TRANSFORMADA Z, ANALISIS FRECUENCIAL E INTERPRETACION DEL PLANO Z EN EL DOMINIO DE LA FRECUENCIA Se sabe que si se realiza la transformación s = j en la función de transferencia H transferencia H (s) de un sistema de tiempo continuo, se obtiene la función de respuesta en frecuencia del sistema H sistema H ( j j ). Ahora se extenderá esta técnica a los sistemas de tiempo discreto y se mostrará que al reemplazar z por por e jT en la función de transferencia H transferencia H ( z z ) se obtiene la función de respuesta en frecuencia del procesador de tiempo discreto correspondiente
z e j T H(z) H(e j T) donde T es el periodo de muestreo. Se comenzará considerando la respuesta de estado estable de estable de un procesador de tiempo discreto a una señal sinusoidal muestreada de amplitud A amplitud A y y frecuencia definida por la ecuación: xn = A cos(n T) La Figura 4.4. ilustra el efecto de un procesador lineal típico en la secuencia cosenoidal x cosenoidal x [n]. La respuesta de estado de estado estable es una secuencia cosenoidal de la misma frecuencia que la entrada, pero con amplitud y fase diferentes. diferentes. La salida puede modelarse como la secuencia: yn = B cos(n T + )
Fig. 4.4. Por analogía analogía con el caso continuo, se puede decir que la razón de amplitudes B/A amplitudes B/A define define la magnitud de la respuesta en frecuencia del sistema, y y define define su fase. Para encontrar encontrar la forma de la respuesta en frecuencia se usará la técnica sugerida por el tratamiento que se hizo en el Tema 2 de las señales de tiempo continuo. En este caso la entrada cosenoidal x cosenoidal x [n] se reemplazará por una componente exponencial compleja única y representativa. En este caso la entrada al procesador de tiempo discreto será la secuencia de valores complejos complejos definida por: x[n] = e j··n·T Ahora bien, se sabe que la respuesta y respuesta y[[n] de un sistema lineal de tiempo discreto a una entrada general x general x [n] se puede encontrar a partir de la suma de convolución:
donde h[n] es la respuesta a la muestra unitaria (t) del sistema. Puesto que la entrada x [n] es la secuencia compleja e j··n·T la secuencia de entrada desplazada xn-k se puede escribir como:
x[n -k] = e j· ·(n-k)·T = e j· ·n·T = e -j· ·k·T Sustituyendo x[n-k en la suma de convolución, se obtiene la respuesta del sistema:
Obsérvese que la variable en la suma de convolución es k . Puesto que el término
e j· ·n·T no varía con k , puede sacarse de la suma:
Esta expresión proporciona la información necesaria para determinar el efecto que un sistema dado tiene en una serie exponencial compleja. Se observa que la secuencia de salida y[n] está dada por el producto de la secuencia de entrada
x[n] = e j··n·T y el resultado de la suma en k ,
.
Ahora bien, en la suma intervienen los términos de la respuesta a la muestra unitaria h[n] y, para un sistema causal, h[n] = 0 para n < 0. Así, y[n] = 0 para n < 0, por lo que la suma puede hacerse a partir de k = 0 sin cambiar el resultado:
Obsérvese que los términos de la suma dependen de k y de , pero no de n. Esto significa que a cualquier frecuencia dada y período de muestreo T=To, el resultado de la suma será un número complejo que actúa como multiplicador en todos los términos de la secuencia de entrada. Esto se puede expresar más claramente escribiendo la secuencia de salida como:
y[n] = e j·
·n·T
·H(e j··T) donde:
+ ....
+...
Para un procesador dado, el valor de H (e jwT ) sólo depende del valor del producto de las muestras de la respuesta a la muestra unitaria h[n]. En general,
T y los valores es un
número complejo que describe el efecto de un procesador de tiempo discreto en la secuencia obtenida al muestrear una componente exponencial compleja de frecuencia en intervalos de T=To. Teniendo en cuenta los resultados obtenidos en el Tema 2 para el caso de tiempo continuo, se interpretará, Figura 4.5., como la respuesta en frecuencia del sistema de tiempo
discreto
Figura 4.5. En esta expresión, haciendo el cambio = T, donde es la frecuencia digital, la frecuencia analógica y T el periodo de muestreo, se obtiene la ecuación:
que es sencillamente la transformada de Fourier de la señal hk . Nota Ahora se puede relacionar con facilidad la función de respuesta en frecuencia con la función de transferencia de un procesador de tiempo discreto. Se sabe que la función de transferencia es igual a la transformada z de la respuesta a la muestra unitaria:
H(z) = h[0] + h[1]·z -1 + h[2]·z -2 + h[3]·z -3 + ... + h[k]·z -k + ... de manera que al reemplazar z por e jwT resulta la función de respuesta en frecuencia expresada por la ecuación obtenida anteriormente que se repite a continuación:
+ + ...
+ ...
Ahora bien, si H (e jwT ) se expresa en términos de su magnitud y fase: 1 se puede regresar al caso ilustrado en la Figura 4.4. y usando el principio de superposición, calcular la respuesta de estado estable y[n] del sistema a la secuencia de entrada cosenoidal x [n]=Acos(n T). Se sabe que:
2
Usando las ecuaciones 1 y 2 se puede escribir por separado la respuesta del sistema a cada componente exponencial compleja. La respuesta a A/2e jn T es:
De manera similar la respuesta a A/2e-jnT es:
Por superposición, la respuesta a la secuencia cosenoidal de entrada x [n]= Acos(nT) es la suma de las respuestas a las componentes exponenciales complejas individuales:
=
= Resumiendo, la función de respuesta en frecuencia H (e jwT ) de cualquier procesador de tiempo discreto se puede encontrar reemplazando z por e jwT en la función de transferencia H ( z ). Nota. Como en el caso continuo, la respuesta de estado estable de un sistema de tiempo discreto lineal a una secuencia de entrada cosenoidal es a su vez una secuencia cosenoidal. La magnitud H | (e jwT )| de la función de respuesta en frecuencia del sistema determina la razón de amplitudes de secuencias de entrada y salida, mientras que la fase determina el desfase de la salida en relación con la entrada. Obsérvese que, si bien se están tratando sistemas de tiempo discreto, la respuesta en frecuencia H (e jwT ) es una función continua de la variable de frecuencia Un desarrollo similar se puede efectuar para una entrada senoidal xn = Asen(nT) Veamos un ejemplo: La función de transferencia de un promediador móvil de dos términos es:
Determinar la magnitud y la fase de la función de respuesta en frecuencia del promediador. Solución En la siguiente figura se muestra la magnitud y la fase de la función de respuesta en frecuencia del promediador móvil. Dentro del intervalo de frecuencias -/T < < /T se observa que la respuesta tiene una magnitud de aproximadamente la unida a bajas frecuencias y se reduce a cero en = ± /T . La característica lineal de la fase muestra que cualquier componente de señal en el intervalo - /T < < /T experimentará un desfase proporcional a su frecuencia. Recuérdese que la frecuencia /T es de hecho igual a s/2, donde s=2/f s y f s=1/T es la frecuencia de muestreo en Hz. Las características de respuesta en frecuencia del promediador móvil, Figura 4.5., muestran que
cualquier componente de entrada con una frecuencia mucho menor que la frecuencia de muestreo aparecerá en la salida relativamente sin cambio en magnitud y en fase. Por otra parte, las componentes de la señal con frecuencias mayores que aproximadamente s/4 se reducirán en amplitud y presentarán un desfase. Ahora bien, para una señal muestreada de acuerdo con el teorema de muestreo, todas las componentes de frecuencia significativas de la señal original x(t) deben encontrarse dentro del intervalo | | < s / 2. Por cons
