PANDEO EN COLUMNAS En la determinación de la resistencia de una estructura a soportar cargas, interesa su estabi estabilid lidad ad estruc estructur tural; al; es decir, decir, su capaci capacidad dad para para sopor soportarl tarlas as sin experi experimen mentar tar un cambi cambio o en su conf config igur urac ació ión, n, que que prod produz uzca ca falla fallass cata catast stró rófi fica cass o defo deform rmac acio ione ness permanentes. Los elementos cargados en compresión, por originar ésta una condición de equilibrio inestable, pueden fallar o colapsar por una flexión bajo compresión antes que se alcance la carga de fluencia. Este colapso se denomina pandeo y su estudio se basará en elementos prismáticos verticales denominados columnas. columnas. Existen también otros tipos de pandeo como como el pandeo local, lateral lateral u otros. En resumen resumen el pandeo es un colapso producido por la inestabilidad elástica de la columna, sujeta a estados de esfuerzos en compresión.
ECUACIÓN DE EULER PARA COLUMNAS ARTICULADAS(COLUMNA DE EULER) Se trata de encontrar la carga crítica a la cual se produce el colapso de la columna (inestabilidad elástica), en tal caso se producirá una una deformación de la columna como la de la figura.
P
P A
y
x l
Mf
P y
B
Considerando la columna bajo una carga axial P, y designando por y la deflexión experimentada desde el punto A y tomando el eje x vertical y dirigido hacia abajo se establece el siguiente análisis a partir del diagrama de cuerpo libre:
d 2 y
Se recordará que:
dx
2
d 2 y
sea;
dx
2
=
M f
=
E ⋅ I Θ +
P ⋅ y
− P ⋅ y
E ⋅ I Θ =0
E ⋅ I Θ
Que es una ecuación diferencial ordinaria , lineal, homogénea de segundo orden, con coeficientes constantes. 2 Haciendo p
P
=
E ⋅ I Θ
d 2 y
Resulta
dx
2
+ p
2
y
=0
Para esta ecuación diferencial se tiene una solución del tipo:
y
=
A ⋅ sen ( px ) + B cos ( px )
Donde A y B son constantes que dependen de las condiciones de borde, que, para nuestro caso son: i) X=0 ii) X=L
⇒
y=0, con lo cual B=0
⇒
y=0, con lo cual A sen (px) =0.
La primera es la solución trivial
⇒ A=0 lo que implica que y=0 (columna recta) ⇒ pl = nπ
La segunda solución es sen (pl) =0
.
Sabiendo que p2 = P/EI, obtenemos: P crít =
nπ 2 EI θ L2
Esta es la “Ecuación de Euler”, en honor al matemático Leonhard Euler (1707-1783).
De otra forma:
Pcrít =
2
π EI θ 2
L n
Para nuestro caso con n=1 (columna rotulada-rotulada)
Y la solución para la deflexión es: y
=
A sen
x
π
L
Debe notarse que ymáx=A para x=L/2, ya que la solución o la EDO es una aproximación linealizada de la ecuación diferencial real para la curva elástica.
Para el caso de columna con sección circular o cuadrada, el momento de inercia Iθ
de la sección transversal es el mismo respecto a cualquier eje centroidal y la
columna se curvará en un lado u otro lado dependiendo de las condiciones de borde. Para otras secciones la carga crítica debe calcularse haciendo Iθ = Iθ
.
mín
Si el valor del esfuerzo correspondiente a la carga crítica es el esfuerzo crítico
σ
crít
y haciendo
entonces:
I=Ak 2; en donde A es la sección transversal y k es el radio de Inercia,
σ
= Pcrít /A
crít
=π
2
E k 2 / L2
de donde:
σ crít
Se define L/k como la relación de
=
π
2
E 2
L k
esbeltez característica de la columna, designada
por la letra griega λ . Obtendremos ahora la esbeltez crítica, es decir, el valor de
λ
mínimo para el cual
comienza a regir la ecuación “Ecuación de Euler” . Si analizamos el diagrama de Esfuerzo-Deformación
-σ
σ
fl
σ p
-ε El ezfuerzo Proporcional es el límite donde en la realidad se mantiene constante el Módulo de Elasticidad ( rige exactamente la ley de Hooke), recordemos que la resistencia a la fluencia se adopta por convención a un 0,2% de la deformación total. El valor aproximado para el esfuerzo proporcional es
Si reemplazamos
σ p
≈
σ p en la ecuación de Euler obtendremos:
0,5 σ fl.
λ crít = π
2 E σ fl
EXTENSIÓN DE LA FÓRMULA DE EULER A COLUMNAS CON OTRAS CONDICIONES EXTREMO. El análisis de la columna de Euler se efectuó para condiciones de borde tal que en X=0 ⇒ y=0 ; X=L
⇒ y=0. Que corresponden a una columna rotulada-rotulada; en tal
caso.
L= Le (Longitud de Euler característica) De modo que: σ crít =
luego
λ
=
Le/k
π
2
E
( λ )
2
El análisis se remitirá a establecer la forma en que se pandeará la columna y visualizar donde se forma la columna de Euler. A continuación se muestran algunos casos con diferentes condiciones de borde.
Insertar figura
CLASIFICACIÓN DE LAS COLUMNAS. En general podemos clasificarlas en columnas esbeltas o largas en donde, columnas cortas en donde
λ
como función de
λ
veremos:
λ
>
λ
Note que para
<
λ
λ >λ
crít, y
crít. Si a partir de la ecuación de Euler graficamos
σ
crít (Columna Esbelta), la columna se pandeará elásticamente, en
tal caso:
σ crít =
Ahora si
λ
<
λ
π
2
E
( λ )
2
crít (Columna Corta), La columna se pandeará anhelasticamente, en tal
caso el esfuerzo crítico está representado por un arco parabólico de la forma:
σ crít
= σ fl −
cλ 2
un valor bastante utilizado para la constante c es:
c=
σ fl
(2Π ) 2 E l
quedando el esfuerzo crítico definido como
σ crit
= σ fl (1 −
σ fl
E
(
λ
)2 ) 2Π
Finalmente el factor de seguridad quedará definido como:
FS =
σ CRIT σ TRAB
Ejercicio: Para el Esquema de la figura se pide determinar Qmáx que es capaz de soportar la viga de acero A37/24 si se quiere un FS=2
L
Datos:
γ
= 7,85 gr/dcm 3
L
= 8000 mm
Para el esquema
DCL
De la geometría de la viga: A0 =
20 x 20 – 19 x 16
= 96 cm 2
q = A0 x γ
= 0,7536 kgf/cm 2
1000
Ιθ
x
20 x 203 – 19 x 16 3
=
= 6848 cm 4
12 Wθ x =
Ιθ
y
Ιθ
x
= 684,8 cm3
/10
= 2 x 2 x 20 3 + 16 x 1 3
= 2668 cm 4
12 Wθ y =Ι θ k x = ( Ι θ
x
k y = ( Ι θ
y
Lex = Ley
= 266,8 cm3
/10
y
/ A0 )1/2
= 8,446
/ A0 )1/2
= 5,272
⇒ Le
=L
= 800 cm
Luego:
λ
c
= Π (2E/σ fl)1/2
λ
x
= Lex/ k x
=800/8,446
= 94,72 <
λ c ⇒ Columna Corta
λ
y
= Ley/ k y
=800/5,272
= 151,7 >
λ c ⇒ Columna Esbelta
= 131,4
para x ( pandeo anelástico ):
σ
cx
=σ
fl
( 1 - σ fl/E (λ /2Π )2)= 1776,7 kgf/cm 2
para y ( pandeo elástico):
σ
cy
= Π 2E/λ
= Π 2 x 2,1 x 10 6/151,72= 900,6 kgf/cm 2
2
luego se pandeará en y para lo cual
σ
= 900,6 kgf/cm2
c
del diagrama de cuerpo libre i)∑ fx = 0 ⇒ Ox – T cos 30º = 0
⇒ Ox = Tcos 30º
ii)∑ M0 = 0 ⇒ Tsen30º L – Q L – q L 2/2 = 0
⇒ T= (Q + q L/2 )/sen30ºreemplazando en i) ⇒ Ox = (Q + q L/2)/ tg30º de flexión se tiene Mfmáx = qL 2/8 cm kgf
ahora σ
trab
a) σ
= Ox/Ao + qL2/( 8 Wθ ) trab
= √3((Q + q L/2)/ Ao) + qL 2/( 8 Wθ )
Además
σ
Igualando
σ
. = σ c/FS
adm adm
=σ
trab
= 900,6/2
=450,3 kgf/cm 2
y reemplazando en a):
450,3 = √3((Qmáx + 0,7536x 800/2)/96) + 0,7536x 800 2/(8 x 266,8) se llega a Qmáx= 12133 kgf
