Mis Notas de Clase Razonamiento Cuantitativo Mayo 18 de 2015

Razonamiento Cuantitativo

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José F. Barros Troncoso

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Con especial cariño a mi madre Delva por su crianza, por la semilla que sembraste en mí, a Lilia mi esposa, por su apoyo, estimulo, comprensión y sacrificio, a mis hijos porque son mi fuente de inspiración, a todas aquellas personas que han creído en mi trabajo y que me han dado la oportunidad de seguir creciendo cada día y a mis estudiantes a quienes va dirigido este trabajo. Gracias José Francisco Barros Troncoso Mayo 1 de 2015

TABLA DE CONTENIDO INTRODUCCIÓN5 LA MATEMÁTICA6 LÓGICA¡Error! Marcador no definido. Conectivos Lógicos8 La Negación8 La Disyunción9 La Conjunción10 El Condicional11 Tipos de Condicionales12 Pensamiento Cuantitativo

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El Bi-condicional12 Interpretación oracional Idiomática14 Diagrama de Verdad de las proposiciones Compuestas15 Tablas de Verdad15 Equivalencia Lógica: Algebra de proposiciones16 INFERENCIA18 Reglas de Inferencia18 Modus Ponendo Ponens (PP)18 Doble Negación (DN)19 Modus Tollendo Tollens (TT)19 Modus Tollendo Ponens (TP)19 Regla de Simplificación (S)20 Regla de Adjunción (A)20 Regla de Adición (LA)20 Regla del Silogismo Hipotético (SH)21 Regla del Silogismo Disyuntivo (SD)21 Regla de la Simplificación Disyuntiva22 Conmutativas (LC)22 Leyes de Morgan (LM)22 Reglas de las Proposiciones Bicondicionales22 CUANTIFICACIÓN DE ENUNCIADOS24 Cuantificador Existencial25 Negación de los Cuantificadores25 CLASIFICACIÓN DE LAS PROPOSICIONES CATEGÓRICAS POR LA CUALIDAD Y LA CANTIDAD.25 Las proposiciones categóricas25 EL CUADRADO DE LA OPOSICIÓN DE LAS PROPOSICIONES. INFERENCIAS QUE SE BASAN EN ÉL 26 CONJUNTO28 Número de Elementos de un Conjunto30 EL NÚMERO38 Sistema de Numeración Maya¡Error! Marcador no definido. Evolución del Número39 Los Operadores40 Reglas de prioridad de los operadores aritméticos41 Criterios de Divisibilidad42 SISTEMAS DE NUMERACIÓN44 NÚMEROS REALES44 NUMEROS ENTEROS48 Ley de los signos48 NUMEROS RACIONALES51 Definición51 Principio fundamental de los Racionales51 Adición y sustracción de números Racionales 52 Multiplicación de los Racionales54 División de los Racionales54 Pensamiento Cuantitativo

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Ecuaciones con números Racionales54 NÚMERO DÉCIMAL60 Adición y sustracción de Números Decimales61 Multiplicación de Números Decimales61 División de los Números Decimales61 NÚMERO IRRACIONAL63 NÚMEROS COMPLEJOS64 La unidad imaginaria 𝒊64 Números Complejos65 Suma y diferencia de números complejos65 Multiplicación de números complejos65 RAZÓN Y PROPORCIÓN66 Razón66 Proporción67 Cuarto proporcional68 Magnitudes directamente proporcionales69 Aplicaciones de la proporcionalidad directa 69 Regla de tres simple y directa69 Porcentaje71 Magnitudes inversamente proporcionales75 Aplicaciones de la proporcionalidad inversa75 Regla de tres simple inversa75 Regla de tres compuesta78 Repartos Directamente Proporcionales82 Repartos Inversamente Proporcionales84 SISTEMAS DE MEDIDAS87 Conceptos Básicos87 Tipos de unidades de medidas87 El sistema métrico decimal88 Unidades de Longitud89 PERIMETRO91 POLÍGONOS91 Unidades de Longitud del Sistema Ingles96 ÁREA97 Áreas de figuras Planas97 Unidades de Área o Superficie99 Unidades Agrarias103 VOLUMEN105 Volumen de Figuras del Espacio105 Unidades de Volumen107 UNIDADES DE CAPACIDAD109 UNIDADES DE MASA112 UNIDADES DE TIEMPO113 POTENCIACIÓN115 RADICACIÓN119 Pensamiento Cuantitativo

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LOGARITMACIÓN124 Tipos de Logaritmos125 EXPRESIONES ALGEBRAICAS127 CONCEPTOS BÁSICOS127 ÁLGEBRA127 ECUACIONES143 Escritura de Expresiones y Ecuaciones150 SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES154 Método de Igualación154 Método de Sustitución155 Método de Eliminación156 Por Determinante157 ECUACIONES CUADRÁTICAS163 Solución de ecuaciones cuadráticas163 ECUACIONES CON RADICALES167 ECUACIONES EXPONENCIALES169 ECUACIONES LOGARÍTMICAS171 DESIGUALDADES172 INECUACIONES LINEALES173 FUNCIÓN176 Representación de una Función176 Imagen de una Función181 GRÁFICA DE FUNCIONES184 FUNCIÓN LINEAL186 FUNCIÓN POLINÓMICA DE GRADO SUPERIOR A DOS196 FUNCIÓN EXPONENCIAL197 FUNCIÓN LOGARÍTMICA200 FUNCIÓN COCIENTE o RACIONAL207 FUNCIÓN POR PARTES O POR TROZOS210 BIBLIOGRAFÍA217 Web grafía217 Biografía del Autor218

INTRODUCCIÓN La presente compilación es fruto de la experiencia obtenida durante 21 años de servicio en la educación en diferentes instituciones académicas en Maicao, Riohacha (Guajira) y en Santa Marta, en los niveles de básica, media, técnica, tecnológica y profesional. La propuesta busca dar sentido a la matemática en otros contextos, que el estudiante le dé una mirada distinta a la que tradicionalmente le atribuye, por las dificultades de su aprendizaje, que la reconozca como una herramienta fundamental para el desarrollo del pensamiento lógico del ser humano y el desarrollo de la sociedad. Pensamiento Cuantitativo

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El propósito de la propuesta busca exponer los conocimientos básicos de la matemática en forma sencilla, lógica, crítica y analítica utilizando herramientas modernas que faciliten que faciliten el aprendizaje y poder expresarlo en diferentes situaciones problemas sociales y económicos. Para el desarrollo del módulo se plantean las siguientes estrategias metodológicas: Integrar el marco conceptual y el trabajo manual a ejercicios prácticos de su vida cotidiana. Mostrar al estudiante ejercicios prácticos, que estimulen el pensamiento crítico. Proporcionar situaciones problemas complejas que ejerciten la construcción de conocimiento, que permite discernir sobre la base conceptual. Complementar los temas tratados a través de ejercicios prácticos utilizando herramientas informáticas, en procura de reforzar, clasificar y analizar los diferentes conocimientos.

LA MATEMÁTICA ¿Qué es MATEMÁTICA? Del latín. Mathematĭca, y este del griego τὰ μαθηματικά, derivado de μάθημα, que significa ciencia, conocimiento, aprendizaje La matemática es la ciencia que mejor conocemos porque el número es una creación humana. La matemática es un modo de pensar, un modo de razonar. Se puede usar para comprobar si una idea es cierta, o por lo menos, si es probablemente cierta. La matemática es un campo de exploración e invención, en el que se descubren nuevas ideas cada día, y también es un modo de pensar que se utiliza para resolver toda clase de problemas en las ciencias, el gobierno y la Pensamiento Cuantitativo

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industria. Es un lenguaje simbólico que es comprendido por todas las naciones civilizadas de la tierra. ¡Hasta ha llegado a sugerirse que la matemática sería el lenguaje que entendería los habitantes de Marte (si existieran)! Obtenido del libro: EXPLORANDO LA MATEMATICA, tomo 1 En general podemos concluir que el objetivo general de la matemática es la búsqueda del desarrollo del pensamiento lógico del hombre. ¿Cuál es el problema de la matemática? A través de la historia la matemática ha sido y es una de las áreas del conocimiento que presenta mayor dificultad en el proceso de enseñanza y aprendizaje, ¿Por qué? ¿Cómo se justifica dicha complejidad? No sea comprendido el problema de las matemáticas. Falta de especialistas en los primeros grados de escolaridad. (¿Falta trabajo en los docentes?) Su orden Su organicidad (El eslabonamiento de sus partes) Su perfección formal (Su rigurosidad) Terror de la sociedad. La figura del docente

la formación de

Hoy en día son muchas las personas que están trabajando en el diseño de estrategias que permitan mejorar los procesos de enseñanza y aprendizaje de las matemáticas. Las competencias matemáticas no se alcanzan por generación espontánea, sino que requieren de ambientes de aprendizajes enriquecidos por situaciones problemas significativos y comprensivos, que posibiliten avanzar a niveles de competencia más y más complejos. http://jaa-matematicas.blogspot.com/2006/10/qu-es-la-matemtica.html http://www.sectormatematica.cl/simce.htm

Lógica Lógica (Del lat. logĭca, y este del gr. λογική). 1. f. Ciencia que expone las leyes, modos y formas del conocimiento científico. Formal, o ~ matemática. 1. f. La que opera utilizando un lenguaje simbólico artificial y haciendo abstracción de los contenidos. Tomado de: http://buscon.rae.es/draeI/SrvltConsulta?TIPO_BUS=3&LEMA=logica

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La lógica es una ciencia formal y una rama de la filosofía que estudia los principios de la demostración e inferencia válida. La palabra deriva del griego antiguo λογική (logike), que significa "dotado de razón, intelectual, dialéctico, argumentativo", que a su vez viene de λόγος (logos), "palabra, pensamiento, idea, argumento, razón o principio". Tomado de: http://es.wikipedia.org/wiki/L%C3%B3gica La lógica matemática es la disciplina que trata de métodos de razonamiento. En un nivel elemental, la lógica proporciona reglas y técnicas para determinar si es o no valido un argumento dado. El razonamiento lógico se emplea en matemáticas para demostrar teoremas; en ciencias de la computación para verificar si son o no correctos los programas; en las ciencias física y naturales, para sacar conclusiones de experimentos; y en las ciencias sociales y en la vida cotidiana, para resolver una multitud de problemas. Ciertamente se usa en forma constante el razonamiento lógico para realizar cualquier actividad. Tomado de: http://www.mitecnologico.com/Main/Proposiciones Una Proposición es una expresión u oración declarativa con sentido completo que no depende de la persona, ni del espacio ni del tiempo. Toda proposición tiene un valor de verdad que puede ser verdadero o falso pero no ambas a la vez, esto es una ley denominada ley del tercer excluido. La proposición es el elemento fundamental de la lógica matemática. Una proposición se expresa generalmente con letra minúscula, dos puntos y a continuación la oración. Algunos ejemplo de proposiciones validas o no validas son: 𝑝: La tierra es plana. 𝑞: Los médicos prolongan la enfermedad de los pacientes 𝑟: Ningún abogado es honesto 𝑠: Los economistas pronostican fenómenos físicos 𝑡: Buenos días 𝑤: Hoy es lunes 𝑣: Hace Calor 𝑥: Santa Marta es más bonita que Valledupar

Conectivos Lógicos Las proposiciones se clasifican en simples y compuestas. Las proposiciones simples están formadas por una sola oración y las compuestas por más de una oración y enlazadas por conectivos lógicos a saber: la negación, disyunción, conjunción, condicional y bicondicional. La Negación Si a una proposición simple se le antepone la expresión no es cierto o se le interpone el adverbio no se forma una proposición compuesta llamada la negación de la proposición principal. Se simboliza con ~ 𝑝. Si p es una proposición simple, la negación de p se representa ~ p y se lee no p. Pensamiento Cuantitativo

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Tabla de verdad Utilizaremos los números 1 y 0 para indicar que las proposiciones son verdaderas o falsas respectivamente 𝑝 ~𝑝 1 0 0 1 Nótese que si la proposición es verdadera su negación es falsa y viceversa Ejercicio. Niegue cada una de las siguientes proposiciones

a: La matemática es la madre de todas las ciencias b. La drogas genéricas no sanan c: Algunas leyes no son claras d: Colombia tiene la mejor democracia en América Latina e: El hombre no es el único animal racional f: No es cierto que todas las aves vuelan g: No hay nadie en casa La Disyunción Es una proposición compuesta formada por dos o más proposiciones simples. Se representa con el símbolo v se lee o. Si p y q son proposiciones simples la disyunción de p y q se representa p v q se lee p o q. Tabla de verdad P 1 1 0 0

q 1 0 1 0

pvq 1 1 1 0

Nótese que la disyunción solamente es falsa si las dos proposiciones son falsas Ejercicios: Escriba la proposición compuesta e indique su valor de verdad si: r: Simón Bolívar era venezolano s: Simón Bolívar era colombiano. Entonces: r v s≡ p: La tierra es redonda q: La tierra es ovalada Entonces: p v q≡ p: La ballena es un mamífero Pensamiento Cuantitativo

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s: La ballena no tiene branquias Entonces: p v s≡ p: El calentamiento global es consecuencia de que la tierra se acerca al sol s: El calentamiento global es consecuencia del número de habitantes de la tierra Entonces: p v s≡ p: La evolución tecnológica ha retrasado la evolución del hombre s: La evolución tecnológica no aporta a la inteligencia del hombre Entonces: p v s≡

La Disyunción Exclusiva Es un caso especial de disyunción cuyo símbolo es v, que se diferencia del anterior en que solo es verdadera cuando una y solamente una de las proposiciones es verdadera. La Conjunción Es una proposición compuesta formada por dos o más proposiciones simples. Se representa con el símbolo Λ se lee y. Si p y q son proposiciones simples la conjunción de p y q se representa p Λ q se lee p y q.

Tabla de verdad p 1 1 0 0

Q 1 0 1 0

pΛq 1 0 0 0

Nótese que la conjunción es verdadera solo cuando las dos proposiciones son verdaderas. Ejercicios: Escriba la proposición compuesta e indique su valor de verdad si: r: Simón Bolívar era venezolano s: Simón Bolívar lidero la libertad de las chilenos. Entonces: r Λ s≡ p: La tierra es redonda q: La tierra es achatada en los polos Entonces: p Λ q≡ p: La ballena tiene branquias s: La ballena es un mamífero Entonces: ~𝑝 𝛬 𝑠 ≡


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p: La Sierra nevada de Santa Marta pertenece al Cesar s: La sierra nevada de Santa Marta está afectada por el calentamiento global Entonces: 𝑝 𝛬 ~𝑠 ≡ p: La evolución tecnológica ha retrasado la evolución del hombre s: La evolución tecnológica aporta a la inteligencia del hombre Entonces: 𝑝 𝛬 ~𝑠 ≡ El Condicional Es una proposición compuesta formada por dos o más proposiciones simples. Se representa con el símbolo→ se lee Si...entonces. Si p y q son proposiciones simples el condicional de p y q se representa p → q se lee Si p entonces q. Tabla de verdad p 1 1 0 0

Q 1 0 1 0

p→q 1 0 1 1

Nótese el condicional solo es falso cuando la primera proposición es verdadera y la segunda es falsa. Ejercicios: Escriba la proposición compuesta e indique su valor de verdad si: r: Todos los peces son ovíparos s: La ballena no es pez Entonces: r → s≡

b. p: Colombia es el tercer país más rico en agua q: En Colombia hay problemas con el consumo de agua Entonces: p → ~ q≡ c. p: Colombia instalará bases militares de EEUU s: Venezuela mantiene relaciones con Colombia Entonces: ~𝑝 → 𝑠 ≡ d. p: Los paramilitares devuelven las tierras


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s: Hay desplazados en Colombia Entonces: p → ~ s≡ e. p: La evolución tecnológica ha mejorado el nivel de vida del hombre s: El hombre ha aprovechado la evolución tecnológica Entonces: p → s≡ Tipos de Condicionales Dado la condicional p→q denominada condicional directa entonces se denomina:  Contraria: la condicional ~ p → ~ q  Reciproca: la condicional q → p  Contra-reciproca: la condicional ~q → ~p Ejercicio: Escriba la contraria, la recíproca y la contra-reciproca de cada proposición 1. Si los países vecinos a Colombia colaboran con los grupos insurgentes entonces no son países amigos 2. Si no aumenta el precio del petróleo entonces disminuye el consumo de bio-combustible 3. Si las religiones son utilizadas para alabar un Dios entonces porque explotan a los feligreses 4. Si el banco de la República sube las tasas de interés entonces no se estimula la actividad económica y se desacelera la economía 5. Si la administración del recurso público es eficiente entonces no hay que crear nuevos impuestos 6. Si el banco de la República sube las tasas de interés entonces no se estimula la actividad económica y se desacelera la economía Salud 1. Si las niñas presentan mejoría entonces no se le puede diagnosticar una enfermedad 2. Si el flujo sanguíneo no es regular entonces el vaso capilar esta obstruido 3. Si la salud es un negocio entonces no hay médicos humanistas 4. Si no actualizan las historias clínicas entonces la atención médica es deficiente 5. Si no aumenta la inversión en salud entonces cerraran los hospitales y no habrá atención médica. 6. Si hay fiebre y no expectora entonces se tiene que recetar antibiótico y no expectorante. 7. Si es una enfermedad rara entonces no es fácil su diagnóstico y El Bi-condicional Es una proposición compuesta formada por dos o más proposiciones simples. Se representa con el símbolo ↔ se lee Si .. Solo si. Si p y q son proposiciones simples la bicondicional de p y q se representa p ↔ q se lee p si solo si q. Tabla de verdad Pensamiento Cuantitativo

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p 1 1 0 0

Q 1 0 1 0

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p ↔q 1 0 0 1

Nótese la bi-condicional es verdadero si los valores de verdad de las proposiciones son iguales. Ejercicios: Escriba la proposición compuesta e indique su valor de verdad si

r: En Colombia hay paz s: En Colombia todos los gobernantes son honestos Entonces: r ↔ s≡

p: x + 5 = 7 q: x = 2 Entonces: p ↔ q≡

p: Las células vegetales poseen cloropastos s: Las células vegetales poseen clorofila Entonces: p ↔ s≡

p: Los paramilitares devuelven las tierras s: Los paramilitares tienen garantizado el reintegro a la sociedad Entonces: p ↔ s≡

p: El Unión Magdalena volverá a la primera categoría s: El unión Magdalena es vendido Entonces: p ↔ s≡

p: Haití es el país más pobre del mundo s: Haití es el país con mayor posibilidad de invasión extranjera Entonces: p ↔ s≡


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Equivalencias de los Conectores Conector Negación Conjunción

Lenguaje Común No; No es cierto que; no es el caso que Y: Pero; Sin embargo; Además; Aunque; A la vez; No obstante, Ni Disyunción O; Condicional “Si… entonces…”; “Por lo tanto”, “…si…”, “…dado que…”; “siempre que…”; “… porque…”; “…en vista que…” Bicondicional “Si y solo si” Interpretación oracional Idiomática Se denomina interpretación idiomática, a cualquier enunciado cuya estructura coincida con una proposición dad: Ejercicio. Interprete oracionalmente cada enunciado, identifique las proposiciones simples y represente en forma simbólica Si la salud es una empresa entonces los médicos son mercaderes y los pacientes sus clientes. Si los estudiantes son responsables de sus compromisos y muestran interés en el estudio de su profesión entonces la universidad mejora el nivel académico o buscará estrategias para la deserción Si el hombre fuera racional entonces no construyera armas lesivas para la humanidad Es falso, que las rosas son rojas y las violetas son azules Si las políticas de estado son buenas entonces el país no estaría en guerra Si Radamel García y Aldo Leao son samarios entonces son buenos jugadores de futbol o se formaron en otro país Si Colombia es el país que más abastece a Venezuela y Venezuela es el principal comprador de los productos colombianos entonces las diferencias en sus presidentes no convienen a ninguno de los dos países Los residentes cancelarán la administración si solo si la junta administradora cambia al administrador o abren una cuenta bancaría donde se pague la administración Si el calentamiento global es producto de la contaminación ambiental o de la tala indiscriminada de árboles, entonces no, a la contaminación ambiental y a la tala indiscriminada de arboles


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La inversión social se mejora si solo si se implementan políticas de fortalecimiento tributario y no hay corrupción administrativa. Si no es cierto que, el decrecimiento sea un modelo económico y no social entonces su idea principal relaciona la producción y al ser humano. Salud Si la mayoría de las menores de edad se han quejado de dolor de cabeza y no han presentado movimientos anormales entonces el diagnostico no pueden ser clasificados como convulsiones o alteración del sistema nervioso. Si la salud en Colombia es administrada por políticos o no profesionales de la salud entonces se seguirán creando clínicas de garaje y no gozaremos de un servicio de salud óptimo En Colombia habrá una población sana si solo si la salud no se trata como un negocio y los pacientes como clientes Si las estadísticas sobre las enfermedades raras son pobres o no existen entonces no se tiene identificada la población vulnerable y hay un alto desconocimiento médico

Diagrama de Verdad de las proposiciones Compuestas Los diagramas de verdad nos permiten conocer el valor de verdad de un enunciado compuesto Ejercicio. Hallar el valor de cada proposición si: 𝑎 (1), 𝑏(0), 𝑐(0) 𝑦 𝑑(1) (a Λ b) → c (b v c) ↔ d ~(b v d) → ~b v ~d [(d Λ a) v c] ↔ [(d v c) Λ (a v c)] c → (a Λ ~c) Ejercicios Hallar el valor de cada proposición [∼ (𝑝˄ ∼ 𝑞)] → [∼ 𝑝˅𝑞] con 𝑝(0) 𝑦 𝑞(1) {[(𝑝 ↔∼ 𝑞)⋁𝑟] →∼ 𝑝} con 𝑝(0), 𝑞(0) 𝑦 𝑟(1) Tablas de Verdad Una tabla de verdad es un diagrama que permite determinar claramente cuando una proposición compuesta es verdadera, falsa o variada.


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Si todos los valores de verdad de una proposición compuesta son verdaderos se denomina una tautología, por ejemplo [p → (p v q)], si son falsos una contradicción, por ejemplo [(p Λ q) Λ ~q], de lo contrario se llama indeterminada o contingencia, por ejemplo [(p v q) →~p]. El proceso de construcción de una tabla de verdad inicia por determinar el número de combinaciones posibles de los valores de verdad de las proposiciones simples constituyentes. Si la proposición consta de n proposiciones simples diferentes, puesto que cada una de ellas tiene dos valores posibles (verdadero o falso) habrá 2n combinaciones posibles de valores. Ejemplo. Construir la tabla de verdad de la proposición (p → q) Λ ~r Ejercicio. Construir la tabla de verdad de cada proposición compuesta e indique su tipo ~( p Λ q) (p v q) → p p → (p Λ ~q) ~ (p v q) → (~p Λ ~ q) ~[ (p Λ ~ p ) → q] p ↔ (p → q) (p Λ q) Λ~(p v q) [(p ↔q) Λ q] → p (p Λ~ q) v r (p → ~q) ∨ (~p ∨ r) Λ (~p ∨ ~q) ∨ r Ejercicio Construye la tabla de verdad de cada proposición e indica su tipo ~{𝑝 → [~𝑝 → (𝑞 ∨ ~𝑞)]} (𝑝 ∨ 𝑞 ) ↔ ~ (𝑝 ∨ 𝑞 ) [(𝑝 → 𝑞) ∧ 𝑝] → 𝑞 [(𝑝 ↔ ~𝑞)˄ 𝑞] → ~𝑝 [∼ (𝑝˄ ∼ 𝑞)] → [∼ 𝑝˅𝑞] {[(𝑝 ↔∼ 𝑞)⋁𝑟] →∼ 𝑝} Equivalencia Lógica: Algebra de proposiciones Se dice que dos proposiciones 𝑃(𝑝, 𝑞, … ) 𝑦 𝑄(𝑝, 𝑞, … ) son lógicamente equivalentes si tienen idénticas tablas de verdad, se denota 𝑃(𝑝, 𝑞, … ) ≡ 𝑄(𝑝, 𝑞, … ). Por ejemplo. Consideremos las tablas de verdad de las proposiciones ~ (p Λ q) y ~p v ~ q P 1 1

Q 1 0

pΛq 1 0

~(p Λ q) 0 1

p 1 1

q 1 0


~p 0 0

~q 0 1

~p v ~ q 0 1

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Como los resultados finales de las tablas de verdad son iguales, las proposiciones son equivalentes es decir ∼ (𝑝 𝛬 𝑞) ≡ (∼ 𝑝 ∨ ∼ 𝑞) Ejercicio. Verifique la equivalencia de la siguiente proposición (𝑝 ∨ 𝑞) ≡ ∼ (∼ 𝑝 ∧ ∼ 𝑞) 𝑝 ↔ 𝑞 ≡ (𝑝 ∨ 𝑞) → (𝑝 ∧ 𝑞) [∼ (∼ 𝑝 → 𝑞)] ≡ [∼ 𝑝˄ ∼ 𝑞] Las proposiciones satisfacen muchas equivalencias lógicas, o leyes, a continuación enunciamos unas de las más importantes, t denota tautología y f contradicción Leyes del Algebra de Proposiciones Leyes

Proposiciones

Idempotencia

pvp≡p

pΛp≡p

Asociativas

(p v q) v r ≡ p v (q v r)

(p Λ q) Λ r ≡ p Λ (q Λ r)

Conmutativas

(p v q) ≡ (q v p)

(p Λ q) ≡ (q Λ p)

Distributivas

p v (q Λ r) ≡ (p v q) Λ(p v r)

p Λ (q v r) ≡ (p Λ q) v(p Λ r)

Leyes de Pvf ≡p identidad Leyes de p v ~p ≡ t complementos Leyes de ~ ~p ≡ p involución Morgan

PΛt≡p

Pvt≡t

PΛf≡f

p Λ ~p ≡ f

~t ≡ f

~f ≡ t

~(p v q) ≡ ~p Λ ~𝑞

~(p Λ q) ≡ ~p v ~𝑞

Implicación y p → q ≡ ~p ∨ q disyunción Negación de la ~(p → q) ≡ p ^ ~q implicación


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Inferencias Lógicas Uno de los objetivos de la lógica es determinar cómo unas proposiciones pueden derivarse de otras, esta derivación es de naturaleza puramente formal y recibe el nombre de deducción. Por medio de la deducción se muestra si una determinada proposición llamada conclusión resulta de una o más proposiciones llamadas premisas. El proceso por el cual se establece que la conclusión se sigue de las premisas recibe el nombre de prueba. Una prueba se desarrolla de acuerdo con las tautologías y a partir de ciertas reglas, denominadas reglas de inferencias, que son necesarias establecerlas desde un principio.. Llamaremos correcta a una inferencia que siga las reglas establecidas. Una inferencia lógica consiste en obtener una proposición verdadera (conclusión) a partir de una proposición verdadera dada (premisas) a la que aplicamos las reglas de inferencia. Reglas de Inferencia Modus Ponendo Ponens (PP) Ejemplo Premisa 1: Si la emisión de gas carbónico aumenta entonces aumentará la temperatura sobre la tierra Premisa 2: La emisión de gas carbónico aumenta Conclusión: Aumentará la temperatura sobre la tierra Premisa 1: p → q Premisa 2: p Conclusión: q

Esquemáticamente: p → q p p2 ..q

p1


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Ejemplo p p1 p →~ q p2 .. ~ q Ejemplo-3 (~ p v q) → (s Λ r) (~ p v q) .. s Λ r

p1 p2

Doble Negación (DN) Premisa 1: ~ (~ p) Esquemáticamente: ~ (~ p) Conclusión: p ..p

P1

La regla de la doble negación se puede expresar p P1 ~ (~ p) Premisa: La ballena no es un animal mamífero Conclusión: No es cierto que la ballena no sea un animal mamífero Modus Tollendo Tollens (TT) Premisa 1: p → q Premisa 2: ~ q Conclusión: ~ p

Esquemáticamente: p → q P1 ~q P2 .. ~ p

Premisa 1: Si los Mayas predecían el futuro entonces porque no evitaron su destrucción. Premisa 2: Los mayas evitaron su destrucción Conclusión: Los mayas predecían el futuro Modus Tollendo Ponens (TP) Premisa 1: p v q Premisa 2: ~ p Conclusión: q

pvq

P1+

~q .. p

P2

Esquemáticamente: ~p ..q

p v q P1 P2


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Premisa 1: Los carnavales son fiestas de sectas satánicas o del pueblo Premisa 2: Los carnavales no so fiestas de sectas satánicas Conclusión: Los carnavales son fiestas del pueblo Regla de Simplificación (S) Esquemáticamente pΛq .. p

P1

ó

pΛq ..q

P1

Ejemplo Premisa: La tala de árboles acaba las fuentes de agua y aumenta la temperatura del suelo Conclusión-1: La tala de árboles acaba las fuentes de agua Conclusión-2: La tala de árboles aumenta la temperatura del suelo Ejemplo Premisa: El incremento de la inflación sube las tasas de interés e incrementa la inversión extranjera Conclución-1: El incremento de la inflación sube las tasas de interés Conclución-2: El incremento de la inflación incrementa la inversión extranjera Regla de Adjunción (A) Esquemáticamente p P1 ó p P1 q P2 q P2 .. p v q ..q v p Ejemplo Premisa-1: El gobierno colombiano es democrático Premisa-2: El gobierno colombiano es socialista Conclución-1 El gobierno colombiano es democrático o es socialista Conclución-2 El gobierno colombiano es socialista o es democrático Ejemplo Premisa-1: Albert Einstein era físico Premisa-2: Albert Einstein era filósofo Conclución-1 Albert Einstein era físico o era filósofo Conclución-2 Albert Einstein era filósofo o físico Regla de Adición (LA) Esquemáticamente p P1 ..p v q Pensamiento Cuantitativo

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Ejemplo Premisa: Los economistas predicen el futuro Conclusión: Los economistas predicen el futuro o analizan el presente Ejemplo-2 El plan Colombia fue un fracaso Conclusión: El plan Colombia fue un fracaso o un éxito

Regla del Silogismo Hipotético (SH) Esquemáticamente p → q P1 q → r P2 .. p → r Ejemplo Premisa-1: Si tengo problemas de obesidad entonces tendré problemas de hipertensión Premisa-2: Si tengo problemas de hipertensión entonces puedo morir del corazón Conclusión: Si tengo problemas de obesidad entonces puedo morir del corazón Ejemplo Premisa-1: Si el Unión Magdalena tiene buenos jugadores entonces juega bien el futbol Premisa-2: Si Unión Magdalena juega bien el futbol entonces subirá de categoría Conclusión: Si el Unión Magdalena tiene buenos jugadores entonces subirá de categoría Regla del Silogismo Disyuntivo (SD) Esquemáticamente p → r P1 q → s P2 p v q P3 .. r v s Ejemplo Premisa-1: Si aumenta el precio de la gasolina entonces sube el precio del transporte urbano Premisa-2: Si se incrementa el cultivo de palma entonces utilizaremos biocombustible Premisa-3: Aumenta el precio de la gasolina o se incrementa el cultivo de palma Conclusión: Sube el precio del transporte urbano o utilizaremos biocombustible Ejemplo Premisa-1: Si se incrementa el desempleo entonces las empresas están quebrando Premisa-2: Si se aplican nuevos impuestos entonces la economía decrece Premisa-3: Se incrementa el desempleo o se aplican nuevos impuestos Pensamiento Cuantitativo

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Conclusión: Las empresas están quebrando o la economía decrece Regla de la Simplificación Disyuntiva Esquemáticamente p v p .. p Ejemplo Premisa-1: Aprueba el curso o aprueba el curso Conclusión: Aprueba el curso Ejemplo Premisa: Se opera o se opera Conclusión: Se opera Conmutativas (LC) p v q P1 .. q v p

p Λ q P1 .. q Λ p

Leyes de Morgan (LM) ~(p v q) P1 ..~p Λ ~q ~ (p Λ q) ..~p v ~q

P1

ó

~p Λ ~q ..~(p v q)

P1

ó ~p v ~q P1 ..~(p Λ q)

Reglas de las Proposiciones Bi-condicionales (p ↔ q) P1 ó ..(p → q) Λ (q → p)

(p → q) Λ (q → p) P1 ..(p ↔ q)

Ejercicios Escriba la conclusión que se puede deducir de cada uno de los siguientes conjuntos de premisas y represéntela simbólicamente: Si no hay inyección de capital, entonces la empresa debe cerrar Si en Venezuela continúan los cierres a las empresas privadas y los apagones entonces Chávez baja en su popularidad o no será re-elegido Hoy es el último día del mes. Si hoy es último día del mes entonces solo habrá banco hasta las once de la mañana a > b y k > 0. Si a > b y k > 0 entonces a x k > b x k Pensamiento Cuantitativo

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Ejercicio Escriba la conclusión en cada uno de los siguientes conjuntos de premisas y determine la regla de inferencia utilizada p → ~q ~p

P1 P2

~p → ~q P1 ~q → r P2

~(~p Λ ~q

P1

p → ~r ~q → s p v ~q

P1 P2 P3

(p Λ ~q) v r P1 ~p v q P2

p → (r Λ s) P1 q → ~s P2 pvq P3

~p ~q

P1 P2

(p → ~q) Λ (~q →p)

P1 (p v ~q) → r P1 ~(~p v q) P2

Ejercicio Aplique las leyes de Morgan para establecer la conclusión ~(p v ~q) ~[(p v ~q)Λ r] p Λ ~q

~p v ~q

~(~p Λ ~q) ~[(p v (~q Λ r)

Ejercicio Verifique si la conclusión dada es correcta Si Pedro llama entonces María regresa. Pedro llama. Por lo tanto Pedro llama Es falso que: estudio y trabajo. Por lo tanto ni estudio ni trabajo. Si 𝑎 es múltiplo de 𝑏 y 𝑏 es múltiplo de c entonces a es múltiplo de c. 𝑎 no es múltiplo de 𝑐. Por lo tanto, concluyo que 𝑎 no es múltiplo de 𝑏 o 𝑏 no es múltiplo de 𝑐 ~p → ~q P1 p P2 .. q p→r P1 ~q → s P2 p v ~q P3 .. r Λ s

p → ~q P1 ~q → r P2 .. r →p (~p Λ q) v r P1 P v ~q P2 .. r


~(~p v q) .. p Λ ~q (~p Λ q) → r ~r P2 .. p v ~q

P1

P1

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Ejercicio Escriba la conclusión que se puede deducir de cada uno de los siguientes conjuntos de premisas y represéntela simbólicamente e indique la regla inferencia que aplica: Si bajan los aranceles entonces aumenta la importación. No aumenta la importación. Si el mototaxismo le gana la batalla al transporte legal entonces las empresas de transporte público tendrán una dura crisis financiera. Si las empresas de transporte público tienen una dura crisis financiera entonces el transporte público queda en manos de ilegales. No es cierto que, si suben las tasas de interés se incrementa la inversión extranjera y aumenta el empleo. Si las grandes cadenas de supermercado siguen abriendo sucursales en los barrios entonces las tiendas de barrio tienden a desaparecer. No es cierto que las tiendas de barrios tiendan a desaparecer No es cierto que, si se aumenta la importación se incrementa la inversión de capital o crece la economía. No es cierto que, todos los estudiantes son irresponsables y no respetan a los docentes Los argentinos no son los mejores jugadores de futbol o no son las personas más humildes. Si se cuentan con los recursos para cancelar las deudas entonces no continua la anormalidad académica. Se cuenta con los recurso para cancelar la deudas

Cuantificación de Enunciados Aristóteles considera que todos los enunciados (simples) tienen la forma “S es P” donde S es el sujeto, y P el predicado que se atribuye a S. El predicado P siempre es un concepto o entidad abstracta, pero el sujeto S puede ser tanto un individuo o entidad concreta como un concepto o entidad abstracta. Si ocurre lo primero, tenemos un enunciado singular, mientras que en el segundo caso sería un enunciado conceptual o general. En los Analíticos Anteriores sólo se consideran los enunciados conceptuales o generales, que a su vez se dividen en universales, particulares e indefinidos. El enunciado es una oración que afirma o niega algo de algo, y es universal, particular o indefinido. Llamo universal al pertenecer a todo o a ninguno; particular, al pertenecer a alguno o no a todo; Pensamiento Cuantitativo

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indefinido, al pertenecer o no pertenecer, sin indicar universalidad o particularidad Cuantificador Universal Se representa con el símbolo ∀ que se lee “para todo”. Contiene una expresión lingüística como “todos” o “para todo”, y atribuye el predicado universalmente al sujeto, es decir, afirma que el concepto-predicado es aplicable a todas las cosas a las que se aplica el sujeto. Simbólicamente ∀𝒙 ∈ 𝑨/𝑷(𝒙) La expresión afirmativa es “todo S es P” y la expresión negativa “ningún S es P” Cuantificador Existencial Se simboliza con ∃ se lee “existe”. Contiene una expresión lingüística como “algún” o “hay” o “para algún” y atribuye el predicado particularmente al sujeto, es decir es decir solo afirma que el concepto que el concepto del predicado es aplicable a algunos casos a las que también se aplica el concepto sujeto. Simbólicamente ∃𝒙 ∈ 𝑨/𝑷(𝒙) La expresión afirmativa es “Algún S es P”, la expresión negativa “algún S no es P” Negación de los Cuantificadores Simbólicamente ~(∀𝑥 ∈ 𝐴/𝑃(𝑥)) ≡ (∃𝑥 ∈ 𝐴/~𝑃(𝑥)) ~(∃𝑥 ∈ 𝐴/𝑃(𝑥)) ≡ (∀𝑥 ∈ 𝐴/~𝑃(𝑥)) Clasificación de las Proposiciones Categóricas por la Cualidad y la Cantidad. Las proposiciones categóricas Proposición Universal Afirmativa: Todos los gatos son mamíferos (A) Proposición Universal Negativa: Ningún gato es mamífero (E): Proposición Particular Afirmativa: Algún gato es mamífero (I) Proposición Particular Negativa: Algún gato no es mamífero (O) Ejercicio Identifique las siguientes proposiciones y determine si el sujeto y el sujeto y el predicado son universales o particulares. Algunos políticos son candidatos presidenciales Ningún músico es boxeador Todo locutor es poseedor de un permiso para ejercer su profesión Algunos de tus poemas no están bien logrados Todos los artefactos que necesitan gasolina son contaminantes del aire Algún miembro de ese consejo no apoyo la medida Pensamiento Cuantitativo

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Ninguna de las decisiones emanadas de organismo tan ineficientes son eficaces Todos los integrantes del equipo son menores de doce años Ningún desinfectante es inofensivo para la salud Algunos escritores de novelas de ciencia-ficción no son detectives El Cuadrado de la Oposición de las Proposiciones. Inferencias que se basan en él

Si A es verdadera: E es falsa, I es verdadera y O es falsa Si E es verdadera: A es falsa, I es falsa y O es verdadera Si I es verdadera: E es falsa, A y O quedan indeterminadas Si O es verdadera: A es falsa, E e I quedan determinados Si A es falsa: O es verdadera, E e I quedan indeterminadas Si E es falsa: I es verdadera, A y O quedan indeterminados Si I es falsa: A es falsa, E es verdadera y O es verdadera Si O es falsa: A es verdadera, E es falsa e I es verdadera Ejercicio ¿Qué puede inferirse acerca de las siguientes proposiciones, en cada uno de los conjuntos dados, si suponemos que la primera de ellas es verdadera? ¿Y si suponemos que es falsa? Nº

Proposiciones

1

Todos los filósofos son inteligentes Ningún filosofo es inteligente Algún filosofo es inteligente Algún filosofo no es inteligente Ningún político es mentiroso Todos los políticos son mentirosos Algún político es mentiroso Algún político no es mentiroso Algunos titulares de prensa están mal redactados Ningún titular de prensa está mal redactado Todos los titulares de prensa están mal redactados

2

3


Valores de Verdad 1 0

1

0

1

0

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4

5


Algunos titulares de prensa no están mal redactados Ningún mamífero es roedor 1 Todos los mamíferos son roedores Algunos mamíferos son roedores Algunos mamíferos no son roedores Algunos ejercicios de lógica no son difíciles de resolver 1 Todos los ejercicios de lógica son difíciles de resolver Ningún ejercicio de lógica es difícil de resolver Algunos ejercicios de lógica son difíciles de resolver

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0

0

Ejercicio Utilice el cuadrado de la oposición para escribir el enunciado que corresponda a la negación de cada una de las siguientes proposiciones Ejercicio Identifique el cuantificador que aplica y niegue cada una de las siguientes proposiciones Todos los tumores son malignos Ninguna droga genérica cura Algunos médicos no son humanitarios Algunas clínicas estafan al estado Algunas enfermedades no tiene explicación cientifica Todos los políticos son corruptos Algunos futbolistas son profesionales Ningún hombre es racional Existen buenas políticas de estado Todos los jóvenes siente atracción hacia la tecnología Algunos guerrilleros no son delincuentes Ningún programa de televisión enseña Existen profesores malos Todo el que se educa es culto Algunos mototaxistas son delincuentes Todas las investigaciones científicas aumentan las expectativas de vida del ser humano. Ningún país latinoamericano posee una economía solida. Algunos reinsertados continúan delinquiendo. Algunos costeños no son mamadores de gallo. Todas las políticas de estado buscan superar una crisis. Todos los seres vivos son pluricelulares Ejercicios Niegue las siguientes proposiciones Todos los médicos confunden las patologías de las enfermedades raras (0) Algunas enfermedades raras no tienen tratamiento (1) Algunos medicamentos alteran el sistema nervioso (1) Pensamiento Cuantitativo

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Algunas personas no nacen con malformaciones cardiacas (0) Ninguna de las niñas han presentado síntomas que comprometa su vida (1) Todas las niñas que manifiestan malestares fueron vacunadas (0) Algunos gremios no apoyan el cambio de horario de entrada a la oficina (1) Todas las empresas en Colombia destacan el incremento de las ventas en el 2014 (0)

CONJUNTO Intuitivamente un conjunto es una colección de elementos bien definidos Notación de Conjunto Los nombres de los conjuntos se enuncian con letras mayúsculas y sus elementos con letra minúscula. Los conjuntos se enuncian por extensión (Se enuncian cada uno de los elementos) y por comprensión (Se enuncia una o más propiedades del conjunto) A = {a, e i, o, u}; por extensión A= {x/x es una letra vocal}; por comprensión Tipos de Conjuntos Los conjuntos pueden ser: Finitos: Se pueden contar sus elementos. Infinitos: No se pueden contar sus elementos. Vacío: No tiene elementos. Universal: Conjunto de referencia Relación entre Conjuntos Dos conjuntos pueden ser: Subconjunto Subconjunto propio Iguales Disjunto o disyuntos: No tienen elementos en comunes Representación Gráfica de un Conjunto Diagrama de Venn-Euler (Diagrama Sagital) Es una herramienta que ilustra las relaciones entre conjuntos, se representa en un área plana, por lo general delimitada por un círculo.


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Operación entre Conjuntos Unión: A U B = {x/x Є A v x Є B} Intersección: A n B = {x/x Є A ^ x Є B} Diferencia: A – B = {x/x Є A ^ x ∉ B} Complemento: Ac = {x/x Є U ^ x ∉ A} Diferencia Simétrica: A Δ B = {x/x Є (A U B) ^ x ∉ (A n B)} Ejercicio Sean U = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}, A = {0, 1, 2, 3, 4, 5}, B = {6, 7, 8, 9} C= {2, 4, 6, 8, 10} Determinar AUC CnB B–C Ac c c c CΔA A nB (A n B) B c U Cc (B U C) c (C - B) c A c – (B n C c) A n (C – B) c Ejercicio Sean 𝑈 = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}, 𝐴 = {1,3,5,6,8,9}, 𝐵 = {0,2,4,5,7,9} 𝑦 𝐶 = {1,3,5,7,8,9} Determinar 𝐴∆𝐶 𝐴 ∪ 𝐵𝑐 𝐵 ∩ 𝐶𝑐 𝐶 − (𝐴 ∩ 𝐵 ) (𝐴 ∩ 𝐶 𝐶 ) − (𝐴𝑐 ∪ 𝐶) Ejercicio Escriba la expresión del conjunto cuya área se encuentra sombreada


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Ejercicio Representa en el diagrama dado (por separado) los siguientes conjuntos 𝐵∩𝐶 (𝐴 ∩ 𝐵 ) − 𝐶 𝐴𝑐 ∩ 𝐶 (𝐴 ∩ 𝐵 ) ∩ 𝐶 (𝐵 − 𝐶)𝑐

Número de Elementos de un Conjunto El conjunto A es finito si podemos determinar su número de elementos. Notamos n(A) al número de elementos o cardinal de un conjunto A Dados dos conjuntos finitos A y B podemos considerar 2 posibilidades Si A y B son disyuntos es decir A n B = ∅, entonces n(A U B)=n(A) + n(B) Si A y B tienen elementos comunes es decir A n B ≠ ∅, n(A U B)=n(A) + n(B) – n(A n B) Si tenemos 3 conjuntos 𝑛(𝐴 𝑈 𝐵 𝑈 𝐶) = 𝑛(𝐴) + 𝑛(𝐵) + 𝑛(𝐶) – 𝑛(𝐴 ∩ 𝐵) − 𝑛(𝐴 ∩ 𝐶) − 𝑛(𝐶 ∩ 𝐵) + 𝑛(𝐴 ∩ 𝐵 ∩ 𝐶) Problemas De un total de 250 personas encuestadas sobre su desayuno se obtuvieron las siguientes respuestas, 80 tomaban jugos y leche, 100 tomaban café con leche, 190 tomaban leche, 220 tomaban jugo o leche, 210 tomaba café o leche, 20 toman jugo y café pero no leche y 50 tomaban café con leche y no jugo. Se pregunta ¿Cuántas personas toman de los tres alimentos? ¿Cuántas personas toman solo jugo? ¿Cuántas personas toman solo leche? ¿Cuántas personas toman solo café? ¿Cuántas personas no toman ninguna de las tres cosas al desayuno? http://recursostic.educacion.es/descartes/web/materiales_didacticos/conjuntos_y_operaciones_ agsm/ejercicios.pdf


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C

J

L

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Por datos ① 𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥3 + 𝑥4 + 𝑥5 + 𝑥6 + 𝑥7 + 𝑥8 = 250 ②𝑥4 + 𝑥5 = 80 ③𝑥4 + 𝑥6 = 100 ④𝑥4 + 𝑥5 +𝑥6 + 𝑥7 = 190 ⑤𝑥1 + 𝑥2 +𝑥4 + 𝑥5 + 𝑥6 + 𝑥7 = 220 ⑥𝑥3 + 𝑥4 +𝑥5 + 𝑥6 + 𝑥7 = 210 ⑦𝑥2 = 20 ⑧𝑥6 = 50 De ⑦ en ③ 𝑥4 + 50 = 100 , entonces 𝑥4 = 50

Remplazando en ② 𝑥5 + 50 = 80, entonces 𝑥5 = 30 Remplazando en ④ 50 + 30 + 50 + 𝑥7 = 190, entonces 𝑥7 = 60 Remplazando en ⑥ 𝑥3 + 50 + 50 + 30 + 60 = 210, entonces 𝑥3 = 20 Remplazando en ① 10 + 20 + 20 + 50 + 30 + 50 + 60 + 𝑥8 = 250, entonces 𝑥8 = 10 Respuesta 50 de los encuestados toman los tres alimentos. 10 de los encuestados toman solo jugos. 60 de los encuestados toman solo leche. 20 de los encuestados toman solo café. 10 de los encuestados no toman ninguno de los tres alimentos. En una batalla campal intervinieron 1200 hombres, de los cuales: 420 fueron heridos en la cabeza 430 fueron heridos en los brazos 320 fueron heridos en las piernas 80 fueron heridos en ambos miembros (brazos y piernas) 50 fueron heridos en la cabeza y en brazos 60 fueron heridos en piernas y cabezas 20 fueron heridos en las tres partes 200 no fueron heridos Se pregunta ¿Cuántos fueron heridos solo en un lugar? Consideremos el conjunto C los heridos en la cabeza, B los heridos en los brazos y P los heridos en las piernas, Representamos gráficamente el problema así


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B

C

P

Por datos ∩ (𝐶 ∪ 𝐵 ∪ 𝑃) = 𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥3 + 𝑥4 + 𝑥5 + 𝑥6 +𝑥7 + 𝑥8 = 1200 (1) 𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥4 + 𝑥5 = 420 (2) 𝑥2 + 𝑥3 + 𝑥4 + 𝑥6 = 430 (3) 𝑥4 + 𝑥5 + 𝑥6 + 𝑥7 = 320 (4) 𝑥4 + 𝑥6 = 80 (5) 𝑥2 + 𝑥4 = 50 (6) 𝑥4 + 𝑥5 = 60 (7) 𝑥4 = 20 (8) 𝑥8 = 200 (9) Remplazando (8) en (7): 20 + 𝑥5 = 60; 𝑥5 = 40 Remplazando (8) en (6): 𝑥2 + 20 = 50; 𝑥2 = 30 Remplazando (8) en (5): 20 + 𝑥6 = 80; 𝑥6 = 60 Remplazando en (4): 20 + 40 + 60 + 𝑥7 = 320; 𝑥7 = 200 Remplazando en (3): 30 + 𝑥3 + 20 + 60 = 430 ; 𝑥3 = 320 Remplazando en (2): 𝑥1 + 30 + 20 + 40 = 420 ; 𝑥1 = 330 Verificando en (1): ∩ (𝐶 ∪ 𝐵 ∪ 𝑃) = 𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥3 + 𝑥4 + 𝑥5 + 𝑥6 +𝑥7 + 𝑥8 = 1200 330 + 30 + 320 + 20 + 40 + 60 + 200 + 200 = 1200 1200 = 1200 ¿Cuántos fueron heridos solo en un lugar? 330 Fueron heridos solo en la cabeza 320 fueron heridos solo en los brazos 200 fueron heridos solo en las piernas Por lo tanto 850 fueron heridos solo en un lugar


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Una encuesta a un grupo de 100 estudiantes acerca de los gustos en la lectura aporta los siguientes datos; 65 leen novelas, 75 poesía, 55 leen novelas y poesía, 20 novelas y diarios, 30 diarios y poesía; 10 leen los tres temas y 5 no leen ninguno de los tres temas Se pregunta ¿Cuántos estudiantes leen solo poesía? ¿Cuántos estudiantes leen solo diario? ¿Cuántos estudiantes leen solo novela? Gráficamente P D

r1+r2+r3+r4+r5+r6+r7+r8=100 r4+r5+r6+r7=65 r1+r2+r4+r5=75 r5+r4=55 r6+r4=20 r2+r4=30 r4=10 r8=5

r8

N

Por (7) y (4): r5 + 10 = 55; r5 = 55 – 10= 45 (9) Por (7) y (5): r6 + 10 = 20; r6 = 20 – 10 = 10 (10) Por (7) y (6): r2 + 10 = 30; r2 = 30 – 10=20 (11) Por (7), (9) y (10): 10 + 45 + 10 + r7 = 65; r7 = 0 (12) Por (11), (7) y (9):r1 + 20 + 10 + 45 = 75; r1 = 0 (13) Por todo: 0 + 20 + r3 + 10 + 45 + 10 + 0 + 5 = 100; r3=10 Respuesta: 10 estudiantes leen solo diario, y ningún estudiante lee solo poesía o novelas En una investigación realizada sobre los hábitos de lectura de los estudiantes de la Universidad se encuentra que 48% leen la revista A, 50% la revista B, 30% la revista C, 20% la revista A y B, 10% las revistas B y C, 13% las revistas A y C, 10% no leen ninguna de las revistas. Se pregunta ¿Qué porcentaje leen las tres revistas? ¿Qué porcentaje leen la revista A y la C, pero no la B? ¿Qué porcentaje leen solo la revista B? Representamos gráficamente


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A


B

C

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Por datos 𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥4 + 𝑥5 = 48 (1) 𝑥2 + 𝑥3 + 𝑥4 + 𝑥6 = 50 (2) 𝑥4 + 𝑥5 + 𝑥6 + 𝑥7 = 30 (3) 𝑥2 + 𝑥4 = 20 (4) 𝑥4 + 𝑥6 = 10 (5) 𝑥4 + 𝑥5 = 13 (6) 𝑥8 = 10 (7) ¿Qué pregunta? 𝑥4 = 𝑥5 = 𝑥3 =

Sabemos que: 𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥3 + 𝑥4 + 𝑥5 + 𝑥6 + 𝑥7 + 𝑥8 = 100 (8) De (6) 𝑥5 = 13 − 𝑥4 De (5) 𝑥6 = 10 − 𝑥4 De (4) 𝑥2 = 20 − 𝑥4 Remplazando 𝑥5 𝑦 𝑥6 en (3) 𝑥4 + 13 − 𝑥4 + 10 − 𝑥4 + 𝑥7 = 30 despejando 𝑥7 = 7 + 𝑥4 Remplazando 𝑥2 𝑦 𝑥6 en (2) 20 − 𝑥4 + 𝑥3 + 𝑥4 + 10 − 𝑥4 = 50 despejando 𝑥3 = 20 + 𝑥4 Remplazando 𝑥2 𝑦 𝑥5 en (1) 𝑥1 + 20 − 𝑥4 + 𝑥4 + 13 − 𝑥4 = 48 despejando 𝑥1 = 15 + 𝑥4 Remplazando en (8) 15 − 𝑥4 + 20 − 𝑥4 + 20 − 𝑥4 + 𝑥4 + 13 − 𝑥4 + 10 − 𝑥4 + 7 − 𝑥4 + 10 = 100 , despejando 𝑥4 = 5 Por tanto 𝑥1 = 15 + 5 = 20 𝑥2 = 20 − 5 = 15 𝑥3 = 20 + 5 = 25 𝑥5 = 13 − 8 = 8 𝑥6 = 10 − 5 = 5 𝑥7 = 7 + 5 = 12 En conclusión El 5% leen las tres revistas. El 8% leen la revista A y la C, pero no la B. El 25% leen solo la revista B. En un estudio realizado sobre los pacientes adultos admitidos durante un mes se encontró: 57 con problemas cardiacos 57 con problemas Renales 57 con problemas respiratorios 8 ninguna de las tres 44 con problemas cardiacos y renales 32 con problemas renales y respiratorios 31 cardiacos y respiratorios 21 las tres enfermedades Se pregunta Pensamiento Cuantitativo

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¿cuántos pacientes ingresaron? ¿cuántos tienen problemas solo cardiacos? ¿cuántos tienen problemas solo renales? ¿cuántos tienen problemas solo respiratorios? Un grupo de jóvenes fue entrevistado acerca de sus preferencias por ciertos medios de transporte (bicicleta, motocicleta y automóvil) los datos de la encuesta fueron los siguientes Motocicleta solamente: 5 Motocicleta: 38 No gustan del automóvil: 9 Motocicleta y bicicleta, pero no automóvil: 3 Motocicleta y automóvil pero no bicicleta: 20 No gustan de bicicleta: 72 Ninguna de las tres cosas: 1 No gustan de la motocicleta: 61 Se pregunta ¿Cuál fue el número de personas entrevistadas? ¿A cuántos les gusta la bicicleta solamente? ¿A cuántos les gusta el automóvil solamente? ¿A cuántos les gusta las tres cosas? ¿A cuántos les gusta la bicicleta y el automóvil pero no la motocicleta? De 1000 televidentes encuestados se obtiene la siguiente información 391 ven programas deportivos 230 ven programas cómicos 545 ven programas sobre el mundo animal 98 ven programas cómicos y deportivos 152 ven programas cómicos y sobre el mundo animal 88 ven programas deportivos y sobre mundo animal 90 ninguno de los tres programas 50 ven programas deportivos y cómicos pero no sobre el mundo animal Se pregunta ¿Cuántos de los entrevistados ven los tres tipos de programas? ¿Cuántos de los entrevistados ven sólo uno de los tres tipos de programas? En una sección de 45 estudiantes, 24 juegan futbol, de los cuales 12 solo juegan futbol, 25 juegan basquetbol, 10 solo basquetbol, 19 juegan vóley bol y 9 juegan futbol y basquetbol. Si todos práctica por lo menos un deporte, se pregunta ¿Cuántos juegan basquetbol y vóley bol? ¿Cuántos juegan futbol y no basquetbol? ¿Cuántos juegan vóley bol y no basquetbol? Un colegio realiza tres pruebas a 100 estudiantes y ésta arroja los siguientes resultados 2 Estudiantes fracasaron en las tres pruebas 7 Estudiantes fracasaron en la primera y segunda prueba 8 Estudiantes fracasaron en la segunda y tercera 10 Estudiantes fracasaron en la primera y tercera 25 Estudiantes fracasaron en la primera prueba Pensamiento Cuantitativo

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30 Estudiantes fracasaron en la segunda prueba 25 Estudiantes fracasaron en la tercera prueba Se Pregunta ¿Cuántos fracasaron solamente en la primera prueba? ¿Cuántos fracasaron en la segunda y en la tercera pero no en la primera? ¿Cuántos aprobaron las tres pruebas? En una encuesta realizada a un grupo de empleados reveló que 277 tenían casa propia; 233 poseían automóvil; 405 televisor; 165 automóvil y televisor; 120 automóvil y casa; 190 casa y televisor 15 tenían casa, automóvil y televisor. Se pregunta: ¿Cuántas personas fueron encuetadas? ¿Cuántas personas tienen solo casa propia? ¿Cuántas personas tienen solamente casa y televisor? Hay 100 atletas y tres estaciones diferentes en que se presentan deportes: futbol en el otoño, basquetbol en el invierno y beisbol en la primavera. Algunos de los atletas juegan solamente un deporte, otros dos y otros tres. 40 personas juegan futbol, 15 los tres deportes, 5 basquetbol y futbol pero no beisbol y 10 solamente futbol. ¿Cuántas personas juegan tanto beisbol como futbol? Una empresa de servicios va a ampliar su red comercial y por ello necesita incorporar a 25 asesores. La empresa requiere fundamentalmente personas que posean, al menos, una de las características siguientes Alguna experiencia en el área de ventas Formación técnica Conocimiento del inglés En concreto, la empresa ofrece 12 plazas para los de la característica a; 14 para la los de características b; 11 plazas para los de característica c. Ahora bien la empresa quiere que 5 asesores posean características a y b, que 3 posean características a y c, que 6 asesores posean b y c, y 3 asesores con b y c y no con a. ¿Cuánto de esos 25 asesores quiere la empresa que posean las tres características citadas? ¿A cuántos asesores se les erige tener solo conocimientos del inglés? ¿Cuántos tienen experiencia en ventas y conocimiento en inglés y no tienen formación técnica? Una universidad aplica una encuesta a los 60 de sus egresados en Salud para conocer sus preferencias en 3 especializaciones, obteniendo los siguientes resultados 15 estudian pediatría solamente, 11 estudian pediatría e cirugía; 12 estudian cardiología solamente; 8 estudian pediatría y cardiología; 10 estudian cirugía solamente; 5 estudian cirugía y cardiología; 3 las tres especializaciones. Se pregunta: Pensamiento Cuantitativo

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¿Cuántos no quieren estudiar ninguna de las especializaciones propuestas? ¿Cuántos no quieren estudiar pediatría? ¿Cuántos quieren estudiar pediatría y cardiología pero no cirugía?

De un total de 60 estudiantes de un colegio: 15 estudian francés solamente, 11 estudian francés e inglés; 12 estudian alemán solamente; 8 estudian francés y alemán; 10 estudian inglés solamente; 5 estudian inglés y alemán; y 3 los tres idiomas. Se pregunta ¿Cuántos no estudian ningún idioma? ¿Cuántos estudian alemán? ¿Cuántos estudian alemán e inglés solamente? ¿Cuántos estudian francés? En una encuesta a 200 estudiantes, se halló que: 68 se comportan bien. 138 son inteligentes. 160 son habladores. 120 son habladores e inteligentes. 20 estudiantes se comportan bien y no son inteligentes. 13 se comportan bien y no son habladores. 15 se comportan bien y son habladores, pero no son inteligentes. Se pregunta ¿Cuántos de los 200 estudiantes entrevistados no se comportan bien, no son habladores y no son inteligentes? Un alumno de la facultad efectúa una encuesta sobre un grupo de 100 estudiantes acerca de los hábitos de estudio en la biblioteca de ingenierías y aporta los siguientes datos: Estudian Física 40, álgebra 55, geometría 55, física y álgebra 15, física y geometría 20, álgebra y geometría 30, estudian las tres asignaturas 10, no asisten a la biblioteca 5. ¿Puede asegurarse que la encuesta realizada es correcta? En una encuesta hecha a 100 personas sobre sus conocimientos de idiomas resultó lo siguiente: Hablan inglés 27; francés 22; italiano 12; inglés y francés 10; francés y alemán 9; inglés, francés y alemán 6; alemán e italiano 5; 19 hablan inglés pero no alemán; el número de los que hablan alemán es el triple de los que hablan únicamente francés; ninguno de los que hablan italiano hablan ni francés ni inglés. Se pregunta ¿Cuántos no hablan ninguno de los 4 idiomas? ¿Cuántos hablan únicamente alemán? ¿Cuántos saben al menos 2 idiomas? Pensamiento Cuantitativo

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¿Cuántos saben italiano o francés pero no inglés? ¿Cuántos no saben alemán y no saben inglés, pero saben francés? Al investigar un grupo de 480 estudiantes sobre sus intereses de estudios superiores se obtuvo la siguiente información : Todos los que querían estudiar Ingeniería Civil , también querían estudiar Ingeniería de Procesos Ninguno quería estudiar Ingeniería Civil y Educación Preescolar 10 estudiantes preferían estudiar otras carreras 60 querían estudiar Educación Preescolar e Ingeniería de Procesos 440 quieren estudiar Ingeniería de Procesos 180 quieren estudiar Ingeniería Civil Represente la situación de forma gráfica. ¿Cuántos estudiantes desean estudiar solamente Educación de Preescolar? Una encuesta aplicada a 75 pacientes admitidos en la unidad de cardiología de un hospital durante un periodo de dos semanas, arrojo los siguientes resultados: 47 llegaron con presión arterial alta 12 tenía problemas de presión arterial alta y respiratorios pero no con colesterol alto 46 llegaron con nivel de colesterol alto 31 llegaron con problemas de presión arterial alta y nivel de colesterol alto 52 llegaron con problemas respiratorios 29 llegaron con problemas de nivel de colesterol alto y problemas respiratorios 33 llegaron con problemas de presión arterial alta y problemas respiratorios Se pregunta: ¿Cuántos pacientes llegaron con las tres dificultades? ¿Cuántos pacientes llegaron con ninguna de las tres dificultades?

EL NÚMERO Es un símbolo que representa una cantidad. A través de la historia el hombre ha utilizado diferentes formas de representar cantidades


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Evolución del Número La necesidad de contar. La invención de la matemática data de los albores de la humanidad. La matemática es más vieja como el instinto de propiedad, es decir tan antigua como el hombre, este se sintió matemático en cuanto el afán de retener lo suyo lo llevo a contar sus rebaños y medir sus tierras. Los dedos primer sistema de numeración. En sus comienzo, el hombre numeraba las cosas con los dedos, si quería decir uno levantaba un dedo, dos levantaba dos dedos, con las dos manos podía contar hasta diez. Para señalar número mayor hacía girar las manos: veinte la giraba dos veces, treinta tres veces, etcétera. Fueron muchos los elementos que el hombre utilizo para contar: las yescas, piedras, nudos, rayas en las piedras, hasta llegar al ábaco. La forma de los Números Romanos se parece mucho a la manera de contar con los dedos que se usaba en un principio, el uno, dos y tres corresponden a los dedos levantados, el cinco a la mano abierta con el pulgar estirado y el diez las manos abiertas y entrecruzadas a la altura de las muñecas. Los números que utilizamos en la actualidad se derivaron también del sistema de contar con los dedos. El uno, desde un principio se escribió tal como lo hacemos hoy; el dos era representado por dos trazos pero horizontal; el tres por tres bastones acostados, el un sobre el otro, el cuatro por dos bastones colocados en forma de cruz, el cinco por una mano cerrada con el pulgar extendido. Al escribirse rápidamente, sin levantar la pluma del papel, fueron tomando la forma que conocemos. Los Números Arábigos que son Hindúes; Esos números que utilizamos provienen de la antigua escritura India, se denominan arábigos porque en el año 711, los Árabes invadieron a la India y tomaron contacto con esta civilización. Posteriormente los signos a que hacemos referencia fueron introducidos por los árabes en Europa; de allí fueron conocidos como signos arábigos.

http://viviendoyaprendiendo.wordpress.com/2008/07/14/los-nombres-de-los-numeros/ Pensamiento Cuantitativo

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Lectura de Números Ejercicios Lea las siguientes cifras: 5´006.004 200.202 1´001.000 1057.003.000 52,125 Problema Una persona realiza los siguientes movimientos en su cuenta bancaria durante una semana. El lunes consigna doscientos mil cien pesos, el martes un millón cinco mil diez pesos, el miércoles gira un cheque por un millón un mil diez pesos, el jueves consigna cuatrocientos mil veinte pesos y el viernes retira quinientos diez mil treinta pesos. ¿Cuánta plata le queda en el banco? Los Operadores Son símbolos que indican una relación u operación entre dos o más números. Existen diferentes tipos de operadores: Los lógicos, permiten combinar expresiones (y, o, no). De relación: permiten realizar comparaciones entre valores (=, <, ≤, >, ≥, ≠). Aritméticos: Indican una operación Adición o Suma (+) Sustracción o resta (-) Multiplicación ( x, *, . , la ausencia de signo se asume que hay una multiplicación 2 a) División ( ÷, /) Potenciación (𝛬) Radicación (√) Logaritmación: logaritmo de base 10 (log) y logaritmo natural (ln) Expresiones aritméticas: Es la combinación de números y operadores Ejercicios Realice las siguientes operaciones 85935 + 97486 7000 – 5699 32476 – 25588 4 x 2.5 0 ÷ 19 23 ÷ 0 25.15 + 73.045 3168 ÷ 198 Pensamiento Cuantitativo

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7.745 ÷ 5.48 Reglas de prioridad de los operadores aritméticos Las expresiones de dos o más operandos requieren de reglas que permitan el orden de las operaciones, este orden es: Los signos de agrupación: ( ), [ ], { } Logaritmación Potenciación y radicación Multiplicación y división Suma y resta Si en una expresión se encuentran dos operadores del mismo nivel de prioridad se resuelve de izquierda a derecha. Ejercicios ¿Cuál es el resultado de las siguientes operaciones? 5+4*1-2 3^2*3 6 + 4 × 3 – 42 ÷ 4 33 + 3 * 4 / 6 10 + 54 ÷ (−3)2 × √18 + (−2) −(−2) + √(−2)2 − 4 × (3)(−1) 2(3)

6+9×2 6*9  5  7 18 + 5 * 3 + 4 * 6 4 × 32 - 23 ÷ √16 + 5 35 ÷ √25 × 3 – 5 × 2 + 23÷4

4 * 7  2 3  4  5

6–8÷4+3×2 16 - 23 ÷ 2 + 6 x √36 2*5–3*6 1500 + 50𝐿𝑛(3 × 2 − 1)

Ejercicios Ubique los signos de agrupación en el lugar adecuado para obtener el resultado indicado: 1 6 + 8 ÷ 2 – 3 × 1= 4 6 + 8 ÷ 2 – 3 × 1= -2 6 + 8 ÷ 2 – 3 × 1= 7 6 + 8 ÷ 2 – 3 × 1= -14 4 8+6÷2–1×4=3 8+6÷2–1×4=5 8+6÷2–1×4=7 8+6÷2–1×4=16 8+6÷2–1×4=56

2 5 × 6 - 4 × 5 = 10 5 × 6 - 4 × 5 = 50 5 × 6 - 4 × 5 = 130 5 × 6 - 4 × 5 = -70 5 12 + {[(8 ÷ 4) – 2] × 3} = 12 {12 + [8 ÷ (4 – 2)]} × 3 = 48 12 + 8 ÷ 4 – 2 × 3 = 30 12 + 8 ÷ 4 – 2 × 3 = 36 12 + 8 ÷ 4 – 2 × 3 = 24 12 + 8 ÷ 4 – 2 × 3 = 9 12 + 8 ÷ 4 – 2 × 3 = 8


3 8 – 2 * 3 + 1 = 24 8 – 2 * 3 + 1 = 19 8–2*3+1=3 8–2*3+1=0 6 27 ÷ √9 × 3 − 4 + 23 = 31 27 ÷ √9 × 3 − 4 + 23 = −1 27 ÷ √9 × 3 − 4 + 23 = 63 27 ÷ √9 × 3 − 4 + 23 = 7 27 ÷ √9 × 3 − 4 + 23 = 15

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Criterios de Divisibilidad Un número b es divisible por otro a cuando la división es exacta. http://www.vitutor.com/di/di/a_3.html Número Criterio 2 El número termina en cero o cifra par 3 La suma de sus cifras es un múltiplo de 3 4 5 6 7

8 9

Ejemplo 378: porque "8" es par 480: porque 4+ 8+ 0 = 12 es múltiplo de 3. El número formado por las dos últimas cifras es 00 ó 7324: porque 24 es múltiplo de 4. múltiplo de 4. La última cifra es 0 ó 5. 485: porque acaba en 5. El número es divisible por 2 y por 3. 326 Para números de 3 cifras: Al número formado por las 469: porque 46-(9*2)= dos primeras cifras se le resta la última multiplicada 28 que es múltiplo de 7. por 2. Si el resultado es múltiplo de 7, el número original también lo es. Para números de más de 3 cifras: Dividir en grupos de 52176376: porque (373 cifras y aplicar el criterio de arriba a cada grupo. 12) - (17-12) + (5-4)= Sumar y restar alternativamente el resultado obtenido 25-5+1= 21 es múltiplo en cada grupo y comprobar si el resultado final es un de 7. múltiplo de 7. El número formado por las tres últimas cifras es 000 ó 27280: porque 280 es múltiplo de 8. múltiplo de 8. La suma de sus cifras es múltiplo de 9. 3744: porque 3+7+4+4= 18 es múltiplo de 9. Pensamiento Cuantitativo

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12 13

25 125


La última cifra es 0. Sumando las cifras (del número) en posición impar por un lado y las de posición par por otro. Luego se resta el resultado de ambas sumas obtenidas. si el resultado es cero (0) o un múltiplo de 11, el número es divisible por éste. Si el número tiene dos cifras será múltiplo de 11 si esas dos cifras son iguales.

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470: La última cifra es 0. 42702: 4+7+2=13 · 2+0=2 · 13-2=11 → 11 es múltiplo de 11

66: porque las dos cifras son iguales. Entonces 66 es Múltiplo de 11 El número es divisible por 3 y 4. 528 Un número es divisible por trece si al tomar la última 528 cifra de la derecha multiplicada por 9 y restar esta cantidad al número que resulta de quitar dicha cifra el resultado es cero o un múltiplo de 13.

Para números de más de 3 cifras: Dividir en grupos de 3 cifras, sumar y restar alternativamente los grupos de derecha a izquierda y aplicar el criterio de arriba al resultado obtenido. Si es múltiplo de 13, el número original también lo es. Si sus dos últimas cifras son ceros o múltiplo de 25 500, 1025, 1875 Si sus tres últimas cifras son ceros o múltiplo de 125. 1000, 1125, 4 250

Ejercicios Aplique los criterios de divisibilidad indicados en la tabla para comprobar las divisibilidades de cada número. 534 403 7286 56892 53955 Ejercicios Halla un número de 3 o más cifras que sean divisibles por: Por 4 Por 7 Por 8


Por 11

Por 13

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SISTEMAS DE NUMERACIÓN Conjunto de reglas que se utilizan para expresar y escribir números. Cada sistema de numeración tiene una base. Entre los sistemas de numeración conocidos tenemos: Binario de base dos, octal de base ocho, el hexadecimal de base 16 y el decimal de base diez, este último es el que empleamos nosotros. NÚMEROS REALES Números Dígitos: Son los que consta de una cifra Números Reales: Se considera el conjunto universal, se representa con la letra R, a él pertenecen: Los Naturales: Los números para contar, se representa con la letra N. Los Enteros: Están formados por los naturales el cero y los negativos. Los Racionales son los de la forma a/b Los irracionales son los que no se pueden escribir como la razón de dos enteros. Tienen representaciones decimales que no se repiten ni terminan Un número natural es cualquiera de los números que se usan para contar los elementos de un conjunto. Reciben ese nombre porque fueron los primeros que utilizó el ser humano para contar objetos, ya que las tareas de contar y de ordenar son las más elementales que se pueden realizar en el tratamiento de las cantidades http://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_natural Los números naturales son infinitos. El conjunto de todos ellos se designa por N: N = {0, 1, 2, 3, 4,…, 10, 11, 12,…} El cero, a veces, se excluye del conjunto de los números naturales. Pensamiento Cuantitativo

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Además de cardinales (para contar), los números naturales son ordinales, pues sirven para ordenar los elementos de un conjunto: 1º (primero), 2º (segundo),…, 16º (decimosexto),… http://www.casdquindio.edu.co/userfiles/naturales.pdf?phpMyAdmin=eb0b7294f6d4a0e5612 6a77981c1b8cc Problemas En cierta isla se carece de moneda, pero maneja la siguiente tasa de cambio 50 plátanos = 20 cocos 30 cocos = 12 pescados 100 pescados = 1 hamaca ¿Cuántos plátanos equivale una hamaca? Por datos: 50 plátanos equivalen a 20 cocos , si dividimos ambos valores por 2 encontramos que: 25 plátanos equivalen a 10 cocos , si multiplicamos ambos valores por 3 encontramos que: 75 plátanos equivalen a 30 cocos , pero 30 cocos equivalen a 12 pescados, por tanto 75 plátanos equivalen a 12 pescados , si dividimos ambos valores por 3, encontramos 25 plátanos equivalen a 4 pescados , si multiplicamos por 25, encontramos que: 625 plátanos equivalen a 100 pescados , como 100 pescados equivalen a una hamaca, entonces 625 plátanos equivalen a una hamaca. Juan vende pescados en el mercado. Si los vende a 500 pesos cada uno, se compraría una carreta y le sobrarían 160 pesos, pero si los vende a 550 pesos cada uno, le sobrarían 2500 pesos luego de comprar la carreta. ¿Cuánto cuesta la carreta? Un empleado ha sido contratado por 15 meses, tiempo por el cual se le ha ofrecido pagar $3´240.000 más un auxilio de transporte. Cumplidos los ocho meses, el empleado renunció al trabajo, y recibió como paga $2´320.000 incluido el auxilio de transporte. ¿De cuánto fue el auxilio? Un distribuidor de helados distribuye helados de acuerdo con: cada 4 días de vainilla, cada 6 días de arequipe y cada 8 días de fresa, ¿después de cuántos días vuelve a surtir los 3 sabores? Una persona pago $8750 por un automóvil gasto $830 en cambio de llantas y 200 en afinarlo para alquilarlo durante 2 años a razón de $1500 por trimestre y luego lo vendió por $7750 ¿Cuál fue la utilidad?


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Si 40 libros cuestan lo mismo que 20 cuadernos, y 18 lápices lo mismo que 4 borradores, ¿cuántos cuadernos nos pueden dar por 60 lápices, si el precio de 30 libros equivale a 40 borradores? A una función de teatro infantil entraron 270 personas. Por cada dos niños entro un adulto a la función. Cada adulto pago $6000 y los niños entraron gratis. ¿Cuántos niños y cuántos adultos entraron a la función? ¿Cuánto dinero se recaudó en la función? Transcurridas 24 semanas desde el inicio de un proyecto de vivienda se han construido 24 casas. En las últimas 8 semanas se construyeron 2 casas por semana. ¿cuántas casas por semana construyeron las primeras 16 semanas? A un estadio entran en total 12 425 personas de las cuales 1254 no pagan la boleta a la entrada. La recaudación total fue de $39 098 500. ¿Cuál es el valor de cada boleta de entrada si todos los asistentes pagan el mismo valor? Cierto almacén vende pantalonetas con las siguientes promociones Promoción A Promoción B

$9 000 cada pantaloneta $30 000 la primera pantaloneta y $2500 por cada pantaloneta adicional Si se necesita comprar 4 pantalonetas. ¿con cuál promoción le sale más barata? ¿por qué? Si se cuenta con $100 000 ¿Cuántas pantalonetas puede comprar en cada promoción? ¿Qué cantidad de pantaloneta cuestan lo mismo en las dos promociones? Una empresa obtuvo ganancias en el 2004 por $32,184 millones; en el 2005 $14,159 millones más que el año anterior; en el 2006 tanto como en los años anteriores juntos; en el 2007 tanto como en los tres años anteriores juntos; y en el 2008, $ 12,136 millones más de lo que gano en 2007 y en el 2005 ¿cuánto ha ganado durante los 5 años? Una persona compró un libro que costó $105 000; un vestido por $140 000; una cámara fotográfica que costó $180 000 más que el libro y el vestido juntos; un anillo que costó $ 175 000 más que el libro, el vestido y la cámara; y un computador que costó $ 235 000 más que todo lo anterior. Si le sobraron $211 000, ¿cuánto dinero tenía? Un vendedor de cemento tiene durante cierta semana el siguiente movimiento de compraventa: el inventario inicial es de 157 bolsas, recibe durante la semana las siguientes cantidades, el lunes 285, el martes 278, el miércoles 196, el jueves 418 y el viernes 332. El sábado cierra el negocio con una existencia de 94 bolsas. Si compra cada bolsa en $7200 y las vende en $9500. ¿Cuál es utilidad obtenida durante dicha semana? ¿Cuánto costó lo que al venderse por $12´517.350 deja una pérdida de $1´383.500? Si compro un computador portátil por 750 dólares si quiero ganarme $2 000 000 por su venta, teniendo en cuenta que el dólar está en $2´190.80 ¿en cuánto debo vender?


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Un comerciante hace un pedido de 3000 Kg de arroz. Inicialmente recibe 813 Kg, más tarde 124 Kg menos que la primera vez y después 156 Kg más que la segunda vez. ¿Cuánto arroz falta por enviarle? Un vendedor de frutas compra 120 naranjas a $1000 la docena y las vende a razón de $100 la unidad. Si se le dañaron 35 naranjas ¿cuál es la ganancia o la perdida? Un comerciante vende 14 sacos de harina a $10 800 cada uno con una pérdida de $ 200 por saco; 20 sacos de arroz a $7 760 cada uno con una ganancia de $ 100 por saco y 7 sacos de frijoles a $ 4 800 con una pérdida de $ 500 por saco. ¿Cuál fue el costo de toda la mercancía que se vendió? Un comerciante compra un lote de sacos de azúcar por $594 000 y luego los vendió $ 950 400 ganado así $ 2 640 por saco. ¿cuántos sacos compró? En un teatro las entradas de adulto costaban $ 9 000 y las de niños $ 3 000. Si se recaudaron $ 5 460 000 y por cada niño entraron dos adultos ¿cuántos espectadores entraron al teatro? Si cinco amigos alquilan una casa, cada uno tiene que pagar $150 000 por el alquiler. Pero si se agregan a la casa tres amigos más, ¿cuánto tendrán que pagar cada uno por el alquiler de la misma casa? Un constructor compra una parcela de 5 hectáreas que le cuesta $6´500.000. Se gasta $1´200.000 en urbanizarla, y pierde 1 hectárea entre calles y aceras. El terreno que le queda lo divide en 25 parcelas. Si quiere ganar $5´400.000, ¿a qué precio tiene que vender el metro cuadrado de parcela? Los abuelos de Ana son granjeros y venden huevos de gallina. Averigua el beneficio que obtendrán durante un año sabiendo que: • Tienen 1.000 gallinas. • Cada gallina pone una media de 26 huevos al mes. • Los huevos los ponen en cartones de 2,5 docenas. • Cada docena la venden a 0,58 euros. • Por cada cartón pagan 0,03 euros. • Se les rompen el 5% de los huevos. Salud Un local de Policlínica funciona con los siguientes costos: El alquiler de $15´000.000 al mes Salarios administrativos de $5´000.000 $2´000.000 de sueldos fijos a cada uno de los 5 médicos Si cada consulta cuesta $15.000 y este es el único ingreso del local ¿cuántos pacientes deberá atender cada médico para cubrir los gastos de la clínica? Un frasco de jarabe viene en presentación de 250 ml. El médico ha recetado a un paciente que tome 3 cucharadas diarias de 5 ml ¿Tiene suficiente jarabe para los 12 días de tratamiento? Pensamiento Cuantitativo

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El corazón de una persona palpita 70 veces por minuto. Calcula el número de palpitaciones que habrá dado en un día.

NUMEROS ENTEROS Matemáticamente, el conjunto de los números enteros con las operaciones de suma y multiplicación, constituye un anillo conmutativo y unitario. Por otro lado, , donde es el orden usual sobre , es un conjunto completamente ordenado sin cota superior o inferior: los enteros no tienen principio ni fin. El conjunto de los números enteros se representa mediante (el origen del uso de Z es el alemán Zahlen 'números'). Valor Absoluto de un Número: Es la distancia del número al cero, por ello este valor siempre es positivo, es decir no tiene en cuenta el signo. Si x es un número entero el valor absoluto de x se representa |x|. Ejemplos: |-5| = |5| |-3|<|-4| |-2|>|1|

Ley de los signos Adición y sustracción de Números Enteros: Para sumar o restar dos o más números enteros se debe tener en cuenta: Si son del mismo signo se suman y el resultado queda con el número que tienen los números Ejemplo 5+3=8 (-5) + (- 3)= -8 Si son de signos contrarios se restan y el resultado queda con el signo del número de mayor valor absoluto Ejemplo 5–3=2 -5 + 3 = -2 Multiplicación y División de Números Enteros: Para multiplicar o dividir dos enteros se tienen en cuenta las siguientes consideraciones: El producto o cociente de enteros de signos iguales siempre es positivo Ejemplo 6 * 3 = 18 Pensamiento Cuantitativo

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(-6) * (-3) = 18 6÷3=2 (-6) ÷ (-3) = (2) El producto o cociente de enteros de diferentes signos siempre es negativo 16 * (-4) = -64 (-16) * 4 = -64 16 ÷ (-4) = -4 (-16) ÷ (4) = -4 Ejercicios Marque con una C la afirmación correcta y con una I la incorrecta. Si la repuesta es incorrecta justifíquela: 19 – 54 – 81 = 116 ( ) 2. -9 + 18 – 10 = - 1 ( ) Si -21 + x = -6 entonces x = 15 ( ) Si 3x = -18 entonces x = 6 -1 > -2 ( ) |-3| <|-5| ( ) -5 – 2 < -15 + 8 ( ) |-7 + 12| > |8 – 3| ( ) Problemas Se quiere resolver un problema sobre tres números enteros consecutivos que sumados fueran 81. Se escribe la ecuación (n – 1) + n + (n + 1) ¿Qué representa n? ¿Cuáles son los tres números? Un Tanque contiene 24320 litros de agua antes de iniciar el lavado de café. ¿Cuántos litros de agua quedan en el tanque después de 5 horas, si se gastan un promedio de 4900 litros por hora? ¿Cuántos litros en promedio se deben consumir por hora para que el agua alcance? En un campeonato de fútbol intercolegial se inventaron una regla de juego que consistía en: partido ganado daba 3 puntos, partido empatado daba 1 punto, partido perdido quitaba 2 puntos, cada gol a favor daba 2 puntos y cada gol en contra quitaba 1. Al final cada equipo jugó 8 partidos y la tabla de resultados fueron los siguientes: EQUIPO TIGRES OSOS TOROS REBELDES PITUFOS

PARTIDOS GAN EMP PER 4 0 4 5 1 2 5 2 3 3 2 3 2 Pensamiento0Cuantitativo 6

FAV 8 10 8 12 7

GOLES CONTRA 8 9 8 7 12

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En la siguiente tabla escriba el orden en que quedaron los equipos con sus respectivos puntos: Posición 1 2 3 4 5

Equipo

Puntos

Un importador compra un lote de computadores por US $ 108000. Vendió una parte por US $ 46400, a US $ 400 cada uno perdiendo US $ 100 en cada uno y otra parte en US $ 36000, ganando US $ 100 a cada uno. a. ¿Cuántos computadores tiene el lote? b. Para obtener una ganancia de US $ 4000 ¿a cómo debe vender los restantes computadores? Pitágoras, filósofo y matemático griego, vivió entre los años 582 y 496 A.C. ¿A qué edad murió? ¿Cuántos años hace de eso? Hipatía de Alejandría fue una científica, filósofa y maestra que murió asesinada en el año 415 a la edad de 45 años. Arquímedes, en cambio, fue un matemático griego que murió a la edad de 75 años durante el asedio a la ciudad de Siracusa por los romanos en el año 212 a.C. ¿En qué año nació cada uno? Euclides de Alejandría científico que enseño matemáticas durante más de 20 años, nació hace 2336 años y murió hace 2276 ¿en qué año nació? ¿En qué año murió? ¿A qué edad murió? Los participantes de un concurso deben contestar 30 preguntas, cuando dan una respuesta correcta obtienen 3 puntos, si pasan no tienen puntos, si contestan incorrectamente pierden un punto. Cierto concursante acumula solamente 6 puntos. Indicar las posibles respuestas 2b y 0 m 3by3m

4b y 6 m 5 b y 9m

6 b y 12 m 7b y 15 m

8b y 18 m 9b y 21 m

Salud Una vacuna viene en presentación de 12.5 cc y se aplica 2.5 cc por paciente. Si se cuenta con 5 cajas de vacunas cada una con 100 unidades y se necesita aplicar a una población de 3000 personas ¿cuántas personas quedan sin vacunarse?


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Un paciente herido pierde 3 cc de sangre por minuto. Si el cuerpo humano tiene 5000 cc de sangre, se pregunta En una hora ¿qué cantidad de sangre queda en el cuerpo? Si cada bolsa de sangre posee 0.25 cc ¿cuántas bolsas de sangre se necesitan para recuperar la sangre perdida? NUMEROS RACIONALES http://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_racional http://www.monografias.com/trabajos42/numeros-racionales/numeros-racionales.shtml Definición La palabra racional se deriva del latín, ratio, que significa razón. Es el que se puede expresar como cociente de dos números enteros. El conjunto de los números racionales se designan con "Q" por "quotient" que significa "cociente" en varios idiomas europeos. El conjunto Q de los números racionales está compuesto por los números enteros y por los fraccionarios. Los números enteros son racionales, pues se pueden expresar como cociente de ellos mismos por la unidad: a = a/1. Los números racionales no enteros se llaman fraccionarios. El conjunto Q de los números racionales se representan de la forma a/b donde a y b  R con b 0, a recibe el nombre de numerador y b denominador. Un racional es una división indicada. Existen dos tipos de racionales, propios e impropios. Un racional propio es aquel que el numerador es menor que el denominador; como por ejemplo: 1⁄2, 2⁄3 y 11⁄15 Un racional impropio es aquel que el numerador es mayor que el denominador, por ejemplo: 5⁄2,7⁄3 𝑦 19⁄4. Los racionales impropios se pueden convertir en números mixtos o en enteros (por ejemplo, 213 , 534 y 623 )si se divide el numerador por el denominador y el resto se expresa como una fracción del denominador. Todo número entero se puede expresar como un racional. Origen de las fracciones Aritmético: La división no exacta de los enteros Geométrico: Un segmento con longitud no exacta Físico: Medición de magnitudes físicas Propiedades de las fracciones Si el denominador es 1 el racional es igual al numerador. Si el numerador y el denominador son iguales el racional es igual a 1. Si el numerador es igual a cero el racional es cero. Si el denominador es cero el racional es indeterminado. Principio fundamental de los Racionales El numerador y el denominador de un racional se pueden multiplicar (Amplificación) o dividir (simplificar) por una misma cantidad diferente de cero.


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Ejercicios Amplificar en 2, 5, 7 y 8 cada racional 4 3

2 5

7 4

3 7

Ejercicios Simplifique cada una de las siguientes expresiones: 4 8

30 35

5𝑥 4 15𝑥 2

18𝑥𝑦 3 64𝑥𝑦 2

Operaciones con los números Racionales Adición y sustracción de números Racionales Para sumar o restar números racionales debemos tener en cuenta si: Si tienen el mismo denominador: Se mantiene el mismo denominador común y se suman los numeradores. Simbólicamente a b ab   d d d

Con d0

Si tiene diferente denominador: Se pueden realizar uno de los siguientes procedimientos: Se amplifican o simplifican las expresiones para que queden de igual denominador Se busca el máximo común divisor Si a y b son dos números naturales distintos de cero, tal que a > b, entonces: M.C.D. (a, b) = M.C.D. (b, a – b). Se aplica la fórmula: a b ad  bc , con c y d 0   c d cd

Además se puede calcular por mínimo común múltiplo1, ejemplo: 2 1 + 3 4 Inicialmente se halla el mínimo común múltiplo entre los denominadores Múltiplos de: 3: 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24 Múltiplos de 4: 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28 Como podemos observar el mínimo común múltiplo de 3 y 4 es 12, luego escribimos el 12 como denominador, se divide este número por cada denominador de los sumandos y el resultado se 1 El mínimo común múltiplo de dos o más números naturales es el menor número natural que es múltiplo de todos ellos. Sólo se aplica con números naturales, es decir, no se usan decimales ni números


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multiplica por el respectivo numerador escribiendo el resultado como denominador de la nueva fracción, así 8 + 3 11 = 12 12 Otra forma de realizar la operación es por amplificación, utilizando el mínimo común múltiplo, se amplifican las fracciones para igualar los denominadores al mínimo común múltiplo, así, se 2 1 multiplica y se divide el 3 por 4 y el 4 por 3, quedando 8 3 11 + = 12 12 12 En la calculadora utilizamos la tecla 𝑎 𝑏⁄𝑐 ó podemos sumar o restar fracciones. Si el resultado obtenido tiene tres términos (3⌟1⌟2), está expresando la respuesta como un número mixto, pulse shift y 𝑎 𝑏⁄𝑐 para que el resultado quede expresado como fracción. Para operar tres o más fracciones halle el mínimo común múltiplo de los términos por descomposición en factores primos, expresados como producto de factores primos, su mínimo común múltiplo será el resultado de multiplicar los factores comunes y no comunes elevados a la mayor potencia. 3

5

2

Ejemplo calcular 8 + 12 + 15 Hallamos el mínimo común múltiplo de 8, 12 y 15 8 12 15 4 6 15 2 3 15 1 3 15 1 1 5 1 1 1

2 2 2 3 5

Entonces el mínimo común múltiplo de 8, 12 y 15 es 23x 3x5= 120, escribimos el 120 como denominador, se divide este número por cada denominador de los sumandos y el resultado se multiplica por el respectivo numerador escribiendo el resultado como denominador de la nueva fracción, así 120 ÷ 8 × 3 = 45; 120 ÷ 12 × 5 = 50; 120 ÷ 15 × 2 = 16, 45 + 50 + 16 111 = 120 120 Ejercicios Pensamiento Cuantitativo

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Calcular: 2 1 + 3 9 

1 3 + 4 6

2 +3 3

7 7 3   4 10 8

8 2 5   3 7 2

7 3 5   9 5 6

2−

1 4

1 3 2 + − 4 6 5 4 5 1 3+6−2 5 1 + 1 + 61 25 −2+ 2

Multiplicación de los Racionales El producto de dos racionales es otro racional donde el numerador se obtiene multiplicando los numeradores de los factores y el denominador multiplicando los denominadores de los factores. Es decir: a x c  axc b

d

bxd

División de los Racionales El cociente de dos números racionales es otro racional que se obtiene multiplicando el multiplicando por el inverso multiplicativo del multiplicador. Es decir: a  c  a  d  a  d b

d

b

bc

c

Números Mixtos: Son aquellos formados por un entero y un racional. Es decir a b c Ejemplo: 5 1 ,3 1 ,7 2 ,2 1 4

2

3

4

Para convertir un mixto en racional se suma el entero con el racional. Ejemplo convertir en racional: 1 1 2 1 5 3 7 2 4 2 3 5 Para convertir una fracción en mixto esta de ser impropia, se descompone el numerador en dos sumas tal que uno de los sumandos sea múltiplo del denominador, se separan los sumando, se simplifica y se expresa como mixto. 4 3

11 5

27 8

Ecuaciones con números Racionales Ejercicios Pensamiento Cuantitativo

125 15

Mis Notas de Clase


55

Resuelva y verifique cada una de las siguientes ecuaciones: 7 = -7 4 3

x - 2 = -1

x- 5 = 1

6x = 4 5 5

x +1 =1 3 2 3

3x 1 - = -2 3 5 3

m+

-

5

8

6

1 3x =4 5

8

Problemas 3

Un granjero desea instalar mallas un terreno de 2275 m de largo. El primer día hace 7 del trabajo 2

y el segundo ¿cuántos metros faltan para culminar el trabajo? 5 3 2 29 6 1−( + )= 1− = 7 5 35 35 6 ∗ 2275m = 390 m. 35 Para culminar el trabajo faltan 390m En un galpón, 4/6 de los conejos tienen una enfermedad. Después de haberlos inyectado se observa que de los conejos enfermos han muerto 2/5 partes. Con base en lo anterior, El dueño decidió vender cada conejo sano a $2000 y cada conejo enfermo a $800. Si tenía 600 conejos, ¿cuánto dinero recibe por la venta? Como se tenían 600 conejos 4 Para hallar la cantidad de animales enfermos multiplicamos 6 × 600 = 400 enfermos. 2

Para hallar la cantidad de animales muertos multiplicamos 5 × 400 = 160 muertos. Para hallar la cantidad de animales enfermos que no murieron restamos 400 − 160 = 240 Para hallar la cantidad de animales sanos restamos 600 − 240 = 360 Si se vende cada conejo enfermo en $800c/u se obtendría por la venta 240 × 800 = $192 000 Si se vende cada conejo sano en $2000c/u se obtendría por la venta 360 × 2000 = $720 000 Suponiendo que se vendieron todos los conejos, se recibiría por la venta 192 000 + 720 000 = 912 000 Por la venta de los animales se recibirían $912 000. En las elecciones para presidente de cierta vereda, 3/11 de los votos fueron para el candidato A, 3/10 para el candidato B, 5/14 para el candidato C y el resto para el candidato D. El total de votantes fue 15 400. Calcular: El número de votos obtenidos por cada candidato. El número de abstenciones sabiendo que el número total de votantes representa 7/8 del potencial electoral de la vereda Para saber la cantidad de votos por candidato multiplicamos la cantidad de votos por la fracción de votos obtenida por cada uno 3 Candidato A: 15 400 × 11 = 4 200 Pensamiento Cuantitativo

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56

3

Candidato B: 15 400 × 10 = 4 620 5

Candidato C: 15 400 × 14 = 5 500 Sumamos los votos de estos candidatos, se lo restamos a 15 400 que es el total de votos para obtener los votos del candidato D Candidato D: 15 400 − (4 200 + 4 620 + 5 500) = 15 400 − 14 320 = 1 180 Para hallar el número de abstenciones hallamos inicialmente el total de habitantes que pueden 7 votar. Teniendo en cuenta que: 𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙 × 8 = 15 400 15 400×8

Despejando 𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙 − 𝑉𝑜𝑡𝑜𝑠 = = 22 000 7 El total de personas que pueden votar es de 22 000. Se resta el potencial electoral de los votantes y obtenemos el número de abstencionistas: 22 000 − 15 400 = 2 200 El número de abstencionista fue de 2 200 En una encuesta aplicada a 15 000 habitantes de la ciudad de Santa Marta sobre el uso del medio de transporte se encontró que: 1/20 prefiere caminar, 1/15 prefiere la bicicleta, 1/5 la moto, 1/3 el vehículo particular y el resto el transporte público. ¿Qué fracción de habitantes prefiere el transporte público? ¿Qué cantidad de habitantes de los encuestados utiliza cada medio de transporte? 2

Un futbolista ha anotado 5 del número de goles marcados por su equipo y otro la cuarta parte. Si los demás jugadores han conseguido 14, se pregunta ¿Cuántos goles ha conseguido el equipo en la temporada? ¿Cuántos goles ha conseguido el máximo anotador? El propietario de un solar vende 1/3 de este a una empresa constructora y 3/4 del resto a otra, quedando aún 5 Ha sin vender. ¿Qué superficie tiene el solar? Dos automóviles A y B hacen un mismo trayecto de 572 km. El automóvil A lleva recorridos los 5/11 del trayecto cuando el B ha recorrido los 6/13 del mismo. ¿Cuál de los dos va primero? ¿Cuántos kilómetros lleva recorridos cada uno? Una finca de 40 hectáreas fue dividida en parcelas (partes) iguales como muestra la figura

.

La distribución

está dada por Siembra de Cacao Siembra de banano Casas Crianza de animales


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Se pregunta ¿Qué fracción de la finca es utilizada para la crianza de animales? es ¿Qué cantidad de hectáreas utilizada para la siembra de banano? 8. Al estreno de una obra han asistido 676 personas, de las cuales 7/13 son adolescentes. ¿Cuántos adolescentes asistieron? Si la mitad de los adolescentes son chicas ¿Cuántas chicas adolescentes asistieron? Una empresa gasta en enero 1/4 de su presupuesto en el sueldo de sus empleados, 3/5 en materiales y 1/8 en el alquiler del local ¿Qué fracción le queda al dueño de la empresa? Alberto compró una finca de 900m2. Ha utilizado 1/3 de la finca para construir una casa, 1/4 para la piscina y el resto para jardín ¿Qué fracción de la finca ha utilizado para jardín? ¿Cuántos m 2 son? Cierta empresa tiene 145 empleados de los cuales 2

13

1 29

son directivos,

3 28

de los restantes son

profesionales, 5 de los demás son tecnólogos, 15 de los que quedan son técnicos y los demás no tienen ningún tipo de formación técnica. ¿Qué cantidad de trabajadores no tiene ninguna formación académica? 1

3

Si un fosforo mide 25 ¿cuántos fósforos se necesitan para cubrir 4 de metro? Una persona gasta la mitad de su dinero en un almacén y 3/7 de lo que le queda en otro. Si después de efectuadas las compras le quedan $24 000 ¿calcule la cantidad de dinero que tenía al principio? Una persona debe realizar un trabajo en 3 días, el primer día alcanza a realizar segundo

1 del total, el 7

1 2 y el tercero ¿alcanzo a cumplir con su trabajo? 5 4 7

En un colegio hay 3 240 estudiantes y el número de estudiantes mujeres es de 18 del total ¿cuántos estudiantes varones hay? De un tanque de gas se gastó

3 1 1 en la primera semana, en la segunda y en la tercera semana. 4 3 8

¿Qué fracción de gas queda en el tanque? De un tanque de gas se gastó

1 2 1 3 en la primera semana, en la segunda, en la tercera y la cuarta 5 5 4 20

semana ¿Qué fracción de gas queda en el tanque? Si el tanque se llena con 5000 cc ¿qué fracción de gas se gastó cada semana? En una estación de gasolina se llena el depósito el lunes con 2500 galones, el mismo día se venden 600 galones, el martes 500 galones y el miércoles 300 galones ¿Qué fracción de gasolina se vendió cada día? ¿Qué fracción de gasolina queda en el depósito?


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Un anciano reparte su herencia de la siguiente forma 1 para su esposa 1 para sus hijos, 1 para el 5

6

4

resto de la familia y el restante lo donará a una casa de beneficencia. Si su herencia está valorada en 300 millones de pesos ¿cuánto le corresponde a cada uno? Un señor antes de morir reparte su herencia de la siguiente manera: a dos de sus hijos les deja 2 1 𝑦 3 de su herencia y al tercero el resto. Si la herencia es de 300 millones de pesos ¿Cuánto le 5 corresponde a cada uno? Un joven quiere comprar una bicicleta. El papá la da la mitad de la plata, la mamá 2 de la parte que 5

le falta. Si la bicicleta tiene un valor de $124.000 ¿Qué fracción le hace falta para comprar la bicicleta? En un grupo de 40estudiantes 3 de cada 5 juegan fútbol. ¿Cuántos no juegan fútbol? Si un empleado devenga $1.200.000 y gasta $160.000 en servicios, $340.000 en alimentación, $280.000 de la cuota de una deuda, reserva $200.000 para transporte y $100.000 para imprevistos, lo restante lo ahorra. ¿Qué fracción de su sueldo ahorra? El valor de un artículo es $180.000, es incrementado en

1 de su valor ¿Cuál es su nuevo precio? Si 6

el nuevo precio es de $24.000 ¿cuál es la fracción del incremento? Después de una fiesta sobraron

28 del pastel ¿Cuántos pasteles enteros se pueden formar? ¿Qué 5

cantidad sobra? De una finca de 40 hectáreas,

2 está sembrada en cacao y 1 del resto de banano y el resto es para 4 5

crianza de animales ¿Cuántas hectáreas están sembradas de cacao y cuántas de banano? ¿Qué fracción de la finca está destinada para la crianza de animales? ¿Cuántos pedazos de varillas de

25 1 de metro de longitud se pueden sacar de una varilla de 4 4

metros de largo? 1 Si una llave vierte 8 4 litros de agua por minuto ¿Cuánto tiempo empleará en llenar un depósito de 1

90 4? La propietaria de un jardín infantil solicita a un contador le diseñe un presupuesto para un año. El presupuesto es 1/15 de los ingresos están destinados para el arriendo, la ½ de lo que quede es para pago de maestros, ¾ de lo demás es para la nómina del personal administrativo, 1/5 de lo restante está destinado para el pago de servicios, ¼ de lo demás para materiales e insumos, reserva 1/3 de lo que queda para actividades, guarda 5/8 de lo demás para imprevistos y lo que queda es ganancia. Si el ingreso del año inmediatamente anterior fue de 60´000.000 ¿de cuánto fue la ganancia obtenida?


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Salud En un hospital trabajan 145 médicos, de los cuales 3/29 son especialistas, la mitad de los que quedan están asignados a emergencia, 3/5 de los restantes son de consulta externa y 8/13 de los restantes son internos los demás están asignados para trabajos administrativos. ¿Cuántos médicos laboran en el área administrativa? De los pacientes que ingresaron a raíz de una intoxicación; la sexta parte se mantienen en terapia intensiva, la cuarta parte están en observación y 42 fueron dados de alta. ¿Cuántas personas resultaron intoxicadas? En un clínica 1⁄8 del personal son médicos, 3/8 enfermeras y el resto camilleros. Si hay 32 trabajadores ¿qué fracción de los empleados son camilleros? ¿cuántos de los empleados no son médicos? El administrador de una clínica decide que cada noche en la sala de emergencias máximo pueden laborar 40 personas, de las cuales 1/10 son médicos, ¼ de los demás enfermeras, 2/3 de los restantes camilleros, 2 de los que quedan recepcionistas y los demás son del personal operativo. ¿cuántas personas por cada profesión tienen que quedar en emergencia? ¿Qué fracción de agua destilada y amoxicilina en polvo se requiere para preparar una suspensión de 100 ml si se utilizan 68 ml de la primera y 32 ml de la segunda? 17

Para preparar una suspensión de amoxicilina se requiere 25 de agua destilada, que fracción de amoxicilina en polvo se requiere. Si se necesita preparar 100 ml de suspensión ¿qué cantidad de agua destilada y amoxicilina en polvo se requiere? De los pacientes atendidos durante un mes en emergencias de un clínica, la cuarta parte son 2 personas mayores de 60 años; las 3 partes del resto tienen entre 25 y 60 años, y de los que quedan, solo la sexta parte son niños menores de 8 años. ¿Qué fracción de los pacientes atendidos entre 8 y 25 años? Si el total de pacientes es 864, ¿cuántos pertenecen al mayor grupo?


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NÚMERO DÉCIMAL Cualquier número racional expresado en el sistema de numeración decimal se dice que son decimales. Por ejemplo 0,5; -2,84; 3,141592… Un número decimal está compuesto por una parte entera, el punto o la coma decimal y la parte decimal. Las unidades fraccionarias a la derecha de la coma se llaman décimas, centésimas, milésimas, diezmilésimas,…, millonésimas. Si un número decimal tiene un número finito de cifras decimales se suele llamar decimal exacto, si tiene infinito número de cifras que se repiten periódicamente, se llaman decimales periódicos y si tiene infinitas cifras que no se repiten periódicamente, son números irracionales. Es el caso de p = 3,141592… Ã = 1,41424… Para convertir una fracción en decimal se divide el numerador por el denominador. Por ejemplo: 3  1,5 ; 2

1 4  0,8 ;  0,5 5 2

Para convertir un decimal en fracción se realiza el siguiente procedimiento: Procedimiento Ejemplo x  0,25 Se hace el decimal igual a una variable Se multiplica la ecuación por una potencia de (100) x  0,25(100) 10 que tenga tatos ceros con decimales tenga el número 100 x  25 Se resuelve la operación 25 Se despeja la variable x Se simplifica si es posibles

100 1 x 4


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Ejercicios Convertir en decimal 1 2

5 12

2 5

24 96

0.125

0.015

0.0005

3 5

Convertir en fracción 0.8 0.17

Adición y sustracción de Números Decimales Para sumar o restar números decimales debe tener en cuenta que las comas decimales deben ir en la misma columna lo que implica colocar decenas debajo de decenas, unidades debajo de unidades, décimas debajo de décimas, centésimas debajo de centésimas y así sucesivamente, se efectúa la operación en la forma ya conocida y en el resultado se coloca la coma, teniendo en cuenta que quede alineada con la coma de los sumandos. Si los números no tienen la misma cantidad de cifras decimales, inicialmente se iguala el número de cifras decimales de ambos números, añadiendo ceros por la derecha de la parte decimal de cualquiera de ellos. Ejercicios Calcular 0,8 + 0,17 3,8 – 0,75 + 1,35

7,86 + 3,15 15,2 – 0,75 – 4,6

0,39 – 0,18 3,5 + 9,36 – 10,75

Multiplicación de Números Decimales Para multiplicar dos números expresados en forma decimal, hacemos la multiplicación sin tener en cuenta las comas, como si fueran números naturales. Después contamos cuántas cifras decimales tienen entre los dos factores y separamos ese número de cifras decimales en el resultado de derecha a izquierda. Ejercicios Calcular 0,5 x 0,3 0.008 x 0.96

0,18 x 3,74 45.89 x 0.67

11.87 x 0.1

División de los Números Decimales Para dividir dos decimales, si no son homogéneos, es decir, si no tienen el mismo número de cifras decimales, se hace que lo sean añadiendo ceros al que tenga menos cifras decimales. Una vez homogéneos el dividendo y el divisor, se suprimen los puntos y se dividen como enteros. Si se


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divide un entero por un decimal al entero se le añaden tantos ceros con cifras decimales tenga el decimal y se divide como enteros. Ejercicios Calcular 128 0.96 130,3

Ejercicios Evalué en la calculadora (1,4 – 0,25) x 3,18

0,90,3 0,64 16

0,7350,15

15,47 + (0.025 x 51,32)

1000000  (1 +0.2)

Problemas Una persona compra una nevera cuyo precio de contado es $894 239,95 si la paga a crédito en 12 plazos le recarga $102 945,60. Si da una cuota inicial de $490 785,55 ¿qué cantidad de dinero tendrá que pagar cada mes? Para hacer 36 vestidos se requieren 89.25 metros de tela ¿Cuántos metros de tela se gastan en tres vestidos? Se canceló un crédito de $30´086 900 en 180 cuotas ¿Cuánto se canceló cada mes? Si con 24 galones de gasolina se han recorrido 567,5 Km. ¿cuántos kilómetros es posible recorrer con 15 galones? Un sastre gasta 890 metros de paño en la confección de 780 pantalones ¿cuántos metros de paño emplea en cada tres pantalones? Una madeja de lana tiene 900 metros. En un tejido se han gastado 267,25 metros. ¿cuántos metros de lana no se han utilizado? Un mantel de forma rectangular de 2,10 metros de largo por 1,5 metros de ancho se quiere adornar en su borde con 10 metros de encaje. ¿Alcanzará el encaje? ¿Cuántos metros de encaje sobran o faltan? Una cuenta de $89´654 823,50 se cancela con billetes de 20 000 ¿Cuántos billetes se necesitan? Un terreno cuadrado mide 0,096 metros de lado. ¿Cuánto mide el perímetro? En un terreno rectangular de 750,8 de largo y 364 m de ancho se ha construido una casa de 137 m de largo por 12,45 m de ancho. ¿Qué área del terreno no está construida? Pensamiento Cuantitativo

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¿Cuántas casas completas, de la misma área pueden ocupar en el terreno desocupado? Para construir la casa se invirtieron $32´907 50 ¿Cuánto se gastó por metro cuadrado?

NÚMERO IRRACIONAL Son aquellos números infinitos que tienen una expresión decimal no periódica y se representan con la letra I. Estos números no se pueden representar como racionales es decir de la forma a/b. Las raíces pares de los números primos son decimales infinitos no periódicos por lo tanto hacen parte del conjunto de los números irracionales.

√2 1

1

1

0

√2

√3

2

Otros números irracionales son: El número pi (𝜋 = 3.14159265 … ) que es la proporción entre la longitud de una circunferencia y su diámetro. 1 𝑛

El número Euler (𝑒 = lim (1 + 𝑛) = 2.71828182845905 … .) que aparece en procesos de 𝑛→∞

crecimiento, en la desintegración radiactiva, en la fórmula de la catenaria, que es la curva que podemos apreciar en los tendidos eléctricos. Su nombre por Leonhard Euler, e es la base de los logaritmos naturales (inventados por John Napier) 1+√5

El número áureo ( = 2 = 1.618033988749 … ), utilizado por artistas de todas las épocas (Fidias, Leonardo da Vinci, Alberto Durero, Dalí,..) en las proporciones de sus obras. http://blog.educastur.es/matematicas3eso/files/2008/11/los-numeros-irracionales.pdf


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NÚMEROS COMPLEJOS Debido a la no existencia en el conjunto de los números reales de los números cuyo cuadrado sea un número negativo, hubo la necesidad de crear los números complejos utilizados para resolver problemas de navegación, electrónica, astronomía y sistemas dinámicos cuyos modelos son ecuaciones de grado dos o superior. Aquellas ecuaciones que no tienen solución dentro del conjunto de los números reales si la tienen en el conjunto de los complejos, expresadas en términos de la unidad imaginaria 𝒊. La unidad imaginaria 𝒊 Algunas ecuaciones cuadráticas no tienen solución por ejemplo: 𝑥2 + 9 = 0 Despejando obtenemos: 𝑥 2 = −9 √𝑥 2 = ±√−9 La expresión 𝑥 = ±√−9 no tiene solución en los reales, ya que no existe ningún número negativo que al elevarlo al cuadrado de cómo resultado -9. Si descomponemos la expresión en 𝑥 = ±√9(−1) = ±√9√−1 = ±3√−1 Si hacemos 𝑖 = √−1 la expresión quedaría 𝑥 = ±3𝑖 , donde 𝒊 se denomina unidad imaginaria Un número imaginario se denota por 𝒃𝒊 , donde b es un número real e 𝒊 es la unidad imaginaria, en general los números imaginarios podemos calcular raíces con índice par y radicando negativo. Potencias Imaginarias 𝒊𝟎 = 𝟏 𝒊𝟏 = 𝒊 = √−1 𝒊𝟑 = 𝒊𝟐 𝒊 = (−𝟏)𝒊 = −𝒊

𝒊𝟐 = −𝟏 𝒊𝟒 = 𝒊𝟐 𝒊𝟐 = (−𝟏)(−𝟏) = 𝟏

Para hallar la potencia de una unidad imaginaria se se divide el exponente entre 4, y el residuo es el exponente de la potencia equivalente a la dada. Pensamiento Cuantitativo

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Ejercicios Determine las siguientes potencias de 𝒊 𝑖 7 , dividimos 7 /4=1 el residuo es 3 en 𝑖 7 = 𝑖 3 = −𝑖 𝑖 26 , dividimos 26 /4=6 el residuo es 2 en 𝑖 26 = 𝑖 2 = −1 𝑖 13 𝑖 35 1001 𝑖 Números Complejos El conjunto de todos números complejos se designa por 𝑪 Al número 𝒂 + 𝒃𝒊 le llamamos número complejo en forma binómica. El número 𝒂 se le llama par te real y el número 𝒃 parte imaginaria del número complejo. Si 𝒃 = 𝟎 el número complejo se reduce a un número real ya que 𝒂 + 𝟎𝒊 = 𝒂. Si 𝒂 = 𝟎 el número complejo se reduce a 𝒃𝒊, y se dice que es un número imaginario puro. Los números complejos 𝒂 + 𝒃𝒊 y – 𝒂 − 𝒃𝒊 se les dice opuestos. Los números complejos 𝒛 = 𝒂 + 𝒃𝒊 y 𝒛 = 𝒂 − 𝒃𝒊 se les dice conjugados. Dos números complejos son iguales cuando tienen la misma parte real y la misma parte imaginaria. Suma y diferencia de números complejos La suma y diferencia de números complejos se real iza sumando y restando partes reales entre sí y partes imaginarias entre sí. (𝑎 + 𝑏𝑖 ) + (𝑐 + 𝑑𝑖 ) = (𝑎 + 𝑐 ) + (𝑏 + 𝑑 )𝑖 (𝑎 + 𝑏𝑖 ) − (𝑐 + 𝑑𝑖 ) = (𝑎 − 𝑐 ) + (𝑏 − 𝑑 )𝑖 Ejercicio (3 + 2𝑖 ) + (4 − 8𝑖 ) − (−2 + 4𝑖 ) = (3 + 4 + 2) + (2 − 8 − 4)𝑖 = 9 − 10𝑖

Multiplicación de números complejos El producto de los números complejos se realiza aplicando la propiedad distributiva del producto respecto de la suma y teniendo en cuenta que 𝑖 2 = −1 (𝑎 + 𝑏𝑖 )(𝑐 + 𝑑𝑖 ) = (𝑎𝑐 − 𝑏𝑑 ) + (𝑎𝑑 + 𝑏𝑐 )𝑖 Ejercicio (𝟐 − 𝟓𝒊)(𝟑 + 𝟐𝒊) = 𝟔 + 𝟒𝒊 − 𝟏𝟓𝒊 − 𝟏𝟎𝒊𝟐 = 𝟔 − 𝟏𝟏𝒊 − 𝟏𝟎(−𝟏) = 𝟏𝟔 − 𝟏𝟏𝒊


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RAZÓN Y PROPORCIÓN Magnitud: Es la cualidad de un objeto que se puede medir La longitud de un cuadrado La capacidad de un recipiente El número de trabajadores de una obra La cantidad de dinero que se paga por un producto Razón La razón entre dos cantidades 𝑎 y 𝑏 es la comparación de ellas mediante la división, se denota a o bien a : b b

, donde 𝑎 se denomina antecedente y 𝑏 consecuente Ejercicios Si de los 32 estudiantes de un salón de clase 12 son mujeres y 20 varones entonces La razón entre el número de mujeres respecto al total de estudiantes es 𝑀𝑢𝑗𝑒𝑟𝑒𝑠 12 3 = = 𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑒𝑠𝑡𝑢𝑑𝑖𝑎𝑛𝑡𝑒𝑠 32 8 , es decir que por cada 8 estudiantes del grupo 3 son mujeres La razón entre el número de varones respecto al total de estudiantes es 𝑣𝑎𝑟𝑜𝑛𝑒𝑠 20 5 = = 𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑒𝑠𝑡𝑢𝑑𝑖𝑎𝑛𝑡𝑒𝑠 32 8 , es decir que por cada 8 estudiantes del grupo 5 son varones La razón entre el número de mujeres respecto al número de varones es 𝑀𝑢𝑗𝑒𝑟𝑒𝑠 12 3 = = 𝑣𝑎𝑟𝑜𝑛𝑒𝑠 20 5 , es decir que por cada 5 varones hay 3 son mujeres Problema En un terreno, el área construida es de 120 metros cuadrados y el área libre es de 80 metros cuadrados. ¿Cuál es la razón entre el área construida y el área del terreno total?


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La diferencia entre una razón y una fracción radica que en la fracción los términos son números enteros con el denominador diferente de cero, mientras que en la razón los términos pueden ser decimales. Proporción Es una igualdad entre dos razones. , donde a, d son los extremos y b, d los medios

𝑎 𝑐 = 𝑏 𝑑

Propiedades de las proporciones En una proporción del producto de los medios es igual al producto de los extremos.

a.d=b.c 𝟐 𝟒 = 𝟓 𝟏𝟎 𝟐 . 𝟏𝟎 = 𝟓 . 𝟒 𝟐𝟎 = 𝟐𝟎 En una proporción o en una serie de razones iguales, la suma de los antecedentes dividida entre la suma de los consecuentes es igual a una cualquiera de las razones. 𝑎 𝑐 𝑒 𝑎+𝑐+𝑒 = = = 𝑏 𝑑 𝑓 𝑏+𝑑+𝑓 Si en una proporción cambian entre sí los medios o extremos la proporción no varía. 𝑎 𝑐 𝑑 𝑏 = entonces = 𝑏 𝑑 𝑐 𝑎 Ejercicios En la universidad de Almeira por cada persona que estudia matemáticas hay 4 estudiantes de derecho. Si en total hay 1520 estudiantes ¿Cuántos estudian Derecho? ¿cuánto matemáticas? En cierta empresa se necesitan ingenieros, comerciales y secretarias en la siguiente proporción: por cada secretaria, 2 ingenieros y 3 comerciales. Si la empresa dispone de 3 secretarias, ¿Cuántos ingenieros y comerciales tendrá? La suma de las edades de dos personas es 80 años y están en la razón 7:9. ¿Cuáles son las edades? La razón entre dos números es 9 y su diferencia es 1.205 ¿Cuáles son los números?

4 4 La razón entre dos números es y la suma de sus cuadrados 369 ¿Cuáles son los números? 5

La suma de dos números es 91 y están en la razón 4:3. Calcula el valor de cada número


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La diferencia entre el peso de dos vehículos es 1.200Kg y están en la razón 7:4. Calcula el peso de cada vehículo. El perímetro de un rectángulo es128 cm y la razón entre las medidas de sus lados es 5:3. Calcula su área El impuesto predial de cierto inmueble es el 8 por mil de su avalúo catastral. Si una persona paga $2´400 000, ¿cuál es el avalúo del inmueble? Salud En cierta clínica se va a contratar médicos, enfermeras y camilleros en la siguiente proporción: por cada médico 3 enfermaras y por cada enfermera 2 camilleros. Si se contratan 4 médicos ¿cuántas enfermeras y cuántos camilleros se tiene que contratar? Cuarto proporcional Es uno cualquiera de los términos de una proporción. Para calcularlo se divide por el opuesto, el producto de los otros dos términos. 2 4 2 ×10 = entonces x= por lo que x=5 x 10 4 x 4 5 ×4 = entonces x= por lo que x=2 5 10 10 Medio proporcional Una proporción es continua si tiene los dos medios iguales. Para calcular el medio proporcional de una proporción continua se extrae la raíz cuadrada del producto de los extremos. 3 x = entonces 𝑥 2 =3×12=36 x 12

x=±√36 = ±6

Tercero proporcional En una proporción continua, se denomina tercero proporcional a cada uno de los términos desiguales. Un tercero proporcional es igual al cuadrado de los términos iguales, dividido por el término desigual. x 6 36 = entonces x = =3 6 12 12


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Ejercicios Calcular el valor de x en las siguientes proporciones 𝑥 20 = 105 35

4.4 6.6 = 𝑥 5.4

Magnitudes directamente proporcionales

2 4+7

5 14 = 𝑥 9 8 25 15

2 15 + 5

=

2 11 3 𝑥

Dos magnitudes son directamente proporcionales cuando, al multiplicar o dividir una de ellas por un número cualquiera, la otra queda multiplicada o dividida por el mismo número. Se establece una relación de proporcionalidad directa entre dos magnitudes cuando: A más corresponde más. A menos corresponde menos. Son magnitudes directamente proporcionales, el peso de un producto y su precio. Si 1 kg de tomates cuesta $ 1400, 2 kg costarán $2 800 y ½ kg costará $700. Es decir: A más kilógramos de tomate mayor precio. A menos kilógramos de tomate menor precio. También son directamente proporcionales: El espacio recorrido por un automóvil y el tiempo empleado. El volumen de un cuerpo y su peso. La longitud de los lados de un polígono y su área. Aplicaciones de la proporcionalidad directa Regla de tres simple y directa Consiste en que dadas dos cantidades correspondientes a magnitudes directamente proporcionales, calcular la cantidad de una de estas magnitudes correspondiente a una cantidad dada de la otra magnitud. D 𝐴1 → 𝐶 𝐴2 → 𝑥

𝐴1 𝐶 = 𝐴2 𝑥

𝑥=

𝐴2 . 𝐶 𝐴1

La regla de tres directa la aplicaremos cuando entre las magnitudes se establecen las relaciones: A más a más. A menos a menos. Problemas Pensamiento Cuantitativo

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Un automóvil recorre 240 km en 3 horas. ¿Cuántos kilómetros habrá recorrido en 2 horas? Son magnitudes directamente proporcionales, ya que a menos horas recorrerá menos kilómetros. D 240 𝐾𝑚 3ℎ = 𝑥 2ℎ

240 𝐾𝑚 → 3 ℎ 𝑥 𝐾𝑚 → 2 ℎ 240 𝐾𝑚 × 2 = 3 × 𝑥

𝑥=

240 𝐾𝑚 × 2 = 160 𝐾𝑚 3

Es decir que en dos horas el automóvil recorre 160 Km Ana compra 5 kg de papa, si 2 kg cuestan $2 160, ¿cuánto pagará Ana? Son magnitudes directamente proporcionales, ya que a más kilos, mayor valor. D 2 𝐾𝑔 → $2 160 5 𝐾𝑔 → 𝑥 2 𝐾𝑔 $2 160 5 × $2 160 2 × 𝑥 = 5 × $2160 = 𝑥= = $5 400 5 𝐾𝑔 𝑥 2 Es decir que 5 Kg de papa costaran $5 400 Una máquina envasa 1200 latas de refresco en una jornada de 8 horas. ¿Cuántas latas de refresco envasará en un día que trabaje 5 horas? Una tubería tiene una fuga de agua y pierde 322 litros de agua cada 7 minutos. ¿En cuánto tiempo se perderán 2300 litros? Tres metros de tela cuestan valen $ 800. ¿Cuánto valen ocho metros de la misma tela? Una moto recorre 120 metros en 4 segundos. ¿Qué distancia recorre en 52 segundos, si mantiene su rapidez constante? Seis operarios cavan en 1 día una zanja de 80 metros de longitud. ¿Cuántos metros cavarán, en un día, 42 operarios trabajando las mismas condiciones? Teresa trabajó 3 horas y ganó $ 8.100. A esa razón, ¿cuánto tiempo le tomará ganar $ 27.000? Marcela gana $ 540.000 mensuales (considera 30 días). ¿Cuánto dinero gana en 10 días? Si la impresora de una universidad imprime 8 hojas por minuto, ¿cuánto tardará en imprimir 160 hojas? ¿En una hora cuántas hojas imprimirá?


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En un día de trabajo de 8 horas, un obrero ha hecho 10 cajas. Si se necesita incrementar la producción en 15 cajas en cuantos horas demás tiene que trabajar. El tanque de gasolina de un auto tiene una capacidad de 40 litros. Como se va de paseo, se llena el tanque, por lo que paga $ 5 022.5 Si el litro de gasolina cuesta $ 245, ¿Qué parte del tanque estaba con gasolina? Salud Un medicamento antitusivo viene en presentación de 135 ml. Si se suministra a un paciente dosis de una cucharada cada 4 horas ¿Para cuántos días le alcanza el medicamento? (1 cucharada = 15 ml) La presentación de la penicilina es de 10 ml ya preparada y tiene 4 000 000 unidades internacionales. Si se debe suministrar en cada inyección 800 000 unidades ¿qué cantidad de penicilina debe suministrarse. Si a un médico le pagan 2´800.000 por atender 320 pacientes al mes ¿cuánto le pagan por atender 1 paciente? Si un médico atiende 320 pacientes al mes ¿cuántas pacientes tiene que atender por semana si labora 5 días por semana? Un frasco de ampicilina inyectable de 1000 𝑚𝑔, se disuelve en 4 𝑚𝑙 de agua destilada. Si se necesita inyectar 250 mg de ampicilina ¿Qué cantidad de agua destilada se requiere? Un niño necesita 80 calorías diarias por cada kg de peso ¿Cuántas calorías necesita un niño que pesa 29 kg?

Porcentaje Un porcentaje es un tipo de regla de tres directa en el que una de las cantidades es 100. Porcentaje, o tanto por ciento, es la fracción de un número entero expresada en centésimas. El término se deriva del latín per centum, que significa “por ciento”, pues representa fracciones cuyo denominador es 100. Así, 20 por ciento significa 20/100. Normalmente se representa con el símbolo %. Los cálculos de porcentajes son muy utilizados para evaluar resultados. Para calcular el porcentaje de un número n a otro p (porcentaje) se divide el segundo por 100 (base) y el resultado se multiplica por el primero. Ejercicios Dado el número halla el porcentaje indicado:


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30  4 x0,3  1,2 100 4 el 30%: 1600 el 18% : 1600 x 18  1600 x0,18  288 100 4x

3.5 el 40% 840 el 25% 90 el 64% 200 el 28% Ejercicios Calcula que tanto por ciento es… 20 de 80 90 de 1900

16 de 360

38 de 96

Problemas El precio del galón de gasolina corriente hoy en Colombia es de $8911.68 de dicho precio, el minorista de la bomba recibe 5% de utilidad, del restante se descuenta un 1% de "margen de continuidad" , del restante el distribuidor mayorista gana 3%, del restante los transportadores de combustible obtienen una utilidad del 4%, del restante el 27% es utilidad para el estado y de lo queda el 51% es utilidad para Ecopetrol, lo restante corresponde al costo de producción de un galón del combustible ¿Cuál es el costo de producción de un galón de gasolina corriente en Colombia?¿Cuál es el porcentaje de incremento del galón de gasolina corriente al usuario? Item Precio de venta Vendedor Margen de continuidad mayorista Transportador Impuesto Ecopetrol

% Valor 8911.68 5 8466.10 1 8381.44 3 8129.99 4 7804.79 27 5697.50 51 2791.77

El costo de producción de un galón de gasolina corriente en Colombia es de $2791.77 Valor % 8911.68 x 2791.77 100 𝑥=

100% × $8911.68 891168 = % = 319.21% $2791.77 2791.77

El porcentaje de incremento de un galón de gasolina corriente en Colombia es del 319.21% Una moto cuyo precio era de $5 000 000, cuesta en la actualidad $250 000 más. ¿Cuál es el porcentaje de aumento? Pensamiento Cuantitativo

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Las magnitudes son directamente proporcionales $5 000 000 → 100% $250 000 → 𝑥 $5 000 000 100% = $250 000 𝑥

5 000 000 × 𝑥 = 250 000 × 100%

𝑥=

250 000 × 100% = 5% 5 000 000

El porcentaje de aumento será del 5%. Al adquirir un vehículo cuyo precio es de $53 000 000, nos hacen un descuento del 7.5%. ¿Cuánto hay que pagar por el vehículo? $53 000 000 → 100% 𝑥 → 7.5% $53 000 000 100% = 𝑥 7.5%

$53 000 000 × 7.5% = 𝑥 × 100%

$53 000 000 × 7.5 100 𝑥 = $3 975 000

𝑥=

Para saber el costo del vehículo se debe restar 53 000 000 – 3 975 000 =49 025 000 Por lo tanto se debe pagar $49 0250 000 En una fiesta había 100 niños, cada uno con 2 globos. Si el 40% de los niños perdió un globo y el 50% perdió ambos globos ¿cuántos globos quedaron en la fiesta? Si 100 niños estaban en la fiesta cada uno con dos globos entonces había 200 globos. Como el 40%, es decir 40 niños perdieron un globo, entonces se perdieron 40 globos. El 50%, es decir 50 niños perdieron los dos globos, entonces se perdieron 100 globos más. Total de globos perdidos 140. En total había 200 globos en la fiesta, entonces quedan 60 globos Un joven práctica diariamente 3 deportes durante 2 horas, como lo muestra el siguiente gráfico de sectores. ¿Cuánto tiempo le dedica a cada deporte?

Suponga que el precio normal de un artículo es $60 000, se le descuenta el 20% y al nuevo precio se le aumenta el 20%, determine el precio final del artículo Pensamiento Cuantitativo

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En una granja el 35% de las aves son patos, el 40% pollos y las restantes gallinas. Si en la granja hay 300 aves, ¿Cuántas gallinas que hay? El 24% de las gallinas de una granja avícola murieron debido a una epidemia. Si el número de aves muertas fue de 28 800, ¿cuántas gallinas tenía la granja avícola? El 56% de la producción de la palma africana se utiliza para la producción de aceite. ¿Cuánto aceite se produce de 120 000 kilogramos de palma? Por la compra de contado de un vestido de $ 280 000 descuentan el 8%. ¿Cuánto se debe pagar por el vestido? ¿Cuál es el valor del descuento? Por el arriendo de una casa se pagan $250 000 mensuales. Si el arriendo se incrementa en el 6,2% cada año, ¿cuánto debe pagar de arriendo cada uno de los próximos 5 años? El precio de un computador de $1 760 000. Si el pago es de contado se hace un descuento del 12%. Halle el precio de contado. Si se producen 800 000 barriles de petróleo diarios, se consumen 500 000 y el resto se exporta ¿qué porcentaje se exporta? Si se producen 800 000 barriles de petróleo diarios, se consumen 500 000 y el resto se exporta, ¿Qué porcentaje de barriles se exporta? El precio de un artículo más el impuesto del valor agregado (IVA) es de $ 145 000 si el IVA es del 16% halle el precio del producto sin IVA. Si un salario se incrementa de $750 000 a $1 095 000 ¿cuál es el incremento porcentual? Si a un trabajador le incrementan el salario mensual por 24 horas de trabajo semanal de $1 584 000 a $ 1 774 080 ¿cuál es el incremento porcentual del valor de la hora de trabajo? El precio por la venta de un local es de 250 millones de pesos si se acuerda pagar 220 millones de pesos ¿Qué porcentaje se descontó? Una máquina fabrica al día 450 piezas de las que 18 presentan algún defecto y se desechan. ¿Qué porcentaje de piezas defectuosas fabrica la máquina? ¿Cuál es el porcentaje cobrado en el impuesto de un vehículo cuyo avalúo comercial es de $4´300 000 si se paga $70 520? Al vender un libro en $18.000 se pierde el 10% de su valor. ¿Cuál es el valor real de este libro?


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Una familia gasta solo en salud $600, además sabiendo que el 42% de sus ingresos total lo destina para la alimentación, el 28% para el pago de servicios, el 20% en salud y el 10% para otros gastos. ¿Cuántos gastan en alimentación? ¿Cuánto pagan en servicios? ¿Cuánto destinan para otros gastos? Y ¿De cuánto es el ingreso total? Salud Si tres de cada 5 personas usan gafas, ¿qué porcentaje de personas no usan gafas? ¿y cuál es el porcentaje de personas que usan gafas? El intestino tiene una longitud total de 7,5 metros. Si el intestino grueso mide 1,5 metros ¿qué porcentaje de longitud corresponde el intestino delgado? El cuerpo humano tiene aproximadamente 80 cm3 de sangre por kilogramos. Una persona que pierde el 40% de su volumen sanguíneo está en riesgo de muerte. ¿cuántos litros de sangre tiene que perder una persona con peso de 90 Kg para estar en riesgo de muerte? En una clínica el 35% de los pacientes que llegan a urgencias es por accidente en el hogar, el 40% por accidente en la calle y el resto por accidente laboral. Si en un día llegan 120 personas ¿cuántos llegan por accidente laboral Magnitudes inversamente proporcionales Dos magnitudes son inversamente proporcionales cuando, al multiplicar o dividir una de ellas por un número cualquiera, la otra queda dividida o multiplicada por el mismo número. Se establece una relación de proporcionalidad inversa entre dos magnitudes cuando: A más corresponde menos. A menos corresponde más. Son magnitudes inversamente proporcionales, la velocidad y el tiempo: A más velocidad corresponde menos tiempo. A menos velocidad corresponde más tiempo. Problemas Un vehículo tarda en realizar un trayecto 6 horas si su velocidad es de 60 km/h, pero si doblamos la velocidad el tiempo disminuirá a la mitad. Es decir, si la velocidad es de 120 km/h el tiempo del trayecto será de 3 horas. Aplicaciones de la proporcionalidad inversa Regla de tres simple inversa Consiste en que dadas dos cantidades correspondientes a magnitudes inversamente proporcionales, calcular la cantidad de una de estas magnitudes correspondiente a una cantidad dada de la otra magnitud. Pensamiento Cuantitativo

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I 𝑨𝟏 → 𝑪 𝑨𝟐 → 𝒙

𝑨𝟏 𝒙 = 𝑨𝟐 𝑪

𝑨𝟏 × 𝑪 = 𝒙 × 𝑨𝟐

𝒙=

𝑨𝟏 × 𝑪 𝑨𝟐

La regla de tres inversa la aplicaremos cuando entre las magnitudes se establecen las relaciones: A más A menos

menos más.

Problemas Un grifo que mana 18 l de agua por minuto tarda 14 horas en llenar un depósito. ¿Cuánto tardaría si su caudal fuera de 7 l por minuto? Son magnitudes inversamente proporcionales, ya que a menos litros por minuto tardará más en llenar el depósito. I 18𝑙/𝑚𝑖𝑛 → 14 ℎ𝑟𝑠 7 𝑙/𝑚𝑖𝑛 → 𝑥 14 ℎ𝑟𝑎𝑠 × 18 𝑥= 7

18 𝑙/𝑚𝑖𝑛 𝑥 = 7 𝑙/𝑚𝑖𝑛 14 ℎ𝑟𝑠

𝑥 = 36 ℎ𝑟𝑎𝑠

Si el caudal fuera de 7 l/min se taradra 36 hras en llenar el deposito. 3 obreros construyen un muro en 15 horas, ¿cuánto tardarán en construirlo 5 obreros? Son magnitudes inversamente proporcionales, ya que a más obreros tardarán menos horas. I 3 𝑂𝑏𝑟𝑒𝑟𝑜𝑠 𝑥 = 5 𝑂𝑏𝑟𝑒𝑟𝑜𝑠 15 ℎ𝑟𝑠

3 𝑂𝑏𝑟𝑒𝑟𝑜𝑠 → 12 ℎ𝑟𝑠 5 𝑂𝑏𝑟𝑒𝑟𝑜𝑠 → 𝑥 15 ℎ𝑟𝑎𝑠 × 3 𝑥= 5

𝑥 = 9 ℎ𝑟𝑎𝑠

, obreros tardaran 9 horas en construir el muro Dos ruedas están unidas por una correa transmisora. La primera tiene un radio de 25 cm y la segunda de 75 cm. Cuando la primera ha dado 300 vueltas, ¿cuántas vueltas habrá dado la segunda? Son magnitudes inversamente proporcionales: a más radio menos vuelta


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I 25 𝑐𝑚 𝑥 = 75 𝑐𝑚 300 𝑣𝑢𝑒𝑙𝑡𝑎𝑠

25 𝑐𝑚 → 300 𝑣𝑢𝑒𝑙𝑡𝑎𝑠 75 𝑐𝑚 → 𝑥 25 × 300 𝑣𝑢𝑒𝑙𝑡𝑎𝑠 𝑥= 75 𝑐𝑚

𝑥 = 100 𝑣𝑢𝑒𝑙𝑡𝑎𝑠

La rueda de 75 cm dará 100 vueltas Circulando a 90 km/h hemos tardado 3 horas en recorrer una distancia. ¿Cuánto tardaríamos en llegar si fuéramos a 120 km/h? Una piscina tiene 6 grifos que manan el mismo caudal, en litros de agua por minuto. Si solo abrimos 2 grifos, la piscina tarda 8 horas en llenarse. Calcula cuánto tiempo tardaría en llenarse si abrimos los seis grifos. Si para construir una obra en 36 días se necesitan 15 operarios, ¿cuántos operarios serán necesarios para realizar la misma obra en 27 días? Si 5 compañeros pagan el arriendo de un apartamento aportando $150.000 cada uno. Si llegan 3 compañeros más ¿cuánto tienen que pagar cada uno? Un ganadero tiene 20 vacas y alimento para alimentarlas durante 30 días. ¿Cuánto tiempo le durará el alimento si se mueren 5 vacas? En un campamento de 25 niños hay provisiones para 30 días. ¿Para cuántos días habrá comida si se incorporan 5 niños al campamento? Si 12 vacas se comen un granero lleno de pasto en 80 días, Si se necesita que el alimento les dure 4 meses ¿Cuántas vacas tiene que vender? En un taller de confección, si se trabajan 8 horas diarias se tardan 6 días en entregar un pedido. ¿En cuántas horas diarias deben incrementar el trabajo si necesitan entregar el pedido en 4 días?

Salud La frecuencia cardiaca es inversamente proporcional a la talla. Si la frecuencia cardíaca de un adulto de 1.8 metros es de 67 latidos por minuto ¿cuál es la frecuencia esperada para un niño de 90 cm o de una persona de 2.1 metros? 2 médicos atiende 320 pacientes en 15 días, si se contratan 45 médicos más ¿Cuánto tardan en atender la misma cantidad de pacientes?


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Un medicamento de 250 ml dura 12 días en una sala con 20 pacientes, si llegan 4 pacientes más ¿cuánto dura el medicamento?

Regla de tres compuesta La regla de tres compuesta se emplea cuando se relacionan tres o más magnitudes, de modo que a partir de las relaciones establecidas entre las magnitudes conocidas obtenemos la desconocida. Una regla de tres compuesta se compone de varias reglas de tres simples aplicadas sucesivamente. Problemas Nueve grifos abiertos durante 10 horas diarias han consumido una cantidad de agua por valor de $56000. ¿qué cuesta la cantidad de agua vertida por 15 grifos abiertos 12 horas durante los mismos días? Magnitudes N° Grifos Tiempo (horas) 9 10 15 12

Valor ($) 56 000

x

Planteamos la relación a partir de la magnitud en donde está la incógnita Magnitudes Valor $- N° Grifos Valor $ - Tiempo

Relación A más grifos abiertos más valor A más tiempo más valor

Tipo de Relación Directa Directa

La relación sería $56000 9 𝐺𝑟𝑖𝑓𝑜𝑠 10 ℎ𝑜𝑟𝑎𝑠 = = 𝑥 15 𝐺𝑟𝑖𝑓𝑜𝑠 12 ℎ𝑜𝑟𝑎𝑠 Simplificando y despejando 𝑥=

$56000 × 15 × 12 9 × 10 𝑥 = $112 000

Mantener 15 grifos abiertos durante 12 horas cuesta $112 000 5 obreros trabajando, trabajando 6 horas diarias construyen un muro en 2 días. ¿Cuánto tardarán 4 obreros trabajando 8 horas diarias? Magnitudes Obreros Horas diarias Pensamiento Cuantitativo

Días

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José F. Barros Troncoso 5 4

6 8

79

2

x

Planteamos la relación a partir de la magnitud en donde está la incógnita Magnitudes Días - Obreros Días – Horas Diarias

Relación A más obreros menos días A más horas diarias menos días

Tipo de Relación Inversa Inversa

La relación sería 2 𝑑í𝑎𝑠 4 𝑜𝑏𝑟𝑒𝑟𝑜𝑠 8 ℎ𝑜𝑟𝑎𝑠 𝑑𝑖𝑎𝑟𝑖𝑎𝑠 = = 𝑥 5 𝑜𝑏𝑟𝑒𝑟𝑜𝑠 6 ℎ𝑜𝑟𝑎𝑠 𝑑𝑖𝑎𝑟𝑖𝑎𝑠 Simplificando 2 𝑑í𝑎𝑠 4 4 = = 𝑥 5 3

Despejando 𝑥=

2 𝑑í𝑎𝑠 × 5 × 3 = 1.875 𝑑í𝑎𝑠 ≈ 2 𝑑í𝑎𝑠 4×4

4 obreros trabajando 8 horas diarias construirán el muro en aproximadamente 2 días Si 8 obreros realizan en 9 días trabajando a razón de 6 horas por día un muro de 30 m. ¿Cuántos días necesitarán 10 obreros trabajando 8 horas diarias para realizar los 50 m de muro que faltan? Magnitudes Obreros Días Trabajando Horas diarias Longitud del muro 8 9 6 30 10 x 8 50 Planteamos la relación a partir de la magnitud en donde está la incógnita Magnitudes Días - Obreros

Relación A más obreros menos días

Tipo de Relación Inversa

Días – Horas Diarias

A más horas diarias menos días

Inversa

Días – longitud el muro

A más días más alto el muro

Directa

La relación sería , simplificando

9 𝑑í𝑎𝑠 10 𝑂𝑏𝑟𝑒𝑟𝑜𝑠 8 ℎ𝑜𝑟𝑎𝑠 30 𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜𝑠 = = = 𝑥 8 𝑂𝑏𝑟𝑒𝑟𝑜𝑠 6 ℎ𝑜𝑟𝑎𝑠 50 𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜𝑠 9 𝑑í𝑎𝑠 5 4 3 = = = 𝑥 4 3 5

, despejando 𝑥=

4 × 3 × 5 × 9 𝑑í𝑎𝑠 = 9 𝑑í𝑎𝑠 5×4×3 Pensamiento Cuantitativo

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80

Por lo tanto 10 obreros trabajando 8 horas diarias para realizar un muro de 50 m en 9 días. Una estufa de gasolina consume 10 galones en 8 días funcionando 6 horas diarias ¿cuánta gasolina se necesita para 50 días, si se enciende la estufa durante 8 horas diarias? Organizamos las magnitudes Magnitudes Galones Días funcionando Horas diarias 10 8 6 x 50 8 Planteamos la relación a partir de la magnitud en donde está la incógnita Magnitudes Gasolina - Días Gasolina – Horas Diarias

Relación A más días más gasolina A más Horas más gasolina

Tipo de Relación Directa Directa

La relación sería 10 𝐺𝑎𝑙𝑜𝑛𝑒𝑠 8 𝑑í𝑎𝑠 6 ℎ𝑜𝑟𝑎𝑠 = = 𝑥 50 𝑑í𝑎𝑠 8 ℎ𝑜𝑟𝑎𝑠

, simplificando

10 𝐺𝑎𝑙𝑜𝑛𝑒𝑠 4 3 = = 𝑥 25 4

, despejando 𝑥=

25 × 4 × 10 𝐺𝑎𝑙𝑜𝑛𝑒𝑠 = 83.33 𝐺𝑎𝑙𝑜𝑛𝑒𝑠 ≈ 84 𝐺𝑎𝑙𝑜𝑛𝑒𝑠 4×3

Por lo tanto para 50 días, encendiendo durante 8 horas diarias se necesitarían aproximadamente 84 Galones de gasolina. Un depósito de 500 litros de capacidad se llena con un grifo de 4 cm 2 de sección en un tiempo de 12 horas. Un depósito de 750 litros de capacidad se llena con un grifo de 5 cm2 de sección, ¿cuánto tiempo tardara en llenarse? Organizamos las magnitudes Magnitudes Capacidad (litros) 500 750

Sección (cm2) 4 5

Tiempo (Horas) 12

x

Planteamos la relación a partir de la magnitud en donde está la incógnita Magnitudes Tiempo - Capacidad Tiempo - Sección

Relación A más capacidad más tiempo A más sección menos tiempo


Tipo de Relación Directa Inversa

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, la relación sería

, simplificando

12 ℎ𝑜𝑟𝑎𝑠 500 𝑙𝑖𝑡𝑟𝑜𝑠 5 𝑐𝑚2 = = 𝑥 750 𝑙𝑖𝑡𝑟𝑜𝑠 4 𝑐𝑚2 12 ℎ𝑜𝑟𝑎𝑠 2 5 = = 𝑥 3 4

, despejando 𝑥=

3 × 4 × 12 ℎ𝑜𝑟𝑎𝑠 = 14.4 ℎ𝑜𝑟𝑎𝑠 2×5

Un depósito de 750 litros de capacidad se llena con un grifo de 5 cm 2 de sección tardaría en llenarse aproximadamente 14.4 horas. Seis personas pueden vivir en un hotel durante 12 días por 792 dólares. ¿Cuánto costará el hotel de 15 personas durante ocho días? Con 12 botes conteniendo cada uno ½ kg de pintura se han pintado 90 m de verja de 80 cm de altura. Calcular cuántos botes de 2 kg de pintura serán necesarios para pintar una verja similar de 120 cm de altura y 200 metros de longitud. 11 obreros labran un campo rectangular de 220 m de largo y 48 de ancho en 6 días. ¿Cuántos obreros serán necesarios para labrar otro campo análogo de 300 m de largo por 56 m de ancho en cinco días? Seis grifos, tardan 10 horas en llenar un depósito de 400 m³ de capacidad. ¿Cuántas horas tardarán cuatro grifos en llenar 2 depósitos de 500 m³ cada uno? Si 10 máquinas fabrican 4.000 unidades de un producto en 5 días, ¿cuántas máquinas serán necesarias para triplicar la producción en 6 días, trabajando la misma cantidad de horas diariamente? En una granja avícola hay 5600 gallinas que ponen 11200 huevos en 12 horas de luz. Si en la granja se sacrifican 2800 gallinas, ¿cuántos huevos habrá puesto durante tres horas, el resto de las gallinas? Se compran 4200 Kg de alimento para alimentar cincuenta terneros durante una semana. ¿Cuántos kilos de alimentos demás hay que comprar si el número de animales se incrementa en 20 y el alimento tiene que durar 15 días? Salud 6 médicos realizan 32 cirugías en 8 días, si se contratan 4 médicos más ¿cuánto tiempo emplearan en realizar 40 cirugías? Pensamiento Cuantitativo

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Un consultorio contrata 2 médicos para que atiendan 510 pacientes en dos meses, debido a la ampliación de cobertura el número de pacientes aumentará en 1500 y se deben atender en 1 mes ¿cuántos médicos más se tiene que contratar? 5 médicos atienden 80 pacientes trabajando 4 horas diarias en 2 días ¿cuánto tardaran 4 médicos trabajando 5 horas diarias atendiendo la misma cantidad de pacientes? En una campaña de vacunación 25 enfermeros aplicaron 500 vacunas durante 3 días ¿cuántos enfermeros se necesitan contratar para aplicar 1200 vacunas en 5días? En una sala de 22 pacientes un medicamento de 450 ml dura 12 días, si se ingresan 6 pacientes más y el medicamento se aumenta en 550 ml ¿cuántos días dura?

Repartos Directamente Proporcionales Para realizar el reparto de una cantidad 𝒏 de forma directamente proporcional a unas cantidades a, b, c…, hacemos lo siguiente: Calculamos la constante de proporcionalidad 𝑘 que representa la relación entre la cantidad a repartir 𝑛 y las cantidades entre las que se va a repartir (𝑎, 𝑏, 𝑐, … ). La obtenemos por la fórmula 𝑛 𝑘= 𝑎+𝑏+𝑐+⋯ Pensamiento Cuantitativo

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Multiplicamos el valor de la constante 𝑘 por cada uno de las partes por la que n se va a repartir (𝑎, 𝑏, 𝑐, … ) Para verificar los resultados constatamos que la suma de las cantidades repartidas es igual a 𝑛 𝑘𝑎 + 𝑘𝑏 + 𝑘𝑐 + ⋯ += 𝑛 Problemas Un padre reparte $7 000 00 en partes directamente proporcionales a sus edades: El menor de 8 años, el segundo de 12 años y el mayor de 15 años. ¿Cuánto recibirá cada hijo? Inicialmente sumamos las edades 8 + 12 + 15 = 35 7 000 000 Dividimos la cantidad a repartir por la suma 𝑘 = 35 = 200 000 Multiplicamos cada parte por la constante: Para el menor 8 × 200 000 = 1 600 000 Para el segundo 12 × 200 000 = 2 400 000 Para el mayor 15 × 200 000 = 3 000 000 Para verificar sumamos los valores 1 600 000 + 2 400 000 + 3 000 000 = 7 000 000 Una localidad tiene 3 colegios. El colegio A tiene matriculados 520 estudiantes, el B 360 estudiantes y el C 140 estudiantes. Para su funcionamiento se debe repartir $12 000 000 en partes directamente proporcionales al número de estudiantes que tienen matriculados. ¿Cuánto recibirá cada colegio? Inicialmente sumamos el número de estudiantes de cada colegio 520 + 360 + 140 = 1020 12 000 000 Dividimos la cantidad a repartir por la suma 𝑘 = 1020 = 11 764.7 Multiplicamos cada parte por la constante: Para el colegio A 520 × 11 764.7 = 6 117 644 Para el colegio B 360 × 11 764.7 = 4 235 292 Para el colegio C 140 × 11 764.7 = 1 647 058 Para verificar sumamos los valores 6 117 644 + 4 235 292 + 1 647 058 = 11 999 994 Dos socios invierten en un negocio acordando que los beneficios se repartirán proporcionalmente a la inversión de cada uno. El primero invirtió 15 millones de pesos y el segundo 35 millones de pesos. Si los beneficios fueron de 100 millones de pesos ¿cuánto le corresponde a cada uno? Tres obreros trabajan 15, 8 y 5 días, respectivamente, recibiendo en total $ 4 600 000 ¿Cuánto corresponde a cada uno? Por hacer un trabajo tres obreros han cobrado $2´013.000 euros. Uno trabajo 15 días, otro 12 días y el tercero 6 días, sin coincidir ningún día trabajando. ¿Cuánto le corresponderá a cada uno? Dos socios tuvieron una ganancia de $28 300 000 ¿qué beneficio correspondió a cada uno si el primero invirtió $ 10 000 000 y el segundo $ 15 500 000? La construcción de un puente ha costado $5 813 560 000, cantidad que han de sufragar tres municipios proporcionalmente al número de sus habitantes. El primer tiene 43 390, el segundo 54 202 y el tercero 95 010 habitantes respectivamente. ¿Qué cantidad debe pagar cada municipio?


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Repartir 540 caramelos entre cuatro niños de forma directamente proporcional a las edades de cada uno de ellos, que son 3, 4, 5 y 6 años. Para la puesta en marcha de un negocio, tres socios aportan respectivamente 5, 8 y 7 millones de pesos. Cuando los beneficios llegan a 140 millones de pesos, deciden liquidar el negocio. ¿Qué cantidad de dinero recibirá cada socio? Un empresario decide, por navidad, repartir entre sus 5 empleados un aguinaldo de 4´000.000 proporcionalmente a los años de trabajo en la empresa. ¿Cuánto le corresponde a cada uno sabiendo que llevan 1, 2, 3, 4 y 6 años trabajando en la misma? En una urbanización, se realizan unos trabajos de saneamiento cuyo valor es de $1 700 000. El costo está repartido proporcionalmente según la superficie: 750 𝑚2 , 840 𝑚2 , 650 𝑚2 𝑦 960 𝑚2 . ¿Qué parte ha de pagar cada propietario? Un grupo de agricultores alquila una máquina cosechadora de uva por $1 215 000. Cada agricultor pagará proporcionalmente al tiempo que la utilice. El primero la utiliza durante 18 días trabajando 5 horas diarias; el segundo 20 días a 6 horas diarias y el tercero 15 días a 4 horas diarias. ¿Cuánto debe pagar cada uno?

Repartos Inversamente Proporcionales Para realizar el reparto de una cantidad 𝒏 de forma inversamente a unas cantidades a, b, c…, hacemos lo siguiente: Calculamos la constante de proporcionalidad 𝑘. En este caso representa la relación entre la cantidad a repartir 𝑛 y la suma de los inversos de las cantidades que se va a repartir (𝑎, 𝑏, 𝑐, …). La calculamos mediante la fórmula 1 1 1 𝑘 = 𝑛 ÷ ( + + +. . ) 𝑎 𝑏 𝑐 Multiplicamos a 𝑘 por cada uno de los inversos para hallar la cantidad que le corresponde a cada uno, así 𝟏

𝟏

𝟏

𝑘 (𝒂) , 𝑘 (𝒃) , 𝑘 (𝒄 ) , ……. Para verificar los resultados constatamos que la suma de las cantidades repartidas es igual a 𝑛 𝟏 𝟏 𝟏 𝑘 ( ) + 𝑘 ( ) + 𝑘 ( ) + ⋯ = 𝑛…. 𝒂

𝒃

𝒄


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85

Ejercicio Los dos camareros de un bar se reparten al final de mes un bote con $136 000 de propina de forma inversamente proporcional al número de días que han faltado. Si uno ha faltado 3 días y otro 5, ¿cuántos euros corresponde a cada uno? Por datos 𝑛 = 136 000, 𝑎 = 3 y 𝑏 = 5

Hallamos la constante de proporcionalidad, por la fórmula, 1 1 𝑘 = 𝑛÷( + ) 𝑎 𝑏 , remplazando 1 1 8 𝑘 = 136 000 ÷ ( + ) = 136 000 ÷ ( ) 3 5 15 𝑘 = 255 000 , multiplicamos la constante por cada inverso para saber cuánto le corresponde a cada uno 1 1 El que falto 3 días: 𝑘 × = 255 000 × = 85 000 𝑎 1

3 1

El que falto 5 días: 𝑘 × 𝑏 = 255 000 × 5 = 51 000 Si sumamos lo que le corresponde a cada uno 85 000 + 51 000 = 136 000 Es decir que al que falto 3 días le corresponde $85 000 y al que falto 5 días $51 000 Los tres camareros de una cafetería, han estado enfermos durante 3, 6 y 9 días del mes de marzo. Durante este mes han recibido $770 000 de propina que se han de repartir de forma inversamente proporcional a los días no trabajados. ¿Cuánto dinero le corresponden a cada uno de ellos? Por datos 𝑛 = 770000, 𝑎 = 3, 𝑏 = 6 y 𝑐 = 9

Hallamos la constante de proporcionalidad, por la fórmula, 1 1 1 𝑘 =𝑛÷( + + ) 𝑎 𝑏 𝑐 , remplazando 1 1 1 11 𝑘 = 770 000 ÷ ( + + ) = 770 000 ÷ ( ) 3 6 9 18 𝑘 = 1 260 000 , multiplicamos la constante por cada inverso para saber cuánto le corresponde a cada uno 1 1 El que falto 3 días: 𝑘 × 𝑎 = 1 260 000 × 3 = 420 000 1

1

1

1

El que falto 6 días: 𝑘 × 𝑏 = 1 260 000 × 6 = 210 000 El que falto 9 días: 𝑘 × 𝑐 = 1 260 000 × 9 = 140 000 Si sumamos lo que le corresponde a cada uno 420 000 + 210 000 + 140 000 = 770 000 Es decir que al que falto 3 días le corresponde $420 000, al que falto 6 días $210 000 y al que falto 9 días $140 000.


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86

Para premiar a los mejores empleados una clínica reparte $1´860.000 inversamente proporcional a sus sueldos que son respectivamente $600.000, $900.000 y $1´200.000 ¿Cuánto recibirá cada uno? Repartir 114 caramelos entre cuatro niños de forma inversamente proporcional a las edades de ellos que son de 3, 4, 5 y 6 años respectivamente. En una competición se van a repartir 174 puntos entre cinco participantes, en orden inversamente proporcional al tiempo que tardan en realizar la prueba. Si los participantes tardan 4, 6, 8, 10 y 12 minutos respectivamente, ¿cuántos puntos le corresponde a cada uno? Tres amigos se reparten una pizza de forma inversamente proporcional a sus pesos que son respectivamente 60, 72 y 90 kilogramos. ¿Qué parte de pizza se debe comer cada uno? Un profesor entrega una relación de 86 ejercicios a cuatro alumnos para que se los repartan con la condición de que cada uno resuelva una cantidad inversamente proporcional a las calificaciones obtenidas en un examen. Las calificaciones han sido 2, 4, 5 y 8. ¿Cuántos ejercicios debe resolver cada uno? Un padre reparte entre sus tres hijos 420 € de forma inversamente proporcional a sus edades, que son 3, 5 y 6 años, respectivamente. ¿Qué cantidad le corresponde a cada uno de ellos? El premio de una carrera es de 550 € y se repartirá entre los tres primeros corredores en acabar la prueba de forma inversamente proporcional al orden de llegada, es decir, inversamente proporcional a 1, 2 y 3. ¿Qué cantidad le corresponde a cada corredor? Tres personas A, B y C reciben 3´000.000 por traducir un texto. El pago se realiza de manera inversamente proporcional al tiempo empleado en hacer el trabajo. Si tardaron 15, 12 y 10 horas respectivamente ¿Cuánto dinero recibirá cada uno? En una carrera los premios se reparten en partes inversamente proporcionales a los tiempos invertidos por los corredores. La cantidad a repartir es de $9 900 000 entre los tres primeros que han tardado 2, 4 y 6 minutos respectivamente. ¿Qué premio corresponde a cada uno? Tres hermanos ayudan al mantenimiento familiar entregando anualmente 5900 €. Si sus edades son de 20, 24 y 32 años y las aportaciones son inversamente proporcionales a la edad, ¿cuánto aporta cada uno?


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87

SISTEMAS DE MEDIDAS Conceptos Básicos Una magnitud es cualquier propiedad que se puede medir numéricamente. Medir es comparar una magnitud con otra que llamamos unidad. La medida es el número de veces que la magnitud contiene a la unidad. Una unidad de medida es una cantidad estandarizada de una determinada magnitud física. Tipos de unidades de medidas De longitud (m) De masa (gr) Eléctricas (Voltio) de peso (N/m3)

De superficie (m2) De tiempo (hora)

De volumen (m3) De velocidad (m/sg) densidad De energía (Julio)

De (kg/m³) específico de potencia (Vatio)

de presión (Pa)

De Capacidad (lt) De temperatura o ( C) De fuerza (Newton) de viscosidad (Pa·s)

Un sistema de unidades es un conjunto consistente de unidades de medida. Definen un conjunto básico de unidades de medida a partir del cual se derivan el resto. Existen varios sistemas de unidades: Sistema Internacional de Unidades o SI: es la forma actual del sistema métrico decimal y establece las unidades que deben ser utilizadas internacionalmente. Fue creado por el Comité Internacional de Pesos y Medidas con sede en Francia. Sistema Ingles de Medidas o anglosajón, es el resultado de la adopción, por parte de los países de habla inglesa, en especial las más industrializadas, entre las que destacan Gran Bretaña y los Estados Unidos. Pensamiento Cuantitativo

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88

Sistemas de Medidas de Castilla: Sistema de medida antiguo que todavía se utiliza en algunos países de América Sistema cegesimal o CGS: denominado así porque sus unidades básicas son el centímetro, el gramo y el segundo. Sistema Natural: en el cual las unidades se escogen de forma que ciertas constantes físicas valgan exactamente 1. Sistema técnico de unidades: derivado del sistema métrico con unidades del anterior. Este sistema está en desuso. Un patrón de medidas es el hecho aislado y conocido que sirve como fundamento para crear una unidad de medida. El sistema métrico decimal En el pasado cada país y en algunos casos cada región seguían unidades de medidas diferentes, esta diversidad dificultó las relaciones comerciales entre los pueblos. Para acabar con esas dificultades en 1792 la Academia de Ciencias de París propuso el Sistema Métrico Decimal. El Sistema Métrico Decimal es un sistema de unidades en el cual los múltiplos y submúltiplos de una unidad de medida están relacionadas entre sí por múltiplos o submúltiplos de 10. El Sistema Métrico Decimal lo utilizamos en la medida de las siguientes magnitudes: Longitud, Superficie, volumen, Capacidad, Masa. Los prefijos pertenecientes al SI los fija oficialmente la Oficina Internacional de Pesos y Medidas (Bureau International des Poids et Mesures), de acuerdo con el cuadro siguiente: Prefijo Símbol o Factor Asocia do

Pet a P

Ter Gig Meg Kil a a a o T G M K

101 101 5

2

109 106

10 3

Hect Dec o a H D

dec cen i ti d c

102

101

mil i m

micr nan o o µ n

pico Fem to p f

10

10− 10

10−6 10−

10−

10−1

−1

2

12

5


−3

9

Mis Notas de Clase


89

Unidades de Longitud Unidades de medidas de una dimensión, utilizada para medir longitudes (distancias). El patrón de medida en el sistema internacional es el metro. Existen otras unidades para medir cantidades mayores y menores, las más usuales son: Unidad Símbolo Equivalenci a

Kilómetr o Km 1000m

Hectómetr o Hm 100m

Decámetr o Dm 10m

Metr o m

Decímetr o dm 0.1 m

Centímetr o Cm 0.01 m

Milímetr o Mm 0.001 m

Observamos que desde los submúltiplos, en la parte inferior, hasta los múltiplos, en la parte superior, cada unidad vale 10 veces más que la anterior. Por lo tanto, el problema de convertir unas unidades en otras se reduce a multiplicar o dividir por la unidad seguida de tantos ceros como lugares haya entre ellas. Ejercicios Pasar 50 m a cm Si queremos pasar de metros a centímetros tenemos que multiplicar (porque vamos a pasar de una unidad mayor a otra menor) por la unidad seguida de dos ceros, ya que entre el metro y el centímetro hay dos lugares de separación. 50 · 100 = 5 000 cm Pensamiento Cuantitativo

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90

Pasar 4385 mm a m Para pasar de milímetros a metros tenemos que dividir (porque vamos a pasar de una unidad menor a otra mayor) por la unidad seguida de tres ceros, ya que hay tres lugares de separación. 4385: 1000 = 4.385 m Ejercicios Expresar en metros: 5 Km

2 cm

25.56 Dm

53 600 dm

1.83 Hm

Problemas Uno de los animales más lentos que existen es el perezoso: sólo recorre 150 metros en una hora. ¿Cuántos días necesitaría para recorrer 12 kilómetros teniendo en cuenta que pasa 20 horas al día durmiendo? ¿Una persona da un paseo en bicicleta y recorre 4,2 km. Cuántos m ha recorrido? ¿Cuántas varillas de 28 cm de longitud se pueden sacar de una vara de madera de 5 m y 6 dm? Tu familia ha decidido reformar la cocina. Si la altura desde el suelo hasta el techo es de 2,80 m, ¿cuántos azulejos cuadrados de 40 cm de lado caben? ¿A qué distancia del techo colocarán una estantería si quieren que tu hermano (1,84 m de altura) pueda pasar sin golpearse? La más grande de las ballenas dentadas, el cachalote, mide aproximadamente 2 decámetros de longitud, o sea dos veces y medio el tamaño del elefante más largo. ¿Cuántos centímetros de largo puede alanzar a medir un elefante? Una de las etapas de "La Vuelta Ciclista a España" consta de 80 km. De éstos, 1/10 parte son de subida, 1/5 de bajada y el resto es llano. ¿Cuántos hectómetros del recorrido son llanos? Salud El cabello crece unos 12 mm cada mes. ¿Cuánto tiempo necesita un cabello que mide 6 centímetros para medir 12 centímetros?


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91

PERIMETRO El perímetro es la suma de las longitudes de los lados de una figura. Se representa con la letra P POLÍGONOS Un polígono es una figura plana y cerrada formada al unir tres o más segmentos rectilíneos. Sus elementos son: Lados: cada uno de los segmentos que lo forman. Vértices: cada punto donde se encuentran dos lados. Diagonales: cada uno de los segmentos que unen dos vértices no consecutivos Los polígonos se pueden dividir en: Polígonos regulares: son aquellos que tienen todos sus lados y ángulos iguales. Además, todo polígono regular está inscrito en una circunferencia. Polígonos irregulares: son aquellos que no tienen todos sus lados y ángulos iguales. También pueden ser: • Convexos: todos sus ángulos interiores son menores de 180º. • Cóncavos: algunos de sus ángulos interiores son mayores de 180º. Clasificación De Polígonos Según Sus Lados Según la cantidad de lados que tiene un polígono éste recibe un nombre. La cantidad de lados puede ser cualquier número natural mayor o igual a tres. En la siguiente tabla aparecen algunos de ellos. N° Lados

Nombre

Forma


Perímetro

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92

3 𝑎

Triángulo Equilátero

𝑎

ℎ

𝑃 = 3𝑎

𝑎

3

𝐶 𝑎

Triángulo Isósceles

𝑎

ℎ

𝑃 = 2𝑎 + 𝑐

𝐵

𝐴 𝑏

3

𝐵 𝑐 𝑎

ℎ

Triángulo Escaleno

𝑃 =𝑎+𝑏+𝑐 𝐴

𝑏

𝐶

4

𝐵

𝑃 =𝑎+𝑏+𝑐

𝑐

Triángulo Rectángulo

𝑎

𝐶

𝑏

𝐴

𝑐 2 = 𝑏 2 + 𝑎2 Teorema de Pitágoras

4

𝑎

Cuadrado 𝑎


𝑃 = 4𝑎

Mis Notas de Clase


93

4 𝑎

𝑃 = 2𝑎 + 2𝑙 𝑃 = 2(𝑎 + 𝑙)

Rectángulo 𝑙

4

𝑎

ℎ

Paralelogramo

𝑃 = 2(𝑎 + 𝑏)

𝑏

4 𝑎 𝐷 𝑑

Rombo

4

𝑃 = 4𝑎

𝑏

𝑎

Trapecio

𝑐

𝑃 = 𝑎+𝑏+𝑐+𝐵

𝐵

5

Pentágono


𝑃 = 5𝐿

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94

6

Hexágono

𝑃 = 6𝐿

𝑟

Circulo

𝑃 = 2𝜋𝑟

Problemas Un cuadrado tiene como perímetro el doble del perímetro de un triángulo equilátero de 6 cm. de lado. ¿Cuánto mide cada lado de cuadrado? El perímetro de un jardín triangular isósceles es 140 m. Si el lado desigual es el doble del otro lado, aumentado en 20 m. ¿Cuánto mide el lado desigual del jardín? Un carpintero tiene que hacer los 6 marcos para las puertas de una casa. Cada hueco de puerta tiene 210 cm de alto por 80 cm de ancho. Calcula cuántos metros de madera necesita para hacer los marcos. La rueda de la bicicleta de Luis tiene un diámetro de 44 cm. ¿Qué distancia recorre la bicicleta cada vez que la rueda da una vuelta? ¿Y si da tres vueltas? Determina cuántas vueltas dará la bicicleta en 10 metros. Un terreno rectangular de 27 metros de ancho por 45 metros de largo se quiere cercar con 3 vueltas de alambre de púas. ¿Cuántos metros de alambre se necesitan para cercar el terreno? ¿Qué cantidad de alambre se necesita para cercar un terreno rectangular cuyos lados miden, respectivamente, 12 m. y 23 m. si hay que colocar cuatro hileras de alambre en cada lado? Don Juan necesita comprar alambre para un campo de forma rectangular de 20 metros de base por 10 metros de altura: ¿cuánto alambre se necesita? Si emplea tres hileras de alambre: ¿cuánto alambre necesitará?


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95

Si decide colocar palos para delimitar el campo y coloca cada palo a una distancia de 50 cm, ¿cuántos palos podrá colocar? Se quiere encerrar un patio rectangular con una cerca que cuesta $12.5 por m, incluyendo la mano de obra. Encuentre el costo de cercar el patio si sus dimensiones son 110 pies por 85 pies. Encuentre el costo de enmarcar un retrato rectangular con dimensiones de 70 cm por 80 cm si el costo del material es de $8.45 por pie. Un rollo de tela de 2 m de ancho se ha usado para cortar 1050 pañuelos cuadrados de 20 cm de lado. ¿Qué longitud de tela había en el rollo si no ha faltado ni sobrado tela? Cercado de una cancha de futbol. Una cancha de futbol de 25 metros de ancho por 76 de largo se va a cercar dejando un espacio o corredor entre la cerca y el borde del área de juego. El costo de la cerca es de Bs. 4.000 por metro lineal. Si se dispone de Bs. 968.000 para cercar la cancha, entonces calcular el ancho del corredor Una torre de 30 pies se va a fijar con tres alambres fijos en la parte alta de la torre y al piso a 20 pies de su base ¿cuántos metros de alambre necesita? En un terreno rectangular de 750,8 de largo y 364 m de ancho se ha construido una casa de 137 m de largo por 12,45 m de ancho. ¿En cuánto excede el perímetro del terreno al perímetro de la casa? Si desea cercar el terreno, dando tres vueltas al alambre, ¿cuánto alambre se necesita? La rueda de una bicicleta mide 60 cm de radio. Averigua las vueltas que tiene que dar en un recorrido de 7,540 Km. Se va a instalar en el borde de una piscina circular de 14 m de diámetro una alfombra plástica ¿cuántos metros de alfombra se necesitan?


Mis Notas de Clase


96

Unidades de Longitud del Sistema Ingles Tabla de Equivalencias Unidad Línea Pulgada Pie Yarda Milla Terrestre

Símbolo l ´ 12 l ft 12´ 3 ft Mll 1700 yd

Equivalencia 0.21 cm 2.54 cm 30.48 cm 91.44 cm 1600 m

Problemas Para que el radar de un avión puede detectar un submarino, tienen que estar a una distancia máxima de 2 Km. Si un avión vuela 2197 Yardas sobre el nivel del mar, mientras que un submarino se halla a 1967 pies, bajo el nivel del mar ¿Detectará el radar del avión al submarino? ( 1Pie (ft)=30.5 cm) (1Yarda (yd)=0.91 m) Para iniciar convertimos las yardas y pies a m y cm respectivamente, luego llevamos las unidades a kilómetros y sumamos las distancias. Convertimos las yardas en metros Yardas Metros 1 0.91 2197 𝑥 Como es una regla de tres simple directa, las magnitudes se dejan en el mismo orden y se despejan, 0.91𝑚×2197 𝑌𝑑 𝑥= = 1999.27 𝑚 ① 1 𝑌𝑑

Convertimos los pies en centímetros Pies 1 1967

Centímetros 30.5 𝑥

Como es una regla de tres simple directa, las magnitudes se dejan en el mismo orden y se despejan, 30.5 𝑐𝑚×1967 𝑝𝑖𝑒𝑠 𝑥= = 59993.5 𝑐𝑚 ② 1 𝑃𝑖𝑒 Convertimos las distancias ① y ② ha kilómetros, así: 𝐾𝑚 1999.27 𝑚 ÷ 1000 = 1.99927 𝐾𝑚 𝑚 𝐾𝑚 59993.25 𝑐𝑚 ÷ 100000 = 0.599935 𝐾𝑚 𝑐𝑚 Sumamos 1.99927 𝐾𝑚 + 0.599935 = 2.59 𝐾𝑚 Pensamiento Cuantitativo

Mis Notas de Clase


97

Por tanto el radar del avión no detectará a submarino. Una lámina de acero tiene un espesor de 63.5 mm ¿Cuál es el espesor en pulgadas? (1 pulgada = 2,54 cm) Un tubo de 3.5 pulgadas ¿Cuántos milímetros tiene? El diámetro de los tubos de PVC que se utilizan en las construcciones vienen dados en pulgadas. Expresa en cm los diámetros de los tubos de la figura

Cuántos cm mide un clavo de 2 pulgadas A Cuantas millas equivalen los 87 Km que hay entre Santa marta y barranquilla Convierta una longitud de 1500 millas a kilómetros. Convertir a cm la pantalla de un televisor de 50 pulgadas. Exprese en millas terrestre la longitud del rio Magdalena (1550 Km) ¿Cuántos metros tiene un rollo de alambre cuya longitud es de 110 yardas. Salud 3 Cuando el cabello es corto tiene una tasa de crecimiento de 4 de pulgada por mes ¿cuántos centímetros es esto al mes? ¿Cuántos pies mide el intestino (7.5 m)? ¿Cuál es la longitud de un tubo de tórax que mide 0.25 pulgadas de diámetro? ¿Cuántos centímetros debe tener una disección para insertar un tubo de tórax que ¼ de pulgada?

ÁREA El área es una medida de extensión de una superficie, expresada en unidades de medida denominadas unidades de superficie, también, la magnitud métrica asociada al concepto geométrico. Áreas de figuras Planas Pensamiento Cuantitativo

Mis Notas de Clase

Figura


Forma

Área 𝑎

𝐴 = 𝑎2

Cuadrado 𝑎

𝑎

Rectángulo

𝐴 =𝑙×𝑎 𝑙

𝑎

Triángulo Equilátero

√3 𝑎 2 𝑎×ℎ 𝐴= 2

𝑎

ℎ

ℎ=

𝑎 𝐶 𝑎

Triángulo Isósceles

ℎ = 𝑎 × 𝑆𝑒𝑛(𝐴) 𝑏 × 𝑎 × 𝑆𝑒𝑛(𝐴) 𝐴= 2

𝑎

ℎ

𝐵

𝐴 𝑏 𝐵 𝑐 ℎ

Triángulo Escaleno 𝐴

𝑏

𝑎

𝐶

ℎ = 𝑎 × 𝐶𝑜𝑠(𝐶) ℎ = 𝑐 × 𝐶𝑜𝑠(𝐴) 𝑏 × 𝑎 × 𝐶𝑜𝑠(𝐶) 𝐴= 2 𝑏 × 𝑐 × 𝐶𝑜𝑠(𝐴) 𝐴= 2

𝐵 𝑐

Triángulo Rectángulo

𝑎

𝐴

𝑏

𝐶


𝐴=

𝑏×𝑎 2

98

Mis Notas de Clase


𝑎

ℎ

Paralelogramo

99

𝐴 =𝑏×ℎ

𝑏

𝑎

𝑑×𝐷 2 D: Diagonal Mayor d: Diagonal menor

𝐷

𝐴=

𝑑

Rombo

𝑏

Trapecio

𝑎

𝑐

𝐴=

𝑏×𝐵 ×ℎ 2

𝐵

Circulo

𝑟

𝐴 = 𝜋𝑟 2

Unidades de Área o Superficie Unidades de medida de dos dimensiones que permiten medir áreas planas (La medida de su región interior) En el sistema internacional de unidades la principal unidad de superficie es el metro cuadrado. Cada unidad de superficie es 100 veces mayor que la unidad inmediata inferior y 100 veces menor que la unidad inmediata superior.


Mis Notas de Clase Miriámetr o Cuadrado Mm2

Kilómetr o Cuadrad o Km2

José F. Barros Troncoso Hectómetr o Cuadrado

Decámetr o Cuadrado

Metro Cuadrad o

Hm2

Dm2

m2

decímetr o Cuadrad o dm2

centímetr o Cuadrado cm2

100 milímetr o Cuadrad o mm2

Ejercicios Convertir a metros cuadrados las siguientes unidades de superficie. 32 Dm2

30000 cm2

1,16 Hm2

520000 dm2

0,008 km2

Ejercicio Convierta a la unidad indicada 82.5 m2 a dm2

0.78 Km2 a Hm2

38.7 Dm2 a m2

7.77 Km2 a Dm2

8000 cm2 a m2

Problemas ¿Cuál es el precio de un terreno de 8.7 Hm2 a razón de $6 000 m2? ¿Cuántas personas caben de pie en un patio de 360 m2 si cada persona ocupa una superficie de 20 dm2? Tres hermanos heredan un terreno y lo reparten de la siguiente manera: a Lucia le toca 1/4 del terreno, a Orlando 2/3 de lo que queda y a Antonio le corresponde 400 𝑚2 . Calcula cuanto mide el terreno y que cantidad le corresponde a Lucia y a Orlando. Problemas Calcula el número de baldosas cuadradas, de 10 cm, de lado que se necesitan para enlosar una superficie rectangular de 4 m de base y 9 m de altura. Tenemos que el área total de la superficie es 𝐴= 𝑏×𝑎 , donde 𝑏 = 4 𝑚 y 𝑎 = 9 𝑚, remplazando 𝐴 = 4 𝑚 × 9 𝑚 = 36 𝑚2 El área de cada baldosa es 𝐴 = 10 𝑐𝑚 × 10 𝑐𝑚 = 100 𝑐𝑚2 Convertimos los 𝑐𝑚2 a 𝑚2 100 = 0.01 𝑚2 10000 Ahora dividimos el área de la superficie por el área de la baldosa 36 𝑚2 = 3600 0.01 𝑚2 Por lo tanto se necesitan 3600 baldosas para enlosar la superficie total. Un jardín rectangular tiene por dimensiones 30 m y 20 m. El jardín está atravesado por dos caminos perpendiculares que forman una cruz. Uno tiene un ancho de 8 dm y el otro 7 dm. Calcula el área del jardín.

8 dm 7 dm

20 m


30 m

Mis Notas de Clase


101

Calculamos las áreas de cada rectángulo que compone la cruz, inicialmente convertimos de decímetros a metros: 8 𝑑𝑚 = 0.8 𝑚 10 7 𝑑𝑚 = 0.7 𝑚 10 Hallamos el área de la intersección de la cruz, la cual debemos sustraer a la suma de los valores obtenidos anteriormente, con el fin de hallar el área total de la cruz Á𝑟𝑒𝑎𝐼𝑛𝑡𝑒𝑟𝑠𝑒𝑐𝑐𝑖ó𝑛 = 0.8 𝑚 × 0.7 𝑚 = 0.56 𝑚2 Á𝑟𝑒𝑎7 = 0.7 𝑚 × 30 𝑚 = 21 𝑚2 Á𝑟𝑒𝑎8 = 0.8 𝑚 × 20 𝑚 = 16 𝑚2 Al Área8 le restamos la intersección y luego sumamos al Área 7 Á𝑟𝑒𝑎𝑐𝑟𝑢𝑧 = Á𝑟𝑒𝑎7 + Á𝑟𝑒𝑎8 − Á𝑟𝑒𝑎𝐼𝑛𝑡𝑒𝑟𝑠𝑒𝑐𝑐𝑖ó𝑛 Á𝑟𝑒𝑎𝑐𝑟𝑢𝑧 = 21 𝑚2 + 16 𝑚2 − 0.56𝑚2 Á𝑟𝑒𝑎𝑐𝑟𝑢𝑧 = 36.44 𝑚2 Calculamos el área total del terreno y le restamos el área de la cruz para hallar el área del jardín Á𝑟𝑒𝑎𝑇𝑒𝑟𝑟𝑒𝑛𝑜 = 30𝑚2 × 20𝑚2 = 600 𝑚2 Á𝑟𝑒𝑎𝐽𝑎𝑟𝑑í𝑛 = Á𝑟𝑒𝑎𝑇𝑒𝑟𝑟𝑒𝑛𝑜 − Á𝑟𝑒𝑎𝑐𝑟𝑢𝑧 Á𝑟𝑒𝑎𝐽𝑎𝑟𝑑í𝑛 = 600 𝑚2 − 36.44 𝑚2 = 563.56 𝑚2 Entonces el área del jardín es de 563.56m2 Determinar el lado de un triángulo equilátero cuyo perímetro es igual al de un cuadrado de 12 cm de lado. ¿Serán iguales sus áreas? Inicialmente hallamos el perímetro del cuadrado (Pc) dado por Pc = 4 × L, donde L es la longitud del cuadrado, es decir L=12 cm, remplazando Pc = 4 × 12 cm = 48 cm Ahora el perímetro del triángulo equilátero (PT) está dado por PT = 3 × LT, donde LT es el lado del triángulo, por dato Pc = PT, es decir 48 cm = 3 × LT 𝐿𝑇 =

48 𝑐𝑚 = 16 𝑐𝑚 3


Mis Notas de Clase


102

Por lo tanto, cada lado del triángulo mide 16 cm. Ahora hallamos las áreas del cuadrado y el triángulo para comparar si son iguales. Área del triangulo √3 2 𝑎 4

𝐴= , donde 𝑎 = 16 𝑐𝑚 Remplazando √3 𝐴= (16 𝑐𝑚)2 = 110.851 𝑐𝑚2 4

Área del cuadrado 𝐴 = 𝐿2 donde 𝐿 = 12 𝑐𝑚 Remplazando 𝐿 = (12 𝑐𝑚)2 = 144 𝑐𝑚2

Por lo tanto sus áreas no son iguales Una vela triangular de una barca se ha estropeado y hay que sustituirla por otra. Para confeccionar la nueva vela nos cobran 21 euros por 𝑝𝑖𝑒𝑠 2 . ¿Cuánto costará esa nueva vela si debe tener 8 m de alto y 4 m de base? Un campo tiene forma de trapecio, cuyas bases miden 128 m. y 92 m. el ancho del campo es de 40 m. Se construye en este campo un camino de 4 m. de ancho perpendicular a las dos bases. ¿Qué parte del campo queda disponible para el cultivo? ¿Cuál es el área total del terreno? En un terreno rectangular de 750,8 de largo y 364 m de ancho se ha construido una casa de 137 m de largo por 12,45 m de ancho. ¿Qué área del terreno no está construida? ¿Cuántas casas completas, de la misma área pueden ocupar en el terreno desocupado? ¿Cuántas hectáreas tiene un terreno en forma de rombo con las siguientes medidas: Diagonal mayor de 45 m. y diagonal menor de 38 m.? Antonio necesita ladrillos en forma de rombo para instalar en un jardín también en forma de rombo. Si cada metro tiene 20 ladrillos, ¿cuántos ladrillos necesita? José tiene un terreno en forma romboide con 32 m de base, 30 m de altura y 31 m los otros lados que encierran el terreno

ℎ = 30 𝑚

𝑎 = 31 𝑚

𝑏 = 32 𝑚

Calcular el número de árboles que pueden plantarse si cada uno necesita 4 𝑚2 para desarrollarse. Para cercar el terreno, se desea colocar un poste cada 1.5 m ¿Cuántos postes se necesitan?


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103

Calcula el área de un camino de 3 metros de anchura y que rodea a un jardín de forma circular de 7,9 metros de diámetro. Un patio tiene 25 filas de baldosas con 32 baldosas cada una. El patio mide 10 m de ancho por 24 m de largo. ¿Cuántos dm2 mide cada baldosa? Una familia ha decidido cambiar el piso rectangular del comedor de 6,75 m. de largo y 4,5 m. de ancho. Desean colocar plaquetas cuadradas de 25 cm. de lado. ¿Cuántas necesitarán? Una baldosa cuadrada tiene 10 cm de lado. ¿Cuántas baldosas se necesitan para embaldosar una habitación de 3 m de largo y 2 m de ancho? Calcula el perímetro de un rectángulo cuya área es 63 𝑚2 y su lado mayor es 9 𝑚. En una parcela de 450 𝑚2 se quiere construir una casa de 15 m de lado y 12 m de ancho. ¿Qué superficie libre nos queda en la parcela para jardín? Se quiere embaldosar una habitación rectangular de 4,4 m de largo por 3,2 m de ancha con baldosas cuadradas de 40 cm de lado. ¿Cuántas baldosas son necesarias? ¿Cuántas baldosas de 1 dm de lado se necesitan para embaldosar un piso de 30m 2 de superficie? Se debe comprar una alfombra, el cuarto tiene 10,50 m de largo por 4,50m de ancho. ¿Cuál será el precio de la alfombra si 1 m2 cuesta $21 500? Una persona necesita embaldosar una habitación de 4,5 m de largo por 3,5 m de ancho. Para ello aprovecha una promoción y compra 15 paquetes de baldosas, que traen cada uno 50 baldosas de 20 cm de largo por 10 cm de ancho. ¿Le alcanza las baldosas para embaldosar la habitación? Justifique su respuesta Un piso de 5 metros por 3 metros se debe cubrir con baldosas de cerámicas. ¿Cuántas baldosas se necesitan si se sabe que 16 baldosas cubren 1 𝑚2 ¿Cuántos contenedores de 19.3 pies de largo, 7.7 pies de ancho y 2392 pies de alto se necesitan para transportar 1500 cajas con flores, cada una longitud de 150 cm de largo, 31 cm de alto y 51 cm de ancho? (1 𝑝𝑖𝑒 ≅ 30.4 𝑐𝑚) Unidades Agrarias Para medir superficies en el campo, se suelen utilizar unas unidades especiales, llamadas agrarias. Con ellas se expresa lo que mide, por ejemplo, la superficie de un campo de trigo, de un terreno, o la que ocupa un bosque. Estas unidades son: Unidad Centiárea Área Hectárea

Símbolo ca a ha

Equivalencia 1 ca = 1 m2 1 a = 1 Dm2 1 ha = 1 Hm2

La superficie de un campo es habitual expresarla en hectáreas.


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Una Hectárea es el hectómetro cuadrado, es decir un campo en forma de cuadrado de 100 m de largo por 100 m de ancho. Un Área es el decámetro cuadrado, es decir un campo cuadrado de 10 metros de largo por 10 metros de ancho. Una Centiárea es el metro cuadrado. Problemas 1. El vendedor de un terreno nos dice que ocupa una superficie de 55.000 m2 ¿Cuántas hectáreas? La alcaldía de un municipio compró un terreno de 20 ha para un parque. Calcula el precio del terreno si se vende a $5000 el m2. ¿Cuántas hectáreas tiene un solar de 20.000 m2? Una finca de 30,225 ha se vende a $1200 el m2 ¿Cuál es el precio total? Se ha pagado por una finca $ 120 millones de pesos cuyas medidas son: 840 m de ancho por 95,2 Dm de largo ¿Cuánto costó cada ℎ𝑎 del terreno? El Gobierno Colombiano devolverá 312.000 hectáreas a las víctimas del desplazamiento forzado, fruto del conflicto armado que se vive en el país. El programa, según indicó el Ministerio de Agricultura, beneficiará a 130.487 familias. ¿Cuántos metros cuadrados le corresponderá a cada familia? La superficie de un olivar es de 12 ha. Si se plantaron los olivos de forma que cada uno necesitaba 49 𝑚2 , ¿cuántos olivos hay en el olivar? Una urbanización tiene 3,8 ha de superficie de las que 3000 𝑚2 estarán ocupadas por calles, y el resto, se dividirá en parcelas iguales. Si cada parcela ha de tener 500 𝑚2 de superficie, ¿cuántas parcelas podrán hacerse? De una finca de 125 ha se han vendido 2/5 a $900 el m2 y el resto a $8 00 el m2. ¿Cuánto se ha obtenido por la venta? Una casa de 12 m de frente por 18 de fondo está situada en un finca de 1.5 ha (1 ha = 1 Hm 2). En el espacio libre se desea sembrar grama. ¿Cuántas ha quedan libre? Si el metro cuadrado de grama cuesta $2500 ¿Cuánto cuesta sembrar grama en todo el terreno libre?


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VOLUMEN Volumen de Figuras del Espacio Figura

Forma

Volumen 𝑎

𝑎

𝑉 = 𝑎3

Cubo

𝑎


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𝑎

𝑐

Prisma Recto

𝑉 = 𝑎𝑏𝑐

𝑏

Esfera

𝑉=

4𝜋𝑟 3 3

Cilindro

Á𝑟𝑒𝑎𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙 = 2𝜋𝑟(ℎ + 𝑟) Á𝑟𝑒𝑎𝐵𝑎𝑠𝑒 = 2𝜋𝑟 2 Á𝑟𝑒𝑎𝐿𝑎𝑡𝑒𝑟𝑎𝑙 = 2𝜋𝑟ℎ 𝑉 = 𝜋𝑟 2 ℎ

Cono

Á𝑟𝑒𝑎𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙 = 𝜋𝑟𝑔 + 𝜋𝑟 2 Á𝑟𝑒𝑎𝐵𝑎𝑠𝑒 = 𝜋𝑟 2 Á𝑟𝑒𝑎𝐿𝑎𝑡𝑒𝑟𝑎𝑙 = 𝜋𝑟𝑔 𝑔 2 = ℎ2 + 𝑟 2 𝜋𝑟 2 ℎ 𝑉= 3


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Á𝑟𝑒𝑎𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙 = 𝐴𝐿𝑎𝑡𝑒𝑟𝑎𝑙 + Á𝑟𝑒𝑎𝐵𝑎𝑠𝑒 𝑃𝑒𝑟í𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜𝐵𝑎𝑠𝑒 × ℎ𝑐 Á𝑟𝑒𝑎𝐿𝑎𝑡𝑒𝑟𝑎𝑙 = 2 Á𝑟𝑒𝑎𝐵𝑎𝑠𝑒 × ℎ 𝑉= 3

Pirámide

𝑎

Unidades de Volumen El volumen: es la cantidad de espacio que ocupa un cuerpo. La unidad para medir volúmenes en el Sistema Internacional es el metro cúbico (m3) que corresponde al espacio que hay en el interior de un cubo de 1 m de lado. Cada unidad de volumen es 1.000 veces mayor que la unidad inmediata inferior y 1.000 veces menor que la unidad inmediata superior. Ejercicios Convierta en metros cúbicos 0,014 km3 = 5 600 000 cm3 1,16 Hm3 = 137 500 000 dm3 = 1,004 Dm3 = 3 500 000 000 mm3

Convierta en cúbicos 3.5 m3 3600 mm3 0.000 125 Hm3 35.64 dm3 0.0750 Dm3

centímetro Convierta en cúbicos 3,635 cm3 0.625 m3 0.05525 dm3

milímetros

Problemas En un almacén de dimensiones 5 m de largo, 3 m de ancho y 2 m de alto queremos almacenar cajas de dimensiones 10 dm de largo, 6 dm de ancho y 4 dm de alto. ¿Cuántas cajas podremos almacenar? Inicialmente hallamos el espacio total del almacén 𝑉𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒𝑛𝐴𝑙𝑚𝑎𝑐𝑒𝑛 = 5 𝑚 × 3 𝑚 × 2 𝑚 = 30 𝑚3 Ahora hallamos el volumen de cada caja 𝑉𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒𝑛𝐶𝑎𝑗𝑎 = 10 𝑑𝑚 × 6 𝑑𝑚 × 4 𝑑𝑚 = 240 𝑑𝑚3 , el valor obtenido lo pasamos a m3 𝑉𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒𝑛𝐶𝑎𝑗𝑎

1 𝑚3 = 240 𝑑𝑚 × = 0.24 𝑚3 3 1 000 𝑑𝑚 3


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Dividimos el volumen del almacén por el de cada caja 𝑉𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒𝑛𝐴𝑙𝑚𝑎𝑐𝑒𝑛 30 𝑚3 = = 125 𝑉𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒𝑛𝐶𝑎𝑗𝑎 0.24 𝑚3 Entonces en el almacén se pueden depositar 125 cajas de las dimensiones dadas.

Un camino de 1.5 Km de largo por 7 metros de ancho va a ser empedrado con un espesor de 50 cm. ¿Qué volumen (en metros cúbicos) de piedras se requiere? Las volquetas que transportan las piedras tiene capacidad de transportar hasta 17.5 m 3 en cada viaje. Si se contratan 10 camiones ¿cuántos viajes debe realizar cada volqueta? Se ha abierto una zanja de 15,20 m de largo, 4 m de ancho y 2 m de profundidad. ¿Cuántos metros cúbicos de tierra se han sacado? ¿Cuántas cajas de cetirizina de 10 mg, de longitud 9.5 cm de largo, 5 cm de ancho y 1.5 cm de alto caben un una caja de longitud 0.75 m de largo, 0.5 m de ancho y 0.25 m de alto? Los trozos cúbicos de jabón de 5 cm de arista se envían en cajas cúbicas de 60 cm de arista. ¿Cuántos trozos puede contener la caja? En una caja de 0,696 Dm3, ¿cuántos cubos de 12 m3 caben? Un barco transporta 75 Dm3 de vino y se quiere envasar en cubos de 1,2 m 3. ¿Cuántos cubos se necesitarán? Un caramelo tiene un volumen de 1,3 cm3. ¿Cuántos caramelos caben en una caja de 0,4498 dm 3? ¿Cuantas cajas de 31.5cm (largo) X 17cm (ancho) X 21cm (alto) caben en un contenedor de 20 pies cuyas medidas internas son 2598 mm de largo, 2355 mm de ancho y 2393 mm de alto? ¿Cuántos contenedores de 19.4 pies de largo, 7.7 pies de ancho y 7.8 pies de alto se necesitan para transportar 1500 cajas con flores, cada una con longitud de 150 cm de largo, 31 cm de alto y 51 cm de ancho? (1 𝑝𝑖𝑒 ≅ 30.4 𝑐𝑚)


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UNIDADES DE CAPACIDAD Las medidas de capacidad son las que sirven para medir líquidos. En el sistema métrico el litro es la unidad básica de capacidad. Cada unidad es 10 veces mayor a la unidad inmediatamente anterior Mirialitro Kilolitro Hectolitro Decalitro litro Mal Kl Hl Dl l

decilitro centilitro mililitro dl cl ml

Relación entre unidades de volumen y capacidad

1 m3 = 1 kl;1 dm3=1 l;1 l = 1000 cm3 1 Galón = 3.78 litros. 1 Cucharada = 15 ml 60 gotas = 5 ml Ejercicio Expresar en litros 25 Kl 50 galones

21 dl 6.9Hl 5000 cucharadas 10000 gotas

9265 ml

32.118 Dl

Problemas En época de restricciones de agua, hemos puesto dentro de la cisterna del inodoro una botella de 1,5 litros. ¿Cuánto ahorraremos en agua durante 90 días si se usa la cisterna una media de 20 veces al día? Expresa en kilolitros el resultado Hemos comprado dos garrafas de aceite por $72000 y sabemos que una tiene dos litros más que la otra. ¿Cuánto cuesta cada garrafa si se ha pagado a $6000 el litro? Un vehículo gasta 8.2 litros de gasolina cada 100 Km ¿cuánta gasolina gasta viajando entre Santa marta y barranquilla conociendo que la distancia entre las dos es de 87 Km? Un depósito contiene 13,5 Hl de agua; 500 litros se van a envasar en botellas de 250 cl cada una, 250 litros se van a envasar en botellas de 500 cl cada una y el resto de litros en botellas de 1,5 litros cada una. Calcula: El número de botellas que se necesitan de 250 cl. El número de botellas que se necesitan de 500 cl. El número de botellas que se necesitan de 1,5 l. Pensamiento Cuantitativo

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Una alberca mide 3,5 m por cada lado. ¿Cuántos litros de agua caben? Una piscina se llena con 40 m3 de agua ¿cuál es la capacidad, en litros, de la piscina? ¿Cuántos litros de gasolina caben en un depósito de 90 dm de largo, 300 cm de ancho y 0.55 Dm de altura? ¿Qué compra es mejor?, 3 galones de anticongelantes por $10350 o 12 litros de anticongelantes por $10500. Una piscina tiene una capacidad de 23 metros cúbicos. Si ya contiene 6.934 litros y para terminar de llenarla se ha abierto un grifo que arroja 15 litros por segundo. ¿Cuántos minutos tardará en llenarse la piscina? El propietario de una estación de combustible, decide ampliar el tanque de depósito de combustible que es de forma cilíndrica. Actualmente sus medidas son de 3 metros de diámetro de base y 15 metros de largo, se va a aumentar en 4 metros de diámetro y 20 metros de largo. ¿En cuánto amplía su capacidad? Salud Un paciente con cáncer recibirá terapias mediante medicamentos y radiación. Cada cc de la droga que será utilizada contienen 210 unidades curativas. Si se aplican 0.5 litros de la droga ¿cuántas unidades curativas se aplican? Problemas Una piscina tiene 8 m de largo, 6 m de ancho y 1.5 m de profundidad. Se pinta la piscina a razón de $10 000 el metro cuadrado. ¿Cuánto costará pintarla?, ¿Cuántos litros de agua serán necesarios para llenarla?

1.5 m

6m

8m

Según los datos tenemos una superficie de: 2 paredes laterales de 8m × 1.5m, 2 paredes frontales de 6m × 1.5m y el piso con un área de 8m × 6m, con estos datos hallamos el área total que se necesita pinta, obteniendo las áreas de cada pared y el piso y luego lo sumamos para hallar el área total. Á𝑟𝑒𝑎𝑙𝑎𝑡𝑒𝑟𝑎𝑙𝑒𝑠 = 2 × (8 𝑚 × 1.5 𝑚) = 24 𝑚2 Á𝑟𝑒𝑎𝑓𝑟𝑜𝑛𝑡𝑎𝑙𝑒𝑠 = 2 × (6 𝑚 × 1.5 𝑚) = 18 𝑚2 Á𝑟𝑒𝑎𝑝𝑖𝑠𝑜 = 8 𝑚 × 6 𝑚 = 48 𝑚2 Sumando todas las áreas, hallaríamos el área total de la piscina Pensamiento Cuantitativo

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Á𝑟𝑒𝑎𝑃𝑖𝑠𝑐𝑖𝑛𝑎 = Á𝑟𝑒𝑎𝑙𝑎𝑡𝑒𝑟𝑎𝑙𝑒𝑠 + Á𝑟𝑒𝑎𝑓𝑟𝑜𝑛𝑡𝑎𝑙𝑒𝑠+Á𝑟𝑒𝑎𝑝𝑖𝑠𝑜 Á𝑟𝑒𝑎𝑃𝑖𝑠𝑐𝑖𝑛𝑎 = 24 𝑚2 + 18 𝑚2 + 48 𝑚2 = 90 𝑚2 Entonces, si se pinta a razón de 10.000 el m2 tenemos que: $10 000 90 𝑚2 × = $900 000 𝑚2 Pintar la piscina costará $900.000 Para saber cuántos litros de agua serán necesarios para llenar la piscina, calculamos su volumen 𝑉𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒𝑛𝑃𝑖𝑠𝑐𝑖𝑛𝑎 = 8 𝑚 × 6 𝑚 × 1.5 𝑚 = 72 𝑚3 Como 1 litro equivale a un dm3 convertimos los 72 m3 en dm3 72 𝑚3 ×

1 000𝑑𝑚3 = 72 000 𝑑𝑚3 = 72 000 𝑙𝑖𝑡𝑟𝑜𝑠 1 𝑚3

Entonces se necesitan 72.000 litros de agua para llenar la piscina.

Un tanque esférico de 6 dm de radio se llena de agua a razón de 5 litros por minuto. Si inicialmente 4 el tanque está lleno hasta la mitad de su capacidad (Volumen de una esfera 𝑉 = 3 𝜋𝑟 3 ) ¿cuántos litros de agua tenía el tanque antes de iniciar el llenado? ¿Qué cantidad de agua entra al tanque al cabo de 10 minutos? Aproximadamente ¿cuánta agua falta para que se llene el tanque por completo? En un pozo circular de 1,80 m de diámetro, el agua alcanza una altura de 5,40 m desde el fondo. ¿Qué cantidad de agua contiene? (Volumen de un cilindro 𝑉 = 𝜋𝑟 2 ℎ)

El tanque de la figura está lleno de agua hasta la mitad. (𝑅 = 5, 𝐻 = 12)

Si las medidas están dadas en pies (1 pie=30.48 cm) ¿cuántos litros de agua tiene el tanque? 1 (Volumen de un cono 𝑉 = 3 𝜋𝑟 2 ℎ) Si el tanque tiene un orificio en la parte inferior que bota 5 litros de agua por minuto ¿Cuánto tiempo tardará el tanque en vaciarse?


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UNIDADES DE MASA La principal unidad de masa del Sistema Internacional (SI) es el kilogramo (kg). Cada unidad métrica de masa es 10 veces mayor que la unidad inmediata inferior y 10 veces menor que la unidad inmediata superior. Tonela Quin da tal t q

Miriagra Kilogra mo mo Mg kg

Hectogra Decagra mo mo Hg Dg

gra mo g

Decigra mo dg

Centigra mo cg

Miligra mo mg

La libra y la onza son medidas del sistema inglés 1 libra (lb)=16 onzas=453.6 gr 1 onza (oz)=28.35 gr 1 US ton (ton)= 0.907 toneladas métricas Otras unidades de peso de uso común en el comercio de los productos agrícolas son: 1 arroba (1 @) = 25 lb 1 UK ton (ton) = 1.016 toneladas métricas Ejercicios Pasa a Kilogramos las siguientes unidades 14 t 16 @f.

213 q 17256 lb

2157 g 658 oz

15 000 mg 0.25 US ton

Problemas Un ascensor tiene capacidad máxima de 1,5 Tonelada métricas (1 Tonelada métrica =100Kg). Asumiendo que el peso promedio de una persona adulta es de 160 libras (1 libra=453 gr). ¿Cuál es el número máximo de adultos que pueden subir al mismo tiempo al ascensor? Un furgoneta puede cargar 1.2 t. Debe transportar 72 cajas que contienen 25 envases de paquetes de jabón, con un peso de 750 g cada uno ¿Puede transportarlos en un solo viaje? En una finca se recolectó durante la cosecha de café 1207 @ y 9 lb. Si se vendió a $1600 el ¿cuánto dinero se recibió? Un barco inglés lleva 15 700 toneladas métricas de carbón. Si se pagan 3.5 dólares por tonelada norteamericana (US ton). ¿Cuál es valor del embarque? ¿Cuál será la ganancia de un agricultor de la venta de 5 @ de yuca si en el mercado le pagan $800 el Kg? Un bote contiene 25 onzas de una droga. ¿Cuántos gramos de la droga contiene el bote? ¿Cuántas dosis se pueden obtener de él si cada dosis necesita 4.5 g de la droga?


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Un campesino tiene una finca de forma rectangular en la que ha sembrados papas. Sus dimensiones son 2 Hm. de largo y 68 m. de ancho. Estima que el metro cuadrado de la finca producirá unos 3,5 kg. de papas. ¿Cuántas toneladas de papas recogerá aproximadamente? Un supermercado recibe un envío de 20 cajas de cereales con 30 paquetes cada una, cada paquete pesa 8.8 onzas. Si el transportador cobra $1600 por kilogramo transportado ¿cuánto cuesta el envío? (1 𝑜𝑛𝑧𝑎 (𝑜𝑧) ≅ 28.3 𝑔𝑟) Salud Un medicamento se vende en cajas de 12 pastillas: Si cada pastilla pesa 500 mg, ¿cuántos libras (lb)de medicamento contiene la caja? (1 lb= 453.6 gramos) b. Si la medicina y su envase pesan 14 gr, ¿cuánto pesa el envase? Un antibiótico viene en una caja con 24 sobres de 500 mg cada uno. Si el médico te receta la caja entera, ¿cuántos gramos de antibiótico tienes que tomar?

UNIDADES DE TIEMPO Segundo (s)

Minuto (min) Hora (h)


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José F. Barros Troncoso Día Año Siglo

Semana Lustro Milenio

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Mes Década

Equivalencias entre unidades de tiempo: 1 minuto = 60 segundos 1 hora= 60 minutos = 3.600 segundos 1 día = 24 horas 1 semana = 7 días 1 mes = 30 días (hay de 28 y de 31, pero para los problemas se consideran de 30 días) 1 año = 365 días = 52 semanas 1 lustro = 5 años 1 década = 10 años 1 siglo = 100 años 1 milenio = 1.000 años Ejercicios Transformación de unas unidades a otras: De menores a mayores: Dividir Transforma 38.520 segundos a horas, minutos y segundos. (38.520 s h, min y s) Dividimos 38.520 s entre 60 y obtenemos 642 minutos y sobran 3 segundos. Dividimos los 642 minutos entre 60 y obtenemos 10 horas y sobran 42 minutos. El resultado final es: 10 horas, 42 minutos y 3 segundos. Con estas operaciones hemos transformado una expresión incompleja a otra compleja. De mayores a menores: Multiplicar Transforma 3 horas, 25 minutos y 13 segundos a segundos (3 h 25 min 13 s s) Las horas las multiplicamos por 60 obteniendo los minutos y el resultado por 60 para calcular los segundos. Los minutos los multiplicamos por 60 para obtener los segundos. Finalmente sumamos todos los segundos obtenidos. Con estas operaciones hemos transformado una expresión compleja a otra incompleja. Problemas Un reloj se adelanta 3 minutos en 48 horas. ¿Cuántos minutos se adelantará en una semana? Un año de cronológico de un perros equivale aproximadamente a 13.5 años de un humano. ¿Cuántos años humanos tiene un perro de 5 meses? ¿Cuántos años tiene que vivir un perro para alcanzar 36 años de un humano?


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POTENCIACIÓN La potenciación es la forma abreviada de la multiplicación, y consiste en multiplicar la base el número de veces que indique el exponente. Si b, e y p son números Reales entonces: 𝑏𝑒 = 𝑏 × 𝑏 × … × 𝑏 = 𝑝 ---- 𝑒 veces ---Pensamiento Cuantitativo

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Donde 𝒃 ≠ 0 es la base, 𝒆 el exponente y 𝒑 la potencia. Propiedades-1 Debemos tener en cuenta que: Si e = 1, entonces b1 = b. Si e = 0, entonces b0 = 1. Si b = 1, entonces 1e = 1. Si b = 0, entonces 0e = 0. Si b<0 y e es par, entonces p>0 Si b<0 y e es impar entonces p<0 1 1 También, 𝑏−𝑒 = 𝑒 ó −𝑒 = 𝑏 𝑒 𝑏 𝑏 Ejercicio Calcular el valor de cada expresión: 23

34

(-2)4

(-3)3

4-2

Propiedades-2 Supongamos que a y b son dos números reales distintos de cero, y n y m son también dos números enteros. Producto de potencias de la misma base es una nueva potencia, que tiene la misma base y cuyo exponente es la suma de los exponentes de las potencias que se están multiplicando. Es decir: a m .a n  a mn Cociente de potencias de la misma base es una nueva potencia, con la misma base y cuyo exponente es la resta de los exponentes de las potencias que se están dividiendo. am  a mn n a Potencia de un Producto es igual al producto de las potencias. Es decir: (a x b) n = an x bn Potencia de un Cociente es igual al cociente de las potencias. Es decir n an a    n b b Potencia de una Potencia es una nueva potencia, con la misma base y exponente igual al producto de los exponentes del factor. Es decir:

a 

m n

 a mxn

Exponente Racional a

m

n

 n am

Ejercicio 21 Utilice la regla de los exponentes para simplificar y queden todos los exponentes positivos. Pensamiento Cuantitativo

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56 54

x2 x5

x 3 x 4

 y 3    2  x 


 x    y

117

4

(2x-2)-4

1

 8a

(x2y-3)-1

2

(y3)-2 2



5

b 2a b

4



 c 4 b 1 a 2    3 3  a  4 b c  

3

Ejercicio Escriba las expresiones en la forma CXn 2 x

3 x 2

(2x)3

1 4 x 2

3 2x 4

 x    2 

3

Ejercicio Evalué en la calculadora 23 (-3.7)3

64 (-1.5)-5

(-3)5 1 33

(-2)-3 1   4

4

1.23 2   3

5

Problemas En un almacén hay una pila de cajas de zapatos que tiene 25 cajas de largo, 25 de ancho y 25 de alto. Si cada par se vende en US $25 ¿Cuánto vale la pila? En un cajón hay 12 cajas de lápices cada caja tiene 12 paquetes, cada paquete tiene 12 mazos y cada mazo tiene una docena de lápices. ¿Cuántos lápices hay en el cajón? Se invierten $1´000.000 durante x años con una tasa de interés del 8%, compuesto trimestralmente, el valor futuro resultante será: S = 1´000.000 (1.02)4x ¿Cuál será el capital en 5 años? Se invierten $3´200.000 durante x años con una tasa de interés del 8%, compuesto trimestralmente, el interés ganado es: I = 3´200.000 (1.02)4x – 3´200.000 ¿Cuál será el capital en 5 años? Si se invierten $𝑃 durante 𝑟 años con una tasa anual compuesta 𝑟 el valor futuro acumulado está dado por: Pensamiento Cuantitativo

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𝑆 = 𝑃(1 + , y la utilidad obtenida es U = S – P Encuentre S y U para lo P, n e r dados $1´200.000 a 5 años con un interés del 12% $1´800.000 a 5 años con un interés del 10% $5´000.000 a 7 años con un interés del 12.5% $8´000.000 a 3 años con un interés del 10.5

118

𝑟 𝑛 ) 100

Si una inversión tiene un objetivo (valor futuro) de $S después de n años y ofrece una tasa de interés anual compuesta i (como un decimal) entonces el valor presente P que debe invertirse es P = S (1 + i)-n Encuentre P para S, n e i dados. $15´000.000 después de 2 años con interés del 1.3% $80´000.000 después de 20 años con un interés del 1.5% $7´000.000 después de 36 meses con un interés del 1.2% Es posible hacer una aproximación precisa del número de fondos mutuos N con la fórmula: N = 4.8139 (1.9)t , donde t es el número de décadas que han pasado desde 1900. ¿Qué valor t corresponde a 1950? Haga una aproximación del número de fondos mutuos en 1950, 1990, 2000 y 2007 El porcentaje P de mujeres que trabajan fuera de casa y tienen hijos menores de 6 años se aproxima mediante la expresión

P = 33.55 (t + 5)0.205 , donde t se mide en años y t=0 corresponde al año 1980. Calcule el porcentaje en 1990 y en el 2000. Si se invierten $P durante n años con una tasa de interés del 10% compuesto continuamente, el valor futuro (S) de la inversión se obtiene mediante la fórmula: S = P  0.1n , donde   2.718. Encuentre S para P y n dados: $1´000.000 durante 10 años $1´000.000 durante 5 años El número de suscriptores de un sistema inalámbrico (en miles) se puede modelar con la fórmula: N = 630.2  0.3739t , donde t es el número de años que han pasado desde 1985. Determine: El número de suscriptores con los que inicio el sistema. Haga una aproximación del número de suscriptores en 1995 y en el 2007. El administrador de un hospital pronostica que el crecimiento en el número de empleados del hospital será según la ecuación: N = 2000(0.6)0.5t (Ecuación de Gompertz) Pensamiento Cuantitativo

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119

, donde t representa el número de años después de abrir una instalación nueva. ¿Cuál es el número de empleados al momento de abrir la instalación? ¿Cuántos empleados se pronostica después de 1, 5 y 10 años? Interés compuesto capitalizado Si se invierten P dólares a una tasa de interés anual r (expresada en decimal) y el interés se capitaliza k veces por año, el saldo B(t) después de t años será 𝑟 𝐵(𝑡) = 𝑝(1 + )𝑘𝑡 𝑘 Supóngase que se invierten us$5 000 a una tasa de interés anual del 10%. Calcular el saldo después de 10 años si el interés se capitaliza: Anualmente, Semestralmente y diariamente (365 días) ¿En cuál periodo invertiría? ¿Por qué? El promedio de peso 𝑊 (en libras) para hombres con estatura ℎ entre 64 y 79 pulgadas se puede aproximar con el uso de la fórmula 𝑊 = 0.1166ℎ17/10 . Calcule el peso que debe tener un hombre que mide 1 m con 73 cm. El promedio de peso 𝑊 (en libras) para mujeres con estatura ℎ entre 60 y 75 pulgadas se puede aproximar con el uso de la fórmula 𝑊 = 0.1049ℎ17/10 . Calcule el peso que debe tener una mujer cuya estatura es de 1 m con 65 cm.

RADICACIÓN Es la operación contraria de la potenciación. La expresión del radical, n es el índice y a él radicando.

n

a se llama radical, donde  : es el signo

𝑛

Si √𝑎 = 𝑝 entonces 𝑝𝑛 = 𝑎 Condiciones n

a

Si n es par Si n es impar

a=0

a>0

0 0

>0 >0

a<0  <0

Para un índice par se puede presentar 2 casos Si a<0, no existe ningún real p tal que n a = p. Si a>0, existen dos números reales que al elevarlo a la n sea igual a a, es decir

n

Ejercicio Escriba las siguientes expresiones en forma de radical: 16

16 3

y

3 2

6m 3 2

Ejercicio Escriba cada expresión con exponente racional:


2

8x  3

a  p.

Mis Notas de Clase

José F. Barros Troncoso 1

x3 3

b

3

(ab3

3

120

8m 3

2

Regla de los Radicales n

1.

n

a n  a n  a1  a

a n b  n ab n a a 3. n  n b b 2.

n

Ejercicio Utilice las propiedades de los exponentes para simplificar cada expresión de modo que solo quede exponentes positivos expresados en forma radical 1 4

y y

3 2

3 4

z z

4

y

3 2

x

y

x

1 3

 x  

2 3

2 3

   

3 4

Ejercicio Simplifique cada expresión usando las propiedades de los radicales

121x 6 y 8

64x 4

125a 6

3

27x 3

4

Ejercicio Realice las operaciones indicadas 12 3 x x 3

63x 5 y 3 28x 2 y

12 x y

256 x8 y16

25x 5x 12

27 xy 2

4

32a 9 b 5

4

162a 5 b

Ejercicio Evalúe en la calculadora

64

3

216

4

625

1 144

Ejercicio Escribir cada expresión de la forma Cx n donde C y n  R.

x

a5

3

y4

16x 3

1 5 10

3 x

Problemas de aplicación


3 2

Mis Notas de Clase


121

Suponga que el volumen de venta semanal, y (en miles de unidades vendidas), depende del precio unitario del producto de acuerdo con 32 𝑦=5 √(3𝑝 + 1)2 , donde p se da en dólares. Determine la venta para un precio de 20 y 40 dólares Si p=20 32 32 32 𝑦=5 =𝑦=5 =𝑦= = 6.18 5.17 √(3(20) + 1)2 √(61)2 Si el precio es de 20 dólares se demandaran aproximadamente 6 unidades. Si p=40 32 = 4.69 5 5 6.80 √(3(40) + 1)2 √(121)2 Si el precio es de 40 dólares se demandaran aproximadamente 5 unidades. 𝑦=

32

=𝑦=

32

=𝑦=

Compare los resultados ¿qué encuentra? A mayor precio menor demanda Suponga que el volumen de ventas semanales (en miles de unidades) para un producto está dado por 𝑦=

32 5

√(𝑝 + 8)2 , donde p es precio unitario en dólares. ¿Qué pasa con la venta si se decide bajar el precio de 11 a 10 dólares por unidad? Cierta casa editorial pronosticas que el precio de un libro (en pesos) se obtiene mediante la expresión 5 𝑦 = 12 000√2𝑥 , donde 𝑥 es el número de años de lanzamiento del libro, ¿Cuál fue el precio de lanzamiento del libro? b. Calcular el precio del libro 5, 10 y 15 años después de su lanzamiento c. Compare los resultados ¿qué encuentra? La productividad física (cantidad de productos que se puede obtener en una unidad de tiempo) para una fábrica de juguetes es 𝑝 = 250√(𝑥 + 4)3 , donde x es el número de máquinas en funcionamiento ¿cuál es la productividad de la fábrica si están en funcionamiento 1, 3 o 5 máquinas?


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122

La demanda de x cientos de unidades de un artículo está dada por 98 𝑥= −1 √2𝑝 + 1 , donde p es el precio unitario en dólares. Determine la demanda cuando el precio es de 25 dólares y 30 dólares. Compare los resultados anteriores ¿qué encuentra? La demanda de cierto producto ésta dada por la ecuación p=√2500 − 𝑥 2 , en donde x unidades pueden venderse a un precio $p cada una. Determine el precio si se demandan 40, 50 y 60 unidades. Interprete lo resultados Las ganancias anuales brutas de cierta compañía fueron 𝑓(𝑡) = √10𝑡 2 + 𝑡 + 236 miles de dólares t años después de su formación en enero de 1993. Calcule las ganancias anuales brutas en 1997 y 2001. Compare los resultados ¿qué encuentra? Imagine que se determina que las ventas de una galería disminuyen luego de terminar una campaña publicitaria, con ventas diarias que se obtienen con: 1

S  2000210 , donde S se da dólares y x es el número de días después de culminar la campaña. ¿Cuáles son las ventas diarias 5, 10, 15, 20 días y seis meses después de culminar la campaña? x

Se puede escribir el crecimiento de una compañía con la ecuación  7     10 

t

N  5000.02 , donde t es el número de años que la compañía tiene de existencia y N es el número de empleados. a. ¿Con cuántos empleados inicio labores la compañía? b. ¿Cuál será el número de empleados 5 y 10 años después de haber iniciado labores la compañía?

En una industria textil un rollo de una tela en particular tiene un costo dado por 𝐶 = 20𝑥𝑒 0.01𝑥

2

, donde x es el número de rollos producidos de la tela y 𝑒 es una constante de proporcionalidad equivalente a 2.71. Determine el costo de producir 1, 2, 5 y 10 rollos. Después que una persona ha trabajado por t horas con una máquina en particular su tasa de rendimiento estará dada por t   R  101   5    ¿Cuál es el rendimiento durante la primera, tercera, quinta y octava hora de trabajo? Haga un análisis de los resultados. Pensamiento Cuantitativo

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123

Si se invierten $P durante n años con una tasa de interés del 10% compuesto continuamente, el valor futuro de la inversión se obtiene mediante la fórmula 1 n 10

S  P ¿Qué valor se obtendrá en una inversión de $1´000.000 en 20 años?

Suponga que las ventas se relacionan con los gastos de publicidad, según el modelo x    Sn  24.58  325.181   14    , donde x son los gastos de publicidad dado en millones de pesos. Determine aproximadamente las ventas obtenidas cuando se invierten 1 millón, 7, 10 y 20 millones de pesos en publicidad. Suponga que la función demanda para cierta mercancía está dada por  q  P  30 3 2    , donde p es el precio y q el número de unidades. ¿Para qué precio por unidad será la demanda igual a 3, 5 y 13 unidades? 4  x 5

El decaimiento de las ventas de un producto están dadas por S  50000 , donde S son las ventas mensuales y x es el número de meses que han transcurrido desde que se terminó la campaña promocional. ¿Cuáles serán las ventas 4 meses después de haber terminado la campaña? La administradora de una compañía pronostica que las ventas aumentarán después de que ella asuma el puesto y que el número de ventas se obtendrán por 3

t

N  30000.2 5  , donde N son las ventas obtenidas (dada en dólares) y t el número de meses a partir del momento en que ella asume el cargo. ¿Cuáles son las ventas en el momento en que ella asume el puesto? ¿Cuáles serán las ventas 3 meses después de asumir el puesto?


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124

LOGARITMACIÓN http://usuarios.lycos.es/mislogaritmos/ http://www.videosdematematicas.com/enlinea/logaritmos.htm Los logaritmos fueron introducidos en las matemáticas con el propósito de facilitar, simplificar o incluso, hacer posible complicados cálculos numéricos. Utilizando logaritmos podemos convertir: productos en sumas, cocientes en restas, potencias en productos y raíces en cocientes.

Se llama logaritmo en base a del número x al exponente b al que hay que elevar la base para obtener dicho número. 𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑥 = 𝑏 ↔ 𝑎𝑏 = 𝑥 Donde a Є R, a > 0 y a ≠ 1, a se denomina base del sistema de logaritmos, que se lee : "el logaritmo en base a del número x es b" , o también : "el número b se llama logaritmo del número x respecto de la base a " . Un logaritmo no es otra cosa que un exponente. Propiedades log 𝑎 1 = 0 log 𝑎 𝑎 = 1 log 𝑎 𝑎𝑥 = 𝑥 𝑎log𝑎 𝑥 = 𝑥 log 𝑎 (𝑈. 𝑉) = log 𝑎 𝑈 + log 𝑎 𝑉 𝑈 log 𝑎 = log 𝑎 𝑈 − log 𝑎 𝑉 𝑉 log 𝑎 (𝑈𝑛 ) = 𝑛 log 𝑎 𝑈 1 𝑛 log 𝑎 ( √𝑈 ) = log 𝑎 𝑈 𝑛 log 𝑎 𝑈 = log 𝑎 𝑉 𝑠𝑖 𝑠𝑜𝑙𝑜 𝑠𝑖 𝑈 = 𝑉


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125

Tipos de Logaritmos Logaritmos Comunes: También llamados decimales o vulgares son los que tienen por base el número 10. Se escriben log10 x = log x Logaritmos Naturales: También llamados Neperianos o hiperbólicos tienen por base el número e. Se escriben loge x = ln x Ejercicio. Escriba cada ecuación en forma logarítmica 1

25 = 32 105 = 100 000 am+n = w

91/2 = 3

4-1 = 4 (0.2)3=0.008 (x + y)k = z

a10=b (r2)s= p + q

Ejercicio Escriba cada ecuación en forma exponencial log2 16 = 4

log 4 2 =

log255=m log2x=(a+b)

1 2

log2(m+n)=y log(1/2)w = -2

log 3

1 = −2 9

log(m+n)B=-3 log(-1/8)(-1/2)=(-1/3)

Ejercicio Despeje x escribiendo las ecuaciones en forma exponencial log 2 𝑥 = 3

log 𝑥 16 = 4

1 log 3 94𝑥 = 5𝑥 + 6 2 log 𝑎 (𝑥 + 2) = 3log 𝑎 2 + log 𝑎 5 − log 𝑎 10 − log 𝑎 2 log 25 𝑥 = −

1 3 = 4𝑥 − 8

log 8 𝑥 = − log 2 82𝑥

log 3 272𝑥+1 = 𝑥 + 3

Ejercicio Exprese cada expresión en función de logaritmo s de forma más sencilla 𝑥 𝑥+𝑦 𝑥 log 𝑎 𝑥+𝑦 log 𝑎

Ln (x + y)(4x + 5) 𝑥2 − 1 log a ( 2 ) 𝑥 −4

3

log 7 ( 𝑥 √𝑥 + 4) 𝑥(𝑥 + 2)3 log a ( ) (𝑥 + 2)4

Ejercicio. Use la calculadora para determinar ln √4 . 6 8 ln √ 5 3

ln

√56 23

1 ln 8 − ln 5 3

1 (ln 4 + ln 6) 2 ln 34 17


1 ln 56 − ln 23 2

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126

Problemas de Aplicación Digamos que la función demanda para un producto está dada por 100 𝑝= ln(𝑞 + 1) Calcule precio si se demandan 19 unidades Suponga que el costo total (en dólares) para un producto está dado por

C(x) = 1500 + 200 ln(2x +1) , donde x es el número de unidades producidas. Calcule el costo de producir 200 unidades. El ingreso total en dólares por la venta de x unidades de un producto está dado por 2 500𝑥 R(x) = ln(10𝑥+10) Encuentre el ingreso cuando se venden 100 y 200 unidades e interprete el resultado Suponga que la oferta de x unidades de un producto a un precio p de dólares está dado por

P = 10 + 50 ln(3x + 1) Encuentre el precio de oferta cuando el número de unidades es 33. La función demanda de un producto está dada por p =

4 000 ln(𝑥+10)

donde p es el precio unitario en

dólares cuando se demandan x unidades. Encuentre el precio con respecto al número de unidades vendidas cuando se venden 40 y 90 unidades ¿qué encuentra?

La ecuación de oferta de un fabricante es

𝑞 𝑝 = 𝑙𝑜𝑔 (10 + ) 2 , donde 𝑞 es el número de unidades ofrecidas con el precio 𝑝 por unidad ¿cuál será el precio si se ofertan 100 unidades?


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127

EXPRESIONES ALGEBRAICAS CONCEPTOS BÁSICOS ÁLGEBRA Etimológicamente, la palabra «álgebra» (también nombrado por los árabes Amucabala) ‫ج بر‬ (yebr) (al-dejaber), proviene por lo tanto del árabe y significa "reducción", operación de cirugía por la cual se reducen los huesos luxados o fraccionados ( algebrista era el médico reparador de huesos). Parte de la matemática que trata los números en forma abstracta representándolos en forma de letras, generalizando las relaciones aritméticas. Se considera una herramienta que facilita las operaciones o procedimientos donde intervienen números o conjunto de objetos con reglas que los conectan o relacionan, en su forma más general, se dice que el álgebra es el idioma de las matemáticas. El álgebra actual trata con entidades más generales que los números y sobre estas entidades define operaciones (similares a las operaciones aritméticas). Variable: (Parte literal) Símbolo que representa un número y puede tomar diferentes valores (x.y,z,a,…) Constante (Parte numérica) Es un número. Si el número esta solo se le denomina constante pero si acompaña a una variable coeficiente. Signo: Operador Aritmético (+, - ,  ,  ,  , …) Expresión Aritmética: Combinación de variables, constantes unidos por operadores aritméticos. Término Algebraico Está constituido por un signo, una constante, una o más variables con un exponente. 2 3xy z -6 -5x2 - 𝑎2 𝑏 3 3

Términos Algebraicos Semejantes Dos o más términos algebraicos son semejantes si tienen la misma parte literal elevado a la misma potencia. Suma y Diferencia de Términos Algebraicos Para sumar suma y/o restar términos algebraicos se presentan dos situaciones. Si los términos son semejantes se suman los coeficientes atendiendo la ley de signos. Pensamiento Cuantitativo

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128

Si los términos no son semejantes la operación queda indicada. Ejercicios Calcular 2𝑎 + 3𝑎 − 4𝑎 5𝑥 2 + 7𝑥 2 − 15𝑥 2 2 3𝑎𝑏 + 2𝑎 𝑏 − 2𝑎𝑏2 + 4𝑎𝑏 − 𝑎2 𝑏 + 4𝑎𝑏2 𝑥+𝑦 2(x+1)-4(x+1)+7(x+1) 4√2 − 3√2 + 5√2 3 log 𝑎 − 5 log 𝑎 + log 𝑎 1 𝑥 3 𝑥 4 𝑥 𝑒 + 𝑒 − 𝑒 2 5 7 Multiplicación de Términos Algebraicos Inicialmente se multiplican o dividen los coeficientes teniendo en cuenta la ley de signos, luego se presentan dos situaciones Si las variables son iguales se aplican las propiedades de potenciación 𝑎𝑚 × 𝑎𝑛 = 𝑎𝑚+𝑛 si es una 𝑎𝑚 multiplicación o 𝑎𝑛 = 𝑎𝑚−𝑛 si es una división. Si las variables no son iguales la operación se deja indicada. Ejercicio Calcular (3𝑥 2 ) × (−5𝑥 3 ) = −15𝑥 5 (−16𝑎3 ) ÷ (8𝑎) = −2𝑎 (−4𝑎) × (−6𝑏) = 24𝑎𝑏 (32𝑎4 𝑏5 ) ÷ (4𝑎2 𝑏4 ) = 8𝑎2 𝑏 Expresión Algebraica Dos o más términos algebraicos unidos por operadores aritméticos. Las expresiones algebraicas que tienen un término se llaman monomios, las que tienen dos términos binomios, tres términos trinomios y más de tres términos polinomios Propiedad Distributiva de la multiplicación con respecto a la suma: Simbólicamente 𝑎(𝑏 + 𝑐 ) = 𝑎𝑏 + 𝑎𝑐 Producto de polinomios. Simbólicamente (𝑎 + 𝑏)(𝑐 + 𝑑 ) = 𝑎𝑐 + 𝑎𝑑 + 𝑏𝑐 + 𝑏𝑑

Problemas de Polinomios El gasto del consumidor de un artículo es igual al producto del precio por la demanda. Dado el precio p (en dólares) y la demanda x=7 -2p, donde x son las unidades demandadas. Determine Pensamiento Cuantitativo

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129

Escriba la expresión del gasto del consumidor Calcule el gasto del consumidor del artículo si el precio es de 3 dólares. ¿Qué encuentra? Calcule el gasto del consumidor del artículo si el precio es de 4 dólares. ¿Qué encuentra? Los ingresos totales obtenidos por la venta de x número de copias de una máquina fotocopiadora son de R(x) = -0.04x2 + 2000x , pesos por semana y el costo por la producción de x unidades de estas máquinas es C(x) = 0.000002x3 – 0.02x2 + 1000x +120 000 , pesos por semana (0 < x < 5 000). Determine una expresión que proporciones la ganancia mensual de la empresa. Determine la ganancia mensual si venden un promedio de 500 semanales. ¿Qué significa la expresión 0 < x < 5 000 Un fabricante de raquetas de tenis determina que el costo total de producción de x raquetas por día está dado por C(x) = 0.0001x2 + 4x + 400 dólares Cada raqueta se vende a un precio de p dólares, donde p = -0.0004x + 10 Encuentre una expresión para la ganancia diaria del fabricante, suponiendo que se pueden vender todas las raquetas fabricadas. Sugerencia: El ingreso total está dado por el número total de raquetas vendidas, multiplicado por el precio de cada raqueta. La ganancia está dada por el ingreso menos el costo. 4. El gasto en salud por persona (en dólares) por parte del sector privado incluye los pagos realizados por individuos, corporaciones y sus compañías de seguro, y es aproximadamente 2.5t2 + 18.5t + 509 (0 ≤ 𝑡 ≤ 16) , donde t se mide en años y t=0 corresponde al inicio de 1994. El gubernamental correspondiente (en dólares) que comprende los gastos médicos federales, estatales y locales, es -1.1t2 + 29.1t + 429 (0 ≤ 𝑡 ≤ 16) Escriba una expresión para la diferencia entre los gastos del sector privado y gubernamental por persona en cualquier instante t. ¿cuál fue la diferencia entre los gastos en el 1998 y de 2000? Escriba un análisis de la respuesta. La utilidad G (en miles de pesos) percibida por la producción y venta de q miles de unidades es G=I–C , donde C es el costo total (en miles de pesos) e I el ingreso (en miles de pesos) que se obtiene por I=p×q , donde p es el precio (en miles de pesos) por unidad.


Mis Notas de Clase


130

Si un fabricante estima que si produce q miles de unidades por mes de cierto artículo su costo total C viene expresado por la relación: 𝐶 = 0.1𝑞2 + 0.2𝑞 − 100 El precio p por unidad está dado por 𝑝 = − 0.11𝑞 + 41.8 Halle la expresión que determine El Ingreso I La utilidad G Halle la utilidad si se producen 90, 100 y 110 unidades Compare los resultados ¿qué encuentra? El ingreso neto mensual por la atención de 𝑥 pacientes se modela de acuerdo con 𝐼 = 0.11𝑥 + 41.8 , donde 𝐼 se da en miles de pesos. Calcule ¿cuál es el ingreso si se atienden 100 y 200 pacientes al mes? Compare los resultados ¿qué encuentra?

Productos Notables Es el nombre que reciben aquellas multiplicaciones con expresiones algebraicas cuyo resultado puede ser escrito por simple inspección, sin verificar la multiplicación que cumplen ciertas reglas fijas. Su aplicación simplifica y sistematiza la resolución de muchas multiplicaciones habituales.


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131

1.( x  a)( x  b)  x 2  (a  b)  ab 2.(ax  b)(cx  d )  acx 2  (ad  bc) x  bd 3.( x  a) 2  x 2  2ax  a 2 4.( x  a) 2  x 2  2ax  a 2 5.( x  a)( x  a)  x 2  a 2 6.( x  a) 3  x 3  3a 2 x  3ax 2  a 3 7.( x  a) 3  x 3  3a 2 x  3ax 2  a 3 Ejercicios. Resuelva cada ejercicio. 1 2 3 4 5 6 7 8

(x + 3)(x + 3) (x – 1)(x + 1) (2x – y)(x + 3y) (x + 2)2 (y – 3)2 (2x + 3y)2 (2 + y)3 (3x – 2y)3

División de Polinomios La división de polinomios se hace con un proceso semejante a la división de números enteros. Regla para la división de polinomios Se ordenan el dividendo y el divisor con relación a la misma variable. Incluya los términos que falten con un coeficiente 0 en el dividendo. Pensamiento Cuantitativo

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132

Se divide el primer monomio del dividendo entre el primer monomio del divisor, obteniéndose así el primer monomio del cociente Este primer término del cociente se multiplica por todo el polinomio divisor, y el producto se resta al dividendo, para lo cual se le cambia de signo, escribiendo cada término debajo de su semejante. Si algún término no tiene semejante en el dividendo se escribe en el lugar que le corresponde de acuerdo con la división del dividendo y el divisor. Se divide el primer término del resto por el primer término del divisor y tendremos el segundo término del cociente. Este segundo término del cociente se multiplica por todo el divisor y el producto se resta del dividendo, cambiando de signo. Con este polinomio diferencia, se repite el proceso. Y así hasta que se obtenga un polinomio de grado menor que el dividendo. Este es el resto, y la operación termina.

Ejercicio. Dividir 4x3 + 4x2 + 5 entre 2x2 + 1 4x3 – 13x -22 entre x – 3 x3 + x – 1 entre x + 2 x4 + 3x3 – x + 1 entre x2 + 1 x3 + 5x2 – 6 entre x2 - 2 Signos de Agrupación. Son los operadores de mayor nivel de jerarquía en su orden y entre ellos mismo hay un orden así, paréntesis ( ), corchete [] y llave { }. Cuando un signo de agrupación va precedido de un signo negativo, los término que se encuentran dentro de esté cambian de signo (ley de signos) Ejercicio Evalué cada expresión algebraica con los valores indicados de las variables

4x –x2 donde x=-2 2x  y donde x=-5 y y=-3 x2  2y

3x2-4y2-2xy donde x=3 y y=-4 16 y donde y=-3 1 y

Utilice la hoja de cálculo Excel y evalué cada una de las expresiones anteriores para valores comprendidos entre -10 y 10. Ejercicios


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133

Escriba la expresión que represente el rectángulo al que se le quita la región sombreada 2 4

x

x

4

x

x

m

4

1 2 x

m

x

y y

y x

4

2y

x

y y 4

x

x

2k - 1 2

3x

2

5a

2k

5k

3x

5a

7k - 3

Factorización Procedimiento mediante el cual se representa una expresión algebraica como el producto de dos o más factores

Reglas de Factorización Monomio factor Común: Factorice

xy + 3x = x(y + 3)

2x2 – 4 = 2(x2 – 2) Pensamiento Cuantitativo

3k2x3+ 9kx3 – 12k3x2

Mis Notas de Clase


2𝑎 + 3𝑎 − 𝑎

5𝑥 2 + 35𝑥 2 − 15𝑥 2

3𝑎𝑏 + 18𝑎2 𝑏 − 21𝑎𝑏2

2(x+1)3-4(x+1)2+7(x+1)

4√2 − 3√2 + 5√2

3 log 𝑎 − 5 log 𝑎 + log 𝑎

134

Trinomio de la forma 𝑥 2 + 𝑛𝑥 + 𝑚 = 𝑥 2 + (𝑎 + 𝑏)𝑥 + 𝑎𝑏 = (𝑥 + 𝑎)(𝑥 + 𝑏) donde 𝑛 = 𝑎 + 𝑏 y 𝑚 = 𝑎𝑏 .

Factorice: x2+7x+10 𝑥 2 + 17𝑥 +72

x6 - 6x3 - 7 4

x2y2 + xy - 12

2

8

𝑥 + 9𝑥 − 22

4

𝑥 − 17𝑥 + 30

x8 + 4x4 -32 4𝑥 2 − 9𝑥 − 36

Trinomio de la forma 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 donde 𝑎 no es cuadrado perfecto.

2x2+11x+5 2

2𝑥 + 5𝑥 + 3 2𝑥 2 + 3𝑥 + 1

3x2 +7x- 6

2x2 +5x+ 2

2

3𝑥 − 8𝑥 − 3 3𝑥 2 − 5𝑥 − 3

2

5𝑥 − 7𝑥 + 2 5𝑥 2 − 2𝑥 − 3

6x2-5x-4 3𝑥 2 − 26𝑥 + 35 6𝑥 2 + 7𝑥 − 3

Ejercicio Factorice completamente las expresiones siguientes 2ax + 2b

10xy + 5xz

8a3bc – 12ab3cd + 4b4c2d2

Z2 – 49

3 a2 +12a + 35

5x2 + 25x + 30

X2 + 6 x + 9

9y2 – 18y + 8

4x2 +7abc – 15b2c2

𝑥 6 − 6𝑥 3 𝑦 3 − 7𝑦 6

X4y – 2x2y + y

6𝑥 2 + 𝑥 − 12

Problemas de Aplicación del Algebra Las siguientes ecuaciones permiten calcular la cantidad en equilibrio q para ciertos productos. Factorice para encontrar los valores que tienen sentido para el problema. Interprete los resultados

q2 + 4q – 45 = 0 2q2 – 4q - 70 = 0 Los ingresos totales obtenidos por la venta de x unidades de una máquina fotocopiadora son de 𝐼 = 0.04𝑥 2 + 2000𝑥 , dólares por semana, y el costo total por la producción de x unidades de estas máquinas es

C= 0.000002x3 – 0.02x2 + 1000x + 120 000 , dólares por semana. Determine una expresión que proporcione la ganancia mensual total de la compañía. Un artista gráfico diseño un cuadro que consistía en un marco rectangular con un borde uniforme. El marco tiene el doble largo que de ancho y el borde mide x cm. Represente gráficamente la situación. Represente algebraicamente el área del cuadro y el área de la pintura. Si el área total del cuadro es de 5000 cm2 ¿Cuál es el largo y el ancho del cuadro? Pensamiento Cuantitativo

Mis Notas de Clase


135

Si el borde del cuadro es de 3 cm ¿cuál es área total de la pintura 4. El gasto en salud por persona (en dólares) por parte del sector privado incluye los pagos realizados por individuo, corporaciones y sus compañías de seguro y es aproximadamente 2.5t2 + 18.5t + 509 (0 ≤ t ≤ 6) , donde t se mide en años t t=0 corresponde al inicio de 1994. El gasto gubernamental correspondiente (en dólares) que comprende los gastos médicos federales estatales y locales, es -1.1t2 + 29.1t + 429 (0 ≤ t ≤ 6) , donde t tiene el significado anterior. Dé una expresión para la diferencia entre los gastos privados y gubernamental por persona en cualquier instante t. ¿cuál era la diferencia entre estos gastos al principio de 1998 y 2000? Interprete el resultado 5. Una compañía vende su producto a $55 por unidad. Escriba una expresión para la cantidad de dinero recibido (ingresos) de la venta de x unidades del producto. Suponga que el ingreso R (en pesos) de una compañía por la venta de x unidades de su producto se obtiene mediante R = 215x y el costo total C (en pesos) de producir esas x unidades se obtiene por C = 65x + 15000 Si la ganancia es el ingreso menos el costo, encuentre una expresión para la ganancia de la producción y la venta de x unidades. Encuentre el ingreso, costo y ganancia si se venden 1000 unidades. Suponga que tiene $4 000 000 para invertir e invierte x pesos con un interés del 10% y el resto al 8%. Escriba una expresión que represente: La cantidad invertida en cada tasa. La rentabilidad obtenida por cada inversión. El total ganado en la inversión El valor futuro de una inversión con interés simple de P pesos con una tasa de interés anual r (dado en decimal) durante t años se obtiene con la expresión V = P + Prt Factorice la expresión ¿Qué tiempo debe durar la inversión para duplicarla? Si la tasa de interés es del 8%. ¿Cuánto se debe invertir para obtener un valor futuro de $2 350 000 en 5 años a una tasa del 3.5% 9. El gasto del consumidor por artículo es el producto de su precio en el mercado p y el número de unidades demandadas. Suponga que para cierto artículo, el gasto del consumidor se obtiene mediante G = 10 000p – 100p2 a. Factorice la expresión con el fin de encontrar una expresión para el número de unidades demandadas. b. Encontrar el número de unidades demandadas cuando el precio es $38. 10. Suponga que el costo total en dólares de producir x unidades de un producto se determina por medio de C= 10 000 + 20xex/600. Donde e=2.71 a. Exprese la fórmula como una sola fracción. Pensamiento Cuantitativo

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136

b. Encuentre el costo de producir 100 unidades 11. En cierta fábrica, el costo total de fabricar q unidades durante la jornada de producción diaria es C=0.2q2+q+900 Con base en la experiencia se ha determinado que aproximadamente q= t2 + 100t unidades se producen durante las primeras t horas de una jornada de producción. Escriba una expresión del costo total de fabricación respecto al del tiempo. Calcular el costo total de fabricación 1, 5 y 7 horas después de iniciada la producción. ¿Qué encuentra? Suponga que el costo C (en dólares) de eliminar el p% de contaminación del agua de desperdicio de un proceso de fabricación se obtiene con 540 000 𝑐= − 5400 100 − 𝑝 Exprese la fórmula como una sola fracción Encuentre el costo de eliminar el 98% de la contaminación ¿Qué sucede a esta fórmula cuando p=100? Explique Suponga que el costo C de obtener agua de un arroyo que contiene p porciento de niveles de contaminación se determina mediante 285000 𝐶= − 2850 𝑝 Exprese la fórmula como una sola fracción Encuentre el costo de eliminar el 100 de la contaminación El costo promedio por unidad de un artículo está dado por 50000 𝐶̅ = + 105 𝑥 , donde x es el número de artículos producidos Exprese la fórmula como una sola fracción Encuentre el costo promedio de producir 3000 artículos

Uso de la Tecnología El costo promedio por unidad de una compañía cuando se producen x unidades se define como: 𝐶𝑜𝑠𝑡𝑜 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 𝐶𝑜𝑠𝑡𝑜 𝑝𝑟𝑜𝑚𝑒𝑑𝑖𝑜 = 𝑥 Suponga que los costos promedios de una compañía se obtienen con 𝐶𝑜𝑠𝑡𝑜 𝑝𝑟𝑜𝑚𝑒𝑑𝑖𝑜 =

4 000 + 55 + 0,1𝑥 𝑥


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Diseñe una hoja de cálculo Excel que contenga, Unidades producidas, Costo promedio y costo total de 100 a 1000 unidades. ¿Qué encuentra? Suponga que los costos promedios de una compañía se obtienen mediante 4 0500 𝐶𝑜𝑠𝑡𝑜 𝑝𝑟𝑜𝑚𝑒𝑑𝑖𝑜 = + 190 + 0,2𝑥 𝑥 Diseñe una hoja de cálculo Excel que contenga, Unidades producidas, Costo promedio y costo total de 100 a 1000 unidades. ¿Qué encuentra? Suponga que el volumen de ventas diarias de una compañía atribuido a una campaña publicitaria se obtiene 3 18 𝑉𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒𝑛 𝑑𝑒 𝑣𝑒𝑛𝑡𝑎𝑠 = 1 + − 𝑡 + 3 (𝑡 + 3)2 , donde t es el número de días desde que se inició la campaña. Diseñe una hoja de cálculo Excel que contenga, el número de días y volumen de ventas diarias en 2 meses. ¿Qué encuentra? Si un individuo deposita mensualmente 100 mil pesos mensualmente en una cuenta que gana un interés mensualmente compuesto de 9% entonces el valor futuro S (dado en miles) de la cuenta después de n meses se obtiene mediante la fórmula (1.0075)𝑛 − 1 ] 𝑆 = 100 [ 0.0075 Diseñe una hoja de cálculo Excel que contenga, el número de meses y el valor futuro de la inversión mensualmente en 5 años. Suponga que pide un préstamo de 10 000 dólares por n meses para comprar un automóvil con una tasa de interés mensual compuesto de 7.8%. El monto de cada pago mensual, R se obtiene por medio de la fórmula 0.0065 ] 𝑅 = 10 000 [ 1 − (1.0065)−𝑛 Diseñe una hoja de cálculo Excel que contenga, el número de meses y el monto de cada pago mensual durante dos años. Suponga que el costo total en dólares de producir x unidades de un producto se determina por medio de C(x)= 10 000 + 20xex/600. Diseñe una hoja de cálculo Excel que contenga, el número de unidades (100 a 200) y su equivalente costo de producción.


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Factorización por división sintética Este método de factorización es aplicable a polinomios de una sola variable y de grado mayor o igual a tres. Recordemos que si a es un cero (raíz) de un polinomio P(x), si se tiene que (x – a) es un factor del polinomio. Así que si tenemos todos los ceros de un polinomio tendremos entonces su factorización Ejercicio. Factorice

P(x)=x3 + 2x2 – x - 2 Hallamos los coeficientes del último término es decir los números que multiplicados entre sí den – 2 2 (1 * -2 y -1 * 2), luego los factores son (1, -1, 2 y -2) Pensamiento Cuantitativo

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Remplazamos cada factor en el polinomio y resolvemos P(1)= (1)3 + 2(1)2 – (1) – 2= 0 P(-1)= (-1)3 + 2(-1)2 – (-1) – 2= 0 P(2)= (2)3 + 2(2)2 – (2) – 2= 12 P(-2)= (-2)3 + 2(-2)2 – (-2) – 2= 0

Tomamos las raíces que hacen al polinomio cero: x = 1 es un cero tenemos que (x-1) es un factor x = -1 es un cero tenemos que (x+1) es un factor x = -2 es un cero tenemos que (x+2) es un factor Por lo tanto P(x)= x3 + 2x2 – x - 2 = (x+2)(x+1)(x-1) P(x)=2x3-x2-18x+9 Hallamos los coeficientes del último término es decir los números que multiplicados entre sí den 9, los factores son (±1, ±3 y ±9) Remplazamos cada factor en el polinomio y resolvemos

P(1)=2(1)3-(1)2-18(1)+9 =-8 P(-1)=2(-1)3-(-1)2-18(-1)+9 =24 P(3)=2(3)3-(3)2-18(3)+9 =0 P(-3)=2(-3)3-(-3)2-18(-3)+9 =0 P(9)=2(9)3-(9)2-18(9)+9 =1224 P(-9)=2(-9)3-(-9)2-18(-9)+9 =-1368 Las únicas raíces son 3 y -3 Como nos falta un factor aplicamos otro método teniendo en cuenta las raíces que hacen el polinomio cero. Inicialmente tomamos los coeficientes del polinomio original y escribimos a la derecha la primera raíz 2x3 -x2 -18x +9 2 -1 -18 9 3

Bajamos el primer coeficiente 2

-1

-18

9

3

2 Multiplicamos dicho coeficiente con la raíz ( 2 x 3 ) y el resultado se ubica debajo del siguiente coeficiente y se suman


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2x3 2

-x2 -1 6 5

2

-18x -18

+9 9

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3

El resultado obtenido se multiplica por el coeficiente (5 x 3) y se repite el proceso hasta el último coeficiente cuyo resultado tiene que ser cero 2x3 2 2

-x2 -1 6 5

-18x -18 15 -3

+9 9 -9 0

3

Confirmamos el factor (x-3) y los coeficientes del otro factor son los números de la última fila y el polinomio es de un grado inferior al original (el polinomio cociente), es decir P(x)=2x2+5x-3 Repetimos el proceso anterior, tomando la otra raíz (-3)

2x2 2 2

+5x 5 -6 -1

-3 -3 3 0

-3

Las otras raíces serían (x+3) y el polinomio cociente (2x-1) Por lo tanto tenemos que P(x)=2x3-x2-18x+9= (x-3)(x+3)(2x-1) x3 +2x2-x-2 x3 +2x2-5x-6 x3 -3x2-x+3 x3 +6x2+3x-10 x3 +2x2-x-2 x3 -4x+3x2-12


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Fracciones Algebraicas Una fracción algebraica es una expresión algebraica fraccionaria en la que numerador y denominador son polinomios. Las operaciones que se pueden realizar con fracciones algebraicas son: Simplificación: Para simplificar una fracción, se dividen el numerador y el denominador por uno o más factores comunes a ambos. Se obtiene así otra fracción equivalente Ejemplos simplificar cada fracción 𝑥2 − 𝑥 − 6 𝑥 2 − 7𝑥 + 12

2𝑥 2 + 6𝑥 − 8 8 − 4𝑥 − 4𝑥 2

𝑎2

𝑎−1 +𝑎−6

Suma y resta: Para sumar y restar procederemos de forma similar que con fracciones de números enteros, reduciendo primero a común denominador. 𝑡 4 − 3𝑡 + 2 𝑡 − 1 2𝑥 3𝑥 + 1 𝑥 + 2 − + 2 2 2

𝑥2

𝑥−2 𝑥+2 − + 6𝑥 + 9 2(𝑥 2 − 9)

3𝑥 + 4𝑦 2𝑥 − 3𝑦 + 15𝑥𝑦 2 10𝑥 2 𝑦

Producto: Para multiplicar fracciones algebraicas procederemos igual que con fracciones, multiplicando los numeradores y los denominadores, aunque antes de multiplicar debemos simplificar, si se puede. 2𝑥𝑦 4 5𝑎𝑏4 ∗ 3𝑎3 𝑏 5𝑥 3 𝑦

12𝑥 − 3𝑦 21𝑎 + 14𝑏 ∗ 15𝑎 + 10𝑏 20𝑥 − 5𝑦

Cociente: Para dividir fracciones algebraicas procederemos igual que con fracciones, haciendo el producto cruzado de numeradores y denominadores, aunque antes de multiplicar debemos simplificar, si se puede. 35𝑎3 14𝑎 ÷ 18𝑏3 9𝑏2

𝑥3 − 𝑥 𝑥 − 1 ÷ 𝑥+1 𝑥+1

𝑥2 5𝑥 2 + 25𝑥 ÷ 2 𝑥−5 𝑥 − 25 Racionalización de Denominadores


𝑏 𝑎 𝑎−𝑏 1 1 𝑎−𝑏

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Algunas veces el denominador de una fracción tiene dos términos que incluyen raíces cuadradas, dicho denominador puede racionalizarse al multiplicándolo por una expresión que los convierta en una diferencia de dos cuadrados, es decir por otra cuyo segundo término tenga signo contrario. Ejercicio Racionalice cada expresión 𝑥

√2−6

Se multiplica y divide la fracción por √2 + 6, así 𝑥

×

√2 + 6

√2 − 6 √2 + 6 En el denominador siempre va a aparecer un producto de una suma por una diferencia, o sea una expresión del tipo (a + b) (a - b)= a2 - b2 𝑥(√2 + 6) 𝑥(√2 + 6) 𝑥(√2 + 6) = = 2 2 − 36 −34 √2 − 62 √5−√2

, se multiplica y divide por √5 − √2

√5+√2

√5 − √2

(√5 − √2)

2

2

2

5 − 2√10 + 2 7 − 2√10 √5 − 2√5√2 + √2 × = = = = 2 2 5−2 3 3 √5 + √2 √5 − √2 √5 − √2 Por ejemplo

√5 − √2

7 √5−√3

multiplicamos numerador y denominador por √5 + √3 7

√5 − √3

×

√5 + √3 √5 + √3

=

7(√5 + √3) 2

√5 − √3

2

=

7(√5 + √3) 7(√5 + √3) = 5−3 2

1

2

√3

5

2

1 + √2 3

3 − √3 2√3

√2 − √3 2 − √6

√7 + √2 √3 + √2

√5 − √3 3

√3 − 3

√3 − √2

5 + 2√6

√3 − √2

√3 + √6

Ejercicios Reduzca cada expresión a su expresión más simple 2𝑥 2𝑥 + 4 Realice la operación indicada y simplifique


4𝑥 2 𝑦 3 − 6𝑥 3 𝑦 4 2𝑥 2 𝑦 2 − 3𝑥𝑦 3

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𝑥 2 − 6𝑥 + 9 𝑥 2 + 4𝑥 + 3 ÷ 𝑥 2 + 7𝑥 + 12 𝑥 2 − 3𝑥 − 4 Simplifique la fracción 𝑥−1 𝑥−1− 𝑥 1 𝑥−1+1 Suponga que el costo C (en dólares) de eliminar el p% de contaminación del agua de desperdicio de un proceso de fabricación se obtiene con 540 000 𝑐= − 540 000 100 − 𝑝 Exprese la fórmula como una sola fracción Encuentre el costo de eliminar el 98% de la contaminación ¿Qué sucede a esta fórmula cuando p=100? Explique Racionalice el denominador de 3𝑥 − 3 √𝑥 − 1 Uso de la Tecnología En la siguiente dirección de Internet encontrara unos ejercicios sobre fracciones algebraicas con su respectiva respuesta, resuelva a manera de ejercicios. http://www.pnte.cfnavarra.es/iesmarci/departamentos/matematicas/ejercicios/8.pdf

ECUACIONES Una ecuación es una afirmación que establece si dos cantidades o expresiones algebraicas son equivalentes o iguales. Las cantidades se denominan miembros de la ecuación. Ejemplo: 2 x  5  12 7 x  1  6 x  10

3( x  1)  5( x  2) 3x  1 x  2 3

La incógnita recibe el nombre de variable y su valor determina si la ecuación es cierta. Pensamiento Cuantitativo

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La solución de la ecuación es la acción de encontrar el (los) valor (es) de la(s) variable (s) que hacen verdadera la ecuación. Las ecuaciones son ciertas para todos los valores de las variables, se les denomina identidad y aquellas que son verdaderas para ciertos valores se llaman ecuaciones condicionales. Resolver una ecuación lineal con una variable es hallar el valor de la variable a través de procedimientos algebraicos. Para ellos se debe dejar sola la variable a un lado de la igualdad. Esto se logra despejando valores y variables. Cuando se despeja un valor o una variable (pasar al otro lado de la igualdad) este o esta pasa a ser la operación contraria, es decir, si está sumando pasa a restar y viceversa y si está multiplicando pasa a dividir y viceversa. Ejercicio Despeje P en cada ecuación:

5x  4P  1200 P  0.66  r 17

I  Pr t

𝐶=

3 1 x  5P  2 3 65.4  P x 0.36

S  P(1  i) p

3 P  11 2 Pb m xa

9x 

S  P  Pr t

50000 − 2850 𝑝

Ejercicio Resuelva y verifique cada ecuación: x  2  4 x  7 1 x  4 3

4 x  7  8x  2 2 1 1 𝑥+ = 𝑥 3 4 2

2 1 x 3 5 x  8  8( x  1) 33  x 2 5x

3x  18 2x  8  1 3 x  24 4 2x 2 5   2 x  5 3 4 x  10



Ejercicio Dadas las ecuaciones de demanda para ciertos productos hallar la cantidad demandada q conociendo el precio p 1. 𝑞 − 3𝑝 = −3 con 𝑝 = 10 2. 3𝑞 − 4𝑝 = −7 con 𝑝 = 7 3. 𝑝 = 40 − 2𝑞 con 𝑝 = 30 800 4. 𝑝 = 2𝑞−1 con 𝑝 = 32 500

5. 𝑝 = 𝑞+2 con 𝑝 = 5 Problemas


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1. Suponga que el ingreso 𝑅 de una compañía por la venta de 𝑥 artículos esta dado por 𝑅 = 215𝑥 y el costo de producir la misma cantidad de artículos es 𝐶 = 65𝑥 + 15000. Si la utilidad es el ingreso menos el costo escriba la expresión de la utilidad. a. ¿Cuántas unidades se tienen que producir para obtener una utilidad de 15000 U.M.? b. El punto en donde los ingresos totales recibidos se igualan a los costos asociados con la venta de un producto se denomina punto de equilibrio. ¿Qué cantidad de artículos que se tienen que fabricar y vender para obtener un punto de equilibrio? 2. El ingreso mensual total de una guardería obtenido por el cuidado de 𝑥 niños está dado por 𝑟 = 450𝑥, y sus costos mensuales totales están dados por 𝑐 = 380𝑥 + 3500. a. ¿Cuántos niños se necesitan inscribir mensualmente para llegar al punto de equilibrio? Es decir, cuando el ingreso es igual al costo. b. Si la utilidad es igual al ingreso menos el costo escriba una expresión de la utilidad. c. ¿Cuál sería la utilidad mensual si se matriculan 100 niños? d. ¿Cuántos niños se tiene que matricular para obtener una utilidad de 10500 unidades monetarias 3. El costo promedio (en miles de pesos) de la producción de x unidades de cierto artículo está dado por 400 𝐶 (𝑥 ) = 20 + 𝑥 a. Determine el costo de producir 100 y 200 unidades. Compare los resultados ¿qué encuentra? b. ¿Cuántas unidades se deben producir para que el costo promedio sea de 25 mil pesos 4. Suponga que el costo de obtener agua que contiene el p por ciento de impurezas está dado por 120000 𝐶(𝑥) = − 120 𝑝 ¿A un costo de 3 000 dólares que porcentaje de agua sin impurezas se puede obtener? 5. El número de estudiantes por computador en las escuelas públicas de Estados Unidos se puede modelar con la ecuación 375.5 − 15𝑥 𝑓(𝑥) = 𝑥 + 0.03 , donde 𝑥 es el número de años transcurridos desde 1981. ¿En qué año se proyecta tener un estudiante por computador en las escuelas públicas de Estados Unidos? 6. Las ventas 𝑦 (en miles de dólares) se relacionan con los gastos de publicidad 𝑥 (en miles de dólares) según 200𝑥 𝑦 (𝑥 ) = 𝑥 − 10 , con x ≥ 10. ¿Cuánto se puede invertir en publicidad para obtener ventas de 10 millones de dólares ( 𝑓(𝑦) = 10 000)?


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7. Si el costo promedio (en dólares) de producir televisores Toshiba de 27 pulgadas está dado por 50000+105𝑥 C(x) = 𝑥 , donde x es el número de televisores producidos por semana ¿cuántos televisores por semana se pueden producir a un costo promedios 200 dólares? 8. Suponga que las ventas diarias S (en dólares), t días después de terminar una campaña publicitaria son 2400 𝑆(𝑡) = 400 + 𝑡+1 Encuentre el número de días que deben pasar para que las ventas disminuyan en 500 dólares 9. Una maquinaria de construcción de 30 millones de pesos se deprecia de acuerdo a la expresión 𝑉 = 30 – 0,123𝑥 , donde V es el valor de la maquinaria después de x meses de uso, determinar es a. ¿Cuál será el valor de la maquinaria dentro de 6 meses? b. ¿Cuál será el valor de la construcción dentro de 5 años? c. ¿Cuánto tiempo pasa hasta que la construcción se deprecie por completo? d. ¿Cuánto tiempo debe pasar para que la construcción se deprecie en 10 millones de pesos? 10. La carga tributaria per cápita T (en millones de pesos) se puede describir por medio de 𝑇(𝑡) = 20,37 + 1,834𝑡 , donde t es el número de años que han pasado desde 1980. a. ¿Cuál era la carga tributaria en 1980? b. ¿Cuál será la carga tributaria en el 2008? c. ¿En qué año aproximadamente la carga tributaria será de 70 millones de pesos? 11. El volumen en millones de pesos de las transacciones en los cajeros electrónicos ha aumentado conforme se ha incrementado el número de máquinas. Se puede escribir esa relación con 𝑦 = 0.136𝑥 – 5.09 , donde 𝑦 son los miles de millones de pesos de las transacciones y 𝑥 el número de cajeros (en miles) a. ¿Cuál es el volumen de transacciones de 100 mil cajeros? b. ¿Cuántos cajeros se deben tener para que el volumen de las transacciones sea de 10 millones de pesos? 12. El porcentaje de empresas que reclutaron activamente empleados en internet entre 1980 y 2000 se puede modelar con 𝑃(𝑥) = 26,5𝑥 − 194,5 , donde 𝑥 es el número de años que han pasado desde 1980. a. ¿Qué porcentaje de personas reclutaron en 1998? b. ¿Cuántos años deben transcurrir para que el porcentaje de personas reclutadas por las empresas alcance el 50%? 13. Se puede describir el número de cuentas de internet, A, mediante la ecuación Pensamiento Cuantitativo

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𝐴 = 3,303𝑥 – 18,59 , donde 𝐴 se da en millones de cuentas y 𝑥 es el número de años que han pasado desde 1990. ¿En qué año aproximadamente se alcanzarán los 47,47 millones de cuentas? 14. El importe total de una inversión con interés simple se da con 𝐴 = 𝑝 + 𝑝𝑟𝑡 ¿qué valor principal de 𝑝 se debe invertir durante 𝑡 = 5 años con una tasa de interés 𝑟 = 10% de modo que el importe 𝐴 aumente a $6000? 15.Las altas tasas de interés hacen que para la gente sea difícil pagar la deuda de tarjeta de crédito en un periodo razonable. Se puede hacer una aproximación del interés en dólares, I, pagado sobre la deuda de $10.000 a 3 años cuando la tasa de interés es r% por medio de la ecuación 𝑟=

𝐼 + 0.66 175.39

Encuentre el interés pagado si la tasa es del 19.8% 16. Una empresa que fabrica CD los a un distribuidor en paquetes de 500 CD. Si el costo total y el ingreso total (en dólares) por x paquetes de 500 CD están dados por: Costo total = 2x + 7920

e

Ingreso total = 20x

¿Cuántos paquetes de 500 CD se deben vender para alcanzar su punto de equilibrio? 17. En su segundo año de operaciones, las ganancias de un proveedor local de internet fueron $170 500. Si esta cantidad represento el 576% de las ganancias de la compañía en el primer año, encuentre las ganancias aproximadas del primer año. 18. Un vendedor de automóviles compra 20 automóviles nuevos en $16 000 (dólares) cada uno, Si vende 16 con una ganancia del 20%, ¿en cuánto debe vender los otros cuatro para tener una ganancia del 18%? Salud 19. La regla para calcular la dosis de una Salud para niños entre uno y doce años es 500𝑡 𝐷 (𝑡 ) = 𝑡 + 12 , donde 𝐷(𝑡) está dada en mg y t es la edad del niño (en años) a. Encuentre la dosis de Salud que se le debe dar a niños de 5 y 6 años. Compare los resultados que encuentra b. ¿A qué edad se le debe dar a un niño una dosis de 100 mg 20. Un determinado fármaco que se usa para controlar la temperatura se inyecta vía intramuscular. Su efecto (E) en horas está dado en función de la dosis suministrada (𝑥) en mg por 74𝑥 𝐸= 8𝑥 + 3 Pensamiento Cuantitativo

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a. ¿En cuántas horas se alcanza a controlar la temperatura si se inyectan 5 mg del fármaco? b. ¿Qué cantidad de dosis se debe inyectar para que el fármaco tenga efecto de 8 horas? 21. La regla de Cowling es un método para calcular dosis pediátricas. Si 𝑎denota la dosis para un adulto (en mg) y 𝑡 es la edad del niño (en años), entonces la dosis infantil está dada por 𝑡+1 )×𝑎 𝐷=( 24 Si la dosis de un adulto es de 500 mg, ¿cuál es la edad de un niño cuya dosis pediátrica alcanza los 125 mg?

22. Una algoritmo que permite determinar una dosis pediátrica es mediante 4𝑃 + 7 𝐷= 𝑃 + 90 23. Donde P es el peso del niño en Kg, ¿Cuál debe ser el peso de un niño para suministrarle 1.5 mg de cierto medicamento? 24. La relación entre la estatura (en pies) y la edad de un niño entre 4 y 16 años de edad es lineal y se obtiene por la expresión ℎ = 0.231𝐴 + 3.126 , donde ℎ es la estatura del niño y 𝐴 la edad. a. Aproximadamente ¿Cuál será la estatura de un niño de 5 años de edad en metros? (1 pie= 30.48 cm). b. Aproximadamente ¿Cuál será la edad de un niño cuya estatura es de 1.5 m? 25. La presión arterial media (𝑃𝐴𝑀) de un paciente se obtiene mediante la expresión 2𝑃𝐴𝐷 + 𝑃𝐴𝑆 𝑃𝐴𝑀 = 3 , donde 𝑃𝐴𝐷 es la presión arterial diastólica y PAS presión arterial sistólica. La presión de pulso (PP) se obtiene por 𝑃𝑃 = 𝑃𝐴𝑆 − 𝑃𝐴𝐷 a. Si se desea que un paciente mantenga una presión arterial media de 100 mm Hg y su presión arterial sistólica es de 130 mm Hg ¿cuál tiene que ser su presión arterial diastólica? b. ¿Cuál será su presión de pulso?

26. Según cierta teoría médica el porcentaje de peligro de un virus se mide en función del tiempo que lleva en el organismo mediante la siguiente expresión ( 𝑃(𝑡) es el peligro para un tiempo de 𝑡 minutos) 50𝑡 − 62.5 𝑃= 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑡 > 5 0.5𝑡 + 5 a. ¿Cuál es el peligro si el virus lleva 10 minutos en el organismo? b. ¿En cuánto tiempo alcanzará un 65% de peligro el virus en el organismo?


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27. Suponga que durante un programa nacional para inmunizar a la población contra cierta variedad de influenza, los funcionarios de salud pública calcularon que el costo de vacunar a 𝑥% de la población era aproximadamente 150𝑥 𝐶= 200 − 𝑥 , millones de pesos. ¿Qué porcentaje de la población se alcanza a vacunar a un costos de 37.5 millones de pesos?


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Escritura de Expresiones y Ecuaciones Los problemas del mundo real por lo general se dan en palabras y uno los expresa en forma de expresiones algebraicas o ecuaciones      

Cómo escribir frases como expresiones y oraciones como ecuaciones: Suma: más, más que, total, suma, aumentado en, incrementado en, sobrepasa. Menos: menos, menos que, diferencia, disminuido en. Multiplicación: por, el producto, multiplicado por, dos veces, tres veces,…, el doble, el triplo,… División: dividido por, entre, la mitad, el cociente, la razón. Igual: es igual a, es, da, será

Ejercicio Escriba cada frase en forma de expresión algebraica. 1. x incrementado en 8 2. x disminuido en tres 3. Cuatro veces x 4. La mitad de x 5. La suma de x más tres es doce 6. x disminuido en ocho es once 7. Un número incrementado en tres es 12 8. La suma de un número y el cociente de 2 y 8 es 3.25 9. 4 veces un número disminuido en tres es menos 7 10. El cociente de dos números consecutivos y 5 es 11 Problemas En cada uno de los siguientes enunciados construye la ecuación resuelve y verifica 1.

¿Cuál es el precio que un vendedor debe poner a un artículo que a él le cuesta $1,200, para poder ofrecerlo con un descuento del 20% sobre el precio señalado y, todavía ganar en la operación un 25% sobre el precio de venta? Definición de variables: Sea 𝑥 el precio de venta del artículo Construcción de las ecuaciones: 1200 + 1200 ∗ 0.25 = 𝑥 − 1200 ∗ 0.20 Resolvemos la ecuación 1200 + 300 = 𝑥 − 240 1500 + 240 = 𝑥 1740 = 𝑥 Veámoslo 1200 + 1200 ∗ 0.25 = 1740 − 1200 ∗ 0.20 1200 + 300 = 1740 − 240 1500 = 1500 El precio de venta del producto es de $1740


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2. La suma de dos números es 102 y su diferencia 64 ¿cuáles son los números? 3. La diferencia entre dos números es 35 y el doble del menor sumado con 3 veces el mayor es 400 ¿cuáles son los números? 4. La suma de dos números es 233 y su diferencia 65 ¿cuáles son los números? 5. La suma de tres números naturales consecutivos es igual al menor más 19. ¿Cuáles son estos tres números? 6. El perímetro de un rectángulo es 64 centímetros. Su largo es 4 cm menos que tres veces su ancho. Halla las dimensiones del rectángulo. 7. El perímetro de un terreno rectangular es de 20 metros y el largo equivale a 2 veces el ancho dividido en tres ¿cuáles son las dimensiones del terreno? 8. Una pieza de alambre de 48 m se corta en dos trozos tal que uno mide 3 m más que ¼ del otro ¿cuál es la medida de cada trozo? 9. Un padre de familia pago $67 100 por 25 cuadernos y 12 lápices, si el precio de una cuaderno excede en 1 500 el del lápiz ¿cuál es el precio de un lápiz y un cuaderno? 10.Se reparten 40 mil pesos para dos personas, de manera que uno recibe 10 más que el otro ¿Cuánto recibe cada uno? 11. Supongamos que un delfín adulto de nariz en forma de botella pesa 800 libras. Esto es 735 libras más que un delfín típico de nariz en forma de botella recién nacido. ¿Cuál ecuación se podría usar para calcular el peso de uno de estos delfines típicos recién nacidos? 12. En una tienda, de un producto me rebajaron el 15% y pagué 51 €. ¿Cuánto costaba el producto? 13. Tengo 2/3 de lo que vale un ordenador. ¿Cuánto vale el ordenador si me faltan sólo 318€ para comprarlo? 14. Tres socios tienen que repartirse 3.000€ de beneficios. ¿Cuánto le tocará a cada uno, si el primero tiene que recibir 3 veces más que el segundo y el tercero dos veces más que el primero? 15. Necesitamos repartir 27 naranjas en dos cajas de forma que en la primera haya 3 más que en la segunda. ¿Cuántas naranjas habrá en cada caja? 16. Después de gastar las 4/7 partes de un depósito quedan 78 litros. ¿Cuál es la capacidad del depósito? 17. Al comprar una camisa he pagado 27,59€. Si me han rebajado un 15%. ¿Cuánto costaba la camisa antes de las rebajas? 18. Un pastelero gasta $24 000 pesos diarios en ingredientes para hacer galletas y cobra $200 por cada galleta. Si al final de un día vendió todas las galletas que preparó, y obtuvo una ganancia total de 8 800 pesos, ¿cuántas galletas vendió? 19. Se reparten bombones entre tres niños. Al segundo le dan el doble que al primero y al tercero el triple que al segundo. Si hay 18 bombones en total. ¿Cuántos bombones dan a cada niño? Al primero 2


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20. En una caja hay doble número de naranjas que de manzanas, y de duraznos hay la mitad que de manzanas. Si en total hay 84 frutas. Hallar la cantidad de cada fruta que hay en la caja. 21. En una parcela, entre gallinas y conejos, hay 20 cabezas y 52 patas. ¿Cuántas gallinas y cuántos conejos hay en la pequeña parcela? 22. En un avión viajan el cuádruple de hombres que de mujeres y la mitad de niños que de mujeres, en total viajan 165 personas. ¿Qué número corresponde a cada tipo de persona 23. Un yogur de frutas cuesta 1000 pesos más que uno natural. ¿Cuál es el precio de cada clase de yogur si he pagado 23000 pesos por cinco naturales y nueve de frutas? 24. Pamela y Paz tienen 6 y 9 años, respectivamente. Ana, su madre, tiene 35 años. ¿Cuántos años deben pasar para que, entre las dos niñas, igualen la edad de la madre? 25. Tengo en el bolsillo 27 fichas, unas que valen 20 pesos y otras que valen 50 pesos. Si las cambio todas por dinero, obtengo 960 pesos, ¿cuántas fichas de cada clase tengo? (R: 13 de 20 26. Un taxista cobra un cargo fijo de $4800 por "tarifa mínima" y luego $300 por cada kilómetro de recorrido. Un segundo taxista no cobra tarifa mínima, pero cobra $1500 por cada kilómetro. a. Plantear la "ecuación de cobro por viaje" correspondiente a cada taxista. b. Determinar en cuál taxi es más económico viajar una distancia de 5 kilómetros. c. ¿En qué distancia ambos taxistas cobran lo mismo? 27. En la ciudad de Santa Marta hay dos estaciones de taxis, Pronto Taxis y Taxis Expres. La Pronto Taxis cobra una tarifa fija de 6500 pesos por los 3 primeros kilómetros recorridos y 500 por cada kilómetros adicional. La Taxis Expres cobra 1500 por kilómetro recorrido ¿Para qué distancias la empresa Taxis Expres resulta más económica? a. Plantear la "ecuación de cobro por viaje" correspondiente a cada empresa. b. Determinar en cuál empresa es más económico viajar una distancia de 6 kilómetros. c. ¿En qué distancia ambos empresas cobran lo mismo? 28. Una persona destinó una tercera parte de su salario mensual para comprar alimentos y la mitad del salario para diversos pagos; si le quedaron $500.00 para ahorrar, ¿Cuánto gana mensualmente? 29. Un camión de volteo carga siempre 2 toneladas más de su capacidad normal y en 36 viajes acarrea 252 toneladas de arena. ¿Cuál es su capacidad normal? 30. Un comerciante dice: Si lograra duplicar mi dinero y pagara $5,200.00 que debo, me quedarían $8,000.00. ¿Cuánto dinero tiene el comerciante? 31. La renta producida por dos casas en un año fue de $15 700 000. ¿Cuál es la renta mensual de cada una, si entre sí difieren en $250 000 y la de renta más alta estuvo desocupada 2 meses?


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32. Un obrero tenía $20.00. Después de cobrar una semana (siete días) de trabajo, gasta 2/3 de su haber; pero diez días después vuelve a recibir su salario y posee $426.00. ¿Cuánto gana ese obrero diariamente? 33. Un hacendado ha comprado doble número de pollos que de patos. Por cada pollo pagó $70.00 y por cada pato $85.00. Si el importe de la compra fue de $2,700.00. ¿Cuántos pollos y cuántos patos compró? 34. Un capataz contrata un obrero por 50 días pagándole $3,000.00 por cada día de trabajo con la condición de que por cada día que el obrero deje de asistir al trabajo perderá $2 000. Al cabo de los 50 días, el obrero recibe $90 000 ¿Cuántos días trabajó y cuántos días no trabajó? 35. Una tienda que está liquidando sus mercancías anuncia que todos los precios fueron rebajados en un 30%. Si el precio de un artículo es de $186.00. ¿Cuál era su precio antes de la liquidación?


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Sistemas de Ecuaciones Lineales Sistemas de Ecuaciones: Conjunto de dos o más ecuaciones con dos o más variables. Si un Sistema de Ecuaciones tiene solución se dice compatible sino es incompatible. Si un sistema compatible tiene una solución se dice determinado y si tiene infinitas soluciones es indeterminado. Métodos para resolver un Sistema de Ecuación lineal Para resolver un sistema de ecuaciones lineales es necesario obtener de las ecuaciones una ecuación con una incógnita. Los métodos elementales para resolver sistemas de ecuaciones lineales son: por igualación, sustitución, eliminación, regla de Cramer o determinante y el gráfico. La diferencia entre los métodos consiste en la obtención de la primera incógnita, el valor obtenido se remplaza en cualquiera de las ecuaciones originales para hallar el valor de la otra variable. Conjunto Solución: Son aquellos valores que al remplazar las variables satisfacen la ecuación, ósea, la vuelven una igualdad numérica. Para constatar que los valores obtenidos son conjunto solución, se deben verificar en las ecuaciones, el procedimiento consiste en sustituir los valores obtenidos en cada ecuación, se resuelve y si se obtienen igualdades numéricas, entonces la solución es correcta.

Método de Igualación Consiste en despejar de ambas ecuaciones la misma variable, se igualan las expresiones obtenidas, obteniendo una ecuación con una incógnita, se resuelve y se halla el valor de la primera variable, se remplaza el valor obtenido en una de las ecuaciones despejadas para obtener el valor de la otra variable y se verifica para constatar si los valore obtenidos son conjunto solución Ejercicio. Resolver el siguiente sistema de ecuación lineal por el método de igualación

x+y=2 3x + y = -12

(Ec1) (Ec2)

Despejamos la variable y de las ecuaciones 1 y 2, De la (Ec1) y = 2 – x (Ec3) Igualamos las ecuaciones Ec3 y Ec4: Despejando

De la (Ec1) y = -12 – 3x

(Ec4)

2 – x = -12 – 3x 3x – x = -12 – 2; 2x = -14; 𝑥 = −7


𝑥=−

14 2

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Halamos el valor de la otra variable, remplazando el valor de la variable obtenida en una de las ecuaciones originales despejadas, en (Ec3) o (Ec4) En la (Ec1) Entonces,

y = 2 − (−7) y=9

Para verificar se remplazan los valores obtenidos en las ecuaciones originales, (Ec1) y (Ec2)

En la (Ec1) x+y=2

En la (Ec2) 3x + y = -12

−7 + 9 = 2

3(−7) + 9 = −12

2=2

−21 + 9 = −12 −12 = −12

Método de Sustitución Consiste en despejar de una de las ecuaciones una las variables, la expresión obtenida se sustituye en la otra ecuación, obteniendo una ecuación con una incógnita, se resuelve y se halla el valor de la primera variable, se remplaza el valor obtenido en una de las ecuaciones originales para obtener el valor de la otra variable y se verifica para constatar si los valore obtenidos son conjunto solución Ejercicio. Resolver el siguiente sistema de ecuación lineal por el método de sustitución

4x – 2y =4 x – 2y =-2

(Ec1) (Ec2)

Se despeja la variable x de la (Ec2): 𝑥 = 2𝑦 − 2 (Ec3) Se remplaza en la (Ec1): 4(2𝑦 − 2) − 2𝑦 = 4 Resolviendo 8𝑦 − 8 − 2𝑦 = 4; 6𝑦 − 8 = 4 12 Despejando 6𝑦 = 8 + 4; 6𝑦 = 12: 𝑦 = 6 entonces 𝐲 = 𝟐 Se remplaza en la (Ec2): 𝑥 − 2(2) = −2; 𝑥 − 4 = −2: 𝑥 = −2 + 4 entonces 𝒙 = 𝟐 Verificación

En la (Ec1) 4(2) – 2(2) =4

En la (Ec2) 2 – 2(2) =-2 Pensamiento Cuantitativo

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8−4 = 4

2 − 4 = −2

4=4

−2 = −2

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Método de Eliminación Consiste en eliminar una cualquiera de las variables. Esto se logra haciendo que una de las variables, quede con igual coeficiente pero con signo contrario, por medio de la multiplicación y división luego se suman las ecuaciones obtenidas, obteniendo una ecuación con una incógnita, se resuelve y se halla el valor de la primera variable, se remplaza el valor obtenido en una de las ecuaciones originales para obtener el valor de la otra variable y se verifica para constatar si los valore obtenidos son conjunto solución Ejercicio. Resolver el siguiente sistema de ecuación lineal por el método de eliminación

2x + 3y = -5 x - 2y = 8

(Ec1) (Ec2)

−2(𝑥 − 2𝑦) = −2(8);

Se multiplica la (Ec2) por -2:

−2𝑥 + 4𝑦 = −16 (Ec3)

Sumamos las (Ec1) y la (Ec3);

2x + 3y = -5 -2x + 4y = -16 7y = -21 Despejando:

𝑦=

−21 7

;

𝒚 = −𝟑

Remplazando en la (Ec2): Verificando

𝑥 − 2(−3) = 8;

𝑥 + 6 = 8;

𝑥 = 8 − 6;

En la (Ec1) 2(2) + 3(-3) = -5

En la (Ec2) 2- 2(-3) = 8

4 – 9 = -5

2+6=8

-5 = -5

8=8

𝒙=𝟐

Ejercicios: Resolver cada sistema de ecuación 2x + y = 0 x - y = -3

2x +3y = -1 x -y=2

3x + 2y = -2 2x + 5 y = 6


4x – y = 3 2x + 3y = 19

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Por Determinante Matriz Conjunto de datos organizados en filas y columnas. Una matriz de m filas y n columnas se dice una matriz de mxn dicho número es el tamaño de la matriz. Una matriz de n filas y n columnas, es decir, el número de filas es igual al de columnas, se dice una matriz cuadrada de orden n. Determinante de una matriz de orden 2 Dada la matriz

 a1,1 A a 2,1

a1, 2   a 2, 2 

El determinante de A es un número que se denota det(𝐴) ó |𝐴|y se obtiene det(𝐴) = |𝐴| = 𝑎1,1 × 𝑎2,2 − 𝑎2,1 × 𝑎1,2 Regla de Cramer Dado el sistema de ecuación lineal 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 = 𝑐 𝑑𝑥 + 𝑒𝑦 = 𝑓 , con 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑, 𝑒 𝑦 𝑓 ∈ 𝑅 se cumple 𝑐 𝑏 𝑎 [ ] [ 𝑓 𝑒 𝑑 𝑥= ;𝑦 = 𝑎 𝑏 [ ] [[𝑎 𝑑 𝑒 𝑑

𝑐 𝑓] 𝑏]] 𝑒

Ejercicio. Resolver el siguiente sistema de ecuación lineal por la regla de Cramer

3x + 2y = -7 x - 3y = 4 Aplicando la regla de Cramer -7 2 [ ] (-7)(-3)-(4)(2) 21-8 13 x= 43 -3 2 = (3)(-3)-(2)(2) = -9-4 = -13 =-1 , entonces [ ] 2 -3

y=

x=-1

3 -7 ] (3)(4)-(-7)(2) 12+24 26 2 4 3 2 = (3)(-3)-(2)(2) = -9-4 = -13 =-2 , entonces [ ] 2 -3 [

y = -2

Verificando

En la (Ec1) 3(-1) + 2(-2) = -7

En la (Ec2) 2(-1) – 3(-2) = 4

-3 – 4 = -7

-2 + 6 = 4

-7 = -7

4=4


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Ejercicio. Resuelva cada sistema de ecuación lineal

4x – 3y = -5 3x - 2y = 4 3x + 4y = 1 2x – 3y =12 0.2x – 0.3y = 4 2,3x – y = 1.2

3x + 4y = 1 2x – 3y = 12 5x – 2y = 4 2x - 3y = 5 5 7 x  y  1;8 2 2 x  3 y  11

5x – 2y = 4 2x – 3y = 5 -4x + 3y= -5 3x – 2y = 4 x–y=2 2x + 2y = -2

2x + 3y = 12 3x + 2y =13 x + 2y =3 3x + 6y = 6

Ejercicio. Resuelva cada SEL x+ y +z = -2 x–y+z=0 x–y–z=4

2x + y - z = -1 3x – 2y + z = 3 -4x + 3y + 2z = -11

x + z -1 x+y=0 y + z = -3

x + 2y – z = 3 3x – y + 2z = =-8 2x + 3y + z = -1

x +y+z=6 2x + y – z = 1 x – 2y + z = 0

x – 2y + 2z = 3 x – 2z = 4 y–z=1

x + y + z = -2 2x – y + z = 1 -x + 2y – z = -1

PROBLEMAS DE APLICACIÓN DE SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES Pasos para resolver un problema se aplicación Leer el problema hasta entenderlo Defina las variables que participan en el problema Plantee las ecuaciones Resuelva el sistema de ecuaciones Verifique los resultados Problemas La suma de dos números es 70 y la décima parte de su diferencia es igual a seis ¿cuáles son los números? Sean a y b los números. Por datos Por datos: La suma de dos números es 70 𝑎 + 𝑏 = 70 (Ec1) 𝑎−𝑏 la décima parte de su diferencia es igual a seis = 6 (𝐸𝑐2) 10 𝑎 − 𝑏 = 10 × 6, 𝑎 − 𝑏 = 60 (𝐸𝑐3) De la ecuación (Ec2) Sumamos (Ec1) y (Ec3) 𝑎 + 𝑏 = 70 𝑎 − 𝑏 = 60 2𝑎 − 0 = 130, 2𝑎 = 130 130 𝑎= = 65 2 Por lo tanto 𝒂 = 𝟔𝟓 Remplazando en (Ec1) 65 + 𝑏 = 70 Pensamiento Cuantitativo

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𝑏 = 70 − 65 = 5 𝒃=𝟓 65 + 5 = 70, 70 = 70 65 − 5 60 = 6, = 6, 6 = 6 10 10

Por lo tanto Verificamos en (Ec1) En (Ec2)

El perímetro de un terreno rectangular es de 20 metros y cuatro veces el largo equivale a seis veces el ancho. ¿Cuáles son las dimensiones del terreno? Sean a y l el ancho y el largo del terreno Por datos: El perímetro de un terreno rectangular es de 20 = 2𝑎 + 2𝑙 (𝐸𝑐1) 20 metros 4𝑙 = 6𝑎 (𝐸𝑐2) Cuatro veces el largo equivale a seis veces el ancho 6𝑎 3 Despejando en la (Ec2) 𝑙= , 𝑙 = 𝑎 (𝐸𝑐3) 4 2 3 Remplazando en (Ec1) 20 = 2𝑎 + 2 𝑎 2 20 = 2𝑎 + 3𝑎 20 20 = 5𝑎, 𝑎 = =4 5 Por lo tanto 𝑎 = 4 remplazando en (Ec1) 20 = 2(4) + 2𝑙 20 = 8 + 2𝑙 12 20 − 8 = 2𝑙, 𝑙 = =6 2 𝐸𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑙 = 6, Verificamos: en (Ec1) 20 = 2(4) + 2(6) = 8 + 12 = 20 En (Ec2) 4(6)=6(4), 24=24 El ancho es de 4 metros y el largo 6 metros De Santa Marta a Ciénaga se transporta diariamente un promedio de 44 sacos de café, utilizando para su transporte un taxi y una camioneta. En cada viaje la camioneta puede transportar 6 sacos y el taxi 4. El taxi realiza 2 viajes más que el triple de viajes que hace la camioneta, ¿cuántos viajes efectúa cada vehículo? Sean t y c el número de viajes que realizan el taxi y la camioneta respectivamente. Por datos: De Santa Marta a Ciénaga se transporta 4t + 6c =44 (Ec1) diariamente un promedio de 44 sacos de café, utilizando para su transporte un taxi y una camioneta. En cada viaje la camioneta puede transportar 6 sacos y el taxi 4 El taxi realiza 2 viajes más que el triple de viajes que t=3c+2 (Ec2) hace la camioneta Remplazando en (Ec1) 4(3c + 2)+6c=44 12c + 8 +6c =44 36 18c=44-8, c=18=2 Entonces c=2, remplazando en (Ec2) t=3(2)+2=6+2=8 Por lo que t=8, verificando en (Ec1) 4(8)+6(2)=44 Pensamiento Cuantitativo

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32+12=44 44=44 8=3(2)+2 8=6+2 8=8

En (Ec2)

Entonces la camioneta realiza 2 viajes y el taxi 8 Un estudiante ha realizado un examen que constaba de 68 preguntas, ha dejado sin contestar 18 preguntas y ha obtenido 478 puntos. Si por cada respuesta correcta se suman 10 puntos y por cada respuesta incorrecta se resta un punto ¿cuántas respuestas correctas y cuántas incorrectas ha contestado el estudiante? Una fábrica de artículos deportivos produce y distribuye mensualmente los siguientes productos a dos almacenes A y B El almacén A vende medias a $20 000 y balones a $44 000. El almacén B vende camisetas a $22 000 y tobilleras a $16 000 Con base a la anterior información da respuesta a las siguientes preguntas Si durante el primer mes el almacén A vendió 26 artículos y recaudó $856 000 ¿cuántas medias y cuántos balones vendió? Si el almacén B recaudó $1 110 000 en 60 artículos ¿cuántos de cada uno vendió? Dadas las ecuaciones de oferta y demanda del mercado determine el punto de equilibrio x +3p = 15 x – 3p = -3

3x + p = 21 3x – 4p = -9

p + 2x =321 p – 8x = 1

p + 2x = 15 p-x=3

En un teatro hay 70 personas entre adultos y niños cada adulto paga $4 000 y cada niño $1 500. Si el recaudo fue de $230 000 ¿cuántos adultos y cuántos niños entraron? Si fabrican 65 artículos en total y venden cada pulsera a $ 1.000 y cada libreta a $ 1.200 ¿Cuántas pulseras y cuántas libretas deben hacer para obtener $ 71 000 con la venta, si el costo en materiales de cada pulsera es de $ 300 y de cada libreta es de $ 100? ¿Cuánto dinero ganarán con esta venta? Se le aplica un test de matemática a unos estudiantes que ingresan a la universidad la prueba tiene 30 preguntas, cada pregunta contestada correctamente se le dan 5 puntos y por cada pregunta incorrecta o no contestada se le quitan 2 puntos. Un estudiante obtuvo en total 94 puntos. ¿Cuántas preguntas respondió correctamente? Un ama de casa compra en un supermercado 6 Kg. de café y 3 de azúcar, por lo que paga $60 300. Ante la amenaza de nuevas subidas, vuelve al día siguiente y compra 1 Kg. de café y 10 Kg. de azúcar por lo que paga $33 800. Calcule el precio del kilogramo de cada producto Un moderno buque de turismo tiene camarotes dobles (dos camas) y simples (1 cama). Si se ofertan 65 camarotes que en total tienen 105 camas, averiguar el número de camarotes de cada tipo. Pensamiento Cuantitativo

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La suma de dos capitales es de 3 millones de pesos y la suma de los intereses producidos es $180 000 ¿cuáles son los capitales si se sabe que el primero se prestó al 5% y el segundo al 8%? En un cine 10 entradas de adultos y 9 de niños cuestan $51 200 y 17 de niños y 15 de adultos $831 00. Hallar el precio de una entrada de niño y una de adulto. Un cliente le pide al cajero de un banco que le cambie un cheque $590 000 en billetes de $50 000 y $20 000 si el cajero le da un total de 19 billetes ¿cuántos billetes de cada denominación entrego? El viernes en el almacén “trapos” se vendieron pantalones a $25 000 cada uno y camisas a $18 000 cada una, las ventas totales de esas prendas fueron de $441 000. El sábado el almacén vendió cada pantalón y cada camisa a $20 000 y las ventas fueron de $420 000 ¿cuántas pantalones y cuántas camisas se vendieron? Una llamada internacional tiene un cargo fijo por el primer minuto y una tarifa diferente por cada minuto adicional. Si una llamada de 7 minutos cuesta $2000 y una de 4 cuesta $1 280 encuentra el costo del primer minuto y del minuto adicional. Una empresa de servicios se especializa en preparar y atender fiestas. La empresa cobra una tarifa fija más un costo adicional por invitado. Si los costos por atender 25 invitados son de $3 000 000 y los costos por atender a 40 son de $4 200 000 ¿cuál es la tarifa fija y el costo por invitado? El alquiler de un automóvil tiene un costo fijo semanal, un recargo adicional que se cobra por cada kilómetro recorrido. Un viaje de una semana de 800 kilómetros cuesta $440 000 y uno de 1200 Km cuesta $560 000. Encuentre la tarifa semanal y la tarifa por kilómetro recorrido. Un promotor de conciertos necesita reunir $380 millones de pesos de la venta de 16 000 boletos. Si el promotor cobra $20 000 por unos boletos y $30 000 por otros ¿cuántos boletos de cada tipo debe vender? Por usar el servicio de internet una compañía cobra un cargo de $2 000 hora/día y $2 500 hora/noche. si una persona pago $64 000 por 28 horas de uso de servicio encontrar el número de horas diurnas y nocturnas del servicio. Un mayorista de frutas secas vende una mezcla de cacahuates y almendras. Cobra US$ 2,8 por libra de cacahuates y US$ 5,3 por libra de almendra. Si la mezcla se va a vender en US$ 3,3 por libra ¿cuántas libras de cacahuate y cuántas de almendras se deben utilizar para hacer 100 libras de la mezcla? Una mujer tiene $235 000 invertidos en dos propiedades en renta. Una tiene un rédito de 10% sobre la inversión y la otra de 12%. Su ingreso total de estas es de $25 000 ¿En qué tasa tiene la mayor inversión y de cuánto es el monto?


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En la cafetería "Colombiano" hay café de dos clases: uno de $5400 el kilogramo y otro de $7000 el kilogramo. Se desea obtener una mezcla de 200 kilogramos de café para venderla a $6000 el kilogramo. ¿Cuántos kilogramos deberán ponerse de cada clase de café? El número total de pasajeros matutinos de cierta línea de autobuses urbanos es de 1000. Si el pasaje para niños cuesta US $0.25 y el de adulto US $0.75 y el ingreso total obtenido del cobro de los pasajes es de US $650. ¿Cuántos niños y cuantos adultos utilizaron el bus en la mañana? Juan compró plumeros rojos por $ 1 200 cada uno y azules por $ 800 cada uno. Si Juan compró 24 plumeros con el costo total de $24 800 ¿cuántos plumeros de cada color compró?

Problemas de Sistemas de ecuaciones lineales de 3x3 En un local de comida rápida, una orden de 5 hamburguesas, 2 papas fritas y 3 refrescos cuesta 56 pesos. Una orden de 4 hamburguesas, 3 papas fritas y 2 refrescos cuesta 46 pesos. Una orden de 6 hamburguesas, 4 papas fritas y 3 refrescos cuesta 68 pesos ¿Cuál será el precio de una sola hamburguesa con un refresco? Una farmacia vende 10 frascos de vitamina A, 5 frascos de vitamina C y 25 frascos de vitamina D, todo por un valor de 355 pesos. Además, vende 20 frascos de vitamina A, 10 de vitamina C y 10 de vitamina D por un total de 310 pesos. Por otra parte vende 12 frascos de vitamina A, 4 de vitamina C y 15 de vitamina D por un total de 266 pesos. Encuentra el costo correspondiente a cada frasco de las vitaminas A, C y D. Un laboratorista tiene tres soluciones que contienen cierto ácido. La primera solución contiene 10% de sustancia ácida, la segunda 30% y la tercera 50%. Desea utilizar las tres soluciones para obtener una mezcla de 60 litros que contenga 30% de ácido, utilizando tres veces más solución de la solución de 50% que la de 30% ¿Cuántos litros de cada solución debe usar? Una mujer compró tres clases diferentes de acciones por $20 000. Una de ellas paga un 6% anual de intereses, otra paga un 7%, y la otra un 8% anual. Al final del primer año, la suma de los intereses de las acciones al 6% y al 7% es de $940, y la suma de los intereses de las acciones al 6% y al 8% es de $720. ¿Cuánto invirtió en cada una de las acciones? Una compañía aeronáutica dispone de 10 aviones destinados a vuelos charter para directivos de grandes empresas y equipos deportivos. Dispone de tres tipos de aviones: el modelo A es un reactor con capacidad para 30 pasajeros y cuya tripulación está formada por 3 pilotos; el modelo B es un turbo-hélice bimotor con capacidad para 20 pasajeros y su tripulación la forman 2 pilotos; el modelo C es una pequeña avioneta-taxi con capacidad para 4 pasajeros y un piloto. Ayer, por la mañana, despegaron todos los aviones completos. En ellos iban 140 pasajeros y 17 pilotos. ¿Cuántos aviones de cada modelo tiene la compañía?


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Ecuaciones Cuadráticas La ecuación de la forma 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0, donde 𝑎, 𝑏 𝑦 𝑐 son números reales y𝑎 ≠ 0, se llama ecuación cuadrática o de segundo grado en la variable 𝑥. Si 𝑏 𝑦 𝑐 son diferentes de cero, la ecuación se denomina completa y si 𝑏 𝑦/𝑜 𝑐 son iguales a cero se dice incompleta. El número 𝐷 = 𝑏2 − 4𝑎𝑐 se denomina discriminante y se puede presentar las siguientes situaciones: Si 𝐷 = 𝑏2 − 4𝑎𝑐 > 0, la ecuación tiene dos soluciones o raíces. Si 𝐷 = 𝑏2 − 4𝑎𝑐 = 0, la ecuación tiene una solución o raíz. Si 𝐷 = 𝑏2 − 4𝑎𝑐 < 0, la ecuación no tiene solución en los reales. Solución de ecuaciones cuadráticas. Para resolver la ecuación cuadrática, 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0puede usarse cualquiera de los siguientes métodos:


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Método 1. Solución por factorización Como toda ecuación cuadrática es equivalente a una ecuación en la cual uno de sus miembros es un polinomio de segundo grado y el otro es cero; entonces, cuando el polinomio de segundo grado pueda factorizarse, se procede así: Si, 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = (𝑥 + 𝑟1 )(𝑥 + 𝑟2 ) = 0 (1) La ecuación (1) puede resolverse usando la propiedad del sistema de los números reales Si 𝑎 × 𝑏 = 0 entonces 𝑎 = 0 ó 𝑏 = 0 Método 2. Solución completando de cuadrados. Este método es el más antiguo que existe para encontrar las soluciones de una ecuación cuadrática. Se supone que la ecuación 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0, con 𝑎 ≠ 0, es equivalente a la ecuación cuadrática: 𝑥 2 + 𝑝𝑥 = 𝑞 (1) 𝑝 2

Sumando (2 ) en ambos miembros de la ecuación (1), se obtiene: 𝑝 2 𝑝 2 𝑥 2 + 𝑝𝑥 + ( ) = 𝑞 + ( ) 2 2 , factorizando 𝑝 2 4𝑞 + 𝑝2 (𝑥 + ) = 2 4 Extrayendo raíz cuadrada en ambos miembros de la última igualdad (lo cual tiene sentido solo si 4𝑞 + 𝑝2 ≥ 0), se obtiene: 𝑝

4𝑞+𝑝2

𝑥 + 2 = ±√

4

𝑝

4𝑞+𝑝2

𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑥 = − 2 ± √

4

(2)

La fórmula (2) proporciona las dos soluciones (una para cada signo) de la ecuación cuadrática (1), que es equivalente a la ecuación: 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 Método 3 solución por la formula general Usando el método completando cuadrados, demuestre que la solución de la ecuación cuadrática 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0, con 𝑎 ≠ 0 viene dada por: −𝑏 ± √𝑏2 − 4𝑎𝑐 𝑥= (1) 2𝑎 Solución: La ecuación 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 , con a ≠ 0, es equivalente a la ecuación: 𝑏 𝑐 𝑥2 + 𝑥 = − 𝑎 𝑎 𝑏 2 Sumando (2𝑎) en ambos miembros de la igualdad anterior, se obtiene: Pensamiento Cuantitativo

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165

𝑏 𝑏 2 𝑐 𝑏 2 𝑥 + 𝑥+( ) =− +( ) 𝑎 2𝑎 𝑎 2𝑎 2

O equivalentemente, 𝑏 2 𝑏2 − 4𝑎𝑐 ) = 2𝑎 4𝑎2 Extrayendo la raíz cuadrada en ambos miembros de la última igualdad (si b2-4ac ≥ 0), se obtiene: (𝑥 +

(𝑥 +

𝑏 𝑏2 − 4𝑎𝑐 ) = ±√ 2𝑎 4𝑎2

De donde 𝑏

𝑥 = − 2𝑎 ± √

𝑏2 −4𝑎𝑐 4𝑎2

=

−𝑏±√𝑏 2 −4𝑎𝑐 2𝑎

(2)

La fórmula (2) se conoce como: fórmula general para resolver la ecuación cuadrática ax2+bx+c=0;

con a≠0. Ejercicios: Resolver cada una de las siguientes ecuaciones cuadráticas x2 – 5x + 6 = 0 x2 + 12 = 45 3x2 – 2 = 4x 2x2 + 5x + 2 = 0

x2 + x – 20 = 0 x2 – 18x = -85 2x2 + 11x + 5 = 0 x2 + 3x – 1 = 0

x2 – 64 = 0 2x2 + 5x + 1 = 0 x2 + 2x – 1 = 0 3x2 + 7x – 6 = 0

Problemas El ingreso mensual de cierta compañía está dado por 𝑅 = 800𝑝 − 7𝑝2 , donde 𝑝 es el precio en dólares del producto que fabrica esa compañía. ¿A qué precio el ingreso será de $10 000? Si la función ingreso total (en dólares) por la venta de cierto artículo es 𝑅 = 36𝑥 − 0.01𝑥 2 , donde 𝑥 es el número de unidades vendidas. Encuentre el número de unidades que se deben vender para obtener una ganancia de $32400 La función ganancia por la venta de x unidades producidas de un producto está dada por 𝑔 = 180𝑥 + 0.01𝑥 2 − 200 Obtenga la cantidad mínima que se debe producir para no tener pérdida. La función oferta para un producto está dada por la ecuación 𝑞 = 3𝑝2 − 4200, donde 𝑞 es la cantidad ofrecida y 𝑝 el precio ¿A qué precio no se vende ningún producto. Los ingresos semanales de una película de estreno se determina mediante 50𝑡 𝑅= 2 𝑡 + 36 Pensamiento Cuantitativo

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166

, con t≥0, donde R(t) se da en millones de dólares y t en semanas. ¿Cuántos meses deben pasar para que los ingresos semanales sean de 1 millón de dólares (R(t)=1) En cierta fábrica, el costo total de fabricar q unidades durante la jornada de producción diaria es 𝐶 = 0.2𝑞2 − 𝑞 + 900 ¿Cuántas unidades se pueden fabricar con 3000 dólares? Con base en la experiencia se ha determinado que aproximadamente 𝑞(𝑡) = 𝑡 2 + 100𝑡 unidades se producen durante las primeras t horas de una jornada de producción. ¿Cuántas unidades se producen en las primeras cinco horas de la jornada de producción. Los ingresos totales obtenidos por la venta de x número de copias de una máquina fotocopiadora son de 𝑅 = −0.04𝑥 2 + 2000𝑥 , pesos por semana. Aproximadamente cuántas copias se tienen que vender para obtener unos ingresos de un millón de pesos. La utilidad obtenida (U), en millones de pesos, por fabricar y vender x unidades de cierto producto está dada por 𝑈 = 60𝑥 − 𝑥 2 . ¿Cuántas unidades se tienen que producir y vender para obtener una utilidad de 900 millones de pesos?

Salud La temperatura 𝑇 de una persona durante una enfermedad está dada por 𝑇 = −0.1𝑡 2 + 1.2𝑡 + 37 , donde 𝑇 es la temperatura en °𝐶 en el tiempo 𝑡, medido en días. ¿Cuál será la temperatura al quinto día de haber contraído la enfermedad? ¿En cuántos días la temperatura subirá a 40 °𝐶? Se ha establecido que la posibilidad de contagio de un virus sinsicial respiratorio que ataca preferentemente a los niños se puede modelar mediante la expresión 𝐶 = 2𝑥 2 − 5𝑥 + 4 , donde 𝑥 es la edad del niño Graficar la función en el intervalo entero entre [0,3] Aproximadamente ¿a qué edad del niño hay menos posibilidad de contagio? La velocidad de producción de anticuerpos t horas después de inyectar un suero, está dada por 20𝑡 𝑘= 2 𝑡 +1 , donde 𝑘 se da en miles de anticuerpos/hora, ¿cuántas horas deben pasar que la velocidad de producción de anticuerpos sea de 5 mil anticuerpos/hora?


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167

Ecuaciones con Radicales Ejercicios Resuelva √𝑥 = 5 √𝑥 + 3 = 20 √2𝑥 + 4 = 25 3 + √𝑥 + 1 = 5 8 − 4√5𝑛 = 0 𝑥 − 1 = √𝑥 + 5 4 + √10 − 𝑥 = 6 + √4 − 𝑥 √5𝑥 − 7 = √𝑥 + 10 𝑥 − 1 = √𝑥 + 5 Problemas de Aplicación Suponga que la demanda de q unidades de un producto cuyo precio es $p por unidad se describe por medio de 100 𝑞= √𝑝 + 5 ¿En cuánto debe comprar para demandar 10 unidades? ¿En cuánto debe comprar para demandar 100 unidades? Suponga que la demanda de q unidades de un producto cuyo precio es $p por unidad se describe por medio de Pensamiento Cuantitativo

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𝑝=

168

100

√2𝑞 + 1 ¿Cuántas unidades se venderían si el precio es de $12 por unidad? La demanda de q unidades de cierto producto depende del precio por unidad p (en miles de pesos). En cada una de las ecuaciones de demanda encuentre el precio al cual se tiene que comprar si se desea demandar 20 unidades 𝑞 = 50 − 2√𝑝 100 𝑞= −1 √𝑝 La producción diaria 𝑦 para cierta fábrica está dada por:

y = 200 √2x+1 , donde 𝑥 es la inversión de capital dada en miles de dólares. Aproximadamente ¿cuánto se debe invertir para producir 10000 unidades. La demanda de cierto producto viene dada por la ecuación p=√3400-x 2 , donde 𝑥 es el número de unidades que se pueden vender si el precio es de $𝑝 cada uno. ¿Cuántas unidades se venderían si el precio por unidad es de $50?


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Ecuaciones Exponenciales Ejercicios Resuelva 𝑎2𝑋 = 𝑎8 𝑏3−𝑥 = 𝑏6

4𝑥 = 64 1 125 3 5𝑥−3 √𝑎 = 𝑎𝑥+5 2 3𝑥 −5 = 81 5𝑥 =

162/𝑥 = 8 3

169

4

√𝑏2𝑥+3 = √𝑏 𝑥+5 (2𝑥 )𝑥 = 16

4𝑥 = √32

Problemas Calcule la tasa de interés compuesto anual que se ha aplicado a un capital de $1 500 000 para que al cabo de 4 años se haya convertido en $2 500 000 𝑺 = 𝑷(𝟏 + 𝒊)𝒏 Por fórmula Por datos S=2 500 000 P=1 500 000 n=4 i=? 4 Remplazando 2 500 000 = 1 500 000(1 + 𝑖) Despejando 2 500 000 = (1 + 𝑖)4 1 500 000 (1 + 𝑖)4 = 1.66 4 1 + 𝑖 = √1.66 𝑖 = 1.135 − 1 = 0.135 × 100 = 13.5 Por tanto la tasa de interés tiene que ser del 13.5% aproximadamente Hallar la tasa de interés compuesto anual, la cual $10.000.000 se convierten en $12 500 000, en 5 años. Tenemos que: 𝑆 = 𝑃(1 + 𝑖)𝑛 Remplazando 12´500.000 = 10´000.000(1 + 𝑖)5 , despejando Pensamiento Cuantitativo

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170

1.25 = (1 + 𝑖)5 , sacamos raíz quinta en ambos lados de la igualdad 5 5 √1.25 = √(1 + 𝑖)5 1.045 = 1 + 𝑖 𝑖 = 1.045 − 1 𝑖 = 0.045 , Como 𝑟 = 𝑖 × 100 𝑟 = 4.5 La tasa de interés compuesto anual, es de 4.5% Para determinar el valor de una pieza de colección se utiliza la expresión 𝑟 𝑡 𝑦 = 𝑣 (1 + ) 100 , donde 𝑣 es el precio actual de la pieza, 𝑟 es la tasa de interés que aumenta y 𝑡 el tiempo en años. Una moneda de la colección en la actualidad tiene un valor de $450 ¿de cuánto tiene que ser la tasa para que en 5 años la pieza cuesta el doble? Para determinar la depreciación de cierto producto se utiliza la expresión 𝑟 𝑡 𝑦 = 𝑣 (1 − ) 100 , donde 𝑣 es el precio actual del producto, 𝑟 es la tasa de interés que disminuye y 𝑡 el tiempo. El dueño de una tienda desea bajar el precio de un producto cuyo precio actual es de $1000 a $500 en 4 semanas ¿de cuánto tiene que ser la tasa? La expresión que determina el incremento del sueldo de un trabajador en cierta empresa es 𝑟 𝑡 𝑠 = 𝑝 (1 + ) 100 , donde 𝑠 es el nuevo sueldo, 𝑝 es el sueldo actual, 𝑟 la tasa de incremento y 𝑡 el tiempo en años. ¿Cuál fue la tasa de incremento que se le aplico a un trabajador que durante el primer año recibió un sueldo de 15 000 euros, y en el segundo 16 000 euros? El promedio de peso 𝑊 (en libras) para hombres con estatura ℎ entre 64 y 79 pulgadas se puede aproximar con el uso de la fórmula 𝑊 = 0.1166ℎ17/10 . Calcule la estatura que debe tener un hombre que pesa 160 libras. El promedio de peso 𝑊 (en libras) para mujeres con estatura ℎ entre 60 y 75 pulgadas se puede aproximar con el uso de la fórmula 𝑊 = 0.1049ℎ17/10 . Calcule la estatura que debe tener una mujer que pesa 120 libras.


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171

Ecuaciones Logarítmicas log 4x = 3log 2 + 4log 3 4log (3 - 2x) = -1 log (x + 3) = log 2 - log (x + 2) 2log (x + 5) = log (x + 7)

log( 7  x 2 ) 2 log( x  4) log2 (x2 - 1) - log2 (x + 1) = 2 23x-1 = 3x+2 log (x - a) - log (x + a) = log x - log (x -a)

log (2x-4) = 2 log (x + 1) + log x = log (x + 9) log (x2 + 15) = log (x + 3) + log x log x  1  log( x  1)  log x  4 2log (3x - 4) = log 100 + log (2x + 1)2 log2x - 3log x = 2 52x-3 = 22-4x

Problemas Si se invierten $10.000 con una tasa de interés del 6% compuesto mensualmente, entonces el valor futuro de la inversión después de x años está dado por 𝑆 = 10000(1.00512𝑥 ). Encuentre el valor futuro de la inversión después de 5 años y de 30 años. Un pueblo que tiene 600 habitantes y su población crece anualmente en un 3%. El número de habitante del pueblo dentro de 𝑡 años se obtiene mediante la expresión 𝑝 = 600 (1.03)𝑡 ¿En cuántos años la población será de 760 habitantes? Para determinar el valor de una pieza de colección se utiliza la expresión 𝑟 𝑡 𝑦 = 𝑣 (1 + ) 100 , donde 𝑣 es el precio actual de la pieza, 𝑟 es la tasa de interés que aumenta y 𝑡 el tiempo en años. Una moneda de la colección en la actualidad tiene un valor de $450 y el valor aumenta en 15% cada año ¿en cuántos años duplicará su valor? Para determinar la depreciación de cierto producto se utiliza la expresión 𝑟 𝑡 𝑦 = 𝑣 (1 − ) 100 , donde 𝑣 es el precio actual del producto, 𝑟 es la tasa de interés que disminuye y 𝑡 el tiempo. El dueño de una tienda desea bajar el precio de un producto cuyo precio actual es de $1000 en un 25% cada semana. ¿En cuántas semanas el precio será de $500? La ecuación de demanda para un producto es Pensamiento Cuantitativo

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172

𝑞 = 80 − 2𝑝 Evalué p para q=60 La ecuación de oferta de un fabricante es

𝑞 𝑝 = 𝑙𝑜𝑔 (10 + ) 2 , donde q es el número de unidades ofrecidas con el precio p por unidad ¿cuántas unidades se pueden ofrecer a un precio 5 U.M. por unidad

INECUACIONES Desigualdades Una desigualdad son dos expresiones aritméticas relacionadas con los operadores de relación: < , >, ≤, ≥ Ley de la tricotomía: Para cada par de números reales a y b, es verdadera una, y solamente una, de las proposiciones: a

< b ó a > b ó a=b Existen dos clases de desigualdades: las absolutas y las condicionales. Desigualdad absoluta es aquella que es válida para cualquier valor que se atribuya a las variables definidas en ella. Por ejemplo: x2 +1 > x Pensamiento Cuantitativo

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173

Desigualdad condicional es aquella que sólo se verifica para ciertos valores de las variables. Por ejemplo: 4x -12 > 0 que solamente satisface para x > 3. Propiedades de las desigualdades Si (a, b, c, d) ∈ R:

Propiedad

Descripción

Ejemplo

Transitiva

Si a > b y b > c, entonces a > c Si a < b y b < c, entonces a < c Si a > b entonces a+c >b+c Si a > b y c > d entonces a+c>b+d Si a < b y c < d entonces a+c b y c > 0 entonces ac > bc Si a > b y c < 0 entonces ac < bc

Como 5 > 2 y 2 > -1 entonces 5 > -1 Como 3<5 y 5<9 entonces 3<9 Como 7 > 2 entonces 7 + 3 > 2 + 3, 10 >5 Como 6>2 y 7>3 entonces 6+7>2+3 Como 5<7 y 2<6 entonces 5+2<7+6

Suma

Multiplicación por un número positivo Multiplicación por un número negativo División por un Si a > b y c > 0 entonces 𝑎 𝑏 número positivo > 𝑐 𝑐

Como 8>4 entonces 8*2>4*2, 16>8

División por un Si a > b y c < 0 entonces𝑎 < 𝑏 𝑐 𝑐 número negativo 𝑎 𝑏 Si a < b y c < 0 entonces 𝑐 > 𝑐

Como 8>4 entonces −2 > −2 , - 4 <-2

Como 9>5 entonces 9*(-2)<5*(-2),18<-10 8

6

Como 8>6 entonces 2 > 2 , 4 > 3 8

4

6

9

Como 6<9 entonces −3 > −3 , -2>-3

a>0 si y solamente si, –a<0 1

a>0 si y solamente si, 𝑎 > 0 Cambio de signo

Si a>b entonces –a < -b

Como 5>3 entonces -5<-3

Si a ≠ 0 entonces a2 > 0

Intervalos Subconjunto de los números reales y se clasifican en: Tipo

Definición

Grafica


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(𝑎 , 𝑏) = {x 𝜖 𝑅/ 𝑎 < x < 𝑏}

−∞

Cerrado [𝑎 , 𝑏] = {x 𝜖 𝑅/ 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏}

−∞

Abierto

174

∞ 𝑎

𝑏

∞ 𝑎

𝑏

[𝑎 , 𝑏)= {x 𝜖 𝑅/ 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏} Mixtos (𝑎 , 𝑏]= {x 𝜖 𝑅/ 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏}

(𝑎, ∞) = {𝑥 ∈ 𝑅/𝑥 > 𝑎}

[𝑎, ∞) = {𝑥 ∈ 𝑅/𝑥 ≥ 𝑎}

Infinitos

(−∞, 𝑎) = {𝑥 ∈ 𝑅/𝑥 < 𝑎}

(−∞, 𝑎] = {𝑥 ∈ 𝑅/𝑥 ≤ 𝑎}

Inecuaciones Lineales Una inecuación es una desigualdad en la que aparece una incógnita. Si el grado de la inecuación es uno, se dice que la inecuación es lineal. Resolver una inecuación es encontrar los valores de la incógnita para los cuales se cumple la desigualdad. La solución de una inecuación es, por lo general, un intervalo o una unión de intervalos de números reales. El método para resolver una inecuación es similar al utilizado para resolver ecuaciones, pero teniendo presente las propiedades de las desigualdades. Es conveniente ilustrar la solución de una inecuación con una gráfica. Si la solución incluye algún extremo del intervalo, en la gráfica representamos dicho extremo con un círculo en negrita; en cambio, si la solución no incluye el extremo, lo representamos mediante un círculo blanco (transparente). Pensamiento Cuantitativo

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175

Ejercicios: Resolver cada inecuación justificando cada uno de los pasos y expresando el resultado en forma de intervalo y gráficamente 𝑥+3>7 𝑥 + 3 − 3 > 7 − 3: Por Igualación 𝑥 + 0 > 7 − 3: Inverso aditivo 𝑥 > 7 − 3: Propiedad Modulativa de la suma 𝑥 > 4: Operando En notación de intervalos, la solución es 𝑥 ∈ (4, ∞) es decir todos los valores reales mayores que 4. Gráficamente

2𝑥 − 4 + 4 < 6 + 4: 2𝑥 + 0 < 6 + 4: 2𝑥 < 6 + 4: 2𝑥 < 10: 2 10 𝑥 < : 2 2

2𝑥 − 4 < 6 Por igualación Inverso Aditivo Propiedad Modulativa de la suma Operando Por igualación

1𝑥 <

Inverso Multiplicativo

10

2 10

:

𝑥 < 2: Propiedad Modulativa de la multiplicación 𝑥 < 5: Operando En notación de intervalos, la solución es 𝑥 ∈ (−∞, 5), es decir todos los valores reales menores que 5. Gráficamente 3𝑥 + 1 > 5 2𝑥 − 3 ≥ 3𝑥 + 1 1 − 2𝑥 ≤ 9 𝑥−3 <1 2 2𝑥 + 1 < 𝑥 3(𝑥 − 1) ≤𝑥−1 2 𝑥+2 > −𝑥 + 2 3 𝑥−3 <1 2 𝑥−1 +1≥𝑥+1 2


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176

FUNCIÓN Es una relación de parejas ordenadas el cual no hay dos parejas que tengan la misma primera componente. 𝑓:

𝐴 𝑥

𝐵 𝑦 = 𝑓 (𝑥 )

Indica que a cada elemento x de A le corresponde uno y solamente uno de los elementos y=f(x) de B. El conjunto A recibe el nombre de conjunto de partida o dominio y la variable que la representa se conoce como variable independiente, el conjunto B se conoce como conjunto de llegada, codominio. Los valores y=f(x) que toman las variables se denominan recorrido o rango y la variable que la representa se le conoce como variable dependiente. Representación de una Función Una función se pueden representar de forma oracional, de tabla, como diagramas sagital, como graficas cartesianas y por formulas.

De forma oracional Incluye hasta las manifestaciones de nuestros sentimientos o pensamientos; pero hacemos énfasis particularmente en las reglas o consignas: “ser la madre de”, “ser la cuarta parte de”, “ser el siguiente de”, “ser el doble de…, más 3 unidades”, etc. Ejercicios Escriba cinco parejas ordenadas por cada oración e indique ¿cuál representa una función? ¿Qué la segunda componente sea el doble de la primera? ¿Qué la primera componente sea el doble más uno de la segunda? ¿Qué la segunda componente sea el inverso aditivo de la primera? Pensamiento Cuantitativo

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177

¿Qué la primera componente sea la raíz cuadrada de la segunda? ¿Qué la segunda componente sea un número primo y la primera un par anterior no consecutivo? Problemas El costo de un artículo disminuye de acuerdo con el número de artículos producidos. Si producir 100 artículos cuesta US$980 y por cada cien unidades que se produzcan el costo disminuye un 20%, calcule el costo de producir 500 unidades El valor de un libro se duplica cada 5 años, el libro fue evaluado hace 20 años en $1200. La primera componente representa el número de años y la segunda el precio. De cierto producto se sabe que a un precio de $ 5000 la unidad se demandan 4000 unidades y por cada $1000 que se rebaje en el precio, la demanda crece en 500 unidades. La primera componente representa el precio y la segunda las unidades demandadas. No existe demanda para cierto artículo cuando el precio unitario es de 200 dólares o más pero por cada 10 dólares que disminuye su precio por debajo de 200, la cantidad demandada se incrementa en 200 unidades. La primera componente representa el precio y la segunda las unidades demandadas Un fabricante de cortinas encuentra que el valor de producción de una cortina es de $1850 y por cada cortina que se produce el costo se incrementa en $44.5. La primera componente representa la cantidad y la segunda el costo. En forma de Tablas de valores en las que aparecen explícitamente los pares de valores [variable independiente – variable dependiente] que expresan la correspondencia que define determinada función. Como ejemplos nos pueden servir las tablas que recogen el salario mínimo mensual de los trabajadores de cierto país en los últimos 10 años, precio de cierto modelo de vehículo según su marca, valor de las acciones de ciertas empresas Ejercicios Los datos de la tabla muestran el número de familias vinculadas a un proyecto apícola en la Sierra Nevada de Santa Marta desde 1999 Año 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 Nº de 128 253 378 503 628 753 878 1003 1128 familias Variación de las ventas con respecto al precio de cierto artículo Costo 2250 2300 2350 2400 2450 2500 Venta 400 376 352 328 304 280

2550 256

2600 232

2650 208

Los ingresos totales de una empresa de comunicaciones para años seleccionados Año 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999


Mis Notas de Clase Ingresos (millones)


63.13

69.9

60.53

61.1

62.19

63.08

64.9

178

67.15

Fracción de artefactos que funcionan después de t años de uso Años de uso 1 Fracción de 0.88 artefactos que funcionan

2 3 0.78 0.69

4 0.61

5 0.54

6 0.48

7 0.43

8 0.38

9 0.33

Número de computadores que ensambla un trabajador respecto al número de días que lleva trabajando en una empresas de informática

Días 1 Número de 1 Computadores

5 3

10 4

15 4.5

20 4.8

25 5

30 5.14

45 5.4

60 5.5

En forma de Diagramas Sagital o de Venn Euler son diagramas se muestran los conjuntos de partida y de llegada con sus respectivos elementos y las correspondencias establecidas entre éstos, representadas por flechas de unión. Esta representación sólo es útil en el caso de que los conjuntos de partida y de llegada contengan pocos elementos.

Ejercicios 1.

2.

f es una función ya que a cada elemento de f es una función ya que a cada elemento de A le corresponde uno y solamente uno de A le corresponde uno y solamente uno de los elementos de B los elementos de B El dominio de f: {1, 2, 3, 4} El dominio de f: {1, 2, 3, -2} El Co-dominio de f {1, 4, 9, 16} El Co-dominio de f {1, 4, 9} El Recorrido de f{1, 4, 9, 16} El Recorrido de f{1, 4, 9}


Mis Notas de Clase 3.


179

4.

f es una función ya que a cada elemento de f no es una función porque hay un elemento A le corresponde uno y solamente uno de A que no tiene imagen en B los elementos de B El dominio de f: {1, 2, 3} El Co-dominio de f {1, 4, 9,16} El Recorrido de f{1, 4, 9} 5.

6.

f no es una función porque hay un elemento f es una función ya que a cada elemento de A que no tiene dos imágenes en B

A le corresponde uno y solamente uno de los elementos de B El dominio de f: {1, 4, 16} El Co-dominio de f {1} El Recorrido de f{1} Si y=f(x)=k para cualquier valor de x entonces se dice que la función es constante

En forma de Gráficas cartesianas: Son gráficas que se construyen a partir de dos ejes de referencia –llamados ejes de coordenadas–, uno horizontal (eje de abscisas) y otro vertical (eje de ordenadas). Habitualmente, en el primero se colocan los valores de la variable independiente como si se tratara de una recta real, ordenados y crecientes de izquierda a derecha; y en el eje vertical se colocan los valores de la variable dependiente, también como si se tratara de una recta real, ordenados y crecientes de abajo hacia arriba. Los valores de ambas variables deben ser, pues, numéricos.


Mis Notas de Clase


180

Una función se caracteriza geométricamente por el hecho de que toda recta vertical que corta su grafica lo hace exactamente en un solo punto. Si una recta toca más de un punto de la gráfica, esta no representa a una función.

Es función

No es función

Es función

Es función

No es función

Es función

Otra forma de representar una función es a través de Fórmulas que son expresiones algebraicas (pueden incluir números y símbolos literales) que expresan la relación existente entre las variables independientes y la variable dependiente. Según las fórmulas las funciones se clasifican en polínomicas o algebraicas y trascendentes, Las polínomicas son las que se pueden representar mediante expresiones algebraicas y pueden ser lineales, cuadráticas, cubicas, polinomiales, racionales, irracionales y por trozos (por sección o por partes). Las trascendentes, se llaman así para distinguirlas de las algebraicas, y son las logarítmicas, exponenciales y las trigonométricas Lineales Cuadráticas Polinomiales

Polinomiales Racionales

𝑓 (𝑥 ) = 2𝑥 − 1 𝑓 (𝑥 ) = 3𝑥 2 + 5𝑥 − 2 𝑓 (𝑥 ) = 𝑥 3 + 𝑥 2 − 4𝑥 − 4 𝑓 (𝑥 ) =

𝑥2

2𝑥 − 5 − 5𝑥 + 6

Irracionales

𝑓 (𝑥 ) = √𝑥 + 2 2𝑥 − 3 𝑠𝑖 𝑥 ≥ 5 Por trozos, (por sección o 𝑓 (𝑥 ) = por partes ) 6 − 3𝑥 𝑠𝑖 𝑥 < 5 𝑓 (𝑥 ) = log 2 𝑥 Logarítmicas Las trascendentes

Exponenciales Trigonométricas

𝑓 (𝑥 ) = (1200)20.25𝑥 𝑓 (𝑥 ) = cos(𝑥)


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Imagen de una Función Para indicar que y es una función de x, la función se expresa con f y escribimos y=f(x). Esto se lee “y es función de x” o “y es igual a f de x”. Para valores específicos se x, f(x) representa los valores de la función (es decir la salida o valores de y). Ejercicios Si f(x)= 3x + 1 entonces f(2) = 3.2 +1= 6 + 1 = 7 f(-3) = 3(-3) + 1 = -9 + 1 = -8 Si g(x) = 2x2 – 4x + 2 entonces g(1) = 2(1)2 – 4(1) + 2 = 2(1) – 4 + 2 = 2 – 4 + 2 = 0 g(-2) =2(-2)2 – 4(-2) + 2 = 2 (4) + 8 +2 = 2(4) +10 = 8 +10=18 g(a) =2(a)2- 4a + 2 = 2a2 – 4a + 2 g(a + b)= 2(a + b)2- 4(a + b) + 2 Determine f(x + h) si f(x) = x entonces f(x + h) = x + h f(x) = x + 1 entonces f(x + h) = (x + h) + 1 f(x) = x2 – x + 2 entonces f(x + h)= (x + h)2 – (x + h) + 2 1 1 f(x) =𝑥−2 entonces f(x + h) = (𝑥+ℎ)−2 Nótese que donde esta x se escribe x + h Dado 𝑓(𝑥) encuentre f(x)= 2x Remplazamos

f(x) = x2

𝑓(𝑥+ℎ)−𝑓(𝑥) ℎ

con h≠0, simplificando a su más mínima expresión

𝑓 (𝑥 + ℎ) − 𝑓(𝑥) 2(𝑥 + ℎ) − 2𝑥 2𝑥 + 2ℎ − 2𝑥 2ℎ = = = =2 ℎ ℎ ℎ ℎ 𝑓 (𝑥 + ℎ) − 𝑓(𝑥) (𝑥 + ℎ)2 − 𝑥 2 = ℎ ℎ

Aplicando (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 𝑓(𝑥 + ℎ) − 𝑓(𝑥) 𝑥 2 + 2𝑥ℎ + ℎ2 − 𝑥 2 = ℎ ℎ Simplificado 𝑓 (𝑥 + ℎ) − 𝑓(𝑥) 2𝑥ℎ + ℎ2 = ℎ ℎ Factorizando 𝑓 (𝑥 + ℎ) − 𝑓(𝑥) ℎ(2𝑥 + ℎ) = ℎ ℎ Simplificando Pensamiento Cuantitativo

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𝑓 (𝑥 + ℎ) − 𝑓(𝑥) = 2𝑥 + ℎ ℎ Ejercicios Si R(x) = 8x - 10 encuentre R(0), R(2), R(-3), R(1.6) Si H(x) = 9x2 – 2x encuentre H(3), H(1/6) Si f(x) = 100x –x3 encuentre f(-1), f(-3/2) Si C(x) = x3 – 4/x encuentre C(-1/2), C(-2) Ejercicios 𝑓(𝑥+ℎ)−𝑓(𝑥)

Dado 𝑓(𝑥) encuentre con h≠0, simplifique hasta su forma más simple ℎ f(x) = x + 1 f(x) = 3x + 2 f(x) = 3x2 f(x) = 2x3 Sugerencia utilice (a + b)3

Problemas El costo total de fabricar un producto se determina por medio de

C(x)= 300x + 0.1x2+1200 dólares , donde x representa el número de unidades producidas. Determine el costo de producir 10 y 100 unidades. ¿Qué encuentra? Para determinar el costo de producir 10 unidades remplazamos x por 10 en la ecuación de costos total C(x) C(10) = 300 (10) + 0.1 (10)2 +1200 = 3000 + 10 + 1200 = 4 210 Producir 10 unidades tiene un costo de 4210 dólares. Para 100 unidades x=100 C(100) = 300 (100) + 0.1 (100)2 +1200 = 32 200 Producir 100 unidades cuesta 32 200 dólares Se encuentra que es más económico producir 100 unidades que 10. Porque el producir 10 unidades producir una unidad costaría 421 dólares y si se producen 100 unidades el valor de la unidad sería 322 dólares. Pensamiento Cuantitativo

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Un estudio de eficiencia realizado por una compañía mostró que el número de Walkie-talkies ensamblados por un trabajador promedio a t horas de haber iniciado su jornada a las 8:00 a.m. está dado por 𝑁(𝑡) = −𝑡 3 + 6𝑡 2 + 15𝑡 (0 ≤ t ≤ 4) ¿Cuántas piezas se espera que ensamble un obrero promedio entre las 8:00 y las 9:00? y ¿entre las 9:00 y 10:00? ¿Qué encuentra? Suponga que la demanda de q unidades de un producto cuyo precio es p dólares por unidad se describe por medio de 100 𝑝= √2𝑞 + 1 Determine el precio si se demandan 4 y 8. Compare los resultados ¿qué encuentra? Las ganancias anuales brutas de cierta compañía fueron 𝑓(𝑡) = √10𝑡 + 𝑡 + 236 miles de dólares t años después de su formación en enero de 1993. ¿Cuáles fueron las ganancias brutas obtenidas en los años 1997 y 2008? La función demanda para la línea de laptops de una compañía electrónica es p=2400 – 6q, en donde p es el precio por unidad (en dólares) cuando los consumidores demandan q unidades (semanales) Obtenga p para q igual a 300, 400 y 500 ¿Qué significa cada expresión? Compare e intérprete los resultados Suponga que el costo (en dólares) de eliminar p por ciento de la contaminación de las partículas de las chimeneas de una planta industrial se determina por medio de

C ( p) 

7300 p 100  p

Encuentre los valores de eliminar el 45, 90, 99 y el 100 por ciento de la contaminación y haga un análisis de los resultados El costo (en dólares) de eliminar el x% de la polución del agua en cierto riachuelo está dada por

C(x)=

75 000𝑥 100−𝑥

( 0≤ x ≤ 100)

Hallar el costo de eliminar la mitad de la polución Evaluar el costo de eliminar el total de la polución Suponga que el costo C de obtener agua de un arroyo que contiene p porciento de niveles de contaminación se determina mediante 285000 𝐶= − 2850 𝑝 Determine el costo de obtener agua con el 90, 100 y 0 por ciento de niveles de contaminación Pensamiento Cuantitativo

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Gráfica de Funciones Es posible ilustrar geométricamente las relaciones y funciones al trazar sus gráficas en un sistema de coordenadas rectangulares o cartesianas (plano cartesiano) El plano Cartesiano es un área que permite representar gráficamente relaciones y funciones en dos dimensiones. Está formado por dos rectas perpendiculares denominadas ejes que se cortan en un punto llamado origen, los ejes dividen el plano en cuatro partes llamadas cuadrantes. La recta horizontal se denomina abscisa (generalmente eje x) y la vertical la ordenada (generalmente eje y), del punto de intersección hacia la derecha la abscisa es positiva y hacia la izquierda es negativa, del punto de intersección hacia arriba la ordenada es positiva y hacia abajo es negativa.

Cada punto en el plano se forma con la intersección de una coordenada de la abscisa con una de la ordenada y se representa con una pareja ordenada (a,b), donde la primera componente representa la coordenada de la primera y la segunda la coordenada de la segunda. Ejercicio. Dibuje un plano cartesiano y ubique cada uno de los siguientes puntos: A(-3,5), B(-1,-4), C(5,-1), D(4,3),E(0,-2),F(4,0) Si f es una función con dominio A y co-dominio B, entonces a cada x ∈ A le corresponde precisamente un número real f(x) ∈ B. Esto se puede expresar también como parejas ordenadas de número reales. Se escriba a x de A como primera componente y f(x) de B como segunda componente es decir (x, f(x)) o (x, y). La gráfica de una función resulta cuando se trazan los puntos que representan el conjunto de todos los pares ordenados (x, y) que satisfacen la ecuación de la función dada La gráfica de una función nos puede suministrar información de esta como por ejemplo: su tipo, para que intervalos es creciente, decreciente constante, los puntos máximos, mínimos, interceptan los ejes coordenados, indeterminados Ejercicio Grafique cada función en el intervalo entero indicado 𝑓 (𝑥 ) = 2𝑥 + 1 𝑒𝑛 [0,3] 𝑓 (𝑥 ) = 𝑥 2 + 1 𝑒𝑛 [−3,3] 𝑓 (𝑥 ) = 𝑥 2 + 4𝑥 − 2 𝑒𝑛 [−6,2] 𝑓 (𝑥 ) = 𝑥 3 − 6𝑥 2 𝑒𝑛 [−4,4] 1 𝑓 (𝑥 ) = 2 𝑒𝑛 [−4,4] 𝑥 −1 𝑓 (𝑥 ) = 2𝑥 𝑒𝑛 [−1,3] Pensamiento Cuantitativo

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José F. Barros Troncoso 𝑓 (𝑥 ) = 𝐿𝑛(2𝑥 + 1)2 𝑒𝑛 [1,4]

1

𝑗 (𝑥 ) =

−2𝑥 + 3

Si x < 1

2x2 + 1

Si x ≥ 1


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Función Lineal En geometría y en álgebra básica, una función lineal es una función polinómica de primer grado; es decir, una función cuya representación en el plano cartesiano es una línea recta. Esta función se denota: 𝒇(𝒙) = 𝒎𝒙 + 𝒃 , donde 𝑚 𝑦 𝑏 ∈ 𝑅 y x es una variable real. La constante m es la pendiente de la recta, si se modifica m entonces se modifica la inclinación de la recta, además muestra el número de unidades que varía y por cada unidad que varía x, es decir si m=10, indica que por cada unidad que varía x y varia 10 unidades. La constante b es el punto de corte de la recta con el eje, si se modifica, entonces la línea se desplazará hacia arriba o hacia abajo Se pueden presentar las siguientes situaciones: Si m > 0: La función es creciente. m < 0: La función es decreciente. m = 0: La función es constante. Si m es indeterminada: no existe función. Problemas La demanda de un producto tiene un comportamiento lineal, si se sabe que a un precio de $ 5000 la unidad se demandan 4000 unidades y por cada $1000 que se rebaje en el precio, la demanda crece en 500 unidades Halle la pendiente ¿qué significa? Como el precio depende de la demanda, las parejas ordenadas tendrían la forma (precio, demanda), , es decir, x representa el precio y las unidades demandadas, por datos podemos considerar una primera pareja (5000, 4000) donde x1=5000 y y1=4000 y una segunda pareja (4000, 4500) donde x2=4000 y y2=4500 Como sabemos que la pendiente es: 𝑦2 − 𝑦1 4500 − 4000 500 1 𝑚= = = =− 𝑥2 − 𝑥1 4000 − 5000 −1000 2 Significa que por cada 1000 que se incremente el precio la demanda disminuye la mitad. Halle la ecuación de la demanda Como se conoce la pendiente y un punto utilizamos la ecuación 𝑦 − 𝑦1 = 𝑚(𝑥 − 𝑥1 ) , remplazando 1 𝑦 − 4000 = − (𝑥 − 5000) 2 Pensamiento Cuantitativo

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1 𝑦 − 4000 = − 𝑥 + 2500 2 1 𝑦 = − 𝑥 + 2500 + 4000 2 1 𝑦 = − 𝑥 + 6500 2

Grafique la función Ubicamos los puntos (5000, 4000) y (4000, 4500) y trazamos la recta que corte los dos ejes coordenados

¿Cuál es el valor de la ordenada en el origen y qué significa? Por ecuación y gráfica la ordenada en el origen (b) es de 6500, es decir a $0 se demandan 6500 unidades ¿Qué precio máximo estaría dispuesto a pagar? Por gráfica $13000, para precio superior a este las unidades demandas serían negativas Analíticamente tendríamos que hacer y=0 y remplazar en la ecuación, así: 1 0 = − 𝑥 + 6500 2 , despejando 1 −6500 = − 𝑥 2 (−6500) ∗ (−2) = 𝑦 13000 = 𝑦 ó 𝑦 = 13000 Para un precio de $ 4500, ¿cuál sería la demanda? Aquí x=4500 remplazando en la ecuación 1 𝑦 = − (4500) + 6500 = −2250 + 6500 = 4250 2 , a $4500 se demandarían 4250 unidades Para una demanda de 5240 unidades, ¿cuál debe ser el precio unitario? Aquí y=5240 remplazando 1 5240 = − 𝑥 + 6500 2 , despejando 1 5240 − 6500 = − 𝑥 2 1 −1260 = − 𝑥 2 (−1260) ∗ (−2) = 𝑥 2520 = 𝑥 ó 𝑥 = 2520 Pensamiento Cuantitativo

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, es decir, que para demandar 5240 el precio unitario tiene que ser de $2520 2. Un taxista tiene un cobro fijo de $ 1 500 y cobra, además, $ 800 por cada Km. recorrido. Suponiendo que la función es lineal, determine: a. La ecuación Costo Total = Costos Variables (N° de Productos) +Costos Fijos Relacionamos el Costo Total como y los kilómetros recorridos (N° de productos) como x, por datos Costos Fijos (Cobro fijo)=1 500 Costos Variables (Cobro por Km recorrido)=800 Remplazando y = 800x + 1500 ¿Cuál será el valor de un servicio si se desplaza 5 kilómetros? Si x = 5 entonces, 𝑦 = 800(5) + 1500 𝑦 = 4000 + 1500 𝑦 = 5500 Un servicio que realice un desplazamiento de 5 Km costará $5 500 ¿Con $7 900 que distancia se puede desplazar? y = 7 900 entonces, 7900 = 800𝑥 + 1500 7900 − 1500 = 800𝑥 6400 = 800𝑥

6400 =𝑥 800 𝑋=8

Con $7900 se puede desplazar 8 Km. Un pequeño fabricante de electrodomésticos encuentra que le cuesta 9 000 dólares producir 1000 hornos para tostar y 12 000 dólares producir 1 500 hornos por semana. Suponiendo que la función es lineal determine: La expresión que representa el costo en función del número de hornos Las variables que participan en el problema son el costo, que representaremos con la letra c y el número de hornos, que representaremos con la letra x. Si el costo está en función del número de hornos, las parejas ordenadas son de la forma (x, c) Por dato tenemos dos parejas ordenadas (1 000, 9 000) 𝑦 (1 500, 12 000). Hacemos 𝑥1 = 1000, 𝑐1 = 9 000, 𝑥2 = 1 500 𝑦 𝑐2 = 12 000, hallamos la pendiente:


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𝑚=

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𝑐2 − 𝑐1 12000 − 9000 3000 = = =6 𝑥2 − 𝑥1 1500 − 1000 500

Entonces 𝒎 = 𝟔 Remplazando en la ecuación 𝑐 − 𝑐1 = 𝑚(𝑥 − 𝑥1 ) obtenemos: 𝑐 − 9000 = 6(𝑥 − 1000) 𝑐 = 6𝑥 − 6000 + 9000 Por lo tanto la expresión que representa la función es 𝒄 = 𝟔𝒙 + 𝟑𝟎𝟎𝟎 Grafique la función

¿Cuál es la pendiente de la función? ¿qué significa? La pendiente es m=6 y significa que por cada horno que se incremente en la producción los costos se incrementan en 6 dólares. ¿Cuál es la ordenada en el origen? ¿qué significa? La ordenada en el origen es b=3000, significan los costos fijos ¿Cuánto

cuesta

producir

500 hornos? 𝑐 = 6𝑥 + 3000

La

, donde x=500, remplazando 𝑐 = 6(500) + 3000 = 6000 Por lo tanto producir 500 hornos costaría 6000 dólares ¿Cuántos hornos se pueden producir con 15 000 dólares? En la ecuación 𝑐 = 6𝑥 + 3000 , c=15 000, remplazando 15 000 = 6𝑥 + 3000 12 000 = 6𝑥 𝑥 = 2 000 Con 15 000 dólares se pueden producir 2000 hornos Pensamiento Cuantitativo

función

es

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La relación entre la estatura (en pies) y la edad de un niño entre 4 y 16 años de edad es lineal y se obtiene por la expresión ℎ = 0.231𝐴 + 3.126 , donde ℎ es la estatura del niño y 𝐴 la edad. Aproximadamente ¿Cuál será la estatura de un niño de 5 años de edad en metros? (1 pie= 30.48 cm). Aproximadamente ¿Cuál será la edad de un niño cuya estatura es de 1.5 m? Los científicos forenses usan las longitud de la tibia ( t) para calcular la estatura de una persona (h) a partir de la función ℎ = 69.09 + 2.24𝑡 Todas las medidas se dan en centímetros ¿Cuál será la estatura de un hombre cuya tibia mide 40 cm? ¿Cuál será la longitud de la tibia de una mujer que mide 1.65 m.? El costo de fabricar 10 bolsas de papel al día es de $22 000, mientras fabricar 20 bolsas del mismo tipo cuesta $38 000. suponiendo que el modelo de costo es lineal, determine La fórmula correspondiente que permita calcula el costo de producción de 𝑥 bolsas de papel. ¿Cuánto cuesta producir 100 bolsas y 50 bolsas? ¿Qué encuentra? ¿Cuántas bolsas aproximadamente se alcanzarían a producir con una inversión de $800 000? El propietario de una pequeña empresa inicia el negocio con una deuda de $100 000. Después de 5 años de operación acumula una utilidad de $40 000. Suponiendo que la función es lineal determine La ecuación. La utilidad a los 4 años de haber iniciado. El tiempo que debe pasar para obtener una utilidad de $152 000. Si 59°F equivalen a 15°C y 68°F equivalen a 20°C, encuentre la función lineal que relaciona las temperaturas. ¿cuántos °C equivalen 72°F y cuántos °F equivalen 38 °C? Si la temperatura del suelo es de 20°C y a la altura de 1 Km es de 10 °C, exprese la temperatura en función de la altura suponiendo que la función es lineal. 8. Se compra un carro nuevo por $10 000 dólares, suponiendo que se deprecia linealmente cada año a una tasa del 12% de su costo original, determine a. La ecuación de la depreciación b. ¿El el valor del auto 5 años después de comprado? c. ¿En cuántos años el auto se ha depreciado por completo? 9. El gobierno determina que el costo de un pasaje en bus depende directamente de distancia recorrida. Un recorrido de 2 millas cuesta $8 000 mientras que uno de 6 $12000. Suponiendo que la función es lineal, determine a. La ecuación Pensamiento Cuantitativo

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b. El precio de un viaje de 8 millas c. ¿Qué distancia se recorre con $25 000? Una máquina se adquiere por $12 000 000 y se pronostica un depreciación lineal total en 15 años hallar La ecuación El valor de la máquina en 7 años Una impresora costo $100 000 y se deprecia en forma lineal durante 5 años, con un valor de $30 000. ¿cuál es la expresión de la función de costo de la impresora? ¿Cuál es el valor de la impresora en su segundo año? ¿cuánto tiempo debe pasar para que la impresora se deprecia por completo?

Una maquinaria de construcción se deprecia en el tiempo y su valor se obtiene mediante la expresión. 𝑣(𝑡) = 36 − 0.15𝑡 , donde 𝑣 es el valor de la maquinaria, en millones de pesos y 𝑡 el tiempo de uso en meses. Grafique la función. b. Calcule el valor de la maquinaria a los 60 meses y, a los 10 años de uso. c. ¿Cuánto tiempo pasa hasta que la construcción se deprecie por completo?, explique. En una población el consumo de agua A en metros cúbicos es una función lineal del número h de habitantes. Se sabe que 50 habitantes consumen 37950 m 3 de agua al mes y 225 habitantes consumen 169725 m3 al mes Determine la función lineal ¿cuál será el consumo de agua de 400 personas en dos meses? Si la población cuenta con un máximo de 623 031 m3 al mes ¿cuántos habitantes como máximo puede tener la población para que no haya escasez de agua? El costo diario promedio, C, para un cuarto en un hospital de una ciudad se elevó de $59.82 dólares por año en 1990 a $1128.50 en 1996. Suponiendo que la función es lineal Determine la ecuación del costo (c) respecto al número de años (t) desde 1990. Calcule el costo promedio, aproximado, para el 2010

Función Cuadrática La ecuación general de una función cuadrática tiene la forma 𝑓 (𝑥 ) = 𝑦 = 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 ,


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, donde 𝑎, 𝑏 𝑦 𝑐 ∈ 𝑅 y 𝑎 ≠ 0. La gráfica de la función cuadrática tiene una forma distintiva llamada parábola. Si 𝑎 > 0, la parábola abre hacia arriba (convexa) y si 𝑎 < 0, abre hacia abajo (cóncava). Su dominio son todos los reales y el rango depende de 𝑎 así: Si 𝑎 > 0 el rango es [𝑦, ∞) y si 𝑎 < 0 es (−∞, 𝑦] donde 𝑦 es valor óptimo.

La línea vertical que pasa por el vértice de una parábola recibe el nombre de eje de simetría porque una mitad de la gráfica es un reflejo de la otra mitad a través de esta otra línea. La ecuación del eje de simetría es x

b 2a

 b   y es:  2a 

El valor óptimo (ya sea máximo o mínimo) de la función se alcanza en x    𝑏 𝑏2 𝑦 = 𝑓 (− ) ó 𝑦 = 𝑐 − 2𝑎 4𝑎

El vértice, es el punto donde la parábola da la vuelta, es el punto mínimo si a > 0 y un punto máximo si a < 0. La función cuadrática tiene su vértice en

Los interceptos de x de la gráfica de una función y = f(x) son los valores de x para los cuales f(x) = 0 llamados los ceros de la función. Los ceros de la función cuadrática son las soluciones de la ecuación cuadrática que se obtienen

 b  b 2  4ac 2a Para la gráfica de la función, se puede presentar dos situaciones Si la función tiene dos interceptos, se unen estos con el vértice Para aquellos casos en que la función tenga un o ningún intercepto es necesario tabular la información y se recomienda tomar mínimo tres valores a la izquierda y tres valores a la derecha del eje de simetría. x

Ejercicio De la función 𝑦 = 𝑥 2 − 𝑥 − 6 halle las raíces (si existen), el intercepto, el dominio, el rango y grafíquela


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Para hallar las raíces hacemos y=0, 𝑥2 − 𝑥 − 6 = 0 Factorizando (𝑥 − 3)(𝑥 + 2) = 0 Es decir (𝑥 − 3) = 0 entonces 𝑥 = 3 ó (𝑥 + 2) = 0 entonces x = −2 Por lo tanto las raíces son o los puntos donde la curva corta al eje de la abscisa son: 𝑥1 = −2 𝑦 𝑥2 = 3 Para hallar el intercepto hacemos 𝑥 = 0, es decir 𝑦 = (0)2 − (0) − 6 = −6 Por lo tanto el intercepto o el punto donde la curva corta a la ordenada es el punto 𝑦 = −6 Por ser una función polinómica su dominio son todos los reales. Como 𝑎 > 0, el rango es de la forma [𝑦, ∞), hallamos 𝑦 𝑦=𝑐−

𝑏2 4𝑎

, donde 𝑎 = 1, 𝑏 = −1 𝑦 𝑐 = −6, remplazando (−1)2 1 𝑦 = −6 − = −6 − = −6.25 4(1) 4 , entonces el rango es [−6.25, ∞) La grafica es


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Ejercicio Encuentre el eje de simetría, el valor óptimo vértice, los interceptos y dibuje cada función. y=x2 + 4x + 4 y=x2 - 6x + 4 y=x - x2 y = -2x2 + 16 2 y= x − 3x − 28 𝑦 = −2𝑥 2 + 4𝑥 + 1 𝑦 = 2𝑥 2 − 4𝑥 − 2 𝑦 = −3𝑥 2 + 6𝑥 − 4

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(determine si hay un valor máximo o mínimo), el y=x2 – 4 y = -x2 + 5x - 4 𝑦 = 𝑥 2 − 2𝑥 + 4 𝑦 = 2𝑥 2 + 3𝑥 − 1

y = 2x2 +18x y= x2 − 8x + 15 𝑦 = −2𝑥 2 + 4𝑥 − 4 𝑦 = 3 − 𝑥 − 3𝑥 2

Problemas Resuelva cada uno de los siguientes problemas: Una tienda venderá y unidades de un producto en particular cuando se gastan x dólares en publicidad del producto, y

y = 50x – x2 Calcule el valor óptimo ¿Qué significa? b Inicialmente debemos hallar el eje de simetría x=- 2a Comparando con y= ax2 + bc + c; a=-1, b=50 y c=0 Remplazando:

x=-

b 50 50 ==- =25 2a 2(-1) -2

Remplazando en la función original:

y = 50(25) – (25)2=1250 – 625= 625 Como a<0, ocurre un máximo, es decir que la venta máxima será de 625 unidades y se obtiene cuando se invierten 25 dólares en publicidad Halle los interceptos ¿qué significa? Remplazamos a, b y c en la ecuación general -b±√b 2 -4ac -50±√502 -4(-1)(0) -50±√502 -50±50 = = = 2a 2(-1) -2 -2 , encontramos 2 raíces x=

x1 =

-50+50 -50-50 -100 = 0 y x2 = = = 50 -2 -2 -2

Los interceptos ocurren en x=0 y x=50, por lo tanto la venta se obtiene cuando se invierte entre 0 y 50 dólares en publicidad c. Grafique la función


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Cuando cierto fármaco se toma oralmente, su concentración en el torrente sanguíneo del paciente después de t minutos está dada por 𝐶 = 0.06 − 0.0002𝑡 2 , donde C se mide en mg/L. ¿Cuál será la concentración del fármaco 5 minutos de haberlo tomado? ¿En cuánto tiempo tarda en ser nula la concentración del fármaco? ¿Cuándo se alcanza la concentración máxima, y cuál es esa concentración máxima? En una prueba para metabolismo de azúcar en la sangre, llevada a cabo en un intervalo de tiempo, la cantidad de azúcar encontrada está dada por 𝐴 = 3.9 + 0.2𝑡 − 0.1𝑡 2 , donde t es el tiempo medido en horas. a. Grafique la función en el intervalo entero [0,7] Después de aplicar la prueba ¿A qué hora aproximadamente se encuentra más azúcar en la sangre? Se ha establecido que la posibilidad de contagio de un virus sinsicial respiratorio que ataca preferentemente a los niños se puede modelar mediante la expresión 𝐶 = 2𝑥 2 − 5𝑥 + 4 , donde 𝑥 es la edad del niño Graficar la función en el intervalo entero entre [0,3] Aproximadamente ¿a qué edad del niño hay menos posibilidad de contagio? La utilidad que se obtiene de cierto producto si el precio de venta es de $𝑝 se puede modelar por 𝑈 = −20𝑝2 + 1400𝑝 − 12000 miles de pesos Halle el valor óptimo ¿qué significa? Halle las raíces (si existen) ¿cuáles tienen sentido para el problema? ¿qué significan? Utilice el winplot para graficar la función. La rentabilidad de un plan de ahorro en función de la inversión x, en millones de pesos viene dada por 𝑓 (𝑥 ) = −0.002𝑥 2 + 0.8𝑥 − 5 Pensamiento Cuantitativo

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El valor óptimo e indique si es máximo o mínimo. Los interceptos ¿qué significan? Grafique la función Una tienda de deporte estima que si se fija el precio de venta para un balón de futbol en 𝑝 U.M. la cantidad demandada será 𝑞 = 40(22 − 𝑝) balones al mes. ¿Qué precio deberá fijarse al consumidor a fin de obtener la máxima utilidad? ¿Cuál es la máxima utilidad que se puede obtener? Grafique la función

Función Polinómica de Grado Superior a Dos Los números 𝑎𝑛 , 𝑎𝑛−1 , … 𝑎1 , 𝑎0 se llaman los coeficientes de la función. Problemas 1. Un fabricante ha determinado que para cierto producto, el costo total ( en dólares por unidad) está dado por 𝐶 = 2𝑞 3 − 36𝑞 2 + 210𝑞 − 200 , donde 2 ≤ q ≤ 10 a. Calcule el costo total de producir 4, 5, 7 y 9 unidades b. Interprete los resultados 2. Un estudio de tiempo mostró que, en promedio, la productividad de un trabajador después de t horas en el trabajo se puede modelar por medio de 𝑃(𝑡) = 27𝑡 + 6𝑡 2 − 𝑡 3 , 0 ≤ 𝑡 ≤ 8 Donde P es el número de unidades producidas por hora. Calcule la productividad después de 1, 3, 5, 7 y 9 horas trabajo. Compare los resultados qué encuentra. Grafique la función 3. El análisis de producción diaria de una empresa muestra que, en promedio, el número de unidades por hora y producidas después de t horas de producción es 1 𝑦 = 70𝑡 + 𝑡 2 − 𝑡 3 , 0 ≤ 𝑡 ≤ 8 2 Calcule el promedio de unidades producidas por hora después de 2, 4, 6, 8 y 10 horas trabajo. Compare los resultados qué encuentra. Grafique la función

Salud 4. Tras la aparición de una cierta enfermedad infecciosa, el número de afectados viene dado por la función 𝑃(𝑡) = 48𝑡 2 − 2𝑡 3 , siendo t el número de días desde que se detectó el primer caso. Se pide: a. ¿Cuántos afectos habrá 15 después de aparecer la enfermedad? b. ¿Cuántos días transcurrirán hasta que la enfermedad deje de propagarse? c. ¿Cuándo aumenta el número de personas afectadas? ¿cuándo disminuye?


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197

5. Cuando un objeto extraño alojado en la tráquea forza a una persona a toser, el diafragma empuja hacia arriba causando un incremento de presión en los pulmones. Al mismo tiempo la tráquea se contrae, y provoca que el aire expelido se mueva más rápido e incremente la presión sobre el objeto extraño. De acuerdo con el modelo matemático de toser, la velocidad v de la corriente de aire por la tráquea de una persona de tamaño promedio se relaciona con el radio r de la tráquea (en centímetros) mediante la función 𝑣 = 3.2𝑟 − 𝑟 3 Hallar el diámetro de la tráquea (𝑑 = 2𝑟) si la velocidad de la corriente es nula. 6. Una enfermedad se propaga en forma tal que después de 𝑡 semanas, el número de personas infectada es

𝑁 = 5.175 − 𝑡 3 (𝑡 − 8) 0 ≤ 𝑡 ≤ 8 a. Grafique la función en un intervalo entero [0,8] b. ¿Qué encuentra?

Función Exponencial Consideremos la gráfica de la función y=2x, que modela el crecimiento de diversas aplicaciones

Una función especial que se presenta con frecuencia en economía es 𝑦 = 𝑒 𝑥 , donde ℮ es un número irracional fijo (aproximadamente 2.71828…). Las funciones exponenciales de base e con frecuencia aparecen de manera natural, el crecimiento del dinero que se capitaliza continuamente se obtiene mediante la fórmula 𝑆 = 𝑃𝑒 𝑟𝑡 , donde P es el capital original, r la tasa de interés y t el tiempo en años. El número e aparecerá como la base de la mayor parte de las funciones exponenciales que puedan encontrarse.


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Las funciones de la forma f(x)=a-x y f(x) = e-kx representan funciones de decaimiento exponencial. Ejercicios

Emplear la calculadora para hallar las potencias indicadas de e (aproximar la respuesta en 3 decimales) 100.5 e2

8-2.6 e-2

31/3 e0.05

5-2/3 e-0.5

2 x 5-2/3 1 – e-0.5 + 1.2

Problemas 1. Interés compuesto capitalizado Si se invierten P dólares a una tasa de interés anual r (expresada en decimal) y el interés se capitaliza k veces por año, el saldo B(t) después de t años será

𝑟 𝐵(𝑡) = 𝑝(1 + )𝑘𝑡 𝑘 Supóngase que se invierten us$5 000 a una tasa de interés anual del 10%. Calcular el saldo después de 10 años si el interés se capitaliza: Anualmente, Semestralmente y diariamente (365 días) ¿Qué encuentra?

2. Interés capitalizado continuamente Si se invierten P dólares a una tasa de interés anual r (expresada en decimal) y el interés se capitaliza continuamente, el saldo B(t) después de t años será

𝐵(𝑡) = 𝑃𝑒 𝑟𝑡 a. Supóngase que se invierten us$5 000 a una tasa de interés anual del 10%. Calcular el saldo después de 10 años si el interés se capitaliza continuamente b. Supóngase que se invierten 5 millones de pesos a una tasa de interés anual del 7%. Calcular el saldo (en millones) después de 10 años si el interés se capitaliza: Anualmente, Semestralmente, diariamente y continuamente (365 días) ¿Qué encuentra? 3. Si se prestan P dólares durante N meses, con capitalización mensual a una tasa de interés anual r (expresada en decimal), el préstamo puede pagarse con cuota mensual de

𝑃𝑖 1 − (1 + 𝑖)−𝑁 , donde i es el pago del interés por periodo. Determinar la cuota mensual para comprar un automóvil nuevo que cuesta 35 millones de pesos, si la cuota inicial es de 10 millones y el resto se financia a un periodo de 5 años a una tasa 0.06 anual de 6% capitalizada mensualmente (nótese que 𝑖 = 12 ). 𝑚=

4. Para comprar una casa se hace un préstamo de 150 millones de pesos al 9% de interés anual, capitalizado mensualmente durante 30 años ¿cuánto debe pagarse mensualmente para amortizar la deuda? 5. Si se invierten $10.000 con una tasa de interés del 6% compuesto mensualmente, entonces el valor futuro de la inversión después de x años está dado por 𝑆 = 10000(1.00512𝑥 ). Encuentre el valor futuro de la inversión después de 5 años y de 30 años.


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199

6. El porcentaje de personas que respondieron a un comercial televisivo para un nuevo producto después de t días después del lanzamiento, se encuentra con la expresión

𝑅 = 70 − 100𝑒 −0.2𝑡 a. Calcular el porcentaje de personas que respondieron al comercial 15 días después del lanzamiento del comercial. b. ¿Cuántos días deben pasar para que responda el 50% de las personas

7. Un estudio estadistico acerca del funcionamiento de un artefacto, muestra que la fracción de estos que funcionan después de t años de uso es aproximadamente

𝑓 (𝑡) = 𝑒 −0.12𝑡 a. ¿Qué porcentaje de artefactos se espera funcionen después de 4 año? b. ¿Cuántos años pasaran aproximadamente para funcionen la mitad de los artefactos? 8. Una organización de investigación de mercado afirma que si una compañía gasta x millones de pesos en publicidad por televisión, la utilidad obtenida puede estimarse mediante la función

𝑃 = 40𝑥 2 𝑒 −0.5𝑥 , donde 𝑃 se expresa en millones de pesos. a. ¿Cuál será la utilidad cuándo se gasta 2 millones (𝑥 = 2), 4 millones (𝑥 = 4) y 6 millones (𝑥 = 6)? b. Compare los resultados ¿qué encuentra?

Salud 9. La cicatrización normal de las heridas, si no hay infección que retrase la curación, se modela por la expresión

𝐴 = 𝐴0 𝑒 −0.35𝑛 , donde A0 representa el área original de la herida, 𝐴 el área de la herida después de n días. Suponga que la herida inicialmente tiene un área de 100 milímetros cuadrados. a. ¿Cuál será el área de la herida después de 10 días? b. ¿Cuántos días pasaran para que la cicatriz se reduzca en un 50% de su tamaño original? 10. La fórmula 𝐷 = 5𝑒 −0.4ℎ sirve para determinar el número de miligramos D de cierto medicamento en el flujo sanguíneo de un paciente, ℎ horas después de su administración.

¿Cuántas horas deben pasar para que el paciente tenga 0.5 miligramos de medicamento en el flujo sanguíneo? 11. Los médicos utilizan yodo radiactivo como trazador en el diagnóstico de ciertos desórdenes de la glándula tiroides. Este tipo de yodo se desintegra de forma que la masa que queda después de t días está dada por la función

𝑚 = 6𝑒 −0.087𝑡 , donde m está dada en gramos Pensamiento Cuantitativo

Mis Notas de Clase


200

a. ¿Cuál será el tamaño de la masa 5 días después de iniciar el tratamiento? b. ¿Cuántos días debe durar el tratamiento para reducir la masa en 1 gramo? 12. Los registros de salud pública indican que 𝑡 semanas después de un brote de cierta forma de influenza, aproximadamente 20 𝑄= 1 + 19𝑒 −1.2𝑡 , miles de personas se habían contagiado con la enfermedad. a. ¿Cuántas personas tenían la enfermedad cuando esta comenzó? ¿Cuántas personas la tenían 2 semanas después? b. ¿Cuántas semanas pasarían para que el número de contagiados llegue a los 19 mil (𝑄 = 19)? Función Logarítmica

Los logaritmos fueron introducidos en las matemáticas con el propósito de facilitar, simplificar o incluso, hacer posible complicados cálculos numéricos. Utilizando logaritmos podemos convertir: productos en sumas, cocientes en restas, potencias en productos y raíces en cocientes.

Se llama logaritmo en base a del número 𝑥 al exponente b al que hay que elevar la base para obtener dicho número. log 𝑎 𝑥 = 𝑏 ↔ 𝑎𝑏 = 𝑥 Donde a Є R, a > 0 y a ≠ 1, a se denomina base del sistema de logaritmos. , que se lee: "el logaritmo en base a del número x es b" , o también : "el número b se llama logaritmo del número x respecto de la base a " . Un logaritmo no es otra cosa que un exponente. Propiedades log 𝑎 𝑎𝑥 = 1

log 𝑎 1 = 0

log 𝑎 𝑎 = 1

𝑎log𝑎 𝑥 = 𝑥

log 𝑎 (𝑈. 𝑉) = log 𝑎 𝑈 + log 𝑎 𝑉

log 𝑎 (𝑈𝑛 ) = 𝑛 log 𝑎 𝑈 𝑙𝑛(𝑒 𝑥 ) = 𝑥

𝑛

log 𝑎 ( √𝑈 ) =

1 log 𝑎 𝑈 𝑛

𝑒 ln(𝑥) = 𝑥

Ejercicios Escriba cada ecuación en forma exponencial


𝑈 = log 𝑎 𝑈 − log 𝑎 𝑉 𝑉 ln(𝑒) = 1 log 𝑎

Mis Notas de Clase 4 = log2 16

José F. Barros Troncoso 1 = log 4 2 2

4 = log3 81

201

−2 = log 3

1 9

Ejercicio Despeje x escribiendo las ecuaciones en forma exponencial log 2 𝑥 = 3

log 4 𝑥 = −2

log 8 𝑥 = −

1 3

log 25 𝑥 = −

1 2

Ejercicio Escriba cada expresión en forma logarítmica 25 = 32

53 = 125

4-1 =

1

91/2 = 3

4

Ejercicio Escriba cada expresión como la suma o diferencia de dos funciones logarítmicas que no contienen exponentes log 𝑎

𝑥 𝑥+𝑦

Ln (x + y)(4x + 5)

3

log 7 ( 𝑥 √𝑥 + 4)

Ejercicio Resuelve cada una de las siguientes ecuaciones: 2x – 1= 5 𝑒 2𝑥 = 3 log(3𝑥 + 2) = log(2𝑥 + 5) 5(3x+2) – 1 = 14 log(7) − log(𝑥 − 1) = log(4) 𝑒 2𝑥 𝑒 5𝑥 = 𝑒 14 72𝑥+3 = 343 4𝑥/2 = 20 4𝑥+1 5(3𝑥 − 6) = 10 = 128 2𝑥+2

𝑙𝑛

𝑥2 √𝑥 + 4

3𝑒 1−𝑥 = 7 ln(−𝑥 ) = ln(𝑥 2 − 6) 2𝑒 2𝑥+2 = 17 2(10)𝑥 + 10𝑥+1 = 4 4(10)0.2𝑥 =3 5

Ejercicio Use la calculadora para determinar ln √4 . 6 8 ln √ 5 3

ln

√56 23

1 ln 8 − ln 5 3

1 (ln 4 + ln 6) 2 ln 34 17

Problemas


1 ln 56 − ln 23 2 5 2 ln 2

Mis Notas de Clase


202

La ecuación de la demanda de cierta mercancía es 𝑥 = 5000 − 1000𝐿𝑛(𝑝 + 40) , donde se demandan 𝑥 unidades cuando el precio unitario es de 𝑝 dólares. Calcular la cantidad de unidades demandadas cuando el precio unitario es 5 y 10 dólares Si 𝑝 =5, x = 5000 - 1000 ln( 5 + 40)=5000 - 1000 ln(45)= 5000 - 1000(3.8) x= 5000-3806.66=1193.33 Es decir a un precio de 5 dólares se demandarían aproximadamente 1193 unidades Si 𝑝 =10 x = 5000 - 1000 ln( 10 + 40)=5000 - 1000 ln(50)= 5000 - 1000(3.91) x= 5000-3912.02=1087.97 Es decir a un precio de 10 dólares se demandarían aproximadamente 1088 unidades. Por lo tanto al incrementarse el precio de 5 a 10 dólares las unidades demandadas disminuyen de 1193 a 1088. La ecuación de demanda de un producto es 60 𝑞= + 𝐿𝑛(65 − 𝑝3 ) 𝑝 , donde 𝑞 es la cantidad y 𝑝 el precio por unidad, calcule la demanda para 𝑝 = 2 𝑦 𝑝 = 4 ¿qué encuentra? Una compañía está contratando personas para trabajar en su planta. Para el trabajo que las personas deben efectuar los expertos en eficiencia estiman que el costo promedio C de realizar la tarea es una función del número de personas contratadas x es 𝐶 = 0.003𝑥 2 − 0.216 ln(𝑥 ) + 5 Determine el costo promedio de realizar la tarea con 3, 6 y 9 personas. Compare los resultados ¿qué encuentra? Una compañía encuentra que la cantidad de dólares y que deben gastar semanalmente en publicidad para vender x unidades de un producto está dada por 400 𝑦 = 200 ln( ) 500 − 𝑥 Calcule el gasto publicitario que se necesita para vender 100, 200 y 300 unidades, compare los resultados que encuentra. Calcule el número de unidades que se deben vender para gastar 100 dólares semanales en publicidad. Digamos que la función demanda para un producto está dada por


Mis Notas de Clase


𝑝=

203

100 ln(𝑞 + 1)

¿Cuál será el precio si se demandan 19 unidades? ¿Cuántas unidades serán demandadas si el precio es de 29. 4? Suponga que el costo total (en dólares) para un producto está dado por

C(x) = 1500 + 200 ln(2x +1) , donde x es el número de unidades producidas ¿Cuál será el costo de producir 200 unidades? ¿Cuántas unidades se producirán con 3000 dólares? La función demanda de un producto está dada por p =

4 000 ln(𝑥+10)

donde p es el precio unitario en

dólares cuando se demandan x unidades. Encuentre el precio con respecto al número de unidades vendidas cuando se venden 40 y 90 unidades ¿qué encuentra? Con la finalidad de determinar la retención de los conceptos aprendidos se practicó un examen a un grupo de estudiantes y, a partir de esa fecha se les examino cada mes utilizando una prueba equivalente. Los resultados mostraron que el promedio de puntuación D satisface la formula D= 80 – 12Ln(x+1), donde x es el tiempo en meses. Calcule la puntuación inicial, a los seis meses y al año. ¿Cuánto tiempo debe pasar para que el promedio de puntuación sea de 50 puntos? La temperatura de una taza de café t minutos después de servirla se puede modelar por T=70+100e-0.0446t, donde T se mide en grados °F. ¿Cuál será la temperatura al momento de servirlo? ¿Cuánto tiempo debe pasar para que el café pueda ser tomado T=120 °F? Una fábrica de bombillo ha encontrado que la fracción de bombillos que se funden en t horas esta dado por f(t)=1- e-0.003t. ¿Qué fracción de bombillos se fundirán las primeras 48 horas? ¿En cuántas horas se fundirían el 50% de los bombillos? La eficiencia de un obrero común de un fábrica está determinada mediante la función f(t)=100 – 60e-0.2t, donde el obrero puede completar f(t) unidades por día después de haber trabajado t meses. Determinar la eficiencia de un trabajador nuevo. ¿en cuánto tiempo un trabajador alcanza una eficiencia de 90 unidades día? El decaimiento de las ventas para un producto se obtiene por medio de 𝑆 = 50000𝑒 −0.1𝑥 , donde S es la venta semanal (en dólares) y x es el número de semanas que han transcurrido desde que terminó la campaña publicitaria. Determinar Las ventas dos meses después de culminar la campaña publicitaria. b. El número de semanas que deben pasar después de culminar la campaña publicitaría para que las ventas caigan por debajo de los US$15 000.


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204

El valor V de un objeto a los t años de su adquisición se puede modelar con la expresión 𝑉 = 15000𝑒 −0.6286𝑡 , 0 ≤ t ≤ 10 Determine el valor del objeto 5 años después de adquirido. Cuánto tiempo debe pasar para que un objeto disminuya su valor en $10000 Se estima que el porcentaje de que falle una cierta marca de circuitos de computadora después de t años de uso sea 𝑃(𝑡) = 100(1 − 𝑒 −0.1𝑡 ) Grafique la función y responda lo siguiente Aproximadamente que porcentaje de circuitos que fallaran en 3 años ¿cuánto tiempo debe pasar para que fallen el 60% de los circuitos.

Modelación de las Funciones Exponenciales Apenas finaliza la publicidad inicial de la publicación de un libro de cálculo, las ventas de la edición en pasta dura y a dos tintas tienden a decrecer exponencialmente. En el momento en que termino la publicidad de cierto libro se vendían 30000 ejemplares al mes. Un mes más tarde, las ventas del libro habían bajado a 14000 ejemplares por mes. Determine La expresión que representa la función La función es de la forma 𝑥 = 𝑥0 𝑒 𝑘𝑡 , donde x es el número de ejemplares, t el tiempo en meses y k la constante de proporcionalidad. Inicialmente hallamos la constate de proporcionalidad k, , por datos x0=30000, x=14000 y t=1 remplazando 14000 = 30000𝑒 𝑘(1) 14000 = 𝑒𝑘 30000 0.46 = 𝑒 𝑘 ln(0.46) = ln(𝑒 𝑘 ) −0.776 = 𝑘 ln(𝑒 ) Por lo tanto 𝒌 = −𝟎. 𝟕𝟕𝟔 Es decir que la función es de la forma 𝒙 = 𝟑𝟎𝟎𝟎𝟎𝒆−𝟎.𝟕𝟕𝟔𝒕 Grafique la función ¿Cuántos ejemplares se venderán al año? t=12, remplazando 𝒙 = 𝟑𝟎𝟎𝟎𝟎𝒆−𝟎.𝟕𝟕𝟔(𝟏𝟐) = 𝟑𝟎𝟎𝟎𝟎𝒆−𝟗.𝟑𝟏𝟐 = 𝟐. 𝟕𝟏 En un año venderá aproximadamente 3 ejemplares


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205

¿En cuánto tiempo la venta llegaría a 300 ejemplares? x=300, remplazando 300 = 30000𝑒 −0.776𝑡 300 = 𝑒 −0.776𝑡 30000 0.01 = 𝑒 −0.776𝑡 𝑙𝑛(0.01) = 𝑙𝑛(𝑒 −0.776𝑡 ) −4.605 = −0.776𝑡 Por lo tanto en aproximadamente 6 meses se estarían vendiendo 300 ejemplares.

El producto interno bruto (PIB) de cierto país (dado en millones de dólares) de us $ 100 millones en 1980 a us$165 millones en 1990. Suponiendo que el PIB crece exponencialmente ¿cuál será el PIB en el año 2000? Como la aplicación crece de forma exponencial su forma es: 𝑝 = 𝑝0 𝑒 𝑘𝑡 (Ec1) , donde p=165, p0=100, t=10 y k es una constante de proporcionalidad, que debemos hallar así Remplazando 165 = 100𝑒 𝑘(10) 𝑑𝑒𝑠𝑝𝑒𝑗𝑎𝑛𝑑𝑜 1.65 = 𝑒 10𝑘 , aplicando logaritmo natural a ambos lados de la igualdad ln(1.65) = ln 𝑒 10𝑘 𝑐𝑜𝑛 𝑙𝑜 𝑞𝑢𝑒 0.5 = 10𝑘 , entonces k=0.05 Remplazando en la (Ec1) la ecuación general de la aplicación sería 𝑝 = 100𝑒 0.05𝑡 Para hallar el PIB en el 2000 debemos tener en cuenta que t=20 remplazando 𝑝 = 100𝑒 0.05(20)𝑟𝑒𝑠𝑜𝑙𝑣𝑖𝑒𝑛𝑑𝑜 𝑝 ≅ 272 Lo que indica que para el 2000 el PIB será aproximadamente de us$272 millones Los sicólogos en ocasiones usan la función 𝐿 = 𝐴(1 − 𝑒 −𝑘𝑡 ) , para medir la cantidad L de palabras aprendida en el tiempo t. El número A representa la cantidad que debe aprenderse y k mide la tasa de aprendizaje. Suponga que un estudiante debe aprenderse una cantidad A de 200 palabras de un vocabulario. Un sicólogo determina que el estudiante aprendió 20 palabras en 5 minutos. Determine la tasa de aprendizaje k ¿Aproximadamente cuántas palabras aprenderá en 10 minutos? ¿Cuánto tiempo toma aprender 180 palabras? El número total de hamburguesas vendidas (en millones) por una cadena nacional de comidas rápidas crece exponencialmente. Si se vendieron 4000 millones en 1986 y 12000 en 1991. ¿cuántas se venderán en el 2008?


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206

Cierta compañía adquirió hace tres años cierta maquinaria en us$500 000. Su valor actual de reventa es de us$320 000. Si el valor de la maquinaria disminuye en forma exponencial. Encuentre la función que representa la situación y ¿cuál será el valor de la maquinaria en cuatro años Si la población de cierto municipio era de 100 000 habitantes en 1990 y 110 517 en el 2 000, y si se aplica la fórmula y=P0eht al crecimiento de la población, calcule la población en el 2015. La presión atmosférica como función de ℎ está dada por la fórmula 𝑃(ℎ) = 𝑐𝑒 𝑘ℎ donde 𝑐 y 𝑘 son constante, ℎ es la altura y 𝑃(ℎ) es la presión en función de la altura. Si en el barómetro se lee 30 al nivel del mar y 24 a los 6000 pies, hallar la lectura barométrica a los 1000 pies. El azúcar se descompone en el agua según la fórmula 𝐴(𝑡) = 𝑐𝑒 −𝑘𝑡 donde 𝑐 y 𝑘 son constante. Si 30 kilos de azúcar se reducen a 10 kilos e 4 horas ¿cuánto tardará en descomponerse el 95% del azúcar.


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207

Función Cociente o Racional

Problemas Una persona comienza a trabajar en una empresa de informática. La función que calcula el número de computadores que ensambla, en función del tiempo, viene dada por: 6𝑡 𝑓 (𝑡 ) = 𝑡+5 , donde t es el número de días que lleva trabajando, y f(t), el número de computadores que ensambla. Grafique la función

¿Cuántos computadores ensamblará el primer día? ¿Cuántos computadores ensamblará al mes? Para t=1, 6(1) 6 𝑓 (1) = = =1 (1) + 5 6 El primer día ensamblará 1 computador Para t=30 (un mes) 6(30) 180 𝑓 (30) = = = 5.14 (30) + 5 35 En un mes ensamblará aproximadamente 5 computadores. ¿Cuántos días tardará para ensamblar 3 computadores? Aquí f(t)=3 6𝑡 3= 𝑡+5 3(𝑡 + 5) = 6𝑡 3𝑡 + 15 = 6𝑡 15 = 3𝑡 𝑡=5 Por lo tanto en 5 días está ensamblando 3 computadores El número de libras de durazno p de buena calidad producidos por un árbol promedio depende del número de libras de insecticida x con el cual el árbol fue rociado, de acuerdo a la siguiente fórmula Pensamiento Cuantitativo

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208

200 + 300𝑥 1+𝑥 Determine el número de libras de de durazno p de buena calidad si el árbol se rosea con 1, 3 y 5 libras de insecticida. Utilice un software graficador de funciones para graficar la función. 𝑝=

Como resultado de los avances tecnológicos en la producción de calculadoras cada vez más poderosas y compactas, cae el precio de las que existen en el mercado hoy en día. Si suponemos que dentro de “x” meses, el precio de cierto modelo será 30 𝑝(𝑥 ) = 40 + 𝑥+1 , dólares Determine el precio de mercado de las calculadoras 6 meses y un año después de haber salido al mercado. Compare los resultados ¿qué encuentra?. Utilice un software graficador de funciones para graficar la función. Para una discapacidad los terapeutas desarrollaron una función matemática que describe el costo C de un programa de terapia en función del porcentaje de funcionalidad recuperada x, así 5𝑥 𝐶= 120 − 𝑥 , donde C se mide en millones de pesos. ¿Cuál será el costo de la terapia para obtener una recuperación del 50%? ¿Qué porcentaje de recuperación podría obtener con un presupuesto de 2 millones de pesos? Un determinado fármaco que se usa para controlar la temperatura se inyecta vía intramuscular. Su efecto (E) en horas está dado en función de la dosis suministrada (𝑥) en mg por 74𝑥 𝐸= 8𝑥 + 3 ¿En cuántas horas se alcanza a controlar la temperatura si se inyectan 5 mg del fármaco? ¿Qué cantidad de dosis se debe inyectar para que el fármaco tenga efecto de 8 horas?

Una algoritmo que permite determinar una dosis pediátrica es mediante 4𝑃 + 7 𝐷= 𝑃 + 90 Donde P es el peso del niño en Kg, ¿Cuál debe ser el peso de un niño para suministrarle 1.5 mg de cierto medicamento? El número de personas, en miles, afectadas por una enfermedad infecciosa, viene dado por la función: 30𝑡 𝑓 (𝑡 ) = 2 𝑡 − 2𝑡 + 4 , donde t es el tiempo transcurrido en días desde que se inició el contagio. ¿Cuántas afectadas al cuarto día de iniciar el contagio? ¿En qué día se tiene el máximo número de enfermos? ¿Cuántos son éstos?


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209

La cantidad de una droga en la corriente sanguínea t horas después de inyectada intramuscularmente está dada por la función 10𝑡 𝑓 (𝑡 ) = 2 𝑡 +1 Calcule la cantidad de droga en sangre cada una de las cinco primeras horas desde el momento su aplicación, grafique la información ¿qué encuentra? Durante los primeros cuatro meses en su empleo; las ventas mensuales S (en miles de dólares) de un vendedor nuevo dependen del número de horas x de capacitación de la siguiente manera: 𝑥 2 + 40𝑥 + 36 𝑆 (𝑥 ) = 4𝑥 Calcule la venta de un trabajador que ha recibido 8, 16 y 24 horas de capacitación. Compare los resultados ¿qué encuentra? Grafique la función utilizando un software para graficar funciones. Las ventas y ( en miles de dólares) se relacionan con los gastos de publicidad x ( en miles de dólares) según 200𝑥 𝑦(𝑥) = 𝑥+10 , x ≥ 10 Calcule las ventas si se invierten 10 y 20 mil dólares en publicidad ¿se duplican las ventas? ¿Cuál debe ser la inversión en publicidad si se desea obtener una venta de 100 mil dólares? Grafique la función utilizando un software para graficar funciones. Se pronostica que la población de cierta ciudad pequeña t años a partir de ahora es 50 000𝑡 + 3 000 𝑁= 𝑡+1 Calcule la población en 5 y 10 años ¿se duplica la población ¿Cuánto tiempo debe pasar para que la población llegue a 40 000 habitantes? Grafique la función utilizando un software para graficar funciones. Suponga que el número promedio de minutos M que requiere un empleado nuevo para ensamblar una unidad de un producto está dado por 40 + 30𝑡 𝑀= 2𝑡 + 1 , donde t es el número de días en el trabajo. ¿Cuántos minutos en promedio requiere un trabajador que lleva un mes laborando? Cuánto tiempo de experiencia laboral requiere para que el tiempo de ensamble sea de 15 minutos Grafique la función utilizando un software para graficar funciones.


Mis Notas de Clase


210

Función Por Partes o Por Trozos Ejercicios Dadas las funciones Determine: j(-1) Inicialmente debemos ubicar el rango donde está el valor de la variable independiente x, para el caso


Mis Notas de Clase


211

particular el valor está ubicado en el primer rango, j(-1)= (-1 + 2)3 + 1 = (1)3 + 1 = 1 + 1=2 j(0) El valor x=0 está ubicado en el segundo rango j(0)=3 + 0= 3 j(-2) El valor x=-2 está ubicado en el primer rango j(-2)= (-2 + 2)3 + 1 = (0)3 + 1 = 0 + 1=1

Determine f(3) El valor x=3 está ubicado en el segundo rango f(3)=3 – 2 = 1 f(1) El valor x=1 está ubicado en el primer rango f(1)= 4 – (1)2 = 4 – 1 = 3 f(2) El valor x=2 está ubicado en el segundo rango f(2)=2 – 2 = 0

Gráfica

1

x2 + 1, Si x ≤ 0 3. j(x)=

− 2 𝑥 + 1 , Si x < 2 4. j(x) =

√𝒙

, Si x > 0

√𝑥 − 2 , Si x ≥ 2

Determine j(-1), j(0) y j(2)


1

1

− 2 𝑥 + 3 , Si x < 1 j(x)=

− 2 𝑥 + 1 , Si x < 2 6. j(x) =

2x2

+ 1 , Si x ≥ 1

√𝑥 − 2


, Si x ≥ 2

Mis Notas de Clase



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Problemas El índice de contaminación atmosférica C en cierta ciudad varia durante el día de la siguiente manera: 2 + 4t Si 0 ≤ t < 2 6 + 2t Si 2 ≤ t < 4 C(t)= 14 Si 4 ≤ t < 12 50 – 3t Si 12 ≤ t < 16 , donde t es el tiempo en horas, t=0 corresponde a las 6:00 a.m. Represente gráficamente la función dada.

En una tabla indique cuales son los niveles de contaminación a las 7:00 a.m., a las 8:00 a.m., a las 12:00 m., 4:00 p.m. y a las 8:00 p.m. Hora Tiempo (t) Nivel de contaminación C(t) 7:00 a.m. 1 C(1)=2+4(1)=6 8:00 a.m. 2 C(2)=6+2(2)=10 12:00 m 5 C(5)=14 4:00 p.m. 10 C(10)=14 8:00 p.m. 14 C(14)=50-3(14)=8 Compare los resultados ¿qué encuentra? Cierta compañía de encomienda liquida los envíos de acuerdo a

0.80x Si 0 < x ≤ 50 C(x)= 0.70x Si 50 < x ≤ 200 0.65x Si x > 200 , donde C(x) se da en dólares y x en kilogramos. Determine el costo de envío de 50 y 200 kilogramos Si x=50, por datos está ubicado en el primer rango, C(x)= 0.80x = 0.80 (50) = 40 Pensamiento Cuantitativo

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, el envio de 50 kilogramos tiene un costo de 40 dólares Si x=200, por datos está ubicado en el segundo rango, C(x)= 0.70x = 0.70 (200) = 140 , el envio de 50 kilogramos tiene un costo de 140 dólares A mayor carga mayor costo, pero proporcionalmente resulta más económico enviar mayor carga. Gráfica

El precio 𝑝 de oferta de cierto producto, cuando se venden 𝑥 unidades esta dado por: 𝑥 3.2 + , 0 ≤ 𝑥 ≤ 6000 2000 𝑥 𝑝 = 3+ , 6000 < 𝑥 ≤ 8000 5000 𝑥 { 2.8 + 7000 , 𝑥 > 8000 } Determine el precio (en miles de pesos) cuando se venden: 2000 unidades Observe que las x=2000 unidades estarían ubicadas en el 1 rango, 2000 𝑝 = 3.2 + = 3.2 + 1 = 4.2 2000 , es decir que cuando se ofertan 2000 unidades el precio sería 3.3 mil de pesos 7000 unidades Para este caso x=5000, entonces remplazamos en el segundo rango, remplazando 7000 𝑝=3+ = 3 + 1.4 = 4.4 5000 , es decir que cuando se ofertan 5000 unidades el precio sería 4.4 mil de pesos 14 000 unidades Acá x=14 000, entonces remplazamos en el tercer rango, remplazando 14000 𝑝 = 2.8 + = 2.8 + 2 = 4.8 7000 , es decir que cuando se ofertan 14 000 unidades el precio sería 4.8 mil de pesos La cantidad de desechos sólidos descargados por la planta de tratamiento de aguas negras esta dada por la función

130 -30t + 160 f(t) = 100 -5t2 +25t + 80

si 0 ≤ t ≤ 1 si 1 < t ≤ 2 si 2 < t ≤ 4 si 4 < t ≤ 6 Pensamiento Cuantitativo

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1.25t2 – 26.25t + 162.5

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si 6< t ≤ 10

Donde 𝑓(𝑡) se mide en toneladas/día y t se mide en años donde t=0 corresponde a 1989. ¿Qué cantidad de desechos sólidos fueron descargados por día en 1991, 1995 y en el 2000? Para hallar la cantidad de desechos sólidos que se descargan en un año específico se cuenta el número de años que han pasado desde 1989 hasta dicho año. Para 1991 hallamos el número de años que han pasado desde 1989, 1991-1989=2 , es decir t=2, estaría ubicada en el segundo rango, remplazando 𝑓(2) = −30(2) + 160 = −60 + 160 = 100 , indica que en 1991 se descargaron 100 toneladas/día de desechos sólidos Para 1995 hallamos el número de años que han pasado desde 1989, 1995-1989=6 , es decir t=6, estaría ubicada en el cuarto rango, remplazando -5t2 +25t + 80 𝑓(6) = −5(6)2 + 25(6) + 80 = −5(36) + 150 + 80 = −180 + 230 = 50 , indica que en 1995 se descargaron 1400 toneladas/día de desechos sólidos Para 2000 hallamos el número de años que han pasado desde 1989, 2000-1989=11 , es decir t=11, está fuera de rango, es decir no aplica para este problema

Cierta compañía de telefonía celular líquida el siguiente tabla 20 + 1.5𝑥 -55+2x 𝑐 (𝑥 ) = -115+2.5x

pago mensual de sus usuarios de acuerdo a la 𝑆𝑖 𝑥 ≤ 50 𝑆𝑖 50 < 𝑥 ≤ 100 𝑆𝑖 100 < 𝑥 ≤ 500


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-555+3x 𝑥 > 500 , donde 𝑥 es el número de minutos de llamadas al mes. Calcule el pago para clientes que consumen 50, 80, 400 y 600 minutos, grafique la función Cierta compañía de envio de mercados líquida los envíos de acuerdo a 120x+1200 200x+1700

Si 0.01 ≤ x ≤ 20 Si 20 < x ≤ 30

C(x)= 250x+2200 Si 30 < x ≤ 50 280x+2700 Si 50 < x , donde C(x) se da en dólares y x en gramos. Determine el costo de envio de 20, 45, 30 y 60 gramos El cargo mensual en dólares por x kilovatio/hora de electricidad se obtiene por la función 10 + 0.094x Si 0≤ x ≤ 100 C(x )= 19.4 + 0.075(x – 100) Si 100 < x ≤ 500 49.40 + 0.05(x-500) Si x > 500 Calcule el cargo mensual si se consumen: 30 kilovatio/hora b. 150 kilovatio/hora

c. 1200 kilovatio/hora

Los fondos presupuestales para los programas educativos (en miles de millones de dólares) entre 1965 y el 2000 se modelaron con la función

1.965t – 5.65 P(t)= 0.095t2 – 2.925t + 54.15

Si 5  t  20 Si 20< t  40

Donde t es el número de años que han pasado desde 1960. Determine el presupuesto para los programas de educación en 1980 y el 2007. Los cargos mensuales (en dólares) de x kilowatts hora(Kwh) de electricidad usada por un cliente comercial se determina por medio de la siguiente función: 7.52 + 0.1079x si 0x5 19.22 + 0.1079x si 51500 Encuentre los cargos mensuales para los siguientes consumos. a. 800 Kwh b. 2750 Kwh c. 5 Kwh d. 6 Kwh


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La edad promedio (en años) de la población de Estados Unidos de 1900 a 2000 está dada aproximadamente por la función 1.3t + 22.9 Si 0 ≤ t ≤ 3 f(t)= -0.7t2 +7.2t + 11.5 Si 3 < t ≤ 7

2.6t + 9.4

Si 7 < t ≤ 10

, donde t se mide en décadas y t=0 corresponde a 1900. ¿Cuál era la edad promedio de la población de Estados Unidos al inicio de 1900? ¿Al principio de 1950? ¿Principio de 1900? De acuerdo con un estudio, el gasto de los adultos mayores para el cuidado de la salud, f(t) (como porcentaje de sus ingresos), en el año t, donde t=0 corresponde a 1977, esta dado por 2 𝑡 + 12 Si 0 ≤ t ≤ 7 7 f(t)= t+7 Si 7 < t ≤ 10 3 𝑡 + 11 Si 10 < t < 20 5 Determine el gasto de los adultos mayores para el cuidado de la salud en 1982 y 1992. ¿Hasta qué año es aplicable el modelo? 12. El costo salarial de producir lana en una fábrica vallisoletana típica es: 1 3𝑞 − 𝑞2 𝑞 ≤ 5 4 𝐶𝑉 = 1 1 𝑞 + 𝑞2 𝑞 > 5 2 4 , donde 𝑞 son las toneladas producidas. Determine el costo salarial de produción de 2 toneladas, 5 toneladas y 8 toneladas. Grafique la función http://www.uam.es/personal_pdi/economicas/amaroto/pdfs/ej_tema4micro.pdf Según cierta teoría médica el peligro de un virus se mide en función del tiempo que lleva en el organismo mediante la siguiente expresión ( 𝑃(𝑡) es el peligro para un tiempo de 𝑡 minutos) 𝑡2 0 ≤ t ≤ 5 } 𝑃(𝑡) = {50𝑡 − 62.5 𝑡>5 0.5𝑡 + 5 ¿Cuál es el peligro si el virus lleva 2 minutos, 5 minutos, 10 minutos y 1 hora en el organismo?


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BIBLIOGRAFÍA HARSHBARGER|REYNOLDS. Matemáticas aplicadas a la administración, economía y ciencias sociales. Editorial Mc Graw Hill JAGDISH C ARYA|ROBIN W LARDNER. Matemáticas aplicadas a la administración, economía. FRANK S. BUDNICK. Matemáticas aplicadas a la administración, economía y ciencias sociales. Editorial Mc Graw Hill CARL B ALLENDOERFER|CLETUS O OAKLEY. Matemáticas Universitarias. Editorial Mc Graw Hill. SOO TANG TAN. Matemáticas para Administración y Economía. Editorial Thompson. Tercera Edición. 2005 FRANCISCO SOLER – REINALDO NUÑEZ. Fundamentos de matemática. ECOE Ediciones. Tercera Edición. 2009 LARSON HOSTETLES. Precalculo. Editorial Reverté. 2008. España. Septima Edición ALAN S. TUSSY, ROY DAVID GUSTAFSON. Matemáticas Básicas para Universitarios. CEGANGE Learning. Tercera Edición. 2007. Escrito por Web grafía www.glencoe.com/sec/math/msmath/mac04/course2/study_guide/pdfs/mac2_pssg04_sp.pdf http://books.google.com.co/books?id=wQ0DEYyVMyEC&lpg=PA64&dq=sistemas%20de%20ec uaciones%203r3&hl=es&pg=PA64#v=onepage&q=sistemas%20de%20ecuaciones%203r3&f= false http://platea.pntic.mec.es/~jalonso/mates/ejerbach.html http://algebrabaldor.webcindario.com/inder.htm http://jaa-matematicas.blogspot.com/2006/10/qu-es-la-matemtica.html http://www.sectormatematica.cl/simce.htm http://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_racional http://www.monografias.com/trabajos42/numeros-racionales/numeros-racionales.shtml http://www.unizar.es/aragon_tres/unidad4/u4reapr50e.pdf http://usuarios.lycos.es/mislogaritmos/ http://www.videosdematematicas.com/enlinea/logaritmos.htm Pensamiento Cuantitativo

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Biografía del Autor: José Francisco Barros Troncoso Nacido en la ciudad de Santa Marta - Colombia Pensamiento Cuantitativo

4 5 -∞ 𝑏fde 𝑎 Tipos Algunas B La Si Dadas 𝑎función − −∞ es ∞ A 1 ∞un dos Logaritmos 4 – 𝑃(𝑥) 2 número funciones 4= x (x + real f(x) por 𝑎𝑛 𝑥𝑛16 talque y + g(x) su -2 9 Log 3 2 3 2) + . . . + Mis Notas José F. Barros Troncoso 𝑎𝑎𝑛−1 cualesquie estructura > 16 0 𝑎1 𝑥 1 + de Clase -2 4𝑥y𝑛−1 arit S 1el 𝑎𝑎0≠donde ra, difiere 1, + su mos i 𝑎𝑛 es Si x entonces cociente criterio x Com en matemáticas y Física diferente la de para función f(x)≤ -Licenciado y < une Especialista ) =1,se 𝑓 de(𝑥cero, g(x), ciertos 2 en Multimedios para la Docencia s: Especialista en docencia e investigación universitaria 𝑥 conoce 𝑎 denotado valores f(x) es de , ran Ta Estudiante 𝑓(𝑥) r de maestría en docencia e investigación universitaria como una la variable una go 1 por 𝑔(𝑥), es mbi a función independi 1. j(x) = otra n én polinómica exponenci ente g función llam de n-ésimo al (variable 3+ o definida ado grado. esto “x”), x 1 donde g hacef(x)sSi que x 2. = no puede deci en muchos > ser igual casos 1, sea mal x – 0 por que necesite es o ran 2 Si tendríamo hacer go un vulg ≥2 sestudioxuna ares 2, indetermi particular son ran nación. de las los go 2 mismas.que Por estas tien variacione en s en su por criterio se bas les define como e el nú funciones mer por partes o o a trozos.

1

10. Se escr iben 𝑙𝑜𝑔10 𝑥 = 𝑙𝑜𝑔 𝑥 Log arit mos Nat ural es: Ta mbi én llam ado s Nep eria nos o hipe


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Mis Notas de Clase Razonamiento Cuantitativo Mayo 18 de 2015

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