INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL ESCUELA NACIONAL DE CIENCIAS BIOLÓGICAS LABORATO LABORATORI RI O DE F Í SICA FARMACÉUTICA PRÁCTICA 3 “PENDÚLO “PENDÚLO SIMPLE” SIMPLE”
PROFESORES:
- Cuauhtecatl Hernández Violeta. - Uría Galicia Alejandro. ALUMNOS:
-
Bautista Velázquez Cristofher. Benítez Sánchez Ariadna Yunuen. Navarrete Martínez María Fernanda. Valencia Alemán Yael Donaji.
OBJETIVOS
Determinar la ecuación empírica del movimiento de un objeto sometido a una aceleración constante, constante, mediante la correlación del periodo (T) y la longitud (L) de un péndulo simple, es decir T = f(L). Determinar el valor de la aceleración de la gravedad en el laboratorio.
INTRODUCCIÓN Para estudiar el movimiento de un péndulo simple debemos tener en cuenta los siguientes conceptos:
MOVI M OVI M I E NTO NT O PE R I ÓDI ÓD I CO: es aquel que en intervalos de tiempos iguales pasa por el mismo punto del espacio con las mismas características como posición, velocidad, aceleración, etc.
MOVI M OVI M I E NTO NT O OSCI OSC I L A TORI TOR I O: Se denomina movimiento oscilatorio a aquellos movimientos periódicos en los cuales la posición del cuerpo (respecto al origen del sistema de referencia) pasa por un valor máximo y un mínimo.
E LONGACI ÓN ( s ).- A la distancia s que en un instante t dado separa al cuerpo oscilante de su posición de equilibrio o reposo; se llama elongación.
AM A M PL I TUD : A la máxima elongación se le llama amplitud del movimiento. Si el cuerpo tiene movimiento circular, la amplitud coincide con el radio de la trayectoria.
C I C L O ((rr evoluci volució ón ó vib vibr ació ción com completa leta)) : Es el movimiento de la partícula en un trayecto cerrado, es decir, el pasar del extremo D de la trayectoria al extremo G y vuelta al extremo D, se dice que se ha efectuado un ciclo (ver Fig. 3.2).
L
G
D d s mg sen
mg cos
mg
PER I ODO ( ): Es el tiempo que tarda en ocurrir un ciclo, revolución o vibración completa. F RE CUE CUE NCIA ( f ): Es el número de ciclos efectuados en la unidad de tiempo. Esta relacionada con el periodo mediante f =
-1
y se mide en ciclos/segundo ≡ Hertzios:
1 Hertz = 1 ciclo/segundo.
PROCEDIMIENTO EXPERIMENTAL a) Montaremos una regla que nos ayudara a tomar las l as medidas de longitud del péndulo. b) Se harán dos experimentos con dos diferentes bolas pendulares, para ello pesaremos de manera individual su masa y la expresaremos en unidades de gramos (gr). c) Dos alumnos serán participes en la práctica, práctica, uno de ellos detendrá el lazo del péndulo para que no se mueva en la longitud fijada y el otro cerciorara que el meridiano de la bola pendular coincida con la graduación de la regla r egla en la longitud de partida, así sucesivamente hasta llegar a la longitud establecida por la práctica. d) Serán cinco oscilaciones por periodo, esto quiere decir, que el compañero encargado de verificar que las medidas de la longitud coincidan con el meridiano, será el encargado de soltar el péndulo y contabilizar cinco oscilaciones. e) Cuando el compañero encargado encargado termine de medir y verificar las coincidencias de las medidas, indicara cuando comenzara el péndulo a oscilar para que los demás pongan el cronometro y midan el tiempo en que tarda dar un periodo en una longitud dada. f) Cuando terminen el periodo, el compañero encargado del péndulo, indicara cuando detener el cronometro (anotar tiempo que tardó en dar un solo periodo), posterior a ello, el otro compañero, recorrerá la cuerda para ajustarla a la siguiente longitud. g) El experimento de repetirá hasta la longitud establecida. Para cada longitud se debe vaciar los datos obtenido en una tabla. h) Una vez obtenido los datos del primer experimento se procederá a repetir los mismos pasos del experimento anterior, ahora será con la siguiente bola pendular. i) Una vez obtenido los datos de ambos experimentos, determinaremos la ecuación empírica, la correlación entre la longitud y el periodo y la gravedad que había en el laboratorio.
TRATAMIENTO DE DATOS Para una longitud dada del péndulo (medida desde el extremo superior de la cuerda hasta el centro de la esfera), calculamos su periodo midiendo el tiempo que tarda en realizar un número de oscilaciones completas (tomamos como referencia cinco oscilaciones) de manera que el error relativo de esta medida sea del mismo orden que el error relativo en la medida de la longitud del péndulo. En la l a medida del periodo. Una vez medido el periodo para la primera longitud (200 cm), se repite el mismo proceso para otras longitudes establecidas para el péndulo. Este procedimiento se realizara otra vez pero con un objeto pendular indistinto al primero. primero. EXPERIMENTO 1
Péndulo esférico
Masa: 138.9 g A continuación mostraremos los datos obtenidos por cada periodo en una longitud dada.
Tabla 1 Longitud y Periodo
NÚM. DE LECTURA
LONGITUD (L) CM 1 200 2 180 3 160 4 5 6 7 8 9 10 11 12
140 120 100 80 60 40 30 20 10
PERIODO (T) s 2,71 2,65 2,53 2,28 2,09 1,96 1,73 1,44 1,25 1,12 0,92 0,57
En la tabla anterior mostramos los datos datos obtenidos correspondientes a que cada cada longitud le correspondía un tiempo por cada periodo recorrido.
Una vez obtenido nuestros datos se realiza realiza una gráfica con Excel, Excel, para obtener una gráfica acerca de los los valores obtenidos.
Grafica 1 Longitud-Periodo
3.5 3 2.5 ) T ( o d o i r e P
2 y = 0.0108x + 0.7465 R² = 0.9696
1.5 1 0.5 0 0
50
100
150
200
250
Longitud (L)
En la gráfica anterior mostramos la tendencia que que siguen los valores, para ello decidimos normalizarlos y obtener una recta con la cual trabajaremos para para obtener los valores de una recta.
Una vez obtenida nuestra grafica se procede a calcular los cuadrados mínimos
Tabla 2 “método de cuadrados mínimos” NÚM. DE LECTURA
LONGITUD (L) CM
PERIODO (T) s
Iog(L)
Iog (T)
(Iog(L))(Iog(T)) (Iog(L))^2
1
200
2,71
2,3
0,43
0,989
5,29
2
180
2,65
2,25
0,42
0,945
5,0625
3
160
2,53
2,2
0,4
0,88
4,84
4 5
140 120
2,28 2,09
2,14 2,07
0,35 0,32
0,749 0,6624
4,5796 4,2849
6
100
1,96
2
0,29
0,58
4
7
80
1,73
1,9
0,23
0,437
3,61
8
60
1,44
1,77
0,15
0,2655
3,1329
9
40
1,25
1,6
0,096
0,1536
2,56
10
30
1,12
1,47
0,049
0,07203
2,1609
11 12
20 10
0,92 0,57
1,3 1
-0,036 -0,2441
-0,0468 -0,2441
1,69 1
22
2,4549
5,44263
42,2108
Resultados obtenidos por el método de cuadrados mínimos.
Nuestra ecuación ecuación debe estar estar dada por la siguiente siguiente formula, puesto puesto que es la que que estamos empleando empleando para los cálculos de nuestro periodo, expresaremos de la siguiente manera:
+ Ahora procedemos a calcular los valores de m y C
Donde obtenemos:
∑= ∑ = ∑ ( )( ) − = ∑ (∑= ) = −
(2.45)(22) ( ) 5. 4 4 − 42.21− (22)12 0.5251 12 − ∑= ∑ = (2.45)−(0.125251)(22) −0.7581 Una vez calculada nuestras variables se procede a igualar la ecuación a una logarítmica Obteniendo
T=cL^m Por lo tanto T=0.1745(L) ^0.5251
CALCULAMOS LA PROBABILIDAD DE ERROR Y YC CALCULADA Y CALCULADA ERROR 2.81 3.55 2.66 0.37 2.5 1.2 2.33 2.14 2.15 2.79 1.95 0.51 1.74 0.57 1.49 3.35 1.21 3.3 1.04 7.69 0.84 9.52 0.58 1.72
Como podemos observar la probabilidad de error es relativamente baja
CALCULANDO LA GRAVEDAD
( ) 2 0.19 1093.58 980 AHORA SE PROCEDERA A REPETIR LOS MISMOS PASOS CON EL EXPERIMENTO 2 Longitud L
Periodo T
log L
(log L)(log T)
log T
((log L))^2
Y calc.
Prob. Error
200
2.72
2.3
0.43
0.989
5.29
2.81
3.55
180
2.55
2 .25 2.25
0.4
0.9
5.0625
2.66
4.13
160
2.48
2.2
0.34
0.748
4.84
2.5
0.8
140
2.28
2.14
0.33
0.7062
4.5796
2.33
2.14
120
2.13
2.07
0.31
0.6417
4.2849
2.15
0.93
100
1.95
2
0.3
0.6
4
1.95
0
80
1.74
1.9
0.27
0.513
3.61
1.74
0
60
1.44
1.77
0.24
0.4248
3.1329
1.49
3.35
40
1.2
1.6
0.2
0.32
2.56
1.21
0.82
30
1.08
1.47
0.16
0.2352
2.1609
1.04
3.84
20
0.84
1.3
0.11
0.143
1.69
0.84
0 8.6
10
0.63
1
0
0
1
0.58
22
3.09
6.2209
42.2108
Se obtuvieron resultados similares como el experimento anterior ECUACIÓN T= mL+c Encontrando las variables
∑= ∑ = ∑ ( )( ) )( ) − = ∑ (∑= ) = −
(3.09)(22) ( ) 6. 2 2 − 42.21− (22)12 0.2957 12 − ∑= ∑ = (3.09)−(0.122957)(22) −0.2846
Quedando como la nueva ecuación logarítmica
T = 0.1952L0.4972
GRAFICA DEL EXPERIMENTO 2
Periodo T 3.5 y = 0.0107x + 0.7364 R² = 0.9713
3 2.5 e l t i T s i x A
2 Periodo T
1.5
Linear (Periodo T)
1
Power (Periodo T)
0.5 0 0
50
100
150
200
250
Axis Title
CALCULANDO LA GRAVEDAD
( ) 2 0.19 1093.58 980
Donde calcularemos los valores de m y C
Si nuestra ecuación de la recta calculada por Excel a través del método de mínimos cuadrados es y = 0.0108 x + 0.7465 y sabemos que realmente y=log( y y) además que realmente x = log( x x) entonces rescribimos la ecuación como.
y) = 0.0108log( x) + 0.7465 log( y
Sabemos que la ordenada al origen (ver Grafica 1) de esta recta se medirá en una escala logarítmica, por lo que: log(b) = 0.7465 y en consecuencia su antilogaritmo es 0.1912.
Grafica 2 Representación de Longitud-Tiempo de manera exponencial 3 2.5
y = 0.1912x0.5041 R² = 0.994
2 1.5 1 0.5 0 0
50
100
150
200
250
Aplicando las propiedades de los logaritmos, la ecuación se simplifica de la siguiente manera:
y) = log(0.1912 x 0.5041) log( y
Al quitar los logaritmos de ambos lados, llegamos a la ecuación de la gráfica 2 y = 2.2607 x0.5831
ANÁLISIS DE DATOS 1. Ordena los valores de las mediciones en una tabla de dos columnas, colocando en la primera la longitud L y en la segunda el periodo T. Recuerda que que debes registrar registrar en la tabla el tiempo de una oscilación completa, por lo que el tiempo registrado en las 5 oscilaciones deberás deberás dividirlo entre 5. Longitud (l) 10 20 30 40 60 80 100 120 140 160
Periodo (T) 2,71 2,65 2,53 2,28 2,09 1,96 1,73 1,44 1,25 1,12
Masa péndulo esferico138.9 g
180 200
0,92 0,57
2. Utiliza el sistema de unidades c.g.s. c.g.s. 3. Con la ayuda del Apartado B (WORD 2003), ó Apartado B (Word 2007) obtén la ecuación empírica correspondiente, correspondiente, y compárala con la ecuación (3.2).
3.5 3 2.5 ) T ( o d o i r e P
2
y = 0.0108x + 0.7465 R² = 0.9696
1.5 1 0.5 0 0
50
100
150
200
250
Longitud (L)
4. Indica los valores de los pa parámetros rámetros a y b y mediante el análisis análisis dimensional da el sign significado ificado físico de estos. A= 0.0108 B= 0.6465
5. Repite los puntos 3 y 4 para cada masa pendular.
Masa balero 30.1 g
A=0.0107 B=0.7364 6. Explica si este se puede considerar como un Movimiento Movimi ento Rectilíneo Uniformemente Acelerado, o simplemente, uniformemente acelerado. Movimiento Rectilíneo Uniformemente Acelerado por que la aceleración se mantiene constante y va incrementando su velocidad.
Conclusión: Después de haber realizado las mediciones y cálculos respectivos con respecto al péndulo simple y su relación con la longitud, ángulo y masa se ha llegado a las siguientes conclusiones: El período de un péndulo sólo depende de la longitud de la cuerda y el valor de la gravedad (la gravedad varia en los planetas y satélites naturales). Debido a que el período es independiente de la masa, podemos decir entonces que todos los péndulos simples de igual longitud en el mismo sitio oscilan con períodos iguales. A mayor longitud de cuerda mayor período.
Bibliografía Alonso M. y Finn E. J. , “Física” Vol.
I, Ed. Adisson- Wesley. Iberoamericana (1986)
Sears F. y Zemansky M., “Física General”, Ed. Aguilar (1981) C. Kittel, W. D. Knight y M. A. Ruderman, “Mecánica” del Berkeley Physics Course, Ed.
Barcelona (1968)
Reverté,
