Pandeo en Columnas

Mecánica Estructural CAP.9 Pandeo de columnas

Escuela de Graduados PUCP Prof. Ing. José Acero Martínez

Análisis considerando grandes deformaciones Feodosiev (p.442-447) refiere que mientras σ act < σ lím prop. entonces el comportamiento del material sigue siendo lineal elástico. Se examina el equilibrio en la posición desplazada, asumiendo ahora desplazamientos no pequeños (fig. 9-1 repetida).

Py + M = 0

Equilibrio:

⇒

M ( x) = − Py La curvatura es:

{

1 / ρ = {d 2 y / dx 2 }/ 1 + (dy / dx )

}

2 3/ 2

la solución obtenida para la deflexión era:

Y = Clsen(πx / L)

(9-4)

La cual surgió de la condición de borde en x=L, y=0:

0 = Clsen( µL) Ello permitió determinar la carga crítica: 2 2 P critica = π EI / L

(9-3)

Pero si la carga P llega a ser algo mayor a Pcr, entonces sen (µ L) ≠ 0 y se tendría que cumplir que C1 = 0, es decir que y=0 y la columna regresaría a la posición recta. Esto se contradice puesto que cuando P=Pcr, la barra está curvada y cuando P> Pcr la barra vuelve a ser recta. La forma de la curva deflectada se obtiene considerando la expresión de la curvatura sin despreciar el término dy/dx del denominador. Después de plantear la solución matemática, en resumen se tiene que: a) definir un valor de “m” tal que se pueda evaluar la integral elíptica:

µ

1 = 2

π /2

∫ 0

dψ 1 − m 2 sen 2ψ

b) se obtiene µ, y con ambos valores de “m” y de “µ” c) la deflexión máxima es: ymáx = 2 m / µ Para la evaluación de la integral definida, es factible usar la regla de los trapecios. Por ejemplo, si m=0.5, la integral es:

Mecánica Estructural CAP.9 Pandeo de columnas π /2

I=

∫ 0


dψ 1 − 0.25sen 2ψ

sea un intervalo de discretización h = (π / 2 − 0) / 5 = π / 10 la integral se aproxima a:

I = π / 10(1 / 2)[ f (0) + 2( f (π / 10) + f (2π / 10) + f (3π / 10) + f (4π / 10) ) + f (5π / 10)] I = π / 20[1 + 2(1.0122 + 1.0462 + 1.0935 + 1.1368) + 1.1547 ] I = 1.6858 Luego, ymáx / l = m / I = 0.5 / 1.6858 entonces : y máx / l = 0.2966 A cada carga P > Pcr le corresponde un valor de y máx, que crece rápidamente con P . En conclusión, para hallar las cargas críticas Pcr, es suficiente las ecuaciones diferenciales comunes donde se desprecian los valores pequeños, pero para hallar los verdaderos desplazamientos, hay que utilizar la ecuación diferencial completa. La tabla 9-1 y el gráfico 9-1 ilustra algunas situaciones de deflexiones para P>Pcr.



9-3 Pandeo Inelástico En una columna de poca esbeltez sometida a carga axial centrada P, el esfuerzo axial P/A puede estar cercano o alcanzar el límite de proporcionalidad en compresión, antes que la carga P alcance el valor de la carga crítica Pcr.

Si el esfuerzo axial P/A está incluso por encima del esfuerzo límite de proporcionalidad, un incremento de esfuerzo y de deformación están relacionados por un denominado “módulo tangente” Et = dσ / dε.

Teoría del Módulo Tangente La columna permanece recta hasta que se alcanza la carga crítica Pcr. Luego, sufre la deflexión lateral súbita conocida como el pandeo, lo que le provoca momentos por flexión y esfuerzos normales por flexión. Los esfuerzos y las deformaciones por flexión están relacionados con el módulo tangente Et. Se puede entonces formular la expresión de la curvatura por momento flector:

d 2 y − Py = = ρ dx 2 Et I 1

Esta expresión es similar a la empleada en pandeo elástico, y conduce a una carga crítica Pcr, t en función del módulo tangente Et:

Mecánica Estructural CAP.9 Pandeo de columnas Pcrt =


π Et I L2

Pero como Et varía con el valor del esfuerzo P / A, entonces para hallar Pcr t se debe seguir un proceso de tanteos iterativo. Por ejemplo, se asume un valor para el esfuerzo P /A, se entra a la curva de esfuerzodeformación σ-ε para determinar el valor del módulo Et, se reemplaza en la fórmula anterior para determinar Pcr t y finalmente, se vuelve a evaluar el esfuerzo Pcr t / A, el cual se compara con el valor inicial asumido en el proceso.



Teoría del Módulo Reducido o Doble Módulo La teoría del módulo tangente tiene deficiencias conceptuales, que se tratan de subsanar con la teoría del doble módulo. Cuando hay flexión en la columna, las fibras del lado cóncavo están en compresión y las fibras del lado convexo están en tracción. En la misma sección transversal, en algunas fibras el esfuerzo por compresión aumenta y en otras el esfuerzo disminuye, producto de la flexión. En el diagrama σ-ε esto se refleja por un lado hay un aumento del esfuerzo, siguiendo la tendencia del módulo tangente Et, y por otro lado, hay un descenso del esfuerzo, siguiendo la tendencia del módulo de elasticidad E.

Se puede entonces suponer que la columna se comporta como hecha de dos materiales, y se puede definir un módulo de elasticidad intermedio entre E y Et, llamado Er, módulo reducido. Este módulo reducido Er depende tanto del diagrama σ-ε (en lo que respecta a la determinación de Et) como de la forma de la sección (para la transición entre los módulos). Para una sección rectangular se pude demostrar que el módulo reducido es:

Er =

(

4 EEt E + Et

)

2

Finalmente, se plantea que la carga crítica Pcr se obtiene usando este módulo Er:

Pcr =

π 2 ErI

(Le )2

y el esfuerzo axial sería:

π 2 Er σcr = (Le / ρ )2



Del mismo modo que en el caso de la teoría del módulo tangente, el valor de la carga crítica debe obtenerse por tanteos. Debe tenerse en cuenta que como E> Et, y Er>Et, la carga Pcr hallada con el módulo reducido Er será mayor a la carga hallada con el módulo tangente Et. Se critica que esta teoría adolece de una falla conceptual, en el sentido que para hallar el módulo reducido Er, se debe tener una reducción en los esfuerzos por el momento flector. Por lo tanto, la carga P aplicada a una columna recta nunca puede alcanzar la carga Pcr calculada con el módulo Er, puesto que para lograr tal carga, es preciso que ya exista flexión, lo cual es una contradicción.

Teoría de Shanley (1947) Mejora las teorías del módulo tangente y del módulo elástico, y presenta una curva de comportamiento verificada en ensayos experimentales.

Gere y Timoshenko finalmente recomiendan que con fines prácticos, se puede calcular conservadoramente la carga crítica de pandeo Pcr usando la teoría del módulo tangente, que es más simple de aplicar.

9-4 FÓRMULAS EMPÍRICAS DE DISEÑO 1.- Introducción La fórmula de Euler proporciona el marco teórico para resolver el problema del diseño de columnas con carga axial. En el caso de carga excéntrica, existe la fórmula de la secante. Sin embargo en la práctica ha sido necesario establecer fórmulas empíricas, que se basan en los conceptos teóricos analizados, y que además toman en cuenta los resultados que se obtienen en pruebas de laboratorio. 2.- Clasificación de Columnas Se sabe que para valores pequeños de la esbeltez, la falla de la columna se produce por aplastamiento ( σ = P / A ). Adicionalmente, los ensayos efectuados para diferentes materiales arrojan resultados diferentes a los teóricos (aplicación de la fórmula de Euler), cuando la esbeltez alcanza valores cercanos a los límites de aplicación de la citada fórmula.



Los resultados permiten establecer tres rangos de valores de la esbeltez (Le/r):

P A Valores intermedios (columnas intermedias) σ = ?

Valores muy pequeños (columnas cortas) σ =

π 2E Valores grandes (columnas largas) Euler: σ = (Li / ρ )2 Para las columnas intermedias se ha desarrollado una serie de fórmulas empíricas, que buscan establecer una correspondencia lo más cercana posible a los resultados de ensayos de laboratorio.

3.- Fórmulas Empíricas Genéricas Se trata de establecer una fórmula para el tramo AB (columnas cortas e intermedias). El punto A está definido por la resistencia del material a la compresión, mientras que el punto B es el límite de aplicación de la fórmula de Euler. Si se utiliza en las expresiones el esfuerzo de fluencia (sf) será necesario incluir un factor de seguridad; si se utiliza el esfuerzo admisible ( σ adm = ya se ha considerado dicho factor.

σf

F .S

)



a) Fórmula de la línea recta (Tetmajer) Establece dos tramos: · Tramo horizontal (columnas cortas): σ =

P A  Le   ρ 

· Tramo horizontal (columnas cortas): σ = σ adm − k L 

Los ensayos de Tetmajer y Bauschinger en varillas de acero con extremos articulados dan para la carga crítica la expresión:

L P = 330 − 1.45 e A ρ

  MPa 

Si en la fórmula anterior se utiliza un factor de seguridad de 3, se obtiene una ecuación para esfuerzos de trabajo que ha sido muy empleada en los reglamentos de construcción. Sin embargo, es tan conservadora que ha sido sustituida en la práctica del diseño por otras que se ven más adelante. b) Fórmula parabólica Define un solo tramo para columnas cortas e intermedias:

σ cr = σ adm

L − k L  e ρ

  

2

c) Fórmula de Gordon Rankine (1860) Supone que la deflexión máxima en una columna es dmáx = f L2 / c (siendo c= distancia desde el eje neutro a la fibra más esforzada, y f una constante que depende de las condiciones de apoyo en los extremos). En tales condiciones, es esfuerzo máximo viene dado por: 2 L  P Mc P (Pδ max )c P  σ= + = + = 1 + φ    A I A A  Aρ 2  ρ  

por lo que el esfuerzo promedio es:

P σ = A 1 + φ (L / ρ )2 En forma generalizada, las columnas intermedias y largas tienen que cumplir:

σ=

σ adm

1 + k R ( Le / ρ ) 2

Como ejemplo la expresión conocida como fórmula de Rankine –Gordon para el esfuerzo de trabajo P / A (es decir incluye un factor de seguridad) en MPa es :

Mecánica Estructural CAP.9 Pandeo de columnas P = A

124 1  Lc 1+  1800  ρ

  


válida para 60< Le / r < 120 (elementos principales) y

2

Le / r < 200 (elementos secundarios)

P = 103MPa válida para Le / < 60 A 4.- Fórmulas Empíricas para Diseño de Columnas con Carga Axial 4.1 (Diseño por esfuerzos admisibles) a) ACERO (fórmulas del American Institute of Steel Construction – AISC, 1989) El AISC ha optado por la fórmula parabólica para columnas cortas e intermedias (curva AB) y la de Euler para columnas largas (curva hiperbólica BE). Las formulas proporcionan el esfuerzo crítico σcr en la columna, obtenido de dividir la carga axial (centrada) entre el área de la sección transversal. Para efectos de diseño, se define un factor de seguridad (FS); el esfuerzo admisible, (σadm) se obtiene al dividir el esfuerzo crítico (σcr) entre FS. Tanto el esfuerzo crítico como el factor de seguridad son variables que dependen de la esbeltez de la columna (Le/ρ). El punto A (0, σcr) se une con B (CC, ½ σcr) mediante la parábola σ cr = σ 0 − k ( Le / ρ ) 2 Para Le / ρ = 0

σ cr = σ f

Para Le / ρ = CC

σ cr

⇒ σ0 =σ f = 1 / 2σ f ⇒ 1 / 2σ f = σ f − kCC2

k = σ f / 2CC2

pero también, en el punto B se cumple la fórmula de Euler: Para Le / ρ = CC

1 / 2σ f =

Entonces σ cr = σ f −

σf 2CC2

2E π 2E π 2E ⇒ CC = π = 2 2 σf (Le / ρ ) CC

( Le / ρ ) 2

Tramo AB :



σ cr = σ f 1 − 

Tramo BE

( Le / ρ ) 2   2CC2 

π 2E σ cr = (Le / ρ )2

para

Le / ρ ≤ CC

para CC ≤ Le / ρ ≤ 120 o 200

La esbeltez Le / ρ debe ser menor a 120 para elementos principales, y menor a 200 para elementos secundarios. El factor de seguridad se calcula con las siguientes expresiones:



5 3 ( Le / ρ ) 1  ( Le / ρ )  −  FS = +  3 8 CC 8  CC  FS =

3

23 = 1.92 12

Para Le / ρ = CC , FS =

para Le / ρ ≤ CC para CC ≤ Le / ρ ≤ 120 o 200

5 3 1 23 + − = 3 8 8 12

El esfuerzo admisible es: σ adm = σ cr / FS y la carga admisible Padm = σ adm A Se presenta el gráfico de un acero estructural A-36, de las siguientes características:

E = 2000000kg / cm 2

σ f = 2500kg / cm 2 CC = 125.66

La curva superior representa el esfuerzo crítico, y la curva inferior el esfuerzo admisible, obtenido dividiendo la curva superior entre el factor de seguridad.

b) ALUMINIO (Fórmulas de la Aluminium Association, 1986) La Asociación de Aluminio ha optado por el modelo de línea recta en dos de tres tramos, para columnas cortas, intermedias y largas. En las fórmulas se ha incorporado ya el factor de seguridad, por lo que proporcionan directamente el esfuerzo admisible (sadm). Dicho factor varía entre 1.65 y 2.20 según el tipo de aleación. Aleación 6061-T6: Esta aleación se puede usar para torres de transmisión eléctrica (ASCE, 1972). Este material puede ser una alternativa interesante con respecto al acero estructural A-36 por su menor peso y su mejor comportamiento ante los agentes atmosféricos. Tramo AB :

σ adm = 19ksi = 131MPa

Le / ρ ≤ 9.5

Tramo BC :

σ adm = [20.2 − 0.126( Le / ρ )]ksi

9.5 ≤ Le / ρ ≤ 66



σ adm = [139 − 0.868( Le / ρ )]MPa Tramo CD :

σ adm = 5100 /( Le / ρ ) 2 ksi σ adm = 351000 /( Le / ρ ) 2 MPa

Aleación 2014-T6: σ adm = 28ksi = 193MPa Tramo AB : Tramo BC :

Tramo CD :

Le / ρ ≥ 66

Le / ρ ≤ 12

σ adm = [30.7 − 0.230( Le / ρ )]ksi σ adm = [212 − 1.585( Le / ρ )]MPa

12 ≤ Le / ρ ≤ 55

σ adm = 5400 /( Le / ρ ) 2 ksi σ adm = 372000 /( Le / ρ ) 2 MPa

Le / ρ ≥ 55

c) MADERA (Norma NTE E.010 “Madera” SENCICO, 2006; antes Normas ININVI NTEE-101 “Agrupamiento de Maderas para uso Estructural” y NTE E-102 “Diseño yConstrucción con Madera”, 1994) Las maderas del Grupo Andino se estudiaron por un grupo de investigadores de estospaíses dando lugar al “Manual de Diseño para Maderas del Grupo Andino”, editado por la Junta del Acuerdo de Cartagena (1982). En base a dicho trabajo se elaboraron las Normas Peruanas E-101



y E-102 (publicadas en Junio de 1994). En el reciente Reglamento Nacional de Edificaciones, ambas se han integrado dentro de la Norma NTE E.010 “Madera” (Sencico 2006). Las maderas tropicales de los países andinos se agrupan en tres grupos de acuerdo a su resistencia, rigidez y densidad, como se indica en la Tabla 1.

TABLA 1 GRUPOS DE MADERAS Y SUS PROPIEDADES

Columnas de Sección Circular l = Le/d (d = diámetro) Cortas:

σadm = fc

Intermedias:

σ adm = f c [1 − 1 / 3(λ / C k ) 4 ]

λ<9

Largas: σ adm = 0.2467 E / λ2 Se puede demostrar que para una sección circular

9 ≤ λ ≤ Ck C k < λ < 43

E C k = 0.6084    fc  Si se emplean los valores de E y fc de la Tabla 1 para cada tipo de madera, se obtienen los valores de Ck de la Tabla 2. Ver el gráfico siguiente de esfuerzo vs. esbeltez.



Columnas de Sección Arbitraria.- En este caso se propone relaciones similares pero en función de la esbeltez definida como l = Le/r, donde r es el radio de giro de la sección transversal. En la Norma ININVI E-102 no se dan límites de esbeltez para las columnas cortas, intermedias o largas; para estas otras secciones; tan sólo se dice que el esfuerzo admisible en estos casos, con el factor de seguridad de 2.5 es:

σ adm

π 2E = 2.5λ2

A falta de ensayos propios, para las maderas tropicales se utilizan fórmulas basadas en las ecuaciones experimentales para columnas de maderas coníferas. MADERAS CONÍFERAS Las fórmulas vienen dadas por el National Forest Products Laboratory de Madison,Wisconsin, EE.UU, que también son empleadas por el American Institute of Timber Construction. Los valores de las esbelteces para definir si son cortas, intermedias y largas son diferentes, y se emplea un factor de seguridad de 2.74. Columnas de Sección Rectangular: λ = Le/d (d = menor dimensión de la sección) Cortas:

σadm = fc

λ < 11

Intermedias:

σ adm = f c [1 − 1 / 3(λ / K ) 4 ]

11 ≤ λ ≤ K

Largas:

σ adm = 0.3E / λ2

K < λ < 50

Siendo K = 0.671

E fc

Columnas de Sección Arbitraria: Cortas:

σadm = fc

Intermedias:

σ adm = f c [1 − 1 / 3(( Le / ρ ) / K ′) 4 ]

38 ≤ Le / ρ ≤ K ′

Largas:

σ adm = π 2 E / 2.74(Le / ρ )2

K ′ < Le / ρ < 173

donde ρ = radio de giro

Le/ρ < 11



E fc

K ′ = 2.324

4.2 Diseño por factores de carga y resistencia- acero AISC LRFD 1994 En este método el diseño se basa en la determinación de la carga para la cual el elemento deja de ser útil. Las cargas muertas (M) y vivas (V) tienen cada una sus factores de amplificación y la superposición de ambas debe ser menor a la carga última Pu reducida por un factor de resistencia que para compresión se denomina fc.

E fc

K ′ = 2.324

Pu = 1.2 Pm + 1.6 Pv ≤ φcPn La esbeltez Le/r se transforma a un parámetro de esbeltez lc:

λc =

Le

ρπ

σf E

Se dividen las columnas en dos grupos, similarmente al diseño por esfuerzos admisibles: Col.Cortas e intermedias : Carga nominal :

λc ≤ 1.5 Pn = Ag 0.658 λc 2 σ f

Col. Largas Carga nominal

λc >1.5 Pn = Ag 0.877 / λc 2 σ f

:

(

)

(

)

En cualquier caso, Ag es el área total. El factor de resistencia es fc = 0.85. Esto significa que la resistencia nominal de diseño es fc Pn , al que debe ser siempre mayor o igual a la carga límite Pu. La Norma Técnica peruana E.090 Estructuras Metálicas (SENCICO 2006) contiene ambo métodos: por esfuerzo admisible (ASD) y por estados límites (LRFD). 5. Fórmulas Empíricas para Diseño de Columnas con Carga Excéntrica Las ecuaciones empíricas de la sección anterior pueden modificarse y usarse cuando la carga P aplicada a la columna tiene una excentricidad e conocida. En estos casos, se puede considerar que sobre la columna actúan una carga axial P y un momento flector M = Pe. Los esfuerzos normales en la sección transversal se determinan con las fórmulas de la flexión compuesta:

P Mc ± A I P Mc σ= + A I

σ=

P Mc + ≤ σ adm A I

si se prescinde de los signos: si σ adm es el esfuerzo admisible: dividiendo entre σ adm

Mecánica Estructural CAP.9 Pandeo de columnas P/ A

σ adm

+

Mc / I

σ adm


≤1

Como el comportamiento de los elementos a carga axial y a flexión es diferente, en la inecuación anterior se puede introducir esfuerzos admisibles diferentes para estos dos tipos de comportamiento. Si se denomina: σ axial =

Mc P y σ flexion = A I

a los esfuerzos originados por las cargas externas, y: σ adm−axial y σ adm− flexion

σ axial

σ adm−axial

+

σ flexion σ adm− flexion

≤1

que se conoce como la fórmula de interacción. La expresión anterior toma en cuenta las distintas capacidades del elemento para resistir carga axial y flexión. Los principales códigos empleados para el diseño de elementos de acero, aluminio y madera establecen que en todos los casos, σadm-axial será determinado usando la mayor relación de esbeltez de la columna, sin importar el plano de flexión. En elementos sometidos a flexión y compresión combinadas, los momentos flectores se amplifican por acción de las cargas axiales. Por este motivo, en muchos códigos se requiere el uso de un factor de corrección en el segundo sumando, a fin de tener en cuenta los esfuerzos adicionales que resultan de la deflexión de la columna por flexión. En el caso de la madera, este efecto se incluye multiplicando el momento actuante por Km:

Km = 1 /(1 − 1.5( N / Ncr ))

siendo N cr = π 2 EI /( Le ) 2

La fórmula de interacción de la Norma ININVI E.102 o SENCICO E.010 queda como sigue:

N axial N adm− axial

+

KmM flexion Zσ adm− flexion

≤1

donde Z es el módulo elástico de sección respecto al eje alrededor del cual se produce la flexión. Si la flexión es biaxial, los efectos de los momentos en las dos direcciones, “x” e “y” se añaden, modificándose la fórmula de la siguiente manera:

σ axial

σ adm−axial

+

σ flexion _ x σ flexion _ y + ≤1 σ adm− flexion σ adm− flexion

Para el empleo de estas últimas fórmulas, se emplearán los siguientes valores como esfuerzos admisibles:



Comentario Final Las fórmulas presentadas para columnas de acero, aluminio y madera, si bien se aplican para el diseño de columnas reales, representan sólo una pequeña parte de todo el proceso de diseño. Además, los reglamentos especifican muchas limitaciones adicionales que no se describen aquí. Por lo tanto, para un diseño real se debe tener no sólo el criterio debido sino también un conocimiento profundo de las diferentes variables involucradas. Fuentes: Normas E-101 y E102 (ININVI 1984) Norma NTE E.010 Madera (SENCICO 2006) Norma NTE E.090 Estructuras Metálicas (SENCICO 2006) Mecánica de Materiales Beer and Johnston (2da edición) Mecánica de Materiales Beer and Johnston (3ra edición) Mecánica de Materiales Gere – Timoshenko Resistencia de Materiales Singer y Pytel

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