Marco teórico
Deformación de pandeo producida por la compresión de una barra.
El pandeo es un fenómeno de inestabilidad elástica que elástica que puede darse en elementos comprimidos esbeltos esbeltos,, y que se manifiesta por la aparición de desplazamientos importantes transversales a la dirección principal de c ompresión. En ingeniería estructural el estructural el fenómeno aparece principalmente en pilares y columnas columnas,, y se traduce en la aparición de una flexión flexión adicional adicional en el pilar cuando se halla sometido a la acción de esfuerzos axiales de cierta importancia.
Introducción a aparición de deflexión por pandeo limita severamente la resistencia en compresión compresión de de un pilar o cualquier tipo de pieza esbelta. Eventualmente, a partir de cierto valor de la carga axial de compresión, denominada carga crítica de pandeo, puede producirse una situación de inestabilidad elástica y entonces fácilmente la deformación aumentará produciendo tensiones adicionales que superarán la tensión de rotura, provocando la ruina del elemento estructural. !demás del pandeo flexional ordinario existe el pandeo torsional o inestabilidad elástica provocado por un momento torsor excesivo. Existen diferentes maneras o modos de fallo por pandeo. "ara un elemento estructural frecuentemente hay que verificar varios de ellos y garantizar que las cargas están le#os de las cargas críticas asociadas a cada modo o manera de pandear. pande ar. os modos típicos son$ "andeo flexional. flexional. %odo de pandeo en el cual un elemento en compresión se flecta lateralmente sin giro ni cambios en su sección transversal. "andeo torsional. torsional. %odo de pandeo en el cual un elemento en compresión gira alrededor de su centro de corte. "andeo flexo&torsional. %odo de pandeo en el cual un elemento en compresión se flecta y gira simultáneamente sin cambios en su sección transversal. "andeo lateral&torsional. %odo de pandeo de un elemento a flexión que involucra deflexión normal al plano de flexión y, de manera simultánea, giro alrededor del centro de corte
Pandeo fexional os pilares pilares y y barras comprimidas de celosías pueden presentar diversos modos de fallo en función de su esbeltez mecánica$ mecánica$
os pilares muy esbeltos suelen fallar por pandeo elástico y son sensibles tanto al pandeo local el propio pilar como al pandeo global de la estructura completa. En los pilares de esbeltez media las imperfecciones constructivas como las heterogeneidades son particularmente importantes pudi'ndose presentar pandeo anelástico. os pilares de muy ba#a esbeltez fallan por exceso de compresión, antes de que los efectos del pandeo resulten importantes.
Pandeo local(editar )
%odelo de los distintos tipos de pandeo de Euler. *omo se puede ver, seg+n las coacciones externas de la viga, la deformación debid a al pandeo será distinta.
El pandeo local es el que aparece en piezas o elementos aislados o que estructuralmente pueden considerarse aislados. En este caso la magnitud de la carga crítica viene dada seg+n el caso por la fórmula de eonhard Euler o la de Engesser . a carga crítica de Euler depende de la longitud de la pieza, del material, de su sección transversal y de las condiciones de unión, vinculación o su#eción en los extremos. "ara una pieza que puede considerarse biarticulada en sus extremos la carga crítica de Euler viene dada por$
- /iendo$ F crit , la carga crítica0 E , %ódulo de 1oung del material de que está hecha la barra0 I min, momento de inerciamínimo de la sección transversal de la barra0 L, longitud de la barra y 2 la esbeltez mecánica de la pieza. *uando las condiciones de su#eción de los extremos son diferentes la carga crítica de Euler viene dada por una ecuación del tipo$
3 Al producto
se le llama longitud de pandeo.
Pandeo global En una estructura comple#a formada por barras y otros elementos enlazados pueden aparecer modos de deformación en los que los desplazamientos no sean proporcionales a las cargas y la estructura puede pandear globalmente sin que ninguna de las barras o elementos estructurales alcance su propia carga de pandeo. Debido a este factor, la carga
crítica global de cierto tipo de estructuras por e#emplo en entramados de c+pulas monocapa es mucho menor que la carga crítica local de cada uno de sus elementos. El tipo de estructura más simple que presenta pandeo global para carga crítica diferente de la de sus elementos está formado por dos barras articuladas entre sí-y a la cimentación, que se muestra en la figura.
as ecuaciones que gobiernan el comportamiento de la estructura son$ Ecuación de equilibrio$
4elación elástica entre acortamiento y esfuerzo axial$
4elación geom'trica de las configuraciones no&deformada y deformada$
Donde$ N , esfuerzo axial de cada una de las barras0 5L, acortamiento sufrido por las barras para adoptar la configuración deformada0 56 7 6&68, es la diferencia de ángu los mostrada en la figura0 E , módulo de 1oung del material de las barras0 A, área transversal de cada una de las barras0 L, longitud inicial de cada una de las dos barras. /ubstituyendo la segunda de las ecuaciones en la primera, despe#ando 5L de la tercera y substituyendo su valor tambi'n su valor en la primera se llega a$
El valor de 56 para el que se alcanza el máximo es precisamente la carga crítica globa l. as cargas de pandeo global y local vienen dadas por$
*ada una estas cargas presenta modos de fallo diferentes en la estructura. De entre los dos posibles modos de fallo por pandeo ocurrirá el que presente un ángulo de aparición mayor donde estos ángulos vienen dados por$
Plano de pandeo El plano de pandeo se refiere al plano que contendrá el inicio de la deformada de una pieza sometida a compresión dominante. El plano de pandeo contiene el e#e baric'ntrico de la viga y sobre 'l la deflexión por pandeo es máxima. "ara una pieza sometida sólo a compresión sin momentos apreciables adicionales, el plano de pandeo coincidirá con el plano perpendicular sea paralela al e#e de menor inercia de la sección.
Teoría de la bifurcación %atemáticamente el pandeo local está asociado a una bifurcación tridente, es decir, cuando se plantean las ecuaciones exactas no lineales que describen la forma de una pieza prismática, incluyendo la carga axial y los parámetros relacionados con las imperefecciones, los posibles comportamientos cualitativos están separados unos de otros por una bifurcación tridente. Eso lleva que en estos casos la carga real que puede soportar una barra venga dada por la ley 39: de ;oiter$3
Donde$ , carga crítica corregida por las imperfecciones. , es una constante que depende del patrón de imperfección dado por
.
, es un parámetro escalar que cuantifica el grado de imperfección para un patrón de imperfección
dado.
/i las imperfecciones tienen naturaleza estadística y vienen dadas por una distribución normal multivariante entonces la carga crítica tiene una distribución dada por$:
Esta distribución de probabilidad permite a#ustar las curvas reales de pandeo observadas, ya que en condiciones normales una barra recta de sección constante tiene una resistencia inferior debido a paredicha por la teoría de Euler por el efecto de las imperfecciones.
Pandeo torsional En vigas de alas anchas o de escasa rigidez torsional, el pandeo flexional convencional puede ir acompa
Donde las nuevas magnitudes son$
, es el momento de inercia mínimo en flexión. , son respectivamente el módulo de alabeo y el módulo de torsión. , el módulo de elasticidad transversal. 1 el resto de magnitudes tienen el mismo significado que para el pandeo flexional puro. En piezas donde el momento de alabeo es despreciable puede usarse la expresión aproximada$
Cálculo de cargas críticas (editar ) Curva elástica (editar )
>orma cualitativa de pandeo de un pilar empotrado en su base y libre en su extremo superior.
?na manera de encontrar la carga crítica de una estructura consiste en presuponer la forma cualitativa en que esta pandeará, parametrizando esa forma cualitativa mediante varios parámetros incógnita. @ntroduciendo esa forma cualitativa en la ecuación de la curva elástica y buscando que la solución parametrizada satisfaga las condiciones de contorno cualitativas, que normalmente se refieren a desplazamientos y giros de los nudos de las barras de la estructura, se obtienen relaciones entre los parámetros incógnita introducidos. El valor de la carga crítica es precisamente el que hace que dichas relaciones se cumplan. El m'todo de Euler para barras aisladas es un e#emplo de uso de este m'todo. "or e#emplo para determinar la carga de crítica de un pilar empotrado en su base y libre en el extremo tratamos de resolver la ecuación de la curva elástica ba#o las siguientes condiciones$
a solución de esa ecuación, en función del parámetro de desplazamiento horizontal del pilar, resulta ser$
a condición de contorno en el extremo superior donde h = H y w sup 7 A sólo se cumple para ciertos valores de P , que cumplen$
El menor de estos valores es precisamente el valor aceptado para la carga crítica de Euler de un pila empotrado en su base y libre en su parte superior$
Métodos energéticos "ara estructuras de una cierta comple#idad el m'todo anterior resulta de muy difícil aplicación, ya que requiere integrar un n+mero elevado de ecuaciones diferenciales para cada elemento lineal de la estructura. ?n m'todo aproximado consiste en presuponer aproximadamente las deformaciones asociadas al pandeo, que satisfaga las condiciones de contorno en los extremos de las piezas, y en igualar la energía de deformación W int con el traba#o exterior realizado por la fuerza que produce el fenómeno de pandeo W ext durante la deformación, W int 7 W ext . Esas dos ecuaciones pueden escribirse en t'rminos el campo de desplazamientos de los momentos flectores asociados. "ara cada elemento lineal la energía de deformación y el traba#o exterior vienen dados por$
Donde$ es el momento flector sobre la sección de abscisa x , es el producto de módulo de 1oung por el momento de inercia de la sección, es la defleción o desplazamiento seccional de la sección de abscisa x . es la carga crítica de pandeo. es la longitud total del elemento susceptible de sufrir pandeo. *uanto más a#ustado sea el campo de desplazamientos supuesto w x me#ores resultados da el m'todo anterior.
Dimensionado de elementos sometidos a pandeo En ingeniería estructural existe una necesidad práctica de dimensionar los elementos lineales sometidos a compresión con la suficiente sección transversal como para que no fallen por pandeo. a sección transversal necesaria para que eso no ocurra es muchas veces mayor que la que sería necesaria para soportar unesfuerzo de tracción de la misma magnitud entre -,B y C veces en la mayoría de casos. a mayoría de normas usan un coeficiente de reducción de la resistencia cuando el esfuerzo sobre el elemento lineal es de compresión y no de tracción. El Eurocódigo por e#emplo da para la resistencia de un pilar sometido a compresión y tracción simples las siguientes resistencias$
Donde$ son respectivamente el esfuerzo axial +ltimo en tracción y el esfuerzo axial +ltimo en compresión. son el área bruta de la sección transversal y el área efectiva de la sección transversal para la mayoría de secciones transversales, ambas coinciden. , es la tensión máxima admisible sobre el material. , es el coeficiente #i de reducción de la resistencia por pandeo. El mismo coeficiente se puede usar para estimar por exceso la tensión y determinar si un elemento es seguro. !sí cuando un elemento está sometido a flexión o compresión compuestas la tensión de referencia para calcular si el elemento es seguro o no se toma aproximadamente como$
Donde$ es el esfuerzo axial a que está sometido el elemento. , son los momentos flectores medidos seg+n las dos direcciones principales de inercia. , son los momentos resistentes asociados a los momentos principales de inercia de la sección transversal. En situaciones donde las tensiones tangentes y el alabeo seccional de la sección sean importantes debe substituirse el miembro antes del signo de menor que, por la tensión de on %ises y en la expresión de avier debe contabilizarse el efecto del bimomento.
Carga crítica y longitud de pandeo a carga crítica de un elemento estructural unidimensional esbelto corresponde a un esfuerzo axial por encima de la cual cualquier peque
Donde$ es el módulo de 1oung del material. es el segundo momento de área. la longitud total de la pieza. En otros casos más comple#os con otras condiciones en los extremos, con sección variable, etc, la carga crítica anterior debe ser corregida por un factor constante. En piezas de sección constante puede definirse además la longitud de pandeo o como$
Donde$ es el radio de giro mínimo de la sección transversal. es la esbeltez reducida. la tensión mecánica usada para el cálculo de la esbeltez. /i la pieza no es de sección constante no existe una manera de definir la longitud de pandeo, aunque el concepto de carga crítica sigue estando perfectamente definido. En el enfoque moderno de la teoría de bifurcación corresponde a un punto del espacio de configuración tal que cualquier entorno de ese punto se interseca con más de una solución de las ecuaciones de comportamiento estructural. os elementos bidimensionales comprimidos como los muros de carga, entre otros, tambi'n pueden sufrir pandeo, aunque en ese caso la carga crítica se define en t'rminos de la carga compresiva sobre el borde de la misma, para la que aparecen fenómenos de pandeo.
Esbelte y coeficientes de pandeo ?sualmente las diferentes normas tecnológicas preven una reducción de la resistencia de pilares y otras piezas en t'rminos de su esbeltez mecánica. *uanto más esbelto sea el elemento tanto mayor será la reducción de su resistencia debida al probable efecto de pandeo sobre el mismo. Existen varias maneras, todas ellas esencialmente equivalentes, de tratar esta reducción de la resistencia por efecto del pandeo, por e#emplo el eurocódigo y el *FE definen la esbeltez mecánica reducida o razón entre la resistencia plástica de la sección de cálculo y la compresión crítica por pandeo, como$
Donde$ es el área transversal efectiva para el elemento que pretender dimensionarse para resistir el pandeo. es la tensión mecánica máxima usada para caracterizar el comportamiento del material.
es la carga crítica de pandeo del elemento. El factor de reducción de la resistencia por pandeo o el *FE simplemente como$
coeficiente #i, se de acuerdo con
Donde en la fórmula anterior$ , por lo que afectos de cálculo no debe tomarse un valor inferior a ese. , es el coeficiente de imperfección que depende del tipo de sección transversal.
Trabajo de laboratorio Se ha contado con instrumentos necesarios para las mediciones de las magnitudes respectivas. Instrumentos empleados: +Vernier +Cinta métrica +Plomada +Corrector +Retaos de tripla! para uni"ormiar la super#cie de contacto ! evitar es"ueros puntuales en la secci$n +%po!os simples de metal &ateriales: +'( per#les de acero de )*,-,)*-,)/Se aprecia el aparato para ensa!ar las muestras* el man$metro ! la gata para aumentar la presi$n* ! el pist$n 0ue desciende al aumentar la presi$n.
Procedimiento 1&edimos ! marcamos nuestros especímenes* en este caso* el per#l en 2 de ).-,).-,)/-* con corrector.
1Procedemos a colocar la muestra en el sitio adecuado de3a4o de la prensa hidráulica* para esto marcamos con lapicero el contorno de la secci$n del per#l* ! allí marcamos el centroide de manera apro,imada* en nuestro caso* a un cuarto de la longitud del 3orde de la es0uina de simetría* hacemos una per"oraci$n pe0ue5a en el tripla!* ! marcamos posteriormente el centroide de la super#cie de contacto con el tripla! tanto en el apo!o in"erior como el superior* ! alineamos am3as marcas lo me4or posi3le* a continuaci$n
esta3lecemos una direcci$n patr$n de nuestra 3arra* alineándola con la plomada.
2uego procedemos a a4ustar si es 0ue está acepta3lemente vertical la muestra* ! nos detenemos a tomar medidas de distancia horiontal desde la plomada hasta el medio de la 3arra* ! la distancia entre las separaciones de los elementos de la ma0uina como re"erencia para che0uear el desplaamiento producido por "ueras a,iales.
%hora 0ue !a están las lecturas iniciales hechas* se procede a aumentar la presi$n so3re la muestra ! continuar anotando los valores de 6s"uero* desplaamiento Vertical ! desplaamiento horiontal. 2uego hecho el ensa!o se re0uiere interpretar lo sucedido* como 0ue el e4e en el cual va a producir su pandeo* en nuestro caso se de"orm$ en un sentido ! en el otro* por la ine,actitud de hacer coincidir los centroides de las secciones de la muestra con la de los de los apo!os.
% continuaci$n ensa!amos ! continuamente tomamos medidas cada )'' psi de lectura en el man$metro de la gata hidráulica* hasta 0ue la presi$n registrada 3a4e. %sí* de la misma "orma procedemos con la siguiente muestra.
Conclusiones:
76l primer per#l ha soportado un má,imo de 8*9 ;gcm(* el segundo <(*(( ;gcm(. 72os pandeos se han producido en el e4e dé3il del per#l* para el primer caso de"ormando el ángulo hacia a"uera ! en el segundo hacia adentro. 7 6sto pudo ha3erse producido por la ine,actitud al momento de alinear los centroides de la secci$n del per#l con la placa de contacto del apo!o metálico. 72a má,ima =echa en el primer caso "ue de <( mm* ! (< en el segundo caso. 76l pandeo se ha presentado de manera elástica. Recomendaciones: 7Colocar lo más e,acto posi3le la alineaci$n de los centroides de las muestra ! las placas de contacto de los apo!os. 7%linear correctamente de manera vertical >plomo?* para evitar errores groseros. 76sta3lecer re"erencias con#a3les para la medida de las de"ormaciones ! desplaamientos. 7@ener cuidado de hasta 0ué punto ensa!ar la muestra* no e,ceder los límites visi3les de la de"ormaci$n o3servada* puede ser peligroso.
