Matriks adalah susunan bilangan yang berbentuk persgi panjang serta terdiri dari baris dan kolom. Cara untuk menghitung determinan serta invers matriks. Matriks dapat diaplikasikan untuk menghitung...
SWOT AnalysisFull description
silabus yang menyangkut materi matriks
invers matriks
MATRIKS
PROGRAM STUDI TEKNIK INFORMATIKA FAKULTAS TEKNIK UNIVERSITAS BRAWIJAYA 2010
DAFTAR SLIDE SLI DE
Operasi Matriks Jenis-Jenis Matriks Determinan Matriks nverse se Inver 2
Matriks
DAFTAR SLIDE SLI DE
Operasi Matriks Jenis-Jenis Matriks Determinan Matriks nverse se Inver 2
Matriks
DEFINISI DEFINI SI MATRIKS MATRIKS
Apakah yang dimaksud dengan Matriks ? kumpulan bilangan yang disajikan secara teratur dalam baris dan dan kolom kolom yang memb memben entu tuk k suat suatu u perse persegi gi panj panjan ang, g, sert sertaa termuat diantara sepasang tanda kurung.
3
NOTASI MA M ATRIKS
Nama matriks menggunakan huruf besar Anggot otaa-aanggo nggotta matri atriks ks dapa dapatt beru erupa huruf uruf kecil ecil Angg maupun angka Digunakan kurung biasa atau kurung siku
Ordo matriks atau ukuran matriks merupakan banyaknya bari bariss (gar (garis is hori horizo zont ntal al)) dan dan bany banyak akny nyaa kolo kolom m (gar (garis is vertikal) yang terdapat dalam matriks tersebut. 4
NOTASI MA M ATRIKS Jadi,
suatu matriks yang mempunyai m baris dan n kolom disebut matriks berordo atau berukuran m x n. Notasi
MATRIKS Contoh : Matriks A merupakan matriks berordo 4x2
«1 ¬3 A!¬ ¬2 ¬ 6
4»
¼ ¼ 1 ¼ ¼ 1½ 1
Bilangan-bilangan
yang terdapat dalam sebuah matriks dinamakan entri dalam matriks atau disebut juga elemen atau unsur.
6
Baris
NOTASI MATRIKS
« a11 ¬a 21 ¬ A! ¬ / ¬ a
m1
a12
.
a22
.
/
a
m2
Kolom
/ .
a1 » n
¼ a2 ¼ / ¼ ¼ a ½ n
mn
Unsur Matriks
Matriks berukuran m x n atau berorde m x n 7
7
MATRIKS BARIS DAN KOLOM
Matriks baris adalah matriks yang hanya mempunyai satu baris C ! ?1
2
1
4A
Matriks kolom adalah matriks yang hanya mempunyai satu kolom.
«1 » ¬ ¼ E ! 3 ¬ ¼ ¬4¼½
8
MATRIKS A = B
Dua
aij = bij dimana - aij = elemen matriks A dari baris i dan kolom j - bij = elemen matriks B dari baris i dan kolom j
A= B
buah matriks A dan B dikatakan sama (A = B) apabila A dan B mempunyai jumlah baris dan kolom yang sama (berordo sama) dan semua unsur yang terkandung di dalamnya sama.
« 2 4» ¼ 0 1½
A!¬
dan
B
«2 4» !¬ ¼ 0 1½
A B A
«2 4 !¬ 0
9
1
2»
¼
5½
dan
B
«1 4» !¬ ¼ 3 1½
PENJUMLAHAN MATRIKS
Apabila A dan B merupakan dua matriks yang ukurannya sama, maka hasil penjumlahan (A + B) adalah matriks yang diperoleh dengan menambahkan bersama-sama entri yang seletak/bersesuaian dalam kedua matriks tersebut.
Matriks-matriks yang ordo/ukurannya berbeda tidak dapat ditambahkan. « a11 ¬ A ! a21 ¬ ¬ a31
A dan B adalah suatu dua matriks yang ukurannya sama, maka A-B adalah matriks yang diperoleh dengan mengurangkan bersama-sama entri yang seletak/bersesuaian dalam kedua matriks tersebut.
Matriks-matriks yang ordo/ukurannya berbeda tidak dapat dikurangkan. « a11 ¬ A ! a21 ¬ ¬ a31
k adalah suatu bilangan skalar dan matriks A=(a ij ) maka matriks kA=(kaij ) adalah suatu matriks yang diperoleh dengan mengalikan semua elemen matriks A dengan k.
Mengalikan
matriks dengan skalar dapat dituliskan di depan atau dibelakang matriks.
matriks dengan matriks pada umumnya tidak bersifat komutatif. Syarat perkalian adalah jumlah banyaknya kolom pertama matriks sama dengan jumlah banyaknya baris matriks kedua. Jika matriks A berukuran mxn dan matriks B berukuran nxp maka hasil dari perkalian A*B adalah suatu matriks C=(cij ) berukuran mxp dimana
Apabila A merupakan suatu matriks persegi, maka A² = A.A ; A³=A².A dan seterusnya Apabila AB = BC maka tidak dapat disimpulkan bahwa A=C (tidak berlaku sifat penghapusan) Apabila AB = AC belum tentu B = C Apabila AB = 0 maka tidak dapat disimpulkan bahwa A=0 atau B=0 Terdapat beberapa hukum perkalian matriks : 1. A(BC) = (AB)C 2. A(B+C) = AB+AC 3. (B+C)A = BA+CA 4. A(B-C)=AB-AC 5. (B-C)A = BA-CA 6. A(BC) = (aB)C= B(aC) 7. AI = IA = A 20
PERPANGKATAN MATRIKS
Sifat perpangkatan pada matriks sama seperti sifat perpangkatan pada bilangan-bilangan untuk setiap a bilangan riil, dimana berlaku : A2 = A A A3 = A2 A A4 = A3 A A5 = A4 A; dan seterusnya
Matriks nol adalah matriks yang setiap entri atau elemennya adalah bilangan nol O3 x 2
«0 ! ¬0 ¬ ¬0
0»
¼ ¼ 0¼ ½ 0
Sifat-sifat dari matriks nol : -A+0=A, jika ukuran matriks A = ukuran matriks 0 -A*0=0, begitu juga 0*A=0. 24
JENIS Ö ÖJENIS JENIS MATRIKS
Matriks Diagonal adalah matriks persegi yang semua elemen diatas dan dibawah diagonalnya adalah nol. Dinotasikan sebagai D. Contoh : D3 x 3
«1 ! ¬0 ¬ ¬0
0
0»
2
0
0
¼ ¼ 5¼ ½
Matriks Skalar adalah matriks diagonal yang semua elemen pada diagonalnya sama 3x3
25
«5 ! ¬0 ¬ ¬0
0
0»
5
0
0
¼ ¼ 5¼ ½
JENIS Ö ÖJENIS JENIS MATRIKS
Matriks Identitas adalah matriks skalar yang elemen-elemen pada diagonal utamanya bernilai 1. «1 0 0» Sifat-sifat matriks identitas : ¬ ¼ A*I=A D! 0 1 0 ¬ ¼ I*A=A ¬0 0 1 ¼ ½
Matriks Segitiga Atas adalah matriks persegi yang elemen di bawah diagonal utamanya bernilai nol Matriks Segitiga Bawah adalah matriks persegi yang elemen di atas diagonal utamanya bernilai nol «2 4 ¬ A! 0 1 ¬ ¬0 0
26
5»
¼ ¼ 6¼ ½ 2
«1 0 ¬ B! 3 4 ¬ ¬2 5
0»
¼ ¼ 1¼ ½ 0
DETERMINAN MATRIKS Setiap
matriks persegi atau bujur sangkar memiliki nilai determinan Nilai determinan dari suatu matriks merupakan suatu skalar. Jika nilai determinan suatu matriks sama dengan nol, maka matriks tersebut disebut matriks singular.
27
NOTASI DETERMINAN
Misalkan matriks A merupakan sebuah matriks bujur sangkar Fungsi determinan dinyatakan oleh det (A) Jumlah det(A) disebut determinan A det(A) sering dinotasikan |A|
Determinan Matriks A dengan metode ekspansi kofaktor kolom pertama |A| ! a c a c a c 11
11
21
21
31
! a11 M 11 a 21 M 21 ! a11
38
a 22
a 23
a 32
a 33
a 21
31
a 31 M 31
a12
a13
a 32
a 33
a 31
a12
a13
a 22
a 23
TEOREMA LAPLACE
Determinan Matriks A dengan metode ekspansi kofaktor kolom kedua
|A|
! a12 c12
a 22 c 22
a 32 c 32
! a12 M 12 a 22 M 22 ! a12
a 21
a 23
a 31
a 33
a 22
a 32
M 32
a11
a13
a 31
a 33
a 32
a11
a13
a 21
a 23
Determinan Matriks A dengan metode ekspansi kofaktor kolom ketiga
|A| ! a13 c13 a 23 c 23 a 33 c33 ! a13 ! a13 39
M 13
a 23
a 21
a 22
a 31
a 32
M 23
a 23
a 33
M 33
a11
a12
a 31
a 32
a 33
a11
a12
a 21
a 22
DET MATRIKS SEGITIGA Jika
A adalah matriks segitiga bujur sangkar berupa segitiga atas atau segitiga bawah maka nilai det(A) adalah hasil kali diagonal matriks tersebut det( A) ! a11 a 22 a 33
dst
Contoh det( A) !
40
2
( 3)
6 9
4 ! 1296
TRANSPOSE MATRIKS
Jika
A adalah suatu matriks m x n, maka tranpose A dinyatakan oleh A dan didefinisikan dengan matriks n x m yang kolom pertamanya adalah baris pertama dari A, kolom keduanya adalah baris kedua dari A, demikian juga dengan kolom ketiga adalah baris ketiga dari A dan seterusnya. Contoh : « 1 3 1» matriks A : A ! ¬ berordo 2 x 3 ¼ 4
transposenya :
41
1
3½
«1 4» At ! ¬3 1 ¼ ¬ ¼ ¬1 3¼½
berordo 3 x 2
TRANSPOSE MATRIKS Beberapa Sifat Matriks Transpose : 1.( A B ) 2.( A
T
T
) T !
3.( AB )
T
!
!
A
A T
B A
4.(kA) T ! kAT
42
T
T
B
T
TRANSPOSE MATRIKS Pembuktian
« a11
a12
a 21
a 22
A B ! ¬
aturan no1 : a13 »
«b11 ¼ ¬b a 23 ½ 21
« a11 b11 ¬ ( A B) T ! a12 b12 ¬ ¬ a13 b13
« a11 ¬ AT ! a12 ¬ ¬ a13 « a11 ¬ ( A T ) T ! a12 ¬ ¬a13
44
:
¼
a 21 »
¼ ¼ a 23 ¼½
a 22
a 21 »
TERBUKTI T
¼ ! « a11 ¬a ¼ 21 a 23 ¼ ½
a 22
a12
a13 »
a 22
a 23 ½
¼
MATRIKS SIMETRI Sebuah matriks dikatakan simetri apabila hasil dari transpose matriks A sama dengan matriks A itu sendiri.
A !A T
Contoh :
1.
2. «1 ¬ A ! 3 ¬ ¬2
3
2»
0
0
0
¼ ¼ 0¼ ½
«1 ¬ AT ! 3 ¬ ¬2
3
2»
45
0 0
¼ 0 ¼ 0¼ ½
B
B
T
«2 !¬
1»
1
2½
«2 !¬
1»
1
¼ ¼
2½
INVERS MATRIKS
Matriks invers dari suatu matriks A adalah matriks B yang apabila dikalikan dengan matriks A memberikan satuan I
AB = I
Notasi matriks invers : A matriks inversenya akan Sebuah matriks yang dikalikan menghasilkan matrik satuan 1
A 1 A ! I Jika
«a A! ¬ c 46
b»
¼
d ½
Maka A
1
« d ! ¬ ad bc c 1
b» ¼ a ½
INVERS MATRIX Langkah-langkah
untuk mencari invers matriks M yang berordo 3x3 adalah : Cari determinan dari M Transpose matriks M sehingga menjadi M T Cari adjoin matriks Gunakan rumus
M
47
1
!
1
det( M )
( adjoin ( M ))
INVERS MATRIX Contoh Soal
«1 ! ¬¬0 ¬5
M
2 1 6
: 3»
¼ ¼ 0¼ ½ 4
- Cari Determinannya : det(M) = 1(0-24)-2(0-20)+3(0-5) = 1 - Transpose matriks M M
48
T
«1 0 ! ¬¬2 1 ¬3 4
5»
¼ ¼ 0¼ ½ 6
INVERS MATRIX
- Temukan matriks kofaktor dengan menghitung minor-minor matriksnya