Continuidad puntual de funciones
Primera visita 2015-07-21 2015-07-21 Prof. Did.2: María Laura Dodino. Prof. Adscriptora: Rosina Parniari. Practicante: Ra!ue" #asta$o. Liceo %&' ()orri""a*
PLANIFICACIÓN. Tema del día: Continuidad puntual de una función. Tiempo disponible: 45minutos Objetivos: •
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Que comprendan las condiciones que se deben cumplir para que una función sea continua en un punto. Que distingan diferentes tipos de discontinuidad de forma gráca y analítica. Que visualicen y distingan si una función es continua a partir de su gráco y del estudio analítico. esarrollar pensamiento lógico!matemático. "romover el análisis# la formulación de $ipótesis# la argumentación. %omentar la correcta e&presión de los resultados obtenidos# de forma escrita y oral.
Contenidos a aboda en clase: 'dea intuitiva de una función continua en un punto. (elación entre continuidad de una función en un punto y el límite de la función en dic$o punto. Condiciones que debe cumplir una función para que sea continua en un punto. )specto gráco y analítico de una función continua en un punto.
Conceptos pevios de los estudiantes : %uncion real# dominio de la función. Concepto de límite. Calculo de límites de funciones polinómicas.
!s"uema de clase: *. 'nicio de la clase: +tiempo estimado , minutos-. a. e presenta a los integrantes del tribunal y a la compa/era practicantes. b. e entrega la actividad *.
0. esarrollo de la clase: +tiempo estimado: ,1 minutos-. "rimera parte +tiempo estimado: *1 minutos-. a. 2os estudiantes traba3an en la actividad *.+ientras se pasa la lista-. b. e pasa por los bancos a ver cómo comienan a traba3ar en dic$a actividad . i se plantean dudas se les $ace preguntas que les permitan comprender me3or la situación. +tiempo estimado: 1 minutosc. e realia una puesta en com6n en el piarrón de lo traba3ado $asta el momento +tiempo estimado: *7 minutos-. e llega a la denición de continuidad puntual de una función. egunda parte +tiempo estimado: 07 minutosa. e les entrega la actividad 0 pide que traba3en en la primer parte. b. 2os estudiantes traba3an en la misma. e pasa nuevamente por los equipos para controlar el traba3o y evacuar posibles dudas. +tiempo estimado: *7 minutosc. e realia la puesta en com6n de la primer parte +tiempo estimado: *7 minutos-. ,. Cierre: +tiempo estimado 5 minutos-. a. e $ace un punteo de lo más importante de la clase y se les pide que traba3en en la segunda parte en sus casas. •
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#aco te$ico: iguiendo con el $ilo de lo que se viene traba3ando en clase +límitesse $a considerado adecuado introducir el concepto de continuidad puntual de una función para seguir avanando en el bloque de análisis matemático pautado en el programa de dic$a materia. )lgunas deniciones pertinentes que $acen a la introducción de dic$o tema. 2ímite nito de una función: Decimos !ue e" "imite de f+, cuando , tiende a a es / si f+, se apro,ima tanto como o !uiera a cuando , se apro,ima a a por amos "ados/ escriimos lim f ( x ) =b x→ a
)l calcular el límite de la función f en el punto a# el valor de la función en dic$o punto# f+a/ no afecta al límite.
8ota: 2ímites laterales. Cuando se dice el límite de f+, cuando 9 ,* se apro&ima a 9a* por la derec$a es (*/ signica que cuando 9 ,* toma valores mayores que 9a* tan pró&imo como quiera# f+, se apro&ima a 9 *. scribimos +¿
x → a f ( x )= b lim ¿ ¿
Cuando se dice el límite de f+, cuando 9 ,* se apro&ima a 9a* por la iquierda es (*/ signica que cuando 9 ,* toma valores menores que 9a* tan pró&imo como quiera# f+, se apro&ima a 9 *. scribimos −¿
x → a f ( x )= b lim ¿ ¿
Calculo de límite nito para funciones polinómicas: ea una función denida de ( en (; f+&-< donde an , an ntonces
− 1, … ,
n− 1
+ … + a0
#
a0 ∈ R y n esnatural .
lim f ( x ) =f ( a ) x→ a
n
an x + an−1 x
.
Continuidad puntual de funciones. n el lengua3e cotidiano# la palabra 9continuo= se utilia para indicar que algo dura sin interrupción# o bien# que las cosas tiene unión entre si. Con esa idea intuitiva se traba3ará en clase. s decir# la idea que una función es continua en un punto si su gráca 9atraviesa= dic$o punto# es decir# que no presenta interrupciones. Una función f escontinua ena ∈ D ( f ) si y solo si lim f ( x )= f ( a) x → a
sto signica que tiene que cumplir tres condiciones:
f ( x ) , 3 1 ¿ f ( a ) está biendefinido , 2 ¿ ∃ lim ¿ lim f ( x ) =f ( a )¿ x →a
x → a
"or lo tanto# una función no es continua en un punto si al menos una de esas tres condiciones no se cumple.
Las actividades % su an&lisis a pioi: e les dará que traba3en en la siguiente actividad: 'ndica: • • •
l dominio de cada una de las funciones representadas grácamente. 2os limites pedidos en cada caso i fuera posible la imagen de , <0
) trav>s de esta actividad se intentará apro&imarse a la idea de continuidad puntual de una función real. n un principio será un acercamiento a partir de la idea intuitiva de continuidad que se tiene com6nmente para trasladarlo a la noción de función continua a partir de la observación de varios grácos de funciones reales discontinuas y continuas en un punto dado. s decir# se pretende que el alumno visualice que la no interrupción en el traado del gráco de una función# da la idea de 9continuidad= y que identique cuál de las representaciones grácas corresponde a una función continua a partir de dic$a idea. ?na ve $ec$o este acercamiento se les pedirá que relacionen esta noción con los límites calculados en la actividad y que a partir de esa relación con3eturen sobre las condiciones que debería tener una función para que sea continua. "or lo tanto# se busca un acercamiento a la denición de continuidad de forma gráca y analítica. e formaliará lo con3eturado por los alumnos y se escribirá en el piarrón: 9
Una función f escontinua en a ∈ D ( f ) si y solo si lim f ( x ) =f ( a ) x → a
=
n esta denición resumimos las tres condiciones que se con3eturaron previamente# es decir# que la función este denida en el punto en el cual se estudia la continuidad# que el límite de la función para valores pró&imos a dic$o punto e&ista y que dic$o límite sea igual al valor funcional en dic$o punto. e $ará $incapi> en que una función puede ser o no continua en su dominio# pero que siempre indagaremos la continuidad en el con3unto de reales donde está denida dic$a función. e dirá que si alguna de las condiciones no se cumple decimos que la función no es continua en dic$o punto# es decir# que presenta una discontinuidad. @ay que tener en cuenta que se supone conocida la idea intuitiva de limite y algunas reglas básica de cálculo de límite.
2uego# se les entregará la siguiente actividad: )! adas las siguientes funciones: • •
•
'ndica dominio. studia la continuidad de cada función en los valores de , indicados seg6n corresponda. Aosque3a el gráco de cada función.
f ( x )=− x + 2 x + 3 2
en &<,;4
j ( x )=
{
− x + 4,∧ x < 2 2 x − x −1,∧ x ≥ 2
en
&<0
{
g ( x ) = x + 1, si x ≤ 1 2, si x > 1
en &<*
A! ean f denidas en (. @alla los valores de a b seg6n corresponda en cada caso para que dic$as funciones sean continuas en &<7 y &<0 respectivamente. f ( x )=
{
a ( x + 1 ) ,si x≥ 0 2 a x + 5 x + 3, si x < 0
g ( x ) =
{
2
− x + 3, si x < 2
a , s i x =2 x +b x , s i x > 2 2
2a idea con esta actividad es reforar el concepto adquirido por los estudiantes a partir de la denición o corregirlo en caso de ser erróneo. "or lo tanto# la idea es detectar posibles errores tanto de la imagen como de la denición conceptual.
Bambi>n se tratará de que visualicen que cuando $ablamos de límite no nos interesa saber que es lo que pasa en el punto donde se estudia el límite# sino solo en sus cercanías# y que sin embargo# para la continuidad si nos interesa saber que es lo que pasa en dic$o punto. e traba3ará el concepto de continuidad puntual a trav>s de la representación gráca y analíticamente para ayudar a la comprensión y tener una idea más completa del mismo.
Reso"ucin suerida primera actividad:
f ( 2)= 2 j ( 2 )=e
g ( 2 )= 3
∃ h ( 2 ) puesla función h no está definida en x =2
Reso"ucin suerida seunda actividad: D ( f )= R
Como pertenece al dominio de la función# por lo tanto se
cumple la primera condición. e procede a calcular la imagen de por f y los límites laterales. +¿
x → 3 / 4 f ( x )= lim f ( x )= x→ 3/ 4
f ( x )=¿ lim ¿ ¿ −¿
x → 3 / 4 ¿
63 16
y
f 3 / 4 ¿=63 / 16
lim ¿ ¿
"or lo tanto f es continua en &<,;4 e procederá de la forma análoga para las dos pró&ima funciones teniendo en cuenta que para calcular el límite por derec$a la e&presión analíta de la función es distinta a la la e&presión análitica de la función para valores de & que se acercan por iquierda.
Pe'untas 'uías: DQu> idea tienen de algo continuoE D) qu> les remite la palabra continuidadE ) partir de esta idea de continuidad y observando los grácos siguientesF DCuál o cuales grácos correspondería a una función continuaE DQu> les llevó a pensar esoE Dónde se focaliaronE De qu> forma lo relacionarían con el valor de los límites calculados en cada casoE o me3or dic$o# Dqu> cumple analíticamente# seg6n el valor de los limites calculados# la función que consideran continua en el punto 0 y que no cumplen las otrasE
Posibles di(cultades: Que no vean que los tres primeros grácos representa una función discontinua en el punto de abscisa 0. Que no sepan escribir el dominio a partir de la e&presión analítica de cada función. Que no sepan gracar una función partida Que no sepan que $acer para estudiar la continuidad. Que no sepan calcular los límites correspondientes en cada caso.
)e evalua&: 2os logros obtenidos por los alumnos en la medida que lleguen a lo requerido en cada parte de la actividad planteada. (aonamiento. Capacidad de relacionar con temas anteriores y conocimientos previos. Que logren identicar de forma gráca cómo analítica una función continua en un punto. 'ndividual: &presión oral! Claridad en la formulación de preguntas# e&actitud y precisión de respuestas dadas por el alumno. Curiosidad e inter>s por descubrir nuevos conocimientos. Galoración de las opiniones de los demás. "rocedimientos: identicar lo que se pide en cada situación# m>todos usados para la resolución# analiar resultados# representar# argumentar# inventar y la utiliación de conocimientos ya adquirido por el alumno. •
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*iblio'afía: Be&tos de secundaria: A)2")() Hlga# 2H' 2eonardo# )(B) barbaro. 9 Matem3tica −
de 4&* −
diciones de "laa. CI2() Jimene# de K?LM8. 9Matem3tica 1 6aci""erato*
−
dición )naya. ?%%H?( Kustavo# 9 Matem3tica de 4&. 8ntroduccin a" c3"cu"o* diciones matemáticas.
2ibros: )"HBH2 Bom # 9 #a"cu"us* Gol.* Calculo con funciones de una variable. ditorial (evert> .). egunda edición. 2)K 2') lon# 9)nálisis (eal= Gol.* Be&tos del 'C). ditor: CNesar Camac$o. *OO1 G() alvador# (#3"cu"o para "a ineniería= O de enero 0775 −
−
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)puntes: %ic$a de continuidad. )nálisis *. '.".). ariela (ey. − −
'nvestigaciones: enición de límite: de lo intuitivo a lo formal. dilmo Carva3al# B$ais )rreaa. 'stituto pedagógico de Caracas# Geneuela. G'' C'A# ontevideo 07*, −
− −
l concepto de continuidad y sus obtáculos epistemológicos. Cecilia Crespo Crespo. 'nstituto superior del "rofesorado=r. Joaquín G. Kóme=. ?niversidad de As. )s. )cta 2atinoamericana de atemática ducativa
