MRU

Darwin Nestor Arapa Quispe t

t

t

V

V

V

d

d

1

V

d

INTRODUCCIÓN: El movimiento ha sido tema de estudio durante casi toda la historia de la humanidad, por ejemplo en la antigüedad el hombre observaba el movimiento de los cuerpos celestes, en el siglo XVIII se estudiaba el movimiento de las moléculas en un gas, en el siglo XX se estudiaba el movimiento de los electrones alrededor del núcleo atómico, y en la actualidad se estudia el movimiento existente en el interior del núcleo. En este capítulo estudiaremos el “movimiento mecánico” pero sin considerar las causas, del porqué se origina tal o cual movimiento mecánico, tan sólo lo describiremos; para ello es necesario establecer elementos y medidas para que la descripción de realice en forma objetiva. CONCEPTO.- Es aquella parte de la mecánica que se encarga de estudiar, el movimiento de los cuerpos sin considerar las causas que lo originan o modifican. EL MOVIMIENTO Consiste en el cambio de posición que efectúa un cuerpo con respecto a un sistema de referencia al cual se considera fijo. Si un cuerpo permanece en el mismo lugar decimos que no se mueve o está en reposo; pero, si cambia de lugar se dice que el cuerpo se mueve. EL MOVIMIENTO ES RELATIVO Un objeto puede estar moviéndose para un observador pero no para otro observador. Si cerca de nosotros pasa un automóvil, al ver que se aleja diremos que se mueve, pero el piloto ve que el automóvil siempre está junto a él, luego para el piloto el automóvil estará en reposo relativo. Observador

Conductor

El camión se mueve con relación al observador (O); pero está en reposo con respecto al conductor. Movimiento Mecánico Para comprenderlo, examinemos el siguiente acontecimiento: “un observador observa a un avión que avanza en línea recta y desde cierta altura se deja en libertad a un proyectil”.

Darwin Nestor Arapa Quispe

2

Para poder examinar lo que acontece, al observador (A) se le debe asociar un sistema de ejes coordenados y un sistema temporal (reloj). A todo este conjunto se le denomina: “Sistema de referencia” (S.R.).

Y(m) Reloj r0

r

O

X(m)

Observador

Para ubicar al cuerpo en estudio (proyectil), se traza un vector que parte del origen de coordenadas y se dirige hacia el cuerpo; a este vector se le denomina “vector posición r ”.

Nota: El vector posición puede ser expresado de la siguiente forma: r  (x, y) o también r  xi  yj ; donde i, j son los vectores unitarios en la dirección de los ejes coordenados:

Examinemos el movimiento del proyectil

r 0 : Vector posición inicial Y(m)

r f : Vector posición final

Reloj r0

r0 rf O

X(m)

Observador

El observador nota que el proyectil cambia continuamente de posición, entonces para él, el proyectil se encuentra en “movimiento” o experimenta movimiento mecánico.

En conclusión: El “movimiento mecánico” es un fenómeno que consiste en el cambio continuo de posición de un cuerpo con respecto a un sistema de referencia. Para poder describir el movimiento mecánico necesitamos conocer ciertos conceptos previos: ELEMENTOS DEL MOVIMIENTO: 1. Móvil: Se denomina así a todo cuerpo o punto en movimiento mecánico respecto aún sistema referencia


3

2. Sistema de Referencia: Es el lugar desde el cual el observador aprecia el movimiento. Se representa mediante un sistema de ejes coordenados 3. Trayectoria: Es la línea geométrica que describe el móvil, puede ser rectilínea o curvilínea. A

Mov. rectilíneo

A

Mov. circunferencial

Mov. parabólico

A

B

B

B

4. Vector posición o radio vector  r  : Es el vector trazado desde el origen de coordenadas a la posición instantánea del móvil. 5. Desplazamiento  D  : Es el vector que une la posición inicial y la posición final entre los dos puntos de la trayectoria. Donde: r 0 : Vector posición inicial Y Posición inicial

e

D

r0

r f : Vector posición final Posición final

rf

D : Vector desplazamiento e :espacio recorrido D  rf  r0

X

6. Distancia (d): Es la medida o módulo del vector desplazamiento. D o en otras palabras “la medida de la longitud del segmento de recta que une la posición inicial y la posición final” A

A

d =5 m

A B

B

d =12 m

B d ABA = 0 m


4

7. Espacio Recorrido (e): Es la medida de la longitud de la trayectoria descrita por el móvil. A 20 m

5m

B

A

B

A e AB = 20 m

B

e ABA = 0 m

e AB = 5 m

Velocidad  V  : Magnitud vectorial que se define como el cambio que experimenta el vector de posición en un determinado intervalo de tiempo cuyo valor indica el espacio recorrido por unidad de tiempo. Características:  Ser tangente a la trayectoria en todos los puntos.  Definir el sentido de la velocidad.  En cinemática se acostumbra llamar “rapidez” al módulo de la velocidad

V

V

V

Unidades de velocidad: En el S.I.: m/s Otras unidades: km/h , pies/s, cm/s, millas/h, etc. Velocidad Media ( V m ): Es la relación entre el desplazamiento del móvil con respecto al tiempo empleado. Definimos el vector velocidad media: Y

Vm 

e

Inicial

r r0 D = f t t

Calculamos el módulo: Vm D

Final

X

Vm 

D 1 = rf r0 t t

Observe: La velocidad media tiene la misma dirección que el desplazamiento


5

Rapidez Media o promedio (V): Es la relación entre el espacio recorrido por el móvil con respecto al tiempo que emplea. La rapidez media es una cantidad escalar y se expresa de la siguiente manera:

V

e t

La rapidez media es la rapidez uniforme con la cual, en el mismo tiempo, el móvil haría el mismo recorrido.

Velocidad Instantánea: Es la velocidad que tiene un cuerpo en cada instante de su movimiento “es la velocidad propiamente dicha”.

P

V

C

Trayectoria

B

r



Si disminuimos progresivamente el tiempo de recorrido, la dirección secante ( OA ) del desplazamiento se va acercando a la dirección de la recta tangente.

Recta tangente

r

Para un tiempo muy pequeño (instante o diferencial de tiempo) el desplazamiento y la velocidad resultan ser tangentes a la trayectoria.

A t

O

En el siguiente gráfico de muestra la velocidad instantánea en distintos puntos de una trayectoria curvilínea. VB

B A

r  f(t) VD

C VC

D

VA

Analizando el movimiento se puede apreciar que:  El vector velocidad instantánea siempre es tangente a la trayectoria del móvil  La velocidad en el punto A es horizontal debido a que se trata de un “extremo relativo” (mínimo).  En el trayecto BC se presenta un cambio de curvatura en la trayectoria, así mismo un cambio en la dirección de la velocidad.  En el punto D la velocidad es otra vez ascendente.

6


Cálculo de la velocidad instantánea Para este efecto será necesario conocer la ecuación de la trayectoria del móvil expresada en términos del tiempo, es decir: r  f(t) ; de donde se puede calcular la velocidad instantánea mediante un operador diferencial denominado “derivada”.

Recta tangente

Y

Trayectoria

P



V

Dada la trayectoria curva de la figura, es posible calcular la velocidad instantánea en el punto P, este valor resulta ser la pendiente de la recta tangente a dicha trayectoria, es decir:

r  f(t)

V  m  tan 

Otra manera de realizar dicho cálculo es hallando la derivada del vector posición en el punto P. O

X

V

dr dt

Matemáticamente la velocidad (V) es la derivada de la posición (r) con respecto al tiempo. APÉNDICE Cálculo de derivadas Dado un término monomio: y  ax n Se define como derivada con respecto a la variable “x” a la expresión: dy  anx n 1 dx

La cual representa el valor de la pendiente de la recta tangente a la trayectoria. Ejemplo Ilustrativo 1: Dado un polinomio: x  2t 2  3t  5 . Hallar la derivada con respecto a “t”. Solución: El polinomio se puede escribir: x  2t 2  3t  5t 0 Aplicando la fórmula: dx  2(2)t 21  3(1)t11  5(0)t 0 1  dt

dx  4t  3 dt


7

Ejemplo Ilustrativo 2: La posición de una partícula está dada por la ecuación: r  2t 3  4t 2  3t  5 (r en metros), hallar su velocidad instantánea cuando t  2 s . Solución: Hallando la derivada: dr  V  6t 2  8t  3 dt

Evaluando en t  2 2

V  6(2)  8(2)  3 

V  11 m/s

Rpta.

Ejemplo Ilustrativo 3: La posición de un móvil (en m) con respecto al tiempo (en s) se expresa según la siguiente ecuación: r  t 2  8t  20 . Calcular la velocidad del móvil en el instante en que pasa por el origen. Solución: El móvil pasa por el origen cuando r  0 2

t  8t  20  0   t  10  t  2   0   t  10 s (Única solución)  t  2 s

Recuerde que el tiempo nunca es negativo Hallamos la derivada de la posición: dr  V  2t  8 dt V  2(10)  8  V  12 m/s

Rpta.

MOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORME El movimiento rectilíneo uniforme (M.R.U.) es el más simple de la cinemática, su característica principal es que la velocidad del móvil permanece constante, es decir el móvil avanza distancias iguales en tiempos iguales. Consecuencias de una velocidad constante  Un móvil con M.R.U. no debe cambiar la dirección de su velocidad; por lo tanto, la trayectoria debe ser necesariamente una recta. Una velocidad constante solamente se puede dar en una trayectoria recta.  Un móvil con M.R.U. no debe cambiar el módulo de su velocidad; o sea su rapidez debe ser constante. Un movimiento con rapidez constante es denominado uniforme  Un móvil con M.R.U. no cambia la dirección ni el módulo de la velocidad, o sea no acelera. Si un móvil no acelera su trayectoria es una recta y su rapidez permanece constante

8


 Si el móvil tiene velocidad constante su rapidez también será constante y el móvil recorrerá distancias iguales en tiempos iguales t

t V

t V

V

d

d

Características: Trayectoria: recta Velocidad: constante Aceleración: cero

d

v t

V

d

d  vt

POSICION DE UNA PARTICULA.- Consideremos una partícula en movimiento. Para el instante (t=0) la posición se denomina inicial (r0). De la ecuación del desplazamiento: Y

Posición inicial

D  rf  r0 D

r0

La posición final rf después de un tiempo “t” es igual a la posición inicial, mas, el desplazamiento.

Posición final

rf  r0  D 

rf

D  Vt

rf  r0  Vt

X

MOVIMIENTOS SIMULTÁNEOS.- Dos móviles tendrán movimientos simultáneos si empiezan y terminan sus movimientos al mismo tiempo. Los tiempos empleados por cada móvil serán iguales. t1  t 2  t

MOVIMIENTOS NO SIMULTÁNEOS.- Dos móviles tendrán movimientos no simultáneos cuando uno de ellos se adelanta en la partida o el otro tarda en partir, los tiempos empleados por cada móvil serán diferentes. t1  tiempo del primer móvil que partió

t 2  tiempo del móvil que partió rezagado

t  tiempo de adelanto del primero o de atraso del segundo t 1  t 2  t


9

1. CRUCE O ENCUENTRO DE DOS MÓVILES El movimiento se da en direcciones opuestas. Cuando están separados una distancia “d”, la posición de los móviles es la siguiente: VB

VA

d

A

B

Transcurrido un tiempo “t”, el auto y el camión se encuentran VA

VB

dB

dA

d

Se sabe que: t A  t B Del gráfico se deduce: d  d A  dB d  VA t  VB t



d  t(VA  VB )

Luego el tiempo de encuentro estará dado por:

t encuentro 

d VA  VB

2. ALCANCE DE DOS MÓVILES El movimiento se da en la misma dirección. Cuando están separados una distancia “d” VA

VB

B

d

A

x

E

Transcurrido un tiempo “t”, el auto alcanza al camión

B

d

Se sabe que: t A  t B Del gráfico se deduce: dB  d  d A

dB  d A  d

A

dB

dA

E

10


VB t  VA t  d



d  t(VB  VA )

t alcance 

Luego el tiempo de alcance estará dado por:

d VB  VA

EL SONIDO COMO (MRU).- El sonido es producido por la vibración de los objetos. Para transmitirse se requiere de un medio elástico que puede ser sólido, liquido o gaseoso. En el vacío el sonido no se propaga (V = 0)  Aire (20°) = 340 m/s  Hidrogeno(0°) = 1286 m/s  Oxigeno (0°) = 317 m/s  Agua de mar = 1500 m/s  Agua dulce = 1435 m/s Ejemplo Ilustrativo 01 Un gato ve a un ratón a 4 m de distancia y corre en su persecución al mismo tiempo que huye el ratón. Si la velocidad del gato es a la velocidad del ratón como 3 es a 2. ¿Qué distancia total debe recorrer el gato para atrapar al ratón? (Suponga rectilínea la trayectoria del movimiento). Solución: Los tiempos que demoran el gato y el Velocidad del ratón: V ratón, en llegar al punto “E” son los 3 Velocidad del ratón: V mismos: 2 t gato  t ratón

E

x

4m

4x x   3 V V 2

3 x  4x 2

3x  8  2x 

x8

Distancia recorrida por el gato: 4  x  4  8  12 m

Rpta. Ejemplo ilustrativo 02 Un tren experimenta un MRU avanza con una rapidez de 54 km/h. Si tarda 20 s en atravezar completamente un túnel de 200 m de longitud, determine la longitud del tren. Solución: Para la parte delantera del tren: V  54 km/h

200  L km 1000 m 54  54   15 m/s 20 h 3600 s 200  L 15  20 100 m Rpta. L V

200 m

L

Nos piden la longitud del tren, podemos notar que en 20 s la parte delantera del tren recorre la distancia (200+L)


11

LEY DE KEPLER PARA EL MRU Toda particula que tiene un movimiento rectilineo uniforme, recorre distancias iguales en tiempos iguales, por consiguiente: “El vector posicion describe areas iguales en tiempos iguales”. (Ley de areas) E

 AB=BC=CD=DE (distancias)

D C

 t AB  t BC  t CD  t DE (tiempos)

B A

 A 1  A 2  A 3  A 4 (áreas)

A4 A3

A2 A1

origen de coordenadas

Ejemplo Ilustrativo: Una partícula se mueve con MRU en un plano x-y con rapidez de 4 m/s. sabiendo que el vector posición describe un área de 16 m2 en cada segundo, determinar la distancia mínima que se acerca al origen de coordenadas. Solución: Hacemos la gráfica en el plano x-y: La partícula recorre 4 m en cada segundo, el vector posición describe un área de 16m2. El área del triángulo es:

A

1 1 b.h ; 16  (4)(d) 2 2

Y

trayectoria

B

d

4m 16m

2

A

X

Resolviendo: d=8 m d=8 m

Rpta.

RESUMEN DE FÓRMULAS: Movimiento General Desplazamiento Velocidad media Rapidez media o promedio Velocidad instantanea

D  rf  r0

Vm 

r r0 D = f t t e V t V

dr dt

Distancia Posición

M.R.U d  vt rf  r0  Vt

Tiempo de encuentro

t encuentro 

Tiempo de alcance

t alcance 

d VA  VB d VB  VA

12


Un móvil realiza un movimiento mecánico de tal modo que su posición en el tiempo está dada por la ecuación r  (4t  2;3 t  6) m . Determine la velocidad en t=2 s y la velocidad media en el intervalo desde t=0 hasta t=5 s.

Resolución: La posición es:

Observe que la trayectoria es rectilínea ya que al ser la velocidad constante; la dirección del movimiento, que es igual a la dirección de la velocidad, debe ser constante. Cálculo de la velocidad media Se sabe que r r0 D …………….(I) = f tf  t0 tf  t0

Vm 

r  (4t  2;3 t  6) m

Además

También se puede expresar como

t0  0 ; tf  5 s

r  (4t  2)i  (3 t  6)j m Para determinar la velocidad instantánea, derivamos la posición respecto al tiempo

dr d  v  (4t  2)i  (3 t  6)j  dt dt  d d v  (4t  2)i  (3 t  6)j dt dt v  4i  3j

r  (4t  2)i  (3 t  6)j En t=0; r0  (2i  6j) m En t=5; rf  (22i  21j) m Reemplazando en (I) Vm =

 22i  21j    2i  6j   20i  15j 5



5



 V m = 4i  3j m/s

v  (4i  3j )m s Si la velocidad no depende del tiempo, esto significa que la velocidad es constante.





V m = 4i  3j m s Rpta.

Gráficamente: Y vy  3m s

v  5m s 37

vx  4 m s

O

X

La resolución del problema (1), concluye que, si la posición de un cuerpo depende del tiempo en forma lineal, entonces su velocidad media e instantánea son iguales y a la vez constantes.


13

Tiempo de recorrido hasta el momento: t

La posición de un auto está definida por 2 x  (1  2t  3t )i m; donde t está en segundos y x en metros. Determine la velocidad en el instante t=1 s.

Resolución: Para determinar la velocidad instantánea, derivamos la posición respecto al tiempo

v



dx d  1  2t  3t 2 dt dt



v  (2  6t)i Evaluando esta expresión para t=1s, se obtiene: dx v  8i m s dt

v

dx  8i m s Rpta. dt

x  9 h Rpta. V

Un tren tarda 70 s atravesar un túnel de 1200 m de longitud, y al pasar delante de una persona demora 20 s. ¿Cuál es la velocidad del tren? Resolución: Cuando pasa el túnel:

x

1200 m

d  x  1200    t  70 

V

x  1200 70

… (1)

Pasa frente a la persona: Un automovilista observa en un momento determinado que 1/5 de lo recorrido equivale a 3/5 de lo que falta por recorrer. ¿Cuántas horas habrá empleado hasta ese momento, si todo el viaje lo hace en 12 horas? Resolución: Sea “V” la velocidad del automovilista

x

dx   t  20 

12V  x

x

12V

Del dato: 1 3 x  (12V  x) 5 5 x 9 x  36V  3x  V

V

x 20

… (2)

Recuerde que la velocidad es constante: Igualando (1) y (2): x  1200 x  70 20

Falta recorrer

recorrido



2x  2400  7x



x  480 m

Cálculo de la velocidad y reemplazando en 2 V

x 480   20 20

24 m/s Rpta.


14

En cierto instante la separación entre dos móviles, que se acercan rectilíneamente con velocidades opuestas de 9 m/s y 6 m/s, es 150 m . Hállese el tiempo adicional para el cruce.

Se muestran dos velas y una pared, al encenderlas, la primera se desgasta con velocidad 1 cm/min y la segunda con 3 cm/min, ¿Con qué velocidad decrece la sombra de la vela más cercana a la pared, proyectada sobre dicha pared?

Resolución: d

V1

V2

1º 1 cm/min

Del gráfico: d  d1  d 2

t

150 96

3 cm/min

d2

d1

d  V1t  V2t

2º





t  10 s

3 cm

2 cm

d t V1  V2

Resolución:

Rpta.

d1

d2

y

Un auto viaja a velocidad constante de 9 m/s hacia una montaña, toca el claxon y el conductor escucha el eco después de 4 segundos. ¿A qué distancia de la montaña se encontraba el auto antes de tocar su claxon?

ds

x

2 cm

3 cm

Desgaste de las velas: d1  (1)t  t d 2  3(t)  3t

Decrecimiento de la sombra: d s  Vs t

Resolución:

Aplicando semejanza base – altura: x 3 … (1)  y 5

x

Pero: d

En un mismo tiempo se da lo siguiente: La distancia recorrida por el auto es “x”, mientras que el sonido recorre “ 2d  x ”.   x  9(4)  x  36 m    2d  x  340(4)

2d  36  1360

 d  698 m Rpta.

x  d s  d 2  (Vs  3)t y  d s  d1  (Vs  1)t

… (2) … (3)

Reemplazando (2) y (3) en (1) (Vs  3)t 3  (Vs  1)t 5 5Vs  15  3Vs  3  2Vs  12

Vs  6 cm/min

Rpta.


Dos móviles cuyas velocidades son 12 m/s y 9 m/s viajan sobre vías perpendiculares, después de cuánto tiempo de haberse cruzado distarán de 900 m. Resolución: El gráfico representa la posición después de que los móviles se cruzan:

La esfera desarrolla un MRU, halle su rapidez, si luego de 5 s su distancia hasta el punto A es mínima. Y A

100 m

v 30

X

900 m

9t

15

Resolución: La distancia mínima es aquella que es perpendicular a la línea que contiene a “A”

12t

Y

Por Pitágoras:  9t  2   12t  2  900 2

D mín

A

B

30

2

81t  144t  900 2

225t  900



t

2s

Rpta.

100 m

v 30

Un móvil experimenta un MRU, si en t segundos recorre “a” metros y en (t + 1) segundos recorre (a +3) metros. Determine su recorrido en 4 s. Resolución: Graficando según el enunciado v A

t

a

1s

v B

3m

En el tramo BC: d  vt 3  (v)(1)  v  3 m s

Piden la distancia recorrida para (t=4 s) D  (3)(4) D=12 m

Rpta.

O

X

Del gráfico: DOB  200 m Sabemos que: d  vt ; t  5 s  200  v(5)

v=40 m s Rpta. v C

Una nave espacial ubicada en el planeta Marte manda señales de radio a la Tierra. ¿Cuánto tiempo más emplearía la señal en llegar hasta la Tierra cuando Marte está más lejos de la Tierra que cuando está más cerca? La distancia promedio de Marte y la Tierra al Sol son d M y d T respectivamente. (c: rapidez de la luz)


16

Resolución: Las ondas de radio se mueven a la velocidad de la luz (c). d máx

d mín Marte

Sol

Tierra

dM

Del gráfico:

dT

Un hombre de altura “h” camina con rapidez constante V y es iluminado por un foco que se encuentra a una altura “H” como se muestra en la figura. Para que el punto más adelantado de su sombra en el piso avance con rapidez 3V, la relación H h debe ser igual a:

d mín  d M  d T d máx  d M  d T

d mín  ct 1  d M  d T  ct 1

……….(1)

d máx  ct 2  d M  d T  ct 2

……….(2)

Piden: t 2  t 1 Restando (2)  (1) se tiene:

H

h

V

c  t 2  t 1   2d T t 2  t1 

2d T Rpta. d

Un móvil que desarrolla un MRU con una velocidad v  (1, 1, 2) m / s , pasa por el punto P = (2, 1, 2) m. ¿A qué distancia del punto P y en que posición se encuentra luego de 2 segundos de haber pasado por dicho punto? Resolución: Se sabe que: rf  r0 +vt …………….. (1) Además: r0  P  (2,1,2)m y v  (1,1,2)m s Remplazando en (1) para (t=2 s)

rf  Q  (2,1,2) +(1,1,2)(2)  (4,3,6)m Cálculo de la distancia entre P y Q

DPQ 

(4  2)2  (3  1)2  (6  2)2

D PQ  2 6 m Rpta.

3V

Resolución:

H

h

V

3V

dp

ds

Del gráfico: d p  Vt y d s  3Vt Semejanza de triángulos. H h  ds ds  dp

H h H h    3Vt 3Vt  Vt 3 2 H 3  Rpta. h 2


01 Si la posición “x” de una partícula es descrita por la relación x  5t 2  20t , donde x esta en m, t en s; entonces su velocidad media entre los instantes t  3 s y t  4s ; en m/s es: a) 32 m/s d) 55 m/s

b) 16 m/s e) 16 m/s

c) 95 m/s

02 Un móvil se encuentra en la posición r1  (2i  5j)m en el instante t 1  2s .y

en la posición r2   6i  3j  m en el instante

t 2  4s

.

Siendo

su

movimiento rectilíneo uniforme. Hallar el modulo del desplazamiento desde t  4 s a t  8 s (en m) a) 5 3

b) 6 2

d) 10 2

e) 8 5

c) 4 10

03 Una partícula se encuentra inicialmente

t  0 en la posición r0   3i  4j  m Si tiene una velocidad constante V  5j m/s , determinar la posición (en m) en el instante t  2 s . a) 3i  j d) 5j

b) 3i  6j e) 3i  10j

c) 3i

04 Un móvil con MRU. Se mueve a 72 km/h. Determine avanzara en 1 min. a) 300 m d) 1000 m

que

b) 600 m e) 1200 m

distancia c) 900 m

17

05 Un tren de 80 m de longitud viaja a 72 km/h ¿Qué tiempo empleara en pasar completamente un túnel de 120 m de largo? a) 2 s d) 10 s

b) 8 s e) 6 s

c) 4 s

06 Dos móviles separados por 300 m se dirigen al encuentro con velocidades constantes de 72 y 36 km/h. Hallar el tiempo de encuentro. a) 5 s d) 10 s

b) 20 s e) 15 s

c) 25 s

07 Un automóvil recorre la distancia AB a 20 m/s y luego la distancia BC a 30 m/s. Si AB=BC, hallar la velocidad media de todo el recorrido, si se efectúa en una sola dirección. a) 21 m/s d) 22 m/s

b) 24 m/s e) 23 m/s

c) 25 m/s

08 Un estudiante desea determinar la distancia que hay entre su casa y la academia. Si observa que caminando a razón de 80 cm/s tarda 25 min más que caminando a 95 cm/s ¿Cuál es la distancia entre su casa y la academia? a) 1,5 km d) 7,6 km

b) 3,6 km e) 9,6 km

c) 5,6 km

09 La ecuación del movimiento de una partícula en el sistema internacional de unidades es x  2t  10 determinar su


18

posición 2 s después de pasar por el origen de coordenadas. a) +1m d) +4m

b) +2 m e) +5 m

13 Dos móviles A y B, separados por 50 m, se mueven en la misma dirección con rapidez constante de 40 m/s y 15 m/s, respectivamente, señale al cabo de cuánto tiempo mínimo, A estará 150 m delante de B

c) +3m

10 Desde el instante mostrado. ¿Qué distancia separa a la persona del móvil “N” cuando los móviles M y N están en el momento del cruce?

6 m/s

a) 8 m d) 24 m

N

6m

b) 9 m e) 15 m

c) 18 m

11 Un tren cruza un poste en 10 s, y un túnel en 15 s. ¿En cuánto tiempo el tren cruzaría un túnel si el tamaño de este fuese el triple? a) 15 s d) 30 s

b) 20 s e) 35 s

c) 25 s

12 En el instante mostrado, desde el automóvil se toca el claxon y persona escucha el eco, cuando automóvil se encuentra en la mitad su camino. ¿Qué velocidad tiene automóvil?

la el de el

v

x

8x

a) 17m/s d) 47m/s

b) 27m/s e) 57m/s

c) 10 s

de un halcón y al observarlo huye rectilíneamente hacia un agujero, que se encuentra a 15 m delante de él, con una rapidez constante de 3 m/s . Determine la rapidez media del halcón, si este caza al roedor justo cuando ingresa al agujero.

8 m/s

36m

b) 8 s e) 12 s

14 Un roedor se encuentra a 20 m debajo

3 m/s

M

a) 6 s d) 2 s

c) 37m/s

a) 3 m/s d) 6 m/s

15

b) 4 m/s e) 8 m/s

c) 5 m/s

Un tren, que se desplaza con la velocidad constante, cruza un túnel de 120 m en 8 s. Si una persona sentada al lado de una de las ventanas del tren nota que permanece 4 s dentro del túnel, determine la longitud del tren a) 120 m d) 110 m

b) 180 m e) 240 m

c) 200 m

16 Una persona al encontrarse a orillas del mar se percata de que mar adentro se produjo una explosión y reconoce que la diferencia de los tiempos de llegada de los sonidos por el aire y por el agua es de 11 s. ¿A qué distancia de la persona se produjo la explosión. Si La rapidez del sonido en el aire y el agua es de 340 m/s y 1440 m/s respectivamente?

Darwin Nestor Arapa Quispe a) 3935 m c) 4920 m e) 4896 m

17

b) 3824 m d) 5100 m

a) 60 m 2 ; 2 m/s 2

c) 64 m ; 4 m/s

b) 56 m 2 ; 4 m/s d) 64 m 2 ; 2 m/s

e) 60 m 2 ; 1 m/s

Un tren de 60 m de longitud se desplaza en línea recta con una rapidez constante de 40 m/s y demora en cruzar un puente “t” segundos .Si hubiese duplicado su rapidez, habría empleado 2 s menos en cruzarlo. Determine la longitud del puente (en km). a) 0,2 d) 0,1

b) 0,15 e) 0,08

c) 0,12

20

A partir del instante mostrado el hombre emplea 5s en alcanzar al autobús y 11s en pasarlo completamente (también a partir del instante mostrado). Halle la longitud del autobús, si ambos experimentan un M.R.U.

4m s

18 Un automóvil se va alejando en línea recta y perpendicular al muro con rapidez de 20 m/s . Si acierta distancia de este el conductor toca la bocina, y escucha el eco después de 4 s. ¿A qué distancia del muro se encontrara el conductor cuando escucha el eco? a) 640 m d) 600 m

19

19

b) 320 m e) 520 m

100 m

a) 12 m d) 10 m

de las siguientes proposiciones. I. Si la trayectoria es rectilínea, necesariamente la velocidad es constante. II. Si la velocidad es constante; entonces necesariamente la trayectoria es rectilínea III. Cuando la rapidez de un móvil es constante necesariamente experimenta un M.R.U.

Un insecto realiza un M.R.U. y se desplaza a lo largo de la recta “L”. Si el área A 1 es de 40 m 2 y fue barrido en 5 s; indique cuanto es el área A 2 dado que se barrió en 8 s y además con qué rapidez vuela el insecto.

A) VVV D) FFF

Z

22 A2 A1

X

8m

Y

c) 9 m

21 Indicar la veracidad (V) o falsedad (F)

c) 720 m

L

b) 6 m e) 18 m

A

partir

B) VFV E) FVV del

instante

C) FVF

mostrado,

determine cuántos segundos transcurren hasta que el auto A pase completamente al auto B. Considere que los autos se mueven en vías paralelas realizando un M.R.U.

20

Darwin Nestor Arapa Quispe 12 m s

3m

a) 1 s d) 4 s

4m s

10 m

3m

b) 2 s e) 5 s

c) 3 s

26

carrera de 800 m. Si “A” da a “B” 200 m de ventaja, llegan al mismo tiempo a la meta, en cambio si le da 80 m de ventaja le gana por 20 s. ¿Cuál es la rapidez de “A”? a) 12m/s d) 6m/s

23 Sobre las aguas de un río de orillas paralelas se desplaza una lancha con una rapidez constante. Si en ir de un punto a otro del río tarda 100 s (cuando viaja en la dirección de la corriente) y cuando regresa al punto de partida tarda 200 s. Determine la rapidez de la lancha en aguas tranquilas y la distancia entre los dos puntos, si las aguas del río tienen una rapidez de 5 m/s. a) 10 m/s ; 2 000 m b) 15 m/s ; 2 000 m c) 20 m/s ; 2 000 m d) 11 m/s ; 1 600 m e) 15 m/s ; 1 500 m

c) 3 min

25 Al ir de mi casa a la academia me doy cuenta que si voy a 40 km/h demoro 20 min más que si fuera 60 km/h. ¿Cuál es la distancia entre mi casa y la academia? a) 42 km d) 52 km

b) 40 km e) 48 km

c) 14m/s

Un automovilista debe llegar a una ciudad distante horas; pero con las 18.00 horas rapidez en 24 partió? a) 12.00h d) 15.00h

480 km. a las 19.00 la finalidad de llegar a tuvo que aumentar su km/h. ¿A qué hora

b) 13.00h e) 16.00h

c) 14.00h

delante de un observador y 38 seg. en recorrer una estación de 120m de longitud. Hale la longitud del camión.

un mismo punto y se desplazan en el mismo sentido con rapidez de 37 y 63m/s. si delante de ellos a 500 m, hay un poste. ¿Después de que tiempo los móviles equidistan del poste? b) 2 min e) 240 s

27

b) 10m/s e) 8m/s

28 Un camión emplea 8 seg. en pasar

24 En un instante dos móviles pasan por

a) 20 s d) 10 s

Dos móviles A y B disputan una

c) 47 km

a) 45 m d) 30 m

b) 28 m e) 32 m

c) 60 m

29 Una persona va del punto A al B en automóvil a una velocidad de 36 km/h, luego regresa al punto A caminando a una velocidad de 4 km/s. se sabe que todo el recorrido duro 10 horas. ¿Cuánto tiempo estuvo caminando? a) 6 horas b) 5 horas c) 8 horas d) 7 horas e) 9 horas


21

01 Dos móviles describen trayectorias

04 La posición de un móvil en función del

rectilíneas y perpendiculares con velocidades constantes de 36 km/h y 72 km/h. si estos se cruzan, determine la separación de ambos luego de 10 s.

tiempo está dada por la ecuación

a) 300 m

b) 200 m

c) 108 m

d) 100 5 m

e) 100 3 m

02 Una persona se dirige hacia un muro con rapidez constante de 5 m/s, si lanza un grito cuando pasa por el punto “A”. Calcular la distancia del punto “A” al muro si escucha el eco luego de 4s. (Vsonido  340 m s)

2 X  (t  2t )i m, donde X está en

metros y “t” en segundos. Determine la velocidad media en el intervalo de tiempo [1 s ; 3 s] a) 7 i m s

b) 7 i m s

d) 4 i m s

e) 3,5 i m s

05 Una partícula

se

c) i m s

desplaza desde la

posición r0  (7 i  2 j) m , con una velocidad constante V  (5 i  2 j)m s Calcule su posición luego de 10 s.

a) 320 m b) 600 m c) 480 m d) 680 m e) 690 m

5m s

A d



posición A 4 i  2 j  k m hasta la



b) (43i  22 j) m

c) (57 i  18 j)m

d) (57 i  18 j) m

e) (57 i  16 j) m

03 Si un móvil empleó 5 s en ir desde la



a) (42 i  22 j) m



posición B 19 i  18 j  26 k m . Halle la velocidad media y su módulo. a) (4 i  3 j  5 k)m s ; 11m s b) (5 i  3 j  4 k)m s ; 5 2 m s c) (3i  4 j  5 k)m s ; 5 2 m s d) (3i  5 j  4 k) m s ; 10 2 m s e) (6 i  8 j  10 k)m s ; 5 2 m s

06 La ecuación de la posición de dos partículas “A” y “B” que se mueven a lo largo del eje X están dadas por: x A  3t  10 y x B  2t  5 , donde x está en metros y t en segundos. Determine los instantes de tiempo en que las partículas están separadas 5 m. a) 1 s ; 2 s b) 2 s ; 3 s c) 3 s ; 5 s d) 4 s ; 6 s e) 2 s ; 4 s

22 07

Darwin Nestor Arapa Quispe Una

persona

ubicada

entre

sentido, y que la velocidad de “B” es de 20 m/s. ¿Calcular después de qué tiempo “A” estará 50 m delante de “B”?

dos

montañas emite un grito y recibe el primer eco a los 3 seg. y el siguiente a los 3,6 seg. ¿Cuál es la separación entre las montañas? Considere la velocidad del sonido V=340 m/s. a) 262 m d) 680 m

b) 972 m e) 690 m

c) 648 m

a) 12 s d) 10 s

tarántula se mueven con velocidad constante a partir del instante mostrado. Indique luego de cuantos segundos la tarántula empezara a ser cubierta por la sombra del niño, cuta altura es de 1,5 m.

encuentran dos colegios distanciados 154 m, un automovilista que viaja con rapidez constante entre los colegios escucha el sonido de uno de ellos cuando se encuentra a 34 m de este, y luego de 0,25 s escucha el sonido de la otra campana, si ambas campanas emitieron el sonido en el mismo instante. Determine la rapidez del automóvil. (Vsonido  340 m s) b) 7 m/s e) 16 m/s

c) 8 m/s

a) 0,25 s b) 0,5 s c) 1 s 2,5 m d) 0,75 s e) 1,5 s

emite un sonido hacia la derecha, el eco de dicho sonido llega a la montaña de la izquierda en 4 s luego de ser emitido. Determine la distancia entre las montañas. (Vsonido  340 m s) a) 1360 m b) 1340 m c) 690 m d) 670 m e) 650 m

B

53

16

A

10 Un móvil “A” que se desplaza con una velocidad de 30 m/s, se encuentra detrás de un móvil “B” a una distancia de 50 m, sabiendo que los móviles se mueven en la misma dirección y

0, 2 m s

12 El altavoz situado entre dos montañas

ruido del motor emitido en B alcanza al observador en a en el instante en que el avión llega a la posición C. sabiendo que la velocidad del sonido es 340 m/s. determinar la velocidad constante del avión. C

2m s

5,2 m

09 Un avión se dirige de B hacia C, el

a) 119 m/s b) 100 m/s c) 120 m/s d) 121 m/s e) 123 m/s

c) 9 s

11 En el gráfico mostrado el niño y la

08 Al borde de una pista rectilínea se

a) 4 m/s d) 6 m/s

b) 6 s e) 18 s

13

20 m

El grafico muestra el lanzamiento simultáneo de dos esferas A y B sobre un piso. Determine cuanto recorre A hasta el instante en que se cruza con B. considere que la esfera B rebota instantáneamente con la misma rapidez y ambas experimentan un MRU.

Darwin Nestor Arapa Quispe a) 40 m b) 15 m c) 30 m d) 20 m e) 35 m

A

B

17 Un automóvil va de lima a la oroya

V

(200 km de separación) en cuatro horas y el regreso lo hace en dos horas. Hallar la velocidad media del recorrido total.

2V 30 m

14 Dos móviles, A y B, realizan un MRU con 7 m/s y 5 m/s, respectivamente. A partir del instante mostrado, determine el intervalo de tiempo que debe transcurrir para que dichos móviles equidisten del origen de coordenadas. a) 3 s b) 5 s c) 6 s d) 8 s e) 2 s

O

x

B

37

23

50 m

a) 0 d) 2

b) 4 e) 8

18 Un automóvil se dirige de una ciudad “A” a una ciudad “B”. Si la mitad de su camino recorre con una rapidez de 30 km/h y la otra mitad a 70 km/h, en línea recta. Determine la rapidez media entre “A” y ”B” en (km/h) a) 42 d) 40

A

y

c) 5

b) 50 e) 48

c) 60

15 Si el mosquito avanza a velocidad

19 Determinar la velocidad media (en m/s)

constante. ¿Con que rapidez avanza su sombra proyectada en el piso?

de la partícula entre los puntos “A” y “B”, sabiendo que demora en recorrer la trayectoria curva en un intervalo de 5 s. la trayectoria se define del siguiente modo: y=x2+1

a) 3 s b) 5 s c) 6 s d) 8 s e) 2 s

3L

3m s

L

16 Una vela se consume uniformemente a la velocidad de 0,8cm/s, ¿Con que velocidad se desplazará el extremo de la sombra que se proyecta a la pared vertical debido al obstáculo “B”? a) 1cm/s b) 1,6cm/s

P A R E D

B

c) 1,5cm/s d) 1,2cm/s e) 0,5cm/s

2d

3d

B

a) 2i  5j b) i  5j c) 3i  j d) 4i  2j e) NA

A 5

20 Una mosca se traslada de la posición “A” a la posición “B” en 0,02 s, siguiendo la trayectoria mostrada. Determinar la velocidad media. A (2;2) y B (5;6) y (m) B A x (m)

24

Darwin Nestor Arapa Quispe a) 150i+200j (m/s) b) 15i+20j (m/s) c) 150i-200j (m/s) d) 200i+159j (m/s) e) 0

a) 1 s d) 16 s

un automóvil que experimenta un MRU, notamos que en los cuatro primeros segundos recorre 9 m más que en el cuarto segundo. Determine la rapidez del automóvil. b) 4 m/s e) 8 m/s

c) 15 s

25 Un tablón de 3,4 m de longitud es

21 Cuando se analiza el movimiento de

a) 3 m/s d) 2 m/s

b) 10 s e) 13 s

empujado hacia una sierra eléctrica de 0,20 m de radio. Si el tablón pasa por la sierra con una rapidez aproximada de 5 cm/s, determine el tiempo que emplea el tablón en pasar completamente por la sierra.

c) 5 m/s a) 90 s d) 60 s

b) 76 s e) 50 s

c) 86 s

22 Las esferillas mostradas desarrollan un MRU. Halle la menor distancia que logran acercarse.

8m

20m/s 60°

20m/s

23

a) 7 m

b) 4 3 m

d) 8 3 m

e) 3,5 3 m

c) 3 3 m

Si un móvil se mueve con una velocidad constante de 5 m/s y en el instante t=3 s se halla en la posición x=25 m. halle su posición inicial (t=0) a) 10 m d) 2 m

b) 4 m e) 8 m

c) 15 m

24 Dos móviles separados inicialmente 500m, parten al encuentro con velocidades de 20m/s y 30m/s, respectivamente. ¿Después de que tiempo estarán separados 25 m por segunda vez?

26 Dos ciudades A y B están unidas por un rio navegable y distan entre si 480 km. cuando un bote va de A hacia B a favor de la corriente emplea 24 horas en llegar; para el retorno lo hace en 40 horas. Cierto día cuando iba de A a B se malogro el motor del bote, dejándose llevar por la corriente y llegando así con 8 horas de retraso. Halle a que distancia de “A” se apagó el motor. a) 450 km d) 440 km

b) 430 km e) 550 km

c) 410 km

27 La posición de una partícula, en un cierto sistema de referencia, está dada por

2

2

r  (t  1)a  (9  t )b

metros,

donde: a  (2,1,0) y b  (0,  1,2) . Hallar la velocidad media entre los instantes t=0 y t=2 s. a) (4, 4,  4) m/s

b) (4, 4, 4) m/s

c) (4,0, 4) m/s

d) (1,0,1) m/s

e) NA


Determinar después de que tiempo se dio el primer entendimiento entre el barco y el avión.

01 Un móvil parte del punto (2; 1) de un sistema de coordenadas y se dirige en línea recta hasta llegar al punto (8; 4) y

finalmente

al

punto

(10; 16) .

a) 3 h d) 1 h

Expresar el vector desplazamiento. a) (10 i  16 j) m

b) (10 i  15 j)m

c) (8 i  16 j) m

d) (8 i  15 j) m

04

02 Una bola es lanzada desde el punto A de la mesa, chocando en B y luego en C, tal como se observa en la figura. Determine el módulo de la velocidad media de la bola, si tardo 5 segundos en ir de A hasta C.

0,9m

0,1m

45

C

A

a) 34 m/s d) 0,34 m/s

b) 17 m/s e) 1,7 m/s

Dos

móviles

a) 10 s d) 40 s

0,1m

B

b) 5 h e) 4 h

c) 3,4 m/s

03 Un barco está provisto de una radio cuyo alcance máximo es de 100 km; marcha en dirección de sur a norte a la velocidad de 60 km/h, un avión que vuela a 60 km; de altura viene hacia el de norte a sur a la velocidad de 120km/h. a partir del momento en que horizontalmente están separadas 260km.

c) 2 h

A

y

B

parten

simultáneamente con velocidades constantes de 10 y 20 m/s respectivamente desde un mismo punto en el mismo sentido. A 1800 m, en el mismo instante otro móvil “C” sale al encuentro de A y B en sentido opuesto con una velocidad constante de 30 m/s. ¿al cabo de que tiempo el móvil “B” equidistara de los móviles A y C?

e) (15 i  8 j) m

1, 4m

25

05

Dos

b) 20 s e) 50 s móviles

“A”

y

c) 30 s

“B”

parten

simultáneamente desde un mismo punto con velocidades constantes de 5 y 8 m/s respectivamente en el mismo sentido tales que sus direcciones forman 60° entre sí. ¿Qué distancia los separa luego de 10 s? a) 40 m d) 65 m

b) 50 m e) 80 m

c) 70 m

06 Dos móviles A y B se desplazan con velocidades constantes cuya relación es de 1 a 3. Si partir de la posición mostrada, la menor separación entre ellos es 12 m y esto ocurre al cabo de 2

26

Darwin Nestor Arapa Quispe segundos. Determine la rapidez de ambos móviles.

a) 30m/s d) 200m/s

b) 40m/s e) 100m/s

c) 50m/s

B

09 Si la plataforma mostrada comienza a moverse con velocidad constante de 10m/s, estando la persona quieta, ¿Con qué velocidad se desplaza la sombra que la persona proyecta sobre el piso? (H=3h)

20 m

A

a) 2 m/s; 6 m/s c) 3 m/s; 12 m/s e) NA

b) 1 m/s; 3 m/s d) 2 m/s; 3 m/s

07 Al recipiente ingresa agua

10 m s H

a razón

h

constante de 600 cm 3 s . ¿Con que mínima rapidez constante debe subir la hormiga por la superficie inclinada, a partir del instante mostrado, para no ser alcanzada por agua?

a) 4 m/s d) 10 m/s

b) 6 m/s e) 7 m/s

c) 5 m/s

10 Calcular después de que tiempo los móviles estarán separados 70 m, si parten iguales de A con velocidades constantes.

40 cm

30 cm 40 cm

a) 2,5cm/s d) 3,4 cm/s

b) 1,7cm/s e) 0,7 cm/s

a) 10 s b) 40 s c) 50 s d) 70 s e) 110 s

3m s

8m s

60

c) 3,4m/s

11 Determinar la velocidad media (en m/s)

08 Dos móviles siguen trayectorias que se

de la partícula entre A y B, sabiendo que demora en recorrer el arco AB en un intervalo de 2 segundos.

cortan formando un ángulo de 106°. Si desde la intersección de las trayectorias se desplazan con velocidades constantes de 40 m/s y 80 m/s, hallar la velocidad de un tercer móvil que parte del mismo punto y se desplaza por la bisectriz de este ángulo, para que en cualquier instante equidiste de los otros dos.

a) 2 i  j

y(m) A

b) i  j

B

c) 2 i  j d) i  j e) NA

53

O

5

x(m) 10

Darwin Nestor Arapa Quispe 12 De las siguientes afirmaciones ¿Cuáles

14 El grafico muestra la posición de una

son verdaderas?

partícula. ¿Cuál es el módulo de la velocidad media entre t 0  R y

I. El desplazamiento es una magnitud escalar

t f  2R  r ? x

II. Si V  8 i(m s) , entonces el móvil se mueve en la dirección del eje “y” positivo. III. Si

R

V  6 i  8 j(m s) , entonces el

módulo de V es igual a 10. a) Solo I d) I y II

b) Solo II e) II y III

t

R Rr R d) Rr

segundo, respecto del origen de coordenadas. Determinar la ecuación de la trayectoria que describe la partícula.

3  x  10  4 4 e) y   x  10  3

d) y  3  x  10 

Rr Rr

a) 8 m b) 18 m c) 24 m

2m

4m s

d) 32 m e) 20 m

13 Una abeja recorre en 1,5 segundos la

c)

constantes en el mismo plano vertical y están iluminados por un foco. La figura muestra la posición de los insectos para t=0. Determine la separación entre las sombras de los insectos sobre el piso (en m), al cabo de 2 s.

describe un área de 12 m , en cada

b) y  4x  10

b)

15 Dos insectos vuelan con velocidades

2

a) y  3x  10

r Rr r e) Rr

a)

c) Solo III

12 Una partícula e mueve con MRU, en el

c) y 

r

O

plano x-y. La rapidez del móvil es 4 m/s, iniciando su movimiento en el punto (10;0). El vector posición

27

16

1m

3m s 1m

Un móvil se desplaza en la misma

sexta parte de una circunferencia de radio igual a 3m. Calcular en módulo de la velocidad media y la rapidez lineal de la abeja.

dirección durante 3 segundos. El primer segundo se mueve con rapidez constante V1 y los otros 2 con rapidez

2 m s a) 2 m s ; 3 2 m s c) 5 m s ; 3 2 e) m s ; 2 m s 3

velocidad media del móvil durante los 3 segundos de su movimiento?

3 m s b) 3 m s ; 2 d) 8 m s ;2 m s

constante V2

a)

1  V1  V2  2

 V1  V2  .

b)

¿Cuál es la

1  V1  V2  2


28

1  2V1  V2  3 1 e)  3V1  2V2  3

c)

16

Un

niño

d)

describe

1  V1  2V2  3

la

trayectoria

mostrada en 40 s. hallar su rapidez media, si parte de A. (R=10 m) R

R

A

2 m s 3 d)  m s

a)

17

B

3 m s 2 e) 2 m s

b)

c)

 m s 2

MRU

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