Pandeo de Columnas

FRACTURA Y MECANICA DE FRACTURA PANDEO DE COLUMNAS

Los diferentes elementos que conforman una estructura pueden fallar por diferentes motivos, dependiendo de los materiales utilizados, tipos de cargas, ligaduras y apoyos. Muchos de estos tipos de fallos se podrían evitar, dimensionando dichos elemento de tal forma, que las tensiones y deformaciones máximas que se produzcan permanezcan dentro de los límites admisibles y así se efectuaran los dimensionamientos a resistencia y rigidez. Pero existen otros tipos de fallos, como es el fallo por inestabilidad o pandeo , que puede tener lugar en el caso de elementos estructurales esbeltos sometidos a comprensión. En estos casos, el elemento puede aparecer una flexión lateral que puede llegar a ser grande y hacer fallar al elemento.

La aparición de dicha flexión lateral, su rápido crecimiento y la pérdida total de estabilidad del elemento y el consiguiente colapso de la estructura, constituyen el estudio del pandeo. En el presente trabajo se analizará el comportamiento de las columnas y se indicaran algunos de los métodos que se emplean para diseñarlas. El trabajo comienza con un estudio general del pandeo, seguido de una determinación de la carga axial necesaria para pandear una columna que se denomina ideal. Después se aborda un análisis más realista, que toma en cuenta cualquier flexión de la columna. Además, se presenta el pandeo inelástico de una columna como un tema especial. Al final del capítulo se analizaran algunos de los métodos usados para diseñar columnas cargadas de manera concéntrica y excéntrica, las cuales están fabricadas con materiales comunes de ingeniería.

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Los diferentes elementos que conforman una estructura pueden fallar por diferentes motivos, dependiendo de los materiales utilizados, tipos de cargas, ligaduras y apoyos. Muchos de estos tipos de fallos se podrían evitar, dimensionando dichos elemento de tal forma, que las tensiones y deformaciones máximas que se produzcan permanezcan dentro de los límites admisibles y así se efectuaran los dimensionamientos a resistencia y rigidez. Pero existen otros tipos de fallos, como es el fallo por inestabilidad o pandeo , que puede tener lugar en el caso de elementos estructurales esbeltos sometidos a comprensión. En estos casos, el elemento puede aparecer una flexión lateral que puede llegar a ser grande y hacer fallar al elemento.

La aparición de dicha flexión lateral, su rápido crecimiento y la pérdida total de estabilidad del elemento y el consiguiente colapso de la estructura, constituyen el estudio del pandeo. En el presente trabajo se analizará el comportamiento de las columnas y se indicaran algunos de los métodos que se emplean para diseñarlas. El trabajo comienza con un estudio general del pandeo, seguido de una determinación de la carga axial necesaria para pandear una columna que se denomina ideal. Después se aborda un análisis más realista, que toma en cuenta cualquier flexión de la columna. Además, se presenta el pandeo inelástico de una columna como un tema especial. Al final del capítulo se analizaran algunos de los métodos usados para diseñar columnas cargadas de manera concéntrica y excéntrica, las cuales están fabricadas con materiales comunes de ingeniería.

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CARGA CRÍTICA Cada vez que se diseña un elemento, es necesario que cumpla con requisitos específicos de resistencia, deflexión y estabilidad. En los capítulos anteriores se han analizado algunos de los métodos que se usan para determinar la resistencia y de la deflexión de un elemento, en los que siempre se supone que el elemento se encuentra en equilibrio estable. Sin embargo algunos elementos pueden estar sometidos a cargas de compresión y dichos elementos son largos y delgados, la carga puede ser lo suficientemente grande para hacer que el elemento experimente deflexión lateral o se ladee. En específico, los elementos largos y delgados que se someten a una fuerza de compresión axial se denominan c o l u m n a s , y la deflexión lateral que se produce produce se llama p a n d e o . Con mucha frecuencia, el pandeo de una columna puede llevar a una falla repentina y dramática de una estructura o mecanismo y, como resultado, debe prestarse atención especial al diseño de las columnas para que puedan soportar con seguridad las cargas previstas sin pandearse.

Fig.1: a) Carga ax axial b) Deflexión lateral



La carga axial máxima que puede soportar una columna cuando está al borde del pandeo se llama c a r g a c r i t i c a , , figura 1a .Cualquier carga adicional hará que la columna se pandee y, por lo tanto, sufra una deflexión lateral como se muestra en la figura 1b.Con el fin de comprender mejor la naturaleza de esta inestabilidad, considere un mecanismo de dos barras consistentes en barras rígidas sin peso que se conectan mediante un pasador, como se muestra en la figura 2.Cuando las barras están en posición vertical, el resorte,

2


con una rigidez K , se encuentra sin estirar y se aplica una pequeña fuerza vertical P en la parte superior de una de las barras. Esta posición de equilibrio puede alterarse al desplazar el pasador en A una pequeña distancia ∆ figura 2b. Como se demuestra en el diagrama de cuerpo libre del pasador cuando las barras se desplazan fig. 2c, el resorte producirá una fuerza de restauración F = K∆, mientras que la carga aplicada P desarrolla dos componentes horizontales, = , que tiende a empujar al pasador (y a las barras) más lejos del equilibrio. Como ѳ es pequeño, ∆≈ѳ (L/2) y tan ѳ≈ѳ. Así la fuerza de restauración del resorte se convierte en y la fuerza perturbadora es 2P = 2Pѳ.

   

Si la fuerza de restauración es mayor que la fuerza perturbadora, es decir, KѳL/2 entonces como ѳ se cancela, se puede despejar P , donde resulta:

 



2Pѳ

Equilibrio estable

Esta es una condición de equilibrio estable puesto que la fuerza desarrollada por el resorte es adecuada para restaurar las barras hasta su posición vertical. Sin embargo, si , o bien



 

Equilibrio inestable

Entonces el mecanismo se encuentra en equilibrio inestable. En otras palabras, si se aplica esta carga P y ocurre un ligero desplazamiento en A, el mecanismo tiende a moverse fuera del equilibrio y no se restaurara a su posición original.

Fig.2:

El valor intermedio de P , que requiere KLѳ/2=2Pѳ, es la carga critica aquí.

  

Equilibrio neutro

3






Esta carga representa un caso del mecanismo en equilibrio neutro. Como es independiente del (pequeño) desplazamiento de las barras, cualquier alteración ligera del mecanismo no causara que se aleje del equilibrio, ni se restaurara a su posición original. En cambio, las barras se mantendrán en la posición con deflexión.

Columna con extremos articulados sometida a compresión, al incrementar gradualmente la carga axial P, se alcanza una condición de equilibrio neutro en que la columna puede tener una forma flexionada; el valor correspondiente a la carga, es la carga critica Pcr . Con esta carga la columna puede sufrir pequeñas deflexiones laterales sin cambios en la fuerza axial; una pequeña carga lateral producirá una forma flexionada que no desaparece cuando se elimina la carga lateral. La carga critica puede mantener la columna en equilibrio ya sea en posición recta o en una posición un tanto flexionada. A valores mayores de la carga, la columna es inestable y puede fallar por pandeo; es decir por flexión excesiva. Para el caso ideal, la columna estará en equilibrio en posición recta, cuando la carga axial P sea mayor que la carga critica; sin embargo, la mínima perturbación ocasionara que la columna se flexione en sentido lateral. Una vez esto pasa, las deflexiones aumentan de inmediato y la columna falla por pandeo. En resumen: Si P < Pcr la columna esta en equilibrio estable en posición recta. Si P = Pcr la columna estará en equilibrio neutro en posición recta o ligeramente flexionada. Si P > Pcr la columna estará en equilibrio inestable en posición recta y se pandeara ante la más pequeña perturbación. Cargas axiales específicas o cargas críticas de pandeo correspondientes a todos los modos de deformación por pandeo:

Pcr =

2 2 EI 2

  

La menor carga crítica está asociada a n = 1, y corresponde al primer modo de deformación por pandeo:

Pcr =



2 EI 2 

A continuación se presenta un gráfico que describe la geometría de las deformaciones causadas por el pandeo de acuerdo con los tres primeros modos de deformación.

4


Fig. 3

Debe anotarse que, en el presente caso, la carga crítica de pandeo para el segundo modo de deformación es 4 veces mayor que la carga crítica de pandeo para el primer modo de deformación, y la carga crítica de pandeo para el tercer modo de deformación es 9 veces mayor que la carga crítica de pandeo para el primer modo de deformación. Es evidente que el primer modo de deformación controlará el pandeo de las columnas. El segundo modo de deformación tiene utilidad por su semejanza a las deformaciones producidas por estados de carga flexionantes frecuentes, que afectan a las columnas, lo que podría provocar una amortiguamiento temporal del primer modo de deformación en elementos estructurales reales (no ideales).Los restantes modos de deformación tienen una utilidad estrictamente académica, por lo que no son trascendentales para la práctica ingenieril. Para otros tipos de condiciones de borde (bordes empotrados, bordes libres, bordes elásticamente sustentados, etc.), la ecuación básica de Euler para el primer modo de deformación se ve modificada por un factor de forma de la elástica de deformación que afecta a la longitud de pandeo:

   P = cr

Donde k toma los siguientes valores para condiciones de borde bien definidas: 

Barras apoyadas - apoyadas k = 1.00



Barras empotradas en un extremo y libres en el otro k = 2.00



Barras empotradas en los dos extremos k = 0.50

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FRACTURA Y MECANICA DE FRACTURA PANDEO DE COLUMNAS 

Barras empotradas en un extremo y apoyadas en el otro k = 0.70

Teóricamente, una columna perfecta sometida a una compresión axial creciente, no debería presentar ninguna señal de deformación transversal hasta que la carga axial iguale a la carga crítica de pandeo correspondiente al primer modo, momento en el cual la estructura pierde estabilidad y se pueden producir deformaciones transversales de cualquier magnitud y en cualquier dirección, sin que el elemento sea capaz de recuperar su geometría original. Este comportamiento teórico puede ser descrito mediante el siguiente gráfico.

Fi .4

En una columna real es imposible evitar la presencia simultánea de cargas axiales y momentos flectores, por muy pequeños que sean estos últimos. Existen excentricidades y momentos flectores inducidos por las imperfecciones de los materiales constitutivos de los elementos estructurales; producidos además por las imperfecciones geométricas de las columnas durante el proceso constructivo; generados también por la incertidumbre acerca de la posición real de acción de las solicitaciones exteriores; y, desde luego, provocados por el tipo de solicitaciones que actúan sobre la estructura, por lo que, Desde el inicio del proceso de carga, las columnas reales adquieren deformaciones transversales pequeñas que se vuelven cada vez más importantes conforme la carga axial se aproxima a la carga crítica de pandeo. Una curva tipo que puede describir esquemáticamente la deformación transversal de una columna real, en la que existen deformaciones transversales inclusive sin la presencia de cargas axiales, es la siguiente:

Fi .5 6


La carga de Euler se obtuvo para una columna que está conectada mediante un pasador o que puede girar libremente en sus extremos. Sin embargo, es común que las columnas estén soportadas de alguna otra manera. Por ejemplo, considere el caso de una columna fija en su base y libre en la parte superior figura 6a. A medida que la columna se pandea la carga se desplaza δ y en x el desplazamiento es ν y a partir del diagrama del cuerpo libre mostrado en la 6b, el momento interno en la sección arbitraria es . En consecuencia la ecuación diferencial de la curva de deflexión es:

 



 +    



Fig. 6



 

 

















Esta ecuación es no homogénea debido al término distinto de cero en el lado derecho. La solución consta de una solución complementaria y una solución particular, a saber,

 1  +   + 



 

 







 







Las constantes se determina a partir de la condiciones de frontera. En x=0, modo que , por otra parte,  

 1      











7



















, de


En x=0, dv/dx=0, de modo que

1     

. Por lo tanto la curva de deflexión es













Como la deflexión en la parte superior de la columna es requiere

           En la solución trivial esto,



, es decir, en x=L,



, se



indica que no ocurre pandeo, sin importar la carga P. en vez de  

o bien

La menor carga critica se produce cuando n=1, de modo que



4

 





En comparación con la ecuación 13-5, se ve que una columna apoyada fijamente en su base y libre en su parte superior soportara solo un cuarto de la carga crítica que puede aplicarse a una columna soportada por pasadores en ambos extremos. Las columnas con otros tipos de soportes se analizan de manera similar.

LONGITUD EFECTIVA Como se mencionó antes la fórmula de Euler, se desarrolló para el caso de una columna que tiene extremos articulados o que giran libremente. En otras palabras, L en la ecuación representa la distancia sin soporte entre los puntos de momento cero. Esta formula puede usarse para determinar la carga critica en las columnas que tienen otros tipos de soporte siempre que “L” represente la distancia entre los puntos de momento cero. Esta distancia se denomina longitud efectiva de la columna Le. Como es obvio, para una columna con extremos articulados Le= L , figura 7a. Para la columna con un extremo fijo y otro libre se encontró que la curva de deflexión, es un medio de la curva para la columna conectada mediante pasadores y tiene una longitud de 2L, figura 7b. Por lo tanto, la longitud efectiva entre los puntos de momento cero es Le=2L. La columna con extremos fijos, figura 7d, tiene puntos de inflexión a puntos de momento cero a L/4 de cada soporte. Entonces, la longitud efectiva está representada por un medio de su longitud Le=0.5L.

8


Por último la columna con un extremo articulado y otro fijo, figura 7c, tiene un punto de inflexión aproximadamente 0.7L de su extremo articulado, por lo que Le=0.7L.

Fig. 7: Longitud efectiva de algunas columna

K=1

K=0.7

K=0.5

En vez de especificar la longitud efectiva de la columna, muchos códigos de diseño proporcionan fórmulas que emplean un coeficiente sin unidades K llamado factor de longitud efectiva. Este factor se define a partir de K=2

Le=

En la figura 7 se proporcionan valores específicos de K. por lo tanto, con base en esta generalización puede escribirse la fórmula de Euler como



        





 

O bien





 

Aquí es la relación de esbeltez efectiva de l columna. Por ejemplo, si la columna esta fija en su base y libre en su extremo, se tiene K=2.

Ejemplo: La columna de aluminio se encuentra fija en su parte inferior y arriostrada en su parte superior por medio de cables que tienen el propósito de evitar el movimiento en esa parte a lo largo del eje x. si se supone que esta fija en su base, determine la mayor carga P permisible que puede aplicarse. Use un factor de seguridad para el pandeo de F.S. = 3.0. Tome E Al = 70 GPa, y = 215 MPa, A = 7.5x10 -3 m2, Ix = 61.3x10 -6 m4, Ix = 23.2x10 -6 m4.



Solución:

9

Fig.8a


En las figuras 8b y 8c, se muestra el pandeo con respecto a los ejes x e y. si se usa la figura 8a, para el pandeo del eje x-x, K = 2 por lo que (KL) X= 2(5m)= 10m. Además, para el eje y-y K ´= 0.7, por lo que (KL) y=0. 7(5m)= 3.5m. Al aplicar la ecuación 13,11, se obtienen las cargas criticas para cada caso

    2 2  2[ 1 12](612  1 ) 2  44     2  2[12](2 1)    

 











 







Fig.8b

Por comparación a medida que P se incrementa la columna se pandea en torno al eje x-x, por lo tanto, la carga permisible es

    44 4      12  

Dado que

Es posible aplicar la ecuación de Euler.

Fig.8c

10


La fórmula de la Euler se obtuvo al suponer que la carga P se aplicaba siempre a través del centroide del área transversal de la columna y que la columna es perfectamente recta. En realidad esto es muy poco realista, ya que las columnas fabricadas nunca son perfectamente rectas, ni la aplicación de la carga se pandean subitamente, sino que empiezan a doblarse en forma ligera inmediatamente después de la aplicación de la carga. En consecuencia, el criterio real para la aplicación de cargas debería estar limitado a una deflexión de la columna especificada o a no admitir que el esfuerzo máximo en la columna exceda el esfuerzo permisible. Para estudiar este efecto, se aplicara la carga P a la columna en una distancia excéntrica corta e desde su centroide, esta carga sobre la columna es estáticamente equivalente a la carga axial P y al momento flexionante M´=Pe que se indica en la figura 9b. Como se muestra en ambos casos, como los extremos A y B están soportados de modo que pueden girar con libertad (soporte de pasador). Al igual que antes, solo se consideraran pendientes y deflexiones pequeñas y con un comportamiento elástico lineal del material. Además, el plano x-v es un plano de simetría para el área de la sección transversal. A partir del diagrama de cuerpo libre de la sección arbitraria, figura 9c, en el momento interno en la columna es

+   +

Por lo tanto, la ecuación diferencial de la curva de deflexión es:

Fig.9a

Fig.9b

O bien:

11

Fig.9c


 +     Esta ecuación es similar a la ecuación 13-7 y tiene una solución general que consiste en las soluciones complementarias y particulares, a saber,

  +    Para evaluar las constantes se deben aplicar las condiciones de frontera. En x=0, v=0, por lo que C 2=e. Y en x=L, v=0, lo que resuta en

]   [

1-cos (√P/El/L)=2 sen2 sen(√P/El/L/2)cos(√P/El/L/2) se tiene Como

((√P/El/L/2)

y

sen

(√P/El/L)=

2

    Por lo tanto la curva de deflexión, puede describirse como

*    +   DEFLEXION MAXIMA Debido a la simetría de la carga, tanto la deflexión máxima como el esfuerzo máximo se producen en el punto medio de la columna. Por lo tanto cuando x=L/2, v=v max por lo que:

 *   Tenga en cuenta que si e se aproxima a cero, entonces v max también tiende a cero. Sin embargo, si los términos entre paréntesis tienden al infinito cuando e se aproxima a cero, entonces vmax tendrá un valor distinto e cero. Matemáticamente, esto representaría el comportamiento de una columna cargada axialmente al momento de fallar cuando está sometida a carga critica Pcr por lo tanto para encontrar P cr se requiere

       

   12


Que es el mimo resultado que se encontró en la fórmula de Euler Si la carga P contra la deflexión v max para diferentes valores de excentricidad e, resulta la familia de curvas en color gris que se muestra en la figura 10.

Fig.10

Aquí la carga critica se convierte en una asíntota a las curvas, y por supuesto representa el caso no realista de una columna ideal (e=0). Como se dijo anteriormente, e nunca es cero debido a las imperfecciones en la rectitud inicial de la columna y la aplicación de la carga; sin embargo, cuando e tiende a 0 las curvas tienden a acercarse al caso ideal. Además, estas curvas son apropiadas solo para deflexiones pequeñas, ya que la curvatura se aproximó mediante d2v/dx2. Si se hubiera realizado mediante un análisis más exacto, todas estas curvas tenderían a girar hacia arriba, intersecando y después elevándose por encima de la línea P=Pcr . Por supuesto, esto indica que se requiere una mayor carga P para crear grandes deflexiones de la columna. Sin embargo, aquí no se ha considerado este análisis puesto que el diseño de ingeniería suele restringir la deflexión de las columnas a valores pequeños. También debe señalarse que las curvas de color gris en la figura 10 solo son aplicables cuando el material se comporta de forma elástico lineal. Este es el caso cuando la columna es larga y esbelta. Sin embargo, si se considera una columna gruesa de longitud corta o intermedia, el incremento de la carga aplicada puede causar que el material ceda y que la columna comience a comportarse de una manera inelástica. Esto ocurre en el punto A de la curva en color negro en la figura 10. Cuando la carga incrementa aún más, la curva nunca alcanza la carga critica sino que llega a un valor máximo en B. Después, se produce una disminución súbita de la capacidad de carga mientras la columna sigue cediendo y doblándose en mayor medida. Por último, las curvas en gris de la figura 10 también ilustran que se produce una relación no lineal entre la carga P y la deflexión v. En consecuencia, el principio e superposición

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no puede usarse para determinar la deflexión total de una columna causada por la aplicación de cargas sucesivas a la columna. En cambio, primero deben sumarse las cargas para poder determinar la deflexión correspondiente con base en su resultante. La razón física por la que las cargas y deflexiones sucesivas no pueden superimponerse es que el momento interno de la columna depende tanto de la carga P como de la deflexión v, es decir, M=-p(e+v).

La fórmula de la secante El esfuerzo máximo en la columna puede determinarse al observar que es causado tanto por la carga axial como por el momento, figura 13-15. El momento máximo se produce en el punto medio de la columna, y mediante las ecuaciones se determina que tiene una magnitud de:

|+|    Como se muestra en la figura 11 el esfuerzo máximo en la columna es de compresión, y tiene un valor de

   +  

   +    

Fig.11

2

Como el radio de giro se define como r =I/A, la ecuación anterior puede escribirse en una forma llamada la fórmula de la secante:

   *+    

Aquí:

ζmax=esfuerzo elástico máximo en la columna, que ocurre en el lado interior cóncavo en el punto medio de la columna. Este esfuerzo es de compresión P= carga vertical aplicada a la columna P



e= excentricidad de la carga P, medida desde el eje centroidal de la sección transversal donde ocurre el esfuerzo máximo de compresión



c= distancia desde el eje centroidal hasta la fibra exterior de la columna donde ocurre el esfuerzo máximo de compresión A= área de la sección transversal de la columna

Fig.12

L= longitud no soportada de la columna en el plano de flexión. Para soportes distintos a los pasadores, debe usarse la longitud efectiva Le=KL. E= módulo de elasticidad del material

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r= radio de giro r= √I/A, donde se calcula I respecto al eje de flexión o centroidal Al igual que la ecuación 13-16, la ecuación 13-19 indica que existe una relación no lineal entre la carga y el esfuerzo. Por consiguiente, el principio de superposición no es aplicable y las cargas deben sumarse antes de determinar el esfuerzo. Ademas, debido a esta relación no lineal, cualquier factor de seguridad utilizando para fines de diseño se aplicara a la carga y no al esfuerzo.



Para un valor dado de se pueden trazar las graficas de la ecuación 13-19 como la relación de esbeltez KL/r contra el esfuerzo promedio P/A para distintos valores de la reacion de excentricidad ec/r 2. En la figura 13-16 se muestra un conjunto especifico de graficas para un acerp A-36 de grado estructural con un punto de cedencia = y=36 ksi y un modulo de elaticidad de 3 Eac=29(10 )ksi. Observe qe cuando e tiende a 0, cuando ec/r 2 tiene a 0 la ecuación 13-19 da = P/A, donde P es la carga critica en la columna, definida por la formula de Euler. Esto da como resultado la ecuación 13-6 que se grafico en la figura 13-7 y se repitió en la figura 13-16.Como las ecuaciones 13-16 y 13-19 solo son validas para cargas elásticas, los esfuerzos mostrados en la figura 13-16 no pueden exceder a y =36 ksi representado aquí por la línea horizontal.

 





Las curvas de la figura 13-16 indican que las diferencias en la relación de excentricidad tienen un gran efecto sobre la capacidad de carga de las columnas que tienen relaciones de esbeltez pequeñas. Sin embargo, las columnas que tienen relaciones de esbeltez granes tuenden a fallar en o cerca de la carga critica de Euler sin importar sin importar la relación de excentricidad. Por lo tanto, cuando se usa la ecuación 13-19 con propósitos de diseño, es importante tener valor con cierta exactitud para la relación de excentricidad en columnas de menos longitud.

Diseño. Una vez que se ha determinado la relación de excentricidad, los datos de la

 

columna pueden sustituirse en la ecuación 13-19. Si se elige un valor de = y entonces pueden determinarse la carga correspondiente P y mediante un procedimiento de prueba y error, ya que la ecuación es trascendental y no puede resolverse de manera explícita para P y. Como una ayuda al diseño, también puede usarse software de computadora o graficas como las de la figura 13-16, con el fin de determinar P y en forma directa.



Tenga en cuenta que P y es la carga que hará que la columna desarrolle un esfuerzo máximo de compresión y en sus fibras internas cóncavas. Debido a la aplicación excéntrica de P y , esta carga siempre será menos que la carga critica P cr que se determina a partir de la fórmula de Euler. Esta supone (de manera realista) que la columna está cargada axialmente. Una vez que se obtiene P y puede aplicarse un factor de seguridad adecuado a fin de especificar la carga de seguridad para la columna.

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EJEMPLO: La columna W8x40 de acero A36 que se muestra en la figura 13-17ª esta fija en su base y arriostrada en la parte superior de modo que se encuentre fija respecto al desplazamiento, pero libre de girar alrededor del eje y-y. También, puede ladearse en el plano y-z. Determine la carga excéntrica máxima que puede soportar la columna antes de que comience a pandearse o de que el acero ceda.

Solucion: A partir de las condiciones de soporte se observa que, respecto al eje y-y, la columna se comporta como si estuviera articulada en su parte superior, fija en su parte inferior y sometida a una carga axial P, figura 13-17b. Respecto al eje x-x, la columna esta libre en la parte superior, fija en la parte inferior y se somete tanto a una carga axial P como a un momento M=P (9 pulg), figura 1317c

Pandeo del eje y-y. A partir de la figura 13-10 el factor de longitud efectiva es Ky=0.7, por lo que (KL) y=0.7(12) pies= 8.40 pies= 100.8 pulg. Si se usa la tabla del apéndice B, es posible determinar I y para la selección W9x40 y al aplicar la ecuación 13-11 se tiene:

  2  2((11) )(12)   Cedencia del eje x-x: A partir de la figura 13-10 K x=2, por lo que (KL)=2(12)pies=24 pies=288 pulg. Si se usa de nuevo la tabla del apéndice B para determinar A=11.7 pulg 2, c=8.25 pulg/2=4.125 pulg y r x=3.53 pulg, y al aplicar la fórmula de la secante se tiene:

   *+ 2    4[+ √ ]

Sustituyendo los datos y simplificando se obtiene

Si se obtiene P x por prueba y error, y se toma en cuenta que el argumento de la secante esta en radianes resulta: Px= 88.4 kip Como este valor es menor que (P cr )= 1828 kip, se producirá una falla respecto al eje x-x

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En la práctica de la ingeniería, las columnas suelen clasificare de acuerdo al tipo de esfuerzos desarrollados dentro de la columna en el momento de la falla. Las columnas largas y delgadas se vuelven inestables cuando el esfuerzo de compresión se mantiene elástica. La columnas intermedias fallan debido a la inestabilidad inelástica, es decir, que el esfuerzo compresivo en la falla es mayor que el límite proporcional del material. Y las columnas cortas, que a veces se denominan postes, no se vuelven inestables sino que el material simplemente cede o se fractura. La aplicación de la ecuación de Euler requiere que el esfuerzo en la columna se mantenga por debajo del punto de Cedencia del material (en realidad del límite proporcional) cuando la columna se pandea por lo que esta ecuación solo es aplicable en columnas largas. Sin embargo, en la práctica la mayoría de las columnas se seleccionan con longitudes intermedias. El comportamiento de estas columnas puede estudiarse mediante la modificación de la ecuación de Euler para que pueda aplicarse en el pandeo inelástico. Para mostrar cómo puede hacerse esto considere que el material tiene un diagrama de esfuerzo-deformación, como el mostrado en la figura 13-18a. Aquí, el limite proporciona l es ζp y el módulo de elasticidad o pendiente de la recta AB es E Si la columna tiene una relación de esbeltez menor a (KL/r) entonces el esfuerzo critico en la columna debe ser mayor que ζ p . Por ejemplo, ponga que una columna tiene una relación de esbeltez (KL/r) 1<(KL/r)v con el esfuerzo critico correspondiente ζ d< ζp necesario para causar inestabilidad. Cuando la columna esta a punto de pandearse, el cambio en el esfuerzo y la deformación que se produce en la columna esta dentro del

rango pequeño Δζ y Δε de modo que el modulo de elasticidad o rigidez del material puede tomarse como el modulo de la tangente E= Δζ/ Δε definido como la pendiente del diagrama ζ-ε en el punto D, figura 13 -18a. En otras palabras, en el momento de la falla, la columna se comporta como si estuviera hecha de un material que tiene una menor rigidez que cuando se comporta elásticamente E 1
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Por lo tanto, a medida que la relación de esbeltez KL/r) disminuye, el esfuerzo critico para una columna sigue aumentando y a partir del diagrama ζ -ε, el modulo de la tangente para el material disminuye. Si se emplea esta idea, es posible modificar la ecuación de Euler para incluir estos casos de pandeo inelástico al sustituir E por el modulo de la tangente del material E1 de modo que:

   Esto se denomina el módulo de la tangente o ecuación de Engesser, propuesta por Engesser en 1889. En la figura 13-18b se muestra una gráfica de esta ecuación para columnas de longitud corta e intermedia, fabricada con un material definido por el diagrama ζ-ε de la figura 13 -18ª Ninguna columna real puede considerase perfectamente recta o perfectamente cargada a lo largo de su eje centroidal, como se supone aquí, por lo que en realidad resulta muy difícil desarrollar una expresión que proporcione un análisis completo de este fenómeno. En consecuencia, se han considerado otros métodos para describir el pandeo inelástico de las columnas. Uno de estos métodos fue desarrollado por el ingeniero aeronáutico F.R. Shanley y se llama la teoría de Shanley para el pandeo inelástico. A pesar de que proporciona una mejor descripción del fenómeno que la teoría del modulo de la tangente, como se explica aquí, las pruebas experimentales de un gran numero de columnas, cada una de las cuales se aproxima a la columna ideal, han demostrado que la ecuación 13-20 es razonablemente precisa en la predicción del esfuerzo critico en una columna. Además el enfoque del modulo de tangente para modelar el comportamiento de una columna es relativamente fácil de aplicar.

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Ejemplo: Una barra solida tiene un diámetro de 30 mm y una longitud de 600 mm. Está fabricada de un material que puede modelarse mediante el diagrama de esfuerzo-deformacion de la figura 13-19. Si se usa como una columna soportada por pasadores, determine la carga critica.

Solucion: El radio de giro es

      16      22 4  11    4 

Y por lo tanto la relación de esbeltez es:

Al aplicar la ecuación 13-20 se tiene:

(1)

En primer lugar, se supondrá que el esfuerzo crítico es elástico. A partir de la figura 13-19

Por lo tanto, la ecuación 1 se convierte en

Como

  >

= 150 MPa, se produce paneo inelástico

A partir del segundo segmento de línea del diagrama ζ -ε, figura 13 -19, se tiene:

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    1 1    4()

Al aplicarla ecuación 1, resulta:

Como este valor se encuentra dentro de los limites de 150 Mpa y 270 Mpa, es de hecho el esfuerzo critico Por lo tanto la carga critica sobre la barra es:

   6  

La teoría presentada hasta el momento es aplicada a las columnas que son perfectamente rectas, están fabricadas de un material homogéneo y en un principio están libres de esfuerzo. Sin embargo hablando en forma práctica, como se indicó anteriormente, las columnas no son perfectamente rectas y la mayoría contienen esfuerzos residuales principalmente debido al enfriamiento no uniforme durante la fabricación .además, los soportes de las columnas son menos que exactos y los pu7ntos de aplicación y las de compensar estos efectos, que en realidad varían de una columna a otra, muchos códigos de diseño especifican el uso de fórmulas empíricas. Mediante la realización de pruebas experimentales en un gran número de columnas cargadas axialmente, es posible graficar los resultados y desarrollar una fórmula de diseño al ajustar la curva a la media de los datos.

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En la figura 13-20 se muestra un ejemplo de estas pruebas para columnas de acero en I de ala ancha. Observe la similitud entre estos resultados y los de la familia de curvas determinadas a partir de la fórmula de la secante. La razón de estas semejanza tiene que ver con la influencia de una relación de excentricidad

“accidental “sobre la resistencia de la columna.com se estableció en las columnas

 

con longitud intermedia y corta que sobre las columnas largas. Las pruebas han indicado que c/ puede variar de 0.1 a 0.6 para la mayoría de las columnas cargadas axialmente.

Con el fin de explicar el comportamiento de columnas con diferentes longitudes, los códigos de diseño suelen especificar varias fórmulas que se adecuan de la mejor manera a los datos dentro del rango de columnas cortas, intermedias y largas. Por consiguiente, cada formula se aplica solo para un rango especifico de relaciones de esbeltez, por lo que es importante que el ingeniero observe con cuidado los limites /r para los cuales es válida una formula particular. A continuación se analizaran algunos ejemplos de formulase diseño para columnas de acero, aluminio y madera que se usan en la actualidad. El objeto es tener una idea de cómo se diseñan las columnas en la práctica. Sin embargo, estas fórmulas no deben utilizarse para el diseño de columnas reales, a menos que se consulte el código al que se hace referencia.



Columnas de acero. Las columnas de acero estructural pueden diseñarse con base en las formulas propuestas por el Structural Stability Research Council (SSRC).los factores de seguridad se aplican a estas fórmulas y se adoptan como especificaciones para la construcción (AISC).básicamente, estas especificacio9nes proporcionan dos fórmulas para el diseño de la columna, cada una proporciona el esfuerzo máximo permisible en la columna para un rango especifico de las relaciones de esbeltez.

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1   

Para las columnas largas de esta fórmula requiere un factor de seguridad

=

 

F.S

/

Como se indicó, esta ecuación es aplicable para una relación de esbeltez, limitada por 200 y un valor especifico de se obtiene requiriendo que la fórmula de Euler se aplique solo para un comportamiento elástico de material. A trave3z de experi8mentos se ha determinado Que puede existir esfuerzos residuales de compresión en perfiles de acero laminado que pueden ser de hasta la mitad de esfuerzo de cedencia.en consecuencia si el esfuerzo en la fórmula de Euler es superior a

1

y ,la ecuación no aplica .por el tanto, el valor de



se determina de la manera siguiente:

Las columnas que tienen relaciones de esbeltez menores a en formula empírica que ves parabólica y tiene la forma

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se diseñan con base


Como el uso de estas fórmulas para columnas largas implica una incertidumbre mayor, esta se divide entre un factor de seguridad que se define de la siguiente manera:

Aquí se ve que F.S =

    

=0 y aumenta a F.S =

consiguiente, para fines de diseño,

1   

…por

Las ecuaciones 13-21 y 13-23 se grafican en la figura 13-21.cuando se aplica cualquiera de estas ecuaciones,en los cálculos pueden usarse unidades PLS o SI.

Columnas de aluminio. El diseño de una colu mna de aluminio estructural está especificado por la Aluminun Assciation mediante tres ecuaciones, cada una aplicable a un rango especifico de relaciones de esbeltez. Como existen varios tipos de aleación de aluminio, hay un conjunto único de fórmulas para cada tipo. Para una aleación común (2014-T6) usada en la construcción de edificios, las formulas son:

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Estas ecuaciones se grafican en la figura 13-22.como se muestra, las dos primeras representantes líneas y se utilizan para modelar los defectos de las columnas en los rangos corto e intermedio .la tercera formula tiene la misma forma que la formula de Euler y se utiliza para columnas largas.

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Columnas de madera. Las columnas usadas en la construcción en madera se han diseñado

con base en las formulas públicas por la National Forest Products Assciation (NFPA) o el American Institute of Timber Construction (AITC).por ejemplo, las formulas de la NFPÁ para el esfuerzo permisible en las columnas cortas, intermedias y largas que tienen una sección rectangular de dimensiones b y d,donde d es la dimensión más pequeña de la sección transversal ,son:



Aquí la madera tiene un módulo de elasticidad de E W =1.8 (

) Ksi y un esfuerzo permisible

de compresión de 1.2 Ksi paralelo a la fibra. En particular, la ecuación 13-29 es simplemente la ecuación de Euler con un factor de seguridad de 3.estas tres ecuaciones se grafican en la figura 1323. Problema:

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En ocasiones puede ser necesario que una columna soporte una carga que actúa en su borde o sobre una ménsula de ángulo unida en uno de sus lados, como se muestra en la figura13-28a. El momento flexionante causado por la carga excéntrica, debe tomarse en cuenta al momento de diseñar la columna. En la práctica de la ingeniería, hay varias maneras aceptables de hacer esto. Se analizaran dos de los métodos más comunes.

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Uso de las fórmulas de columna disponibles. La distribución del esfuerzo que actúa sobre la

sección transversal de la columna, y que se muestra en la figura, se determina con base en una superposición de la fuerza axial p. y el momento flexionante M=Pe. En particular, el esfuerzo de comprensión máximo es

(13-30)

En la figura 13-28b se muestra un perfil de esfuerzo típico. Si se supone de manera conservadora que toda la sección transversal está sujeta al esfuerzo uniforme determinado a partir de la ecuación 13-30, entonces es posible comparar con , que se determina usando las formulas dadas en la sección 13.6.El cálculo de suele realizarse empleando la mayor relación de esbeltez de la columna, sin importar el eje sobre el cual la columna experimenta la flexión. Por lo general, este requisito se especifica en los códigos de diseños y, en la mayoría de los casos, conduce a un diseño conservador. Si

Entonces la columna puede soportar la carga especificada. Si esta desigualdad no se cumple, entonces debe aume3ntarse el área A de la columna y es necesario calcular nuevos valores para . la aplicación de este método de diseño es bastante sencilla y funciona bien para las columnas de longitud corta o intermedia. Formula de interacción. Al diseñar una columna cargada excéntricamente resulta conveniente

observar cómo interactúan la flexión y las cargas axiales, de modo que pueda lograrse el equilibrio entre estos dos efectos. Para ello, se consideran por separados las contribuciones hechas al área total de la columna por la fuerza axial y el momento. Si el esfuerza permisible para la carga axial es . , entonces el área requerida para que la columna pueda soportar la carga p es

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Del mismo modo, si el esfuerzo flexionante permisible es , como =Ar2, el área requerida para que la columna pueda soportar el momento excéntrico se determina a partir de la fórmula de la flexión, es decir,

El área total A necesaria para que la columna pueda resistir tanto la carga axial como el momento exige que

O bien

Aquí = esfuerzo axial causado por la fuerza P que se determina a partir de a=P/A, donde A es el área de la sección transversal de la columna. a

=esfuerzo flexionante causado por la aplicación de una carga excéntrica o un momento M; a se encuentra a partir de a=Mc/I, donde I es el momento de inercia del área transversal calculado respecto al eje de flexión o eje centroidal. b

(a) perm= esfuerzo axial permisible según lo definen las formulas dadas en la sección 13.6 u otras especificaciones en los códigos de diseño. Para este propósito, use siempre la mayor relación de esbeltez de la columna, sin importar el eje sobre el cual experimenta la flexión (b) perm= esfuerzo flexionante permisible según lo definen las especificaciones de código Tenga en cuenta que, si la columna está sometida solo a una carga axial, entonces la relación flexión esfuerzo de la ecuación 13-31 sería igual a cero y el diseño se basaría solo en el esfuerzo axial permisible. Del mismo modo, cuando no hay carga axial presente, la relación carga axial esfuerzo es cero y el requisito de esfuerzo se basa en el esfuerzo flexionante permisible.

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Pandeo de Columnas

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