Ejercicios Resueltos Límite y Continuidad

ax2 + 2x

−1=0

a

a

r1 (a) =

− 1  +

√ 

1+a

a

a

r2 (a) =

− 1 − a

a > 0

l´ım r1 (a)   l´ım r2 (a) a→0 →0

a

f (x) = ax2 + 2x 1 a  = 1; 0, 5; 0, 2; 0, 1; 0,05

−

a > 0

r1 (a) =

√ 

1+a−1

a > 0

a

r1 (a) r2 (a) =

−

√  ( 1+a+1) a

r2 (a)

a

√ 

1+a a

a

l´ım r1 (a) = →0

a

= = =

√ 

−

√  −

√ 

l´ım r2 (a) = l´ım a→0 →0 =

a

√  √ 

( 1 + a 1) ( 1 + a + 1) l´ım . a→0 a ( 1 + a + 1) 1 + a 1 l´ım a→0 a ( 1 + a + 1) 1 l´ım a→0 1 + a + 1 1 2

− −∞

√ 

( 1 + a + 1) a

a

f (x) = 2x +

y = c

√ 

1 + x2

 √   l´ım 2x + 1 + x = +∞ → ∞  √   l´ım 2x + 1 + x = −∞ 2

l´ım f (x) = →+∞

x

l´ım f (x) = →−∞

x

x

x

+

2

→−∞

y = mx + b

x

• m= • • m= • •

l´ım x→−∞

f  ( x) x

  l´ım x→−∞ x

  l´ım 2 −

1+x2

x

→−∞

 

x

l´ım 2 + x→−∞

= = = = =

1

=

− √ 1

x2

m

l´ım (f  (x) →−∞

x

x

 l´ım 2x +

→−∞

− mx) √  2

√ 

 1 + x − x

(x l´ım (x + 1 + x2 ). x→−∞ (x 2 2 x 1 x l´ım x→−∞ x 1 + x2 1 l´ım x→−∞ x 1 + x2 0

−√  − − − √  −

√  − √ 1 + x2) − 1 + x2)

y =

x

= √ 1x2

1

1

x x

x

=1

x2

f (x) x

1+x2

x

x

•

√ 

b b =

•

√ 

2x+ 1+x2

→ −∞

→ +∞

m

•

m = = = =

l´ım x→+∞ l´ım x→+∞

f  (x) x 2x +

l´ım 2 + →+∞

l´ım 2 + →+∞ = 3

 

3

• •

b b =

m

l´ım f  (x) →+∞ = l´ım 2x + x→+∞ = =

•

1 + x2 x 1 + x2 x 1 + x2 x2

√ 

x

x

√ 

x

1 + x2

− 3x √  2  (√ 1 + x2 + x) l´ım ( 1 + x − x) √  2 →+∞ ( 1 + x + x)

x

l´ım x→+∞

1 =0 1 + x2 + x

√ 

f (x) 3x

− mx √ 

y=

x f (x) x

→ ±∞

 √  − − f (x) =  −−

x 1 3x 3

si

x2 x 4x 4

si x < 1

x > 1

f (x)

x > 1 f (x) x = 1

x < 1 f (x) x = 1

x = 1 x = 1

x l´ım+ f (x) = →1

x

= = = = =

l´ım+ f (x) →1 x 1 l´ım+ x→1 3x 3 x 1)( x + 1) l´ım+ ( x→1 (3x 3)( x + 1) ( x)2 1 l´ım x→1+ 3(x 1)( x + 1) 1 l´ım+ x→1 3( x + 1) 1 3 2 x

√  − √ −− − √  − √ 

√  √  √ −

√ 

l´ım f (x) = x→1− = = =

x2 x l´ım x→1− 4x 4 x(x 1) l´ım− x→1 4(x 1) x l´ım x→1 4 1 4

− − − −

l´ım f (x) →1

x

x = 1

x x cos( ) + 15 sin(x) = 15 2

f (x) = x  cos( x2 )+15 sin(x) f 

− 15

R π

2

]

f (0) = 0. cos(0) + 15 sin(0)

− 15 = −15 < 0 √  f (π/2) = 2 . cos( 4 ) + 15 sin( 2 ) − 15 = 4 2 + 15 − 15 = π

π

f 

π

π

π

2

π

√ 

2

4

> 0

] c[0, π2 ]

f (c) = 0