PRAKTIKUM VIII REGRESI POLINOMIAL
A. TUJUAN PRATIKUM
B.
Memahami metode Regresi Polinomial
Mampu mengaplikasikan metode tersebut dengan MATLAB
LANDASAN TERORI
Dalam menyelesaikan persamaan menggunakan regresi polinomial penurunan persamaan dilakukan dengan dengan menggunakan metode kuadrat kuadrat terkecil. Persamaan polinomial order n mempunyai bentuk: y=
∑ +
x+
x² + . . . +
jumlah kuadrat dari kesalahan adalah: D² =
Persamaan di atas diturunkan terhadap tiap koefisien dari polinomial kemudian disamakan dengan nol, sehingga diperoleh:
∑
(1.a)
∑ ∑ Electrical Engineering | Ahmad Dahlan University
1
Persamaan (1.a) dapat dituliskan dalam bentuk:
∑ ∑ [∑
∑∑ ∑ ∑
∑∑ ∑∑ ∑∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ] [] [∑ ]] =
Dengan semua penjualan adalah dari I = 1 sampai n. dari n+1 persamaan tersebut akan dicari bilangan tak diketahui
Koefisien matriks dari persamaantersebut biasanya sangat sedikit koefisien nol dan masing – masing masing koefisien sangat berbeda. Namun demikian biasanya nilai n adalah kecil sehingga system persamaan tersebut masih mudah diselesaikan. Contoh: Cari persamaan kurva polinomial orde dua yang mewakili data berikut: xi
0
1
2
3
4
5
yi
2.1
7.7
13.6
27.2
40.9
61.1
Penyelesaian Persamaan polinomial orde 2 mempunyai bentuk:
∑ ∑
g(x)=
Ei = yi – yi – g(x) g(x) Ei² = D² =
Electrical Engineering | Ahmad Dahlan University
2
Untuk polinomial orde dua diferensial dari D² terhadap tiap koefisien dari polinomial dan kemudian disamakan dengan nolmenghasilkan bentuk: bentuk:
∑ ∑∑ ∑∑ ∑∑ ∑ ∑ ∑ ∑ =
Perhitungan dilakukan dengan menggunakan tabel perhitungan regresi polinomial orde dua seperti berikut: No
xi
yi
xi²
xi³
xi
1
0
2.1
0
0
2
1
7.7
1
3
2
13.6
4
3
5
xiyi
xi²yi
0
0
0
1
1
7.7 7.7
7.7
4
8
16
27.2
54.4
27.2
9
27
81
81.6
244.8
4
40.9
16
64
256
163.6
654.4
6
5
61.1
25
125
625
305.5
1527.5
∑
15
397.4
55
175
979
585.6
2488.8
Sistem persamaan menjadi:
Penyelesaian dari persamaan diatas adalah
Dengan demikian persamaan kurva adalah: y = 2.478571 + 2.359286x + 1.860714x²
Electrical Engineering | Ahmad Dahlan University
3
C. LANGKAH PERCOBAAN
Berikut adalah skrip untuk regresi polinomial. Ketikkan skrip berikut dalam editor MATLAB, simpan file dengan nama RegPol.m %Regresi Polinomial %Mencari penyelesaian matriks A %der=derajat/orde polinomial %x dan y adalah data eksperimen function function a=RegPol(x,y,der) m=length(x); n=length(y); xtot=ones(size(x)); C=zeros(der+1); b=zeros(der+1,1); dt2=0; d2=0; if m~=n,error( if m~=n,error('jumlah 'jumlah data x dan y harus sama' ),end ),end; ; if der<1,error( if der<1,error('derajat 'derajat 1 atau lebih' ),end ),end; ; %mengisi matriks [A] C(1,1)=n; for i=1:der+1 for i=1:der+1 for j=1:der+1 for j=1:der+1 C(i,j)=sum(x.^(i+j-2));%melakukan C(i,j)=sum(x.^(i+j-2)); %melakukan perkalian skalar vektor C(j,i)=C(i,j); end %kemudian menjumlahkan semua elemen b(i)=sum(y.*x.^(i-1)) %mengisi vektor b end C b a=inv(C)*b; fa=num2str(a(1)); for i=2:der+1 for i=2:der+1 fa=strcat(fa, '+' '+',num2str(a(i)), ,num2str(a(i)), '.*x.^' '.*x.^',num2str(i-1)); ,num2str(i-1)); end f=inline(fa); %fungsi polinomial y1=f(x); %menghitung koefisien korelasi (r) for i=1:n for i=1:n dt2=dt2+y(i)-sum(y)/n.^2; d2=d2+(y(i)-f(x(i))).^2; end r=((dt2-d2)/dt2)^0.5; %menampilkan C, b, dan r C b r fprintf('fungsi fprintf( 'fungsi polinomial yang diperoleh: ' ) f=inline(fa) %perintah plotting plot(x,y,'ro' plot(x,y, 'ro',x,y1, ,x,y1,'--b' '--b', ,'MarkerEdgeColor' 'MarkerEdgeColor', ,'r' 'r', ,'LineWidth' 'LineWidth',2, ,2,... ... 'MarkerFaceColor' ,'g' 'g') ) xlabel('X' xlabel( 'X'), ), ylabel('Y' ylabel( 'Y') )
Electrical Engineering | Ahmad Dahlan University
4
title('Kurva title( 'Kurva Regresi Polinomial' ) teks1=strcat( 'f= ',fa); ',fa); teks2=strcat( 'koef korelasi: r= ' ,num2str(r)); text(1,y1(n-1),strvcat(teks1,teks2), 'FontSize' 'FontSize',12); ,12); grid on on, , axis on
Contoh Dari sebuah eksperimen diperoleh data sebagai berikut: X
Y
0
2.1
1
7.7
2
13.6
3
27.2
4
40.9
5
61.1
Cari persamaan kurva polinomial orde dua untuk data tersebut Ketikkan pada command window >> x=[00 1 2 3 4 5]; >> y=[2.1 7.7 13.6 27.2 40.9 61.1]; >> a=RegPol(x,y,2) a=RegPol(x,y,2)
D. HASIL DAN PEMBAHASAN
Dari sebuah ekspreimen diperoleh data sebagai berikut: X
Y
0
2.1
1
7.7
2
13.6
3
27.2
4
40.9
5
61.1
Electrical Engineering | Ahmad Dahlan University
5
RegPol.m
Ketikkan pada command window
Electrical Engineering | Ahmad Dahlan University
6
Electrical Engineering | Ahmad Dahlan University
7
Sehingga persamaan kurvanya adalah y = 2.4786 + 2.3593x + 1.8607x² Gambar yang terlukis
Electrical Engineering | Ahmad Dahlan University
8
E. Tugas 1.
Cari persamaan kurva polinomial orde dua untuk data berikut dan buat kurvanya
x 0 1 2 3 4 5 15 Ketikkan pada command window:
Y 2.1 7.7 13.6 27.2 40.9 61.1 152.6
>> x=[0 1 2 3 4 5 15]; >> y=[2.1 7.7 13.6 27.2 40.9 61.1 152.6]; >> a=RegPol(x, y, 2)
Sehingga persamaan kurvanya adalah y = -3.2553 + 11.7744x – 0.0902x² 0.0902x² Gambar yang terlukis
Electrical Engineering | Ahmad Dahlan University
9
2.
Cari persamaan kurva polinomial orde dua untuk data berikut dan buat kurvanya i x y 1 1 6.69857 2 1.5 10.2041 3 2 14.64 4 2.5 20.0062 5 3 26.3028 6 3.5 33.5298 7 4 41.6871 8 4.5 50.7748 9 5 60.7928 10 5.5 71.7411 Ketikkan pada command window: >> x=[1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5]; >> y=[6.69857 10.2041 14.64 20.0062 26.3028 33.5298 41.6871 50.7748 60.7928 71.7411]; >> a=RegPol(x, y, 2)
Electrical Engineering | Ahmad Dahlan University
10
Sehingga persamaan kurvanya adalah y = 2.4785 + 2.3593x – 1.8607x² 1.8607x² Gambar yang terlukis
F.
KESIMPULAN
Perangkat lunak MATLAB adalah program interaktif,untuk melakukan perhitungan – perhitungan – perhitungan perhitungan dengan dasar matriks dalam bidang ilmu pengetahuan dan teknik rekayasa.
MATLAB adalah singkatan dari Matrix Laboratory.
Semula MATLAB diciptakan untuk menyederhanakan men yederhanakan komputasi matriks dan aljabar linear yang terdapat diberbagai aplikasi.
Electrical Engineering | Ahmad Dahlan University
11
Dalam menyelesaikan persamaan menggunakan regresi polinomial penurunan persamaan dilakukan dengan dengan menggunakan metode kuadrat kuadrat terkecil.
G.
REFERENSI
Petunjuk Praktikum Metode Numerik (PP/PTE/NUM/03/R0) (PP/PTE/NUM/03/R0),, Oleh Anton Yudhana,S.T.,M.T.,Ph.D Yudhana,S.T.,M.T.,Ph.D dan Kartika Firdausy,S.T,M.T
Electrical Engineering | Ahmad Dahlan University
12
