¿Qué es una dis distrib tribución ución de prob probabilida abilidad? d? Una distribución de probabilidad muestra los posibles resultados de un experimento y la probabil probabilidad de que que cada un uno se presente. presente.
DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD : Listado de todos los resultados de un experime experime nto y la probab pro babililidad idad asociada asoc iada con co n cada cad a resultado. ¿Cómo generar ge nerar una una distrib dis tribución ución de probabilidad? probabilidad? Ejemplo: Suponga que le interesa el número de caras que aparecen en tres lanzamientos de una moneda. Tal es el experimento. Los posibles resultados son: cero caras, una cara, dos caras y tres caras. ¿Cuál es la la distribu distribucc ión ió n de probabi probab ilidad del núm número de caras? Hay ocho posibles resultados. En el primer lanzamiento puede aparecer una cara, una cruz en el segundo lanzamiento y otra cruz en el tercer lanzamiento de la moneda. O puede puede obtener obtener cruz cruz, cruz cruz y cara, en ese orden. orden. Para obtener obtener los resul resultados del con conteo teo (5.8), aplique la fórmula de la multiplicación: (2)(2)(2), es decir, 8 posibles resultados. Estos resultados se listan listan enseguida. enseguida.
Resultado posible 1 2 3 4 5 6 7 8
Lanzamiento de la moneda Lanzamiento Primero Prim ero Segundo Segu ndo Tercero C C C C Cr Cr Cr Cr
C C Cr Cr C C Cr Cr
C Cr C Cr C Cr C Cr
Número de Número Caras 0 1 1 2 1 2 2 3
Observe que el resultado cero caras ocurre sólo una vez; una cara ocurre tres veces; dos caras, tres veces, y el resultado tres caras ocurre una sola vez. Es decir, cero caras se presen presentó una de och ochoo veces. eces. Por con consi sigguiente, ente, la probabil probabilidad de cero caras es de un octavo; la probabilidad de una cara es de tres octavos, etc. La distribución de probabil probabilidad se muestra estra en la tabla tabla 1. Como Como uno de estos estos resul resultados debe suceder suceder,, el total de probabilidades de todos los eventos posibles es 1.000. Esto siempre se cumple. La gráfica gráfica 1 contiene la misma isma inform informaa c ión.
Tabla y Grafica1: Distribución de probabilidad de los eventos relativos a cero, una, dos y tres caras en tres lanzamientos de una moneda
Presentación gráfica del número de caras que resultan de tres lanzamientos de una moneda y la probabilidad correspondiente.
CARACTERÍSTICAS DE UNA DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD 1. La probabilidad de un resultado en particular se encuentra entre 0 y 1, inclusive. 2. Los resultados son eventos mutuamente excluyentes. 3. La lista es exhaustiva. Así, la suma de las probabilidades de los diversos eventos es igual a 1. Repase el ejemplo del lanzamiento de una moneda de la tabla 1. La probabilidad de x se representa P(x). De esta manera, la probabilidad de cero caras es P (0 caras) = 0.125, y la probabilidad de una cara es P (1 cara) = 0.375, etc. La suma de estas probabilidades mutuamente excluyentes es de 1; es decir, de acuerdo con la tabla 1, 0.125+ 0.375 + 0.375 + 0.125 = 1.00.
Variables aleatorias En cualquier experimento aleatorio, los resultados se presentan al azar; así, a éste se le denomina variable aleatoria. Por ejemplo, lanzar un dado constituye un experimento: puede ocurrir cualquiera de los seis posibles resultados. Algunos experimentos dan origen a resultados de índole cuantitativa (como dólares, peso o número de niños); otros dan origen a resultados de naturaleza cualitativa (como el color o la afiliación religiosa). Cada valor de la variable aleatoria se relaciona con una probabilidad que indica la posibilidad de un resultado determinado. Unos cuantos ejemplos aclararán el concepto de variable aleatoria.
Si cuenta el número de empleados ausentes en el turno matutino del lunes, el número puede ser 0, 1, 2, 3,… El número de ausencias es una variable ale atoria. Si pesa cuatro lingotes de acero, los pesos pueden ser de 2 492 libras, 2 497 libras, 2 506 libras, etc. El peso es una variable aleatoria. Si lanza dos monedas y cuenta el número de caras, puede caer cero, una o dos caras. Como el número de caras que resulta de este experimento se debe al azar, el número de caras que caen es una variable aleatoria. Otras variables aleatorias pueden ser el número de focos defectuosos producidos por hora en Cleveland Company, Inc.; la calidad (9, 10, 11 o 12) de los miembros del equipo de basquetbol femenil de St. James; el número de corredores del maratón de Boston en la carrera de 2006 y la cantidad diaria de conductores multados por conducir bajo la influencia del alcohol en Texas.
VARIABLE ALEATORIA: Cantidad que resulta de un experimento que, por azar, puede adoptar diferentes valores.
El siguiente diagrama ilustra los términos experimento, resultado, evento y variable aleatoria. Primero, en el caso del experimento en el que se lanza una moneda tres veces, hay ocho posibles resultados. En este experimento, interesa el evento de que se presenta una cara en tres lanzamientos. La variable aleatoria es el número de caras. En términos de probabilidad, desea saber la probabilidad del evento que tiene una variable aleatoria igual a 1. El resultado es P (1 cara en 3 lanzamientos) = 0.375.
Una variable aleatoria puede ser discreta o continua.
Variable aleatoria discreta Una variable aleatoria discreta adopta sólo cierto número de valores separados. Si hay 100 empleados, el recuento de la cantidad de ausentes el lunes sólo puede ser 0, 1, 2, 3,…, 100. Una variable discreta suele ser resultado de contar algo. Por definición:
VARIABLE ALEATORIA DISCRETA: Variable aleatoria que adopta sólo valores claramente separados.
A veces, una variable aleatoria discreta asume valores fraccionarios o decimales. Estos valores deben estar separados: debe haber cierta distancia entre ellos. Por ejemplo, las calificaciones de los jueces por destreza técnica y formas artísticas en una competencia de patinaje artístico son valores decimales, como 7.2, 8.9 y 9.7. Dichos valores son discretos, pues hay una distancia entre calificaciones de 8.3 y 8.4. Una calificación no puede tener un valor de 8.34 o de 8.347, por ejemplo.
Variable aleatoria continua: Por otra parte, si la variable aleatoria es continua, es una distribución de probabilidad continua. Si mide algo, como la anchura de una recámara, la estatura de una persona o la presión de la llanta de un automóvil, se trata de una variable aleatoria continua. Se puede suponer una infinidad de valores, con ciertas limitaciones. Por ejemplo:
Los tiempos de los vuelos comerciales entre Atlanta y Los Ángeles son de 4.67 horas, 5.13 horas, etc. La variable aleatoria es la cantidad de horas. La presión, medida en libras por pulgada cuadrada (psi), en un nuevo neumático Chevy Trail-blazer puede ser de 32.78 psi, 31.62 psi, 33.07 psi, etc. En otras palabras, es razonable que se presente cualquier valor entre 28 y 35. La variable aleatoria es la presión de la llanta.
Por lógica, si organiza un conjunto de posibles valores de una variable aleatoria en una distribución de probabilidad, el resultado es una distribución de probabilidad . Así, ¿Cuál es la diferencia entre una distribución de probabilidad y una variable aleatoria? Una variable aleatoria representa el resultado particular de un experimento. Una distribución de probabilidad representa todos los posibles resultados, así como la correspondiente probabilidad. Las herramientas que se utilizan, así como las interpretaciones probabilísticas, son diferentes en el caso de distribuciones de probabilidades discretas y continuas. ¿Cuál diría que es la diferencia entre los dos tipos de distribuciones? Por lo general, una distribución discreta es el resultado de contar algo, como:
El número de caras que se presentan en tres lanzamientos de una moneda. El número de estudiantes que obtienen A en clase. El número de empleados de producción que se ausentaron hoy en el segundo turno. El número de comerciales de 30 segundos que pasan en la NBC de las 8 a las 11de la noche.
Las distribuciones continuas son el resultado de algún tipo de medición, como:
La duración de cada canción en el último álbum de Tim McGraw. El peso de cada estudiante de esta clase. La temperatura ambiente en el momento en que lee este documento. La suma de dinero que gana cada uno de los 750 jugadores actuales en la lista de los equipos de la Liga Mayor de Béisbol.
Media, varianza y desviación estándar de una distribución de probabilidad Ya hemos estudiado las medidas de ubicación y variación de una distribución de frecuencias. La media indica la localización central de los datos, y la varianza describe la dispersión de los datos. De forma similar, una distribución de probabilidad queda resumida por su media y su varianza. La media de una distribución de frecuencias se identifica mediante la letra minúscula griega mu (μ), y la desviación estándar, con sigma ( σ).
Media La media constituye un valor típico para representar la localización central de una distribución de probabilidad. También es el valor promedio de larga duración de la variable aleatoria. La media de una distribución de probabilidad también recibe el nombre de valor esperado. Se trata de un promedio ponderado en el que los posibles valores de una variable aleatoria se ponderan con sus correspondientes probabilidades de ocurrir. La media de una distribución de probabilidad discreta se calcula con la fórmula:
∑[()] ←Formula 1
Aquí P(x) es la probabilidad de un valor particular x. En otras palabras, se multiplica cada valor x por la probabilidad de que ocurra y enseguida se suman los productos.
Varianza y desviación estándar Como se observó, la media constituye un valor típico para resumir una distribución de probabilidad discreta. Sin embargo, ésta no describe el grado de dispersión (variación) en una distribución. La varianza sí lo hace. La fórmula para la varianza de una distribución de probabilidad es: ←Formula 2
∑[( ) ()]
Los pasos para el cálculo son los siguientes: 1. La media se resta de cada valor y la diferencia se eleva al cuadrado. 2. Cada diferencia al cuadrado se multiplica por su probabilidad. 3. Se suman los productos que resultan para obtener la varianza. La desviación estándar, σ, se determina es decir, σ =
√ .
al extraer la raíz cuadrada positiva de ;
Un ejemplo ayudará a explicar los detalles del cálculo e interpretación de la media y la desviación estándar de una distribución de probabilidad: John Ragsdale vende automóviles nuevos en Pelican Ford. Por lo general, John vende la mayor cantidad de automóviles el sábado. Ideó la siguiente distribución de probabilidades de la cantidad de automóviles que espera vender un sábado determinado.
Cantidad de automóviles vendidos, x 0 1 2 3 4 Total
Probabilidad P(x) .10 .20 .30 .30 .10 1.00
1. ¿De qué tipo de distribución se trata? Se trata de una distribución de probabilidad discreta para la variable aleatoria denominada número de automóviles vendidos. Observe que John sólo espera vender cierto margen de automóviles; no espera vender 5 automóviles ni 50. Además, no puede vender medio automóvil. Sólo puede vender 0, 1, 2, 3 o 4 automóviles. Asimismo, los resultados son mutuamente excluyentes: no puede vender un total de 3 y 4 automóviles el mismo sábado. 2. ¿Cuántos automóviles espera vender John un sábado normal? La media de la cantidad de automóviles vendidos se calcula al multiplicar el número de automóviles vendidos por la probabilidad de vender dicho número, y sumar los productos de acuerdo con la fórmula (1):
[()] = 0(.10)+1(.20)+2(.30)+3(.30)+4(.10) =2.1
Estos cálculos se resumen en la siguiente tabla.
Numero de automóviles vendidos, x 0 1 2 3 4 Total
Probabilidad P(x)
x∙P(X)
.10 .20 .30 .30 .10 1.00
0.00 0.20 0.60 0.90 0.40 µ= 2.10
¿Cómo interpretar una media de 2.1? Este valor indica que, a lo largo de una gran cantidad de sábados, John Ragsdale espera vender un promedio de 2.1 automóviles por día. Por supuesto, no es posible vender exactamente 2.1 automóviles un sábado en particular. Sin embargo, el valor esperado se utiliza para predecir la media aritmética de la cantidad de automóviles vendidos a la larga. Por ejemplo, si John trabaja 50 sábados en un año, puede esperar vender (50) (2.1) o 105 automóviles sólo los sábados. Por consiguiente, a veces la media recibe el nombre de valor esperado.
3. ¿Cuál es la varianza de la distribución? De nuevo, una tabla resulta útil para sistematizar los cálculos de la varianza, que es de 1.290. Número de automóviles vendidos, x 0 1 2 3 4
Probabilidad P(x)
(x- µ)
( )
( )P(x)
.10 .20 .30 .30 .10
0 – 2.1 1 – 2.1 2 – 2.1 3 – 2.1 4 – 2.1
4.41 1.21 0.01 0.81 3.61
0.441 0.242 0.003 0.243 0.361 = 1.290
Recuerde que la desviación estándar, σ, es la raíz cuadrada positiva de la varianza. En = este ejemplo es = 1.136 automóviles. ¿Cómo interpretar una desviación estándar de 1.136 automóviles? Si la vendedora Rita Kirsch también vendió un promedio de 2.1 automóviles los sábados y la desviación estándar en sus ventas fue de 1.91 automóviles, concluiría que hay más variabilidad en las ventas sabatinas de Kirsch que en las de Ragsdale (pues 1.91 > 1.136).
√ √
