Kelompok 6
( Makalah Aljabar Linear ) Dosen : Fitriana Rahmawati, S.Pd., M.Pd Disusun Oleh :
Sapta Ri Riski Fe Febriana
: 10 10130297
Kart Kartin inii Sugi Sugiha hart rtii Suwa Suwart rto o Riana Safitri Jera Madona
: 1013 101301 0157 57
: 10130271 : 10130375
SEKOLAH TINGGI KEGURUAN dan ILMU PENDIDIKAN PERSATUAN GURU REPUBLIK INDONESIA (STKIP-PGRI) BANDAR LAMPUNG
1
2012 / 2013 Kata Pengantar
Puji syukur kami panjatkan panjatkan kehadirat kehadirat Tuhan Yang Maha Esa yang selalu melimpahkan rahmat dan karunia-nya. Sehingga kami dapat menyelesaikan tugas Aljabar Linear mengenai Matriks dan Operasi Matriks dengan baik dan sesingkat – singkatnya agar mudah dimahami dan dimengerti. Kami menyadari sepenuhnya bahwa dalam pembuatan tugas ini masih jauh dan banyak kekurungan dari kesempurnaan, oleh karena itu bagi pembaca dan kepada semua pihak guna penyempurnaan tugas mendatang agar lebih baik dan sempurna. kiranya sumbangan kritik dan saran yang kami harapkan yang bersifat membangun. Dengan Dengan selesa selesainy inyaa makalah makalah ini, ini, kami kami tidak tidak lupa lupa menguc mengucapk apkan an terima terima kasih kepada : 1. Bapak Drs. H. Dailami Dailami Zain Zain selaku selaku ketua ketua yayasan yayasan STKIP PGRI 2. Ibu Fitriana Fitriana Rahmawa Rahmawati, ti, S.Pd., S.Pd., M.Pd M.Pd selaku selaku dosen dosen pembim pembimbing bing dalam dalam penulisan makalah ini
Semoga bantuan dan bimbingan yang telah diberikan untuk menyelesaikan tugas ini mendapat balasan dari ALLAH SWT. Akhirnya kami berharap, semoga makalah ini dapat bermanfaat untuk perkembangan pendidikan, khususnya bagi para mahasiswa. dan tak lupa penulis ucapkan terima kasih.
Bandarlampung,
Februari 2012
2
Penulis
Daftar Isi
Halaman Kata Pengantar
i
Daftar Isi
ii
BAB I PENDAHULUAN
4
1. Peng Penger erti tian an Matri Matriks ks
4
2. Jenis-Jenis Matriks
5
2.1.
Matriks Baris
5
2.2.
Matriks Kolom
5
2.3.
Matriks Diagonal
5
2.4.
Matriks Identitas
5
2.5.
Ma M atriks Nol
6
3. Transpose Matriks
6
4. Kesamaan Dua Matriks
6
5. Operasi Pada Matriks
7
5.1.
Penjumahan Matriks
7
5.2.
Pengurangan Matriks
8
5.3.
Perkalian Bilangan Real (scalar) ar) dengan Matriks
9
5.4.
Perkalian Matriks
10
5.5.
Perpangkatan Matriks Persegi
11
6. Contoh Soal
12
7. Latih atihan an Soal Soal
13
BAB II
PENUTUP/KESIMPULAN
14 3
BAB III
DAFTAR PUSTAKA
15
BAB I PENDAHULUAN
A.
Pengertian Matriks Metriks adalah Susunan teratur bilangan-bilangan dalam baris dan kolom
yang membentuk suatu susunan persegi panjang yang kita perlukan sebagai suatu kesatuan Bilangan-bi Bilangan-bilanga langan n yang terdapat di suatu suatu matriks matriks disebut disebut dengan dengan elemen atau anggota matriks. Dan susunan unsur – unsur matriks tersebut dibatasi dengan tanda kurung. Dengan representasi matriks, perhitungan dapat dilakukan dengan lebih terstruktur. Pemanfaatan Pemanfaatannya nya misalnya misalnya dalam menjelaskan menjelaskan persamaan persamaan linear, linear, transformas transformasii koordinat, dan lainnya. Matriks seperti halnya variabel biasa dapat dimanipulasi, seperti dikalikan, dijumlahkan, dikurangkan dan dipangkatkan. Misal : A3×3
8 = 5 7
7 7 9
8 10 8
baris ke 2
Kolom kolom Ke1
ke 3
Keterangan: •
A adalah lambang huruf untuk matriks
•
A3
•
Bila unsur baris ke-i dan kolom ke-j dari matriks A maka dilambangkan
3 ×
artinya matriks berordo 3X3 menpunyai 3 baris dan 3 kolom. aij
.
4
B.
JENIS-JENIS MA MATRIKS
1. Matr Matrik ikss baris baris
Matriks baris adalah suatu matriks yang terdiri atas satu baris saja. Misalnya P = 4
7
3
Q = [5
8
3
1]
2. Matr Matrik ikss kolom kolom
Matriks kolom adalah suatu matriks yang terdiri atas satu kolom saja. Misanya −1 S = 3 5
7 R = 3
3. Matrik Matrikss pers persegi egi
Matriks persegi adalah matriks yang banyak kolom dan banyak barisnya sama. Misalnya 2 A = 7
− 3 merupakan matrik pesegi ordo 2 dapat ditulis 0
A2×2
Elemen-elemen diagonal utama matriks A adalah 2 dan 0.
4. Matrik Matrikss diago diagonal nal
Matriks diagonal adalah matriks persegi dengan setiap elemen yang bukan elemen-elemen diagonal utamanya bernilai 0 (nol). Misalnya 2 C = 0
0
1
3 D = 0 0
0
0
4
0
0
0
5. Matrik Matrik identi identitas tas
Matriks identitas adalah matriks pesegi dengan semua elemen pada diagonal utama adalah 1 dan elemen lainnya semuanya 0. Misalnya 1 I 2 = 0
0
1
1 I 3 = 0 0
0 1 0
0
1 0
6. Matr Matrik ikss nol nol 5
Matri Matriks ks nol nol adal adalah ah matri matriks ks yang yang semu semuaa elem elemen enny nyaa 0 (nol (nol). ). Metri Metriks ks nol nol biasanya dinotasikan dengan huruf O diikuti ordonya Om n . Misalnya 0 0 0 O2×1 = O 2×3 = 0 0 0 0 0 ×
C.
TRANSPOSE MATRIKS jika A adalah sembarang sembarang matriks matriks m×n, m×n, maka maka transpose transpose A,
diny dinyat ataka akan n deng dengan an A T, didef didefin inis isik ikan an seba sebaga gaii matr matriks iks n×m yang didapa didapatka tkan n dengan dengan memper mempertuk tukarka arkan n baris baris dan kolom kolom dari dari A: yaitu, yaitu, kolom pertama dari A T adalah baris pertama dari A, kolom kedua dari A T adalah baris kedua dari A, dan seterusnya. Amati, bahwa tidak hanya kolom dari AT menjadi baris dari A, tetapi baris dari A T juga menjadi kolom dari A. A. jadi, entri dalam baris I dan kolom j dari A T dapat diperoleh dengan “mencerminkan” A terhadap diagonal utamanya. misalkan 2 Jika A = 3
1 4
5
6
2 makan akan menjadi A = 1 5 T
3
6 4
Ordo matriks A adalah 3 x 2 sedangkan ordo AT adalah 2 x 3.
D.
KESAMAAN DUA MATRIKS jika A+B adalah matriks-matriks berukuran sama, maka jumlah
A+B adalah matriks yang di peroleh dengan menambah entri-entri B dengan dengan entri-entri entri-entri A yang berpadanan berpadanan dan selisih A-B adalah matriks yang di peroleh dengan mengurangkan entri-entri A dengan entri-entri B yang berpadanan. Matriks - matriks berukuran berbeda tidak dapat ditambahkan atau dikurangkan. 6
Dalam notasi matriks, jika A=[a ij] dan B=[bij] mempunyai ukuran yang sama, maka A=B jika dan hanya hanya jika (A) (A)ij = (B)ij , atau secara ekuivalen, aij=bij untuk semua i dan j.
22 4 3 , B = 1 Misal: A = 16 2 1 2
9
4 − 3 , C = maka A=B, B≠C, A≠C 1 − 2 1
Maka, matriks yang memiliki kesamaan adalah A dan B karena ordonya sama dan elemen-elemen yang seletak nilainya sama sedangkan yang di A dan C, B dan C merupaka merupakan n matriks matriks yang tidak tidak memilik memilikii kesamaan kesamaan meskipun meskipun ordonya ordonya sama, tetapi ada elemen-elemen seletak yang nilainya tidak sama, maka matriks tersebut tidak sama.
E.
OPERASI-OPERASI MATRIKS
1. Penjumlahan Matriks
Penjumlahan matriks A dan B, ditulis A+B, di definisikan sebagai sebuah martiks C = ( cij
yang diperoleh diperoleh dengan dengan menjumlahk menjumlahkan an elemen-elemen elemen-elemen yang
seletak dari matriks A dan B. Syarat Syarat dua matrik matrikss atau atau lebih lebih dapat dapat dijuml dijumlahk ahkan an adalah adalah matrik matriks-m s-matri atriks ks tersebut mempunyai ordo yang sama. Misalnya
5 Diketahui A = 4
A+B=
5 4
7
3 + 0 1
7 3 , B = 0 1
5 + 3 = 1 4 + 1 2
2
maka
1
7 + 2
8 = 0 +1 5
9 1
7
Pada penjumlahan matrik juga berlaku sifat- sifat, apabila matrik A,B dan
C berordo sama yaitu m x n. •
A+B = B+A (sifat komulatif)
•
A+B+C = A+(B+C) (sifat asosiatif)
•
Unsur-unsur identitas penjumlahan, yaitu matriks O sehingga A+O = O+A = A
•
Invers penjumlahan A adalah –A sehingga A+(-A) = (-A)+A=O
2. Pengurangan Matriks
1)
Lawan suatu matriks Lawan Lawan suatu suatu matri matriks ks adal adalah ah suatu suatu matr matrik ikss yang yang elem elemen en-el -elem emen enny nyaa merupakan merupakan lawan dari elemen-elemen elemen-elemen matriks matriks tersebut. tersebut. Dapat ditulis dari matriks A = aij lawannya dapat ditulis
− A = − aij . Misalnya
9 5 − 9 Jika A = maka lawan matriks A adalah − A = 4 1 − 4
− 5 −1
2) Peng Pengur uran anga gan n matr matrik ikss Pengurangan matrik A dan B, ditulis A-B, didefinisikan sebagai sebuah matriks C = cij yang di peroleh dari pengurangan setiap elemen matriks A dengan dengan elemen elemen matrik matrikss B yang yang seleta seletak. k. Karena Karena pengur pengurang angan an pada pada dasarnya sama dengan penjumlahan terhadap lawan bilangan penambah maka pengurangan matriks B terhadap matriks A dapat di tulis sebagai penjumlahan matriks A dengan lawan matriks B, atau dapat di tulis A-B=A+(-B)
Dengan –B adalah lawan matriks B. syarat agar dua matriks atau lebih dapat di kurangkan adalah matriks-matriks yang mempunyai ordo yang sama. Misalnya 7 5 4 d a n , B = Diketahui A = 3 4 8
− 3 tentukan A-B − 5
8
Cara 1. A-B=A+(-B) =
7 4
− 4 + 8 − 3 5
7 + (−4) = 5 4 + (−3) 3
4 − 3 7 − 4 − = 8 3 − 5 4 − 3
7 4
5
Cara 2. A-B=
5 + 3
3 = 8 + 5 1
4 − ( −3)
3 = 8 − ( −5) 1
8
13
8
13
3. Perkalian Bilangan Real (Scalar) dengan Matriks
Didefinisikan, misal A suatu matrik ber ordo m x n dan k adalah suatu scalar maka matriks kA di peroleh dari mengalikan semua semua elemen A dengan scalar scalar k. Misalnya a kA= k c
b
ka = d kc
kb
kd
misal :
Diketa Diketahu hui: i: 2A-B+ 2A-B+ C Untuks matriks-matriks : A=
B=
C=
Jawab : 2A= =
(-1)B= +
C= +
=
Adalah kombinasi linear dari A, B dan C dengan koefisien scalar 2, -1 dan
apabila A dan B matriks-matriks yang ber ordo
mxn serta
k 1 dan , k 2
bilangan real (skalar) maka berlaku sifat-sifat :. •
k 1 ( A + B) = k 1 A + k 1 B
9
•
(k 1 + k 2 ) A = k 1 A + k 2 A
•
k 1 ( k 2 A) = ( k 1 k 2 ) A
4. Perkalian Matriks
Perkalian matriks didefinisikan, misal A matriks berordo m x p dan B matriks berordo p x n maka A x B adalah suatu matriks C= (c ij ) berordo m x n yang elemen-e elemen-elem lemenn ennya ya pada pada baris baris ke– i penju penjumla mlahan han
kolom kolom ke- j yaitu u cij j, yait
diperoleh diperoleh dari
hasil hasil kali kali elemen-e elemen-elem lemen en yang yang berses bersesuai uaian an pada pada baris baris ke –i
matriks A dan kolom ke- j matriks B, untuk i= 1,2,3,4…m dan j = 1,2,3,4…n. •
Matriks ke kolom ke- j j dari AB= A[matriks A[matriks dari kolom ke- j j dari B]
•
Matriks baris ke I dari AB=[matriks baris ke I dari AB] 3
Misalnya A =
7
3 7
AxB=
5
5 × 3 0
5 5 , B = 0 3
6
maka
1
(3 × 5) + (5 × 0) = 1 (7 × 5) + (3 × 0) 6
(3 × 6) + (5 ×1)
15 = (7 × 6) + (3 ×1) 35
23
45
Apabila matriks A= 2x2 dan matriks B = 2x2 maka bagannya dapat di tulis Ordo hasil kali ( 2 x 2)(2 x 2) = (2 x 2), Sama 4 Misalnya A = , B = [5 3
2 4], C = 5
4
maka AxB, BxC dapat di lakukan
6
perkalian, perkalian, sedangkan sedangkan AxC tidak dapat dapat di lakukan perkalian perkalian karena karena banyak kolo kolom m pada pada matri matriks ks A tida tidak k sama sama deng dengan an bany banyak ak baris baris matri matriks ks C atau atau A2×1
×C 2×2 .
( Tidak sama)
apabil apabilaa matrik matrikss A,B dan C dapat dapat dikali dikalikan kan atau di jumlah jumlahkan kan.. jika jika k
bilangan real (scalar) Maka pada perkalian matriks juga berlaku sifat- sifat :, •
Tidak komulatif, yaitu AxB ≠ BxA
•
Asosiatif, yaitu (AxB) x C = A x (BxC)
10
•
•
Distributif: ♦
Distributif kiri, A x (B+C) = ( AxB) + (AxC)
♦
Distributif kanan, (A+B) x C = (AxC) + (BxC)
Dalam Dalam perkal perkalian ian matrik matrikss yang yang hanya hanya memuat memuat matrik matriks-m s-matr atriks iks perseg persegii dengan ordo yang sama, terdapat sebuah matriks identitas yakni matriks satuan I, yang bersifat.
IA=AI=A
1. Jika AB=0 belum tentu A=0 atau B=0
•
2. jika AB=AC belum tentu B=C Jika p dan q adalah bilangan real serta A dan B adalah matriks-matriks,
•
maka berlaku hubungan. •
(pA)(qB) = (pq)(AB)
Jika AT danB T berturut turut adalah traspos dari matriks A dan matriks B, maka berlaku hubungan.
( AB AB ) T = B T AT
5. Perpangkatan Matriks Persegi
Jika n adalah sebuah bilangan bulat positif dan A suatu matriks maka : A
n
= A × A × A × .... × A
atau An
=
A × A
n −1
. Misal
n faktor 1 diketahui matriks −1 1 −1
A = A × A = 2
− 2 tentukan 3
− 2 1 − 2 3 = 3 −1 3 − 4
− 8 11
CONTOH SOAL
−3 1. Diketahui matriks A = x + 2 y
dan y jika diketahui
A
T
− 3 dan B = 3
2 x − y 0
4
tentukan nilai x
0
= B . 11
Jawab: A
T
−3 = 2 x − y
T
A
=
x + 2 y
0
B
−3 2 x − y
x + 2 y
− 3 = 3
4
0
0
dengan kesamaan dua matriks maka didapat: x + 2y = 4 2x - y = 3 Kemudian gunakan metode eliminasi dan subtitusi untuk mencari nilai x dan y. x + 2y = 4
x2 2x+4y = 8
y=1
2x - y = 3
x1 2x-y 2x-y
x + 2(1) (1) = 4
=3 -
5y = 5
x = 4-2
y=1
x =2
jadi, deperoleh nilai x = 2 dan y = 1
3 2. Diketahui matriks P = 1
− 2 maka 3 P 2 − p adalah… −1
Jawab: 3 P 2
3 − 23 − 2 3 − 2 − P = 3 1 −1 − 1 − 1 − 1 1
7 − 4 3 − 2 − = 3 − 2 1 1 −1 21 = 6
−12 3 − −3 1
− 2 18 = 5 −1
10
− 2
LATIHAN SOAL
12
2 −1
1. Diketahui A =
3 6 B = , − 4 − 2
12
, dan A2 = xA + yB . Nilai xy −10
adalah …
2. Nila Nilaii a dari dari persa persama maan an matr matrik ikss : a + 3
5 30 1 −1 2 + 2
4 20 3 = −1 1 1 1
5
3. Diketahui A =
1
− 2 4 , B = 3 2
2
adalah …
3
k 9 , danC = − 5 − 2
2
T jika A + B
0
=
C ,
maka nilai k adalah……
BAB II KESIMPULAN
13
Metriks adalah Susunan teratur bilangan-bilangan dalam baris dan kolom
yang membentuk suatu susunan persegi panjang yang kita perlukan sebagai suatu kesatuan Bilangan-bi Bilangan-bilanga langan n yang terdapat di suatu suatu matriks matriks disebut disebut dengan dengan elemen atau anggota matriks. Dan susunan unsur – unsur matriks tersebut dibatasi dengan tanda kurung. Dengan representasi matriks, perhitungan dapat dilakukan dengan lebih terstruktur. Pemanf Pemanfaata aatanny nnyaa misaln misalnya ya dalam dalam menjel menjelask askan an persam persamaan aan linier, linier, transfo transforma rmasi si koordinat, dan lainnya. Matriks seperti halnya variabel biasa dapat dimanipulasi, seperti dikalikan, dijumlahkan, dikurangkan dan didekomposisikan.
Jenis-jenis matriks adalah : a. Matriks bar bariis b. b. Matr Matrik ikss kol kolo om c. Matr Matrik ikss diag diagon onal al d. Matr Matrik ikss ide ident ntit itas as e. Matriks no nol
Operasi-operasi pada matriks adalah ; 1. Dala Dalam m penj penjum umla laha han n matri matriks ks 2. Dala Dalam m pengu penguran ranga gan n matri matriks ks 3. Dalam perkalian perkalian bilang bilangan an real real (scalar) (scalar) dengan dengan matriks matriks 4. Perk Perkal alia ian n mat matri riks ks 5. Perpan Perpangka gkatan tan matrik matrikss perseg persegii
BAB III DAFTAR PUSTAKA
14
Ari Y., Rosihan dan Indriyastuti. 2008. Perspektif Matematika 3 untuk Kelas XII
SMA dan MA IPA. Jawa Tengah: Platinum.
Wirodikromo, sartono. 2007. Matematika Jilit 3 IPA untuk Kelas XII. Jakarta: Erlangga.
Anton, Howard. Dasar-Dasar Aljabar Linear Jilid 1 . Tanggerang: Bina Rupa Aksara Publisher.
Irfan, Edi S.Pd. 2009. Siap Menghadapi Ujian Nasional Matematika . Depok: Arya Duta
15
