicina. d) Calcular la probabilidad de que elija un libro relacionado con medicina. 3. La siguiente tabla resume los resultados de un estudio que analiza la efectividad de los cascos de seguridad para ciclistas, para prevenir lesiones en la cabeza en caso de accidentes. Los datos consisten en una muestra aleatoria de 793 individuos que sufrieron un accidente en bicicleta durante un periodo del año específico:
a) ¿Qué porcentaje de ciclistas sufrieron lesiones en la cabeza? b) ¿Qué porcentaje de ciclistas no usa el casco? c) Si se elige un ciclista al azar, ¿cual es la probabilidad de que no use el casco y tampoco haya sufrido lesiones en la cabeza? d) Si se selecciona al azar un ciclista que ha sufrido lesiones en la cabeza, ¿Cuál es la probabilidad de que no llevase puesto el casco? e) Si se selecciona al azar un ciclista que usa el casco, ¿Cuál es la probabilidad de que no haya sufrido lesiones en la cabeza?
SI NO Total
17 130 147
4. Considere los siguientes datos, tomados de un estudio que analiza la exactitud de los certificados de defunción. En dos hospitales se compararon los resultados de 575 autopsias con las causas de muerte anotadas en los certificados. Uno de los hospitales que participo en el estudio era regional, al cual denominaremos A; el otro era un hospital universitario, al cual notaremos por B.
Est E a. Representar la misma tabla, reemplazando los valores absolutos por sus respectivas probabilidades calculadas. b) Representar los datos, en términos probabilísticos en un diagrama de árbol, graficando en la primera rama, la clasificación del hospital (Regional o universitario). c) ¿De cual hospital regional o universitario, se analizo el mayor número de certificados autopsias para el estudio? d) ¿Cuál es el nivel de exactitud confirmada de los certificados de defunción? e) Si se esta analizando un certificado del hospital regional, ¿Cuál es la probabilidad de que coincida exactamente la causa de muerte anotada en el certificado con los resultados arrojados en la autopsia? f) Si se selecciona un certificado al azar ¿Cuál es la probabilidad de que se encuentre inexacto sin cambio alguno y que sea del hospital universitario?
A B Total 1
157 268 425
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g) Que porcentaje de certificados no están en estado de “exactitud conformada” 5. Se efectuó un estudio sobre enfermedades respiratorias durante el primer año de vida. Como parte de este estudio, se clasifico un grupo de niños de acuerdo a su nivel socioeconómico., obteniéndose los siguientes resultados: Nivel socioeconómico Bajo Medio Alto Total
Número de varones 79 122 192 393
Número de varones con síntomas 31 29 27 87
a) Calcular la probabilidad de padecer los síntomas respiratorios persistentes en cada nivel socioeconómico. b) Calcule las posibilidades de experimentar síntomas respiratorios persistentes tanto para los grupos del nivel socioeconómico medio y bajo como también del grupo del nivel socioeconómico alto. c) Existe alguna asociación entre el nivel socioeconómico y los síntomas respiratorios?. Justifique su respuesta. 6. Un grupo de 30 personas, con enfermedades diversas, son sometidas a un programa de ejercicios diarios. Las personas que tuvieron disposición a ser apoyadas con el programa se clasifican de la siguiente forma: 10 diabéticos, 12 hipertensos y el resto con problemas diversos. Por otro lado, se observó que después de 1 mes el 13 % de los diabéticos sometidos al programa tuvieron resultados notables, 35% de las personas con hipertensión tuvieron mejorías y del resto de las diversas enfermedades, el 15% tuvieron resultados favorables. Al término del programa se elige un paciente al azar a fin de preguntar sobre la visión del programa. a) Represente la investigación en un diagrama de árbol, en términos absolutos. b) Represente la investigación en una tabla cruzada, en términos absolutos. c) Represente la investigación en un diagrama de árbol, en términos probabilísticos. d) Represente la investigación en una tabla cruzada, en términos probabilísticos. e).- ¿Cuál es la probabilidad de elegir un paciente que haya respondido al programa? f).- ¿Cuál es la probabilidad que uno de los entrevistados además de ser uno de los que mejor respondió sea de diabético? 7. En el planeta Zxy se pueden encontrar varias clases de animales, llamemos a estas clases Wurros, Hobexas y Wackas. Todos tienen un tamaño muy pequeño, y sus pieles son o bien escamosas o bien están cubiertas de suave pelo. Además, una observación atenta ha permitido deducir lo siguiente: Todos los Wurros tienen 5 ó 6 patas. Su color es rojizo, y tienen la piel peluda y suave. El número de patas de las Hobexas es un entero que varía uniformemente entre 4 y 6, ambos inclusive. Su piel es escamosa. En cuanto a las Wackas, tienen 4 ó 5 patas, y ofrecen a la vista una tonalidad casi siempre azulada, pero a veces (28% de los casos) rojiza. Los animales que tienen un número impar de patas cojean siempre. Los animales que tienen un número par de patas cojean sólo cuando tienen alguna anomalía (malformación
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congénita, heridas, etc.), lo cual ocurre en el 19% de los casos para los animales de 4 patas, y en el 35% para los de seis. a) Plantear el problema de la clasificación de animales de Zxy mediante un diagrama de árbol. b) Vemos un bicho rojizo que cojea. ¿Cómo lo clasificamos? c) Las Hobexas y Wackas son confiadas e inofensivas. La escamosa piel de las Hobexas es muy apreciada, por lo que cada piel se vende por 6000 euros. La piel de las Wackas se vende por 4000 euros. Los Wurros no solamente son imposibles de capturar, sino que se defienden a coces, causando daños por valor de 1000 euros. ¿Vale la pena intentar capturar al animal avistado? 8. La tabla corresponde a 1000 estudiantes universitarios clasificados de acuerdo con los puntajes que obtuvieron en un examen de admisión a la universidad. También muestra la calidad de los colegios en donde se graduaron según la clasificación que hizo un grupo de educadores. PUNTAJE BAJO (B) MEDIO (M) ALTO (A) TOTAL
CLASE DE COLEGIO INFERIOR REGULAR SUPERIOR (P) (R) (S) 100 50 50 75 175 150 25 75 300 200 300 500
TOTAL 200 400 400 1000
(a) Calcular la probabilidad de que un estudiante escogido al azar (1) haya obtenido un puntaje bajo en el examen. (2) se haya graduado en un colegio de nivel superior, (3) haya obtenido un puntaje bajo en el examen y se haya graduado de un colegio de nivel superior, (4) haya obtenido un puntaje bajo en el examen, dado que se haya graduado en un colegio de nivel superior, (5) haya obtenido un puntaje alto en el examen o se haya graduado en un colegio de nivel superior. (b) Calcular las siguientes probabilidades: (1) P(A)
(2) P (H)
(3) P (M)
(4) P(A | H)
(5) P (M∩P)
(6) P (H | S)
9. La siguiente tabla muestra el resultado de 500 entrevistas hechas durante una encuesta cuyo objeto era analizar las opiniones de los residentes de cierta ciudad acerca de la Ley de despenalización del aborto. Los datos también se clasificaron según el sector de la ciudad donde se aplicó el cuestionario. (a) Se selecciona un cuestionario al azar entre los 500. ¿Cuál es la probabilidad (1) ¿de que sea contestado el cuestionario? (2) ¿de que la persona a quien iba dirigida la encuesta no esté en su casa? ¿de que se rehúse a contestar? (3) ¿de que viva en el sector ¿Norte?, ¿Centro?, ¿Sur? ¿Occidente? (4) ¿de que conteste el cuestionario, dado que vive en el sector Centro? (5) ¿de que la persona encuestada rehúse contestar el cuestionario o viva en el sector occidente? SECTOR DE LA CIUDAD NORTE (A) CENTRO (B) SUR (C)
RESULTADO DE LA ENTREVISTA CONTESTÓ NO ESTABA REHUSÓ (C) EN CASA (N) CONTESTAR (R) 100 25 5 115 5 5 50 60 15 1
TOTAL 125 125 125
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OCCIDENTE (D) TOTAL
35
50
40
125
300
135
65
500
(b) Calcular las siguientes probabilidades: 1 P(A∩R) . 4 P(N . D)
2 . 5 .
P(B∪C ) P(B R)
3 . 6 .
P(D´) P(C)
10. Una empresa de trabajo temporal ha realizado un amplio estudio sobre los tipos de empleo solicitados por los estudiantes de Bachiller, Formación Profesional y Universitarios. El informe clasifica estos solicitantes de empleo como cualificados o no para los trabajos que solicitan, y de los datos que contiene se desprende que sólo el 25% estaban cualificados para el trabajo que solicitaban, de los cuales, un 20% eran estudiantes universitarios, un 30% estudiaban Formación Profesional y un 50% Bachillerato. La situación entre los no cualificados es diferente: un 40% de ellos era estudiante universitario, otro 40% estudiaban Formación Profesional y sólo un 20% se encontraba en Bachillerato. 1 2 3
a. ¿Qué porcentaje de estos estudiantes se encontraban en Bachillerato y estaban cualificados para los empleos que solicitaban? b. ¿Cuál es la probabilidad de que uno de estos estudiantes que solicitaba empleo estudiara Formación Profesional? c. Entre los estudiantes universitarios que solicitaron empleo, ¿qué porcentaje no estaba cualificado para los puestos de trabajo que solicitaban? 11. En un sistema de alarma, la probabilidad de que esta funcione habiendo peligro es 0.95 y la de que funcione por error sin haber peligro es 0.03. Si la probabilidad de haber peligro es 0.1:
1 2 3 4
a. Calcular el porcentaje de veces que habiendo funcionado la alarma no haya peligro. b. Hallar la probabilidad de que haya peligro y la alarma no funcione. c. Calcular la probabilidad de que no habiendo funcionado la alarma haya peligro. d. ¿Cuál es la probabilidad de que la alarma funcione? 12. Considere una fábrica de botellas que cuenta con dos máquinas para producir sus botellas.
En esa fábrica se producen 10000 botellas al día. La máquina A produce 6500 botellas diarias de las cuales el 2% son defectuosas. La máquina B produce 3500 botellas cada día de las cuales el 1% son defectuosas. El inspector de la compañía selecciona una botella al azar y encuentra que está defectuosa. ¿Cuál es la probabilidad de que la máquina haya sido producida por la máquina A? 13. Tomado de: Levin-Rubin (2004, página 163). Un grupo de interés público está planeando
impugnar las primas de seguro de automóviles en una de estas tres ciudades: Atlanta, Baltimore o Cleveland. La probabilidad de que se escoja Atlanta es de 0,40; Baltimore 0,35 y Cleveland 0,25. El grupo sabe también que tiene una posibilidad de 60% de recibir un dictamen a su favor si escogen Baltimore, de 45% si eligen Atlanta y de 35% si se deciden por Cleveland. Si el grupo ha recibido un dictamen favorable, ¿Qué ciudad es más probable que hayan escogido? 14. Tomado de: Levin-Rubin (2004, página 163). Martin Coleman, gerente del departamento
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de crédito de Beck´s, sabe que la compañía utiliza tres métodos para conminar a pagar a los clientes morosos. De los datos que se tienen registrados, él sabe que 70% de los deudores son visitados personalmente, 20% se les sugiere que paguen vía telefónica y al restante 10% se les envía una carta. Las probabilidades de recibir algún pago como consecuencia de tres métodos son 0,75, 0,60 y 0,65 respectivamente. El señor Coleman acaba de recibir el pago de una de las cuentas vencidas. ¿Cuál es la probabilidad de que la petición de pago se haya hecho: a. Personalmente? b. Por teléfono? c. Por correo?
5. BIBILIOGRAFÍA. 1. Walpole, Myers, Myers. Probabilidad y estadística para ingenieros. Prentice Hall, Octava ediciòn 2. Montgomery y Runger. Probabilidad y estadística aplicadas a la ingeniería. Segunda edición Mc Graw Hill 3. Devore, Jay . Probabilidad y estadistica para ingenieria y ciencias Quinta ediciòn ,Thonson Learning 4. Spiegel, Estadistica , Mc Graw Hill 5. Canavos, Probabilidad y estadistica, aplicaciones y mètodos, Mc Graw Hill 6. Millar I, Freid J, probabilidad y estadistica para ingenieros 7. Meyer Paul, Probabilidad y estadistica, Limusa 6. CIBERGRAFÍA. http://dieumsnh.qfb.umich.mx/http://dieumsnh.qfb.umich.mx/ ..\matematicas/Default.htm ..\matemat icas/Default.htm ..\AU/Adigital.htm..\AU/Adigital.htm http://148.216.10.83/docunature/http://148.21 6.10.83/docunature/ www.fundibeq.org http://carmesimatematic.webcindario.com/http://carmesimatematic.webcindario.com/
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