Matriks A. Pengertian Matriks Matriks adalah susunan bilangan yang berbentuk persgi panjang serta terdiri dari baris dan kolom.
… . . = …….. → 2 ↓ Kolom 2
CATATAN! - Sebuah matriks A terdiri dari m (baris) (baris) dan n (kolom) serta dinyatakan dinyatakan dengan , disebut ORDO MATRIKS
= 52 3 1 24→ 23 23 = 5 2 5 6 → 14 14 Contoh:
B. Jenis-jenis Matriks 1. Matriks Baris Hanya terdiri dari 1 baris saja Ordo
=1 = 1 2 5 = 9 5
Contoh:
,
2. Matriks Kolom
Hanya terdiri dari 1 kolom saja Ordo
=1 3 = 25 = 1014
Contoh:
,
3. Matriks Persegi Terdiri dari banyak baris dan kolom yang sama Ordo
= 5 1 7 2 5 = 9 7 = 74 23 56
Contoh:
,
4. Matriks Identitas
Matriks persegi yang mempunyai elemen 0 tetapi diagonal utamanya 1 Ordo
= 1 0 0 = 00 10 01 ,= , = 10 01
Contoh:
5. Matriks Skalar
Matriks persegi yang mempunyai elemen 0 tetapi diagonal utamanya mempunyai nilai yang sama bukan 1 Ordo
= 8 0 0 = 00 80 08 ,= , =70 07
Contoh:
C. Transpose Matriks Matriks yang dimana baris diubah menjadi kolom dan kolom diubah menjadi baris. Ordo
= = → = 9 2 9 6 3 = 2 5 6 → = 63 56
Contoh:
D. Kesamaan Dua Matriks Dua matriks sama jika element-elemen yang seletak s eletak sama
= ,=( ,= ( ) == ,, == = 37 26 1 ,=131 2+6 1 = 3+ 1 116) = 37 26 1 = (2+1 → →
Contoh:
Penjelasan: A = B jika Contoh Soal:
Hitung x + y jika
Jawab:
dan
dan
x
2x-1 = 11
y
2y+1 = 7
2x = 12
2y = 6
x =6
y=3
Jadi, nilai x+y = 6+3 = 9
E. Operasi pada Matriks 1. Penjumlahan dan Pengurangan Dapat dikerjakan jika mempunyai ordo sama Contoh Soal: Hitung nilai: a. A+B b. B-C
Jika,
= 35 24 ,= ,= 42 21 ,= , = 53 = 35 24 + 42 21 = 19 36 = 42 21 53 =
Jawab: a. A+B
b. B-C
Tidak bisa dikerjakan karena ordo tidak sama
2. Perkalian Matriks Perkalian matriks dilakukan dengan bilangan nyata. K.A adalah matriks baru yang diperoleh dari matriks A, jika setiap elemennya dikalikan dengan K. Dan K adalah bilangan nyata. Contoh Soal: Hitung nilai: a. 2A –B–3C b. 5A+2B–4C
Jika,
= 34 21 ,= ,= 52 41 ,= , = 65 33 =2. 34 21 52 413. 65 33 = 68 42 + 52 41 + 41158 99 = 257 617 =5. 34 21+2. 52 414. 65 33 = 1250 150 + 410 28 + 2204 1122 = 3619 914
Jawab: a. 2A-B-3C
b. 5A+2B–4C
3. Perkalian Per kalian Dua Matriks
A.B dapat dikerjakan jika kolom matriks pertama (A) sama dengan baris matriks kedua (B). Contoh:
.. 2222 23 + + + + + + (+ + + + + +)
Contoh Soal: Hitung nilai: a. A.B b. C.A
= 21 32 ,= ,= 52 11 ,= , = 52 ,= , = 3 5 22 222 3 22 225 1 21 21 12 12 = 1 2 . 2 1 0+5 64 12+23 = 10+6 = 916 35 = 52 . 21 32 = = 21 32 .. 35 = 36 1150 c. A.
Jika,
Jawab: a. A.B
b. C.A
Tidak bisa dikerjakan karena ordo tidak sama
c. A.
F. Determinan Matriks Syarat supaya dapat mencari determinan matriks adalah bentuk matriks tersebut haruslah persegi. 1. Determinan Matriks Ordo (2x2) Dapat dihitung dengan formula:
det A
= =..
Contoh Soal: Tentukan determinan dari matriks di d i bawah ini! a.
= 109 48
b.
= 73 56
det A
= 109 48 =7240 = 32
2. Determinan Matriks Ordo (3x3)
= 73 56 =4215 = 27
Dapat dihitung dengan menggunakan Metode Sarrus
Contoh Soal: Tentukan determinan dari matriks di d i bawah ini!
2 3 5 = 15 42 61 2 3 2 3 5 = 15 42 61 15 42 = 2.4.6 + 3.6.5 + 5.1.4 5.4.5 2.6.2 3.1.1 =48+90+20100243 = 31 det A
3. Sifat-sifat Determinan Matriks
a. Jika semua elemen dari salah satu baris/kolom sama dengan nol, maka determinan matriks tersebut nol. Contoh:
= 00 107 → | | = 0 3 4 5 = 06 07 08 → || = 0 1 0 9 5 = 12 0 39 54 → | | = 0
b. Jika semua elemen dari salah satu baris/kolom sama dengan elemenelemen baris/kolom lain, maka determinan matriks tersebut nol. Contoh:
c. Jika semua elemen dari salah datu d atu baris/kolom merupakan kelipatan dari elemen-elemen baris/kolom lain, maka determinan matriks tersebut nol. Contoh:
3 1 6 = 54 97 1 80 → | | = 0 | .. | = | | . || | | = | | | −| = ||
d. Nilai determinan e. Nilai determinan f. Nilai determinan
G. Invers Matriks a. Invers Matriks Ordo (2x2) Syarat untuk terjadinya Invers matriks yang y ang berordo (2x2) adalah jika nilai determinan suatu matriks , maka matriks tersebut disebut dengan matriks non-singular. Sedangkan jika nilai determinan dari suatu su atu matriks 0, maka matriks tersebut disebut matriks singular.
≠0
Dapat mencari nilai invers dengan formula:
− = .−. . Contoh Soal: Tentukan invers dari matriks di bawah ini!
= 34 58 − = .−. . 48 53 = . 48 53 =
a.
)
=
b. Invers Matriks Ordo (3x3) Untuk mencari nilai invers dari matriks yang berordo (3x3) dengan menggunakan adjoin L. Adjoin dapat disimpulkan adj (L), yaitu transpose dari matriks yang elemen-elemennya merupakan kofaktor-kofaktor dari elemen mariks L. Adjoin L dapat dirumuskan sebagai berikut: adj (L)
= = =
Sedangkan rumus invers matriks berordo (3x3):
− = det1 .
H. Aplikasi Matriks a. Menghitung pemasukan dan pengeluaran ekonomi ekonomi b. Menghitung luas segitigas c. Memecahkan sebuah kode d. Menghitung masa pakai (daya tahan) tahan) dari sebuah benda e. Menyelesaikan soal persamaan persamaan linier
Contoh Soal: 1.
2.
