Probabilidad condicional, eventos independientes, probabilidad total. Teorema de Bayes Bayes..
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Al finalizar la sesión el estudiante aplica la teoría de
probabilidades para analizar y expresar las incertidumbres de un evento y el entorno.
Regla de la Multiplicación… Si dos eventos A y B son independien independientes tes ( la la ocurrencia de B
no afecta la probabilidad probabilidad de ocurrencia o currencia de A). Es decir: de cir: P(A|B) = P(A) Su probabilidad conjunta es: P(A y B) = P(A ∩ B) = P(A) * P(B). Si dos eventos A y B no son independien independientes tes ( la la ocurrencia
de B afecta la probabilidad de ocurrencia de A). Surge el concep concepto to de Probabilidad Condicional…
Probabilidad condicional Probabilidad condicional es la probabilidad de que
ocurra un evento en particular, dado que ocurrió otro evento. P ( A B ) P ( B | A) P ( A) P(B|A). Se lee: La probabilidad de que ocurra el evento B dado que ya ocurrió A. P(A|B). Se lee: La probabilidad de que ocurra el evento A dado que ya ocurrió B.
Regla general de multiplicación
La probabilidad conjunta que ambos ocurran se encuentra multiplicando la probabilidad de A por la probabilidad condicional de B dado que A ocurrió.
P(A y B) = P(A ∩ B) = P(A) * P(B|A)
EJEMPLO 1 Ripley posee dos inventarios independientes uno de otro. La
probabilidad de que el inventario A aumente su valor el próximo año es 0.5, mientras que la probabilidad de que el B aumente el suyo es 0.7. ¿Cuál es la probabilidad de que ambos aumenten su valor el próximo año? ¿Cuál es la probabilidad de que al menos uno aumente su valor el próximo año (esto implica que cualquiera de los dos o ambos aumenten)? P(A y B) = (0.5)(0.7) = 0.35. Así, P(al menos uno) = (0.5)(0.3)+(0.5)(0.7)+(0.7)(0.5)= 0.85.
Caso 1 El Superintendente de la SBS analizaba la siguiente información sobre una muestra de ahorristas: GENERO
¿ Si se elige un ahorrista al azar, cuál es la probabilidad de que sea mujer y ahorre en el BCP? P(M y B) = 110 / 900 = 0.122 ¿Sí se sabe que el ahorrista es mujer, cuál es la probabilidad que ahorre BCP?
Banco
Hombre
Mujer
Total
BCP
170
110
280
Interbank
120
100
220
Scotiabank
60
70
130
Financiero
150
120
270
Total
500
400
900
P(HyF)=
•
P(C/M) = 110 / 400 = 0.275 ¿Sí se sabe que el ahorrista pertenece al BCP, que tan bable jer?
P(H/F)=
•
P(F/H)=
•
P(HoF)=
•
Diagrama de árbol Un diagrama de árbol (o arborigrama) es una representación gráfica muy útil para visualizar las probabilidades condicional y conjunta y en particular para el análisis de decisiones administrativas que involucran varias etapas. Donde cada segmento en el árbol es una etapa del problema. Nodo inicial. Puede o no representar un evento. Nodos finales o terminales. Son el número de alternativas. Ramas. Une a dos nodos
EJEMPLO 02 Una bolsa contiene 7 fichas rojas (R) y 5 azules (B), se escogen 2 fichas, una después de la otra sin reemplazo. Construya el diagrama de árbol con esta información. Definiendo a los posibles eventos como: R1: Primera ficha elegida es de color rojo. B1: Primera ficha elegida es de color azul. R2: Segunda ficha elegida es de color rojo. B2: Segunda ficha elegida es de color azul.
EJEMPLO 02
continuación
6/11 7/12
R1 5/11 7/11
5/12
R2
B2 R2
B1 4/11
B2
PROBABILIDAD A PRIORI Es la probabilidad inicial con base en el nivel actual de información. PROBABILIDAD A POSTERIORI Es una probabilidad revisada con base en información adicional. EJEMPLO: El parte meteorológico ha anunciado tres posibilidades para el fin de semana: a.Que llueva: probabilidad del 50%. b.Que nieve: probabilidad del 30% c.Que haya niebla : probabilidad del 20%.
Según estos posibles estados meteorológicos, la posibilidad de que ocurra un accidente es la siguiente: a.Si llueve: probabilidad de accidente del 20% b.Si nieva: probabilidad de accidente del 10% Si hay niebla: probabilidad de accidente del 5%.
Resulta que efectivamente ocurre un accidente y como no estábamos en la ciudad no sabemos que tiempo hizo (llovió, nevó o hubo niebla). Las probabilidades que manejamos antes de conocer que ha ocurrido un accidente se denominan "probabilidades a priori" (lluvia con el 50%, nieve con el 30% y niebla con el 20%). Una vez que incorporamos la información de que ha ocurrido un accidente, las probabilidades del suceso A cambian: son probabilidades condicionadas P (A/B), que se denominan "probabilidades a posteriori”
Teorema de Bayes
El teorema de Bayes se representa con la fórmula:
P ( A1 | B )
P ( A1) * P ( B | A1) P ( A1) * P ( B | A1) P ( A2) * P ( B | A2)
Probabilidad Total
La compañía Backus ha recibido varias quejas debido al bajo contenido de sus botellas. Una queja fue recibida hoy, el gerente de Producción no puede identificar la fuente (Motupe, Pucallpa o Lima) de la botella. Sí sabemos que:
% de producción total
% botellas falladas (contenido inadecuado)
Motupe
55
3
Pucallpa
25
5
Lima
20
4
¿Cuál es la probabilidad de que: a)
La botella fallada haya salido de la planta de Motupe. (La botella sea de Motupe si sé que estaba fallada: P(M/F).)
b)
Una botella sea de Motupe y esté en buen estado: P(MyB).
c)
Una botella esté en buen estado si sé que era Motupe: P(B/M).
d)
Una botella esté fallada: P(F).
Diagrama de árbol
Defina eventos. Elabore un Diagrama del árbol.
a)
La botella fallada haya salido de la planta de Motupe. (La botella sea de Motupe si sé que estaba fallada: P(M/F).)
Una botella sea de Motupe y esté en buen estado: P(MyB). Definiendob) Eventos M = Motupe c) Una botella esté en buen estado si sé que era Motupe: P(B/M). P = Pucallpa Una botella esté fallada: P(F). L= Lima d) B = Buen estado e) Una botella sea de Lima si sé que estaba buen estado: P(L/B). F = Fallada P(MF)= P(MyF) = P(M ∩F)= P(M)*P(F/M) F =(0.55)(0.03)=0.0165
M
P(MB)= P(MyB) = P(M ∩B)= P(M)*P(B/M) =(0.55)(0.97)=0.5335 B
F P(P) =
P(PF)= P(PyF) = P(P ∩F)= P(P)*P(F/P) =(0.25)(0.05)=0.0125
0.25 P
L
B
P(PB)= P(PyB) = P(P∩B)= P(P)*P(B/P) =(0.25)(0.95)=0.2375
F
P(LF)= P(LyF) = P(L∩F)= P(L)*P(F/L) =(0.2)(0.04)=0.008
P(LB)= P(LyB) = P(L ∩B)= P(L)*P(B/L) =(0.2)(0.96)=0.192
Teorema de Bayes Revisión de Probabilidades
Posibilidades a priori
Información Nueva
P ( B | A)
Teorema de Bayes
P ( B A) P ( A)
Posibilidades posteriores
Ejemplo 03 En un pueblo alejado, 5% de la población padece una enfermedad
originaria de dicho lugar. A priori podemos afirmar que la probabilidad de que una persona seleccionada al azar padezca la enfermedad es 5%, y de que no la padezca es 95%. Existe una prueba de diagnóstico para detectar la enfermedad. Si una persona tiene la enfermedad, la prueba sale positiva en 90% de los
casos. La estadística muestra además que en 15% de los casos, a pesar de que la persona no padecía la enfermedad, la prueba salió positiva.
Si escogemos a una persona, y al hacerle la prueba de diagnóstico,
ésta sale positiva, ¿Cuál es la probabilidad de que la persona tenga realmente la enfermedad?
P(E,P)=0.05x0.90=0.0450
P(P|E)
P(E) P(E,N)=0.05x0.10=0.0050
0.0450 + 0.1425
P(N|E) 0.1875
P(P|noE) P(noE,P)=0.95x0.15=0.1425
P(no E)
P(noE,N)=0.95x0.85=0.8075
P(N|noE)
P ( E | P )
P ( E , P )
0.0450
0.24
Tabla de Contingencia
Evento Evento
B1
B2
Total
A1
P(A1 y B1)
P(A1 y B2)
P(A1)
A2
P(A2 y B1)
P(A2 y B2)
P(A2)
Total Probabilidad Conjunta
P(B1)
P(B2)
1
Probabilidad Marginal (Simple)
Caso de la Baraja de Naipes.. Color Tipo
Rojo
Negro
Total
2
2
4
No As
24
24
48
Total
26
26
52
As
Color Tipo
Rojo
Negro
Total
As
1/26
1/26
2/26
No As
6/13
6/13
12/13
Total
13/26
13/26
26/26
Caso de producción Evento A: Artículos en idioma español B: Artículos en idioma inglés. C: Artículos sobre estrategia. D: Artículos sobre gestión.
Evento C
D
Total
A
4
2
6
B
1
3
4
Total
5
5
10
¿Cuál es la Probabilidad de escoger un artículo? P (A) = P (D) = P (C y B) = P (A o D) = P (B y D) =
Solución Las probabilidades son: P (A) = 6/10
P (D) = 5/10
Evento
C
D
Total
P (C y B) = 1/10
A
4
2
6
P (A o D) = 9/10
B
1
3
4
P (B y D) = 3/10
Total
5
5
10
Evento
Además… ¿Cuál es la probabilidad? P (A|D) = P (C|B) = Son C y B independientes?
Evento
Evento
C
D
Total
A
4
2
6
B
1
3
4
Total
5
5
10
A: Artículos en idioma español B: Artículos en idioma inglés. C: Artículos sobre estrategia. D: Artículos sobre gestión.
Evento
Evento C D
Total
A
4
2
6
B
1
3
4
Total
5
5
10
2 P(A y D) 10 2 P(A | D) 5 P(D) 5 10 1 P(C y B) 10 1 P(C | B) 4 P(B) 4 10 5 1 6 2 P(C) P(A) 10 4 10 5
Tipos de Probabilidades Tipos de Probabilidad
Símbolo
Condiciones de Independencia Estadística
Marginal
P(A)
P(A)
Conjunta
P ( A,B )
P ( A ) x P (B)
Condicional
P ( A|B )
P(A)
Condiciones de Dependencia Estadística
P (ABi)
P (A | B) x P (B ) P (A,B) / P ( B )
Ejemplo 04
Una manufacturera recibe embarques de piezas de dos
proveedores. El 65% de las piezas adquiridas provienen del proveedor 1 y el 35% restante del proveedor 2. Según la estadística existente, de las 100 últimas piezas recibidas del proveedor 1, 98 estuvieron buenas y 2 estuvieron malas. En el caso del proveedor 2, 95 piezas de 100 estuvieron buenas y 5 fueron malas. Suponga que una de las piezas recibidas de los dos proveedores está mala, ¿cuál es la probabilidad que provenga del proveedor 1? ¿Cuál es la probabilidad que provenga del proveedor 2?
P(1,B)=0.65x0.98=0.6370
P(B|1)
P(1) P(1,M)=0.65x0.02=0.0130 P(M|1)
P(B|2)
0.0130 + 0.0175
P(2,B)=0.35x0.95=0.3325
0.0305
P(2)
P(M|2)
P (1 | M )
P (1, M ) P ( M )
0.0130 0.0305
0.4262
P(2,M)=0.35x0.05=0.0175
P ( 2 | M )
P (2, M ) P ( M )
0.0175 0.0305
0.5738
Tabla de Excel Pr. Marginal Pr. Condicional Pr. Conjunta Eve nto P(Eve nto) P(Ma la |Eve nto) P(Eve nto,Ma la ) Proveedor 1 0.65 0.02 0.0130 P(1,Mala) Proveedor 2 0.35 0.05 0.0175 P(2,Mala) 0.0305 P(Mala) P(1|M)
0.4262
P(2|M)
0.5738
P (1 | M )
P (1, M ) P ( M )
P (2 | M )
P (2, M ) P ( M )
Ejemplo 05
En una fábrica existe una máquina que produce automáticamente
engranajes. Si la máquina está correctamente calibrada producirá 90% de piezas buenas. Si está mal calibrada producirá sólo 40% de piezas buenas. La experiencia pasada indica que el 70% de los trabajos de calibración dan buenos resultados. Luego de un trabajo de mantenimiento, la máquina produce 3 engranajes buenos, como las primeras tres piezas. Se desea conocer la probabilidad revisada de que la calibración haya sido
buena.
P(BBB|C) P(C,BBB)=0.70x(0.90) 3=0.5103 P(BB|C) P(B|C) 0.5103 + 0.0192 P(C) 0.5295
P(NC,BBB)=0.30x(0.40) 3=0.0192
P(NC)
P (C | BBB )
P (C , BBB ) P ( BBB )
0.5103 0.5295
0.9637
Tabla de Excel Evento Calibrada No Calibrada
Pr. Marginal Pr. Condicional Pr. Condicional Pr. Conjunta P(Evento) P(B|Evento) P(BBB|Evento) P(Evento,BBB) 0.70 0.90 0.7290 0.5103 P(Calibrada, BBB) 0.30 0.40 0.0640 0.0192 P(No Calibrada, BBB) 0.5295 P(BBB)
P(Calibrada|BBB)
0.9637
P(No Calibrada|BBB)
0.0363
P (Calibrada | BBB )
P ( No Calibrada | BBB )
P (Calibrada , BBB )
P ( BBB )
P ( No Calibrada , BBB ) P ( BBB )
