A. ARTI DAN KEGUNAAN INVERS
Sebelum diberikan pembatasan atau definisi terhadap invers suatu matriks, terlebih dahulu akan diberikan contoh kegunaan inver. Perhatikan dua buah persamaan berikut : 1. 2x = 10 X = 10/2 = 2-1.10 = 5 2. Ax = x X = b/a = a-1b Jelaslah bahwa untuk memecahkan persamaan nomor 1 dan 2 diatas, yaitu untuk mencari nilai x yang memenuhi persamaan tersebut diperlukan nilai ½ dan 1/a. Nilai ½ = 2 -1 ini disebut kebalikan atau invers 2. Suatu invers memiliki sifat yaitu apabila dikalikan aslinya ( dalam hal ini 2 ), maka menghasilkan 1. Jadi ½.2 ½.2 = 2-12 = 1. Juga 1/a disebut invers a dan berlaku juga sifat tersebut yaitu 1/a.a = a -1a = 1.
B. PEMBALIKAN PEMBALIKAN MATRIKS ( MATRIX INVERSION )
Suatu bilangan real a dikatakan memiliki invers perkalian jika terdapat bilangan b sehingga ab = 1. Sembarang bilangan bukan nol a memiliki invers perkalian b= ½. Kita perluas konsep invers perkalian pada matriks-matriks dengan definisi berikut :
Definisi : Misalkan A merupakan suatu matriks kuadrat dengan n baris dan n kolom dan In suatu matriks identitas. Apabila ada square matrix A-1 sedemikian rupa sehingga berlaku hubungan sebagai berikut AA-1 =A -1A = I
Maka A-1 dinamakan invers matriks
C. METODE INVERS
Invers dari Matriks 2x2 Misalkan A adalah sembarang matriks 2x2, A =
. Kita ingin menurunkan rumus A , invers dari -1
A. Secara khusus, kita mencari 22 = 4 buah scalar, misalnya x 1, y1, x2, y2, sedemikian rupa sehingga :
= 10 01 Dengan menyusun keempat entri menjadi sama dengan entri-entri yang bersesuaian pada matriks identitas, kita akan mendapatkan empat persamaan, yang dapat dibagi-bagi dalam dua system 2 x 2 sebagai mana berikut :
Anggaplah kita menetapkan
| || = ad – bc (determinan A). Dengan mengasumsikan bahwa | || ≠
0, kita dapat menghitung variable-variabel tidak diketahui x 1, y1, x2, y2 di atas secara unik, dan memperoleh Sehingga,
= || = |−| = −|| = || / | || /| / | | ]| = − = [ /| A = / | || /| / | || || /| || ≠ 0, invers dari matriks A berukuran Dengan kata lain, jika | ber ukuran 2 x 2 dapat diperoleh dari A se bagai -1
berikut :
1) Pertukarkan kedua elemen pada diagonal 2) Tulislah negative dari dua elemen lainnya.
| ||, atau bagilah setiap elemen dengan | ||.
3) Kalikan matriks yang diperoleh diatas dengan 1/ Jika
| || = 0, maka matriks A tidak dapat-dibalik. Invers dari Matriks nxn Anggaplah A adalah sembarang matriks bujursangkar-n. Penentuan inversnya, A -1, dapat
disederhanakan sebagaimana diatas, menjadi penentuan solusi dari sekumpulan system persamaan linear n x n. Solusi dari system-sistem semacam ini dan car a dalam menentukan inversnya terdiri dari : 1.
D. SIFAT INVERS MATRIKS
1. Kebalikan suatu matriks segi tidak singular A, bersifat khas. Bukti
: Misalkan Misalkan dua matrix non singular A dan B. Akan ditunjukkan bahwa perkalian perkalian dari dua buah
matriks yang non-singular akan non-singular dan (AB)-1 = B-1A-1 yaitu invers dari masing-masing matriks secara terbalik.
Perhatikan B-1A-1AB = B-1IB = B-1B = I dan ABB-1A-1 = AIA-1 = AA-1 = I. Jadi jelas bahwa B-1A-1 adalah invers dari AB dan invers ini unik. Hal ini bisa diperluas untuk umum, jadi bukan hanya berlaku untuk dua matriks saja. Jadi (ABC . . . Z) -1 = Z-1 . . . C-1B-1A-1 . Contoh
12 03 , B = 22 51 kalau C = AB, maka 1 0 2 5 = 2 5 AB = 2 3 2 1 10 13 13/ 3/24 24 5/24 5/24 ] 1 0 ] , B = [1/8 5/8 ] , C = [1 A = [ 2/3 1/3 1/4 1/4 10/2 10/244 2 2/2 /244 1/8 5/8 ] [ 1 0 ] C = (AB) = B A =[ 1/4 1/4 2/3 1/3 13/ 1 3/24 24 5/24 5/24 ] =[ 10/2 10/244 2 2/2 /244 A=
1
-1
-1
-1
-1
-1
-1
Jadi kalau AB = C, maka C -1 = (AB)-1 = B-1A-1 2. Kebalikan dari kebalikan suatu matriks sama dengan matriks itu sendiri. Bukti
: Kalau C = A-1 sehingga AC = CA = I, maka C-1 bersifat bahwa C-1C = CC-1 = I. Ini berarti, bahwa A
dan C-1 merupakan kebalikan matriks C. 3. Kebalikan suatu matriks bersifat tidak singular. Bukti
: Kebenaran dalil ini sudah ditunjukkan sewaktu membuktikan membuktikan sifat kesetangkupan hubungan
kesetaraan antara dua buah matriks. Dengan jalan lain sifat ini dapat ditunjukkan juga dalam bentuk yang lebih jelas. Yang mengakibatkan bahwa det (A -1A) = (det A-1)(det A) = det I n = 1, sehingga det A-1 =
| ||
1/
4. Kalau A dan B bersifat segi dan tidak singular, maka (AB)-1 = B-1A-1 Bukti
: Det B-1A-1 = det B-1 det A-1 ≠ 0, (B-1A-1)(AB) = B -1 (A-1A)B= = I, maka (AB)-1 = B-1 A-1
5. Invers dari suatu transpose matrix A ialah transpose daripada invers, yaitu (A’) -1 = (A-1)’ Perhatikan AA-1 = A-1A = I. Diambil transpose-nya dan mengingat bahwa I’ = I, maka diperoleh : (A -1)’A’ = I = A’(A-1)’. Jadi jelaslah bahwa (A -1)’ merupakan invers dari A.
Contoh :
|| = 6 – 5 = 1, A = 35 12 , 25 13 , | 3 5 , A’ = 2 5 (A )’ = 1 3 1 2 3 5 = (A )’ Jadi, (A’) = 1 2 -1
A=
-1
-1
-1
