Pandeo Lateral

DISEÑO DE ESTRUCTURAS DE ACERO FLEXIÓN 2 (PANDEO LATERAL) A

B

Mx x

z

θ v

y

z

Mx

(a)

Mx Mξ

A

Mζ

x

Mx

z ζ

(b)

ξ

u Mx

x

ξ Mx

B

v

Mξ y η

φ

(c) φ

x

z

y ξ (d)

ζ η

Oscar de Buen López de Heredia

SOCIEDAD MEXICANA DE INGENIERÍA ESTRUCTURAL, A.C.

DISEÑO DE ESTRUCTURAS DE ACERO CAPÍTULO 5 FLEXIÓN 2 ( PANDEO LATERAL) Oscar de Buen López de Heredia

© Derechos Reservados 2002 Fundación ICA, A. C. Av. del Parque No 91 Colonia Nápoles C.P. 03810 México, D.F. Tel 56 69 39 85, 52 72 99 91, 52 72 99 15 Ext. 4002-4079 Ext. Fax 4083 email: [email protected] e-mail: [email protected] http:// www.fundacion-ica.org.mx ISBN 968-7508 97-3 Impreso en México.

Flexión2 (Pandeo lateral)

3

CAPÍTULO 5. FLEXIÓN 2 (PANDEO LATERAL) ÍNDICE: 5.1

Introducción ........................................................................................................ 7

5.2

Comportamiento de vigas en flexión pura ........................................................ 10 5.2.1 Vigas de diversas longitudes ................................................................. 11

5.3

Torsión ............................................................................................................. 13 5.3.1 Introducción ........................................................................................... 13 5.3.2 Torsión pura o de Saint Venant ............................................................. 13 5.3.2.1 5.3.2.2

Barras de sección transversal abierta formadas por rectángulos angostos ................................................................... 13 Barras de sección transversal hueca de paredes delgadas ...................................................................................... 14

5.3.3 Torsión no uniforme de barras de sección transversal abierta y paredes delgadas ................................................................................. 18 5.4

Pandeo lateral elástico ...................................................................................... 25 5.4.1 Caso fundamental: vigas I en flexión pura ............................................. 25 5.4.1.1

Cálculo del momento crítico ......................................................... 26

5.4.1.1.1 Vigas de sección transversal rectangular, maciza o hueca ................................................................ 28 5.4.1.1.2 Vigas I de paredes delgadas ............................................ 28 5.4.2 Otras condiciones de apoyo y carga ...................................................... 29 5.4.2.1

Algunas soluciones aproximadas ................................................. 33

5.4.2.1.1 5.4.2.1.2 5.4.2.1.3 5.4.2.1.4

Momentos desiguales en los extremos ............................ Carga concentrada en el punto medio ............................. Otras condiciones de carga ............................................. Otras condiciones de soporte lateral ................................

33 35 38 42

5.4.3 Soportes laterales intermedios y vigas continuas .................................. 43

4

5.5

Flexión 2 (pandeo lateral)

Pandeo lateral inelástico .................................................................................... 55 5.5.1 Aspectos generales ............................................................................... 55 5.5.2 Criterios para determinar la resistencia ................................................. 58

5.6

Resistencia de diseño en flexión ....................................................................... 62 5.6.1 Miembros en los que el pandeo lateral no es crítico .............................. 62 5.6.1.1

Miembros que no se pandean ...................................................... 64

5.6.2 Miembros en los que el pandeo lateral es crítico ................................... 69 5.6.2.1

Pandeo lateral en el intervalo elástico .......................................... 69

5.6.2.2 Pandeo lateral inelástico .............................................................. 5.6.3 Normas técnicas complementarias del reglamento del D.F …….. 5.6.3.2.1 Fórmulas simplificadas ..................................................... 5.6.3.2.2 Flexión no uniforme ..........................................................

70 71 76 77

5.6.4 Longitudes características ..................................................................... 78 5.6.5 Efectos del nivel en el que están aplicadas las cargas .......................... 81 5.7

Contraventeo ..................................................................................................... 83 5.7.1 Introducción ........................................................................................... 83 5.7.2 Diseño de elementos de contraventeo ................................................... 86 5.7.3 Imperfecciones iniciales ......................................................................... 88 5.7.4 Inelasticidad del elemento contraventeado ............................................ 89 5.7.5 Rigidez del sistema de contraventeo ..................................................... 90 5.7.6 Factores de resistencia y definiciones ................................................... 91 5.7.7 Contraventeo relativo para columnas y marcos ..................................... 91 5.7.7.1

Recomendaciones de diseño ....................................................... 91

5.7.8 Sistemas discretos de contraventeo para columnas .............................. 94

Flexión2 (Pandeo lateral)

5.7.8.1

5

Recomendaciones de diseño ....................................................... 94

5.7.9 Contraventeo continuo de columnas .................................................... 100 5.7.9.1

Recomendaciones de diseño ..................................................... 100

5.7.10 Sistemas de apoyo ............................................................................. 100 5.7.11 Columnas soportadas lateralmente en un patín ................................. 103 5.7.12 Pandeo de vigas y contraventeo lateral .............................................. 105 5.7.12.1 Contraventeo lateral ................................................................... 106 5.7.12.2 Recomendaciones de diseño ..................................................... 107 5.7.13 Contraventeo torsional ........................................................................ 109 5.7.13.1 Recomendaciones de diseño ..................................................... 110 5.8

Especificaciones AISC basadas en factores de carga y resistencia ................ 115 5.8.1 Resistencia de diseño .......................................................................... 118 5.8.1.1

Casos en que no es crítica ninguna forma de pandeo ................ 118

5.8.1.2

Estados límite de pandeo lateral o local (λ>λp) .......................... 119

5.8.1.2.1 Pandeo inelástico (λp<λ≤λr) ........................................... 119 5.8.1.2.2 Pandeo elástico (λ>λr) ................................................... 122 5.8.2 Casos en que Cb es mayor que 1.0 ..................................................... 122 5.9

Vigas de paredes delgadas ............................................................................. 136

5.10 Referencias ...................................................................................................... 138

Flexión 2 (Pandeo Lateral)

7

CAPÍTULO 5. FLEXIÓN 2 (PANDEO LATERAL) 5.1

INTRODUCCIÓN

Los elementos estructurales que trabajan en flexión, vigas, trabes armadas y armaduras, suelen tener resistencia y rigidez, en el plano de aplicación de las cargas (alrededor, casi siempre, del eje de mayor momento de inercia), mucho mayores que en el normal a él, por lo que, a menos que se contraventeen adecuadamente, para evitar deflexiones laterales y deformaciones por torsión, pueden fallar por pandeo lateral por flexotorsión antes de que se alcance su resistencia máxima en el plano. Esta forma de pandeo es especialmente crítica durante la etapa de construcción, cuando no hay soportes laterales, o son muy diferentes de los definitivos. El pandeo lateral por flexotorsión es un estado límite de utilidad estructural en el que la viga deformada se sale del plano de carga, desplazándose lateralmente y retorciéndose; la resistencia disminuye, bruscamente, por los cambios en geometría, que originan torsión y flexión alrededor del eje de menor resistencia, y por la rápida plastificación del material; puede evitarse colocando un contraventeo lateral espaciado y diseñado adecuadamente, utilizando secciones transversales de rigidez torsional elevada, como las secciones en cajón, o asegurando que el momento de diseño no sea mayor que el crítico de pandeo. La variable que más afecta la resistencia al pandeo lateral es la separación entre secciones soportadas lateralmente. Otras variables importantes son: tipo y posición de las cargas, restricciones a los desplazamientos de los apoyos y continuidad en ellos, forma de las secciones transversales, presencia, o ausencia, de elementos que restrinjan el alabeo de secciones críticas, propiedades del material, magnitud y distribución de esfuerzos residuales, imperfecciones iniciales en geometría y carga, discontinuidades producidas por cambios de sección o agujeros, e interacción con pandeo local. En la Fig. 5.1 se muestra una viga de sección I, apoyada de manera que sus extremos pueden girar libremente alrededor de sus ejes centroidales y principales x y y, pero no alrededor del longitudinal z, sometida a flexión pura, producida por pares de magnitudes iguales y sentidos contrarios, aplicados en los extremos. Uno de los patines, el superior en este caso, trabaja en compresión, y se encuentra en condiciones parecidas a las de una columna cargada axialmente; el otro patín está en tensión. Si los momentos crecen, el equilibrio del patín comprimido se vuelve eventualmente inestable, y se pandea lateralmente; el patín en tensión trata de conservarse recto, lo que retrasa, pero no impide, el pandeo del comprimido; su influencia aumenta con la rigidez del alma, que liga los dos patines entre sí, de manera que es mayor en vigas de alma gruesa y poco peralte.

8


A

B

Mx x

θ v

y

z

z

Mx

(a)

Mx Mξ

A

Mx

x Mζ ξ

z

B

ζ

(b) u Mx

x

ξ Mη

v

M ξ Mx η

y φ

(c) φ

x

z

y ξ (d)

ζ η

Fig. 5.1 Pandeo lateral de una viga I en flexión pura. El patín comprimido se pandearía alrededor de su eje horizontal, que es el de menor momento de inercia, pero se lo impide el alma, por lo que se flexiona alrededor del


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vertical, cuando los momentos alcanzan los valores críticos correspondientes. (Sólo las almas muy esbeltas son incapaces de impedir el pandeo del patín en el plano vertical; este problema se estudia en el Capítulo 6) . Cualquier viga apoyada en los extremos y cargada en el plano del alma, con secciones transversales que tengan un momento de inercia respecto al eje de flexión, x, mayor que alrededor del normal a él, y, puede pandearse lateralmente, a menos que ese fenómeno se impida por medio de elementos exteriores; si Ix es apreciablemente mayor que Iy, como en la mayoría de las vigas, el pandeo lateral y el colapso pueden presentarse mucho antes de que los esfuerzos normales debidos a la flexión lleguen al límite de fluencia. Mientras las cargas, que actúan en el plano del alma, permanecen por debajo de una cierta intensidad, la viga se deforma únicamente en ese plano, y su equilibrio es estable: si, por medio de un agente externo, se le obliga a adoptar una configuración ligeramente deformada lateralmente, recupera la configuración plana al desaparecer aquel. Sin embargo, cuando crecen las solicitaciones, llegan a ser posibles formas en equilibrio deformadas lateralmente y retorcidas, además de la plana; la carga menor para la que pueden presentarse esas nuevas formas de equilibrio es la carga crítica de pandeo lateral por flexotorsión de la viga. El comportamiento es semejante al de las columnas en compresión axial; como en ellas, la terminación del equilibrio estable se caracteriza por la aparición de un nuevo tipo de desplazamiento, fuera del plano original de carga, que no existía para solicitaciones inferiores a la crítica.

10

5.2


COMPORTAMIENTO DE VIGAS EN FLEXIÓN PURA

Las curvas de la Fig. 5.2 muestran, en forma esquemática, el comportamiento de la viga en flexión pura de la Fig. 5.1; la curva M - θ, momento-rotación en un extremo (Fig. 5.2a), representa el comportamiento de la barra en el plano de carga, y las curvas M - u ó M - φ, momento-desplazamiento lateral o momento-rotación alrededor del eje longitudinal (Fig. 5.2b), describen el pandeo lateral. Si la viga fuese perfectamente recta y no hubiese ninguna excentricidad en los momentos aplicados en sus extremos, las curvas M - u y M φ serían como la representada con línea llena, y el punto A correspondería al instante en que el equilibrio se bifurca; a partir de él la viga puede, en teoría, admitir momentos mayores, manteniéndose en su plano (trayectoria AB), o desplazarse lateralmente bajo momento prácticamente constante, según AC.

M

M

My Mcr

My B

B

Mcr A

A C

0

θ (a)

Bifurcación del equilibrio C Efecto de imperfecciones iniciales

0

u, φ (b)

Fig. 5.2 Comportamiento de una viga en flexión pura. En las vigas reales no se presenta nunca la bifurcación del equilibrio, pues siempre hay imperfecciones iniciales, que hacen que los desplazamientos laterales comiencen bajo momentos mucho más pequeños que el crítico (curvas con línea interrumpida, Fig. 5.2), y la falla no es por pandeo propiamente dicho. Sin embargo, esas pequeñas imperfecciones no afectan mayormente las deformaciones calculadas suponiendo un sistema ideal perfecto más que cuando las cargas se acercan a los valores críticos de ese sistema; cerca de la carga de pandeo, pequeños incrementos en las solicitaciones ocasionan aumentos considerables en las deflexiones. La determinación de la curva acción-deformación de vigas con imperfecciones iniciales es larga y complicada, y rara vez se justifica en la práctica; en el diseño se utiliza la carga crítica de pandeo de miembros inicialmente rectos como un límite de la resistencia de las vigas reales aunque, como se mencionó arriba, el pandeo propiamente dicho, por bifurcación del equilibrio, no se presenta nunca. Muchos estudios de laboratorio y una


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larga práctica de diseño han demostrado que este procedimiento es razonable y proporciona resultados satisfactorios. En resumen, cuando el momento M se aproxima al valor crítico, aparecen desplazamientos u y φ relativamente grandes y, para fines prácticos, puede considerarse que Mcr es el momento máximo que la viga puede resistir. Mientras M es menor que Mcr, las deformaciones del miembro se confinan al plano que ocupa originalmente, pero tan pronto como alcanza el valor crítico se inicia el pandeo lateral por flexotorsión, y la viga falla por flujo plástico después de una deformación considerable, mientras el momento se mantiene prácticamente constante. 5.2.1 Vigas de diversas longitudes Desde el punto de vista de su resistencia al pandeo lateral, una viga de acero en flexión, de sección tipo 1 o 2 (Capítulo 3), se comporta de alguna de las tres maneras siguientes: si es muy corta, sus secciones transversales se plastifican por completo antes de pandearse, y pueden desarrollar el momento plástico; si es de longitud intermedia, la resistencia disminuye por la plastificación parcial que precede al pandeo, que se inicia en el intervalo inelástico, y si es larga se pandea elásticamente, bajo solicitaciones que pueden ser de magnitud muy pequeña. (Las vigas de sección transversal tipo 3 o 4 pueden fallar antes, por pandeo local). Como en las columnas, desde el punto de vista del pandeo lateral no interesa la longitud real de las vigas, sino la distancia entre secciones fijas lateralmente, es decir, la longitud libre de pandeo. La gráfica momento resistente-longitud libre de pandeo de la Fig. 5.3 ilustra los tres intervalos mencionados arriba. El tramo AB describe el comportamiento de miembros muy cortos, en los que el material se endurece por deformación, sin que haya pandeo lateral, y el CD corresponde al pandeo elástico. Las curvas AB y CD son hipérbolas que no se cortan; la transición entre ellas, curva BC, representa el pandeo inelástico, que se inicia cuando parte del material de la viga ha fluido ya plásticamente. A causa de los esfuerzos residuales, el comportamiento elástico termina cuando el momento vale Me, que puede ser bastante más pequeño que My. En las Figs. 5.3 b, c y d, se han trazado las curvas M-u o M-φ de vigas que se encuentran en cada uno de los tres intervalos.

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Momento resistente Diseño plástico

A

u

Diseño basado en esfuerzos permisibles E

L

B

Mp

φ

My C

M e Pandeo

0

en el intervalo de endurecimiento por deformación

(a)

Pandeo inelástico

D Pandeo elástico

Longitud libre de pandeo

M Mp My Me

M

Mcr

M Mm

Mcr

Mcr u, φ (b)

u, φ (c)

u, φ (d)

Fig. 5.3 Comportamiento de vigas de diferentes longitudes.


5.3

13

TORSIÓN

5.3.1 Introducción La torsión en elementos estructurales puede ser producida en forma directa por las acciones exteriores (un eje de un motor, cuyo trabajo consiste en transmitir un momento de torsión, es un ejemplo típico), o puede presentarse al iniciarse el pandeo de un miembro originalmente recto sometido, por ejemplo, a flexión; como se vé más adelante, el desplazamiento lateral del eje y las rotaciones de las secciones transversales que caracterizan el pandeo de las vigas ocasionan momentos torsionantes; la resistencia de la viga aumenta cuando crece su oposición a los desplazamientos laterales lo que depende, entre otras cosas, de su resistencia a la torsión. En los artículos siguientes se presenta un resumen de resultados que corresponden, principalmente, a la torsión del segundo tipo, que es la que tiene mayor interés en este libro. El problema puede estudiarse en detalle en la ref. 5.1. 5.3.2 Torsión pura o de Saint Venant El ángulo de rotación, por unidad de longitud, de una barra recta de sección transversal rectangular sometida a torsión pura, producida por pares aplicados en sus extremos, se calcula con la ec. 5.1, y los esfuerzos tangenciales máximos, que aparecen en los puntos medios de los lados largos, con la ec. 5.2 (ref. 5.1): θ =

k1 M T Ga 3b

τ máx =

k2 M T a 2b

(5.1) (5.2)

G es el módulo de elasticidad al esfuerzo cortante del material, MT el momento de torsión, constante, que actúa en la barra, a y b los lados menor y mayor del rectángulo, y k1 y k2 coeficientes que dependen de las proporciones del rectángulo; si b/a = ∞, los dos valen 3.0, y tienen un valor muy cercano, ligeramente mayor que 3.0, si b/a excede de 8 o 10. 5.3.2.1

Barras de sección transversal abierta formada por rectángulos angostos

Los resultados obtenidos para el rectángulo angosto son aplicables a cualquier sección compuesta por rectángulos alargados, unidos entre sí de manera que no rodeen por completo ninguna región del plano en que se encuentran (de aquí el nombre de abiertas), como las secciones I, H, canales y ángulos. Cada uno de los rectángulos actúa como si estuviese aislado; si se ignoran las perturbaciones locales en las zonas de unión entre

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ellos, el momento torsionante total que resiste la sección es aproximadamente igual a la suma de los momentos resistentes de todos. Como los rectángulos que forman los perfiles laminados o hechos con placas tienen siempre relaciones b/a elevadas, se llega a resultados muy cercanos a los reales haciendo, en todos los casos, k1 = k2 = 3.0. Las ecs. 5.1 y 5.2 toman la forma general θ =

MT

(5.3)

G ∑(a 3b 3)

τ máx =

MT ∑ (a 3b 3)

a

(5.4)

a y b son los lados corto y largo de cada uno de los rectángulos que forman la sección que, en general, no son iguales entre sí; la a que multiplica la fracción de la ec. 5.4 es el ancho del rectángulo en el que se quiere calcular el esfuerzo máximo. La cantidad ∑ (a 3 b 3) es la constante de torsión de Saint Venant; se representa con la letra J. Introduciendo esta notación, las ecs. 5.3 y 5.4 se escriben θ =

MT GJ

τ máx = J=

MT a J

1 ∑ a 3b 3

(5.5) (5.6) (5.6a)

El producto GJ es la rigidez a la torsión de Saint Venant. 5.3.2.2

Barras de sección transversal hueca de paredes delgadas

Suelen estar formadas por varias placas de espesor pequeño en comparación con las dimensiones generales de la sección; pueden ser manufacturadas doblando una lámina plana, o compuestas por placas soldadas entre sí. En la Fig. 5.4 se muestran, en forma esquemática, los esfuerzos cortantes que produce la torsión en las secciones transversales de dos barras de paredes delgadas, iguales en todo, excepto en que una es abierta y la otra cerrada. Para que las fuerzas interiores de la sección abierta puedan equilibrar un par de torsión, deben cambiar de sentido a través del grueso de las paredes; el brazo de los pares


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resistentes es muy pequeño. En cambio, en la sección cerrada el flujo de fuerzas es continuo y el brazo es mucho mayor; para valores iguales del esfuerzo cortante, su resistencia a la torsión es mucho más elevada.

(a)

(b)

Fig. 5.4 Esfuerzos cortantes en dos secciones de paredes delgadas, una abierta y otra cerrada. El ángulo de rotación por unidad de longitud, y el esfuerzo cortante máximo, en las secciones cerradas, se calculan con las ecuaciones (ref. 5.1) θ =

MT 4 Ai2G

τ =

MT 2 Ai t

∫ dst = MGJ

T

s

(5.7)

(5.8)

t es el grueso de la pared de la sección, que puede ser constante o variable; en el segundo caso, en la ec. 5.8 se utiliza la t correspondiente al punto donde se desea calcular el esfuerzo, que es máximo donde la pared es más delgada. Ai es el área encerrada por el eje de las paredes. La constante de Saint Venant de una pieza hueca de paredes delgadas es J=

4 Ai2 ds s t

∫

La integración se efectúa a lo largo de todo el perímetro de la sección. Las expresiones anteriores se simplifican cuando el grueso de las paredes es constante; entonces,

∫ dst = 1t ∫ ds = St s

s

16


S es el perímetro del eje de la pared. θ =

J=

MT S 4 Ai2 Gt

=

MT GJ

4 Ai2 t S

(5.9)

Cuando el área efectiva de una sección hueca de paredes delgadas de espesor constante es menor que un quinto de la encerrada por el eje de las paredes (A ≤ Ai/5), el error que se comete al calcular los esfuerzos con la ec. 5.8 es menor de 10%; además, si A < Ai, el momento resistente se obtiene con un error no mayor de 10%, de manera que casi todas las secciones huecas de interés práctico pueden analizarse con la teoría desarrollada para paredes delgadas. En las secciones en cajón hechas con placas soldadas más comunes, las placas verticales tienen un grueso, y las horizontales otro; en ese caso, la constante J vale J=

2b 2 d 2 b d + t c

(5.10)

Ai es el área encerrada entre los ejes de las placas que forman la sección (Ai = bd) las demás cantidades se definen en la Fig. 5.5. t

c

c

Ai=bd

d

t

b

Fig. 5.5 Sección en cajón.


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EJEMPLO 5.1 Calcule los esfuerzos tangenciales máximos y los ángulos de rotación por unidad de longitud de dos barras de eje recto, cuyas secciones transversales se muestran en la Fig. E5.1.1, sobre las que actúan momentos MT en los extremos, que ocasionan torsión pura; no tenga en cuenta las concentraciones de esfuerzos que se presentan en las esquinas. Las dos secciones están hechas con la misma cantidad de material. 39cm 3 cm 2 cm 60 cm

1 cm

54 cm

57 cm

3 cm 40 cm

40 cm

Fig. E5.1.1 Sección transversal de ejemplo 5.1. Sección I. G=

J= ∑

a 3b 1 = (2 x 33 x 40 + 23 x 54) = 864 cm4 3 3

E E = = 0.385 E 2(1 + µ ) 2(1 + 0.3) MT MT MT = = 0.00301 GJ 0.385 E x 864 E

Ec. 5.5.

θ=

Ec. 5.6.

τmáx =

MT MT x 3 = 0.00347 MT a = J máx 864

Este esfuerzo se presenta en las zonas centrales de los patines. Sección en cajón. Ec. 5.10

θ=

J=

2b 2 d 2 2 x 39 2 x 57 2 9 883 458 = = = 141 192 cm 4 b d 39 57 70 + + t c 3 1

MT MT MT = = 0.0000184 GJ 0.385E x 141 192 E

Ec. 5.8

τmáx =

MT MT = = 0.000225 M T . 2Ai t mín 2(39x57)1

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El ángulo de rotación y el esfuerzo máximo en la sección I son, respectivamente, 164 y 15.4 veces más grandes que en la sección en cajón. La sección en cajón es mucho más eficiente que la I; esta observación es de carácter general, por lo que cuando la torsión es una solicitación predominante conviene utilizar miembros de sección transversal hueca formados, por ejemplo, por cuatro placas soldadas, en vez de perfiles laminados. 5.3.3 Torsión no uniforme de barras de sección transversal abierta y de paredes delgadas. Exceptuando las barras de sección transversal circular, maciza o hueca, todos los elementos estructurales sometidos a torsión pura se alabean, es decir, los puntos situados en planos originalmente normales al eje de la barra experimentan desplazamientos variables paralelos a ese eje, lo que ocasiona que las secciones transversales inicialmente planas dejen de serlo. En la Fig. 5.6 se muestra un segmento de una barra de sección I con dos pares MT, iguales y de sentidos contrarios, aplicados en sus extremos; son las únicas acciones que obran sobre la barra, y no hay ningún factor externo que evite o restrinja las deformaciones. Las fibras longitudinales de la barra, inicialmente rectas, se retuercen pero, para rotaciones pequeñas, puede considerarse que siguen siendo rectas, inclinadas respecto al eje; cada uno de los patines gira un cierto ángulo, conservando su forma rectangular, y el alma se alabea. Todas las secciones transversales normales al eje longitudinal se alabean lo mismo, por lo que no cambian las dimensiones de las fibras longitudinales y no aparecen esfuerzos normales; los únicos esfuerzos son los tangenciales correspondientes a la torsión de Saint Venant. Si se empotra uno de los extremos de la barra, impidiendo su rotación alrededor del eje longitudinal y los desplazamientos paralelos a ese eje de los puntos situados en él, la barra se deforma como se muestra en la Fig. 5.7; la sección inferior se mantiene en su posición original y sigue siendo plana, y todas las demás secciones transversales giran alrededor del eje longitudinal y se alabean. Como ni el giro ni el alabeo son constantes, sino aumentan desde cero en el extremo inferior hasta un máximo en el superior, las fibras paralelas al eje no conservan su longitud inicial, como en torsión pura, sino unas se alargan y otras se acortan (por ejemplo, todas las fibras de la porción AEFB del patín anterior de la viga de la Fig. 5.7 se alargan, mientras que se acortan las de la zona EFDC, conservándose sin cambio únicamente la EF), lo que ocasiona esfuerzos normales longitudinales proporcionales a las deformaciones unitarias, que varían linealmente a través de los patines; son máximos en el extremo empotrado, y disminuyen en secciones cada vez más alejadas de él, hasta que desaparecen eventualmente cuando las


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secciones transversales están a una distancia suficiente para que dejen de sentirse los efectos de las restricciones producidas por el empotramiento. MT

MT

Fig. 5.6 Alabeo de una barra de sección transversal I en torsión pura. MT

B

F D

A E

C

Fig. 5.7 Barra de sección transversal I en torsión no uniforme.

Para que aparezcan los esfuerzos normales longitudinales, no es necesario impedir totalmente el alabeo de alguna sección transversal; basta con que, ya sea por las condiciones de apoyo o de carga, o por una combinación de ambas, el alabeo no se

20


presente libremente y varíe de unas secciones transversales a otras, lo que ocasiona deformaciones longitudinales de las fibras. Los esfuerzos normales producidos por la restricción al alabeo están acompañados por esfuerzos tangenciales, que contribuyen a resistir el momento de torsión exterior, de manera que éste no es equilibrado sólo por esfuerzos cortantes de Saint Venant, como sucede cuando el alabeo es libre. En la Fig. 5.8 se muestran los esfuerzos normales y tangenciales en una barra de sección I en torsión no uniforme, es decir, con alabeo restringido; tanto los tangenciales simples τs como los debidos a la restricción al alabeo, τa, contribuyen a resistir el momento exterior MT; si los momentos correspondientes se designan Mts y Mta, puede escribirse (5.11)

MT = Mts + Mta

-σa

τs

τa Z

+σa

Z +σa

Z

τa

-σa (a)

(b)

(c)

Fig. 5.8 Esfuerzos producidos por la torsión no uniforme. MT es el momento de torsión total que obra en la sección, Mts el momento resistente correspondiente a la torsión de Saint Venant, y Mta el debido a la resistencia al alabeo de las secciones transversales de la barra. (Los esfuerzos normales y cortantes que aparecen en el alma por este segundo concepto se desprecian, pues la flexión se presenta alrededor de su eje de menor momento de inercia). Los esfuerzos producidos al restringir el alabeo de barras de sección transversal maciza no circular son mucho menores que los de las secciones abiertas de paredes delgadas; además, las piezas macizas no se emplean en estructuras de acero. Por estas razones, se tratan aquí sólo elementos con secciones transversales del segundo tipo.


21

b1

b t1

t

w

h

w

h

t2

t b

b2 3 b1t1 +b2t23 +hw3 J= 3

J=

2bt3+hw3 3

(a) b2

(b)

b1

b2

w

b t1 t2 d

h t1

t1

t2

b1 b2 2b1(t1+t2)3+4b2t23 +hw3 J= 3 b2

(c)

J=

w t2

w

4Ao2 4(bd)2 = Σ(b/t) b+b+2d t1 t2 w (d)

Fig. 5.9 Constante de torsión de Saint Venant de diversas secciones. MTs y MTa se calculan con las expresiones (ref. 5.1) M Ts = GJθ = GJ

M Ta = − ECa

d 3φ dz 3

dφ dz

(5.12)

(5.13)

MTa es la parte del momento de torsión resistida por los esfuerzos tangenciales que se originan al alabearse las secciones transversales de una manera no uniforme; se le llama momento resistente de torsión debido al alabeo no uniforme o, por brevedad, momento de torsión por alabeo. Ca es la constante de alabeo (tiene unidades de longitud elevada a la sexta potencia) y el producto ECa es la rigidez al alabeo. Llevando las ecs. 5.12 y 5.13 a la 5.11, se obtiene la ecuación diferencial para torsión no uniforme de barras de sección transversal abierta y paredes delgadas:

22


M T = GJ

dφ d 3φ − ECa 3 dz dz

(5.14)

El signo menos que precede al segundo término proviene de la convención de signos que se utiliza para deducir las ecuaciones; en la solución de la ec. 5.14 los dos términos del segundo miembro se suman. y

t2 t

(a)

d-t

x

x

h d

w

t

t1

y

t

Ca= (b)

t1 y 1

w x

x y 0t 2 y2

Centro de torsión

d

y1

(y1+y2)2I1I2 I1+I2

b13 t1 I1= 12 y0=+_

y

(b t )3+(b2t2)3 Ca= 1 1 36

b1

b b1 y Centro de gravedad

Centro de torsión

b2

(d)

Iy(d-t)2 Ca= 4

(e)

b23 t2 I2= 12

b x Centro de torsión (bt)3 (dw)3 Centro de gravedad C = a 144 + 36

x

d y 2

w

y1I1-y2I2 I1+I2

y

Eje de inercia mínima

b2 x0

(c)

x

y

t

Centro de gravedad d x t

Centro de torsión

Ca=

_ (d-t) 2 Iy+x2A( 4

(d-t) A ) 4I x

(f)

d

x

Centro de gravedad y torsión x

2 d I Ca= 4

_ (d-t)2A x0= x 1+ 4Ix

_ y x

Fig. 5.10 Constante de torsión por alabeo de varias secciones. En las Figs. 5.9 y 5.10 se proporcionan los valores de las constantes J y Ca para algunas secciones comunes. EJEMPLO 5.2 En la Fig. E5.2.1 se muestra una trabe armada reforzada con dos placas soldadas a los patines. Las propiedades de la trabe sin cubreplacas se dan en la figura. Determine los valores de esas propiedades para la sección reforzada.


23

C2=1.9

b2=35.0 y c1=2.22

d2=80.04

d1=76.24

x

h=71.8

c1=2.22 C2=1.9

Ix=276 292 cm4 S=7248 cm 3 x Zx=7896 cm3 Iy=24767 cm4 Sy=1220 cm3 Zy=1846 cm3 J=316.7 cm4 Ca=33.9x106 cm6 Acotaciones en cm

b1=40.6

Fig. E.5.2.1 Sección transversal de la trabe armada. Iy = 24767 + 2 x

1.9 x 35.0 3 = 38 344 cm4 12

J se calcula con la fórmula de la Fig. 5.9c: J = [2x35.0 (2.22+1.9)3+4x2.80 x 2.223 x71.8x0.953]/3 = 1693.2 cm4.

La constante de torsión por alabeo se determina con la ecuación Ca = I1

(d 2 − c 2 ) 2 2

+ I2

(d1 + c1 ) 2 2

II e I2 son los momentos de inercia, respecto al eje y, de una placa de refuerzo y de un patín, y las demás cantidades se definen en la Fig. E5.2.1. 1.9x35 3 (80.04 - 1.9) 2 2.22x40.6 3 (76.24 - 2.22) 2 + x = 54.6 x 10 6 cm 6 x 12 2 12 2

Ca =

_

Ca puede determinarse también con la ecuación aproximada Ca = Iy d 2 / 4 , en la _

que Iy es el momento de inercia de la sección reforzada respecto al eje y, y d la distancia entre los centros de gravedad de los patines reforzados, que en este caso _

es d = 75.77 cm. Por consiguiente, Ca ≈

I yd 2 4

=

38 344 x 76.77 2 = 56.5 x 10 6 cm 6 4

Este valor de Ca es prácticamente igual al calculado arriba. Los módulos de sección elástico y plástico de la sección reforzada, respecto al eje x, son

24


2  35.0 x1.9 3  76.24 + 1.9     = 479 352 cm4 Ix = 276 292 + 2  + 35.0 x 1.9     12 2 

Sx =

479352 = 11978 cm 3 80.04 / 2

 76.24 + 1.9   = 13092 cm3 Zx = 7896 + 2 x 35.0 x 1.9    2

El módulo de sección plástico es igual al de la viga sin reforzar más el momento estático de las cubreplacas respecto al eje de simetría horizontal, x.


5.4

25

PANDEO LATERAL ELÁSTICO

5.4.1 Caso fundamental: vigas I en flexión pura Para determinar el valor del momento flexionante, aplicado alrededor del eje de mayor momento de inercia, que ocasiona el pandeo lateral elástico por flexotorsión de una viga, se estudia primero el caso fundamental (Fig. 5.1): una viga I, laminada o formada por tres placas soldadas, de eje recto, flexionada en el plano de mayor resistencia por pares iguales y de sentidos contrarios, de magnitud creciente, aplicados en los extremos. Se admiten las hipótesis siguientes: 1.

La viga es de sección transversal I, con dos ejes de simetría, constante en toda la longitud. El centro de torsión coincide con el centro de gravedad de la sección.

2.

Los esfuerzos normales máximos, obtenidos superponiendo los producidos por los momentos exteriores con los residuales, están en el intervalo elástico cuando se inicia el pandeo.

3.

La forma de las secciones transversales no cambia cuando la viga se flexiona y retuerce.

4.

Los momentos que actúan en las secciones transversales se conservan en el plano que ocupaban originalmente.

5.

La distancia entre las secciones de la viga soportadas lateralmente es igual al claro.

6.

El momento flexionante es constante entre las dos secciones soportadas lateralmente (flexión pura).

7.

Los apoyos extremos son libres para flexión alrededor de los ejes x y y y para torsión, lo que significa que pueden girar libremente alrededor de x y de y, y que las secciones extremas pueden alabearse, pero no puede haber rotaciones alrededor del eje longitudinal z ni desplazamientos paralelos a los otros dos ejes.

La viga empieza a deformarse en cuanto se aplican los pares en sus extremos; mientras son pequeños, se mantiene en el plano inicial, pero eventualmente se sale de él, desplazándose lateralmente y retorciéndose; los desplazamientos verticales v (Fig. 5.1c) se inician con la flexión, pero los laterales u y las rotaciones φ son nulos hasta que los momentos alcanzan el valor crítico. El vector Mx, momento flexionante en una sección cualquiera, que estaba alojado sobre el eje x de la misma, permanece paralelo a su dirección original, de manera que al cambiar la orientación de los ejes principales de la sección deja de coincidir con uno de ellos, y produce momentos alrededor de los tres nuevos ejes de referencia, ξ, η y ζ.

26


Cuando el par que actúa alrededor del eje de inercia máxima alcanza un valor crítico la viga se deforma lateralmente, y el equilibrio exige que haya también torsión y flexión alrededor del eje de menor inercia; el pandeo está asociado siempre con flexión lateral y torsión. El momento de torsión varía a lo largo del eje de la viga, puesto que la proyección de Mx sobre el eje ξ, que lo ocasiona, no es constante; es máxima en los extremos y nula en la mitad del claro, donde el eje ξ es paralelo al z, y el vector Mx es perpendicular a él. La viga se encuentra en un estado de torsión no uniforme; su resistencia a la torsión es la suma de los momentos resistentes correspondientes a la torsión de Saint Venant y a la oposición al alabeo de sus secciones transversales. 5.4.1.1

Cálculo del momento crítico

Interesa determinar la magnitud del momento Mx para la que se presenta una bifurcación del equilibrio, es decir, el momento para el que son posibles configuraciones en equilibrio ligeramente deformadas lateralmente y retorcidas, además de la plana. Las ecuaciones de partida, que se obtienen estudiando el equilibrio de la barra deformada, son (ref. 5.1) EI y d 2 u dz 2 + φM = 0

(5.15)

EC a d 3 φ dz 3 − GJ dφ dz + M du dz = 0

(5.16)

Derivando la ec. 5.16 una vez, respecto a z, y sustituyendo d 2 u dz 2 por su valor dado por 5.15, se obtiene la ec. 5.17, con el ángulo φ como única incógnita: EC a

d 4φ dz

4

− GJ

d 2φ dz

2

−

M2 φ =0 EI y

(5.17)

Esta ecuación diferencial tiene una solución analítica porque el momento flexionante M es constante en toda la longitud, y las condiciones de frontera permiten evaluar las constantes de integración: M cr =

nπ L

 n 2 π 2 EC a   EI y GJ 1 +  GJL2  

(5.18)

Lo mismo que en las columnas, sólo tiene interés el menor de los valores del momento crítico, a menos que se obligue a la viga a pandearse en alguno de los modos superiores, a los que corresponde n = 2, 3, etc, por medio de restricciones exteriores que impidan los desplazamientos laterales y las rotaciones de una o más secciones


27

transversales intermedias; en el caso en estudio, en el que la longitud sin soporte lateral es el claro de la viga, n = 1. También como en las columnas, la solución basada en desplazamientos pequeños proporciona la configuración de la viga pandeada lateralmente, pero no la amplitud de los desplazamientos, que permanece indeterminada. Efectuando las operaciones indicadas dentro del radical, y haciendo n = 1, la ec. 5.18 toma la forma M cr =

π L

EI y GJ + E 2 C a

π2 L2

Iy

(5.19a)

Recordando que G = E/2(1+µ) ≅E/2.6, y sacando E fuera del radical, se obtiene Mcr =

πE L

 J  π 2  Iy  +   Ca   2.6  L  

(5.19b)

Esta forma de la ecuación es un poco más fácil de usar que la 5.19a. La resistencia total del perfil al pandeo lateral por flexotorsión está compuesta por dos partes, representadas por los dos términos del radical de la ec. 5.19a; la primera corresponde al acoplamiento entre las resistencias a la flexión lateral y a la torsión pura, o de Saint Venant, y la segunda, al acoplamiento entre las resistencias a la flexión lateral y a la torsión por alabeo. En vigas I laminadas, que son relativamente robustas, el primer término suele ser mayor que el segundo, pues J es grande; en cambio, en perfiles de gran peralte, hechos con tres placas soldadas, y en vigas de lámina delgada, se vuelve predominante el término correspondiente a la resistencia al alabeo, aunque su importancia relativa decrece cuando aumenta la separación entre secciones soportadas lateralmente, que aparece, elevada al cuadrado, en el denominador. La ec. 5.19a puede escribirse M cr =

π L

EI y GJ 1 + W 2

(5.20)

donde: W=

π L

EC a GJ

(5.21)

El parámetro W mide la importancia de la resistencia a la torsión por alabeo respecto a la torsión pura.

28


Al obtener la ec. 5.19a se ha supuesto que la deflexión en el plano de carga no influye en la resistencia al pandeo lateral por flexotorsión, lo que se justifica cuando EIx es mucho mayor que EIy, y la deflexión en el plano es negligible comparada con la que se presenta fuera de él. Cuando las dos rigideces son del mismo orden, el efecto de la flexión en el plano vertical y-z puede ser importante, y debe tenerse en cuenta al calcular Mcr. La ecuación siguiente representa una solución aproximada que incluye el efecto de las deflexiones en el plano (ref.5.2): M cr =

π L

EI y GJ

(

)

Ir

1+ W 2

donde I r = 1 − I y I x . Si Iy = Ix, Ir se anula, y Mcr se vuelve infinitamente grande. Si Iy > Ix, Ir se hace negativo y Mcr imaginario, de manera que cuando Iy es igual o mayor que Ix, no hay solución. De aquí se concluye que el pandeo lateral por flexocompresión de las vigas sólo es posible cuando la sección tiene rigideces diferentes en los dos planos principales, y las cargas exteriores actúan en el plano del eje de menor momento de inercia (es decir, producen flexión alrededor del eje de mayor inercia). Como una consecuencia, las vigas de sección transversal circular, maciza o hueca, y las de sección en cajón, cuadradas y de grueso uniforme, no fallan nunca por pandeo lateral por flexotorsión. 5.4.1.1.1 Vigas de sección transversal rectangular, maciza o hueca La resistencia al alabeo de las secciones rectangulares, macizas o huecas (secciones en cajón), es mucho menor que la resistencia a la torsión pura; en ese caso, Ca ≅ 0, el segundo término del radical de la ec. 5.19a se desprecia, y Mcr vale M cr =

π EI y GJ L

(5.22)

Sustituyendo E y G por sus valores numéricos, y haciendo I y = Ary2 , se llega a M cr =

3973000 AJ L ry

(5.23)

ry es el radio de giro de la sección respecto al eje de menor inercia. Tomando A y J en cm2 y cm4, respectivamente, Mcr se obtiene en Kg cm. 5.4.1.1.2 Vigas I de paredes delgadas


29

Cuando las paredes de las vigas son muy delgadas, como en perfiles de lámina doblada en frío o en caliente, la constante J, que depende del grueso de las paredes elevado al cubo, es muy pequeña, de manera que el primer término del radical de la ec. 5.19a puede despreciarse, sin pérdida apreciable de resistencia; se obtiene, así, M cr =

π L

E 2Ca

π2 Iy L2

(5.24)

Haciendo Ca = I y d 2 / 4 , donde d es el peralte de la sección, que es, en este caso, casi igual a la distancia entre los centroides de los patines, y sustituyendo Iy por Ary2 , se obtiene M cr

 π =   L ry

2

 EAd 10062000 Ad  =  2 L ry 2 

(

)

(5.25)

A y d se toman en cm2 y cm y el resultado se obtiene en Kg cm. 5.4.2 Otras condiciones de apoyo y carga Varias de las hipótesis que llevan a la ec. 5.19a, principalmente las dos últimas, suelen ser demasiado severas cuando se aplican a casos reales, por lo que el valor de Mcr dado por esa ecuación es, en general, un límite inferior del momento crítico. Si las condiciones de apoyo corresponden, por ejemplo, a un empotramiento en torsión, o si el momento flexionante no es constante en toda la longitud, la ec. 5.19a proporciona resistencias que pueden ser significativamente menores que las reales. Cuando las acciones no son pares aplicados en los extremos de la viga, sino fuerzas concentradas o distribuidas normales a su eje, el nivel de aplicación de las cargas, respecto al centro de gravedad de las secciones transversales, influye también en la resistencia. Sin embargo, a pesar de sus limitaciones, la ec. 5.19a es tan básica para el estudio del pandeo lateral de vigas como la fórmula de Euler lo es para el de la inestabilidad de columnas comprimidas axialmente. Si en la ec 5.19a se sustituye I y por Ary2 y se saca el radio de giro fuera del radical, éste

(

)

queda multiplicado por π L ry : como en todos los problemas de pandeo, el valor crítico de la carga es inversamente proporcional a la esbeltez del miembro, dada ahora por el cociente L ry . Si la distancia entre soportes laterales tiende a cero, el momento crítico tiende a infinito, lo que es físicamente imposible; hay, por consiguiente, un límite superior de Mcr. Cuando el momento es constante en toda la viga, la ecuación diferencial que describe el equilibrio en una posición ligeramente deformada es lineal, con coeficientes constantes. En la práctica, las vigas tienen diferentes condiciones de apoyo y cargas de diversos

30


tipos, de manera que el momento flexionante varía a lo largo de su eje, las ecuaciones diferenciales de equilibrio tienen coeficientes variables, y no se cuenta con soluciones cerradas; las cargas críticas se obtienen con procedimientos numéricos aproximados. Si las condiciones de apoyo impiden la rotación libre de las secciones extremas alrededor del eje y, la longitud L que aparece fuera del radical en la ecuación 5.18 o 5.19 debe multiplicarse por un factor Ky para obtener la longitud efectiva de pandeo, y si el alabeo de las secciones extremas está restringido, ha de introducirse un segundo factor, Kz, que multiplica a la longitud L contenida dentro del radical, para obtener la longitud efectiva de alabeo; de esta manera la ecuación 5.18, con n = 1.0, se transforma en la 5.26, en la que los factores Ky y Kz tienen en cuenta, respectivamente, las condiciones de apoyo correspondientes a giros alrededor del eje y y al alabeo de las secciones extremas. Mcr =

π KyL

 π 2 EC a  EI y GJ 1 + 2   GJ(K z L) 

(5.26)

La ref. 5.3 contiene valores de Ky y Kz para diferentes condiciones de apoyo, tomados de resultados obtenidos en la ref. 5.4. Para simplificar la aplicación de la ecuación 5.26, los valores exactos de esos coeficientes pueden sustituirse por los siguientes, que dan resultados del lado de la seguridad (ref. 5.3): 1.00, cuando los dos extremos están libremente apoyados, 0.70 cuando uno es libre y el otro fijo, y 0.5 cuando ambos son fijos1, semejantes a los que proporcionan la longitud efectiva de columnas con condiciones de apoyo análogas; se obtienen así los momentos críticos para diversas combinaciones de las condiciones de apoyo: si, por ejemplo, uno de los extremos de la viga está soldado a tope, con soldaduras de penetración en alma y patines, a una columna muy robusta, y el otro está conectado a otra columna por medio de un par de ángulos verticales de poca longitud adosados al alma, sin ninguna liga en los patines, puede considerarse que tanto la rotación alrededor del eje y como el alabeo están impedidos en el primer apoyo y que los dos pueden presentarse casi libremente en el segundo; en esas condiciones se obtienen resultados conservadores tomando Ky = Kz = 0.7. Cuando hay dudas respecto a las condiciones de apoyo, conviene suponer que los factores K valen 1.0. El efecto de solicitaciones distintas de la flexión pura se toma en cuenta multiplicando el segundo miembro de las ecs. 5.19 por un coeficiente C1 que depende de las condiciones de carga. La posición de las cargas respecto al centroide de las secciones transversales de la viga también influye en su resistencia al pandeo; las que están arriba de él son más desfavorables que las que actúan debajo, ya que al iniciarse el pandeo las primeras 1

Para determinar Ky se considera que un extremo es fijo cuando su giro alrededor del eje y está impedido, y libre cuando no hay restricciones para ese giro; en la obtención de Kz los extremos fijos son aquellos en los que no puede haber alabeo, y los libres los que pueden alabearse sin restricción.


31

tienden a retorcer el perfil, agravando las condiciones en que se encuentra, mientras que las segundas tienen un efecto estabilizador, y tratan de enderezarlo; las cargas aplicadas en el centroide no influyen en este aspecto del problema (Fig. 5.11).

Fig. 5.11 Posiciones de las cargas respecto al centroide de las secciones transversales. En estructuras reales puede haber cargas en el patín superior (Fig. 5.12a) (es el caso más común, que se presenta cuando las fuerzas se transmiten por apoyo directo sobre el borde superior de la viga, pero los mismos elementos que transmiten las cargas suelen soportar lateralmente el patín, evitando el pandeo lateral), en el centroide (Fig. 5.12b) (por ejemplo, cuando una viga principal recibe vigas secundarias por medio de ángulos o placas adosados al alma), o en el patín inferior (Fig. 5.12c) (algunos tipos de apoyo de vigas secundarias en principales, grúas móviles colgadas del patín inferior de la viga de soporte).

(a)

(b)

(c)

Fig. 5.12 Casos en que las cargas están aplicadas en el patín superior, en el centroide o en el patín inferior de las secciones transversales. Para tener en cuenta la posición del punto de aplicación de las cargas con respecto al centroide de la sección, se introduce un nuevo factor, C2. Con los factores C1 y C2, y los coeficientes de longitud efectiva Ky y Kz, se obtiene una fórmula general para el cálculo del momento crítico de pandeo de vigas I con cualquier condición de apoyo y de carga; como en la mayoría de los casos prácticos las rotaciones φ alrededor del eje longitudinal están impedidas en los dos extremos, condición supuesta en la casi totalidad de los estudios teóricos, puede obtenerse una expresión general conservadora para el cálculo del momento crítico que incluye sólo el factor de longitud efectiva Ky (ref. 5.5):

32


C 1π Mcr = KyL

 2 EC a  π  C2π  EI y GJ 1 + 1 + C 22 ±  GJ  K y L  KyL 

(

)

 EC a  GJ  

(5.27)

Se toma el signo negativo que antecede al último término cuando las cargas están aplicadas en el patín superior, y el positivo cuando actúan en el inferior; si obran en la viga sólo momentos en los extremos, o cargas aplicadas en el eje centroidal, C2 = 0, y la ecuación 5.27 se reduce a la 5.26 multiplicada por C1. Por comodidad en la obtención de tablas y gráficas que faciliten su uso, conviene escribir la ecuación 5.27 en la forma (ref. 5.5): M cr =

C4 L

EI y GJ

(5.28)

en la que C4 es igual a C4 =

C 2 πa  C1  π 2a2 2  ) (1 + C π  1+ ± 2 KL  K ( KL) 2 

(5.29)

K es el factor de longitud efectiva para flexión alrededor de los ejes principales verticales y. El parámetro ECa/GJ, cociente de las rigideces al alabeo y a la torsión simple, desempeña un papel muy importante en el pandeo lateral de vigas, y aparece en muchas de las fórmulas relacionadas con él; su raíz cuadrada se ha designado con la letra a: a=

EC a GJ

(5.30)

La ref. 5.1 contiene curvas con las que se determinan los coeficientes C4 de vigas I con condiciones de carga y apoyo frecuentes en estructuras reales. Aquí se reproducen sólo las de vigas en flexión con pares en los extremos de diferentes magnitudes y signos (Fig. 5.13); cubren las dos condiciones extremas de restricción alrededor de los ejes y de los apoyos, giros libres o totalmente impedidos.


50 C4

5B 4B

33

3B

2B

1B

46 Nomenclatura

42

Cada curva está designada 5A por un número y una letra. El número indica la condición de carga; se han considerado los cinco casos siguientes:

38

4A

34

M

1

M

30

M

2

M 2

26

M 3A

22

M M

18

2A

14

1A

10

3 4 5

M 2 M

La letra se refiere a las condiciones de apoyo de la viga relativas a giros alrededor del eje vertical “y”. A, los extremos pueden girar libremente. B, los extremos están fijos.

6 2

0

02

04

06

08

10

a/L 12 14

Fig. 5.13 Valores del coeficiente C4 para vigas I flexionadas por pares aplicados en sus extremos. 5.4.2.1 Algunas soluciones aproximadas 5.4.2.1.1 Momentos desiguales en los extremos Si las únicas acciones son momentos aplicados en los extremos de la viga, de magnitudes diferentes (Fig. 5.14), el momento flexionante a lo largo del eje es función de

34


z, y la ecuación diferencial de equilibrio tiene coeficientes variables, lo que obliga a emplear un procedimiento numérico complicado, que utiliza series de funciones especiales, para resolverla. Afortunadamente, se ha demostrado (refs. 5.6 y 5.7) que el efecto de la variación del momento sobre la resistencia al pandeo lateral puede tenerse en cuenta, con buena aproximación para fines de diseño, sustituyendo el momento variable real que ocasionaría el pandeo por un momento uniforme equivalente ficticio, que produce el mismo resultado. El momento crítico de la viga de la Fig. 5.14 se obtiene multiplicando el del caso fundamental por un factor de momento equivalente, Cb, de manera que (5.31)

M cr = C b M 0 cr

Mocr es el momento crítico de pandeo de la viga en flexión pura (ec. 5.19 o 5.20), y Cb se calcula con la expresión C b = 1.75 + 1.05(M 1 M 2 ) + 0.3(M 1 M 2 ) ≤ 2.3 2

(5.32)

M1 es el menor y M2 el mayor de los momentos en los extremos (pueden ser iguales); el cociente M1/M2 es positivo cuando la viga se flexiona en curvatura doble y negativo cuando lo hace en curvatura simple. M1

M2

M2 M1 Flexión en curvatura doble M1/M2 es positivo

M1

M2 Flexión en curvatura simple M1/M2 es negativo

Fig. 5.14 Viga sujeta a momentos aplicados en sus extremos. En la Fig. 5.15 se comparan los valores de M cr , dados por la ecuación aproximada 5.31, con los valores teóricos: los resultados de la ec. 5.31 están muy cerca de los momentos críticos reales, y son ligeramente conservadores.


35

1.00

Mocr 0.75

1 Cb

Mcr

0.50 M1

M2

0.25

Banda de resultados teóricos

M1 M 2 0 -1.00

-0.75

-0.50

-0.25

0

Curvatura simple

0.25

0.50

0.75

1.00

Curvatura doble M1/M2

Fig. 5.15 Comparación de la ec. 5.31 con resultados teóricos. Puesto que M 1 M 2 está comprendido, en todos los casos, entre -1 y 1, Cb es siempre mayor que la unidad (excepto en el caso particular en que M1/M2 = -1.0, en el que Cb = 1.0), lo que confirma que la flexión pura, producida por momentos iguales y de sentidos contrarios, es la condición de carga más severa. 5.4.2.1.2 Carga concentrada en el punto medio La ecuación diferencial de equilibrio de una viga libremente apoyada, con una carga concentrada en el centro del claro, tiene un coeficiente variable; su solución se obtiene con el método de series infinitas (ref. 5.8). Los resultados se indican con línea continua en la Fig. 5.16, en la que se muestran tres casos: carga aplicada en el patín superior, en el centro de torsión y en el patín inferior de la sección transversal. Con fines de diseño se utiliza la ec. 5.31, en la que Mcr es el momento máximo en la viga en el instante en que se inicia el pandeo: M cr =

Pcr L = C b M 0cr 4

AB A A/B

para carga en el patín inferior para carga en el centro de torsión para carga en el patín superior

donde cb =

(5.33)

36


Los valores de A y B (ref. 5.9) son: A = 1.35 B = 1 + 0.649 W - 0.180 W2 W se calcula con la ec. 5.21. Los valores aproximados de Pcr, obtenidos con la ec. 5.33 y los coeficientes Cb indicados arriba, coinciden prácticamente con la solución “exacta” (Fig. 5.16). P L/2

L/2

50 P P crL 2 Ely GJ

40 P

30 20

P 10

Resultados teóricos Resultados aproximados

0

0.5

1.0

2.0

1.5 W 2=

2

L

2

2.5

( EC a ) GJ

Fig. 5.16 Viga con una carga en el centro del claro; comparación de resultados teóricos y aproximados.


37

(a) Diagramas de momentos flexionantes

Mcr

Cb

L

Mcr

1.00

L

Mcr

1.75

Mcr

2.30

PcrL

1.35

Cargas M

M

M

M

M L P L/2

L/2

4

w

WcrL2

L P

P L/2

L/4

8 PcrL 4

L/4

P

3PcrL 16

L/4

1.13

1.04

1.44

3L/4

(b) L/4

L/4

L/4

L/4

M MA M

M máx B

Cb= C

12Mmáx 2Mmáx+3MA+4MB+3M

C

Tabla 5.1 Valores de Cb para varias condiciones de carga (Las fuerzas concentradas están aplicadas en el centro de torsión de la sección transversal).

38


5.4.2.1.3. Otras condiciones de carga La Tabla 5.1a contiene soluciones aproximadas para varias condiciones de carga; las fuerzas están aplicadas en el centro de torsión de la sección transversal de la viga, o son pares que actúan en sus extremos. Las cargas críticas se obtienen con la ec. 5.31, en la que Mocr se calcula con la ec.5.19 o 5.20, y Cb se lee en la cuarta columna de la tabla; la columna tercera contiene las expresiones de Mcr para cada caso. Cuando las cargas producen diagramas de momentos que no varían linealmente entre los extremos de la viga, Cb puede calcularse con la fórmula empírica (ref. 5.2): Cb =

2M máx

12M máx + 3M A + 4 M B + 3M C

(5.34)

MA, MB y MC son los valores absolutos de los momentos en el primer cuarto, el centro y el tercer cuarto del claro de la viga, y Mmáx es el momento máximo en la viga, también en valor absoluto (Tabla 5.1b). En la Tabla 5.2 se proporciona información adicional para fuerzas que no están aplicadas en el centro de torsión. Diagrama de momentos flexionantes

Carga

M

A

B

PL 4

1.35

1-0.180W 2+0.649W

wL2 8

1.12

1-0.154W 2+0.535W

PL1

L1 2 1+ ( 2L +L ) 1 2

1-0.465W 2+1.636W

P L/2

L/2

w L

P

L 1

L

P

2

L

1

Tabla 5.2 Coeficientes A y B para vigas con cargas transversales. EJEMPLO 5.3 Una viga libremente apoyada, cuya sección transversal se muestra en la Fig. E5.3.1, tiene 10 m de claro y ningún soporte lateral intermedio; sobre ella


39

actúa una carga uniformemente repartida. Calcule el valor de la carga por unidad de longitud, wcr, que ocasionaría la falla por pandeo lateral elástico, suponiendo que está aplicada en el patín superior, en el centroide de las secciones transversales, y en el patín inferior. b=30.5 cm t=2.54 cm 1.27 cm

d=157.48 cm

h=152.4 cm

t=2.54 cm 30.5 cm

Fig. E5.3.1 Sección transversal de la viga del ejemplo 5.3. Las propiedades geométricas de la sección transversal son: A = 348.5 cm2, Ix = 1 304 580 cm4, Iy = 12 037 cm4, J = 437.3 cm4, Ca = 72.2 x 106 cm6.

La carga crítica por unidad de longitud se determina con una expresión semejante a la 5.33: Mcr =

wcr L2 = Cb M ocr 8

∴

wcr =

8C b M ocr L2

El momento crítico en el caso fundamental (ec. 5.19b) es M ocr =

πE L

 J  π  2  πE  437.3  π  2   172.2 x 10 6  = + I y  +   C a  = 12037   2.6  L   1000  2.6  1000  

πE 2 024 531 + 8 577 391 = 20 857 363 Kgcm = 208.6 Tm. 1000

Cb tiene los valores siguientes (Tablas 5.1 y 5.2): Ec. 5.21,

W=

π L

EC a π = GJ L

2.6

Ca π 72.2 x 10 6 = 2.058 = 2.6 x 437.3 J 1000

40


A = 1.12, B = 1 + 0.535 x 2.058 - 0.154 x 2.0582 = 1.449

a) b) c)

Carga en el patín inferior. Carga en el centro de torsión. Carga en el patín superior.

Cb = AB = 1.12 x 1.449 = 1.623 Cb = A = 1.12 Cb = A/B = 1.12/1.449 = 0.773

Cargas críticas elásticas. a) b) c)

wcri = 8 x 1.623 x 208.6/102 = 27.1 Ton/m wcrc = 8 x 1.12 x 208.6/102 = 18.7 Ton/m wcrs = 8 x 0.773 x 208.6/102 = 12.9 Ton/m

En el caso b, Cb puede calcularse también con la ecuación aproximada 5.34, utilizando el diagrama de momentos de la Fig. E5.3.2: Cb =

12 M máx 12 x 12.5 = = 1.14 2 M máx + 3M A + 4M B + 3M C (2 + 4) 12.5 + (3 + 3) 9.375

Este valor es muy cercano al obtenido arriba, 1.12.

M

A

=M

C

M

=9.375w

A 2.5m

B 2.5m

B

=M

máx

=12.5w

C 2.5m

2.5m

10m Fig. E5.3.2 Diagrama de momentos de la viga del ejemplo 5.3. Como se ve observando las cantidades dentro del radical de la ec. 5.19b, la resistencia al pandeo lateral que proviene de la torsión por alabeo es mucho mayor que la que corresponde a la torsión de Saint Venant. EJEMPLO 5.4 Igual que el ejemplo 5.3, pero la viga es ahora de sección W12” x 35 lb/ft (30.5 cm x 52 Kg/m), tomada de la ref. 5.22, de 6 m de claro, y tiene una carga concentrada aplicada en la sección media. Se desea calcular los valores de esa carga que ocasionarían el pandeo lateral elástico de la viga. Propiedades geométricas A = 66.5 cm2; Iy = 1020 cm4; J = 30.8 cm4; Ca = 236 x 103 cm6


41

EC a = 141.0 cm. GJ

Las propiedades geométricas se han tomado de la ref. 5.22. La ec. 5.33 proporciona la carga crítica: Pcr L 4 Cb M ocr = M cr =Cb M ocr ∴ Pcr = 4 L

De la ec. 5.19a Mocr =

πE 600

2

πE 1020 x 30.8  π   1020 x 236 x 10 3 = + 12083 + 6599 = .  600  2.6 600

= 1459 243 Kgcm = 14.6 Tm W=

141.0π = 0.738. 600

A = 1.35,

B = 1 + 0.649 x 0.738 - 0.180 x 0.7382

= 1.381.

Los valores de A y B se han tomado de la Tabla 5.2. a) b) c)

Carga en el patín inferior . Carga en el centro de torsión. Carga en el patín superior.

Cb = AB = 1.864 Cb = A = 1.35 Cb = A/B = 0.978

Cargas críticas. a) b) c)

Pcri = 4 x 1.864 x 14.6/6.0 = Pcrc = 4 x 1.35 x 14.6/6.0 = Pcrs = 4 x 0.978 x 14.6/6.0 =

18.1 Ton 13.1 Ton 9.5 Ton

En el caso b, Cb puede calcularse con la ec. 5.34. Mmáx = MB = PL/4 = 1.5 P ; ∴ Cb =

MA = MC = 0.75P

. 12 x 1.5 = 1.333 = 1.35 1.5 (2 + 4) + 0.75 (3 + 3)

La resistencia debida a la torsión de Saint Venant es ahora mayor que la que proviene de la resistencia al alabeo.

42


5.4.2.1.4 Otras condiciones de soporte lateral Hasta ahora se ha supuesto que, desde el punto de vista del pandeo lateral, los soportes son apoyos simples en flexión lateral y en torsión, a los que corresponde el valor mínimo de Mcr. En uniones diseñadas para transmitir sólo fuerza cortante (dos ángulos soldados o atornillados al alma de la viga, de longitud bastante menor que el peralte de ésta, por ejemplo), las condiciones anteriores se cumplen razonablemente; aunque hay algunas restricciones contra la rotación alrededor de y y el alabeo, no pueden cuantificarse con exactitud, y es conservador considerarlas nulas. Si la conexión transmite flexión, además de cortante, como en las uniones entre vigas y columnas de marcos rígidos, las condiciones de soporte se aproximan al empotramiento, tanto en flexión lateral como en torsión, y Mcr aumenta de manera importante. Se cuenta con varios métodos para considerar las diversas condiciones de apoyo y soporte lateral. Uno de ellos, en el que se utilizan dos coeficientes de longitud efectiva, para flexión lateral y torsión (Ky y Kz, respectivamente), se ha tratado en el art. 5.4.2. En secciones en cajón, que tienen una resistencia a la torsión por alabeo despreciable M cr =

π KyL

EI y GJ

(5.35)

Otro método consiste en definir un coeficiente Cbs, semejante a Cb, que incluye, al mismo tiempo, las condiciones de apoyo y el tipo de carga que actúa sobre la viga. De esta manera, la ec. 5.31 se convierte en M cr = C bs M 0cr

(5.36)

Si la viga está empotrada en los dos extremos, y tiene una carga concentrada en el centro o repartida uniformemente en toda la longitud, se tiene (ref. 5.9):  Pcr L/ 8 para la carga concentrada Mcr =  2  wcr L / 12 para la carga uniformemente distribuida  AB para carga en el patín inferior  Cbs =  A para carga en el centro de torsión  A/B para carga en el patín superior  Las expresiones para A y B están en la Tabla 5.3, y Mocr se calcula con la ec. 5.19 o 5.20.


43

Los coeficientes Cb de la ec. 5.31 y Cbs de la 5.36 no son iguales, pues el primero sólo toma en cuenta el efecto de la variación del momento sobre la carga crítica de pandeo lateral, y el segundo incluye también las condiciones de apoyo en los extremos de la viga. Carga

A

B

1.643+1.771W-0.405W 2

1+0.625W-0.339W 2

1.916+1.851W-0.424W 2

1+0.923W-0.466W 2

w L P L/2

L/2

Tabla 5.3 Expresiones para A y B para una viga empotrada en los extremos. Las referencias 5.7, 5.9 y 5.10 contienen información adicional para otras condiciones de apoyo y carga, incluyendo vigas en voladizo. 5.4.3 Soportes laterales intermedios y vigas continuas En vigas continuas, formadas por varios tramos unidos entre sí en los apoyos, es frecuente que se soporten lateralmente una o más secciones intermedias de alguno de los tramos; lo mismo sucede en vigas de marcos rígidos, sobre todo durante la construcción de la estructura. Si una viga con soportes laterales intermedios trata de pandearse lateralmente, el tramo crítico interactúa con los adyacentes, y su resistencia, y la de la viga completa, aumentan; la importancia de la interacción depende de la geometría de la viga y de las cargas que obran sobre ella. La viga de la Fig. 5.17 está apoyada libremente; el eje deformado vertical, que se muestra en a), es una semionda. Sin embargo, desde el punto de vista del pandeo lateral es continua, a causa de los soportes laterales intermedios (Fig. 5.17b), que son proporcionados, con frecuencia, por las mismas vigas transversales que aplican las cargas; en otras ocasiones, se colocan elementos especiales para dar apoyo lateral a las secciones intermedias. En el tramo central el gradiente de flexión es nulo, y en los laterales el momento varía de un máximo en un extremo a cero en el otro; estos tramos tienen mayor resistencia al pandeo que el central, restringen la rotación de sus extremos, y retrasan el fenómeno hasta que se igualan las resistencias de los tres.

44


* S o p o rtes la tera le s P

*

P

* L /3

*

*

L /3 L

L /3

a ) E le va ció n y d e form a ció n e n e l pla n o ve rtica l

P u n to s d e in fle xió n b ) P la n ta y de form ació n la te ral

Fig. 5.17 Viga libremente apoyada con soportes laterales intermedios. La viga de la Fig. 5.18 es continua vertical y lateralmente; sin embargo, desde el punto de vista del pandeo lateral su comportamiento es análogo al de la viga de la Fig. 5.17, aunque ahora es el tramo central el que restringe a los laterales.

*

* L s2 =L 2

*

* L s2 =L 2

L s1 =L 1

a) Elevación y deformación en el plano vertical

b) Planta y deformación lateral

* Soportes laterales

Puntos de inflexión

Fig. 5.18 Viga continua.

Los puntos de inflexión de la curva de deformación lateral se sitúan siempre en los tramos más débiles, y no coinciden con los de la deformada vertical, que aparecen en las secciones de momento nulo; por consiguiente, al estudiar la resistencia al pandeo lateral es erróneo considerar que los puntos de inflexión de la curva vertical pueden considerarse soportados lateralmente, y las distancias entre secciones de momento nulo no son las longitudes efectivas de pandeo. La Fig. 5.19 muestra el efecto de la interacción en los modos de pandeo elástico de una viga continua de tres claros. Si sólo están cargados los laterales (P2 = 0), ellos son los tramos críticos, en los que se inicia, eventualmente, el pandeo; sin embargo, el fenómeno está restringido por el tramo central, sin carga, y en la curva de pandeo


45

aparecen puntos de inflexión en los claros extremos (Fig. 5.19b); si, en cambio, el central es el único claro cargado (P1 = 0), lo restringen los laterales, y la curva de pandeo es la de la Fig. 5.19c, con puntos de inflexión en él. Entre esos dos extremos existe una condición de carga para la que no hay interacción, cada claro se pandea como si estuviera aislado de los demás, y aparecen puntos de inflexión en los dos apoyos intermedios (Fig. 5.19d). P1 L1

P2 L2

P1 L1

Los apoyos están soportados lateralm ente (a) Elevación

Puntos de inflexión (b) M odo1, P 2 =0 Puntos de inflexión (c) M odo 2, P 1 =0 Puntos de inflexión (d) M odo 3, no hay interacción

Fig. 5.19 Modos de pandeo de una viga continua de tres claros. Las curvas de las figuras b, c y d, características del pandeo lateral, corresponden a la configuración deformada de la viga fuera del plano de flexión; la curva elástica de la viga, en su plano vertical original, no depende del contraventeo lateral sino, únicamente, de las cargas. Se cuenta con abundante información teórica para evaluar la carga crítica de pandeo lateral de vigas continuas con soportes laterales entre los apoyos incluyendo, en la solución del problema, la interacción de los tramos que las componen, pero los resultados son demasiado complicados para aplicarlos en problemas rutinarios de diseño (refs. 5.20, 5.21, 5.25); por ello, se han propuesto métodos simplificados. En el más sencillo, aplicable a vigas formadas por varios segmentos con extremos apoyados o provistos de contraventeos que evitan que se alabeen y desplacen lateralmente, se ignora la continuidad lateral entre tramos adyacentes, y se considera cada uno de ellos como si, lateralmente, tuviese apoyos libres; el pandeo elástico de cada segmento se estudia considerando los momentos flexionantes que actúan en él, obtenidos con un análisis de la viga en el plano de carga, y con una longitud efectiva Le igual a la longitud L del segmento (cada tramo, entre apoyos verticales o soportes laterales, se trata como si estuviese aislado). El momento crítico elástico de cada

46


segmento se utiliza para evaluar el conjunto de cargas correspondiente, y el menor de ellos se considera el crítico. Se obtiene, así, un límite inferior de las cargas que ocasionan el pandeo que, en muchos casos, es bastante cercano al real. (En problemas de diseño basta, en general, con conocer el momento crítico de la viga, que se toma igual al menor de los calculados para los tramos que la componen; no suele ser necesario determinar las cargas correspondientes). Los resultados anteriores se pueden mejorar considerablemente, sin complicaciones excesivas, incluyendo en el análisis, de manera aproximada, la interacción del segmento crítico con los adyacentes (refs. 5.20, 5.21, 5.25); se supone que las restricciones contra el desplazamiento lateral y el alabeo de las secciones extremas son idénticas, y que las que hay en el plano de flexión se tienen en cuenta por medio del diagrama de momentos flexionantes en ese plano. Los pasos para resolver un problema son (en vez de las cargas criticas pueden utilizarse los momentos críticos, lo que suele ser ventajoso): 1.

Se determina el diagrama de momentos flexionantes en el plano de carga (Fig. 5.20a).

2.

Se determinan Cb (ec.5.32 o 5.34) y Mcr (ec. 5.31) para cada uno de los segmentos no contraventeados, con una longitud efectiva igual a la distancia real entre puntos soportados lateralmente, y se identifica el tramo que tiene la carga crítica menor. Pm, PrI y PrD (Fig. 5.20b), son las cargas críticas de pandeo del segmento más débil y de los situados a uno y otro lado de él, determinadas suponiendo que sus extremos están apoyados libremente.

3.

Se calculan las rigideces de los tres segmentos; para el segmento crítico: αm =

2 EI y Lbcr

Para los tramos adyacentes: αr = n

EI y  Pm  1 −  L  Pr 

n vale 2 si el extremo opuesto del segmento adyacente es continuo, 3 si está articulado, y 4 si está empotrado. 4.

2

Se determinan las relaciones entre rigideces G = α m α r en los dos extremos del segmento crítico, y se obtiene su factor de longitud efectiva, K, con el nomograma para columnas restringidas, sin desplazamientos lineales relativos entre sus extremos.2

El nomograma puede verse, por ejemplo, en las refs. 5.1, 5.12 ó 5.26, y se incluirá en un capítulo posterior de este libro. Aparece también en la Fig. E5.5.2.


5.

47

Se calcula el momento crítico de pandeo lateral del segmento más desfavorable con la ecuación: M cr =

Cb π KL

EI y GJ + E 2 C a

π2 (KL) 2

Iy

que es la ec. 5.19a, en la que se han introducido el coeficiente Cb y la longitud efectiva KL. Puede utilizarse también la ec. 5.19b, con los factores Cb y K. Conocido Mcr puede determinarse, si se desea, la carga crítica elástica correspondiente.

Mn

Mn+1 (a)

PrΙ, αrΙ

Pm , αm

PrD , αrD

Lbcr

LD

LΙ

(b) Fig. 5.20 Efectos de las restricciones en los extremos: (a) momentos flexionantes en el plano de carga, (b) contraventeo lateral y longitudes de pandeo. El problema puede resolverse trabajando sólo con momentos, sin recurrir a calcular las cargas críticas, como se ilustra en el Ejemplo 5.5. El método anterior está basado en una similitud entre el pandeo elástico de columnas continuas con extremos fijos linealmente y el pandeo lateral por flexotorsión de vigas formadas por varios tramos (ref. 5.21). EJEMPLO 5.53 La viga de la Fig. E5.5.1 es un tramo de una viga continua, o forma parte de una estructura reticular; los apoyos y los puntos de aplicación de las cargas (1 a 5) están soportados lateralmente. Se desea determinar su momento crítico elástico, a) considerando cada tramo, entre puntos fijos lateralmente, aislado de los demás; b) teniendo en cuenta la interacción de los tramos. La viga es una W 24” x 55 lb/ft (61.0 cm x 82 Kg/m). 3

Este ejemplo esta basado en uno de la ref. 5.25.

48


15.8T.=2P; 23.7T.=3P; 7.9T.=P 1 3.80m

90.0Tm=0.75PL 5

2

3

4

3.80m

3.80m

3.80m

a) Dimensiones y cargas

75.0= 90.0= 0.625PL 0.75PL

15.0= 0.125PL

b) Diagrama de momentos flexionantes (Tm)

90.0= 0.75PL

Fig. E5.5.1 Viga del ejemplo 5.5. Propiedades geométricas de la viga (ref. 5.22). Iy = 1210 cm4; J = 49.1 cm4;

Ca = 1039 x 103 cm6

Coeficientes Cb. Pueden calcularse con la ec. 5.32, pues el momento flexionante varía linealmente en cada tramo. Tramo 1.2 M1/M2= 0, Cb = 1.75 Tramo 2.3

M1/M2 = -(75.0/90.0) = -0.833

Cb = 1.75 + 1.05 (-0.833) + 0.3 (-0.833)2 = 1.084 < 2.3.

Cb = 1.084

Tramo 3.4. M1/M2 = -(15.0/90.0) = -0.167. Cb = 1.75 + 1.05 (-0.167) + 0.3 (-0.167)2 = 1.583 < 2.3.

Tramo 4.5

Cb = 1.583

M1/M2 = 15.0/90.0 = 0.167

Cb = 1.75 + 1.05 x 0.167 + 0.3 x 0.1672 = 1.934 < 2.3.

Cb = 1.934

Momentos críticos elásticos, suponiendo tramos aislados. Se calculan con la ec. 5.19a o 5.19b, incluyendo en ellas el coeficiente Cb (ec. 5.31), y tomando la longitud de pandeo de cada tramo igual a su longitud real. Tramo 1.2


Mcr =

=

49

 J  π 2  CbπE Iy +   Ca  L  2.6  L    49.1  π  2  1.75πE  x 1039 x 10 3  x 10 -5 1210  + 380  2.6  380  

= 97.30 Tm. Mcr/Mmáx = 97.30/75.0 = 1.30.

Como L = 3.80 m en todos los tramos, la única cantidad que varía en la ecuación anterior es Cb.

Tramo 2.3

Mcr =

Tramo 3.4

Mcr =

Tramo 4.5

Mcr =

a)

97.30 175 . 97.30 175 . 97.30 175 .

x 1.084 = 60.27 Tm ;

60.27 Mcr = = 0.67 Mmáx 90.0

x 1.583 = 88.01 Tm ;

88.01 Mcr = = 0.98 Mmáx 90.0

x 1.934 = 107.53 Tm ;

107.53 Mcr = = 1.19 Mmáx 90.0

Considerando cada tramo por separado, el crítico es el 2.3; el momento crítico elástico de la viga puede tomarse, conservadoramente, igual a (Mcr)2.3 = 60.27 Tm.

La viga no resistiría las cargas que actúan sobre ella, que producen momentos mayores que el crítico, pero eso no invalida el ejemplo. Las acciones que ocasionarían el pandeo elástico de la viga (determinadas sin considerar la interacción de los diversos tramos) y el diagrama de momentos correspondiente, se obtienen multiplicando por 0.67 las cargas y momentos de la Fig. E5.5.1. Rigideces aproximadas (del tramo crítico y los dos adyacentes). Tramo 1.2. α 12 =

3EI y  (M cr /M máx )mín 1 L  (M cr /M máx )12

 3 x 1210 E  0.67  1  = 9.44 x 106 Kgcm. =  1.30  380 

Tramo 2.3. α23 = 2EIy/L = 2 x 1210E/380 = 12.99 x 106 Kgcm. Tramo 3.4. α34 =

2EI y  (M cr /M máx )mín  2 x 1210E  0.67  1  = 4.11 x 106 Kgcm. 1 = 380  0.98  L  (M cr /M máx )34 

50


Coeficientes G.

G2 = 12.99/9.44 = 1.38;

G3 = 12.99/4.11 = 3.16.

Factor de longitud efectiva. De la Fig. E5.5.2, K23 = 0.85. b)

Momento crítico elástico corregido (Tramo 2-3).

(Mcr) 2.3 =

 49.1   2 1.084πE π  x 1039 x 10 3  x 10 -5 = 80.95 Tm 1210  + 0.85 x380  2.6  0.85 x 380  

Al considerar la continuidad del tramo crítico con los que están a sus lados, el momento crítico elástico de la viga sube de 60.37 Tm, que corresponde al tramo 2-3 aislado, a 80.95 Tm, lo que representa un incremento de 34%. (80.95/60.37 = 1.34). El incremento en resistencia del párrafo anterior se refiere a pandeo elástico; sin embargo, como se ve más adelante, la mayoría de las vigas de estructuras reales se pandean en el intervalo inelástico, lo que obliga a corregir los resultados obtenidos hasta ahora; la diferencia entre los momentos críticos reales, corregidos por inelasticidad, suele ser mucho menor que la que hay entre los elásticos. El pandeo lateral puede ser más crítico durante la construcción que en la estructura terminada; esto sucede, por ejemplo, en las vigas compuestas, antes de colar la losa de concreto. El problema puede resolverse también en función de las cargas críticas de cada tramo, en vez de los momentos críticos; para ello, se expresan las cargas y los momentos en función de la menor de ellas, P, y del claro L = 15.20 m de la viga (Fig. E5.5.1). Se obtiene, así: Tramo 1-2. Mcr = 97.30 Tm = 0.625 PcrL ∴ Pcr = 10.24 Ton. Tramo 2-3. Mcr = 60.27 Tm = 0.75 PcrL ∴ Pcr= 5.29 Ton. Tramo 3-4. Mcr = 88.01 Tm = 0.75 PcrL ∴ Pcr = 7.72 Ton. Tramo 4-5. Mcr = 107.53 Tm = 0.75 PcrL ∴ Pcr = 9.43 Ton. El tramo crítico es el 2-3.


51

oo

Gs

5 0.0 1 0.0 5 .0 4 .0 3 .0

K

Gi 1 .0

0 .9

2 .0

oo 5 0.0 1 0.0 5 .0 3 .0 2 .0

0 .8 1 .0 0 .9 0 .8 0 .7 0 .6 0 .5

0 .7

1 .0 0 .9 0 .8 0 .7 0 .6 0 .5

0 .4

0 .4

0 .3

0 .3

0 .2

0 .6

0 .1 0

0 .2 0 .1

0 .5

0

Fig. E5.5.2 Nomograma para determinar el factor de longitud de columnas en marcos con desplazamientos laterales impedidos.

Rigideces aproximadas. α 12 =

3EI y  (Pcr )2-3  3 x 1210 E  5.29  1  = 9.42 x 106 Kgcm. 1 =  10.24  L  (Pcr )1-2  380

α23 = 2EIy/L = 12.99 x 106 Kgcm. α34 =

2EI y  (Pcr )23  2 x 1210E  5.29  1  = 4.09 x 106 Kgcm. 1 = L  (Pcr )34  380  7.72 

Los resultados son prácticamente iguales a los de arriba, de manera que se obtiene el mismo momento crítico corregido. (Mcr)2-3 = 80.95 Tm = 0.75 PcrL ∴ Pcr = 7.10 Ton. 7.10/5.29 = 1.34, igual que arriba.

52


Las cargas que ocasionarían el pandeo elástico de la viga se obtienen sustituyendo P por Pcr = 7.10 Ton en la Fig. E5.5.1a. EJEMPLO 5.6 Igual que el ejemplo 5.5. La viga es una W12” x 50 lb/ft (31 cm x 74 Kg/m), con las dimensiones y cargas que se indican en la Fig. E5.6.1. 2.3T.

3.5T.

2

3

1 2m

3m

5.8Tm 4 4m

R=2.7Ton a) Dimensiones y cargas

5.4

(+) 6.6

(-) 5.8 b) Diagrama de momentos flexionantes (Tm)

Fig. E5.6.1 Viga del ejemplo 5.6.

Propiedades geométricas de la W12 x 50 (ref. 5.22) Iy = 923 cm4; J = 74.1 cm4; Ca = 504 847 cm6

Coeficientes Cb. Pueden calcularse con la ec. 5.32, pues el momento flexionante varía linealmente en cada uno de los tramos. Tramo 1-2. M1/M2 = 0, Cb = 1.75 Tramo 2-3. M1/M2 = -(5.4/6.6) = -0.818 (curvatura simple). Cb = 1.75 + 1.05 (-0.818) + 0.3 (-0.818)2 = 1.09 < 2.3 ∴ Cb = 1.09

Tramo 3-4. M1/M2 = +5.8/6.6 = 0.879 (curvatura doble) Cb = 1.75 + 1.05 x 0.879 + 0.3 x 0.8792 = 2.90 > 2.3 ∴ Cb = 2.3


53

Momentos críticos elásticos, suponiendo tramos aislados. EC a 504 847 = 2.6 X = 133.1 cm. GJ 74.1

Esta cantidad es constante para todos

los tramos. Tramo 1-2. Ec. 5.20, con el coeficiente Cb. =

1.75π 200

E2 x 923 x 74.1 2.6

 π  1+ x 133.1  200 

Mcr =

Cb π L

1+W 2 =

EI y GJ

2

x 10-5 =

0.027 x 330.70 x 106 x 2.32 x 10-5 =

210.7 Tm. Mcr/Mmáx = 210.7/5.4 = 39.02.   133.1 π  2  1.09π   (330.7 x 10 6 ) 1 +  Tramo 2-3. Mcr = 300   300   Mcr/Mmáx = 64.8/6.6 = 9.82.

Tramo 3-4. Mcr =

0.5

  133.1 π  2  2.90π   (330.7 x 10 6 ) 1 +  400   400  

x10-5 = 64.8 Tm ;

0.5

x 10-5 = 109.0 Tm ; Mcr/Mmáx = 109.0/6.6

=16.52

a) Considerando cada tramo por separado, el tramo crítico es el 2-3, y el momento crítico elástico de la viga puede tomarse, conservadoramente, igual a 64.8 Tm. Rigideces aproximadas. Tramo 1-2. α12 = Tramo 2-3

3EI y  (M cr /M máx )mín  3 x 923 E  9.82  1  = 21.13 x 10 6 1 = L  (M cr /M máx )12  200  39.02 

α23 = 2EIy/L = 2 x 923 E/300 = 12.55 x 106

Tramo 3-4. α34 = Coeficientes G.

3EI y  (M cr /M máx )mín 1 L  (M cr /M máx )34

 3 x 923 E  9.82  1  = 5.72 x 10 6 = 400  16.52  

G2 = 12.55 x 106/21.13 x 106 = 0.59 G3 = 12.55 x 106/5.72 x 106 = 2.19

Factor de longitud efectiva. Del nomograma de la Fig. E5.5.2,

K23 = 0.78

54


b)

Momento crítico elástico corregido del tramo crítico (2-3).

(Mcr)23 =

1.09π 0.78 x300

 133.1π  E2  x 923 x 74.1 1 +   0.78x300  2.6

2

x 10-5 = 99.1 Tm.

Teniendo en cuenta la continuidad de los tramos, el momento crítico de la viga es de 99.1 Tm, 53% mayor que el que se obtiene considerando los tramos aislados (99.1/64.8 = 1.53).


5.5

55

PANDEO LATERAL INELÁSTICO

5.5.1 Aspectos generales De la misma manera que la teoría de Euler sobrestima la resistencia de las columnas que se pandean fuera del intervalo elástico, las ecuaciones que se han visto hasta ahora para calcular Mcr proporcionan valores que pueden ser mucho mayores que la resistencia última de las vigas, si el pandeo se inicia cuando parte de sus secciones transversales está plastificada. Se presenta, en este caso, un fenómeno de pandeo inelástico, característico de vigas de longitud libre (separación entre secciones soportadas lateralmente) intermedia (art. 5.2.1 y Fig. 5.3). A causa de los esfuerzos residuales, la plastificación comienza antes de que se alcance el momento plástico, Mp = Zx Fy, en las secciones tipo 1 o 2, o el momento elástico límite, My = Sx Fy, en las tipo 3. La plastificación parcial de las secciones transversales ocasiona una disminución de las diversas rigideces (EIx, EIy, GJ y ECa), pues las zonas plastificadas se deforman libremente bajo carga creciente, y la sección efectiva, desde el punto de vista de la resistencia al pandeo lateral, disminuye (se reduce a la parte que se conserva en el intervalo elástico). La complejidad del problema del pandeo lateral inelástico se debe a varias razones: 1.

La distribución de esfuerzos residuales en las secciones transversales depende de su geometría y del proceso de fabricación del perfil, y puede variar de manera apreciable aún entre vigas teóricamente iguales.

2.

Cuando comienza la plastificación, las secciones bisimétricas pierden la simetría respecto al eje de flexión, porque al superponerse los esfuerzos producidos por la flexión con los residuales el flujo plástico se inicia en los extremos del patín comprimido y en la zona central del que está en tensión y, cuando crece el momento, se extiende hacia el interior del primero y hacia los extremos del segundo penetrando, además, en la parte del alma que está en contacto con éste (Fig. 5.21).

3.

Si el momento flexionante varía a lo largo del eje de la viga, la amplitud de las zonas plastificadas y la geometría del núcleo elástico, del que proviene la resistencia al pandeo lateral, cambian de unas secciones a otras; el problema se convierte en la determinación del momento crítico de una viga con un solo eje de simetría y de momento de inercia variable.

4.

Los defectos geométricos inevitables, sobre todo que el eje de la viga no sea rigurosamente recto, como se supone en la teoría, influyen mucho más en la resistencia al pandeo inelástico que en el elástico.

El análisis teórico es tan complicado que no se cuenta con soluciones analíticas del problema general en el intervalo inelástico.

56


σrt

σrc

σσ rc=0.3y σrt=

bt bt+c(d-2t) σrc b t c

d 2 x

x x

d 2

Zonas plastificadas en compresión Centroide de la sección Centro de cortante del núcleo elástico

t y

Zona plastificada en tensión

Fig. 5.21 Esfuerzos residuales simplificados y zonas plastificadas. Suponiendo una distribución de esfuerzos residuales y procediendo por etapas sucesivas, con métodos numéricos o elementos finitos, se puede seguir el comportamiento de una viga hasta que falla por pandeo inelástico; aunque los resultados que proporcionan estos métodos analíticos son de aplicación práctica muy limitada, combinándolos con resultados experimentales permiten definir curvas sencillas de transición entre el pandeo elástico y la plastificación total de las secciones tipo 1 o 2, o la parcial de las tipo 3. En la Fig. 5.22 se muestra la curva adimensional Mcr M y − L ry típica de las secciones I laminadas en caliente, relevadas de esfuerzos residuales, en flexión pura, producida por momentos iguales y de sentidos contrarios aplicados en los extremos (curva a); en el intervalo inelástico Mcr M y > 1 , la variación del momento resistente en función de la

(

)

esbeltez es casi lineal. También se muestra en la figura una curva típica de las secciones I laminadas en caliente, con esfuerzos residuales, con la misma condición de carga (curva b). Los esfuerzos residuales reducen de manera apreciable la resistencia del perfil al pandeo lateral por flexotorsión, en el intervalo inelástico, y hacen que el momento para el que se inicia el flujo plástico esté muy por debajo de My.


57

1.4 1.2 Mocr My

Endurecimiento por deformación

Pandeo elástico Momento plástico

(a) 1.0

(b)

Vigas Ι sin esfuerzos residuales

0.8 0.6 0.4

Vigas Ι laminadas en caliente, con esfuerzos residuales Mocr

Mocr L

0.2 0

50

100

150

200

250

300

L/ry

Fig. 5.22 Resistencia de vigas en función de su esbeltez (momentos iguales y de sentidos contrarios en los extremos). La ref. 5.11 contiene resultados numéricos obtenidos para vigas I, laminadas en caliente, con diversas condiciones de carga; algunos de ellos se muestran en la Fig. 5.23, en la que se han trazado curvas adimensionales M 2 M p − M y Mcr , donde M y Mcr es una esbeltez modificada. La condición de carga más severa es la que producen dos pares iguales y de sentidos contrarios, que flexionan la viga en curvatura simple, y la menos severa la correspondiente a pares iguales, que la flexionan en curvatura doble. En el primer caso hay flujo plástico en toda la longitud de la viga, y en el segundo se limita, en general, a porciones pequeñas, en los apoyos o cerca de ellos.

Fig. 5.23 Resistencia de vigas con momentos desiguales en los extremos. Cuando las vigas son muy robustas, fallan por formación de un mecanismo de colapso con articulaciones plásticas, sin que haya inestabilidad lateral; en la Fig. 5.22 se indica, con línea interrumpida, el momento plástico resistente de una sección I laminada típica,

58


que es del orden de 1.12 veces My. Aunque una viga completamente plastificada resiste, en realidad, un momento mayor que Mp, por el endurecimiento por deformación del material, este efecto suele ignorarse en el diseño. 5.5.2 Criterios para determinar la resistencia Se han propuesto varios métodos para calcular aproximadamente, con fines de diseño, el momento crítico de pandeo de vigas que fallan en el intervalo inelástico. Entre ellos están los siguientes: 1.

Se supone que la relación entre las resistencias al pandeo elástico e inelástico es la misma para vigas que para columnas, de manera que el momento crítico de las vigas que fallan por pandeo lateral en el intervalo inelástico se determina calculando su momento crítico elástico ideal, correspondiente a una respuesta elástica ilimitada, y corrigiéndolo con una curva esfuerzo crítico - relación de esbeltez obtenida para columnas. Este procedimiento es la base de las fórmulas de diseño de las refs. 5. 12 y 5.13. La ecuación de partida es la 2.28 del Capítulo 2,  σy   σ cr = σ y 1 −  4σ cre 

(2.28)

que proporciona el esfuerzo crítico de pandeo inelástico de una columna, σcr, en función del esfuerzo crítico elástico ideal correspondiente, σcre. En la deducción de la ec. 2.28 se supone que los esfuerzos residuales máximos de compresión son iguales a σy / 2 , de manera que el pandeo lateral se inicia en el intervalo inelástico siempre que las acciones exteriores ocasionan esfuerzos mayores que el cincuenta por ciento del de fluencia. En términos de momentos, la ec. 2.28 toma la forma 

(M cr ) corr = M y 1 − 

My   4 M cre 

(5.37)

Mcre es el momento crítico elástico hipotético, correspondiente a las condiciones de apoyo y carga de la viga real, My = Sσy es el momento para el que se iniciaría el flujo plástico de la sección, si no hubiera esfuerzos residuales, y (Mcr)corr es el momento crítico real, corregido por inelasticidad. De acuerdo con las hipótesis aceptadas, el pandeo se inicia en el intervalo inelástico, y el momento crítico se calcula con la ec. 5.37, siempre que Mcre es mayor que My/2.


59

La ec. 5.37 no tiene en cuenta que en vigas muy cortas puede alcanzarse el momento de plastificación de la sección, Mp, sin pandeo lateral prematuro, pues el valor máximo de (Mcr)corr dado por ella, para un momento crítico elástico infinitamente grande, que corresponde a L = 0, es My. Sus resultados mejoran sustituyendo My por Mp, para que el momento crítico corregido tienda a Mp cuando L tiende a cero. 2.

El pandeo lateral por flexotorsión en el intervalo inelástico se representa con una línea recta que une los puntos correspondientes a la longitud máxima para la que se alcanza el momento Mp, sin capacidad de rotación, y la longitud mínima para la que el fenómeno se inicia en el intervalo elástico. La primera longitud se determina experimentalmente, y la segunda depende del valor supuesto para los esfuerzos residuales máximos de compresión. Este es el criterio que se utiliza en la ref. 5.14.

3.

En la ref. 5.15 se define la zona de transición empleando el módulo de elasticidad tangente, Et, para tener en cuenta la pérdida de rigidez ocasionada por la plastificación parcial de la viga. De acuerdo con ese criterio, el momento que produce el pandeo es M cri = M cre E t E

Si se admite que para la longitud máxima para la que la viga se plastifica por completo, sin pandearse lateralmente, E t E = 0.25 , se obtieneM cri = M cre 0.25 = M p , de donde M cre = 2M p . Para definir el límite superior de la zona de transición, en la ref. 5.15 se toma M cre = 2.15M p , que corresponde a E t E = 0.22 (Fig. 5.24). . , El límite inferior de la zona de comportamiento inelástico, en el que E t E = 10 queda definido por el punto de la curva para pandeo elástico en el que M cre = 0.67M p . Dicho de otra manera, si M cre < 0.67M p , el pandeo lateral es elástico, y si Mcre ≥ 0.67M p , se inicia en el intervalo inelástico. Esto equivale a suponer que los esfuerzos residuales máximos de compresión valen 0.33 Fy, independientemente del tipo de acero, del proceso de fabricación, y de la forma de las secciones transversales de la viga.

60


Mu 2,15Mp

Secciones tipo 1 o 2

1,15Mp Mp

Mcri(Ec.5.39)

0,67Mp Mcre (Ec.5.19a

Lp

L

Fig. 5.24 Criterio para definir la zona de transición (ref. 5.15). Con los dos límites anteriores, la zona de transición puede definirse con la ecuación

(

M cri = a + b M p M cre

)

(5.38)

Las constantes a y b se determinan con los dos puntos conocidos, M cri = Mp cuando Mcre = 2.15M p , y Mcri = 0.67M p cuando M cre = 0.67 M p :a = 1.15 M p , b = -0.322 M p Llevando estos valores a 5.38,   0.28M p  0.322M p   = 1.15M p 1 − ≤ Mp M cri = M p 1.15 − M cre  M cre   

(5.39)

Aunque Mcre no varía linealmente con L, la representación gráfica de la ecuación anterior es casi una línea recta. La ec. 5.39 es válida para secciones de los tipos 1 y 2, y se utiliza también para las tipo 3 admitiendo como límite del comportamiento elástico Mcre = 0.67My, y sustituyendo Mp por My:


 0.28M y  ≤ My M cri = 1.15M y 1 − M cre  

61

(5.40)

En la ref. 5.16 se utilizan también las ecs. 5.39 y 5.40. Los coeficientes correctivos correspondientes a las diferentes condiciones de apoyo y carga se introducen en las ecs. 5.37, 5.39 y 5.40 modificando el valor de Mcre. Su influencia disminuye cuando Mcri se acerca a Mp o My.

62

5.6


RESISTENCIA DE DISEÑO EN FLEXIÓN

Cuando el contraventeo lateral es adecuado, está regida por la resistencia de las secciones transversales, que pueden fallar por pandeo local (capítulos 3 y 4); en caso contrario, la controla el pandeo lateral por flexotorsión. 5.6.1 Miembros en los que el pandeo lateral no es crítico La resistencia a la flexión de miembros provistos de soporte lateral continuo, o con separaciones L no mayores que Lu, (Fig. 5.25), depende de las relaciones ancho/grueso de los elementos planos que los componen, pues como el pandeo lateral está impedido la falla se produce, eventualmente, por pandeo local.4 M y F R

Mp en Secs. tipo 1 y 2 My en Secs. tipo 3 A Ec. 5.50 o 5.51 (Secs. tipo 1 a 4) Ec. 5.48 en Secs. tipo 1 y 2 Ec. 5.60 en Secs. tipo 3 y 4

2 M en Secs. tipo 1 y 2 3 p

B

2 M en Secs. tipo 3 3 y Falla por pandeo local

Diseño plástico

0

0

Lp

Falla por pandeo lateral

L

Lr

Lu

Vigas robustas

Vigas intermedias

Vigas esbeltas

Pandeo local (no hay pandeo lateral)

Pandeo lateral inelástico

Pandeo lateral elástico

Fig. 5.25 Resistencia al pandeo lateral de vigas de diversas longitudes. En el art. 3.10.2, capítulo 3, se estudia el pandeo local de vigas, y en la Tabla 3.6 se indican los límites de los diversos tipos de sección, clasificados de acuerdo con este fenómeno. En vigas de sección transversal tipo 1 ó 2 en las que L, distancia entre secciones soportadas lateralmente, no excede de Lu, el momento resistente de diseño MR es 4

La falla puede presentarse también sin pandeo local, cuando se forme un mecanismo con articulaciones plásticas.


63

MR = FRZFy = FRMp

(5.41)

producto del factor de resistencia FR por el momento plástico nominal de la sección, Mp = ZFy, puesto que no se producen fallas prematuras por pandeo local ni lateral. FR suele tomarse igual a 0.9. Además, si las secciones son tipo 1, L no excede de Lp en zonas de formación de articulaciones plásticas asociadas con el mecanismo de colapso, y se cumplen las condiciones adicionales señaladas en la sección 1.3 de la ref. 5.16, puede utilizarse la teoría plástica para el análisis de la estructura y el diseño de sus vigas.5 Si las secciones son tipo 3 y L ≤ Lu, tampoco es crítico el pandeo lateral; la viga falla por pandeo local cuando se inicia el flujo plástico en la sección crítica; en ese caso, (5.42)

MR = FRSFy = FRMy

Pueden, sin embargo, tomarse momentos resistentes mayores cuando las relaciones ancho/grueso de patines y alma están comprendidas entre los límites que definen a las secciones tipos 3 y 2 (Fig. 5.26). Para ello, se interpola linealmente entre los puntos A y B de la Fig. 5.26, cuyas coordenadas se conocen, o se evalúan directamente con la ecuación de la recta AB (ecs. 5.43 y 5.44). Pandeo de los patines. Las coordenadas de los puntos A y B son (0.378 E/F y , FRMp) y (0.581 E/F y , FRMy), y la recta que los une tiene por ecuación  b  MR = FRMp 1.1693 - 0.4427 2t 

F y  E 

(5.43)

Pandeo del alma. La ecuación de la recta que une los puntos A (3.712 E/Fy , FRMp) y B (5.602 E/F y , FRMy), es  h MR = FRMp 1.1785 - 0.0485 t 

5

F y  E 

(5.44)

Las secciones tipo 2 tienen capacidad de rotación suficiente para ser utilizadas en estructuras diseñadas plásticamente que se construirán en zonas no sísmicas; las tipo 1 son adecuadas para vigas de estructuras en las que se requiere una gran ductilidad, como son los edificios de varios pisos en zonas de alta sismicidad.

64


En las dos ecuaciones anteriores se ha supuesto que el perfil tiene un factor de forma de 1.10 (f = Mp/My = 1.10). MR

Secs. tipo 1 o 2

FR Mp

A

Secs. tipo 3

Secs. tipo 4

B

FR M y

0.378

E/Fy 0.581

E/Fy

(b/2t) patines

3.712

E/Fy 5.602

E/Fy

(h/t) alma

Fig. 5.26 Momentos resistentes de diseño en vigas con secciones tipo 3. El pandeo lateral no es crítico. Por último, si el alma o almas y los patines de la sección, o alguno de ellos, es tipo 4, el estado límite de falla es por pandeo local del elemento plano más desfavorable. 5.6.1.1

Miembros que no se pandean

El pandeo lateral no puede presentarse, cualquiera que sea la longitud libre, en vigas de sección transversal circular o cuadrada, maciza o hueca, de cualquier tipo (1 a 4), o cuando la flexión es alrededor del eje de menor momento de inercia de las secciones transversales; en todos esos casos las vigas son estables desde el punto de vista de esa forma de pandeo. La resistencia de diseño se determina con la ec. 5.41 ó 5.42, si la sección es tipo 1, 2 ó 3, o queda regida por pandeo local, cuando es tipo 4. EJEMPLO 5.7 La viga libremente apoyada de la Fig. E5.7.1a, de sección transversal constante y 8.00 m de claro, debe soportar tres cargas concentradas, en las posiciones que se indican. El sistema de piso proporciona soporte lateral continuo a su patín superior. Determine las intensidades máximas de diseño de las cargas, tomando como estado límite el agotamiento de la resistencia a la flexión en la sección crítica, para vigas con las secciones transversales hechas con tres placas soldadas que se indican en las Figs. E5.7.1.b a e. El acero es A36 (Fy = 2530 Kg/cm2). El peso propio de la viga se considera incluido en las cargas exteriores.


65

P

P

t =1.27 p

P

2m 2m 2m 2m

d=40.6cm

t =1.27 p

t =0.63 a h=38.1cm

L=8.00m

ta=0.63

d=60.0cm h=57.46cm

(a) 1.27

(b) b=20.3cm t =1.27 p

d=80cm

t =1.27 p

t =0.63 a h=77.46cm d=80cm

b=20.3cm

t =0.63 a h=77.46cm

1.27 (d) b=38cm

1.27

(c)

1.27 (e)

b=60cm

Fig. E5.7.1 Viga del ejemplo 5.7 y secciones transversales que se consideran en él. Mmáx = 1.5 P x 4 - P x 2 = 4.00 P. Tomando P en Ton,

Mmáx se obtiene en Tm.

Como no puede haber pandeo lateral, la resistencia queda regida por el pandeo local de los elementos planos que forman la sección o por agotamiento de la resistencia a la flexión en la sección de momento máximo (Art. 5.6.1). Como la viga es isostática, una sola articulación plástica la convierte en un mecanismo. A continuación se indican las relaciones ancho/grueso máximas de patines y almas de secciones I sometidas a flexión alrededor de su eje de mayor momento de inercia, para acero con Fy = 2530 Kg/cm, correspondientes a los diferentes tipos de sección que se especifican en el art. 3.10.2.1: SECCIÓN Patines (b/2tp) Alma (h/ta)

TIPO 1 9.1 69.6

Sección b. Clasificación (art. 3.10.2.1). Patines.

b/2tp = 20.3/(2 x 1.27) = 8.0 < 9.1

TIPO 2 10.7 105.4

TIPO 3 16.5 159.0

66


Alma.

h/ta = 38.1/0.63 = 60.5 < 69.6

La sección es tipo 1; el estado límite de resistencia en flexión se alcanza cuando se forma una articulación plástica en el centro del claro, donde el momento es máximo. Z = 1242.1 cm3, Mp = ZFy = 1242.1 x 2530 x 10-5 = 31.4 Tm.

El valor máximo de diseño de P se obtiene de la igualdad Mmáx = MR = FRZFy = FRMp (Ec. 5.41). 4.00 P = 0.9 x 31.4 ∴ Pu = 0.9 x 31.4/4.0 = 7.1 Ton.

El valor máximo de diseño de las cargas P que resiste la viga con la sección transversal b) es Pu = 7.1 ton. Sección c. Clasificación (art. 3.10.2.1). Patines.

b/2tp = 20.3/(2 x 1.27) = 8.0 < 9.1

Alma.

h/ta = 57.46/0.63 = 91.2 69.6 < 91.2 < 105.4

Los patines satisfacen los requisitos de las secciones tipo 1, pero la relación h/ta del alma está comprendida entre las tipo 1 y 2. La sección es tipo 2. Como en las secciones tipo 1, se alcanza el estado límite de resistencia en flexión cuando se forma una articulación plástica en el centro del claro. (No hay diferencias en el comportamiento de las secciones tipo 1 y 2, pues como la viga es isostática la falla se presenta, en las dos secciones, cuando se forma la primera articulación plástica, sin redistribución de momentos). Z = 2034 cm3, Mp = ZFy = 2034 x 2530 x 10-5 = 51.46 Tm.

El valor máximo de diseño de P se obtiene de la igualdad Mmáx = MR = FRMp (Ec. 5.41). 4.00 P = 0.9 x 51.46 ∴ P = Pu = 0.9 x 51.46/4.0 = 11.6 Ton.

Las cargas máximas de diseño, Pu, que resiste la viga con la sección transversal c) son Pu = 11.6 Ton.


67

Sección d. Clasificación. Patines.

b/2tp = 38/(2 x 1.27) = 15.0 10.7 < 15.0 < 16.5

Alma.

h/ta = 77.46/0.63 = 123.0 105.4 < 123.0 < 159.0

Las relaciones ancho/grueso de patines y alma están entre los límites de las secciones tipo 2 y 3. La sección es tipo 3. La resistencia de diseño de la viga, MR, corresponde a la aparición del esfuerzo de fluencia en los bordes superior e inferior de la sección media, en la que el momento flexionante es máximo; está dada por (Ec. 5.42) MR = FRSFy = FRMy S = 4530 cm3, MR = 0.9 x 4530 x 2530 x 10-5 = 99.0 Tm.

El valor máximo de diseño de P se obtiene de la igualdad Mmáx = MR. 4.00 P = 99.0 ∴ P = Pu = 99.0/4.0 = 24.8 Ton.

El momento MR puede incrementarse de acuerdo con el art. 5.6.1 (Fig. 5.26 y ecs. 5.43 y 5.44): Z = 4745 cm3, Mp = 120.0 Tm.

Como b/2tp = 15.0 está comprendido entre 0.378 E / Fy = 10.7 y 0.581 E / Fy = 16.5, MR está entre 0.9My = 99.0 Tm y 0.9Mp = 108.0 Tm. Se obtiene por interpolación lineal entre FRMp y FRMy, teniendo en cuenta las relaciones b/2tp a las que corresponden esos dos momentos (Fig. E5.7.2a). De manera análoga se determina el momento resistente correspondiente al pandeo local del alma (Fig. E5.7.2b). MR está regido por el pandeo local de los patines, producido por un momento de 101.3 Tm, menor que 105.0 Tm, que ocasiona el pandeo local del alma. La aplicación de las ecuaciones 5.43 y 5.44 lleva a los mismos resultados: pandeo local de los patines, MR = 101.0 Tm, pandeo local del alma, MR = 104.6 Tm. Por consiguiente, MR = 101.3 Tm, Pu = 101.3/4.0 = 25.3 Ton.

68


La viga de sección d) resiste cargas máximas de diseño de 25.3 ton.

Patines Tm

Alma Tm

FRMp=108.0

101.3

FRMy=99.0

FRMp=108.0

105.0

FRMy=99.0 b/2t p

10.7=0.378 E Fy

15.0 16.5=0.581 E Fy

108.0-99.0 M =99.0+ 16.5-10.7 (16.5-15.0)=101.3T m R (a)

3.712

h/ta E =105.4 E =159.0 5.602 Fy Fy 123.0

108.0-99.0 M =99.0+ 159.0-105.4(159.0-123.0)=105.0Tm R MR=101.3Tm

(b)

Fig. E5.7.2 Incremento del momento resistente de la sección d (tipo 3). Sección e. Clasificación. Patines.

b/2tp = 60.0/(2 x 1.27) = 23.6 > 16.5.

Alma.

h/ta = 77.46/0.63 = 123.0 105.4 < 123.0 < 159.0


69

El alma es tipo 3 y los patines tipo 4; el momento resistente corresponde a la iniciación del pandeo local del patín comprimido. Vale (ref. 5.16, y sec. 3.10.1.2.3): MR = FRQsSFy = FRQsMy ≤ FRMy        0.378 E = 10.7  <  b = 23.6  < 1.029 E = 29.2       2t  Fy Fy     p   ∴ Qs = 1.415 - 0.00052 x 23.6

2530 = 0.798

S = 6578 cm3, My = 166.4 Tm, MR = 0.9 X 0.798 X 166.4 = 119.5 Tm < FRMy = 149.8 Tm. ∴ Pu = 119.5/4.0 = 29.9 Ton. El momento resistente máximo de diseño está regido por

la resistencia al pandeo local del patín comprimido. 5.6.2 Miembros en los que el pandeo lateral es crítico Cuando la distancia entre puntos soportados lateralmente es mayor que Lu (Fig. 5.25), el estado límite de falla de vigas de sección transversal I o H flexionadas alrededor de los ejes de mayor momento de inercia suele ser el de pandeo lateral por flexotorsión, que ocasiona disminuciones, que pueden ser muy significativas, en la resistencia a la flexión. (En vigas con secciones transversales tipo 4 pueden presentarse fallas prematuras por pandeo local, bajo solicitaciones más pequeñas). El pandeo lateral no suele ser crítico en estructuras terminadas, en las que las vigas están soportadas lateralmente, casi siempre, por los sistemas de piso; sin embargo, puede serlo en casos particulares, o durante el proceso de montaje. 5.6.2.1

Pandeo lateral en el intervalo elástico

En una viga libremente apoyada de sección I o H, flexionada por momentos en los extremos, aplicados alrededor de los ejes de mayor inercia, que producen flexión uniforme, es decir, momento flexionante constante y curvatura simple, el momento crítico, para el que se inicia el pandeo lateral por flexotorsión, se calcula con la expresión: Mcr =

π L

2

 πE  πE EI y GJ +   I y C a =  L  L

 J  π 2  I y  +   C a   2.6  L  

(5.19, a y b)

Las ecs. 5.19 son válidas cuando el pandeo se inicia en el intervalo elástico, lo que sucede cuando la longitud libre L es igual o mayor que Lr. En buena parte de los casos reales proporcionan resultados conservadores, pues el momento flexionante no suele ser constante en toda la longitud L, y las conexiones entre la viga y los elementos estructurales en los que se apoya, que pueden ser columnas u otras vigas, producen restricciones que no se tienen en cuenta al deducirla. Sin embargo, en otros casos pueden ser inseguras, ya que tampoco consideran el efecto desfavorable de las cargas aplicadas arriba del centro de gravedad de las secciones transversales.

70


En la fig. 5.25 se muestra esquemáticamente la relación entre el momento resistente nominal, MR/FR, y la longitud libre L, distancia entre puntos soportados lateralmente. Las ecs. 5.19 son válidas para longitudes L mayores que Lr; si L está comprendida entre Lu y Lr, sus resultados se corrigen para tener en cuenta que el pandeo se inicia cuando parte del material está plastificado, y si L < Lu no hay pandeo lateral; la falla es por pandeo local. En las últimas décadas las ecs. 5.19 han sido la base para el diseño de miembros de sección transversal I o H en flexión, cuando el estado límite de falla es el pandeo lateral. Sin embargo, hasta hace pocos años se consideraban demasiado complicadas para diseños rutinarios, por lo que en las normas de diseño se proponían fórmulas simplificadas basadas en ellas. La simplificación más común consistía en despreciar uno de los dos términos del radical, conservando sólo la resistencia a la torsión de Saint Venant o la resistencia al alabeo, con lo que se obtenían, siempre, resultados conservadores. En la mayoría de los casos una de las resistencias es bastante mayor que la otra, por lo que si se toma en cuenta el término más grande el error que se comete suele ser aceptable. De aquí proviene el uso de dos fórmulas para evaluar, en cada caso, el esfuerzo permisible o el momento resistente, tomando para el diseño el mayor de los dos valores. Este método se recomienda todavía en las especificaciones del AISC para diseño basado en esfuerzos permisibles (ref. 5.12). El uso cada vez más frecuente de las computadoras electrónicas para resolver problemas de diseño, y el empleo universal de las calculadoras de bolsillo, hacen que las ecs. 5.19 no resulten ya demasiado complicadas, por lo que se recomienda que se tome la ecuación completa como base para determinar la resistencia en flexión de vigas de sección H o I, flexionadas en el plano de mayor resistencia, cuando es crítico el pandeo lateral. Las ecs. 5.19 proporcionan el momento resistente nominal, Mu, de una viga de sección I o H, flexionada alrededor de sus ejes de mayor momento de inercia, cuando el pandeo lateral se inicia en el intervalo elástico. 5.6.2.2


Si las secciones son tipo 1 o 2 y el momento flexionante para el que se inicia el pandeo lateral, calculado con las ecs. 5.19, es mayor que 2Mp/3, aproximadamente, las suposiciones que llevan a la obtención de esas ecuaciones dejan de ser válidas; el momento resistente nominal se calcula con la ecuación semiempírica 5.39, que proporciona la resistencia reducida por plastificación parcial de la viga; si el valor de Mcr obtenido con ella excede de Mp, éste es el momento resistente nominal, ya que Mp es la resistencia nominal máxima posible de una viga en flexión (ignorando el endurecimiento por deformación).


71

Como en todos los casos de pandeo de elementos o estructuras de acero, el problema teórico está resuelto cuando el fenómeno se inicia en el intervalo elástico, lo que sucede en estructuras muy esbeltas. (Sin embargo, sigue habiendo incertidumbres al aplicar los resultados teóricos al diseño de estructuras reales debidas, entre otras cosas, a la falta de conocimiento exacto de las restricciones que imponen los apoyos en los movimientos del elemento). Además, por medios experimentales se han obtenido las características geométricas de las estructuras para las que no se presentan fenómenos de pandeo. En el caso de las vigas, se cuenta con expresiones analíticas para calcular la carga crítica elástica, que son aplicables a partir del punto B de la Fig. 5.25, es decir, para longitudes libres mayores que Lr (el punto B se determina fijando su ordenada de una manera más o menos arbitraria, basada en los esfuerzos residuales que hay en los perfiles de acero), y se conoce la longitud libre correspondiente al punto A (Fig. 5.25), hasta la cual no hay pandeo lateral. Un número importante de vigas, entre las que está la mayoría de las que se emplean en estructuras reales, tiene longitudes libres comprendidas entre Lu y Lr, es decir, se encuentra entre los puntos A y B; en todas ellas el pandeo se inicia en el intervalo inelástico. La determinación de la carga crítica de pandeo inelástico es un problema complejo, y no se cuenta con soluciones prácticas aplicables a la mayoría de los casos de interés en estructuras reales, por lo que para diseño se emplean curvas semiempíricas que unen los puntos A y B, sancionadas comparando los resultados que proporcionan con los obtenidos con métodos experimentales. Cuando las secciones son tipo 3 ó 4 se emplean expresiones semejantes (ecs. 5.39 para pandeo elástico y 5.40 para pandeo inelástico), en las que Mp se sustituye por My; Mu sigue calculándose con las mismas ecuaciones. En la determinación del momento resistente máximo de las secciones tipo 4 se tiene en cuenta la posible pérdida de resistencia por pandeo local, ya que, independientemente de los resultados de un estudio del pandeo lateral, la resistencia de la viga puede quedar regida por ese fenómeno. 5.6.3 Normas técnicas complementarias del reglamento del D.F. A continuación se presentan los métodos que se utilizan en las refs. 5.16 y 5.19 para evaluar las resistencias de diseño6 correspondientes a los estados límite de pandeo local y de pandeo lateral por flexotorsión; son aplicables a vigas laminadas o formadas por lámina delgada, doblada en frío o en caliente, y a trabes armadas de eje recto y sección transversal constante, flexionadas alrededor del eje de mayor momento de inercia. Las ecuaciones de partida para el segundo estado límite son la 5.19, a o b, que proporciona el momento crítico de vigas que se pandean en el intervalo elástico, y la 5.39 y 5.40, con las que se calculan los momentos críticos, corregidos por inelasticidad, de 6

Las resistencias de diseño se obtienen multiplicando las nominales por un “factor de resistencia”, FR, siempre menor que la unidad. En flexión suele tomarse FR = 0.9.

72


secciones tipo 1 y 2, o tipo 3. El segundo miembro de la ec. 5.19, a o b, se multiplica por un factor 1/C, que se estudia más adelante, para tener en cuenta la variación del momento flexionante a lo largo del tramo de viga sin soporte lateral. Se definen tres longitudes características, Lp, Lu y Lr, que son las distancias entre secciones transversales soportadas lateralmente (o sea las longitudes libres de pandeo) que separan los diferentes comportamientos de las vigas, desde el punto de vista de su posible falla por pandeo lateral (Fig. 5.25). Esas longitudes dependen, en cada caso particular, de la geometría de las secciones transversales de la viga, de las propiedades mecánicas del material, y de la variación del momento flexionante en el tramo considerado. Lp es la longitud máxima sin soporte lateral para la que las vigas de sección transversal tipo 1 pueden desarrollar el momento plástico MP, y conservarlo durante las rotaciones necesarias para la formación de un mecanismo de colapso; se calcula con las ecs. 5.45 y 5.46, que provienen de estudios experimentales (ref. 5.17); son válidas, respectivamente, para secciones I y para secciones rectangulares, macizas o en cajón.   M 1   E     ry Lp = 0.12 + 0.076   M 2   F y     M 1   E   Lp = 0.17 + 0.10   M 2   F y 

   r ≥ 0.10  E  y F   y

(5.45)  r  y 

(5.46)

M1 y M2 son el menor y el mayor de los momentos en los extremos del tramo no soportado lateralmente, y ry el radio de giro de la sección transversal, respecto al eje de menor momento de inercia. El cociente M1/M2 es positivo cuando el segmento de viga entre puntos soportados lateralmente se flexiona en curvatura doble, y negativo cuando lo hace en curvatura simple. M2 es, con frecuencia, el momento plástico resistente del miembro, Mp. Si se satisfacen las condiciones 5.45 y 5.46 se obtienen capacidades de rotación de 3.0 o más, suficientes para estructuras diseñadas plásticamente bajo cargas estáticas y viento. En estructuras que se construirán en áreas de alta sismicidad, diseñadas teniendo en cuenta su capacidad para disipar energía por comportamiento inelástico, en las que pueden requerirse capacidades de rotación comprendidas entre 7 y 9, o algo mayores, la ec. 5.45 se sustituye por (refs. 5.14 y 5.18) Lp = 176 000 ry /Fy

(5.47)

Deben soportarse lateralmente todas las secciones en las que aparecen articulaciones plásticas asociadas con el mecanismo de colapso. Lu es la longitud libre más grande para la que las vigas tipo 1 ó 2 pueden, todavía, desarrollar el momento Mp, pero no conservarlo durante rotaciones plásticas, de manera


73

que ese momento se alcanza sólo un instante y disminuye inmediatamente después; si L ≤ Lu, los miembros tipo 3 desarrollan el momento My. Por último, Lr es la distancia entre puntos soportados que separa el pandeo lateral elástico del inelástico. Más adelante se calculan Lu y Lr. La parte de las normas de la ref. 5.16 relativa a este problema, con pequeñas modificaciones, es la que sigue. La resistencia de diseño de miembros en flexión provistos de soportes laterales con separaciones mayores que Lu, es igual a: a)

Para secciones tipo 1 o 2 con dos ejes de simetría, flexionadas alrededor del eje de mayor momento de inercia: Si Mu >

2 Mp, 3

 0.28M p   ≤ FR Mp MR = 1.15 FR Mp 1 − Mu  

(5.48)

Esta ecuación es la 5.39, en la que se ha introducido el factor de resistencia FR para pasar de resistencias nominales a resistencias de diseño. Si Mu ≤ (2/3) Mp,

(5.49)

MR = FR Mu

En vigas de sección transversal I o H, laminadas o hechas con tres placas soldadas, Mu, momento resistente nominal de la sección, cuando el pandeo lateral se inicia en el intervalo elástico, es igual a: Mu =

π CL

2

 πE  πE EI y GJ +   I y C a =  L  CL

 J  π 2  Iy  +   Ca   2.6  L  

(5.50, a y b)

Estas ecuaciones son las 5.19, de las que sólo difieren en el coeficiente C que aparece en el denominador; más adelante se explica su significado. En secciones I o H laminadas o hechas con placas, de dimensiones semejantes a las laminadas, puede tomarse; Mu = (1/C)

donde:

2 2 M c1 + M c2

(5.51)

74


Mc1 =

Mc2 =

EAt (L/r y )

(5.52)

4.7 EAd

(5.53)

(L/r y ) 2

En las ecuaciones anteriores FR es el factor de resistencia, que vale 0.90, A y d son el área total y el peralte de la sección considerada, Iy y ry su momento de inercia y radio de giro respecto al eje de simetría situado en el plano del alma, t el grueso del patín comprimido, L la separación entre secciones transversales fijas lateralmente, J y Ca las constantes de torsión de Saint Venant y por alabeo de la sección y C, que puede tomarse conservadoramente igual a la unidad, está dado por: C= 0.60 + 0.40 M1/M2

para tramos que se flexionan en curvatura simple.

C = 0.60 - 0.40 M1/M2

pero no menor que 0.4, para tramos que se flexionan en curvatura doble.

C = 1.0

cuando el momento flexionante en cualquier sección dentro del tramo no soportado lateralmente es mayor que M2, o cuando el patín no está soportado lateralmente de manera efectiva en uno de los extremos del tramo.

M1 y M2 son, respectivamente, el menor y el mayor de los momentos en los extremos del tramo en estudio, tomados en valor absoluto. En miembros de sección transversal en cajón (rectangular hueca) se toma Ca = 0. Lu es la longitud máxima no soportada lateralmente para la que el miembro puede desarrollar todavía el momento plástico Mp (no se exige capacidad de rotación), y Lr la longitud que separa los intervalos de aplicación de las ecs. 5.48 y 5.49 (la ec. 5.48 es válida para L ≤ Lr y la 5.49 para L > Lr). Lu y Lr se calculan con las expresiones siguientes: Miembros de sección transversal I: Lu =

2π Xr

EC a GJ

1 + 1 + X u2

(5.54)

Lr =

2π Xr

EC a GJ

1 + 1 + X r2

(5.55)

E es el módulo de elasticidad del acero y G su módulo de elasticidad al esfuerzo cortante; valen 2 040 000 Kg/cm2 y 784 000 Kg/cm2, respectivamente.


Xu = 4.293 C

ZF y GJ

75

Ca 4 ZF y = 3.220 X r , X r = C Iy 3 GJ

Ca Iy

En secciones I laminadas o hechas con placas soldadas, de proporciones semejantes a las laminadas, pueden utilizarse las expresiones simplificadas. Lu =

6.55 dry Xu t

1 + 1 + X u2

(5.56)

Lr =

6.55 dry Xr t

1 + 1 + X r2

(5.57)

donde 2  d  Fy Xu = 7.7 C   = 3.208 X r , t E

2  d  Fy X r = 2.4 C   t  E

Miembros de sección transversal rectangular, maciza o hueca:

b)

Lu = 0.91

E CZF y

IyJ

(5.58)

Lr = 2.92

E CZF y

I y J = 3.21 Lu

(5.59)

Para secciones tipo 3 ó 4 con dos ejes de simetría y para canales en las que está impedida la rotación alrededor del eje longitudinal, flexionadas alrededor del eje de mayor momento de inercia: Si Mu >

2 My, 3

 0.28 M y   MR = 1.15 FR My 1 Mu  

(5.60)

pero no mayor que FR My para secciones tipo 3, ni que el valor calculado teniendo en cuenta la posible falla por pandeo local cuando las almas cumplen los requisitos de las secciones 1, 2 o 3 y los patines son tipo 4. La ecuación 5.60 proviene de la 5.40. Si Mu ≤

2 3

My,

76


MR = FR Mu

(5.61)

Mu se calcula con una de las ecuaciones 5.50 o, cuando sean aplicables, pueden utilizarse las ecs. 5.51 a 5.53. Estas tres ecuaciones pueden emplearse también para las canales, haciendo en ellas Mc2 = 0. Los límites de aplicación de las diversas ecuaciones se determinan también con las ecs. 5.54 a 5.59, pero al calcular Xu y Xr y al aplicar las ecs. 5.58 y 5.59 a miembros de sección transversal rectangular hueca debe sustituirse Z por S. Cuando los patines cumplen los requisitos de las secciones tipo 1, 2 o 3 y las almas son tipo 4, el momento resistente de diseño no debe exceder el valor obtenido teniendo en cuenta la esbeltez del alma (en este caso la viga es una trabe armada; se estudia en el capítulo 6). En miembros de sección transversal en cajón (rectangular hueca) se toma Ca = 0. 5.6.3.2.1 Fórmulas simplificadas En secciones I o H laminadas, o hechas con placas, de dimensiones semejantes a las laminadas, el momento resistente nominal para pandeo elástico, Mu, puede calcularse con la expresión simplificada 5.51. Las ecs. 5.52 y 5.53, con las que se evalúan los términos Mc1 y Mc2 del radical (ref. 5.1), corresponden, respectivamente, a la resistencia a la torsión de Saint Venant y a la resistencia al alabeo. La ec. 5.51 puede tener ventajas sobre las 5.50 cuando no se cuenta con valores tabulados de las constantes de torsión, J y Ca (que, por otro lado, no son difíciles de calcular). En la Fig. 5.27 se muestran varias curvas que relacionan el momento resistente con la longitud libre de pandeo lateral de una viga IPR 14” x 8” x 64.1 Kg/m (ref. 5.19), de acero con Fy = 2530 Kg/cm2, sometida a flexión pura. Las curvas (1) a (4) corresponden a valores de Mu obtenidos con las ecs. 5.50 a 5.53; todas están corregidas con la ec. 5.48 cuando el pandeo se inicia en el intervalo inelástico; el momento resistente máximo es el momento plástico de la viga. Las curvas (1) y (2) tienen en cuenta la resistencia completa a la torsión del perfil; proporcionan resultados muy semejantes, como en todas las secciones I laminadas o hechas con tres placas soldadas, de proporciones semejantes a las laminadas. En la curva (3) se conserva sólo la resistencia por torsión de Saint Venant, despreciando la contribución de la resistencia al alabeo, y en la (4) se ha considerado únicamente la resistencia a la torsión que proviene de la oposición del perfil al alabeo.


77

De acuerdo con la ref. 5.12, el momento de diseño es el correspondiente a aquella de las curvas (3) y (4) que se encuentra por encima de la otra para la longitud libre L de interés. Se obtienen siempre resultados conservadores, excepto en vigas muy cortas, en las que rige el momento plástico. En la ref. 5.12 el diseño se basa en los esfuerzos permisibles que corresponden a las curvas mencionadas.

MR/FR,TM

M Mp=28.9

30 25

M L IPR14”x8”x64.1kg/m Fy=2530kg/cm 2

(2/3)M p=19.3

20

(1)

5 0

0

1

2

3 (1) (2) (3) (4)

Lr=7.39

10

5.84

Lu=3.46

15

4

5

6

7

(3)

(4) 8

9

(2)

10

11 12 13 L,m

14

Ecs. 5.41, 5.48, 5.49 y 5.50 Ecs. 5.41, 5.51, 5.48 y 5.49 Ecs. 5.41, 5.52, 5.48 y 5.49 Ecs. 5.41, 5.53, 5.48 y 5.49

Fig. 5.27 Relaciones momento resistente-longitud libre de pandeo. Las curvas (3) y (4) se cruzan en el punto de abscisa L = 4.7 dry/t (5.84 m para la viga de la figura); este valor se obtiene igualando los segundos miembros de las ecs. 5.52 y 5.53 y despejando L. Para longitudes mayores domina la resistencia a la torsión de Saint Venant, mientras que en las más cortas predomina la oposición al alabeo. 5.6.3.2.2 Flexión no uniforme Las ecs. 5.32 y 5.34 proporcionan coeficientes Cb por los que se multiplica el momento crítico de pandeo elástico de vigas en flexión pura, dado por las ecs. 5.19 ó 5.20, para obtener el de vigas en flexión no uniforme. En el diseño de miembros flexocomprimidos aparece otro coeficiente, llamado Cm en las refs. 5.12 y 5.14, que depende también de la ley de variación del momento flexionante a lo largo de la columna; se puede demostrar que Cb (ec. 5.32) es prácticamente igual a 1/Cm, en todo el intervalo de valores de M1/M2, por lo que en la ref. 5.16 se emplea un solo coeficiente, C, igual al Cm de los otros reglamentos. Así, para incluir el efecto, en Mcr, de la variación de los momentos flexionantes, se introduce en el segundo miembro de la ec. 5.19 el factor 1/C, con lo que se llega a la ec. 5.50.

78


La expresión 5.32 para el cálculo de Cb, y las que se dan en la ref. 5.16 para determinar C, son bastante precisas si se aplican a tramos de vigas en los que el momento varía linealmente, pero pierden exactitud cuando el diagrama es curvo, sobre todo si el momento máximo en la zona central del tramo es mayor que el más grande de los momentos en los extremos, M2; cuando esto sucede se toma, conservadoramente, C = 1.0. Para resolver ese problema, en la ref. 5.14 se recomienda la ec. 5.34, ligeramente modificada. En la Fig. 5.28 se muestra como evaluar C para diagramas de momentos de diversas formas, teniendo en cuenta las secciones de las vigas que están soportadas lateralmente. 5.6.4 Longitudes características Las ecs. 5.54 a 5.59 proporcionan Lu y Lr para vigas de sección transversal I o rectangular, maciza o hueca; con ellas se calcula la longitud libre máxima para la que el pandeo lateral no es crítico para un perfil determinado y la longitud que separa el pandeo elástico del inelástico. Lr se obtiene igualando el momento dado por la ec. 5.50, en la que se ha sustituido L por Lr, a (2/3)Mp, que es el momento crítico más grande para el que el pandeo se inicia, todavía, en el intervalo elástico (Fig. 5.25): π CLr

 πE  2 2 2 EI y GJ +   I y C a = M p = ZF y 3 3 L  r

Despejando Lr se llega a la ec. 5.55. Lu es la longitud máxima para la que el momento resistente es aún igual a Mp. Se determina con la ec. 5.48, en la que se sustituye Mu por el valor dado por la ec. 5.50; se iguala a Mp y se despeja L, que es la longitud Lu buscada (Fig. 5.25).

1.15 FR M p

   1 −  π  CL 

   0.28 M p  = FR M p = FR ZF y   πE  2 EI y GJ +   I y C a   L  

De esta igualdad se obtiene la ec. 5.54. En vigas de sección transversal rectangular, maciza o hueca, flexionadas en el plano de mayor resistencia, la contribución a la resistencia al pandeo que proviene de la torsión de Saint Venant es mucho mayor que la debida a la oposición al alabeo, por lo que se


79

comete un error de poca importancia, siempre del lado de la seguridad, si se desprecia el segundo término de la ec. 5.50; se convierte en Mu =

π CL

EI y GJ

(5.62)

Procediendo de manera análoga a como se hizo arriba, pero sustituyendo la ec. 5.50 por la 5.62, se obtienen las ecs. 5.58 y 5.59. En vigas I de mucho peralte, como son la mayoría de las trabes armadas, sucede lo contrario que en las vigas en cajón; ahora predomina la resistencia al alabeo, y el momento crítico de pandeo lateral elástico se obtiene, con buena precisión, con la ecuación: 2

Mu =

π  πE    I C CL  L  y a

(5.63)

VALORES DE C

DIAGRAMA DE MOMENTOS

SOPORTE LATERAL (PLANTA)

CARGAS

1.0

L 1

M

L

L :0.60 2

L :1.0 1

L 2

M 1

1

1

SiM

2

1 0.4

M

M2

M ,1.0 1 3

M

2

M , 3

M

M

1

3

Si M

M

M

L

0.6 -0.4

M

2

1 M

L

1

M

1

M

3

3

2

2

M

L

2

M

M

2

L :0 .6-0.4 M 2

2 0 .4 3

M

M L :0.6-0.4 3 0.4 M 1 1

M

M1

1

1

1

M

2

3

L

M

2

4

2

5 M

3

M

L

M

M

M ;M M M M 3 5 4 3 2

L

1

M

L :0.6-0.4 2 o.4 M 3 4

L :1.0 2

L :0 .6-0.4 3 o.4 M 1 1

M

M

M

L

1

2

1 M

1

M

2

L :1.0 2

L :0.6 1

M

M

L

2

1

L

3

1 M2 M M 2 1

2

M

L

M L :0.6+0.4 1 M 2 2

L y L =0.6 1 3

L

80 Flexión 2 (Pandeo Lateral)

fig.5.28 Miembros en flexión. Valores del coeficiente C para distintos casos de carga y soporte lateral


81

Los resultados de esta ecuación son, también, conservadores. Siguiendo, una vez más, el camino que llevó a las ecs. 5.54 y 5.55, utilizando la ec. 5.63 en lugar de la 5.50, se obtiene Lu =

Lr =

1.52 C 2.72 C

E Fy

I yd

E Fy

I yd

Z

Z

(5.64)

(5.65)

d es la distancia entre los centros de gravedad de los patines. Estas expresiones son aplicables a trabes armadas esbeltas, de sección I. Tanto las ecs. 5.58 y 5.59 como las 5.64 y 5.65 proporcionan resultados conservadores (es decir, longitudes Lu y Lr menores que las que se obtienen con las ecs. 5.54 y 5.55), cuando se aplican a las secciones adecuadas. La determinación de Lu y Lr puede ser necesaria para elaborar gráficas o tablas que sirvan como ayudas de diseño, pero no se requiere para calcular la resistencia a la flexión; para ello, basta evaluar el momento resistente nominal de pandeo elástico Mu con las ecs. 5.50 ó 5.51 (haciendo en las primeras Ca = 0 si la sección es en cajón) y compararlo con (2/3)Mp; si Mu > (2/3)Mp el pandeo se inicia en el intervalo inelástico, y el momento resistente de diseño se calcula con la ec. 5.48; si Mu ≤ (2/3)Mp el pandeo es elástico, Mu es el momento resistente nominal, y el de diseño se obtiene con la ec. 5.49. Las ecs. 5.54 a 5.59 son válidas también para vigas de sección transversal tipo 3 ó 4, sustituyendo en ellas el módulo de sección plástico Z por el elástico S. 5.6.5 Efecto del nivel en el que están aplicadas las cargas Las ecuaciones proporcionadas en la ref. 5.16, reproducidas aquí, para determinar la resistencia de diseño de miembros en flexión en los que es crítico el pandeo lateral, se han deducido suponiendo que la flexión es producida por momentos que actúan en los extremos de la viga, o por cargas transversales aplicadas en su eje centroidal. Si las cargas descansan sobre el patín superior, y éste no está soportado lateralmente, en cuanto se inicia el `pandeo ocasionan momentos de torsión adicionales, que aceleran el fenómeno y reducen el valor del momento crítico; en cambio, si están aplicadas en el patín inferior, o colgadas de él, producen un efecto estabilizador que incrementa la resistencia al pandeo lateral (Fig. 5.11). El nivel de aplicación de las cargas no afecta la resistencia de los miembros en flexión cuando están impedidos los desplazamientos laterales y los giros de sus secciones transversales.

82


En algunos casos (en vigas cuyo patín inferior sirve como soporte para una grúa móvil, por ejemplo), puede ser conveniente tener en cuenta los efectos favorables de las cargas aplicadas debajo del centro de gravedad de las secciones transversales; por otro lado, puede ser indispensable, para evitar diseños inseguros, considerar el efecto desfavorable de las que actúan encima de él; esta condición puede presentarse durante el proceso de montaje de la estructura, o cuando en el patín superior de la viga descansa una cubierta ligera y poco rígida que no proporciona soporte lateral adecuado. Las refs. 5.1, 5.9 y 5.10 contienen curvas y fórmulas para calcular el momento crítico de pandeo elástico correspondiente a cargas aplicadas en el patín superior, en el centroide y en el patín inferior de vigas con varias condiciones comunes de apoyo y carga. En el artículo 5.4.2 se han presentado algunos resultados. El efecto que se está discutiendo es más importante en vigas de gran peralte y claro pequeño que en las de sección transversal robusta y peralte reducido utilizadas en claros grandes. El momento crítico reducido por el efecto desfavorable de las cargas aplicadas en el patín superior puede aproximarse, de manera conservadora, igualando a cero el segundo de los dos términos del radical de las ecs. 3.50 y 3.51, lo que equivale a despreciar la contribución de la resistencia al alabeo a la resistencia total al pandeo lateral. Si se desea calcular las longitudes Lu o Lr, debe hacerse con las ecs. 5.58 y 5.59.


5.7

83

CONTRAVENTEO

5.7.1 Introducción Los elementos con los que se da soporte lateral a las vigas deben evitar el movimiento lateral y el giro de las secciones transversales contraventeadas. Para ello esos elementos (que pueden ser las mismas vigas secundarias que transmiten las cargas, o miembros colocados especialmente) y sus conexiones, han de tener resistencia y rigidez, bajo fuerzas axiales de compresión, y, a veces, de momentos flexionantes, suficientes para resistir la tendencia de la trabe a girar y deformarse lateralmente. En las estructuras terminadas se cuenta con un contraventeo lateral que suele ser adecuado, proporcionado por la losa que se apoya en las vigas, o por elementos secundarios que llegan a ellas, pero el contraventeo existente durante la construcción es con frecuencia escaso, por lo que debe revisarse también el posible pandeo lateral de las vigas en esta etapa. Este aspecto puede ser especialmente importante en estructuras compuestas, antes de que se cuelen las losas de concreto. En las normas solía prestarse poca atención al diseño de los elementos de contraventeo; cuando se trataba el problema, tradicionalmente se indicaba que los elementos que proporcionan soporte lateral al patín comprimido de las vigas (o a la cuerda en compresión de las armaduras), y sus conexiones, debían diseñarse para resistir, como mínimo, una fuerza igual a un pequeño porcentaje, entre el uno y el 2.5 por ciento, de la compresión existente en el patín (o en la cuerda) en el punto soportado. No solía hacerse ninguna indicación referente a la rigidez del contraventeo. Esta situación está cambiando en los últimos años (ref. 5.25 y 5.27). Si sobre la viga se apoya una losa de concreto reforzado en la que queda ahogado el patín comprimido, o si ambos están interconectados mecánicamente, como en la construcción compuesta, o con un número adecuado de varillas del refuerzo transversal de la losa soldadas al patín, la restricción es suficiente para evitar todo desplazamiento lateral o torsional si la losa y los elementos de unión entre ella y la viga pueden resistir una fuerza total, aplicada en el plano de la losa y considerada uniformemente distribuida a lo largo del patín comprimido, igual, como mínimo, al cinco por ciento de la fuerza de compresión máxima existente en el patín (ref. 5.15). Esto es aplicable, también, a cuerdas comprimidas de armaduras. También puede considerarse que el pandeo lateral está impedido cuando el sistema de piso, o la cubierta de la estructura, están constituidos por láminas metálicas soldadas al patín comprimido de la viga, que satisfacen los requisitos del párrafo anterior. Si hay transmisión de fuerzas de unos elementos de contraventeo a otros, para diseñarlos debe tenerse en cuenta la fuerza total acumulada.

84


Cuando los elementos que proporcionan el contraventeo lateral están conectados al patín en tensión, han de tomarse las medidas necesarias para evitar distorsiones de las secciones transversales de la viga y para impedir que su patín comprimido se desplace lateralmente. Esta situación es frecuente en zonas de momento negativo en vigas de edificios, en las que el patín comprimido es el inferior y el soportado, por medio del sistema de piso, el superior. La restricción contra la deflexión lateral del patín inferior es proporcionada únicamente por la rigidez a la flexión del alma, fuera de su plano, que puede ser insuficiente para evitar distorsiones de la sección transversal, como se muestra en la Fig. 5.29. El problema puede ser crítico en vigas de mucho peralte y alma delgada; se evita colocando atiesadores verticales, ligados al alma y a los dos patines.

+

Fig. 5.29 Deformación de vigas de gran peralte cuando sólo el patín en tensión está soportado lateralmente. En las refs. 5.2, 5.9, 5.10, 5.20 y 5.21 se tratan problemas especiales, relativos al pandeo lateral de vigas, que no suelen incluirse en especificaciones de diseño. La resistencia de columnas o vigas esbeltas puede incrementarse hasta cualquier nivel deseado (teniendo como límite la resistencia de las secciones transversales, que puede agotarse por plastificación o por pandeo local) colocando contraventeos, con los que cambia la forma de pandeo del elemento, o se elimina por completo. Las recomendaciones de este artículo se refieren a columnas, vigas, y algunos tipos de marcos (ref. 5.25). Se consideran cuatro tipos de contraventeos (Fig. 5.30): relativos, discretos (o nodales), continuos y de apoyo (“lean-on”). Los contraventeos relativos restringen el desplazamiento relativo de pisos consecutivos de marcos, o de puntos adyacentes situados a lo largo de una columna o viga (ejemplos: diagonales verticales en marcos, muros de rigidez, armaduras de contraventeo). Los contraventeos discretos restringen sólo el movimiento de las secciones transversales en las que están colocados; por ejemplo, las vigas de la Fig. 5.30b están contraventeadas discretamente en los puntos 1, con diafragmas, o marcos transversales, que las ligan entre sí.


85

En los sistemas continuos la longitud sin contraventeo es nula; no puede haber pandeo lateral. Patín comprimido

1 1

Marcos transversales Contraventeo Diafragmas

b) discreto

a) relativo

Lámina metálica A

Viga

B

Columna Pared metálica ligada a las columnas c) continuo

A

B

d) de apoyo

Fig. 5.30 Tipos de sistemas de contraventeo. Si una viga o columna depende, para su estabilidad, del soporte que le proporcionan otras vigas o columnas adyacentes, el sistema de contraventeo es de apoyo. Se caracteriza porque los elementos que lo forman están ligados entre sí de manera que ninguno puede pandearse individualmente, con desplazamiento lateral; el fenómeno es de conjunto, y los desplazamientos laterales son iguales en las secciones conectadas (Fig. 5.30d). En el marco, la columna B “se apoya” en la A. (Desde luego, la columna B puede pandearse por sí sola, sin desplazamientos lineales de los extremos, si este fenómeno se presenta bajo una carga menor que la de pandeo de conjunto). Un sistema de contraventeo adecuado debe satisfacer requisitos de resistencia y de rigidez; las recomendaciones que indican que se diseñe para que soporte una fuerza igual a un porcentaje de la compresión en el miembro contraventeado (2%, por ejemplo) son incompletas, pues se refieren sólo a la resistencia.

86


5.7.2 Diseño de elementos de contraventeo El diseño de los elementos que proporcionan soporte lateral a vigas o columnas se basa, en buena parte, en un estudio aproximado del comportamiento de columnas en compresión axial (ref. 5.23). La columna AB de la Fig. 5.31a tiene un resorte de rigidez k en el extremo superior B; si k es suficiente, el resorte proporciona una fuerza horizontal que evita el desplazamiento de ese punto. P B

k

∆ P

Q=k∆

k Q=k ∆

∆=0 L A P (a)

P (b)

Fig. 5.31 Contraventeo de una columna aislada. El estudio del equilibrio de la columna de la Fig. 5.31b, cuyo extremo superior tiene un pequeño desplazamiento lateral ∆, lleva a la ecuación P∆ = QL = (k∆)L

k es la rigidez del resorte, y Q = k∆ la fuerza que aparece en él cuando se deforma una cantidad ∆. B se desplaza lateralmente cuando (k∆)L es menor que P∆, pero no cuando es mayor; en ese caso, la columna se comporta como si estuviese articulada en los dos extremos. El contraventeo ideal es el que tiene la rigidez mínima necesaria para evitar el desplazamiento; con él se cumple la condición P∆ = (k∆)L, de donde k=

P L

La carga máxima en la columna de la Fig. 5.31 para la que puede requerirse contraventeo es su carga crítica de pandeo, elástico o inelástico, con los dos extremos articulados; el valor correspondiente de k es el óptimo,


k opt =

87

Pcr L

pues no se obtiene ningún beneficio adicional con contraventeos más rígidos. En el intervalo elástico, Pcr es la carga crítica de Euler. El concepto anterior puede extenderse a una columna soportada lateralmente en la sección media (Fig. 5.32). Cuando ésta no se desplaza, el pandeo es en dos semiondas (Fig. 5.32c), y la carga crítica, Pcr = π 2 EA / ( L / r 2 ) ; si se introduce una articulación ficticia en el punto de inflexión, y se toman momentos respecto a ella, en la columna ligeramente deformada (Fig. 5.32b), se obtiene la ecuación Pcr ∆ =

Q ( k∆ )L L= 2 2

kopt es la rigidez mínima necesaria para crear un punto de inflexión (de desplazamiento lateral nulo) en la sección media: kopt =

2 Pcr L

Pcr

Pcr

Pcr

Q/2 L L’=2L

∆

k

Q

Q

L Q/2 Pcr (a)

Pcr

(b)

Pcr (c)

Fig. 5.32 Contraventeo en la sección media de una columna. Aplicando el mismo procedimiento a columnas con soportes laterales que las obligan a pandearse en tres o más semiondas de longitudes iguales, se llega a la expresión general kopt = β

Pcr L

β vale 2 o 3 para dos o tres semiondas de pandeo, y 4 para cuatro o más.

(5.66)

88


La ec. 5.66 proporciona la rigidez óptima de los contraventeos, necesaria para evitar el desplazamiento lateral de los puntos soportados; a esa condición se le ha de agregar una de resistencia. Los análisis anteriores, referidos a miembros perfectos geométricamente, no proporcionan información sobre la fuerza que deben resistir los contraventeos; con ellos sólo se obtiene la rigidez necesaria para obligar a la columna a pandearse en más de una semionda. Para investigar las fuerzas en los contraventeos han de analizarse columnas con imperfecciones geométricas iniciales; aunque el problema analítico es muy complejo, se cuenta con soluciones aproximadas. 5.7.3 Imperfecciones iniciales La fuerza que aparece en el contraventeo óptimo de la columna perfectamente a plomo de la Fig.5.33a es Fcon = kopt∆

igual al producto de la rigidez del contraventeo por su cambio de longitud.

P Columna "perfecta"

L

∆ο

P

∆τ ∆ο ∆ P k∆

Falta de verticalidad inicial

A P P P Fig. 5.33 Columna con imperfecciones iniciales. Como ∆ es nulo hasta que se inicia el pandeo, Fcon vale cero hasta ese instante. Los miembros estructurales reales no son nunca perfectos. Si se supone que el extremo superior de la columna de la Fig. 5.31 (o de la Fig. 5.32) está desplazado lateralmente una cantidad ∆o, antes de que se apliquen las cargas, la ecuación de equilibrio (Fig. 5.33) es P(∆ + ∆o) = (k∆)L

Para P = Pcr , kreq =

 ∆  Pcr  ∆ o   = k 1 + o  1 + L  ∆  opt  ∆ 


89

En general, kreq = β

Pcr  ∆ o  1 +  L  ∆ 

(5.67)

El factor β depende del número de semiondas de pandeo. kreq es la rigidez requerida de los elementos que contraventean miembros comprimidos con defectos iniciales ∆0. El requisito de resistencia es Fcon = kreq∆ = β

Pcr  ∆ o  P 1 +  ∆ = β cr (∆ + ∆ o ) L  L ∆ 

(5.68)

La fuerza en el contraventeo, Fcon, es función de la falta de rectitud (“out-of-straightness”) inicial de la columna, ∆o, y de su propia rigidez k. Para llegar a las recomendaciones que se dan más adelante, se supone un valor particular de la falta de rectitud (o de verticalidad) inicial, y se consideran contraventeos de rigidez igual, como mínimo, a dos veces la óptima, con lo que se evitan fuerzas Fcon excesivas, y se conserva el desplazamiento ∆, correspondiente a cargas factorizadas, dentro de límites aceptables; la fuerza en el contraventeo disminuye cuando crece su rigidez, pues ∆ se reduce, y tiende a Pcr∆o/L cuando es muy rígido. Pcr se calcula teniendo en cuenta los contravientos de que está provista la columna. Las ecs. 5.67 y 5.68, deducidas para columnas, sirven también para determinar las características de los contraventeos de vigas o armaduras. Son las que se recomiendan en la ref. 5.15, en la que se indica que en vez de Pcr se utilice la fuerza en la columna, en la porción comprimida de la viga, o en la cuerda en compresión de la armadura, producida por cargas de diseño (multiplicadas por el factor de carga). En las refs. 5.12, 5.14 y 5.16 no se da ninguna recomendación para el dimensionamiento de los contraventeos, pero sí se dan en la ref. 5.27. 5.7.4 Inelasticidad del elemento contraventeado Los pocos estudios realizados sobre el contraventeo relativo o discreto de columnas y vigas que se pandean fuera del intervalo elástico indican que su diseño no se modifica sustancialmente por la plastificación parcial de los elementos contraventeados (ref. 5.25).

90


En sistemas continuos y de apoyo, el diseño del contraventeo se basa en la rigidez, elástica o inelástica, de los miembros contraventeados; el efecto de la inelasticidad se aproxima, razonablemente, con el módulo de elasticidad tangente, ET = τ E, donde τ = ET/E es el factor de reducción por inelasticidad; el esfuerzo normal en el miembro, no su esbeltez, define el intervalo de comportamiento elástico, pues las barras con relación L/r baja responden elásticamente, si el esfuerzo normal es reducido; de acuerdo con la ref. 5.14, la columna es elástica si el esfuerzo normal no excede de 0.33Fy. Los factores de reducción de la rigidez tabulados en la ref. 5.22 para diferentes niveles de esfuerzo P/A, se calculan con las expresiones Para Pu/Py ≤ 1/3 (comportamiento elástico): τ =1.0 Para Pu/Py > 1/3 (comportamiento inelástico): (5.69)

τ = -7.38 (P/Py)log (1.176 P/Py)

Pu es la carga de diseño (factorizada) en la columna, y Py = A Fy. Pu no debe exceder de FR Py.  0.877π 2 EI   ; si 2  (kL) 

La fuerza axial máxima que resiste una columna, cuando P/Py ≥ 1/3, es τ 

P/Py < 1/3 se usa la misma expresión, con τ = 1.0, con lo que se reduce a la recomendada

en la ref. 5.14. 5.7.5 Rigidez del sistema de contraventeo Si las conexiones del contraventeo son flexibles o pueden deslizar, deben tenerse en cuenta al evaluarse la rigidez: 1 k sis

=

1 k conex

+

1 k con

(5.70)

ksis, rigidez del sistema de contraventeo, es menor que la más pequeña de las rigideces de la conexión, kconex, y del contraventeo, kcon. Al diseñar el contraventeo de varias columnas o vigas paralelas, no debe olvidarse que las fuerzas se acumulan a lo largo de sus diversos tramos, lo que ocasiona desplazamientos diferentes en las secciones soportadas. Las soluciones de este problema son demasiado complejas para diseño; conviene disminuir las fuerzas aumentando el número de crujías contraventeadas, y empleando contraventeos rígidos. Se ha recomendado contraventear, cuando menos, una crujía de cada ocho (ref. 5.25).


91

5.7.6 Factores de resistencia y definiciones Las recomendaciones se basan en la resistencia última de las estructuras. Se utilizan cargas de diseño (factorizadas) en columnas y vigas. Las fuerzas en el contraventeo, producidas por esas cargas, se comparan con su resistencia de diseño y la de sus conexiones, que incluyen ya el factor de resistencia FR adecuado. ∆0 es un desplazamiento inicial pequeño de los puntos soportados, medido desde las posiciones teóricas, en la estructura con geometría perfecta, que no es debido a las cargas gravitacionales o a las fuerzas de compresión. En sistemas relativos y discretos, se define respecto a la distancia entre puntos soportados adyacentes, L. Por ejemplo, ∆0 puede ser producido por viento o sismo o tolerancias de montaje, como falta de verticalidad inicial. En todos los casos, las recomendaciones para calcular las fuerzas en los elementos de contraventeo se basan en un valor supuesto ∆0 = 0.002L; para otros valores puede hacerse una proporción directa. Cuando un sistema de contraventeo estabiliza n columnas, cada una con un ∆0 aleatorio, se recomienda un valor promedio ∆0 =0.002L / n . Para el contraventeo torsional de vigas o columnas se considera una rotación inicial θo = 0.002L/hO, donde h0 es la distancia entre los centroides de los patines. En estructuras formadas por marcos, Pu es la suma de las cargas de diseño (factorizadas) en todas las columnas de un entrepiso que son estabilizadas por el contraventeo en consideración. En un contraventeo discreto de un miembro, Pu es el promedio de las fuerzas de compresión arriba y abajo (o a un lado y otro) del punto soportado.

5.7.7 Contraventeo relativo para columnas y marcos 5.7.7.1 Recomendaciones de diseño La fuerza y la rigidez requeridas en los contravientos en diagonal, muros de cortante, u otros medios equivalentes, que proporcionan la estabilidad lateral necesaria en marcos contraventeados, son (5.71)

Fcon = 0.004 Σ PU FR = 0.75;

K req =

2 ∑ Pu FR L

(5.72)

L es la altura del entrepiso. Las ecuaciones anteriores se basan en la 5.67 y 5.68, con ∆ = ∆0 = L/500 = 0.002L, y en una rigidez inicial del contraventeo doble de la óptima. Si ∆0 es diferente de 0.002L, Fcon

92


cambia en proporción directa al nuevo valor. Si la rigidez real del contraventeo, kreal, no es igual a kreq, Fcon se modifica como sigue: Fcon = 0.004 ∑ Pu

1 2 − k req / k real

(5.73)

No se especifica ningún factor de reducción de la resistencia del contraventeo porque se incluye en las recomendaciones para diseño de elementos estructurales y conexiones. Los requisitos de estabilidad del entrepiso deben combinarse con las fuerzas laterales y desplazamientos que provienen de otras causas, como viento o sismo. Las recomendaciones anteriores son válidas también para columnas individuales soportadas lateralmente en puntos intermedios, separados distancias iguales; en este caso, Pu, fuerza axial factorizada en la columna, sustituye a ΣPu. El ejemplo 5.8 ilustra el diseño de un contraviento relativo. EJEMPLO 5.8 Diseñe el contraventeo relativo de la Fig. E5.8.1. Suponga que un contraventeo típico debe estabilizar tres marcos, y que sólo trabaja la diagonal en tensión. Las fuerzas de la figura son de diseño (están factorizadas).

100T.

200T.

2

θ

2

8.0m

F y =2530kg/cm

F u =4100kg/cm

70T.

4.0m

Fig. E5.8.1 Estructura del ejemplo 5.8. Carga total en un marco = 100 + 200 + 70 = 370.0 Ton. En las recomendaciones de diseño se supone que la fuerza en el contraventeo, Fcon, y el desplazamiento del extremo de las columnas, ∆, son perpendiculares a las columnas. Fuerza en el contraventeo. Ec. 5.71.

Fcon = 0.004 ∑ Pu = Fd cosθ


93

Fd es la fuerza en la diagonal. ∑Pu = 370 x 3 = 1110.0 Ton Fd cos θ = 0.004 ∑Pu,

Fd =

0.004 x 1110.0 = 4.96 Ton 0.895

Se revisan los dos estados límite de elementos en tensión. Flujo plástico de la sección total.

Fd = 4.96 Ton = 0.9 Fy At ∴ Ad = 4.96 x 103/0.9 x 2530

= 2.18 cm2

Fractura de la sección neta.

Fd = 4.96 Ton = 0.75 Fy An ∴ An = 4.96 x 103/0.75 x 4100

= 1.61 cm2

Una varilla roscada de 1.90 cm (3/4”) de diámetro, con At = 2.85 cm2, y An = 2.01 cm2, es adecuada desde el punto de vista de resistencia, aunque está ligeramente escasa. Acero con Fy = 2530 Kg/cm2. Rigidez del contraventeo. Ec. 5.72

kreq =

kreq =

2 ∑ Pu ; FR = 0.75 FR L

2 x1110.0 = 740.0 T/m = 7400 Kg/cm 0.75 x 4.0

Alargamiento de la diagonal de contraventeo ∆d = ∆cosθ (Fig. E5.8.2).

L =4.00m c

∆ θ L d=

4m 8.9

∆d

θ 8m Senθ=0.447

Fig. E5.8.2 Alargamiento de la diagonal.

94


De la ley de Hooke: Pd = EAd

∆d Pd E∆ d EAd cos θ ∴ Constante de resorte k d = = = Ld Lc ∆d Ld

Proyección horizontal de la constante de resorte

7400 =

kdcos θ =

EAd cos 2 θ Lc

7400 x 400 EAd cos 2 θ ∴ Ad = = 1.81 cm2 Lc 0.895 2 E

Rige la resistencia del contraventeo; puede utilizarse una barra roscada de 1.90 cm de diámetro. En este ejemplo las diagonales se han diseñado, exclusivamente, como elementos de contraventeo; no se ha considerado que, como sucede en muchas estructuras reales, sirvan, además, para resistir fuerzas horizontales, de viento o sismo. 5.7.8 Sistemas discretos de contraventeo para columnas 5.7.8.1

Recomendaciones de diseño

Resistencia: (5.74)

Fcon = 0.01 Pu

Rigidez: FR = 0.75;

kreq = Ni

2 Pn FR L

(5.75)

Ni ≈ 4 – (2/n)

Pu es la carga de diseño (factorizada) en la columna, n y L el número de contraventeos y su separación, constante. La Fig. 5.34 representa un sistema discreto con tres contraventeos intermedios. Si no hubiese contraventeo, Pcr = π2 EI/(4L)2; si tiene una rigidez pequeña, Pcr crece sustancialmente, aunque la columna continúa pandeándose en una sola onda (primer modo); cuando aumenta la rigidez, la forma de pandeo cambia. El contraventeo es completamente efectivo cuando kL/Pe = 3.41 = Ni. Si hay varios contraventeos con


95

separaciones iguales, el factor de rigidez adimensional Ni varía de 2.0, para un contraventeo, a 4.0, para un número grande de ellos (ref. 5.8), de manera que puede tomarse 4.0 en todos los casos, con resultados conservadores. La recomendación de diseño se basa en contraventeo completo, para una carga Pcr = π2 EI/L2; La fuerza en el contraventeo se obtiene suponiendo que su rigidez es dos veces el valor ideal; si es otra, puede usarse el factor de ajuste dado por la ec. 5.73. Cuando la separación real entre puntos soportados lateralmente es menor que la longitud no contraventeada máxima para la que la columna resiste la fuerza que hay en ella, con K = 1, la L de las ecs. 5.72 y 5.75 puede sustituirse por esa longitud. Si hay un solo contraventeo discreto, en cualquier punto de la columna, Ni se determina con la ecuación Ni = 1 +

1 a

(5.76)

L es la longitud del segmento más largo, y aL la del más corto. Pcr

1.0 P cr 0.8

L

Pe

k

0.6

Límite (contraventeo completamente efectivo) π2EI P e= L 2 3.41

0.4 0.2 0

0

1

3

2

4

kL/P e

Fig. 5.34 Sistema discreto con tres soportes laterales intermedios. Si la sección de la columna soportada lateralmente es la media, a = 0.5, y con la ec. 5.76 se obtiene Ni = 2, como se determinó arriba. En el ejemplo 5.9 se diseña el contraventeo discreto en la sección media de una columna, y en el 5.10 se revisan dos columnas contraventeadas entre ellas, y se diseñan puntales y diagonales, EJEMPLO 5.9 La columna de la Fig. E5.9.1 está soportada lateralmente, en la sección media, por un elemento que impide que se desplace girando alrededor del eje de menor momento de inercia. Las cargas que se muestran están factorizadas. Diseñe el elemento de contraventeo, utilizando acero A36. Rigidez del contraventeo. FR = 0.75

96


Ec. 5.75. kreq = N i

2 Pu FR L

; N1 = 4 - 2 / 1= 2 ∴ k req = 2 x

2 x 80 x 10 3 = 1219 Kg/cm 0.75 x 350

80.0Ton

A

A m 2.50

3.50m F

∆

2.50m 3.50m

2.50m

2.50m

Fig. E5.9.2 Viga de contraventeo. Contraventeo

Corte AA Fig. E5.9.1 Columna del ejemplo 5.9. Esta rigidez debe ser proporcionada por una viga libremente apoyada, de 5.0 m de claro, con una fuerza en la sección media (Fig. E5.9.2). ∆=

FL3 F 48EI ∴ k con = = 3 = k req 48EI ∆ L

∴ I con =

k req L3 48E

=

1219 x 500 3 = 1557 cm 4 48E

1 [ 20.3 cm x 31.62 Kg/m (Ix = 1988 cm4)

Esta canal, colocada con el alma horizontal, satisface sobradamente el requisito de rigidez. Revisión de la resistencia. Ec. 5.74. Fuerza en el contraventeo Fcon = 0.01 P = 0.01 x 80.0 = 0.80 Ton. Mmáx = 0.80 x 5.0/4.0 = 1.0 Ton.


fb =

97

M máx 1.0 x 10 5 = = 511 Kg/cm 2 Sx 195.7

Sx = 195.7 cm3 es el módulo de sección de la [ 203 x 31.62.

Si la canal tiene soporte lateral continuo, proporcionado, por ejemplo, por la lámina de pared de una estructura industrial, el esfuerzo fb calculado arriba indica que está sobrada, desde el punto de vista de resistencia. En caso contrario, se determinará el esfuerzo admisible, reducido por pandeo lateral, y se comparará con el calculado.

EJEMPLO 5.10 a) Revise si el perfil de acero grado 50 (Fy = 3515 Kg/cm2) indicado en la Fig. E5.10.1 es adecuado para las columnas que se muestran en ella. Suponga que trabajan en compresión axial, y que las cargas son de diseño (están multiplicadas por el factor de carga adecuado). La longitud libre de pandeo alrededor del eje x es la total. Utilice las normas AISC-LRFD 93 (ref. 5.14). b) Diseñe el contraventeo requerido entre las dos columnas, utilizando acero A36 (Fy = 2530 Kg/cm2) para los elementos que lo forman. Pu=140T.

G

1

Senθ =0.447

H

E

Puntal

C

Tirantes m . 18 =11

A Ld

Cosθ =0.895

θ

Puntal

F

D

1

3@5m=15m

Columnas.-w14”x53lb/ft

Pu=140T.

B y x

10.0m Corte1-1

Fig. E5.10.1 Columnas contraventeadas del ejemplo 5.10. Propiedades de la sección de las columnas: A = 101.0 cm2; rx = 15.0 cm ; ry = 4.69 cm.

98


a) Se supone, por ahora, que el contraventeo es adecuado para hacer que las columnas se pandeen en tres semiondas, al flexionarse alrededor del eje y. (En la parte b del ejemplo se diseñarán los elementos de contraventeo necesarios para que se cumpla esa condición). Relaciones de esbeltez. Las restricciones en los apoyos y en los extremos superiores de las columnas justifican que se tome (KL)x = 15 m, (KL)y = 5 m.  KL   KL  1500 500   =  = = 102 = 100 ;   r  y 4.89  r  x 15.0

Rige el pandeo alrededor de y.  KL   λc =   πr  y

Ec. 2.33

Fy E

=

102 π

Fy E

= 1.348 < 1.5 2

2

Fy = (0.658 λ c ) F y = (0.658 1.348 ) Fy = 1643kg/cm2

Rc = FR Pn = FR A Fcr = 0.85 x 101.0 x 1643 x 10-3 = 141.0 Ton ≈ 140.0 Ton. (De la tabla 2.7, para KL/r = 102,

Rc/A = 1396 Kg/cm2,

Rc = 1396 x 101.0 x 10-3 = 141.0 Ton).

El perfil propuesto es adecuado. b) El tirante AD, trabajando en tensión, evita que el punto D se desplace hacia la derecha y, de manera semejante, el tirante BC impide que C se mueva hacia la izquierda; además, el puntal CD, que debe resistir compresiones, impide que los puntos C y D se acerquen uno al otro, lo que no está evitado por los tirantes; de esta manera, el conjunto formado por los dos tirantes AD y BC y el puntal CD fija linealmente los puntos C y D, en el plano que se indica en la figura. De igual manera, partiendo de los puntos C y D se fijan E y F y, por último, G y H. En el plano perpendicular al de la figura los tirantes y puntales no ejercen ninguna restricción, por lo que la longitud libre de pandeo de la columna, por flexión alrededor de los ejes x, es la total, 15 m. Los tirantes colocados en diagonal deben proporcionar las fuerzas y rigideces necesarias para evitar que se desplacen lateralmente las secciones intermedias y extremas de las columnas; en cada punto trabaja un solo tirante, que ha de ser capaz de resistir los efectos de las dos columnas, pues ambas pueden tratar de desplazarse hacia el mismo lado (en ese caso, el puntal que liga las dos secciones se traslada lateralmente, sin oponerse al movimiento). Rigidez del contraventeo. FR = 0.75


Ec. 5.75 kreq = Ni

99

2 PU ; FR L

Ni = 4 -

2(2 x 140 x 10 3 ) 2 2 = 4 - = 3 ∴ k req = 3 x = 4480 Kg/cm n 2 0.75 x500

La proyección horizontal de la constante de resorte de un contraventeo es (ver ejemplo 5.8) kd cosθ = EAd cos2θ/Lc ∴ 4480 = E Adcos2θ/Lc,

Ad = 4490 x 500/0.8952 E = 1.37 cm2

Fuerza en el contraventeo. Ec. 5.74

Fcon = 0.01 Pu = 0.01 (2 x 140) = 2.80 Ton = Fd cosθ

Fuerza en cada diagonal. Fd cosθ = 2.80 ∴ Fd = 2.80/0.895 = 3.13 Ton. Diseño de las diagonales. Se revisan los dos estados límite de elementos en tensión. Flujo plástico de la sección total .

Fd = 3.13 Ton = 0.9 Fy At ∴ At = 3.13 x 103/0.9 x 2530 = 1.37 cm2

Fractura de la sección neta. Fd = 3.13 Ton = 0.75 Fu An ∴ An = 3.13 x 103/0.75 x 4100 = 1.02 cm2

Puede utilizarse una varilla roscada de 1.6 cm (5/8”) de diámetro, que tiene At = 1.98 cm2 y An = 1.30 cm2, de acero con Fy = 2530Kg/cm2. Esta varilla satisface también los requisitos de rigidez. Puntales. En la condición más desfavorable, cuando las dos columnas tienden a flexionarse hacia adentro, cada puntal debe soportar una compresión, calculada arriba, de 2.80 Ton. Radio de giro mínimo. L/r = 200 ∴ rmín = L/200 = 1000/200 = 5.0 cm (se está suponiendo que los puntales están articulados en los extremos). Puede usarse, por ejemplo, un tubo de sección cuadrada de 12.7 cm x 12.7 cm x 0.48 cm (5” x 5” x 3/16”), con rmín = 4.96 cm ≈ 5.0

Para L/r = 200 y n = 1.4, con Fy = 2530 Kg/cm2, Rc/At = 422 Kg/cm2 (Tabla 2.3).

100


∴ Rc = 422 At = 422 x 22.7 x 10-3 = 9.58 Ton >> 2.80 Como en este ejemplo, el diseño de los puntales queda regido, con frecuencia, por la relación de esbeltez máxima admisible. 5.7.9 Contraventeo continuo de columnas La carga crítica de columnas con contraventeo continuo se determina con la expresión aproximada 5.77, que proviene de resultados de la ref. 5.8: Pcr = Pe +

2L kPe π

(5.77)

k es la rigidez del contraventeo por unidad de longitud. En el intervalo inelástico, τ Pe sustituye a Pe. 5.7.9.1

Recomendaciones para diseño

Fcon = 0.04 Pu/Lo

(5.78)

FRC Pcr = Po + ( L / π ) 2 FRcon KPo

(5.79)

Po = FRC (0.877)τPe , FRC = 0.85, FRcon = 0.75.

Estas recomendaciones se basan en la ec. 5.77, con k dividido entre 2 para limitar las fuerzas en el contraventeo, añadiendo FRcon = 0.75, y tomando para P0 la resistencia de diseño de la columna (ref. 5.14). La resistencia del contraventeo debe ser Fcon = π 2 P∆Τ/L0, donde L0 es la longitud máxima no contraventeada para la que la columna resiste la carga. Haciendo ∆Τ =2∆0 y ∆0 = 0.002 L0, se obtiene Fcon = 0.04 P/Lo. 5.7.10

Sistemas de apoyo

La Fig. 5.35 ilustra el comportamiento de sistemas en los que unos miembros se apoyan en otros.


101

Dos columnas, A y B, la primera con una carga P, y la segunda sin carga, están ligadas entre sí por tres vigas separadas distancias iguales, L. El conjunto puede pandearse en una sola semionda entre los extremos, o en cuatro, entre los extremos y las vigas horizontales. Si B es muy esbelta, el modo de pandeo es el primero (con raya-punto en la Fig. 5.35a); la resistencia del sistema es la suma de resistencias de las dos columnas; es estable si las cargas aplicadas, ΣP, son menores queΣ PCR . En cambio, si la columna B tiene rigidez suficiente, el pandeo de A es en cuatro semiondas. Cuando las columnas unidas entre sí son más de dos, el comportamiento es semejante. Deben revisarse los dos modos, en todos los casos.

P 1.0

Pcr Pe

L L

π

2

L

Pe =

L B

A

(a)

15.3

EIA

L2

Sinusoide 0

0

(b)

10

20

I /I B A

Fig. 5.35 Contraventeo de apoyo. La Fig. 5.35b representa una solución elástica “exacta”; cuando aumenta la relación IB/IA de los momentos de inercia de las dos columnas, Pcr crece linealmente, y el pandeo es en una semionda, hasta que IB/IA llega a 15.3; para relaciones mayores, A se pandea en cuatro semiondas, B permanece recta, y la carga crítica del sistema es (Pe)a=π2EIA/L2; L es la separación entre vigas. En el primer modo de pandeo, las resistencias elásticas de las dos columnas son π2EIA/(4L)2 y π2EIB/(4L)2; en el segundo modo, Pcr=π2EIA/L2. El valor aproximado de IB para que el contraventeo sea completamente efectivo se obtiene despejándolo de la igualdad π 2E(I A + I B ) = π 2 EI A / L2 ( 4 L) 2

Se llega a IB/IA=15, casi igual a la solución “exacta”. En el intervalo inelástico se usa τI, que se determina para cada columna por separado.

102


EJEMPLO 5.11 En la Fig. E5-11.1 se muestran dos columnas, ligadas entre sí por medio de vigas provistas de conexiones diseñadas para transmitir sólo fuerza cortante, por lo que se puede suponer, conservadoramente, que están articuladas a las columnas. Los extremos superiores de las columnas están fijos lateralmente. La columna A es una W14” x 48lb/ft, con el alma perpendicular al plano de la figura, y la B, una W14” x 34, tiene el alma en ese plano. El acero es A36 (Fy = 2530 Kg/cm2). En la columna B actúa una carga vertical de 50 Ton. Determine la carga máxima que resiste la columna A, considerando sólo la posibilidad de pandeo en el plano de la figura. Utilice las Normas Técnicas Complementarias del Reglamento de Construcciones del D. F.

3m

3m

w14x34

3m

50T. P=?

B

A w14x48

Fig. E5.11.1 Columnas del ejemplo 5.11. Propiedades geométricas. Col. A W 14 x 48 Col. B W 14 x 34

A = 91.0 cm2; A = 64.5 cm2;

Iy = 2139 cm4 ; Ix = 14152 cm4 ;

ry = 4.85 cm rx = 14.81 cm

Dependiendo de las rigideces relativas de las dos columnas, el pandeo puede presentarse en tres semiondas, entre los elementos horizontales, o en una sola, de toda la longitud, de manera análoga a como se muestra en la Fig. 5.34. a)

Pandeo en una semionda.

Columna A. L/ry = 900/4.85 = 186 De la Tabla 2.3 (para n = 1.4), RcAt = 481 Kg/cm2, Rc = 481 x 91.0 x 10-3 = 43.8 Ton

Columna B. L/ry = 900/14.81 = 61 De la Tabla 2.3,


103

Rc/At = 1847 Kg/cm2, Rc = 1847 x 64.5 x 10-3 = 119.1 Ton > 50.0

Resistencia del sistema = ΣRc = 43.8 + 119.1 = 162.9 Ton. Como en la columna B hay una carga de 50 Ton, a la A le corresponderían 162.9 50 = 112.9 Ton; sin embargo, 112.9 > 43.8 Ton, por lo que la resistencia de la columna A es RcA = 43.8 Ton. b)

Pandeo en tres semiondas.

Columna A. L/ry = 300/4.85 = 62, Rc/At = 1832 kg / cm 2 , Rc = 1832 x 91.0 x 10-3 = 166.7 Ton. Suponiendo PA = (Rc)A = 166.7 Ton, se revisa si la columna se pandea en el intervalo elástico o en el inelástico. PA 166.7 1 = = 0.724 > 3 Fy A 2530x91.0x10 3

El pandeo es inelástico (Art. 5.7.4).

Ec. 5.69. τ = -7.38

FR PA =

 Pu Pu  log 1.176 = -7.38 x 0.724 log (1.176 x 0.724) = 0.373 Py Py  

0.85τ (0.877)π 2 EI

Columna B.

(kL) 2

=

0.85 x 0.373 x 0.877 π 2 E x 2139 300 2

x 10 -3 = 133.0 Ton

PB 1 50 = 0.306 < = 3 3 A Fy 64.5 x 2530 x 10

∴ τ = 1.0 ; la columna se conserva en el intervalo elástico.

FR PB =

0.85(0.877)π 2 Ex14152 900 2

x 10 -3 = 262.1 Ton

Resistencia del sistema = ∑ FR P = 133.0 + 262.1 = 395.1 Ton > ∑P = 133.0 + 50 = 183.0 Ton. La columna B proporciona las restricciones laterales necesarias para que la A se pandee en tres semiondas. La carga máxima que resiste esta columna es (Rc)A = FR PA = 133.0 Ton. 5.7.11 Columnas soportadas lateralmente en un patín Las columnas con secciones transversales con dos ejes de simetría se pandean por flexión entre los puntos contraventeados cuando se evitan en ellos, al mismo tiempo, el

104


desplazamiento lateral y la rotación. Si no se impiden las rotaciones (por ejemplo, cuando se coloca una varilla unida a la columna en el centro del alma), puede presentarse un modo de pandeo por torsión. La Fig. 5.36 muestra un contraventeo frecuente en estructuras industriales. Los largueros de pared, unidos al patín exterior de la columna, restringen su desplazamiento lateral, pero si son discontinuos no evitan la torsión: el pandeo puede producirse por rotación alrededor del punto soportado (Fig. 5.36b). Punto soportado a

d

Punto soportado

è Ä

a) Contraventeo lateral en el patín.

F

b) Forma de pandeo

Fig. 5.36 Pandeo por torsión alrededor de un punto soportado. La carga de pandeo por torsión, PT , de una columna restringida lateralmente, es (ref. 5.8): PT = 0.9

[(

)

]

τPey d 2 / 4 + a 2 + GJ 2

(5.80)

2

a + rx + r y 2

a es la distancia entre el punto restringido y el centroide de la columna, d el peralte de la sección transversal, y Pey la carga crítica de Euler, calculada con la longitud entre puntos con giro impedido; τ se calcula con la ec. 5.69. El factor 0.9 tiene en cuenta que los elementos de contraventeo no son infinitamente rígidos. Si la fuerza de compresión de diseño es mayor que PΤ, el contraventeo debe evitar la torsión, para lo que se emplean, por ejemplo, soluciones como las de la Fig. 5.37. La rigidez torsional del contraventeo debe ser, como mínimo kT = MT/θ = Fd2/∆ = kd2. Conexión que resiste momento

Atiesador de peralte parcial a) Patas de gallo.

b) Conexión que resiste t ti d

Fig. 5.37 Soluciones para evitar el pandeo por torsión.


105

MT = Fd es el momento de torsión, F la fuerza necesaria en el patín no restringido (Fig. 5.37b), y k la rigidez del contraventeo discreto de la Sec. 5.7.8, determinada con P igual a la mitad de la fuerza en la columna, que es la carga aproximada que resiste cada patín. El momento de torsión, que corresponde a una rotación inicial supuesta de 1°, es 0.0175kΤ. 5.7.12

Pandeo de vigas y contraventeo lateral

Los puntos de inflexión de las vigas no pueden considerarse soportados lateralmente, como se hace a veces, erróneamente. La viga a de la Fig. 5.38 tiene un momento exterior en un extremo; se flexiona en curvatura simple; la longitud libre de pandeo, Lb, es igual a L, y Cb =1.67; la viga b, con momentos en los dos extremos, tiene un punto de inflexión en el centro, Cb =2.3, y Lb=2L. Si el punto de inflexión actuase como si estuviera soportado lateralmente, los momentos críticos de las dos vigas serían iguales; sin embargo, la b, de claro 2L y punto de inflexión en el centro, se pandea bajo cargas que son el 68% de las críticas de la viga a. Cuando b se pandea los dos patines, superior e inferior, se mueven lateralmente, en direcciones opuestas, en el centro del claro (Fig.5.38c). Ni siquiera un contraventeo real, unido a un patín en el punto de inflexión, proporciona soporte lateral adecuado en la sección media. 100 C b = 1.67

(a) L

Diagramas de momentos

68

L

(b) Punto soportado lateralmente

L

C b = 2.3 68

Eje centroidal

Patín superior

(c) Patín inferior Forma de pandeo

Fig. 5.38 Viga con un punto de inflexión. El contraventeo de las vigas debe evitar que las secciones giren, no que se desplacen lateralmente. Puede ser lateral o torsional; cualquiera de ellos debe impedir el desplazamiento relativo de los patines, para que la sección no se retuerza. Tanto el primero (largueros o vigas secundarias ligados al patín comprimido de una viga

106


libremente apoyada, por ejemplo) como el segundo (diafragmas entre vigas adyacentes) pueden controlar de manera efectiva la rotación de las secciones transversales, y algunos sistemas restringen, a la vez, el desplazamiento lateral y la rotación (una losa ligada al patín superior con conectores de cortante). Puede utilizarse cualquiera de los dos sistemas, pero suelen obtenerse mejores resultados cuando se usan en combinación. El contraventeo lateral es relativo, discreto, continuo o de apoyo (aquí se presentan recomendaciones sólo para los dos primeros tipos); el torsional, relativo o discreto. Cuando varias vigas están unidas entre sí, se apoyan unas en otras, de manera que las secciones conectadas no pueden pandearse lateralmente hasta que se pandean todas; el sistema estructural es estable hasta que la suma de los momentos máximos en todas las vigas supera la suma de sus resistencias individuales al pandeo. Las vigas individuales de sistemas de apoyo sólo pueden pandearse entre miembros transversales; no se requieren contraventeos adicionales. Si dos vigas adyacentes están interconectadas en el centro del claro, con un diafragma o con dos puntales horizontales y diagonales verticales, correctamente diseñados, puede considerarse que su sección media está contraventeada. La eficacia de este contraventeo ha sido cuestionada, porque las secciones medias de las dos vigas pueden desplazarse lateralmente; sin embargo, si sus dos patines se desplazan lo mismo, las secciones no giran, y pueden considerarse contraventeadas; ésto ha sido confirmado teórica y experimentalmente (ref. 5.25). 5.7.12.1

Contraventeo lateral

La eficiencia de un contraventeo lateral depende de su posición en la sección transversal de la viga, del número de contraventeos discretos en el claro, y del nivel de la carga, respecto al centroide de las secciones; todos esos factores se han incluido en las recomendaciones que siguen. El contraventeo es más eficiente cuando se conecta al patín comprimido, exceptuando en los voladizos, en los que conviene ligarlo al patín superior (en tensión); es inútil si se coloca cerca del centroide de la sección transversal. Las recomendaciones sólo son válidas para contraventeos relativos y discretos unidos a la viga cerca del patín comprimido; se ha supuesto que la carga actúa en el patín superior, que es el caso más desfavorable, y puede usarse cualquier número de contraventeos discretos. La fuerza de compresión en el patín se considera, conservadoramente, igual a Mf/h0; h0 es la distancia entre los centroides de los patines. Cuando la viga tiene un punto de inflexión, el contraventeo lateral cercano a él ha de unirse a los dos patines, y la rigidez necesaria aumenta, como lo indica el factor Cd. Los requisitos referentes a la fuerza de diseño son semejantes a los del contraventeo de las columnas (secciones 5.7.7 y 5.7.8); están basados en un desplazamiento inicial del patín comprimido igual a 0.002 veces la distancia Lb entre secciones contraventeadas. Se han considerado rigideces del doble del valor ideal.


5.7.12.2

107

Recomendaciones de diseño

FR = 0.75

Contraventeo relativo Fcon =

kL =

0.008M u C d h

4M u C d FR Lb h

(5.81) (5.82)

Contraventeo discreto Fcon =

kL =

0.02M u C d h

10M u C d FR Lb h

(5.83) (5.84)

Mu es el momento máximo de diseño, y Cd = 1.0 para curvatura simple, 2.0 para curvatura doble. h y Lb se han definido arriba. Cd = 2.0 se utiliza sólo para el contraventeo más cercano al punto de inflexión. EJEMPLO 5.12 Las trabes libremente apoyadas de la Fig. E5-12.1 trabajarán en construcción compuesta con la losa de concreto que se colará sobre ellas; sin embargo, durante el proceso de construcción, sus patines superiores, en compresión, deben soportarse lateralmente, lo que se logra por medio de un conjunto de diagonales y puntales colocados en el nivel de esos patines, que constituyen un sistema de contraventeo lateral relativo. Cada armadura de contraventeo estabiliza tres vigas. Las diagonales de contraventeo, de acero A36 (Fy = 2530 Kg/cm2), trabajan en tensión. El momento máximo, en el centro del claro de cada viga, es de 120 Tm.

108


Senθ=0.827 Cosθ=0.562

θ

5tramos@5m=25m

L c =5 .0 5m

h=1,40m

[email protected]=17.00m Planta en el nivel de la cuerda superior de las trabes

Fig. E5.12.1 Sistema de vigas y contraventeos del ejemplo 5.11. Rigidez de las diagonales. Ec. 5.82

kL =

4 M c C d 4 x 120 x 10 5 x 1.0 = = 914 Kg/cm = 0.91 Ton/cm FR Lc h 0.75 x 500 x 140

La proyección normal al eje de la viga de una diagonal es (ver Ejemplo 5.8): kd =

EAd cos 2 θ EAd 0.562 2 = 1064 Ad = Lc 605

1064 Ad = 914 x 3 ∴ Ad = 2.58 cm2

El factor 3 se debe a que cada tirante estabiliza tres vigas. Resistencia. Ec. 5.81

Fcon =

0.008 M f C d h

=

Ad (0.9 x 2530) cos θ = 686 x 3 ∴ Ad =

0.008 x 120 x 10 5 x 1 = 686 Kg 140

686 x 3 = 1.61 cm 2 0.9 x 2530 x 0.562


109

El diseño queda controlado por la rigidez; puede utilizarse 1L 1 ¾ x 1/8 (A = 2.74 cm2 > 2.58). En las crujías contraventadas deben colocarse puntales que resistan compresión (ver ejemplo 5.10); los elementos que unen las dos vigas centrales con las armaduras horizontales trabajan en tensión. 5.7.13

Contraventeo torsional

Son ejemplos los diafragmas en secciones discretas, y el soporte continuo proporcionado por el sistema de piso en armaduras y trabes de paso a través, o por lámina acanalada y losas de concreto. Los efectos del número de contraventeos, de su posición en la sección transversal, y de la carga en el patín superior, son poco importantes, de manera que la eficiencia de estos contraventeos es la misma si están conectados al patín en tensión o al comprimido; tampoco influye que la viga se flexione en curvatura simple o doble. La conexión entre un contraventeo torsional y la viga debe resistir el momento que se indica más adelante. En cambio, la distorsión de la sección transversal contraventeada (Fig. 5.39) afecta mucho su efectividad, pues aunque el patín superior no se retuerce, el inferior se desplaza lateralmente; este problema puede evitarse con atiesadores verticales. Contraventeo torsional

Alma

Fig. 5.39 Distorsión de la sección transversal. Los requisitos para el diseño de estos contraventeos se basan en la resistencia al pandeo lateral de vigas restringidas torsionalmente a lo largo de toda su longitud. Los contraventeos discretos y los continuos se diseñan con la misma fórmula básica. La rigidez torsional de los continuos es k T = kTn/L donde kT es la rigidez torsional de un contraventeo discreto, n su número, y L el claro de la viga. La rigidez del sistema. kT, depende de la del contraventeo, kcon, y de la del alma, con o sin atiesadores, ksec: 1 1 1 = + k T k con k sec

(5.85)

110


Diafragmas

Trabes de paso a través hc

Ib

bs

hb

h

s

hs

Mcon Mcon

θ Kcon = 6EIb s

θ 2EIb Kcon = s

ht

Fig. 5.41 Alma rigidizada parcialmente.

Fig. 5.40 Rigidez del contraventeo. En la Fig. 5.40 se proporcionan valores de kcon para diafragmas de varios tipos, y en la 5.41 se muestra un alma rigidizada parcialmente; la rigidez de cada una de sus porciones, hi, es kc , k s , kt =

2 3.3E  h   1.5hi t a3 t s bs3     +  hi  h1   12 12 

(5.86)

Tomando E en kg/cm2 y las dimensiones en cm, las k se obtienen en kg cm / rad. 1/ksec = ∑ (1/ki), y ts = grueso del atiesador. Si el contraventeo es continuo, 1.5hi se sustituye por 1cm, y si no hay atiesador, ts = 0. La porción del alma que corresponde a hb (peralte del elemento de contraventeo) puede considerarse de rigidez infinita.. En secciones con h/ta ≤ 60 (condición que se cumple en la mayoría de los perfiles laminados), la distorsión de la sección transversal deja de ser significativa cuando la conexión del diafragma ocupa, al menos, la mitad del peralte del alma. 5.7.13.1

Recomendaciones de diseño (Fig. 5.42)

FR = 0.75

Resistencia:

M con = Fbr hb =

Rigidez:

kT =

0.04 LM u2 2 nEI ef Cbb

2.4 LM u2 kT L = 2 n FR nEI ef Cbb

(5.87) (5.88)


111

Mu es el momento máximo de diseño, Ief = Iyc + (t/c)Iyt, n el número de claros contraventeados, y Cbb el factor de modificación de los momentos para la condición de contraventeo completo. Iyc e Iyt, son los momentos de inercia de los patines, en compresión y en tensión, respecto al eje vertical y. Patín comprimido y

c h

x

x t

y Patín en tensión Fig. 5.42 Contraventeo torsional. En secciones con un eje de simetría, Iyc e Iyt son los momentos de inercia de los patines en compresión y tensión, respecto a ese eje; si la simetría es doble, Ief = Iy. El factor 2.4 en la fórmula de la rigidez proviene de usar el doble de la rigidez ideal, y un incremento adicional de 20% para tener en cuenta la carga en el patín superior. En el cálculo de Mcon se considera un giro inicial de 1° (0.0175 rad). El ejemplo 5.13 es semejante al 5.12, pero con contraventeo torsional. EJEMPLO 5.13 Igual al ejemplo 5.12, pero se utiliza contraventeo torsional a cada 5 m, con las características que se indican en la Fig. E5.13.1. PL de 20x2 cm 1.27 1.40 m

72.20 cm

bs

15.2 cm 50 cm

PL de 40x3.2 cm 3.40 m

3.40 m

Fig. E5.13.1 Vigas y contraventeos torsionales del ejemplo 5.13. Las propiedades geométricas de las vigas son: h = 137.4 cm, c = 86.4 cm, t = 51.0 cm

112


h, c y t se definen en la Fig 5.42. Ix = 946352 cm4; Iyc = 1333 cm4 ; Iyt = 17067 cm4 Ief = 1333 +

51.0 x 17067 = 11407 cm 4 86.4

Cada contraventeo, y la unión entre él y la viga, debe resistir un momento igual a (ec. 5.87): M con =

0.04 L M u2 n EI ef C b2

=

0.04 x 2500 x (120 x 10 5 ) 2 4 x 2039 x 10 3 x 11407 (1.0) 2

x 10-5 = 155 Tm

El módulo de sección y la rigidez necesarios en cada elemento de contraventeo son: ( S x ) cm =

M con 1.55 x 10 5 = = 68.0 cm 3 FR F y 0.9 x 2530

Ec. 5.88 kT =

2.4LM u2 FR nEI ef C b2

=

2.4 x 2500 x (120 x 10 5 ) 2 0.75 x 4 x 2039 x 10 3 x 11 407 (1.0) 2

x 10 -5 = 123.8 Tm/rad.

La rigidez de los diafragmas en las vigas exteriores es 6EIcon/s, donde s es la separación entre vigas; en las vigas interiores, esa rigidez se duplica, por lo que la rigidez promedio con que se cuenta en cada viga, kT, es EI con 2 x 6 + 4 x 12 EI con x = 10 s s 6

Icon es el momento de inercia I x del elemento de contraventeo. 10

EI con 123.8 x 10 5 x 340 = 123.8 x 10 5 ∴ I con = = 206 cm 4 s 10E

Se ensayará 1[6” x 12.2 Kg/m (Fig. E5.13.1) Sx = 71.0 cm3 > 68, Ix = 541 cm4 > 206 Aunque aquí no se hace, deberá revisarse si la canal puede resistir el momento FR SxFy, lo que depende de su longitud y soporte lateral. kcon =

10EI con 10 x 541E = x 10 -5 = 324.4 Tm/rad s 340


113

1 1 1 1 1 1 1 = = + = + , = 0.0081 - 0.0031= 0.0050 kT 123.8 K con k sec 324.4 k sec k sec

De la ec. 5.85,

ksec = 200.2 Ton/rad. 1 1 1 1 1 = + = = + k sec 200.2 x 10 5 k c k t 3.3E  174.4  2  1.5 x 50 x 1.27 3 0.95 bs3     +  50  50   12 12  +

1 2

3.3E  174.4  1.5 x 72.2 x 1.27 3 0.95 bs3     +  72.2  72.2   12 12 

En esta expresión se ha supuesto t s = 0.95 cm (3/8" ). E 200.2 x 10

5

1

=

6.381 + 0.039 b s3

+

1 3.060 + 0.013 bs3

∴ bs = 9.0 cm.

Se utilizarán atiesadores de 9 cm x 0.95 cm (3/8”) En la ref. 5.27 se dan las recomendaciones siguientes para el diseño del contraventeo torsional de vigas: El contraventeo torsional puede ser nodal o continuo a lo largo de la viga. Puede unirse a cualquier sección transversal, y no es necesario que esté cerca del patín comprimido. La conexión entre el contraventeo y la viga debe resistir el momento que se indica adelante. a)

Contraventeo nodal

El contraventeo debe resistir un momento M con =

0.024 M u L nC b Lb

(5.89)

La rigidez requerida en el marco transversal o diafragma de contraventeo es k con =

kT  k  1 - T   k sec 

(5.90)

donde kT =

2.4LM u2 FR nEI y C b2

(5.91)

114


k sec =

3.3E  1.5ho t a3 t s bs3  + ho  12 12 

(5.92)

FR = 0.75 L = claro de la viga, cm. n = número de secciones contraventeadas de la viga Cb = factor de modificación del momento (Art. 5.4.2.1) ta = grueso del alma de la viga, cm. ts = grueso del atiesador del alma al que se conecta el contraventeo, cm. bs = ancho del atiesador cuando está colocado en un solo lado del alma (para atiesadores en los dos lados del alma se toma igual a la suma de los dos anchos), cm. kT = rigidez del contraventeo, sin incluir la distorsión del alma, kg-cm/rad. ksec = rigidez distorsional del alma (incluye el efecto de los atiesadores transversales colocados en ella), kg cm/rad. Si ksec < kT, la ec. 5.90 proporciona resultados negativos, lo que indica que el contraventeo torsional no es efectivo porque el alma de la viga no tiene rigidez distorsional adecuada. a)

Contraventeo continuo

Se emplean las ecs. 5.89, 5.90 y 5.91, con L/n = 1.0; se obtienen momentos y rigideces por unidad de longitud. La rigidez torsional de un alma no atiesada es 3.3Et a3 k sec = 12ho

(5.93)

Flexión 2 (Pandeo lateral)

5.8

115

ESPECIFICACIONES AISC BASADAS EN FACTORES DE CARGA Y RESISTENCIA (REF. 5.27)

En estas especificaciones se proporcionan fórmulas y procedimientos para determinar la resistencia de diseño en flexión de canales y vigas de sección transversal H o I con uno o dos ejes de simetría, flexionadas en el plano de mayor o de menor resistencia, vigas de sección transversal maciza con dos ejes de simetría, vigas en cajón, con dos planos de simetría, cargadas en uno de ellos, y tubos circulares de paredes delgadas; se indica, también, cómo evaluar la resistencia de diseño de miembros de sección transversal I de peralte variable, que satisfacen ciertas condiciones indicadas en las Normas. Aquí se reproducen y comentan únicamente los requisitos de diseño referentes a miembros de sección transversal constante, H o I, con uno o dos ejes de simetría, y a canales, estas últimas restringidas lateralmente y contra la torsión en los apoyos y en los puntos de aplicación de las cargas. Las ecuaciones se han escrito como en la ref. 5.14 y, cuando es posible, también en forma adimensional, entre paréntesis, como aparecen en la ref. 5.28 y aparecerán, también, en las refs. 5.27 y 5.29. Los miembros en flexión de sección I, cargados en el plano del alma, se subdividen en dos categorías, vigas y trabes armadas, de acuerdo con la esbeltez del alma. h/t = 8134/ Fyp (5.70 E/F yp ) es la relación peralte/grueso que separa las dos categorías. h es el peralte del alma (distancia libre entre patines en secciones hechas con placas soldadas, o distancia entre los puntos donde se inician las curvas que unen el alma con los patines en perfiles laminados), t su grueso, y Fyp el esfuerzo de fluencia del material de los patines, en Kg/cm2. (En sus especificaciones, el AISC cubre los perfiles “híbridos”, fabricados con placas de acero de características diferentes en los patines y el alma; no se tratan aquí). Las almas con relación peralte/grueso mayor que la indicada son esbeltas, de manera que su resistencia puede quedar regida por pandeo local; se tratan en el Apéndice G de la ref. 5.14, que se refiere al diseño de trabes armadas. (El límite correspondiente, en la ref. 5.16, es 8000/ F y (5.60 E/F y ) ; las trabes armadas se tratan en el capítulo 6). Deben investigarse cuatro estados límite: flujo plástico, pandeo lateral por flexotorsión de los tramos entre puntos soportados lateralmente (lateral-torsional buckling: LTB), pandeo local del patín comprimido (flange local buckling: FLB) y pandeo local del alma (web local buckling: WLB)7. A cada uno le corresponde un momento resistente; el menor de los cuatro es el momento resistente de diseño del elemento.

7

En el resto de este artículo se utilizan las iniciales de los nombres en inglés, LTB, FLB y WLB, para identificar las tres formas de pandeo.

116


En vigas compactas soportadas lateralmente, con Lb ≤ Lp, sólo es aplicable el estado límite de flujo plástico; en vigas compactas no contraventeadas son aplicables los estados límite de flujo plástico y de pandeo lateral por flexotorsión, y si la flexión es alrededor del eje de menor momento de inercia, el pandeo lateral no es posible. Cada momento resistente es función de un parámetro de esbeltez, λ, que se define como sigue: Estado límite de pandeo lateral por flexotorsión: λ = Lb/ry = longitud sin soporte lateral/radio de giro de la sección transversal respecto al eje normal al de flexión. Estado límite de pandeo local del patín comprimido: λ = bp/2tp = mitad del ancho total del patín comprimido/grueso del mismo. Estado límite de pandeo local del alma: arriba)/grueso de la misma.

λ = h/t = peralte del alma (definido

Se definen también tres relaciones de esbeltez características: λpd = esbeltez máxima hasta la que es aplicable el diseño plástico, desde el punto de vista del pandeo lateral por flexotorsión. λp = valor máximo de λ hasta el que Mn = Mp, donde Mn es el momento resistente nominal. (Para el estado límite de pandeo lateral por flexotorsión λp sólo tiene significado cuando el momento es constante en el tramo considerado, es decir, cuando Cb = 1.0; más adelante se estudia este coeficiente). λr = valor máximo de λ para pandeo inelástico. (Si λ > λr el pandeo se inicia en el intervalo elástico). En la Fig. 5.43 se muestra la respuesta generalizada para las tres formas de pandeo en consideración. Si todas las relaciones de esbeltez se hallan en el intervalo 0 ≤ λ ≤ λp (tramo A-B de la figura) la sección es compacta y no hay pandeo de ningún tipo; el estado límite es el de plastificación completa de la sección crítica; la resistencia a la flexión es la máxima que puede proporcionar el miembro; su momento resistente nominal es el momento plástico, Mp. Cuando alguna de las relaciones λ es mayor que λr, la forma de pandeo correspondiente se inicia en el intervalo elástico (tramo C-D). Entre los puntos B (λp, Mp) y C (λr, Mr), que corresponden a la esbeltez máxima para la que el momento resistente nominal es Mp y a la iniciación del pandeo elástico, se encuentra la región en la que el pandeo comienza en el intervalo inelástico, cuando algunas porciones de la viga han fluido ya plásticamente; el pandeo inelástico queda representado de manera adecuada, en los tres casos, por la línea recta que une los puntos mencionados.


117

Mp

λ-λp _ )
Mn (A) Mn=Mp

(B)

(C)

Mr LTB.-FLSx Mr FLB.-F S L x WLB.-F ypSx

_ M (M se calcula con la ec. 5.106) LTB.-Mn=Mcr < p cr _ p Sec. Laminados.-Mcr=1406200 Sx/λ2
(D) 0

λ pd

λp

λr

(Ec. 5.95 o 5.96) LTB.-1.762 E/F yp (Ec. 5.98) λr λ p FLB.-0.38 E/F yp (1) WLB.-3.71 E/F yp Secciones compactas

LTB.-Lb/ry λ FLB.-b/2t WLB.-h/t a

LTB.-Ec. 5.71 Sec. Laminadas, 0.83 E/F L FLB Sec. Soldadas, 0.95 Ek /FL (2) c WLB.-5.70 E/F yp

Secciones no compactas

Secciones esbeltas


Pandeo lateral elástico

Pandeo local (FLB y WLB)

Dis. Plástico El pandeo lateral no es crítico

(λ ) p

No hay falla por pandeo de ningún tipo

Pandeo lateral (LTB)

(λ ) r Falla por LTB, FLB ó WLB

(1) Límite superior de las relaciones ancho/grueso de secciones compactas. (2) Límite superior de las relaciones ancho/grueso de secciones no compactas.

Fig. 5.43 Resistencia nominal en flexión de vigas de sección transversal Ι, Τ y [ (ref. 5.14). La relación de esbeltez λpd = Lpd/ry corresponde a la longitud máxima sin soporte lateral, en las zonas de formación de articulaciones plásticas, para la que todavía puede utilizarse la teoría plástica; se obtienen capacidades de rotación del orden de 3 ó 4, que son suficientes en la mayoría de los casos. Ese límite no es aplicable a las otras dos

118


formas de pandeo porque la esbeltez λp garantiza capacidades de rotación del mismo orden, después de alcanzar Mp y antes de que se inicie el pandeo local. Por consiguiente, para que se pueda utilizar la teoría plástica han de satisfacerse las condiciones λ ≤ λpd, a ambos lados de las articulaciones, para LTB, y λ < λp para FLB y WLB. Las capacidades de rotación mencionadas pueden ser insuficientes en estructuras que se construirán en zonas de alta sismicidad; cuando ese sea el caso, véanse los artículos 3.7.1 y 3.10.3 del Capítulo 3. Si el cociente Lb/ry está comprendido entre λpd y λp la sección desarrolla el momento Mp, pero el pandeo lateral reduce la capacidad de rotación a valores insuficientes para diseño plástico. 5.8.1 Resistencia de diseño 5.8.1.1 Casos en que ninguna forma de pandeo es crítica. (Tramo AB, Fig. 5.43) El estado límite es por flujo plástico. a) La capacidad de rotación es suficiente para diseño plástico (λ≤ λpd para LTB, λ< λp para FLB y WLB). La resistencia de diseño en flexión es φb Mn = φbMp, donde φb = 0.90 y Mp = Zx Fy ≤ 1.5 My

(5.94)

My es el momento correspondiente al inicio del flujo plástico, sin tener en cuenta esfuerzos residuales = FyS. Limitando Mp a 1.5My se controlan las deformaciones inelásticas, bajo cargas de servicio, de secciones con factor de forma f = Mp/My mayor que 1.5, como las secciones I y H flexionadas alrededor del eje de menor momento de inercia. φb es el factor de reducción de la resistencia y Mn el momento resistente nominal. Las esbelteces máximas hasta las que puede utilizarse el diseño plástico son: LTB.-

λ = Lb/ry = Lpd/ry = λ pd

FLB.-

λ = bP/2tP = 0.382 E / Fy = λ p

WLB.- λ = h/t = 3.758 E / Fy = λ p


119

Para secciones I con dos ejes de simetría o con uno solo, con el patín de compresión igual o mayor que el de tensión, cargadas en el plano del alma, λpd es igual a λpd =

L pd ry

  M 1   E   = 0.124 + 0.076  M   2   F y

   

(5.95)

Fy es el esfuerzo mínimo de fluencia del patín comprimido, en Kg/cm2, M1 y M2 el menor y el mayor de los momentos en los extremos del tramo no contraventeado, y ry el radio de giro alrededor del eje de menor momento de inercia; M1/M2 es positivo cuando el tramo se flexiona en curvatura doble, y negativo cuando lo hace en curvatura simple. M2 suele ser el momento plástico de la sección. En estructuras que se construirán en zonas de alta sismicidad, diseñadas con fuerzas laterales disminuidas por comportamiento inelástico, la ec. 5.95 se sustituye por λpd =

b)

L pd ry

= 0.086

E Fy

(5.96)

La capacidad de rotación no es suficiente para diseño plástico.

λpd < (λ = Lb/ry) ≤ λp; λ ≤ λp para FLB y WLB.

La resistencia de diseño sigue siendo φbMp, pero la longitud libre es mayor que la admisible en diseño plástico. 5.8.1.2

Estados límite de pandeo lateral o local (λ > λp)

Cualquiera de las formas de pandeo puede iniciarse en el intervalo elástico (λ ≥ λr, Fig. 5.43) o fuera de él (λp < λ < λr). La resistencia de diseño es el menor de los productos φbMn, donde φb = 0.90 y Mn el momento resistente nominal correspondiente a cada estado límite de pandeo. La resistencia nominal en flexión, Mn, para cada estado límite, se determina como sigue: 5.8.1.2.1 Pandeo inelástico (λp < λ ≤ λr) El momento nominal de pandeo inelástico se obtiene con buena precisión representando el fenómeno con la línea recta que une los puntos B (λp, Mp) y C (λr, Mr) (Fig. 5.43). a)

Estado límite de pandeo lateral por flexotorsión (LTB)

120


  λ - λp   ≤ M p Mn = Cb M p - (M p - M r )   λr - λp     λp =

λr =

Lp ry

E F yp

= 1.762

Lr X 1 = ry FL

1 + 1 + X 2 FL2

(5.97)

(5.98)

(5.99) (5.100)

Mr = FL Sx

FL es el menor de los valores (Fyp - Fr) o Fya. X1 =

π SX

X2 = 4

EGJA 2

Ca  S x    I y  GJ 

(5.101)

2

(5.102)

Cb es un factor correctivo para momentos flexionantes no uniformes entre las secciones extremas, soportadas lateralmente, del tramo en estudio, dado por Cb =

12.5 M máx 2.5 M máx + 3 M A + 4M B + 3 M C

(5.103)

donde Mmáx = valor absoluto del momento máximo en el tramo sin soporte lateral. MA, MB, MC = valores absolutos de los momentos en el primer cuarto, el centro y el tercer cuarto del tramo sin soporte lateral. Cb puede tomarse, conservadoramente, igual a 1.0, en todos los casos. En vigas en voladizo con el extremo libre no contraventeado, Cb = 1.0. La ec. 5.103 es la 5.34, ligeramente modificada. Cuando el momento varía linealmente a lo largo del tramo sin contraventeo, Cb puede calcularse con la ec. 5.32, que se recomendaba en normas anteriores del AISC; sigue utilizándose en las refs. 5.12, 5.15 y 5.16.


121

λ = Lb/ry; Lb es la distancia entre puntos en los que el patín comprimido está soportado lateralmente, o entre secciones provistas de un contraventeo que evite el desplazamiento lateral y la rotación. Fyp y Fya son los esfuerzos de fluencia de los aceros del patín comprimido y del alma, respectivamente, y Fr es el esfuerzo residual máximo de compresión en los patines, igual a 10 Ksi (700 Kg/cm2) en perfiles laminados, y a 16.5 Ksi (1160 Kg/cm2) en secciones soldadas. Mr es, por consiguiente, el momento para el que empieza a plastificarse la sección, teniendo en cuenta los esfuerzos residuales de fabricación que hay en ella. Las expresiones anteriores son válidas para miembros de sección I, con dos o con un eje de simetría, con el patín comprimido igual o mayor que el de tensión, y para canales cargadas en el plano del alma. En la ref. 5.14 se proporcionan también recomendaciones para secciones en cajón y para secciones rectangulares macizas, flexionadas alrededor de su eje de mayor momento de inercia. Las ecs. 5.98 y 5.99 sólo son aplicables cuando Cb = 1.0. X1 y X2 están tabulados en la ref. 5.22 para todas las secciones laminadas H e I que aparecen en ella. También están tabuladas las longitudes Lr y Lp de las secciones que se utilizan como vigas. b)

Estados límite de pandeo local del patín comprimido o del alma (FLB o WLB).  λ - λp Mn= Mp - (Mp - Mr)   λr - λp

   

(5.104)

Para FLB, λp = 0.382 E/F y; , λr = 0.828/ E/FL para secciones laminadas; λr = 0.951 Ek c FL para secciones soldadas; Mr = FLSx. Para WLB, λP = 3.758 E/F y , λr = 5.696 E/F y ; Mr = FypSx kc = 4/ h / t a , pero 0.35 ≤ kc ≤ 0.763.

El factor kc tiene en cuenta la interacción del pandeo local de patines y alma. Para un perfil dado, Mn (ec. 5.104) es una cantidad fija, independiente de la longitud libre Lb, puesto que Mp, Mr, λ, λp y λr son función, exclusivamente, de las características geométricas y mecánicas del perfil.

122


5.8.1.2.2 Pandeo elástico (λ > λr) a)

Estado límite de pandeo lateral por flexotorsión (LTB). (5.105)

Mn = Mcr ≤ Mp

Mcr es el momento crítico de pandeo elástico, que se determina con la ecuación. π Mcr = Cb Lb

 πE  2 Cb S x X 1 2 EI y GJ +   I y C a = Lb /ry  Lb 

1+

X 12 X 2 2(Lb /ry ) 2

(5.106)

Esta expresión es válida para secciones I, T y C. b)

Estado límite de pandeo local del patín comprimido (FLB). (5.107)

Mn = Mcr = Sx Fcr Fcr =

0.690E

= c)

λ2

para perfiles laminados

0.903E k c λ2

para miembros hechos con placas soldadas.

Estado límite de pandeo local del alma (WLB).

Cuando λ > λr = 5.696 E/F yp el elemento es una trabe armada (Apéndice G, ref. 5.14).

5.8.2 Casos en que Cb es mayor que 1.0 Con el coeficiente Cb se incluye en las fórmulas, de manera aproximada, la influencia de la ley de variación del momento sobre la resistencia de las vigas al pandeo lateral por flexotorsión. Esa variación influye también en la resistencia al pandeo local, del patín comprimido o del alma, pero su efecto es mucho menos significativo en estos casos, por lo que Cb no aparece en las fórmulas que proporcionan las resistencias de diseño correspondientes. Por este motivo, lo que sigue se refiere sólo al estado límite de pandeo por flexotorsión. Cuando Cb es mayor que uno, la resistencia al pandeo lateral por flexotorsión se obtiene multiplicando la resistencia básica, que corresponde a Cb = 1.0, por Cb, teniendo en cuenta que el momento resistente nominal, Mn, no puede exceder de Mp (Fig. 5.44). En la figura se observa que los valores de Lp y Lr, dados por las ecs. 5.98 y 5.99, sólo tienen significado físico cuando Cb = 1.0; si Cb > 1.0 puede alcanzarse el momento Mp


123

con longitudes no contraventeadas más grandes (L’p > Lp), y aumenta también la longitud Lr, llegando, incluso, a desaparecer la región de pandeo inelástico.

Ec. 5.97

Mn

Mr.Cb

Mp

Resist. básica x Cb (Ec. 5.106) Ec. 5.97 con Cb=1.0 Ec. 5.106 con Cb=1.0 LTB inelástico

Mr Diseño plástico Mp

0

(1)

Lpd

Lp

Cb>1.0 LTB elástico Lr L’p

Cb=1.0 (Resist. básica) Lb

(1) En este tramo se alcanza Mp pero no se tiene capacidad de rotación suficiente para usar el perfil en diseño plástico.

Fig. 5.44 Influencia del coeficiente Cb en la resistencia al pandeo lateral por flexotorsión. Si Cb es mayor que la unidad se presenta alguno de los casos indicados en la Fig. 5.45. (Recuérdese que Lp es la longitud libre máxima para la que la viga puede desarrollar el momento plástico, Mp, y Lr la que separa el pandeo inelástico del elástico, ambas para momento uniforme, es decir, para Cb = 1.0). La frontera entre los dos casos corresponde a Mr Cb = Mp ∴ Cb =

Mp Mr

=

Fy Z x FL S X

La resistencia nominal de la viga se conserva igual a Mp hasta que Lb = Lr; para longitudes libres mayores el pandeo es elástico; desaparece la zona de pandeo inelástico. En estas condiciones, L’p = Lr, donde L’p es la longitud no contraventeada máxima hasta la que Mn es igual a Mp, teniendo en cuenta el efecto benéfico de la variación del momento flexionante.

124


En perfiles laminados de acero A36, Cb =

2530 Z x = 1.383 f (Si se supone que el factor 2530 - 700 S x

de forma f vale 1.12, Cb = 1.55). En vigas del mismo acero, soldadas,

Zx 2530 = 1.847 f (Para f = 1.12, Cb = 2.07). 2530 - 1160 S x

Las longitudes (L’p)1 y (L’p)2 para las que la viga puede resistir, todavía, el momento Mp, se obtienen, respectivamente, igualando las ecs. 5.106 y 5.107 a Mp, y despejando Lb de cada una de ellas. Mr.Cb>Mp (caso 1)

Mn

Mr.Cb=Mp Mp Mr.Cb
Mr

0

Lpd

Lp

(L’p)2

Cb>1.0 Cb=1.0 Ec. 5.106, con C b =1.0 Lr (L’p)1 Lb

Fig. 5.45 Curvas Mn – Lb cuando Cb > 1.0. Si Cb tiene un valor mayor que los calculados arriba, (L’p)1 es mayor que Lr, de manera que Mn se conserva igual a Mp hasta que se inicia el pandeo elástico. Si, en cambio, es menor, Lp < (L’p)2 < Lr; se amplía la zona correspondiente a Mn = Mp con respecto al caso en que Cb = 1.0, pero sigue habiendo un intervalo de longitudes libres en el que el pandeo es inelástico. EJEMPLO 5.14 La viga libremente apoyada de la Fig. E5.14.1, de 8 m de claro, debe soportar las cargas de trabajo, muerta y viva, que se indican. El piso proporciona soporte lateral continuo al patín superior. Escoja el perfil W más económico de la ref. 5.22, utilizando acero grado 50, con Fy = 3515 Kg/cm2. Utilice las normas de las refs. 5.14 y 5.16. Como el patín superior de la viga está soportado lateralmente en toda su longitud, el pandeo lateral no es crítico. Los estados límite de resistencia que deben


125

revisarse son el de agotamiento de la resistencia a la flexión en la sección crítica (la viga es isostática, y no puede haber redistribución de momentos), el de resistencia del alma al cortante y, dependiendo de las características geométricas del perfil que se emplee, los de pandeo local. Además, ha de revisarse el estado límite de servicio de deflexiones. Carga muerta=1.0 T/m Carga viva=2.0 T/m

L=8.00 m a) Geometría y cargas

tp=1.35

k=3.33 ta=0.77

h=32.0

dc=28.04

d=34.7

k=3.33

tp=1.35 b=20.3

b) Sección transversal: W14x43 (acotaciones en cm)

Fig. E5.14.1 Viga del ejemplo 5.14. a)

Ref. 5.27.

Acciones de diseño. Wu = 1.2 x 1.0 + 1.6 x 2.0 = 4.4 T/m. (Mu )máx = 4.4 x 82/8 = 35.2 Tm ; ( Vu )máx = 4.4 x 8/2 = 17.6 Ton.

Diseño por flexión. Debe satisfacer la condición MR ≥ Mu. Si la sección es tipo 1 o 2, el momento resistente vale MR = FR Mp = FR Z Fy ≤ 1.5 FR SFy. Se requiere un módulo de sección plástico Z no menor que FR Z Fy = Mu ∴ Z =

Mu 35.2 x 10 5 = 1113 cm3 = FR F y 0.9 x 3515

126


Una W14” x 43 lb/pie, con Z = 1140 cm3, es el más ligero de los perfiles de la ref.5.22 que cumple el requisito. En este caso, FRZFy = 0.9 x 1140 Fy x 10-5 = 36.1 Tm ≤ 1.5 FR SFy = 1.5 x 0.9 x 1027 Fy x 10-5 = 48.7 Tm.

Clasificación de la sección. En la Fig. E5.14.1 se muestran las dimensiones de la sección escogida. Patines. Alma.

b/2tp = 20.3/(2 x 1.35) = 7.5 < 0.38 E / F Y = 9.2 dc/ta = 28.0/0.77 = 36.4 < 3.76 E / F Y = 90.6

Como la sección es compacta puede desarrollar el momento Mp ∴ La sección es correcta. Revisión por cortante. dc/ta = 36.4 < 2.45 E/FY = 59.1 ∴ VR = 0.6 Fy Aa = 0.6 x 3515 x 34.7 x 0.77 x 10-3 = 56.4 Ton > Vu = 17.6 Ton.

El área del alma se toma igual al producto de su grueso por el peralte total del perfil. La viga está muy sobrada por cortante, lo que sucede casi siempre en este tipo de problemas. Estado límite de deflexiones. La ref. 5.27 no proporciona valores límite específicos de las deflexiones, por lo que se utilizarán los de la ref. 5.24. De acuerdo con ella, la flecha máxima, producida por cargas de servicio, no debe exceder de L/240 + 0.5 cm, donde L es el claro de la viga. Flecha máxima admisible =

800 + 0.5 = 3.83 cm. 240

Flecha máxima producida por las cargas de servicio ∆máx =

5 ωL4 5 30 x 800 4 = 4.40 cm > 3.83. = 384 EI 384 17815E

La flecha máxima es un poco mayor que la admisible; se escogerá un perfil de momento de inercia mayor, probablemente conservando el peralte, puesto que el incremento requerido es pequeño. Inec = 17815 x 4.40/3.83 = 20 466 cm4 1W 14” x 48 lb/ft (I = 20187 cm4

≈ 20 466)


127

Según el destino del piso del que forma parte la viga, podría ser necesario revisar el estado límite de vibraciones; si no se cumple, convendría, seguramente, escoger un perfil de mayor peralte. Los estados límite de deflexiones y vibraciones son más críticos cuando, como en este ejemplo, se utiliza un acero de resistencia elevada. Si se hubiese usado acero A36, la flecha máxima habría quedado, sin duda, por debajo de la máxima permisible. b) Ref. 5.16. En este caso las normas de esta referencia son casi iguales a las de la ref. 5.27, por lo que al aplicarlas se llega a los mismos resultados. No se presentan los cálculos correspondientes. EJEMPLO 5.15 Revise el perfil escogido por resistencia en el ejemplo 5.14 en los dos casos siguientes: I) II)

La viga no tiene ningún soporte lateral entre los apoyos. La sección central de la viga está soportada lateralmente.

Los apoyos tienen soporte lateral adecuado en los dos casos. Utilice las normas de las refs. 5.14 y 5.16. Aunque en el ejemplo 5.14 se aumentó ligeramente el perfil para satisfacer el estado límite de deflexiones, aquí se conserva la sección necesaria por resistencia, para estudiar la influencia del tipo de soporte lateral. Si, al disminuir las restricciones laterales, fuese necesario escoger un perfil mayor, es probable que se cumpla automáticamente el estado límite de deflexiones. En el ejemplo 5.14 se ha demostrado que la sección es compacta. I) La viga no tiene soportes laterales entre los apoyos. Las propiedades de interés de la sección transversal de la viga son: W14” x 43 lb/ft A = 81.3 cm2; Ix = 17815 cm4; Iy = 1881 cm4; Sx = 1027 cm3 ; Zx = 1140 cm3 ; ECa J = 43.7 cm4 ; Ca = 523 645 cm6 ; = 176.0 cm. GJ

Los valores de las constantes de torsión se han tomado de la ref. 5.22; si no se cuenta con ellos, para secciones I hechas con placas soldadas, por ejemplo, pueden calcularse con las fórmulas aproximadas, que se utilizan aquí con fines ilustrativos.

128


Ec. 5.6a

Fig. 5.10.

J= I y d '2

Ca =

4

1 1 ∑bt3 = (2 x 20.3 x 1.353 + 32.0 x 0.773) = 38.2 cm4. 3 3

=

1881 x 33.4 2 = 523 023 cm6 4

El valor de Ca es prácticamente igual al tabulado, y J es algo menor. En lo que sigue se utilizan las constantes de la ref. 5.22. a)

Ref. 5.16.

Acciones de diseño.

WD = (1.0 + 2.0) 1.4 = 4.2 T/m ; (MD)máx = 4.2 x 82/8 = 33.6 Tm ; (VD)máx

= 4.2 x 8/2 = 16.8 Ton.

Diseño por flexión. Como primer paso se determina la longitud Lu, para saber si el pandeo lateral es o no crítico. El momento en el centro del tramo sin soporte lateral es más grande que el mayor de los momentos en los extremos (que son nulos), de manera que C = 1.0. Xu = 4.293 C

ZF y GJ

Ca 1140 x 3515 = 4.293 x 1 x Iy 784000x43.7

2π Xu

ECa GJ

523 645 = 8.38 1881

Ec. 5.54 Lu =

1 + 1 + X u2 =

2π x 176.0 1 + 1 + 8.38 2 = 286.7 cm. 8.38

L = 800 cm > Lu = 286.7 cm ∴ Es crítico el pandeo lateral por flexocompresión.

Resistencia de diseño. El estado límite es de pandeo lateral por flexotorsión y la sección es tipo 1, con dos ejes de simetría, de manera que la resistencia de diseño se calcula como sigue: Ec. 5.50. Mu =

πE CL

 43.7  π  2   J  π 2  πE  523645 x 10-5 = 17.32 Tm. I y  +   C a  = 1881  + 1.0x800  2.6  L    2.6  800  

Puede utilizarse también la expresión aproximada 5.51: Mu =

1 C

2 2 Mc1 + Mc2


Ec. 5.52.

129

M c1 =

Ec. 5.53.

M c2 =

Mu =

EAt 31.3 x 1.35E = x 10 -5 = 13.43 Tm L/r y 800/4.8

4.7EAd (L/r y )

2

=

4.7x81.3x34.7E (800/4.8) 2

x 10 - 5 = 9.73 Tm.

1 13.43 2 + 9.73 2 = 16.58 Tm. 1.0

Las contribuciones de las dos formas de torsión son parecidas, aunque es un poco mayor la correspondiente a la torsión de Saint Venant. Las fórmulas aproximadas (ecs. 5.51 a 5.53) y la exacta (ec. 5.50) proporcionan resultados muy semejantes; las ecuaciones aproximadas no tienen, en realidad, ninguna ventaja. Mp = Z Fy = 1140 x 3515 x 10-5 = 40.1 Tm. Mu = 17.32 Tm <

2 3

Mp = 26.7 Tm ∴ El pandeo se inicia en el intervalo elástico.

MR = FR Mu = 0.9 x 17.32 = 15.6 Tm < 33.6

El perfil del ejemplo 5.14 sin ningún soporte lateral entre los apoyos no es adecuado para resistir las cargas que actúan en él. b)

Ref. 5.14.

Ec. 5.98

Lp = 1.762 ry/ E/F y = 1.762 x 4.8 E/F y = 203.7 cm < L= 8.00 m

Ec. 5.99

Lr =

ry X 1 FL

1 + 1 + X 2 FL2

[

De la ref. 5.25, X1 = 163 119 Kg/cm2, X2 = 0.991 x 10-6 1/ (Kg/cm)

2

]

FL = Fy - Fr = 3515 - 700 = 2815 Kg/cm2 Lr =

4.8 x 163 119 1 + 1 + 0.991 x 10 -6 x 2815 2 = 554.6 cm < L = 800 cm 2815

El pandeo se inicia en el intervalo elástico. Resistencia nominal en flexión Mn = Mcr = 17.32 Tm < Mp Mcr es igual a Mu, calculado arriba.

130


FR Mn = 0.9 x 17.32 = 15.76 Tm < 35.2 Tm. El perfil ensayado está muy escaso.

El momento de diseño Mu = 35.2 Tm se obtuvo en el ejemplo 5.14. II)

La sección central de la viga está soportada lateralmente. (L = 4.00 m).

a)

Ref. 5.16

Este problema se resolverá sin calcular las longitudes características. C = 0.60, pues M1/M2 = 0. M1 es el momento en un extremo, libremente apoyado, de

la viga, y M2 el momento en el centro del claro. Mu =

πE CL

 J  π 2   43.7  π  2  πE  523645 x 10 -5 = 81.1 Tm. Iy  +  Ca  = 1881 +  2.6  400   2.6  L   0.6x400 

Mu = 81.1 Tm >

2 Mp = 26.7 Tm 3

∴ El pandeo se inicia en el intervalo inelástico.

 0.28M p MR = 1.15 FR Mp 1 Mu  FRMp = 0.9 x 40.1 = 36.1 Tm.

Ec. 5.48

  = 1.15 x 0.9 x 40.1 1 - 0.28x40.1  = 35.8 Tm <  81.1  

MR = 35.8 Tm > MD = 33.6 Tm.

El perfil del ejemplo 5.14 con la sección central soportada lateralmente es correcto. b)

Ref. 5.14

Lp = 203.7 cm < Lb = 400 cm < Lr = 554.6 cm.

1m

1m

1m Lb=4 m

35 2 Tm M

Mc=33.0 Tm

MB=26.4 Tm

MA=15.4 Tm

Es crítico el pandeo lateral, que se inicia en el intervalo inelástico.

1m

Fig. E5.15.1 Cálculo del coeficiente Cb.


Ec. 5.103

131

Cb=

=

2.5M máx

12.5 Mmáx = + 3M A + 4MB + 3MC

12.5 x 35.2 = 1.30 2.5 x 35.2 + 3 x 15.4 + 4 x 26.4 + 3 x 33.0

Los momentos de la ecuación anterior aparecen en la fig E5.15.1 Resistencia nominal en flexión (ec. 5.100):

M= FLSx = 2815 x 1027 x 10-5 = 28.9 Tm.r

Ec.5.97  Lb - L p  400 - 203.7   Mn=Cb M p - M p - M r =  = 1.30 40.1 - (40.1 - 28.9 ) L L 554 .6 − 203.7    r p   = 44.0 Tm > M p = 40.1 ∴ Mn = 40.1 Tm.

(

)

FR Mn = 0.9 x 40.1 = 36.1 Tm > 35.2 ∴ El perfil es adecuado.

Al soportar lateralmente la sección media de la viga crece su resistencia al pandeo por dos motivos: a) disminuye la longitud libre de pandeo y b), crece el coeficiente Cb (o 1/C, cuando se aplican las normas de la ref. 5.16). EJEMPLO 5.16 Revise si la sección W18” x 76 lb/ft de la Fig. E5.16.2 (ref. 5.22) es adecuada para la viga de la Fig. E5.16.1. Los apoyos y los puntos de aplicación de las cargas están soportados lateralmente. El acero es A36. Las cargas indicadas son nominales (o de trabajo), y los diagramas de elementos mecánicos corresponden a ellas. Clasificación de la sección (Tabla 3.6, art. 3.10.2.1) Patines. b / 2tp =28.03/(2 x 1.73) = 8.10 < 0.32 E/F y = 9.1 Alma. dc/ta = 39.3/1.08 = 36.4 < 2.45 E/F y = 69.6 La sección es tipo 1; no hay problemas de pandeo local. Deben revisarse los estados límite de pandeo lateral por flexotorsión y de resistencia del alma al cortante.

132


12.0 Ton

A 7.30 m

5.2 Ton

B

D

8.50 m 15.80 m

C 6.50m

+31.51 -33.80

4.32

5.20 7.68

3.5 tp=1.73 ta=1.08

M (TM)

V (Ton)

dc=39.3

d=46.3

A=143.87 cm2 Ix=55360 cm4; 5x=2393 cm3 Zx= 2671 cm3 Iy=6327 cm4; ry=6.63 cm J=117.8 cm4 6 Ca=3141 870 cm Acotaciones en cm

tp=1.73

3.5

b=28.03

Fig. E5.16.1 Cargas y diagramas de elementos mecánicos (nominales).

Fig. E5.16.2 Dimensiones y propiedades geométricas de la sección W18´´x76 lb/ft.

Revisión de la resistencia al pandeo lateral Normas Técnicas Complementarias del Reglamento del D. F. (Ref. 5.16) Se toma Fc = 1.4. Tramo BC. Este es, probablemente, el que se encuentra en peores condiciones, por lo que se revisará primero. Longitudes características (Ecs. 5.54 y 5.55). C = 0.6 (El momento en un extremo es nulo). Xr =

4 ZF y C 3 GJ

Ca 4 2671 x 2530 = x 0.6 x Iy 3 784000 x 117.8

3 141 870 = 1.305 6327

Xu = 3.220 Xr = 4.202 EC a EC a Ca Ca = = 2.6 = 1.612 GJ (E/2.6)J J J

Lu =

Ca 2π x 1.612 Xu J

1 + 1 + X u2 =

2π 3 141 870 x 1.612 4.202 117.8

1 + 1 + 4.202 2 = 642.0 cm

Lr =

Ca 2π x 1.612 Xr J

1 + 1 + X r2 =

2π 3 141 870 x 1.612 1.305 117.8

1 + 1 + 1.305 2 = 1 457.4 cm

Puesto que (Lu = 642 cm) < L = 650 cm < (Lr = 1457.4 cm), el pandeo se presenta en el intervalo inelástico, y MR se calcula con la ec. 5.48.


133

Resistencia de diseño Ec. 5.50 πE Mu = CL

-5

 J  π 2   117.8  π  2  πE  3 141 870  x10 −5 = 142.3Tm Iy  +  Ca  = 6327  +  2.6  L   0.6 x 650  2.6  650  

Mp = 2671 x 2530 x 10-5 = 67.6 Tm

Ec. 5.48  0.28 M p     = 1.15 x 0.9 x 67.6 1 - 0.28 x 67.6  = MR = 1.15 FR Mp 1  142.3  Mu   = 60.7 Tm < 0.9 Mp = 60.8

Como L es muy poco menor que Lu, el momento resistente MR es casi igual a FRMp. Las longitudes Lu y Lr no son necesarias en un problema como éste, en el que pueden aplicarse directamente las ecuaciones. Mu = 142.3 Tm > (2/3) Mp = 45.1 Tm

Se aplica la ec. 5.48, y se obtiene MR = 60.7 Tm El tramo ensayado está sobrado, pues MR = 60.7 Tm > Mu = 33.8 x 1.4 = 47.3 Tm (47.3/60.7 = 0.779)

El tramo BC es seguramente el crítico; sin embargo, para completar el problema se revisarán los otros dos. Tramo AD. L = 7.30 m. Mu =

 117.8  π  2  πE  3 141 870  x 10 -5 = 118.3 Tm 6327  + 0.6 x 730  2.6  730  

 0.28 x 67.6   = 58.8 Tm > 1.4 x 31.51 = 44.1 Tm MR = 1.15 x 0.9 x 67.6 1  118.3 

Tramo DB.

Mu =

L = 8.50 m ; C = 0.6 - 0.4

31.51 = 0.227 < 0.4 ∴ C = 0.4 33.80

 117.8  π  2  πE  3 141 870  x 10-5 = 140.8 Tm 6327  + 0.4 x 850  2.6  850  

134


 0.28 x 67.6   = 60.6 Tm > 47.3 Tm MR = 1.15 x 0.9 x 67.6 1  140.8 

El perfil ensayado está sobrado. Normas AISC-ASD 89 (ref. 5.12) Tramo BC. 637b Fy Fb =

=

L = 6.50 m

637 x 28.03 2530

= 355 cm < L = 6.50 m; Cb = 1.75, pues M1/M2 = 0

843720 x 1.75 = 2379 Kg/cm 2 > 0.6 Fy ∴ Fb = 0.6 Fy = 1518 Kg/cm2 650 x 46.3/(28.03 x 1.73)

fb = Mmáx/Sx = 33.8 x 105/2393 = 1412 Kg/cm2 < 1518 (1412/1518 = 0.930)

El perfil propuesto está sobrado; no es necesario revisar los otros tramos. Obsérvese que al revisar la sección con las recomendaciones de la ref. 5.16 se encuentra que está mucho más sobrada que con la ref. 5.12. Normas AISC-LRFD (ref. 5.14) Se toma Fc = 1.4 (valor propuesto en la ref. 5.16) Tramo BC.

L = 6.50 m.

Mmáx = 33.8 x 1.4 = 47.32 Tm.

Clasificación de la sección (Tabla B5.1, ref. 5.14). Patines.

b/2tp = 8.10 < 0.38 E/F y = 10.8

Alma.

dc//ta = 36.4 < 3.76 E/F y = 106.7

La sección es compacta; no es necesario revisar los estados límite de pandeo local de alma o patines. Ec. 5.98

Lp = 2516 ry/

Fy = 2516 x 6.63/ 2530 = 331.5 cm < L = 6.50 m.

Debe revisarse el estado límite de pandeo lateral por flexotorsión. De la ref. 5.22: X1 = 2180 Ksi = 153 276 Kg/cm2 ; X2 x 106 = 6520 (1/Ksi)2 = 1.319 (1/(Kg/cm))2 X2 = 1.319 x 10-6

FL = Fy - 700 = 1830 Kg/cm2 ; Mr = FLSx = 1830 x 2393 x 10-5 = 43.8 Tm.


Lr =

ry X 1 FL

135

1 + 1 + X 2 FL2 =

6.63 x 153276 1830

1 + 1 + 1.319 x 10 -6 x 1830 2 =

Ec. 5.99

= 1013 cm > L = 6.50 m Cb = 1.75

Ec. 5.92 Resistencia nominal  L - Lp  Mn = Cb  M p - M p - M r = Lr - L p    650 - 331.5  =1.75 67.6 - ( 67.6 - 43.8) = 98.8 Tm > Mp  1013 − 331.5 

(

)

∴ Mn = Mp

Resistencia de diseño = φb Mn = 0.9 x 98.8 = 88.9 Tm > Mmáx = 47.32 Tm El perfil propuesto está sobrado; no es necesario revisar los otros tramos. Revisión de la resistencia al cortante VD = 7.68 x 1.4 = 10.75 Ton. Ref. 5.16. h = 46.3 - 2 x 1.73 = 42.84 cm.

h 42.84 = = 39.7 < 1400 ta 1.08

k 5.0 = 1400 = 62.2 Fy 2530

∴ VN = 0.66 Fy Aa

Resistencia de diseño VR = FR VN = 0.9 x 0.66 x 2530 x 46.3 x 1.08 x 10-3 = 75.1 Ton >> 10.75 Ton Como en la mayoría de los problemas reales, el estado límite de resistencia al cortante no es crítico.

136

5.9


VIGAS DE PAREDES DELGADAS

De acuerdo con las normas AISI para diseño por factores de carga y resistencia (ref. 5.13), la resistencia de diseño φbMb de tramos no contraventeados lateralmente de vigas de sección transversal con dos ejes de simetría8, que fallan por pandeo lateral, se determina con φb = 0.9, y Mn se calcula como sigue: Mn = Mc

Sc Sf

(5.108)

donde Sf = módulo de sección elástico de la sección transversal completa, respecto a la fibra extrema en compresión. Sc = módulo de sección elástico de la sección transversal efectiva, determinada con el esfuerzo Mc/Sf en la fibra extrema en compresión. Mc = momento crítico calculado como se indica a continuación. El momento Mc de secciones I flexionadas alrededor del eje centroidal perpendicular al alma (eje x), se calcula con las ecuaciones siguientes: Para Me ≥ 2.78 My, (5.109)

Mc = My

Para 2.78 My > Me > 0.56 My, Mc =

 10M y 10 M y 1 9  36M e

  

(5.110)

Para Me ≤ 0.56 My, Mc = Me

(5.111)

En las expresiones anteriores, My = momento que ocasiona la iniciación del flujo plástico en la fibra comprimida extrema de la sección transversal completa = Sf Fy (5.112) Me = momento crítico de pandeo elástico. En la ref. 5.13 se proporcionan expresiones para calcular Me; cuando se aplican a secciones con dos ejes de simetría, se reducen a las que se han visto aquí. 8

La ref. 5.13 contiene recomendaciones para secciones con un solo eje de simetría y para las que tienen un centro de simetría, como las Z; no se incluyen aquí.


137

En el art. 5.5.2 se propuso la ec. 5.37 para calcular el momento crítico de pandeo inelástico; es válida cuando Me excede de My/2; en caso contrario, el pandeo se inicia en el intervalo elástico, y el momento crítico se evalúa con la ec. 5.19a del art. 5.4.1.1.  My   M cr = M y 1  4M cre 

(5.37)

Los resultados que proporciona la ec. 5.37 mejoran sustituyendo My por Mp, para que el momento crítico de pandeo inelástico tienda a Mp cuando L tiende a cero; suponiendo que Mp = (10/9)My = 1.11 My, y haciendo la sustitución, se obtiene la ec. 5.110, que es válida para Mc mayor que Mp/2 = 1.11 My/2 ≈ 0.56 My ; si Mc ≤ 0.56 My, el pandeo es elástico (ec. 5.111). De manera conservadora, el valor máximo del momento crítico se limita a My, y la ec. 5.110 es aplicable sólo hasta que Mc = My; de esta condición se obtiene el límite Me = 2.78 My, arriba del cual se toma Mc = My (ec. 5.109). En vigas de paredes delgadas, la interacción del pandeo local de los elementos comprimidos con el pandeo lateral de conjunto puede ocasionar una disminución en la resistencia al pandeo lateral; el efecto del pandeo local en el momento crítico se toma en cuenta con la ec. 5.108.

138


5.10

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5.24

“Reglamento de Construcciones para el Distrito Federal”, Diario Oficial, 2 de agosto de 1993 (actualizado el 4 de junio de 1997).

5.25

Galambos, T.V., editor, “Guide to Stability Design Criteria for Metal Structures”, 5a. Ed., John Wiley and Sons, Inc., Nueva York, 1998.

5.26

De Buen, O., “Comentarios, ayudas de diseño y ejemplos de las Normas Técnicas Complementarias para diseño y construcción de estructuras metálicas”, Vol. I., Instituto de Ingeniería, UNAM, julio de 1993.

5.27

“Load and Resistance Factor Design Specification for Structural Steel Buildings” (incluye Comentario), American Institute of Steel Construction, Chicago, Ill, diciembre de 1999.

5.28

“Metric Load and Resistance Factor Design Specification for Structural Steel Buildings”, American Institute of Steel Construction, Chicago, Ill., diciembre de 1994.

5.29

“Normas Técnicas complementarias para diseño y construcción de estructuras metálicas”, Gobierno del Distrito Federal, México, D. F., 2002 (en preparación).

Fundación ICA es una Asociación Civil constituida conforme a las leyes mexicanas el 26 de octubre de 1986, como se hace constar en la escritura pública número 21,127, pasada ante la fe del Lic. Eduardo Flores Castro Altamirano, Notario Público número 33 del Distrito Federal, inscrita en el Registro Público de la Propiedad en la sección de Personas Morales Civiles bajo folio 12,847. A fin de adecuar a las disposiciones legales vigentes los estatutos sociales, estos fueron modificados el 17 de octubre de 1994, como se hace constar en la escritura pública número 52,025 pasada ante la fe del Lic. Jorge A. Domínguez Martínez, Notario Público número 140 del Distrito Federal. Fundación ICA es una institución científica y tecnológica inscrita en el Registro Nacional de Instituciones Científicas y Tecnológicas del Consejo Nacional de Ciencia y Tecnología, con el número 2001/213 del 29 de agosto de 2001. Esta edición de "Diseño de estructuras de acero. Flexión 2 (Pandeo lateral)" se termino en agosto del 2002 se grabaron 500 ejemplares en disco compacto, fue grabado en Av. del Parque 91 col. Nápoles C.P. 03810 México DF. la edición estuvo al cuidado de Fernando Oscar Luna Rojas, César Arteaga y Carolina Zempoalteca Durán.

Otras publicaciones del Ing. Oscar de Buen López de Heredia

•

"Un método para el trazo de líneas de influencia de estructuras hiperestáticas". Ingeniería. Julio 1959.

•

"Diseño de columnas de acero cargada axialmente". Ingeniería. Abril 1963.

•

"Pandeo lateral de vigas de acero". Ingeniería. Octubre 1963.

•

"Diseño de piezas flexocomprimidas de acero estructural". Ingeniería. Abril 1964.

•

"Pandeo de placas comprimidas". Ingeniería. Julio 1964.

•

Apuntes sobre "Análisis plástico de estructuras de acero". Facultad de Ingeniería. División de Estudios de Superiores. 1964.

•

"Plastic desing of a three – story steel frame".Engineerring Journal, American Institute of Steel Construction (A.I.S.C.), Nueva York. Julio 1965.

•

"Estabilidad de placas sujetas a esfuerzos cortantes y esfuerzos normales no uniforme". Ingeniería. Octubre 1965.

•

"Diseño de trabes armadas". Ingeniería. Enero 1966.

•

"A plastically designed five – story building in México City". (A.S.C.E.) Structural Engineering Conference. Miami, Florida. Febrero 1966.

•

"Un método para el análisis y diseño plástico de marcos de acero para edificios de varios pisos". Ingeniería. Abril 1966

•

"Diseño plástico de marcos rígidos de edificios". Ingeniería Civil. Abril, Enero – Febrero 1966.

•

"Conexiones para marcos rígidos de acero". Parte Experimentales. Diseño Elástico. Ingeniería. Julio 1966.

•

"Conexiones para marcos rígidos de acero". Parte II. Diseño Plástico. Ingeniería. Julio 1967.

•

"Diseño plástico de marcos rígidos no contraventeados". II Congreso Nacional de Ingeniería Sísmica, S.M.I.S. Veracruz, Ver. Mayo 1968.

•

"Estructura de acero de la cubierta del Palacio de los Deportes". Ingeniería. Octubre 1968.

•

"Antiseismic Design of Multi – Story Steel Frames by Plastic Methods". IV Congreso Mundial de Ingeniería Sísmica. Santiago, Chile. Enero 1969.

•

"Nociones de Metalurgia de la Soldadura". Instituto de Ingeniería U.N.A.M. 1969.

I.

Investigaciones

•

"A Modification to the Subassemblage Method of Designing Unbraced Multi – Story Frames". Engineering Journal, American Institute of Steel Construction. (A.I.S.C.). Nueva York. Octubre 1969.

•

Secciones F e I (Análisis Estructural y estructuras de Acero), del "Manual de Diseño de Obras Civiles" de la Comisión Federal de Electricidad. Instituto de Investigaciones de la Industria Eléctrica. México, D, F, 1969.

•

"Estudio metalográfico del acero de las aspas del ventilador de un generador de la Central Hidroeléctrica de Malpaso". (Con Marcos de Teresa y Carral). Instituto de Ingeniería. Febrero 1970.

•

"Estudios experimentales en el puente Bulevar Aeropuerto". Ingeniería. Julio – Septiembre 1970.

•

"Recomendaciones para soldar varillas de refuerzo en estructuras de concreto". Ingeniería. Octubre – Diciembre 1971.

•

"Algunas ideas sobre el diseño plástico de marcos de acero en zonas sísmicas". III Congreso Nacional de Ingeniería. (S.M.I.S.) Acapulco, Gro. Noviembre 1971.

•

"Diseño de Columnas en Edificios Altos". Conferencia Regional de Planeación y Diseño de Edificios Altos. México, D.F. Marzo 1973.

•

Capítulo de "Diseño de Estructuras Metálicas". Reglamento de las Construcciones del Distrito Federal. 1973.

•

"Efectos de Esbeltez con Relación a los Reglamentos de Diseño Estructural", Con S Gérard. Instituto de Ingeniería, U.N.A.M. Diciembre 1975.

•

Discusión del artículo "Inelastic Sway Buckling of Multistory Frames", de F Cheong – Siat – Moy; J. of the Structural Division, Proc. ASCE. Vol. 102, No. ST 12. Diciembre 1976.

•

"Treinta Años de Ingeniería Estructural en México". Conferencia Plenaria. Memorias del Primer Congreso Nacional de Ingeniería Estructural. México, D.F. 1977.

•

"Un Método para el Diseño Plástico de Marcos no Contraventeados". Memorias del Primer Congreso Nacional de Ingeniería Estructural. México, D.F. 1977.

•

"A Method for the Plastic Design of Unbraced Multistory Frames". A.I.S.C. Enginnering Journal. Vol. 15 No. 3. American Institute of Steel Construction . Nueva York. 1978.

•

"Algunos Comentarios sobre la Evolución de la carrera de Ingeniero Civil en los Últimos Cincuenta Años". Ingeniería. Vol. XLIX, No. 1, 1979.

•

"Evolución de las Especificaciones del Instituto Americano de la Construcción en Acero (A.I.S.C.), para Diseño de Estructuras". Ingeniería, Vol. XLIX, No. 2, 1979.

•

"Estructuras de Acero. Comportamiento y Diseño". Libro Publicado por Editorial Limusa. México, D.F. 1980. (673 páginas).

•

Cap. 4, "Steel Structures", del libro "Design of Earthquake Resistant Structures", E. Rosenblueth, editor. Pentech Press. Londres, Inglaterra, 1980. (42 páginas).

•

"Plastic Design of Unbraced Multistory Steel Frames with Composite Beams", (A.I.S.C.) Engineering Journal, Vol. 17, No. 4. American Institute of Steel Construction, Chicago, III., 1980.

•

"Treinta Años de Ingeniería Estructural en México". Ingeniería. Vol. LI, No. 4, 1981.

•

"El Diseño por Viento de Edificios Altos y el Reglamento de las Construcciones para el Distrito Federal". Memorias del III Congreso Nacional de Ingeniería Estructural. Morelia, Mich. Marzo 1982.

•

"Diseño de Columnas de Acero Cargadas Axialmente". 1ª. Parte. Ingeniería. Vol. LII, No. 2, 1982.

•

"Presente y Futuro de las Estructuras de Acero en México". Ingeniería. Vol. LIII, No. 3, 1983.

•

"Evolución de las Normas para el Diseño Sísmico de Estructuras Urbanas de Acero". Memorias del VI Congreso Nacional de Ingeniería Sísmica. Puebla, Pue. Noviembre 1983.

•

"Diseño de Marcos Rígidos de un Piso de Acero Estructural". Memorias del IV Congreso Nacional de Ingeniería Estructural. León, Gto. Marzo 1984.

•

"Evolución de las Normas para Diseño Sísmico de Estructuras Urbanas de Acero". Ingeniería. Vol. LIV. No. 3. 1984.

•

"Hacia una racionalización de las Normas para Diseño de Estructuras de Acero". Memorias del 4º. Simposio Nacional de Estructuras Metálicas. México, D.F. Julio 1985.

•

"Un Cambio de Enfoque en el Diseño Sísmico". Memorias del V Congreso Nacional de Ingeniería Estructural. Veracruz, Ver. Mayo 1986.

•

"Evolución del Diseño Sísmico en la Ciudad de México". Memorias del 1er. Simposio Nacional de Ingeniería Sísmica. Sociedad Mexicana de Ingeniería Sísmica, Ixtapa, Gro. Noviembre 1986.

•

"Thoughts on a Different Approach to Seismic Design Codes". The México Earthquakes – 1985, Proceedings of the International Conference, American Society of Civil Engineers, Nueva York, 1987.

•

"Evolución del Diseño Sísmico de Edificios de Acero". Memoria del VII Congreso Nacional de Ingeniería Sísmica. Querétaro, Qro. Noviembre 1987.

•

"Las Normas Técnicas Complementarias para el diseño de estructuras metálicas del Reglamento de las Construcciones para el Distrito .Federal. de 1987". Memorias del 4º. Simposio Internacional de Estructuras de Acero y 5º. Simposio Nacional. Morelia, Mich. Noviembre 1987.

•

"La Ingeniería Estructural en Zonas Sísmicas". Ingeniería Sísmica. Revista de la Sociedad Mexicana de Ingeniería Sísmica. México, D.F., Agosto 1988.

•

"Comportamiento Sísmico de Estructuras de Acero y su reflejo en las Normas de Diseño". Memorias del 1er. Simposio de Ingeniería Sísmica. Sociedad Mexicana de Ingeniería Sísmica. Guadalajara, Jal. Noviembre 1988.

•

"Los Sismos de Septiembre de 1985". Capítulo 2 del libro "Reto Sísmico". Teléfonos de México. Editorial IDM., S.A. de C.V. México, D.F. Noviembre 1988.

•

"Diseño Sísmico de Edificios utilizando Criterios de Estado Límite". Memorias del VIII Congreso Nacional de Ingeniería Sísmica y VII Congreso Nacional de Ingeniería Estructural. Acapulco, Gro. Noviembre 1989.

•

"Análisis de segundo orden de marcos rígidos". Memorias del IX Congreso Nacional de Ingeniería Sísmica y VIII Congreso Nacional de Ingeniería Estructural. Manzanillo, Col. Noviembre 1991.

•

"Diseño de columnas de acero en marcos con carga gravitacional". Memorias del IX Congreso Nacional de Ingeniería Sísmica y VIII Congreso Nacional de Ingeniería Estructural. Manzanillo, Col. Noviembre 1991.

•

"Column Design in Steel Frames under Gravity Loads". J. of Str. Eng., Vol. 118, No. 10, ASCE. Octubre 1992.

•

"Comentarios, ayuda de diseño y ejemplos de las Normas Técnicas Complementarias para Diseño y Construcción de Estructuras Metálicas". Publicación ES –3, Instituto de Ingeniería, U.N.A.M. Julio 1993 (1205 páginas).

•

"Efectos geométricos de segundo orden en edificios diseñados con el Reglamento de Construcciones para el Distrito Federal". Memorias del X Congreso Nacional de Ingeniería Sísmica. Sociedad Mexicana de Ingeniería Sísmica. Puerto Vallarta, Jal. Octubre 1993.

•

"Algunos aspectos del diseño de columnas de acero de acuerdo con el Reglamento de Construcciones para el Distrito Federal". Memorias del 3er.Simposio Internacional y 4º. Simposio Nacional de Estructuras de Acero. Oaxaca, Oax. Noviembre 1993.

•

"Diseño aproximado de marcos rígidos con carga horizontal" Memorias del IX Congreso Nacional de Ingeniería Estructural. Zacatecas, Zac. 29 de Octubre – 1º. De Noviembre 1994.

•

"Formación de Ingenieros: educación". Revista de Ingeniería, Vol. XIV, No.4. Facultad de Ingeniería, U.N.A.M. Octubre – Noviembre 1994.

•

"Estados límite de servicio". Revista de Ingeniería, Vol. XV, No. 2, Facultad de Ingeniería, U.N.A.M. Abril – Junio 1995.

•

"Estado del arte del diseño de marcos rígidos de acero de altura media". Memorias del 1er. Simposio Argentino sobre el estado del arte de las estructuras de acero para edificios. Buenos Aires, Argentina. Noviembre 1995.

•

"Diseño de columnas en marcos rígidos de acero de altura media". Memorias del 4º. Simposio Internacional de Estructuras de Acero. Instituto Mexicano de la Construcción en Acero. Sociedad Mexicana de Ingeniería Estructural. Universidad de Guanajuato. Guanajuato, Gto. Noviembre 1995.

•

"Diseño Sísmico: una visión de la práctica". Memorias del XI Congreso Mundial de Ingeniería Sísmica. International Association… for Earthquake Engineering. Sociedad Mexicana de Ingeniería Sísmica. Acapulco, Gro. Junio 1996 (Publicado también en un número especial de "Ingeniería Sísmica", revista de la Sociedad Mexicana de Ingeniería Sísmica).

•

"Comparación de normas norteamericanas para diseño de columnas de acero comprimidas axialmente". Memorias del Congreso Nacional de Ingeniería Estructural. Sociedad Mexicana de Ingeniería Estructural. Universidad de Yucatán. Mérida, Yuc. Noviembre 1996 (Publicado también en "Ingeniería Civil", Organo Oficial del C.I.C.M., No. 336. Abril 1997.).

•

"Estabilidad de marcos, longitud efectiva y diseño sísmico". Memorias del 5º. Simposio Internacional de Estructuras de Acero. Instituto Mexicano de la Construcción en Acero. Sociedad Mexicana de Ingeniería Estructural. Guadalajara. Jal. Noviembre 1997.

Consejo Directivo de Fundación ICA Presidente Ing. Bernardo Quintana Vicepresidentes Dr. Francisco Barnés de Castro Dr. Daniel Resendiz Nuñez Dr. Julio Rubio Oca Ing. Luis Zárate Rocha Director Ejecutivo M. en C. Fernando O. Luna Rojas Cuerpos Colegiados de los Programas Operativos Comité de Becas Dr. Juan Casillas García de León Dr. Sergio Gallegos Cazares Ing. Miguel Angel Parra Mena Comité de Premios Dr. Luis Esteva Maraboto Ing. Gregorio Farias Longoria M.I. José Antonio González Fajardo Comité de Publicaciones Dr. Oscar González Cuevas Dr. Horacio Ramírez de Alba M.I. Gabriel Moreno Pecero Ing. Gilberto García Santamaría González Comité de Investigación Dr. José Luis Fernández Zayas Dr. Bonifacio Peña Pardo Dr. Ramón Padilla Mora Dr. Roberto Meli Piralla

Universidad Autónoma del Estado de México Directorio Dr. en Q. Rafael López Castañares Rector Lic. en T. Maricruz Moreno Zagal Secretaria de Docencia M. en A.P. José Martínez Vilchis Secretario de Administración M. en E.S. Gustavo A. Segura Lazcano Coordinador General de Difusión Cultural

FACULTAD DE ARQUITECTURA Y DISEÑO

Directorio Lic. en D.I. Enrique Aguirre Hall Dirección M. en Arq. Ma. de Lourdes Ortega Terrón Subdirección Académica Arq. Ricardo Rolando Cruz Jiménez Subdirección Administrativa

Sociedad Mexicana de Ingeniería Estructural

Mesa Directiva 2001 – 2002

Presidente Ing. José María Riobóo Martín Vicepresidente Ing. José Gaya Prado Vicepresidente Técnico Dr. Sergio Alcocer Martínez de Castro Secretario M. I. José Carlos Arce Riobóo Tesorero Ing. Sergio Escamilla Aguilar Vocales Dr. Mario Rodríguez Rodríguez Ing. Germán Cervantes Hernández Ing. Fernando González Roser Ing. Héctor Soto Rodríguez

Ing. Oscar de Buen López de Heredia

El Ing. Oscar de Buen López de Heredia, termino sus estudios de ingeniería civil en 1952, empezó su carrera como docente con la cátedra "Elasticidad de la Construcción", seguida de "Estructuras de Acero", "Estructuras Hiperestaticas " y "Análisis y Diseño Estructural". Ha sido profesor de la UNAM y de otras Universidades en el extranjero. Tiene reconocimientos por su brillante desempeño profesional, Fundación ICA lo reconoció como un Gran Valor Mexicano de la Ingeniería y recibió el Premio Nacional de Ingeniería. Tiene un sinnúmero de publicaciones en revistas nacionales y del extranjero, ha publicado un libro y ha participado en varios más. En los últimos dos años se han publicado por parte de la Fundación ICA los siguientes títulos: • • • •

Diseño de estructuras de acero. Miembros en Tensión. Diseño de estructuras de acero. Miembros en Compresión Diseño de estructuras de acero. Placas. Diseño de estructuras de acero. Flexión 1 (Vigas sin pandeo lateral).

Pandeo Lateral

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