TEMA III: III: LÍMITE Y CO CONTINUIDAD INUIDAD
III.1
LÍMITE LÍMITE Y C O NT NTINUIDA INUIDAD. D.
La definición de límite para funciones de ℜn → ℜ1 es similar a la de funciones de ℜ1 → ℜ1. Pero con la salvedad de que los entornos tomados alrededor del punto donde queremos encontrar el límite serán ahora discos o bolas, de acuerdo a la dimensión del espacio de las varia varia bles, bles, la la mayor dimens dimensión ión del de l espa espa c io del de l dominio, dominio, genera una mayor compleji co mplejida da d. Rec ordemos la defi de fini nicc ión de lími límite te de una función de ℜ1 → ℜ1 : Dec imos imos que el e l númer número o L es el límite de una función
f ( x ) para x que
tiende tiende a
x 0 si y sólo si
par pa ra todo ε > 0 exis xiste un δ > 0 (en general función de ε), tal que:
b g
f x − L < ε
El punto
x 0 puede
0 < x − x0 < δ
cuando
o no pertenecer al dominio de la función, pero si debe ser punto de
acumulación∗ de dicho dominio, de modo que si
x 0
no pertenece al dominio, debe
pertenecer a su frontera. En la figura 1 interpretamos geométricamente la definición: f ( x )
Si x pertenece al intervalo de largo 2 δ , centr centrado en en x 0 , la imagen
f ( x 0 )
f ( x )
debe estar en el intervalo de largo
Gráfica de f ( x )
2ε centr centrado en en L . L + ε
Obsérvese que, dado ε quedan, en
L f ( x ) L − ε
general determinados δ y δ’ > δ, se debe tomar como máximo δ, el x 0 − δ
x
x0
x0 + δ
x0 + δ ′
menor de ellos.
x
Figura Figura 1
∗
Sea A ⊂ ℜ
n
∧ p ∈ ℜn , se dice que: p es un p u n t o
lí m it e o d e a c u m u l a c ió n de de
A , si y solo si todo entorno
reducido de p tiene puntos de A . Entorno reducido del punto x 0 , es el conjunto de puntos x ∈ ℜ n , cuya
distanc distancia ia a x 0 es menor que un cierto r > > 0 , excluido el punto x 0 .
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III.1
El valor de f en x 0 puede no ser L o bien puede que f no esté definida en x 0 . En la figura 1 se ha supuesto que f ( x 0 ) ≠ L . Rec ordemos que para indica r que L es el límite de f para x → x 0 se
escribe:
lím f b x g = L o también
x → x 0
lím f b x g = L
x = x 0
La definición de límite de funciones de ℜn → ℜ1 es similar, sólo que los “intervalos”, en lugar de ser segmentos, son de mayor dimensión: en ℜ 2 se tienen círculos (o discos) y en ℜ 3 esferas (o bolas). Obviamente para dimensiones mayores que tres no tenemos figuras.
III.1.1 Definición de límite pa ra funciones de ℜn → ℜ1 .
Límite simultáneo
Sea f : D ⊂ ℜ n → ℜ1 y sea x0 = ( x01,..., x0n ) un punto de ac umulac ión de D , entonc es:
lím f ( x ) = L si y sólo si, para todo ε > 0 existe un δ > 0 (en general δ es función de ε ), x x
→ 0
tal que para c ualquier x ∈ D que satisfaga 0 <
x − x0 < δ signifique que f ( x ) − L < ε .
En la figura 2 interpretamos esta definición para el caso de una
z
función z = f ( x, y ) , se tiene que: el
f ( x 0 , y 0 )
f b x , y g = L , si y sólo si, lím b x , yg → b x0 , y0 g
L + ε −
L f ( x , y )
dado un intervalo de largo 2 ε
L − ε −
centrado en
L ,
que determina
algún “disco” de radio δ, centrado y y 0 x 0 x
y
curva de nivel z = L + ε
x
curva de nivel z = L − ε
disco de radio δ
en ( x 0 , y 0 ) e incluido entre las curvas de nivel ( L + ε ) y ( L − ε) , al tomar un punto ( x , y ) cualquiera en
Figura 2
el disco, la imagen
b g
f x , y
debe “caer” en el intervalo de largo 2 ε .
III.2
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El límite que hemos definido se suele denominar Sim u ltán e o o n-m últiple (“doble” en el caso
de ℜ2 → ℜ1 ), porque no se impone ninguna restricción para “ir” de cualquier punto x del
dominio a x0 . Mientras que en funciones de una variable hay sólo dos maneras de acercarnos a un punto del dominio (por derecha y por izquierda), en funciones de varias variables hay infinitos caminos para acercarse a un punto del plano de las variables. Para que exista un límite, el mismo debe ser igual para todos los posibles acercamientos. III.1.2 Límites sucesivos y restringidos. Se tiene un límite sucesivo, cuando en una función de n variables independientes se toma límite con respecto a una variable, permitiendo que varíe sólo ésta y manteniendo constantes las ( n - 1) restantes. De existir dicho límite, resultará una nueva función de las
( n - 1) variables que permanecieron constantes, luego se repite el procedimiento de tomar límite pero ahora respecto a otra variable que antes permaneció constante y así sucesivamente, hasta haber tomado límite c on respecto a las n variables iniciales. Cambiando el orden de las variables que se van considerando, resultan otros límites sucesivos no necesariamente iguales e incluso puede que no existan algunos o todos los sucesivos. Para n variables es posible plantear
n!
límites sucesivos.
En la figura 3 se interpreta geométricamente para el y
caso ℜ2 → ℜ1 : por el camino 1-2 primero se calcula 4
y 0
el límite dejando
x 0
constante, tendiendo x a x 0 , el
cual puede resultar una función de
2
3
y
y
, luego se
x
toma el límite de esta función para y → y 0 , es decir:
1
Camino 1-2: x 0
x
Camino 3-4:
Figura 3
L O y → y N x → x Q L O lím M lím f b x , y gP x → x N y → y Q lím M lím f b x , y gP 0
0
0
0
Si se especifica alguna restricción para “ir” desde un punto x del dominio hasta otro punto
x 0 podemos
c a m i n o s o
llamar a este lí m ite restring id o . Estas restricciones en general implican ciertos
curvas para ir de cualquier x a x0 .
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III.3
En la figura 4, se ve que diversas curvas son posibles para “tender a
x0 ”
y
2
(en ℜ ). Veremos ejemplos
x0
dónde los límites restringidos para distintas curvas
pueden ser distintos o algunos no existir.
x
Advertencia: La relación entre el límite simultáneo, x
los restringidos y los sucesivos es “delicada”.
Figura 4
Si existe el límite simultáneo y también existen los límites restringidos y sucesivos en
x 0 ,
entonces todos ellos son iguales entre sí.
Si existen límites restringidos y sucesivos en x0 y alguno de ellos son distintos, entonces el límite simultáneo en
x 0 no
puede existir. Esto puede ser utilizado para desechar la
existencia del límite simultáneo. En cambio para la comprobación de la existencia y el cálculo del límite simultáneo por el cá lculo de los restringidos es imposible pues estos últimos son infinitos.
Los límites sucesivos pueden no existir en x0 , pero el límite simultáneo puede que exista.
Si los límites sucesivos o restringidos (que existan) son iguales entre sí, es muy probable que el límite exista y tenga ese valor, pero la forma de calcularlo es aplicando la definición.
Ejemplo 1 Sea
z =
(
sen x 2 + y 2
( x 2 + y 2 )
),
muestre que
lím z = 1. b x , y g → b 0,0g
Solución
Para mostrar esto se puede hacer x = ( x , y ) , entonces: z =
sen x
x
2
2
,
luego lím
x →
0
z =
1, por
tratarse de un límite notable.
Ejemplo 2 Sea
III.4
f ( x , y ) =
x 2 x 2 + y 2
,
calcule
lím f b x , y g b x , y g → b 0,0g
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calculemos los límites sucesivos: lím LMlím
N
y → 0 x → 0
L O x2 = lím 0 lím 2 b gQPO = lím M 2P y → 0M x → 0 x y + P N Q y→0
f x , y
=0
L O x2 L O = lím 1 = 1 lím Mlím f b x , y gP = lím Mlím 2 x → 0N y → 0 Q x → 0MN y → 0 x + y 2 PPQ x → 0 como son distintos, el límite simultáneo en (0 ,0) no existe.
Ejemplo 3 Sea f b x , yg =
xy x
2
+ y2
, enc ontrar
lím f b x , y g . b x , y g → b 0,0g
Solución C alculemos los límites sucesivos:
L O xy 0 P = lím y → 0M x → 0 x 2 + y 2 P N Q y→0 lím Mlím
L O xy 0 P = lím x → 0M y → 0 x 2 + y 2 P N Q x→0 lím Mlím
=0
=0
son iguales, esto es alentador y parecería que deberíamos probar ahora que el límite es 0. Sin embargo, conviene analizar otros acercamientos al origen. Debemos recordar que una sola coincidencia entre límites por distintos acercamientos no garantiza nada; por el contrario, un solo caso de límite distinto prueba que no existe el límite. Normalmente, se suelen calcular a ese efecto los límites radiales, en los cuales se determina el límite por líneas rectas oblicuas que convergen al punto en análisis. En nuestro caso, las líneas rectas que convergen al origen son de la forma: f ( x,y ) = f ( x,mx) =
x 2 m x 2 + m 2 x 2
=
y = mx
m
1+ m 2
de modo que: lím
⎛ x →0, que ⎞ ⎜ implica y →0 ⎟ ⎝ ⎠
f ( x,y ) = lím
x →0
m
1+ m
2
=
m
1+ m 2
Este último valor depende de m ; por lo tanto el valor del límite variará de ac uerdo al camino de acercamiento al origen, esto es, depende de la trayectoria recta de pendiente m , por ejemplo:
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III.5
para m = 1 (rec ta a 45° C), resulta: lím f ( x,mx ) =
( x y→→00 )
para m = 2 , se tiene:
lím f ( x,mx ) =
( x y→→00 )
1 2
2 5
y así se pueden seguir obteniendo distintos valores para diferentes valores de m . Esto indica que al ser distintos los límites restringidos, no existe límite simultáneo en (0 ,0) .
Ejemplo 4 Sea
π ⎧ ⎪ z = y sen x ⎨ ⎪⎩ z = 0
x ≠ 0 ,
si si
enc ontrar
x = 0
lím z
( x,y)→(0 ,0)
Solución Es posible mostrar que en el punto (0 ,0) el límite es
lím z = 0 , sin embargo uno de los
( x,y)→(0 ,0)
límites sucesivos no existe. ⎡
π
⎤
lím ⎢ lím y sen ⎥ = 0, x →0 ⎣ y →0 x⎦
⎡ ⎤ lím ⎢ lím y sen ⎥ , que para y ≠ 0 , no existe. y →0 ⎣ x →0 x⎦ π
Ejemplo 5 Sea f ( x , y ) =
3 x 2 y x 2 + y 2
, enc uentre el límite para
b x , yg → b0,0g
Solución Es posible verificar que el límite a lo largo de cualquier recta que pase por el origen es 0. Si bien esto no es suficiente, también es posible mostrar que los límites sucesivos son iguales a 0, lo mismo que a lo largo de las parábolas y = x 2 , x = y 2 , o de la sinusoide y = sen x , con lo cual comenzamos a sospechar que el límite puede existir y valer 0. Sea ε > 0 . Queremos enc ontrar δ > 0 , tal que: 3 x 2 y x
2
+ y
−0 <ε
siempre que
0 < x 2 + y 2 < δ
< ε
siempre que
0 < x 2 + y 2 < δ
2
es decir, 3 x 2 y x
pero x2 ≤ ( x2 + y 2 )
III.6
y
2
+ y
2
y 2 ≤
x2 + y2
, de modo que:
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3 x 2 y x
2
+ y
2
≤ 3 y = 3 y 2 ≤ 3 x 2 + y 2
luego, si tomamos δ = ε 3 , nos queda: 3 x 2 y x 2 + y 2
F ε J I = ε H 3K
− 0 ≤ 3 x 2 + y 2 ≤ 3 δ = 3 G
Entonc es cumple con lo indicado en la definición de límite, el límite existe y vale 0. Observación: Si calcular el
lím f b x , yg se torna muy complicado, se puede intentar b x , yg → b 0,0g
cambiar a coordenadas polares. Se sustituye x = r cos θ , y = rsen θ , y se investiga el límite de la expresión resultante cuando r → 0 . En otras palabras, buscamos si existe un número
L
que satisfaga el siguiente c riterio:
Dado ε > 0 , existe δ > 0 tal que ∀r y ∀θ : si 0 < r < δ
⇒
f ( r cos θ ,rsenθ ) − L < ε .
lím f b x , y g = lím f br cos θ , r sen θ g = L r → 0 b x , y g → b 0,0g
Esto es, si L existe, entonces:
Ejemplo 6 Encontrar
lím
x 3
( x,y)→(0 ,0) x 2 + y 2
.
Solución x 3
lím = lím b x , y g → b 0,0g x 2 + y 2 r → 0
r 3 cos 3 θ 2
r
= lím r cos 3 θ = 0 r → 0
Al igual que antes el candidato a límite es L = 0 , pero hace falta mostrar que dado cualquier ε > 0 , existe un δ > 0 tal que para todo r y θ , 0< r < δ
⇒
r cos 3 θ − 0 < ε .
Como r cos 3 θ = r cos 3 θ ≤ r ⋅1= r
,
haciendo δ = ε , obtenemos un δ > 0 y el límite existe y vale 0.
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III.7
Ejemplo 7 Encontrar
lím
x 2
( x,y)→(0 ,0) x 2 + y 2
.
Solución x 2
= lím lím b x , y g → b 0,0g x 2 + y 2 r → 0
r 2 cos 2 θ 2
r
= lím cos 2 θ = ? r → 0
En este ca so, el cos 2 θ toma todos los valores entre 0 y 1, independientemente de c uánto valga r , luego
lím
x 2
( x,y)→(0 ,0) x 2 + y 2
, no existe.
Ejemplo 8 Encontrar
lím
2 x 2 y
( x,y)→(0 ,0) x 4 + y 2
.
Solución 2 x 2 y
r cos θ sen 2θ = lím lím b x , y g → b 0,0g x 4 + y 2 r → 0 r 2 cos 4 θ + sen 2θ
que para r → 0 y θ = constante , el límite es 0. Sin embargo sobre la trayec toria y = x 2 , tenemos: 2 x 2 y
2 x 4
2 x 4 = lím = lím =1 lím ( x,y)→(0 ,0) x 4 + y 2 x→0 x 4 + x 4 x →0 2 x 4 si evaluamos la trayectoria anterior usando las coordenadas polares, esto es r sen θ = r 2 cos 2 θ , obtenemos el mismo resultado:
lím f br cos θ , r sen θg = lím
r → 0 y = x2
e
r→0
j
r cos θ sen 2θ r 2 cos 4 + r cos 2 θ
e
j
2
r sen θ 2r cos 2 θ sen θ = lím = lím 2 =1 2 4 r → 0 2r cos θ r → 0 r cos 2 θ
Por lo tanto el cambiar a coordenadas polares, no siempre ayuda y puede llevarnos a resultados falsos.
III.8
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III.1.3 Funciones contínuas Igual que en funciones de una variable, para que una función de varias variables sea continua en un punto debe estar definida en el mismo, debe tener límite en él y el valor de la función debe ser igual al del límite. Si una función es combinación de otras continuas, será también continua excepto en aquellos puntos donde no esté definida.
Una función f es continua en x0 si lím f ( x ) = f ( x0 ) , lo que implica tres propiedades: x → x
0
1. La función está definida en x0 .
2. Existe límite simultáneo en x0 .
3. El valor del límite en x0 es f ( x0 ) . Si se c umple para todo punto de un intervalo se dice que f es continua en dicho intervalo.
Ejemplo 9 ¿En qué c onjunto de puntos es continua la función f b x , yg =
x2 − y2 x 2 + y 2
?
Solución La función dada es discontinua en el (0 ,0) debido a que no está definida en ese punto, luego la función es continua en el conjunto D = {( x , y ) | ( x , y ) ≠ (0 ,0)}
Ejemplo 10 Sea
⎧ 2 xy ⎪ g ( x , y ) = ⎨ x 2 + y 2 ⎪ 0 ⎩
si
( x , y ) ≠ (0 ,0)
si
( x , y ) = (0 ,0)
, ¿en qué región del plano es continua la
función dada? Solución En este caso
g está
definida en (0 ,0) , pero es discontinua porque el
lím gb x , y g no b x , y g → b 0,0g
existe, tal como se vio en un ejemplo anterior.
Ejemplo 11 ⎧ 3 x 2 y ⎪ ¿Es continua la función dada por f ( x , y ) = ⎨ x 2 + y 2 ⎪ 0 ⎩
si
( x , y ) ≠ (0 ,0) ?
si
( x , y ) = (0 ,0)
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III.9
Solución La función
f está definida
en todo el plano ( x , y ) , y de un ejemplo anterior vimos que 3x 2 y lím f b x , y g = lím =0 b x , yg → b 0,0g b x , yg → b 0 ,0g x 2 + y 2
además:
lím f b x , y g = 0 = f b0,0g , entonces la función es continua en todo el plano. b x , y g → b 0,0g
Ejemplo 12 Calcular
lím e x y .
( x , y ) →( 0,1)
Solución Se trata en este c aso de funciones continuas ambas, y su produc to está definido en el punto indicado, por lo tanto el producto es continuo allí. Entonces el límite de la función es igual al valor de la función, o sea 1.
Ejemplo 13 Calcular
lím
( x, y ) →( 0,0)
xy 2
x + y 2 + 2
.
Solución Este es un cociente de funciones continuas y además definido en el origen, por lo cual la función es continua y su límite es el valor de la función en el origen, vale decir 0.
Ejemplo 14 2
Calcular
lím
( x, y ) →( 0,0)
( x − y )
x 2 + y 2
.
Solución En este caso, si bien las funciones del numerador y el denominador son ambas continuas, el cociente entre ambas no está definido en el origen. Para tratar de ver si existe un límite, analizaremos primero los ac ercamientos por los ejes.
Por el eje x :
III.10
lím
( x − 0)
( x ,0) →( 0,0) x 2
2
+ 02
= lím x →0
x2 x2
=1
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2
Por el eje y :
lím
( 0 − y )
( 0 ,y ) →( 0,0)
02 + y 2
2
= lím y →0
(− y )
=1
y2
Esto es alentador y parec ería que deberíamos proba r ahora que el límite es 1. Sin embargo, conviene analizar otros acercamientos al origen. Debemos recordar que una sola coincidencia entre límites por distintos acercamientos no garantiza nada; por el contrario, un solo caso de límite distinto prueba que no existe el límite. Normalmente, se suelen calcular a ese efecto los límites radiales, en los cuales se determina el límite por líneas rectas oblicuas que convergen al punto en análisis. En nuestro caso, las líneas rectas que convergen al origen son de la forma:
y = mx .
Determinemos, pues, los límites ac ercándonos por estos ca minos: 2
2 2 2 ⎡⎣ x (1− m ) ⎤⎦ x 2 (1− m ) ( x − mx ) (1− m ) lím = lím = lím = ( x,mx ) →( 0,0) x 2 + mx 2 ( ) x →0 x 2 (1+ m 2 ) x →0 x 2 (1− m 2 ) (1+ m 2 )
Este último valor depende de m ; por lo tanto variará de acuerdo al camino de acerca miento a l origen. Como los límites no son todos iguales pa ra todos los acerca mientos, se concluye que no existe el límite.
III.2
GENERALIZAC IÓN DE LOS CONC EPTOS DE LÍMITE Y CONTINUIDAD A FUNCIONES VEC TORIALES.
La definición de límite para funciones de ℜn → ℜm es similar a la de funciones de ℜn → ℜ1 y desde luego a las de ℜ1 → ℜ1 . Al igual que lo que ocurría con las funciones de ℜn → ℜ1 , la mayor dimensión del dominio modificaba el concepto de “intervalo”, en lugar de ser segmentos ahora son regiones de mayor dimensión: en ℜ2 se tienen círculos (o discos); en ℜ3 esferas (o bolas) y pa ra dimensiones mayores que tres no tenemos figuras.
Muchos temas de Cálculo vectorial son una generalización a más dimensiones de los correspondientes a Cálculo de una variable. Esto ocurre con el concepto de límite: si se tiene una función
f : ℜ n → ℜm ,
es decir, una función de m componentes
f 1 , f 2 , , f m
y n
variables independientes y si se cumple que:
lím f1 ( x ) = L1, , lím fi ( x ) = Li , , lím f m ( x ) = Lm x x x x x x
→ 0
→ 0
→ 0
entonces el cumplimiento de n límites implica que lím f ( x ) = L , siendo L = ( L1,..., Lm ) .
x → x0
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III.11
III.2.1 Definición de límite pa ra funciones de ℜn → ℜm . Sea
f : D ⊂ ℜ n → ℜm
lím f ( x ) = L
x → x0
y sea
x0 = ( x10 ,..., xm 0 ) un
punto de acumulación de
D ,
entonces es:
si y sólo si, pa ra todo ε > 0 existe un δ > 0 (en general δ es función de ε), tal
que para c ualquier x ∈ D que satisfaga 0 <
x − x0 < δ signifique
que
bg
f x − L < ε .
III.2.2 C ontinuida d de funciones vec toriales Una función
lím f ( x ) = f ( x 0 ) lo que implica tres condiciones:
f es continua en x 0 si
x → x0
1. La función está definida en x0 .
2. Existe límite en x0 .
3. El valor del límite en x0 es f ( x 0 ) .
Si se c umple para todo punto de un intervalo se dice que es continua en dicho intervalo.
III.12
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