Carmelo”
Consorcio
Educativo
“El119
GEOMETRÍA 1er Año
Colegios Pre Universitarios con Formación Humanista
POLÍGONOS
¡Amiguito! Observa las siguientes líneas poligonales
Poligonal abierta
Poligonal cerrada
1. DEFINICIÓN Y ELEMENTOS Un polígono es una poligonal cerrada de modo que no existen dos lados que se corten. En un polígono se distinguen los siguientes elementos: C REGIÓN POLIGONAL • Vértices : A, B,... φ
• • • •
AB , BC ,...
Lados
:
Ángulos interiores Ángulos exteriores
: α, β... : θ, φ ...
Diagonal
:
β
B
D
CE , DB θ
α A
E
2. INTERIOR Y EXTERIOR DE UN POLÍGONO B •K P A
Q •G
C
• Son puntos exteriores al polígono: ____________________________
•M E
R
D
• Son puntos interiores al polígono: ____________________________
-------
• Son puntos que pertenecen al polígono: ____________________________
•N Los demás polígonos no tienen nominación especial y se les nombra por el número de lados que tiene
3. CLASIFICACIÓN: A) POR EL NÚMERO DE LADOS Nombre Triángulo Cuadrilátero Pentágono Hexágono Heptágono Octógono
N° lados
Nombre Nonágono Decágono Endecágono Dodecágono Pentadecágono Icoságono
N° lados
Carmelo”
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“El120
GEOMETRÍA 1er Año
Colegios Pre Universitarios con Formación Humanista
B) DE ACUERDO A SU REGIÓN •
Polígono Convexo β
α δ
•
________________ Polígono Cóncavo
θ
α
φ _________________
C) DE ACUERDO A SUS ÁNGULOS Y SUS LADOS •
Polígono Equilátero
• Polígono Equiángulo α
• α
α ________________ ________________
α α
α
Polígono Regular α
α
α
α α
________________ ________________
α
________________ ________________
TRIANGULACIÓN DE POLÍGONOS Como ya sabes, un polígono puede ser dividido en triángulos de tal manera que los ángulos interiores del triángulo formen los ángulos interiores del polígono. Las figuras “A”, “B” y “C” lo demuestran: C B A
La suma de los ángulos internos de un triángulo es 180° Un polígono con: 4 lados 5 lados 6 lados 7 lados ∴ “n” lados
Puede ser descompuesto en:
Por tanto la suma de sus ∠ interiores
2 triángulos 3 triángulos 4 triángulos 5 triángulos “n–2” triángulos
Finalmente, la suma de los ángulos de un polígono de “n” lados es:
2 x 180° 3 x 180° 4 x 180° 5 x 180° (n – 2) x 180°
Carmelo”
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“El121
GEOMETRÍA 1er Año
Colegios Pre Universitarios con Formación Humanista
n–2. 180 SUMA DE ÁNGULOS EN POLÍGONOS En la Figura mostrada se ha construido un polígono de 7 lados, a partir de 5 ∆s
| EJERCICIO DE APLICACIÓN 1) Sabías que la suma de los ángulos de un triángulo mide 180°. Calcula la suma de los ángulos de este heptágono. 2) Dibuja un polígono de 8 lados y divídelo en triángulos de tal manera que cada vértice de un triángulo sea vértice del polígono. 3)
Calcula la suma de los ángulos interiores del polígono de 8 lados.
PASO 1
PASO 2
PASO 3
Carmelo”
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“El122
GEOMETRÍA 1er Año
Colegios Pre Universitarios con Formación Humanista
POLÍGONO REGULAR DEFINICIÓN Es un polígono cuyos lados son iguales y cuyos vértices están ubicados en una circunferencia llamada circunferencia circunscrita al polígono. En el gráfico, el ángulo “α” se denomina “ángulo central” Un polígono regular de “n” lados es simétrico respecto a la rotación alrededor del centro de dicha circunferencia (observa la figura). Por ello todos los ángulos centrales son iguales:
β o α
α° = 360° n
donde: α : ángulo central n : número de lados
∴ Todos los ángulos interiores son iguales. β = suma de ángulos cantidad de ángulos
=
(n–2) (180) n β : medida de un ángulo interior
PROBLEMAS PARA LA CLASE 1. Calcula la suma de los ángulos de un polígono:
5. Calcula el número de lados de un polígono cuyos ángulos interiores suman:
a) De 5 lados b) De 11 lados c) De 37 lados
a) 900°
b) 1800°
c) 3600°
d) 5400°
2. Calcula la medida del ángulo interior y del ángulo central de un polígono regular de: 6. Efectúa lo siguiente: a) b) c) d)
12 lados 72 lados 18 lados 6 lados
a) Dibuja un polígono regular de 8 lados b) Dibuja un polígono regular de 6 lados c) Dibuja un polígono regular cuyos ángulos sumen 2340°
3. Calcula el ángulo interior faltante de un: a) Cuadrilátero de los ángulos interiores de 34°, 43°, 152° b) Pentágono de los ángulos interiores de 77°, 89°, 100°, 210°
4. ¿Cuánto miden los ángulos “α”, “β”, “θ”, “φ ” de un cuadrilátero si: α = 3β, θ = 2β, φ = 2β?
7. Los lados AB y CD del cuadrilátero de la siguiente figura son paralelos. Calcula cuánto miden los ángulos “α” y “θ”. D 105°
θ
C
Carmelo”
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“El123
GEOMETRÍA 1er Año
Colegios Pre Universitarios con Formación Humanista
α
130°
A
α
B
8. Calcula cuánto mide el ángulo “α” para el polígono regular de esta figura: TRABAJO EN GRUPO Con un compañero o compañera construye un rompecabezas cuyas piezas puedan formar tanto un hexágono como un triángulo regular (equilátero). Para ello construye un hexágono y divídelo como sigue: Paso 1 Traza el segmento AE y la mediatriz de la base del triángulo formado AEF. Llama “W” al punto medio de esa base. Paso 2 Prolonga el lado AE hacia la derecha y traza la perpendicular que cae en “C” hacia esa prolongación en el punto “Y”. Paso 3 Ubica un punto “X” sobre
AB , de tal modo que: XY = CY.
Paso 4 Une “X” con “C” y traza sobre
XC un triángulo equilátero, llamado “Z” al vértice opuesto a la base.
Paso 5 Traza el segmento que une “W” con el lado ED pasando por “Z”. Así se determina el punto “V” en el lado ED. Pinta de diferentes colores y recorta las piezas así obtenidas. Intenta armar el triángulo equilátero de la figura, compara tus resultados con otros compañeros de tu salón. PROBLEMAS PROPUESTOS
1. Calcula la suma de los ángulos de un polígono:
d) 24 lados 3. Calcula el ángulo interior faltante de un:
a) De 8 lados b) De 14 lados c) De 20 lados 2. Calcula la medida del ángulo interior y del ángulo central de un polígono regular de: a) 4 lados b) 16 lados c) 5 lados
a) Cuadrilátero con los ángulos interiores de 54°, 63°, 162° b) Hexágono con los ángulos interiores de 115°, 130°, 120°, 105°, 135°
Carmelo”
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“El124
GEOMETRÍA 1er Año
Colegios Pre Universitarios con Formación Humanista
4. ¿Cuánto miden los ángulos α, β, θ, δ y φ
de un pentágono? Si α = 3θ, β = 2θ, δ = 3θ y φ = 2θ
5. ¿Cuánto mide el ángulo interno de un icoságono regular? 6. En un cuadrado de lado 12 cortamos las cuatro esquinas. ¿Qué polígono resulta, luego del corte?
7. Dado un hexágono se conocen las medidas de 5 ángulos interiores que son las siguientes: 170°, 80°, 90°, 175° y 115°. ¿Cuánto mide el sexto ángulo interior? 8. Sumando las medidas de los ángulos interiores de un polígono convexo obtenemos 540°. ¿Cuántos lados tiene dicho polígono?
Carmelo”
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“El125
GEOMETRÍA 1er Año
Colegios Pre Universitarios con Formación Humanista
¡AHORA COMPLETA EL SIGUIENTE CUADRO! A
B
C
D
17 53° 74°
17
17
25
30
74°
53°
3
10
16
16
37°
10 30°
37°
60°
20 17
25
10
E
10
F
G
H 13
42
40°
16
16
127°
20 127°
18
110°
70°
140°
10
140°
10
12
10
18 70°
110°
53°
42
40°
16
16
74°
20 23
I
J 5
K
15 15
120°
4
120°
120°
60° 108°
6 10
120°
15
108°
6
6
60°
60°
120°
15 120°
10
120°
15 120°
108°
10 120°
L
3
120°
120°
10 108°
1
108°
120°
15
FIGURA N° de lados N° de ángulos interiores N° de diagonales Perímetro Nombre del polígono N° de lados ¿Es polígono convexo? Si ó No ¿Es polígono equilátero? Si ó No ¿Es polígono equiángulo? Si ó No ¿Es polígono regular? Si ó No
6 8
A
10
B
C
D
E
F
G
H
I
J
K
L
Carmelo”
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“El126
GEOMETRÍA 1er Año
Colegios Pre Universitarios con Formación Humanista
CUADRILÁTEROS B
Lado 3
C
Sabías que un cuadrilátero es un polígono de cuatro lados
G
2
2 4
3 1
A
Lado 1
D
F
4
H
CLASIFICACIÓN: De acuerdo con las medidas de sus ángulos los cuadriláteros se pueden clasificar en: Polígono Convexo
Polígono No convexo
θ
β
δ β
α
δ
α
θ
________________________________
________________________________
________________________________
________________________________
CLASIFICACIÓN DE LOS CUADRILÁTEROS CONVEXOS
1) PARALELOGRAMO:
________________________________________________________ ________________________________________________________
a) Romboide b b) Rombo a
a
a
a
b a
a
_______________________________ _______________________________ _______________________________
_______________________________ _______________________________ _______________________________
Carmelo”
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“El127
GEOMETRÍA 1er Año
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d) Cuadrado a c) Rectángulo b a a
a
a
b
a _______________________________
_______________________________
_______________________________
_______________________________
2) TRAPECIO:
______________________________________________________________ ______________________________________________________________
B
BC : _____________________ AD : _____________________
C β
θ
h:
_____________________
h α
δ
A
D
a) Trapecio Isósceles CB
c) Trapecio Rectángulo b) Trapecio Escaleno B
θ
B
C
C
θ h
D α
α
A
D
A
PROPIEDADES DE LOS TRAPECIOS Mediana de un Trapecio
a
b M
MN : Mediana, MN // Bases N
MN =
a+b 2
Segmento que une los puntos medios
A D
Carmelo”
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“El128
GEOMETRÍA 1er Año
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b
a
PQ // Bases P
Q
PQ =
a −b 2
3) TRAPEZOIDES C AB
B
__ CD __ BC
__ __ AD
A D
Simétrico o Bisósceles
Asimétrico PROPIEDADES: 1) En todo paralelogramo las diagonales se cortan en su respectivo punto medio. B
C
A
D
2) En todo paralelogramo la suma de sus ángulos internos es igual a 360° β
δ
y w
α
θ
α + β + δ + θ = 360°
x
z
x + y + w + z = 360°
PROBLEMAS PARA LA CLASE 1. Calcula “X” en: 5x
4x
a) 12 b) 10 c) 20 d) 24 e) 16
4x a) 18 b) 12 c) 14 d) 15 e) 10
8x
6x 2x
3x
3x
2. De la figura halla “X”
3. Si BC // AD , calcula “X”
Carmelo”
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“El129
GEOMETRÍA 1er Año
Colegios Pre Universitarios con Formación Humanista
B
2+5
C
a) 15 b) 22 c) 11 d) 23 e) 12
x
10
d) 2 e) 1
2x + 4 A
17– a
D
4. Si AD // BC , AB // CD ; hallar “X” B
C (12-a)
8. Halla el perímetro del cuadrilátero determinado por los puntos medios del cuadrado.
(a+1) (2x-3) A
a) 12
a) 3 b) 4 c) 6 d) 5 e) 2
a D
b) 24 c) 26 d) 22 e) 26
5. Si BC // AC , hallar “X”
6
b B
C
x
a) 4 b) 6 c) 5 d) 7 e) 2
9. Hallar a + b, si MN = 8 A M
A
b+12
2 6 4 6 2
D
P
2
a) 14 b) 16 c) 12 N d) 10 e) 18
Q
6. Halle “X” en: 4
10
a) 14 b) 12 c) 20 d) 13 e) 11
b 10. De la figura halla “X”
53°
a) 2 b) 8
3 c) 8 2 d) 4 2 e) 4 3
10
37°
x x
7. Calcular “X” en: a) 5 b) 4 c) 3 PROBLEMAS PROPUESTOS
1. Si BC // AD , calcular “X”
24 – b
Carmelo”
Consorcio
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“El130
GEOMETRÍA 1er Año
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a) 12
b) 14
c) 9
d) 8
e) 11
c) 9
d) 6
e) 5
x
30 + b a) 27
b) 14
c) 22
d) 15
e) 13
2. Calcula el perímetro de la figura dada: 6. Hallar “x + y” en: 10 y
53°
14 a) 36
b) 48
c) 24
d) 26
e) 30
x
3. Calcular “X” en: 7x
4 a) 8
4x
b) 7
7. Si BC // AD , hallar “X” en: B 8x a) 15
b) 12
c) 10
d) 14
(10-a) (3x-4)
β
e) 16
4. Si AD // BC , AD // BC , hallar “X”
D a) 10
(a+3)
c) 8
d) 15
e) 13
c) 3
d) 5
C
e) 7 35
5. Halle “X” en:
A x
b) 12
8. Si ABCD es un trapecio rectángulo. Hallar su perímetro.
a
b) 4
θ
A
B a) 6
C
5x
D 20
15
a) 96 53°
b) 120 c) 124 d) 110 e) 102
Carmelo”
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GEOMETRÍA 1er Año
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“El131
Carmelo”
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“El132
GEOMETRÍA 1er Año
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CIRCUNFERENCIA No precisamente... el Círculo está conformado por todos los puntos de una “Circunferencia” en su “interior”
¿Es lo mismo Círculo y Circunferencia?
Círculo Centro
Plano Circunferencia DEFINICIÓN:
____________________________________________________________________ ____________________________________________________________________
ELEMENTOS: A
B O
R
• Centro:
O
• Radio:
R
• Arco:
AB
LÍNEAS NOTABLES EN LA CIRCUNFERENCIA N M R A
B L1
O R L2 T
• Cuerda : _________ • Diámetro : _________ • Radio : _________ • Recta secante: _________ • Recta tangente: _________
Carmelo”
Consorcio
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“El133
GEOMETRÍA 1er Año
Colegios Pre Universitarios con Formación Humanista
Ahora definamos las líneas notables en la circunferencia:
a) RADIO:
____________________________________________________________________ ____________________________________________________________________
b) CUERDA: ____________________________________________________________________ ____________________________________________________________________
c) DIÁMETRO: ___________________________________________________________________ ___________________________________________________________________
d) R. SECANTE: __________________________________________________________________ __________________________________________________________________
e) R. TANGENTE:
______________________________________________________________ ______________________________________________________________
POLÍGONOS INSCRITOS EN LA CIRCUNFERENCIA Un polígono está inscrito a una circunferencia, si sus vértices pertenecen a la circunferencia.
Triángulo Inscrito
Cuadrilátero Inscrito
POLÍGONOS CIRCUNSCRITOS A LA CIRCUNFERENCIA
Triángulo Circunscrito
Cuadrilátero Circunscrito
Carmelo”
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“El134
GEOMETRÍA 1er Año
Colegios Pre Universitarios con Formación Humanista
CONSTRUCCIÓN DE POLÍGONOS REGULARES INSCRITOS •
Hexágono regular y triángulo equilátero
Los procedimientos para construir un hexágono regular y un triángulo equilátero en la circunferencia son los que se indican a continuación. Construcción del Hexágono Regular Inscrito
Construcción del Triángulo Equilátero Inscrito 1. Divide la circunferencia en seis partes iguales, como en el caso del hexágono. punto P de ella, lleva cuerdas iguales al 2. Une de dos en dos los puntos de división, radio. así obtienes el triángulo equilátero inscrito en Quedan marcados seis puntos de división. la circunferencia. 2. Une los puntos de división. Así obtienes un hexágono regular, que tiene todos sus lados 1. P 2. P iguales al radio de la circunferencia. 1. P 2. P
1. Traza una circunferencia y, a partir de un
•O •O
•O
•O
El lado del hexágono regular inscrito es igual al radio. •
Cuadrado y octógono regular
Los procedimientos para construir el cuadrado y el octógono regular inscrito en la circunferencia son los que se indican a continuación.
1. 2.
Construcción del Cuadrado Inscrito Traza una circunferencia y, en ella dos diámetros perpendiculares. Une los extremos de los diámetros y obtendrás el cuadrado inscrito en la circunferencia. 1.
2.
Construcción del Octógono Inscrito 1. Traza una circunferencia y, en ella, dos diámetros perpendiculares. 2. Traza las bisectrices de los cuatro ángulos rectos que se forman, une los ocho puntos de división y obtendrás el octógono inscrito en la circunferencia. 1.
2.
Carmelo”
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“El135
GEOMETRÍA 1er Año
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Amiguito, ahora recordemos estos que ya has estudiado en capítulos anteriores
L A
M A
α° α°
B O
B ↔ L es mediatriz de
OM es la bisectriz del ∠ AOB
AB
CIRCUNCENTRO DEL TRIÁNGULO Es el centro de la circunferencia circunscrita al triángulo y coincide con la intersección de las rectas mediatrices de los lados del triángulo. B Q
“D” es el circuncentro del ∆ ABC
D
A
“O” es el circuncentro del ∆ PQR
O C
P
R
INCENTRO DEL TRIÁNGULO Es el centro de la circunferencia inscrita al triángulo y coincide con la intersección de las bisectrices del triángulo. B “I” es incentro del ∆ ABC
β
Q β
“O” es incentro del ∆ PQR
Carmelo”
Consorcio
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“El136
GEOMETRÍA 1er Año
Colegios Pre Universitarios con Formación Humanista
I O
A
α α
r C
P
R
EJERCICIOS PARA LA CLASE
1)
Graficar tres circunferencias de radios 2 cm, 4 cm y 6 cm; medir las circunferencias y dividirlas entre sus respectivos diámetros (establecer el valor de “π”) 5) Graficar un cuadrado de lado 4 cm y calcular la longitud de la circunferencia inscrita al cuadrado.
2) Graficar una circunferencia de 2,5 cm de radio y el triángulo equilátero inscrito en dicha circunferencia.
6) Dado el triángulo ABC: A(0,0), B(4,0) y C(2,6); graficar a la circunferencia inscrita.
3) Graficar un triángulo de lados 4, 5 y 5 cm. Luego ubicar a su incentro y a su circuncentro.
7) Traza dos circunferencias y divídelas en seis partes iguales. Después traza en una de ellas un hexágono regular y en la otra un triángulo equilátero.
4) Graficar un triángulo de lados 3, 4 y 5 cm, luego ubicar a su circuncentro y graficar a la circunferencia circunscrita el triángulo.
Carmelo”
Consorcio
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“El137
GEOMETRÍA 1er Año
Colegios Pre Universitarios con Formación Humanista
8) Dado el cuadrado ABCD: A(-2, -1) y C(5, 4); luego graficar a la circunferencia inscrita.
PROBLEMAS PROPUESTOS
1. Graficar a una circunferencia de radio 5 cm y calcular su longitud en función de “π”
5. Graficar una circunferencia de diámetro 6 cm y al hexágono regular inscrito en la circunferencia. Calcular el perímetro de dicho polígono.
2. Graficar a una circunferencia de diámetro 4 cm y un cuadrado inscrito en dicha circunferencia.
6. Dado el cuadrilátero ABCD: A(1,1); B(1,4); C(7,1); D(7,4) y graficar a la circunferencia circunscrita al cuadrilátero.
3. Graficar un triángulo de lados 2, 3 y 4 cm. Luego ubicar su incentro y graficar a la circunferencia inscrita al triángulo.
7. Traza dos circunferencias y, en ellas, dos diámetros perpendiculares. En una circunferencia traza un cuadrado inscrito y, en la otra, un octógono inscrito.
4. Graficar el triángulo equilátero de lado 6 cm y luego a la circunferencia inscrita y circunscrita al triángulo.
Carmelo”
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“El138
GEOMETRÍA 1er Año
Colegios Pre Universitarios con Formación Humanista
8. Traza un hexágono regular inscrito en una circunferencia. Después traza los tres diámetros que unen los vértices opuestos. ¿En cuántos triángulos queda descompuesto el hexágono?
¿Son iguales estos triángulos? ¿Qué tipo de triángulos son?
ÁNGULOS CON RELACIÓN A UNA CIRCUNFERENCIA
No, pero sé que la medida o longitud de la circunferencia en unidades lineales es 2π r
Sabías que la medida de una circunferencia en unidades angulares es 360°
360°
O r Lc = 2π r
DEFINICIONES PREVIAS
•
ARCO DE CIRCUNFERENCIA: Se denomina arco a una parte de la circunferencia comprendida entre dos puntos de ella. De la figura: A B AB Es el arco menor correspondiente a la cuerda AB ACB
C
Es el arco mayor correspondiente a la cuerda
AB
Carmelo”
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“El139
GEOMETRÍA 1er Año
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•
MEDIDA DE UNA CIRCUNFERENCIA: unidades angulares como en lineales.
Una circunferencia se puede medir tanto en
En Unidades Angulares
En Unidades Lineales
La medida de la circunferencia es 360°. No interesa cuánto mide el radio.
La medida de la circunferencia es 2π. r. Aquí sí interesa cuánto mide el radio, pues a mayor radio mayor longitud.
360°
Lc = 2π r
r
•
MEDIDA DE UN ARCO: La circunferencia como el arco se medirán en unidades angulares, específicamente en grados sexagesimales. Entonces la medida de un arco será una fracción de 360°. Ejemplos: F E C M
N
A m ABC = 270°
•
m MN = 180°
m EF = 60°
SUMA DE ARCOS EN UNA CIRCUNFERENCIA
Si una circunferencia se divide en varios arcos, la suma de las medidas de todos eso arcos es 360°. a° A B Si m AB = a° m BC = b° d° m CD = c° b° m AD = d° D Entonces: c°
C
a° + b° + c° + d° = 360°
Carmelo”
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“El140
GEOMETRÍA 1er Año
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•
ÁNGULOS EN LA CIRCUNFERENCIA: Ángulo Central
o
_______________________________
B
Ángulo Ex – Inscrito
o α
r
A
a° B
A r
c u e r d a
m ∠ AOB = α
α°
Sec
b° C
_______________________________ _______________________________ Ángulo Inscrito
o
m AB = a° m BC = b°
α = b°
a° + 2
_______________________________
A
_______________________________
α
Ángulo Interior
o P
D
B
A b°
α m ∠ APB = 2
α°
C
B
_______________________________
α = b°
_______________________________ o Ángulo Semi – Inscrito c u e r d a
a°
a° + 2
A
_______________________________
α
_______________________________ o Ángulo exterior formado por dos secantes
Tg
Sec
B α = m AB 2 _______________________________
c a°
b°
Sec
α
Carmelo”
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“El141
GEOMETRÍA 1er Año
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α = b°
a° – _______________________________
2 _______________________________
_______________________________
_______________________________
o Ángulo exterior formado por una secante y una tangente
o Ángulo exterior formado por dos tangentes A α
a° b° a° α°
b°
α = b°
Suman 180° B α = b°
2 _______________________________
a° –
_______________________________
2 TEOREMAS FUNDAMENTALES •
a° –
TEOREMA 1
_______________________________
Teorema del radio y la tangente P
Punto de tangencia
•
TEOREMA 3
Teorema de la bisectriz del formado por las dos tangentes
r ↔ r ⊥ Tg
O
A
_______________________________ _______________________________
α α
O V
•
ángulo
TEOREMA 2
Teorema de las dos tangentes
B _______________________________
A
_______________________________ P PA = PB B _______________________________
•
TEOREMA 4
Teorema del ángulo exterior
Carmelo”
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“El142
GEOMETRÍA 1er Año
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A
C AB + BC = AC + 2r
β
α
_______________________________ _______________________________
α + β = 180° _______________________________ _______________________________ •
•
TEOREMA 6
Teorema de Pitot C B
TEOREMA 5
Teorema de Poncelet B
A
D AB + CD = BC + AD
. r
_______________________________
O
_______________________________ PROBLEMAS PARA LA CLASE 1. Hallar “x” en: 100° P
82° Q a) 82°
x° T b) 51° c) 100° d) 124° e) 92°
120° x°
Hallar “x” si AB = 48° y CD = 12° B
D
a) 150° b) 110° c) 140° d) 115° e) 102° x° 2. Si m PQ = 80°, m QR = 150°. Hallar x Q A O P
a) 45°
x°
C b) 60° c) 30° d) 15° e) 53°
4. Hallar “x” en:
R a) 95° b) 110° c) 130° d) 230° e) 120°
145°
x° 3. Hallar “x” en: A
184°
B
a) 65° b) 35° c) 25° d) 135° e) 145° 5. Hallar “x” en:
Carmelo”
Consorcio
Educativo
“El143
GEOMETRÍA 1er Año
Colegios Pre Universitarios con Formación Humanista
A x°
88
B a) 60°
b) 30° c) 15° d) 45° e) 35
8. De la figura, hallar “x” a) 124°
b) 78° c) 68° d) 36° e) 56°
x 31°
6. Hallar “x” de la figura: x a) 125° b) 135° c) 121° d) 131° e) 112°
37°
Tg
9. Si m ∠ ABC = 66, hallar “x” a) 45°
A
b) 53° c) 37° d) 50° e) 15°
7. Hallar “x” en: B
A
66°
x°
x° 15°
a) 48°
b) 24° c) 36° d) 132° e) 14°
PROBLEMAS PROPUESTOS 1. Hallar “x” B 140° 60° A
11 C a) 9 x
b) 13
c) 15
d) 26
e) 12
d) 18
e) 12
50° 4. De la figura, hallar “x” D
a) 95°
b) 120° c) 110° d) 115° e) 65°
2. Si m ∠ HBO = 32°, hallar “x” B
5
4
x x
C H
O
a) 9
b) 10
c) 1
5. Hallar “x” en: a) 92°
b) 102° c) 122° d) 58° e) 64°
3. Hallar “x” en: x–2
117° O x°
Carmelo”
Consorcio
Educativo
“El144
GEOMETRÍA 1er Año
Colegios Pre Universitarios con Formación Humanista
a°
b°
x°
a) 110° b) 114° c) 27° d) 34° e) 117° 6. Hallar “x” en: a) 14°
9. Si AB = 10. Hallar B B
22°
O
b) 50° c) 25° d) 32° e) 17°
x 12 A
7. Hallar “x”, Si AB = 68° y BC = 46° A B
B
P
15
a) 12
b) 23
C c) 13
d) 15
e) 20
c) 3
d) 7
e) 8
10. Hallar “x” en: x 37°
C a) 114°
b) 57° c) 22° d) 48° e) 34°
O 4
8. Si a = 48° y b = 28°. Hallar “x” a) 4
b) 5
ÁREAS DE REGIONES POLIGONALES REGIONES POLIGONALES BÁSICAS
Polígono
Sabías que “la región poligonal” es la porción del plano limitada por un polígono.
Región poligonal Podemos medir la extensión de una región poligonal empleando el concepto de área •
Área de un cuadrado: L
________________________________________________________ ________________________________________________________
L
L A
= L2
Carmelo”
Consorcio
Educativo
“El145
GEOMETRÍA 1er Año
Colegios Pre Universitarios con Formación Humanista
L •
Área del rectángulo: b
________________________________________________________ ________________________________________________________
a
a A
=a.b
b •
Área del paralelogramo:
________________________________________________________ ________________________________________________________
h A
= B. h
B •
Área del triángulo: B
________________________________________________________ ________________________________________________________
A ∆ = b. h 2 A •
b
D
Área de un triángulo rectángulo:
_________________________________________________ _________________________________________________
a A
= a. b 2
b •
Área de un triángulo equilátero:
_________________________________________________ _________________________________________________
30° L
L A
60°
60°
L/2
L/2 L
= L2 . 2
3
Carmelo”
Consorcio
Educativo
“El146
GEOMETRÍA 1er Año
Colegios Pre Universitarios con Formación Humanista
•
Área de un rombo:
________________________________________________________ ________________________________________________________
a/2 b/2
b/2
a A
=a.b 2
a/2
b •
Área de un trapecio: a
________________________________________________________ ________________________________________________________
h A b
a+b ⋅h 2
=
PROBLEMAS PARA LA CLASE 1. El perímetro de un cuadrado es 36 cm. hallar su área.
4. Hallar el área de un triángulo de base 8 cm y de altura 6 cm. 2. Si los lados de un rectángulo miden 14 cm y 20 cm. Hallar su área.
5. Hallar el área de un triángulo rectángulo de catetos 4 cm y 6 cm. 3. La base de un triángulo es el triple de su altura y su perímetro mide 96 cm. Hallar su área.
Carmelo”
Consorcio
Educativo
“El147
GEOMETRÍA 1er Año
Colegios Pre Universitarios con Formación Humanista
4 6. Hallar el área de un rombo diagonales miden 8 cm y 6 cm.
cuyas
12 4
7. Hallar el área y el perímetro de un paralelogramo cuyas dimensiones son 12 y 7 cm.
4
4 10. Halla el área de la región sombreada.
8. Calcula el área de un trapecio sabiendo que su base mayor mide 15 cm; su base menor 2/3 de la mayor y la altura 4 cm.
10
16
9. Halla el área de la región sombreada.
PROBLEMAS PROPUESTOS 1. El perímetro de un cuadrado mide 124 cm. Hallar su área.
3. Hallar la base de un triángulo si su altura relativa a ella es el triple de su base, si además el área del triángulo mide 54 cm2.
2. Si el largo de un rectángulo mide el doble que su ancho y su perímetro mide 108 cm. Hallar su área.
4. Hallar el área de un triángulo rectángulo de catetos 14 cm y 22 cm.
Carmelo”
Consorcio
Educativo
“El148
GEOMETRÍA 1er Año
Colegios Pre Universitarios con Formación Humanista
5. El perímetro de un triángulo mide 51 cm y un lado mide 16 ¿Cuánto miden los otros dos lados si uno de ellos es dos tercios del otro?
b=2a 3 9. Halla el área de la región sombreada. 6
6
18 6. Calcular el área de un rombo cuyas diagonales miden 24 y 10 cm. 7. Calcular la longitud de la base de un triángulo isósceles sabiendo que su perímetro mide 20 cm y sus lados congruentes miden 7 cm.
24
18
10. Hallar el área de la región sombreada.
8. Calcula el área de la figura. a
14
a–2 a b 14 a = 12 11. El perímetro de un cuadrado es 36 cm. hallar su área.
EJERCICIOS DE REFORZAMIENTO 1. Si los lados de un rectángulo miden 14 cm y 20 cm. Hallar su área.
3. Hallar el área de un triángulo de base 8 cm y de altura 6 cm.
2. La base de un triángulo es el triple de su altura y su perímetro mide 96 cm. Hallar su área.
4. Hallar el área de un triángulo rectángulo de catetos 4 cm y 6 cm.
Carmelo”
Consorcio
Educativo
“El149
GEOMETRÍA 1er Año
Colegios Pre Universitarios con Formación Humanista
5. Hallar el área de un rombo cuyas diagonales miden 8 cm y 6 cm.
8. Halla el área de la región sombreada. 4
6. Hallar el área y el perímetro de un paralelogramo cuyas dimensiones son 12 y 7 cm.
12 4
4
4 7. Calcula el área de un trapecio sabiendo que su base mayor mide 15 cm; su base menor 2/3 de la mayor y la altura 4 cm.
9. Halla el área de la región sombreada.
10
16
