JUDUL MAKALAH PENERAPAN MATEMATIKA DALAM PELAJARAN FISIKA
Oleh Steven Day Dumanauw NIM: 09725045
JURUSAN PENDIDIKAN SAINS FAKULTAS PASCA SARJANA UNIVERSITAS NEGERI SURABAYA 2009 Steven day dumanauw S2 sains November 2009
1
BAB I PENDAHULUAN Fisika matematis adalah cabang ilmu yang mempelajari "penerapan matematika untuk menyelesaikan persoalan fisika dan pengembangan metode matematis yang cocok untuk penerapan tersebut, serta formulasi teori fisika". Ilmu ini dapat dianggap sebagai penunjang fisika teoritis dan fisika komputasi. komputasi.
BAB II PENERAPAN MATEMATIKA DALAM FISIKA
1. Pendahuluan
Pelajaran Pelajaran Fisika Fisika salah satu satu ilmu yang membahas membahas gejala dan prilaku alam, alam, sepanjang dapat diamati diamati oleh manusia. manusia. Cara mengungkapkan mengungkapkannya nya tidak saja kualitatif kualitatif tetapi tetapi juga kuantitatif. Dengan demikian ada empat cara memahami ilmu fisika tersebut. Pertama kita kita memerl memerlukan ukan kejelas kejelasan an tentang tentang matra atau wadah gejala gejala dan prilak prilaku u alam alam itu berlangsun berlangsung, g, kedua kejelasa kejelasan n tentang objek objek yang menjadi menjadi fokus fokus bahasan. bahasan. ketiga, ketiga, kita perlu kenal alat dan media yang akan digunakan untuk menangkap gejala dan prilaku alam tersebut, dan keempat adalah bahasa yang digunakan untuk mengungkap prilaku alam alam terseb tersebut. ut. Bahasa Bahasa yang yang diguna digunakan kan untuk untuk mengun mengungkap gkap peristi peristiwa wa alam alam terseb tersebut ut dalam fisika. Matematika adalah bahasa matematika. Matematika memegang peranan penting dalam di dalam fisika dipelajari dipelajari secara khusus khusus yaitu dalam mata pelajaran pelajaran fisika matematika. matematika. Fisika Fisika matematika membahas secara terpadu dan sistematis matematika yang dipakai dalam fisika. Ilmu ini erat sekali hubungannya dengan fisika teori yang berupaya membahas hukum-hukum fisika secara matematika melalui penelaah secara logis dan perhitungan serta penerapan secara kuantitatif berbagai berbagai hukum-hukum fisika secara secara empiris. Pada bab I , pembahasan matematika matematika dibatasi pada penerapan operator nabla, persamaan diferensial, sistem koordinat dan penerapan integral dalam fisika Penerapan Operator Nabla
Operator nabla atau disebut juga operator del dengan simbol , yang bukan merupakan suatu vektor dalam dalam arti biasanya. Sebagai vektor vektor operator nabla nabla tidak tidak berdiri sendiri, tetapi tetapi bekerja bekerja pada suatu fungsi tertentu. tertentu. Misalkan terdapat terdapat fungsi dengan satu variabel f(x) . Misal turunan dari derivatif df/dx, ini artinya bahwa df = (df/dx)dx, yang maksudnya perubahan dari x, sebesar da akan akan meny menyeb ebab abka kab b peru peruba baha han n harg hargaa f sebe sebesa sarr df, df, dima dimana na df/d df/dx x adda addala lah h fakt faktor or pembandingnya. Interferensi geometris geometris dari df/dx df/dx merupakan kemiringan dari lengkungan f(x). Misal suatu fungsi suhu dengan tiga variabel yaitu T(x,y,z) yang yang menunjukkan suhu pada suatu suatu ruangan. Menurut teori derivatif derivatif parsial pernyattan ini dapat ditulis: ∂ ∂T dx + ∂T dz T + d y dT = (1.1) ∂ x ∂ z ∂ y = ( ∇T ).( dl ) , dengan dl = i dx + j dy + kdz
Steven day dumanauw S2 sains November 2009
2
maka gradien suhu T =
∂T ∂T j + ∂T k , merupakan besaran vektor dengan ∇T = i + ∂ x ∂ y ∂ z
tiga konponennya yang masing-masing mempunyai arah sesuai dengan arah suatu vektor i, j dan k. Jadi interferensi geometri suatu gradien, seperti vektor vektor yang mempunyai mempunyai harga dan arah dan ditulis dalam bentuk abstrak, yaitu T dl cos dT = ∇ (1.2) T .d l = ∇ Operator del dedifinisikan dedifinisikan sebagai deferensial dari suatu fungsi yang oleh oleh koordinat kartesius kartesius = i
definisiskan
∂ ∂ ∂ + j + k . ∂ x ∂ y ∂ z
Ada tiga cara dalam perkalian untuk opertor nabla, seperti dalam vektor: 1. Bekerja pada fungsi skalar yang disebut gradien. ∂T ∂T j + ∂T k ∇T = i + ∂ x ∂ y ∂ z 2. Bekerja pada fungsi vektor yang disebut divergensi, melalui perkalian dot. ∂V ∂V ∂V + + .V ∇ ∂ x ∂ y ∂ z 3. Bekerja pada fungsi vektor melalui perkalian silang yang disebut rotasi atau curl
i j k
. . . . . .. . . .
∂ ∂ ∂ x V =
.
.
∂ x ∂ y ∂ z V x V y V z .
. .
∂V z ∂V Vy − y ∂ ∂ z
= i
∂V x ∂V z ∂V y ∂V Vx − − + k + j z x x ∂ ∂ ∂ ∂ y
beberapa aturan dalam perkalian operator nabla f ) 1. ∇( fg ) = f ( ∇ g ) + g ( ∇ 2. ∇( A. B ) = A x ( x B ) + B x ( x A ) + ( A. f A = f ∇ . A + A(∇ f ) 3. ∇ .( A x B ) = B ( x A ) - A .( x B ). 4. ∇ .( f A ) = f( 5. ∇ x A ) - A .( f ). 6. x ( A x B ) = B.∇ A −( A.∇) B Perkalian tripel B.( C x A ) A.( B x C ) = C .( A x B ) = B. 1. A. 2. A x ( B x C ) = B( A.C ) −C ( A.B) Turunan kedua 1. ∇ x A ) = 0. .( ∇ f x =0 2. 2 ( 3. x( x A ) = ∇ x A) - ∇ A
( )
(
)
(
(
) B + ( B.
)A
)
)
Steven day dumanauw S2 sains November 2009
3
Gradien, Divergensi dan Rotasi/Curl 3.1 Gradien
Anggap Anggap medan medan skalar skalar (x,y,z) (x,y,z) sebagai sebagai fungs fungsii skalar skalar pada pada setiap setiap titik titik ruang ruang (x,y,z) (x,y,z) dalam dalam koordinat kartesius. kartesius. Seebagai fungsi skalar ia harus harus mempunyai nilai sama p pada ada titik ruang dan tidak bergantung pada rotasi sistem koordinat. ' ( x ' , x ' , x ' ) = ( x1 , x2, x3 ). 1
2
3
∂φ ' x1' , x 2' , x3' ∂ xi'
=
∂φ ( x1, x2 , x3 ) ∂ xi
=
∂φ ∂ x j
∑ j ∂ x
xi j ∂
=
∑aij j
∂φ ∂ x j
Jadi gradien itu merupakan suatu vektor dengan konponen ∂φ ∂ x j yang disebut gradien , dalam koordinat kartesius ditulis ∂φ ∂φ ∂φ + j + k ∇ =i ∂ x ∂ y ∂ z idx + jdy + kdz , maka Bila d r = idx ∂φ ∂φ ∂φ + j + k φ .dr = ( i idx + jdy + kdz ) ∇ ).( d r = idx ∂ x ∂ y ∂ z φ .dr = d ∇ (1.3) .d r = d φ Jadi ∇ merupakan merupakan perubahan perubahan fungsi fungsi skalar skalar terhadap terhadap perubahan perubahan posisi posisi dr. misalkan titik P dan Q adalah 2 buah titik yang terletak pada permukaan φ ( x, y, z ) =c adalah konstan dan jarak P dan Q adalah dr, sehingga d = (∇φ ).d r .dr cosθ = 0, dengan θ = 90 o φ ∇
Hal ini berarti ∇ ⊥d r . Bila diambil d r dari suatu permukaan = C 1 ke permukaan berikutnya = 2C, maka d φ = C 2 − C 1 = ∇C .dr cosθ φ d = (∇φ ).d r = ∇ (1.4)
∇
dr
dr
Gambar 1.1 Arah gradien dalam dalam sistem koordinat koordinat kartesius. Agar d φ = ∆C mempunyai nilai tertentu, maka dr haruslah minimum. Bila dipilih dipilih dr sejajar dengan ∆C , berarti θ = 0 , sehingga cos gradien atau ∇ cos θ = 1 . Jadi gradien adalah suatu vektor yang berarah pada d r , dengan ketentuan bahwa pada arah d r perubahan maksimum. Gradien suatu skalar merupakan konsep yang penting dalam fisika, yang menyatakan hubungan antara medan listrik E dengan medan potensial potensial V. hubungan tersebut tersebut ditulis Steven day dumanauw S2 sains November 2009
4
(1.5) ∇ V . E = − Tinjauan yang paling mudah mengenai gradien adalah mengenalkan gagasan turunan berarah dari suatu fungsi fungsi peubah banyak, banyak, yaitu laju perubahan perubahan fungsi fungsi pada arah tertentu. tertentu. Turunan Turunan berarah fungs fungsii skalar skalar
biasan biasanya ya dinyat dinyataka akan n dengan dengan
d φ φ dr
, diman dimanaa dr meny menyaa aata taka kan n vekt vektor or
perpindahan yang sangat kecil pada arah yang ditinjau, maka :
φ ( x + ∆ x, y + ∆ y , z + ∆ z ) − φ ( x, y , z ) ∆r d r ∆r → 0 φ dy ∂ ∂φ dx dz ∂φ = + ydr ∂ ∂ xdr zdr ∂
d φ
= lim
Untuk lebih lebih jelasnya turunan berarah, berarah, mari kita kita tinjau fungsi skalar skalar dua peubah. peubah. Jadi φ ( x, y ) menyatakan menyatakan medan skalar skalar dua dua dimens dimensi. i. dapat digambark digambarkan an sebagai sebagai suatu fungsi fungsi x dan y, seperti gambar 1.2 di bawah ini ini
Gambar 1.2. Fungsi φ ( x, y ) Untuk fungsi φ ( x, y ) = x 2 + y 2 turunan berarah di titik x o, yo bergantung pada arahnya. Jika kita pilih arah yang bersesuaian dengan dx dy = − xo y o , maka akan diperoleh φ d φ
dr
=
xo dx dy φ ∂ ∂φ dx + = 2 xo − 2 y o ydr ∂ ∂xdr y o dr
=0
untuk arah dy dx = y o x o diperoleh hasil sebagai berikut: d φ φ dr
2 y o = 2 xo + 2 xo
besarnya harga dr =
x o2 x o2
+
y o2
= 2 x o2
+ y o2
( dx ) 2 + ( dy ) 2
Gambar 1.3 di bawah ini menunjukkan fungsi φ = x 2 + y 2 yang dirajah kembali sebagai peta kontur.
Steven day dumanauw S2 sains November 2009
5
Gambar 1.3. Fungsi φ ( x, y ) dari gambar 1.2 Dengan demikian suatu fungsi gradien dapat didefinisikan sebagai berikut:
Grad Gradie ien n suat suatu u fung fungs si skal skalar ar adal adalah ah sua suatu tu vek vekto torr yang yang har harga gany nya a meru merupa paka kan n turu turuna nann-tu turu runa nan n maks maksim imum um di titi titik k yang yang seda sedang ng diti ditinj njau au,, sedangka sedangkan n arahnya arahnya merupaka merupakan n arah turunan turunan berarah berarah maksimum maksimum di titik titik tersebut. Lamban Lambang g grad gradien ien yang yang lazim lazim diguna digunakan kan adalah adalah operat operator or nabla nabla ( ) dan dan grad ∂φ ∂φ ∂φ + j + k ∇φ = grad φ = i (1.6) ∂ x ∂ y ∂ z 3.2 Divergensi Operator lain yang penting, yang pada dasarnya merupakan turunan, adalah operator divergensi, seperti divergensi vektor F, yang lazim ditulis dengan div F atau ∇ . F yang didefinisikan sebagai berikut:
Divergensi suatu vektor adalah limit integral permukan persatuan volume yang melingkupi permukaan dan mendaki nol. 1 v .nda Div v = ∇ (1.7) .v = lim V →o V
∫∫
Harga limitnya mudah dihitung, sehingga diperoleh divergensi pada koordinat tegak lurus sebagai berikut: ∂v y ∂v ∂v + z Div v = ∇.v = x + ∂ x ∂ y ∂ z Divergensi dapat didefinisikan sebagai perkalian antara operator nabla dengan vektor melalui perkalian dot. Dalam pengertian fisika fisika divergensi didefinisikan didefinisikan sebagai kecepatan suatu fluida v dengan v ( x, y , z ) yang mampat dengan rapat massa ρ ( x, y, z ) pada titik ruang ∇ . φ (x.y.z) dengan volume dxdydz.
( )
Gambar 1.4 Proses aliran fluida Netto aliran fluida (dalam arah x) =
∂ ( ρ v x ) dxdydz dan secara total melaui kotak volume ∂ x
d τ = dxdydz diperoleh netto aliran fluida keluar per detik
∂ ∂ ∂ ∇.( ρ v ) d τ = ( ρ v x ) + ( ρ v y ) + ( ρ v z ) dxdydz ∂ y ∂ z ∂ x Steven day dumanauw S2 sains November 2009
6
Karena netto aliran fluida mampat (compressible fluid) keluar dari elemen volume per satuan v ) dan disebut divergensi. Mengingat .( ρ volume per detik adalah ∇ Mengingat adanya adanya persamaan persamaan kontinuitas, dimana rumus
∂ ρ + ∇.( ρ v ) = 0 ∂t dalam hal ini, ρ merupakan fungsi terhadap waktu maupun ruang, ditulis ρ ( x, y , z , t ) . Persoalan divergensi muncul pada berbagai hal dalam fisika, seperti pada medan elektromagnet, kebocoran neutron dalam reaktor, dan tentang peluang rapat arus dalam mekanika kuantum. . f v dimana f = fungsi skalar dan v adalah fungsi vektor, secara matematika Gabungan ∇ dapat ditulis ∂ ∂ ∂ ( fv x ) + ( fv y ) + ( fv z ) . f v = ∇ ∂ x ∂ y ∂ z f ).v + f ∇ .v = (∇ Dalam hal khusus ∇. B =0 , maka vektor B dikatakan homogen, seperti dijumpai dalam pembahasan tentang medan magnet B . Teorema divergensi. Integral dari divergensi divergensi suatu vektor vektor pada volume volume V sama dengan integral permukaan komponen normal vektor itu pada permukaan yang dilingkupi V, yaitu (1.8) ∫∫∫∇.v dV = ∫∫v .nda
(
)
(
)
3.3 Rotasi atau Curl adalah perkalian perkalian operator nabla dengan dengan vektor melalui perkalian perkalian silang. silang. Perumusan Perumusan Rotasi adalah rotasi ditulis sebagai: ∂V z ∂V Vy ∂V x ∂V z ∂V y ∂V Vx − − + k x v = i ∂ y − ∂ z + j z x x y ∂ ∂ ∂ ∂
i j k
. . . . . .. . . .
∂ ∂ ∂ =
.
.
∂ x ∂ y ∂ z V x V y V z .
. .
∂ ∂ = ( fv z ) − ( fv y ) ∂ z ∂ y ∂v y ∂ f ∂v z ∂ f f ∂ y + ∂ y v z − f ∂ z − ∂ z v y x ( f v ) x
=
Interpretasi fisika dari rotasi rotasi adalah sebagai sirkulasi fluida fluida pada suatu loop. Ambil sebagai loop tersebut terletak di bidang bidang x – y. Sirkulasi tidak lain yaitu yaitu mencari integral ∫ v .dl . Perhatikan gambar di bawah ini : (xo,yo+dy)
Steven day dumanauw S2 sains November 2009
(xo+dy,yo+dy)
7
(xo,yo)
(xo+dx,yo)
Gambar 1.5 Sirkulasi fluida pada suatu loop Hasil integrasi loop 1234 = sirkulasi 1234 v ( x, y )dl x + ∫ v y ( x, y )dl y + ∫ v x ( x, y )dl x + ∫ v y ( x, y )dl y = ∫ x 1
3
2
4
=
∂v y ∂v dx dy + v x ( xo , y o ) + x dx ( − dx ) + v y ( xo , y o ) ( − dy ) ∂ x ∂ y ∂v y ∂v x − = x v z dxdy dxdy = x y ∂ ∂
v x ( xo , y o ) dx + v y ( xo , y o ) +
Sistem Koordinat 4.1 Koordinat kartesius
Koordinat kartesius dapat dinyatakan dalam fungsi f(x,y,z), dan d r = idx idx + jdy + kdz d τ = dxdydz ∂t ∂t ∂t + j + k ∇t = i 1. Gradien ∂ x ∂ y ∂ z ∂v y ∂v z ∂v + 2. Divergensi ∇ .v = x + ∂ x ∂ y ∂ z
i j k
. . . . . .. . . .
3. Rotasional
x
v
∂ ∂ ∂ =
.
.
∂ x ∂ y ∂ z V x V y V z .
∂V z ∂V Vy − ∂ ∂ z y
= i
. .
∂V x ∂V z ∂V y ∂V Vx − − + k + j ∂ ∂ ∂ ∂ y z x x
4.2 Sistem Koordinat Bola
Dalam beberpa hal kita dapat memakai pengetahuan pengetahuan kita mengenai sistem bujur bujur dan lintang yang dipakai untuk menetukan tempat pada permukaan bumi, tetapi dalam hal tersebut kita hanya titik pada permukaan bumi, sedangkan titik di atas dan di bawah permukan bumi tidak ditinjau. Sistem koordinat bola dpat dibangun berdasarkan ketiga sumbu cartesian, seperti pada gmbar ,φ ) . 1.6. Sistem koordinat bola merupakan fungsi dari f ( r ,θ
Steven day dumanauw S2 sains November 2009
8
Gambar 1.6 Sistem koordinat koordinat bola bola dA = p.l = r sin d φ . rd θ d θ d φ = r 2 sin θ d τ = p.l.t = r sin d φ . rd θ . dr d θ d φ dr = r 2 sin θ
dr = r o dr +θ o rd θ + φ o r sin θ d φ
1 ∂t ∂t 1 ∂t +θ o + φ o ∂r r ∂θ r sin θ ∂φ
∇t = r o
1.
Gradiennya :
2.
Divergensinya :
∇.v =
3.
Rotasionalnya :
x
∂ r 2 v + 1 ∂ ( v sin θ ) + 1 ∂vφ r θ r sin θ ∂φ r sin θ ∂θ r 2 ∂r 1
v
=
∂ (sinθ v ) − ∂vθ r + 1 1 ∂vr − ∂ ( rv )θ + φ ∂φ r sinθ ∂φ ∂r φ r sin θ ∂θ ∂vr 1 ∂ ( ) − rv φ θ ∂θ r ∂r 1
4.3 Koordinat Silinder Koordinat silinder merupakan fungsi dari f( r ,φ , z ) d r = r o dr + φ o rd φ + z o dz d τ = rdrd φ dz
∂t 1 ∂t ∂t ∇t = r o + z o + φ ∂r r ∂φ ∂ z
1.
Gradiennya:
2.
Divergensi : ∇.v =
3.
Rotasionalnya :
1 ∂
( rv r ) +
r ∂r x v =
1 ∂vφ
r ∂φ
+
∂v z ∂ z
∂v z ∂v ∂v 1 ∂ 1 ∂v z − ∂vφ r + r − z φ + ( rvφ ) − r ∂φ r ∂φ ∂ z ∂ z ∂r r ∂r
Steven day dumanauw S2 sains November 2009
9
Gambar 1.7 Sistem koordinat koordinat silinder silinder 5. Fungsi Delta Dirac banyak banyak usaha yang dilakukan dilakukan oleh para ahli fisika fisika untuk untuk menyatakan menyatakan suatu peristiwa peristiwa alam dengan menggunakan bahasa matematika, seperti dalam menyatakan muatan titik sebagai suatu hal hal yang yang khus khusus us dari dari fung fungsi si rapa rapata tan n muat muatan an yang yang umum umum,, yait yaitu u ρ (r ) merupakan merupakan cara matematika yang berguna dalam dalam banyak perhitungan. Selanjutnya muatan titik titik dapat dituliskan dalam bentuk ρ (r ) = qδ (r ) δ ( r ) = 0 untuk r ≠ 0
∫∫∫ ∫∫∫ δ (r ′)d v ′ =1 Sangat jelas bagi kita bahwa fungsi delta memberikan ungkapan matematika pada gagasan fisika untuk suatu muatan titik pada r = 0 . Bentuk Bentuk lain fungsi fungsi delta dapat dapat juga digunakan digunakan untuk untuk menyatakan rapat muatan permukaan σ (r ) , yaitu sebaran muatan yang berharga nol di setiap tempat, kecuali pada permukaan tertentu. tertentu. Dengan perluasan ini integral integral tunggal yang mencakup ρ (r ) . Penerapan selanjutnya selanjutnya dapat menjelaskan menjelaskan fungsi berikut: berikut: ∫ F (r )δ (r ′)d v ′ = F (0) F adalah sebarang fungsi skalar atau vektor, karena fungsi yang diintegralkan berharga nol kecuali di r ′ = 0 . Selanjutnya
∫ F (r )δ (r ′ − r o )d v ′ = F (r o )
Jika
ρ (r ′) = qi δ (r ′ − r i ) , maka untuk muatan titik qi di r i qi δ (r ′ − r o ) qi 1 1 ϕ (r ) = d v ′ = ∫ 4π ε 4π ε r − r i o o r − r i
Fungsi delta untuk hukum Gauss dalam bentuk diferensial 1 ∇. E = ρ
ε o
untuk muatan titik q di r = 0, maka 1 q r ∇. = qδ (r ) 4π ε o r 3 ε o
∇.
karena
1
∇. = r
r
= 4πδ (r )
r 3 r d 1
r = − 3 , maka r dr r r
1 ∇2 = −4π δ (r ) r 1 r 1 ∇. 3 = ∇ 3 Selanjutnya .r + 3 ∇.r r r r
Steven day dumanauw S2 sains November 2009
10
=−
3 r r 4 r
3
.r +
=0
3
r Teorema divergensi yang d diterapkan iterapkan pada suatu bola kecil berjejari berjejari R yang berpusat dititik dititik asal, menghasilkan
∫ ∇. v
r 3
r
dv = ∫
Soal dan Pembahasan 1. Unit vekor r iˆ x
=
(
2
s
r .n 3
da =
r
∫ R s
da = 4π
ˆ z ˆ y +k + j
2
2
)
1
∂r ∂ x + y + z = ∂ x ∂ x 1 ( 2 x ) ( x 2 + y 2 + z 2 ) = =
1
2
−
1 2
2 x
r
(r ) = iˆ df ( r ) ∂r
∇ f
dr
∂ x
ˆ + j
df ( r ) ∂r dr
∂ y
ˆ + k
df ( r ) ∂r dr ∂ z
x ˆ + y ˆ + z ˆ df ( r ) i j k r r r dr
=
ˆo = r 4
df ( r ) dr
Jika f ( r ) = ar n , maka 1 1 ˆo ∇( ) = (− )r
r
∇.r = 3
(r )
∇ f
ˆo = anr n −1 r
r
f ( r ) = ∇ .r
∂
x ∂
xf ( r )] [ xf
∂
+
∂ y
yf (r )] [ yf
+
∂ zf ( r )] [ zf z ∂
df x 2 df y 2 df z 2 df = 3 f ( r ) + ( + + ) = 3 f (r ) + r dr r dr r dr r dr Soal Latihan (bahan Tutorial)
1. Jelaskan Jelaskan strukt struktur ur atom atom pada kain kain wol, wol, pipa pipa plastik, plastik, dan dan ebonit ebonit 2. Kenapa Kenapa pipa plastik plastik yang digosok digosok-goso -gosok k ke kain wol, pipa pipa plastik plastik menjadi menjadi muatan positip positip?? 3. Sobekan-so Sobekan-sobeka bekan n kertas yang yang tadinya tadinya netral, bila bila didekatkan didekatkan dengan dengan pipa plastik plastik yang yang sudah termuati, sobekan-sobekan kertas yang netral tadi dapa ditarik oleh pipa plastik tersebut. 4. Jelask Jelaskan an kons konsep ep induk induksi si di di bawah bawah ini ini a. elektrosko elektroskop, p, jika pada pada kepala kepala elektrosko elektroskop p didekatkan didekatkan dengan dengan benda benda yang yang bermuatan bermuatan positip, apa yang terjadi, jika kepala elektroskop tersebut dihubungakan dihubungakan dengan bumi, sementara benda bermuatan positif masih tetap berada ditempat, bagamana daun-daun elektroskop tersebut. tersebut. Selanjutnya hubungan hubungan ke tanah dilepas, sementara benda benda bermuatan masih tetap berada ditempat, apa yang terjadi pada daun elektroskop, dan apa yang terjadi, jika benda bermuatan dijauhkan dari kepala elektroskop tersebut! b. Jelask Jelaskan an kon konsep sep penang penangkal kal petir petir ! 5. hitu hitung ng lap lapla lace ce dar darii fung fungsi si 2 xy +3z + 4 a. T = x + 2 xy b. T = sin x sin y sin z Steven day dumanauw S2 sains November 2009
11
T = e −5 x sin 4 y cos 3 z 6. tentukan tentukan vektor vektor satuan satuan yang yang tegak tegak lurus lurus pada pada permuka permukaan an 2 2 2 x + y + z = 3 , di titik (1,2,1). 7. Diketahui fungsi skalar s(x,y,z) = (x 2 + y2 + z2)-3/2 Hitung gradien gradien s di titik titik (1,2,3). 8. Tunj Tunjuk ukka kan n bahw bahwa: a: c.
1
9.
a.
∫∫ r .d A =V , 3
b.
B =∇ x A , tunjukkan bahwa
dimana dimana V adalah adalah volume volume per mukaan tertutup. tertutup. B.d A = 0, untuk setiap permukaan tertutup. ∫∫ B.
Suatu partikel bergerak dalam lintasan lingkaran r =iˆr cos ω t + jˆr sin ω t a. Hitung r x r o ..
x ω 2 r = 0 r Hitung harga rotasional berikut ini xr f ( r ) . ∇ 10. Bila f ( r ) =ar n dan r = ix + jy + kz hitung b.
Tunjukkan bahwa
xr f ( r ) c. ∇ .r , d. ∇ 12. Diketahui suatu medan E 1 = xyi + 2 yzj + 3 xzk a.
∇ f ( r )
,
b.
2 ∇ f ( r )
,
2 xy + z 2 j + 2 yzk , tentukan mana diantara kedua medan diatas merupakan medan elektrostatika elektrostatika ? Syarat medan elektrostatika adalah adalah x E =0 ∇. E ≠ 0 dan ∇
dan E 2
= y 2 i +
BAB III PENUTUP
Ilmu ini (Matematika) dapat dianggap sebagai penunjang fisika teoritis dan fisika komputasi.. komputasi Bahasa yang digunakan untuk mengungkap peristiwa alam tersebut adalah bahasa penting dalam fisika. Matematika di dalam fisika matematika. Matematika memegang peranan penting dipelajari secara khusus yaitu dalam mata pelajaran fisika matematika.
Steven day dumanauw S2 sains November 2009
12
Dari Wikipedia bahasa Indonesia, ensiklopedia bebas
Steven day dumanauw S2 sains November 2009
13
