OBTENCIÓN EXPERIMENTAL DE LA FRECUENCIA NATURAL DE UN SISTEMA MASA RESORTE Alain Islas Monteroa Instituto Tecnológico de Querétaro, Departamento de Ingeniería Mecánica C.P.76000, Av. Tecnológico S/N esq. Gral. Mariano Escobedo, Querétaro, Querétaro, México. a
Resumen
Si un resorte se somete a una deformación debido a una carga aplicada, se comporta de acuerdo a la ley de Hooke que establece que el esfuerzo es proporcional a la deformaciónn o que la carga es proporcional a la deformación que produce. Con ayuda de la 2da. Ley de Newton del movimiento se determinará la frecuencia natural W natural W n de un sistema conformado por masa y resorte. Palabras Palabras clave:
1.
Sistema Masa-Resorte, Masa-Resorte, Frecuencia Frecuencia Natural, Natural, Ley de Hooke
Obje Objeti tiv vo
Obtener experimentalmente la frecuencia natural W n de un sistema masa-resorte. 2.
Mate Materi rial al
1. 2 Arandelas Arandelas de Sujeción Sujeción 2. 2 Tornill Tornillos os 3 3//8”-16NC8”-16NC-31 31//4” 3. Soporte Soporte para resortes resortes 4. Resorte Resorte 5. Abrazad Abrazadera era para resorte resorte 6. Plataforma Plataforma 7. Medidor Medidor de Alturas Alturas 8. Soporte Soporte para medidor medidor de alturas alturas 9. Columna de 12" 10. Pesas Pesas Direcciones Direcciones email:
[email protected] [email protected] (Alain Islas Montero)
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9 de marzo de 2017
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Marco Teórico
Este problema se puede abordar desde un punto de vista matemático al considerar la ecuación de movimiento para un caso sin amortiguador y sin el efecto de fuerzas externas, cuya E.D. tiene la siguiente forma: m
d2 y + ky = 0 dt2
(1)
donde m(> 0) es la masa y k(> 0) es la constante del resorte. Dividiendo la ecuación entre m y haciendo un cambio de variable k/m = λ 2, se puede escribir (1) en la forma: d2 y + λ2 y = 0 2 dt cuya solución es bien conocida como: y(t) = C 1 cos λt + C 2 sin λt Por tanto, la frecuencia natural W n del sistema se calcula como: W n =
k m
(2)
nota:
En este análisis se desprecia la masa del resorte. En un caso real, una parte de la masa del resorte, llamada masa efectiva contribuye a la dinámica de sistema, por lo que la frecuencia natural W n considerando la masa del resorte es: W n =
k m + mef
El valor de la masa efectiva mef es un tercio de la masa real del resorte, pero para efectos de esta práctica se despreciará debido a que la masa del resorte es bastante pequeña comparada con la masa del volante que se colgará para medir la frecuencia W n de manera experimental. 4.
Desarrollo
El procedimiento llevado a cabo para determinar la frecuencia natural wn del sistema masa-resorte fue: a) Se coloca uno de los resortes en el soporte para resortes que se fija en la parte superior del marco de ensamble. b) En el extremo inferior del resorte se coloca la abrazadera para resorte, seguida de la plataforma. Adicionalmente se fija el medidor de alturas con su soporte en la parte inferior del marco de ensamble de manera que se pueda medir el desplazamiento vertical de la plataforma. Reporte de prácticas ITQ
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Vibraciones Mecánicas Enero Junio, 2017 ITQ MÉXICO c) Para obtener la constante k del resorte se mide la deformación que sufre el resorte, conforme se van agregando laspesas a la plataforma. d) Al graficar Carga-Alargamiento, se obtiene casi una línea recta. Estos puntos pueden ser ajustados a una línea recta por el método de mínimos cuadrados. e) La pendiente de dicha recta corresponde al valor de la constante k del resorte. f) Las mediciones y resultados obtenidos se muestran en la siguiente tabla. 5.
Resultados
Realizados los pasos anteriores se obtuvieron los siguientes resultados: Masas
Longitudes l=34.73 cm msoporte =318.8 grs l=34.35 cm m1 =378 grs l=34.15 cm m2 =382.2 grs l=33.93 cm m3 =378.3 grs l=33.73 cm m4 =380 grs l=33.31 cm m5 =382 grs l=33.01 cm m6 =381.9 grs l=32.99 cm
Alargamiento resorte s/ carga resorte c/ soporte c/ m1 c/ m1,2 c/ m1,2,3 c/ m1,2,3,4 c/ m1,2,3,4,5 c/ m1,2,3,4,5,6
δ 0 =0.38 cm δ 1 =0.58 cm δ 2 =0.80 cm δ 3 =1.00 cm δ 4 =1.42 cm δ 5 =1.72 cm δ 6 =1.74 cm
Cuadro 1: Masas y Alargamientos
Se hacen primero las conversiones correspondientes a unidades más fáciles de manejar N y mm (Cuadro 2). i=0 i=1 i=2 i=3 i=4 i=5
δ i (mm) 3.8 5.8 8 10 14.2 17.2 5 i=0 δ i = 59
δ i2 (mm2 ) 14.44 33.64 64 100 201.64 295.84 5 2 i=0 δ i = 709.56
mi (N ) 3.12 6.83 10.58 14.29 18.02 21.77 5 i=0 mi = 74.63
Cuadro 2: Mínimos cuadrados
δ i mi (N · mm) 11.88 39.64 84.67 142.93 255.93 374.46 5 i=0 δ i mi = 909.54
Con el uso de esta tabla se procede a hacer un ajuste por mínimos cuadrados para un polinomio de primer grado, f (δ ) = a 0 + a1 δ , donde a1 corresponde al valor de la constante
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Vibraciones Mecánicas Enero Junio, 2017 ITQ MÉXICO k del resorte. Se resuelve el siguiente sistema matricial1
5 i=0
1
5 i=0
δ i
Resolviendo se halla que:
5 i=0
δ i 5 2 i=0 δ i
a0 a1
=
mi
5 i=0
δ i mi
f (δ ) = 0.2556 + 1.2605δ
Podemos calcular entonces la frecuencia natura W n del sistema W n =
N 1.2605 mm
1000 mm m
9.902 kg
W n = 11.2826 Hz donde la masa m = 9.902 kg es la correspondiente al volante de 7” que se colgó al final de la práctica. Por otra parte, si el sistema se hace oscilar y se cuenta el tiempo para un total de 50 ciclos, también es posible hallar la frecuencia natural W n . Se hizo esta medición como en prácticas pasadas registrando un tiempo t = 28.74 s para 50 oscilaciones. Por tanto: 1
Se omiten
m6
y
δ 6 ya
que el comportamiento deja de ser lineal
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REFERENCIAS
50 wn = 2π 28.74 s
W n = 10.93 Hz Con lo cual se comprueba que ambas frecuencias son muy parecidas, ya que difieren aproximadamente en un 3.1 %. 6.
Conclusiones
La práctica comprobó que el cálculo teórico y el experimental se aproximan bastante bien a pesar de que el primero no es 100 % analítico debido a que el comportamiento del resorte se ajustó por medio de mínimos cuadrados. El no considerar la masa efectiva del resorte no desvía en gran medida el resultado teórico, ya que esa es muy pequeña comparada con la masa suspendida. Se tenían intenciones de resolver la E.D. (1) con sus respectivas condiciones iniciales; esto para comprobar que las 50 oscilaciones correspondían al tiempo de 28.47 s, no obstante el equipo encargado de esta práctica no esperó a que el sistema volante-resorte alcanzara su posición de equilibrio para después desplazar esta masa verticalmente hacia abajo y soltar el sistema, sino que solo dejaron caer la masa del volante de golpe y contaron las oscilaciones a partir de este comportamiento. No obstante, los resultados se consideran satisfactorios debido al margen de error que se registró.
Referencias [1] Navarro, B. (2017). Momento de Inercia de una Barra . UAL. Recuperado el 26 de Febrero del 2017 de: http://www.ual.es/ mnavarro/Practica8.pdf [2] Singiresu, R. (2016). Mechanical Vibrations . (6th ed.) U.S.A: Pearson Education, Limited. [3] Beléndez, A., Pascual, C., Méndez, D., Beléndez, T., & Neipp, C. (2007). Exact solution for the nonlinear pendulum . Universidad de Alicante, España. [4] Thomson, W. (1996). Theory of Vibrations with Applications . (4th ed.). U.S.A: CRC Press. [5] Pérez, A. (2006). Marco Didáctico Para El Estudio De Vibraciones . (1ra. Ed). México: C.R.O.D.E Chihuahua.
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REFERENCIAS
7.
Anexos
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