Principiile mecanicii clasice Menţionate în parte de către Galileo Galilei, principiile mecanicii clasice au fost formulate pentru prima oară de Issac Newton, care le-a numit "Axiomele" sau "Legile mişcării" în celebra celebra sa carte „Phylosophiae „Phylosophiae naturalis naturalis princ mathematica”. De la început ţinem să menţionăm că denumirea de corp utilizată în formularea acestor principii trebuie înţeleasă în sensul de punct material. 1.3.1 PRINCIPIUL INERŢIEI
Are următorul conţinut: „Un corp îşi păstrează starea de repaus sau de mişcare rectilinie şi uniformă atât timp cât nu intervine o forţă care să-i modifice această stare”. Observaţie:
1. Principiul inerţiei conduce la definirea forţei: numai pe seama interacţiunii sistemelor materiale se poate transmite mişcarea de la un corp la altul. În mecanica clasică, mărimea fizică vectorială care măsoară interacţiunea sistemelor materiale se numeşte forţă. 2. Principiul inerţiei serveşte la definirea reperului (sistemul de referinţă) inerţial. Ca o consecinţă a principiului inerţiei, starea de mişcare rectilinie şi uniformă a punctului material, împreună cu cazul său particular - starea de repaus relativ se numesc stări inerţiale. Reperul în care orice punct material se găseşte în mişcare rectilinie şi uniformă sau în repaus este un reper inerţial. 1.3.2. PRINCIPIUL ACŢIUNII FORŢEI
Al doilea principiu al mecanicii cunoscut sub numele de princi fundamental se enunţă astfel: „Variaţia mişcării este proporţională cu forţa motoare imprimată şi este dirijată după linia dreaptă în lungul căreia este imprimată forţa”. Având în vedere că mişcarea mecanică este măsurată prin intermediul impulsului
p
=
mv
variaţia mişcării se va măsura prin variaţia impulsului în timp. Ca urmare expresia matematică a legii a doua se va scrie:
F
=
d p dt
Observaţii:
1. Această lege mu este o relaţie de definiţie a forţei, ci o axiomă, de altfel forţa este definită de principiul întâi al mecanicii. 2. Considerând masa constantă în timp relaţia de mai sus se scrie:
F = ma ,
aceasta
este considerată „ecuaţia fundamentală a mecanicii" Folosind definiţia acceleraţiei a
= r
relaţia devine ma
= mr = F
sau faţă de un sistem de referinţă cartezian putem scrie trei relaţii scalare de forma: mx = F
x
my = F
x
mz = F
x
x=
1
y=
m 1
z=
m 1
m
F x
F y
F z
Acest sistem de trei ecuaţii diferenţiale de ordinul al doilea permite calcularea coordonatelor şi componentelor vitezei prin integrare. Sistemul are soluţie unică dacă sunt date condiţiile iniţiale (dacă este cunoscută starea mecanică iniţială a corpului)
x
=
t t avem r r sau y =
=
0
=
0
x
0
y
0
z z =
vx
v
=v
0
sau
vy
=v =v =v
v z
0
0x
0y
0 z
Soluţia generală a sistemului se obţine prin integrarea ecuaţiilor diferenţiale cu coeficienţi constanţi ( t,c ,c ,...,c ) r = r 1
2
unde constantele
6
c ,c ,...,c 1
2
6
sunt constante de integrare care se determină din
condiţiile iniţiale ale problemei. Determinarea stării mecanice a punctului material la un moment dat se face conform schemei ce reprezintă determinismul mecanicii clasice; arată în fiecare moment modul cum s-a desfăşurat mişcarea anterior momentului şi cum se desfăşoară în continuare. Starea iniţială
F
;v ) ( r 0
starea finală
( r ; v ) f
0
ecuaţia fundamentală În condiţii fizice date un punct material evoluează prin stări fizice compatibile cu starea iniţială, parametrii corespunzători fiind soluţii ale ecuaţiei diferenţiale (traiectoriile sunt unic determinate). 3. Newton a completat legea a doua prin următorul corolar „Un corp sub acţiunea
a două forţe unite descrie diagonala unui paralelogram în acelaşi timp în care descrie laturile sub acţiunile separate ale forţelor”.
Acest corolar atestă independenţa acţiunii forţelor postulând valabilitatea principiului suprapunerii efectelor. Corolarul I este numit principiul independenţei acţiunilor forţelor sau principiul paralelogramului, deoarece postulează atât independenţa acţiunii forţelor cât şi
valabilitatea regulii paralelogramului. Matematic acesta se va scrie: ma = ∑ F i
4. Dacă forţele aplicate punctului material au rezultanta nulă, punctul material este
în echilibru: F ix
0
F iy
0
F iz
0
=
∑F = 0 sau i
=
=
1.3.2.1. Aplicaţii la principiul al doilea - mişcarea în câmp gravitaţional; - mişcarea oscilatorie armonică amortizată forţat. 1.3.3. PRINCIPIUL ACŢIUNILOR RECIPROCE Al treilea principiu al mecanicii are următorul conţinut: „La orice acţiune corespunde întotdeauna o reacţiune egală şi contrară” sau: „acţiunile reciproce a două corpuri sunt întotdeauna egale şi dirijate în sensuri contrare” Observaţii: 1. Legea a treia exprimă dualismul forţelor din natură: apariţia unei acţiuni este
însoţită simultan de reacţiunea sa egală şi direct opusă. F 12
F
=−
2. Acţiunea
21
F 12
şi reacţiunea
F 2 1
nu se echilibrează reciproc deoarece se aplică la
puncte materiale diferite. Această ultimă formulare exprimă un echilibru formal (fictiv) între forţele de interacţiune. 1.3.4. PRINCIPIUL RELATIVITĂŢII CLASICE Se enunţă astfel:
„Dacă legile mecanicii newtoniene sunt valabile într-un sistem de referinţă inerţial dat, ele vor fi valabile în orice sistem de referinţă care se mişcă rectilinii! şi uniform faţă de primul.”
Localizarea poziţiei,respectiv, determinarea mişcării unui obiect în spaţiu, fiind posibilă prin raportarea acestuia la un sistem de referinţă convenabil ales, se pune problema stabilirii relaţiilor de dependenţă dintre mărimile ce caracterizează poziţia respectiv mişcarea obiectului, într-un sistem de referinţă şi cele care rezultă în urma trecerii la un alt sistem de referinţă. 1.4.3.PRINCIPIUL CELOR MAI MICI CONSTRÂNGERI Considerăm un sistem dinamic olonom ale cărui puncte materiale au poziţiile la un moment dat şi sunt solicitate de forţa rezultantă
F k
( t ) r i
se poate defini
constrângerea prin relaţia: 1 = ∑m r − z 2 m 1
i
i
i
i
2
F
i
K.F. Gauss enunţă acest principiu sub forma: „Constrângerea unui sistem fizic este minimă pentru mişcarea reală a unui sistem de puncte materiale, faţă de constrângerea la mişcările posibile din punct de vedere cinematic al sistemului”.
Matematic această afirmaţie se postulează prin: δZ =0
APLICAŢII LA PRINCIPIILE VARIAŢIONALE DIFERENŢIALE 1.4.4 PRINCIPIUL LUI HAMILTON Acest principiu face parte din principiile integrale ale mecanicii analitice care postulează proprietăţile unor expresii integrale, din care rezultă ecuaţiile de mişcare. Este un principiu variaţional, adică exprimă proprietăţile de extrem ale unei funcţii. Principiul lui Hamilton are următorul enunţ:
„În cazul unui sistem dinamic olonom-reonom şi conservativ cu f grade de libertate, a cărui funcţie de stare (funcţia Lagrange)
L = L( q ,q ,..., q s ,q ,q ,..., q s ) 1
2
1
2
conţine
explicit timpul, integrala de acţiune(acţiunea hamiltoniană)
∫
S = L( qi qi ) dt
luată între poziţia iniţială a sistemului de puncte materiale şi poziţia sa finală pe drumul mişcării reale a sistemului, are valoarea staţionară în raport cu acţiunile corespunzătoare unor drumuri compatibile cu legăturile care s-ar efectua de către sistem între aceleaşi poziţii iniţială şi finală, corespunzătoare aceloraşi momente de timp”. Formularea matematică este: t 2
L( qi qi ) dt δS = δ∫ =0 t
1
Observaţii: 1.
Principiul lui Hamilton este un principiu fundamental deoarece poate fi extins,
prin alegerea adecvată a funcţiei lui Lagrange şi la mecanica relativistă şi la mecanica cuantică. 2.
Max Planck consideră principiul lui Hamilton ca prima lege a naturii.
3.
Calculul acţiunii S presupune cunoaşterea funcţiei Lagrange şi de asemenea
cunoaşterea drumului de integrare. 4.
Funcţia lui Lagrange se defineşte prin relaţia L=E - U. C
1.4.5. PRINCIPIUL MINIMEI ACŢIUNI( Principiul lui Maupertuis) Acest principiu a fost stabilit de Maupertuis în anul 1745 în lucrarea "Les lois du mouvement et du repos deduites d' un principe metaphysique". El şi-a formulat acest principiu direct, fară alte demonstraţii ştiinţifice, afirmând că,de câte ori se produce mişcarea unui sistem în natură, sistemul considerat trebuie să lucreze astfel încât integrala produsului dintre masă, viteză şi spaţiu pe intervalul de spaţiu şi de timp dintre două poziţii succesive date,să fie minimă. Cantitatea (mvs) fiind
numită acţiune a dat numele principiului. Acest principiu s-a dovedit a fi un caz particular al principiului lui Hamilton pentru sisteme conservative(energia şi funcţia Lagrange nu depind de timp. Din expresiile energiei totale şi a funcţiei Lagrange rezultă: + U = E E C E -U =L C
Se exprimă funcţia Lagrange, care se introduce apoi în expresia principiului lui Hamilton. L = 2 E -E C S =
S = 2
rezultă ( 2 E -E ) dt ∫ t 2
C
t 1
t 2
( t − t ) E dt − E ∫ t 1
C
2
1
Variaţia acţiunii se va scrie t 2
s2
1
1
δS = ∫ 2mvds dt sau δS = ∫ 2 E C t s Observaţii: 1. Dacă se consideră un sistem de puncte materiale în echilibru, deci, la care
rezultanta foiţelor aplicate F , a foiţelor de legătură exterioare N k k şi a forţelor de legătură interioare N este nulă, lucrul mecanic corespunzător va fi nul. H δL = ( F + N + N δr =0 k k ki k
Ţinând seamă de prima formulare a principiului deplasărilor virtuale, rezultă o a doua formulare a acestuia, şi anume: „Condiţia necesară şi suficientă ca un sistem de puncte materiale să se afle în echilibru sub acţiunea unui sistem de forţe
F k
date, este ca lucrul mecanic
virtual al acestor forţe corespunzător deplasărilor virtuale să fie nul.”
δL = ∑F δr = 0 i
i
2. Un caz particular al principiului lucrului mecanic virtual este principiul lui Toricelli, care corespunde cazului în care forţele exterioare se datorează exclusiv greutăţii proprii a acestor puncte materiale.
Notăm cu mi masa unui punct material oarecare al sistemului şi cu zi cota sa; principiul lucrului mecanic virtual se va scrie: ) δz = 0 ∑( − m g g δ( M z ) = −M g δz = 0 ∑( − m δz ) = −g i
i
i
i
c
c
c
c
δz =0 c
În cazul echilibrului unui sistem de puncte materiale, centrul de greutate al acestuia ocupă o poziţie extremă. 3. O altă observaţie se referă la faptul că în unele aplicaţii principiul lucrului mecanic virtual este înlocuit cu principiul vitezelor virtuale. ) δL = ∑F δr = ∑F δ( v t i
i
i
i
i
i
δL = ∆t ∑F v = 0
i
i
i
∑
F vi i
=0
i
Vom prezenta în continuare aceste principii urmărindu-se aplicarea lor în rezolvarea problemelor de mişcare şi stabilirea unor ecuaţii de mişcare.
