UNIVERSIDAD MAYOR DE SAN ANDRÉS FACULTAD DE INGENIERÍA INGENIERÍA INDUSTRIAL
LABORATORIO DE FISICA I
LABORATORIO 8 Péndulo Simple
FERNANDA CARVALLO CARVALLO RIVERA RIVERA ESTUDIANTE: UNIV. CAMILA FERNANDA TITULO: SEGUNDA LEY DE NEWTON GRUPO: D CARRERA: ING. INDUSTRIAL DOCENTE: RENÉ DELGADO SALGUERO FECHA DE REALIZACION: FECHA DE ENTREGA: 27 DE NOVIEMBRE DE 2017
LA PAZ – BOLIVIA
Contenido
INFORME N° 8 ........................................................................................................................................ 3 PÉNDULO SIMPLE ................................................................................................................................ 3 1. OBJETIVOS: .................................................................................................................................... 3 2. FUNDAMENTO TEORICO: ........................................................................................................... 3 a) Máximo ángulo de separación (θ). ................................................................................................ 5 b) Máximo radio de la esfera. ............................................................................................................ 6 c) Medida del periodo. ....................................................................................................................... 7 3. MATERIALES: ................................................................................................................................ 8 4. PROCEDIMIENTO: ......................................................................................................................... 8 A) Determinación de la aceleracion de la gravedad. ........................................................................... 8 B) Ecuación empírica del periodo ...................................................................................................... 9 5. CALCULOS Y ANÁLISI DE GRÁFICAS (ANÁLISI DE DATOS): ............................................ 9 A) Determinación de la aceleracion de la gravedad. ........................................................................... 9 B) Ecuación empírica del periodo. .................................................................................................... 12 6. CONCLUSIÓN: .............................................................................................................................. 14 7. CUESTIONARIO: .......................................................................................................................... 15 8. BIBLIOGRAFIA:............................................................................................................................ 17
INFORME N° 8 PÉNDULO SIMPLE
1.
OBJETIVOS:
Determinar experimentalmente, el valor de la aceleración de la gravedad y la ecuación empírica del periodo de oscilación del péndulo simple. 2.
FUNDAMENTO TEORICO:
Un péndulo simple consiste en una masa pequeña suspendida en un hilo inextensible carente de peso. Cuando la masa es apartada de su posición de equilibrio y luego abandonada, el péndulo oscila alrededor de ésta posición en un plano vertical con un movimiento que a la vez es periódico. El p éndulo oscila con un periodo “T” que vienen a ser el tiempo empleado en efectuar una oscilación completa.
Se define frecuencia “f” como el número de oscilaciones en la unidad de tiempo, por lo tanto, la frecuencia es la inversa del periodo: f
1 T
(1)
Para iniciar el análisis elegiremos dos ejes, uno en dirección tangente a la trayectoria y el otro radial. En el plano así formado se representan todas fuerzas que actúan sobre la masas del péndulo en el instante en que es apartado de su posición de equili brio un pequeño ángulo “θ” Si descomponemos el peso en la dirección del eje tangencial a la trayectoria tenemos: = sen
W x mgsen
(2)
Por tratarse de un ángulo muy pequeño:
sen
Entonces: W x mg
La fuerza recuperadora será:
F
W x
F mg
(4)
(3)
El signo negativo indica que esta fuerza tiende a regresar al péndulo a su posición inicial.
Como el ángulo “θ” es pequeño, se asume que el arco que describe la masa al oscilar es aproximadamente un desplazamiento lineal: (5)
x L
Por lo tanto tenemos:
F
mgx
(6)
L
Donde se puede observar que la fuerza recuperadora “F” para pequeños desplazamiento es directamente proporcional a la elongación “x”: F
siendo k
mg
L
(7)
kx
, la denominada constante recuperadora efectiva del péndulo.
La condición necesaria para que el movimiento de un cuerpo sea catalogado como movimiento armónico simple (M.A.S.) es que se halle sometido a una fuerza recuperadora que sea directamente proporcional a la elongación y de sentido opuesto. Si aplicamos la Segunda Ley de Newton a la masa del péndulo tenemos: mg
(8)
ma
a L
(9)
d 2
(10)
2
dt
d 2
Reemplazando (9), (10) en la ecuación (10):
2
g
dt
L
(11)
0
El segundo término de esta ecuación representa la frecuencia angular “ ” elevada al cuadrado, es decir: d 2 2
dt
2
Como y además:
2
0
(12)
g L 2
T
(13)
T
2
L g
(14)
(15)
2
g
4 L
T 2
La ecuación (15) nos permite determinar la aceleración de la gravedad local previamente conocidos el periodo y la longitud del péndulo. Como es imposible experimentar con un péndulo simple, que es nada más que un modelo ideal y como, durante el desarrollo del experimento se utilizará una pequeña esfera metálica que en realidad no es una masa puntual sino una masa que posee dimensiones; la esfera deberá cumplir ciertas condiciones
para que el péndulo es estudio sea considerado “péndulo simple”. a)
Máximo ángulo de separación (θ).
Antes de inicia la práctica es necesario determinar cuán pequeño puede ser considerado en ángulo de separación. Si la amplitud de oscilación es pequeña, el periodo del péndulo esta en función del ángulo de separación según la siguiente expresión: T 2
L 1 9 1 sen 2 sen ................. g 4 2 64 2
(16)
Si despreciamos los términos de potencias superiores por ser valores muy pequeños y consideramos únicamente los dos términos, tenemos: T 2
Si se desarrolla la serie de
sen
2
L 1 1 sen 2 g 4 2
(17)
y se desprecian los términos superiores: 2
L 2 1 .............. T 2 g 16
(18)
Despejando de la ecuación (18) la aceleración de la gravedad y además despreciando los términos superiores se tiene.
4 2 L 2 1 g 1 8 T 2
Además:
g
(19)
4 2 L
(15)
T 2
El error cometido en la determinación de la aceleración de la gravedad por influencia del ángulo de separación será: g g 1 g
g g
g
g
2
8 2
(20)
8
Para que este error relativo sea despreciable es necesario que el valor
2
sea muy pequeño comparado 8
con el error relativo prefijado para la determinación de la aceleración de la gravead. Para que se cumpla esta condición el valor debe ser por lo menos la décima parte del error relativo prefijado.
2
8
E rg
(21)
10
Con la ecuación (21) podemos calcular el máximo valor que puede adoptar el ángulo de separación en radianes. b)
Máximo radio de la esfera. Como el péndulo que se utiliza en el experimento es un péndulo real, su movimiento también puede ser analizado por Dinámica
2
I P I G mL T 2
I p
mgL
del cuerpo rígido. El periodo de oscilación del péndulo físico, es decir del péndulo real esta dado por: P m
L
T e n g s m
m m g
(22)
c o s
mg
Momento de inercia respecto al eje de suspensión “P”. Según el teorema de Steiner:
I P
(23)
I G
Momento de inercia respecto al eje que para por el centro de gravedad de la esfera.
I G
2
mR
(24)
2
5
Reemplazando en la ecuación (22) se tiene: 2 R 2 L 1 2 5 L T 2
(25)
g
Despejando la aceleración de la gravead: 2 R 2 4 L 1 2 5 L g 2 2 2
(26)
T
El error que se comete en la mediad de la aceleración de la gravedad al considerar la masa de la esfera como para puntual será: g g 2 g 2 R 2 g g 2 5 L g
g
2 R 2 2
5 L
2 R 2 5 L2
E rg
(27) (28)
10
Utilizando la igualdad se puede calcular el radio máximo que debería tener la esfera para que el péndulo en estudio sea considerado péndulo simple. c)
Medida del periodo.
Para no sobrepasar el error relativo prefijado en la determinación de la aceleración de la gravedad, se deben efectuar un número mínimo de oscilaciones para la medida del periodo. El valor medido del periodo se lo puede expresar como: T T T
Donde:
T
T
Valor más probable del periodo Error del periodo T
t n
n
También en este caso: Donde:
T
t n
e
n
Tiempo empleado para las “n” oscilaciones
n
e
Número de oscilaciones
Error del dedo del cronometrista
El error relativo del periodo será: E rT
T
T
e T ' n
Despejando el número de oscilaciones: n
T '
3.
e E rT T '
(29)
Periodo aproximado
MATERIALES: esfera metálica hilo inextensible cronómetro tornillo micrométrico regla metálica Tablero (plano vertical)
4.
PROCEDIMIENTO:
A) Determinación de la aceleracion de la gravedad. a) El docente asignará el error parcentual prefijado para la determinacion de la aceleracion de la gravedad.
b) Medir el diametro de la esfera y la longitud del hilo (aproximadamente 70 cm del punto de
suspension “P” al centro de gravedad de la esfera). c)
Utilizando la ecuacion (21), calcular la amplitud angular máxima “θ” y el desplazamiento “x”. x L
d) Mediante la ecuacion (28), determinar el radio máximo y compararlo con el radio de la esfera para verificar si el péndulo es estudio puede ser considerado péndulo simple. e) Empleando la ecuación (15), realizar el proceso inverso de propagacion de errores y determinar el error relativo que se deve cometer en la medida del periodo. f)
Para 10 ocsilaciones, medir el periodo aproximado T’, repetir el procedimiento tres veces y
sacar el promedio.
T '
t ' 10 10
g) Con la ecuación (29), calcular el valor de “n”. h) Medir el tiempo para las “n” oscilaciones cinco veces, sacar el promedio y determina r el periodo y su correspondiente error. B) Ecuación empírica del periodo a) Considerando en número “n” de oscilaciones determinado, medir el periodo de oscilación para diferentes longitudes de hilo. b) Construir una tabla con los valores de T y 5.
L
CALCULOS Y ANÁLISI DE GRÁFICAS (ANÁLISI DE DATOS):
A) Determinación de la aceleracion de la gravedad. Con los valores obtenidos calculamos la aceleración de la gravedad utilizado las ecuaciones (15), (19) y (26). Determinar en cada caso los correspondientes errores. Comparar los resultados y comentar al respecto.
Error porcentual para “g” asignado:
Erg* = 0,015
Radio de la esfera metálica
R = 1,1 cm = 0,011 m
Longitud del péndulo:
L = 74 cm = 0,74 m
De la ecuación:
2
8
E rg
10 8 E rg 10
8(0,015) 10
Amplitud angular máxima:
0 ,1095rad 360º
0 ,1095 rad
2 rad
Amplitud máxima
6 ,27 º
= ∗ = 0.74 ∗ 0.1095 = 0.08103
Radio máximo de la esfera: 2 R 2 5 L2
E rg
2 R 2
5 L2
10 2
R
L E rg
R
4
Rmáx
E rg 10
0 ,742 0 ,015 4
0 ,0453m
Como se puede observar el radio de la esfera no es mayor al radio máximo calculado. Por propagación inversa de errores el error relativo que se debe cometer en la medida del periodo. g
4 2 L
T 2 ln g ln 4 2 ln ln L 2 ln T 2 T g L
g E rg
L E rL
T 2 E rT
E rg E rL
E rg *
E rL
2 E rT
Soluciones
E rT
E rg *
N
2 E rT E rT
E rg *
E rT
E rg * N
E rg *
N E rg *
2 N
2 E rT
0 ,0375
Para 10 oscilaciones, medimos el periodo aproximado T’:
0 ,015 22
t’10 = 17,4 segundos
T '
t '10
17,4
10
T '
10
1,74s / oscilación
Calculo de número de oscilaciones: n
e
n
E rT T '
0 ,2
0 ,00375 1 ,74
n 30 ,651oscilacion es n 35oscilaciones
Tiempo para las “n” oscilaciones:
tn = 60,55 segundos
El error del periodo de oscilación será:
T
T 1 ,73 0 ,0065
A partir de la ecuación:
g 1
g 1
g 1
4 2 L T 2
e n
0 ,2 30 ,651
0 ,00652
s / oscilación
4 2 L T 2 4 2 0 ,74
1 ,732
9 ,761m / s 2
El error del valor de g 1: g 1
E rg *
g
g 1
0 ,015 9 ,761
g 1 0,0015
g 1 9,761 0,002m / s
Calculo de la gravedad a partir de la ecuación: 4
g 2
2 R 2 1 5 L2
L
2
T
2
2 0,011882 1 5 0,742
4 0,74 2
g 2
1,732
2
g 2
Hallar el error del valor de g 2: g 2
9,762m / s
E rg *
2
g 2
g
0 ,015 9 ,762
g 2 0,00154
g 2 9,762 0,002m / s
2
Como se puede observar el valor de la gravedad no varía de forma significativa. B) Ecuación empírica del periodo. a) Construir la gráfica T versus
L
, ajustar la recta por el método de mínimos cuadrados o obtener la
pendiente “B”. L (m)
tn (s)
T
0,74
16,97
1,697
0,86023253
0,695
16,18
1,618
0,8336666
0,622
15,56
1,556
0,78866977
0,557
14,6
1,46
0,74632433
0,489
13,67
1,367
0,69928535
0,41
12,55
1,255
0,64031242
gráfica T versus √L 10 y = 5.1218x0.9908 R² = 0.997
9 8 7 ) s ( T
6 5 4 3 2 1 0 0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
√L (m)
1.2
1.4
1.6
1.8
T
1,697
Log T log 0,860233 0,0042751 0,229682
-0,01501755 -0,06538414
1,618
0,833667 0,0062422 0,208979
-0,01651089
1,556
0,78867
-0,01979711 -0,10310481
0,0106306
T*
0,19201
Log
-0,0790076
1,46
0,746324 0,0161474 0,164353
-0,02088471
-0,1270724
1,367
0,699285 0,0241322 0,135769
-0,02109104 -0,15534557
1,255
0,640312 0,0374841 0,098644
-0,01909822 -0,19360807
8,953
4,568491 0,0989116 1,029435
-0,11239952 -0,72352259
”La gráfica será una Función potencial” T
n BS
log T log B n log S T i
i
i
i
i
Bi
Bi
b)
Bi
S T S T 2 2 N S S
N n
i
nS i
6( 0,1124) (0,7235)(1,029) 6(0.0989) (0,7235) 2
i
1.001
T n S 1,029435 (1.001)(0,7235) 0,2923 i
i
6
N
log B B Anti log Bi
B
Anti log( 0,2923)
B
1,9601
Entonces la ecuación del movimiento será: T
T
Ecuación Experimental: T
2 g
L
1,96 S
1,96
L
2 g
T
2,01 L
2 9 ,78
2 ,00914
n 1
Ecuación Teórica:
Curva teórica experimental. c)
Utilizando la siguiente relación determinamos la aceleración de la gravedad. B
2 g
2 B
g
g
6,28m / s
g
2
2
6,28m / s De los valores obtenidos para la aceleración de la gravedad, ¿Cuál cree que es la más g
d)
2 1.001
confiable? ¿Por qué? Sin considerando a la masa como puntual
g 1
Considerando la masa como puntual
g 2
Encontrado de la ecuación empírica del periodo
g
9,761 9,762
6,28
m/ s
2
m/ s 2
2
m/ s
El valor de la gravedad más confiable es la qconsiderando la masa puntual, aunque su valor no difiere de la que no considera la masa como puntual. 6.
CONCLUSIÓN:
Se pudo observar que el valor de la gravedad experimental en el inciso B está alejado del valor de la gravedad teórica. Esto se debe a errores de medición. Se pudo ver el fenómeno de oscilacin del péndulo, donde se determino que el período de un péndulo sólo depende de la longitud de la cuerda y el valor de la gravedad (la gravedad varia en los planetas y satélites naturales). Debido a que el período es
independiente de la masa, se puede decir que todos los péndulos simples de igual longitud en el mismo sitio oscilan con períodos iguales. A mayor longitud de cuerda mayor período. El valor de la aceleración de un cuerpo debida a la atracción gravitatoria de la Tierra sobre él, varía con la distancia al centro de la Tierra. El ecuador está más alejado del centro de la Tierra de lo que lo están los polos. Esto significa que el valor de g va en aumento desde el ecuador (latitud 0º) hacia los polos (cuyas latitudes son 90º). Por lo tanto es correcto que la ciudad de La Paz tenga un valor de g inferior al medido en el ecuador que es de 9.78039 m/s².
7. 1)
CUESTIONARIO: Enunciar las Leyes del péndulo.
1º Ley: “El periodo “T” de un péndulo es independiente de su trayectoria de oscilación” 2º Ley: “El periodo “T”, de un péndulo es independiente de su masa” 3º Ley: “El periodo “T”, de un péndulo es directamente proporcional a la raíz cuadrada de su longitud
“L”. 4º Ley: “El periodo”T”, de un péndulo, es inversamente proporcional a la raíz cuadrada de la gravedad”. 2)
Para una oscilación del péndulo, ¿en que posición son máximas las velocidad y la
aceleración? Explicar con un dibujo. La tensión de la cuerda no es constante, sino que varía con la posición angular θ. Su valor máximo se alcanza cuando θ=0, el péndulo pasa por la posición de equilibrio (la velocidad es máxima). Su valor mínimo, cuando θ=θ0 (la velocidad es nula).
3)
Construir un bosquejo de la gráfica Amplitud versus Tiempo para una oscilación
completa del péndulo.
El tiempo que tarda el péndulo en realizar una oscilación (es decir el periodo) va variando en función de la amplitud, el valor del periodo va variando cada vez en magnitudes pequeñas y tiende a ser constante. 4)
La fuerza recuperadora que actúa sobre el péndulo, ¿es constante ó variable? Argumente
su respuesta. La fuerza recuperadora W x es variable, porque el ángulo que nuestra al péndulo es variable, es decir en el punto más alto de su trayectoria (v = 0) mayor es la fuerza recuperadora, en el punto más bajo de su trayectoria (vmáx) la fuerza recuperadora es cero (0). 5)
¿Influye la rotación de la tierra en el valor de la aceleración de la gravedad? ¿Por qué?
No, porque el valor de la gravedad depende de cuan alto este el punto en estudio del centro de la Tierra, y la rotación de la Tierra no cambia dicha altitud. 6)
Investigar el valor de la aceleración de la gravedad para la ciudad de La Paz.
El valor de la aceleración de la gravedad es aproximadamente:
9,78 m/s 2.
8.
BIBLIOGRAFIA:
Ing. René Delgado
Laboratorio de Física Básica I Física Resnick – Halliday
Manual para el tratamiento de datos en física experimental. Soria Manuel.
