MODULO DE YOUNG El Módulo de Young (E) representa la relación entre el esfuerzo que se aplica perpendicularmente al material y la deformación axial de ese material. Se aplica una fuerza F y se obtiene un cambio de longitud ΔL. Graficando esta relación se obtiene el Módulo de Young. En un material
homogéneo y elástico, como puede ser un metal, esta deformación es lineal en función al esfuerzo que se le aplica. Desgraciadamente las rocas son un material no homogéneo y no elástico en todo rango de carga. Un material ideal tiene una relación esfuerzo/deformación lineal, pero las rocas no son un material ideal. Se toma la pendiente de la curva en la parte lineal para determinar el Módulo de Young. Un alto valor de E representa un material muy duro, lo que significa que un alto esfuerzo (alta presión) es necesaria para deformar la roca. En la figura, se observa una explicación explicación gráfica del concepto del Módulo de Young.
Imagen N° Módulo de Young (Marcelo, 2016) ESTIMACIÓN DEL MÓDULO ELÁSTICO DE YOUNG (EM) Ante la dificultad de obtener el módulo de Young del macizo directamente a partir de ensayos de laboratorio, ya que este parámetro elástico de respuesta del macizo rocoso (y especialmente en macizos de buena calidad) viene más marcado por la estructura del macizo que por las propiedades de la roca que lo forma, se ha intentado estimar mediante fórmulas empíricas que lo relacionan con la calidad geotécnica de los macizos rocosos. Las fórmulas de este tipo más clásicas son las de Bieniawski (1978) y Serafim y Pereira (1983) que se expresan respectivamente por las siguientes ecuaciones:
Donde EM es el módulo de Young del macizo rocoso. La primera de estas fórmulas tendría su ámbito de validez para 60
Finalmente, Hoek y Diederichs (2005) basándose en un análisis exhaustivo de multitud de estudios geotécnicos incluyéndose muchos con medidas de deformabilidad, proponen utilizar la expresión siguiente:
Dicha formulación, formulación, dio resultados positivos en modelos de explotaciones subterráneas. subterráneas. Recientemente ha surgido una nueva fórmula interesante para obtener este parámetro. Barton (2002) propone estimarlo a partir del parámetro denominado Qc que se puede obtener en función del índice Q y la resistencia a compresión simple de la roca Qc Q ·
100
de manera que
mediante la expresión:
E M (GPa) 10 · Qc 1/3
Aunque estas últimas expresiones parecen haber mejorado las estimaciones del valor del módulo elástico, las observaciones demuestran que en macizos rocosos de rocas poco resistentes, como,
por ejemplo, aquellos que se encuentran en el ámbito de la minería del carbón, todas estas expresiones sobreestiman los valores reales del módulo de Young. En este sentido Ramamurthy (1986) propuso, a partir de observaciones, unas expresiones aplicables a macizos rocosos estratificados y relativamente poco resistentes en las que el módulo de deformación del macizo rocoso se relaciona con el de la roca ER (obtenido en laboratorio a partir de ensayos de módulos estándar) y con el RMR. La primera de ellas se refiere a macizos rocosos con discontinuidades predominantemente predominantemente horizontales y la segunda con juntas inclinadas de 45º a 65º:
Donde: Em es el módulo de Young del macizo rocoso y Er es el módulo de Young de la roca. Este tipo de expresiones expresione s coincide en su forma con la de Serafim y Pereira (1983), sólo que añaden como influencia importante la del módulo elástico de la roca. Al revés de lo que ocurre en macizos rocosos "resistentes" en los que la elasticidad general del macizo viene marcada exclusivamente por las características de las discontinuidades, en macizos más blandos la resistencia del material que lo forma si tiene influencia sobre la rigidez general del mismo. MÓDULO DE YOUNG DEPENDIENTE DE LA TENSIÓN DE CONFINAMIENTO En algunos estudios reales se ha constatado que en algunos macizos rocosos (especialmente en aquellos de peor calidad formados por rocas sedimentarias) el módulo elástico dependía del nivel de confinamiento al que estuviera sometida la zona de análisis. Esto llevó a la realización algunos estudios que se resumen a continuación. Santarelli (1986) y Brown (1989) realizaron estudios sobre areniscas carboníferas para determinar las tensiones en el entorno de un pozo. Para ello realizaron un buen número de ensayos sobre cilindros huecos de paredes gruesas con diferentes valores y relaciones de la presión interna y externa. El análisis de estos resultados les llevó a la conclusión de que una de las posibles maneras de explicar las tensiones y deformaciones observadas era suponer un módulo elástico dependiente de la tensión de confinamiento. confinamiento. En su caso la mejor ley empírica que encontraron fue:
E E 0 1 0.043σ3
0.78
También Duncan Fama (1993) presenta un modelo bastante complejo, aplicable a macizos rocosos típicos de la minería del carbón, en él que el modulo elástico es muy dependiente de la tensión de confinamiento, si bien en este caso también depende de otras constantes y está específicamente indicado para su aplicación en un método numérico iterativo, en el que se incluiría un proceso de reblandecimiento. Fang y Harrison (2001) realizan una propuesta en este sentido, en la que el módulo elástico del macizo rocoso va asociado al reblandecimiento reblandecimien to del macizo. Alejano (1999) también se presentan fórmulas de distintos autores, en este caso, aplicadas a materiales tipo relleno en las que el módulo elástico es dependiente de las tensiones. Se propone una dependencia del módulo elástico de la profundidad, indicándose que en realidad equivale a una dependencia de la tensión de confinamiento. Finalmente, Ribacchi (2000) llega a conclusiones similares respecto a la dependencia del módulo elástico con la tensión de confinamiento. ( Pedro Ramírez Oyanguren, Leandro Alejano Monge, 2004, págs. 116-118) EFECTO DE CONFINAMIENTO La roca no es un material ideal ya que tiene poros, micro-fisuras y otras heterogeneidades. Si a una muestra de roca le aplicamos presión sobre la circunferencia para simular el efecto de los esfuerzos in situ (presión de confinamiento), y aplicamos una fuerza en las extremidades, se observa que la deformación cambia según la presión de confinamiento. Para cada presión de confinamiento obtenemos un gráfico diferente. En la formación la roca siempre está comprimida, o confinada, por los esfuerzos naturales in situ. Entonces, en el laboratorio debemos tratar de simular siempre las condiciones de fondo. Por lo tanto se necesita conocer los valores del esfuerzo mínimo, o de confinamiento, y realizar los respectivos ensayos con estos valores. De otra manera los valores de Módulo de Young que se obtendrían no serían válidos. En la figura , se puede observar el efecto de confinamiento confinamiento en la determinación determinación del Módulo de Young.
(Marcelo, 2016)
PROBLEMA DEL MÓDULO DE YOUNG APLICADO APLICADO A LA MECÁNICA DE ROCAS Se realiza un ensayo de compresión simple sobre una probeta de roca en la que se han colocado cuatro bandas extensométricas (dos verticales y dos horizontales ) .En la tabla aparecen los valores de las lecturas de las bandas en microdeformaciones ,así como la tensión axial en MPa en el momento de cada lectura : Medidas de las Bandas extensómetricas horizontales (H1 Y H2) y verticales (V1 Y V2),así como la tensión correspondiente: correspondiente:
Dibujar las cuatro curvas tensión deformación del ensayo. Determinar el módulo de elasticidad o de Young de la roca ,tomando como intervalo intervalo de tensiones para los cálculos 19 y 37 MPa. Estimar el módulo de elasticidad o de Young sevante ,así como tangente para un 50 % de tensión respecto a la máxima alcanzada . SOLUCIÓN Las curvas tensión –deformación obtenidas obtenidas a partir de datos de ensayo de laboratorio de Mecánica de suelos son muy importantes ,pues permiten conocer el comportamiento tenso-deformacional de una muestra de roca intacta al encontrase sometidas a diferentes estados tensionales. Las deformaciones pueden obtenerse a partir de los ensayos mediante la instalación de bandas extensométricas ,las cuales varían su resistencia eléctrica según la deformación a la que se ven sometidas, pudiendo correlacionarse la variación de dicha resistencia eléctrica con la deformación de la probeta .Un esquema de la l a colocación de estas bandas se puede observar en la figura .Se emplean en cada dirección porque porque en ensayos reales puede fallar algunas algunas de las bandas, y para poder promediar diferenciales diferenciales en el caso de rocas heterogéneas.
Esquema de una probeta con bandas extensométricas axiales y radiales instaladas. Si se pudiera extrapolar el comportamiento de una muestra de rocas a escala de macizo rocoso, sería posible determinar qué cantidad de desplazamiento admisible ,por ejemplo ,en un talud o en túnel ,antes de que se produzca la rotura . Las curvas tensión deformación pedidas en el enunciado se construyen sobre unos ejes en coordenadas cartesianas en los que es semieje positivo de abscisas es la deformación axial ( 1 ),el semieje negativo de abscisas es la deformación transversal o radial ( 3) y el semieje positivo de ordenadas es la tensión axial( 1 ). Llevando sobre los ejes descritos los puntos dados en el enunciado ,se obtiene la siguiente gráfica ,en la que se puede observar las cuatro curvas tensión-deformación solicitadas en el enunciado.
Curvas tensión deformación del problema.
El módulo de Young se define cómo
Por lo que, sustituyendo para el caso del módulo de Young entre 19 y 37 MPa
Se habla de módulo de Young secante cuando se considera como intervalo de tensiones de cálculo las tensiones correspondientes al inicio del ensayo y al pico o resistencia última ,tal y como se puede apreciar en la figura
Cálculo del módulo de elasticidad secante. Así,aplicando la definición del módulo de Young entre el inicio del ensayo y la resistencia de pico:
Para determinar el módulo de Young tangente para un 50% de tensión es necesario trazar una recta tangente a la curva tensión-deformación axial correspondiente a ese nivel de tensión .En la gráfica se han promediado las curvas, se ha determinado el valor correspondiente al 50% de la resistencia última última y se ha trazado una tangente en ese punto. Se puede calcular la pendiente de la tangente, que es precisamente el módulo de Young tangente como:
Cálculo del módulo de elasticidad tangente para un 50% de tensión. (Javier Arzúa,Leonardo Alejano,Ignacio Perez-Rey, 2016)
MODULO DE YOUNG Y COEFICIENTE DE POISSON PARA DISTINTOS MATERIALES
(TAMBURRINO, 2010)
Los valores corresponden a las medidas de compresibilidad realizada en rocas por Bronnw(1996),para Bronnw(1996),para parámetros de confinamiento de 3 a 5 kilobares.Los kilobares.Los valores de acero y alumnio son de Lange (1956) . Lambe y Whitman (1969)
MÉTODOS DE MEDIDA DEL MÓDULO ELÁSTICO. Presentaremos brevemente algunos de los métodos más convencionales para determinar experimentalmente el módulo elástico de un material:
Ensayo de tracción uniaxial: Es el método más directo, calculándolo a partir de la pendiente del tramo lineal de la curva tensión-deformación. Sin embargo, en el régimen elástico las deformaciones son muy pequeñas y se requiere por tanto una extensometría muy precisa, así como un buen alineamiento de la probeta.
Ensayo de viga en voladizo (cantilever test): Es un método también muy simple
consistente en medir la deflexión de una viga en voladizo cuando se le aplica una fuerza en su extremo. Esta configuración de ensayo provoca mayores desplazamientos y por tanto la medición es más sencilla.
Medidas de la frecuencia natural de vibración: El módulo elástico está directamente relacionado con la frecuencia natural de vibración de una barra (p.ej), a través de la expresión:
Las técnicas de medida de la frecuencia natural de vibración requieren de sensores acústicos y son algo sofisticadas, pero se obtienen medidas de muy elevada precisión y exactitud (dependiendo de lo exactas que sean las medidas de las dimensiones de la muestra).
Medidas de la velocidad del sonido: La velocidad de propagación de ondas acústicas en un determinado medio sólido es directamente relacionada con el módulo elástico de dicho medio. Así, para ondas longitudinales se tiene:
Medir la velocidad de propagación de ondas acústicas en un medio tampoco es inmediato, pero proporciona muy buenas medidas del módulo elástico.
Ensayos de indentación instrumentada: También es posible determinar el módulo elástico a partir de la pendiente de la curva de descarga en un ensayo de indentación instrumentada en el que se registra durante el ensayo la curva cargaprofundidad de penetración del indentador:
Con A= 2 = ℎ2 2 , siendo el ángulo cónico efectivo indentador y donde:
del
Ensayos de indentación Hertziana: Los ensayos de indentación con esferas de radio r permiten registrar una curva tensión-deformación de indentación (presión frente a la razón a/r) a partir de la medida del radio a de la huella residual en una secuencia de ensayos a carga P creciente. También en estas curvas se aprecia un tramo lineal cuya pendiente, m, está relacionada con el módulo elástico del material, según la expresión:
donde los valores E’ y v´ son los correspondientes al material del impresor y la
aproximación corresponde a asumir un impresor infinitamente rígido. (Miranda, 2011)
