MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE Y AMORTIGUADO. AMORTIGUADO . OBJETIVOS:
Determinar al constante de la fuerza o elasticidad de un resorte, haciendo uso de los conocimientos teóricos y del equipo adecuado para esta misión. Comprobar experimentalmente las ecuaciones que rigen el Movimiento Armónico Simple y el Movimiento Armónico Amortiguado. Verificar la relación entre el periodo, la masa y la constante de rigidez de un sistema masa-resorte.
EQUIPO Y MATERIALES: .
Computadora con el programa Logger Pro instalado.
Una interface Lab Pro de Vernier.
Un detector de movimiento.
Sensor de fuerza.
Resorte.
Conjunto de pesas.
Soporte universal con nueces.
Regla milimetrada metálica.
Recipiente de plástico.
CD.
Agua 1 Lt.
FUNDAMENTO TEÓRICO: Movimiento Armónico Simple: Es un movimiento periódico que queda descrito en función del tiempo por una función armónica (seno o coseno) bajo la acción de una fuerza recuperadora elástica, proporcional al desplazamiento y en ausencia de todo rozamiento. En un movimiento armónico simple la magnitud de la fuerza ejercida sobre la partícula es directamente proporcional a su elongación
Aplicando la segunda ley de Newton, el movimiento armónico simple se define entonces en una dimensión mediante la ecuación diferencial:
La solución de la ecuación diferencial puede escribirse en la forma
Donde: : es la elongación de la partícula. : es la amplitud del movimiento (elongación máxima). : es la frecuencia angular : es el tiempo. : es la fase inicial e indica el estado de oscilación o vibración (o fase) en el instante t = 0 de la partícula que oscila. Además, la frecuencia () de oscilación puede escribirse como:
Y por lo tanto el periodo (T) como:
La velocidad se obtiene derivando la ecuación de la posición obtenida en el apartado anterior respecto al tiempo:
También la velocidad se expresa así:
= √ −
La aceleración es la variación de la velocidad respecto al tiempo y se obtiene por lo tanto derivando la ecuación de la velocidad respecto al tiempo:
Las fuerzas involucradas en un movimiento armónico simple son fuerzas conservativas y centrales. Por tanto, se puede definir un campo escalar llamado energía potencial (E p) asociado a la fuerza, de tal manera que su suma con la energía cinética (E c) permanezca invariable a lo largo del desplazamiento:
Esta última magnitud E m recibe el nombre de energía mecánica. Para hallar la expresión de la energía potencial, basta con integrar la expresión de la fuerza (esto es extensible a todas las fuerzas conservativas) y cambiarla de signo, obteniéndose:
La energía potencial, como la fuerza, alcanza su máximo en los extremos de la trayectoria (cuando hace parar a la partícula y reiniciar la marcha en sentido contrario) y, también como la fuerza, tiene valor nulo (cero) en el punto x = 0, es decir el punto central del movimiento. Finalmente, al ser la energía mecánica constante, puede calcularse fácilmente considerando los casos en los que la velocidad de la partícula es nula y por lo tanto la energía potencial es máxima, es decir, en los puntos x = − A y x = A. Se obtiene entonces que,
La ecuación mostrada nos muestra lo constante de su energía, además se tiene la siguiente grafica:
Movimiento Armónico Amortiguado: Los movimientos oscilatorios hasta aquí eran considerados ideales que oscilan indefinidamente, pero en los sistemas reales están presentes fuerzas disipativas, como la fricción, las cuales retardan el movimiento del sistema. Por lo tanto la energía del sistema se va perdiendo conforme transcurre el tiempo, y se dice que el movimiento es amortiguado en esta oportunidad se tratará de estudiar únicamente el caso más simple, es decir, cuando la fuerza sea proporcional a la velocidad. En este caso la fuerza será:
Donde es un coeficiente que mide el amortiguamiento debido a la viscosidad. Si es pequeño, el sistema está poco amortiguado. Nótese el signo negativo que indica, como a ntes, que si la velocidad es positiva, la fuerza tiene la dirección opuesta a la velocidad. Con este término complementario la ecuación diferencial del sistema es:
Se trata de una ecuación diferencial ordinaria, lineal, de segundo orden (contiene derivadas segundas) y homogénea (no hay término independiente de ). Tiene tres tipos de soluciones según el valor de
:
Si
el sistema está sobreamortiguado (amortiguamiento fuerte o supercrítico)
Si
el sistema tiene amortiguamiento crítico.
Si
el sistema oscila con amplitud decreciente (submortiguado)
SOBREAMORTIGUADO: En este caso el sistema no es realmente un oscilador, ya que no oscila. La solución es de la forma:
donde los coeficientes de las exponenciales son menores que cero y reales (por lo que no hay oscilación):
y
dependen de las condiciones iniciales (es decir, de la situación del sistema para
). La posición no es oscilante
y tiende hacia la posición de equilibrio de manera asintótica. Las dos exponenciales decrecientes de las soluciones tienen constantes de tiempo diferentes. Una es pequeña inicial. La segunda
y corresponde a la rápida cancelación del efecto de la velocidad
es más grande y describe la lenta tendencia hacia la posición de equilibrio.
CRÍTICAMENTE AMORTIGUADO: Este caso es el límite entre un sistema oscilante y uno no oscilante. Ocurre cuando La solución única es: Como antes,
y
son constantes que dependen de las condiciones iniciales.
El amortiguamiento crítico corresponde a la tendencia más rápida hacia la situación de equilibrio cuando no sobrepasa esa posición. Si se disminuye un poco el amortiguamiento el sistema se acerca más rápidamente a la posición de equilibrio, pero sobrepasando la posición oscila en torno a ese punto (tomando valores positivos y negativos).
SUBAMORTIGUADO: En este caso, que es más interesante, tenemos un oscilador que oscila alrededor de la posición de equilibrio con amplitud decreciente. Sucede cuando: como antes,
La solución es: y
son constantes que dependen de las condiciones iniciales. La
pulsación es:
La pulsación del sistema amortiguado es un poco menor que la pulsación del sistema no amortiguado la fuerza que lo amortigua, frena la masa y la retarda.
porque
La oscilación del sistema está descrita por una sinusoide de frecuencia
, agregando un coeficiente
= ⁄2 llamado coeficiente de amortiguamiento dado en unidades ⁄. PROCEDIMIENTO EXPERIMENTAL: Primera Parte: Constante de rigidez del resorte, método estático. 1.- Suspenda del resorte distintas masas. Para ello co mbine las masas que se le han proporcionado. 2.- Mida la elongación sufrida por el resorte en cada caso. 3.- Registre sus datos en una tabla para luego calcular la constante por medio de mínimos cuadrados. Constante de rigidez del resorte, método dinámico. 1.- Suspenda el resorte del sensor de fuerza . 2.- Del resorte suspenda una masa de un kilogramo. 3. Coloque el detector de movimiento debajo de la masa. 4.-Conecte los sensores a la interfase. 5.- Conecte la interfase al computador. 6.- Ejecutar el programa LoggerPro. 7.- Configure el programa para que muestre la gráfica de Fuerza vs posición. 8.- Haga oscilar la masa simultáneamente inicie la toma de datos. 9.- Grabe sus resultados y exporte sus datos como texto.
Segunda Parte: Determinación de las ecuaciones del movimiento armónico simple: 1.- Configure el software para que la frecuencia de toma de datos sea de 10 muestras por segundo y el tiempo de muestreo de 15 segundos. 2.- Seleccione una masa de 1 kilo y suspéndala del resorte. 3.- Haga oscilar verticalmente la masa y empiece la toma de datos. 4.- Repita el procedimiento para tres masas diferentes.
Tercera Parte: Movimiento Armónico Amortiguado. 1.- Arme el módulo de la pesa con la placa reflectora, para ello retire la amella de la pesa de 1kg y coloque el perno y ajuste la Placa con dos tuercas, de modo que quede completamente horizontal.
2.- Seleccione una masa de 1kilo y suspéndala del resorte de modo que el sistema efectúe solo oscilaciones verticales dentro del agua. 3.- Haga oscilar verticalmente la masa y empiece a registrar sus datos de posición.
CÁLCULOS Y RESULTADOS:
CUARTA PARTE 10. Modifique los datos de la posición del móvil, teniendo en cuenta que el nivel de referencia está en la posición de equilibrio. Modificaremos los datos de la posición sabiendo que la posición de equilibrio se da para
= 0.48717711
11. Elabore la gráfica de energía cinética a través del tiempo.
Ek vs t 0.035 0.03 0.025 0.02 0.015 0.01 0.005 0 -1 -0.005
1
3
5
7
9
11
9
11
13
15
12. Elabore la gráfica de energía potencial a través del tiempo.
Ep vs t 0.045 0.035 0.025 0.015 0.005 -0.005 -1
1
3
5
7
13. Elabore la gráfica de energía cinética a través de la posición.
Ek vs x
0.04 0.03 0.02 0.01 0 -0.06
-0.04
-0.02
0
0.02
0.04
0.06
13
15
14. Elabore la gráfica de energía potencial a través de la posición.
Ep vs x 0.05 0.04 0.03 0.02 0.01 0 -0.06
-0.04
-0.02
0
0.02
0.04
0.06
15. Elabore la gráfica de energía cinética versus energía potencial y deduzca las magnitudes asociadas al movimiento armónico simple.
Ek vs Ep 0.035 0.03 0.025 0.02 0.015 0.01 0.005 0 0
0.005
0.01
0.015
0.02
0.025
0.03
0.035
0.04
0.045
ENERGÍA EN EL MOVIMIENTO ARMÓNICO AMORTIGUADO 16. Modifique los datos de la posición del móvil, teniendo en cuenta que el nivel de referencia está en la posición de equilibrio. Modificaremos los datos de la posición sabiendo que la posición de equilibrio se da para 17. Graficar energía cinética versus tiempo.
= 0.46904064
Ek 0.0035 0.003 0.0025 0.002 0.0015 0.001 0.0005 0 0
2
4
6
8
10
12
18. Graficar energía potencial versus tiempo.
Ep 0.04 0.03 0.02 0.01 0 0
2
4
6
8
10
12
-0.01
19. Elabore la gráfica de energía cinética versus energía potencial y deduzca las magnitudes asociadas al movimiento armónico amortiguado.
Ek 0.004 0.003 0.002 0.001 0 -0.01
0
0.01
0.02
0.03
0.04
CONCLUSIONES: La grafica F vs x resulta aproximadamente una recta en los métodos estático y dinámico
La grafica de X vs t resulta aproximadamente una función senoidal Movimiento Armónico Simple
La relación entre la energía potencial y la cinética es una recta
Se comprueba que la Fuerza F es proporcional a la posición x La posición depende del seno o coseno Existe una distancia máxima (A) Tiene periodo (T) y desfase (ᶲ)
La suma de las energías es una constante
Son funciones cuadráticas Al superponerlas, tienen iguales máximos y mínimos La suma en cualquier posición es constante
De las gráficas de las energías potencial y la cinética vs posición
De las gráficas de las energías potencial y la cinética vs tiempo
Movimiento Armónico Amortiguado
La gráfica de la posición vs tiempo es una senoidal cuya amplitud se reduce.
Funciones senoidales. Existe una fuerza que hace decrecer la amplitud Hay una amplitud máxima Periodo y frecuencia constante
BIBLIOGRAFÍA:
http://es.scribd.com/doc/70915706/2-INFORME-FISICA-II
http://www.uv.es/diaz/mn/node5.html
http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/oscilaciones/mas/mas.htm
http://teleformacion.edu.aytolacoruna.es/FISICA/document/fisicaInteractiva/mas/cinematica/cara cteristicas.htm
http://es.wikipedia.org/wiki/Oscilador_arm%C3%B3nico
http://es.slideshare.net/margaritacornelis/laboratorio-de-fsica-practica-6
