H F-XC A N GE
H F-XC A N GE
c u-tr a c k
N y bu to k lic w
4. Matriks
Tujuan Pembelajaran Setelah mempelajari Konsep Matriks ini diharapkan siswa dapat : a. membuat susunan bilangan dalam bentuk matriks b. menyebutkan ordo suatu matriks c. menuliskan bentuk umum suatu matriks dalam ordo tertentu d. mengidentifikasi jenis-jenis matriks e. menyelesaikan kesamaan matriks f. menjumlahkan atau mengurangkan dua matriks atau lebih g. mengalikan skalar dengan matriks h. mengalikan dua matriks i. mencari invers dan determinan suatu matriks ordo dua j. menyelesaikan sistem persamaan linear dua variabel dengan matriks Kegiatan Belajar 1. Menjelaskan pengertian matriks Tujuan Kegiatan Belajar 1
Setelah mempelajari uraian kegiatan belajar ini , siswa diharapkan : 1. memiliki pemahaman mengenai pengertian matriks. 2. dapat membedakan antara baris dan kolom matriks. 3. mengetahui elemen-elemen suatu matriks. 4. dapat menuliskan notasi-notasi matriks. 5. dapat menyebutkan ordo suatu matriks. Uraian Materi Kegiatan Belajar 1 1.1 Pengertian Matriks Dalam kehidupan sehari-sehari tanpa kita sadari terkadang sebuah kegiatan yang kita laksanakan dapat kita tampilkan dalam materi matematika, kita sajikan dalam bentuk tabel. Contoh : Dalam menyiapkan Ujian Akhir Nasional, Parmin mencatat dan mengevaluasi semua hasil ulangan untuk program diklat Matematika, Bahasa Indonesia dan Bahasa Inggris seperti pada tabel di bawah ini : Ulangan ke : Matematika Bahasa Indonesia Bahasa Inggris
I 6 6 5
II 7 7 6
II 5 7 7
IV 7 8 7
Catatan nilai Parmin dapat disajikan dalam bentuk : 6 7 5 7 6 7 7 8 atau dalam bentuk 5 6 7 7
6 7 5 7 6 7 7 8 5 6 7 7
Contoh 2 : Kondisi presensi tiap hari untuk setiap tingkat dapat ditampilkan dalam bentuk tabel sebagai berikut : Halaman 44
.d o
o
.c
m
C
m o
.d o
w
w
w
w
w
C
lic
k
to
bu
y
N
O W !
PD
O W !
PD
c u-tr a c k
.c
H F-XC A N GE
H F-XC A N GE
c u-tr a c k
N y bu to k lic
Sakit 1 2 0 1
Kelas MO 1 Kelas MO 2 Kelas MO 3 Kelas MO 4
Ijin 2 1 0 2
w
Alpha 1 1 1 0
Tampilan tabel di atas dapat disajikan dalam bentuk : 1 2 0 1
2 1 1 1 atau dalam bentuk 0 1 2 0
1 2 0 1
2 1 1 1 0 1 2 0
Dari tabel Contoh 1 dan Contoh 2 tersebut di atas dan kepala kolom dan baris dihilangkan, kemudian susuanan lambang bilangan atau angka dituangkan ke dalam tanda kurung atau kurung siku, maka susunan seperti itu dinamakan : Matriks.
6 7 5 7 Matriks Contoh 1 : 6 7 7 8 5 6 7 7
1 2
Baris ke -1 Baris ke -2 Baris ke -3
3 4
kolom
1 2 Matriks Contoh 2 : 0 1
1
2 1 1 1 0 1 2 0
Baris ke -1 Baris ke -2 Baris ke -3 Baris ke -4
2 3
kolom
Jadi, Matriks adalah susunan berbentuk persegi panjang dari bilangan-bilangan yang disusun pada baris dan kolom dan diletakkan di dalam dua tanda kurung atau kurung siku. 1.2 Elemen dan Notasi Suatu Matriks Setiap bilangan pada matriks disebut elemen matriks dan diberi nama sesuai dengan nama baris dan nama kolom. Perhatikan Matriks A di bawah ini : 6 7 5 7 Untuk menamai suatu matriks., seringkali kita gunakan satu huruf kapital A = 6 7 7 8 seperti A, B, C. Sedangkan elemen-elemen matriks seringkali dinotasikan 5 6 7 7 dengan huruf kecil sesuai dengan nama matriksnya, seperti a ij untuk elemen-elemen matriks A. Angka 8 dalam lingkaran menunjukkan elemen matriks A yang dituliskan dengan notasi a 24 , yang berarti angka 8 adalah elemen baris ke- 2 dan kolom ke- 4. Apabila ada tampilan eleman a ij , berarti menyatakan elemen matriks A baris ke- i dan kolom ke- j. Apabila disuruh menyebutkan elemen-eleman dari baris ke- 3 adalah : 5, 6, 7, dan 7. Halaman 45
.d o
o
.c
m
C
m o
.d o
w
w
w
w
w
C
lic
k
to
bu
y
N
O W !
PD
O W !
PD
c u-tr a c k
.c
H F-XC A N GE
H F-XC A N GE
c u-tr a c k
N y bu to k lic
Apabila disuruh menyebutkan elemen-elemen dari kolom ke 2 adalah : 7, 7, dan 6. Ide penampilan matriks dalam metematika dikenalkan pada tahun 1857 oleh Arthur Cayley (1821 –1895) yang berkebangsaan Inggris.
1.3 Ordo Suatu Matriks Suatu matriks A berukuran i x j adalah susunan berbentuk persegi panjang dari ij elemen (dalam bentuk bilangan) yang disusun dalam i baris dan j kolom. a 11 a 21 A = ( a ij ) = M a i1
Matriks A sering dinotasikan dalam bentuk :
a 12 a 22 M a i2
... a 1 j ... a 2 j M M ... a ij
Ukuran matriks yaitu i x j, seringkali disebut ordo matriks, sehingga matriks A dapat ditulis dengan : A ixj atau A ( ixj) . Contoh 3 :
2 2 − 3 4 − 1 1
C =
− 3
2 4
D = 1 − 1 5 2 − 3 2
Matriks C mempunyai 2 baris dan 3 kolom, dikatakan ordo matriks C adalah 2x 3 (dibaca 2 kali 3) dan dituliskan C 2 x 3 atau C ( 2 x 3) . Jika banyaknya baris suatu matriks sama dengan banyaknya kolom (contoh matriks D) maka matriks itu disebut matriks bujursangkar. Karena istilah bujursangkar disesuaikan menjadi pengertian persegi, maka disebut matriks persegi. Matriks D adalah matriks persegi dengan ordo 3. Lembar Kerja Siswa Kegiatan Belajar 1 Jawablah pertanyaan-pertanyaan di bawah ini dengan sejelas-jelasnya ! 1 2 4 8
1. Diketahui matriks = 3 7 2 6 5 1 9 0
Sebutkan banyaknya baris dan kolom ! Sebutkan elemen-elemen baris kedua ! Sebutkan elemen-elemen kolom ketiga ! Tuliskalah elemen matriks yang seletak pada baris ketiga dan kolom keempat ! Nyatakanlah baris dan kolom yang menentukan letak elemen : 4, 7 dan 2 ! 2. Hasil pertandingan sepak bola ditampilkan pada tabel di bawah ini : Kesebelasan Main Menang Seri Kalah Memasukan Kemasukan
Nilai
Persija Jakarta
5
2
1
2
15
15
5
Persib Bandung
5
2
1
2
12
11
5
PSMS Medan
5
2
2
1
13
12
6
Persebaya Srby.
5
2
0
3
13
16
4
PSM Makasar
5
3
0
2
16
11
6
PSS Sleman
5
2
0
3
12
16
4
Dari tabel di atas, tuangkanlah ke dalam bentuk matriks ! Dari matriks yang diperoleh : a.
Berapa banyaknya baris dan banyaknya kolom ? Halaman 46
.d o
m
w
o
.c
C
m o
.d o
w
w
w
w
w
C
lic
k
to
bu
y
N
O W !
PD
O W !
PD
c u-tr a c k
.c
H F-XC A N GE
H F-XC A N GE
c u-tr a c k
N y bu to k lic
b.
Pada baris atau kolom mana : ± Semua elemennya sama ± Semua elemennya lebih dari 11 ± Semua elemennya genap 3. Dari surat kabar atau majalah, carilah beberapa contoh keterangan yang disajikan dalam bentuk matriks !
Kegiatan Belajar 2. Mendiskripsikan macam-macam matriks Tujuan Kegiatan Belajar 2 Setelah mempelajari uraian kegiatan belajar ini , siswa diharapkan : 1. dapat menyebutkan macam-macam matriks. 2. dapat mengidentifikasi dua matriks yang sama. 3. memiliki kemampuan untuk menunjukkan transpose suatu matriks. Uraian Materi Kegiatan Belajar 2 2.1 Macam-macam Matriks ± Matriks Baris Suatu matriks yang hanya terdiri dari satu baris. Contoh : A = (− 1 2 7 ) , B = (2 3 − 4 − 2 1) . ± Matriks Kolom Suatu matriks yang hanya terdiri dari satu kolom. 4 Contoh : A = − 2 , B = 5
5 9
± Matrisk Persegi Suatu matriks dengan banyak baris dan banyak kolom sama. Suatu matriks persegi dengan banyak j baris dan j kolom disebut pula matriks ordo j. 1 6 9 2 5 , B = 2 5 8 Contoh : A = 1 7 3 4 7
± Matriks Identitas Suatu matriks persegi dengan semua elemen pada diagonal utama adalah 1 (satu) dan elemen lainnya 0 (nol). Pada umumnya matriks Identitas dilambangkan dengan I, yang terkadang disertai dengan ordonya. 1 0 , B = I 3x 3 = 0 1
Contoh : A = I 2 x 2 =
1 0 0 0 1 0 0 0 1
± Matriks Nol Suatu matriks dengan semua elemennya 0 (nol). Matriks nol sering kali dilambangkan dengan O. 0 0 0 0
Contoh : A =
± Matriks Segitiga
Halaman 47
.d o
m
w
o
.c
C
m o
.d o
w
w
w
w
w
C
lic
k
to
bu
y
N
O W !
PD
O W !
PD
c u-tr a c k
.c
H F-XC A N GE
H F-XC A N GE
c u-tr a c k
N y bu to k lic
Matriks persegi yang dipisahkan oleh diagonal dengan elemen-elemen 0 pada separoh bagiannya.
w
0 − 1 0 1 5 , B = 0 − 4 5 3 0 1 2 2
Contoh : A =
2.2 Kesamaan Matriks Definisi dari kesamaan matriks adalah : Matriks A = ( a ij ) berordao m x n dan matriks B = ( b ij )berordo p x q dikatakan sama jika dan hanya jika sebagai berikut : ± M = p dan n = q, yang berarti matrik A dan matriks B berordo sama. ± a ij = b ij untuk semua i dan j, yang berarti semua elemen yang seletak sama. Catatan : Elemen yang seletak adalah elemen yang mempunyai nomor baris dan kolom sama. 2 9 1 sama dengan matriks B = 8 3 4
Contoh : matriks A =
4 2 2
32 9
1 2 2
Oleh karena itu dasar kesamaan matriks digunakan untuk menyelesaikan persamaan matriks. Contoh 1 : 2x 3 8 3 = 4 3y 4 9
Tentukan nilai x dan y jika
Dengan dasar kesamaan matriks maka didapatkan : 2x = 8 atau x = 4 dan 3y =9 atau y = 3. Contoh 2 : x + 2 − 4 5 − 4 = y − 5 2 6 2
Carilah nilai x dan y yang memenuhi
Dengan dasar kesamaan matriks maka didapatkan : x + 2 = 5 atau x = 5 –2 atau x = 3 y –5 = 6 atau y = 6 + 5 atau y = 11 2.3 Transpose Matriks Transpose artinya perputaran, yang dilambangkan dengan A’ atau AT atau A t , yaitu menukar elemen pada baris menjadi elemen pada kolom atau dengan kata lain elemenelemen baris dari matriks A akan menjadi elemen-elemen kolom matriks A t . Secara lebih terperinci apabila a ij elemen matriks A dan apabila ditranspose menjadi matriks A t maka elemen tersebut menjadi a 'ji .
Contoh 1 : 4 2 4 − 2 6 t maka matriks transposenya adalah A = − 2 1 Matriks A = 1 3 2 6 6
Contoh 2 :
Halaman 48
.d o
o
.c
m
C
m o
.d o
w
w
w
w
w
C
lic
k
to
bu
y
N
O W !
PD
O W !
PD
c u-tr a c k
.c
H F-XC A N GE
H F-XC A N GE
c u-tr a c k
N y bu to k lic
1 4 7 3 Matriks C = 2 5 8 2 3 6 9 1
1 4 t maka matriks transposenya adalah C = 7 3
w
2 3 5 6 8 9 2 1
Lembar Kerja Siswa KB 2
1. Sebutkan ordo matriks berikut ini ! a. (0 1 2 )
b. 41 25 63
x c. y z
a p i e. p b t i t v
4 1 d. 2 5 1 2
1 3 1 0 f. 2 0 5 2 − 2 4 3 4
2. Berapakah banyaknya eleman setiap matriks pada soal no. 1 ? Tahukah Anda cara menghitung yang cepat ? 3. Tulislah sebuah contoh matriks yang mempunyai ordo : a. matriks 2x4 b. matriks 3x3 c. matriks 3x1 d. matriks 1x1 4. Matriks contoh berikut ini manakah yang sama ? a. (1 2 3)
b. (3 2 1)
(
c. 1
4
6
2
)
d.
(
9
8
4
12
)
2 f. 6 2
e. 23 21
4 18
4
9
5. Tahukah nilai x dan y untuk kesamaan matriks di bawah ini ? x 2y a. = 0 3
1 8 0 3
b.
x − 3 = 5 2 − y 1
c. (3x − y ) = (12 − 2 )
6. Tulislah transpose dari setiap matriks pada soal no. 1 dan sebutkan ordo setiap matriks transpose tersebut ! 5 dan Q 7. Diketahui P x3 y
4 3 . Jika Pt = Q tentukanlah nilai x dan y! 5 − 2
Kegiatan Belajar 3. Menyelesaikan operasi matriks Tujuan Kegiatan Belajar 3 Setelah mempelajari uraian kegiatan belajar ini , siswa diharapkan : 1. Menjelaskan pengertian dan syarat penjumlahan dan pengurangan matriks 2. Menentukan lawan suatu matriks 3. Melakukan operasi penjumlahan pada matriks matriks 4. Melakukan opersai pengurangan pada matriks 5. Menjelaskan pengertian dan syarat perkalian matriks 6. Melakukan operasi perkalian pada matriks Uraian Materi Kegiatan Belajar 3 3.1 Penjumlahan dan Pengurangan Matriks Matriks Agar pengertian dan syarat penjumlahan dua buah matriks dapat dipahami dengan baik, coba simaklah persoalan di bawah ini : Dewi dan Budi adalah calon siswa teladan dari sebuah SMK. Penentuan siapa yang berhak mengikuti seleksi siswa teladan tingkat kabupaten didasarkan pada jumlah nilai mata diklat matematika dan bahasa inggris pada semester I dan semester II. Nilai kedua mata diklat yang dicapai oleh Dewi dan Budi ditampilkan pada tabel di bawah ini : Mata Diklat
Semester I
Semester II
Jumlah Halaman 49
.d o
o
.c
m
C
m o
.d o
w
w
w
w
w
C
lic
k
to
bu
y
N
O W !
PD
O W !
PD
c u-tr a c k
.c
H F-XC A N GE
H F-XC A N GE
c u-tr a c k
N y bu to k lic
Dewi
Budi
Dewi
Budi
Dewi
Budi
Matematika
82
86
80
80
162
166
Bahasa Inggris
72
78
73
74
145
152
Dari tabel di atas terlihat bahwa jumlah nilai semester I dan II untuk mata diklat Matematika dan Bahasa Inggris yang dicapai Budi lebih tinggi dibandingkan yang dicapai oleh Dewi. Dengan demikian Budi lebih berhak mengikuti seleksi siswa teladan. Sekarang kita akan melihat bagaimana proses penjumlahan nilai-nilai tersebut dilakukan dengan menggunakan matriks. Bila data atau informasi pada tabel di atas disajikan dalam bentuk matriks, maka dapat dituliskan sebagai berikut : 82 86 + 80 80 = 162 166 72 78 73 74 145 152
Selanjutnya perhatikan contoh penjumlahan dua matriks di bawah ini. − 3 − 1 A 23 41 dan B − 2 − 4
Diketahui dua buah matriks : 1. Tentukan : 2. Apakah : Jawab : 1.
A +B=
A + B dan B + A A +B = B +A 3 1 + − 3 − 1 = 3 + ( −3) 1 + ( −1) = 0 0 2 4 − 2 − 4 2 + ( −2 ) 4 + ( −4) 0 0
− 3 − 1 + 3 1 = − 3 + 3 − 1 + 1 = 0 0 B + A = − 2 − 4 2 4 − 2 + 2 − 4 + 4 0 0 2. Dari jawaban 1 terlihat bahwa A + B = B + A = 0 Apabila kita perhatikan, elemen-elemen yang seletak dari matriks B dan matriks A saling berlawanan. Matriks B yang bersifat seperti itu disebut lawan atau negatife dari matriks A, dan ditulis sebagai -A.
Dalam operasi bilangan riil, kita ketahui bahwa operasi pengurangan dapat ditentukan dengan menjumlahkan sebuah bilangan dengan lawan atau negatif dari suatu bilangan. Dengan menggunakan pemikiran yang serupa dengan operasi pengurangan pada bilangan riil, maka opersi pengurangan dalam matriks dapat ditentukan dengan menjumlahkan sebuah matriks dengan lawan atau negative dari matriks lainnya. Apabila A dan B masing-masing matriks berordo sama maka pengurangan matriks A oleh B dapat dinyatakan sebagai berikut : A - B = A + (-B) Selanjutnya perhatikan contoh di bawah ini : Contoh 1 : 3 − ( −6 ) 9 Jika matriks A 34 dan matriks B − 65 , maka : A - B = 34 - − 65 = = 4 − 5 − 1
6 = 9 A +(-B) = 34 +{- − 65 } = 34 + − 5 − 1
Contoh 2 : Halaman 50
w
.d o
o
.c
m
C
m o
.d o
w
w
w
w
w
C
lic
k
to
bu
y
N
O W !
PD
O W !
PD
c u-tr a c k
.c
H F-XC A N GE
H F-XC A N GE
c u-tr a c k
N y bu to k lic
Jika matriks P 35 − 26 dan matriks B − 41 34 , dengan melihat contoh 1 bahwa A – B akan sama dengan A + (-B) maka hasilnya adalah :
3 − 6 +{- − 1 3 } = 4 4 5 2
3 + 3 − 6 − 3 = 6 − 9 5 − 4 2 − 4 1 − 2
3.2 Perkalian skalar (bilangan real) dengan matriks Ide penjumlahan yang berlaku pada bilangan real dapat kita terapkan pada penjumlahan matriks, yaitu : a + a = 2 a, penjumlahan dua buah bilangan yang sama a + a + a + … + a = n.a penjumlahan n buah bilangan yang sama Pada matriks, pandanglah matriks A 21 34 Berdasarkan aturan penjumlahan matriks, diperoleh : A + A = 21 34 + 21 34 = 22xx21 22xx43 = 24 68 matriks 22xx21 22xx43 bisa dituliskan sebagai 2. 21 34 atau 2 A Jadi, A + A = 2 A Dengan demikian A + A + A = 3 A, dan seterusnya. Dari uraian di atas dapat disimpulkan bahwa, jika A adalah sebuah matriks, dan k adalah skalar (bilangan real), maka k A adalah sebuah matriks baru yang didapat dari hasil perkalian k dengan elemen-elemen matriks A. 3.3 Perkalian matriks dengan matriks Untuk memahami perkalian suatu matriks dengan matriks lain, perhatikan persoalan di bawah ini: Ketika jam istirahat Anto dan Tomi membeli makanan di kantin sekolah. Anto menghabiskan 4 buah kue dan 2 gelas es jeruk. Tomi menghabiskan 3 buah kue dan 1 gelas es jeruk. Harga kue per buah dan es jeruk per gelas masing-masing Rp. 100,00 dan Rp. 250,00. Persoalan ini jika disajikan dengan memakai tabel dapat ditunjukkan seperti di bawah ini
Anto Tomi
Kue 4 3
Es Jeruk 2 1
Kue Es Jeruk
Harga (Rp) 100 250
Persoalannya adalah, berapakah jumlah uang yang harus dibayarkan oleh Anto, dan oleh Tomi. Jumlah uang yang harus dibayarkan oleh Anto adalah 4 x 100 + 2 x 250 = 900 Untuk menyatakan perhitungan ini dalam bentuk matriks, diperlukan dua buah informasi, yaitu : a. Jenis dan jumlah makanan yang dibeli oleh Anto. Informasi ini dapat ditulis dengan matriks baris sebagai berikut : (4 2 ) b.
Harga setiap jenis makanan. Informasi ini dapat ditulis dengan matriks kolom sebagai berikut :
100 250
Dengan demikian, jumlah uang yang harus dibayar oleh Anto dapat dinyatakan sebagai :
Halaman 51
.d o
m
w
o
.c
C
m o
.d o
w
w
w
w
w
C
lic
k
to
bu
y
N
O W !
PD
O W !
PD
c u-tr a c k
.c
H F-XC A N GE
H F-XC A N GE
c u-tr a c k
N y bu to k lic
Langkah-langkah perhitungan seperti di atas pada hakekatnya diperoleh dengan cara mengalikan tiap elemen matriks baris ( 1 x 2 ), dengan elemen-elemen yang bersesuaian dari matriks kolom ( 2 x 1 ). Matriks hasil perkaliannya adalah matriks ( 1 x 1 ). Akhirnya jumlah uang yang harus dibayarkan oleh Anto dan Tomi dapat dinyatakan sebagai : 4 2 3 1
100 250
4 x 100 + 2 x 250 3 x 100 + 1 x 250
900 550
Proses atau cara penggabungan dua buar matriks menjadi sebuah matriks seperti penjelasan di atas disebut perkalian matriks. Sehingga dapat dikatakan, aturan perkalian matriks adalah : Mengalikan tiap elemen pada baris matriks sebelah kiri dengan tiap elemen pada kolom matriks sebelah kanan, kemudian hasilnya dijumlahkan. Atau secara umum : p r B q s
a c Jika diketahui matriks-matriks : A b d
maka perkalian matriks A dan B dapat ditentukan dengan persamaan : a c p r = axp + cxq axr + cxs A x B = b d q s bxp + dxq bxr + dxs
Syarat dua buah matriks A dan B dapat dikalikan, apabila banyak kolom matriks A sama dengan banyak baris matriks B. Lembar Kerja Siswa Kegiatan Belajar 3 1. Jika diketahui matriks O = 00 00 dan matriks A Tunjukkan bahwa : (i) O + A = A
3 10 8 −2
(ii). A + O = A
2. Lengkapilah pernyataan berikut ini ! Dari hasil penyelesaian soal 1 di atas terlihat bahwa : … + … = A + O = … Matriks O disebut matriks nol berordo : … x … yaitu sebuah matriks yang setiap elemennya adalah … … dan untuk setiap matriks A berlaku : O + A = A + O = … … 3. Diketahui matriks-matriks : A 26 91 dan B
4 8 3 7
a. Tentukanlah (A + B) dan (B + A) b. Apakah (A + B) = (B + A) 3. Diketahui matriks-matriks P
3 5 4 9
Q
1 8 6 7
R
2 1 3 2
Tentukan : a. P + Q b. Q + R c. (P + Q) + R Halaman 52
.d o
m
w
= (4x100 + 2x250) = (400+ 500 ) = (900 ) (4 2 ) x 100 250
o
.c
C
m o
.d o
w
w
w
w
w
C
lic
k
to
bu
y
N
O W !
PD
O W !
PD
c u-tr a c k
.c
H F-XC A N GE
H F-XC A N GE
c u-tr a c k
N y bu to k lic w
d. P + (Q + R) e. Apakah (P + Q) + R = P + (Q + R)
4. Tentukan hasil kali dua matriks berikut : 23 −21 23 = … … 5. Dengan menambah satu kolom pada matriks kedua soal diatas, sehingga menjadi : 2 − 1 , tentukanlah perkalian : 2 − 1 2 − 1 = … … 3 −1 3 −1 3 −1 6. Lakukan seperti soal 5, berapakah hasil kali dari : 2 − 1 2 − 1 2 = … … 3 2 3 −1 1 7. Berapakah ordo matriks hasil perkalian soal nomor 6. Bila perlu, kembangkan dengan bentuk matriks lain seperti matriks berordo 1 x 3 dengan matriks berordo 3 x 2. Bagaimana ordo hasil perkalian matriks-matriks tersebut? 8. Buatlah suatu kesimpulan mengenai langkah soal nomor 1 s.d 4. Kegiatan Belajar 4. Menentukan determinan dan invers matriks Tujuan Kegiatan Belajar 4 Setelah mempelajari uraian kegiatan belajar ini maka, anda diharapkan dapat : 1. menghitung determinan dan invers matriks berordo 2 × 2. 2. menyelesaikan persamaan matriks. 3. menyelesaikan persamaan linier 2 variabel dengan menggunakan matriks. Uraian Materi Kegiatan Belajar 4 4.1. Determinan matriks berordo 2 × 2. b Misalkan A adalah matrik persegi berordo 2 × 2 yang dituliskan dlam bentuk A = ac d
a b b = ad –bc. ditulis sebagai det. A = a = ac d c d
Maka determinan matriks A = Contoh : 1. Jika A = 35 2. JIka B = 75
2 maka det A = 3 2 = 3.4 –2.5 = 12 –10 = 2 4 5 4 4 maka det B = 7 4 = 7.3 –4.5 = 21 –20 = 1 3 5 3
4.2. Invers matriks berordo 2 × 2. b ,maka invers matriks A ditulis A −1 ditentukan oleh : Misal A = ac d A −1 =
1 d − b , dengan det. A = ad –bc ≠ 0 det . A − c a
Keterangan : 1. Jika A sebuah matriks dengan det A ≠ 0, maka A disebut matriks tak singular atau non singular. Setiap matriks tak singular mempunyai invers. 2. Jika A sebuah matriks dengan det A= 0, maka A disebut matriks singular. Setiap matriks singular tidak mempunyai invers. Contoh 1 : Halaman 53
.d o
o
.c
m
C
m o
.d o
w
w
w
w
w
C
lic
k
to
bu
y
N
O W !
PD
O W !
PD
c u-tr a c k
.c
H F-XC A N GE
H F-XC A N GE
c u-tr a c k
N y bu to k lic
Matriks A adalah matriks non-singular. Contoh 2: 4 x merupakan matriks singular! Tentukan nilai x apabila matriks P = 10 − 2 Jawab : Syarat matriks singular adalah det. P = 0, maka : 4 x 10 2 = 0 4.2 –10x = 0 8 –10x = 0
8 4 = 10 5 Penyelesaian Persamaan Matriks Setelah memahami pengertian invers matriks, sekarang kita mempelajari cara menyelesaikan soal yang berhubungan dengan invers matriks. Sebagai contoh adalah menyelesaikan persamaan matriks berbentuk A.X = B atau X.A = B, dengan A, B, dan X adalah matriks-matriks berordo 2x2. Agar X ada ( dapat ditentukan ) disyaratkan bahwa matriks A haruslah matriks non singular, sehingga matriks A mempunyai invers A −1 . a. Persamaan bentuk A . X = B Untuk persamaan AX = B, kalikan persamaan matriks tersebut dengan A −1 dari arah kiri. A −1 .( A.X ) = A −1 .B (A −1 .A) X = A −1 .B I. X = A −1 .B, sebab A −1 .A= I X = A −1 .B, sebab I . X = X . I = X Jadi jika A.X = B, maka X = A −1 . B b. Persamaan berbentuk X.A = B Untuk persamaan A X = B, kalikan persamaan matriks tersebut dengan A −1 dari arah kanan. (X.A). A −1 = B. A −1 X.(A. A −1 )= B. A −1 X. I = B. A −1 , sebab A. A −1 = 1 X = B. A −1 , sebab I . X = X . I = X Jadi jika X . A = B, maka X = B . A −1 Contoh : Diketahui matriks-matriks A = 73 25 B = 25 13 Tentukan matriks X berordo 2x2 yang memenuhi persamaan : a. A . X = B b. X . A = B Jawab : Det.A = 73 25 = 15 –14 = 1, sehingga A −1 = −57 −32 .
8 = 10x
4.3
x=
Halaman 54
.d o
m
w
3 Tentukan invers matriks A = 54 − − 2 Jawab : 3 = 5(-2) –(-3). 4 = -10-(-12) = 2 Det. A= 54 − − 2 − 1 23 1 − 2 3 A −1 = = 5 − 4 5 2 − 2 2
o
.c
C
m o
.d o
w
w
w
w
w
C
lic
k
to
bu
y
N
O W !
PD
O W !
PD
c u-tr a c k
.c
H F-XC A N GE
H F-XC A N GE
c u-tr a c k
N y bu to k lic
a. Untuk persamaan matriks A.X = B penyelesaiannya adalah − 1 X = A −1 .B = −57 −32 25 13 = −21 29 2 b. Untuk persamaan matriks X.A = B penyelesaiannya adalah − 7 X = B. A −1 = 25 13 −57 −32 = −18 11 5 4.4 Pemakaian matriks untuk menyelesaikan system persamaan linier 2 variabel ax + by = c Untuk persamaan linier berbentuk : { px + qy = r a b = aq –bp ∀ = p q b = cq –br ∀ x = cr q a c = ar –cp ∀y = p r
Sehingga : x=
∇y ∇x , y= ∇ ∇
Contoh : 4 x + 5 y = 17 Selesaikan persamaan dengan menggunakan determinant matriks ! 2 x + 3y = 11 Jawab : ∇ = 42 35 = 12 –10 = 2,
5 ∇ x = 17 11 3 = 51 –55 = -4
∇ y = 24 17 11 = 44 –34 = 10 x=
∇y ∇x −4 10 = = -2 , y = = =5 ∇ 2 ∇ 2
Lembar Kerja Siswa KB 4 1 . Tentukanlah nilai x jika det. A = det.B ! 1. Diberikan matriks A = 23x x3 dan B = x3 10 3y 18 merupakan matriks singular, tentukanlah nilai y ! 2. Jika P = 2 2 y
2a + 2 c + 8 4 5 -1 t dan Q = . Tentukan nilai a, b, c dan d jika 2P = Q ! b − 4 3 d − a 2 5
3. Matriks P =
4. Tentukan penyelesaian system persamaan linier berikut dengan matriks: 4 x + 5 y = 17 2 x − y = −7 a. b. 2 x + 3 y = 11 5 x − 6 y = −18 5. Jika mungkin, tentukan himpunan penyelesaian dari system persamaan linier berikut: 2 x + 3y = 4 4x − 3y = 2 a. c. 4 x + 6 y = 8 8 x − 6 y = 10 6. Dalam sebuah praktek kerja bengkel yang terdiri dari beberapa kelompok, Daffa mewakili kelompoknya untuk membeli 5 buah lampu kabut dan 4 buah lampu zen, ia harus membayar RP 35.000,- . Pada kesempatan yang sama Odhi juga mewakili Halaman 55
.d o
m o
.c
C
m
w
o
.d o
w
w
w
w
w
C
lic
k
to
bu
y
N
O W !
PD
O W !
PD
c u-tr a c k
.c
H F-XC A N GE
H F-XC A N GE
c u-tr a c k
N y bu to k lic
kelompoknya membeli 10 buah lampu kabut dan 6 buah lampu zen dengan membayar Rp 63.500,-. Harga perbuah untuk lampu kabut x rupiah dan untuk harga lampu zen y rupiah. a. Tentukan sistem persamaan linier dua peubah x dan y yang dapat disusun dari permasalahan di atas ! b. Tentukan himpunan penyelesaian system persamaan linier yang tersebut ! c. Dari penyelesaian soal b). Berapa harga sebuah lampu kabut dan berapa harga sebuah lampu zen ?
Kegiatan Belajar 5. Menentukan determinan dan invers matriks ordo 3 Tujuan Kegiatan Belajar 5 Setelah mempelajari uraian kegiatan belajar ini maka, anda diharapkan dapat : 1. Menghitung determinan matriks berordo 3 × 3 2. Menentukan invers matriks ordo 3 x 3 Uraian Materi Kegiatan Belajar 5 5.1 Determinan matriks ordo 3 x 3.
a Jika matriks A ordo 3 x 3 dengan bentuk A = d g
b e h
c f maka determinan A dapat dicari i
dengan
a A = d g
b e h
---
c a b f d e = aei + bfg + cdh –ceg –afh –bdi i g h +++
Contoh :
2 3 2 2 3 2 3 2 Jika B = 4 2 1 maka det B = 4 2 1 4 2 = 2.2.5 + 3.1.1 + 2.4.3 –2.2.1 –2.1.3 –3.4.5 1 3 5 1 3 5 1 3 = 20 + 3 + 24 - 4 –6 –60 = - 23 5.2 Invers matriks ordo 3 x 3 Untuk menentukan invers matriks ordo 3 x 3 dapat digunakan beberapa cara, antara lain : a. menggunakan pengertian dasar invers yakni jika A adalah invers B maka akan berlaku AB = BA = I ( matriks identitas ordo 3 x 3 ).
a Misal A = d g a d g
b e h
c f i
b e h
c f dan B = i
p q r s t u saling invers maka akan berlaku : v w x
p q r p q r a s t u = s t u d v w x v w x g
b e h
c 1 0 0 f = 0 1 0 i 0 0 1
Contoh : Halaman 56
.d o
m
w
o
.c
C
m o
.d o
w
w
w
w
w
C
lic
k
to
bu
y
N
O W !
PD
O W !
PD
c u-tr a c k
.c
H F-XC A N GE
H F-XC A N GE
c u-tr a c k
N y bu to k lic
Penyelesaian:
p q r Misal B = s t u adalah invers matriks A = v w x
3 − 1 2 2 4 2 maka akan berlaku − 1 − 1 3
3 − 1 p q r 1 0 0 2 2 4 2 s t u = 0 1 0 − 1 − 1 3 v w x 0 0 1 2q + 3t − w 2r + 3u − x 1 0 0 2 p + 3s − v 2 p + 4 s + 2v 2q + 4t + 2w 2r + 4u + 2 x = 0 1 0 − p − s + 3v − q − t + 3w − r − u + 3x 0 0 1 dengan kesamaan matriks akan diperoleh persamaan linier sebagai berikut : i.
2 p + 3s − v = 1 2 p + 4 s + 2v = 0 − p − s + 3v = 0 (1)… . 2p + 3s –v = 1 (2)… . 2p + 4s + 2v = 0 (3)… . –p –s + 3v = 0 dari (2) –(1) diperoleh s + 3v = -1 … . (4) dari (2) + 2(3) diperoleh 2s + 8v = 0 … . (5) dari (5) –2(4) diperoleh v = 1 Substitusi ke (4) diperoleh s = -4. jika v = 1 dan s = -4 disubstitusi ke (3) diperoleh p = 7
ii.
2q + 3t − w = 0 2q + 4t + 2 w = 1 − q − t + 3w = 0 (1) … . 2q + 3t –w = 0 (2) … . 2q + 4t + 2w = 1 (3) … . –q –t + 3w = 0 dari (2) –(1) diperoleh t + 3w = 1 … . (4) dari (2) + 2(3) diperoleh 2t + 8w = 1 … . (5) dari (5) –2(4) diperoleh w = jika w = -
1
2
dan t =
5
2
1
2
,w=-
1
2
substitusi ke (5) diperoleh t =
5
2
substitusi (3) akan diperoleh q = -4
Halaman 57
.d o
m
w
3 − 1 2 Tentukan invers dari matriks A = 2 4 2 − 1 − 1 3
o
.c
C
m o
.d o
w
w
w
w
w
C
lic
k
to
bu
y
N
O W !
PD
O W !
PD
c u-tr a c k
.c
H F-XC A N GE
H F-XC A N GE
c u-tr a c k
N y bu to k lic
iii.
w
2r + 3u − x = 0 2r + 4u + 2 x = 0 − r − u + 3x = 1 (1) … . 2r + 3u –x = 0 (2) … . 2r + 4u + 2x = 0 (3) … . –r –u + 3x = 1 dari (2) –(1) diperoleh u + 3x = 0 … . (4) dari (2) + 2(3) diperoleh 2u + 8x = 2 … . (5) dari (5) –2(4) diperoleh x = 1, jika x = 1 substitusi ke (4) diperoleh u = -3 Jika x = 1 dan u = -3 disubstitusi ke (3) akan diperoleh r = 5
3 − 1 2 Jadi invers dari matriks A = 2 4 2 adalah B = − 1 − 1 3
7 −4 5 − 4 5 − 3 2 1 − 1 2 1
b. Menggunakan adjoin matriks. Jika A adalah matriks non singular berordo m x n , maka invers matriks A dapat dicari dengan adjoin matriks sebagai berikut :
A −1 =
1 Adj ( A) det A
di mana Adj (A) adjoin matriks A dapat dicari dengan terlebih dulu mengetahui minor dan kofaktor matriks itu. Jika xij adalah elemen matriks baris ke-i kolom ke-j maka : i. Minor matriks M ij adalah determinan matriks dengan menghapus (menghilangkan) baris ke- i kolom ke-j
a Misal A = d g
b e h
c f i
M 11 =
e h
f = ei –fh (menghapus baris ke-1 kolom ke-1 ) i
M 12 =
d g
f = di –fg ( menghapus baris ke-1 kolom ke-2 ) i
M 13 =
d g
e = dh –eg ( menghapuskan baris ke-1 kolom ke-3 ) h
dan seterusnya. ii. Kofaktor Kij adalah perkalian (−1)i+ j dengan Mij
K11 = (−1)1+1 M11 = 1(ei –fh) Halaman 58
.d o
o
.c
m
C
m o
.d o
w
w
w
w
w
C
lic
k
to
bu
y
N
O W !
PD
O W !
PD
c u-tr a c k
.c
H F-XC A N GE
H F-XC A N GE
c u-tr a c k
N y bu to k lic w
K12 = (−1)1+ 2 M12 = −1(di − fg ) K13 = (−1)1+ 3 M 13 = 1(dh − eg ) dan seterusnya
K11 Adjoin matriks A dirumuskan Adj (A) = K12 K13
K 21 K 22 K 23
K 31 K 32 K 33
Contoh :
3 − 1 2 Tentukan invers dari matriks A = 2 4 2 dengan adjoin matriks − 1 − 1 3 Penyelesaian :
2
3
−1
i. det A = 2
4
2 = 24 –6 + 2 –4 + 4 –18 = 2
−1 −1
3
iii. minor-minor matriks A
M 11 =
4 2 = 12 − (−2) = 14 −1 3
M 23 =
2 3 = −2 − (−3) = 1 −1 −1
M 12 =
2 2 = 6 − (−2) = 8 −1 3
M 31 =
3 −1 = 6 − (−4) = 10 4 2
M 13 =
2 4 = −2 − (−4) = 2 −1 −1
M 32 =
2 −1 = 4 − (−2) = 6 2 2
M 21 =
3 −1 = 9 −1 = 8 −1 3
M 33 =
2 3 = 8−6 = 2 2 4
M 22 =
2 −1 = 6 −1 = 5 −1 3
iv. Kofaktor-kofaktor matriks A
K11 = (−1) 2 M 11 = 14
K 21 = (−1)3 M 21 = −8
K 31 = (−1) 4 M 31 = 10
K12 = (−1)3 M 12 = −8
K 22 = (−1) 4 M 22 = 5
K 32 = (−1)5 M 32 = −6
K13 = (−1) 4 M 13 = 2
K 23 = (−1)5 M 23 = −1
K 33 = (−1)6 M 33 = 2
v. invers matriks A dapat ditemukan
K11 1 A = K12 det A K13 −1
K 21 K 22 K 23
K 31 K 32 K 33
14 − 8 10 1 A = − 8 5 − 6 2 2 − 1 2 −1
Halaman 59
.d o
o
.c
m
C
m o
.d o
w
w
w
w
w
C
lic
k
to
bu
y
N
O W !
PD
O W !
PD
c u-tr a c k
.c
H F-XC A N GE
H F-XC A N GE
c u-tr a c k
N y bu to k lic
Lembar Kerja KB 5
2 0 3 1. Tentukan determinan dan invers dari matriks A = 1 4 5 0 2 1 4 1 − 2 3 4 2. Tentukan determinan dan invers dari matriks B = 6 4 − 1 1 7 − 4 5 3. Tentukan determinan dan invers dari matriks C = − 4 2 3 1 − 1 1
Halaman 60
.d o
m
w
7 −4 5 −1 A = − 4 5 2 − 3 Bandingkan dengan cara sebelumnya. 1 − 1 2 1
o
.c
C
m o
.d o
w
w
w
w
w
C
lic
k
to
bu
y
N
O W !
PD
O W !
PD
c u-tr a c k
.c
