UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍA “UNI, CIENCIA Y TECNOLOGÍA AL SERVICIO DEL PAIS”
MOVIMIENTO OSCILATORIO DE UN CUERPO RIGIDO
OBJETIVOS Objetivos temáticos
Estudiar el movimiento simple y amortiguado de un cuerpo rígido ligado a un resorte y un dispositivo de amortiguamiento.
Objetivos específicos
Determinar el valor de la constante elástica del resorte. Determinar el valor de la constante de amortiguación viscosa del sistema a partir de las medidas de las frecuencias de oscilación del sistema no amortiguado y amortiguado.
MOVIMIENTO ARMONICO SIMPLE.
Una partícula que se mueve a lo largo del eje x, tiene un movimiento armónico simple cuando su desplazamiento x desde la posición de equilibrio, varía en el tiempo de acuerdo con la relación
,, , ,
donde
= + son constantes del movimiento. Esta es una ecuación periódica y se repite cuando
se incrementa en 2π radianes. Para dar un significado físico a estas constantes, es conveniente
graficar x en función de t, La constante A se llama amplitud del movimiento, es simplemente el máximo desplazamiento de la partícula, ya sea en la dirección positiva o negativa de x. La constante ω se llama frecuencia angular, el ángulo δ se llama ángulo o constante de fase, y junto con la amplitud quedan determinados por el desplazamiento y velocidad inicial de la partícula. Las constantes A y δ nos dicen
+
cuál era el desplazamiento en el instante t = 0. La cantidad se llama la fase del movimiento y es de utilidad en la comparación del movimiento de dos sistemas de partículas.
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El periodo T es el tiempo que demora la partícula en completar un ciclo de su movimiento, esto es, es el valor de x en el instante t + T. Se puede demostrar que el periodo del movimiento está dado por T = 2π/ω, sabiendo que la fase aumenta 2 π radianes en un tiempo T: Comparando, se concluye que
+ + 2 = + +
= = ,o
MASA SUJETA A UN RESORTE.
Una masa sujeta al extremo de un resorte, con la masa moviéndose libremente sobre una superficie horizontal sin fricción o verticalmente en el aire, oscilará si se la aparta de su posición de equilibrio x = 0 donde el resorte se encuentra sin deformar, con un movimiento armónico simple. Cuando la masa se desplaza una pequeña distancia x desde su posición de equilibrio, el resorte ejerce una fuerza dada por la Ley de Hooke:
= Sabemos que esta fuerza siempre es opuesta al movimiento. Aplicando la segunda ley de Newton, suponiendo que esta es la única fuerza que actúa sobre la masa m, se obtiene
= = =
:
esto es, la aceleración de m es proporcional al desplazamiento desde su posición de equilibrio y en dirección opuesta. Como la aceleración es la segunda derivada de la posición, y definiendo el cociente
/ =
, se puede escribir :
ⅆ = ⅆ
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Movimiento armónico amortiguado
Los movimientos oscilatorios en los sistemas reales siempre están presentes fuerzas disipativas que hacen que la energía mecánica se vaya perdiendo progresivamente. En este caso se dice que el movimiento armónico esta amortiguado.
=
Un tipo habitual de fuerzas de fricción son las proporcionales a la velocidad . La ecuación de movimiento de un sistema sometido a una fuerza lineal y otra de rozamiento sería:
ⅆⅆ =
.
Un ejemplo físico de esta situación ser ıa un muelle sumergido en un fluido. Resolviendo la ecuación diferencial anterior se puede obtener que su solución es de la forma,
− =ⅇ + donde la frecuencia viene dada por:
⁄ = [ () ] Evidentemente en el límite b = 0 se recupera la solución de un MAS. Exceptuando la exponencial que aparece en la amplitud, el movimiento que resulta es de tipo oscilatorio con una frecuencia menor que si no hubiese rozamiento. Pero, además, el factor exponencial hace que la amplitud del movimiento decrezca de forma progresiva. Si el amortiguamiento es pequeño la ecuación anterior da como solución una función de la siguiente forma:
MOMENTO DE INERCIA
El momento de inercia o inercia rotacional es una medida de la inercia rotacional de un cuerpo. Más concretamente el momento de inercia es una magnitud escalar que r efleja la distribución de masas de un cuerpo o un sistema de partículas en rotación, respecto al eje de giro. El momento de inercia sólo depende de la geometría del cuerpo y de la posición del eje de giro; pero no depende de las fuerzas que intervienen en el movimiento. El momento de inercia desempeña un papel análogo al de la masa inercial en el caso del movimiento rectilíneo y uniforme. Es el valor escalar del momento angular longitudinal de un sólido rígido.
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UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍA “UNI, CIENCIA Y TECNOLOGÍA AL SERVICIO DEL PAIS” ECUACIONES DEL MOMENTO DE INERCIA
El momento de inercia de un cuerpo indica su resistencia a adquirir una aceleración angular. Para una masa puntual y un eje arbitrario, el momento de inercia es:
= donde m es la masa del punto, y r es la distancia al eje de rotación. Dado un sistema de partículas y un eje arbitrario, se define como la suma de los productos de las masas de las partículas por el cuadrado de la distancia r de cada partícula a dicho eje. Matemáticamente se expresa como:
=∑ Para un cuerpo de masa continua (Medio continuo), se generaliza como:
ⅆ = ∫ ⅆ =∫ El subíndice V de la integral indica que se integra sobre todo el volumen del cuerpo. Este concepto desempeña en el movimiento de rotación un papel análogo al de masa inercial en el caso del movimiento rectilíneo y uniforme. La masa es la resistencia que presenta un cuerpo a ser acelerado en traslación y el Momento de Inercia es la resistencia que presenta un cuerpo a ser acelerado en rotación. Así, por ejemplo, la segunda ley de Newton:
=∕ tiene como equivalente para la rotación:
=
=
es el momento aplicado al cuerpo. es el momento de inercia del cuerpo con respecto al eje de rotación. es la aceleración angular.
TEOREMA DE STEINER O TEOREMA DE LOS EJES PARALELOS
El teorema de Steiner establece que el momento de inercia con respecto a cualquier eje paralelo a un eje que pasa por el centro de masa, es igual al momento de inercia con respecto al eje que pasa por el centro de masa más el producto de la masa por el cuadrado de la distancia entre los dos ejes:
= +ℎ INFORME DE LABORATORIO 1-MOVIMIENTO OSCILATORIO DE UN CUERPO RIGIDO
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Materiales:
Una barra metálica de longitud
Dos mordazas simples
Pesas de 50gr,100gr,200gr
Un soporte de madera con cuchilla
Regla milimetrada
Un nivel de burbuja
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Balanza
Cronometro
Un resorte
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UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍA “UNI, CIENCIA Y TECNOLOGÍA AL SERVICIO DEL PAIS” PROCEDIMIENTO:
1. Calculo de la constante de rigidez del resorte Para calcular la constante de rigidez probamos con diferentes masas y hallamos la variación de longitud. Longitud inicial del resorte =10.8cm Masa1=0.0512kg Masa2=0.1042kg Masa3=0.0512kg Vasito=0.0098kg
MASA DE LA PESA + VASO(Kg) 0.061 0.114 0.1652 0.209 0.2602
∆X(m)
0.004 0.023 0.037 0.055 0.073
3 y = 28.418x + 0.4968
2.5 N ( A Z R E U F
2
1.5 1
0.5 0 0
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
0.06
0.07
0.08
ELONGACION(m)
Observando la gráfica nos damos que el valor de la constante de rigidez (k) es igual a:
= 28.418 /
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UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍA “UNI, CIENCIA Y TECNOLOGÍA AL SERVICIO DEL PAIS” 2. Diseñamos un sistema físico masa-resorte
D1
D2
D3
D4
D1(m)
D2(m)
D3(m)
D4(m)
0.352
0.303
0.104
0.351
F vs t 10 9.5 9 ) N8.5 ( A R 8 E U7.5 F 7 6.5 6 0
500
1000
1500
2000
TIEMPO(ms)
.
Haciendo el DCL en el equilibrio:
M.g
Tomando en el equilibrio:
m.g
∑ = 0 ..+.. .. += 0
D=Distancia del centro de masa al soporte = 0.203 m
M.g
Tener en cuenta que:
.+ m.g
+.=
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∑=. ̈ .+. + + =. ̈ +..=. ̈ . ̈ + +.=0 + ̈ +. .=0…1 = . +.
Ahora aplicamos torque respecto al punto de apoyo:
El valor de se calcula mediante el Teorema de Steinner:
Reemplazando los datos que ya se tenian se obtiene el valor de que es :
=
0.27022429
Igualando (1) y (2) obtenemos el valor de
=
̈ +.=0…2 que es :
4.2983407
En elmomento del experimento medimos el periodo la relación:
=1.31
ahora hallamos el valor
del mediante
= =
4.79632662
El porcentaje de error:
100% %= 79632662| 100% %= |4.29834074. 4.2983407 %=11.5855%
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UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍA “UNI, CIENCIA Y TECNOLOGÍA AL SERVICIO DEL PAIS” 3. Diseñamos un sistema físico masa-resorte-paleta
D1
D2
D3
D4
F vs t 9.5 9 8.5
) N ( A Z R E U F
8
7.5 7
6.5 6 0
500
1000
1500
2000
TIEMPO(ms)
Realizamos el DCL sin considerar los pesos de la paleta y de la barra ya que sabemos que se cancelara con la fuerza elastica que se da en el equilibrio
Teniendo en cuenta que :
+.=
.̇
.
+. ̇ = ̇
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∑=. ̈ .̇. .. + =. ̈ . +.. ̇ . +.=. ̈ . ̈ +. +.. ̇ +. +.=0 ̈ + . + . . ̇ + . + .=0…1 ̈ +2 ̇ +=0…2
Ahora aplicamos torque respecto al punto de apoyo:
Igualando (1) y (2) obtenemos
=4.2983407 2 = . + . …3
Ahora como tenemos el periodo calculado en este sistema amort iguado que es 1.38 hallamos el es
=
por tanto
=4.553032
que
Ahora mediante la ecuación:
=
calculamos el 1.5014576
4.553032 =4.2983407 =1.5014576 = 2 = . + . =6.580069
Ahora reemplazamos esto y todos los demás datos ya obtenidos en la ecuación (3) y calculamos el valor de b, datos , =0.104, 0.27022429
=0.303
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Conclusiones:
Vemos que el movimiento del sistema masa resorte depende de fuerzas externas que se ejercen sobre el sistema y los mismos dependen a su vez de las masas a las que se encuentran sometidas.
El sistema masa resorte nos permite observar el movimiento de cuerpos que actúan como fuerzas recuperadoras para contrarrestar a fuerzas externas.
En los objetos que oscilan cuanto mayor sea la fuerza mayor será su periodo de oscilación, cuanto mayor sea la contante del resorte menor será su periodo de oscilación no depende dela amplitud.
En el sistema amortiguado vemos que la amplitud bajo la cual oscila la barra va disminuyendo a medida que avanza el tiempo.
Aplicaciones en la ingeniería civil
En edificios para contrarrestar las fuertes vientos y posibles movimientos sísmicos
En puentes colgantes para contrarrestar las fuerzas del viento y movimientos telúricos
En estudio de suelos donde existen movimientos telúricos
Bibliografía:
Vibraciones Mecánicas-Optaciano
Alonso Fin- Física 2
Medina –Física 2
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