MODULO

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGÍA E INGENIERÍA CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: 100412 – Ecuaciones Diferenciales

ECUACIONES DIFERENCIALES

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UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGÍA E INGENIERÍA PROGRAMA CIENCIAS BÁSICAS

100412 – ECUACIONES DIFERENCIALES CARLOS IVAN BUCHELI CHAVES (Director Nacional)

RICARDO GOMEZ NARVAEZ (Acreditador)

San Juan de Pasto, Julio 2010

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ASPECTOS DE PROPIEDAD INTELECTUAL Y VERSIONAMIENTO

El presente módulo fue diseñado en el año 2009 por Carlos Iván Bucheli Chaves docente de la UNAD, ubicado en el CEAD de San Juan de Pasto, el Autor es físico-matemático, especialista en docencia universitaria, magíster en enseñanza problemita y otros. Se ha desempeñado como tutor de la UNAD desde 2001 hasta la fecha y ha sido catedrático de diversidad Universidades de Pasto. El presente módulo ha tenido 4 actualizaciones y se han realizado por su autor Carlos Iván Bucheli Chaves. El material ha sido revisado por la dirección de la Escuela de Ciencias básicas, Tecnología e Ingeniería: Jorge Eliécer Rondon y por su acreditador: Ricardo Gómez Narváez, los cuales han aportado para la calidad de este material.

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INTRODUCCIÓN

El curso de ECUACIONES DIFERENCIALES, es una de las temáticas con mayor grado de importancia en el desarrollo de la educación superior ya que esta se considera una de las herramientas de mayor utilidad especialmente en el área de la ingeniería. La estrategia para comprender esta rama de la matemática, implica interés, dedicación compromiso y sobre todo responsabilidad. La enseñanza de las ecuaciones diferenciales ha experimentado una gran evolución, tanto en términos pedagógicos como el contenido. Lo que una vez se pudo considerar como una colección de métodos, ha avanzado sustancialmente con el fin de proporcionar a sus investigadores diversos experiencias, que un reconocido matemático ha denominado conceptualización, exploración y solución de problemas de dificultad superior. El curso de Ecuaciones Diferenciales, se ha sometido a diversos cambios estructurales con el único objetivo de consolidar un material práctico para el estudiante, este le permitirá instruirse con mayor facilidad y así obtener un mayor rendimiento académico. El curso contiene material necesario para un completo aprendizaje de ecuaciones diferenciales, los ejercicios desarrollados y propuestos no quieren otros conocimientos de los que se han trabajado a lo largo de la carrera. Se hace un desarrollo más o menos profundo, y un estudio detallado de las diferentes ecuaciones a tratar. En el desarrollo del curso, el estudiante tiene la oportunidad de encontrar las definiciones de los temas tratados incluidos en tres unidades, así mismos encontrará ejemplos prácticos por cada tema a tratar como también ejercicios para resolver. Una característica particular del modulo es la presentación resumida de los conceptos fundamentales a tener en cuenta en el desarrollo intelectual

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INDICE DE CONTENIDO

UNIDAD I. ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN

1.1 INTRODUCCIÓN A LAS ECUACIONES DIFERENCIALES. 1.1.1. Fundamentos generales como apoyo a las ecuaciones diferenciales. 1.1.2. Conceptualización de una ecuación diferencial. 1.1.3. Resolución de una ecuación diferencial. 1.1.4. Clasificación de las ecuaciones diferenciales. 1.1.5. Ejercicios propuestos. 1.2.

ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES DE PRIMER ORDEN.

1.2.1. Ecuaciones con variables separables. 1.2.2. Ecuaciones Homogéneas. 1.2.3. Ecuaciones exactas. 1.2.4. El factor integrante. 1.2.5. Ejercicios Propuestos. 1.3.

CAMPOS DE APLICACIÓN DE LAS ECUACIONES LINEALES DE PRIMER ORDEN.

1.3.1. Trayectorias Ortogonales. 1.3.2. Los campos de fuerza. Una aplicación de las Ecuaciones diferenciales. 1.3.3. Aplicaciones de familias de curvas y trayectorias ortogonales. 1.3.4. Otras aplicaciones de las ecuaciones diferenciales. 1.3.5. Ejercicios Propuestos.

UNIDAD II. ECUACIONES DIFERENCIALES DE SEGUNDO ORDEN Y DE ORDEN SUPERIOR

2.1. ECUACIONES DIFERENCIALES DE SEGUNDO ORDEN.

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2.1.1. Ecuaciones diferenciales de segundo orden y métodos de solución. 2.1.2. La Solución General de una ecuación diferencial como Combinación Lineal de Soluciones Linealmente Independientes. 2.1.3. Ecuaciones diferenciales lineales homogéneas y no homogéneas con coeficientes Constantes. 2.1.4. Operador para la solución de ecuaciones diferenciales. 2.1.5. Ejercicios Propuestos. 2.2.

ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR.

2.2.1. Ecuaciones diferenciales lineales de orden n. 2.2.2. Ecuaciones diferenciales de orden superior con coeficientes constantes. 2.2.3. Ecuación diferencial de orden superior homogénea y no homogénea con coeficientes constantes. 2.2.4. Métodos generales de solución de las ecuaciones diferenciales de orden superior. 2.2.5. Ejercicios propuestos. 2.3.

2.3.1. 2.3.2. 2.3.3. 2.3.4. 2.3.5.

CAMPO DE APLICACIONES DE ECUACIONES DE SEGUNDO ORDEN Y DE ORDEN SUPERIOR. Aplicaciones de las ecuaciones diferenciales de segundo orden Aplicaciones de las ecuaciones diferenciales de orden superior Ecuaciones diferenciales de Euler. Ecuaciones diferenciales de Chebyshev y de Bessel . Ejercicios Propuestos.

UNIDAD III. ESTUDIO DE SERIES Y FUNCIONES ESPECIALES

3.1.

GENERALIDADES DEL ESTUDIO DE SERIES.

3.1.1. Definición de serie matemática. 3.1.2. Clasificación de las series matemáticas. 3.1.3. Técnicas para resolver Ecuaciones Diferenciales mediante series matemáticas. 3.1.4. Definimos el concepto de punto ordinario y punto singular regular en una Ecuación diferencial. 3.1.5. Ejercicios Propuestos. 5


3.2.

SOLUCION DE ECUACIONES DIFERENCIALES MEDIANTE SERIE DE POTENCIAS.

3.2.1. Estudio de Series De Potencias. 3.2.2. Propiedades y Convergencia de las series de potencias. 3.2.3. Solución de ecuaciones diferenciales de primer orden mediante Series de potencias. 3.2.4. Solución de ecuaciones diferenciales de orden superior mediante Series de potencias. 3.2.5. Ejercicios Propuestos. 3.3.

FUNCIONES ESPECIALES Y SERIES MATEMATICAS.

3.3.1. 3.3.2. 3.3.3. 3.3.4. 3.3.5.

Funciones analíticas. Series De Taylor. Solución de ecuaciones diferenciales mediante Series de Taylor. Series de MacLaurín. Ejercicios Propuestos.

AUTOEVALUACION DEL CURSO

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LISTADO DE TABLAS Pag. Tabla 1 ……………………………………………………………... 40 Tabla 2 .…………………………………………………………… 41

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LISTADO DE GRÁFICOS

Pag. 1) Gráfica 1 …………………………………………………………… 16 2) Gráfica 2 …………………………………………………………… 46 3) Gráfica 3 …………………………………………………………… 55 4) Gráfica 4 …..………………………………………………………... 55 5) Gráfica 5 ……………………………………………………………. 56 6) Gráfica 6 ……………………………………………………………...56 7) Gráfica 7 ……………………………………………………………..105 8) Gráfica 8 …………………………………………………………….106

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UNIDAD 1 Nombre de la Unidad Introducción

Justificación

Intencionalidades Formativas

1

ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN Una ecuación diferencial ordinaria de primer orden es una ecuación de la forma F ( x , y , y ') = 0 En la que aparecen una variable independiente, una variable dependiente y una primera derivada. La razón por la cual a las ecuaciones de este tipo se les dice ecuaciones diferenciales ordinarias1 En esta unidad trataremos los siguientes aspectos de mucha Importancia en la ingeniería y sus diferentes proyecciones a la solución de problemas así: estudio de las ecuaciones diferenciales de primer orden, clasificación, tipo, orden, linealidad y métodos de solución para las ecuaciones de variables separadas y homogéneas. Donde los tipos de ecuaciones diferenciales a trabajar principalmente son las exactas y las lineales, veremos sus características, su modo de identificación y la manera de resolver cada una de ellas, dando ejemplos, ejercicios explicativos y aplicaciones para esta unidad. Las ecuaciones diferenciales, de primer orden, constituyen uno de los más importantes instrumentos teóricos y a su vez herramienta para la praxis y así interpretar y modelar fenómenos científicos y técnicos de la mayor variedad. Son por eso de especial importancia práctica y teórica para los ingenieros de cualquier rama. El área de los sistemas ha penetrado prácticamente en todas las áreas de la tecnología, porque permite abordar y manejar sistemáticamente aspectos de optimización y logro de comportamientos deseados. El área de los sistemas es transversal y genérica. Transversal por aplicarse a varias áreas de conocimiento: sistemas mecánicos, eléctricos, de procesos, humanos, económicos entre otras áreas, por eso se encuentra todo género de investigadores: ingenieros de todas las disciplinas, economistas, físicos, matemáticos entre otros. · Reconoce y distingue una ecuación diferencial de primer orden. · Clasifica ecuaciones diferenciales de acuerdo con su tipo, orden y linealidad.

es.wikibooks.org/ecuacionesdiferenciales

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· Reconoce la diferencia entre una solución particular y una solución general de la ecuación diferencial. · Define campo de direcciones correspondientes a la ecuación diferencial de primer orden. · Identifica ecuaciones diferenciales de variables separadas y homogéneas. · Emplea el método de separación de variables para resolver ecuaciones diferenciales de primer orden. · Resuelve correctamente ecuaciones diferenciales homogéneas. · Reconoce una ecuación diferencial exacta y las resuelve. · Encuentra el factor integrante para una ecuación diferencial lineal. · Resuelve ecuaciones diferenciales lineales. · Identifica, distingue y resuelve correctamente ecuaciones diferenciales de Bernoulli. · Realiza sustituciones adecuadas para poder resolver ecuaciones diferenciales con tipos ya conocidos empleando sustituciones. · El estudiante plantea problemas correctamente empleando la modelación con ecuaciones diferenciales de primer orden. · Por ultimo, resuelve correctamente ecuaciones diferenciales lineales y cuantifica la importancia de la modelación matemática con ecuaciones diferenciales en la solución de problemas científicos. Denominación de capítulos

1.1. INTRODUCCIÓN A LAS ECUACIONES DIFERENCIALES. 1.2. ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES DE PRIMER ORDEN. 1.3. CAMPOS DE APLICACIÓN DE LAS ECUACIONES LINEALES DE PRIMER ORDEN.

CAPITULO 1: INTRODUCCIÓN A LAS ECUACIONES DIFERENCIALES Introducción Dejaremos de lado las funciones de dos o más variables y comenzaremos con el estudio de ecuaciones diferenciales ordinarias, y así encontraras algunas definiciones importantes que nos permitirán el estudio de diferentes tipos y métodos de solución a la ecuación para luego ubicarlas en el fascinante mundo de las matemáticas como herramienta de aplicación a nivel socioeconómico y científico. 10


Se indican las estrategias que debes seguir para el provecho de la unidad, las mismas están orientadas a explicar los aspectos relacionados con las ecuaciones diferenciales, su estructura y aspectos básicos. Lección 1: Fundamentos diferenciales.

generales como

apoyo

a

las ecuaciones

Ver modulo de Calculo diferencial y calculo integral Unad 2010. Lección 2: Conceptualización de una ecuación diferencial Una ecuación diferencial es una ecuación que contiene derivadas de una o más variables dependientes con respecto a las variables independientes. Son ejemplos de ecuaciones diferenciales las siguientes:

d2y dy + 2 + 3y = 0 dx 2 dx d2y = 2x dx 2 d2y dy 3 = (1 + ) dx 2 dx 2

fd ( x ) y+ + f ¢ (yx ) =- 70 x = 0 2

dx y¢ = 3x

y ¢ - cos( x ) = 0 y ¢¢¢ - y x

=3 x + 2

d y + 5 = 0 d x

11


¶ 5u ¶ 3u = 6 ¶x 4 ¶x3 En los anteriores ejemplos se observa que las ecuaciones cumplen la definición de ecuación diferencial, porque tienen derivadas de diferente orden y tipo (ordinarias y parciales), además en los ejemplos se observan diferentes notaciones de derivada como lo hemos aprendido en el cálculo diferencial. En resumen podemos decir que una ecuación que tiene derivadas se llama ecuación diferencial.

A través de los ejercicios y actividades de esta franja, tendrás la oportunidad de verificar la comprensión del material en el cual las ecuaciones diferenciales parciales son muy importantes y útiles; sin embargo su manejo requiere del conocimiento profundo de las ecuaciones diferenciales ordinarias. Lección 3: Resolución de una ecuación diferencial Una función

y = f ( x ) se dice que es una solución de una ecuación diferencial

si al sustituir y sus derivadas en la ecuación la reduce a una identidad. Por ejemplo, derivando y sustituyendo es fácil comprobar que solución de la ecuación diferencial:

y = e -2 x

es una

dy + 2 y = 0 dx Se puede demostrar que toda solución de esta ecuación diferencial es de la forma

y = Ce-2x , solución general. Donde C denota cualquier número real. Derivando la ecuación y = Ce derivando y´= -2 Ce Reemplazando en la ecuación diferencial la función y su respectiva derivada, -2x

-2x

Ce efectivamente existe una identidad -2 =

- 2x

- 2 Ce - 2x 12


Ejemplo: Averiguar si las funciones dadas son solución de la ecuación diferencial:

a)

d 2y - y = 0 dx2

y = senx

b) y = e

2x

-x c) y = 4e

d) y = Ce x Averigüemos:

y = sen( x )

a) Como:

dy = cos( x) dx

d2y = - sen( x) dx 2 d2y -y dx 2

- sen = x – =sen x

Por tanto, b) Como

dy = dx

d 22 y d 2y = dx dx 2

- 2 sen x ¹ 0

y = sen ( x ) no es solución.

y = e2 x 2e2 x

4e 2 x

-y

4=e 2 x – = e2 x

3e 2 x ¹ 0 dy dx

13


Por tanto, y = e2x no es solución.

c) Como y = 4e

-x

d2y = 4e- x 2 dx

d2y dx 2

=-

Por tanto,

y = 4e-x – 4e-x = 0

y = 4e - x

es solución.

x d) Como y = Ce

dy = dx

Ce x

d2y = dx2

Ce x

d2y dx 2

-y

Por tanto,

Ce x – Ce =x

y = Ce x

0

=

es solución.

Ejemplo: Solución particular

dy Para la ecuación diferencial verificar que y = Cx es x - 3 y = 0 solución y hallar la solución particular determinada por la condición inicial dx y = 2 cuando x = - 3 . 3

Solución:

dy dx

Sabemos que

y = Cx 3 es una solución, ya que

= 3Cx 2 , así que: 14


x

dy - 3y dx

x ( 3 Cx 2 ) – 3 ( Cx= 3 )

=

0

Además, la condición inicial y = 2 cuando x = - 3 implica que la Solución general es

y = Cx 3

y remplazando la condición inicial se tiene:

2 = C ( -3) por tanto 3

c= -

2 27

Luego concluimos que la solución particular es:

2 x3 y = 27

Para determinar una solución particular, el número de condiciones iníciales ha de coincidir con el de constantes arbitrarias en la solución general. Recordemos que la solución de una ecuación diferencial no es una sola función, sino todo un conjunto de funciones (familía de soluciones). Ejemplo:

y4 dy y= + c es la solución general de - x3 = 0 4 dx dy = x3 al sustituir en la ecuación diferencial, la convierte Derivando y Tenemos: dx en una identidad

x 3 = x3

INTERPRETACION GEOMETRICA DE LA SOLUCION DE UNA ECUACION DIFERENCIAL Geométricamente, la solución general de una ecuación diferencial de primer orden representa una familia de curvas o familia de soluciones, una para cada valor asignado a la constante arbitraria C. 15


El término “condiciones iníciales” proviene de que, con frecuencia, en problemas donde interviene el tiempo, se conoce el valor de la variable dependiente o de alguna de sus derivadas en el instante inicial

t = 0.

El problema de valor inicial implica hallar la solución de una ecuación diferencial sujeta a una condición inicial

Y ( Xo ) = Yo , y es el punto de partida para

encontrar la familia de curvas. Cabe aclarar que la solución del problema de valor inicial no es una familia de curvas, sino una curva de ellas que cumple las condiciones. Ejemplo: dy = 2 x es fácil observar que la solución general dx 2 es y = x + c generando una familia de curvas (familia de parábolas) y al dar una condición inicial se obtiene de esa familia de curvas una única curva, por ejemplo

Al resolver la ecuación diferencial

con la condición inicial y ( 2 ) = 5 tenemos que

C= 1

por tanto la curva es

y = x + 1 (veamos la gráfica demostrativa): 2

Gráfica de color rojo es la única curva que satisface las condiciones iníciales y las otras curvas pertenecen a la familia de curvas solución.

Grafica 1

Grafica del programa derive y Editor Matemático Mathtype Fuente: Esta investigación Autor: Carlos Buchely

Lección 4: Clasificación de las ecuaciones diferenciales Ver link ovas Texto. http://www.caribu.byethost8.com/

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Lección 5: Ejercicios propuestos

Sistema de Aprendizaje Auto gestionado Asistido sostienen, que el aprendizaje es para toda la vida y el proceso de aprender también debe llevarse a cabo durante todo el tiempo que vivamos, además que cada individuo elabora y construye su aprendizaje y los procesos para lograrlo, de forma singular y de acuerdo a sus vivencias.

A. Clasificar las ecuaciones diferenciales de acuerdo con su tipo y orden: 1)

d y d x

+ 3 x y

=

x

2

Sol. Ordinaria y de primer orden 2)

d 2 y d y + 2 + 2 d x d x

y = 1

Sol. Ordinaria y de segundo orden 3)

d 2x dy + - 4 x = e dt2 dt

t

Sol. Ordinaria y de segundo orden 4)

¶ 2u du + = se c (t ) ¶t2 dt

Sol. Parcial y de segundo orden.

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5)

(

d2y 2 dy ) + 3( )- 4y = 0 2 dx dx

Sol. Ordinaria y de segundo orden. B. Verificar que la función dada es solución de la ecuación diferencial. 1.

y = C1cos x + C2 sen x

2.

y = C1e

-x

3.

u = e

–t

cos x + C2e

sen bx ,

-x

d 2 y d x 2

,

senx , b

2

+

y

=

o

d 2 y dy + 2 + 2 y = 0 2 dx dx ¶ u ¶ t

¶ 2 u ¶ t 2

=

C. Hallar la solución particular que pasa por el punto (-4,4)

y 2 = Cx3 ,

2 x (

d y ) - 3 y = d x

0

Miscelánea de ejercicios 1. En las siguientes ecuaciones diferenciales establece el orden, el tipo y la linealidad. y ¢¢ + y ¢ - 4 y = 0 y ¢¢ = y

d 2 y d y + 2 = 0 2 d x d x y ¢¢¢ - y ¢¢ + 8 y ¢ - 8 y =

x

0

2. Verifique que la función dada es una solución de la ecuación diferencial.

18


dy + 4y dx

= y 32;

x 2 dy + 2= xydx =

8=

dy 3 dy ) + x = = y; y dx dx

(

-

0; y

1 x2

x +1

3. verifique la solución de la ecuación diferencial

dy 1+ x = dx xy

Donde su solución es y = 2(ln( x) + x + c ) (como de valor absoluto). - Grafique la familia de curvas o familia solución. 2

x > 0 , no se necesita

- Encuentre una solución particular cuando y (1) = 4 5 x 4 = 20 2 x 8 = 16

Algunos casos importantes de Derivadas

a . y y

= =

―

b . y y c . y y

―

d . y y

―

x

―

n

n x

=

c

=

o

=

c x

=

n c x

=

s

=

c o s

n

- 1

n

e

n - 1

x

n x

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e . y y

―

f . y y

―

i. y y

―

j. y y

―

=

s e

=

e

―

h . y y

c o s

=

g . y y

=

―

±

g x

x

ln x

=

1 x

=

f x

=

f― x

f x

=

f

=

x

x

=

=

n

e

=

―

x

x

±

g g

g

―

x

x

g g

f x g x

®

f― x

g g

x

+ g

g g

f x x

x - f x [ g x ] 2

¹ g g

―

x

0 ―

x

Algunos casos importantes de Integrales - Capitulo 1

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a.ò dx = x + c x n -1 + c ® n ¹ -1 b.ò x dx = n + 1 e nx nx + c ® n ¹ 0 c. ò e d x = n ax x + c ® a > 0 d .ò a dx = Loga - cos K x e. ò s e n K xd x = + c ® K ¹ 0 K dx f .ò = Lnx + c x é ù 1 g.ò ê = s e n -1 x + c ú 2 ë 1 - x û h . ò s e c 2 x d x = ta n x + c sen K x i. ò c o s K x d x = + c K j. ò c s c x 2 d x = -c tg x + c n

CAPITULO 2: ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES DE PRIMER ORDEN Introducción En este aparte daremos a conocer técnicas para resolver ecuaciones diferenciales ordinarias. Como lo es la solución de ecuaciones por el método de separación de variables, solución de ecuaciones diferenciales homogéneas, solución de ecuaciones exactas y utilización del factor integrante. Entonces se da a conocer los procedimientos respectivos y a su vez ejemplos que afianzaran el aprendizaje.

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Una ecuación de primer orden y primer grado puede reducirse a la forma:

M ( d, y ) dx + N ( x, y ) = 0

Siendo M y N funciones de X e Y

ò M ( x, y ) dx + ò N ( x, y ) dy = K Siendo una solución de la ecuación. Lección 1: Ecuaciones con variables separables En este aparte comenzamos estudiando técnicas para resolver familias específicas de ecuaciones diferenciales ordinarias.

Como una ecuación diferencial de primer orden que se puede escribir en la forma:

d y = 0 d x Donde M es una función continua de x solamente, y N una función continua de y M

( x ) + N ( y )

solamente. Para este tipo de ecuaciones, todos los términos en x se pueden unir con dx y todos los términos en y con dy, y se obtiene una solución por integración. El procedimiento de resolución se denomina separación de variables. Los pasos necesarios son los siguientes: 1. Expresar la ecuación en forma diferencial:

22


De la siguiente ecuación:

M ( x ) dx + N ( y ) dy = 0

Despejando obtenemos:

M ( x ) dx = - N ( y ) dy 2. Integrar para obtener la solución general:

ò

M ( x)dx +

Despejando obtenemos:

ò

M ( x )dx = -

ò

ò

N ( y )dy = C

N ( y )d y + C

Ejemplos de separación: ECUACION DIFERENCIAL EN VARIABLES SEPARABLES 2

x

+ 3 y

(sen x) x e

y

d y d x

=

0

dy = cos x dx

d y d x = + 1

2

3 ydy = - x 2dx d y = (ta n x ) d x 1 2 d y = dx y e + 1 x

EJEMPLO Hallar la solución general de:

d y 2 ( 4 ) x + = x y Solución: Para empezar, observamos que d y =x0 es una solución.

Con el fin de hallar otras soluciones, supongamos y ¹ 0 y separamos las variables así:

(x

2

+ 4 ) dy = xy dx

Forma diferencial 23


dy = y

x

2

x dx + 4

Separar variables

Integrando, obtenemos:

ò

dy = y

òx

2

x dx +4 Integrar

L n§ y¨ =

§ y ¨ = e C1

y = ± e

1 L n(x 2

+ 4) + C

2

1

x2 + 4 C

x

1

2

+ 4

Como y = 0 también es solución, podemos escribir la solución general como:

y=C

x2 + 4

Solución general

Recuerde que en ciertos casos no es posible escribir la solución general en la forma explicita y=f(x), por tanto se puede utilizar la derivación explicita para verificar dicha solución.

Ejemplo:

2

xydx + e x ( y 2 - 1)dy = 0 Donde y es diferente de 0 2

Donde la solución general es

e x + y 2 - ln y 2 = 2c .

Ejemplo Por el método de separación de variables encuentre la solución general de la ecuación diferencial y encuentre su solución particular.

y¢ + 2 y = 2 Con la condición y = 1/ 2 si

x = 4

Solución:

24


Por tanto por separación de variables

dy dy dy = 2 - 2 y Entonces = dx integrando ò = dx se tiene: 2 - 2y dx 2 - 2y ò § 2 - 2 y¨ = x + c Remplazando la condición inicial c = - 4 por tanto la solución 2 § 2 - 2 y¨ = x - 4 (solución implícita). particular es ln 2 ln

Ejemplo

Hallar la ecuación de una curva que pasa por el punto (2,6) y tiene pendiente

y x2

Solución: como la interpretación geométrica de la derivada es la pendiente de la curva entonces

dy y = dx x 2

Separando variables e integrando se llega a

dy dx ò y = x2 como

y¹0

1 Entonces ln§ y ¨ = - + c x

y = 6yx= 2

que se pide es

donde

6 = ce-1/2 C = 6e1/2

y = e-(1/x)+c = ce-1/x por tanto la curva

y = 6.e1/2e-1/x simplificando y = 6.e(1/2-1/x)

25


Al trabajar con las constantes en el método de separación de variables dicha constante aparece cuando integramos el lado derecho o sea dx por tanto utilizamos una sola constante C. Lección 2: Ecuaciones Homogéneas

Una función f ( x, y ) , es homogénea de grado n si para un número real n satisface la siguiente identidad:

f (tx, ty ) = t n f ( x, y )

Veamos con ejemplos si la función es homogénea o no. 2 3 2 a) f ( x, y ) = x y - 4 x + 3xy es una función homogénea de grado 3 porque:

f ( tx, ty ) = ( tx ) ( ty ) - 4 ( tx ) + 3 ( tx )( ty ) 2

3

=

t3 ( x2 y) - t3 ( 4x3 ) + t3 ( 3xy2 )

=

t 3 ( x 2 y - 4 x 3 + 3 xy 2 )

=

t 3 f ( x, y )

b) f ( x, y ) = xe

x/y

2

+ y sen ( y / x ) es una función homogénea de grado 1 porque:

ty tx + y se n

f (tx , ty ) = tx e x / y + ty s e n = t ( x e

x / y

y ) x 26


= tf ( x , y ) c) ( x, y ) = x + y

2

no es homogénea porque

f (tx , ty ) = tx + t 2 y 2 t (x + ty 2

)

¹ t n (x + y 2

d) f ( x, y ) = x + 2 xy 2

)

Es homogénea de grado

f ( tx , ty ) = ( tx ) 2 + 2 ( tx )( ty ) f ( tx , ty ) = t 2 ( x 2 + 2 x y ) e)

f ( x , y ) = x 3 y - xy 3 + 5

No es homogénea (verificar)

En una mayoría de casos se puede verificar si una función es homogénea si observas el grado de cada término de la función. Como ejemplo a lo anterior veamos ejemplos:

f ( x, y ) = x 2 y + y 2 x + y 3

El grado de los 3 términos es 3 por tanto es

homogénea de grado 3

f ( x, y ) = x5 + 12 xy

Esta función tiene dos términos de grado 5 y 2 respectivamente por tanto no es homogénea. Ahora veamos si una ecuación diferencial es homogéneas. DEFINICION DE ECUACIONES DIFERENCIALES HOMOGÉNEAS: Si la ecuación diferencial tiene la forma:

M ( x, y )dx + N ( x, y )dy = 0 Y cumple con la propiedad:

27


M (tx , ty ) = t n M ( x , y ) y N (tx , ty ) = t n N ( x , y ) Se dice que la ecuación diferencial es homogénea siempre y cuando tienen el mismo grado n. MÉTODO DE SOLUCIÓN DE UNA ECUACIÓN DIFERENCIAL HOMOGÉNEA

Si la ecuación diferencial tiene el mismo grado de homogeneidad se pueden reducir a una ecuación de separación de variables utilizando una sustitución

y = ux

Si elegimos

o

x = vy ,

Donde u y v son variables dependientes.

y = ux entonces

dy = udx + xdu M ( x , u x ) d x + N ( x , u x )[u d x + x d u ] = 0

Por homogeneidad del mismo grado

[ M (1, u ) + u N (1, u ) d x + x N (1, u ) d u = 0 Y por tanto por homogeneidad la ecuación se transforma a variables separadas y procedemos a resolverla con los procedimientos para separación de variables, explicado con anterioridad en el modulo. Veamos lo anterior con ejemplos: Ejemplo: 28


Resolver la ecuación:

Solución:

y2 + x2

y 2dx + (x

dy dy = xy dx dx

- xy )dy = 0

2

Aquí M = y 2 y

N = x 2 - x y . Ambas son homogéneas y de segundo grado “X” y “Y ” . Además tenemos.

dy y2 = dx xy - x Haciendo la sustitución

O sea

2

y = ux , se obtiene: d u - u 2 x + u = d x 1 - u

u d x + x (1 - u ) d u = 0

A fin de de separar las variables, dividimos por ux, esto da:

du (1 - u ) d u + = 0 x u Integrando se tiene:

L n x +

=

L n u x u x u= u x Pero

=y =x

e

-

L n u c + u

C e

+

C =

=

u

C

u e

c

, e

u

u

Luego la solución general es:

y = C e

y / x

29


El aprendizaje significativo permite al estudiante, tener mayor conciencia sobre lo que se aprende y de los procesos que utiliza para su consolidación, así como darse cuenta del arsenal de herramientas disponibles para abordar los retos. Ecuaciones Homogéneas. Son de la forma

æ yö y¢ = f ç ÷ . èxø Se hace el cambio de la función y(x) por u(x) mediante y=ux, transformándose así la E.D. en una de variables separadas.

Ejemplo: resolver la ecuación xy

2

dy = y3 - x3 dx

La ecuación la escribimos x y d y - ( y 2

3

- x3 )dx = 0

Como es una ecuación diferencial homogénea de grado 3 sustituimos Y = ux por

d y = u dx + xd u tanto

x ( u x ) 2 ( u d x + xd u ) - (( u x ) 3 - x 3 ) d x = 0

Haciendo distribución y reduciendo la ecuación se tiene:

u 2 x 4d u = x 3d x

Como

x ¹ 0, u 2d u =

1 dx x 30

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGÍA E INGENIERÍA CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: 100412 – Ecuaciones Diferenciales 3 Integrando y = 3ln§ x¨ + 3c

u = y / x obtenemos y

3

reemplazando la sustitución Y = ux entonces

= 3 x 3 ln § x ¨ + 3 c x 3

Ejemplo: Comprueba que la ecuación diferencial

( x - y)dx + xdy = 0 resultado es

es homogénea de grado 1 y al resolver la ecuación su

x ln§ x¨ = y + cx

Lección 3: Ecuaciones exactas Si en la ecuación diferencial de la forma M ( x, y ) dx + N ( x, y ) dy = 0 El lado izquierdo corresponde a la derivada total de alguna función ecuación diferencial es exacta.

f ( x, y ) la

Criterio de exactitud Si M y N tienen derivas parciales continuas, entonces la ecuación diferencial

M ( x, y ) dx + N ( x, y ) dy = 0 es exacta si y solamente si:

¶ M ¶ N = ¶y ¶x Ejemplos de comprobación para exactitud. a) La ecuación diferencial:

( xy

2

+ x ) dx + yx 2 dy = 0 31


Es exacta porque:

¶ M ¶ N = = 2 xy ¶y ¶x

¶ ¶y

( xy

2

+ x)

b) la ecuación

= 2xy =

¶ ¶x

( yx ) 2

( y 2 + 1)dx + xydy = 0

(y

c) la ecuación cos y dx +

2

no es exacta.

+ xsen y ) dy = 0 no es exacta, a pesar de que

difiere de la primera ecuación solamente en un signo. En algunos casos se ve que una ecuación es exacta después de una agrupación adecuada de sus términos. La ecuación así ordenada se puede integrar término a término. 2

(x

Ejemplo:

- y )dx + ( y

2

- x)dy = 0

Es exacta porque:

¶ M ¶y

=

¶ (x ¶y

2

- y) = -1

¶ (y = ¶x

2

- x) =

¶N ¶x

Ejemplo:

( 4 x 3 - 2 x y ) d x + (3 x 4 y ¶M ¶y

= 12 x3y

2

- 2x =

2

- x 2)dy = 0

¶N ¶x

La ecuación es exacta. Ejemplo:

(3 e

3 x

y -

2 x ) d x +

e

3 x

d y

=

0 32

¶ M ¶ y

=

3 e

3 x

=

¶ N ¶ x


Ejemplo: La ecuación también es exacta.

(c o s y + y c o s x )d x + ( se n x - x s e n y ) d y = 0 ¶M ¶y

= - seny + cos x =

¶N ¶x

Solución de una ecuación diferencial exacta El método de solución de la ecuación diferencial exacta es el siguiente:

1. Verificamos que la ecuación diferencial sea exacta ¶M ¶N = ¶y ¶x 2. Suponemos que existe una función f tal que ¶f = M ( x, y ) ¶x

3. Encontramos f integrando ambos lados de la ecuación con respecto a x y mantenemos constante y:

f ( x, y ) = ò M ( x, y )dx + g ( y ) Donde g ( y ) es la constante de integración.

33


4. Ahora derivamos f ( x, y ) con respecto a y por tanto se debe obtener N ( x, y ) .

¶f ¶ = ( ò M ( x, y )dx + g ¢( y)) ¶y ¶y ¶ g ¢( y ) = N ( x, y ) - ò M ( x, y )dx ¶y

Donde

5. Ahora integrando esta última ecuación obtenemos respecto a y obtenemos

g ( y).

6. Reemplazamos lo encontrado y tenemos en su totalidad la función a encontrar f ( x, y ) .

Ejemplo: Hallar la solución de la siguiente ecuación diferencial

( 2xy –

3x 2 ) dx +

(x

2

– 2y ) dy = 0

Solución: La ecuación diferencial dada es exacta, ya que:

¶M ¶y

¶N ¶x

¶ 2xy - 3x 2 )= ( ¶y Podemos obtener la solución general

f (x, y) =

ò

2x=

f ( x, y )

2

y - x

3

(x

2

– 2y )

como sigue:

ò (2 x

M ( x=, y ) d x

f ( x, y ) = x

¶ ¶x

- 32 )dx

+ g ( y ) 34


Determinamos g ( y ) integrando expresiones de

N ( x, y )

con respecto a y e igualando las dos

f ( x, y ) .

g ( y ) = g ( y ) =

ò ò

N

( x , y ) d y 2

x

f (x, y) = x

2

-

2 y =d y

y - x

3

- y

- y 2

+ C

2

+ C

1

1

x2 2x dx dy = 0 Ejemplo: Resolver la ecuación y y2 Verificando las derivadas

Suponemos

f ( x, y ) =

¶M ¶N == ¶y ¶x

-

2x y2

¶ f 2x = integrando respecto a x tenemos: ¶x y

x2 + g ( y ) Ahora derivamos respecto a y se tiene: y

x2 ¶ f = - 2 + g ¢( y ) ¶x y

Igualando a

N ( x, y )

x2 x2 - 2 = - 2 + g ¢( y ) y y

Entonces g ¢( y ) = 0 por lo tanto g ( y ) = c donde c es una constante arbitraria. Reemplazando f ( x, y ) =

x2 + c esta es la función solución. y

Lección 4: El factor integrante Cuando una ecuación diferencial no es exacta se puede convertir en exacta, multiplicando por un factor apropiado

u ( x, y ) , llamado factor integrante de la

ecuación diferencial. Por ejemplo, si la ecuación diferencial 35


2y dx + x dy = 0 Es multiplicada por el factor integrante

Ecuación no exacta

u ( x, y ) = x, la ecuación resultante

2xy dx + x2 dy = 0 Otro ejemplo: si la ecuación

Es una ecuación exacta

y dx – x dy = 0 Ecuación no exacta

Si al multiplicarla por el factor integrante u ( x, y ) = resultante:

x 1 dx dy = 0 y y2

,1

y

la ecuación

2

Es una ecuación exacta.

Y luego se resuelve la ecuación de acuerdo a lo explicado anteriormente. Ahora cuando se presenta una ecuación diferencial exacta es necesario encontrar el factor integrante. Cómo encontrarlo?

(

)

Si M x, y dx factor integrante:

a )si

¶M ¶y

N

+ N ( x, y ) dy = 0

¶N ¶x

no es exacta entonces, se buscará un

= f (x)

e ò

f ( x ) d x

36


Función solo de x, entonces ecuación diferencial.

b)

si

¶M ¶y

-

¶N ¶x

es un factor integrante de la

= - g(y)

M

Función de solo de y, entonces ecuación diferencial.

e ò

g ( y ) d y es un factor integrante de la

Ejemplo

(2 xy y e y + 2 xy 3 + y ) dx + ( x 2 y y e y - x 2 y 2 - 3 x )dy = 0 ¶ M ¶ y

= 8 xy

3

e

y

+ 2 xy

4

e

y

+ 6 xy

2

+ 1

¶N = 2 xy 4 e y - 2 xy 2 - 3 ¶x

La ecuación no es exacta. Sin embargo,

¶M ¶N ¶y ¶x

=8 xy 3 e y + 8 xy 2 + 4

¶M ¶N 4 ¶y ¶x = = M y

- g( y)

Luego:

eò

g ( y ) dy

dy 1 ò - 4 L ny dx =e = e = 4 y -4

Es un factor

Integrante, al reemplazarlo en la ecuación diferencial inicial la ecuación es exacta. 37


dy x x2 x 2 4 (2 xe + 2 + 3 ) dx + ( x e - 2 - 3 4 ) dy = 0 dx y y y y

EJEMPLO

(2 x 3 y 2 + 4 x 2 y + 2 xy 2 + xy 4 + 2 y ) dx + 2( y 3 + x 2 y + x ) dy = 0

¶M = 4 x3 y + 4 x 2 + 4 xy + 4 xy 3 + 2 ¶y ¶N ¶x

= 2 (2 x y + 1)

La ecuación es exacta.

¶M ¶N ¶y ¶x = 2 xy N

El factor integrante es

eò

2 xdx

= ex

2

Si se introduce en la ecuación se convierte en: 2

2

( 2 x 3 y 2 + 4 x 2 y + 2 x y 2 + xy 4 + 2 y ) e x d x + 2 ( y 3 + x 2 y + x ) e x d y = 0 Luego la ecuación diferencial es exacta. Ejemplo 3

(y

2

– x ) dx + 2 y dy = 0

Solución: La ecuación no es exacta, ya que M x ( x, y ) = 2 y y N x ( x, y ) = 0

M y

¶M ( y - x) = 2 y ¶y

38


¶ N ¶ x

( 2

y )

=

0

Sin embargo como:

M y ( x, y ) - N x ( x, y ) N ( x, y )

ex ex

2y - 0 = = = 1 h( x ) 2y

Es un factor integrante. Multiplicando la ecuación diferencial dada por , obtenemos la ecuación exacta:

(y e

2 x

– x e x ) dx + 2y e x dy = 0

Se deja al lector para que los anteriores ejercicios sean resueltos por el método de ecuaciones diferenciales exactas. Lección 5: Ejercicios Propuestos

Sistema de Aprendizaje Auto gestionado Asistido sostienen, que el aprendizaje es para toda la vida y el proceso de aprender también debe llevarse a cabo durante todo el tiempo que vivamos, además que cada individuo elabora y construye su

39


aprendizaje y los procesos para lograrlo, de forma singular y de acuerdo a sus vivencias. 1. De a cuerdo a las ecuaciones diferenciales dadas completa los cuadros que se piden: 1)

¶ 2u ¶ 2u ¶ 2u + + +u = 0 ¶ x 2¶ y 2 ¶ x 2 ¶ y 2

2)

3

æ dr ö ÷ = è ds ø

3) ( x 2 + 4) y ” + x y - x - 2 = 0 5) 7)

d 6 x æ d 4 x öæ d 3 x ö +ç ÷ç ÷+ x = t dt 6 è dt 4 øè dt 3 ø

4) ç

d2y + t sen ( y ) = 0 dt 2

6)

dy 2 + x y = xe x dx

d 2r ds 2

+1

d2y + y sen (t ) = 0 dt 2

8) x 2 dy + y 2 dx = 0

Ecuació Ordinaria Orden Función Variables n o Parcial incógnita independien tes 1 2 Ordinaria 6 x(t) t 3 4 5 6 7 8 Tabla 1 2. Para las ecuaciones ORDINARIAS responde también a lo siguiente Ecuació Lineal Términos NO Justificación de la NO linealidad n ¿SI o lineales NO? 2 NO Los coeficientes de la cuarta y de la x iv x’’’ tercera derivada dependen de la variable dependiente 3 5 6 7 8

( )(

)

40


Ecuación Están en forma estándar Homogéne Término ¿SI o NO? a NO (si NO lo están ponerlas en esa ¿SI o NO? homogéne o forma) 1 2 3 5 8 Tabla 2 3. Por separación de variables resuelva:

1.

dy = 3x dx

2.

dy = dx

3

2

+ 1

x y

3 .x y ¢ = 4 y dx 4. = dy dp 5. = dt 6 .se c( x

1 + 2 y2 ysenx p (1 - p ) ) d y = x c o t( y ) d y

4. Determine si la ecuación diferencial es homogénea y determine el grado

x3y - x2 y2 1. f (x, y) = x + 8y

2. f ( x, y) = ( x + y + 1) 2 3. f ( x, y ) = cos(

x ) x+ y

4. Resuelva las siguientes ecuaciones diferenciales y encuentre la solución particular.

41


1.xy2

dy 3 3 = y - x , y(1) = 2 dx

2.xtdx - x 2 dt

t =x 2 + t 2 dt , t (0) = 1

5. Determine si es exacta, si es exacta resuelva la ecuación por su método caso contrario si no es exacta, encuentre el factor integrante.

1.(2 x + y ) dx - ( x + 6 y ) dy = 0

2.( x + y)( x - y)dx + x( x - 2 y)dy = 0 3.( x 2 y 3 -

dx 1 ) + x3 y 2 = 0 2 1 + 9 x dy

4.(3 x cos 3 x + sen3 x - 3)dx + (2 y + 5) dy = 0

5 x 4 = 20 2 x 8 = 16

Puedes tomar referencia de http://es.wikipedia.org METODO DE RESOLUCION

FORMULA GENERAL DE LA INTEGRACION 42


Recordemos Factor integrante solo en función de x. Si la ecuación diferencial posee un factor integrante respecto a x (es decir, entonces se puede encontrar por medio de la fórmula siguiente:

),

Factor integrante solo en función de y. Si la ecuación diferencial posee un factor integrante respecto a y (es decir, entonces se puede encontrar por medio de la fórmula siguiente:

),

Factor integrante solo en función de x·y. Si la ecuación diferencial posee un factor integrante respecto a x·y (es decir, ), entonces se puede encontrar por medio de la fórmula siguiente:

Donde M * x = M·x Mencionando que:

CAPITULO 3: CAMPOS DE APLICACIÓN DE LAS ECUACIONES LINEALES DE PRIMER ORDEN

43


Introducción Antes de entrar de lleno a los campos de aplicación es necesario realizar una nota sobre una herramienta de las matemáticas como lo es las ecuaciones de Bernoulli, ecuación muy utilizada en física y en general las ciencias naturales. Como sabemos una ecuación diferencial lineal de primer orden tiene la forma:

dy + P( x) y = Q ( x ) dx Donde P y Q son funciones continuas, y partiendo de esto no podemos olvidar que existen ecuaciones aplicativas no lineales que se pueden reducir a lineal como es el caso de las ecuaciones de Bernoulli las cuales tienen la siguiente notación:

dy + P ( x) y = Q ( x ) y n dx Donde esta ecuación será lineal si n diferente de 0.

n = 0 , pero la ecuación de Bernoulli tiene a

Realizando procesos matemáticos podemos demostrar (investiga demostración) encontramos que la solución de la ecuación de Bernoulli es:

y 1- n e ò

(1- n ) P ( x ) d x

=

ò

(1 - n ) Q ( x ) e ò

(1- n ) P ( x ) d x

esta

dx + C

Solución a la ecuación de Bernoulli. 2

Ejemplo: Solucionar la siguiente ecuación de Bernoulli

Solución:

U = -3

usamos la sustitución z = y

1- n

y ¢ + xy = xe - x y - 3

= y 4 derivando

4 y 3 , tenem os

z¢ = 4 y y¢ Multiplicando por 3

Ahora

ya

tenemos

la

4 y 3 y ¢ + 4 xy 4 = 4 xe - x ecuación

diferencial

2

lineal

2

z¢ + 4 xz = 4 xe - x donde

P ( x ) = 4 x y además integrando P se tiene la expresión 2 x

2

con lo que el 44


factor integrante para la ecuación diferencial es factor integrante la ecuación diferencial: 2 2 d [ ze2x ] = 4 xe x dx

Por tanto z = 2

Z la solución general es

e

2 x2

2

y multiplicando por este

2

2e- x + Ce-2 x sustituyendo el valor de

y 4 = 2 e - x + c e -2 x

2

Trabaja con la ecuación de Bernoulli e investiga sus aplicaciones

Lección 1: Trayectorias Ortogonales. Un problema común en electrostática, termodinámica e hidráulica es hallar la familia de curvas ortogonales toda la familia de curvas de acuerdo al comportamiento del fenómeno. Son ortogonales por que cada curva corta la familia de curvas de la solución del problema diferencial. Por ejemplo en electrostática las líneas de fuerza son ortogonales a las equipotenciales. En termodinámica es el flujo de calor ortogonal a las curvas llamadas isotermas y en hidráulica el flujo de corriente es ortogonal a las curvas potenciales de velocidad. También las curvas ortogonales son encontradas en estudios meteorológicos.

45


Primero debemos encontrar

encontramos

dy = f ( x, y ) para la familia de curvas dada, luego dx

dy -1 = permitiéndonos así encontrar las ortogonales. dx f ( x, y )

Ejemplo: Hallar las ortogonales para la ecuación térmica

y = cx 2 .

Esta familia es un conjunto de curvas parabólicas asimétricas al eje y, derivamos entonces

para encontrar

dy = 2cx dx

como la ecuación dada es

y = cx 2 .

Eliminamos c igualando c en las ecuaciones anteriores.

dy 2 y = dx x

Ahora para las ortogonales se invierte

dy - x = y la solución a esta dx 2 y

1 2 2 ecuación es: x + y = k que son las curvas ortogonales a las parábolas. 2

Grafica 2 Grafica del programa derive y Editor Matemático Mathtype Fuente: Esta investigación Autor: Carlos Buchely

46


Lección 2: Los campos de fuerza. Una aplicación de las Ecuaciones diferenciales. En la física los campos de fuerza son importantes para determinar direcciones y sentido de aplicación, intensidad de la misma y a su vez la magnitud de la fuerza aplicada, esta fuerza en su mayoría de tipo electromagnético. Veamos un ejemplo: Para hallar el campo de fuerzas dado por

2y

f ( x, y) =

x2 + y

Determinamos la pendiente del vector

2

i -

y2x x2 + y2

j

F ( x, y )

( y 2 - x)

-

x2 - y2 2y

dy = dx

-( y2 - x) = 2y

x2 - y2 En forma diferencial es

( y

2

-

x ) d x +

2 y d y

=

0

Resolviendo la ecuación

y2 - ex + 1 = Ce-x

y

2

= x – 1 + Ce

-x

es decir,

Esta función nos muestra varias curvas representativas de esta familia. Si graficáramos la ecuación observamos que el vector fuerza es tangente a la curva que pasa por

( x, y ) .

Plantea tus propios problemas de la física en campos vectoriales y encuentra los campos de fuerza mediante la ayuda de las ecuaciones diferenciales. 47


Lección 3: Aplicaciones de familias de curvas y trayectorias ortogonales Texto http://www.caribu.byethost8.com/ Lección 4: Otras aplicaciones de las ecuaciones diferenciales Como mencionamos anteriormente existe una gran gama de aplicaciones de las ecuaciones diferenciales. En este e material didáctico procederemos a encontrar solamente el modelo matemático (ecuación diferencial) de las aplicaciones y dejaremos al lector para resuelva la ecuación diferencial por procedimientos anteriormente explicados como transferencia en el curso.

Aplicación 1. Un recipiente contiene 50 litros de una mezcla de 90 y 100 de A liquido y 10 por 10 de liquido B , se vierte este deposito a 4 litros/minuto una segunda mezcla que contiene 50 por 100 y 50 por 100 respectivamente, al mismo tiempo se vacía en el recipiente a razón de 5 litros/minuto. La mezcla total se agita totalmente. Cuánto alcohol queda en el depósito después de 7minutos? Solución: Y= número de litros de B en el deposito en un tiempo t

Y = 50

Cuando t = 0 El número de litros en el instante dado t es 50-t El recipiente pierde 5 litros/minuto entonces

(

5 )y 50 - t

Es la cantidad de litros de B por minuto

Como en el recipiente entran 2 litros de B por minuto entonces la ecuación para determinar cambio de cantidad esta dada por la ecuación diferencial

48


5 dy = 2-( ) y. dt 50 - t Sugerencia (para resolver la ecuación se debe hacer

P (t ) = 5 / (50 - t )

Y además al hacer

t < 50 se omite el valor absoluto en la

integral y se reemplazaremos luego la condición inicial y = 5 cuando t = 0 obteniendo la solución general y de esta reemplazamos el valor pedido de

t= 7

minutos.

Aplicación 2. Las ecuaciones diferenciales también son muy utilizadas para modelar el comportamiento de los circuitos eléctricos. Recordemos que en un circuito simple hay una corriente I (amperios), una resistencia r (ohmios), una inductancia L (n henrios) y una fuerza electromotriz constante E (en voltios). Gracias a la ley de Kirchhoff, si se cierra el interruptor W en t=0 la fuerza aplicada es igual a la suma de las caídas de potencial en el resto del circuito por tanto la ecuación diferencial de la corriente es: L

dI + RI = E dt

Ejemplo: la siguiente ecuación diferencial del circuito

L(dI / dt)+RI = sen(2) t donde

E = sen ( 2t ) . Aplicación 3 Otra aplicación esta en la segunda ley de Newton (caída de cuerpos) donde no se desprecia la resistencia del aire al cuerpo. Aquí g=gravedad (constante), m|=masa, F=m.a La fuerza hacia abajo es: mg-kv y k es la constante de proporcionalidad. La ecuación diferencial que refleja el comportamiento es:

dv = m g - kv dt dv k + v = g dt m

m

Entonces

49


Ejemplo: Un avión deja caer un cuerpo de masa m, hallar la velocidad en t tiempo. Suponer que la resistencia del aire es proporcional a la velocidad del cuerpo. S/ recuerde al utilizar la ecuación diferencial hacer b= k/m ya que son constantes y así separar variables. Aplicación 4. En la ingeniería de alimentos, es importante pensar en la conservación de alimentos, el alimento se transforma, siendo este proceso proporcional a la concentración y (t) del alimento sin cambios. Ejemplo: Si sabemos que la concentración es de 1/40 cundo t = 0 y 1/160 tras 2 horas. Hallar la concentración sin cambios a del alimento después de 5 horas. Aquí por ser cambio proporcional a

dy = ky dx

y (t )

la ecuación es:

Resolvamos esta ecuación por separación de variables y encontremos

c haciendo y ( o ) = 1/ 40 además encontremos K haciendo y ( 2 ) = 1/160 . Luego proceda a reemplazar la condición t =5 horas. Aplicación 5. En microbiología: Los microorganismos crecen con una rapidez de acuerdo al tamaño, las ecuaciones diferenciales permiten calcular la cantidad de microorganismos en un tiempo t. Entonces la población de microorganismos esta en función del tiempo y (t) por dy

tanto la ecuación diferencial es d t = k y Ejemplo: si al comienzo hay 100 microorganismos y después de 5 horas 2000, calcular después de 8 horas.

( )

( )

Aquí y 0 = 100 y 5 = 2000 , estas serán condiciones iníciales para la ecuación diferencial. Para encontrar c y k respectivamente c con la primera condición y k con la segunda condición. (Realiza el ejercicio). APLICACIÓN 6. Problema del enfriamiento: La ley de newton establece que la razón de que un objeto se enfrié es proporcional a la diferencia de temperaturas entre objeto y medio ambiente donde T temperatura objeto y Tm temperatura medio. Entonces el 50


cambio de temperatura es

dT dTm

y por tanto la ecuación diferencial es

dT = k (T - Tm) donde k es la constante de proporcionalidad donde la ecuación es dt lineal.

Ejemplo: Un cuerpo es retirado a 500 grados y es colocado en un cuarto a 100 grados; si la temperatura del cuerpo baja hasta 300 grados en una hora, cual es la temperatura al cabo de 6 horas. Sabemos que

Tm = 100, T ( 0) = 500 y t (1) = 300 dT + KT = 100 dt

Integramos utilizando el factor integrante reemplazamos la condición

T (t ) = 75 + 225e- kt

e kt

T = 75 + ce - kt ahora

T ( 0 ) , para encontrar c,

si utilizamos

T (1)

entonces

encontramos k (Proceda a resolver el

problema con estas indicaciones). Luego encuentre lo buscado

T ( 6) .

Lección 5: Ejercicios Propuestos 1. La concentración de monóxido de carbono a bajos niveles, por ejemplo 0.00012 puede ser perjudicial para los seres humanos. Encontrar el tiempo en el cual se alcanza esta concentración. t=1 hr 21 min. 2. Un hombre y su barca pesan 98 N. La fuerza ejercida en la dirección del movimiento es 4.9 kg y la resistencia al movimiento es igual al doble de la velocidad, determinar: la velocidad 20 seg después de que la barca haya empezado a moverse. s/

v = 2.4m / seg . 3. Un cultivo de hongos crece con rapidez proporcional al tamaño. Si se tiene 1000 y después de 2 horas se tiene 2500. Cuantos hay en 6 horas. S/ 15.625 hongos.

51


4. Encontrar la corriente I en función del tiempo para un circuito de L = 1, R= 1000000 y fuerza = 1 voltio. S/ 1 amperio si t aumenta. 5. Si un cuerpo es sacado de un horno a 300 grados y se coloca en un recipiente a 75 grados, la temperatura del cuerpo decae a 200 grados en media hora. ¿Cuál es la temperatura a las 3 horas? S/ 81,6 grados. 6. Un cuerpo que pesa 64 néwtones se deja caer desde una altura de 100 metros cuya velocidad inicial es 10 m/s, la resistencia del aire es proporcional a la velocidad del cuerpo. La velocidad limite es de 128 m/s encontrar la posición en un instante t. s/

-t 13

x (t ) = 128 + 1534e - 1534

7. En un recipiente hay 1 libra de sal en 100 galones de agua. Se sabe que la solución salina entra al tanque a razón de 3 galones por minuto, se agita el recipiente y sale la solución en la misma proporción. Que cantidad de sal hay en el recipiente en 2 horas. S/ 9.52 libras. 8. Halle las curvas ortogonales de x - y = cx . 2

2

5 x 4 = 20 2 x 8 = 16

Teorema De Bernoulli

Veamos la Segunda Ley de Newton o Ley de Fuerza En términos matemáticos esta ley se expresa mediante la relación:

52


http://es.wikipedia

ACTIVIDADES DE AUTOEVALUACIÓN DE LA UNIDAD Hallar la solución general de la ecuación diferencial dada.

dy y = dx x

1.

Sol:

3.

y2 x2 - =C 2 2

(2 + x)

Sol:

2.

dy = 3y dx

y = C2 ( 2+ x )

3

Sol:

4.

dy x 2 + 2 = dx 3y 1 ö3

æx y = ç + 2x+ C ÷ ç 3 ÷ è ø 3

x

dy =y dx

Sol: y = C1 x

Hallar la solución particular de la ecuación diferencial que satisface la condición inicial dada. Ecuación diferencial

dy - ex = 0 dx dy = 0 6) x + y dx dy 7 ) y ( x + 1) + = 0 dx dy 8) xy - ln x = 0 dx 5) y

Condición inicial

y (0) = 4 y (1) = 4 ( -2) = 1 y (1) = 0

Soluciones:

y = ( eX + 16 ) 2

1 2

æ ö x ç y = -4 + 16 ÷ ç ÷ 3 ç ÷ è ø 3 2

1 2

53


1

y =

2

e

x +x 2

×1

y = lnX Averiguar si la función es homogénea, y si es así, hallar el grado. 13.

f ( x, y ) = x 3 – 4 xy 2 + y 3

Sol. La función es homogénea de tercer grado.

14.

f ( x, y ) = 2 ln xy

Sol. La función no es homogénea.

(

)

(

)

15. f x, y = tg x + y Sol. La función no es homogénea.

16. f ( x, y ) = 2 ln

x y

Sol. La función es homogénea de grado cero.

f ( tx, ty ) = f ( x, y ) Resuelva la ecuación diferencial homogénea 17.

dy x+ y = dx 2x

18.

dy x + y = dx y 54


x ×c

Sol:

æ yö ln=ç1 - ÷ è xø

2

Sol: x × c =

1 11

æy ö ç + 1÷ èx ø

3

18 Hallar las trayectorias ortogonales de la familia dada y dibújense varios miembros de cada familia, ver figura 3. a.

x2 + y 2 = C

Sol:

Gráfica 3

b. x Sol:

2

= Cy

Gráfica 4 55


2 2 c. 2x - y = C Sol:

Gráfica . 5 d. y Sol:

2

= 2Cx

Gráfica 6

Grafica del programa derive y Editor Matemático Mathtype Fuente: Esta investigación Autor: Carlos Buchely

56


19. En las pirámides de inversión La cuantía A de una inversión P se incrementa a un ritmo proporcional al valor de A en el instante t. a) Obtener la ecuación de A como función de t. Sol:

A = c ×e

r ×t

b) Si la inversión inicial es de $1000,00 y el interés del 11 por 100, calcular el capital al cabo de 10 años. r ×t Sol: c) Si el interés es del 11 por 100, calcular el tiempo necesario para doblar la inversión.

A = 1000e

Sol:

t = 6, 28

20. La tasa de crecimiento de una población en Colombia en un instante dado es proporcional al tamaño de la población en dicho momento. Si hay 180 después del segundo día del experimento y 300 después del cuarto día. ¿Cuántas había originalmente?

Sol:

Q = 65,32

57


FUENTES DOCUMENTALES DE LA UNIDAD 1 http://www.caribu.byethost8.com/

58



Justificación


1

ECUACIONES DIFERENCIALES DE SEGUNDO ORDEN Y DE ORDEN SUPERIOR En esta unidad estudiaremos las ecuaciones diferenciales de segundo orden con coeficientes constantes y su forma de solución, utilizando una herramienta del álgebra que es la ecuación característica. Además analizaremos y solucionaremos las ecuaciones homogéneas y no homogéneas de segundo orden, determinando así los diferentes casos que se pueden presentar en la ecuación diferencial. Las Ecuaciones Diferenciales de segundo orden, tienen una importancia fundamental en la Matemática y para la ingeniería debido a que muchos problemas se representan a través de leyes y relaciones físicas matemáticamente por este tipo de ecuaciones1. El interés en esta unidad es la deducción de las Ecuaciones Diferenciales a partir de situaciones físicas que se presentan en determinados problemas de carácter físico y/o técnico. - Reconoce una ecuación diferencial con coeficientes constantes. - Asocia a la ecuación diferencial con coeficientes constantes la ecuación característica. - Realiza la diferencia de las soluciones de una ecuación de de segundo orden, con respecto a las raíces de la ecuación característica. - Resuelve correctamente las ecuaciones de segundo orden y orden superior con coeficientes constantes. - Emplea correctamente los métodos para solucionar ecuaciones diferenciales homogéneas de segundo orden y orden superior. - Soluciona ecuaciones diferenciales no homogéneas por el método de coeficientes indeterminados y de variación de parámetros. - Resuelve correctamente ecuaciones diferenciales no homogéneas con coeficientes constantes.

http://personales.ya.com/casanchi/mat/problediferencial01

59


- Encuentra el operador anular para una función y lo aplica correctamente en la solución de sistema de ecuaciones. - El estudiante plantea problemas correctamente empleando la modelación con ecuaciones diferenciales. - Por ultimo, resuelve correctamente ecuaciones diferenciales lineales y cuantifica la importancia de la modelación matemática con ecuaciones diferenciales en la solución de problemas científicos. Denominación de capítulos

2.1. ECUACIONES DIFERENCIALES DE SEGUNDO ORDEN. 2.2. ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR. 2.3. CAMPO DE APLICACIONES DE ECUACIONES DE SEGUNDO ORDEN Y DE ORDEN SUPERIOR.

CAPITULO 1: ECUACIONES DIFERENCIALES DE SEGUNDO ORDEN Introducción En este aparte estudiaremos las ecuaciones diferenciales de segundo orden con coeficientes constantes y su forma de solución, utilizando una herramienta del álgebra que es la ecuación característica. Además analizaremos y solucionaremos las ecuaciones homogéneas y no homogéneas de segundo orden, determinando así los diferentes casos que se pueden presentar en la ecuación diferencial. Lección 1: Ecuaciones diferenciales de segundo orden y métodos de solución. Es necesario para comenzar con esta lección, tener en claro la notación de una ecuación diferencial de orden n , porque en la lección trabajaremos para aquellas ecuaciones donde n = 2 y así abordar las ecuaciones diferenciales de segundo orden. Definición de Ecuación Diferencial Lineal de Segundo Orden n Sea w1 , w2 ,K , wn y f funciones de x con un dominio común. Una ecuación de la forma:

y ( ) + w1 ( x ) y ( n

n -1)

+ w2 ( x ) y (

n- 2)

+ K + wn -1 ( x ) y ¢ + wn ( x ) y = f ( x )

60


n

( )

Se llama ecuación diferencial lineal de orden . Ahora si f x = 0 se dice que la ecuación es homogénea; en caso contrario, se llama inhomogénea. De Aquí en adelante nos ocuparemos de este tipo de ecuaciones diferenciales. Ahora la ecuación diferencial de segundo orden es:

y¢¢ + w1 ( x ) y¢ + w2 ( x ) y = f ( x ) Ejemplos: Son ejemplos de ecuaciones de segundo orden las siguientes.

y ¢¢ + 6 y ¢¢ + 12 y = 0 .

y ¢¢ + 4 y ¢ + 4 y = 0 d 2 y p æ dy ö k + ç ÷+ y =0 dt 2 m è dt ø m

y ¢¢ - y ¢ = 0 2 y ¢¢ + 3 y ¢ - 2 y = 0 2 y ¢¢ - 6 y ¢ + 7 y = 0 y ¢¢ - 2 y ¢ - 3 y = 2 sen x

y ¢¢ - 2 y ¢ - 3 y = e - x Solución General de Ecuaciones Diferenciales de Segundo Orden Para solucionar ecuaciones diferenciales de segundo orden se dan casos característicos para encontrar la solución general. En esta lección solamente daremos a conocer los diferentes casos que se pueden presentar en una ecuación diferencial de segundo orden: 1. Solución general como combinación lineal de soluciones linealmente independientes. Donde la clave es la ecuación característica que se puede asignar a la ecuación diferencial según la estructura de la misma. Recordando que la ecuación diferencial tiene la siguiente forma:

61


y¢¢ - ay¢ - by = 0 y en general la ecuación cuadrática

m1 =

- a + a 2 - 4b 2

m 2 + am + b = 0 tiene raíces m2 =

y

- a - a 2 - 4b 2

2. Solución de una ecuación mediante coeficientes indeterminados: funcionando bien si

f ( x ) esta formada por polinomios o funciones cuyas derivadas siguen

un modelo cíclico. 3. Solución por variación de parámetros: Para poder solucionar el problema del anterior método. Procedamos entonces a analizar estos métodos. Lección 2: La Solución General de una ecuación diferencial Combinación Lineal de Soluciones Linealmente Independientes.

como

Concepto de independencia lineal: Decimos que las funciones única solución de la ecuación

y1 , y 2 ,K , y n

son linealmente independientes si la

C1 y1 + C 2 y 2 + K + C n y n = 0 C = C =K= C = 0

2 n Donde 1 linealmente dependientes.

Ejemplo, las funciones

. En caso contrario, las funciones se dice que son

y1 ( x ) = - sen x

e

y2 = x 2 ,

linealmente independientes.

Porque los únicos valores de C1 y C 2 para los cuales

C1 (- sen x ) + C 2 x 2 = 0

Para todo x

Son C1 = 0 y C 2 = 0 .

62


Ejemplo:

y1 ( x ) = x, y2 ( x ) = 3x

son

linealmente

C1 ( x ) + C 2 (3x )= 0 presenta C1 = -3, C2 = 1 .

dependientes,

porque

Vemos entonces de aquí en adelante la importancia de la independencia lineal al construir la solución general de una ecuación diferencial lineal homogénea de segundo orden con coeficientes constantes.

La solución general de una ecuación diferencial se presenta como una combinación lineal de soluciones linealmente independientes ENTONCES: Independientes significa que ninguna es múltiplo de la otra. Si

y1 y y 2 son soluciones linealmente independientes de la ecuación diferencial

y ¢¢ + ay ¢ + by = 0

y = C1 y1 + C 2 y 2

entonces la solución general es Donde

C1 y C 2

son las constantes.

Pensemos y recordemos la solución de una ecuación diferencial de primer orden con coeficientes constantes por tanto la ecuación diferencial de segundo orden mx tiene soluciones de la forma y = e , entonces

y¢ = me mx , y¢¢ = m2emx , luego

de hacer un reemplazo nos encontramos con una ecuación característica que nos permitirá encontrar las raíces de la ecuación

m 2 e mx + ame mx + be mx = 0 63


(

)

e mx m 2 + am + b = 0

e mx

Como

nunca se anula,

y = e mx

es una solución si y solamente si

m + am + b = 0 2

Ecuación característica Recuerde que la ecuación característica puede determinarse a partir de su

y ¢¢

2

m y

y¢

ecuación diferencial simple sustituyendo por m , por , por 1. Ejemplo: Encontrar la ecuación característica de la ecuación diferencial

y ¢¢ + 4 y = 0

La ecuación característica es

m = ±2 y 2 = e m2 x = e -2 x son

m2 - 4 = 0

y1 = e m2 x = e 2 x

donde

e soluciones Entonces particulares de la ecuación diferencial dada. Además, como estas dos soluciones son linealmente independientes la solución general es

y = C1e 2 x + C 2 e -2 x También podemos decir que a independencia la podemos encontrar basándose en el wronskiano, pensando en su generalización al caso n soluciones de las ecuaciones lineales de orden n. Definición (Se propone al lector profundizar sobre este aspecto). Se designa por W[f1, ... , fn] donde dependencia en función a sus derivadas.

fi son

funciones para averiguar su

f1

f2

•••

fn

f1'

f 2'

•••

f n'

•••

•••

•••

•••

f1(n -1)

f 2(n -1)

•••

f n(n -1)

W [ f1, ..., f n ] =

Condición necesaria y suficiente para que 2 soluciones particulares

y2 ( x )

de la ecuación homogénea en I, es que:

L[y] = 0 ,

y1 ( x ) ,

sean linealmente independientes

64


W [ y1 ( x ), y2 ( x )] ¹ 0"x Î I x

W [ y1 ( x ), y2 ( x ) ] = W(x o ) e

-

ò p( t ) dt

xo

Lección 3: Ecuaciones diferenciales lineales homogéneas y no homogéneas con coeficientes Constantes. - Ecuaciones Constantes. Teniendo

en

diferenciales cuenta

los

y¢¢ + a1 ( x) y¢ + a2 ( x) y = m( x)

lineales apartes

homogéneas

anteriores

la

con ecuación

coeficientes diferencial

es una ecuación de segundo orden, pero es necesario hacer dos suposiciones: 1. los coeficientes son constantes 2.

m(x) =

0 y por tanto esta será una ecuación diferencial homogénea con

coeficientes constantes. Una ecuación homogénea tiene dos (2) soluciones independientes y por tanto es necesario recordar la solución de una ecuación cuadrática donde se pueden presentar tres casos. Todo lo anterior según la estructura de la ecuación característica (Ver lecciones anteriores). CASOS: 1. Caso 1: Soluciones reales y distintas. 2. Caso 2: Soluciones iguales y reales. 3. Caso 3: Soluciones complejas y conjugadas. Estudiemos ahora cada uno de los casos: 1. Caso 1. Soluciones reales y distintas. Al resolver la ecuación característica se tienen las soluciones m1 y m2 entonces: Solución general es

y = C1e m2 x + C 2 e m2 x 65


Ejemplo:

y ¢¢ - 16 y = 0


m 2 - 16 = 0 Ecuación característica

y1 = em1x = e4 x

y2 = e m2 x = e -4 x son

Así que m = ±4 . Luego e soluciones particulares de la ecuación diferencial dada. Además, como estas dos soluciones son linealmente independientes, la solución general es

y = C1e 4 x + C2e-4 x Ejemplo:

y¢¢ + 6 y¢ - 7 y = 0


m 2 + 6m - 7 = 0

Ecuación característica

y1 = em1x = e -7 x

y2 = em2x = e-1x

Así que m1 = -7, m2 = 1 . Luego e son soluciones particulares de la ecuación diferencial dada. Además, como estas dos soluciones son linealmente independientes, la solución general es

y = C1e -7 x + C2e1x 2. Caso 2. Soluciones iguales y reales. Al

resolver

la

ecuación m= m1 = m2 entonces: Solución general es

característica

se

tienen

las

soluciones

y = C1emx + C2 xemx Ejemplo:

y ¢¢ + 4 y ¢ + 4 y = 0

La ecuación característica 66


m 2 + 4m + 4 = (m + 2 ) = 0 2

tiene dos raíces complejas m = -2 repetidas. Luego la solución general es

y = C1e -2 x + C 2 xe -2 x Ejemplo:

Solución general

y¢¢ - 20 y¢ + 100 y = 0

La ecuación característica

m2 - 20m + 100 =( m - 10 ) = 0 2

tiene dos raíces complejas

m = 10

y = C1e10 x + C2 xe10 x

repetidas. Luego la solución general es

Solución general

3. Caso 3. Soluciones complejas conjugadas

La ecuación característica tiene Raíces complejas: Si

m1 = a + b i

y

m2 = a - b i , entonces la solución general es

y = C1ea x cos( b x) + C2ea x sen ( b x) Ejemplo: Resolver y¢¢ - 4 y¢ + 13 = 0 La ecuación característica

m2 - 4m + 13 = 0 Encontrando las raíces

m = 2 ± 3i

Siendo estas raíces complejas conjugadas.

La solución general de la ecuación diferencial es: 67


y = C1e2 x cos (3 x) + C2e 2 x sen (3x) Ejemplo: Ejemplo: Resolver

y¢¢ + 6 y¢ + 12 = 0

La ecuación característica

m 2 + 6m + 12 = 0 Encontrando las raíces

m = -3 ± 3i

Siendo estas raíces complejas conjugadas.

La solución general de la ecuación diferencial es:

y = C1e-3 x cos ( 3 x) + C2e-3 x sen ( 3 x) Recuerde que para resolver las anteriores ecuaciones diferenciales con condiciones iniciales siempre va a encontrar un sistema de ecuaciones de 2 por 2 para así encontrar las constantes C1 y C2 de la solución general. Ejemplo:

y¢¢ - 3 y¢ - 10 y 0;=y(0) 1;=y¢(0) 10=


m 2 - 3m - 10 = 0

Ecuación característica

y1 = em1x = e5 x

y2 = e m2 x = e-2 x

= m2 -2 . Luego Así que m1 = 5, e son soluciones particulares de la ecuación diferencial dada. Además, como estas dos soluciones son linealmente independientes, la solución general es

y = C1e5 x + C2e-2 x

1 = c1 + c2 Ahora hallamos

y¢

Ahora con la primera condición y ( 0 ) = 1 se tiene

y reemplazamos la segunda condición

y¢(0) = 10 donde

10 = 5c1 - 2c2 68


Con las dos ecuaciones encontradas por las condiciones iniciales se forma el

12 7

sistema de ecuaciones y al resolverlo encontramos c1 = = , c2 valores

encontrados

y= C1e + C2e 5x

para

reemplazar

en

la

-

5 7

que son los

solución

general

-2 x

entonces la solución particular es

y=

12 5 x 5 -2 x e - e 71 72

- Ecuaciones diferenciales lineales no constantes

homogéneas con Coeficientes

Ahora trabajemos en la solución de ecuaciones diferenciales de segundo orden no homogéneas con coeficientes constantes y para ello existen los otros dos métodos nombrados con anterioridad en la Lección 1 de este capitulo, donde la solución es una suma de las soluciones de una ecuación homogénea y una particular lo cual se puede dar así:

Si se tiene que y ¢¢ + ay ¢ + by homogénea de segundo orden. 1. Hacemos

F ( x ) = 0 para

= F (x ) es una ecuación diferencial lineal no

convertir la ecuación a una homogénea con

y

coeficientes constantes. Esta es la llamada solución Asociada h 2. Encontramos una solución particular de la ecuación no homogénea. Esta es

y la llamada Solución particular p 3. Sumamos los resultados de 1 y 2 y por tanto encontramos la solución general de la no homogénea:

y = yh + y p

`.

Por tanto los pasos 1 y 3 no tienen problema, lo verdaderamente nuevo para usted señor lector es como resolver el paso 2. Bueno entonces, manos a la obra: 69


Utilizaremos el método de coeficientes indeterminados donde se debe suponer que la solución

yp

es una forma general de

F (x ) .

Por ejemplo:

1. Si

F ( x ) = 3x 2

, escójase

y p = Ax 2 + Bx + C .

2. Si

F ( x ) = 4 xe x

, escójase

y p = Axe x + Be x .

3. Si

F ( x ) = x + sen 2 x

, escójase

y p = ( Ax + B ) + Csen2 x + D cos 2 x .

Entonces, por sustitución, determinamos los coeficientes de esta solución general. Por tanto

y p se la puede encontrar con base en ensayos como los anteriores.

Generalizando los ensayos los podemos denotar: si

f ( x) = dr x r + d r -1x r -1 + ... + d1x + d0

Entonces

ensayar

con

y p= cr x r + cr -1x r -1 + ... + c1x + c0 si

f ( x)= beax

Entonces ensayar con

y p = ceax

si

f ( x) = b cos b x + csenb x = y p b cos b x + csenb x

Entonces

ensayar

con

70


Si alguno de los términos de por

x

f ( x ) es solución de la homogénea, multiplicamos

la solución.

Veamos ahora ejemplos: Ejemplo

d2y dy - 3 y = 2 senx 2 dx 2 dx

Hallar la solución general de la ecuación

Solución: Para hallar

yh

resolvemos la ecuación característica:

m2 – 2m – 3 = ( m + 1)( m - 3) m = -x 3x Entonces la solución C1e + C2e

Procedemos a encontrar

yp

yh

-1 y m = 3 = C1e

-x

+ C2 e 3 x

donde utilizaremos para la

f ( x ) = 2sen ( x ) n ( x ) el ensayo y p = A cosx + B senx

d y p = - A senx + B cos x dx

d 2y p = - A co s x + B senx dx2

Reemplazando en la ecuación se tiene

( -4A - 2 B )cosx + (2A - 4 B )senx = 2sen(x)(-4A-2B) Igualados los coeficientes de

cos ( x )

y de

sen ( x ) , que dan lugar al sistema. 71


-4 A - 2 B = 0 Donde A = 1=y B

y = yh + y p

Ejemplo

y

2 A - 4B = 2

- ( 2 / 5)

1 2 C=1e - x + C2e3 x + cos( x ) - sen( x) 5 5

y¢¢ + 4 y¢ + 4 y = 2 x + 6

Entonces por pasos sería así: 1.

y¢¢ + 4 y¢ + 4 y = 0

2 La ecuación característica es: m + 4m + 4 = 0 aquí -2 x -2 x por tanto yh = C1e + C2 xe

2. para

m = -2 siendo real e igual

f ( x) = 2 x + 6 probemos con y p = AX + B

Derivando se tiene: y¢ = original se tiene:

A, y¢¢ = 0 ,

reemplazando en la ecuación diferencial

4 A = 2, 4 A + 4 B = 6 de donde

A = 1/ 2 y B = 1 por tanto

yp =

1 X +1 2

3. La solución general es la suma entonces

1 y = C1e -2 x + C2 xe -2 x + x + 1 2

Ejemplo y¢¢ + y ¢ + y = xsen ( x ) Realizando los pasos aprendidos 72


Encontramos lo siguiente

yh = e- x/2 (c1 cos

3 3 x + c2 sen x) 2 2

y p = Asen( x) + B cos( x) + Cxsen( x ) + Dx cos( x ) y p = sen( x) + 2cos( x) - x cos( x) Nota: Se deja al lector, la realización de los procesos para obtener los resultados anteriores. Su solución general es:

yh = e- x/2 (c1 cos

3 3 x + c2 sen x) + sen( x) + 2cos( x) - x cos( x) 2 2

Otro de los métodos que nombramos anteriormente y que soluciona la dificultad que se presenta al solucionar con métodos anteriores las ecuaciones diferenciales de segundo orden es el método de variación de parámetros donde nos ayuda a encontrar la solución particular

yp

Sea u1 ( x ), u2 ( x ) soluciones característica entonces existe:

miremos el camino:

independientes

de

la

ecuación

diferencial

y p = r1 ( x)u1 ( x) + r2 ( x)u2 ( x) r1¢( x)u1 ( x) + r2¢ ( x)u2 ( x) = 0 r1¢( x)u1¢ ( x) + r2¢ ( x)u2¢ ( x) = g ( x) Ejemplo: y¢¢ + y = csc( x ).cot( x) Aquí 73


m 2 + 1 = 0, yh = c1 cos( x ) + c2 sen( x)

Por tanto u1 ( x ) = cos( x), u2 ( x ) = sen( x ) ahora

y p = r1 ( x)u1 ( x ) + r2 ( x )u2 ( x ) y p = r1 ( x) cos( x) + r2 ( x ) sen( x ) Derivando según la explicación se tiene

= r1¢ ( x ) = - cot( x ), r2 ¢ ( x )

integrando encontramos los valores que necesitamos

- cot( x )

r1 = - ln( sen( x)) r2 = - cot( x) - x

Recuerde que aquí no termina el ejercicio solución, debes aplicar la combinación de

yh + y p

que es la solución general. (Termínalo).

Lección 4: Operador para la solución de ecuaciones diferenciales Daremos a conocer ahora la definición de operador diferencial, el cual se emplea para encontrar un anulador de función D. Para nosotros D será es la primera derivada, D3 segunda derivada D3 tercera derivada y así sucesivamente. Por tanto la ecuación diferencial de orden 2 quedaría así:

a2 D 2 y + a1 Dy + a0 y = f ( x ) El polinomio en términos de D se llama operador diferencial

P ( D ) , y si los

coeficientes de este polinomio son constantes entonces:

P ( D ) Es factorizable y dichos factores cumplen con la ley conmutativa. Ahora el operador anulador se define así: Si

y = f ( x ) es una función derivable 2 veces, entonces a2 D 2 + a1 D + a0

si cumple que 74


(a2 D 2 + a1 D + a0 ) f ( x ) = 0 Ejemplos: Función que anula

x

Operador anular

5

D

7 x 4 - 6 x3 + 8

6

D5 (D - a)

e ax

x

D2

En general 1.

Dn

anula funciones

1, x, x 2 , x3 , x 4 ,..etc.

n 2. ( D - a) anula funciones

eax , xeax , x 2eax , x3eax ..etc

3. ( D - 2a D + (a + b )) anula funciones 2

2

2

n

eax cos b x, xeax cos b x, x2eax cos b x,...etc, eaxsenb x, xeaxsenb x, x2eaxsenb x,...etc

Ejemplo: encontrar el operador que anule a f ( x ) = e x cos(2 x) Nos remitimos a 3 entonces

a = 1, b = 2 Reemplazando en 3 se tiene:

( D 2 - 2 D + 5). f ( x ) = 0 Recuerde que el operador es útil para solucionar sistemas de ecuaciones diferenciales, donde la solución de un sistema de ecuaciones diferenciales es un conjunto de funciones derivables

g ( t ) , f ( x ) , w ( t ) , etc., que satisfacen las

ecuaciones. Ejemplo: dx = 2x - y dr dy = x dr Utilizando operadores D se tiene

( D - 2) x + y = 0 - x + Dy = 0 Formándose un sistema de ecuaciones 2 por 2 eliminamos la variable y multiplicando la primera ecuación por D entonces nos queda una ecuación en términos de

x así:

75


( D 2 - 2 D + 1) x = 0

Ahora tenemos que la ecuación característica es

m 2 - 2m + 1 =(m - 1)2 Así mismo eliminamos y tomando la ecuación y multiplicando por ecuación característica será ( D - 2 D + 1) y = 0 2

( D - 2)

y la

ecuación característica es

m - 2m + 1 =(m - 1) sustituyendo lo anterior podemos demostrar que la solución 2

2

x( r ) = c1e r + c2re r del sistema es

y ( r ) = (c1 - c2 )e r + c2re r

Lección 5: Ejercicios Propuestos 1.

Por el método de variación de parámetros resolver:

y¢¢ - 2 y¢ + y = a)

b)

c)

ex 2x

1 sol : c1e x + c2 xe x - xe x + xe x ln x 2 w¢¢ + w = tg ( x ) sol : c1 cos( x) + c2 sen( x) - cos( x) ln(sec x + tgx )

y¢¢ + y = csc( x) cot( x) sol : c1 cos( x ) + c2 sen ( x ) - cos( x ) ln( sen( x )) - cos( x ) - xsen ( x )

2. Encuentre el operador anulador para

a)

b)

f (t ) = 5e3t - 6te 2t sol : ( D - 3)( D - 2) 2 (5e3t - 6te 2t ) = 0 f (t ) = e - t sen(t ) - e -2t cos(t ) sol : ( D 2 + 2 D + D )( D 2 + 4 D + 5)(e - t sen(t ) - e -2t cos(t )) = 0

3. Encontrar la solución general de las siguientes ecuaciones diferenciales:

76


x 2 y ¢¢ + ( y ¢)2 - 2 xy ¢ = 0 a)

x2 x 1 sol : + + 2 ln( c1 x - 1) + c2 2 c1 c1

2 y ¢¢ = ( y ¢) 2 + 1 b)

x sol : y = - 2 ln(cos( + c1 )) + c 2 2 y ¢¢ - 4 y ¢ + 4 y = 0

c)

sol : y = e 2 x ( c1 x + c2 ) y ¢¢ + y = 0

d)

sol : y = c1 cos( x ) + c 2 sen ( x )

1 1 y¢ - 2 y = 0 x x sol : c1 x + c 2 x -1 y ¢¢ +

e)

4. Encontrar la solución particular de las anteriores ecuaciones cuando

y (0) = 4, = y¢(0) -1 5. Hallar una solución particular de las siguientes ecuaciones diferenciales no homogéneas:

a) y¢¢ + 5 y ¢ - 14 y = e 2 x 1 sol : y p = xe 2 x 9 b)4 y ¢¢ + 4 y¢ + y = 4e

-

x 2

1 2 - 2x sol : y p = x e 2 6. Halle la ecuación diferencial por medio del operador

77


1.( D 2 - 2 D + 1) y= e x + 3 sol : e x (c1 x + c2 ) +

1 2 x x e +3 2

2.( D 2 + 4 D) y = cos( x) 1 sol : c1 + c2 e-4 x + (4 sen( x) - cos( x)) 17 5 x 4 = 20 2 x 8 = 16

Los siguientes conceptos los puedes consultar en: - www.wikipedia.com - www.monografias.com - enciclopedia virtual Encarta ☻ Recordemos que un operador diferencial es un objeto matemático que permite ☻ La conversión de una función en otra, así el operador derivada convierte una ☻ Función en una función diferente llamada la función derivada ☻ Recordemos que deben cumplir con la forma y(n) + an−1(t)y(n−1) + · · · + a1(t)y0 + a0(t)y = f (t), ☻ El operador diferencial D, de una función es aquel que se emplea como anulador. ☻ Formula de la ecuación diferencial lineal de segundo orden;

y¢¢ + w1 ( x ) y¢ + w2 ( x ) y = f ( x )

☻ Formula de la ecuación lineal de segundo orden homogéneo

78


y¢¢ + w1 ( x ) y¢ + w2 ( x ) y = 0 ☻ Una ecuación diferencial lineal homogénea de segundo orden tiene la forma L[y] = yn + a1y’+ a2y = 0 ☻ Las ecuaciones diferenciales lineales no homogéneas de segundo orden con coeficientes constantes; son de las ecuaciones de la Forma

Yy´´ + by´ + c = k(x)

☻ Formula de la ecuación lineal de segundo orden no homogéneo

y¢ + w1 ( x) y¢ + w2 ( x) y = f ( x)

☻ Para la solución de la ecuación lineal: se tiene en cuenta la ecuación característica y sus raíces. CAPITULO 2: ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR Introducción. Ahora en este capítulo nos interesa la s ecuaciones diferenciales cuyo orden n > 2 . Las ecuaciones diferenciales lineales ordinarias de orden superior tienen una gran variedad de aplicaciones a muchas situaciones físicas y ricas en consideraciones teóricas como son el teorema de la existencia y unicidad cuya demostración no es fácil de encontrar en libros de esta asignatura por eso y mucho más las ecuaciones diferenciales lineales d orden superior ocupan un lugar muy importante en la teoría matemática. Lección 1: Ecuaciones diferenciales lineales de orden n. Una ecuación diferencial cuya estructura es:

a0 y ( n ) + a1 ( x ) y ( n -1) + a2 ( x ) y ( n- 2) + K + an -1 ( x ) y¢ + an ( x ) y = f ( x ) Se llama ecuación diferencial lineal de grado n . Si f ( x ) = 0 la ecuación recibe el nombre de ecuación diferencial lineal de grado n homogénea y en caso contrario será no homogénea. Ejemplo: 1. y (4) - 2 y ¢¢ + 3 y ¢ - 6 y = 0

79


Lección 2: Ecuaciones diferenciales de orden superior con coeficientes constantes. Una ecuación diferencial lineal de n-ésimo orden en la que todos los coeficientes son constantes reales; es decir que sea de la forma:

a 0 y ( ) + a1 ( x ) y ( n

n -1)

+ a2 ( x ) y (

n- 2)

+ K + an -1 ( x ) y ¢ + an ( x ) y = f ( x )

Donde a 0 , a1 , a2 ,K , an -1 , an son constantes reales Ejemplo: 1 y 1. p

3

-

7 y ¢¢ + 2 y = s e n x

Lección 3: Ecuación diferencial de orden superior homogénea y no homogénea con coeficientes constantes. Ya hemos visto que las ecuaciones diferenciales lineales de orden superior con coeficientes constantes, pueden ser homogénea y no homogénea, todo depende de quien sea f ( x ) , si es idénticamente cero estamos hablando de una ecuación diferencial lineal con coeficientes constantes homogénea y en caso contrario estamos frente a una ecuación diferencial no homogénea. Ejemplos: 1. 5 y 3 - 2 y ¢ ¢ + 2 y = e t g x + 1 0 y 5 ecuación no homogénea. 2. y 5 - y ¢ ¢ - 3 3 y = 0 ecuación homogénea.

Lección 4: Métodos generales de solución de las ecuaciones diferenciales de orden superior. Ver en http://www.caribu.byethost8.com/ Para resolver una ecuación diferencial lineal de orden superior hay que tener en cuenta primero la ecuación diferencial homogénea para la cual se plantea y resuelve la ecuación característica y la naturaleza de sus raíces y luego se resuelve la ecuación no homogénea y la forma de f ( x )

para poder aplicar y encontrar un operador diferencial anulador. Los métodos de solución son los mismos que para la ecuación diferencial de segundo orden solo hay que hacer unas pequeñas adaptaciones. Lección 5: Ejercicios propuestos. 80


Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales de orden superior: 1.

y (4) - y = 0

sol: 2.

y¢¢¢ - 6 y¢¢ + 11y¢ - 6 y = 0

sol: 3.

y = c1e x + c2e- x + c3sen( x) + c4 cos( x)

y = c1e x + c2e2 x + c3e3 x

y¢¢¢ - 3 y¢¢ + 7 y¢ - 5 y = 0

sol:

y = c1e x + e x (c2 sen(2 x) + c3 cos(2 x)

Resuelva por el método de coeficientes indeterminados 5.

y¢¢¢ - 3 y¢ + 2 y = 2e-2 x

sol : y = c1e x + c2 xe x + (c3 + 6.

2 x -2 x )e 9

y¢¢¢ - y¢¢ 4 x 2=, y (0) 1,=y¢(0) 1,=y¢¢(0) 1 = 5 x 4 = 20 2 x 8 = 16

Ecuación diferencial lineal de orden n

a0 y ( ) + a1 ( x ) y ( n

n -1)

+ a2 ( x ) y (

n - 2)

+ K + an -1 ( x ) y ¢ + an ( x ) y = f ( x )

Ecuaciones diferenciales de orden superior con coeficientes constantes

a 0 y ( ) + a1 ( x ) y ( n

n -1)

+ a2 ( x ) y (

n - 2)

+ K + an -1 ( x ) y ¢ + an ( x ) y = f ( x ) 81


Donde a 0 , a1 , a2 ,K , an -1 , an son constantes reales Ecuación diferencial lineal de orden n homogénea

a 0 y ( ) + a1 ( x ) y ( n

n -1)

+ a2 ( x ) y (

n - 2)

+ K + an -1 ( x ) y ¢ + an ( x ) y = 0

Ecuación diferencial lineal de orden n no homogénea

a 0 y ( ) + a1 ( x ) y ( n

n -1)

+ a2 ( x ) y (

n - 2)

+ K + an -1 ( x ) y ¢ + an ( x ) y = f ( x )

Para solucionar una ecuación diferencial lineal de orden n se tiene en cuenta las mismas condiciones que para ecuación de segundo orden donde la naturaleza de las raíces la da la ecuación característica. Cuando la ecuación diferencial de orden n es no homogénea, se resuelve primero la ecuación homogénea y luego se halla un operador diferencial anulador según sea f ( x ) .

CAPITULO 3: CAMPO DE APLICACIONES DE ECUACIONES DE SEGUNDO ORDEN Y DE ORDEN SUPERIOR

Introducción Las ecuaciones diferenciales lineales de orden superior, tienen una gran variedad de aplicaciones importantes; en particular, las ecuaciones diferenciales lineales de segundo orden con coeficientes constantes tienen numerosas aplicaciones tanto en la física e ingeniería mecánica y electricidad, como son la ecuación diferencial de las vibraciones de una masa en un resorte, movimiento libre no amortiguado, movimiento libre amortiguado, movimiento forzado, etc.

Lección 1: Aplicaciones de las ecuaciones diferenciales de segundo orden Las ecuaciones diferenciales de segundo orden tienen aplicaciones en física en la ingeniería mecánica y en la electricidad, cuyos problemas se solucionan planteando y resolviendo una ecuación diferencial de segundo orden. Como: ·

la ecuación diferencial de las vibraciones de una masa de un resorte

82


d 2x dx m 2 + a + kx = F ( x ) dt dt ·

movimiento libre amortiguado

d 2x dx m 2 + a + kx = 0 dt dt Lección 2: Aplicaciones de las ecuaciones diferenciales de orden superior Las ecuaciones diferenciales de orden superior tienen su aplicación en el campo de la mecánica celeste, es una herramienta poderosa para los astrofísicos en el descubrimiento de nuevas formas en el universo. Plantear y solucionar una ecuación diferencial de orden superior no es fácil, tiene su trabajo.

Lección 3: Ecuaciones diferenciales de Euler Anteriormente se estudió la forma de solucionar ecuaciones diferenciales de orden n con coeficientes constantes. Se vio también la forma de de la función complementaria se puede determinar fácilmente. Sin embargo la ecuación diferencial lineal de orden n con coeficientes variables es un asunto completamente diferente, y solo en ciertos casos especiales la función complementaria se puede obtener explícitamente en forma cerrada. Un caso especial, de considerable importancia práctica, para la que afortunadamente esto se puede lograr, es la llamada ecuación de Euler (o bien, ecuación equidimensional). Esta ecuación es de la forma:

a0 x n y ( ) + a1 x n -1 ( x ) y ( n

Donde

n -1)

+ K + an -1 x ( x ) y¢ + an y = f ( x )

a 0 , a1 , a2 ,K , an -1 , an son constantes reales. Observe la característica

especial de esta ecuación cada término del primer miembro es un múltiplo constante de una expresión de la forma:

dky x dx k k

La transformación x = et reduce la ecuación

a0 x n y ( ) + a1 x n -1 ( x ) y ( n

n -1)

+ K + an -1 x ( x ) y¢ + an y = f ( x ) 83


a una ecuación diferencial lineal con coeficientes constantes. Ejemplo:

x2

d2y dy - 2 x + 2 y = x3 2 dx dx

Al introducir la expresión x = et ; entonces, suponiendo x > 0 se tiene t = ln x y dy dydt dy = = dx dtdx xdt d 2 y 1 æç d 2 ydt ö÷ 1 dy 1 æç d 2 y dy ö÷ ÷ = = - ÷ ç ç dx 2 x çè dt 2 dx ø÷÷ x 2 dt x 2 èç dt 2 dt ø÷÷

Así se transforma en

d2y dy - 3 + 2 y = e 3t 2 dt dt La cual ya se resuelve por los métodos antes ya vistos.

Lección 4: Ecuaciones diferenciales de Chebyshev y de Bessel

d2y dy + x + ( x 2 - p 2 ) y = 0 donde p es en parámetro, 2 dx dx se llama ecuación de Bessel de orden p . La ecuación de Bessel y las funciones La ecuación diferencial x 2

de Bessel se presentan en conexión con muchos problemas de la física y la ingeniería, y existe una amplia literatura que trata la teoría y la aplicación de esta ecuación y sus soluciones. Si p = 0 la ecuación anterior es equivalente:

d2y dy x + x + xy = 0 2 dx dx 2

y se llama ecuación de Bessel de orden cero. Esta ecuación tiene soluciones en un intervalo 0 £ x £ R . La ecuación de Chebyshev tiene la siguiente estructura:

84


(1- x2 ) y ¢¢ - xy ¢ + p2 y = 0 donde p es una constante real.

Lección 5: Ejercicios Propuestos Resolver los siguientes problemas: 1. un peso de 12bl está colocado en el extremo inferior de un resorte suspendido de un techo. el peso se encuentra en reposo en su posición de equilibrio, el resorte está estirado 1.5 in. Después el peso se empuja hacia debajo de su posición de equilibrio 2 in y se suelta desde el reposo en t = 0 . Determine la amplitud, el periodo y la frecuencia del movimiento resultante, y trace la gráfica del desplazamiento como una función del tiempo. 2. Un peso de 64 lb. Está unido al extremo inferior de un resorte que esta suspendido del techo. La constante del resorte es de18lb/pie. El peso se encuentra en reposo en su posición de equilibrio; después, se desplaza 6 in hacia debajo de está posición y se suelta en t = 0 . En este instante se aplica una fuerza externa expresada matemáticamente por f (t ) = 3cos w .

Suponiendo que no existe amortiguamiento, determine el valor de w que da lugar a una resonancia no amortiguada.

Resolver las siguientes ecuaciones:

d2y dy 1. x - 3x + 3 y = 0 2 dx dx 2

2. x 2

d2y dy + 12 x - 5 y = 0 2 dx dx

3. x 2

d2y dy + x +12 y = 0 2 dx dx

2 d3y dy 2 d y 4. x - 4x + 8 x - 8 y = 4ln x 3 2 dx dx dx 3

85


5. x 3

d2y = senx + eln x 2 dx

6. demuestre que J 0 (kx ) , donde k es una constante, satisface la ecuación diferencial

x

d 2 y dy + + k 2 xy = 0 2 dx dx

5 x 4 = 20 2 x 8 = 16

Las ecuaciones diferenciales de segundo orden tienen muchas aplicaciones dentro de la física, la mecánica y la electricidad. Las ecuaciones diferenciales de orden superior tienen muchas aplicaciones dentro de la astrofísica, la mecánica celeste. La ecuación de Euler :

a0 x n y ( ) + a1 x n -1 ( x ) y ( n

n -1)

+ K + an -1 x ( x ) y¢ + an y = f ( x )

La ecuación de Bessel:

x2

d2y dy + x + ( x2 - p 2 ) y = 0 2 dx dx

La ecuación de Bessel de grado cero:

x2

d2y dy + x + xy = 0 2 dx dx

86


ACTIVIDADES DE AUTOEVALUACIÓN DE LA UNIDAD Determinar la solución de cada un de las siguientes ecuaciones diferenciales:

1. y ¢¢ - 5 y ¢ + 7 y = 0 2. 3y ¢¢ -11 y ¢ + 5 y = 0 3. 3y ¢¢ - 4 y ¢ = 0 4. y ¢¢ - 6 y ¢ + 6 y = senxtgx - 3e x + 4 x 2

5. 12 y ¢¢ - 5 y ¢ + 8 y = 1 Determinar la solución de cada un de las siguientes ecuaciones diferenciales:

1. 12y ¢¢¢ +15 y ¢ + 6 y = 0 2. y 4 -12 y 3 + y ¢ + 2 y = 0 3. 3y 3 -14 y ¢¢ + 15 y ¢ = 0 4. 23y ¢¢¢ - 22 y ¢¢ + 26 y ¢ - 22 y = 36e-2 x 1

5. y ¢¢¢ -15 y ¢¢ + 16 y ¢ -18 = e senx

Resolver las siguientes ecuaciones: 7. x 2

d2y dy - 23 x + 13 y = 0 2 dx dx

8. x 2

d2y dy - 2 x + 45 y = 0 2 dx dx

9. x 2

d2y dy + 11x -12 y = 0 2 dx dx

10. x 3

2 d3y dy 2 d y 4 x + 58 x + 8 y = ln x 3 2 dx dx dx

11. x 3

d2y = senx dx 2

87


FUENTES DOCUMENTALES DE LA UNIDAD 2 ·

AYRES, Frank Jr. Calculo diferencial e integral. Teoría y problemas. Latinoamericana S.A, 1982.

·

N, Piskunov Cálculo diferencial e integral. Editorial Limusa. Noguera editores.

·

TAKEUCHI, RAMIREZ, RUIZ. Ecuaciones Diferenciales. Limusa, Bogotá, 2.000.

88



ESTUDIO DE SERIES Y FUNCIONES ESPECIALES En la presente unidad se abordaran temas claves para la resolución de ecuaciones diferenciales que implican el conocimiento desde la definición y clasificación de series matemáticas, técnicas para resolver ecuaciones diferenciales mediante series matemáticas, hasta el estudio de propiedades y convergencia de series de potencia, complementando con las series de Taylor y maclaurin como apoyo a la solución de ecuaciones diferenciales lineales de orden dos o superior. En complemento con lo anterior y buscando afianzar el conocimiento se proponen una serie de ejercicios de acuerdo a las temáticas presentadas los cuales deberán ser resueltos utilizando los planteamientos expuestos en cada teoría y que pueden ser complementados con otras fuentes documentales consultadas por el estudiante. Con esto se pretende orientar al estudiante en el reconocimiento, definición y aplicación de los temas planteados hacia la resolución de ecuaciones diferenciales.

Justificación

El estudio de series y funciones especiales para la solución de ecuaciones diferenciales es un tema necesario y que todo estudiante debe realizar para resolver este tipo de ecuaciones clasificadas en lineales, de orden dos o superior con coeficientes constantes buscando la solución que se pueda expresar explícita o implícitamente en términos de las funciones elementales llevando a un proceso complejo, en donde las series y funciones especiales se constituyen como un factor muy importante en el desarrollo de este tipo de ecuaciones basado en métodos, gráficos, numéricos y en especial las series de potencias y las series de Taylor y maclaurin. Con la adquisición de estos conocimientos el estudiante 89



contara con una herramienta valiosa a la hora de trabajar con este tipo de ecuaciones buscando de forma mas efectiva y mejor orientada la solución y aplicación del conocimiento obtenido en diferentes áreas relacionadas con este tema. En esta unidad el estudiante tendrá la oportunidad de adquirir, reconocer, definir y aplicar conocimientos relacionados con procedimientos y técnicas para resolver ecuaciones diferenciales; al brindar conocimientos teóricos y también la posibilidad de aplicación práctica mediante los ejercicios propuestos al final de cada tema en donde al final el estudiante lograra: . Aplica los conceptos básicos de series matemáticas. · Define las series de potencias · Reconoce la diferencia entre la aplicación de las series de potencias para ecuaciones diferenciales de primer orden y Orden superior. · Reconoce funciones y series especiales · Relaciona las funciones y series especiales con las Ecuaciones diferenciales. · Aplica el tema de series y funciones matemáticas para la solución de las ecuaciones diferenciales Buscando de esta manera que el estudiante desarrolle competencias argumentativas y propositivas orientadas a enriquecer el conocimiento en los temas planteados en esta unidad.

Denominación de capítulos

3.1. GENERALIDADES DEL ESTUDIO DE SERIES. 3.2. SOLUCION DE ECUACIONES DIFERENCIALES MEDIANTE SERIE DE POTENCIAS. 3.3. FUNCIONES ESPECIALES Y SERIES MATEMATICAS.

CAPITULO 1: GENERALIDADES DEL ESTUDIO DE SERIES

Introducción 90


En esta unidad usaremos las series matemáticas y en especial la serie de potencias para resolver ciertos tipos de ecuaciones diferenciales. Por tanto en las lecciones siguientes se tratan únicamente de efectuar un breve repaso de las series de potencias. Se expondrán los conceptos y propiedades, sin realizar las demostraciones, además se darán a conocer funciones especiales que se expresan mediante ecuaciones diferenciales. (Estos temas serán retomados en un nuevo curso como es el caso del análisis numérico o métodos numéricos, como también matemáticas especiales). Lección 1: Definición de serie matemática http://www.caribu.byethost8.com/ Lección 2: Clasificación de las series matemáticas http://www.caribu.byethost8.com/ Lección 3: Técnicas para resolver Ecuaciones Diferenciales mediante series matemáticas http://www.caribu.byethost8.com/ Lección 4: Definimos el concepto de punto ordinario y punto singular regular en una Ecuación diferencial. El

punto

x0

se

llama

punto

d2y dy a0 ( x ) 2 + a1 ( x ) + a2 ( x ) y = 0 si dx dx

ordinario

de

la

ecuación

diferencial

a1 ( x ) a2 ( x) de la ecuación normalizada y a0 ( x ) a0 ( x )

d 2 y a1 ( x ) dy a ( x ) + ( x ) + 2 ( x ) y = 0 son analíticas en x0 . si una de ellas o ambas 2 dx a0 ( x ) dx a0 ( x)

no es analítica en x0 entonces x0 se llama punto singular de la ecuación diferencial. Ejemplo: 1.

2.

d2y dy + x + ( x 2 + 2) y = 0 aquí x y x 2 + 2 son polinomios y son analíticos 2 dx dx en todo ¡ son todos los puntos ordinarios d2y x dy 1 y = 0 los puntos x = 0 y x = 1 la función no es + + 2 dx x -1 dx x ( x -1)

analítica, luego son puntos singulares.

91


Lección 5: Ejercicios Propuestos. Determine la solución en serie de potencias de x de cada una de las ecuaciones diferenciales 1.

d2y dy +x + y=0 2 dx dx

2.

d2y dy + x + x2 y = 0 2 dx dx

d2y dy 3. + x + x3 y = 0 2 dx dx 4.

d2y dy + x + ( x 2 -1) y = 0 2 dx dx

5.

d2y dy 1 y=0 +x + 2 dx dx x ( x + 1)

5 x 4 = 20 2 x 8 = 16

Una serie de potencias en torno al punto xo es una expresión de la forma:

¥

åcn ( x-x0) = c0 +c1(x-x0)+... +cn(x-x0)n +... n

n=0

Una serie de potencias es convergente cuando su n-ésimo término tiende a cero, cuando n crece indefinidamente. Solucionar una ecuación diferencial por medio de series infinitas no es más que buscar un método para solucionar ecuaciones que no se pueden resolver tan fácilmente. 92


Las series de potencias se pueden derivar, integrar, dos aspectos fundamentales para la solución de ecuaciones diferenciales.

CAPITULO 2: SOLUCION DE ECUACIONES DIFERENCIALES MEDIANTE SERIE DE POTENCIAS Lección 1: Estudio de Series De Potencias. Se suponen conocidas las series numéricas y también los conceptos fundamentales relativos a las series de potencias. Definiciones: Una serie de potencias en torno al punto xo es una expresión de la forma:

¥

n c x x c c x x c x x = + ( ) + ... + ( ) ( ) ån 0 0 1 0 0 +... n n

n=0

Donde los -

cn

son constantes.

La serie converge en el punto x = a, si converge la serie numérica ¥

å cn ( a - x0 )

n

n= 0

N

Es decir, si existe y es finito el límite suma de la serie en

lim å cn ( a - x0 )

N ®¥

x = a.

Caso contrario la serie diverge en

n= 0

n

, que se designa

x = a.

- La serie puede converger para algunos valores de x y no para otros. Siempre converge para x =

x o , siendo co su suma en dicho punto.

Es necesario dar a conocer un teorema que nos permitirá decir donde converge la serie, este es el llamado teorema de Abel.

93


Teorema de Abel ¥

å a n ( x - x0 )n

“Una serie de potencias

n=0

converge siempre para todo valor de

x - x0 > R . x de un cierto intervalo abierto I = x 0 - R, x 0 + R y diverge si En los extremos del intervalo puede converger o no. Además en el intervalo la convergencia es absoluta, es decir, que converge en el

(

)

¥

å a n ( x - x0 ) n

intervalo y la serie se puede escribir n=0 I = intervalo de convergencia.

Ahora la tarea es hallar el radio de convergencia de la serie: Es necesario tener en cuenta el siguiente criterio: Si existe lim n an = m , entonces R = n ®¥ Si existe lim n®¥

an+1 = m , entonces an

(Se entiende que si

lim n®¥

å

n=0

an = m y

R=

1 m

m = 0 es R = ¥ y si m = ¥ , es R = 0 )

Ejemplo 1: averiguar si la serie converge en ¥

n

1 m

x =3

(- 2 ) n ( x - 3 ) n n+1

Solución:

Es

an

n -2) ( =

n +1

. Luego

lim n®¥

an +1 2( n + 1) = lim = = n®¥ ( n + 2) an

2

m

94


Luego

1 R= 2

1 æ ç3 - , 3 + è 2 y por tanto la serie converge en

1ö ÷ 2ø

æ5 7ö , ÷ ahora reemplazando è2 2ø

es decir I = ç

¥

En

x=

5 , la serie es 2 ¥

En

x=

7 , es 2

n=0

que diverge por ser la armónica.

( -1) n

å n +1

n=0

1

å n+1

que converge (armónica alternada)

Ahora resolvamos ecuaciones diferenciales por medio de series.

Todas las funciones se pueden expresar como series de potencias, aquellas Funciones que si se pueden expresar se llaman analíticas.

Lección 2: Propiedades y Convergencia de las series de potencias. http://www.caribu.byethost8.com/ Lección 3: Solución de ecuaciones diferenciales de primer orden mediante Series de potencias. No todas las ecuaciones diferenciales se pueden desarrollar por medio de los métodos tradicionales que se han mencionado en las lecciones anteriores, por tanto es necesario recurrir a las series y en especial a las series de potencias.

Debemos recordar que una serie de potencias representa a f(x) en un intervalo de convergencia I, y que podemos derivar la serie de potencias sucesivamente, para obtener series para

f , f ¢, f ", f ¢¢¢´, etc .

95


Paso 1. Se considera la solución como serie.

y = c0 + c1 x + c2 x 2 + ....

Donde las constantes se deben determinar.

¥

y = å cn x n n =0

Paso 2. Derivamos la ecuación anterior

dy = c1 + 2c2 X + 3c3 x 2 = dx

¥

y¢ = å ncn x n-1 n=0

Paso 3. Sustituimos los resultados anteriores en la ecuación diferencial a solucionar. Paso 4. Comparamos coeficientes de los dos miembros y hallamos los valores C Paso 5. Sustituimos en la solución en serie del paso 1. De tal manera que la serie encontrada es la solución general de la ecuación diferencial dada. Paso 6. Teniendo una condición inicial encontramos la constante encontramos la solución particular.

c0

y así

Veamos ejemplos tanto para ecuaciones diferenciales lineales como para ecuaciones diferenciales no lineales.

Ejemplo: Hallar la solución general de la ecuación diferencial y ¢ - 2 y = 0 Paso 1. Se considera la solución como serie.

96


¥

y = å cn x n n =0

Paso 2. Derivamos la ecuación anterior ¥

y¢ = å ncn x n-1 n=0

Paso 3. Sustituimos los resultados anteriores en la ecuación diferencial a solucionar.

y¢ - 2 y

¥

å nc= x n

n= 0

¥

å nc x n= 0

n -1

¥

- 2å cn x n = 0 n= 0

¥

= 2å cn x n = 0

n-1

n

n= 0

Paso 4. Comparamos coeficientes de los dos miembros y hallamos los valores C ¥

å ( n + 1) c n =0

n+1

x

n

¥

=2å cn x n =0 n =0

Obtenemos la formula de recurrencia

cn+1 =

2cn , n +1

( n + 1) cn+1 = 2cn de donde

n³0

Esta formula genera los resultados siguientes en términos de c0

97


c1 = 2c0 2c1 22 c0 c2 = = 2 2

2c2 23 c0 23 c0 c3 = = = 3 2 ×3 3!

2c c4 = 3 4

24 c0 = 2 × 3× 4

2 4 c0 = 4!

M 2 n c0 cn = n! Paso 5. Sustituimos en la solución en serie del paso 1. De tal manera que la serie encontrada es la solución general de la ecuación diferencial dada. ¥

¥ 2n c0 n 2n n y=å x = c0 å x = c0e2 x n =0 n ! n =0 n !

Ejemplo: Hallar la solución general de la ecuación diferencial y¢ + xy= 1 - x

2

Paso 1. Se considera la solución como serie.

¥

y = å cn x n n =0

Paso 2. Derivamos la ecuación anterior

98

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGÍA E INGENIERÍA CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: 100412 – Ecuaciones Diferenciales ¥

y¢ = å ncn x n-1 n= 0

Paso 3. Sustituimos los resultados anteriores en la ecuación diferencial a solucionar.

y¢ + xy=

¥

å nc x n

n= 0

n-1

¥

+ x=å cn x n 1 - x 2 n= 0

Paso 4. Comparamos coeficientes de los dos miembros y hallamos los valores C

c1 = 1

c2 = -

c0 2

c3 = ( -1 - c=1 ) / 3 -

Así sucesivamente, encontraremos los

2 3

c4 =

c0 2 c5 = 8 15

c6 = -

c0 48

cn

Paso 5. Sustituimos en la solución en serie del paso 1. De tal manera que la serie encontrada es la solución general de la ecuación diferencial dada. Aquí la daremos a la solución una nueva forma de expresión:

y = c0 + x -

c0 2 2 3 c0 4 x - x + x + .... 2 3 8

Se deja al estudiante encontrar una solución particular para este ejercicio con las ecuaciones resultantes. Sol. Co = 1

Comúnmente este tipo de solución se llama solución alrededor de cero.

Lección 4: Solución de ecuaciones diferenciales de orden superior mediante series de potencias. 99


Para esta lección consideremos el mismo proceso de solución de ecuaciones diferenciales de primer orden. Ejemplo: Hallar la solución general de la ecuación diferencial

y ¢¢ + xy ¢ + y = 0

Paso 1. Se considera la solución como serie. ¥

å

y =

n=0

cn x n


y¢ = å ncn x= ,

¥

xy=¢

n -1

n =1

å nc x ,

=n 1

y¢¢

n

n

¥

å n ( n - 1) c x

=n 2

n -2

n

Paso 3. Sustituimos los resultados anteriores en la ecuación diferencial a solucionar. ¥

å n ( n -1) c x n= 2

¥

=

n -2

n

å n (n - 1)c n= 2

¥

¥

+ å ncn x + å cn x n = 0 n

n 1 =

n-2

nx=

n 1

¥

- å (n + 1)cn x n n= 1

Paso 4. Comparamos coeficientes de los dos miembros y hallamos los valores C, pero ajustamos índices sustituyendo n + 2 en el primer miembro. (Diferencia clave). ¥ ¥ n n n+ 2 n n= -2 n= 1

å ( n + 2)( n + 1) c

=x

-å ( n + 1) n x

Se obtiene la formula de recurrencia

100


cn +2 = -

( n + 1) =c ( n + 2 )( n + 1) n

cn , n+2

n³0

Y los coeficientes de la serie solución son

c2 = -

c0 2

c3 = -

c4 = -

c2 c = 0 4 2×4

c5 = -

c c6 = - =4 6

M

-

( -1)

c2 c = 1 5 3× 5

c c7 = - =5 7

c0 2×4×6

c0 ( -1) c0 = k c2 k = 2 × 4 × 6L ( 2k ) 2 ( k !) k

c1 3

k

M

-

c1 3×5× 7

( -1) c1 c2 k +1 = 3 × 5 × 7L ( 2k + 1) k

Paso 5. Sustituimos en la solución en serie del paso 1. De tal manera que la serie encontrada es la solución general de la ecuación diferencial dada.

æ x2 x 4 ö æ ö x3 x5 y = c0 ç1 - + - L ÷ + c1 ç x - + - L÷ 2 2×4 3 3×5 è ø è ø Utilizando la sumatoria tenemos: ¥ -1) x 2 k -1) x 2 k +1 ( ( y = c0 å k + c1 å k =0 2 ( k !) k =0 3 × 5 × 7 L ( 2 k + 1) ¥

k

k

Ejemplo: Hallar la solución general de la ecuación diferencial 2

(1 - t ) y¢¢ - 2ty¢ + 2 y = 0

Paso 1. Se considera la solución como serie. 101


y=

¥

åc t

n

n

n=0


y¢ = å ncnt = , n -1

ty=¢

n =1

¥

å nc t

=n 0

n

n

¥

å n ( n - 1) c t

y¢¢

,

n-2

n

=n 2

Paso 3. Sustituimos los resultados anteriores en la ecuación diferencial a solucionar. ¥

(1 - t ) å n ( n - 1 ) c n t 2

n= 2

n-2 =

¥

- 2t å n cnt n 1

=

n -1

¥

+ 2 å c nt n = 0 n 0

Paso 4. Comparamos coeficientes de los dos miembros y hallamos los valores C,

pero ajustamos los índices sustituyendo m =n - 2 en el primer miembro. (Clave de solución para encontrar las constantes). ¥

2t å ncnt

n -1

n =1

¥

= å 2ncnt n n =1

Se obtiene la formula de recurrencia

n - 1) ( cn+2 = cn ( n + 1)

Dando valores a k de 2, 3,4, 5, 6,7,…se obtienen las constantes o los llamados coeficientes de la serie solución, ellos son:

cn = 0 Para n impar

1 c4 = = c2 , c6 3

-c0

En general 102


c2m = -

1 c0 , m = 1, 2,3, 4,5,6,7,... 2m - 1

Para n par. Paso 5. Sustituimos en la solución en serie del paso 1. De tal manera que la serie encontrada es la solución general de la ecuación diferencial dada. ¥

1 2m t ] m =1 2 m - 1

y = c1t + c0[1 - å

Lección 5: Ejercicios Propuestos. Determinar la solución de cada un de las siguientes ecuaciones diferenciales mediante la aplicación de series:

1. 12y ¢¢¢ +15 y ¢ + 6 y = 0 2. y 4 -12 y 3 + y ¢ + 2 y = 0 3. 3y 3 -14 y ¢¢ + 15 y ¢ = 0 4. 23y ¢¢¢ - 22 y ¢¢ + 26 y ¢ - 22 y = 36e-2 x 1

5. y ¢¢¢ -15 y ¢¢ + 16 y ¢ -18 = e senx

5 x 4 = 20 2 x 8 = 16

Puedes tomar referencia de http://es.wikipedia.org http://www.terra.es

RECORDEMOS

103


Una serie de potencias alrededor de x=0 es una serie de la forma:

Una serie de potencias alrededor de x=a es una serie de la forma:

En el cual el centro es a, y los coeficientes cn son constantes. Ejemplos

·

La serie geométrica es una serie de potencias absolutamente convergente si | x | < 1 y divergente si | x | > 1 ó | x | = 1

·

La serie de potencias todo

·

La serie de potencias

es absolutamente convergente para

solamente converge para x = 0 SERIE DE TAYLOR

En matemáticas, la serie de Taylor de una función f(x) infinitamente derivable (real o compleja) definida en un intervalo abierto (a-r, a+r) se define como la siguiente suma:

104


Grafica. 7 Sin (x) y aproximaciones de Taylor centradas en 0, con polinomios de grado 1, 3, 5, 7, 9, 11 y 13.

Expresiones analíticas

CAPITULO 3: FUNCIONES ESPECIALES Y SERIES MATEMATICAS Introducción. En el presente capitulo se trataran las funciones especiales y series matemáticas ya que son métodos útiles a la hora de resolver ecuaciones diferenciales, para lo cual se abordaran los siguientes temas: funciones analíticas, series de Taylor, soluciones mediante series de Taylor, series de Maclaurin, algunos ejercicios propuestos y conceptos para recordar con el fin de una mejor comprensión y manejo de los mismos. 105


Lección 1: Funciones analíticas. http://www.caribu.byethost8.com/ Lección 2: Series De Taylor.

Grafica. 8 Grafico: TAYLOR (3·x·y + COS(x·y), x, 0, 6) Grafica del programa derive y Editor Matemático Mathtype Fuente: Esta investigación Autor: Carlos Buchely

El teorema de Taylor establece que, si una función f ( x ) posee suficientes derivadas en un punto a, existen un entorno de a (cuya amplitud no se especifica) y un polinomio Pn ( x) , del grado n que se desee, tales que la diferencia

f ( x ) – Pn ( x ) tiende a cero cuando x ® a , y lo hace “más rápidamente” que n f ( x) - Pn ( x ) = 0 o como ( x – a ) . con algo más de precisión, entonces lim x®a ( x - a)n

también se dice,

f ( x) – Pn ( x ) = 0 ( x – a)

n

Importante: a) Elegido el grado n, el polinomio Pn ( x ) es único.

f ( n + 1) ( a ) ( x - a ) n +1 . Para mayor ( n + 1) ! precisión requiere calcular sólo un término más, no es necesario recalcular todo. b)

P0 ( x ) = f (a ; Pn +=1 ( x )

Pn +1 ( x ) +

106


Es necesario tener en cuenta que existen los polinomios de Taylor, el polinomio de Taylor para fracciones algebraicas por ejemplo.

x 3 - 2 x +3 f (x) = 2 x 2 - x + 1 . Se pide un desarrollo de Taylor de Sea la función racional grado 3 en a = 0. Desarrollando la división en potencias se tiene: 3

- 2 x + 0 x2

+ x3

1 -x

n

+ 2 x 2 å X iYi i =1

1

-6

1

-5

-1 -6

3 10 4

1

-5

-6

12

Realizando operaciones de comprobación se tiene:

f ( x) =

x 3 - 2 x +3 3 - 2 x + x 3 = = 2x2 - x +1 1- x + 2x2

3 + x - 5 x 2 - 6 x3 +

4 x 4 + 12 x 5 1- x + 2x2

El polinomio 3 + x - 5 x 2 - 6 x 3 es el polinomio de Taylor

Lección 3: Solución de ecuaciones diferenciales mediante Series de Taylor Como ya tenemos la conceptualización y generalidades de las series de Taylor. Ahora es necesario aprender a resolver ecuaciones diferenciales con condiciones iniciales con la ayuda de las series de potencias y en general con series de Taylor. Para resolver ecuaciones diferenciales. Un desarrollo en serie de Taylor, en torno al punto

y ( x) = y ( a) + y ' (a)

Ahora 1. La función

x =a:

( x - a) ( x - a) 2 ( x - a) 3 + y ' ' (a ) + y ' ' ' (a ) + .... 1! 2! 3!

y ( x ) tiene derivadas de todos los órdenes.

2. la serie converge. Si en particular hacemos a = x n y= x

x n + h , entonces la

107


h2 h3 y ( x n + h) = y ( x n ) + y ' ( x n )h + y ' ' ( x n ) + y' ' ' ( xn ) + .... 2 6 Si suponemos que y(x) es una solución de la ecuación diferencial de primer orden

y’ = f ( x, y ) , y además consideramos solamente dos términos de la serie

anterior, se obtiene la siguiente aproximación:

y ( x n + h ) » y ( x n ) + f ( x n , y ( x n )) h Relacionando lo anterior con la equivalencia a la fórmula de Euler.

y n + 1 = y n + hf ( x n , y n ) Si se conservan tres términos de la serie, podemos escribir:

h2 y ( x n + h) » y ( x n ) + y ' ( x n )h + y ' ' ( x n ) 2 Realizando las sustituciones

yn +1

h2 = yn + y h + y 2 ' n

'' n

Ejemplo.

dy = y2 - t Usar las series de Taylor para hallar la solución en serie de dt Donde

la condición inicial es y = 1 en t = 0 . Usaremos los primeros términos de esta solución en serie para aproximar los valores de y Solución: Como

c=0

y = y

entonces,

(0 ) +

y ¢ (0

)t

+

y ¢¢ ( 0 2!

)t2

+

y ¢¢¢ ( 0 3!

)t3

+L

Como y (0 ) = 1 e y¢ = y - t , derivando se tiene lo siguiente 2

y (0 ) = 1

y¢ = y 2 - t

y ¢(0) = 1

108


y ¢¢(0) = 2 - 1 = 1

y ¢¢ = 2 y y ¢ - 1

y ¢¢¢ = 2 yy ¢¢ + 2( y ¢)

y ¢¢¢(0 ) = 2 + 2 = 4

2

y ( 4 ) (0 ) = 8 + 6 = 14

y (4 ) = 2 y y ¢¢¢ + 6 y ¢y ¢¢

y (5 ) (0) = 28 + 32 + 6 = 66

y (5 ) = 2 yy (4 ) + 8 y ¢y ¢¢¢ + 6( y ¢¢ )

2

Por tanto, la aproximación es: y ¢¢ ( 0 ) 2 y ¢¢¢ ( 0 ) 3 y 4 ( 0 ) 4 y 5 ( 0 ) 5 t + t + t + t L 2! 3! 4! 5!

y = y ( 0 ) + y¢ ( 0 ) t +

Reemplazando los valores encontrados tenemos =1+ t +

1 2 4 14 4 66 5 t + t3 + t + t L 2 3 4 5

Ahora ya se puede aproximar la solución de y para diferentes intervalos de t. es decir dar valores dentro de un intervalo en la anterior serie (Tema de un nuevo curso). Ejemplo. Usar las series x0 = 1, y0 = 1,

=h

de

Taylor para hallar la solución 0.1, aplicando la regla obtenemos

en

serie

de

Solución:

y’’ = 2xy’ + 2 y y 0 =1 y 0' = 2 x0 y 0 = 2(1)(1) = 2

y 0'' = 2 x 0 y 0' = 2 (1)( 2 ) = 4

Por lo que la solución particular es: y1 = y

0

+ y 0' h + y

'' o

h 2 0 .1 2 = 1 + 2 ( 0 .1) + 4 ( ) = 1 . 23 2 2 ; 109


Ejemplo. Use la fórmula de Taylor de tres términos para obtener la solución particular de y’ = ( x + y – 1) 2 , en la cual Y ( 0 ) = 2 Solución:

x0 = 0,

y0=

2,

=h

0.1,

y ’’ = 2 ( x + y - 1 )(1 + y ’ )

y0 = 2 y 0' = ( x 0 + y 0 - 1) 2 = (0 + 2 - 1) 2 = 1 y 0' ' = 2( x 0 + y 0 - 1)(1 + y 0' ) = 2(0 + 2 - 1)(1 + 1) = 4 Se obtiene la solución particular:

h2 0 .1 2 y1 = y 0 + y h + y = 2 + 1(0.1) + 4( ) = 2.1200 2 2 ' 0

'' o

Verifica lo anterior, desarrolla ejercicios de ecuaciones diferenciales con condiciones iniciales. Plantea tus propios ejercicios.

Lección 4: Series de MacLaurín Es necesario recordar que las series de MacLaurin se relacionan con Taylor con la propiedad que en Taylor a = 0 y estaremos hablando de McLaurin. Entonces Hablemos un poco de la serie de McLaurin

f (n) (0) n f ¢¢(0) x 2 f(x) = f(0)+ f (0)x +...+ x + R n+1(x) ¢ + 2! n! 110


f (n + 1 ) (z ) n + 1 x R n + 1 (x ) = (n + 1 )! donde 0 < z < x. n f (n) (0) n f(x) = x + R n+1 (x) n! 0 .

å

¥

f (n) (0) n f (n) (0) n f ¢¢(0) 2 x +... x +....+ ¢ + å n! x = f(0)+ f (0)x n! 2! 0 Esta serie describe a f ( x ) cuando coincida cumple:

con la fórmula de McLaurin si

1) Se trabaje en el intervalo de convergencia de la serie. 2)

lím R n+1(x) = 0 n ®¥ .

Veamos un cuadro de series de Taylor notables tomadas de la web: http://es.wikipedia.org Función exponencial

xn e =å n=0 n ! x

¥

para todo x

(-1)n+1 n x ln(1 + x) å n n=1 ¥

para= x < 1

Serie Geométrica ¥ 1 = å xn 1 - x n =0

para x < 1

Binomio a

(1+ x)

¥

åC(a, n)x

n

= x <1 y cualquier a complejo para todo

n=0

Función trigonométrica

111


(-1) n 2 n+1 sin x = å x + (2 n 1)! n=0 ¥

para todo x

(-1)n 2 n cos x = å x para todo x n =0 (2n)! ¥ B2 n (-4) n (1 - 4n ) 2 n-1 p tan x = å para x < x (2n)! 2 n =1 ¥ (-1)n E2 n 2n p x sec x = å para x < (2n)! 2 n= 0 ¥

¥

(2n)! x 2 n+1 n 2 n= 0 4 ( n !) (2n + 1)

arcsin x = å

(-1)n 2 n+1 x arctan x = å n 2 + 1 n=0 ¥

para x < 1

para x < 1

Funciones Hiperbólicas ¥

1 x 2 n+1 para todo x n =0 (2n + 1)! ¥ 1 2n cosh x = å x para todo x n =0 (2n)!

sinh x = å

B2 n 4n (4n - 1) 2 n-1 x tanh x = å n (2 )! n =1 ¥

para x <

(-1) n (2n)! 2 n+1 x sinh x = å n 2 n n 4 ( !) (2 + 1) n =0 -1

¥

¥

1 2 n+1 x n 2 + 1 n=0

tanh x = å -1

p 2

para x < 1

para x < 1

112

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGÍA E INGENIERÍA CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: 100412 – Ecuaciones Diferenciales 58 + 25 = 83 þ 95 + 14 = 118 ý 25 + 25 = 50 þ

Esta franja incluye ejercicios propuestos, dirigidas a proveerte de un mecanismo que te permita determinar el nivel de dominio adquirido con relación a la unidad Nº dos.

Lección 5: Ejercicios Propuestos 1. Mediante series de potencias resolver la ecuación diferencial. a. b. c. d. e.

y ¢¢ - 9 y = 0 y ¢¢ + 4 y = 0 y ¢ + 3xy = 0 y ¢¢ - xy ¢ = 0 x 2 + 4 y ¢¢ + y = 0

(

)

Soluciones:

a ) y = co e3 x + c1e -3 x b) y = co cos(2 x) + c1sen(2 x) ¥ (-3) k 2 k (-3) k c) y = a0 å k x + a1 å x 2k +1 k =0 2 k ! k =0 1.3.5...(2k + 1) ¥

x 2k +1 d ) y = a1 å k k =0 2 k !(2k + 1) ¥

x2 x 4 e) y = ao (1 - + + ............) 8 128

113


2. Usar el teorema de Taylor para hallar solución de la ecuación diferencial con las condiciones iniciales. Donde n es el número de términos a encontrar o aproximar. a. y¢ + ( 2 x - 1) y b. y ¢¢ - 2 xy =0

y (=0 )

0=

y= ( 0 ) 1,=

2, = n 5

y¢ ( 0 ) -3, n = 4

Soluciones: a)

2 x 2 x 2 10 x3 2 x 4 y = 2+ + 1! 2! 3! 4!

b)

3x 2 x3 12 x 4 y = 1- + 1! 3! 4!

3. verificar si la serie converge a la función dada.

¥

å n =0

(- 1)n x 2n+1 2n + 1

= arctg x,

(- 1,1) Ecuación diferencial: (x 2 + 1)y ¢¢ + 2 xy ¢ = 0

(

)

Soluciones: si converge utilizando la ecuación diferencial. x + 1 y ¢¢ + 2 xy ¢ = 0 2

5 x 4 = 20 2 x 8 = 16

114

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGÍA E INGENIERÍA CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: 100412 – Ecuaciones Diferenciales 58 + 25 = 83 þ 95 + 14 = 118 ý 25 + 25 = 50 þ

PREPARATE PARA LA EVALUACION FINAL I. Hallar la solución general de la ecuación diferencial.

1.

dy y - = 2+ x dx x

2.

y¢ - 2 y = e x

3. (10 x + 8 y + 2)dx + (8x + 5 y + 2)dy = 0

4.

(1 + y )ln(1 + y )dx + dy = 0

5. x + yy ¢ =

x2 + y2

Solución:

3 2

1)

y = x ln x + 2 x + cx

2)

y = ce 2x - e x

2

115


3) 5 x + 8 xy + 2 x + 2

4) ln(1 + y ) = ce 5)

5 2 y + 2y = c 2

-x

y 2 = 2cx + c 2

II. Hallar la solución general de la ecuación diferencial de segundo orden.

3 1. y ¢¢ + y = x + x

2.

y ¢¢ + y = 2 cos x

3.

y ¢¢ - 2 y ¢ + y = 2 xe

3 sol: y = c1sen( x ) + c2 cos( x) - 5 x + x

sol: y = (c1 + x ) sen( x) + c2 cos( x)

x

x3 x sol: y = (c1 + c2 x + )e 3

III. Hallar la familia de trayectorias ortogonales

1. y - 2 x = C

Solución:

Son círculos

x 2 + ( y - k )2 = k 2

IV. Hallar la solución utilizando series para la siguiente ecuación diferencial. 116


1.

(x - 4) y ¢ + y = 0

Solución:

xn y = a 0å n k =0 4 ¥

V. Estudia las diferentes aplicaciones de las ecuaciones diferenciales y realiza una aplicación de interés en alguna área de tu carrera profesional, la cual estas cursando en la Universidad Nacional Abierta y a distancia UNAD. Lo importante es que sea de tu creatividad y así realizar la transferencia en el curso.

Puedes descargar aplicaciones y laboratorios en: http://www.caribu.byethost8.com/ Registrate.

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MODULO

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