P éndulo sim si mple
Luis Gonzalo Soria Galvarro Gomez
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Nadia Paola Paola Noguera Noguera Goitia
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Karol Génesis Rivas Calvi
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Erika Martinez Antezana
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Turno Lunes 17:15-18:45 - Curso de Lab. Física Básica II- Universidad Mayor de San Simón.
Resumen En este laboratorio se realizó una práctica, en la cual se utilizó el péndulo simple. Con el cual pudimos tomar una serie de mediciones del periodo, tiempo, longitud, y finalmente la gravedad. El péndulo simple, es un instrumento que nos permitió tomar mediciones con la ayuda de un cronometro y un flexometro. Se realizó la práctica con un péndulo con 10 diferentes longitudes y 5 repeticiones en cada uno de ellos, para luego hacer un promedio de los valores.
Introducción Mediante el siguiente informe se demuestra que por medio de los cálculos de los datos obtenidos, se puede calcular calcular cual será el resultado de la gravedad experimental, experimental, el resultado de la gravedad gravedad calculada analíticamente se comprara dicha gravedad con la gravedad teórica la cual es de 9,78m/s2, y así poder poder conocer qué relación o semejanza tiene la gravedad experimental con la gravedad teórica.
OBJETIVO:
Determinar el periodo de oscilación de un péndulo simple en función de la longitud. Determinar el valor de la aceleración de la gravedad.
FUNDAMENTO TEORICO: El péndulo simple es un cuerpo idealizado que consiste de una masa puntual suspendida por una cuerda ligera e inextensible. Cuando se desplaza de su posición de equilibrio y se suelta, el péndulo oscila en un plano vertical por la influencia de la fuerza de la gravedad, produciendo un movimiento oscilatorio. Una masa puntual colgando de una cuerda sin masa, es un ejemplo idealizado de un péndulo simple. Cuando se desplaza desde su punto de equilibrio, la fuerza de restauración que lo trae de nuevo al centro, está dada por
Un péndulo simple se define como una partícula de masa m suspendida del punto O por un hilo inextensible de longitud l y de masa despreciable. Si la partícula se desplaza a una posición q0 (ángulo que hace el hilo con la vertical) y luego se suelta, el péndulo comienza a oscilar. El péndulo describe una trayectoria circular, un arco de una circunferencia de radio l . Estudiaremos su movimiento en la dirección tangencial y en la dirección normal. Las fuerzas que actúan sobre la partícula de masa m son dos
el peso mg
La tensión T del hilo
Descomponemos el peso en la acción simultánea de dos componentes, mg ·senq en la dirección tangencial y mg ·cosq en la dirección radial.se muestran las fuerzas que actúan sobre la masa en cualquier instante del movimiento, estas fuerzas son: la tensión T sobre el hilo y la fuerza de
= ∗ , que se descompone en función del ángulo desplazado en una componente normal ∗ = cos , y una componente tangencial ∗= ∗sin , aplicando la ecuación gravedad
de movimiento F= m*a en la dirección tangencial , se tiene:
∗sin∗
Donde el signo menos indica que la fuerza apunta al punto de equilibrio. La aceleración en la dirección tangencial es:
Dónde:
Presenta la longitud de arco o trayectoria, L
es la longitud del péndulo que se mantiene
constante:Por lo tanto la ecuación se puede expresar:
sin Para conseguir un MOVIMIENTO ARMONICO SIMPLE, consideramos ángulos menores o iguales a
10 con lo que: sin≅ (≤10), entonces se puede escribir : ↓
Las soluciones de la ecuación son:
() cos( ∗ + ∅) Donde
está en radianes
yes el máximo desplazamiento angular;
frecuencia angular, que para el caso del péndulo simple está dada por: La frecuencia angular del periodo:
∅ es el desfase y W es la
A partir de la ecuación consideramos que W=2*
/, el periodo de oscilaciones para el péndulo
simple es:
4 1
W=2
T=2
∗/ √
P=
La ecuación del periodo se ajusta a la curva:
∗
Con:
2
Despejamos la gravedad :
4 ∗− Conceptos El período de una oscilación (T) es el número de variaciones necesarias para que dicha oscilación
vuelva a ser representada por cualquiera de los valores anteriores obtenidos, con un índice de cadencia regular. La frecuencia o velocidad angular es una medida de la velocidad de rotación. Se define como el
ángulo girado por una unidad de tiempo y se designa mediante (W). Su unidad en el Sistema
Internacional es el radián por segundo (rad/s). La Frecuencia es una magnitud que mide el número de repeticiones por unidad de tiempo de cualquier fenómeno o suceso periódico. La gravedad (g), es la fuerza de atracción a que está sometido todo cuerpo que se halle en las
proximidades de la Tierra.
Método Experimental -MATERIALES: - Soporte del equipo - Esfera metálica - Un trozo de cuerda ligera - Flexometro - 5 Cronómetros - Calibrador Vernier
- PROCEDIMIENTO: 1. Nivelamos el soporte del equipo con el plano horizontal, con los tornillos de apoyo. 2. Medimos el diámetro de la esfera con el vernier calibrador. 3. Sujetamos el péndulo simple a un punto fijo que se encontraba en la varilla superior del equipo, de manera que la longitud L de la cuerda es la distancia entre el borde superior de la esfera y el eje de oscilación, comenzamos con 20 cm de longitud. 4. Desplazamos la esfera a partir de su punto de equilibrio con ángulos menores o iguales a 10º luego soltamos la esfera para que esta empezara a producir un movimiento armónico simple de oscilación. 5. Registramos el tiempo de 10 oscilaciones con cinco diferentes cronómetros. 6. Incrementamos la longitud de la cuerda en 10 cm luego realizamos nuevamente la toma del tiempo de 10 oscilaciones hasta completar la tabla 3.1 7. Debemos obtener 10 datos. 8. Después debemos calcular la media aritmética de los 5 tiempos que registramos con los cronómetros para cada longitud. Y posteriormente hallar el periodo de oscilación P
̅ ).
(
Cuerda ligera
Soporte del equipo Esfera metálica
Vernier calibrador
Flexometro Cronometro
Resultados y discusión
D= (41,60
± 0,005) ×10−[] ; 0,01 %
Gráfico
Figura 1. Representación gráfica
2.2 2 1.8 1.6 1.4 ] s [
1.2
P
1 P[S]
0.8 0.6 0.4 0.2 0 0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
L[m]
Figura 1. Periodo en función de la longitud total para el péndulo simple.
Por tanto, la ecuación de ajuste escogida es:
P= a
Linealizamos y la gráfica que obtenemos es una recta: 0.4 0.35 0.3 ) s ( ʹ
0.25
P = ) P ( g o l
0.2
Series1
0.15
Linear (Series1)
0.1 0.05 0 -0.3
-0.2
-0.1
0
0.1
0.2
log (L) = Lʹ (m)
Figura 2. Log (p) en función de log (L), es la gráfica linealizada a partir de la gráfica anterior. La línea naranja representa los datos linealizados por logaritmos, y la línea delgada negra es un ajuste lineal a nuestros datos.
Con el modelo de ajuste escogido encontrar el valor de la aceleración de la gravedad local con su respectivo error:
(9.97±0.05) ;0.5% *consultar apéndice para los cálculos de M.M.C. Para el péndulo simple
Discusión Al estudiar por separado la dependencia del periodo con el ángulo y la masa de la esfera, observamos que estos parámetros no afectan dicho periodo, sin embargo, al comparar la secuencia de periodos obtenidos con respecto a diferentes longitudes de la cuerda, observamos un aumento significativo en el periodo a medida que se incrementa la longitud. Al graficar Periodo (Pʹ) vs. Longitud (Lʹ) se obtuvo una recta que nos indicó la dependencia entre estos parámetros, y así por medio de los resultados teóricos y datos tomados en el laboratorio se calculó en valor de la aceleración gravitacional que actúa en la ciudad de Cochabamba, con una gran exactitud respecto al valor teórico y buena precisión debido a que su error porcentual fue pequeño
CONCLUSIONES
Al realizar la experiencia, se observó que en péndulo simple están involucradas las siguientes fuerzas: Tensión, W (Peso con sus respectivas componentes), este último es el responsable de que tienda a la posición de equilibrio, y es por ello que la esfera regresa a su posición inicial.
El periodo de oscilación de un péndulo simple no solo es independiente de las condiciones iniciales, sino que además es independiente de la masa, solo depende de la longitud del péndulo y la aceleración gravitacional del lugar .Por esa razón podemos decir entonces que todos los péndulos simples de igual longitud en el mismo sitio oscilan con periodo iguales.
La gravedad que hallamos es la esperada, ya que los lugares más alejados del centro de la tierra la gravedad es menor y la mientras más cerca la gravedad es mayor. Y es por eso que la gravedad que obtuvimos es la esperada.
REFERENCIAS
* Del libro de laboratorio de física básica II * http://es.wikipedia.org/wiki/Linealizaci%C3%B3n * http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/dinamica/trabajo/pendulo/pendulo.htm * http://www.monografias.com/trabajos12/pensi/pensi.shtml * http://albergonmu.blogspot.com/2011/04/g-gravedad-aceleracion-de-la.html
APENDICE tabla 3.1
L[m]
t3[s]
t1[s] t2[s] 0,2 9,31 0,3 11,43 0,4 13 0,5 14,77 0,6 15,63 0,7 17,18 0,8 18,19 0,9 19,34 1 20,09
14,22 15,31 17,04 17,81 18,5 20
1,1
20,63
21,15
9,22 11,56 12,24
t4[s] t5[s] 9,2 9,3 11,47 11,5 12,75 13,03 14,4 14,97 15,7 15,47 16,05 16,6 17,6 17,81 18,9 18,81 20 20 20,8 20,84
tabla 3.2 n
t[s]
P[S]
L[m]
1
9,36
0,936
0,22
2
11,44
1,144
0,32
3
12,7
1,27
0,42
4
14,57
1,457
0,52
5
15,34
1,534
0,62
6
16,88
1,688
0,72
7
17,6
1,76
0,82
8
18,75
1,875
0,92
9
20
2
1,02
10
20,56
2,056
1,12
9,8 11,24 12,45 14,5 14,59 17,12 16,59 18,2 19,89 19,38
El modelo de ajuste es:
log log + P’ =
A
+
BL’
Linealizar la curva no lineal. Seguidamente, con el método de mínimos cuadrados determinar los parámetros de la curva linealizada
A = 0,2918 B = 0,4831 r =0,9988
Y ahora hallamos los errores de A y B:
∆ ∗ ∑ 2,5872 × 10− ∆ ∗ 8,2876 × 10− Y tenemos:
0,2918±0,0026); 0,89%
A=(
B=(
0,4831±0,0082 ); 1,7%
Posteriormente encontrar los parámetros del modelo escogido con sus respectivos errores
a=1,9583
