MATRI KS A.PENGERTI AN MATRI KS 1. Defini siMat r i ks Mat r i ksadal ahsuat uhi mpunanbi l anganat auvar i abelyangdi susundal am bent ukbar i sdankol om ( l aj ur )dal am bent ukper segipanj angy angdi t emp mpat kandiant ar aduat andakur ungbi asa()at au si ku[] . Bari sse buahmat r i ksadal ahsusunanbi l anganbi l anganyangme mendat ar dal am mat r i ks. Kol om se buahmat r i ksadal ahsusunanbi l anganbi l anganyangt eg akdal am mat r i ks. Suat umat r i ksdi l amb mbangkandenganse buahhur ufkapi t alA,B,C dst . Secar aumum mat r i ksdapatdi t ul i sse bagaiber i kut:
Ke t er angan: a
=Not asimat r i ks
×
i j =Or domat r i ks
Cont ohSoal1:
1 A3×3 = 5 − 3
2 7 8
− 6 − 2 3
2.Jeni sj eni sMatr i ks 1.M .Mat r i ksPer se gi
i
=Banyakbar i s
j
=Banyakkol om
×
Ordo matriks adalah 3 3 1 adalah elemen baris ke-1 kolom ke-1 5 adalah elemen baris ke-2 kolom ke-1 -
Yai t umat r i ksyangbanyakny abar i ss amadeng anbany aknyakol om. ( m= n) A2×2
Cont oh:
1 = 2
2
3
2.M .Mat r i ksBar i s Yai t umat r i ksyangmempunyaiel e me nsat ubar i s A = [1 3 5 7]
Cont oh: 3.M .Mat r i ksKol om Yai t umat r i ksyangmempunyaiel e me nsat ukol om
1 A = 3 5
Cont oh:
4. .M Mat r i ksNol Yai t umat r i ksyangsel ur uhel emenny aadal ah0
0 A = 0
Cont oh:
0
B = [ 0]
0
5.Mat r i ksI dent i t as/Sat uan Yai t umat r i ksbuj ursangkaryangel emenpadadi agonalut amany aadal ah1 ( sat u) ,sedangkanel eme menl ai nnya0( nol ) .
1 A = 0
Cont oh:
0
1
1 B = 0 0
0 0 1 0
1 0
6. .M Mat r i ksDi agonal Yai t umat r i ksbuj ursangkaryangse muael e me ndi l uardi agonalut amany a adal ah 0( nol )
− 2 A = 0
Cont oh:
−1 0 B = 0 0 1
0 0
3
2 0 0
Mat r i kssama ma:mat r i ksA=ma mat r i ksB,makael eme menyangs el e t aksama ma.
a c
d b
=
p r
q
→ a = p, b = q, c = r , d = s
s
7. .M Mat r i ksSkal ar Mat r i ksSkal ar adal ahmat r i ksyange l em me enel em me endi agonalut am ma anya sama ma,sedangkanel eme mendil uare l eme mendi agonal nyaber ni l ainol .
4 A = 0
Cont oh:
0
4
2 B = 0 0
0
0
2
0
0
2
8.Mat r i ksSegi t i gaAt as Mat r i kssegi t i gaat asadal ah mat r i ksper segiyangel em me enel em me endi bawahdi agonalut amany aber ni l ainol . Cont oh:
1 2 0 − 1 0 0
4
6 4
9.Mat r i ksSegi t i gaBawah Mat r i kssegi t i gabawahadal ahmat r i ksper segiyangel eme menel eme mendiat as di agonalut am ma anyaber ni l ainol .
2 D = − 2 4
0 1 5
0 − 4 0
3. Kes ama maan Mat r i ks Duama mat r i ksdi kat akansama maj i kadanhanyaj i kakeduanyame memi mi l i kior doyang sama madanel em me enel em me enyangse l e t ak( ber se suai an)padakeduama mat r i ks t er se butsama ma. Cont ohSoal1: A
Di ket ahuimat r i ks
1 = 3
2
4
B
1 − 3 = 3 4
C
1 = 3
2
4
Tent ukan: a.Apakahma mat r i ksA=B? b.Apakahmat r i ksA=C? Jawab:
≠
a.M .Mat r i ksA mat r i ksB kar enaadasat ue l em me e nmat r i ksAdanB yang sel et akt i dakmemi mi l i kini l aiyangsama,yai t u2≠–3. b.Mat r i ksA=mat r i ksB,kar enaanggot apadamat r i ksAsamadanse l e t ak dengananggo t apadama mat r i ksB
Cont ohSoal2: Di ket ahuimat r i ksmat r i ksber i kut .
2 − 7 2 − 7 B = x 2 y 5 4
A =
.Ji kaA=B,t ent ukan ni l aix dany.
Jawab: Denganmenggunakankonse pke s am ma aanduama mat r i ksma makadi per ol eh: x=5 dan 2y=4
y=2 Jadi ,ni l aix=5dany=2
4.Tr ansposeMat r i ks Adal ahmat r i ksbar uyangme r upakanhasi lper t ukar anbar i sdankol om t
A Tr anposemat r i ksdinot asi ka nA ( di bac a:At r ans po s e) . Sehi nggat r anposema mat r i ksA adal ahAt
a1 A = b1
a2
a3
b2
b3
Ji ka
a1 At = a 2 a3
,maka
b1
b3
b2
Ji kamat r i ksAbe r or dom ×nmakat r ansposAmemi l i kior don×m. Sec ar aUmum bi sadi t ul i skan:
Am× n
At n×m
Cont ohSoal : A2× 2
1.
2 = 1
6 B2×3 = 2
2.
7
At 2× 2
4
maka
2 = 7
0 3
6 1
maka
1
4
6 B t 3×2 = 0 3
2
1 6
TUGAS SISWA : KESATU
2 8 3 1 −1 0 7 6 − 2
1.D .Di ket ahuimat r i ksA=
4
0 5
.Te nt ukan:
a) )O Or doma mat r i ksA b)El e me nkol om ke4 c) )E El em me enyangt er l et akpadabar i ske2dankol om ke3
d) )O Or doma mat r i ksAt darimat r i ksA
2. .D Di ke t ahuima mat r i ksB = a)
1 1 − 2 4 0 1 1 − 3 2 − 1 1 0 3 1 2 5
.Tent ukanl ah:
banyakny abar i sdankol om
b)
el emenel emenpadas e t i apbar i s
c)
el eme nel eme npadas e t i apkol om
d)
l e t ake l e me nel e me nber i kut :
( i ) -2
( i i i )4
( i i )-3
( i v )5
3. .B Buat l ah: a.
Mat r i kskol om
b.
Mat r i kss egi t i g aat as
c.
Mat r i kss egi t i g abawah
d.
Mat r i ksdi agonalut ama
e.
Mat r i ksi dent i t asber or do3 3
×
4.Tent ukanmat r i kst r ansposedari:
[4
1 3]
a.A=
b.C =
c.B=
6 1 3
d.D = a
b
5.T .Te nt ukanni l ai dan darimat ri ksberi kut:
0 − a
a.
4
4 − 2 3 0
0 = 3b − 5
4
15
2 4
3 2
−1 0
a + 6 − 7 8 = 8
b.
2a 1 −10 3 − 3b = 3
1
12
c.
p
x
6.T .Te nt ukanl ah dan ,j i kaAt=B. A
a.
8 1 = 0 − 6
1 A = 8
b.
− 6 2
2 p 1
p + x 0
B =
dan
1 B = x − 2 p
3 p 2
dan
B. OPERA RASIALJABAR MA MATRI RI KS 1.O .Oper as iPenj uml ml ahan Oper asiPenj uml ahanpadama mat r i kshanyadapatdi l akukanapabi l a mat r i ks–mat r i ksnyam me em mp punyaior dosama ma.
a1 a3
b1 B = b3
a2
A =
a4
a1 a3
A + B =
a2
b1 + a4 b3
b2
b4
a1 + b1 = b4 a3 + b3 b2
+ b2 a4 + b4 a2
Cont ohSoal1:
3 7
Di ket ahuimat r i ksA= Jawab:
5
2
11 − 3 − 7 9
,mat r i ksB =
.Hi t ungA+B!
11 − 3 3 + 11 + = 2 − 7 9 7 + (−7)
3 7
5
A+B =
5 + (−3)
2
2+9
11
14 = 0
2.Oper asiPengurangan Pengur ang anduama mat r i kshar usme mem mi i l i kior dosama ma
a1 a3
a2
A =
a4
a1 a3
A − B =
,
b1 B = b3
a2
b1 − a 4 b3
b2
b4
a1 − b1 = b4 a3 − b3
− b2 a 4 − b4
b2
a2
Cont ohSoal2:
− 4 3
0
6 − 6 2
4
6 2
6
Di ket ahuiA =
;B =
4
4
.Hi t ungA–B!
Jawab:
− 4 3
A–B =
0
4
− 4 − 6 3− 2
=
0 − 4
6 − 4
− 10 − 4 1 2
=
Cont ohSoal3:
4 A + 1
Tent ukanma t r i ksAdar iper samaanmat r i ksber i kut
2 = − 4 3 6
4
1
Jawab:
2 3
A=
4 6 2 − 4 − 1 1 − 4 3 −1 4
=
4−6
1− (−4)
− 2 − 2 2 5
=
Si f at si f atPenj uml ahan danPengur angan Mat r i ks Mi sal kanA,B,danC mat r i ksmat r i ksdenganor dosama mama makaber l aku si f at s i f atber i kut :
1. A+B =B+A( Komu mut at i f) 2. A+( B +C)=( A+B)+C ( As os i at i f) 3. A–B ≠ B–A( Ant iKomu mut at i f) TUGAS SISWA : KEDUA
1.D .Di ket ahuimat r i ks:
−1 3
B=
2
0 1 3 −3
2
C=
.Hi t ung:
a.B +C b.Bt+C 2.Di ket ahuimat r i ksmat r i ks beri kut .
1 − 2 A = − 2 1 4 1
− 3 B = − 2 6
;
4
3
1
;dan
− 5 5 C = − 2 3 1 − 4
Tent ukanl ah: a. A+B b. A+Bt
c. A+( B +C) d. ( A+Bt)+C
3.Tent ukanhasi lpenj uml ahandar imat r i ksber i kut:
0 5 − 4 + − 4
a.
6 −8 1 4 − 7 4 + 3 − 2
b.
4.Tent ukanhasi lpenj uml ahandar imat r i ksber i kut:
4 3
a.
5 − 4 + 1 0 3 0
x − x
b.
5.D .Di ket ahuipenj uml ahanmat r i ks:
5 − 2
4 x 4 y + 3 y 3 x − y y
c b a d − 4 3
+
Ni l aia,b,c ,dandbe r t ur ut t ur utadal ah. . . . . . .
14 14 − 2 2
=
.
3.Oper asiPer kal i anBi l anganRealdenganMat r i ks Ji kaAsebuahma t r i ksdankbi l anganr ealmakahasi lkal ikAadal ah mat r i ks yang di per ol eh dengan me mengal i kan masi ngmasi ng e l em me en mat r i ksAdeng ank.
a1 a 3
K ×
K × a1 = a 4 K × a3 a2
K × a 2
K × a 4
Cont ohSoal:
6 − 3
Ji kadi ke t ahuiK =4danmat r i ksA=
0
7
×
.Hi t ung K A!
Jawab:
×
K A=
6 − 3
4×
4×6 = 7 4× ( −3) 0
4× 0
24 = 4×7 −12
0
28
Si f at Si f atPer kal i anSkal ar Mi sal kanadanbskal ar ,D danH mat r i ksse bar angdenganor dosama ma, makabe r l akus i f at s i f ats e bag aibe r i kut 1. aD+aH =a( D +H) 2. aD +bD =( a+b) D 3. a( bD)=( ab) D
4.Oper asiPer kal i anMa Mat r i ksdenganMa Mat r i ks Per kal i anmat r i ksAdanB di t ul i skanAB t er defini sihanyaj i ka banyaknyabar i smat r i ksB samadenganbanyaknyakol om mat r i ksA.
Am×n Mat r i ks
× Bn× p = C m× p
Ordo hasil perkalian
[ a1
×
1.Ji kama mat r i ksA1
Ma Maka
A × B
2
=
a2 ]
=
×
danmat r i ksB2
b1 a2 ] × b3
[ a1
×
2.Ji kama mat r i ksA2
Ma Maka
A
×
2
=
a1 a 3
B=
2
=
b2
b4
b2
b4
= [ a1 × b1 + a 2 × b3
a1 a 3
b1 b 3
a1 × b2
+ a 2 × b4 ]
a2
a4
b1 b 3
×
danmat r i ksB2
b1 a 4 × b3 a2
a1 × b1 + a 2 × b3 a × b + a × b 3 1 4 3
2
=
b2
b2
b4 a1 × b2
+ a 2 × b4 a 3 × b2 + a 4 × b4
= Cont ohsoal1:
[ 2 − 3] Di ket ahuimat r i ksA=
,B =
Jawab:
×
[2
A B=
−1 − 3] × 3
2
1
[ 2×( −1) + (−3)×3
2× 2 + (−3)×1]
=
[ − 2 −9
4 − 3]
= Cont ohSoal2:
[ −11 =
−1 3
1]
2
1
×
b4
.Hi t ungA B !
A=
2 3
4
6
,B =
6 3
2
1
×
,hi t ungA B !
Jawab:
×
A B =
=
=
=
2 3
4
6 6 × 3
2×6 + 4×3 3×6 + 6×3 12 +12 18 +18 24 36
2
1
2× 2 + 4×1
3× 2 + 6×1
4 + 4
6 + 6
8
12
5.Perpangkat anMat r i ksPer segi Mi sal kanAadal ahmat r i ksper se gidenganor don×nmakabent uk pangkatdarimat r i ksAdi defini si kan sebagaiber i kut . A2 =A ×A A3 =A×A×A An =A×A×A. . .×A
Cont ohsoal :
JI kaA=
2 3
4
6
,hi t ungA2 !
Jawab:
A2 =
2 3
4 2
4
6 3
6
=
2.2 + 4.3 3.2 + 6.3
4 + 12 6 + 18
=
3.4 + 6.6
8 + 24
12 + 36
=
16 24
2.4 + 4.6
32
48
Ji kase t i apmat r i ksbe r i kutdapatdi oper as i kandimana a adal ahkons t ant a, makabe r l akus i f at s i f atbe r i kut . •
P+Q =Q +P
•
( P+Q)+R=P+( Q +R)
•
P( Q+R)= PQ +PR
•
( P+Q) R =PR +QR
•
P( Q -R)=PQ -PR
•
( P-Q) R =PQ -QR
•
a( P+Q)= aP+aQ
•
a( P-Q)= aP-aQ
•
( a+b) P =aP+bP
•
( a-b) P=aP-bP
•
( ab) P=a( bP)
•
a( PQ)=( aP) Q =P( aQ) Q)
•
( PQ) Q) R =P( QR)
TUGASSI SWA :KETI GA
1.Tent ukanhasi lper kal i andari:
a.2
b.4
c.3
3 × 4
=…
2 3 × 1 − 4
2a × − 2
d.5
=…
6 3 3 × 4 − 9
1
=…
e.
1
b
− 4 ×3
=…
− 3 −1 4 2
2.J .Ji kaA=
f .6
1 a 2 1 × 3
=…
12 2 b 3 1
=…
0 4 1 − 4
,dan B =
Hi t ung:
×
a. A B b.2( A+B)
×
3. .J Ji kaM mat r i ksber or do2 2,t ent ukanM dar iper sama maanber i kut:
5 1 1 2 M − = 10 0 2
a.
4 − 2
3 M +
b.
7
16 = 6 4
− 4 3 10
0
4 12
4.Tent ukana,b,c,danddar iper sama maanber i kut
8
a 2 = c 16
5.Tent ukanhasi lper kal i andarimat r i ks–mat r i ksberi kut:
[2 a.
4 4] 3
[a d.
4 3] − 2a
b
d
.
[2
4 5 0 1 1] 1 − 2
3
b.
c.
3 −1
[2 e.
4
2 − 4 1] 1
2 3 3 0 4 2 1 − 2
0 2
Si f at–s i f att r anposema matr i ks Beber apa si f at ma mat r i ks adal ah sebagaiber i kut . t 1. ( A+B) = At+Bt t 2. ( At) =A t 3. ( c A) = cAt dengancadal ah konst ant a t 4. ( AB) = A Bt t
Cont ohSoal:
2 3 4 −1
Ji kamat r i ksA= t a. .( ( At) =A t b. ( A+B)
×
×
t t t c.( A B) =B A
2 1
dan B =
5
3
.Tunj ukkan bahwa:
Jawab:
2 4 3 −1
a.At =
2 3 4 −1
t ( At) =
t Jadi( At) =A
2 3 2 4 −1 + 1
b.A+B
=
4 5
8
4 8
5
5
3
At+Bt
1
4 8
5
=
2
=
2 5
=
2 3 × 5
1
3
2
2
t ( A+B) =
t Jadi ,( A+B) =At+Bt
×
2 3 2 4 −1 1 ×
5
2× 2 + 3×1 4× 2 + (−1)×1
2×5 + 3×3
c.A B =
=
4 + 3 8 −1
=
7 7
=
10 + 9
20 − 3
19
17
3
4×5 + (−1)×1
×
2 5
t t B A =
1
2 4 3 × 3 −1
2× 2 +1×3 5 ÷ 2 + 3×3
=
2× 4 +1× (−1)
4+3 10 − 9
20 − 3
7 19
=
=
8 −1
7 17
5× 4 + 3× (−1)
7 19
×
7
17
t ( A B) =
×
×
t t t Jadi ,( A B) =B A
TUGASSI SWA :KEEMPAT
4 1
Ji ka A=
6
2
t 1. .( ( At) t 2. .( ( Bt) t 3.( .( A+B)
×
t 4. .( ( A B)
×
t 5. .( ( A C)
4 − 2
,B =
0
1
3 − 1 − 2 4
danC =
.Tent ukan:
.DETERM RMI NAN DA DAN I NVERSMATRI KS 1.Det er mi nanMa Mat r i ks Det er mi nan mat r i ksAdi defini si kansebagaisel i si hant araper kal i an el eme menel eme menpadadi agonalut ama madenganper kal i anel eme menel eme men padadi agonalsekunder . Det er mi nandar imat r i ksAdi not asi kandengandetA at au|A|. Ni l aidaridet er mi nan suat umat ri ksber upabi l anganr eal . a. .D De t er mi nanmat r i ksber or dodua Di agonalsekunder A2×2
a = c
d b
=
agonalut ama ma Di
=
a ⋅ d − b⋅c
ma maka
Cont oh:
2 4
Ji kamat r i ksA=
3
6
caridet er mi nanmat r i ksA!
Jawab:
detA =|A|=
a ⋅ d − b⋅c
=
2⋅6 − 3⋅4
=12–12=0
⇒
b.De t er mi nanma t r i ksbe r or dot i ga
A3×3
a11 a 21 a31
a12 a 22 a32
=
detA=|A|=
a13
a33
a23
_
a11 a 21 a31
a12 a22 a32
m me enggunakanat ur anSar us
a13 a11
a12
a23 a21
a 22
a33 a31
_
_
a32
+
+
+
a
11
⋅ a12 ⋅ a 33 + a12 ⋅ a 23 ⋅ a 31 + a13 ⋅ a 21 ⋅ a32 − a 31 ⋅ a 22 ⋅ a13 − a 32 ⋅ a 23 ⋅ a11 − a 33 ⋅ a 21 ⋅ a12
detA=|A|=
Cont ohSoal:
2 A = 4 5
1
4
2
1
1
Tent ukande t er mi nanmat r i ks
3
.
Jawab:
2 A = 4 5
1
4 2 1
3 5
2 1 4
2
1
1
de t
_
+
detA =
2⋅ 2⋅3+1⋅1⋅5 + 4⋅ 4⋅1− 5⋅2⋅ 4 −1⋅1⋅2 − 3⋅ 4⋅1
=12+5+16–40–2–12 =21
Cont oh3:
Di ket ahuimat r i ksA= a
2a − 10 −3
4 a
.
Hi t ungl ahni l ai ni l ai yangme me me nuhide tA=0. Jawab: detA=0
detA=
2a − 10
4
−3
a
= ((2a ! 10) a) ! (!3 4) # 2a 2 ! 10a " 12
Ol ehkar enadetA=0ma maka 2a 2 ! 10a " 12 = 0 a 2 ! 5a " 6 = 0 ( a ! 3)( a ! 2) = 0
a
a
–2=0at au –3=0 a
a
=2
=3
a
Jadi ,ni l ai yangme memenuhiadal ah2dan3.
2.I nver sMa Mat r i ks Ji kaAsebuahma t r i ksmakai nv er smat r i ksAadal ah – A1 dan
×
– 1 A A
=I ,di manaIadal ahmat ri ksi dent i t as. Ber i kuti niadal ahsyar atsuat umat r i ksAmemp mpunyaii nve r s. •
Ji ka|A|=0,makamat r i ksAt i dakme memp mpunyaii nv er s.Ol ehkar ena i t u,di kat akanmat ri ksAsebagaimat ri kssi ngul ar .
•
Ji ka |A|≠0,makamat r i ksA me mem mp punyaii nv er s.Ol ehkar ena i t u, di kat akanmat r i ksAsebagaimat r i ksnonsi ngul ar .
a c
Mi sal kanm nmat r i ksA= 1 !1
$ #
ad − bc
d − b − c a
d b
– 1 i nver sdariAadal ahA ,yai t u
dengandetA ≠ 0
Cont ohSoal:
2 1
Di ket ahuimat r i ksA=
7
4
d − b ad − bc − c a 1
– 1 Makai nver smat r i ksA A
=
4 − 7 2⋅ 4 − 7 ⋅1 −1 2 1
=
4 − 7 8 − 7 −1 2 1
=
1 4
1 −1
=
−7 2
4 − 7 −1 2
=
Si f atSi f atI nverssuatuMatr i ks Mi sal kanAdanB adal ahmat r i kssebarangyangme mem mi i l i kii nve r s,AB danBAj ugame memi mi l i kii nv er sma makaber l akuhubunganber i kut . – 1 – 1 – 1 1. ( AB) =B ·A – 1 – 1 – 1 2. ( BA) =A ·B
Per sama maanMat r i ks −1
Penye l es ai anper sama maanmat r i ksAX =B di t ent ukanol eh
X = A
.B
−1
Penye l es ai anper sama maanmat r i ksXA=B di t ent ukanol eh Cont ohSoal :
X =B . A
Ji ka
P .
[ ][ ] 6
7
8
9
=
2
3
4
5
Jawab: P .
,makaP=….
[ ][ ] 6
7
8
9
=
2
3
4
5
P A . =B −1
P= B . A
¿
[ ] [ ] [ ] [ ] 2
3
4
5
¿−
.
1
−7
9
6.9−7.8 −8
1 2
3
9
−7
2 4
5
−8
6
¿−
[
6
1 −6
4
2 −4
2
¿
[
]
3
−2
2
−1
]
TUGAS SISWA : KELIMA
1.Te nt ukandet er mi nanmat r i ksber or do2x2ber i kut:
4 2
3
0 3
1
a.B =
b.P=
4 − 4
c.N =
5 − 3
0
d.C =
1 0
4
e .F=
2
4 2
1
f . R=
− 12a 2a
2.Bi l a mat r i ksR=
2
4 0
1 6
3
9
1
,hi t ungl ah det er mi nanmat r i ks R.
3.Te nt ukandet er mi nanmat r i ksber or do3x3ber i kut:
1 2 0
0
1
2
4
3
a.A =
2 3 4
3
1 3
2 −1 4 2 6 − 3
b.M =
1
2 0
c. D =
0 0 0 2 − 3 4 5 4 − 2
0
d. E =
3
1 5
4.Tent ukanl ahni l aix darise t i apper sama maanber i kut .
− 2x −1
3 5
=6
a.
6 − x
0
6
5 − x
=0
d.
5.Tent ukanmat r i ksi nver sdar iset i apmat r i ksberi kut:
2 3
a.A =
1 0
b.C =
−12 5 7 − 3
3
5
d.B =
0
1 4
1
e.N=
2
17
6 − 4 0 7
P=
−8 5 3 − 2
c.R =
5 + x 5
9 − x 7 4
3 x x
6.D .Di ke t ahuiA=
danB=
,j i kadet er mi nanAdan
det er mi nanB s am ma a,makahar gaxyangme me menuhiadal ah. . . .
2 − 1
7.Di ket ahuimat r i ks
3
2
X=
10 9
ber or do2.Mat r i ksX adal ah. . . .
12 1
denganX mat r i ksper se gi