PANDEO DE COLUMNAS
As a simple intuitive example be considered to be a diameter bar D submitted to an axial compression
force. If such a bar acting like "column", out of length D no question would arise about the
Resumen En este artículo se tratará la cuestión de la posible inestabilidad de sistemas estructurales. En tales problema problemass
se deben deben
halla hallarr pará paráme metro tross crít crític icos os
adicionales que determinen si es posible una configuración o patrón de desplazamientos dado para un sistema particular. Como un ejemplo intuitivo sencillo considérese una barra de diámetro D sometida a una fuerza axial de
compresión.
Si
tal
barra
actuando
como
"columna", fuera de longitud D no surgiría ninguna cuestión acerca de la inestabilidad y este miembro corto podría soportar una fuerza considerable. Por otra
instability and this short member might support a considerable force. On the other hand, if the same bar had a length of several diameters, on having been submitted to an axial force even less than the one that can support the short piece might become sideways unstable presenting in her side bend to him and might trump or suffer collapse. For this reason many of the structural flaws for bend are spectacular and very dangerous.
Key words Bend, Distortion,
parte, parte, si una mism mismaa barra barra tuvier tuvieraa una longit longitud ud de varios diámetros, al ser sometida a una fuerza axial aún menor que la que puede soportar la pieza corta podría llegar a ser lateralmente inestable presentándose en ella pande pandeo o late lateral ral y podr podría ía fallar fallar o sufr sufrir ir colap colapso. so. Por esta razón muchas de las fallas estructurales por pand pandeo eo son son espe espect ctac acul ular ares es y muy muy peli peligr gros osas as..
COLUMN BEND
Palabras Clave Pandeo, Deformacion,
Summary In this article there will talk each other the question of the possible instability of structural systems. In such problems there must be additional critical parameters parameters that determine if there is possible a configuration or boss of displacements given for a particular system.
NATURALEZA DEL PROBLEMA DE LA VIGA COLUMNA El comportamiento de vigas columnas reales se pued puedee ente entend nder er mejo mejorr cons consid ider eran ando do un ejem ejempl plo o idealizado, que se muestra en la Figura .1 a. Para simplificar, analizamos una barra perfectamente rígida de longitud L se mantiene inicialmente en posición vertical por medio de un resorte en A que tiene una rigidez a la torsión k . Luego una fuerza vertical P y una horizontal F se se aplican en el extremo superior, se deben escribir ahora las ecuaciones de equilibrio para la condición deformada. Teniendo presente que k es el momento resistente que desarrolla el resorte en A se obtiene
∑ Anti horario
llegan a ser intolerablemente grandes. La asíntota correspondiente a esta solución, obtenida de la igualdad (k PL ) = 0, define la fuerza P C como:
(1.3)
A continuación se emplearán los conceptos anteriores en la resolución de un problema de una viga-columna elástica.
Figura 1 Respuesta fuerza-desplazamiento fuerza-desplazamiento de un sistema con un grado de libertad
La solución expresada por la ecuación
(1.1) es
para
APLI APLICA CACIO CION N A UNA UNA VIGA VIGA COLU COLUMN MNA A
Una viga columna se somete a fuerzas axiales P , y a una fuerza transversal hacia arriba ,
F ,
en su punto
rotaciones arbitrariamente grandes. En problemas
medio, Figura a. Determinar la ecuación de la
complejos es muy difícil alcanzar soluciones de tal
elástica y la fuerza axial crítica
generalidad. Además en la mayoría de las aplicaciones
es constante. El diagrama de cuerpo libre de la viga
no se pueden tolerar desplazamientos de gran
columna se muestra en la Figura 1b. Este diagrama
magnitud. Por consiguiente de ordinario es posible
permite la expresión del momento flector total M ,
limitar el estudio del comportamiento de sistemas al
que incluye el efecto de la fuerza axial
caso de desplazamientos pequeños y moderadamente
multiplicada por el desplazamiento v . El momento
grandes.
total dividido por EI puede puede hacerse hacerse igual igual a la
En este problema lo anterior se puede realizar
∼
ponien poniendo do sen
y cos = 1. De esta forma la ecuación (1.1)
se simplifica
P c .
Considérese que EI
P
expresión aproximada habitual de la curvatura para peque pequeñas ñas rotac rotacion iones es d 2v/dx 2. Debido a esto, como en el ejemplo anterior, se obtendrán desplazamientos desplazamientos infinitos
(1.2)
Para valores pequeños de
en las cargas críticas.
esta solución es
completamente aceptable. En cambio a medida que
aumenta, la discrepancia entre esta solución linealizada y la solución exacta llega a ser muy grande, Figura 1 b. Para una combinación crítica de los parámetros k, P y L , el denominador (k ecuación
(1.2)
P L )
sería cero y presumiblemente daría
lugar a una rotación
Figura 2
en el último término de la
infinita.
Esto es completamente
irreal y resulta de una formulación matemática impropia del problema. No obstante, tal solución propo proporc rcio iona na una una buen buenaa guía guía acer acerca ca del del valo valorr de la magnitud de la fuerza axial
P a
la que las deflexiones
Por lo tanto, utilizando la relación M = EIv " y observando que en la mitad izquierda de la viga , se tiene
(0
Donde n es un entero. Despejando P de esta ecuación,
Dividiendo por EI
se obtiene la magnitud de esta fuerza que causa
(1.4)
desplazamientos o momentos flectores infinitos . Esto
Simplificando
corresponde a la condición de la fuerza axial crítica P C
para esta barra
(1.5)
= 0) para La solución de la homogénea (F = para est estaa ecu ecuac ació ión n
(1.11)
diferencial es bien conocida y resulta de una suma de
Para la fuerza crítica mínima el entero n vale 1. Este
funciones armónicas (corresponde por ejemplo a la forma
resultado fue establecido por primera vez por el
del movimiento armónico simple), en tanto que la
notable matemático Leonhard Euler en 1757 y con
solución particular es igual al término independiente
frecuencia se la denomina la carga de pandeo de Euler.
dividido por 2. En consecuencia, la solución completa es
ECUACIONES DIFERENCIALES PARA COLUMNAS
(1.6)
Las constantes C 1 y C 2 prov provie iene nen n de las las con condi dici cion ones es de de (0) borde borde:: despl desplaz azam amie ient nto o tran transv svers ersal al nulo nulo en el apoyo v (0) = 0
y la condición de simetría
v (x = L/2) = 0.
La
primera condición condición da
Para una más completa comprensión del problema de la viga columna resulta instructivo deducir varias relaciones diferenciales entre las variables involucradas. Con ese objetivo consideremos un elemento diferencial
()( )
de viga columna como se indica en la Figura 1.3. Nota Notarr esp espec ecia ialm lmen ente te que que el el elem element ento o se mue muestr straa en su
posición
deformada.
Para
vigas
(comportamiento lineal) cargadas transversalmente esto no es necesario. Por otro lado los desplazamientos que se
Sustituyendo en la ecuación 1.6:
( )
tratan en este análisis son pequeños en relación con la
(1.7)
luz de la viga columna, lo cual permite las siguientes
= L/2. Por lo El desplazamiento máximo ocurre en x =
simplificaciones.
tanto, después de algunas simplificaciones
( ) ( ) ( )
(1.8)
(1.9)
Obsérvese que las expresiones dadas por las ecuaciones (1.7), (1.8) y (1.9)
se hacen infinitas si es múltiplo de
puesto esto hace nulo a cos
tan .Expresado
algebraicamente
L
e infinito a esto
ocurre
cuando:
√
ordinarias
(1.10)
Figura 3 Elemento de una Columna
Si:
y
(1.16)
Estas relaciones son necesarias en algunos ejemplos para
Con esta base, las dos ecuaciones de equilibrio son:
expresar las condiciones de contorno, a
∑ ∑
y C 4. Fin de evaluar las constantes C 1, C 2, C 3 y C
Una barra delgada de EI constante se somete simultáneamente a momentos de extremo, M 0, y a
La primera de estas ecuaciones da:
APLI APLICA CACIO CION N A UNA UNA VIGA VIGA COLU COLUMN MNA A
(1.12)
fuerzas axiales P , como se indica en la Figura 1.4.a. Determinar el desplazamiento máximo y el mayor
(1.13)
momento flector
En este desarrollo se puede utilizar la relación usual de la teoría de flexión, v" = M/ ( M/ ( EI EI ). ). Substituyendo la
ecuación (1.13) en la
(1.12) y
haciendo uso de la relación
anterior, se obtienen dos ecuaciones diferenciales
Dentro del tramo no existe carga transversal alguna.
alternativas para vigas-columnas
(1.14)
Por consiguiente el término del segundo miembro de la ecuación (1.15) es nulo, y la solución homogénea de
O bien
Figura 4 Columna sometida a compresión y flexión
esta ecuación dada por la (1.16.a) será la solución (1.15)
Donde para simplificar se supuso que EI es es constante y, como antes, a2 = P/ = P/ ( ( EI EI ). ). Si P = = 0, las ecuaciones (1.14) y (1.15) resultan las mismas ecuaciones vistas para vigas
completa. Las condiciones en el contorno son:
Puesto que M ( x) x) = EI , con ayuda de las ecuaciones (1.16.a) y (1.16.c) estas condiciones dan
con carga transversal. Para las nuevas ecuaciones, las condiciones de borde son las mismas vistas con anterioridad, excepto que la fuerza de corte se obtiene de la expresión (1.13). Para referencia futura, la solución homogénea de la ecuación (1.14) (1.15) y sus derivadas se listan a continuación
Resolviendo las cuatro ecuaciones en forma simultanea:
Por lo tanto la ecuación de la elástica es:
( ( )
(1.17)
2. El máximo desplazamiento ocurre para x = L/ 2.
Después de algunas algu nas simplificacio si mplificaciones nes se s e encuentra encuentra que es
( ( )
(1.18)
El mayor momento flector ocurre también en x=L/2. Su valor máximo absoluto es:
( )
(1.19)
Es importante observar que en miembros delgados los
momentos
flectores
pueden
aumentar
substancialmente por la presencia de fuerzas axiales de compresión. Cuando existen tales fuerzas, aumentan los desplazamientos causados por la carga Figura 5 Comportamiento de pandeo de un a barra rígida
transversal, Figura 1.4.b. En el caso de fuerzas de tracción los desplazamientos disminuyen .
ESTABILIDAD DEL EQUILIBRIO Una aguja perfectamente recta sostenida sobre su punta pued puedee cons consid ider erars arsee en equi equilib librio rio.. Sin Sin emba embargo rgo,, la menor perturbación de éste o la imperfección más
La
barra
rígida
de
la
Figura
1.5.a
puede
experimentar sólo rotación, ya que no se puede flexionar; es decir, el sistema tiene un grado de libertad.
Para una rotación supuesta , el momento en el resorte
(restaurador) es k , y con F = 0, el momento que produce
P (perturbador) (perturbador) será P L sen = P L , por lo tanto, si
pequ pequeña eña en su fabric fabricac ación ión haría harían n imposible imposible tal estado. estado.
k > P L , el sistema es estable y
Se dice que esta clase de equilibrio es inestable, y
si k
es imperativo evitar situaciones análogas en sistemas
Exactamente en el punto de transición
estructurales.
equilibrio no es estable ni inestable sino neutro (o
Para aclarar más el problema, consideremos de nuevo
indiferente). La fuerza asociada a esta condición es la
una barra vertical rígida con un resorte de torsión, de
carga pandeo o crítica, que se designará por P C . Para el
rigidez k , en su base, como se muestra en la Figura .a.
sistema considerado
k = P L , el
fuerza vertical P y una fuerza horizontal F se
consideró en la sección. La respuesta de este sistema
Esta condición establece el comienzo del pandeo. Con
a medida que aumenta la fuerza P se indica en la
esta fuerza fuerza dos posiciones posiciones de equilibrio equilibrio son posibles, posibl es, la
Figura .b para una fuerza F grande y una fuerza F
forma
pequeña pequeña.. Surge Surge entonce entoncess la siguien siguiente te pregunta pregunta::
infinitesimalmente próxima a ella. Por lo tanto,
¿Cómo se comportará este sistema si F = = 0? Este es
como es posible seguir dos ramas o caminos en la
el caso límite y corresponde al estudio del pandeo
solución, a esta condición se la llama punto de
perf perfeecto
bifurcación bifurcación de la solución solución de equilibrio. equilibrio. Para P >
El comportamiento de tal barra sometida a una
vertical
y
una
forma
inclinada
k/L el sistema es inestable. Como la solución ha
sido linealizada no hay posibilidad de que sea arbitrariamente grande en P C . Considerando grandes
desplazamientos, hay siempre un punto de equilibrio
elásticas, cargadas concéntricamente y perfectamente
CARGA DE PANDEO DE EULER PARA COLUMNAS CON EXTREMOS EXTREMOS ARTICULADOS
rectas, es decir columnas ideales, es análogo al
A fin de formular las ecuaciones diferenciales que
comportamiento descripto en el sencillo ejemplo
perm permita itan n dete determi rmina narr la carga carga de pande pandeo o de una
anterior. A partir de una formulación linealizada del
columna ideal, se debe permitir que ocurra un pequeño
problem problemaa se puede puede determ determina inarr las cargas cargas críticas críticas de
desplazamiento lateral del eje de la columna. Para la
pand pandeo eo.. Algu Alguno noss ejem ejempl plos os se dará darán n en las las sigu siguie ient ntes es
columna con extremos articulados e inicialmente
secciones. Las cargas críticas no describen la acción del
recta de la Figura 1.7.a, lo anterior se indica en la
pand pandeo eo mism mismo. o. Util Utiliz izan ando do una una ecua ecuaci ción ón difer diferenen- cial
Figura 1.7.b. Para el caso de la columna columna ligeramente
exacta de la curva elástica para de flexiones grandes, es
flexionada de la Figura 1 .7.b., el momento flector M M en
posi posibl blee hal halla larr pos posic icio ione ness de de equi equili libr brio io más más alt altas as que que P C ,
una sección cualquiera es P v ( (x ), que si se substituye en
correspondiente a la fuerza aplicada P . . Los resultados
la ecuación diferencial de la elástica da por resultado
de tal análisis se ilustran en la Figura 9.6. Notar
estable en < . El comportamiento de columnas
especialmente que aumentando P en sólo 1 ,5 % P C sobre P C se produce un desplazamiento lateral máximo del 22 % de la longitud de la columna 2. Por razones prácticas, desplazamientos tan grandes rara vez
Entonces, como se hiciera en la ecuación (1.4), tomando α^2=P/EI, tenemos:
(1.21)
pued pueden en ser ser acep acepta tados dos.. Adem Además, ás, por por lo gene general ral el material no puede resistir los esfuerzos de flexión inducidos. Por lo tanto, las columnas reales fallan inelásticamente. En la gran mayoría de las aplicaciones de ingeniería P C representa la capacidad última de una columna recta cargada axialmente en forma for ma concéntrica. Figura 7 Columnas con extremos articulados y sus primeros modos de pandeo
Es fácil ver que esta ecuación es la parte homogénea de la (1.5) para una viga columna con extremos articulados. Su solución es
(1.22)
Donde las constantes arbitrarias C1 y C2 se deben determinar a partir de las condiciones de contorno, que son: Figura 6 Comportamiento de un a barra idealmente elástica
En consecuencia
Para n = 1, la curva elástica es media onda de una
sinusoide.
(1.23)
Como esto corresponde a la condición sin pandeo, esta solución es trivial. Alternativamente la ecuación (1.23) también se satisface si (1.24)
Donde n es un entero. En esta ecuación los valores característicos o auto valores para tal ecuación diferencial, que hacen posible una forma de pandeo, requieren que:
junto
con
los
modos
Figura 1.7.c-e. Los modos de orden superior no tienen
La ecuación (1.23) se puede satisfacer tomando C 1 = 0 .
√
forma,
correspondientes a n = 2 y n = 3, se muestran en la
C2=0
Esta
significado físico en el problema de pandeo, puesto que la carga crítica mínima ocurre en n = 1. Una solución alternativa del problema anterior se puede obtener utilizando la ecuación diferencial igualada a cero. De la ecuación tal ecuación es
(1.28)
Para el caso considerado (articulado en ambos extremos), las condiciones de borde son:
Utilizando estas condiciones con la solución homogénea de la ecuación (1.28), junto con su derivada segunda dadas por las ecuaciones (.a y c), se obtiene
(1.25)
Se supondrá en este caso que n puede ser cualquier número entero. Sin embargo, puesto que el interés se centra en el valor mínimo con que puede ocurrir el pandeo pandeo,, n se debe tomar igual a la unidad. Por lo tanto, la carga crítica (o carga de pandeo de Euler) para una columna columna articul articulada ada en ambos extre xtrem mos es
Para este sistema de ecuaciones C 1, C 2, C 3 y C 4 podrían podrían ser todos iguales iguales a cero, lo cual daría una solución trivial. Alternativamente, para obtener una solución no trivial se debe anular el determinante de la matriz de coeficientes del sistema de ecuaciones
(1.26)
homogéneas. Por lo tanto con
Substituyendo la ecuación (1.24) en la (1.22), ( 1.22), sabiendo que C 2 es cero, se obtiene el modo o forma de pandeo de la columna:
Este método es ventajoso en problemas con diferentes (1.28)
Esta es la función característica o auto función de este problema y puesto que n puede tomar cualquier valor entero, hay un número infinito de tales funciones. En esta solución linealizada la amplitud C 1 del modo de pandeo permanece indeterminada.
condiciones de contorno en que la fuerza axial y el producto producto EI permanecen constantes en toda la longitud de la columna. El método no se puede aplicar si la fuerza axial se extiende sólo sobre una parte de un miembro.
PANDEO ELÁSTICO DE COLUMNAS CON
depende de las restricciones en los extremos. En
DIFERENTES RESTRICCIONES EN SUS
contraste con los casos clásicos que se muestran en la
EXTREMOS
Figura 1.8, los miembros a compresión reales rara vez
Procedimientos iguales a los estudiados en la sección
están verdaderamente articulados o completamente
anterior se pueden utilizar para determinar las cargas de
empotrados (fijos contra la rotación) en los extremos.
pand pandeo eo elá elást stic ico o de col colum umna nass con con dife difere rent ntes es con condi dici cion ones es
Debido a la incertidumbre respecto al grado de fijación
de borde. Las soluciones de tales problemas son muy
de los extremos, a menudo las columnas se suponen
sensibles a las restricciones de extremo. Por ejemplo
con articulaciones en dichas partes. Con excepción del
la carga crítica de pandeo para una columna
caso que se muestra en la Figura 1.8.b, donde no se
empotrada en su base, Figura 1.8.b, con una carga
pued puedee util utiliz izar ar,, este este proc proced edim imie iento nto es conse conserv rvad ador. or.
vertical en su extremo libre superior, es
(1.29)
Las ecuaciones anteriores llegan a ser completamente
En este caso extremo la carga crítica es sólo 1 / 4 de
erróneas para el intervalo inelástico y no se deben
la correspondiente al caso fundamental, ecuación
utilizar.
(1.26). Para
una columna empotrada en un extremo y
articulada en el otro, Figura 1.8.c:
(1.30)
En tanto que para una columna empotrada en ambos extremos, Figura 1.8.d:
(1.31)
Las dos últimas ecuaciones indican que mediante la restricción en los extremos las cargas de pandeo críticas
Figura 8 Longitud efectiva de columnas con con diferentes restricciones
van aumentando notablemente por encima del caso fundamental. Todas las fórmulas anteriores pueden asemejarse al caso fundamental siempre que en vez de la longitud real de la columna se utilice la longitud efectiva de la misma. Esta longitud resulta ser la distancia entre los puntos de inflexión de las curvas
elásticas o las articulaciones, si las hay. La longitud efectiva de una columna, Le, en el caso fundamental es igual a L , pero en los casos anteriores es 2 L, 0 ,7 L y 0 ,5 L, respectivamente. Para el caso general, L e = KL, donde K es es el factor de longitud efectiva, el cual
Figura 9
Comparación del comportamiento de columnas con diferentes condiciones de extremo
LIMITACIÓN DE LAS FORMULAS DE
imperfecciones determinadas estadísticamente o en
PANDEO ELÁSTICO
posi posibl bles es desa desali line neam amie ient ntos os de las las car carga gass apl aplic icad adas as.. Com Como o
En las deducciones anteriores de las fórmulas de pandeo
una ilustración de este enfoque, se considerará una
para para col colum umna nass se supu supuso so tác tácit itam amen ente te que el materia materiall se
columna cargada excéntricamente que es un problema
comportaba de manera linealmente elástica. Para
importante en sí mismo.
poner poner de manifie manifiesto sto esta esta signific significativ ativaa limitac limitación, ión, la ecuación (1.26) puede escribirse en forma diferente. Por definición, I = Ar 2, donde A es el área de la sección transversal y r es es su radio de giro. La substitución de esta relación en la ecuación (1.26) da:
Fórmulas aproximadas aproximadas Una expresión simplificada de los valores máximos de desplazamiento y momento flector, más fácil de recordar y visualizar resulta de recordar que
Y que el argumento a utilizar es
(1.32)
2
Donde la tensión crítica , C , para para una colum lumna se se de defin fine como un promedio en el área transversal A de la misma,
Art. – – Art. Art.
debido a la carga crítica P C . La longitud de la
Emp. – Emp. – Lib. Lib.
columna es L y r el el radio de giro mínimo del área de la sección, puesto que la fórmula original de Euler se da en términos del valor mínimo de I . La relación de la longitud de la columna al radio de giro mínimo de un área r transversal se llama relación de esbeltez ( )
( ) () ()
Luego el desplazamiento máximo aproximado resulta (la aproximación es buena para P/Pc< 0.5)
( ) Similarmente
de la columna.
el
momento
(1.33)
flector
máximo
aproximado resulta
COLUMNAS CARGADAS
EXCENTRICAMENTE
Expresiones
(1.34)
similares
a
esta
se
utilizan
frecuentemente en los códigos para determinar el En el estudio anterior del pandeo de columnas se supuso que tales elementos eran idealmente rectos. Puesto que en realidad todas las columnas tienen imperfecciones, las cargas de pandeo que se obtienen para columnas ideales son las mejores posibles. Tales análisis sólo propo proporc rcio iona nan n
indicio indicioss
acerca acerca
del
mejor mejor
funcionamiento posible de columnas. Por lo tanto, no es sorprendente que el funcionamiento de columnas haya sido explorado también con base en algunas
momento flector máximo a partir de la relación entre la carga actuante P y valor esperado de la carga crítica Pc.
CONCLUSIONES El análisis del pandeo en una barra rígida de un grado de libertad, nos sirve para desarrollar desarrollar con más ductilidad el estudio de pandeo, lo que no sucedería en una barra con tres grados de libertad. Las columnas con cargas excéntricas se analizaron con una variable β que engloba la carga excéntrica con sus factores PL, que por medio del libro consultado resultan siendo efectivas en la práctica.
RECOMENDACIONES La
carga
que
independientemente
debe del
resistir
una
material,
columna
tiene
que
relacionarse, mayorar con factores de acuerdo a norma. El estudio del elemento estructural “ columnas” para el diseño de una estructura resulta ser fundamental, independientemente del material, lo que se debe siempre tener en cuenta son: resistencia, rigidez, estabilidad.
REFERENCIAS Mecánica de los Sólidos, E. Popov, Ed. Limusa