Escuela de Ingeniería de Sistemas e Industrial
ANÁLISIS DEL PROCESO DE DECISIÓN DECISIÓN La mayorí mayoría a de las decis decision iones es admi admini nist strat rativ ivas as se toma toman n en condi condici cion ones es de incertidumbre. En este contexto, la Teoría de Decisiones es una forma práctica y científica de estructurar y resolver un problema de decisión empresarial. El enfoque de Teoría de Decisiones involucra tres fases: 1. Hacer una lista de las alternativas viables que se deben considerar en la decisión. 2. Hacer una lista de todos los eventos que pudieran ocurrir. Estos eventos se denominan es litera rattura ura de la Teor Teoría ía de estad tados os de la natu natura rale leza za en la lite Decisiones. En su definición hay que considerar que en el futuro solo puede ocurr ocurrir ir uno uno de ello ellos. s. En estad estadís ísti tica ca,, se dice dice que que los los event eventos os debe deben n ser ser mutuamente excluyentes y colectivamente exhaustivos 3. Como las diferentes alternativas tienen efecto sobre el rendimiento, éstos deben ser considerados explícitamente, por lo que debemos construir una con los los benef benefic icios ios que que se obte obtendr ndría ían n en cada cada posi posibl ble e tabla de decisión con combinación de alternativa de decisión y estado de la naturaleza.
A1 A2 A3 …… Am
TABLA DE DECISION E1 E2 E3 …… En R11 R12 R13 …… R1n R21 R22 R23 …… R2n R31 R32 R33 …… R3n …… …… …… …… …… Rm1 Rm2 Rm3 …… Rmn
A1, A2, A2, … , Am, Am, son la lista de alternativas de decisión. Así tenemos que A1, decisión. E1, E2, …. , En son los estados naturales, y R11,, R12, ….., Rmn, son los diferentes valores resultantes de la combinación de las alternativas de decisión y los estados naturales.
CONDICIONES EN QUE SE TOMAN DECISIONES: Dependiendo del conocimiento que se tenga de los diferentes estados de la naturaleza, podemos definir tres tipos de escenarios: 1.
Toma de Decisiones Bajo Condiciones de Certeza: en este escenario
solo existe un estado de la naturaleza y hay certeza completa acerca del futuro. 2. Toma de Decisiones Bajo Condiciones de Incertidumbre: en este caso existen más de un estado de la naturaleza pero el que toma la decisión no 2
conoce nada sobre ellos ni puede siquiera asociarles probabilidades de ocurrencia. 3. Toma de Decisiones Bajo Condiciones de Riesgo: en este caso existen más de un estado de la naturaleza pero el que toma la decisión tiene información suficiente para asignar a cada estado de la naturaleza sus probabilidades de ocurrencia. Bajo condiciones de certeza, el análisis de la situación es sencillo y se pueden tomar casi siempre buenas decisiones. Al sólo existir un estado de la naturaleza, simplemente se escoge aquella alternativa que nos proporcione el mejor resultado. Estos casos son referidos a todos los modelos matemáticos contenidos en los cursos de Optimización de Sistemas I, II, y III. Para presentar las alternativas de decisión de un administrador, podemos desarrollar árboles de decisión y tablas de decisión . Los símbolos usados en un árbol de decisión son: a) : : un nodo de decisión desde el cual se pueden seleccionar varias alternativas. b) : un nodo de estado natural desde el cual ocurrirá ese estado. Ejemplo: La Getz Products Company investiga la posibilidad de producir y mercadear cobertizos de almacenamiento para patios. Llevar a cabo este proyecto necesitaría de la construcción de una planta manufacturera grande o pequeña. El mercado para el producto fabricado (cobertizos de almacenamiento) puede ser favorable, moderado o desfavorable. Getz desde luego, tiene la opción de no desarrollar el nuevo producto. Entonces, lo primero que debemos identificar son los tres requisitos para el proceso de toma de decisiones: 1. Las alternativas de decisión (variables controlables). 2. Los estados de la naturaleza (variables incontrolables), y 3. Los resultados asociados a cada combinación de alternativas de decisión y estado de la naturaleza. Así se tienen: 1. Las alternativas de decisión: construir una planta grande (A1), construir una planta pequeña (A2), y no construir (A3). 2. Los estados de la naturaleza: Mercado Favorable (E1), Mercado Moderado (E2) y Mercado Desfavorable (E3). 3. Los resultados asociados a cada combinación de alternativas de decisión y estado de la naturaleza se obtienen de la siguiente información adicional: Con un mercado favorable, unas instalaciones grandes proporcionarían a Getz Products una utilidad neta de $200,000. Si el mercado es moderado la ganancia sería de solo $40,000. Si el mercado es desfavorable, se produciría una pérdida neta de $180,000. Una planta pequeña acarrearía una utilidad neta de $100,000 3
en un mercado favorable; una ganancia de $30,000 en un mercado moderado; pero una pérdida neta de $40,000 si el mercado fuera desfavorable. La tabla de decisión resultante es la siguiente: ESTADOS NATURALES Mercado Mercado Mercado Favorable Moderado Desfavorable (E1) (E2) (E3) ALTERNATIVAS ----------------------------------------------------------------------------------------------------------Construir una planta grande (A1) $200,000 $40,000 -$180,000 Construir una planta pequeña (A2) $100,000 $30,000 -$40,000 No construir (A3) $0 $0 $0 ----------------------------------------------------------------------------------------------------------Se presenta un árbol de decisión para esta situación.
Nodo de Decisión
Nodo de Estado Natural
Mercado Favorable
$200,000
Mercado Moderado
$ 40,000
Mercado Desfavorable
-$180,000
Mercado Favorable
$100,000
Mercado Moderado
$30,000
Mercado Desfavorable
-$40,000 $0
: Construir una planta grande. : Construir una planta pequeña. : No construir
I CRITERIOS PARA LA TOMA DE DECISIONES EN CONDICIONES DE INCERTIDUMBRE Para la toma de decisiones en condiciones de incertidumbre podemos identificar 6 criterios: 1. Criterio de DOMINACION: Considera la eliminación de alternativas de decisión. Si para cada estado natural el valor condicional de la alternativa A1 es al menos tan preferido como el valor condicional A2, entonces la alternativa A2 es dominada e inadmisible y por consiguiente no debe elegirse. Se la elimina de la lista de alternativas de decisión.
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Ejemplo: Un Comerciante tiene 3 alternativas de decisión para invertir con igual capital en tres negocios: Abarrotes (A1), Ferretería (A2), Autopartes (A3), o no invertir (A4). Las proyecciones del PBI para el próximo año son: Aumento del PBI entre 2 y 5% (E1), Sin variación del PBI, o sea 0% (E2), Disminución del PBI entre 2 y 5% (E3). Las utilidades condicionales se presenta en la siguiente tabla de decisión: ESTADOS NATURALES E1 E2 E3 ALTERNATIVAS ---------------------------------------------------------------------------------- Abarrotes (A1) $22,000 $15,000 $8,000 Ferretería (A2) $25,000 $17,000 $10,000 Autopartes (A3) $28,000 $19,000 $11,000 No invertir (A4) $0 $0 $0 ----------------------------------------------------------------------------------Como vemos la alternativa A2 domina a la alternativa A1 porque en todos los estados de la naturales la utilidad de la alternativa A2 es más preferido que la utilidad de la alternativa A1, por tanto se elimina A1 del grupo de alternativas. Con similar criterio A3 domina a A2 por tanto se elimina la alternativa A2. Y por último A3 domina a A4. Por tanto, por el método de dominación la alternativa a elegir es A3. 2. Criterio MAXIMAX: Considera una posición optimista. Se tomará la decisión que, de los beneficios máximos tome el máximo. Primero se encuentra el resultado máximo para cada alternativa, y después se elige la alternativa con el resultado mayor. Para nuestro ejemplo de Getz Products aplicamos este criterio:
A1 A2 A3
E1 $200,000 $100,000 $0
E2 $40,000 $30,000 $0
E3 -$180,000 -$40,000 $0
MAXIMAX $200,000 $100,000 $0
3. Criterio MINIMAX: Considera una posición pesimista. Se tomará la decisión que, de los beneficios mínimos tome el máximo. Primero se encuentra el resultado mínimo para cada alternativa, y después se elige la alternativa con el número mayor. Para nuestro ejemplo de Getz Products aplicamos este criterio:
A1 A2 A3
E1 $200,000 $100,000 $0
E2 $40,000 $30,000 $0
E3 -$180,000 -$40,000 $0
MINIMAX -$180,000 -$40,000 $0
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4. Criterio HURWICZ o Coeficiente : Este es un criterio intermedio entre los anteriores. Considera para cada alternativa ambos valores, el máximo y el mínimo, y obtiene un promedio ponderado (R) de éstos, donde el elemento de ponderación es justamente el coeficiente de optimismo . Así: Valor Valor R = α (optimista) + ( 1- α ) (pesimista) Podemos notar que si α es 1, estamos en el criterio MAXIMAX y si α es 0, el criterio usado es el de MINIMAX. Para el caso de Getz Products aplicamos la fórmula del criterio Hurwicz para cada alternativa: R = Para A1: ($200,000) + ( 1) (-$180,000) (1) = 380,000 α − 180,000 Para A2: R = ($100,000) + ( 1- ) (-$40,000) (2) = 140,000 α − 40,000 Para A3: R = ($0) + ( 1- ) ($0) (3) = 0
Alternativa 0.00 0.10 0.20 0.30 0.40 0.50 A1 -$180,000 -$142,000 -$104,000 -$66,000 -$28,000 $10,000 A2 -$40,000 -$26,000 -$12,000 $2,000 $16,000 $30,000 A3 $0 $0 $0 $0 $0 $0
Alternativa 0.60 0.70 0.80 A1 $48,000 $86,000 $124,000 A2 $44,000 $58,000 $72,000 A3 $0 $0 $0
0.90 $162,000 $86,000 $0
Como vemos, para cada coeficiente de optimismo decisión que hace máximo el promedio ponderado.
1.00 $200,000 $100,000 $0
existe una alternativa de
Es así, que existe un cambio en la elección de alternativa de A3 a A2 cuando el coeficiente de optimismo pasa de 0.20 a 0.30 y otro cambio en la mejor alternativa de A2 a A1 cuando el coeficiente de optimismo cambia de 0.50 a 0.60. Esto se debe a que existe coeficientes de optimismo críticos en la que hace indiferente elegir entre A3 y A2, en el primer caso, y entre A2 y A1 en el segundo caso. Estos coeficientes de optimismo Crítico se hallan igualando las ecuaciones de A3 con A2, en el primer caso y de A2 con A1, en el segundo caso: α ($0) + ( 1- α ) ($0) = α ($100,000) + ( 1- α ) (-$40,000) α = 2/7 = 0.286 α
($100,000) + ( 1- α ) (-$40,000) = α ($200,000) + ( 1- α ) (-$180,000)
6
α
= 7/12 = 0.583
Como podemos apreciar, dependiendo del valor que tome el coeficiente de optimismo tomaremos una diferente decisión, que varia desde la optimista hacia la pesimista. Si α < 0.286, entonces se elige la alternativa de no construir, si α varia entre 0.286 y 0.583 entonces la alternativa a elegir sería construir planta pequeña, y si α > 0.583, entonces se decide construir una planta grande. En el siguiente gráfico se pueden observar las rectas de las ecuaciones (1), (2) y (3). Y que muestran, para diferentes valores del coeficiente de optimismo α, la mejor alternativa a elegir:
200,000
100,000
-40,000
-180,000 5. Criterio LAPLACE o Promedio: Este criterio de decisión encuentra la alternativa con el resultado promedio más alto. Primero se calcula el resultado promedio para cada alternativa, que es la suma de todos los resultados, dividida entre el número de resultados. Después se elige la alternativa con el máximo número. Implícitamente este criterio asume una probabilidad igual para todos los estados de la naturaleza. E1
E2
E3
LAPLACE 7
A1 A2 A3
$200,000 $100,000 $0
$40,000 $30,000 $0
-$180,000 -$40,000 $0
$20,000 $30,000 $0
6. Criterio PESAR MINIMAX o SAVAGE: Savage propuso que el tomador de decisiones debía intentar minimizar su pesar máximo. El pesar se define como la diferencia entre el pago actual y el pago que habría recibido si uno supiera el estado natural que iba a ocurrir. Primero convertimos la matriz de decisión en una matriz correspondiente de pesar, llamada también matriz de pérdida de oportunidad. Esto se hace quitando en cada valor de la matriz de decisión el valor más grande en su columna. El valor más grande en una columna tendrá pesar cero. Para el caso del problema de Getz Products, hallamos la matriz de pesar siguiente: E1 E2 E3 SAVAGE $0 $0 $180,000 $180,000 A1 $100,000 $10,000 $40,000 A2 $100,000 $200,000 $40,000 $0 $200,000 A3
EJERCICIOS 1. Juan quiere incursionar al negocio de periódicos en una esquina cerca de su casa. Para ello hace una pequeña encuesta a sus amigos los canillitas y determina que pueden ocurrir en su demanda cinco estados naturales: Demanda de 10, 11, 12, 13 y 14 periódicos. De acuerdo a estos estados naturales Juan define sus alternativas de decisión: Comprar 10, 11, 12, 13 y 14 periódicos. El valor de compra del periódico es de S/. 1.50 y su precio de venta es de S/. 2.00. a) Determine usted la tabla de decisión con los valores de ganancias condicionales. b) Determine la elección de su mejor decisión según los criterios de DOMINACION, MINIMAX, MAXIMAX y LAPLACE. c) Grafique y determine los valores críticos para el criterio HURWICZ. d) Determine la matriz de Pérdida de oportunidad de Savage y halle la mejor alternativa según este criterio. 2. Un inversionista tiene el objetivo de lograr la máxima tasa posible de retorno. Suponiendo que solamente tiene tres inversiones posibles (sus estrategias): acciones especulativas, acciones de alto grado, o bonos. También suponga que solamente pueden ocurrir tres estados posibles de la naturaleza: guerra, paz y depresión. Ignore todos los problemas de ganancia de capital, impuestos, etc. y suponga que el inversionista ha determinado sus tasas de retorno (en porcentaje)
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para cada uno de las nueve combinaciones alternativa-estado de la naturaleza como se muestra en la tabla. ¿Cuál es la alternativa óptima utilizando los 6 criterios de decisión no probabilístico? Para el criterio Hurwicz considere α = 0.5. Grafique las funciones de cada alternativa y determine los coeficientes α críticos. E1 E2 E3 Guerra Paz Depresión ---------------------------------------------------------- A1: Valores especulativos 20 1 -6 A2: Bonos de alto grado 9 8 0 A3: Bonos 4 4 4 -----------------------------------------------------------3. Se da la siguiente tabla de decisión con sus valores condicionales: E1 E2 E3 E4 E5 ----------------------------------------------------- A1 -100 160 40 200 0 A2 60 80 140 40 100 A3 20 60 -60 20 80 A4 -20 -100 -140 -40 400 A5 10 54 -85 -7 38 -----------------------------------------------------a) ¿Cuál es la alternativa óptima utilizando los 6 criterios de decisión no probabilística? Para el criterio Hurwicz considere la mejor alternativa para α = 0.3, 0.5 y 0.8 y determine los coeficientes α críticos con un gráfico. b) Compare su elección bajo estos diversos criterios. 4. La compañía NEW TOY fabrica los juguetes de madera para niños. La compañía cree que hay una tendencia a preferir juguetes duraderos y que dicha tendencia continuará. Por esta razón debe decidir por tres métodos alternos para surtir la creciente demanda que espera para sus productos. Estas son: reacondicionamiento total de su planta e instalación de maquinaria computarizada para el trabajo en madera (A1), expandir la planta actual y comprar más máquinas (A2) y comprar una planta que la competencia ha puesto en venta (A3). La tabla de beneficios es como sigue:
Alternativas A1 A2 A3 No hacer nada
Alta $30,000 $60,000 $50,000 $3,000
Demanda Moderada $10,000 $20,000 $15,000 $2,000
Baja -$5,000 -$10,000 -$20,000 -$1,000
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La gerencia cree que es difícil determinar las probabilidades de que se tengan demandas alta moderada o baja. ¿Qué decisión tomaría la gerencia de NEW TOY? Determine la mejor alternativa para cada uno de los criterios: Minimax, Maximax, Laplace, Hurwicz con alfa = 0.5 y Savage. 5. Usted es el propietario de un almacén de artículos de tenis y debe decidir cuántas pantalonetas de tenis para hombre debe pedir para la estación de verano. Para un tipo particular de pantaloneta, usted debe pedir lotes de 100. Si pide 100 pantalonetas, su costo es de $10 por unidad. Si pide 200 su costo es de $9 por unidad, y si pide 300 ó más su costo es de $8.50 o más. Su precio de venta es de $12, pero si algunas se quedan sin vender al final del verano, éstas deben venderse a mitad de precio. Por sencillez, usted cree que la demanda de esta pantaloneta es 100, 150 ó 200. Es claro, que usted no puede vender más de lo que almacena. Sin embargo si se queda corto hay una pérdida de buen nombre de $0.50 por cada pantaloneta que una persona desee comprar pero que no pueda hacerlo por no tenerla en el almacén. Además, usted debe colocar el pedido ahora, para la estación de verano venidera; y no puede esperar a observar como varía la demanda de esta pantaloneta antes de pedir, ni se pueden colocar varios pedidos. Determine la mejor alternativa para cada uno de los criterios: Minimax, Maximax, Laplace, Hurwicz con alfa = 0.5 y Savage. Haga el análisis de sensibilidad del criterio Hurwicz. 6. La demanda de un determinado producto puede ser 150, 220, 300, 450 ó 500. Suponga que usted compra la producción necesariamente en lotes de 150 unidades a los siguientes precios: 150 unidades a $10 la unidad 300 unidades a $8 la unidad 450 unidades ó más a $6 la unidad. Por otro lado, el precio de venta al público es de $13.50 la unidad, variando éste en función de la demanda que se presenta. Así tenemos que si la demanda supera a la oferta, se puede conseguir un precio de $14 la unidad, en caso contrario (si la oferta supera a la demanda) se consigue un precio de $13 la unidad, además de la consiguiente pérdida de este excedente. Finalmente, considere que usted es el único que oferta el producto al mercado. Determine la mejor alternativa para cada uno de los criterios: Minimax, Maximax, Laplace, Hurwicz con alfa = 0.5 y Savage. Haga el análisis de sensibilidad del criterio Hurwicz. 7. Don J.J.K. está en el negocio de la construcción y está planeando invertir en condominios en las afueras de la ciudad. El terreno que ha visto para uno de estos 10
desarrollos, cuesta $600,000. El desarrollo de áreas comunes (piscina, jardines, juegos para niños, etc.), costará $400,000. Las unidades de vivienda tienen un costo de $30,000 y se espera sean vendidas a $80,000. El problema es decidir si se construye o no y cuántas unidades. Si la demanda es alta, podrá vender 40 unidades sin ningún problema. Si la demanda es media, sólo podrá vender 30 unidades. Si tuviese más unidades construidas, se podría hacer un “dumping” de las unidades restantes perdiendo finalmente $5,000 por cada una de éstas. Por último, si la demanda es pequeña se venderán 20 unidades. En este caso, también podremos vender las otras unidades con la pérdida de $5,000. Construya la tabla de decisión y determine la mejor alternativa para cada uno de los criterios: Minimax, Maximax, Laplace, Hurwicz con alfa = 0.5 y Savage. Haga el análisis de sensibilidad del criterio Hurwicz. 8. Carmen Martinez es compradora de una tienda de departamentos y se encarga de la línea de ropa para damas. Está tratando de decidir cuantas docenas de vestidos comprar para la próxima temporada. Cada docena vendida durante la temporada le genera a la tienda normalmente una utilidad $1,500. Cuando la oferta es mayor que la demanda, tenemos que bajar los precios por lo que nuestra utilidad baja a $900 por docena; pero si la demanda supera a la oferta, podemos cobrar más y la utilidad se eleva a $2,050. Cada docena no vendida tiene al final de la temporada un costo para la tienda de $300. Carmen piensa que la demanda de vestidos en dicha temporada, será de 4, 5, 6, ó 7 docenas. ¿Cuántas docenas deberá pedir Carmen si aplicamos los seis criterios de toma de decisiones en condición de incertidumbre? 9. Usted es dueño de un concesionario de Fútbol, y tiene la licencia para vender helados, gaseosas y sandwiches en los juegos de fútbol del Estadio Nacional. Para el día domingo se enfrentan la “U” y Alianza Lima en el Estadio Nacional. Es un partido decisorio para las aspiraciones del campeonato nacional de cada equipo. La venta previa de entradas al juego indicaba que si el tiempo era bueno se podría esperar una asistencia de 40,000 personas. Por otra parte hubo lluvia continua durante el sábado y, según la predicción meteorológica llovería el día del juego. Se esperaba una asistencia de sólo 10,000 personas si la lluvia resultaba muy fuerte. El concesionario debe ordenar sus alimentos a su proveedor un día antes del juego. Generalmente ordenaba basándose en un costo de S/.1.00 por persona asistente, lo cual había resultado bastante preciso en el pasado. El precio de venta lo fijaba como el doble del costo. Generalmente podía recuperar el 20% de 11
cualquier cosa que no hubiera podido vender. El personal permanente y el transporte de la mercadería implican un costo fijo de S/.500. Según la cantidad de personas asistentes al estadio usted contrata personal de ventas y les paga 2% de lo que vendan. a) Haga una tabla de decisión para el problema considerando una asistencia de 10.000, 20.000, 30.000 y 40.000 personas. b) Determine la mejor alternativa para cada uno de los criterios: Minimax, Maximax, Laplace, Hurwicz con alfa = 0.5 y Savage. 10. Su proveedor quiere compartir el riesgo con usted y le ofrece enviarle el pedido máximo (o sea para 40.000 personas) como consignación a cambio de compartir con usted una de las siguientes dos opciones: Opción 1: El 40% de las utilidades netas. Opción 2: El 10% de las ventas brutas. a) Aumente estas dos opciones a la tabla de la pregunta 1, como alternativas de decisión 5 y 6. b) Determine la mejor alternativa para cada uno de los criterios: Minimax, Maximax, Laplace, Hurwicz con alfa = 0.5 y Savage. c) Analice todas las alternativas y determine su mejor decisión. d) Haga el análisis de sensibilidad del criterio Hurwicz.
II CRITERIOS PARA LA TOMA DE DECISIONES EN CONDICIONES DE RIESGO Existen solo dos criterios. Pero antes se debe tener claro las siguientes definiciones: Varios estados naturales pueden ocurrir, cada uno con una probabilidad. Para asignar las probabilidades se debe cumplir la condición que los eventos sean mutuamente excluyentes y colectivamente exhaustivos, vale decir dado los estados naturales E1, E2, ...., En, se debe cumplir que éstos sean mutuamente excluyentes, si la ocurrencia de un evento excluye la ocurrencia de otro u otros: Ei ∩ Ej = Φ para i ≠ j; y colectivamente exhaustivos , si la lista de eventos contiene todos los resultados posibles y al menos uno debe ocurrir: E1 + E2 + ....+ En = U Conceptualmente, existen tres maneras de determinar la probabilidad de un estado natural: objetiva, experimental y subjetiva.
Probabilidad Objetiva: También llamada probabilidad lógica, es la usualmente basada sobre la consideración de lo empíricamente evidente y que involucran el uso de objetos físicos. Por ejemplo, la posibilidad de obtener un 4 al lanzar un dado no cargado es 1/6. Involucra todas las probabilidades en los juegos de azar. Esta metodología no es apropiada para tratar problemas económicos o administrativos.
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Probabilidad Experimental: Llamada también frecuencia relativa de un evento o estado natural. Esta probabilidad supone que una misma situación pueda repetirse varias veces, y, sobre todo, se presume que tal situación no cambiará en el futuro. Sea E el suceso en cuestión, entonces la aproximación de la frecuencia relativa para asignar la probabilidad de E está dada por la fórmula: P(E) = Número de pruebas (veces) que E ocurrió Número total de pruebas Ejemplo: Para determinar la demanda por docena de ciertas rosquillas se hizo un experimento por un período de 100 días para registrar diariamente la cantidad de docenas que se vendían por lo que se obtuvo la siguiente tabla que incluye la asignación de probabilidad experimental: Nro. de dias Demanda Diaria Frecuencia Relativa de venta (docenas) (Probabilidad) ------------------------------------------------------------------------------5 40 0.05 10 41 0.10 10 42 0.10 20 43 0.20 20 44 0.20 15 45 0.15 15 46 0.15 5 47 0.05 ---------------------100 días 1.00
Probabilidad Subjetiva: Es la medida asignada a la valoración subjetiva hecha por un individuo de la probable ocurrencia de un evento. Se basa en la información de que dispone esta persona en un momento dado, es decir en su estado de información. Así, por ejemplo, si se desea determinar la probabilidad de que el PBI del próximo año aumente 6%, uno no puede calcular la probabilidad objetiva de ello, ni tampoco idear un experimento que proporcione una frecuencia relativa. En estos casos la probabilidad subjetiva es la manera relevante (y en muchas situaciones la única) de asignar probabilidades a un evento. La idea fundamental en este tipo de asignación es que la probabilidad es un número que usamos para describir nuestra certeza sobre la ocurrencia de un evento. El grado de certidumbre depende de la información de que disponemos con respecto al evento. Al depender esa medida del estado de información, ella puede cambiar con la disponibilidad de nueva información y puede variar entre diferentes individuos.
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1. Criterio del Máximo Valor Monetario Esperado (VME) Dada una tabla de decisión con valores condicionales y de probabilidad para todos los estados de la naturaleza, podemos determinar un valor monetario esperado (VME) para cada alternativa. Si nosotros pudiéramos tomar la decisión un gran número de veces el VME representa el valor promedio para cada alternativa. El VME, para una alternativa, es la suma de los posibles resultados de la alternativa, cada una ponderada por la probabilidad de ocurrencia de tal resultado. VME (Alternativa i ) = (Resultado del 1er estado natural) x (Probabilidad del 1er estado natural) + (Resultado del 2do estado natural) x (Probabilidad del 2do estado natural) + ....+ (Resultado del último estado natural) x (Probabilidad del último estado natural) Aplicando este criterio al ejemplo de Getz Products, el gerente de Investigación de Mercados de Getz Products cree que la probabilidad de un mercado favorable es 0.30, la probabilidad de un mercado moderado es 0.30, y la de un mercado desfavorable es 0.40. Entonces el VME para cada alternativa de decisión es la siguiente: VME (A1) = (0.30)($200,000) + (0.30)($40,000) + (0.40)(-180,000) = $0 VME (A2) = (0.30)($100,000) + (0.30)($30,000) + (0.40) (-40,000) = $23,000 VME (A3) = (0.30)($0) + (0.30)(0) + (0.40) ($0) = $0
A1 A2 A3
0.30 E1 $200,000 $100,000 $0
0.30 0.40 E2 E3 VME $40,000 -$180,000 $0 $30,000 -$40,000 $23,000 $0 $0 $0
El valor máximo de VME se encuentra en la alternativa A2. Por consiguiente, según este criterio se construiría una planta pequeña. El árbol de decisión completo y resuelto para Getz Products se presenta a continuación:
Valor Monetario Esperado
$0
M. Favorable
$200,000
M. Moderado 14
$ 40,000 $23,000
M. Desfavorab.
-$180,000
M. Favorable
$100,000
M. Moderado
$30,000
M. Desfav.
-$40,000 $0
2. Criterio de la Mínima Pérdida Esperada de Oportunidad (PEO) Para este criterio se utiliza la matriz de pérdida de oportunidad de Savage. El cálculo se hace de manera análoga al cálculo del valor monetario esperado. Esto es, utilizamos las probabilidades de los eventos como ponderadores y determinamos la pérdida de oportunidad promedio para cada alternativa. El objetivo es seleccionar la alternativa que tenga la mínima PEO. PEO (Alternativa i ) = (Pesar del 1er estado natural) x (Probabilidad del 1er estado natural) + (Pesar del 2do estado natural) x (Probabilidad del 2do estado natural) +....+ (Pesar del último estado natural) x (Probabilidad del último estado natural).
A1 A2 A3
MATRIZ SAVAGE 0.30 0.30 0.40 E1 E2 E3 $0 $0 $180,000 $100,000 $10,000 $40,000 $200,000 $40,000 $0
PEO $72,000 $49,000 $72,000
Una particularidad de estos dos métodos es que la suma del Valor monetario esperado con la pérdida esperada de oportunidad de cada alternativa nos da una constante = $72,000, que viene a ser el Valor Esperado Bajo Certeza, que lo veremos más adelante.
Análisis de Sensibilidad En el proceso de toma de decisiones bajo riesgo, las probabilidades de ocurrencia de los diferentes valores de las variables de estado de la naturaleza afectan el cálculo del valor esperado y, por tanto, la elección de la alternativa óptima. Los decisores o sus expertos evalúan estas probabilidades sobre la 15
base de la información acumulada en experiencias previas. Sin embargo, es frecuente que en un problema de decisión se enfrenten situaciones nuevas y no se tengan experiencias previas para estimar las probabilidades relacionadas con tales circunstancias. En estos casos el análisis de sensibilidad respecto a las probabilidades ofrece al decisor una herramienta para determinar cuán dependiente es la decisión de los valores de las probabilidades utilizadas en el modelo. Para el caso de Getz Products ¿Entre qué límites puede variar la probabilidad de que el mercado sea favorable sin que la decisión óptima de construir una planta pequeña cambie? Así, si la probabilidad de enfrentar un mercado favorable fuera 0.40 en lugar de 0.30, ¿resultaría todavía conveniente construir una planta pequeña?. Para ello se determina un rango de la probabilidad del mercado favorable en el cual la alternativa de construir una planta pequeña sea la más rentable. Para determinar este rango supondremos arbitrariamente que la probabilidad de mercado moderado (E2) se mantendrá constante (en 0.30) y por tanto las variaciones en la probabilidad de mercado favorable (E1) estará compensada con las variaciones en la probabilidad de mercado desfavorable (E3). Con este supuesto podemos establecer el punto donde el valor monetario esperado de construir una planta pequeña es igual al valor monetario esperado de construir una planta grande (VME(A1) = VME(A2)), es decir aquel punto donde resulta indiferente construir una planta pequeña y una planta grande. Si definimos la P(E1) = X, y sabemos que P(E2) = 0.30, entonces la P(E3) = 0.70 – X. Así para hallar los respectivos VME tendremos: VME(A1) = (X) ($200,000) + 0.30 ($40,000) + ( 0.70 - X ) (-$180,000) (1) VME(A2) = (X) ($100,000) + 0.30 ($30,000) + ( 0.70 - X ) (-$40,000) (2) VME(A3) = (X) ($0) + 0.30 ($0) + ( 0.70 - X ) ($0) (3) Reduciendo los VME a una ecuación lineal , tenemos: VME(A1) = $380,000 X – $114,000 (1) VME(A2) = $140,000 X – $19,000 (2) VME(A3) = $0 (3) En el siguiente gráfico se ilustra las ecuaciones (1), (2) y (3) y notamos que las intersecciones de las rectas de alternativas son puntos en que los VME son iguales. X VME (A1) VME (A2) VME (A3) 0.00 -$114,000 -$19,000 $0 0.70 $152,000 $79,000 $0
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152,000 79,000
-19,000
-114,000
Como vemos, aparte de preocuparnos por determinar el punto de indiferencia entre construir una planta grande (A1) y construir una planta pequeña (A2), también notamos que existe un punto de indiferencia entre construir una planta pequeña (A2) y no construir (A1). Para hallar estos valores lo único que debemos hacer es igualar VME(A1) = VME(A2) y VME(A2) = VME (A1), respectivamente, y obtenemos los valores del gráfico. Entonces el rango de probabilidad de mercado favorable que me permite elegir la alternativa de no construir varia de 0 a 0.135. De 0.135 a 0.395 se elegirá la alternativa de construir una planta pequeña y de 0.395 a 0.700, se elegirá la alternativa de construir una planta grande. Valor esperado de la información perfecta (VEIP) Ahora suponga que el administrador de Investigación de mercados de Getz Products ha estado en comunicación con una empresa de investigación de mercado que propone ayudarle a tomar la decisión sobre si construir o no la planta para producir cobertizos de almacenamiento. Los investigadores de mercado insisten en que su análisis técnico le dirá a Getz con certeza si el mercado es favorable o no para el producto propuesto. Esta información puede prevenir que Getz Products cometa un error muy caro. Le empresa de investigación de mercado cobraría a Getz $50,000 por la información. ¿Qué recomendaría a Getz? ¿Debe el administrador de Investigación de mercados contratar a la empresa para hacer el estudio de
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mercado? Aún si la información del estudio es totalmente exacta, ¿vale $50,000?, ¿cuánto puede costar? Si un administrador es capaz de determinar cuál estado natural va a suceder, también sabe qué decisión puede tomar. Una vez que el administrador conoce qué decisión tomar, el resultado se incrementará porque ahora es una certeza y no una probabilidad. El conocimiento de la ocurrencia del estado natural tiene un valor de información, que se determina como la diferencia entre el resultado bajo certeza y el resultado bajo riesgo, y este se llama valor esperado de la información perfecta (VEIP). VEIP = Valor esperado bajo certeza (VEBC) - VME máximo Para encontrar el VEIP, primero se debe computar el valor esperado bajo certeza (VEBC) que es el retorno esperado o promedio, si se tiene información perfecta antes de tomar la decisión. Para calcular este valor, se elige la mejor alternativa para cada estado natural y su resultado se multiplica por la probabilidad de ocurrencia de tal estado natural. Valor esperado bajo certeza = (Mejor salida del 1er estado natural) x (Probabilidad del 1er estado natural) + (Mejor salida del 2do estado natural) x (Probabilidad del 2do estado natural) +....+ (Mejor salida del último estado natural) x (Probabilidad del último estado natural) Para el caso de Getz Products la mejor salida para el estado natural “mercado favorable” es “construir una planta grande” con un resultado de $200,000. La mejor salida para el estado natural “mercado moderado” es “construir una planta grande” con un resultado de $40,000. La mejor salida para el estado natural “mercado desfavorable” es “no hacer nada” con un resultado de $0. VEBC = ($200,000)(0.30) + ($40,000)(0.30) + ($0)(0.40) = $72,000. Entonces, si se tuviera información perfecta, se esperaría (en promedio) $72,000 si la decisión pudiera repetirse muchas veces. El VME máximo es $23,000, que es la salida esperada sin la información perfecta. Por tanto: VEIP = Valor esperado bajo certeza (VEBC) - VME máximo = $72,000 - $23,000 = $49,000 De este modo, lo más que Getz Products debe estar dispuesto a pagar por información perfecta es $49,000.
EJERCICIOS 1. El precio posible de las acciones clase “B” de Telefónica para mañana será o más alto, el mismo o inferior. ¿Son todos estos eventos mutuamente excluyentes?
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¿Colectivamente exhaustivos? ¿Hay algún error en asignar probabilidades previas de 0.4, 0.5 y 0.2, respectivamente? 2. El propietario de una tienda de tenis encuentra que en su primer mes de negocios ha vendido 125 raquetas de tenis de madera, 50 raquetas de aluminio y 25 raquetas de acero. Basados solamente en estos datos, ¿qué distribución de probabilidad previa formularía para este tipo de raquetas de tenis vendidas? ¿Qué tipo de probabilidad es? 3. Una empresa electrónica está tratando de decidir si debe producir o no un nuevo sistema de beepers. La decisión de producirlo significa una inversión de 5 millones de dólares y no se conoce la demanda de este instrumento. Si la demanda es alta, la empresa espera un rendimiento de 11 millones de dólares. Si la demanda es moderada, el rendimiento será de 7.4 millones de dólares; y si la demanda es baja significaría un rendimiento de sólo 4.2 millones de dólares, que no alcanzaría a cubrir los gastos de inversión. Se estima que la probabilidad de obtener una demanda baja es de 0.1, mientras que la probabilidad de una demanda alta es de 0.5. a) Determinar la tabla de decisión y dibuje el árbol de decisión respectivo. b) Si la compañía se basa en el criterio del valor esperado, ¿Debería efectuar la inversión? c) Un miembro del directorio propuso que se tome una muestra para estimar la demanda real. ¿Cuál es el monto máximo que se debe pagar por ese estudio? d)¿Entre qué límites puede variar la probabilidad de que la demanda sea alta sin cambiar la decisión elegida en (a)? 4. Una vez al día un vendedor al menudeo almacena ramos de flores recién cortados, cada uno de los cuales le cuesta $0.40 y lo vende en $1. El detallista nunca rebaja el precio de venta; las flores sobrantes las regala a una iglesia cercana. El vendedor al menudeo estima en la forma siguiente las características de la demanda: 0 1 2 3 4 5 ó más DEMANDA : 0.05 0.20 0.40 0.25 0.10 0.00 PROBABILIDAD : a) ¿Cuántas unidades debe mantener en existencia con el fin de maximizar las utilidades esperadas? ¿Por qué? b) Calcule el importe máximo que el vendedor al menudeo estaría dispuesto a pagar por una predicción infalible con relación al número de unidades a vender en algún día determinado. 5. Suponga que la persona encargada de tomar una decisión, el gerente Mark Eastman, tiene que decidir entre comprar dos máquinas moldeadoras, la M1 y la M2. Cada una de las máquinas se utilizará para producir un juguete de recuerdo. La M2 desperdicia menos material y usa menos mano de obra directa, pero cuesta más su adquisición y el mantenimiento. Para mayor sencillez suponga que cada una de las máquinas tiene una vida útil de un año. Las utilidades en operación para M1 será un márgen unitario de contribución de $20. El costo fijo de adquirir y
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mantener M1 es de $15,000. Si se adquiere la máquina M2 el margen unitario de contribución aumenta hasta $24 debido a que se utilizarán menos costos de producción variables, pero el costo fijo aumenta hasta $21,000 debido a que M2 es una máquina más complicada.Eastman piensa que existe una probabilidad del 40% de que la demanda futura será igual a 1,200 unidades y una probabilidad del 60% ded que será igual a 2,000 unidades. a) Calcule el valor monetario esperado y determine cual máquina comprar, M1 ó M2. b) Suponga que el personal de mercadotecnia actual de Eastman tiene un exceso de trabajo en estos momentos, pero él puede contratar a una consultora, Mary O’Leary, para estudiar la situación de la demanda. Suponga que ella tiene el talento para hacer predicciones perfectas o impecables en estos asuntos ¿Cuál es el importe máximo que debe estar dispuesto a pagar Eastman por la sabiduría infalible de la consultora? 6. El Gerente de una planta manufacturera que produce un artículo para el cual la demanda es muy variada, debe decidir entre comprar una nueva máquina para cierta línea de montaje o reparar la máquina que actualmente presta servicio en esa línea. El costo de la compostura es de 600 dólares, mientras que el costo de la nueva máquina es de 7,000 dólares. Con la máquina nueva, el costo variable de producción por artículo es $0.70; con la máquina reparada el costo variable unitario es $1.00. El artículo se produce a medida que es demandado, para no quedar con excedentes. El precio de venta de cada unidad del artículo es de 2 dólares y el Gerente estima que la demanda ocurrirá de acuerdo con la siguiente distribución: --------------------------------------------------------------------------------------Demanda 5,000 10,000 25,000 50,000 Probabilidad 0.2 0.4 0.3 0.1 --------------------------------------------------------------------------------------a) Si el objetivo del Gerente es maximizar las ganancias esperadas de la planta, ¿Cuál es la decisión óptima? Haga una tabla de decisión con las ganancias condicionales. Explique el significado del criterio del valor monetario esperado en este problema. b) ¿Cuál es el valor esperado de la información perfecta respecto al nivel de demanda? c) Suponga que el Gerente tiene además la alternativa de comprar otra máquina, que cuesta $4,000 y tiene un costo de operación por unidad de $0.80. ¿Cuál es ahora la decisión óptima? d) Con esta nueva información.¿Cuál es el valor máximo que pagaría usted por conocer que evento va a ocurrir? e) Haga un árbol de decisión incluyendo la información de la parte c). f) A la nueva tabla de decisión aplique el criterio de la Mínima Pérdida esperada (POE). 7. Una compañía petrolera posee tierras que se supone contienen petróleo en el subsuelo. La compañía clasifica estas tierras en cuatro categorías según el número total de barriles que se espera obtener, esto es, un pozo de 500.000 20
barriles, uno de 200.000 barriles, uno de 50.000 barriles o un pozo seco, sus probabilidades de ocurrencia son 0.10, 0.15, 0.25 y 0.50 respectivamente. La compañía se enfrenta al dilema de perforar o no, o de rentar la tierra incondicionalmente a un perforista independiente o rentársela condicionada a la cantidad de petróleo que se encuentre. El costo de la perforación de un pozo productivo es $100,000 y el costo de la perforación de un pozo seco es $75,000. Si el pozo es productivo, la ganancia por barril de petróleo es de $1.50 (después de deducir los costos de producción). Si se hace un contrato incondicional, la compañía recibe $45,000 por la renta de la tierra, mientras que con el contrato condicional, recibe 50 centavos por cada barril de petróleo extraído, siempre que el pozo sea de 200.000 ó 500.000 barriles; de otra manera no recibe nada. a) Haga una tabla de decisión del problema. b) Según el criterio del Valor Monetario Esperado ¿Qué alternativa es la mejor? c) Haga correctamente el árbol de decisión del problema e indique la mejor alternativa según el criterio del Valor Monetario Esperado. ¿Cuánto es lo máximo que está dispuesto a pagar la compañía para saber si la tierra es rica en petróleo? 8. El Gerente General de BASA tiene que decidir cuantas máquinas M1 ó M2 debe adquirir para la producción de un nuevo producto para el hogar. El gerente está interesado en adquirir como mínimo dos máquinas (ya sea de M1, M2 o la combinación de ambas), y como máximo las máquinas que se pueden adquirir con el dinero disponible. Para ello BASA tiene en el Banco Continental un crédito aprobado y disponible por $280,000 destinado para la adquisición de Bienes de Capital (maquinarias). Este dinero tiene un plazo de pago de un año y su interés es del 20% anual. El Departamento de Investigación de Mercado estima, para este nuevo producto, una distribución de probabilidad de la demanda anual siguiente: Probabilidad 0.5 0.3 0.2 Demanda 80000 u. 120,000 u. 150,000 u. El precio unitario estimado de este nuevo producto es de $10. Las características económicas de cada máquina se tiene en la siguiente tabla: M1 M2 Costo de Adquisición $75,000 $120,000 Costo de Mantenimiento anual $15,000 $20,000 Costo de producción unitario $5 $3 Capacidad de producción anual 40,000 unid. 65,000 unid. Si existiese una demanda insatisfecha habría un costo de pérdida de mercado equivalente a $2 por unidad no atendida. Suponga que se produce de acuerdo a la demanda. a) Determine las alternativas de decisión. b) Haga la tabla de decisión. c) Determine la mejor decisión de acuerdo al criterio de máximo VME. d) ¿Cuánto estaría dispuesto pagar BASA para saber que evento va a ocurrir?
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9. Un fabricante produce artículos que tienen una probabilidad p de salir defectuosos. Se forman lotes de 150 artículos con ellos. La experiencia indica que el valor de p es 0.05 o 0.25 y que en el 80% de los lotes producidos p es igual a 0.05 (de manera que p es igual a 0.25 en el 20% de los lotes). Estos artículos se utilizan después de en un ensamble y en última instancia, su calidad se determina antes de que el producto final deje la planta. En principio el fabricante puede ya sea inspeccionar cada artículo de lote a un costo de $10 por artículo y reemplazar los defectuosos, o bien utilizarlos sin inspección. Si se elige esta acción, el costo al tener que volver a hacer el ensamble es $100 por artículo defectuoso. a) Determine la alternativas de decisión y los eventos. b) Determine la tabla de decisión. c) Determine la mejor decisión según el criterio de VME. d) ¿Cuánto estaría dispuesto a pagar para saber cuantos y cuáles defectuosos tiene el lote?
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Ejemplo: La compañía de Manufacturas Eléctricas (CME) produce aparatos de aire acondicionado. CME debe decidir si comprar un componente importante para su producto final de un abastecedor, fabricarlo en su propia planta. De acuerdo con la administración de CME, los posibles valores de la demanda por su producto final pueden ser altos, medios o bajos. Utilizando la mejor información disponible, la administración de CME ha estimado las ganancias netas para este problema, las cuales se muestran en el siguiente cuadro: Deman Deman Demand da da a Alta Media Baja (E1) (E2) (E3) Fabricación del componente (A1) 130 40 -20 Compra del componente (A2) 70 45 10 De acuerdo con la experiencia de la administración de CME, se asignó una probabilidad de ocurrencia de 0.30 al nivel alto de demanda, 0.30 a la demanda media y 0.40 a la probabilidad de una demanda baja por el producto final. Determine que alternativa debe elegir a través del criterio de máximo valor monetario esperado. VME A1 43 A2 38.5 Para el caso de CME, en el análisis de sensibilidad nos preguntamos: ¿entre qué límites puede variar la probabilidad de que la demanda sea alta (E1) sin que la decisión óptima de fabricar el componente (A1) cambie? Así, si la probabilidad de enfrentar una demanda alta fuera de 0.25 en lugar de 0.30, ¿resultará todavía conveniente fabricar el componente? Usaremos el análisis de sensibilidad para establecer el rango de la probabilidad de E1 en el cual la alternativa de fabricar sigue siendo la más rentable. Para determinar este rango supondremos arbitrariamente que la probabilidad de E2 se mantendrá constante en 0.30 y por tanto la variación en la probabilidad de E1 se verá compensada por variaciones en la probabilidad de E3. Con este supuesto podemos establecer el punto donde el valor monetario esperado de fabricar es igual al valor monetario esperado de comprar (VME(A1) = VME(A2)), es decir, aquel punto donde resulta indiferente fabricar o comprar el componente. VME(A1) = 130 (X) + 40 (0.30) – 20 (0.70 – X) = 150 X – 2 VME(A2) = 70 (X) + 45 (0.30) + 10 (0.70 – X) = 60 X + 20.5
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X 0 0.7
VME(A1) -2 103
VME(A2) 20.5 62.5
Se iguala las dos ecuaciones para hallar el punto de indiferencia: 150 X – 2 = 60 X + 20.5 X = 0.25
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