1 Módulo
Estrategias para construcción del Sistema de Numeración Decimal
Introducción Durante estos últimos diez años, investigaciones, estudios y experiencias realizadas acerca de los procesos de enseñanza y aprendizaje de las matemáticas afirman que: •
por lo que se considera que “saber matemáticas” es “hacer matemáticas”, lo cual implica, entre otros aspectos, la resolución de problemas de la vida cotidiana. Se trata, entonces, de presentar problemas donde “el contexto debe ser considerado por sí mismo y constituir un mensaje y las matemáticas un medio para decodificarlo” 2. “La
actividad
matemática
es
una
actividad
humana
más”… 1,
• Para conseguir una actividad matemática significativa hay que partir de la
experiencia real de los estudiantes, de situaciones extraídas de lo que viven, de aquello que está ligado a sus intereses, sus juegos, sus imaginaciones, sueños y deseos. Ya sean situaciones espontáneas o provocadas, hay que explotarlas con vivencias colectivas o individuales en el ambiente del aula. D´Amore, el aprendizaje de la matemática no comprende • Según Bruno D´Amore, solo la construcción de conceptos, sino que “consta de (al menos) 5 tipologías diversas de aprendizaje: aprendizaje conceptual (noética), aprendizaje algorítmico (calcular, operar…), aprendizaje de estrategias (resolver, conjeturar…), aprendizaje comunicativo (argumentar, demostrar), aprendizaje y gestión de las transformaciones, de tratamiento y conversión de representaciones, del lenguaje común oral y escrito, de gráficos, diseños, de esquemas no verbales” 3. En esa línea es que nuestras competencias matemáticas combinan un conjunto de capacidades matemáticas (son recursos: conocimientos, habilidades y actitudes) con sentido ético las que son movilizadas en una situación determinada para lograr un propósito específico. • Por tanto, el desarrollo desarrollo de las competencias matemáticas implica entre otras otras
cosas construir y movilizar la comprensión de los conocimientos matemáticos en la resolución de problemas. Por ello los contextos y conocimientos matemáticos poseen un papel relevante, y es éste último (los conocimientos matemáticos) los que deben tener un tratamiento adecuado por parte del docente, pues es él quien transforma el saber “adulto” (saber académico situado) que tiene de los conocimientos matemáticos en un saber que 1
Vicenç Font, reriéndose a los trabajos de Freudenthal.
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Bressan. Página 3 del artículo Principios de la educación matemática realista citando a Freudenthal, Freudenthal, matemático y educador (1905 – 1990), quien fundó el Instituto Freudenthal para la Ciencia y la Educación Matemática en Utrecht. Incansable propulsor de un cambio en la enseñanza tradicional de la matemática, así como de los ICME. Recuperado de https://lasmatesdeinma.les.wordpress.com/.../princi https://lasmatesdeinma.les.wordpress.com/.../principios-de-edu pios-de-edu-
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cacion-m... Bruno D´Amore, D´Amore, Pinilla (febrero 2014), VII Coloquio Coloquio Internacional de de Enseñanza de las Matemáticas Matemáticas IREM: El papel de la epistemología en la formación de los maestros de matemática.
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hay que gestionar para que los estudiantes lo reconstruyan a partir de sus diferentes contextos familiares, diversas historias de crianza, estimulaciones y aprendizajes previos que poseen. • Para reconstruir los conocimientos matemáticos (son: teorías, conceptos y
procedimientos legados por la humanidad) es importante saber que lo que un estudiante es capaz de aprender por sí mismo, determinado ello por su nivel de desarrollo evolutivo y por sus conocimientos previos; el docente debe desplegar una gama de estrategias para hacer más interactiva las clases de matemática. Así mismo, el estudiante tiene la capacidad de aprender con la ayuda y el estímulo de otras personas (no solo los profesores, también los amigos, padres, compañeros, etc.). La diferencia entre estos dos niveles de capacidad es lo que Vygotsky llama la zona de desarrollo próximo. Así pues, la enseñanza más eficaz es aquella que parte del desarrollo efectivo del estudiante, no para amoldarse a él, sino para hacerlo progresar a través de la zona de desarrollo próximo, y de esa manera generar nuevas zonas de desarrollo próximo. 4 estudios enfatizan en la necesidad de contar con • Desde luego, estos estudios actividades desafiantes y con una alta calidad profesional de los docentes que enseñan matemáticas5, quienes deberán encargarse de promover experiencias más retadoras en la matemática escolar. Es decir, trabajar en el desarrollo del pensamiento matemático de los estudiantes, de tal manera que para ellos sea tanto personalmente apropiado como divertido, y que les permita dejar todas las opciones abiertas cuando tomen decisiones en la vida, “desde la profesión a seguir, hasta las finanzas personales y el ejercicio de los derechos del ciudadano 6.
¿Qué pretenden los módulos? Profundizar en el conocimiento, habilidades, actitudes y en el uso de estrategias para resolver problemas que debe manejar el docente, a fin de desarrollar en sus estudiantes una comprensión numérica, determinadas habilidades operatorias y un saber resolver problemas relacionados con situaciones de cantidad en contextos conocidos y definidos en el marco curricular del segundo y cuarto grado de educación primaria.
¿Qué tareas tiene que realizar el docente para llevar a cabo el curso? • Transformar ese saber adulto que tiene de los conceptos matemáticos en un
saber que hay que enseñar a los estudiantes. 4
Vincent Foll, 2008.
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Golding M. y Kyriacou C. (2008). (2008). A Systematic Systematic Review of the Use of ICTs in Developing Pupils’ Pupils’ Understanding Understanding
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of Algebraic Ideas. Se tradujo y adaptó un documento para los docentes en marzo 2013. María Falk de Losada, investigadora de la Universidad Universidad Antonio Nariño. Actas del XXIV Coloquio Coloquio Distrital de Matemáticas y Estadística. Septiembre 8, 9 y 10 de 2011, Bogotá, Colombia.
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• Saber comunicar la matemática a los estudiantes: niñas y niños de entre
8 y 10 años, que llegan a las aulas de segundo y cuarto grado con su propia historia personal, su lengua, sus costumbres y sus vivencias en un determinado contexto escolar. Tarea también muy compleja, dada la
naturaleza misma de los conceptos y los aspectos lingüísticos que hay que afrontar en cada aula: “Si no comprendo el sentido de lo que me hablas, no entiendo”. Por eso, será conveniente que cada docente: -
Estudie el módulo siguiendo los acuerdos dados en un curso virtual.
-
Experimente en grupo, con otros docentes, las actividades antes de aplicarlas en el aula.
-
Aplique las actividades a los estudiantes y registre las respuestas, las preguntas, los comentarios y las producciones que realicen en el transcurso de las interacciones con él y con los materiales educativos de los que disponen, incluidas las TIC.
-
Comparta con otros docentes las mismas experiencias pedagógicas, para reflexionar acerca de logros y dificultades encontradas en la aplicación y recreen nuevas actividades.
-
Consulte permanentemente sus hallazgos, comentarios e inquietudes con las monitoras y tutoras del curso.
En este módulo se abordarán las concepciones de número y numeración, así como la incidencia de estos aprendizajes en el cálculo numérico. La enseñanza y el aprendizaje de la numeración, como sistema, permiten a los estudiantes identificar las convenciones y leyes que la configuran, y ofrecen la posibilidad de trabajar diversas nociones matemáticas importantes para el desarrollo de las capacidades de los estudiantes de segundo y cuarto grado de educación primaria.
SISTEMA DE NUMERACIÓN DECIMAL En este módulo se abordarán, la enseñanza y el aprendizaje de la numeración, como sistema, para identificar las convenciones, leyes que la configuran y procesos que despliegan. Así mismo se plantearán estrategias para la construcción progresiva del sistema de numeración decimal en el desarrollo de las competencias de los estudiantes de segundo y cuarto grado de educación primaria.
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¿Qué conocimientos básicos habrá que tener en cuenta? El sistema de numeración (SN), como contenido amplio (pues incluye al sistema de numeración decimal cuya base es diez y otros sistemas como, los de base 2, base 3, base4,…..base n) 1. Está constituido por: - Símbolos y signos básicos. - Reglas para representar y expresar en forma oral y escrita los números. 2. Posee las siguientes características: - Unidades simples que conforman la base. - Unidades compuestas que se conforman con las unidades de orden inferior. - Una sucesión de unidades. unidades. La operación n+1 nos ayuda en esta secuencia. - Dígitos entre los términos de la sucesión de unidades, las cuales se extrapolan de manera sucesiva. 3. Además el sistema de numeración, se forma con las siguientes operaciones y relaciones: 3.1. La operación de composición y descomposición. 3.2. La relación de inclusión. 3.3. La relación de equivalencia. 3.4. La relación de recurrencia. En consecuencia, estos aspectos son “heredables” al sistema de numeración decimal, veamos: 1. En el Sistema de Numeración Decimal (SND ) se emplean diez símbolos para representar todos los números naturales, por ello, se le conoce también como Sistema de Base 10. Estos símbolos o signos básicos son diez, conocidos como dígitos o cifras, los cuales son: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9. Las reglas que sigue el SND son: - Escribir las cifras del número de unidades que componen un numeral que representa al número. - Las cifras se escriben de derecha a izquierda. izquierda. Esta escritura respecto al orden de las unidades, se da en forma decreciente, de las unidades mayores a las unidades menores. - El numeral se lee expresando el número de unidades de cada orden. Por ejemplo, ejemplo, el el numeral 345 se lee: trescientos cuarenta y cinco unidades, unidades, como se puede observar en la escritura, se expresa el número de unidades del orden de las centenas, del orden de las decenas y del orden de la unidad. 4
Estas reglas son muy importantes porque de ella ella se desprende que, la cifra de un numeral tiene un doble valor: • El valor correspondiente al al número de de unidades. • El valor relativo al orden. orden. Este se infiere de la posición posición que la cifra ocupa
en el numeral. Como podemos darnos cuenta las reglas para el SND son más amplias de lo que generalmente se trabajan en las escuelas con los números naturales, el trabajo actual generalmente se constriñe al “valor de posición” en el tablero de valor posicional, que se desprende del segundo punto, y ¿dónde queda el trabajo referido al primer punto?, ¿Para aprender el SND sólo basta con aprender el “valor de posición” en el tablero de valor posicional?, responder a estas preguntas reflexivas irá marcando el camino de nuestro trabajo. 2. Las unidades simples que conforman la base forman una secuencia: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8,9. La primera unidad compuesta es: - La decena es una unidad, de unidades. Es un ejemplo del número diez, que se conforma de las unidades simples, y por la recurrencia de la sucesión de unidades, veamos ello en la siguiente tabla: Tabla N° 01
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90
1 11 21 31 41 51 61 71 81 91
2 12 22 32 42 52 62 72 82 92
3 13 23 33 43 53 63 73 83 93
4 14 24 34 44 54 64 74 84 94
5 15 25 35 45 55 65 75 85 95
6 16 26 36 46 56 66 76 86 96
7 17 27 37 47 57 67 77 87 97
8 18 28 38 48 58 68 78 88 98
9 19 29 39 49 59 69 79 89 99
La segunda unidad compuesta es: - La centena que es una unidad, unidad, de unidades compuestas (la (la decena). Es un doble ejemplo del concepto de número diez. La tercera unidad compuesta es: - La unidad de millar, que es una unidad, compuesta de la compuesta de la compuesta de unidades. Es un triple ejemplo del concepto de número diez Hasta la unidad de millar se llega en el trabajo con cuarto grado. Pero se
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debe entender que el número diez (no el numeral diez) se concibe como un representante de la clase conceptual del número natural. Así la unidad decimal o unidad en base 10 queda definida como clase conceptual donde sus componentes son las unidades decimales (en base 10) de órdenes, veamos la siguiente tabla: Unidades decimales según las órdenes
Clase conceptual según unidades que la conforman
Expresión matemática de la clase conceptual
1 10 100 1000 10 000 … 100…0, n ceros
(100) (101) (102) (103) (104) … (10n)
Unidad decimal de orden 0 Unidad decimal de orden 1 Unidad decimal de orden 2 Unidad decimal de orden 3 Unidad decimal de orden 4 … Unidad decimal de orden n
Nombre que reciben en el sistema de numeración decimal. unidad Decena Centena Unidad de millar Decena de millar …
3. A continuación, se describirá brevemente cómo se forma el sistema de numeración decimal con base en las siguientes operaciones y relaciones: 3.1.. La operación de composición y descomposición del número natural 3.1 natura l se realiza en las diferentes unidades decimales según las órdenes. Veamos un ejemplo para la unidad decimal de orden 3 (el de las unidades de millar): Si un número natural se representa por 4647, esta expresión significaría: Descomposición aditiva 4647 = 4 000 + 6 00 + 4 0 + 7 Descomposición multiplicativa 4647= 4 × 1000 + 6 × 100 + 4 × 10 + 7 Descomposición polinómica (en potencias de la base 10) 4647 = 4 × 10 3 + 6 × 102 + 4 × 101 + 7 × 100 En la expresión decimal 4647, cada dígito tiene un nombre: M C D U 7 → 7 unidades 4 0 → 4 decenas o 40 unidades 6 0 0 → 6 centenas o 60 decenas o 600 unidades 4 0 0 0 → 4 millares o 40centenas o 400 decenas o 4000unidades La cifra o el dígito 4, por la posición que ocupa, tiene diferentes significados (más conocido como valor posicional). Como vemos, el 4 en la posición de las decenas significa 4 decenas (40 unidades), mientras que en el lugar de
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las unidades de millar significa 4 millares (4000 unidades). Es decir, cada dígito tiene un doble valor: el valor correspondiente al número de unidades que representa y el valor relativo a la posición que ocupa en el SND, a este valor se le conoce como valor posicional. En el nivel primario se trabaja esencialmente la descomposición aditiva y multiplicativa de un número, por ello:¿ Cuál sería la descomposición aditiva y multiplicativa de otro número como, por ejemplo, 2016 ?
3.2. Por otro lado, la relación de inclusión se da del siguiente modo: - Relación inclusiva entre clases y subclases.
- La inclusión entre unidades. unidades. Esto establece un orden en en la numeración. Está contenida en
dos
tres
cuatro
cinco
seis
uno
Contiene a
Se observa que en cuanto al número, por ejemplo, permite el reconocimiento de que un grupo de 8 objetos contiene un grupo de 7 objetos y este a su vez contiene un grupo de 6 objetos. - La inclusión entre decenas. Pero a su vez la inclusión de las unidades en las decenas.
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Observemos en el gráfico que: una decena está contenida en dos decenas, esta a su vez en tres decenas y así sucesivamente. A la vez no se pierde la inclusión entre unidades. 3.3. A su vez, la relación de equivalencia que se da una unidad decimal de una orden a otra unidad decimal de otra orden. Para ello es muy importante que los niños realicen constantemente el procedimiento de canje. Por ejemplo, comprendan que 40 unidades conforman 4 decenas y que 4 decenas equivalen a 40 unidades. Así debemos asegurar representar al número de diferentes formas, veamos: 42= 4D 2U, pero también: 42= 30 +12 = 3D 12U • Recordar también que un grupo de diez objetos contiene grupos más pequeños de objetos, y consecuentemente podemos expresar varias equivalencias. Por ejemplo: 10 = 8+2; 10 = 5+5; 10 = 7+3; etc.
3.4. En la Tabla N°01, observamos la relación de recurrencia para la sucesión
de las unidades que se extrapolan en las decenas. Lo mismo ocurre para la conformación de la sucesión de unidades de las siguientes órdenes decimales como la centena, unidad de millar, etc, y para ello es importante la operación “n+1” Cabe mencionar que por una cuestión didáctica se ha separado aquí el tratado de las relaciones y operación que forman el sistema de numeración y consecuentemente el sistema de numeración decimal, pero estos procesos son recurrentes. También es importante señalar que todos los sistemas de
numeración tienen los mismos principios y estos se basan en el denominado algoritmo de la división.7 7
A partir del documento documento “Hacia los Números”, elaborado por Alex Molina para la capacitación de docendocentes del proyecto Cruzada regional por los aprendizajes fundamentales de niñas y niños de Huancavelica, en el verano 2013.
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Por ejemplo, en el sistema de numeración decimal, si tenemos estos objetos:
Y los dividimos en agrupaciones de 10 objetos (10 es la base del Sistema Sistema de Numeración Decimal),
Tendremos 2 agrupaciones de 10 objetos ( 2 decenas) y sobrarán 4 objetos (4
unidades ), estos últimos serán el residuo que siempre será menor que 10. ¿Cuántos elementos hay en total ?
24 objetos. Y 24 equivale a 2 decenas y 4
unidades .
Pero, ¿Cómo construyen los estudiantes el SND? Ya hemos señalado que el SND, se constituye por símbolos y reglas, pues es el primer concepto matemático que aparece como convención al cual se enfrentarán los niños. También se ha mencionado que el SND posee
características y además se forma con base en operaciones y relaciones. Esta construcción dura a lo largo de toda la primaria. Pero para el caso abarcaremos sólo de segundo a cuarto grado. Pero, ¿cómo hacemos para construir todo ello con nuestros niños de segundo a cuarto grado? Para tal efecto, la Unidad de Medición de la Calidad (UMC) da algunas recomendaciones para indicar en qué proceso de la construcción del SND 8 se encuentra un niño. El documento citado presenta algunos de los procesos que siguen los niños y las niñas al construir el Sistema de Numeración Decimal, y es necesario que los conozca el docente. Estos procesos están asociados a la: • Construcción del número:
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-
Relaciona los números con objetos de su entorno, no necesariamente cuantitativos.
-
Relaciona los números con una cantidad de elementos.
UMC, MED, 2010, informe informe Resultados ECE 2010 2010 “¿Cómo mejorar el el aprendizaje aprendizaje de nuestros estudiantes estudiantes en matemáticas?” matemática s?” Recuperado de Guiadeanal Guiadeanalisis2doPruebade isis2doPruebadeMatematica_we Matematica_web b
9
-
Comprende el número en el sentido ordinal únicamente.
• Comprensión del SND:
-
Comprende el número como unidades únicamente.
-
Comprende el número como unidades y decenas.
-
Comprende el número como unidades, decenas y centenas.
-
Establece equivalencias entre unidades, decenas, centenas y millares, es decir, comprende el proceso recursivo de la numeración. 9
No debemos olvidar en este proceso las operaciones de composición y descomposición, las relaciones de equivalencia, la relación de inclusión y la relación de recurrencia que los niños deben construir para comprender el SND. La organización del Sistema de Numeración Decimal implica los significados de número, relación de orden y de adición y multiplicación, por lo tanto, comparar números y operar con ellos son puntos a considerar en el uso de la numeración escrita. También uno de los aspectos que menos se atiende en el aula es la
interpretación y producción de escrituras numéricas , luego de los procesos de manipulación y representación gráfica con materiales educativos (regletas de colores10, cubitos, barras, placas, cubo de base diez11, bolsas,12 placas13 y ábacos14), que si bien han sido enfatizados en los primeros grados como procesos en el aprendizaje de la numeración hasta las centenas, continúan en los grados siguientes como procesos aislados sin ser conectados con los procesos de producción e interpretación numérica. Los procesos de evaluación formativa que realizan los docentes en las instituciones educativas evalúan con énfasis los procesos de representación gráfica, pero desconectados de los procesos de representación y producción escrita. Por ello, las dificultades se acrecientan cuando resuelven problemas de medición sencillos y conocidos (estaturas de los estudiantes en centímetros o metros o de distancias recorridas en kilómetros entre ciudades vecinas). Son unidades de longitud cuyo uso es muy conocido, pero están desvinculadas del manejo de equivalencia entre las unidades del Sistema de Numeración Decimal.
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UMC, MED, 2010, 2010, páginas 24 a 36 del Informe resultados ECE 2010 “Recomendaciones “Recomendaciones para mejorar la comprensión del SND”. 10 Regletas de Cuisenaire (1907). (1907). 11 Materiales de la base diez de los Multibase de Dienes. 12 Objetos que sirven para guardar guardar las agrupaciones de 10, 100, 1000. 1000. rectangulares que muestran 10 cuadrados cuadrados dispuestos así: 13 Tarjetas rectangulares
14 Ábacos abiertos o cerrados, Yupana (ábaco (ábaco peruano), ábaco japonés, japonés, etc.
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Las experiencias realizadas por Kamii15 y otros investigadores han demostrado que los niños y las niñas tienen serias dificultades para comprender el valor posicional, incluso cuando ya escriben números de varias cifras y se encuentran finalizando la educación primaria. Sin embargo, la mayoría de docentes piensa que este desconocimiento es una baja dificultad y confían en el conteo oral y escrito. Teniendo como sustento lo anterior y el seguimiento y la sistematización de
prácticas pedagógicas, se puede afirmar que una comprensión del Sistema de Numeración Decimal y resolución de problemas implica: • Manejar las relaciones (de equivalencia, de inclusión y de recurrencia) y
operaciones (composición y descomposición) necesarias para construir el SND en los niños. • Reconocer la estructura de un sistema de numeración valorando principios,
características y organización del sistema surgido en diversas culturas. números con distintos materiales educativos • Identificar representaciones de números físicos como mediadores en la construcción de los significados del número y de las operaciones, la exploración de las relaciones numéricas y de las magnitudes. • Representar los números en distintas formas y ejemplificar las relaciones entre
ellos y los conjuntos numéricos. •
Darse cuenta de que las habilidades del cálculo numérico numérico se basan en la comprensión del Sistema de Numeración Decimal.
Reflexionando a partir de nuestra práctica ¿En qué proceso de construcción del SND se encuentran sus estudiantes? ¿Cómo construyen nuestros estudiantes el sistema de numeración decimal?
15 Comprensión numérica y habilidades habilidades operatorias. Módulo 3. En Didáctica de la Matemática en Educación Educación Primaria. Facultad de Educación. PUCP. 2016.
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