Persamaan Keadaan Dan Turunan Parsial Dalam Termodinamika

BAB I PENDAHULUAN

1.1 Latar Latar Belakan Belakang g Di dalam alam fisika fisika da dan termodinamika, termodinamika, persam persamaan aan keadaa keadaan n adalah adalah

persamaan termodinamika yang menggambarkan keadaan materi di bawah seperan seperangka gkatt kondis kondisii fisika. fisika. Persam Persamaan aan keadaa keadaan n adalah adalah sebuah sebuah persamaan konstitutif yang yang menye menyediak diakan an hubung hubungan an matema matematik tik antara antara dua atau lebih lebih fungsi keadaan yang berhubungan dengan materi, seperti temperatur , tekanan, volume dan volume dan energi dalam. dalam. Persamaan keadaan berguna dalam menggambarkan sifat-sifat fluida, fluida, campuran fluida, padatan, fluida, padatan, dan dan bahkan bagian dalam bintang dalam bintang.. Penggunaan paling umum dari sebuah persamaan keadaan adalah dalam memprediksi keadaan gas dan cairan. Salah satu persamaan keadaan paling sederhana dalam penggunaan ini adalah hukum hukum gas ideal, ideal , yang cukup akurat dalam memprediksi keadaan gas pada tekanan rendah dan temperatur tinggi. Tetapi persamaan ini menjadi semakin tidak akurat pada tekanan yang maki makin n ting tinggi gi dan dan temp temper erat atur ur yang ang maki makin n rend rendah ah,, dan dan gaga gagall dala dalam m memprediksi kondensasi dari gas menjadi cairan. amun demikian, sejumlah persamaan keadaan yang lebih akurat telah dikembangkan untuk berbagai macam gas dan cairan. Saat ini, tidak ada persamaan keadaan tunggal yang dapat dengan akurat memperkirakan sifat-sifat semua !at pada semua kondisi. 1.2 Rumusan Rumusan Masalah Masalah ". #agaim #agaimana ana meng mengetah etahui ui persam persamaan aan keada keadaan an $ %. #agaimana #agaimana mengetah mengetahui ui persama persamaan an keadaan keadaan gas sempurna$ sempurna$ &. #agaimana #agaimana mengetahui mengetahui persamaan persamaan keadaan keadaan gas gas nyata$ nyata$ '. #agaimana #agaimana mengetahu mengetahuii ketetapan ketetapan gas (a (an der )aal )aals$ s$ 5. #agaimana hukum bersesuaian$ *. #agaim #agaimana ana turu turunan nan parsia parsiall +pangg +panggu$ u$ . #agaimana #agaimana penerapa penerapan n turunan turunan parsial parsial pada system system termodinam termodinamika$ ika$ . #agaimana #agaimana koefisie koefisien n muai muai kubik kubik dan ketermampat ketermampatan$ an$ /. #aga #agaim iman anaa difere diferens nsia iall eksak$ eksak$ "0. #agaimana hubungan hubungan lain turunan parsial$ 1.3 Tujuan ujuan

Persamaan Keadaan Dan Turunan Parsial Dalam Termodinamika Termodinamika

Page 1

". 1enjela 1enjelaskan skan pesrsam pesrsamaan aan keadaa keadaan. n. %. 1enjela 1enjelaskan skan persa persamaa maan n keadaan keadaan gas gas sempurn sempurna. a. &. 1enjela 1enjelaskan skan persam persamaan aan gas nyata. nyata. '. 1enjelaskan 1enjelaskan tetapan tetapan gas (an der der )aal )aals. s. 2. 1enjela 1enjelaskan skan hukum hukum keada keadaan an berses bersesuai uaian. an. *. 1enjela 1enjelaskan skan turuna turunan n parsia parsiall +panggu +panggu. . . 1enjelaskan 1enjelaskan penerapan penerapan turuna turunan n parsial parsial pada pada system system termodinam termodinamika. ika. . 1enjelaskan 1enjelaskan koefisien koefisien muai kubik kubik dan dan ketermam ketermampatan. patan. /. 1enjela 1enjelaskan skan difere diferensi nsial al eksak. eksak. "0. 1enjelaskan hubungan hubungan lain turunan parsial.

BAB II PERAMAAN !EADAAN

2.1 Persamaan !ea"aan

Persamaan keadaan suatu sistem ialah hubungan antara variabel-variabel keadaan atau koordinat termodinamik sistem itu pada suatu keadaan seimbang. 3eadaan setimbang suatu sistem yang terdiri atas sejumlah gas, ditentukan oleh tekanannya +p, volumenya +(, suhunya +T, dan massanya +m. #esaran-besaran seperti inilah yang disebut variabel keadaan atau koordinat termodinamik. 4adi persamaan keadaan sistem ini secara umum adalah5


+%-"

Page 2

". 1enjela 1enjelaskan skan pesrsam pesrsamaan aan keadaa keadaan. n. %. 1enjela 1enjelaskan skan persa persamaa maan n keadaan keadaan gas gas sempurn sempurna. a. &. 1enjela 1enjelaskan skan persam persamaan aan gas nyata. nyata. '. 1enjelaskan 1enjelaskan tetapan tetapan gas (an der der )aal )aals. s. 2. 1enjela 1enjelaskan skan hukum hukum keada keadaan an berses bersesuai uaian. an. *. 1enjela 1enjelaskan skan turuna turunan n parsia parsiall +panggu +panggu. . . 1enjelaskan 1enjelaskan penerapan penerapan turuna turunan n parsial parsial pada pada system system termodinam termodinamika. ika. . 1enjelaskan 1enjelaskan koefisien koefisien muai kubik kubik dan dan ketermam ketermampatan. patan. /. 1enjela 1enjelaskan skan difere diferensi nsial al eksak. eksak. "0. 1enjelaskan hubungan hubungan lain turunan parsial.

BAB II PERAMAAN !EADAAN

2.1 Persamaan !ea"aan

Persamaan keadaan suatu sistem ialah hubungan antara variabel-variabel keadaan atau koordinat termodinamik sistem itu pada suatu keadaan seimbang. 3eadaan setimbang suatu sistem yang terdiri atas sejumlah gas, ditentukan oleh tekanannya +p, volumenya +(, suhunya +T, dan massanya +m. #esaran-besaran seperti inilah yang disebut variabel keadaan atau koordinat termodinamik. 4adi persamaan keadaan sistem ini secara umum adalah5


+%-"

Page 2

4ika yang diketahui bukan jumlah massanya melainkan jumlah molnya +n, maka persamaan keadaan itu secara umum adalah5 +%-% 6ntuk satu mol gas persamaan keadaannya menjadi +%-&

2.2 Persamaan!ea"aan Persamaan!ea"aan #as em$urna em$urna %I"eal& %I"eal&

Persam Persamaan aan keadaa keadaan n

gas sempu sempurna rna seperti seperti yang yang sudah sudah

diketa diketahui hui

sebelumnya yaitu5 6ntuk satu mol +%-'a 6ntuk n mol +%-'b 6ntuk m kg +%-'c 3eterangan5 1 7 bobot molekul 7 massa massa tiap " mol mol gas 8 7tetapan gas umum untuk " mol

Dengan5 8 7 0,0%"atm mol -" 3 -" 8 7 ,&"'& 4 mol -" 3 -"

+S9

8 7 ,&"'&: "0 & 4 mol-" 3 -"

+13S

8 7 ,&"'& : "0  erg mol -" 3 -"

+;
8 7 % kal mol -" 3 -"

2.3 Persamaan!ea"aan Persamaan!ea"aan #as N'ata N'ata %Real %Real #as&


Page 3

Tahun ahun

"& "&

(ander nder

)aals,

seoran seorang g

fisikaw fisikawan an

bangsa bangsa

#eland #elandaa

menjabarkan persamaan berikut, untuk melukiskan keadaan gas nyata. +%-2a

+%-2b Pers. +%-2a berlaku untuk " mol gas dan Pers. +%-2b untuk n mol gas. Sementara untuk a dan b adalah tetapan, yang disebut tetapan Van der Waals , tetapi nilainya nilainya berbeda berbeda untuk gas yang berbeda, berbeda, sehingga sering pula disebut sebaga sebagaii tetapa tetapan n gas indivi individua duall +indivi individua duall gas consta constant nt . . Pada tabel "."a diperlihatkan nilai kedua tetapan ini untuk beberapa macam gas. 4ika volume gas besar sekali, maka a=(%dan b dalam kedua persamaan di atas dapat diabaikan, sehingga persamaan kembali menjadi persamaan keadaan untuk gas sempurna. Persamaan bentuk lain ialah yang disebut persamaan virial. +%-* >, #, ;, ...adalah fungsi suhu dan disebut koefisien virial. 6ntuk gas sempurna > 7 8T dan # 7 ; 7 D 7 ....... 7 0. Persamaan (an (an der )aals )aals pun dapat ditulis dalam bentuk virial. Persamaan +%-2a dapat diubah menjadi

Dengan rumus binomial

4adi dalam bentuk virial persamaan (an der )aals )aals menjadi


Page 4

Dalam hal ini maka5 > 7 8T? # 7 8Tb @ a? ; 7 8Tb % dan seterusnya. Persamaan #eattie @ #ridgeman sangat cocok dengan hasil eksperimen untuk untuk kawasan kawasan p, (, dan dan T yang luas. Persamaan ini adalah modifikasi modifikasi dari persamaan virial. +%-

+%-

+%-/ +%"0 >o, a, #o, b, dan ; adalah tetapan yang berbeda nilainya untuk gas yang berbeda. Tabel3-1.tetap bel3-1.tetapan an a dan b dalam persamaan Van Van der Waals aals untuk untuk beberapa beberapa macam gas Aat Be

a +4.m&.3 mol-% &,'' : "0 &

b +m&.3 mol-" 0,0%&'

B%

%',0

0,0%**

C%

"&,00

0,0&"

;C%

&**,00

0,0'%/

B%C

20,00

0,0&"/

Bg

%/%,00

0,0022

2.( B)"ang $*+*T $*+*T #as em$urna

4ika variabel p, (, dan T dari persamaan keadaan gas sempurna dilukiskan pada tiga sumbu saling tegak lurus, maka terbentuklah bidang p-(-T atau keadaan gas sempurna. #idang ini berbentuk paraboloid hiperbolik, seperti terlihat pada

Page 5

Gambar 2-1.Bidang p-V-T gas sempurna Tiap keadaan seimbang bersangkutan dengan sebuah titik pada bidang ini. Suatu proses kuastitatik dinyatakan oleh sebuah garis pada bidang tersebut. Proyeksi perpotongan bidang p-(-T dengan bidang-bidang datar yang tegak lurus sumbu T pada bidang p-( adalah proses isotermal dan grafiknya berupa hiperbola sama sisi +
Gambar2-2. Proses isotermal

Gambar2-3. Proses isokhorik

Proyeksi perpotongan bidang p-(-T dengan bidang-bidang datar tegak lurus sumbu p pada bidang (-T adalah proses isobarik, berupa garis lurus +
Persamaan Keadaan Dan Turunan Parsial Dalam Termodinamika

Page 6

Gambar2-. Proses isobarik

2., B)"ang $*+*T #as N'ata

Sifat-sifat gas nyata menyimpang dari sifat-sifat gas sempurna. 1olekulmolekul gas sempurna tidak tarik-menarik dan tidak mempunyai volume. 1olekul-molekul gas nyata tarik-menarik serta mempunyai volume.
p

(a)

!b"

Gambar2-#. Proses isotermal. !a" Gas sempurna$ !b" Gas n%ata Pada gas sempurna setiap penempatan +pengecilan volume selalu diikuti oleh kenaikan tekanan, dan hal ini sesuai dengan hukum #oyle +

Page 7

di titik c semua uap telah menjadi cair. Pemampatan selanjutnya akan diikuti oleh kenaikan tekanan yang besar, karena cairan sukar sekali dimampatkan. Dalam proses pencairan atau kondensasi ini tentu saja energi panas perlu dikeluarkan dari sistem. 4ika proses ini diadakan pada suhu yang lebih tinggi +T %ET", maka garis koeksistensi b-c menjadi lebih pendek dan pada suhu tertentu, yang disebut suhu kritis +Tk , garis koeksistensi ini menjadi nol +titik b berimpit dengan titik c. Tekanan yang bersangkutan dengan suhu kritis ini disebut tekanan kritis +p k  dan volume +(k . Di atas suhu kritis gas nyata tak dapatdicairkan dengan cara pemampatan. Di sini gas sejati mengikuti dengan baik hukum #oyle dalam kawasan yang agak luas. Suatu !at nyata!real subtance" dapat berada dalam fase gas pada suhu yang cukup tinggi dan tekanan rendah. Pada suhu rendah dan tekanan tinggi dapat terjadi transisi ke fase cair dan padat. 3arena itu bidang p-(-T gas nyata hanyalah merupakan bagian dari bidang p-(-T !at nyata. Dalam hal ini perlu dibedakan adanya dua macam !at nyata, yaitu !at yang menguncup dan mengembang ketika membeku. ;ontoh jenis pertama adalah ;C % dan yang kedua air seperti yang terlukis pada
Gambar 2-7. Bidang p-V-T zat yang mengembang saat Turunan Parsial Dalam membeku

Gambar2-6. Bidang p-V-T zat yang menguncupsaatmembeku

Persamaan Keadaan Dan Termodinamika

Page 8

Diperlihatkan pula suatu garis yang disebut garis tripel, tempat ketiga fase dapat berada bersama. Seperti pada gambar sempurna, maka tiap garis pada bidang p-(-T ini menyatakan proses kuasistatik yang mungkin terjadi. Semua irisan dengan bidang-bidang datar tegak lurus sumbu T, menyatakan proses isotermal.
(a)

!b"

Gambar 2-&. !a" 'ntuk (at %ang menguncup pada pembekuan$ !b" 'ntuk (at %ang mengembang pada pembekuan

!a"

!b"

Gambar 2-). !a" 'ntuk(at %ang menguncuppadapembekuan$ !b" 'ntuk(at %ang mengembangpadapembekuan


Page 9

Suhu +3 %,"*

Tekanan +Torr &,&00

Bidrogen

"&,'0

2%,00

Deuterium

", *&0

"%,00

eon

%',*&0

&%',000

itrogen

*&,"0

/',000

Cksigen

2',&*0

","'0

>monia

"/2,'00

'2,20

3arbon dioksida

%"*,220

&,000

Sulfur dioksida

"/,*0

",%2*

>ir

%&,"*0

',20

6ap dan cairan di kawasan koeksisitensi disebut uap jenuh dan cairan jenuh. Tekanan oleh uap jenuh disebut tekanan uap. Tentu saja tekanan uap adalah fungsi suhu yang akan naik. Pada diagram p-T diperlihatkan kurva tekanan uap. #entuk umum kurva ini untuk semua !at adalah sama, tetapi tekanan uap pada suhu tertentu sangat bervariasi antara satu !at dengan !at yang lain. 4ika pada proses pemanpatan isothermal dilanjutkan setelah semuan mencair, maka pada suatu saat timbullah kristal-kristal !at padat, yaitu di kawasan koeksistensi padat-cair. Pada kawasan ini tekanan tetap konstan. Pemanpatan selanjutnya akan diikuti oleh kenaikan tekanan yang besar., kecuali apabila terbentuk !at padat bentuk lain. Fs adalah sontoh untuk hal yang kedua ini. Paling sedikit dapat diamati adanya btujuh bentuk !at padat yang berbeda pada tekanan yang sangat besar. 4ika volume sistem secara perlahan-lahan diperbesar, maka semua proses seperti yang telah dijelaskan di atas terjadi pula, tetapi dengan arah yang


Page 10

berlawanan. 4ika proses pemanpatan isotermal dilakaukan pada suhu yang lebih tinggi, kawasan cair-uap menjadi lebih pendek dan pada suhu kritis menjadi nol. 9ni berarti bahwa volume jenis !at cair jenuh sama dengan volume jenis uap jenuh. 3oeksistensi antara fase padat dan uap mungkin pula terjadi, yaitu pada tekanan yang cukup tinggi. (olume jenis cairan jenuh dan uap jenuh pada suhu kritis disebut volume jenis kritis +vk  dan tekanan yang bersangkutan disebut tekanan kritis + pk . Tabel %-& Tetapan kritis Aat Belium '

T k +3 2,%2

P k +pa ","*

v +m& =kmol 0,02

Belium &

&,&'

","2

0,0%*

Bidrogen

&&,&'

"%,0

0,0*20

itrogen

"%*,%0

&&,*0

0,0/0"

Cksigen

"2',0

20,%0

0,00

>monia

'02,20

""",00

0,0%2

Greon "%

&',0

&/,0

0,%"0

3arbon dioksida

&0',0

&,00

0,0/'0

Sulful dioksida

'&0,0

,0

0,"%%0

>ir

*','0

%0/,00

0,02*0

3arbon disulfida

22%,00

,00

0,"00

4ika suhu gas pada tekanan tertentu lebih tinggi dari suhu jenuh pada tekanan ini, maka dikatakan bahwa gas itu super panas +superheated dan disebut uap superpanas atau adipanas +superheated vapour.

Page 11

suhu dan tekanan sama. 9ni tidak mengesampingkan kemungkinan adanya titik kritis semacam itu pada tekanan yang sangat tinggi. Gase cair tak dapat berada pada suhu yang lebih rendah dari titik tripel, atau pada tekanan yang lebih rendah dari tekanan pada titik tripel. 4ika lebih rendah dari tekanan pada titik tripel, !at hanya dapat berada pada fase padat dan uap saja. Transisi dari yang satu kepada yang lain berlangsung pada suhu sublimasi, Ts. Dalam hal air, dapat terjadi peristiwa yang disebut anomali. >ir dapat berada dalam fase cair walaupun suhunya lebih rendah daripada titik tripel.

2.-. Persamaan !ea"aan )stem La)n

>sas termodinamika berlaku umum tidak terbatas pada gas, ccairan dan !at padat di bawah tyekanan hidristatis yang seragam atau homogeny. (ariablevariabel intensif dan ekstensif yang bersangkutan mungkin berbeda, namun suhu sistem selalu merupakan sifat termodinamik yang mendasar. Ditinjau dari sebuah batang atau kawat yang mengalami tegangan. Panjang kawat atau batang ini *,

, dan T adalah persamaan keadaan kawat tersebut. 4ika

kawat meregang tidak melampaui batas elastisitas, dan jika suhu tidak terlalu jauh dari suhu acuan Ta , maka persamaan kawat adalah5  7 o + " H

H I +T @ T0 

+%-

"' o 7 panjang kawat tanpa tegangan pada suhu T 0 J 7 modulus Joung +modulus regangan isothermal > 7 luas penampang kawat I 7 koefisien muai linear Pada contoh

adalah variable intensif dan  variabel ekstensif.

1omen magnetik 1 dari suatu !at paramagnetik yang terdapat ddalam medan magnetik seragam dengan intensitas , adalah tergantung pada maupun suhu T. kecuali pada suhu yang sangat rendah dan di dalam medan magnetik yang


Page 12

besar, maka momen magnetik dapat dinyatakan dengan ketepatan yang cukup oleh persamaan5 1 7 ;c

+%-"2 ;c 7 tetapan yang nilainya tergantung pada jenis !at dan disebut tetapan

;urie. Persamaan ini dikenal sebagai hukum ;urie. >dalah variabel intensif dan 1 variabel ekstensif. 1omen dwikutub P suatu dielektrik di dalam medan listrik luar + dapat dinyatakan dalam persamaan5 P 7 +a H  +

+%-"*

apisan permukaan suatu cairan dapat pula dianggap sebagai sistem termodinamika, meskipun bukan sistem yang tertutup. Sebab jika luas permukaan dari sejumlah massa cairan berubah, maka molekul-molekulnya pindah dari cairan ke permukaan atau sebaliknya. (ariabel yang penting adalah tegangan permukaan, yang dapat didefinisikan sebagai kakas per satuan panjang byang ditimbulkan oleh lapisan itu pada perbatasannya. (ariabel ekstensif yang bersangkutan adalah luas lapiasan permukaan. Tegangan permukaan nini tak tergantung pada luas lapisan dan hanya tergantung pada suhu. 6ntuk semua cairan, tegangan muka menurun dengan kenaikan suhu dan menjadi nol pada suhu kritis. Secara pendekatan, tegangan permukaan dapat dinyatakan oleh persamaan5 7

o

o

+



+%-"

7 tegangan muka pada suhu Sistem termodinamika lain yang sangat penting dalam kimia fisika adalah

sel elektrolitik. (ariabel intensifnya adalah muatan, yang nilai mutlaknya tidak penting, melainkan besar muatan yang mengalir melewati suatu titik dalam rangkaian yang sebanding dengan jumlah mol yang bereaksi dalam sel dalam proses tsb. Tegangan gerak elektrik ini dapat dinyatakan sebagai5


Page 13

7

%0

H

+t - %0K  H

+t - %0K % H

+t - %0K &

(ariabel t menyatakan suhu dalam K;,

%0

+%-" 7 tge pada %0 K; , dan

,

,

adalah tetapan yang bergantung pada jenis !at yang membentuk sel.

2. Teta$an #as +an "er /aals

Gb. 2-1,. iagram p-v gas Van der Waals

+ p 

 +v / b 7 0T

#ila ruas kiri dan kanan dikalikan dengan

= p diperoleh


Page 14

+

H  +v / b 7 0T

Selanjutnya dapat disusun menjadi v& @ + b H



H

v-

70

+%-"/

Pers. +%-"/, adalah persamaan derajat tiga dalam v, jadi mempunyai tiga akar v", v%, v&. Pada suhu kritis Tk , ketiga akar berimpit dan tekanan yang bersangkutan adalah tekanan kritis pk . 4adi persamaan v& @ + b H



H

v-

70

+%-%0

mempunyai tiga akar nyata yang sam yaitu v k . >kan tetapi persamaan derajat tiga dalam v yang ketiga akarnya sama dengan v k adalah juga +v / vk & 7 v3 @ &vk v2 H &

-

70

+%-%"

Persamaan +%-%0 dan +%-%" adalah identik, sehingga koefisien yang bersangkutan dapat disamakan.

9. &vk 7 b H 99.

7

999.

7

Dari ketiga persamaan ini dapat diperoleh vk 7 &b

7

Tk

7

7

+%-%%

8


+%-%&

Page 15

1enurut persamaan +%-%& sebelah kanan,

7

7 %,*

Basil percobaan untuk beberapa gas adalah sbb. Be 7 &,"&

;C% 7 &,'/

B% 7 &,0&

;*B* 7 &,*

1enurut persamaan +%-%% sebelah kiri,

7 &, dan hasil percobaan untuk

beberapa gas adalah > 7 ",'"

;C% 7 ",*

B% 7 %,0

C% 7 ",/

Persamaan +%-%% dan +%-%& dapat juga dijabarkan dengan mengingat bahwa isoterm kritis dalam, diagram p-v di titik kritis mempunyai titik belok dengan garis singgung mendatar, sehingga L

MT 7 0

dan

L

MT 7 0

Persamaan (an der )aals dapat diubah menjadi p 7

-

4adi, L

MT 7 -

H

dan

L

MT 7

-

4ika T 7 Tk dan v 7 v k , maka kedua persamaan di atas 7 0, sehingga diperoleh 7

dan

7

#ila persamaan pertama dibagi dengan persamaan kedua akan diperoleh hasil 7

atau vk 7 &b


Page 16

4ika hasil ini dimasukkan pada salah satu persamaan di atas akan diperoleh T k 7 Selanjutnya dengan perantaraan persamaan keadaannya akan diperoleh pk 7

2.0 D)agram pv-p #as +an Der /aals uhu B'le

Persamaan (an der )aals dapat di ubah menjadi

+%-%'

Dari persamaan ini maka tampak bahwa pv adalah fungsi dari v. >kan tetapi karena v sendiri adalah juga fungsi p, maka dapat disimpulkan bahwa pv juga p. Diagram pv-p untuk gas (an der waals terlukis seperti pada
Sementara itu pada
Persamaan Keadaan Dan Turunan Parsial Dalam Termodinamika !

Page 17

mengikuti dengan baik hukum #oyle dalam kawasan yang agak luas. 9soterm pada suu yang lebih tinggi dari suhu #oyle segera mendeki mulai dari p 7 0. #agi gas (an der )aals dapat dibuktikan bahwa titik-titik minimum isoterm-isoterm itu

"T4

T4

"T3

T3

"T2

T2

"T1

T1 

Sehingga

+%-%2

Persamaan keadaan (an der )aals sendiri dapat ditulis sebagai

+%-%*

Dari kedua persamaan yang terakhir ini diperoleh


Page 18

>tau

4ika ruas kiri dan kanan dikalikan dengan pv% , diperoleh

>tau

+%-%

Pers. +%-% adalah persamaan derajat dua dalam pv$ dan grafinya berupa para bola, dan parabola ini merupakan tempat kedudukan semua titik minimum paga grafik pv-p. Pers. +%-% dapat diubah menjadi persamaan lain yang berbentuk p  !pv".

6ntuk p 7 0 maka pv 7 0 dan . 4adi parabola itu memotong sumbu pv

pada titik 0 dan a=b. Tititk pncaknya dapat diperoleh dengan menghitung

dan

disamakan dengan nol.


Page 19

#ila nilai untuk pv ini dimasukkan ke dalam persamaan p 7 f+pv yang tertera di atas maka akan diperoleh

4adi koordinat titik puncaknya, P, adalah

9soterm #oyle mempunyai titik minimum pada p 7 0. 6ntuk p 7 0, maka v

7

, sebab pv mempunyai nilai terhingga. Cleh karena itu maka

dan

Pers. +&-%2 menjadi 8T7a=b. 4adi suhu #oyle

+%-%

2. Hukum !ea"aan Bersesua)an

+The aw of ;orresponding States Semua gas sempurna sifatnya sama, yaitu mengikuti satu hukum gas sempurna pv0T yang tidak menggantung tetapan individual. #idang keadaan semua gas sempurna berimpit. 4ika dua dari tiga besaran p, v dan T untuk berbagai gas sama, maka yang ketiga pun sama.

Page 20

yang menyatakan bahwa sifat semua gas nyata juga sama asalkan tekanan, volume dan suhu dinyatakan dalam tekanan tereduksi

, volume tereduksi p vvk

dan suhu tereduksi T n  TT k . Dalam besaran-besaran tereduksi ini, maka semua gas nyata mengikuti persamaan keadaan f+

7 0 yang tidak lagi mengandung

tetapan pribadi. 4adi bidang keadaan tereduksi semua gas nyata berimpit. 4ika dia dari tiga besaran

sama untuk berbagai gas, maka yang ketiga pun

sama. 6ntuk gas (an der )aals, maka f+

 dapat dijabarkan seperti di bawah

ini.

4iika dimasukkan kedalam persamaan (an der waals, diperoleh

yang selanjutnya dapat disederhanakan menjadi

+%-%/

Persamaan ini tidak lagi mengandung tetapan individual dan berlaku untuk semua !at. Bukum keadaan bersesuaian berlaku lebih luas dan lebih tepat dari pada persamaan (an der )eaals. Bukum keadaan bersamaan berlaku pula untuk gas-gas yang bukangas (an der waals. 4adi untuk semua gas berlaku f+


7 0

Page 21

yaitu persamaan keadaan tereduksi, yang tidak lagiiii mengandung tetapan individual, meskipun bentuknya lain dari Pers.+%-%/ 2.14 D)agram

+an "er /aals uhu B'le Tere"uks)

Telah dijabarkan persamaan keadaan (an der )aals terenduksi, yaitu

Persamaan ini dapat diubah bentuknya menjadi

Selanjutnya ruas kiri dan ruas kanan dikalikan dengan

+%-&0

. Titik-titik minimum terdapat pada

4adi

atau


Page 22

Dari rumus +%-%/

Dari kedua persamaan terakhir ini diperoleh

3edua ruas dikaitkan dengan

memberikan

atau +%-&"

Persamaan +%-&" melukiskan suatu parabola yang memotong sumbu

di titik 0 dan / sedangkan puncaknya di titik +'

. 6ntuk membuktikan hal ini,

terlebih dahulu Pers. +%-&" diubah menjadi bentuk

, yaitu

+%-&"

Perpotongan suatu grafik dengan sumbu

berarti

, sehingga dari

persamaan terakhir ini diperoleh


Page 23

Jang menghasilkan

Syarat maksimum ialah

sehingga

Dan ini menghasilkan

#ila hasil ini dimasukkan ke dalam Pers. +%-&"a akan diperoleh

Suhu #oyle tereduksi

9sotera tereduksi kritis

6ntuk

4adi isoterm

, maka dari Pers.+%-%/

adalah garis lurus dengan koefisien arah


Page 24

2.11 5nth*6nth sal

%-". #erapakah tekanan yang ditumbulkan oleh & gram gas nitrogen di dalam bejana yang volumenya 2 liter pada suhu " o;$ Diketahui bobot molekul nitrogen % yang dianggap sebagai gas sempurna. ya tekananlah jawaban dalam satuan atmosfer das pascal. Penyelesaian

8umus

diubah menjadi

, selanjutnya nilai-nilai yang

diketahui dimasukkan. 4adi

p

%/0 3 7 0,2" atm

6ntuk menyatakan jawaban dalam pascal dapat dilakukan dengan dua cara, yaitu yang pertama hanya dengan mengalihkan jawaban di atas dengan faktor konversinya dan yang kedua dengan merubah dahulu semua satuan yang diketahui menjadi satuan S9. ;ara pertama


Page 25

Dari hasil di atas, p 7 0,2" atm 7 0,2" : ",0"& %2 : "0 2 Pa

;ara kedua 4 7 & g 7 & : "0 -& kg, 4 7 % : "0 -& kg mol -&, V 7 2:"0-& m& T 7 %/0 3 dan 8 7 ,&"' 4 mol -"3 -", sehingga

P7

>tau

%-%. Sebuah bejana volume % liter dilengkapi dengan kran, berisi gas oksigen pada suhu &00 3 dan tekanan " atm. Sistem dipanasi hingga suhunya menjadi '00 3 dengan kran lalu ditutup dan bejana dibiarkan mending kembali sampai suhu semula. +a #erapakah tekanan akhir$ +b #erapa gram oksegin yang masih terdapat dalam bejana$ Penyelesaian +lihat
(1)

#2

#2

(3)

(2)

P" 7 " atm

p%7 " atm

p%7 $

v" 7 % "

v" 7 % "

v& 7 % "

T" 7 &00 3

T" 7 '00 3

T& 7 &00 3


Page 26

Pada proses dari keadaan +" ke adaaan +% sistem dipanaskan degan kran tetap terbuka. 9ni berarti bahwa tekanan tetap sama dengan tekanan udara luar yaitu " atm. (olume bejana karena dipanaskan tentunya kan bertambah, tetapi perubahan volume itu pastilah jauh lebih kecil dari angka % liter, sehingga boleh diabaikan. Dengan pula setelah mendingkan kembali volume tetap % liter. 3eadaan +% dan +& mempunyai masa yang sama, sebab pada waktu mandingin kran di tutup. Pada keadaan +% dan +& berlaku

3alau persamaan pertama dibagi dengan persamaan kedua dengan mengingat bahwa

, maka hasilnya adalah

4adi

6ntuk mencari massa yang masih terdapat dalam bejana kita dapat menghitung dari keadaan +% atau +&, yaitu keadaan setelah kran ditutup. 1isalkan dari

keadaan +&,

yang dapat diubah menjadi

.

4adi m


Page 27

BAB III PERAMAAN !EADAAN

3.1 Turunan Pars)al %Panggu&

Persamaan keadaan suatu sistem

, misalnya untuk sistem yang

terdiri atas satu mol gas, secara umum adalah 5 f

3arena variable-variabel +peubah-peubah itu dihubungkan oleh satu persamaan, maka hanya dua dari tiga variable +peubah itu adalah variable bebas +tak gayut dan yang ketiga adalah variabel tak bebas +gayut. 4ika dua dari ketiga variabel itu diketahui maka yang ketiga dapat dihitung. Satu variabel merupakan fungsi dari dua variabel yang lain. 4adi dapat dipilih f

?

f

?

f

Secara umum, untuk sembarang sistem, hubungan ketiga variabel itu 5 f

1isalkan dipilih 5

f

+&-"

atau

. 1enurut matematika 5

+&-%


Page 28

>tau

atau

mempunyai arti bahwa fungsi tersebut diturunkan terhadap

menganggap

terhadap

+&-&

sebagai tetapan, dan

dengan menganggap

atau

dengan

berarti bahwa fungsi itu diturunkan

sebagai tetapan. ;ara penulisan seperti yang

tertera pada pers. +&-% dan +&-& adalah cara yang biasa digunakan dalam bidang matematika. Dalam termodinamika cara penulisannya agak berbeda, yaitu bahwa variabel yang dianggap sebagai tetapan dicantumkan sebagai indeks. 4adi 5

+&-'

+&-2

>tau

Tentu saja

juga dapat dianggap sebagai fungsi

dan , sehingga 5

+&-*

4ika pers.+&-* dimasukkan ke dalam pers.+&-2 diperoleh 5


Page 29

Jang dapat disusun menjadi 5

Dalam pers.+> ini sebagai variabel bebas adalah diberi nilai atau diberi perubahan nilai berapapun. 4ika

dan , karena itu boleh dan

, maka

ruas kanan menjadi nol sehingga ruas kiri pu harus sama dengan nol, sebab ini adalah suatu persamaan. Tetapi

, jadi faktor dalam kurung di ruas kiri

haruslah sama dengan nol, sehingga 5

>tau

>tau

4ika dari pers.+> di atas ruas kanan pun harus 7 0. Tetapi karena

+&-

dan

, maka ruas kiri 7 0 sehingga maka 5


Page 30

>tau

>tau

+&-

8umus +&- sering dinamakan sebagai rumus -". 8umus ini dapat pula diubah menjadi 5

Dengan menggunakan rumus +&-, maka persamaan di atas dapat diubah lagi menjadi 5

+&-/

8umus-rumus +&- sampai dengan +&-/ dapat diterapkan pada system

,

seperti persamaan keadaan gas sempurna ataupun gas (an der waals. 4adi 5


+&-"0

Page 31

+&-""

+&-"%

8umus +&-"0 mudah diingat bila dianalogikan misalnya dengan bilangan

&=2 yang sama dengan

. Sementara itu tampaknya rumus +&-"" lebih sulit

untuk diingat. amun dengan membayangkan bahwa ketiga variabel

dan

sebagai tiga titik yang terletak pada sebuah lingkaran dengan jarak yang sama, maka rumus itu mudah dituliskan. 4ika factor pertama dalam kurung di ruas kiri

adalah

, maka letakkanlah

di puncak,

di sebelah kiri bawah dan

di

sebelah kanan bawah. 6ntuk memperoleh factor kedua, putarlah lingkaran itu sekeliling sumbu di pusatnya sesuai dengan arah putaran jarum jam, sehingga

puncak,

di kiri bawah dan

di kanan bawah. Gactor kedua menjadi

di

.

Selanjutnya untuk memperoleh factor ketiga, lingkaran diputar lagi sesuai dengan arah perputaran jarum jam, sehingga

di atas,

sebelah kanan bawah. Gactor ketiga menjadi

di sebelah kiri bawah dan

di

.

6ntuk menuliskan rumus +&-"%, perlu diingat bahwa turunan parsial itu dipecah menjadi dua buah turunan parsial, yang pertama sebagai pembilang


Page 32

+numerator dan yang kedua sebagai penyebut +denominator. Jang diturunkan +didiferensialkan baik pada pembilang atau pun penyebut adalah variabel yang di luar kurung atau yang dianggap sebagai tetapan pada ruas kiri. Dalam rumus +&"% variabel yang di luar kurung adalah . 3emudian diferensialkanlah

terhadap

dua variabel lain di ruas kiri secara bersilang. 4adi untuk pembilang didiferensialkan terhadap

dan untuk penyebut

didiferensialkan terhadap .

Dengan mengingat cara-cara seperti tersebut di atas itu maka variasi ketiga rumus itu mudah dibuat. 1isalnya 5

+&-"0a

+&-""a

+&-"%a

+&-"0b


+&-""b

Page 33

+&-"%b

+&"0c

+&""c

+&"%c Suatu variabel tertentu pada variabel-variabel takgayut yang lain, seringkali tidak dapat dinyatakan secara eksplisit, contohnya ialah variabel v +volume pada persamaan (an der )aals tidak dapat dibuat eksplisit. 6ntuk menghitung turunan parsial dari variabel ini harus digunakan rumus seperti +&-"0 atau +&-"%. amun, jika tiga atau lebih variabel tidak dapat dibuat eksplisit, maka kedua rumus tersebut tidak dapat digunakan. 1isalkan secara umum5 f+N, J, A 7 0, didiferensialkan menjadi

4ika A tidak berubah atau dA 7 0, maka


Page 34

atau

+&"&a

+&"&b

+&"&c 4ika diterapkanpada sistem f+p, v, T 7 0, diperoleh

+&"'a

+&"'b


Page 35

+&"'c

3.2 Penera$an Turunan Pars)al $a"a )stem Term")nam)ka

1isalnya untuk gasd sempurna yang persamaan keadaannya5 pv 7 8T.

+>

+#

Tampak bahwa persamaan +# adalah kebalikan dari persamaan +>, sesuai dengan rumus +&-"0. 8umus +&-"" dapat pula diuji kebenarannya dengan cara5

>pabila ketiganya dikalikan, maka hasilnya sama dengan -", sesuai rumus +&-"". Denganj cara yang sama dapat pula diuji kebenaran rumus +&-"%. 8umus +&-"% dapat mengubah persamaan (an der )aals menjadi5


Page 36

4adi

Persoalan ini juga dapat diselesaikan dengan menggunakan rumus +&-"'b, yang lebih bersifat umum daripada rumus +&-"%, sebab variabel itu boleh eksplisit boleh pula tidak. Secara lebih umum persamaan (an der )aals dapat ditulis menjadi f+p,v,T 7 0

atau

Dan sesuai dengan rumus +&-"'b, maka

Disederhanakan menjadi

3.3 !e7)s)en Mua) !u8)k "an !etermam$atan

3oefisien muai kubik suatu !at didefinisikan sebagai


Page 37

+&"2

+&"* (ariabel ( dalam rumus +&-"2 adalah volume total, sedangkan v dalam rumus +&-"* adalah volume jenis, yaituvolume per kg atau volume per mol. adalah perubahan volume !at disebabkan karena suhunya berubah

dengan

. 6ntuk gas sempurna

6ntuk gas (an der )aals,

, sehingga

telah dihitung di atas , sehingga

+&" atau

+&"


Page 38

Dari definisi tersebut, satuan

adalah 3 -".

4ika suatu sistem menjalani proses isobarik yang kecil, misalkan keadaan awal ditentukan oleh suhu T dan volume ( dan keadaan akhir ditentukan oleh suhu T H dT dan volume ( H d(, keduanya pada tekanan yang sama. 3oefisien muai volume dapat ditulis sebagai

+&"/ atau

+&%0 4adi, koefisien muai volume dapat dinyatakan sebagai nilai limit dari

perubahan volume fraksional

atau

tetap. 3oefisien muai volume rata-rata

per satuan perubahan suhu pada tekanan

di dalam selang suhu tertentu antara T"

dan T% didefinisikan sebagai

+&%" Pada umumya koefisien muai volume adalah fungsi suhu dan tekanan. Ternyata koefisien ini mendekati nol ketika suhunya mendekati 03. Tabel tentang


Page 39

sifat-sifat !at biasanya mencantumkan juga koefisien linier I !at padat yang dihubungkan dengan O oleh persamaan O 7 &I

+&-%%

3etermampatan isotermal 5 suatu !at didefinisikan sebagai5

+&%& atau

+&%' Tanda negatif mengingatkan bahwa volume selalu berkurang dengan

kenaikan tekanan. 4adi

negatif, sehingga 5 menjadi positif. Satuan 5 dalam

S9 adalah Pa-" atau m%=.

6ntuk gas sempurna pv  0T atau

. 4adi

atau

+&%2


Page 40

3etermampatan rata-rata didefinisikan sebagai

+&%* 6ntik gas (an der )aals, karena v tak dapat dibuat eksplisit, maka untuk menghitungnya perlu digunakan rumus +&-"0atau +&-"% atau rumus yang lebih umum yaitu rumus +&-"'b. hasilnya yaitu

+&% 6tuk !at cair dan !at padat, O dan 5 tak dapat ditentukan daripersamaan keadaannya, tetapi harus dengan eksperimen. Ternyata keduanya dalah fungsi dari tekanan dan suhu. 4adi

Ditinjau suatu sistem p-(-T dan dipilih ( 7 (+p,T. 4ika dideferensialkan diperoleh

+&% atau +&%/


Page 41

4ika O dan 5 diketahui sebagai fungsi suhu dan tekanan, maka persamaan keadaannya dapat ditentukan dnegan pengintegralan. 1isalkan untuk gas pada

tekanan rendah telah dikemukakan

jik dimasukkan pada

persamaan +&-%/, diperoleh

atau

4ika persamaan yang terakhir ini diintegralkan, akan diperoleh5

atau

4ika tetapan itu diketahui sama dengan n8, maka persamaan itu adalah persamaan keadaan gas sempurna. 4ika persamaan +&-%/ diintegralkan dari suatu keadaan +po, (o, To ke keadaan lain +p, (, T, maka diperoleh

4ika suhu dan tekanan berubah, perubahan volume !at cair dan !at padat adalah kecil bila suhu dan tekanan berubah, karena itu secara pendekatan ( dapat


Page 42

dianggap tetap dan sama dengan ( o. Sementara itu O dan 5 adalah bilangan kecil dan juga dapat dianggap tetap, sehingga hasil integral persamaan tersebut adalah +&&0 4adi, dengan mengukuir O dan 5 ditambah dengan apa yang diketahui tentang nilai

pada keadaan acuan, maka cukuplah untuk menentukan

persamaan keadaan !at cair dan padat secara pendekatan.

3.( D)7erens)al Eksak

4ika variabel-variabel N, J dan A terdapat hubungan A 7 f+N, J, sehingga dapat diturunkan

atau

dengan

1aka apabila A dan turunan-turunannya malr +kontinu lagipula dipenuhi hubungan


Page 43

+&&" dA disebut diferensial eksak. >gar pembahasan ini lebih bersifat umum, yaitu meliputi lebih dari & variabel, maka fungsi yang akan ditinjau adalah  + 6$ 7$ 8$ '$ V$ W$ . . .  7 0

+&-&%

Dari hubungan ini dapat dipilih misalnya W  W + 6$ 7$ 8$ '$ V$ . . . 

+&-&&

#ila dideferensialkan, maka hasilnya adalah

dW 7

J, A, . . .d 6 H

N, A,. . .d7 H . . . .

&' atau dW 4 dNH 9 dJ H P dA H . . . . &2 #ila : demikian pula turunan-turunannya malar, lagi pula dipenuhi hubungan

N, A,. 7

J, A,... ?

N, J,7

N, A, dst.

N, J,7

J, A,

1aka dW disebut diferensial eksak. Selanjutnya


Page 44

N, A,7

A, 6,7

A, 6,

J, A,7

N, A,7

A, 6,

4adi

A, 6, 7

A, 6,

&*

9ni berarti bahwa nilai turunan parsial kedua campuran tidak tergantung pada urutan pendiferensialan. Dalam matematika diketahui bahwa jika suatu diferensial eksak diintegralkan, maka hasilnya hanya tergantung pada batas integral awal dan akhir saja, tidak tergantung pada jalan yang dilalui. Cleh karena itu apabila diintegralkan melalui lintasan yang tertutup +keadaan akhir kembali kekeadaan awal, maka hasilnya sama dengan nol. Di dalam termodinamika variabel-variabel seperti p$ V dan T adalah fungsi keadaan. ilainya ditentukan oleh keadaan system. Pada tiap keadaan seimbang ketiga variabel itu mempunyai nilai tertentu. Diferensialnya adalah diferensial eksak, sebab kalau diintegralkan hasilnya hanya ditentukan oleh keadaan awal dan keadaan akhir saja. 3ecuali besaran keadaan atau fungsi keadaan, di dalam termodinamika terdapat pula besaran yang bukan fungsi keadaan, misalnya bahan yang akan diberi lambang ; dan juga besaran kerja yang akan diberi lambang W. Dalam suatu sistem yang seimbang tak dapat ditanyakan berapa besar nilai ; dan W nya. Pengertian kedua besaran tersebut hanya timbul pada suatu proses atau perubahan sistem dari satu keadaan kekeadaan yang lain. Diferensialnya bukan diferensial eksak, sebab kalau diintegralkan nilainya tergantung juga pada jalan yang dilalui, kecuali tergantung pada keadaan awal dan akhir. Dengan perkataan lain nilainya tergantung pada


Page 45

jenis prosesnya. ambang d; dan dW bukan berarti diferensial dari fungsi ; dan W , melainkan hanyalah sejumlah kecil bahan dan sejumlah kecil kerja yang diperlukan atau yang timbul pada suatu proses tak terhingga kecil. 6ntuk membedakan kedua jenis diferensial ini, akan digunakan lambang d untuk diferensial eksak dan Q untuk diferensial tak eksak. 1isalnya5 d p$ dV$dT$ R<$ R:. Suatu diferensial eksak kalau diintegralkan melalui lintasan yang tertutup, atau yang berkaitan dengan proses siklik, yaitu proses dengan keadaan akhir kembali kekeadaan berimpit dengan keadaan awal, maka hasilnya sama dengan nol. 4adi

∫ dP = 0 ?

∫ dV =

0

?

∫ dT = 0 +&-&

amun tidak demikian dengan diferensial non-eksak, misalnya

∫ d S ; ≠ 0 ? ∫ d SW ≠ 0 ?

+&-&

>pabila fungsi itu lebih sederhana, misalnya hanya terdiri atas dua variabel tak gayut saja, maka hubungan yang diperoleh juga lebih sederhana. 1isalnya kalau  +N, J, A 7 0, atau A 7 A+N, J, maka

dA 7

dN H

dJ

+&-&/

atau dA 7 1 +N, J d 6 H  +N, J d7

+&-'0

sehingga persyaratan agar d 8 eksak adalah


Page 46

7

+&-'"

Suatu diferensial tak eksak, apabila dibagi dengan suatu fungsi dari salah satu variabel tak gayut atau yang disebut penyebut pengintegralkan +integrating

denominator, dapat berubah menjadi diferensial eksak, sebab

atau "

-". Tetapi bila d 8 dibagi dengan N %sebagai integrating denominator,

maka hasilnya +namakan dW  menjadi diferensial eksak. 4adi

dW 7

d 6 -

d7$ maka dW adalah diferensial eksak, sebab bila diterapkan persyaratan seperti pada Pers +&-'", hasilnya adalah "=N% 7 "=N%. >pabila d 8 7 7 d 6  6 d7$ maka diferensial ini adalah eksak pula. 3., Hu8ungan La)n TurunanPars)al

Telah diketahui bahwa tenaga dakhil u adalah fungsi keadaan dan untuk gas variabel yang menentukan keadaan sistem adalah p$ V dan T . Secara umum namakanlah variabel keadaan itu :, y dan !. 4di u 7 u+:, y, !. Tetapi karena variabel-variabel itu dihubungan oleh satu persamaan, yaitu

persamaan

keadaannya, maka hanya dua variabel saja yang tak gayut. Dapat kita pilih misalnya u 7 u+:,y.

du 7

d: H

dy

+&-'%

Tetapi : adalah fungsi y dan !, sehingga perubahan : adalah


Page 47

d: 7

dy H

d!

+&-'&

1asukkan Pers. +'-'& ke dalam Pers. +'-'%. 3ita akan memperoleh

du 7

H

dy

atau

du 7

dy H

H

d!

Tetapi sebagai fungsi y dan !, maka perubahan u adalah juga

du 7

dy H

d!

3edua persamaan yang terakhir ini adalah identik, sehingga

7

7

+&-''

H

+&-'2

8umus +&-'' mudah diingat bila dianalogikan dengan misalnya bilangan 2=* yang sama dengan +2=%+%=*, jadi pembilang dan penyebut dibagi dengan bilangan yang sama, sementara itu variabel yang dianggap konstan tetapsaja +dalam rumus ialah 7 . 8umus +&-'2 lebih sulit untuk diingat. Pada ruas kanan terdapat dua suku, dengan suku pertama terdiri atas dua faktor dalam kurung dan suku kedua terdiri atas satu faktor saja dalam kurung. Dua faktor yang terdapat


Page 48

pada suku pertama sama seperti pada rumus +&-'' tetapi variabel yang dianggap tetap diambilkan dari apa yang tertulis di bawah garis pembagi pada ruas kiri +7 dan 8 . Suku kedua sama seperti ruas kiri, tetapi variabel yang dianggap tetap adalah variabel yang belum terpakai + 6 . #ila diterapkan dalam sistem p-v-T$ akan diperoleh

7

7

+&-''a

H

+&-

'2a

7

+&-

''b

7

H

+&-

'2b

7

+&-

''c

7

H

+&-

'2c

3.- 5nth*5nth al


Page 49

&-" +a #uktikanlah bahwa

7

. 6jilah kebenaran pernyataan di +a dengan

menerapkannya pada +b gas sempurna dan +c gas (an der )aals. Penyelesaian +a Dari rumus yang sudah dibicarakan di atas,

7

7 -

7

+b Telah didapatkan untuk gas sempurna, = 7

Sementara itu

7

dan : 7

. 4adi

7

.

yang tentu saja sama dengan .

4adi pernyataan di +a benar untuk gas sempurna. +c 6ntuk gas (an der )aals, = 7

dan : 7

4adi 7

Persamaan (an der )aals dapat diubah menjadi p 

-

sehingga

7

. Tampaklah bahwa pernyataan di +a pun

benar untuk gas (an der )aals.


Page 50

&-% ;arilah untuk gas (an der )aals5 +a

, +b

menggunakan hasil yang diperoleh dari

, +c

dengan

. +d 6jilah

kebenaran rumus @ " dengan menghitung hasil kali +a, +b dan +c soal ini. Penyelesaian Persaaan (an der )aals dapat ditulis5 p 

+a

7-

+b

7

H

-

, jadi

7

7

7 4adi 7

+c

7

+d Perkalian ketiga hasil ini memberikan

7

7 -" 4adi rumus -" juga benar bila diterapkan pada gas (an der )aals.


Page 51

&-& #ila volume v adalah salah satu variabel di dalam sistem pvT gas sempurna, buktikanlah bahwa integral dv dari keadaan > kekeadaan # melalui dua jalan yang berbeda +>-# dan +>-;-# memberikan hasil yang sama. ihat gambar +'-" di bawah ini. Penyelesaian Persamaan keadaan gas sempurna5 pv  0T

dv 7

dT H

d P 7 dT -

d P

+>

Persamaan garis >-# adalah

7

atau

T

+ p - p"  T 1

+#

sehingga

dT 7

d P

+;

Pers. +> dapat diubah menjadi

dv7

+ p dT / T d P 

+D T T 2

%

'. 41 Persamaan Keadaan Dan Turunan Parsial Dalam T 1 $ & Termodinamika

# p

p

p

Page 52

4ika Pers. +# dan +; dimasukkan kedalam Pers. +D diperoleh

dv7

d p

7

7

d p

d p

dv  8

d

+F

#ila Pers. +F ini diintegralkan dari keadaan " kekeadaan %, diperoleh

7 Rv 7 8

9ni dapat disederhanakan menjadi


Page 53

9nilah perubahan nilai v jika langsung melalui garis lurus dari > ke #. Sekarang nilai perubahan v jika proses melalui garis >-; +proses isotermal dan melalui garis ;-# +proses isobarik. Dari persamaan

Diperoleh

4ika persamaan yang terakhir ini diintegralkan dari keadaan " ke keadaan % diperoleh

9ni akan menghasilkan

yatalah bahwa persamaan G dan < sama. 4afi integral dv tidak tergantung pada jalan yang dilalui, melainkan hanya pada keadaan awal dan akhir saja. Dengan perkataan lain, v adalah fungsi keadaan dan diferensialnya adalah diferensial eksak. &-' #uktikanlah bahwa koefisien muai kubik = suatu !at padat isotrop sama dengan & kali koefisien muai liniernya. #ukti


Page 54

6ntuk sebuah batang yang tidak mengalami tegangan, hubungan panjang pada suhu T dan T 0 adalah

6ntuk !at padat, jika panjang, lebar dan tingginya adalah  " , % dan  & , hubungan volumenya adalah

>tau

Sebab menurut matematika untuk Q ", maka +" H Q n 7 " H nQ.

Rv 7 v @ v 0 7 &I v0RT, atau

. Dalam keadaan lima menit dan

tanpa tekanan,

;ara lain

>tau


Page 55

&-2 #uktikanlah bahwa koefisien muai volume dapat dinyatakan sebagai

Dan keterampilan isotermal dapat dinyatakan sebagai

#esaran U adalah massa jenis atau kebalikan volume jenis v #ukti

&-* Persamaan suatu gas secara pendekataan dinyatakan sebagai

#uktikanlah bahwa

#ukti Dari persamaan keadaannya dapat ditulis

4adi


Page 56

&- #uktikanlah bahwa 5

#ukti

3arena dv adalah diferensial eksak, maka berlakulah

>tau

&- Suatu !at mempunyai nilai

dan

dengan a dan b tetapan.

+a #uktikanlah bahwa keadaannya


Page 57

Persamaan Keadaan Dan Turunan Parsial Dalam Termodinamika

Recommend Documents