BAB I
PENDAHULUAN
A. Latar Belakang
Dalam kehidupan sehari-hari kita sering berhadapan dengan persoalan
yang apabila kita telusuri ternyata merupakan masalah matematika. Dengan
mengubahnya kedalam bahasa atau persamaan matematika maka persoalan
tersebut lebih mudah diselesaikan. Tetapi terkadang suatu persoalan sering
kali memuat lebih dari dua persamaan dan beberapa variabel, sehingga kita
mengalami kesulitan untuk mencari hubungan antara variabel-variabelnya.
Bahkan dinegara maju sering ditemukan model ekonomi yang harus memecahkan
suatu sistem persamaan dengan puluhan atau ratusan variabel yang nilainya
harus ditentukan.
Matriks, pada dasarnya merupakan suatu alat atau instrumen yang cukup
ampuh untuk memecahkan persoalan tersebut. Dengan menggunakan matriks
memudahkan kita untuk membuat analisa-analisa yang mencakup hubungan
variabel-variabel dari suatu persoalan. Pada awalnya matrik ditemukan dalam
sebuah studi yang dilakukan oleh seorang ilmuan yang berasal dari Inggris
yang bernama Arthur Cayley (1821-1895) yang mana studi yang dilakukan untuk
meneliti persamaan linier dan transformasi linear, awal dari semua ini
matrik dianggap sebagai sebuah permainan karena matrik dapat diaplikasikan,
sedangkan pada tahun 1925 matrik digunakan sebagai kuantum dan pada
perkembangannya matrik digunakan dalam berbagai bidang.
B. Rumusan Masalah
Berdasarkan uraian di atas kami menemukan permasalahan sebagai
berikut :
1. Apa pengertian atau definisi matriks serta bagaimana pengertian
determinan dan invers matriks?
2. Bagaimana operasi penyelesaian matriks dan permasalahan pada
matriks?
C. Tujuan Pembahasan
Berdasarkan uraian di atas kami menemukan permasalahan sebagai berikut :
1. Menjelaskan tentang pengertian dan definisi matriks, dan pengertian
determinan dan invers matriks.
2. Menjelaskan tentang jenis-jenis operasi matriks dan penyelesaian
masalah pada matriks.
BAB II
PEMBAHASAN
A. PENGERTIAN MATRIKS
a. Definisi Matriks
Matriks adalah kumpulan bilangan-bilangan yang disusun secara
khusus dalam bentuk baris dan kolom sehingga membentuk persegi panjang
dan bujur sangkar dimana panjang dan lebarnya ditunjukkan oleh kolom
dan baris yang ditulis diantara dua tanda kurung, yaitu ( ) dan [ ].
b. Simbol Matriks
Pada umumnya simbol matriks berbentuk " ", [ ], ( ). Secara umum
sebuah matriks dapat ditulis :
Amxn =
Matriks juga dapat dinyatakan sebagai: Amxn = [aij]mxn
Dimana: aij = elemen atau unsur matriks
i = 1,2,3,...m, indeks baris
j = 1,2,3,...n, indeks kolom
c. Bentuk-Bentuk Matriks
1. Ordo 2 x 1 mengandung pengertian 2 baris dan 1 kolom.
Misalnya:
2. Ordo 2 x 2 mengandung pengertian 2 baris dan 2 kolom.
Misalnya:
3. Ordo 3 x 3 mengandung pengertian 3 baris dan 3 kolom.
Misalnya:
B. JENIS-JENIS MATRIKS
Jenis matriks dapat dibedakan berdasarkan susunan elemen matriks
dan berdasarkan sifat operasi dari matriksnya.
a. Berdasarkan Susuna Elemen Matriks
Berdasarkan susunan elemen matriks, ada beberapa jenis matriks
yaitu:
1. Matriks kuadrat/bujur sangkar (square matrix) adalah matriks dimana
jumlah baris (m) sama dengan jumlah kolom (n) atau m = n.
Contoh: A = , B =
2. Matriks nol (null matrix) adalah matriks dimana semua elemenya
mempunyai nilai nol (0).
Contoh: A = , B =
3. Matriks diagonal (diagonal matrix) adalah matriks dimana semua
elemen diluar diagonal utamanya adalah nol (0) dan minimal ada satu
elemen pada diagonal utamanya bukan nol.
Contoh: A = , B =
4. Matriks kesatuan/identitas (unit matrix, identity matriix) adalah
matriks dimana semua elemen pada diagonal utamanya bernilai satu
dan elemen diluar diagonal utama bernilai nol.
Contoh: A = , B =
5. Matriks skalar (scalar matrix) adalah matriks diagonal dimana
elemen pada diagonal utamanya bernilai sama tetapi bukan satu atau
nol.
Contoh: A = , B =
6. Matriks tridiaonal (tridiagonal matrix) adalah matriks diagonal
dimana elemen sebelah kiri dan kanan diagonal utamanya bernilai
tidak sama dengan nol (0).
Contoh: A =
7. Matriks segitiga bawah (lower triangular matrix, L) adalah matriks
diagonal mana elemen disebelah kiri (bawah) diagonal utama ada yang
bernilai tidak sama dengan nol.
Contoh: L = , L =
8. Matriks segitiga atas (upper triangular matrix, U) adalah matriks
diagonal dimana elemen sebelah kanan (atas) diagonal utama ada yang
bernilai tidak sama dengan nol.
Contoh: U = , U =
9. Matriks simetris (symmertic matrix) adalah matriks bujur sangkar
dimana elemen ke aij sama dengan ke aij atau (aij= aij) untuk semua
i dan j.
Contoh: U = , berlaku sifat AT = A
10. Matriks miring (skew matrix) adalah matriks bujur sangkar dimana
elemen ke aij sama dengan –aji atau (aij = -aji) untuk semua i dan
j tetapi elemen diagonal utama tidak semuanya bernilai nol.
Contoh: M = , berlaku sifat MT = -M
11. Matriks miring simetris (skew-symmetric matrix) adalah matriks
bujur sangkar dimana elemen ke aij sama dengan –aij atau (aij =
-aji) untuk semua i dan dan semua elemen diagonal utama bernilai
nol.
Contoh: M = , berlaku sifat MT = -M
b. Berdasarkan Sifat Operasi Matriks
Berdasarkan sifat operasi matriks, ada beberapa jenis matriks
yaitu:
1. Matriks singular (singular matrix) adalah matriks yang
determinannya bernilai nol.
Contoh: A = , B =
2. Matriks non singular (non singular matrix) adalah matriks yang
determinannya bernilai tidak sama dengan nol.
Contoh: A = , B =
3. Matriks hermit (hermit matrix) adalah matriks bujur sangkar yang
transpose conjugate-nya sama dengan matriks itu sendiri atau =
M dimana = conjugate kompleks matriks M.
Contoh: M = , =
= = M
4. Matriks hermit miring (skew hermit matrix) adalah matriks bujur
sangkar yang transpose conjugate-nya sama dengan negatif matriks
itu sendiri atau = -M.
Contoh: M = , =
= = -M
5. Matriks uniter (uniter matrix) adalah matriks bujur sangkar yang
transposenya sama dengan invers conjugate-nya atau MT =
atau = = I.
Contoh: M = , = dan MT=
= = =
6. Matriks ortogonal (orthogonal matrix) adalah matriks bujur sangkar
yang transposenya sama dengan inversnya atau MT = M-1 atau MTM=I.
Contoh: M = , dan MT =
MTM === I
7. Matriks normal (normal matrix) adalah matriks bujur sangkar yang
mempunyai sifat: M=.
Contoh: M = , dan =
=
M=M
==
= 2 = 2
8. Matriks involunter (involunter matriks) adalah matriks yang jika
dikalikan dengan matriks itu sendiri akan menghasilakan matriks
identitas atau M2 = I.
Contoh: M =
M2= M.M = = = I
9. Matriks idempotent (idempotent matrix) adalah matriks yang jika
dikalikan dengan matriks itu sendiri akan menghasilkan matriks asal
M2= M.
Contoh: M =
M2= = = M
10. Matriks nilpotent (nilpotent matrix) adalah matriks yang jika
dikalikan dengan matriks itu sendiri akan menghasilkan matriks nol
atau MP = 0, untuk p = bilangan bulat positif > 2.
Contoh: M =
=
=
11. Matriks elementer (elementary matrix) adalah matriks hasil
transformasi elementer terhadap matriks kesatuan (I).
Contoh: I =
Transformasi elementer I12,I3(k),dan I23(k):
I12 =
I3(k) =
I23(k) =
Keterangan:
I12=b12 (baris 1 ditukar dengan baris 2)
I3(k)=b3(k)=k xb3 (baris 3 dikali dengan k)
I23(k)=b2+k x b3 (baris 2 + baris 3 dikali k)
C. ALJABAR MATRIKS
a. Penjumlahan dan Pengurangan Matriks
Penjumlahan dan pengurangan matriks harus memperhatikan hal-hal
berikut:
Matriks dapat dijumlahkan atau dikurangkan jika mempunyai ukuran
atau dimensi yang sama.
Matriks yang ukurannya berbeda tidak dapat dijumlahkan atau
dikurangkan.
Matriks hasil penjumlahan atau pengurangan mempunyai ukuran yang
sama dengan matriks asal.
Penjumlahan matriks adalah menambahkan elemen pada posisi yang sama
pada matriks.
Pengurangan (selisih) matriks adalah mengurangi elemen pada posisi
yang sama pada matriks.
Jumlah dua matriks A = (aij) dan B = (bij) yang berukuran m x n:
A + B = (aij + bij)mxn untuk i = 1,2, ..., m;
j= 1,2, ..., n;
selisih dua matriks A = (aij) dan B = (bij) yang berukuran m x n:
A - B = (aij - bij)mxn untuk i = 1,2, ..., m;
j= 1,2, ..., n;
Sifat penjumlahan dan pengurangan matriks:
A + B = B + A Sifat komutatif
A + B + C = C + B + A
( A + B ) + C = A + ( B + C ) Sifat Asosiatif
A + 0 = A
A – 0 = A
Contoh:
Tentukan penjumlahandan selisih dari matriks-matriks berikut:
A = , B =
Penyelesaian:
A + B = =
A - B = =
b. Perkalian Matriks
1. Perkalian Skalar dengan Matriks
Jika k adalah bilangan real (skalar), maka perkalian skalar dengan
matriks A=[aij]mxn :
kA = = (kaij)mxn
atau
Ak = = (aijk)mxn
Sifat perkalian skalar dengan matriks:
Jika A,B,C adalah matriks mxn, k1 dan k2 adalah skalar maka:
k1 = Ak1
(k1k2)A = k1(k2A)
1A = A
(-1) A= -A
K1(A+B) = k1A + k1B
(k1+k2)A = k1A + k2A
Contoh:
1. Jika A = dan k = 2 tentukan kA dan Ak
Penyelesaian:
kA = 2 =
Ak = 2=
2. Jika diketahui matriks A dan B berikut,
A = , B =
Tentukan 2A dan 2A-B
Penyelesaian:
2A = 2 =
2A-B = 2 -=
2. Perkalian Matriks dengan Matriks
Jika A matriks ukuran m x p dan B matriks ukuran p x n, maka perkalian
matriks A dan B :
AB =
atau AB =
untuk semua i = 1,2,..., m ; j = 1,2,...,p.
Perkalian matriks yaitu mengalikan elemen baris ke-i matriks A dengan
elemen kolom ke-j matriks B dan menjumlahkannya. Dimensi hasil
perkalian matriks:
Am x p x Bp x n = ABm x n
sifat perkalian matriks dengan matriks:
A(BC) = A (BC) Asosiatif
A(B+C) = AB + AC Distributif kiri
(B + C ) A = BA + C Distributif kanan
r(AB) = (rA)B r = skalar
ImA = A = AIn Asosiatif
Contoh:
1. Jika diketahui A = dan B = tentukan AB
Penyelesaian:
AB = x
=
=
c. Perpangkatan Matriks
Jika n adalah sebuah bilangan bulat positif dan A suatu matriks
persegi, maka An = A x A x A x A ... x A (sebanyak n faktor) atau
dapat juga dituliskan An = A x An-1 atau An = An-1 x A.
Contoh:
Diketahui matriks A = , tentukan:
a. A2 b. A3 c. 2A4
Penyelesaian:
a. A2 = =
b. A3 = =
c. 2A4 = 2A x A3 = 2
= 2=
d. Transpose matriks
Transpose dari matriks A berordo m x n adalah matriks yang
diperoleh dari matriks A dengan menukar elemen baris menjadi elemen
kolom atau sebaliknya, sehingga beordo n x m. Notasi transpose Am x n
adalah .
Contoh:
Tentukan transpose dari matriks berikut:
A = , B =
Penyelesaian:
Transpose dari matriks tersebut adalah sebagai berikut:
AT = BT =
e. Determinan Matriks
1. Determinan matriks ordo 2 x 2
Misalkan A = adalah matriks yang berordo 2 x 2 dengan
elemen a dan d terletak pada diagonal utama, sedangkan b dan c
terletak pada diagonal utama kedua. Determinan matriks A
dinotasikan "det A" atau adalah suatu bilangan yang diperoleh
dengan mengurangi hasil kali elemen-elemen pada diagonal utama
pertama dengan hasil kali pada diagonal utama kedua.
Dengan demikian dapat diperoleh rumus det A sebagai berikut:
det A = = ad –bc
Contoh:
Tentukanlah determinan metriks matriks berikut:
A = b.
Penyelesaian:
a. det A = = (5) (3) - (2) (4) = 7
b. det B = = (-4) (2) – (-1) (3) = -5
2. determinan matriks ordo 3 x 3
jika A = adalah matriks persegi berordo 3 x 3, determinan
A dinyatakan dengan det A = .
Ada dua cara yang dapat digunakan untuk menentukan matriks berordo
3 x 3, yaitu aturan sarrus dan metode minor-kofaktor.
aturan sarrus
Untuk menentukan determinan dengan aturan sarrus, perhatikan
alur berikut. Misalnya kita akan menghitung determinan matriks
A3x3, gambaran perhitungannya adalah sebagai berikut:
=
metode minor-kofaktor
Misalkan matriks A dituliskan dengan [aij]. Minor elemen aij
yang dinotasikan dengan Mij adalah determinan setelah elemen-elemen
baris ke-i dan kolom ke-j dihilangkan. Misalnya dari matriks A3x3
kita hilangkan baris ke-2 kolom ke-1 sehingga: A =
Akan diperoleh M21 = . M21 adalah minor dari elemen matriks A
baris ke-2 kolom ke-1 atau M21 = a21.
Kofaktor elemen aij dinotasikan dengan Kij adalah hasil kali (-
1)i+j dengan minor elemen tersebut. Dengan demikian kofaktor suatu
matriks dirumuskan dengan:
Kij= (-1)i+j Mij
Dari matriks A diatas, kita peroleh misalnya kofaktor a21 dan
a13 berturut-turut adalah :
K21=(-1)2+1M21= -M21
K13=(-1)1+3M13= -M13
Kofaktor dari matriks A3x3 adalah (kof) A =
Nilai dari suatu determinan merupakan hasil penjumlahan dari
perkalian suatu elemen-elemen suatu baris (atau kolom) dengan
kofaktornya. Untuk menghitung determinan, kita dapat memeilih
terlebih dahulu sebuah baris (atau kolom) kemudian kita gunakan
aturan diatas. Perhatikan cara menentukan determinan berikut:
Misalkan diketahui matriks A =
Determinan matriks A dapat dihitung dengan cara berikut:
Kita pilih baris pertama sehingga:
det A =
=
=
=
=
=
Tampak bahwa det A matriks ordo 3 x 3 yang diselesaikan dengan
cara minor kofaktor hasilnya sama dengan det A dengan menggunakan
cara sarrus.
Contoh:
Tentukan determinan dari matriks A = dengan aturan sarrus dan
minor kofaktor!
Penyelesaian:
Cara 1 (aturan sarrus):
det A =
= (1 x 1 x 2) + (2 x 4 x 3) + (3 x 2 x 1) – (3 x 1 x 3) – (1 x
4 x1) – (2 x 2 x 2)
= 2 + 24 + 6 – 9 – 4 – 8
= 11
Cara 2 (minor-kofaktor):
det A = 1
= 1 (2 – 4) – 2 (4 – 12) + 3 (2 – 3)
= 1 (-2) – 2(-8) + 3(-1)
= -2 + 16 – 3
= 11
3. Sifat-Sifat Determinan Matriks
Berikut beberapa sifat determinan matriks:
1. jika semua elemen dari salah satu baris/kolom sama dengan nol maka
determinan matriks itu nol.
Misal: A = , B =
2. jika semua elemen dari salah satu baris/kolom sama dengan
baris/kolom elemen-elemen lain maka determinan matriks itu nol.
Misal: B = (karena elemen-elemen baris ke-1 dan ke-3 sama).
3. Jika elemen-elemen salah satu kolom/baris merupakan kelipatan dari
elemen-elemen baris/kolom lain maka determinan matriks itu sama
dengan nol.
Misal: A = (karena elemen-elemen baris ke-3 merupakan
kelipatan elemen-elemen baris ke-1)
4.
5. , untuk AT adalah transpose dari matriks A.
6. , untuk A-1 adalah invers dari matriks A
7. untuk A ordo n x n dan k suatu konstanta.
f. Invers Matriks
Jika A adalah matriks ukuran n x n dan jika ada matriks b ukuran n
x n sedemikian rupa sehingga:
AB = BA = I
Dimana I adalah matriks identitas ukuran n x n, maka matriks A
disebut non singular atau invertibel dan matriks A merupakan invers
dari B atau B merupakan invers dari A.
Jika matriks A tidak mempunyai invers, maka A disebut matriks
singular atau non invertibel.
Notasi matriks invers dari A: A-1.
1. Menentukan invers matriks berordo 2 x 2
Misalkan diketahui matriks A = , dengan ad-bc tidak sama
dengan nol. Suatu matriks lain, misalnya B dikatakan sebagai invers
matriks A jika AB = I. Matriks invers dari A ditulis A-1 dengan
demikian berlaku AA-1=A-1A.
Matriks A mempunyai invers jika A adalah matriks nonsingular
yaitu det A 0, sebaliknya jika det A = 0 maka matriks singular
maka matriks ini tidak memiliki invers.
Jadi jika A = , maka inversnya adalah:
A-1 = untuk ad-bc 0
Contoh:
Tentukan invers matriks matriks berikut:
a. A =
b. B =
Penyelesaian:
a. A-1 =
=
=
b. B-1 =
=
=
2. Menentukan invers matriks berordo 3 x 3
Invers matriks berordo 3 x 3 dapat dicari dengan beberapa cara.
Pada pembahasan kali ini kami akan menggunakan cara adjoin.
Invers matriks persegi berordo 3 x 3 dirumuskan sebagai
berikut:
Penentuan adj A:
Contoh:
Diketahui matriks A = tentukan invers matriks A dengan
menggunakan perhitungan menurut baris pertama.
Penyelesaian:
Terlebih dahulu kita hitug determinan A
= 1(9 – 8) – 2(6 – 4) + 1(4 – 3)
=1(1) – 2(2) + 1(1)
=1 – 4 + 1
= -2
Dengan menggunakan rumus adjoin diperoleh:
Jadi A-1 dapat dihitung sebagai berikut:
=
=
g. Penyelesaian Persamaan Linear dengan Matriks
Matriks dapat digunakan untuk mempermudah dalam menentukan
penyelesaian sistem persamaan linear. Pada pembahasan kali ini, kita
akan menggunakannya untuk menyelesaikan sestem persamaan linear dua
variabel dan tiga variabael.
1. Sistem Persamaan Linear Dua Variabel
Bentuk umum sistem persamaan linear dua variabel:
ax + by = p
.......................................................(1)
cx + dy = q
.......................................................(2)
persamaan (1) dan (2) deatas dapat kita susun kedalam bentuk
matriks dibawah ini:
Tujuan penyelesaian sistem persamaan linear dua variabel adalah
menentukan nilaix dan y yang memenuhi sistem persamaan itu. Oleh
karena itu, berdasarnya sistem penyelesaian matriks bentuk AX = B
dapat dirumuskan sebagai berikut:
Asalkan ad – bc
Contoh:
Tentukan penyelesaian sistem persamaan linear berikut dengan
menggunakan matriks.
2x + y =
x + 3y = 7
penyelesaian:
dari persamaan diatas dapat kita susun menjadi matriks sebagai
berikut.
Dengan menggunakan rumus penjelasan matriks diatas, diperoleh
sebagai berikut.
=
=
Jadi,diperoleh penyelesain x = 1 dan y = 2
2. Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel
Untuk menyelesaikan sistem persamaan linear tiga variabel dapat
dilakukan dengan beberapa cara misalnya eliminasi, substitusi dan
gabungan antara eliminasi dan substitusi.
Misalkan diberikan sistem persaman linear tiga variabel sebagai
berikut.
Sistem persamaan linear diatas dapat disusun menjadi matriks
sebagai berikut:
Misalkan A = , X = dan B =
Bentuk diatas dapat kita tuliskan sebagai AX = B
Penyelesaian sistem persamaan AX= B adalah X = A-1B. Dalam hal ini
A-1= , oleh karena itu diperoleh:
X = B = B
Contoh:
Tentukanlah determinanmatriks berikut:
Penyelesaian:
B = (1x3x3) + (2x4x1) + (3 x1x4) – (3x3x1) – (1x4x4) – (2x1x3)
D. NILAI EIGEN DAN VEKTOR EIGEN
Sebuah matriks bujur sangkar dengan orde n x n misalkan A, dan sebuah
vektor kolom X dihubungkan dengan sebuah persamaan :
AX = λX
dimana λ adalah suatu skalar dan X adalah vektor yang tidak nol.
Skalar λ dinamakan nilai Eigen dari matriks A. Nilai eigen adalah nilai
karakteristik dari suatu matriks bujur sangkar. Vektor X adalah suatu
vektor yang tidak nol untuk nilai eigen yang sesuai dan disebut dengan
vektor eigen. Jadi vektor X mempunyai nilai tertentu untuk nilai eigen
tertentu.
Perhitungan Nilai Eigen
Kita tinjau perkalian matriks A dan X dalam persamaan sebelumnya.
Apabila kedua sisi dalam persamaan tersebut dikalikan dengan matriks
identitas didapatkan :
IAX = IλX
AX = λIX
[λI - A]X = 0
Persamaan terakhir terpenuhi jika dan hanya jika
det[λI - A] = 0
Dengan menyelesaikan persamaan diatas kita bisa mendapatkan nilai eigen λ.
Misalkan diberikan sebuah matriks
A =
Dari persamaan det[λI - A] = 0 kita dapatkan :
det
Selanjutnya dengan menggunakan rumus abc didapatkan nilai eigen :
Contoh:
1. tentukan nilai eigen dari matriks berikut ini:
Penyelesaian:
Nilai eigen ditentukan dengan persamaan:
det= 0
Jadi penyelesaian dari persamaan ini adalah =1 dan =2
2. Tentukanlah nilai eigen dari matriks berikut ini:
Penyelesaian:
Persamaan karakteristik dari matriks A adalah:
= 0
Untuk mencari nilai yang sesuai terlebih1 dahulu hitung determinan
dari (A-) dengan metode kofaktor:
det A = (
sehingga didapat ketiga nilai eigen adalah
E. PENERAPAN MATRIKS DALAM FISIKA
a. Analisis Vektor dengan Pendekatan Matriks
Vektor adalah istilah yang sangat akrab bagi orang – orang yang
berkecimpung di bidang fisika. Tentu saja karena vektor adalah istilah
penting yang berhubungan dengan sifat yang dimiliki oleh suatu objek.
Vektor atau besaran vektor didefinisikan sebagai besaran yang mempunyai
besar atau nilai dan arah, sedangkan definisi dari besaran adalah sesuatu
yang dapat diukur dan dinyatakan dalam satuan. Akan sangat panjang jika
kita membahas definisi besaran di sini, maka mari kita kembali menengok
pembahasan vektor kita. Catatan ini akan lebih banyak membahas operasi
matematika pada vektor, jika pembaca ingin mengetahui lebih banyak
tentang definisi vektor dan aturan penulisan vektor, pembaca dapat
membaca referensi – referensi lain yang membahas tentang vektor.
Vektor dapat direpresentasikan ke dalam bentuk vektor satuan. Vektor
satuan adalah vektor pada arah sumbu x, y, atau z pada koordinat
kartesian yang memiliki besar satu satuan. Misalnya suatu vektor dua
dimensi pada koordinat kartesian F = 16 N pada arah 60 derajat dapat
direpresentasikan dalam vektor satuannya sebagai F = (8i + 13.86j) N,
dengan huruf i menunjukkan vektor satuan dari F yang bernilai 8 N pada
arah sumbu x dan huruf j menunjukkan vektor satuan dari F yang bernilai
13.86 N pada arah sumbu y. Untuk vektor tiga dimensi kita dapat
menambahkan vektor satuan dengan lambang k untuk merepresentasikan vektor
pada arah sumbu z. Secara umum kita dapat menuliskan suatu vektor F = Fxi
+ Fyj + Fzk, dengan Fx, Fy, dan Fz masing – masing adalah nilai komponen
vektor F pada arah sumbu x, y, dan z.
Berawal dari penulisan besaran vektor dalam bentuk vektor satuan, kita
akan menemukan bahwa melalui suatu persamaan bentuk, maka kita dapat
mengaplikasikan operasi matriks dalam menganalisis nilai dari operasi
matematika untuk satu atau lebih besaran vektor. Ada beberapa operasi
matematika pada besaran vektor, misalnya penjumlahan, pengurangan,
perkalian titik (dot product), dan perkalian silang (cross product). Ada
pula istilah operator di dalam analisis vektor, Anda akan memahaminya
lebih dalam ketika belajar tentang Kalkulus Vektor. Kali ini kita akan
membahas operasi – operasi matematika dasar pada vektor melalui
pendekatan bentuk matriks. Melalui pendekatan ini diharapkan akan
mempermudah proses analisis besaran vektor dan memberikan pemahaman yang
lebih dalam tentang besaran vektor.
b. Operasi Matematika pada Vektor dengan Pendekatan Matriks
Besaran vektor dapat dijumlahkan satu sama lain, misal kita mempunyai
vektor A = 5i + 5j – 5k dan vektor B = 4i-3j+2k. Maka kita dapat
mengetahui hasil penjumlahan vektor A + B = R dengan menjumlahkan nilai
masing – masing komponen vektor satuannya yang bersesuaian. Melalui
konsep tersebut kita bisa menentukan nilai R = (5+4)i + (5+(-3))j + ((-
5)+2)k, sehingga R = 9i + 2j – 3k. Sekarang kita menggunakan pendekatan
matriks untuk operasi penjumlahan tersebut, bayangkan kita memiliki
sebuah matriks 1×3, dengan masing – masing kolom terisi nilai vektor pada
sumbu x, y, dan z. Misalnya, F = [Fx Fy Fz], dengan Fx adalah nilai
vektor F pada sumbu x, Fy adalah nilai vektor F pada sumbu y, dan Fz
adalah nilai vektor F pada sumbu z. Kita akan mendapatkan vektor A = [5 5
-5] dan vektor B = [4 -3 2], dari bentuk matriks tersebut kita dapat
memperoleh hasil penjumlahan kedua vektor tersebut, R, dengan cara
menjumlahkan vektor (atau sekarang bisa kita sebut matriks) A dan B
melalui operasi penjumlahan pada matriks biasa. Kita akan memperoleh R =
[9 2 -3], bandingkan dengan hasil yang kita peroleh sebelumnya,
bersesuaian bukan?
Untuk operasi pengurangan vektor, mari kita tinjau kembali konsep dari
pengurangan suatu vektor dengan vektor yang lain. Kita akan mendapatkan
bahwa mengurangkan suatu vektor dengan vektor yang lain sama dengan
menjumlahkan suatu vektor dengan lawan vektor yang lain. Dalam hal ini,
yang dimaksud lawan adalah nilai negatif dari vektor yang dimaksud,
contohnya -1 adalah lawan dari 1. Dari sini kita dapat menggunakan konsep
penjumlahan vektor dengan catatan mengubah nilai vektor pengurangnya
menjadi nilai lawannya. Misalkan kita akan mengurangkan vektor A dengan
vektor B pada contoh sebelumnya. Maka kita akan memperoleh R = A + (-B),
dengan nilai -B = [-4 3 -2], sehingga R = [1 8 -7].
Perkalian pada vektor ada dua macam, yaitu perkalian titik atau
perkalian skalar (dot product) dan perkalian silang (cross product).
Masing – masing bentuk perkalian mempunyai sifat – sifat tersendiri,
sehingga saya sarankan pembaca lebih mendalami konsep perkalian vektor
dengan membaca buku – buku referensi yang ada.
Perkalian titik atau perkalian skalar (dot product) merupakan
perkalian antara dua buah besaran vektor yang menghasilkan suatu nilai
skalar. Aplikasi perkalian titik contohnya pada perhitungan usaha, usaha
didefinisikan sebagai jarak yang ditempuh dikalikan besar gaya yang
sejajar dengan arah perpindahan. Secara matematis usaha didefinisikan
sebagai W = F.s, di sini kita melihat salah satu aplikasi perkalian titik
pada bidang fisika.
Secara matematis, perkalian titik dirumuskan dalam bentuk R = A.B dan
R = AB cos(t), dengan t adalah besar sudut apit terkecil di antara kedua
vektor. Konsep penting dalam perkalian titik adalah sifat perkalian titik
antar vektor satuan. Pada perkalian titik perkalian antara dua buah
vektor satuan yang sama memberikan nilai 1 dan perkalian antara dua buah
vektor satuan yang berbeda menghasilkan nilai 0, misalnya i.i = j.j = k.k
= 1 dan i.j = j.k = k.i = 0. Sehingga melalui operasi aljabar kita
dapatkan nilai A.B = (Ax.Bx)+(Ay.By)+(Az.Bz). Selain itu, pada perkalian
titik berlaku A.B = B.A. Melalui konsep tersebut, kita dapat
mengaplikasikan operasi perkalian matriks pada operasi perkalian titik
dua buah vektor. Perhatikan bahwa syarat dua buah matriks dapat dikalikan
adalah ketika jumlah kolom matriks pertama sama dengan jumlah baris pada
matriks kedua.
Misalkan kita akan mengalikan vektor A.B menghasilkan nilai skalar R,
maka kita harus men-transpose matriks vektor B yang memiliki ukuran 1×3
sehingga menjadi matriks berukuran 3×1. Ingat bahwa pada perkalian titik
kita melakukan transpos pada matriks tertentu sehingga menghasilkan hasil
perkalian berupa matriks berukuran 1×1.Kita kalikan vektor A dan B-
transpos untuk mendapatkan nilai R.Kita dapat melihat bahwa dengan
menggunakan perkalian matriks yang menghasilkan matriks berukuran 1×1,
kita bisa mendapatkan hasil perkalian titik antara dua vektor. Melalui
perkalian matriks kita dapat menghindari perkalian antara dua vektor
satuan yang berbeda yang menghasilkan nilai 0 (ingat bahwa meskipun kita
tidak menuliskan vektor satuan i, j, k tetapi posisi kolom atau baris
yang ditempati menunjukkan vektor satuan yang dimiliki nilai yang
bersangkutan, sehingga sifat – sifat vektor satuan juga tetap dimiliki
oleh nilai tersebut). Kita juga dapat melihat bahwa perkalian tersebut
bersesuaian dengan persamaan perkalian titik A.B =
(Ax.Bx)+(Ay.By)+(Az.Bz).
Perkalian silang (cross product) adalah perkalian antara dua buah
vektor yang menghasilkan vektor lain yang arahnya tegak lurus terhadap
bidang yang dibentuk oleh kedua vektor yang dikalikan. Aplikasi perkalian
silang contohnya pada perhitungan torsi atau torka oleh suatu gaya. Torsi
atau torka didefinisikan sebagai hasil perkalian silang antara suatu gaya
dengan panjang lengan yang tegak lurus terhadap arah gaya yang bekerja.
Secara matematis torsi didefinisikan sebagai torsi = Fxd, di sini kita
melihat salah satu aplikasi perkalian silang pada bidang fisika.
Secara matematis, perkalian silang dirumuskan dalam bentuk R = AxB dan
R = AB sin(t), dengan t adalah besar sudut apit terkecil di antara kedua
vektor. Konsep penting dalam perkalian silang adalah sifat perkalian
titik antar vektor satuan. Pada perkalian titik perkalian antara dua buah
vektor satuan yang sama memberikan nilai 0, misalnya ixi = jxj = kxk = 0.
Sedangkan untuk vektor satuan lainnya berlaku sifat ixj =k, jxk = i, kxi
= j, dan jxi = -k, ixk = -j, kxj = -i. Sehingga melalui operasi aljabar
kita bisa mendapatkan nilai AxB = (Ay.Bz – Az.By)i + (Az.Bx – Ax.Bz)j +
(Ax.By – Ay.Bx)k. Selain itu, perkalian silang memiliki sifat AxB = -BxA.
Untuk menyelesaikan perkalian silang dua buah vektor kita dapat
menggunakan konsep determinan matriks 3×3. Salah satu cara untuk mencari
determinan matriks 3×3 adalah dengan metode Sarrus, untuk memahami metode
ini silahkan membaca referensi – referensi lain tentang metode Sarrus.
Untuk menghitung nilai perkalian silang AxB = R, kita dapat
menggunakan konsep determinan matriks 3×3 dengan cara menyusun matriks
vektor A dan B menjadi matriks berukuran 3×3 dengan menambahkan matriks
vektor satuan [i j k] pada baris pertama, kemudian menempatkan matriks
vektor A pada baris kedua dan matriks vektor B pada baris ketiga. Kita
dapat memperoleh nilai R dengan cara mencari determinan dari matriks 3×3
tersebut.Melalui penggunaan konsep determinan kita dapa melihat
kesesuaian antara bentuk aljabar determinan matriks 3×3 dengan rumus yang
kita miliki untuk mencari nilai hasil perkalian silang vektor AxB =
(Ay.Bz – Az.By)i + (Az.Bx – Ax.Bz)j + (Ax.By – Ay.Bx)k.
Uraian di atas adalah metode analisis vektor dengan menggunakan
pendekatan matriks. Kita bisa memandang sebuah vektor sebagai suatu
bentuk matriks dan menggunakan operasi matematika yang berlaku pada
matriks untuk mencari nilai dari hasil operasi matematika dasar pada
vektor yang bersangkutan. Melalui pendekatan ini kita dapat
menyederhanakan analisis vektor sehingga terhindar dari keharusan untuk
menulis rumus yang cukup panjang. Selain itu, sifat – sifat vektor
satuan dapat diterapkan pada pendekatan matriks. Akan tetapi, pendekatan
matriks menuntut ketelitian yang cukup tinggi karena operasi pada matriks
melibatkan nilai – nilai yang memiliki koordinat posisi yang berbeda –
beda dan letak nilai tersebut sangat mempengaruhi hasil operasi matriks.
BAB III
PENUTUP
A. Kesimpulan
Matriks adalah kumpulan bilangan-bilangan yang disusun secara
khusus dalam bentuk baris dan kolom sehingga membentuk persegi panjang
dan bujur sangkar dimana panjang dan lebarnya ditunjukkan oleh kolom
dan baris yang ditulis diantara dua tanda kurung, yaitu ( ) dan [ ].
Pada dasarnya dalam kehidupan sehari-hari kita sering berhadapan
dengan persoalan yang apabila kita telusuri ternyata merupakan masalah
matematika. Dengan kata lain kita selalu bersentuhan dengan persoalan-
persoalan yang berkaitan dengan matematika entah itu kita sadari
ataupun tidak. Agar mudah difahami maka persoalan tersebut diubah
kedalam bahasa atau persamaan matematika supaya persoalan tersebut
lebih mudah diselesaikan. Diatas juga telah dijeleskan macam-macam
matriks, aljabar matriks, nilai eigen dan vektor eigen serta penerapan
matriks dalam ilmu fisika. Tetapi terkadang suatu persoalan sering
kali memuat lebih dari dua persamaan dan beberapa variabel, sehingga
kita mengalami kesulitan untuk mencari hubungan antara variabel-
variabelnya.
B. Saran
Matematika merupakan salah satu mata pelajaran yang paling tidak
disukai oleh anak-anak. Kenyataan di lapangan membuktikan cukupbanyak
siswa yang tidak suka bahkan membenci mata pelajaran matematika. Dalam
benak mereka matematika merupakan mata pelajaran yang sangat sulit
untuk dimengerti bahkan membosankan.
Hal ini menjadi dilema bagi para pendidik dan para ahli, karena
matematika merupakansalah satu pengetahuan untuk sains dan teknologi
yang sangat perlu bagi kelanjutan pembangunan. Apalagi dalam memasuki
abad ke -21 yangditandai dengan kemajuan dalam perkembangan IPTEK,
pengetahuan siapdan kepiawaian berpikir logis yang dikembangakan dalam
pelajaranmatematika sangat diperlukan.
Dalam menghadapi era globalisasi yang diiringi dengan
perkembangan IPTEK yang sangat pesat, maka peningkatan kualitas-
kualitas sumber daya manusia mempunyai posisi yang strategis bagi
keberhsilan dan kelanjutan pembangunan nasional. Oleh sebab itu,
upaya tersebut mutlak harus mendapat perhatian yangsungguh-sungguh
dan harus dirancang secara sistematis dan seksama berdasarkan
pemikiran yang matang. Wadah yang tepat bagi upaya peningkatan
kualitas sumberdaya manussia adalah pendidikan.
Ada beberapa indikator dalam peningkatan mutu pendidikan antara
lain melalui peningkatan kinerja guru dan peningkatan mutupelajaran
yang melibatkan MBS, Pakem, serta peran serta masyarakat
(PSM).Dalam kaitannya dengan Pakem, guru dituntut untuk menciptakan
situasi pembelajaran yang kondusif, yaitu pembelajaran yang aktif,
kreatif, efektif, danmenyenangkan. Situasi pakem tersebut harus
diupayakan untuk semua mata pelajaran.
Dengan begitu, diharapkan peningkatan mutu pendidikn pendidikan
dapat tercapaisecara optimal. Guru sebagai faktor penentu dan
paling berpengaruh dalam hal menanamkan konsep terhadap siswa.
Penguasaan guru terhadap materi pelajaran, kemampuan guru dalam
memilih dan menggunakan metode pembelajaran serta kemampuan guru
dalam menetapkan media pembelajaran sangat menentukan terhadap
keberhasilan proses pembelajaran, di samping adanya potensi dan
kemauan siswa sendiri.
DAFTAR PUSTAKA
Ruminta.2009.Matriks Persamaan Linier dan Pemograman Linier.
Bandung:Rekayasa Sains.
http://feriantoraharjo.files.wordpress.com/2009/09/05_eigen_value.pdf
Diakses pada tanggal: 30-11-2013 pukul: 13:45
http://xprashp.wordpress.com/2010/10/31/analisis-vektor-dengan-pendekatan-
matriks/
diakses pada tanggal 01-12-2013 pukul 14:07
http://perpustakaancyber.blogspot.com/2013/05/contoh-soal-matriks-
pengertian-jenis-jenis-sifat-operasi-invers-jawaban-notasi-dan-ordo-
penjumlahan-pengurangan-perkalian-transpose-skalar-determinan-
matematika.html
diakses pada tanggal 01-12-2013 pukul 14:07
http://ghose-smkitpesat.blogspot.com/2012/02/matriks.html
http://paradoks77.blogspot.com/2011/08/nilai-eigen-dan-vektor-eigen.html
http://achidayat.lecture.ub.ac.id/2012/12/nilai-eigen-teori-dan-
interpretasinya-dalam-analisa-forex/
diakses pada tanggal 04 12 2013 pukul 22:04