Mis Notas de Clase
José F. Barros Troncoso
2
Con especial cariño a mi madre Delva por su crianza, por la semilla que sembraste en mí, a Lilia mi esposa, por su apoyo, estimulo, comprensión y sacrificio, a mis hijos porque son mi fuente de inspiración, a todas aquellas personas que han creído en mi trabajo y que me han dado la oportunidad de seguir creciendo cada día y a mis estudiantes a quienes va dirigido este trabajo.
Cálculo Integral
Mis Notas de Clase
José F. Barros Troncoso
3
Tabla de contenido ............................................................................................................................................... 4 ................................................................................................................................................... 5 ..................................................................................................................................................... 5 ........................................................................................................................................... 6 .................................................................................................................................. 8 ............................................................................................................... 8 ................................................................................................................. 16 ........................................................................................................ 16 ..................................................................................... 24 ....................................................................................... 29 ............................................................................................................................... 33 .................................................................................................................................... 38 ÁREA ENTRE CURVAS ...................................................................................................................................... 43 .......................... 47 .............................................................................................................................................. 47 .................................................................................................................................................. 51 ............................................................................................. 52 ................................................................................................ 52 ............................................................................................................................... 57 ................................................................................................................................. 59 .......................................................................................................................... 62 ................................................................................................................. 67 ............................................................................................................................... 72 ............................................................................................................................................... 79 ...................................................................................................................................................... 80
Cálculo Integral
Mis Notas de Clase
José F. Barros Troncoso
4
El presente trabajo es una compilación de mis notas de clase, fruto de la experiencia obtenida al servicio a la educación en instituciones educativas de Maicao, Riohacha (Guajira) y en Santa Marta (Universidad del magdalena, Universidad Sergio Arboleda, Corporación Unificada Nacional de Educación Superior (CUN) y en la Escuela Normal Superior San Pedro Alejandrino). La propuesta busca darle sentido a la matemática matemática en otros contextos, en particular en la economía, que el estudiante le dé a la matemática una mirada distinta a la que tradicionalmente le atribuye y que la reconozca como una herramienta fundamental para el desarrollo desarrollo del pensamiento lógico del ser humano y de la sociedad. El documento no pretende plagiar la información contenida en libros especializados o contenidos obtenidos en páginas web (todos referenciados), sino dar al estudiante explicación más sencilla de los conceptos y fortalecer el desarrollo de problemas de aplicación orientados hacia su perfil profesional. El objetivo es el de exponer los conocimientos básicos del cálculo diferencial en forma sencilla, lógica, crítica y analítica utilizando herramientas modernas que faciliten el aprendizaje y poder expresarlo en diferentes situaciones, además el de solucionar problemas que permitan el desarrollo de las competencias.
Cálculo Integral
Mis Notas de Clase
José F. Barros Troncoso
5
A través de la integración para encontrar funciones de costo total, dada la información de costo marginal y costos fijos. También la podemos usar para encontrar l as funciones de ingreso marginal con el fin de optimizar la ganancia a partir de la información sobre el costo marginal y el ingreso marginal y para encontrar funciones de consumo nacional con base en información acerca de la propensión marginal al consumo.
La integral es la operación inversa de la derivada, cuando conocemos la derivada de un función, el proceso de encontrar la función recibe el nombre de . Por ejemplo, si la derivada de una función es f´(x)=2x, la función original podría ser f(x)=x 2, pero también podría ser f(x)=x 2 + 1 ó f(x)=x 2 2 en general toda antiderivada de la función f´(x) = 2x tiene la forma f(x)=x 2 + c donde c es un constante
–
Sea G una antiderivada de una función f . Entonces toda antiderivada de f debe tener la forma F(x) = G(x) + C donde C es una constante
Demuestre que f´(x) es la antiderivada de f(x): 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9.
´´ == 43 ´ = =2 12 ´´ == 2 22 5 210 = = 2 10 ´ = = (−) ´´ = = 3 = 4√ = 3 √ ´´ = = == 1 ´´ == √ 11 == + ´ = − 1 = ´ = 3 1 = 3 si si
si
es
es
es
es
si si
10.
si
11. 12.
si si
13.
si
Cálculo Integral
Mis Notas de Clase
6
José F. Barros Troncoso
´ = /+ = 3/ 21−/
14.
si
El símbolo ∫
- El símbolo es una S larga, se escogió debido a que una integral es el límite de una sumaindica que la operación de integración debe realizarse sobre cierta función f . Así
∫
f(x) dx = F(x) + C
Indica que la integral indefinida de f es la familia de funciones dadas por F(x) + C, donde F´(x) = f(x) . La función f por integrar es el integrando y C es la constante de integración. La expresión recuerda f(t) dt . que la operación se efectúa respecto a x . Si la variable independiente es t , se es
cribe ∫
Regla
Expresión
De una ∫ k dx = kx + c donde es una constante de integración Constante Ejemplo: ∫ 2 dx = 2x + c De Potencia
+ n ≠ 1 Ejemplo: ∫ x
la ∫ x n dx =
3 dx
=
De un ∫k f(x) dx = k ∫ f(x) dx múltiplo constante Ejemplo: ∫ 2x 2 dx = 2∫ x 2 dx = 2 [
] =
2x 3 +c 3
∫[f(x) ± g(x)] dx =∫f(x) dx ± ∫g(x) dx De la suma
∫(3x
2 +
4x – 1)dx = ∫3x
=x 3 + 2x 2 – x + c
Exponencial Logarítmica
2
3x 3 4x 2 dx + ∫4x dx – ∫1 dx = 3 + 2
= 1 = || Cálculo Integral
x + c
Mis Notas de Clase
José F. Barros Troncoso
7
Calcule las integrales y verifique sus respuestas derivando
225 9 3 1 − 3 5 4 3 1 √ 2 √ 1 16
8 5 6 1 2√ 3√ √ 3 √ √ 1 25 12
15 3 5 2 4 2√ 6 1 3√ 10 √ √ 2
En los siguientes problemas encontrar la función original dada la derivada y las condiciones iniciales 1. 3. 5. 7. 9.
´ = 3 4 1 = 13/2 ´´ == 2 2 6 =210 = 1 ´´ == 5 263 53 =140 = 8 2 = 7 ´´ == 10 1 ;1 = 3
11. 12.
y
y
y
y
y
y
2. 4. 6. 8.
´´ == 4 1 2 3= 15= 19/2 ´´ == 8 34 32 = =458 ´ = 6 6 1 = 10 ´ = √ 4 = 10 y
y
y
y
10. 13.
Cálculo Integral
y
y
Mis Notas de Clase
José F. Barros Troncoso
8
Es una ecuación que relaciona una función (o variable dependiente), su variable o variables (variables independientes), y sus derivadas. Si la ecuación contiene derivadas respecto a una sola variable independiente entonces se dice que es una ; y si contiene las derivadas parciales respecto a dos o más variables independientes se llama . Se llama de la ecuación diferencial al orden de la derivada o derivada parcial más alta que aparece en la ecuación. Ejemplos de ecuaciones diferenciales ordinarias son Ecuación
= 2 4 3 = 0 = = 4
Tipo
Orden
Ordinaria
Primer
Ordinaria Segundo Parcial
Primer
Parcial
Tercer
En esta unidad nos dedicaremos solo a las ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden.
= , =
Si se tiene una ecuación diferencial ordinaria de primer orden: Se dice que es separable si se puede expresar:
,
, donde representa el producto de dos funciones, una depende de la variable y la otra de la variables . En este caso se obtiene la siguiente solución de esta ec uación diferencial:
Cálculo Integral
Mis Notas de Clase
José F. Barros Troncoso
= = Resuelva cada ecuación diferencial
= Separamos variables: = Integramos: ∫ = ∫ Resolviendo: = Despejando: = Es decir: = √ 2. = 0 Despejamos la ecuación: = Separando variable: = Integrando: ∫ = ∫ Resolviendo: = / Despejando: = 3. = Separando variables: = Integrando: ∫ = ∫ Resolviendo: = Despejando: = + 4. = Separando variables: = Integrando: ∫ = ∫ Resolviendo: = Despejando: = 1.
Cálculo Integral
9
Mis Notas de Clase
José F. Barros Troncoso
= = = = 5 = = = 1 = 0 = 1 2 = 4
10
Por igualación: Por tanto
= 1 = 0 = = 3
1. La función costo marginal de cierta empres a un nivel de producción x es: C´(x)=5 - 2x + 3x2 dólares Si el costo de fabricar 30 unidades es de 29 050 dólares. Determine el costo de fabricar 60 unidades.
2 3 = ´ = 5 2 3 = 5 2 3 2x3c Solución General C x =5xx Como C(x)=29 050 cuando x=30, 29 050 = 530 30 30 = 150 – 900 27 000
= 26 250 29 050 - 26250 = c ó c = 2800 Cx = 5x - x2 x3 2800 60 = 560= 215 60500 60 2 800 = 300 3 600 216 000 2 800 Despejando
Remplazando en la solución general Solución Particular Cuando se fabrican 60 unidades x=60, remplazando en la solución particular
Cálculo Integral
Mis Notas de Clase
José F. Barros Troncoso
11
El costo de fabricar 60 unidades será de 215 100 dólares 2. La tasa de incremento del costo de mantenimiento en dólares para un complejo privado de locales comerciales es: M '´(x ) = 90x 2 + 5000, siendo x la edad del complejo en años y M(x) costo total de mantenimiento acumulado en los x años. Halle el costo del mantenimiento en 5 años
= ´ x = 90x 5000dx = 90 3 5000x c = 30x 5000x c = 30x 5000x = 305 50005 = 30125 25000 = 3750 25000 = 28750
Para x=0, M(x)=0 por lo tanto c=0. La solución particular es
Para hallar el costo del mantenimiento en 5 años, hacemos x=5, remplazando
En 5 años el costo de mantenimiento será de 28750 dólares
3. La razón de cambio del ingreso anual promedio actual ( en miles de pesos) que una persona puede recibir al buscar un empleo ordinario respecto al número de años de educación está dada por
= 100/ = = 100/ = 100/ / = 100 52 = 10025 / = / 55000 = 409/ = 9720 55000 9720 = = 45280 = /
, donde R=55 000 cuando t=9. Encontrar a. La función ingreso total Integrando
, la solución general
, como R=55 000 cuando t=9, , despejando , entonces particular
, remplazando en la solución general, obtenemos la solución
Cálculo Integral
Mis Notas de Clase
José F. Barros Troncoso
12
= 5 / = 405 45280 = 47516
b. El ingreso anual que puede recibir una persona con 5 años de estudio. Remplazamos en la solución particular Por tanto el ingreso anual que puede percibir una persona con 5 años de estudio es de 47516 miles de pesos
= 0, = 0
4. Dada la función de ingreso marginal para cierto producto Como para determina a. La función Ingreso Total b. Calcula el ingreso para
= 100 = 0.08 1.6 6.5
´ = 275 0.3
.
5. La tasa de variación del costo de cierto producto está dada por
000
, donde es el costo total y las unidades producidas. Si producir 25 unidades cuesta 8 U.M, determinar: a. La función costo total b. ¿Cuánto cuesta producir 100 unidades?
´ = 15 4
6. Para un artículo particular, la función de ingreso marginal es
Si unidades son demandadas cuando el precio por unidad es de pesos: a. Determine la función ingreso total. b. Determine la ecuación de demanda. 7. Una agencia de seguros sabe que la función costo marginal por vender x seguros de gastos médicos es
´ = 32´92
, donde es el número de seguros vendidos y es el costo marginal dado en pesos. a. Encontrar la función costo total, si el costo fijo es de $10000 (es decir si x=0 entonces Q(x)=10 000). b. Determinar el costo de vender 100 seguros. 8. Sea S´(t)= 4 + 5t 2/3 la razón de cambio de la circulación de cierta revista por t semanas, además la condición inicial es S(0)=3000. a. Halle la función que determina la circulación de la revistas dentro de t semanas. b. Determine el número de copias que circularan en 125 semanas
Cálculo Integral
Mis Notas de Clase
José F. Barros Troncoso
13
̅´ = 48 6
9. La tasa de cambio del costo promedio de fabricar cierto artículo está dado por , si el costo promedio de producir 2 artículos es de $41 a. Halle la función que determina el costo promedio. b. Determine el costo promedio de producir 100 artículos 10.El ingreso marginal de la venta de x unidades de un producto es R´(x)=12 0.0004x Si el ingreso por la venta de las primeras 1000 unidades es de 12 400 dólares, determine el ingreso total por la venta de 5000 unidades
–
11. El costo marginal de cierta empresa está dado por C´(x)= 24- 0.03x +0.006x 2 Si el costo de producir 200 unidades es de $22.700, encuentre a.La función costo b.El costo de producir 500 unidades 12. Un productor ha determinado que la función de ingreso marginal de uno de sus productos es
= 100 3
, determine la elasticidad de la demanda para el producto cuando se demandan 5 unidades.
̅
13. Si el ingreso marginal (en dólares por unidad) mensual por un producto es =-0.3x + 450, ¿Cuál es el ingreso total de la producción y venta de 50 unidades? 14. Una compañía ha encontrado que la razón de cambio de su costo promedio por producto es
̅´ = 14 100
, donde x es el número de unidades y el costo en dólares. El costo promedio de producir 20 unidades es de $40. a.Encuentre la función de costo promedio del producto b.Encuentre el costo promedio de 100 unidades del producto
Cálculo Integral
Mis Notas de Clase
José F. Barros Troncoso
14
15. Los activos patrimoniales invertidos en fondos mutuos, A, en miles de millones de dólares, han cambiado con una tasa que se determina mediante
= 160.869.
, donde t es el número de años que han pasado desde 1990. a. Si había $1 234.5 mil millones de activos patrimoniales invertidos en 1995, encuentre la función que modela la cantidad total de activos patrimoniales invertidos en fondos mutuos. b. Encuentre los activos patrimoniales invertidos en el 2000 16. El gasto nacional dedicado al cuidado de la salud, H en miles de millones de dólares, ha aumentado radicalmente desde 1960, cuando el total era de $26.7. La razón de cambio del gasto se puede modelar con
= 0.0042 2.1 8.349
, donde t=0 en 1960. a. Encuentre la función que modela el gasto nacional para el cuidado de la salud b. Utilice el modelo de la parte a, para pronosticar el gasto nacional dedicado al cuidado de la salud para el 2010 17. Si el ingreso marginal está dado por
= 100 32 2 = 7 6
Determine la ecuación de la demanda correspondiente 18. Si el costo marginal está dado por
, si producir 6 unidades cuesta 2734, determine la ecuación del costo total y el costo total para producir 7 unidades. Suponga que los costos están en dólares 19. La gerencia de una compañía ha determinado que la función de ingreso marginal diario relacionada con la producción y venta de relojes de viaje está dada por R´(x)=- 0.009x +12 , donde x denota el número de unidades producidas y vendidas y R`(x) se mide en dólares por unidad. Determine la función de ingresos R(x) asociada con la producción y venta de relojes
Cálculo Integral
Mis Notas de Clase
José F. Barros Troncoso
15
20. La gerencia de una compañía ha determinado que la función ingreso marginal diario relacionada con la producción y venta de sus relojes está dada por R`(x)=-0.009x + 12
, donde x representa el número de unidades producidas y vendidas y R´(x) se mide en dólares por unidad. Teniendo en cuenta que R(x)=0 si x=0 encuentre la función de ingresos asociada a la producción y venta de los relojes.
Cálculo Integral
Mis Notas de Clase
José F. Barros Troncoso
1 6
Es utilizada cuando la integral no es posible resolverla utilizando las reglas básicas. Corresponde a la regla de la cadena de la derivación y consiste en reducir la integral mediante un cambio de variable.
∫2 1= 2 1 = 2 = 1 1 2 = 2 = 2 8 = 16 2 1 2 1 = 16 ∫√ 3 5 ∫ √ −− ∫ − ∫ ∫ ∫ + + √ 1 ∫ ∫ √ (2 √ ) ∫ √ + 1 ∫ ∫ ∫ − ∫ 63 5/ ∫ 42 3− ∫ √ +
Integrar cada función 1. Hacemos , despejando
derivando u respecto a x obtenemos remplazando en la función original
Remplazando el valor de u obtenemos
1.
2.
4.
5.
6.
7.
9.
10.
12.
13.
8.
11. 14.
=
15.
16.
. ´ = + , ≠ Cálculo Integral
Mis Notas de Clase
1.
José F. Barros Troncoso
∫ 1.2
Si comparamos con la definición entonces Si derivamos obtenemos
2.
∫3 1 ∫.´
= 1 ´ =2 1 1 .2 = 5 = 5 1 = 5 51.2 = 1.2 y
3 1 = 3 .3 .3 = 113 3 1 3 1 3 1 ∫. ´ = + = 3 . 8 = 24 3241 8. 3241 .3 = 24. 3241 = 3 1 ∫√ 4 5 4 5 4 5 ∫. ´ = 4 .4 = 14 4 5.4 Para
tenga la forma multiplicamos y dividimos por 3
que
Factorizando Aplicamos
la
fórmula
Si derivamos obtenemos
3.
1 7
El ejercicio se puede expresar Para
que
tenga la forma multiplicamos y dividimos por 4 Factorizando
Cálculo Integral
Mis Notas de Clase
José F. Barros Troncoso
1 4 5 4 5 = . = ∫ . ´ = + 4 3/2 6 4 65 32 4 654 = 124125 = √ 4 5 ∫ − 2 525−− = 5 .5 ∫.´ −.5 = 151 2 5 − 25 1 1 = . = . ∫ .´ = + = 5 1 1 5 2 5 5125 2 5− = 5 512255 −5 − = 2 5 5 1 = 2 5 Aplicamos
la
fórmula
Si derivamos obtenemos
4.
18
El ejercicio se puede expresar Para
que
tenga la forma multiplicamos y dividimos por -5 Factorizando Aplicamos
la
fórmula
Si derivamos obtenemos
. Integrar
32 3 3 3 5 1− 2 7 6 Cálculo Integral
Mis Notas de Clase
José F. Barros Troncoso
4 1 41 2 3 −
19
√ 64 2 1
´ = 358 2 0 ≤ ≤ 10
1. El costo de producción de paneles solares se reduciría a razón de
, donde t es el número de años que han pasado desde 1990, para ese año los panales costaban $10 dólares. a. Halle la expresión que proporcione el costo de producción de celdas solares al inicio del año t. b. ¿Cuál será el costo de las celdas en el 2000?
3582 = ∫=58583322−− − 3 2 3 = 58 ∫ . ´ 3 = 583 358 23 −2−3 = 3 1 ∫. ´ = + = 538 3 12 = 33582 = 58 ;10 = 568 10 = 3302 = 10 568 Para hallar la expresión del costo de producción debemos hallar Que podemos expresar
Para
que
tenga la forma multiplicamos y
dividimos por 3 Factorizando
Aplicamos la fórmula
La ecuación general sería
Como para 1990 los panales costaban $10 dólares. Despejando
Cálculo Integral
Mis Notas de Clase
José F. Barros Troncoso
Entonces Remplazando en la ecuación general se obtiene la ecuación particular Si queremos saber el costo de los paneles en el 2000 hallamos t Remplazando
20
= . = . = 2000 1990 = 10 = 331058 2 0.33 = 5968 0.≈330.=930.6 0.33
Lo que quiere decir que para el 2000 los paneles solares tendrán un costo aproximado de $0.93 dólares 2. El encargado de admisiones de cierta universidad estima que la inscripción de los estudiantes aumentará a razón de
´ = 20001 0.2−/
Alumnos por años, dentro de t años. Si la inscripción actual es de 1000 estudiantes a. Encuentre la expresión total de estudiantes inscritos dentro de t años. b. ¿Cuántos estudiantes se inscribirán dentro de cinco años?
20001 0.2−/ = 200010.2−/ − 10. 2 ∫ . ´ = 2000 0.2 0.2 = 20.0002 10.2−0.2 − 10. 2 = 10000 ∫ . ´ = + 1/2 Para hallar la expresión total de estudiantes inscritos debemos hallar Que podemos expresar
Para
que
tenga la forma multiplicamos y dividimos por 0.2 Factorizando Aplicamos la fórmula
Cálculo Integral
Mis Notas de Clase
José F. Barros Troncoso
La ecuación general sería
Si la inscripción actual es de 1000 estudiantes Despejando Entonces Remplazando en la ecuación general se obtiene la ecuación particular Para saber cuántos estudiantes se inscribirán dentro de cinco años, hacemos Remplazando
21
= 20000 1 0.1 2 = 20000 1 0.1 2 = . √ 1000 = 120000 0. 2 0 == 1000 2000 = √ . =5 = . = √ = . ==
En cinco años el número de inscritos será de 1586 estudiantes
´ = 100 2500
3. El costo marginal ( en dólares) de una compañía que fabrica zapatos está dado por , en donde x es el número de pares de zapatos producidos. a. Determine la función costo b. Calcule el costo de fabricar 100 pares de zapatos
Cálculo Integral
Mis Notas de Clase
José F. Barros Troncoso
22
= 29003
4. La función de ingreso marginal para cierto producto está dada por:
Encuentre la función de la demanda si q=100
= 2002
5. Dada la función de ingreso marginal de cierto producto
Determine a. La función ingreso total b. El ingreso si se producen y venden 5 unidades 6. Suponga que el ingreso marginal de un producto está dado por
̅ = 2301 30
, donde x es el número de unidades y el ingreso se da en dólares. Encuentre el ingreso total.
̅ = 60 000 10 40 000
7. El ingreso marginal de una calculadora nueva está dado por , donde x representa cientos de calculadora y el ingreso esta dado en dólares. Encuentre la función de ingreso total de estas calculadoras. 8. La producción total de varios trabajadores o máquinas se denomina productividad física y es una función del número de máquinas y es una función del número de máquinas o trabajadores. Si P=f(x) es la productividad física, es la productividad física marginal. Si la productividad física marginal de unos albañiles es
= 90 1
, donde P es el número de ladrillos colocados por día y x es el número de albañiles, encuentre la productividad física de 4 albañiles. Nota P=0 cuando x=0
Cálculo Integral
Mis Notas de Clase
José F. Barros Troncoso
23
= 2001 40 400
9. La tasa de producción de una línea nueva de productos se determina por medio de
, donde x es el número de artículos, y t es el número de semanas que el producto ha estado en producción. a. Suponiendo que x=0 cuando t=0 encuentre la función que determina el número total de artículos producidos como una función del tiempo. b. ¿Cuántos artículos se produjeron en la quinta semana? 10. Puesto que un empleado nuevo debe aprender una tarea asignada, la producción se incrementará con el tiempo. Suponga que para un empleado promedio, la tasa de desempeño está dada por
= 2√ 11
, donde N es el número de unidades terminadas t horas después de comenzar una nueva tarea. Si terminan 2 unidades en 3 horas, ¿cuántas unidades se terminaran después de 8 horas? 11. El ingreso marginal de cierta empresa está dado por:
2 x R´x = √ x33600
a.Encuentre la función ingreso b.Halle el ingreso cuando se producen y venden 100 unidades 11. Suponga que la esperanza de vida de una mujer al nacer está cambiando a razón de
` = 1 5.1.4521809.
, años por año. En este caso, t se mide en años y t=0 corresponde al inicio de 1900. Halle una expresión para para la esperanza de vida (en años) de una mujer. Si dicha esperanza de vida al inicio de 1900 era de 50.02 años. ¿Cuál es la esperanza de vida de una mujer que nace en 1991?
Cálculo Integral
Mis Notas de Clase
José F. Barros Troncoso
24
.´ = =
∫ = ∫ 5
Calcule las integrales 1. 2.
El ejercicio lo podemos escribir Tiene la forma fórmula
3.
∫ .´ = ∫ =
∫
, aplicando la
∫ .´ 22 12 2 = ∫ .´ = ∫ = = 12
Para que quede expresado de la forma multiplicamos y dividimos por 2 Factorizamos Aplicamos la fórmula
4.
∫ 5−
Si multiplicamos y dividimos por -2
Aplicamos la fórmula
,
5− 2 − = 55 2 − 2 = 2 ∫ .´ = ∫ = = 52 −
La expresión se puede escribir
Factorizamos
= 5
Cálculo Integral
Mis Notas de Clase
José F. Barros Troncoso
Ejercicios Calcule cada integral
33
1 000 . −√ √
25
840−. /3
1. La tasa de cambio del valor de una casa cuya construcción costo $350.000 dólares puede modelarse por medio de
= 8.
, donde t es el tiempo en años desde que la casa fue construida y V es el valor (en dólares) de la casa. a. Encuentre V(t) b. Determine el valor de la casa 10 años después de construida La expresión
= ∫ 8. . = 8 ∫ = 88∫ ... . = 0. 0 5 0. 0 5 ∫ . ´ = ∫ = = 0.805 . 80.05 . 350000 = 350000 = 1601 350000 160 = = 3498408 . = 0.05 349840
= 8.equivale a
Factorizando Multiplicamos y dividimos por 0.05 Factorizando
Aplicamos la fórmula , obtenemos la ecuación general Para t=0 V=350000, remplazando hallamos el valor de la constante C
Remplazando en la ecuación general
Cálculo Integral
Mis Notas de Clase
José F. Barros Troncoso
Para hallar el valor de la casa 10 años después de construida hacemos t=10, remplazamos
En 10 años la casa costará 350103 dólares
2 6
. 10 = 0.805 349840 . 349840 10 = 160 10 = 1601. 6 4 349840 10 = 263. 7 9 349840 10 = 350103
̅ = ´ = 6.
2. Suponga que l ingreso marginal por la venta de x unidades de un producto es ¿Cuál es el ingreso en dólares por la venta de 100 unidades del producto? La expresión
´ = 6.
= ∫ 6. == 66 ∫ ... ∫6 . . = 0. 0 1 0. 0 1 ∫ .´ = ∫ = = 600. 00 == 6006001. =600 . 600 = 600 . 1 == 600 . 1 600 1 == 600 6002. 7 1 1 == 6001030.1.9761 equivale a
Factorizando Multiplicamos y dividimos por 0.01 Factorizando
Aplicamos la fórmula , obtenemos la ecuación general Para x=0 R(x)=0, remplazando hallamos el valor de la constante C Remplazando en la ecuación general
Para hallar el ingreso por la venta de 100 unidades hacemos x=100
El ingreso por la venta de 100 unidades será de 1030.96 dólares aproximadamente 3. Se invierten $p durante n años, a una tasa de interés del 10% compuesto continuamente, la tasa con que se incrementa el valor futuro es
Cálculo Integral
Mis Notas de Clase
José F. Barros Troncoso
2 7
= 0.1.
a. ¿Qué función describe el valor futuro al cabo de n años? b. ¿En cuántos años se duplicará el valor futuro? 4. Suponga que la razón de cambio del impuesto federal per cápita de los Estado Unidos, T (en dólares), se puede modelar mediante
= 16.984.
, donde t es el número de años transcurridos desde 1950. a. Teniendo en cuenta que en 1975 el impuesto per cápita fue de $1 375.84, encuentre la función que modela el impuesto federal per cápita en los Estados Unidos. b. Encuentre e intérprete T(60) y T´(60). 5. Una tienda encuentra que sus ventas disminuyen después de terminar una campaña publicitaria, con sus ventas diarias en el periodo bajando con la tasa
´ = 147.78−., 0 ≤ t ≤ 100
, donde t es el número de días que han pasado desde que la campaña termino. Suponga que S=7 389 unidades cuando t=0. a. Encuentre la función que describe el número de ventas diarias t días después de culminar la campaña b. Encuentre el número total de ventas 10 días después de finalizar la campaña 6. Suponga que la razón de cambio del ingreso personal total, I en Estados Unidos (en miles de millones de dólares se puede modelar mediante
= 32.324.
, donde t es el número de años que han pasado desde 1960 a. Teniendo en cuenta que en 1960 el ingreso personal fue de $409.4 encuentre la función que modela el ingreso personal total. b. Encuentre e intérprete T(60) y T´(60). 7. Después que una persona ha estado trabajando por t horas con una máquina en particular habrá producido x unidades, en donde la tasa de rendimiento (número de unidades por hora) está dado por
dxdt = 10 1-e-t/50 Cálculo Integral
Mis Notas de Clase
José F. Barros Troncoso
28
Si t=0 entonces x=0, calcule el rendimiento en las primeras 50 horas 8. Una industria textil tiene un costo marginal (en dólares) por rollo de una tela particular dado por , donde x es el número de rollos producidos de la tela. Si los costos fijos ascienden a $1500 determine la función costo y calcule el costo de producir 100 rollos de tela.
´ = 20.
9. Durante una crisis económica, reciente el porcentaje de desempleados creció a razón de
−. 0. 4 ´ = 1 −.
, donde t es el tiempo en meses. Dado que en t=0 había el 4% de desempleados ¿qué porcentaje estaba empleado?: a. 10 meses después b. 20 meses después 10. Durante el primer año de lanzamiento al mercado se vendieron dos mil pares de bocinas del sistema de sonido modelo F de Acrosonic. Desde entonces, las ventas de estos sistemas se han incrementado a razón de , unidades por año
´ = 200032−
Donde t denota los años que estos sistemas han estado en el mercado. ¿Cuántos sistemas se vendieron durante los primeros 5 años posteriores a la introducción al mercado? 11. Una industria textil tiene un costo marginal (en dólares) por rollo de una tela particular dado por
=0
= 20. = 1500
, donde es el número de rollos producidos de la tela. Si los costos fijos ascienden a $1500 (Si entonces ). Determine a. La función costo total b. El costo de producir 100 rollos de tela
Cálculo Integral
Mis Notas de Clase
José F. Barros Troncoso
29
= Calcule cada integral 1.
∫ Como podemos observar la cifra del numerador (8) corresponde a la derivada de la expresión del denominador (8x), por lo que el integrando tiene la forma aplicando la formula
2.
∫ +
∫ ´ du
∫ ´ du = 8u c 8 = ln8
obtenemos
1 4 4144 9 4 4 9 ∫ ´ du = u c 14 ln4 9
Multiplicamos y dividimos el integrando por 4 Factorizamos El integrando tiene la forma resolvemos 3.
∫ +
,
6 3 1 6 63 1 16 36 1 ∫ ´ du = u c 16 ln3 1
Observamos que la derivada del denominador del integrando ( es , por lo tanto al numerador le faltaría multiplicarlo por 6 entonces multiplicamos y dividimos el integrando por 6 Factorizamos el 6 del denominador El integrando tiene la forma resolvemos
Cálculo Integral
,
Mis Notas de Clase
José F. Barros Troncoso
30
Calcule cada integral
∫ 4. ∫ + 7. ∫ + 1.
∫ + ∫ ∫+− ∫ + ∫ + ∫ + ´ = 231
2.
3.
5.
6.
8.
9.
1. La tasa de cambio de la demanda de cierto articulo está dada por
, si cuando el precio es de 7 dólares se demandan 27 unidades, calcule la demanda si el precio se incrementa en 14 dólares Debemos hallar Factorizamos
= 231 1 = 32 1 ∫ ´ du = u = 32 ln 1 2727 == 3. 321ln17 1 = 30.113 = 2 ln 1 30.11 14 111 14 = 32 ln30. 14 = 26
El integrando tiene la forma , resolvemos y obtenemos la ecuación general
c
Como para p=7 dólares x(p)=27 unidades
Remplazando en la ecuación general Para p=14 dólares
Si el precio se incrementa en 14 dólares se demandarían 26 unidades
2. Suponga que el costo marginal (en dólares) para un producto está dado por
Cálculo Integral
Mis Notas de Clase
José F. Barros Troncoso
31
´ = 24001
, donde x es el número de unidades producidas a. Encuentre la función costo b. Si producir 5 unidades cuesta 1980 dólares ¿cuál será el costo de producir 50 unidades?
= 24001 1 = 400 2 1 ∫ ´ du = = 400ln2 1 1980 = 400l n 251 1980 = 400l n 251 1980 = 959 =1021 = 400l n 2 1 1021 = 400ln1021 2501 = 2867
Debemos hallar Factorizamos
El integrando tiene la forma , resolvemos y obtenemos la ecuación general Como C(5)=1980
u c
Remplazando en la ecuación general Para x=50 unidades
Producir 50 unidades costaría 2867 dólares
= 10 10010
3. La función costo marginal para el producto de un fabricante está dada por
, donde c es el costo marginal en dólares cuando se producen q unidades. Cuando se producen 100 unidades el costo promedio es de 50 dólares por unidad. Determine el costo de producir 200 unidades 4. Una compañía encuentra que la tasa de cambio de los gastos de publicidad respecto a las unidades vendidas semanalmente está dado por , dólares Si cuando no hay inversión en publicidad se venden 100 unidades. Calcule los gastos de publicidad si se quiere vender 200 unidades
´ = −
5. La tasa de cambio de la demanda respecto al precio de cierto producto está dada por
Cálculo Integral
Mis Notas de Clase
José F. Barros Troncoso
32
´ = 231
Si cuando el precio p=2 dólares se demandan 28 unidades, calcule la demanda si el precio se incrementa en 4 dólares. 6. La tasa de cambio del precio (en miles de pesos) respecto a las unidades ofertadas está dada por
´ = 31501
Si cuando se venden 30 unidades el precio es de 235 mil pesos, calcule el precio si se venden 40 unidades
Cálculo Integral
Mis Notas de Clase
33
José F. Barros Troncoso
Si f es una función continua en un intervalo cerrado [a, b] y si F es una antiderivada de f , entonces:
= =
Calcular las integrales definidas de las siguientes funciones 1. 2. 3. 4.
∫ 7 = 7 421 = 74 72− = 28 14 = 14 ∫− = 1 2= 2 = = 0 ∫ 3 = 3 1 = 1 = 23 1 = 81 = 7 10 = 3= 7.9ln3 1 l n 1 ∫ 2 ==91. 0ln91 1 = 6.9 ∫− ∫ ∫− 6 4 ∫ ∫− 1 4 ∫ (2 1) ∫ √ ∫ 4 2 ∫ 3 ∫ √ + ∫ (2 √ ) ∫ √ 3 1 − ∫ 2− ∫− + 2 ∫ + ∫ +− ∫ + ∫ +
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
4
19.
15.
14.
13.
16.
12.
2
0
1
4
4
5 x
dx
2
x 17. 1
3
2 x 2 5 x 6 dx
18. 21.
20.
Cálculo Integral
2
2 x
3
x
1 dx
Mis Notas de Clase
José F. Barros Troncoso
34
´ = .
.
1. La función ingreso marginal de una empresa está dada por . Determine el incremento en el ingreso total de la empresa cuando el nivel de ventas se incrementa de 100 a 200 unidades
= ..
Debemos calcular Integrando Simplificando remplazando
y
= . . = .. . . = = =
El incremento en el ingreso de la empresa si el nivel de ventas se incrementa de 100 a 200 unidades será de 950 unidades monetarias
= .
2. Si el costo promedio de reparación de un automóvil con t años de antigüedad es dólares por año, calcule el costo total de reparación durante los primeros 2 años y durante el periodo t=4 y t=6 Debemos calcular Integrando Simplificando Remplazando
= . . = . == .
. = . = .
El costo total de reparación de un automóvil con 2 años de antigüedad será de 133.6 dólares Para un periodo de t=4 Calculamos Remplazando
. == . = . = . Cálculo Integral
Mis Notas de Clase
José F. Barros Troncoso
35
El costo total de reparación de un automóvil con 4 años de antigüedad será de 300.8 dólares Para un periodo de t=6 Calculamos
. == . = . = .
Remplazando
El costo total de reparación de un automóvil con 6 años de antigüedad será de 511.2 dólares Encontramos reparación
que a mayor antigüedad del automóvil mas es el costo de
= .
3. La función de costo marginal de un fabricante es
Si está en dólares, determine el costo de incrementar la producción de 65 a 75 unidades.
=
4. La función de ingreso marginal de un fabricante es
Si está en dólares, encuentre el cambio en el ingreso total del fabricante si la producción aumenta de 500 a 800 unidades
´ = . – . .
5. El costo marginal de producir x unidades de cierto producto es , dólares por unidad Encuentre el incremento en costo si el nivel de producción se eleva de 1200 a 1600 unidades 6. Una compañía puede reducir sus gastos laborales automatizando su planta. Sin embargo la automatización requiere mantenimiento sustancial extra, el cual se incrementa con el tiempo. El ahorro neto anual después de t años está dado por
´ = – – .
(millones de pesos por año). Calcule el ahorro total sobre
los primeros 8 años.
7. Una compañía está considerando la compra de una maquinaria nueva con un costo de 5000 dólares. Se estima que la máquina ahorrará dinero a la compañía a una tasa de 160(5 + t) dólares anuales en un tiempo t después de su adquisición. ¿Se pagará la máquina a si misma durante los próximos 5 años?
Cálculo Integral
Mis Notas de Clase
José F. Barros Troncoso
3 6
= . ´ = – por año, 0 ≤ ≤ 20. Use la integr
8. La función ingreso marginal de un fabricante es
Si r está en dólares, encuentre el incremento en el ingreso total del fabricante si la producción se incrementa de 15 a 25 unidades 9. La tasa de depreciación de un edificio está dada por al definida para encontrar: t a. La depreciación los primeros 10 años b. La depreciación los primeros 20 años c. La depreciación entre 10 y 20 años
dólares
´ = 1000 5000 = , = ´ = es el número de días después de terminada la campaña publicitaria y 0 ≤ t ≤
10. Se espera que la compra de una nueva máquina genere un ahorro en los costos de operación. Cuando la máquina tenga años de uso la razón de ahorro sea de pesos al año donde . ¿Cuánto se ahorra en costos de operación durante los primeros seis años?
11. La curva de demanda está dada por la ley . Encuentre el superávit o ganancia de los consumidores si el nivel de venta asciende a veinte unidades 12. Se conoce que la curva de la oferta para un producto es . Encuentre la ganancia de los productores si la producción asciende a diez artículos 13. Una tienda se da cuenta de que sus ventas cambian a una tasa dada por:
, donde t 30. a. Encuentre la venta total durante la primera semana después que se terminó la campaña (t=0 a t=7) b. Encuentre la venta total durante la segunda semana después que se terminó la campaña (t=7 a t=14)
∫ , =
14. La cantidad total que los consumidores están dispuestos a gastar para obtener q 0 unidades de un artículo está dado por donde es la función de la demanda. Supongamos que la función demanda de cierto artículo es Hállese la cantidad de dinero (en miles de pesos) que los consumidores están dispuesto a pagar para obtener 3 unidades del artículo. /264 mil pesos
Cálculo Integral
Mis Notas de Clase
José F. Barros Troncoso
3 7
15. Una empresa que fabrica y vende balones encuentra que sus utilidades cambian a razón de
´ =
, donde representa el número de balones fabricados y vendidos. Calcule la utilidad total si se venden de 1 a100 balones. 16. La productividad física (número de unidades producidas) marginal, para una industria es
= /
, donde x es el número de máquinas en funcionamiento. Determine la productividad física p cuando están en funcionamiento 4 máquinas
Cálculo Integral
Mis Notas de Clase
, ≥ , = = Á =
= Si
José F. Barros Troncoso
es un función continua en y el eje de las en
y
a
en
38
entonces el área exacta entre
esta dada por
Dibuje y encuentre el área bajo la curva de cada función entre las coordenadas dadas 1.
= = =
entre Inicialmente tabulamos para graficar Tabulación
Gráfica
0 1 2 3 4 5 6
-1 1 3 5 7 9 11
= = = = =
El área sería
Cálculo Integral
Mis Notas de Clase
2.
José F. Barros Troncoso
= = =
39
entre
Tabulación
Gráfica
-1 0 1 2 3
3 4 3 0 -5
= = = = . = . 3. = entre = = El área sería
Tabulación
Gráfica
-2 -1 0 1 2 3
-7 0 1 2 9 28
= − = = = . = .
El área sería
Cálculo Integral
Mis Notas de Clase
4.
José F. Barros Troncoso
= √ = = √ √ √ √ , entre
Tabulación 0 1 2 3 4 5
2
3
El área sería
5.
Gráfica
= √ = = .
= = = , entre
Tabulación
Gráfica
-1 0 1 2
0.73 2 5.4 14.7
El área sería
= = = .
Cálculo Integral
40
Mis Notas de Clase
6.
José F. Barros Troncoso
41
= + = = , entre
Tabulación
Gráfica
0 1 2 3 4 5
12 6 4 3 2.4 2
El área sería
7.
= = × = .
= = = , entre
Tabulación
Gráfica
-2 -1 0 1 2
-16 -11 0 11 16
= = = = = − = = = = =
Para hallar el área total ( ) la dividimos en dos partes, un área 1 ( la cual integramos entre y un área 2 ( la cual integramos entre y al final las sumamos
Cálculo Integral
Mis Notas de Clase
42
José F. Barros Troncoso
= = == == == == == == == √ = == = == +√ == == Por tanto
8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15.
, entre , entre , entre , entre , entre y , entre y , entre y
y y
y
y
´ =
≤ ≤
1. La tasa de depreciación de un edificio está dada por año, . a. Haga una gráfica que represente la depreciación total del edificio b. Calcule la depreciación de los primeros 10 años.
2. Una tienda se da cuenta de que sus ventas cambian a una tasa dada por:
≤
S´(t) = -3t 2 + 300t
paña publicitaria y 0 ≤ t
, donde t es el número de días después de terminada la cam 30 Haga una gráfica que represente las ventas los primeros 10 días.
Cálculo Integral
dólares al
Mis Notas de Clase
43
José F. Barros Troncoso
ÁREA ENTRE CURVAS
, = =
, ≤ =
Si y son funciones continuas en un intervalo y en , entonces el area de la región acotada por las graficas verticales y se obtiene por
y
Grafique y calcule el área entre las funciones dadas 1.
= =
y Inicialmente hallamos los puntos de intersección igualando las funciones , despejando , factorizando , es decir
= = = == ,, ==
, por tanto los límites de integración son de 1 a 4 Tabulamos y graficamos Tabulación
Gráfica
= =
1 2 3 4
0 -1 0 3
0 1 2 3
Hallamos el área utilizando la fórmula
Cálculo Integral
para todo y las rectas
Mis Notas de Clase
José F. Barros Troncoso
= , por gráfico hacemos = y = remplazando = = = = = . 2. = y = Hallamos los puntos de intersección igualando las funciones = , despejamos = , factorizamos = , es decir
= ==,, == = =
, por tanto los límites de integración son Tabulamos y graficamos Tabulación
= =
-2 -1 0 1 2 3
8 3 0 -1 0 3
8 11 12 11 8 3
Hallamos el área utilizando la fórmula
= , por gráfico = y = remplazando Cálculo Integral
Gráfica
44
Mis Notas de Clase
José F. Barros Troncoso
45
= − = = .
3.
= √ =
y Hallamos los puntos de intersección igualando las funciones
√ = ( √ =) = = = = == ,, == ==
, elevamos al cuadrado ambos lados de la igualdad, para eliminar el radical
, despejando , factorizando , es decir
, por tanto los límites de integración son Tabulamos y graficamos Tabulación
Gráfica
= √ =
1 2 3 4
-1 0 3 4
11 8 3 4
Hallamos el área utilizando la fórmula
= , por gráfico = √ y = remplazando / = [(√ ) ] = = . Cálculo Integral
Mis Notas de Clase
4. 5. 6. 7. 8. 9.
José F. Barros Troncoso
= == = == √ == √ == ; = = || y y y
y
y
Cálculo Integral
4 6
Mis Notas de Clase
José F. Barros Troncoso
4 7
El valor promedio de una función continua y=f(x) sobre un intervalo [ a, b ] es Valor promedio =
− ∫
1. El costo semanal C (en dólares) de producir x unidades de un producto está dada por: C (x)= 5000+16x+0.1x2 El fabricante estima que la producción será entre 100 y 200 unidades. Halle el costo promedio semanal C (x)= 5000+16x+0.1x2
200 1 ∫ 200-100 100 500016x0.1x2dx 1 =100 (5000x +8x² + 0.033x³) 200 100 =
=
1100 5000200820020.0332003- 5000100810020.031003 1 1 = 100 (1.584.000 – 613000) = 100(971000) Es el costo promedio semanal cuando la producción es entre 100 y 200 unidades será de 9710 dólares 2. La función demanda para cierto articulo está dada por: P= 500+ , donde P: precio y q: unidades demandadas. Encuentre el precio promedio si se demanda en 50 y 100.
+
Cálculo Integral
Mis Notas de Clase
José F. Barros Troncoso
= 100-1 50 ∫ 500 + 150 500q100ln|q115000 +
48
) dq
=
= (50461.512- 25393.183) = (25 068.329) = 501.3666 El precio promedio cuando se demandan entre 50 y 100 unidades será de 501.36 Unidades Monetarias. 3. El ingreso total de una máquina de videos está dada por: I=50e 0.2t
Encuentre el ingreso promedio entre el intervalo de 0 y 4 horas
− ∫ 50 . dt = ∫ . dt . = 62.4 5. 04 = x . =62.5e0.8 -62.5e1 = (62.5 . - 62.5) =
–
(139.096 62.5) 76.596
El ingreso promedio de la máquina de video en un intervalo de 0 y 4 horas será de 76.59 Unidades Monetarias 4. Suponemos que durante los primeros cinco años que un producto se puso a la venta en el mercado la función describe la razón de ventas cuando pasaron años desde que el producto se presentó en el mercado por
= 2700√ 900
Calcule la venta promedio entre el segundo y cuarto año de lanzamiento del producto al mercado Debemos calcular
Cálculo Integral
Mis Notas de Clase
José F. Barros Troncoso
49
̅ = 1 =2 =4 1 ̅/= 4 2 2700√ 900 ̅ = 12 [1800/ 900]42 ̅ = 12 2700 3/2 900 42 = ̅ = 12 {18004 1 9004 18002 9002} ̅ =̅ 2 18000 6891.16 = 5554.42
, donde y Remplazando
La venta promedio entre el segundo y cuarto año de lanzamiento del producto al mercado fue de 5554.42 U.M.
= 369 – 2.12 – 400 = 1 = 100 = 4000 10 0.1 = 400 0.3
5. La utilidad (en dólares) de un negocio está dada por
, donde es el número de unidades del producto vendido. Encuentre la utilidad promedio sobre el intervalo de a . 6. Suponga que el costo
de producir unidades de un producto está dado por
Encuentre el costo promedio sobre el intervalo de q=100 a q=500 7. Suponga que el costo en dólares de un producto está dado por , donde
es el número de unidades. Encuentre el costo promedio de producir de 10 a 20 unidades
= 400 2 000
8. El costo en miles de pesos, de producir x unidades de cierto artículo es Encuentre el valor promedio de C(x) sobre el intervalo de 0 a 100. ¿Qué significa el resultado? 9. El número de ventas diarias de un producto está dado por
= 100− 100
, x días después de iniciarse una campaña publicitaria para este producto.
Cálculo Integral
Mis Notas de Clase
José F. Barros Troncoso
50
a. Encuentre las ventas diarias promedio durante los primeros 20 días de la campaña, es decir x=0 a x=20. b. Si no se inició una nueva campaña publicitaria, ¿cuál es el número promedio de ventas por día durante los próximos 10 días? (de x=20 a x=30) 10.El valor futuro de 1 000 dólares, invertidos, en una cuenta de ahorros con una tasa de interés compuesto continuamente de 10% es S=1000e 0.1t , donde t está en años. Calcule la cantidad promedio en la cuenta de ahorros durante los primeros 5 años.
= 60 50 3600
11. La ecuación de demanda para cierto producto está dada por
Encuentre el precio promedio si se demandan de 100 a 200 unidades
Cálculo Integral
Mis Notas de Clase
José F. Barros Troncoso
51
Sea f(t) una tasa de flujo de ingreso anual, entonces el ingreso total para k años está dado por Ingreso total =
∫
1. Una pequeña compañía petrolera considera el bombeo continuo de petróleo de un pozo como un flujo de ingreso continuo con su tasa de flujo anual en el tiempo t dada por f(t) = 600e -0.2t , en miles de dólares al año. Encuentre un estimado del ingreso total por este pozo durante los próximos 10 años. 2. Encuentre el ingreso total durante los próximo 10 años de un flujo continuo de ingreso que tiene una tasa de flujo anual en el tiempo t dado por f(t)=12 000 dólares por año 3. Encuentre el ingreso total durante los próximo 8 años de un flujo continuo de ingreso que tiene una tasa de flujo anual en el tiempo t dado por f(t)=8 500 dólares por año 4. Una compañía acerera visualiza la producción de su colado continuo como flujo continuo de ingreso con una tasa de flujo mensual en el tiempo t , dado por f(t) = 24 000e 0.03t (dólares mensuales). Encuentre el ingreso total de este colado en el primer año 5. Suponga que la franquicia de una empresa de servicio se da cuenta que el ingreso generado por sus tiendas se puede modelar suponiendo que el ingreso es un flujo continuo con una tasa de flujo mensual en el tiempo t dado por f(t) = 10 000e 0.02t (dólares mensuales). Encuentre el ingreso total de una tienda para los primeros dos años. 6. Una pequeña destiladora considera la producción de su máquina embotelladora como un flujo continuo de ingreso con una tasa de flujo anual en el tiempo t dado por f(t)=80e 0.1t , en miles de pesos por año. Encuentre el ingreso de este flujo para los siguientes 10 años.
Cálculo Integral
Mis Notas de Clase
José F. Barros Troncoso
52
Si f(t) es la tasa del flujo continuo de ingreso que gana una tasa de interés r , compuesta continuamente, entonces el valor presente del flujo continuo de ingreso es Valor-presente = Donde t = 0 a t = k es el intervalo del tiempo
∫ −
Si f(t) es la tasa del flujo continuo durante k años, ganando una tasa de interés r , compuesta continuamente, entonces el valor futuro del flujo continuo de ingreso es Valor-futuro =
∫ −
1. Un flujo continuo de ingreso tiene una tasa de flujo anual en el tiempo t , dada por f(t) = 9 000e 0.12t ( dólares al año). Si el dinero crece a una tasa de 6% compuesto continuamente, para los próximos 10 años encuentre a. El Ingreso total Por definición el ingreso total está dado por
remplazando , por datos . 0. 1 2 . 9000 = 9000 0. 1 2 = 90.00012 .0.12 = 75000. 100 = 75000. . = 750003.32 1 = 750002.32 = 249009 = 9 000e 0.12t y k = 10
El ingreso total del flujo continuo f(t) = 9 000e 0.12t que crece a una tasa de 6% compuesto continuamente, para los próximos 10 años será de 249 009 dólares por año b. El valor presente
Cálculo Integral
Mis Notas de Clase
José F. Barros Troncoso
53
. . −. . = 9 000 = 9000 = 9000 0.0.0606 = 90.00006 ..0.06.= 150000 . 100 = 150000[ ] = 1500001.82 1
= 1500000.82 = 123318
El valor Presente del un flujo continuo de ingreso f(t) = 9 000e 0.12t que crece a una tasa de 6% compuesto continuamente, para los próximos 10 años será de 123 318 dólares c. El valor futuro
.123318 == 1.82123318 = = 224700
El valor futuro del un flujo continuo de ingreso f(t) = 9 000e 0.12t que crece a una tasa de 6% compuesto continuamente, para los próximos 10 años será de 224 700 dólares 2. Un flujo continuo de ingreso tiene una tasa de flujo anual en el tiempo t dada por f(t) = 12 000e 0.04t U.M. Si el dinero crece a una tasa del 8% compuesta encuentre para los próximos 8 años a. El Ingreso total Por definición el ingreso total está dado por
, por datos remplazando 12 000. = 12 000 .0.04 0.04 12 000 . = 12000 .0.04 = 300000. 8 0 0.04 f(t) = f(t) = 12 000e 0.04t y k = 8
Cálculo Integral
Mis Notas de Clase
José F. Barros Troncoso
54
12 000 . = 300000 . . = 3000001.37 1 12 000 . = 3000000.37 = 113138
El ingreso total del flujo continuo será de 113138 U.M. b. El valor presente Por definición el ingreso total está dado por
− ,
, por datos f(t) = f(t) = 12 000e 0.04t k = 8 y r=0.08 remplazando
12 000.−. = 12 000 −.−. = 12 000 0.0.04 04 = 10.2 00004 −.0.04 = 300000−. 80 = 300000[−. −.]
= 3000000.72 1 = 3000000.27 = 82 155.3
El valor presente del flujo continuo es de 82 155.3 U.M c. El valor futuro Por definición el ingreso total está dado por
−
∫ − = 82 155.3 − = .82 155.3 = 1.8982 155.3 = 155806
, por datos
, r=0.08 y k=8, remplazando
El valor futuro del flujo continuo en 8 años a una tasa del 8% será de 155 806 U.M.
Cálculo Integral
Mis Notas de Clase
José F. Barros Troncoso
55
3. Suponga que una compañía planea vender un pozo y quiere usar su valor presente durante los próximos 10 años para establecer su precio de venta. Si la compañía determina que la tasa de flujo anual es f(t)=600e -0.2(t+5) , en miles de dólares por año y si el dinero crece con una tasa de 10% compuesto continuamente, encuentre este valor presente
= 1 000.
4. Si la tasa de flujo de ingreso de un activo es , en millones de pesos por año, y si el ingreso se invierte a una tasa de interés de 6% compuesto continuamente, para los próximos 4 años, encuentre a. El ingreso total b. El valor presente c. El valor futuro 5. Suponga que un flujo de ingreso continuo tiene una tasa anual de flujo dada por f(t) = 5 000e -0-01t y el dinero crece un 7% compuesto continuamente, para los próximos 5 años calcule: a. El Ingreso total b. El valor presente c. El valor futuro 6. Suponga que una compañía de impresión considera la producción de sus prensas como un flujo continuo de ingreso. Si la tasa de flujo anual en el tiempo t está dada por f(t) = 97.5e -0.2(t+3) en millones de pesos al año, si el dinero crece a una tasa de 6% compuesto continuamente, encuentre el valor presente y el valor futuro de las prensas durante los siguientes 10 años. 7. Una pareja piensa abrir un negocio propio, van a comprar ya sea un almacén de ropa para hombres o una tienda de video. El almacén de ropa para hombres tiene un flujo continuo de ingreso con una tasa de flujo anual en el tiempo t dada por (miles de pesos por año) y la tienda de video tiene un flujo continuo de ingreso con (miles de pesos una tasa anual proyectada en el tiempo t dada por por año) .
= 21 600.
Cálculo Integral
= 30 000
Mis Notas de Clase
José F. Barros Troncoso
5 6
La inversión inicial es igual para ambos negocios y el dinero crece a una tasa de 10% compuesto continuamente. Encuentre el valor presente y el valor futuro de cada negocio durante los próximos 7 años, para saber cuál es la mejor compra.
= 2000−.
8. El valor actual de un flujo continuo de ingreso de 2000 U.M. durante 5 años al 6% de interés compuesto continuamente está dado por . Determine: a. El Ingreso total b. El valor presente c. El valor futuro
Cálculo Integral
Mis Notas de Clase
José F. Barros Troncoso
5 7
El precio de equilibrio es aquel en que la demanda de un producto es igual a la oferta. Algunos consumidores están dispuestos a comprar x 3 unidades si el precio fuera $ p 3. Los consumidores que están dispuestos a pagar más de $p 1 se benefician por el precio más bajo. La ganancia total para todos aquellos dispuestos a pagar más de $p 1 se conoce como cuya fórmula está dada por
= es la demanda, p es el precio de equilibrio y x es la cantidad en equilibrio,
, donde f(x) 1 1 p1x1 representa el total que gastaron los consumidores y que los productores recibieron como ingreso.
1. La función demanda para x unidades de un producto es p = 100/(x+1) dólares. Si el precio de equilibrio e s $20, ¿ cuál es el superávit del consumidor? Por datos f(x)=100/(x+1) y p 1= 20 , debemos hallar q 1
20 = 1001 , 1 = 12000 = 5 1 = 4 Remplazando
Entonces el punto de equilibrio es (4, 20), el superávit del consumidor es
Cálculo Integral
Mis Notas de Clase
José F. Barros Troncoso
100 = 1 20 ∗4 = 100ln 1 = 100ln5 ln1 80
= 1001.6 0 80 = 160 80 = 80 = √ 49 6
58
80
El superávit del consumidor es aproximadamente de 80 dólares 2. La función demanda de un producto es y su función de oferta es p = x + 1 donde p se da en dólares y x es el número de unidades. Encuentre el punto de equilibrio y el superávit del consumidor. Para hallar el punto de equilibrio igualamos las ecuaciones de la demanda y la oferta
√ 49 6 = 1 (√ 4946 9 6)= = 211 2 1864849= 0 = 0 12 4 = 0 12 = 0, = 4 = 0, = = 4 =4 =1,5 = = √ 49 6 = ∫ = √ 49 6 54 = 19149 6/ 4020 1 / 9 49 60/20 = = 13.9 49 64 88 38.11 20 = 4.23 Elevamos al cuadrado ambos términos de la igualdad
Factorizando Ósea que
o Es decir que la cantidad en equilibrio ecuación de la oferta Entonces el precio de equilibrio remplazamos en la ecuación
unidades, remplazando en la
, como la demanda
Resolviendo
El superávit del consumidor será aproximadamente de 4.23 dólares
Cálculo Integral
,
Mis Notas de Clase
José F. Barros Troncoso
59
3. La función de demanda para un producto es p = 34 – x 2 . Si el precio es de $9. ¿Cuál es el superávit del consumidor? 4. La función de demanda para un producto es p = 100 – 4x. Si el precio es de $40. ¿Cuál es el superávit del consumidor? 5. La función de demanda para un producto es p = 200/(x +2). Si la cantidad en equilibrio es 8 unidades. ¿Cuál es el superávit del consumidor?
Cuando se vende un producto al precio de equilibrio, algunos productores también se benefician ya que ellos estaban dispuestos a vender el producto a un precio más bajo. El área entre la línea p=p 1 y la curva de la oferta x=0 y x=x 1 da como resultado el .
Si la función de la oferta es p = g(x) , el superávit de productor está dado por la diferencia entre el área entre la gráfica p=g(x) y el eje de las x entre 0 a x 1.
= representa el ingreso total en el punto de
, p 1x 1 equilibrio.
1. Suponga que la función oferta para una mercancía es p = 4x 2 + 2x + 2. Si el precio de equilibrio es de $422. ¿Cuál es el superávit del productor?
Cálculo Integral
Mis Notas de Clase
José F. Barros Troncoso
60
= 422 422 = 4 2 2 44 222420422= =0 0 = 10 ó = 10. =510 = 4 2 2 = ∫ = 42210 4 2 2 4 = 4220 3 2100 410 40 = 4220 3 10 210 3 0 20 = 4220 1453.33 0 = 2766.67 Inicialmente debemos hallar la cantidad en equilibrio remplazando el precio de equilibrio en la función oferta
Factorizando La cantidad en equilibrio es La función oferta es
, remplazamos en
Resolviendo
El superávit del productor será de 2766.67 dólares
2. Encuentre el superávit del productor para una mercancía si su función demanda es p = 81 – x 2 y su función oferta es p = x 2 + 4x + 11. Para hallar el punto de equilibrio igualamos las ecuaciones de la demanda y la oferta
81 = 4 11 2 4 70 = 0 72 10 = 0 7 = 0, = 10 = 0, = = 5 = 81 =556, = 11 = ∫ Despejando
Factorizando Ósea que
o2 Es decir que la cantidad en equilibrio función demanda Entonces el precio de equilibrio , remplazamos en
Cálculo Integral
unidades, remplazando en la
, como la oferta es
= 4
Mis Notas de Clase
José F. Barros Troncoso
61
= 565 4 11 Resolviendo = 280 3 2 1150 5 0 = 280 3 25 115 3 20 110
= 280 146.66 0 = 133
El superávit del productor será aproximadamente de 133.33 dólares 7. Suponga que la función oferta para una mercancía es p=0.1x 2 +3x+20. Si el precio de equilibrio es de $36. ¿Cuál es el superávit del productor? 8. Si la función de oferta para un producto es p = 10e x/3 . ¿Cuál es el superávit del productor cuando se venden 15 unidades? 9. Suponga que para cierto producto, la función de demanda es p=200e -0.01x y la función oferta es , si la cantidad en equilibrio es de 31 unidades encuentre: a. El punto de equilibrio b. El superávit del consumidor c. El superávit del productor
= √ 200 49
10. Determine el superávit del consumidor y del productor en el caso de un producto cuyas funciones de demanda y de oferta aparecen en seguida D: p= 15 -2x O: p=3 + x D: p = 400 – q 2 O: p = 20q +100
D: p=17 – 0.5x O: p= 5+0.3x D: O: p= x +1
D: p = 12/(x + 1)
D: p = 49 – x 2 O: p=4x + 4 D: O:
O: p = 1 + 0.2x
D: = 15 O: =
= √ 49 6 = 4
= 8
Cálculo Integral
D: p =1100 – q 2 O: p = 300 + q 2 D: p =110 – x 2 O: p =2 -6/5x +1/5x 2
D: p =22 – 0.8x
== 10010 – 0.0.015
O: p = 6 + 1.2x
D: O:
Mis Notas de Clase
José F. Barros Troncoso
62
Si la integración de una función no es posible encontrarla por alguna de las fórmulas conocidas, es posible que se pueda integrar utilizando el método conocido como integración por partes Este método tiene como base la integración de la fórmula para la derivada de un producto de dos funciones.
= = = =
Así Integrando
=
Para aplicar la fórmula en la práctica, se separa el integrando en dos partes; una de ellas se iguala a y la otra, junto con a . Por eso se llama integración por partes. Es conveniente considerar los dos criterios siguientes. a. La parte que se iguala a debe ser fácilmente integrable. b. La no debe de ser más complicada que
∫
∫
Luego se aplica la fórmula de integración por partes. Este proceso convierte el integrando original - que no se puede integrar - en un integrando que si se puede integrar.
Para escoger en orden el “” y “” se utiliza una técnica denominada ILATE, : inversas arctanx, arcsecx…etc. que resume los nombres de las funciones que podemos encontrar.
: logarítmicas (ln(x)) : algebraicas (polinomios de grado n: en suma, multiplicación y división) : trigonométricas (sen(x), cos(x), tan(x), csc(x) ,..etc) : exponenciales (
Cálculo Integral
acrónimo
Mis Notas de Clase
José F. Barros Troncoso
63
Para seleccionar la función , se clasifican las funciones en las siguientes categorías ILATE la que aparece primero de izquierda a derecha va ser y lo que sobra será
Integrar
1.
∫
Clasificamos las funciones en el acrónimo
= = = = ∫ = = = 2 2 1 = 2 112 = 2 2 2 2 4 = ∫ = = = = ∫ = = = 2 2 I
Como la primera función es Entonces y Aplicando la formula
2.
L
A
T
E
hacemos
y
Clasificamos las funciones en el acrónimo I L A Como la primera función es hacemos Entonces y Aplicando la formula
T
y
Cálculo Integral
E
Mis Notas de Clase
3.
∫ √ 1
José F. Barros Troncoso
= 2 112 = 2 2 2 = 2 4
Clasificamos las funciones en el acrónimo I L A
E
T
E
√ 1 = = 1 √ / = = 1 2= 2 √ 1 = 231 1//2 3 1 / √ 1 = 213/ 2321/ √ 1 = 213 / 3 45 1 / √ 1 = 3 15 1 / ∫ = = = = = 1 = Como la primera función es hacemos Entonces y Aplicando la formula
4.
T
y
Clasificamos las funciones en el acrónimo I L A Como la primera función es Entonces y Aplicando la formula
hacemos
Cálculo Integral
y
64
Mis Notas de Clase
5.
∫
José F. Barros Troncoso
65
= =
Hacemos u=x y dv=e x dx entonces du=1dx y v=e x remplazando en la fórmula
6.
= = ∫ ln = ln = ln 2 = ln 2 = ln 2 ∫ = 12 12 2 = 12 = 12 1 1 1 1 1 1 = 12 2 2 = 2 2 4 = 4 2 2 1 ∫ √ 1 1/ 1/ Hacemos u=ln(x 2 ) y dv=dx entonces du=
7.
y v=x remplazando en la fórmula
Hacemos u=x 2 y dv=e 2x dx entonces du=2xdx y v= e 2x remplazando en la fórmula Para desarrollar la integral, integramos por parte, hacemos u=x y dv=e 2x dx entonces du=dx y v= e 2x remplazando
8.
Hacemos u=x 2 entonces du=2xdx y dv=x remplazando
Cálculo Integral
dx entonces v=
Mis Notas de Clase
9. 12. 15. 18. 21.
José F. Barros Troncoso
6 6
1 1 = 3 1 1 1 3 121 =13 1 32 12 = 3 1/ 15 1/ ∫ √ 2 ∫ 3√ 2 3 ∫ + ∫ ∫ ∫ √ − ∫ 4 ∫ ∫ ∫ √ ∫ √ + ∫√ − ∫ − ∫ 3 2− ∫ 10.
11.
13.
14.
16.
17.
19.
20.
22.
23.
Cálculo Integral
Mis Notas de Clase
José F. Barros Troncoso
6 7
En algunos casos las integrales de productos de polinomios con funciones trascendentes (logarítmicas, exponenciales y trigonométricas) conllevan cálculos demasiado laboriosos al aplicar la fórmula de integración por partes varias veces. En tales situaciones se utiliza una técnica denominada , que consiste en: Derivar las funciones polinómicas hasta llegar a cero e integrar las trascendentes tantas veces como se derivó la otra función. Colocando las derivadas e integrales correspondientes una al frente de la otra, luego conectamos la primera derivada con la segunda integral y le ubicamos los signos más ( ) y el signo (-) intercalado, luego multiplicamos la derivada con le integral correspondiente y se le asigna el signo que le corresponde, al final se le agrega la constante de integración. Para verificar se deriva.
Este método funcionas bien con las funciones exponenciales, hiperbólicas, senos y cosenos. Integrar 1. ∫
Clasificamos las funciones en el acrónimo I
L
A
T
E
Como la primera función es la función a derivar es , por tanto la función a integrar será . Hacemos una tabla con las derivadas de y al frente colocamos las integrales de
Las derivadas de la función
22 0
Las integrales de + --
Relacionamos las derivadas con las integrales partiendo de la primera derivada y segunda integral, le colocamos signos intercalados partiendo del +, luego se multiplican la derivada con la integral relacionada
= 2 2 Cálculo Integral
Mis Notas de Clase
2. 3. 4. 5. 6. 7. 8.
José F. Barros Troncoso
68
∫∫ ∫∫ −5 2∫ 832 −− ∫
1. Un fabricante de juegos de video determina que su nuevo juego se vende en el mercado a una tasa de S ´(x) = 4 000te -0.2t juegos por semana, en donde t es el número de semanas desde el lanzamiento del juego. Exprese las ventas totales, S , como una función de t . ¿Cuántos juegos se venderán durante las primeras 4 semanas? Debemos hallar
= 4000−. = 4000−.−. = = = ∫ = . ∫= . −. 10.2 −. 0.12 −. = 4000 −.−.= 4000 = 4000 .1 −. .1∫ −.1−. = 4000 0.2 0.2 0.2 = 4000 . −. 25−. −. 25−. = 400025 0 = 4000 0.1=2 0100000 = 100000 Hacemos entonces y aplicando la formula de integración por parte ]
La ecuación general es
Para S(0)=0
Cálculo Integral
entonces
,
Mis Notas de Clase
69
José F. Barros Troncoso
Remplazando en la ecuación general, se obtiene la ecuación particular
= 4000 . −. 25−. 100000 10.2 4−. 25−. 100000 == 4000 399 919 147.1
Para saber cuántos juegos se venderán durante las primeras 4 semanas hacemos t=4
Las ventas totales durante las primeras cuatro semanas será de 399 919 147 juegos 2. Suponga que el valor del petróleo producido por una pieza de un equipo de extracción se considera un flujo continuo de ingreso con una tasa de flujo anual (en dólares por año) en el momento t , en años, dado por f(t)=300 000 – 2500t, y el dinero crece 8% compuesto continuamente. Encuentre el valor presente de la pieza para los próximos 2 años.
∫ − = 2 = 0.08 300000 2500 −. = 300000−. 2500 −. = ∫ 300000−. 2500 ∫ −. −. ∫ = ∫ ==. ∫ = −. = . −. −. = 1 −. 1 −. 0.08 0.08 −. = 1 −. 1 −. 0.08 0.08 −. = 1 −. 1 −. 0.08 0.08 La fórmula del valor presente es remplazando
donde
(1)
Resolvemos la integral Hacemos entonces Aplicando la fórmula
integrando por parte. y entonces
Cálculo Integral
y
Mis Notas de Clase
José F. Barros Troncoso
70
∫ −. = . −. . .−. −. = 1 −. 156.25−.2 0 0.08 = 0.108 2−.1 156.25−. 0.08 0−. 156.25−. = 154.45 156.25 = 1.8 ∫ −. = . 300000−. = 300000 −.2 0 0. 0 8 −. −. = 3750000 300000−. = 3750000−. −. = 574460.79 Integrando
entonces
Integramos
Remplazando en (1)
−. = 300000 2500 −. = 574460.79 25001.8 = 558960.79
El valor presente de la pieza para los próximos 2 años será de 558960.79 3. El ingreso marginal de una empresa por la producción de unidades de uno de sus productos es
´ = 200−. 10.
, dólares. Determine el ingreso total si se producen de 10 a 20 unidades
= 30 50 2 = 30
1
4. Si la función oferta para x unidades de una mercancía es pesos ¿cuál es el superávit del productor en ?
Cálculo Integral
Mis Notas de Clase
José F. Barros Troncoso
71
=
5. Suponga que se puede considerar la producción de una máquina como flujo continuo de ingreso con una tasa de flujo anual en el tiempo t , dada por miles de pesos por año. Si el dinero crece a una tasa de 10% compuesto continuamente encuentre el valor presente de la máquina para los próximos 5 años.
10 000 – 500
6. Suponga que la producción de una máquina que se utiliza para extraer carbón se considera como un flujo continuo de ingreso con una tasa de flujo anual en el momento t dada por miles de pesos por año. Si el dinero crece a una tasa de 7% compuesto continuamente, encuentre el valor presente de esta máquina los próximos 8 años.
= 280 000 14 000
7. Suponga que el ingreso de una empresa de acceso a Internet es un flujo continuo de ingreso con una tasa anual dada por
= 100−.
, en millones de pesos por año. Encuentre el ingreso total durante los próximos 10 años. 8. Suponga que la curva de Lorenz para la distribución de ingresos de cierto país está dada por
= −
Encuentre el coeficiente de Gini para el ingreso
20 ´ = 5000l n20
9. Una empresa tiene un costo marginal por unidad de su producto dado por , donde x es el nivel de producción. Si los costos fijos ascienden a $2000, determine la función costo 10.
= 600√ 1 3
Evalúa el ingreso total obtenido en 8 años, si la razón de ingresos en dólares por año es
Cálculo Integral
Mis Notas de Clase
José F. Barros Troncoso
72
Toda función racional se puede integrar en términos de funciones elementales. Una función racional es de la forma
= = ⋯ = =
, donde y son polinomios. El método de fracciones algebraicas es una técnica que permite descomponer a en una suma de términos: , donde p(x) es un polinomio y las dificultad.
es una fracción que puede integrarse con poca
Se dice que una función racional es una fracción propia, si el grado del polinomio es menor que el grado del polinomio p olinomio . En caso contrario, es decir, si el grado de es mayor o igual al de , la fracción se llama impropia. El primer paso paso consiste en determinar determinar si la fracción fracción es propia o impropia. Si impropia, la solución puede encontrarse mediante una división de entre
es
,
Toda fracción impropia se puede expresar, efectuando la división, como la suma de un polinomio más una fracción propia.
En el caso de que la fracción sea impropia la forma de descomposición de la fracción se realiza dependiendo de , así Si escribir
es un producto de factores lineales distintos, es decir que lo podemos
= · · · , ,…, = ⋯
, en donde no hay factor que se repita. En este caso, existen constantes que
Cálculo Integral
tales
Mis Notas de Clase
José F. Barros Troncoso
73
23 2 3 Integrar
Descomponemos la fracción, que como puede verificarse es propia. Como tiene dos factores, la fracción se descompone en dos sumandos
2 = 3 2 3 2 2 2 2 3 = 3 3 2 3 3 2 2 = 2 2 33 ① 3 3 2 2 = 0 3 = 0,0, = 2 2 = 0, = Eval u=amos los valores obtenidos en la ecuación ① 23 = 362=25 33 3 65 = = 22 = 422= 5 2 3 = 45 23 2 = 3 2 = 65 3 3 45 2 2 3 23 2 = 65 3 45 2 2 3 Operando el término de la derecha de la igualdad
Comparando las expresiones de la igualdad
Hallamos los valores que hacen la expresión indeterminada, igualando el denominador de la integral en cero Por tanto
ó
Si
Si
, por tanto
El denominador se repiten.
es un producto de factores lineales, algunos de los cuales
Cálculo Integral
Mis Notas de Clase
José F. Barros Troncoso
= ⋯ , ,· · · , 2
74
Si tiene un factor lineal repetido veces de la forma , entonces la descomposición en fracciones parciales contiene términos de la forma:
, donde
son constantes.
Integrar
Descomponemos la fracción, que como puede verificarse es propia. Como tiene dos factores, la fracción se descompone en dos sumandos
1 = 2 2 2 2 1 2 2 2 2 = 2 2 2 11 == 444 44 2 2 1 = 4 2 4
Operando el término de la derecha de la igualdad
, comparando
, agrupando y factorizando
42= 0① = 0 4 = 1 = , dede ① = , , =
, por tanto
②
③
, de ③
, remplazando en ②
, remplazando en la integral
4 14 21 14 = 0 1 2 = 0 = Cálculo Integral
Mis Notas de Clase
José F. Barros Troncoso
2 = 2 2 2 2 1 1 1 2 = 4 4 2 2 2 2 2 1 1 1 2 = 2 2 2 4 4 2 2 2 4 < 0 110 9
El denominador cuales se repite.
75
contiene factores cuadráticos irreductibles, ninguno de los
Si
tiene un factor cuadrático no repetido de la forma , en donde, , entonces la descomposición en fracciones parciales contiene un término de la forma: , donde
son constantes.
Integrar
Descomponemos la fracción, que como puede verificarse es propia. Como tiene dos factores, la fracción se descompone en dos sumandos
10 = 1 1 9 1 9 10 9 1 = 1 1 9 1 9 10 = 9 10 = 9
Operando el término de la derecha de la igualdad
, comparando y resolviendo , factorizando
== 00 ① 9Sumando = ①10 y = 0,0, = 9 = 10,10, = = =
, entonces
② ③ ②
, luego
remplazando en ③ y
Cálculo Integral
Mis Notas de Clase
José F. Barros Troncoso
9 = 1 1 19 110 9 = 1 1 9 1 9 110 9 = 1 ∫ + = − 110 9 = 1 12 9 13 − 3 − ∫∫+− −−− ∫ −−− ∫∫ +− +− ∫∫ +− − ++ ∫ +− −−+ ∫∫ −− −
, por tanto la integral quedaría
, por fórmula , resolviendo
Integrar
1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10.
7 6
−−
Cálculo Integral
Mis Notas de Clase
José F. Barros Troncoso
Resolver la integral √ − Hacemos , entonces √ −
7 7
∫ = = = ∫ ∫ − ① = 1 = 1 , remplazando en① 1 = ∫ = ∫ ② 2 = 1, = 2 1 , remplazando en ② = 2 1 = 2 = 12 2 10 = 12 2 10 = 10 = Sabemos que
, remplazamos
, luego
, simplificando
, conocemos que
Ahora como
Por tanto
luego
, gráficamente
= √1
, remplazando
Cálculo Integral
Mis Notas de Clase
José F. Barros Troncoso
78
= 1 10 = 1 1 0 √1 = 1 1 1 1 0 1 0 0 √1 √1 = 0 0 1,57 = 0 1.57 = 1,57
Cálculo Integral
Mis Notas de Clase
José F. Barros Troncoso
79
HARSHBARGER R., REYNOLDS J. Matemáticas Aplicadas a la Administración, Economía y Ciencias Sociales. Editorial Mc Graw Hill. Séptima Edición LEITHOLD L. El Cálculo para Ciencias Administrativas, Biológicas y Sociales. Editorial Harla. 1988 LEITHOLD L. El Cálculo con Geometría Analítica. Editorial Mexicana. Quinta Edición STEWART J. Cálculo Trascendente Tempranas. Ed. Thompson Learning. Cuarta Edición HOFFMAN L. D., BRADLEY G. Cálculo Aplicado a la Administración Economía y Ciencias Sociales. Editorial Mc Graw Hill. Sexta Edición. SOLER F. F., Núñez R. y Aranda S. M. Fundamentos de Cálculo con aplicaciones a las Ciencias Económicas y Administrativas. Ecoe Ediciones. ARYA J. C., LARDNER R. W. Matemáticas Aplicadas a la Administración y a la Economía. Pearson, Prentice Hall. Tercera Edición LARSON R. E, HOSTETLER R. P. Cálculo. Editorial Mc Graw Hill
–
–
HAEUSSLER E. F. PAUL R. S. WOOD R. J.. Matemáticas para Administración y Economía. Editorial Pearson Prentice Hall. Decimosegunda Edición. México 2008. SOO TANG TAN. Matemáticas para Administración y Economía. Editorial Thomson. Tercera Edición. 2005 ANDONEGUI ZABALA, MARTÍN. La función Matemática. Serie Desarrollo del Pensamiento Matemático N° 20. Federación Internacional Fe y Alegría. Enero de 2008. Caracas Venezuela JIMÉNEZ, RENÉ. Funciones. Pearson Educación, México, 2006 BECERRA ESPINOZA, JOSÉ MANUEL. Matemáticas V, El placer de dominarlas sin complicaciones. Universidad Nacional Autónoma de México, 2044. Primera Edición
Cálculo Integral
Mis Notas de Clase
José F. Barros Troncoso
80
SALAS, S., HILLE, E., ETGEN, G., CALCULUS: Una y varias variables. Volumen I. Cuarta Edición. Editorial Reverte. España 2007 ZUAZUA, Enrique. Ecuaciones en Derivadas Parciales. Universidad Autonoma de Madrid. España. 2004 ANTONYAN N, CENDEJAS L., AGUILAR G. Matemáticas 2: Funciones. Thomson Editores S. A. México 2007. CASTRO P J, GONZÁLEZ N. Problemario de Matemáticas para Administración y Economía. Thomson Editores S.A. México 2002. VARONA MALUMBRES JUAN LUIS. Métodos Clásicos de Resolución de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias. Servicio de Publicaciones, Universidad de La Rioja, España 1996. http://www.gfc.edu.co/estudiantes/anuario/2001/sistemas/sergio/node15.ht ml http://descartes.cnice.mec.es/Descartes1/Bach_CNST_2/Aplicaciones_de_las_de rivadas/concavidad.htm http://www.ciens.ula.ve/matematica/publicaciones/guias/servicio_docente/m aria_victoria/funciones_varias_variables2011.pdf Universidad de los Andes, Facultad de Ciencias. Mérida Venezuela 10/Mayo/2011 http://education.ti.com/xchange/LATINOAMERICA/Matematicas/Calculo/1749 2/AreaEntreCurvas.pdf http://www.mat.uson.mx/~jldiaz/Documents/Derivadas/Derivada_Fun_Trigon .pdf http://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_trigonom%C3%A9trica https://es.wikipedia.org/wiki/Seno_%28trigonometr%C3%ADa%29 http://www.ciencias.ula.ve/matematica/publicaciones/guias/servicio_docente/ maria_victoria/funciones.pdf http://www.ing.unp.edu.ar/matematica/Modulos/Unidad_7.PDF http://www.ugr.es/~phbe/Docencia/Gade/Ejercicios/relacion2.pdf http://mdotecnia.blogspot.com/2009/05/la-mercadotecnia-y-lasderivadas.html http://thales.cica.es/rd/Recursos/rd99/ed99-0295-01/punto8/grafica3.html http://www.uam.es/personal_pdi/economicas/amaroto/pdfs/ej_tema4micro.p df http://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_lineal
Cálculo Integral
