UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGÍA E INGENIERÍA UNIDAD DE CIENCIAS BÁSICAS
AUTORES JORGE ELIECER RONDÓN MILTON FERNANDO ORTEGÓN PAVA EMERSON ALEXANDER CHAPARRO SUESCA
211622 – ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD
BOGOTÁ, JULIO 2012
TABLA DE CONTENIDO PRESENTACIÓN ............................................................................................................ 4 UNIDAD UNO: ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA CAPÍTULO 1. INVESTIGACIÓN ESTADÍSTICA ..................................................................... 7 Lección 1: Historia de la Estadística……………………………………………………………………………………………………………… …..7 Lección 2: Conceptos fundamentales: población, muestra, variable estadística, datos y medición……117 Lección 3: Recolección de la información: Censos, encuestas. .......................................................... 15 Lección 4: Organización: tablas de frecuencias .................................................................................. 17 Lección 5: Presentación de la información: histogramas, polígonos, ojivas y caja y bigote. .............. 30
CAPÍTULO 2. ANÁLISIS MATEMÁTICO DE LA INFORMACIÓN......................................... 41 Lección 6: Parámetros y Estadísticos .................................................................................................. 41 Lección 7: Medidas de tendencia central: La media, la mediana y la moda ....................................... 41 Lección 8: Medidas de dispersión: Rango, Varianza, Desviación típica, coeficiente de variación, puntaje estandarizado. ...................................................................................................................................... 63 Lección 9: Medidas de forma: Asimetría y Curtosis. ............................................................................ 70
CAPÍTULO 3. ANÁLISIS DE REGRESIÓN ........................................................................... 80 Lección 10: Regresión ......................................................................................................................... 80 Lección 11: Relación y Correlación ...................................................................................................... 85 Lección 12: Regresión Múltiple. ........................................................................................................... 88
UNIDAD DOS: PRINCIPIOS DE PROBABILIDAD ....................................................... 92 CAPÍTULO 4: FUNDAMENTACIÓN EN PROBABILIDAD .................................................... 93 Lección 13: Historia de la Probabilidad Lección 14: Experimento Aleatorio, Evento ó Suceso, Espacio muestral. ......................................... 93 Lección 15: Principios matemáticos aplicados a fenómenos aleatorios: Operaciones entre conjuntos y propiedades. ....................................................................................................................................... 100 Lección 16: Definición de probabilidad: Clásica, frecuentista y Axiomática. ..................................... 103
CAPITULO 5: TÉCNICAS DE CONTEO.............................................................................. 107 Lección 17: Principio fundamental del conteo ................................................................................... 107 Lección 18: Regla de la multiplicación ............................................................................................... 109 Lección 19: Permutaciones y variaciones .......................................................................................... 110 Lección 20: Combinaciones ............................................................................................................... 113
CAPITULO 6: PROPIEDADES BÁSICAS DE LA PROBABILIDAD ................................... 115 Lección 21: Interpretaciones de la probabilidad ................................................................................ 115 Lección 22: Axiomas de probabilidad: regla de la adición ................................................................. 116 Lección 23: Independencia de Sucesos, regla de la multiplicación ................................................... 118 Lección 24: Probabilidad condicional ................................................................................................. 120 Lección 25: Probabilidad total y teorema de Bayes ........................................................................... 123
UNIDAD TRES: VARIABLES ALEATORIAS Y DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD .................................................................................................................................... 126 CAPITULO 7: VARIABLES ALEATORIAS ......................................................................... 127 Lección 26: Concepto intuitivo y matemático de variable aleatoria ................................................... 127 Lección 27: Distribución discreta de probabilidad: Distribución de probabilidad y función de distribución acumulada .......................................................................................................................................... 128 Página 2 de 177
Lección 28: Distribución continúa de probabilidad: función de densidad y función de distribución acumulada ............................................................................................................................................................ 131 Lección 29: Esperanza matemática y varianza de variables aleatorias ............................................ 133 Lección 30: Teorema de Chébyshev ................................................................................................. 138
CAPÍTULO 8: DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD DISCRETA .................................. 140 Lección 31: Distribución uniforme discreta ........................................................................................ 140 Lección 32: Distribución Binomial y Poisson ..................................................................................... 154 Lección 33: Distribución binomial negativa ............................................ ¡Error! Marcador no definido. Lección 34: Distribución Geométrica e Hipergeométrica ....................... ¡Error! Marcador no definido.
CAPÍTULO 9: DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD CONTINUA .................................. 154 Lección 35: Distribución uniforme continua ....................................................................................... 154 Lección 36: Distribución normal y sus aplicaciones. .......................................................................... 155 Lección 37: Distribución exponencial ................................................................................................. 164 Lección 38: Distribución Ji – cuadrado .............................................................................................. 169 Lección 39: Distribución T student. .................................................................................................... 171 Lección 40: Distribución de Fisher ..................................................................................................... 173
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PRESENTACIÓN El presente modulo está dirigido a estudiantes de programas de grado que oferta la UNAD, bajo la modalidad de educación superior a distancia (e – Learnig). El material está estructurado en unidades macro del curso académico. El contenido de cada una de las partes fue seleccionado, teniendo en cuenta los saberes mínimos que se esperaría debe alcanzar un estudiante de la Universidad Nacional Abierta y a Distancia en el campo de matemáticas y estadística. La propuesta permite que los estudiantes reconozcan los conocimientos mínimos del curso en mención, que le permita resolver situaciones propias del mismo y además, abordar posteriores temáticas que requieran de éstos conocimientos. El material se caracteriza porque en cada lección se presentar ejemplos modelos del tema en estudio, al final de cada capítulo se exponen ejercicios; que permite la profundización de los temas. Al final de la unidad se presenta una Autoevaluación de un nivel medio-alto, las cuales permiten verificar los alcances de los estudiantes en las temáticas analizadas y detectar las debilidades y así centrarse en éstas, con el fin de alcanzar las metas propuestas. Lo anterior, pretende servir como guía de aprendizaje autónomo, se recomienda apoyar este proceso por medio de lecturas especializadas, ayudas audiovisuales, visitas a sitios Web y prácticas de simulación; entre otros, así lograr una efectiva comprensión, interiorización y aplicación de las temáticas estudiadas. La Estadística es una disciplina que se aplica en muchos campos de la actividad del ser humano. Es muy frecuente encontrarse en las diferentes disciplinas del saber con incertidumbres como el pronosticar el crecimiento poblacional de un país, el crecimiento económico de una empresa o el crecimiento de producción y venta de un producto específico, el conocer la efectividad de diferentes abonos en el campo agrario, el determinar la tendencia de contaminación del agua o el aire, la clasificación de personal en una empresa para efectos de una buena y sana política laboral, etc. La Estadística Descriptiva, en el que los datos son ordenados, resumidos y clasificados con objeto de tener una visión más precisa y conjunta de las observaciones, intentando descubrir de esta manera posibles relaciones entre los datos, viendo cuáles toman valores parecidos, cuáles difieren grandemente del resto, destacando hechos de posible interés, entre otros. En todos los campos de la investigación se requiere a menudo el uso racional de los modelos matemáticos y métodos estadísticos. Los procesos de planeación, control y toma de decisiones en Ingeniería, economía, administración y otros campos, se basan en resultados obtenidos mediante el análisis estadístico de los fenómenos en ellos involucrados. El acelerado desarrollo de métodos, técnicas y tecnologías para el óptimo análisis de datos justifica que un profesional disponga de una sólida fundamentación conceptual para que realice apropiadamente su evaluación y aporte sustentaciones a su decisión. Las interpretaciones que generan los datos pudieran ser erróneas para aquellas personas que no cuentan con criterios válidos para captar la información. Empíricamente se sabe que la Estadística tiene que ver con datos y la manera en que estos son agrupados. Esto se reconoce en muchos casos de la vida cotidiana que involucran información numérica y el contexto en que esta información es dada a conocer. Aunque también puede darse en muchos casos que, si bien están relacionados con la estadística, obedecen a otros fenómenos de disciplinas relacionadas con —pero que no conforman— la Estadística propiamente dicha. La Estadística es la ciencia que permite operar con un conjunto de datos y de interpretarlos. Si bien esta definición parece un poco ambigua, se verá más adelante el marco en que éste método se desarrolla y las ―leyes‖ que lo rigen. Pero, por ahora, se deja abierta al cuestionamiento del estudiante la gama de posibilidades que abarca esta definición. La Estadística, o el método de la estadística, se divide en dos ramas: la Estadística Descriptiva o deductiva y la Inferencia Estadística o estadística inductiva. Este curso se dedica a la Estadística
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Descriptiva, por lo que se hace necesario dar a conocer, en términos generales, en qué consiste la Inferencia Estadística. La Inferencia Estadística comprende en un todo articulado el método y las técnicas necesarias para explicar el comportamiento de un grupo de datos en un nivel superior de lo que estos datos pueden dar a conocer por sí mismos. Es decir, se puede concluir sobre el grupo de datos sobrepasando los límites del conocimiento inicial que estos suministran, examinando solamente una parte de la población denominada muestra. Es por ello que a la Inferencia Estadística también se le conoce como Estadística Analítica. Si esto es así, ¿qué le corresponde entonces a la Estadística Descriptiva? Esta tiene por fin elevar los aspectos característicos del grupo de datos pero sin intentar obtener más conocimiento del que pueda adquirirse por sí mismos. Es por ello que la Estadística Descriptiva es el punto de partida del análisis de un grupo de datos que involucran una cierta complejidad, o bien puede ser el todo de un análisis básico y limitado del grupo de datos. Enfrentarse con datos de muy diversa índole es cosa de todos los días en cualquier práctica del ser humano. Sin embargo, dado la cantidad innumerable de estos, no siempre se comprende el real alcance de lo que dicen. Como parte de una base cultural necesaria para desempeñarse en el mundo de hoy, es requisito desarrollar una capacidad personal para extraer y describir información presente en un conjunto de datos. Y es precisamente allí donde resalta la importancia del estudio del curso en cuestión.
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UNIDAD UNO ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA
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CAPÍTULO 1: INVESTIGACIÓN ESTADÍSTICA Lección 1: Historia de la Estadística La evolución de la estadística, la podemos dividir según los periodos de la historia de la humanidad, ya que no se puede pensar que el principio de contar es reciente. ANTES DEL SIGLO XVI: Desde las antiguas sociedades, no se puede ignorar la necesidad de enumerar y contar: Contar los individuos, enumerar las familias, los productos agrícolas, los hombres aptos para la guerra y otros. En el libro ―Los Números‖ de la Biblia se habla de Censo, relacionado hacia lo maltito. Aunque existen diversas versiones sobre los inicios precarios de la Estadística, vale la pena referenciar aquellos que se consideran de importancia por su motivación hacia la estadística moderna. China: El Emperador YAO dividió su imperio en Provincias, realizando una comparación de los bienes de cada una, para cuantificar los impuestos. Se dice que en china se realizó un censo en el año 2.238 A. C. Imperio Romano: Se preocupaba por el recuento de sus ciudadanos y los bienes del estado, cuya intención era Tributaria y Militar. Se cree que en Roma, el primer Censo fue realizado bajo el mandato de Servio Tulio (578 – 534 A. C.) cuyo fin era clasificar los ciudadanos según sus ingresos para establecer el pago de impuestos. Al inicio del a Era Cristiana, el Emperador Augusto, realizo un Censo, quizás para seguir la línea del pago de impuestos. Imperio Egipcio: Los egipcios bajo el reinado de Amasis II, obligaba a los ciudadanos a declarar su profesión y fuentes de ingresos, bajo pena de muerte. Los Griegos: En la Antigua Grecia los Censos eran habituales. Aristóteles escribe que por cada nacimiento se le ofrecía una medida de Trigo y una de Cebada por cada fallecimiento a la Diosa Atenea. EDAD MEDIA: Las referencias nos llevan a la provincia de Córdoba en España donde Bayan Almorgerg, realizo el primer censo de Viviendas y Edificios; se obtuvieron 113.000 Casas y 300 Mezquitas La Reina Isabel la Católica, encargo a Alonso de Quintanilla la labor de recopilar información sobre las riquezas del reino y la cantidad de población en los años 1.477 - 1.479. Carlomagno o Carlos I el Grande, en la Europa Medieval, para el año 786 realizo una clasificación de los hombres mayores de 12 años. Este Emperador fue el promotor del renacimiento por medio de llamado Imperio Carolingio, donde se busco recuperar la política, la cultura y la religión de la Europa medieval. Retomo la Estadística para Europa con el fin de un manejo financiero y administrativo. Guillermo I en Inglaterra o Guillermo el Conquistador, en su libro Domesday Book, fue la principal fuente de registros, el cual se completo en 1.086, considerado el ―Catastro de Inglaterra‖, documento estadístico - administrativo. La información se recopilo enviando hombres de confianza a todas las provincias para indagar sobre los bienes que poseían los terratenientes, cultivos y demás, para así poder establecer por medio de sus consejeros el pago de tributos. También se realizaron estudios estadísticos sobre navegación y comercio. Siguiendo el recorrido sobre la edad media, los aportes de los trabajos estadísticos de los Españoles, motivaron el surgimiento de las escuelas que posteriormente Conring y Achenwall crearon en los siglos XVII y XVIII. El principal precursor español fue Jerónimo Uztáriz, (1.670 – 1.732) con su obra ―Teoría y Práctica de Comercio y Marina‖ que sirvió como base para tomar decisiones económicas a partir de los datos estadísticos existentes. El no era estadístico como tal, pero su trabajo lo hacía ser estadístico.
SIGLOS XVII -XVIII: La Estadística adquiere un estatus de ciencia y se le da gran importancia, surgen las escuelas que dinamizaron esta ciencia hasta lo que se conoce hoy.
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Escuela Alemana: La creación de esta escuela se le atribuye al Medico y Publicista Hermann Corning (1.606 – 1.681) y desarrollada a lo largo de los siglos VXII y XVIII. Su fundamento estadístico estaba en la descripción comparativa de los estados. Lo anterior acorde con el origen etimológico de la palabra Estadística: Statu, Estado o situación. Pero fue Godofredo Achenwall (1.719 – 1.772) discípulo de Conring, quien impulso esta escuela, a él se reatribuye el Término Estadística. En su obra publicada en 1.749 mostró el consolidado de los postulados de la nueva ciencia. Fuente: wikipedia.org/wiki/Hermann_Conring
Escuela Inglesa: Su principal representante fue John Graunt (1.620 – 1.674) que en contra de la escuela alemana, publico en 1.662 su obra ―Aritmética Política‖, llamada también Estadística Investigadora o Estadística Científica, la cual fue motivada por el principio pragmático de esta escuela, basada en el estudio de las necesidades del conocer el desarrollo demográfico de la población londinense, que disminuía por la acción de la peste que azotaba la Ciudad. En la obra de Graunt, conformada por 12 capítulos y un prologo, analiza los datos demográficos con el fin de encontrar ―Relaciones Ocultas‖, haciendo previsiones sobre mortalidad infantil y el crecimiento de la población londinense, discriminación por genero, diferencias entre nacimientos y muertes, entre otros. Su primera tabla de mortalidad publicada 1.592 mostró el grado de desastre que origino la peste que se presento en Londres. . El Filosofo, Medico, Economista y Estadístico Ingles William Petty (1.623 – 1.687) como continuador de la obra de Graunt, publica su obra en 1.600 sobre Política Aritmética, donde a partir del Censo de casas en Londres, Estima la población de la ciudad. Pero la inquietud de los investigadores de la época, hacía pensar en soportar los principios estadísticos en principios matemáticos. Es así como el Matemático y Astrónomo Belga Adolphe Quetelet (1.796 – 1.874) introduce métodos de análisis para estudiar magnitudes macroeconómicas como la Renta, Consuno y otras; es decir, aplico el razonamiento estadístico en fenómenos sociales. En los países bajos hace estudios sobre criminología, mortalidad y otros aspectos propios de dicha comunidad. Por su trabajo sobre la concepción del hombre medio, se creo el índice de Quetelet que mide la masa corporal de una persona. Fue el organizador de la primera conferencia internacional sobre Estadística en 1.853. Por otro lado el Matemático y Economista francés Agustin Cournt (1.801 – 1.877) se reconoce como el pionero de la Economía Matemática, ya que fue el primero en utilizar funciones matemáticas para explicar fenómenos económicos; como la demanda, oferta y precio. Pero también propone la definición frecuentista de probabilidad, además, habla de intervalos de confianza como método de estimación. Se considera uno de los aportadores fuertes a la Ciencias Estadística. El Censo fue el instrumento que a comienzos del siglo XIX se utilizo en los países europeos, para obtener información sobre la demografía y la economía. Así en 1.834 se crea La Royal Statistical Society, en Londres y en 1.839 se crea la American Statistical Association en EE UU.
ESTADÍSTICA ACTUAL: Los trabajos en física realizados por Newton y de Biología realizados por Darwin, fueron excelentes pretextos para el desarrollo y modernización de la Ciencia Estadística. Aunque existieron muchos investigadores que aportaron al fortalecer dicha ciencia, haremos referencia aquellos que marcaron diferencia y merecen su reconocimiento.
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En primera instancia mocionaremos al Ingles Sr. Francis Galton (1.822 – 1.911) antropólogo, geógrafo, estadístico entre otras profesiones que tenia, realizo la mayoría de sus investigaciones sin necesidad de asistir a la Universidad. Primo de Darwin, fue el primero en resaltar la necesidad de utilizar métodos estadísticos para contrastar la Teoría Darwiniana, motivación que lo llevo a realizar estudios sobre diferencias individuales. Es el motivador para el uso de la Estadística en las Ciencias Experimentales, por medio de dos aportaciones fundamentales, como la regresión y correlación. Estudió exhaustivamente la distribución normal e introdujo el concepto de Línea de Regresión, comparando estatura de padres e hijos. Concibe el coeficiente de correlación como una medida de la intensidad en la relación entre dos caracteres. En su teoría no logro reconocer correlaciones negativas. Patrocino el primer departamento de Estadística y fue el dinamizador de la famosa revista Biométrica. Karl Pearson, (1.857 – 1.936) prominente Matemático, Científico y Pensador Británico, fue quien estableció la ―Estadística Matemática‖. Motivado por los estudios de Galton, realizado estudios sobre distribuciones bidimensionales, entre sus obras de mencionar se destacan las que analizan la regresión y la correlación en estudios sobre medidas de asociación y contingencia. En 1.900 2 propone la famosa distribución Ji - Cuadrado (χ ) descubierta con el fin de obtener pruebas para la bondad de ajuste. Fundo el primer departamento de Estadística en la Universidad de Londres; además, oficializo la revista Biométrica. William Sealy Gosset, (1.876 – 1.937) Estadístico nacido en Canterbury (Inglaterra) Trabajador de Cervecería en Dublín conocida como Guinness. Sus estudios sobre Química y Matemáticas lo llevaron a investigar sobre destilación. Por la prohibición que tenía la empresa de publicar sus investigaciones, Gosset debió utilizar un Pseudónimo para exponer sus investigaciones, el cual aún es conocido como Student. Acudió a Pearson para estudiar en Londres, cuyos estudios se concentraron en analizar el efecto de las materias primas sobre la calidad del producto final, con la limitante que debía trabajar con muestras pequeñas. Utilizando el método de Montecarlo y con muestras pequeñas, logró simular procesos de toma de muestras de la distribución normal y así desarrollo la famosa distribución de t – student, muy utilizada en muestreo. es.wikipedia.org/wiki/William_Sealy_Gosset
Ronald Aylmer Fisher, (1.890 – 1.962) Uno de los personajes más importantes de la estadística, considerado el Padre de dicha ciencia. Matemático, Estadístico, Biólogo y Científico, nacido en Londres, cuyo aporte fundamental fue la creación en 1.920 de la Inferencia Estadística. Siguiendo los pasos de Galton, desarrollo investigación estadística, la cual plasmó en su obra publicada en 1.925 ―Statistical Methods for Research Workers‖. En el periodo de 1.920 y finales de la segunda guerra mundial se extiende la aplicación de los métodos estadísticos en diversas áreas de conocimiento como la Ingeniería, Medicina, Ciencias Sociales y otros. Diversas situaciones presentadas en las ciencias agronómicas, impulso a Fisher a crear en el año 1.935, la teoría del ―Diseño Experimental‖, donde centro sus estudios en identificar las fuentes de variabilidad de los datos experimentales, separo la variación muestral en los grupos o subpoblaciones y así dio los fundamentos del conocido Análisis de Varianza. También desarrollo lo relacionado con la teoría de Estimación, introduciendo los conceptos como: Estimador y eficiencia de la estimación. Utilizando el método de Máxima Verosimilitud logró obtener estimadores
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adecuados. Por otro lado con el fin de determinar la fiabilidad de las estimaciones, introdujo la conocida teoría sobre estimación por intervalos. Jerzy Neyman, (1.894 – 1.981) Matemático, Estadístico y Astrónomo, nacido en Bendery (Rusia), pero de origen polaco, trabajo en un instituto de Investigación Agrícola; al igual que Fisher. A estos dos investigadores se les considera los fundadores de la Estadística Moderna. Auque Fisher dio los fundamentos, se le asigna la creación de los intervalos de confianza en 1.934 al ingenio de Neyman, quien también fundo el Laboratorio de Estadística en Berkeley. Trabajo en el análisis de problemas propios de la Astronomía, Biología y Climatología. Entre sus aportes significativos a la estadística está el famoso Lema de Neyman – Pearson, aplicado en pruebas de hipótesis. También trabajo sobre muestreo en poblaciones finitas, estableciendo que con la selección aleatoria se obtiene la base de una teoría científica que permite predecir la validez de las estimaciones maestrales. Fortaleció la teoría sobre intervalos de confianza, introduciendo principios de probabilidad para asignar un grado de error preestablecido a las estimaciones obtenidas. Para Neyman la Estadística Matemática busca el establecimiento de ―Reglas de Comportamiento‖ que permiten seleccionar acciones previamente fijadas, a partir de resultados observados en experimentos aleatorios. Por ejemplo una prueba de hipótesis (Test Estadístico) es una regla de este tipo, en el cual se acepta o rechaza una hipótesis, al igual que la estimación por intervalo. Abraham Wald, (1.902 – 1.950) Nacido en Kolozsvár, (Hungría) de familia Judía, de grandes estudios en matemáticas, especialmente en Geometría. Pero su inquietud lo llevo al estudio de la estadística y así fue uno de los fundadores de la llamada ―Teoría de la Decisión‖. Aunque se tiene evidencias de que Daniel Bernoulli y Laplace, habían hablado sobre el tema. En un documento publicado en 1.939, Wald afirma: ―... los dos principales problemas de la teoría estadística en ese momento, la comprobación de hipótesis y el cálculo, pueden ser consideradas como simples casos especiales de un problema más general - conocido hoy como un "problema de decisión estadística". ... Se define la pérdida de funciones, las funciones de riesgo, a priori, distribuciones, reglas de decisión de Bayes, la admisibilidad de las normas de decisión, Minimax y reglas de decisión, y demuestra que una regla de decisión Minimax un riesgo constante, en determinadas condiciones de regularidad”. Con esta teoría constituye el modelo estadístico teórico, dando origen a la ―Escuela Decisionísta‖ la cual tiene como filosofía: Tomar decisiones bajo condiciones de incertidumbre. Esta escuela presenta diferencias con la escuela inferentista de Fisher, cuyo principio era reducir la incertidumbre por medio de la observación y experimentación, para hacer inferencias estadísticas. Wald trabaja sobre la muy conocida Ruina del Jugador, tema relevante de los procesos estocásticos, además; fue el primero en resolver el problema general de la secuencia de pruebas de hipótesis.
Lección 2: Conceptos fundamentales: población, muestra, variable estadística, datos y medición. En este capítulo se describen los conceptos y definiciones básicas necesarios para mayor comprensión de los temas a desarrollar en esta asignatura. El propósito es estandarizar una terminología común. Así, se establecen una serie de convenciones, para agilizar la lectura del texto. El problema consiste en la diversidad de términos usados para nombrar los mismos conceptos, debido a la gran variedad de autores, modas y tendencias, que existen en la bibliografía actual. Cada uno, aportando su cuota de originalidad, pero complicando la simplicidad. Otro problema que se trata de resolver, es el uso de palabras con un significado claro en el leguaje diario, pero con uno diferente en la Estadística. Por tanto, conviene empezar precisando algunas ideas generales a modo de convención.
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Definición de Estadística: Existen diversidad de conceptos y definiciones que permiten establecer específicamente la formulación de objetivos y el campo de acción de la Estadística. Alguna de ellas la define como una rama de las matemáticas que trata de la recopilación, análisis, interpretación y presentación de datos numéricos. La Estadística es la ciencia cuyo objetivo es reunir una información cuantitativa concerniente a individuos, grupos, series de hechos, etc. y deducir de ello gracias al análisis de estos datos unos significados precisos o unas previsiones para el futuro. La estadística, en general, es la ciencia que trata de la recopilación, organización presentación, análisis e interpretación de datos numéricos con e fin de realizar una toma de decisión más efectiva. Otros autores tienen definiciones de la Estadística semejantes a las anteriores, y algunos otros no tan semejantes. Para Chacón esta se define como ―la ciencia que tiene por objeto el estudio cuantitativo de los colectivos‖; otros la definen como la expresión cuantitativa del conocimiento dispuesta en forma adecuada para el escrutinio y análisis. La más aceptada, sin embargo, es la de Minguez, que define la Estadística como ―La ciencia que tiene por objeto aplicar las leyes de la cantidad a los hechos sociales para medir su intensidad, deducir las leyes que los rigen y hacer su predicción próxima‖. Los estudiantes confunden comúnmente los demás términos asociados con las Estadísticas, una confusión que es conveniente aclarar debido a que esta palabra tiene tres significados: la palabra estadística, en primer término se usa para referirse a la información estadística; también se utiliza para referirse al conjunto de técnicas y métodos que se utilizan para analizar la información estadística; y el término estadístico, en singular y en masculino, se refiere a una medida derivada de una muestra.
Utilidad e Importancia: Los métodos estadísticos tradicionalmente se utilizan para propósitos descriptivos, para organizar y resumir datos numéricos. La estadística descriptiva, por ejemplo trata de la tabulación de datos, su presentación en forma gráfica o ilustrativa y el cálculo de medidas descriptivas. Ahora bien, las técnicas estadísticas se aplican de manera amplia en mercadotecnia, contabilidad, control de calidad y en otras actividades; estudios de consumidores; análisis de resultados en deportes; administradores de instituciones; en la educación; organismos políticos; médicos; y por otras personas que intervienen en la toma de decisiones.
División de la Estadística: Hay dos fases en el campo de la Estadística: la Estadística Descriptiva y la Inferencial. La primera se limita a la descripción de una serie de datos a través de su organización y resumen sin llegar a conclusiones o a generalizaciones con respecto a un grupo mayor. También se conoce como Estadística Deductiva. Esta descripción se hace a través de la elaboración de cuadros, gráficos, cálculos de promedios, varianzas, proporciones de una o más variables. La segunda fase, conocida como Estadística Inferencial, se deriva de muestras, de observaciones hechas sólo acerca de una parte de un conjunto numeroso de elementos y esto implica que su análisis requiere de generalizaciones que van más allá de los datos. La Estadística Inferencial trata de llegar a conclusiones acerca de un grupo mayor (población) basado en la información de un grupo menor (muestra); busca dar explicaciones
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al comportamiento de un conjunto de observaciones, probar la significación o validez de los resultados, intenta descubrir causas que la originan.
Método Estadístico: El conjunto de los métodos que se utilizan para medir las características de la información, para resumir los valores individuales, y para analizar los datos a fin de extraerles el máximo de información, es lo que se llama métodos estadísticos. Los métodos de análisis para la información cuantitativa se pueden dividir en los siguientes seis pasos: 1. Definición del problema. 2. Recopilación de la información existente. 3. Obtención de información original. 4. Clasificación. 5. Presentación. 6. Análisis.
Errores Estadísticos Comunes: Al momento de recopilar los datos que serán procesados se es susceptible de cometer errores así como durante los cómputos de los mismos. No obstante, hay otros errores que no tienen nada que ver con la digitación y que no son tan fácilmente identificables. Algunos de éstos errores son: Sesgo: Es imposible ser completamente objetivo o no tener ideas preconcebidas antes de comenzar a estudiar un problema, y existen muchas maneras en que una perspectiva o estado mental pueda influir en la recopilación y en el análisis de la información. En estos casos se dice que hay un sesgo cuando el individuo da mayor peso a los datos que apoyan su opinión que a aquellos que la contradicen. Un caso extremo de sesgo sería la situación donde primero se toma una decisión y después se utiliza el análisis estadístico para justificar la decisión ya tomada. Datos no comparables: el establecer comparaciones es una de las partes más importantes del análisis estadístico, pero es extremadamente importante que tales comparaciones se hagan entre datos que sean comparables. Proyección descuidada de tendencias: la proyección simplista de tendencias pasadas hacia el futuro es uno de los errores que más ha desacreditado el uso del análisis estadístico. Muestreo Incorrecto: en la mayoría de los estudios sucede que el volumen de información disponible es tan inmenso que se hace necesario estudiar muestras, para derivar conclusiones acerca de la población a que pertenece la muestra. Si la muestra se selecciona correctamente, tendrá básicamente las mismas propiedades que la población de la cual fue extraída; pero si el muestreo se realiza incorrectamente, entonces puede suceder que los resultados no signifiquen nada
Conceptos Estadísticos: Escalas de Medición Llamaremos medición al proceso de atribuir números a las variables. El conjunto de reglas o modelos desarrollados para la asignación de números a las variables es lo que se denomina escala. La clasificación de
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las escalas más usada es la propuesta por Stevens (1946) que divide las escalas en: nominales, ordinales, de intervalo y de razón.
Escala nominal: nos permite identificar sujetos como "iguales" o "diferentes". Usando una escala nominal podemos decidir si un sujeto es igual o diferente a otro, pero no podemos establecer relaciones de orden respecto a esa característica, ni relaciones de cantidad ni de diferencia. Por ejemplo: si medimos el color de los ojos podemos establecer la siguiente escala: A → azul, V → verde, M → marrón y N → negro. No podemos ordenar los sujetos de mayor a menor o viceversa, simplemente podemos asegurar si dos sujetos tienen el mismo o distinto color de ojos. Otros ejemplos: nacionalidad, sexo, profesión. A este tipo de variables medidas con escala nominal se les puede asignar a cada categoría cualquier tipo de símbolos. En el ejemplo hemos asignado letras pero podíamos haber optado por números: 1 → azul, 2 → verde, 3 → marrón y 4 → negro.
Escala ordinal: Esta escala no sólo permite la identificación y diferenciación de los sujetos sino que además permite establecer relaciones del tipo "mayor que" o "menor que". Es decir, de los sujetos se puede decir cual presenta una mayor o menor magnitud de la característica medida, los objetos se pueden ordenar. Ejemplo: nivel de estudios se puede asignar 1 a estudios primarios, 2 a estudios secundarios, 3 a estudios universitarios. Podemos ordenar a los sujetos según el nivel de estudios, el valor 3 es mayor que el 2 y el 1. Aunque no podemos afirmar que la diferencia existente entre el 2 y el 1 sea la misma que la que existe entre el 3 y el 2. Ni que el que tenga nivel 3 tenga 3 veces más de nivel de estudios que el que tiene nivel 1. Otros ejemplos de escala ordinal: posición relativa en la clase, escala de dureza de los minerales.
Escala de intervalo: Con esta escala, además de poder identificar un objeto y establecer relaciones del tipo mayor que y menor que, también podemos hacer afirmaciones acerca de las diferencias en la cantidad del atributo de unos y otros objetos. Es decir, disponemos de una unidad de medida, aunque en este caso el cero sea un punto arbitrario en la escala. Es decir, no indica ausencia total de la cantidad de atributo. Un ejemplo típico es el calendario, podemos afirmar que ha transcurrido el mismo tiempo entre 1960 y 1966 que entre 1980 y 1986 porque contamos con una unidad de medida llamada año. Pero no podemos afirmar que hasta el año 1000 haya pasado el doble de tiempo que hasta el año 500, porque el valor cero no representa el comienzo del tiempo sino que, en nuestro calendario se eligió el año del nacimiento de Cristo como año 1. Otros ejemplos: la medición de las temperaturas en grados Celcius la escala de los test de inteligencia.
Escala de razón: También se llama de proporción o de cociente. Además de las características de las otras tres escalas, contamos con una unidad de medida con cero absoluto, es decir, que significa ausencia del atributo o característica medida. Por ejemplo, la longitud, podemos afirmar que un objeto que mide 10 cm. tiene el doble de longitud que uno que mide 5 cm. Otros ejemplos: peso, duración de un suceso, temperatura en grados Kelvin (que sí tiene cero absoluto).
Referencia: ―Apuntes de Estadística para Profesores‖, Concepción Bueno y Tomás Escudero.
Variable: Una variable es una propiedad o característica que puede variar y cuya variación es susceptible de medirse. Ejemplos de variables: - Rendimiento académico en las asignaturas cursadas, que adopta distintos valores o modalidades, normalmente son valores entre 0 y 7. - Sexo que adopta dos modalidades: varón y mujer - Lugar de procedencia - Motivación ante la asignatura - Edad
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En contraposición a la variable aparece el concepto de constante que es una característica de la población que sólo puede tomar un valor para todos los elementos de la población. Ejemplos de constantes son: - Nivel Escolar de los encuestados (todos son universitarios). - La nacionalidad de los encuestados (Chilenos). Las variables se pueden clasificar según el número de valores que puedan tomar como variables discretas y variables continuas. Variable Continua es la que puede tomar todos los valores de un intervalo. Por ejemplo: el peso, la talla, el tiempo empleado en la ejecución de una tarea, la duración de un suceso, etc. Variable Discreta es aquella que adopta valores aislados. Ejemplo: raza, lugar de nacimiento, sexo, religión, número de asignaturas aprobadas en el semestre, número de alumnos de una clase, nivel socioeconómico, etc. También se pueden clasificar atendiendo al tipo de información que proveen en cualitativas y cuantitativas. Variables cualitativas son aquellas que se miden según una escala nominal u ordinal. Informan más bien de una cualidad del sujeto: sexo, color de ojos, nivel socioeconómico, nivel cultural, dureza de los minerales. Variables cuantitativas son aquellas que se miden según una escala de intervalo o de razón. De alguna forma dan cuenta de la cantidad de atributo o característica que el individuo posee. Por ejemplo: peso, talla, temperaturas, número de asignaturas aprobadas.
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Lección 3: Recolección de la información: Censos, encuestas. Después de planeada la investigación, comienza la recolección de los datos. Esta consiste en un conjunto de operaciones de toma de datos que puede ser por observación, por encuesta o tomada de publicaciones y/o fuentes confiables que han efectuado investigaciones estadísticas. Para esto se selecciona el método de recolección de la información acorde a las necesidades de la investigación, que se clasifican según su cobertura y según su forma de observación.
Según la cobertura Se trata de decidir si se va a estudiar a la población en su totalidad o sólo una parte de ella. Si lo que se desea es atender a una cobertura total, es decir contar con todos los elementos de las fuentes de información, se usa el censo. Si, en cambio, se hace una enumeración parcial de las fuentes de información, se usa el muestreo. Por su menor costo, mayor rapidez y menor número de personas que intervienen en la investigación, el muestreo es el método más utilizado. El muestreo puede ser de dos tipos: muestreo probabilístico o al azar, cuando cada uno de los elementos tiene la misma probabilidad de ser escogido obteniendo así una muestra aleatoria; y muestreo no probabilístico, cuando el investigador selecciona los datos a su propio criterio, de manera caprichosa, por conveniencia o por cuotas, de manera que las muestras no son seleccionadas aleatoriamente y los resultados no ofrecen confiabilidad alguna.
Según la forma de observación En este método se tiene en cuenta la forma de medición del dato. Si se hace de manera que la fuente de información se da cuenta de la medición que efectúa, se dice que se toman los datos por encuesta. Éstas se pueden realizar por correo, entrega personal de cuestionario, entrevista, motivación, teléfono, etc. El otro método de recolección de información es por observación, en donde la medición se realiza sin que la fuente de información se dé cuenta del hecho. Este método se basa en el registro de los eventos que ocurren, por ejemplo cuando se examina el número de estudiantes que entran a la biblioteca con el fin de hacer una consulta referida a las Ciencias Sociales, simplemente se observa la acción del estudiante al entrar a la biblioteca: si hace o no la consulta que se investiga. Este método puede ser también indirecto cuando la recolección consiste en corroborar los datos que otros han observado.
Variables Estadísticas: Existen dos tipos de variables estadísticas, al saber: Cualitativas y cuantitativas. Una variable es cualitativa si en la característica que se va a estudiar se busca conocer gustos, preferencias u opiniones, etc.; por ejemplo: tipo de sangre, gaseosa preferida, color de cabello. Una variable cualitativa es estadística cuando es posible clasificar los datos obtenidos de la muestra en clases bien definidas, en las cuales el individuo que suministra la información pueda elegir una de ellas. Cuando una variable es cualitativa es necesario determinar las posibles respuestas. Una variable es cuantitativa si la característica que se va a estudiar se pude medir en una escala numérica.
Si la variable tiene la capacidad de tomar cualquier valor que exista entre dos magnitudes dadas, entonces esta variable será continua.
Si por el contrario, sólo puede tener un valor de entre cierta cantidad de valores dados, entonces será discreta.
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Escalas de Medidas de Variables: Una escala es la relación numérica entre la longitud real y la longitud que se asigna en el plano en el cual se va a representar su gráfica. Las variables cuantitativas pueden ser consideradas en diferentes escalas teniendo en cuenta las unidades asociadas a la población que se encuentra en estudio. Los datos asociados a un estudio deben estar en las mismas unidades, de tal manera que sea posible asignarles una escala a todos. La notación de una escala es de la forma 1 a n, lo cual indica que n unidades de medida están representadas en el gráfico e una sola.
EJEMPLO Los profesores de Educación Física de un colegio medirán la estatura de los niños de secundaria en cada uno de los grados. Solución: En este caso, la variable estatura es cuantitativa y continua ya que los datos que resultan son números reales; es posible considerar las mediciones en centímetros o en metros. El profesor de educación física puede usar un escala de 1 a 10, en la cual cada 10 centímetros de altura están representados en 1 cm del gráfico. Suponiendo que los estudiantes de primaria tienen alturas entre 100 cm y 140 cm la representación gráfica de la escala 1:10 es la siguiente:
EJEMPLO En cada una de las siguientes situaciones, identificar la variable de estudio. Determinar si es cualitativa o cuantitativa. 1. En un barrio de la ciudad se aplicó una encuesta para conocer el consumo, en centímetros cúbicos, del servicio de gas natural. 2. El alcalde de la ciudad quiere revisar la situación de violencia intrafamiliar en las familias de estrato 3, 4, 5. 3. El número de hermanos de cada jugador del equipo de futboll. 4. En un café gourmet, se decidió preguntar por el tipo de variedad que más consumen sus clientes. Solución 1. La variable es consumo de gas. Es cuantitativa y continua 2. La variable es situación de violencia. Es cualitativa 3. La variable es número de hermanos. Es cuantitativa y discreta 4. La variable es variedad de café. Es cualitativa.
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Lección 4: Organización: tablas de frecuencias Como se mencionó en el material de introducción a la estadística, la estadística descriptiva tiene como propósito describir y resumir un conjunto de datos, para ello, se emplean dos tipos de métodos a saber: métodos gráficos y métodos numéricos. Para introducir los métodos gráficos y numéricos recurriremos a la construcción de las Distribuciones de Frecuencia, método utilizado para organizar y resumir datos. Una tabla de frecuencia esta formada por las categorías o valores de una variable y sus frecuencias correspondientes; esta tabla se crea por medio de la tabulación y agrupación, se trabaja con una sola variable; sin embargo, cuando el conjunto de datos es mayor, resulta laborioso trabajar directamente con los valores individuales observados y entonces se lleva a cabo, por lo general, algún tipo de agrupación como paso preliminar, antes de iniciar cualquier otro tratamiento de los datos. Las reglas para proceder a la agrupación son diferentes según sea la variable, discreta o continua, para una variable discreta suele resultar conveniente hacer una tabla en cuya primera columna figuren todos los valores de la variable X representados en el material, y en la segunda, la frecuencia f con que ha aparecido cada valor de X en las observaciones. Primero, definiremos una notación y/o simbología estándar a manejar: La letra X mayúscula representará a la variable con la que estamos trabajando. La letra X mayúscula con subíndices, X1, X2, X3,… servirá para representar un valor concreto de la variable X en el sujeto 1,2,3,... Cuando queramos referirnos a un valor concreto cualquiera de la variable X escribiremos Xi. Denotaremos por Xk el último valor que toma la variable. El número de elementos que componen la muestra será n (N si esta considerando una población). Se llama frecuencia absoluta de un valor Xi, y se simboliza por f i (en alguna literatura la representan por ni) al número de veces que se repite el valor Xi en la muestra. La suma de las frecuencias debe ser igual al número de elementos que componen la muestra, esto es, fi = = f1 + f2 + f3 + … + fk = n La frecuencia relativa es la fracción del total de observaciones que presentaron un valor X i en particular y se simboliza por hi. Para su cálculo se hace el cociente entre la frecuencia absoluta y el número total de datos, esto es,
hi
fi n
La frecuencia relativa puede denotar un porcentaje o una probabilidad de selección; la suma de las frecuencias relativas debe ser igual (o aproximadamente igual) a 1, esto es, hi = = h1 + h2 + h3 +… + hk = 1 La frecuencia absoluta acumulada (Fi) es la suma de los distintos valores de la frecuencia absoluta tomando como referencia un individuo dado. Cabe mencionar que la última frecuencia absoluta acumulada es igual al número de casos, esto es, F1 = f 1 F2 = f 1 + f 2 = F1 + f 2 F3 = f 1 + f 2 + f 3 = F2 + f 3 . . . Fk = f1 + f2 + f3 + … + fk-1 + fk = Fk-1 + fk = n
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La frecuencia relativa acumulada es el resultado de dividir cada frecuencia absoluta acumulada (Fi) por el número total de datos; se suele representar con la notación Hi; cabe mencionar que la última frecuencia relativa acumulada es igual a 1; es decir,
Hi
Fi n
De esta manera, la distribución de frecuencias para una VARIABLE DISCRETA estará dada de la siguiente manera: X
fi
Fi
hi
Hi
X1
f1
F1
h1
H1
X2
f2
F2
h2
H2
X3
f3
F3
h3
H3
…
…
…
…
…
Xk
fk
Fk = n
hk
Hk = 1
fi = n
hi = 1
Ejemplo: El gobierno desea averiguar si el número medio de hijos por familia ha descendido respecto de la década anterior. Para ello ha encuestado a 50 familias respecto al número de hijos, y ha obtenido los siguientes datos: i Xi
1 2
2 4
3 2
4 3
5 1
6 2
7 4
8 2
9 3
10 0
i Xi
11 2
12 2
13 2
14 3
15 2
16 6
17 2
18 3
19 2
20 2
i Xi
21 3
22 2
23 3
24 3
25 4
26 3
27 3
28 4
29 5
30 2
i Xi
31 0
32 3
33 2
34 1
35 2
36 3
37 2
38 2
39 3
40 1
i Xi
41 4
42 2
43 3
44 2
45 4
46 3
47 3
48 2
49 2
50 1
Determinar: a. b. c. d. e. f. g.
¿Cuál es la población objeto de estudio? ¿Qué variable estamos estudiando? ¿Qué tipo de variable es? Construir la tabla de frecuencias. ¿Cuál es el número de familias que tiene como máximo 2 hijos? ¿Cuántas familias tienen más de 1 hijo, pero como máximo 3? ¿Qué porcentaje de familias tiene más de 3 hijos?
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Solución: a. La población objeto de estudio es el conjunto de familias de un determinado país. b. La variable que estamos estudiando es el número de hijos por familia c.
El tipo de variable es discreta ya que el número de hijos solo puede tomar determinados valores enteros (es imposible tener medio o un cuarto de hijo).
d. Para construir la tabla de frecuencias tenemos que ver cuántas familias tienen un determinado número de hijos. Podemos ver que el número de hijos, toma los valores existentes entre 0 hijos, los que menos y, 6 hijos los que más; de esta manera se tiene: Xi
fi
Fi
hi
0
2
1
4
2
21
6 + 21 = 27
3
15
27 + 15 = 42
4
6
42 + 6 = 48
5
1
48 + 1 = 49
6
1
49 + 1 = 50
2 2+4=
6
2 50 4 50 21 50 15 50 6 50 1 50 1 50
n = 50
Hi
0,04
4%
0,08
8%
0,42
42%
0,30
30%
0,12
12%
0,02
2%
0,02
2%
1,00
100%
2 50 6 50 27 50 42 50 48 50 49 50 50 50
0,04
4%
0,12
12%
0,54
54%
0,84
84%
0,96
96%
0,98
98%
1,00 100%
e. El número de familias que tienen dos o menos hijos es: 2 + 4 + 21 = 27. f.
El número de familias que tienen más de un hijo pero tres como máximo es: 21 + 15 = 36.
g. Por último el porcentaje de familias que tiene más de tres hijos, son aquellos que tienen 4; 5 y 6 es decir 6 + 1 + 1 = 8. h. El porcentaje será el tanto por uno multiplicado por cien es decir, la frecuencia relativa de dichos valores multiplicado por 100: (0,12 + 0,02 + 0,02)* 100 = 0,16*100 = 16%.
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Tablas de Frecuencia para Variables Continuas Cuando nos encontramos con una distribución con un gran número de datos, o con VARIABLES CONTINUAS se suelen agrupar los datos en intervalos de clase para facilitar la comprensión de los datos; sin embargo, este proceso presenta un problema no deseable en estadística: se pierde información sobre la distribución de los datos. La agrupación de datos en intervalos de clase consiste en formar grupos de valores consecutivos de la variable y poner cada uno de estos grupos en cada fila en lugar de poner una sola puntuación. Cabe mencionar que la tabla de frecuencias para variables continuas presenta la misma estructura que las descritas anteriormente para variables discretas, añadiendo un par de elementos que se describirán a continuación. En primer lugar se debe definir la cantidad de intervalos a emplear; se recomienda que el número de intervalos (i) debe variar entre 5 y 16. Para determinar el número de intervalos existen varios métodos a saber Por conocimiento del investigador del área de investigación. Si lo que se desea es realizar una investigación para comparar los resultados con un estudio anterior, se consideran los mismos intervalos construidos en el estudio previo, para fines de comparabilidad de resultados. Algunos investigadores emplean como número de intervalos el resultante de la raíz cuadrada de la cantidad de datos considerados, esto es, i
n.
El método más recomendable es aplicar la fórmula de Sturges, que viene dada por la siguiente expresión matemática: i 1 3,3 log n . Una vez establecida la cantidad de intervalos en los cuales se van agrupar los datos, se debe determinar la longitud de cada uno de ellos, la cual dependerá del criterio establecido para presentar la información. La longitud puede variar de intervalo a intervalo, sin embargo, se acostumbra a trabajar con intervalos de igual amplitud. Para determinar la amplitud de los intervalos (A) se recurre a la siguiente fórmula: A
R Rango o recorrido i Nº de intervalos
donde, R = XMax – XMin = Máximo valor de los datos – Mínimo valor de los datos = X n – X1
i 1 3,3 log n
Una vez se tienen estos dos elementos, número de intervalos y amplitud de los mismos, se prosigue a establecer los límites de cada intervalo. Se indica por Li-1 (o Xi-1) al extremo inferior del intervalo y por Li (o X i) al extremo superior. Cerramos el intervalo por la izquierda y abrimos por la derecha. Es una manera de organizarse, pudiendo ser al contrario. Para operar utilizaremos la marca de clase, el punto medio de un intervalo (denotada en algunos libros por m). Las marcas de clase pueden obtenerse de 3 maneras a saber: 1. Definirla como la semisuma de los valores extremos del intervalo, esto es sumar los extremos, y dividir entre 2. 2. Se obtiene la primera marca de clase por el método anterior y si la amplitud (A) es constante, se le suma a la primera marca de clase obtenida y así sucesivamente. 3. Se divide la amplitud de cada intervalo (A) por dos y se le suma al límite inferior del intervalo o se le resta al límite superior del intervalo. Página 20 de 177
De esta manera, la distribución de frecuencias para una VARIABLE CONTINUA estará dada de la siguiente manera: Xi-1 - Xi
m
fi
Fi
hi
Hi
X1 – X 2
m1
f1
F1
h1
H1
X2 – X 3
m2
f2
F2
h2
H2
X3 – X 4
m3
f3
F3
h3
H3
…
…
…
…
…
…
Xk-1 – Xk
mk
fk
Fk = n
hk
Hk = 1
fi = n
hi = 1
Ejemplo Un nuevo hotel va a abrir sus puertas en cierta ciudad. Antes de decidir el precio de sus habitaciones, el gerente investiga los precios por habitación de 40 hoteles de la misma categoría de esa ciudad. Los datos obtenidos en miles de pesos fueron: i Xi
1 3,9
2 4,7
3 3,7
4 5,6
5 4,3
6 4,9
7 5,0
8 6,1
9 5,1
10 4,5
i Xi
11 5,3
12 3,9
13 4,3
14 5,0
15 6,0
16 4,7
17 5,1
18 4,2
19 4,4
20 5,8
i Xi
21 3,3
22 4,3
23 4,1
24 5,8
25 4,4
26 4,8
27 6,1
28 4,3
29 5,3
30 4,5
I Xi
31 4,0
32 5,4
33 3,9
34 4,7
35 3,3
36 4,5
37 4,7
38 4,2
39 4,5
40 4,8
Se pide: a. b. c. d. e. f. g.
¿Cuál es la población objeto de estudio? ¿Qué variable estamos estudiando? ¿Qué tipo de variable es? ¿Qué problema plantea la construcción de la tabla de frecuencias? ¿Cuántos hoteles tienen un precio entre 3,25 y 3,75? ¿Cuántos hoteles tienen un precio superior a 4,75? ¿Qué porcentaje de hoteles cuestan como mucho 4,25?
SOLUCIONES: a. La población objeto de estudio son los hoteles de una ciudad. b. La variable que estamos estudiando es el precio de alquiler de habitaciones. c.
El tipo de variable es cuantitativa continua.
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d. El problema que plantea es que existen muchos valores diferentes para por tanto es bueno agrupar la serie en intervalos. La manera de hacerlo sería la siguiente: primero, calculamos el recorrido Re = X n– X1= 6,1 – 3,3 = 2,8. Para calcular el nº de intervalos, recurriremos a la fórmula de Sturges: i = 1 + 3.3 log 40 = 6,28 por lo tanto tomaremos 6 intervalos. Como el recorrido es 2,8 si lo dividimos por el nº de intervalos tendremos la amplitud de cada uno de 2,8 ellos y así: A 0,46 0,5 . 6 Para obtener las marcas de clase, emplearemos el primer método descrito, es decir el promedio de los límites de cada intervalo; por ejemplo, para el primer intervalo la marca de clase viene dada por:
m1
3,25 3,75 7 3,5 2 2
De esta manera, la distribución de frecuencias para el ejemplo viene dada en la siguiente tabla: [LI-1 - LI)
m
fi
Fi
hi
Hi
[3,25 - 3,75)
3,5
3
3
0,075
0,075
[3,75 - 4,25)
4
8
11
0,200
0,275
[4,25 - 4,75)
4,5
14
25
0,350
0,625
[4,75 - 5,25)
5
6
31
0,150
0,775
[5,25 - 5,75)
5,5
4
35
0,100
0,875
[5,75 - 6,25)
6
5
40
0,125
1,000
N= 40
1,000
e. El número de hoteles que tienen un precio entre 3,25 y 3,75 son 3. f.
El número de hoteles que tienen un precio superior a 4,75 son 15.
g. El porcentaje de hoteles que cuestan como mucho 4,25 es: %=F 2*100=0,275*100=27,5% Existen algunas distribuciones de frecuencias especiales, denominadas simétricas; una distribución es simétrica cuando las frecuencias absolutas y/o relativas, equidistantes a un punto son iguales, por ejemplo:
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Xi-1 – Xi
fi
hi
Xi
fi
hi
46,1 – 54
2
0,05
2
2
0,10
54,1 – 62
6
0,15
4
5
0,25
62,1 – 70
12
0,3
6
6
0,30
70,1 – 78
12
0,3
8
5
0,25
78,1 – 86
6
0,15
10
2
0,10
86,1 – 94
2
0,05
20
1,00
40
1
Diagrama de tallo y hojas Las distribuciones de frecuencias no son el único medio para resumir y exponer conjuntos de datos; una alternativa a ellas son los llamados diagramas de tallo y hojas, Su obtención requiere separar cada puntuación en dos partes, El primer o primeros dígitos, que reciben el nombre de tallo, y el dígito o dígitos restantes, que reciben el nombre de hojas; por ejemplo, X = 56 se puede separar en 5 (tallo) y 6 hoja, Estos diagramas tienen la suficiente flexibilidad como para admitir otras posibilidades, 1. Se identifican los valores máximo y mínimo observados. 2. Se toma una decisión acerca del número más apropiado de tallos distintos. 3. Se listan todos los tallos distintos en una columna, ordenados de forma creciente de arriba abajo. 4. Se escribe cada hoja junto al tallo que le corresponda, preferiblemente ordenados según su valor. En general, un número de tallos superior a cinco y que no pase de 20 suele ser apropiado, Aparte de ser más fácil de construir, el diagrama de tallo y hojas tiene varias ventajas sobre la distribución de frecuencias, y también algún inconveniente: 1. Ventaja: permite identificar cada puntuación individual, En las distribuciones tradicionales sólo conocemos la frecuencia del intervalo y nos obliga a tratar los datos de ciertas maneras distorsionantes, La ventaja de retener cada valor individual viene acompañada del inconveniente de que le diagrama de tallo y hojas no facilita, como la distribución de frecuencias clásica, el cálculo de los estadísticos que estudiaremos más adelante. 2. Ofrece simultáneamente tanto un listado de las puntuaciones como un dibujo de distribución, si tumbamos el diagrama obtenemos una especie de histograma. 3. Al contener los valores de cada observación, es más fácil de modificar para obtener un dibujo con un nivel de detalle distinto, mayor o menor, de la distribución. 4. Pueden presentarse dos conjuntos de datos simultáneamente en el mismo diagrama, con lo que se facilita la comparación. Objetivos del Diagrama de tallos y hojas
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Representación visual de la información Descubrir un patrón de comportamiento de los datos, es decir, qué distribución pueden seguir los datos Identificar si hay valores extremos o datos anormales en la muestra
Es aplicable para valores formados por al menos dos cifras. Principio: Cada número se divide en dos partes, una que llamaremos "Tallo" y la otra denominada " ramas u Hojas".
Tallo
Formado por uno o más dígitos principales (cifras mas significativas), ubicados a la izquierda del número.
Ramas u hojas
Resto de los números (cifras secundarias) ubicadas a la derecha.
Ejemplo. Considere los siguientes números: 65, 57, 79, 69, 53, 63, 71. Los tallos serán las decenas, y las ramas serán las unidades, de la siguiente manera Tallo Ramas 5
73
6
593
7
91
Procedimiento: 1. Se define cómo se van a dividir los números en tallos y ramas, es decir, se identifican cuales van a ser los tallos, y cuales va a ser las ramas. 2. En una columna se listan los tallos en orden ascendente. 3. Se recorren los datos y se colocan, en la columna siguiente, las hojas de acuerdo al tallo que tengan. Observaciones:
Se recomienda que el número de tallos esté entre 5 y 20. A veces, de acuerdo con la información que se tenga, pueden resultar muy pocos tallos, con lo cual las ramas quedan muy concentradas, y realmente no se obtiene mucha información. En estos casos, puede ser conveniente partir los tallos en dos: Un tallo inferior (que tenga, por ejemplo, las ramas menores que 5), y un tallo superior (que tenga las ramas mayores o iguales a cinco). Así, por ejemplo, el tallo 6 puede dividirse en 6I, para los valores entre 60 y 64, y el tallo 6S, para los valores entre 65 y 69. Cuando se parten los tallos en dos, todos los tallos deben partirse en dos. Solamente el primero y el último tallo podrían dejarse sin partir, en caso de que en el primer tallo sólo haya información para el tallo superior, y cuando para el último tallo sólo haya información para el tallo inferior.
Ejemplo Considere la siguiente información sobre duración de baterías de carro, en años. Se pide:
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Construir el diagrama de tallos y hojas usando como tallos la parte entera. Construir el diagrama de tallos y hojas partiendo cada tallo en dos. Duración de baterías (en años) 2.2
4.1
3.5
4.5
3.2
3.7
3.0
2.6
3.4
1.6
3.1
3.3
3.8
3.1
4.7
3.7
2.5
4.3
3.4
3.6
2.9
3.3
3.9
3.1
3.3
3.1
3.7
4.4
3.2
4.1
1.9
3.4
4.7
3.8
3.2
2.6
3.9
3.0
4.2
3.5
Solución
Usando como tallos la parte entera
Tallos: Dígitos principales (Parte entera) Ramas: Dígitos secundarios (Parte decimal) Tallo
Ramas
Frecuencia
1
9
1
2
26596
5
3
5270413817463913172482905
25
4
156734172
9
Total
40
Partiendo cada tallo en dos
En este caso el tallo 1 únicamente tendría la parte superior, y el tallo 4 tendría tanto la parte inferior como la superior Tallo
Ramas
Frecuencia
1S
9
1
2I
2
1
2S
6596
4
3I
204131431312420
15
3S
5787697895
10
4I
13412
5
4S
5677
4
Total
40
Analice la diferencia entre los dos diagramas.
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EMPLEANDO EXCEL - ACTIVIDAD GUIADA Los siguientes datos corresponden a las ventas en miles de pesos durante el mes pasado de un almacén de calzado: 200, 500, 380, 415, 800, 725, 298, 654, 385, 475, 789, 658, 458, 589, 254, 365, 563, 698, 478, 589, 798, 695, 587, 458, 556, 668, 574, 258, 654, 789. Construya una distribución de frecuencias y responda las siguientes preguntas: 1) El 10% de los días ¿cuánto dinero se vendió? 2) ¿Cuántos días se vendió entre 500 y 600 mil pesos? 3) El 57% de las ventas ¿qué valor supera? 4) En 8 de los 30 días ¿cuánto dinero se vendió?
Solución: Para realizar cálculos estadísticos utilizando Excel debe abrir la ventana de herramientas, luego complementos, herramientas para análisis y herramientas para análisis BVA, de esta manera le quedara activado en su computador la herramienta análisis de datos. Si ya lo tiene omita estos pasos y pase de una vez a histograma.
PASOS PARA ACTIVAR EL ANALISIS DE DATOS 1. De la barra superior de clic en herramientas :
2. De la ventana que se abre de clic en complementos:
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2
Aquí se le mostrara una nueva ventana de clic en herramientas para análisis y herramientas para análisis VBA y después aceptar:
4. Para comprobar que ya le fue activado el análisis de datos de nuevamente clic en herramientas y mire que en la parte inferior de la ventana diga análisis de datos:
SOLUCIÓN AL PROBLEMA Para construir distribuciones de frecuencia en Excel primero escribimos los datos en una columna abrimos la ventana análisis de datos:
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Luego al dar clic en histograma obtenemos la siguiente ventana:
En el rango de entrada debemos darle clic en la flecha roja y luego señalar los datos, después le damos clic otra vez en la flecha roja para que nos aparezca la misma ventana. La opción rango de clases no es obligatoria, pues si no escribimos nada Excel lo hará haciendo todas de igual amplitud, en caso contrario nosotros se las daremos; en el rango de salida debe escribir la celda donde quiere que le aparezca la distribución. Para nuestro ejemplo lo haremos primero sin escribir el rango de clases y la salida del computador será: Clase Frecuencia 200 1 320 3 440 4 560 6 680 9 y mayor... 7 Donde nos índica que de cero a 200 solo hay un valor, de 200 a 320 hay 3 y así sucesivamente, es decir en las clases únicamente muestra el límite superior. Si desea que los datos aparezcan distribuidos por el número de clases determinado por usted, se utiliza entonces la opción rango de clases. Para obtener la amplitud de los rangos de las clases se debe determinar primero el rango de los datos a analizar, lo cual se consigue restándole al dato mayor, el dato menor. Luego para obtener la amplitud, se divide el resultado anterior en la cantidad de clase que se desea obtener. Si le damos 6 clases la amplitud será de 100 y la distribución quedará así:
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Clase Frecuencia 300 4 400 3 500 6 600 6 700 6 y mayor... 5 En este caso entre 0 y 300 hay 4, entre 300 y 400 hay 3 y así sucesivamente, se observa que la frecuencia más alta esta entre 600 y 700. Usando las formulas de Excel usted puede construir las demás frecuencias así: 1. Para frecuencias relativas: +(celda de la casilla absoluta / celda del total de datos)*100 2. Para frecuencias acumuladas: copia la primera frecuencia y después +primera celda de la frecuencia más la siguiente, y así sucesivamente. La tabla que obtendrá será la siguiente: Clase 200 300 300 400 400 500 500 600 600 700 700 y mayor... Totales
Frecuencia frec relativ frec acumul frec rel acum 4 13,3333333 4 13,3333333 3 10 7 23,3333333 6 20 13 43,3333333 6 20 19 63,3333333 6 20 25 83,3333333 5 16,6666667 30 100 30 100
Solución 1) El 10% de los días ¿cuánto dinero se vendió?
De acuerdo con la tabla anterior de las frecuencias se observa que el 10% de los días las ventas están entre 300 y 400 mil pesos 2) ¿Cuántos días se vendió entre 500 y 600 mil pesos? Los días en los que se vendió entre 500 y 600 mil pesos fueron 6 3) El 57% de las ventas ¿qué valor supera? Supera la venta de 500 mil pesos 4) En 8 de los 30 días ¿cuánto dinero se vendió? Se ha vendido más de 400 mil pesos
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Lección 5: Presentación de la información: histogramas, polígonos, ojivas y caja y bigote. Las distribuciones de frecuencia las podemos ver representadas gráficamente mediante histogramas, gráficas circulares y ojivas. Estas gráficas brindan una interpretación más rápida y más clara de los datos que se obtuvieron de la muestra; sin embargo, existen diversidad de gráficos que pueden ser empleados para la representación de datos, de acuerdo al tipo de datos y lo que se desee presentar. Las gráficas proporcionan datos en un diagrama de dos dimensiones. En el eje horizontal se puede mostrar los valores de la variable (las características que se están midiendo), y en el eje vertical se señalan las frecuencias de las clases mostradas en el eje horizontal. A continuación se presentarán brevemente los distintos tipos de gráficos que se emplean para la presentación de datos y los pasos para realizarlos utilizando Excel.
Gráficos Estadísticos: Para apreciar a golpe de vista la magnitud o posición de las variables, se suelen efectuar una representación gráfica, los sistemas de gráficos más usuales son:
Diagrama de sectores El área de cada sector es proporcional a la frecuencia que se quiera representar, sea absoluta o relativa. Para calcularlo podemos decir que el área depende del ángulo central, mediante la siguiente proporción: ni/N=/360 Como resulta ni /N = fi
, tendremos que f i * 360
x5
x1
x4 x2 x3
Cuando lo que se desea es resaltar las proporciones que representan algunos subconjuntos con respecto al total, es decir, cuando se está usando una escala categórica, conviene utilizar una gráfica llamada de pastel o circular Por ejemplo, para ilustrar la matrícula en licenciatura (en México) por áreas de conocimiento en el año de 1992 se puede usar algo así como sigue (Fuente: ANUIES,1995):
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De hecho, si se desea resaltar una de las categorías que se presentan, es válido tomar esa "rebanada" de la gráfica y separarla de las demás:
Hay que tomar algunas precauciones al utilizar este tipo de gráficos. Por un lado, comparar dos gráficos circulares (por ejemplo, si se quisieran comparar las proporciones de matrículas en licenciatura por áreas de conocimiento en licenciatura para dos años distintos) resulta muy difícil y, por tanto, no es muy aconsejable. Por otro lado, en ocasiones existen categorías con pocas frecuencias (por ejemplo, dos o tres con frecuencias relativas menores al 1% cada una), haciendo que la gráfica resulte "pesada" y las etiquetas se encimen. Una posible solución es juntarlas en una sola categoría (por ejemplo, la típica "otras" o "varias"), pero entonces habría que ponderar si se hace una gráfica extra con dichas observaciones únicamente, haciendo la anotación pertinente, o simplemente se ignoran por no resultar significativas.
Diagrama de barras: se utiliza para frecuencias absolutas o relativas, acumuladas o no, de una VARIABLE DISCRETA. En el eje de abscisas, situaremos los diferentes valores de la variable. En el eje de ordenadas la frecuencia. Levantaremos barras o columnas SEPARADAS de altura correspondiente a la frecuencia adecuada. 8
ni
6 4 2 0 x1
x2
x3
x4
x5
Variable
Histograma: Igual que el anterior en cuanto al tipo de frecuencias que se pueden utilizar. La diferencia: es para variables CONTINUAS. Si la amplitud del intervalo es la misma, elevaremos columnas UNIDAS, a altura la frecuencia correspondiente. Si la amplitud del intervalo es diferente, el área del rectángulo columna será proporcional a la frecuencia representada. Página 31 de 177
En el eje horizontal (o de las abscisas) se representan los intervalos de los datos, marcándose de manera continua las fronteras entre cada uno de los éstos. De esta manera, el histograma está compuesto rectángulos, cuyo número coincide con la cantidad de intervalos considerados, el ancho de la base de cada uno de esos rectángulos es la misma siempre y coincide con las fronteras de los intervalos, y la altura corresponde a la frecuencia de cada intervalo. Es importante observar que resulta difícil utilizar este tipo de representación cuando existen intervalos abiertos o cuando los intervalos no son iguales entre sí. Otra observación es la amplitud de los intervalos, que se puede establecer utilizando la regla de Sturges, pues al cambiarla la presentación visual de un histograma puede variar. El programa Excel no permite crear de manera automática histogramas, pues proporciona el ancho de las columnas de tal manera que quedan separadas. Sin embargo, existe la manera de hacerlas. Otra observación pertinente es que se pueden representar en la misma gráfica, utilizando las mismas escalas horizontales y verticales, varios datos correspondientes a las mismas variables producto de varias observaciones. Esto produce una gráfica con varias series, correspondiendo cada una de ellas a cada observación de la muestra (o población), y teniéndose una gráfica compuesta. Es conveniente que cada serie de datos (u observaciones) sean ilustradas o iluminadas de igual manera entre sí, pero distinta de las demás. El ejemplo que sigue pertenece al comportamiento de las calificaciones parciales de tres alumnos de preparatoria. Las series (cada una de las calificaciones parciales) están coloreadas con diferente color para mostrar el comportamiento tanto individual, como de cada uno de los alumnos con respecto a los demás. Es interesante observar que la escala horizontal no es continua (es nominal).
También es posible realizar gráficas de barras horizontales, los cuales se parecen mucho a las gráficas de columnas, con la salvedad importante de que la función de los ejes se intercambian y el eje horizontal queda destinado a las frecuencias y el eje vertical a las clases. Es muy común que este tipo de gráficos se utilicen para ilustrar el tamaño de una población dividida en estratos como, por ejemplo, son sus edades. El ejemplo que se presenta es la población de un país ficticio llamado "Timbuctulandia":
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A este tipo de gráficos en particular se le llama pirámide de edades por su forma. Incluso, cuando se compara la población masculina y femenina por estratos de edades, se estila utiliza el lado izquierdo para la población de un sexo y el lado derecho para el otro, el resultado es una "pirámide" casi simétrica (dependerá de la población en particular).
Diagrama de escalera: se utiliza para frecuencias acumuladas. 25 20 15 10 5 0 x1
x2
x3
x4
x5
Gráfico de Líneas Cuando los datos se relacionan entre sí, es decir, cuando podemos decir que existe cierta continuidad entre las observaciones (como por ejemplo el crecimiento poblacional, la evolución del peso o estatura de una persona a través del tiempo, el desempeño académico de un estudiante a lo largo de su instrucción escolar, las variaciones presentadas en la medición realizada en algún experimento cada segundo o minuto) se pueden utilizar las gráficas de líneas, que consisten en una serie de puntos trazados en las intersecciones de las marcas de clase y las frecuencias de cada una, uniéndose consecutivamente con líneas:
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Este ejemplo muestra el comportamiento del peso corporal (en kilogramos) de dos individuos a lo largo de cinco observaciones anuales. Al igual que en el caso de las gráficas de columnas (y de otras más) es posible presentar varias series de observaciones (en este caso cada serie de observaciones son los pesos de un individuo). Otra forma de representación de un uso menos común, y muy parecida a las gráficas de líneas, es el polígono de frecuencias. La diferencia fundamental entre ambas es que en el polígono de frecuencias se añaden dos clases con frecuencias cero: una antes de la primera clase con datos y otra después de la última. El resultado es que se "sujeta" la línea por ambos extremos al eje horizontal y lo que podría ser una línea separada del eje se convierte, junto con éste, en un polígono. El siguiente ejemplo corresponde al porcentaje del PIB gastado en docencia e investigación durante el año de 1990 en cinco países (fuente: Revista "Ciencia y Desarrollo", 1994, XIX(114):12):
El Excel no crea automáticamente polígonos de frecuencias, sino que produce gráficas de líneas. Sin embargo, es posible arreglárselas para hacerlas. Una gráfica similar al polígono de frecuencias es la ojiva, pero ésta se obtiene de aplicar parcialmente la misma técnica a una distribución acumulativa y de igual manera que éstas, existen las ojivas mayor que y las ojivas menor que. Existen dos diferencias fundamentales entre las ojivas y los polígonos de frecuencias (y por esto la aplicación de la técnica es parcial): 1. Un extremo de la ojiva no se "amarra" al eje horizontal, para la ojiva mayor que sucede con el extremo izquierdo; para la ojiva menor que, con el derecho. 2. En el eje horizontal en lugar de colocar las marcas de clase se colocan las fronteras de clase. Para el caso de la ojiva mayor que es la frontera menor; para la ojiva menor que, la mayor. Las siguientes son ejemplos de ojivas, a la izquierda la mayor que, a la derecha la menor que, utilizando los datos que se usaron para ejemplificar el histograma:
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La ojiva mayor que (izquierda) se le denomina de esta manera porque viendo el punto que está sobre la frontera de clase "4:00" se ven las visitas que se realizaron en una hora mayor que las 4:00 horas (en cuestiones temporales se diría: después de las 4:00 horas). De forma análoga, en la ojiva menor que la frecuencia que se representa en cada frontera de clase son el número de observaciones menores que la frontera señalada (en caso de tiempos sería el número de observaciones antes de la hora que señala la frontera). Si se utiliza una distribución porcentual acumulativa entonces se obtiene una ojiva (mayor que o menor que según sea el caso) cuyo eje vertical tiene una escala que va del 0% al 100%. El siguiente ejemplo es la misma ojiva menor que, que se acaba de usar, pero con una distribución porcentual:
Polígono de frecuencias, es la recta que une los extremos de las variables de una distribución, un ejemplo clásico es el de la evolución de la temperatura de un paciente
6 5 4 3 2 1 0 x1
x2
x3
x4
x5
Nota: Si la variable es cualitativa (rubio, moreno, alto bajo, etc.) se suelen utilizar más los diagramas de sectores o pictogramas Si la variable es cuantitativa podemos tener dos casos: Variable discreta o variable continua. En el primer caso: variable discreta utilizaremos si no piden nada concreto, el diagrama de barras cuando se refiera a la representación gráfica de la frecuencia absoluta (ni) 8 6 4 2 0 x1
x2
x3
x4
x5
En cambio cuando nos estemos refiriendo a la frecuencia absoluta acumulada optaremos por el diagrama de escalera
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25 20 15 10 5 0 x1
x2
x3
x4
x5
En el caso de la variable continua, optaremos por el histograma para las frecuencias absolutas y por el polígono de frecuencias en el caso de la frecuencia acumulada.
Pictograma: Se suele utilizar para expresar un atributo. Se suelen utilizar iconos que se identifiquen con la variable (ejemplo un coche) y su tamaño suele guardar relación con la frecuencia Actualmente, y mucho en los medios masivos de comunicación, se utilizan gráficos para ilustrar los datos o los resultados de alguna investigación. Regularmente se utilizan dibujos para representar dicha información, y el tamaño o el número de estos dibujos dentro de una gráfica queda determinado por la frecuencia correspondiente. A este tipo de gráfica se le llama pictograma y éstos son dos ejemplos:
El de la izquierda representa la población de los Estados Unidos (cada hombrecillo representa a dos millones de habitantes), el de la derecha representa la masa de tres planetas de nuestro sistema solar tomando como unidad a la masa de la Tierra (cada representa la masa de nuestro planeta: Venus tiene masa menor y Neptuno tiene más 17 veces más masa que la Tierra). Las versiones del Excel 7.0 y anteriores no tienen opciones para realizar este tipo de gráficas, las posteriores sí. Otros programas contemporáneos (como el Corel Draw o el Harvard Graphics) sí son capaces.
Gráfico de Dispersión: Cuando se pretende ilustrar la dispersión de las observaciones realizadas, y así trabajar algunas cosas como correlaciones se puede utilizar una gráfica de dispersión. Por ejemplo, el ejemplo de la izquierda es la dispersión que se presenta al comparar el número de tesis doctorales en ciencias exactas contra el número de total de tesis doctorales (todo en México) en observaciones anuales entre 1984 y 1990 (fuente: Revista "Ciencia y Desarrollo", 1994, XIX(114):12):
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La gráfica de la derecha es resultado de comparar el diámetro (en miles de kilómetros) de los planetas interiores del nuestro sistema solar contra sus densidades (en gramos por centímetro cúbico). Es interesante observar que los puntos parecen "seguir" una línea imaginaria que se asemeja a una recta, con excepción de un caso atípico: Mercurio. Uno de los usos de este tipo de gráficas es precisamente encontrar si las observaciones siguen algún patrón lineal (una línea de tendencia) o si existen valores atípicos. Para el caso del Excel, el programa es capaz de graficar las líneas de tendencias que siguen un conjunto de datos. Como resumen final, se presenta a continuación un cuadro resumen donde se clasifica los principales tipos de gráficos a utilizar de acuerdo al tipo de variable que se este trabajando:
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EMPLEANDO EXCEL - ACTIVIDAD GUIADA Un profesor realizó una encuesta a sus estudiantes para analizar el núcleo familiar. Para esto preguntó a cada uno de sus 35 estudiantes el número de hermanos y obtuvo los siguientes datos: Nº de Hermanos 0 1 2 3 4 5 Total
frecuencia 4 6 2 8 4 1 25
El profesor quiere responder las siguientes preguntas: 1. Qué porcentaje corresponde al mayor número de hijos? 2. Aproximadamente el 22% de las familias tienen cuántos hijos? 3. El 80% de las familias tienen menos de cuántos hijos? 4. Cuántas familias tienen 3 hijos o menos?
Solución: Para poder resolver estas preguntas se va a utilizar los gráficos de la siguiente manera:
3. Damos clic en el icono de gráficos y obtenemos la siguiente ventana:
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4. Cualquiera de estas opciones puede escoger, se escoger columnas ya que es la más común y además es la que representa el histograma de la distribución, al dar clic en siguiente se obtendrá la siguiente ventana:
En el rango de datos damos clic en la flecha roja señalamos la distribución y luego damos otra vez clic el misma flecha y clic en siguiente. 3. La siguiente ventana será:
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Los diálogos de la ventana son muy sencillos, la siguiente ventana será; :
Que es la de ubicación del gráfico: en hoja nueva o en alguna celda en especial, y finalizamos dándolo clic en terminar y el gráfico será:
En este histograma podemos observar que: 1. El mayor número de hijos es 3 y corresponde a un 34.5% del total 2. Vemos también que el 22% de la población tiene 4 hijos. Para responder las pregustas 3 y 4 del profesor nos toca realizar la ojiva, la cual obtenemos siguiendo los pasos anteriores: 5. Aquí observamos que el 80% tiene 4 hijos o menos. 4. El 60% tiene 3 hijos o menos
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CAPÍTULO 2. ANÁLISIS MATEMÁTICO DE LA INFORMACIÓN Lección 6: Parámetros y Estadísticos Parámetro: Son medidas numéricas descriptivas, asociadas a la población, son valores fijos pero 2 desconocidos. Algunos de ellos: μ = La media. σ = Varianza. σ = Desviación típica o estándar. Los parámetros como valores fijos, no tienen distribución de probabilidad, siendo características propias de la población objeto de estudio.
∑
Promedio poblacional:
Donde N = total de la población y μ = Promedio poblacional.
∑
Varianza poblacional:
(
)
Estadísticos: Son medidas numéricas descriptivas, asociadas a la muestra, se consideras variables aleatorias. 2 Algunos de ellos: ̅ = La media o promedio. s = La varianza. s = Desviación típica. Los estadísticos como están asociados a la muestra aleatoria, tienen distribución de probabilidad, ya que según la muestra tomada, éste varia. Promedio muestral:
̅
∑
Donde N = total de la población y μ = Promedio poblacional. Varianza muestral:
∑
(
̅)
Lección 7: Medidas de tendencia central: La media, la mediana y la moda INTRODUCCIÓN En las secciones anteriores se presentaron las técnicas para agrupar los datos (distribuciones o tablas de frecuencia) y se plantearon las técnicas gráficas para descubrir los patrones de distribución ocultos en un conjunto de datos; se mencionó que la estadística cumplía una función descriptiva mediante el uso de cuadros o tablas y gráficos para la clasificación, ordenación y presentación de datos estadísticos, limitando el análisis de la información a la interpretación porcentual de las distribuciones de frecuencia. El análisis estadístico propiamente dicho, parte de la búsqueda de parámetros sobre los cuales pueda recaer la representación de toda la información. En esta sección y en la próxima (medidas de tendencia central y de dispersión) se definirá algunas medidas numéricas que se emplean para describir conjuntos de datos. Una de las características más sobresalientes de la distribución de datos es su tendencia a acumularse hacia el centro de la misma; esta característica se denomina tendencia central. Las medidas de posición o de tendencia central nos permiten determinar la posición de un valor respecto a un conjunto de datos, el cual consideraremos como representativo o típico para el total de las observaciones.
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Antes de entrar a definir las medidas de tendencia central, repasaremos algunas notaciones simbólicas que son de gran utilidad y son esenciales en la estadística.
SUMATORIAS Y OTRAS NOTACIONES IMPORTANTES El uso de la notación simbólica es esencial en estadística. Por ejemplo, para distinguir entre los valores de n observaciones se emplea la notación simbólica x1, x2,…, xn. En el análisis estadístico de un conjunto de datos se requiere del uso de sumas de números, por lo cual, es conveniente introducir una notación simple para términos en secuencia. De esta manera, la suma de x1, x2,…, xn se designa por: n
x i 1
i
x 1 x 2 x 3 ... x n ,
Y se lee ―suma de las xi, con i variando desde 1 hasta n‖. La letra i recibe el nombre de índice de suma toma valores enteros sucesivos hasta e incluyendo a n, que es el límite superior o el valor más grande de i. Considere, por ejemplo, la sucesión de números: 1, 4, 7, 10, 13,…, y suponga que se desea referirse a la suma de los cuadrados de los primeros cuatro términos de la sucesión. En la notación de sumatoria esto se escribiría como 4
y i 1
2 i
12 4 2 7 2 10 2 1 16 49 100 166
De n
a)
x i 1
2 i
x 12 x 22 x 32 ... x 2n ,
n
b)
(x i 1
i
a) (x 1 - a) (x 2 - a) (x 3 - a) ... ( x n - a),
i
a) 2 (x 1 - a) 2 (x 2 - a) 2 (x 3 - a) 2 ... ( x n - a) 2 ,
n
c)
(x i 1
n
d)
x y i 1
i
i
x 1 y1 x 2 y 2 x 3 y 3 ... x n y n ,
n
1. Si c es cualquier constante, entonces
c nc i 1
2. Si c es cualquier constante, entonces
n
3.
x i 1
i
n
n
i 1
i 1
n
n
i 1
i 1
cx i c x i
yi x i yi
Como ejemplo, consideremos la sucesión de números 1, 2, 3, 4, y sean a=10 y c=5, entonces,
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x 4
i 1
2 i
4
4
4
ax i 5 x i2 a x i 5 i 1
i 1
i 1
1 2 3 4 10 1 2 3 4 5 5 5 5 2
2
2
2
1 4 9 16 10 10 20 30 100 20 150
Otro símbolo útil e (pi). Esta letra se emplea para indicar el producto de los términos de una secuencia. Por ejemplo, dada la secuencia de observaciones x1, x2,…, xn se designa por: n
x
i
x 1 . x 2 . x 3 .... x n
i 1
Donde la letra i tiene el mismo propósito que en la suma.
MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL Las medidas de tendencia central, llamadas así porque tienden a localizarse en el centro de la información son de gran importancia en el manejo de las técnicas estadísticas, sin embargo, su interpretación no debe hacerse aisladamente de las medidas de dispersión, ya que la representatividad de ellas está asociada con el grado de concentración de la información. Las principales medidas de tendencia central son: Media aritmética Mediana Moda Sin embargo, existen otras medidas menos comunes; las medidas de tendencia central, también denominadas medidas de posición, pueden ser pueden ser de dos tipos: 1. CENTRALES: Medias: Aritmética, Geométrica, Armónica Medianas Moda 2. NO CENTRALES O DE POSICIÓN: Cuantiles: Cuartiles Deciles Centiles o percentiles La fórmula de cálculo de cada una de ellas depende de cómo se encuentren presentados los datos: agrupados o sin agrupar. Por datos agrupados entenderemos los presentados en una tabla de frecuencias (variable discreta o continua), mientras que por datos sin agrupar se entenderá los que se encuentran enlistados.
Media Aritmética Es la medida de posición mas empleada, la más conocida y sencilla de calcular, de gran estabilidad en el muestreo y sus fórmulas admiten tratamientos algebraicos. También se le conoce como promedio aritmético o Página 43 de 177
simplemente como la media de un conjunto de observaciones. Cotidianamente e inconscientemente estamos utilizando la media aritmética. Cuando por ejemplo, decimos que un determinado fumador consume una cajetilla de cigarrillos diaria, no aseguramos que diariamente deba consumir exactamente los 20 cigarrillos que contiene un paquete, sino que es el resultado de la observación, es decir, dicho sujeto puede consumir 18 un día, 10 otro, 20, 21, 22; pero según nuestro criterio, el número de unidades estará alrededor de 20. Su desventaja principal es el de ser muy sensible a valores extremos, es decir, puede afectarse de manera desproporcionada por la presencia de valores grandes, o de valores muy pequeños. Se designará el símbolo (la letra griega miu) para designar una media poblacional, y x (que se leerá como ―x-barra‖) para designar una media muestral. Media para datos sin agrupar 1. Sean x1, x2,…, xN, los N datos correspondientes a una población. Entonces la media poblacional es, N
xi x 1 x 2 x 3 ... x N 1 N i 1 μ xi N N N i 1 2. Sean x1, x2,…, xn, los n datos correspondientes a una muestra. Entonces la media muestral es, n
xi x 1 x 2 x 3 ... x n 1 n i 1 x xi n n N i 1 Ejemplo Hallar la media aritmética de los siguientes números: 10, 8, 6, 5, 10, 7. SOLUCION: 6
x
x i 1
6
i
1 6 10 8 6 5 10 7 xi 8 6 i 1 6
Ejemplo Cantidad de cigarrillos consumidos por un fumador en una semana. Lunes 18 Martes 21 Miércoles 22 Jueves 21 Viernes 20 Sábado 19 Domingo 19 Entonces la media aritmética es 7
x
x 1
7
i
18 21 22 21 20 19 19 20 7
El fumador consume en promedio 20 cigarrillos diarios. Para algún campo de la ciencia, específicamente en la física, se dice que la media aritmética es el CENTRO DE GRAVEDAD de los datos. Media para datos agrupados Cuando se cuenta con una variable discreta que se encuentra agrupada en una distribución de frecuencias de k valores, la media aritmética se calcula por la fórmula:
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k
x
x .f i
i 1
n
i
1 xifi n
Ejemplo Al organizar los datos en el ejemplo de la cantidad de cigarrillos consumidos por un fumador en una semana, se obtiene la siguiente distribución de frecuencias. Cantidad Frecuencia (Xi) (fi) 18
1
19
2
20
1
21
2
22
1
Total
7
7
x
x f
i i
1
7
18(1) 19(2) 20(1) 21(2) 22(1) 140 20 7 7
Para facilidad del cálculo de la media, se puede recurrir a construir primeramente en el cuadro, el valor del numerador así, Cantidad (Xi)
Frecuencia (fi)
Xi fi
18
1
18
19
2
38
20
1
20
21
2
42
22
1
22
Total
7
140
Si la información se encuentra relacionada en una distribución de frecuencias por intervalo (variable continua), se toman como valores de la variable las marcas de clase de los intervalos; recuérdese que por marca de clase se entiende el punto medio entre los límites de cada clase o intervalo. Ejemplo Mediante la siguiente distribución de frecuencias que nos muestra los espesores en pulgadas, de recipientes de acero, hallar la media aritmética.
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Espesores en pulg
0.307 - 0.310
0.311 - 0.314
0.315 - 0.318
0.319 - 0.322
0.323 - 0.326
0.327 - 0.330
f
3
5
5
22
14
1
N= 50
SOLUCION: Espesores en pulg
0.307 - 0.310
0.311 - 0.314
0.315 - 0.318
0.319 - 0.322
0.323 - 0.326
0.327 - 0.330
f
3
5
5
22
14
1
mi
0,3085
0,3125
0,3165
0,3205
0,3245
0,3285
fmi
0,9255
1,5625
1,5825
7,051
4,543
0,3285
̅
N= 50
15,99
̅
De esta manera, el espesor promedio de los recipientes de acero es de 0,32 pulgadas. Media Aritmética Ponderada En lo que se ha venido presentando, se observa que la media aritmética se calcula otorgándole a los datos igual importancia a cada uno de ellos; sin embargo, existen casos donde los datos se encuentran ponderados por un determinado peso. La media aritmética ponderada tiene en cuenta la importancia relativa de cada uno de los datos, para lo cual, la definimos de la siguiente manera: n
xw
x w i 1 n
w i 1
Donde
i
i
, i
x w es la media ponderada,
xi es el valor de la variable para el i-ésimo elemento, y wi es la ponderación de la i-ésima variable para el i-ésimo elemento. Ejemplo Las calificaciones de un estudiante están conformadas por los siguientes factores: Un examen cuyo valor es el 60% en el cual obtuvo una nota de 3,0; talleres de resolución de ejercicios con ponderación del 25% con una calificación de 3,5 y por último, laboratorios de consulta y resolución de ejercicios con un valor del 15% y una nota de 4,5. ¿Cuál es la nota final del primer corte del estudiante? SOLUCIÓN El ejercicio brinda los siguientes datos. Ponderaciones: w1 = 0,6; w2 = 0,25 y w3 = 0,15. Datos de la Variable: x1 = 3,0; x2 = 3,5 y x3 = 4,5. De esta manera, se tiene que: 3
xw
x w i 1 3
i
w i 1
i
3,0(0,60) 3,5(0,25) 4,5(0,15) 1,80 0,875 0,675 3,35 3,35 0,60 0,25 0,15 1,00 1,00
i
Así, la nota definitiva es 3,4.
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Para datos agrupados, tenemos que la fórmula para calcular la media aritmética ponderada está dada por, n
x f w
xw
i i
i 1 n
i
w f
i i
i 1
Propiedades de la media aritmética 1. La suma de las diferencias de los datos con respecto a la media aritmética es igual a cero, es decir, n
x i 1
i
- x 0
Para comprobar esta propiedad recurriremos a las propiedades de la sumatoria descritas previamente. Tenemos que: n
n
n
i 1
i 1
i 1
x i - x x i x Sin embargo, n
x
x i 1
n
i
, despejando tenemos que
n
nx x i i 1
Cabe mencionar que una vez calculada la media aritmética, esta es una constante, por tanto, por propiedades de la sumatoria: n
x nx i 1
De esta manera, reemplazando las dos igualdades en la ecuación original tenemos que: n
x i 1
i
n
n
i 1
i 1
- x xi x nx - nx 0
Veamos un ejemplo de comprobación; para ello consideremos los datos dados para el problema del fumador cuya media es de 20 cigarrillos por día: X xi - x 18 18 – 20 = -2 21 21 – 20 = 1 22 22 – 20 = 2 21 21 – 20 = 1 20 20 – 20 = 0 19 19 – 20 = -1 19 19 – 20 = -1 Suma 0
Para una distribución de frecuencias, consideremos el mismo ejemplo con los datos agrupados:
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X 18 21 22 20 19 Suma
xi - x 18 – 20 = -2 21 – 20 = 1 22 – 20 = 2 20 – 20 = 0 19 – 20 = -1
fi 1 2 1 1 2 7
(xi - x )fi -2 2 2 0 -2 0
2. La suma de las diferencias cuadráticas de los datos, con respecto a la media aritmética es mínima. n
2
x i - x
i 1
es mínima para x ; quiere decir que para cualquier otro parámetro p, diferente a la media n
aritmética hacer mayor la expresión
2
n
2
x i - p > x i - x
i 1
i 1
.
3. La media aritmética de una constante es igual a la constante. Es decir, dada x i=k, para i=1, 2, 3,…, n.
x
1 n 1 n 1 x i k n.k k n i1 n i1 n
Ejemplo Si un alumno presenta 5 parciales y en todos ellos alcanza una calificación de cuatro, su nota promedio será de cuatro:
x
1 n 1 5 1 x i 4 5.4 4 n i1 5 i1 5
4. Si a cada uno de los resultados de una variable le sumamos o le restamos una constante C, la media aritmética de la nueva variable queda alterada en esa constante. Formalmente, la media de una variable mas (o menos) una constante es igual a la media aritmética de la variable mas (o menos) la constante. Sean x1, x2,…, xn datos de una variable X cuya media aritmética es x . Definimos una variable Y de tal manera que y1 = x1 c, y2 = x2 c,…, yn = xn c, es decir yi = xi c, i=1, 2,…, n. Entonces la media aritmética de la nueva variable es:
y Es decir,
n 1 n 1 n 1n 1 n 1 1 n y i x i c x i c x i c x n.c n i1 n i1 n i1 n i1 n i1 n i1
yxc
Ejemplo Consideremos la siguiente distribución de frecuencias:
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x
1 5 1 1 5 1 134 6,7 174 8,7 x ini y y ini n i 1 20 n i 1 20 y x 2 6,7 2 8,7
El ejemplo es válido para la diferencia:
Ejemplo 2 Se tienen 100 baldosas y se midió sobre ellas su resistencia en Kg/m , obteniendo los siguientes datos:
Con base en estos datos, tenemos que la resistencia media de las 100 baldosas es:
x
1 5 1 44.800 448 Kg/m2 mi n i n i 1 100
Si hacemos Y = X – 450:
y
1 5 1 200 2 Kg/m2 y ini n i 1 100
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y x 450 448 - 450 - 2 5. Si cada uno de los datos se multiplica por una constante K, entonces la media aritmética queda multiplicada por esa constante. Sean x1, x2,…, xn los datos de una variable X cuya media aritmética es x . De igual forma, sea y1 = k.x1, y2 = k.x2,…, yi = k.xi,…, yn = k.xn. La media aritmética de la nueva variable es y k.x :
y
1 n 1 n k 5 1 5 y i k.x i x i k. x i k.x n i 1 n i 1 n i 1 n i 1
Ejemplo Considerando la siguiente distribución de frecuencias y tomando k=2 se tiene que:
x
1 5 1 134 6,7 x ini n i 1 20
y
1 5 1 268 13,4 y ini n i 1 20
y 2.x 2(6,7) 13,4 Ejemplo Si multiplicamos cada una de las resistencias de las 100 baldosas por una constante
k
1 , tenemos: 100
1 7 1 m y ni 100 448 4,48 n i 1 i 1 448 1 x y 4,48 100 100
y
6. Empleando las dos propiedades anteriores, podemos calcular la media de una combinación lineal de variables, esto es, una transformación de variables:
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Sean x1, x2,…, xn los datos de una variable X cuya media aritmética es x ; de manera similar, sean C y K, dos constantes y Y una variable aleatoria tal que Y = C.X K. Entonces la media aritmética de la nueva variable es y c.x k . Ejemplo En una empresa constructora de vivienda los salarios semanales tienen una media de $169.000. Como una solución al conflicto laboral surgido se proponen dos soluciones al conflicto: 1. Aumento del 6% en el salario semanal, ó, 2. Aumento del 4% más una bonificación semanal de $5.800 a cada obrero. ¿Cuál de las dos alternativas mejora la situación de los obreros? Tenemos que, sea X la variable salario mensual, entonces: Y1 = 1,06.X y 1,06.x 1,06(169.000) 179.140 , es decir, si aplicamos la primera opción, obtendríamos un nuevo salario semanal de $179.140. Y2 = 1,04.X + 5800 y 1,04.x 5.800 1,04(169.000) 5.800 175.760 181.560 , es decir, si aplicamos la segunda opción, obtendríamos un nuevo salario semanal de $181.560. 7. La media de una muestra es igual a la media ponderada de las sub-muestras, tomándose como ponderación los tamaños de las sub-muestras, es decir,
x
n1 .x1 n2 .x 2 ... nk .x k , n
Donde n = n1 + n2 + … + nk.
Ejemplo
3 1 5 1 43 2,15 , x 1 1 x ini 1 16 1,33 , x ini n i 1 20 n1 i 1 12 De esta manera, n .x n 2 .x 2 12 1,33 8 3,375 43 x 1 1 2,15 n1 n 2 12 8 20
x
x2
1 n2
2
x ini i 1
1 27 3,375 8
La Mediana Otra medida de tendencia central, utilizada principalmente en estadística no paramétrica es la mediana, la cual, a diferencia de la media, no busca el valor central del recorrido de la variable según la cantidad de observaciones, sino que busca determinar el valor que tiene aquella observación que divide la cantidad de
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observaciones en dos mitades iguales. Por lo tanto es necesario atender a la ordenación de los datos, y debido a ello, este cálculo depende de la posición relativa de los valores obtenidos. Es necesario, antes que nada, ordenar los datos de menor a mayor (o viceversa). Hay que tener en cuenta que si x1, x2,…, xN-1, xN, se utiliza para denotar el conjunto de las observaciones, donde el subíndice indica el orden en el dato que fue obtenido o registrado, suele utilizarse x(1), x(2),…, x(N-1), x(N), para representar las mismas observaciones, pero ahora ordenadas de menor a mayor, por lo tanto ahora aparece primero el dato más pequeño y último el más grande.
Mediana para datos sin agrupar Para determinar el valor de la mediana en datos enlistados, hay que tener en cuenta la cantidad de datos que se recolectaron; es decir, si se tiene un número de datos IMPAR o si por el contrario, el número de datos es PAR; a continuación se presentara la mecánica a emplear para su cálculo. a. Número impar de observaciones: La mediana es el valor del dato central así, la mediana puede expresarse como:
Mediana Me x N 1 , en caso de que N (o n) sea impar. 2
Ejemplo En el ejercicio de los cigarrillos consumidos por un fumador, los datos suministrados fueron: Lunes (x1)=18, martes (x2)=21, miércoles (x3)=22, jueves (x4)=21, viernes (x5)=20, sábado (x6)=19 y domingo (x7)=19. En primer lugar, tenemos siete (7) datos, un número IMPAR. Ordenando ascendentemente los datos tenemos: x(1) = 18, x(2) = 19, x(3) = 19, x(4) = 20, x(5) = 21, x(6) = 21, x(7) = 22. Una vez ordenados los datos, determinamos el valor de la variable que se encuentra en la posición central de los datos, es decir:
Me x N 1 x 7 1 x 8 x 4 20 2
2
2
De esta manera, consideramos que en el 50% de los días de la semana este fumador consume máximo 20 cigarrillos; mientras que en el restante 50% de los días fuma mas de 20 cigarrillos. Nótese que tras del cuarto dato ordenado se encuentran 3 valores observados, la misma cantidad de observaciones que superan el valor de la mediana, esto es:
La mediana divide la cantidad de datos en dos ―partes‖ iguales. b. Número par de observaciones: La mediana esta determinado por el valor de la semisuma (promedio aritmético) de los valores de los dos datos centrales, esto es:
x N x N Mediana Me
1 2
2
2
, en caso de que N (o n) sea par.
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Ejemplo 3
Consideremos el consumo mensual de agua en m , por una fábrica de confecciones ―La Hilacha‖. Enero (x1) = 10, Mayo (x5) = 14, Septiembre (x9) = 18 Febrero (x2) = 12, Junio (x6) = 19, Octubre (x10) = 22 Marzo (x3) = 15, Julio (x7) = 17, Noviembre (x11) = 15 Abril (x4) = 18, Agosto (x8) = 18, Diciembre (x12) = 13 En primer lugar, tenemos doce (12) datos, un número PAR. Ordenando ascendentemente los datos tenemos: x(1) = 10, x(2) = 12, x(3) = 13, x(4) = 14, x(5) = 15, x(6) = 15, x(7) = 17, x(8) = 18, x(9) = 18, x(10) = 18, x(11) = 19, x(12) = 22. Una vez ordenados los datos, determinamos el valor de la variable que se encuentra en la posición central de los datos, es decir:
x 12 x 12 Me
1 2
2
2
x 6 x 61 2
x 6 x 7 2
15 17 32 16 2 2 3
De esta manera, tenemos que el 50% de los meses la empresa tuvo un consumo de agua menor a 16 m , mientras en el restante 50% de los meses el consumo supero esta cifra. Como se puede observar, en este caso la mediana no es un dato perteneciente a la información recogida, sin embargo, es un parámetro que divide la información dejando el 50% por encima y el 50% por debajo de ella, esto es:
Mediana para datos agrupados - Variable Discreta En el caso de variables discretas donde cada categoría es el valor de la variable, se puede tomar como un caso de intervalo de amplitud 1 y en este caso el cálculo de la mediana funciona exactamente como lo visto para datos sin agrupar; sin embargo, existe un par de reglas prácticas basadas en las frecuencias absolutas que pueden ser de utilidad: a. Cuando Nj-1 < b. Cuando Nj-1 =
n n y Nj > , entonces Me = xj. 2 2 x j-1 x j n 2
, entonces Me =
2
.
A continuación se presentará un par de ejemplos, casos típicos, donde se trabaja con datos agrupados para variables discretas.
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Ejemplo Caso a: Consideremos la siguiente distribución de frecuencias para una variable cualquiera: Xi
ni
Ni
0
2
2
1
3
5 Nj-1
2
6
11 Nj
3
5
16
4
4
20
20 Para este caso, tenemos un número par de datos, de acuerdo a lo planteado para el caso de datos sin agrupar, la mediana tomaría el valor del promedio de los dos valores centrales, esto es, los valores que se encuentren en la posición 10 y 11; por tanto, la mediana para este caso es igual a 2. Comprobemos lo anterior con la fórmula presentada: Tenemos que
n 20 n n 10 , además Nj-1 < es decir, 5<10 y Nj > o sea 11>10, por tanto, 2 2 2 2
Me = xj = 2. Ejemplo Caso b: Consideremos la anterior distribución de frecuencias con un leve cambio: Xi
ni
Ni
0
2
2
1
3
5
xj-12
5
10 Nj-1
xj3
6
16 Nj
4
4
20
20 Tenemos que
n 20 n n 10 , además Nj-1= es decir, N3=10= , por tanto 2 2 2 2
Me
x j-1 x j 2
23 5 2,5 2 2
Podemos comprobar el resultado anterior, transformando la distribución de frecuencias en una variable cuyos datos no estén agrupados, i
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
xi
0
0
1
1
1
2
2
2
2
2
3
3
3
3
3
3
4
4
4
4
Me
23 5 2,5 2 2
Mediana para datos agrupados - Variable Continua Página 54 de 177
Cuando trabajamos con variables agrupadas por intervalos es imposible determinar con precisión los valores que toman los datos, ya que esa información se ha perdido en privilegio del agrupamiento interval. Por lo tanto, en este caso, debemos buscar otro método para determinar el valor de la mediana. Consideremos como x Ij al límite inferior del j-ésimo intervalo, de manera análoga como x Sj al límite superior del j-ésimo intervalo. Para la variable continua también se tienen dos casos, como se verá a continuación:
n , entonces Me = x Sj-1 . 2 n n b. Cuando Nj-1 < y Nj > , se puede calcular la mediana empleando las frecuencias absolutas mediante 2 2 a. Cuando Nj-1 =
la siguiente fórmula
n N j-1 M e LI 2 nj
A ,
donde, LI:
Límite Inferior del intervalo mediano, es decir, el intervalo donde se encuentra la mediana, el cual se determina observando en que intervalo
n: Nj-1: nj: A:
se encuentra la posición
n . 2
Número de observaciones. Frecuencia absoluta acumulada anterior al intervalo mediano. Frecuencia absoluta del intervalo mediano. Amplitud del intervalo.
Ó con base en las frecuencias relativas mediante la siguiente fórmula
0,5 Fj -1 Me LI fj
A ,
Donde: LI:
Límite Inferior del intervalo mediano, es decir, el intervalo donde se mediana, el cual se determina observando en que intervalo
n: Fj-1: fj: A:
Número de observaciones. Frecuencia relativa acumulada anterior al intervalo mediano. Frecuencia relativa del intervalo mediano. Amplitud del intervalo.
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encuentra
n se encuentra la posición . 2
la
Ejemplo Caso a Consideremos la siguiente distribución de frecuencias:
Tenemos que
Xi-1 – Xi
ni
Ni
2–6
2
2
6 – 10
3
5
10 – 14 xSj
5
10 Nj-1
14 – 18
6
16 Nj
18 – 22
4
20
20
-
n 20 n n 10 , además Nj-1= es decir, N3=10= , por tanto 2 2 2 2 Me = xSj = xS3 = 14.
Ejemplo Caso b Consideremos la anterior distribución de frecuencias con un leve cambio:
Xi-1 – Xi
ni
2–6
2
2
6 – 10
3
5 Nj-1
Ni
6 nj
11
14 – 18
5
16
18 – 22
4
20
10 – 14 xSj
20 Tenemos que
Nj
Intervalo
Mediano
-
n 20 n n 10 , además Nj-1 = N2 = 5 < =10; y Nj = N3 = 11 > =10, por tanto: 2 2 2 2 n N j-1 2 A M e LI nj 20 5 (14 10) 10 2 6 10 5 10 ( 4) 6 5 10 (4) 6 10 3,33 M e 13,33
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La Moda La moda, o valor modal, como su nombre lo indica, es el valor más común, es el valor de la variable que más se repite; es decir, aquel valor de la variable (que puede no ser un único valor) que observa con mayor frecuencia dentro de una distribución. Un conjunto de datos puede tener una sola moda, en este caso se suele llamar distribución unimodal, si tiene dos modas se denomina bimodal, o varias modas y llamarse multimodal. Sin embargo puede ocurrir que la distribución no posea moda.
Cálculo para datos sin agrupar En los datos sin agrupar o en los datos agrupados para variables discretas donde cada clase es un valor diferente de la variable, basta una simple inspección ocular. Ejemplo Consideremos los siguientes datos: 5, 10, 8, 5, 10, 18, 5, 12, 5, 12. Para este conjunto de datos, el valor que mas se repite es 5, por tanto este valor representa la moda, esto es: Mo = 5. Cálculo para datos agrupados Se debe utilizar de preferencia cuando la amplitud de los intervalos es constante, para ello podemos observar y comprender su cálculo así: Variable Discreta Consideremos el ejemplo de los salarios de 50 operarias de cierta fábrica en particular, presentado en la siguiente tabla:
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Miles de Pesos/Día Xi
ni
50
1
51
3
52
5
53
9
54
12
55
10
56
5
57
3
58
2 50
El valor que presenta mayor frecuencia es 54 con una repetición de 12 personas con el mismo salario, de esta manera, afirmamos que el salario más común dentro de la fábrica es de $54.000 diarios. Consideremos el ejemplo del fumador, cuyos datos se encuentran resumidos a continuación: Cantidad (Xi)
Frecuencia (fi)
18
1
19
2
20
1
21
2
22
1
Total
7
Observamos que los valores de mayor frecuencia corresponden a 19 y 21, por tanto, se trata de una distribución bi-modal con Mo1= 19 y Mo2 = 21. Variable Continua Existen diversas fórmulas para la estimación del valor modal cuando de una variable continua se refiere; sin embargo, tomaremos como valor modal la marca de clase del respectivo intervalo modal. Cabe mencionar que por intervalo modal entenderemos aquel intervalo que presenta la mayor frecuencia observada. Sin embargo, presentaremos las fórmulas que se pueden encontrar en los diversos textos para su debido conocimiento y aplicación Cálculo a partir de la frecuencia relativa
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fm fm -1 A Mo LI 2fm fm - 1 fm 1 Donde, Mo: Moda LI: Límite inferior del intervalo modal fm: Frecuencia relativa del intervalo modal (clase modal) fm-1: Frecuencia relativa del intervalo pre-modal (clase pre-modal) fm+1: Frecuencia relativa del intervalo pos-modal (clase pos-modal) A: Amplitud del intervalo modal. La fórmula para estimar la moda a partir de la frecuencia absoluta es similar a la presentada anteriormente, tan solo se trabaja con las frecuencias absolutas:
nm nm -1 A Mo LI 2nm nm - 1 nm 1 Ejemplo Consideremos el ejemplo de las 100 baldosas; cuyos datos se resumen a continuación: Kg/m Xi
2
mi
ni
100 – 200
150
4
200 – 300
250
10
300 – 400
350
21
Clase premodal
400 – 500
450
33
Clase modal
500 – 600
550
18
Clase posmodal
600 – 700
650
9
700 – 800
750
5 100
Observamos que el cuarto intervalo presenta la mayor cantidad de datos, por tanto, este intervalo se denomina intervalo o clase modal. De esta manera, tenemos que el valor modal esta dado por:
nm nm -1 33 21 A 400 100 444,44 Mo LI 2(33) 21 18 2nm nm - 1 nm 1
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A pesar de que el valor 444,44 no es un dato real de la información, asumimos ese parámetro como el de mayor ocurrencia.
Relación: Media - Mediana - Moda Cuando trabajamos un problema de estadística, debemos decidir si vamos a utilizar la media, la mediana o la moda como medidas de tendencia central. Las distribuciones simétricas que sólo contienen una moda, siempre tienen el mismo valor para la media, la mediana y la moda. En tales casos, no es necesario escoger la medida de tendencia central, pues ya está hecha la selección. Obviamente, si todas las observaciones estuvieran concentradas en un solo valor de la variable, media, mediana y moda coincidirían en el mismo. Si las observaciones se fueran distribuyendo en forma simétrica, a la izquierda y a la derecha de ese valor central, media, mediana y modo seguirían coincidiendo.
En una distribución positivamente sesgada (es decir, sesgada hacia la derecha), la moda todavía se encuentra en el punto más alto de la distribución, la mediana está hacia la derecha de la moda y la media se encuentra todavía más a la derecha de la moda y la mediana; es decir, en una distribución asimétrica a la derecha, la media, es mayor que la mediana y que la moda, tal como lo presenta el siguiente gráfico
Supongamos ahora que las observaciones de la parte izquierda se alejan del valor central más que las observaciones de la parte derecha, generando una distribución asimétrica hacia la izquierda; en este caso como la media es la suma de los valores de las observaciones dividido por la cantidad total de observaciones, su valor se correrá a la izquierda también y por el mismo motivo, la media será menor que la mediana y ambas Página 60 de 177
menor que la moda; es decir, en una distribución negativamente sesgada, la moda sigue siendo el punto más alto de la distribución, la mediana está hacia la izquierda de ella y la media se encuentra todavía más a la izquierda de la moda y la mediana.
Este corrimiento de la media se explica porque si tomamos un conjunto de datos cualquiera a los cuales calculamos media, mediana y moda y agregamos un dato extremo y volvemos a calcular la media, la mediana y la moda, veremos que la media puede variar notablemente, mientras que la mediana y la moda permanecen idénticas. Esta no variación de la mediana y la moda reciben el nombre de robustez. Las medidas basadas en el orden –como la mediana- gozan de ésta en tanto que las medidas basadas en la suma –como la media- se ven más afectadas por las observaciones extremas y son, por lo tanto, poco robustas. Cuando la población está sesgada negativa o positivamente, con frecuencia la mediana resulta ser la mejor medida de posición, debido a que siempre está entre la moda y la media. La mediana no se ve altamente influida por la frecuencia de aparición de un solo valor como es el caso de la moda, ni se distorsiona con la presencia de valores extremos como la media. Relación Empírica entre Media, Mediana y Moda Para curvas de frecuencia unimodales que sean poco asimétricas tenemos la siguiente relación empírica Media – Moda = 3(media- mediana).
CUANTILES: Cuartiles, Deciles y Percentiles Son medidas de localización similares a las anteriores, las cuales las denominamos medidas de tendencia central, sin embargo, también pueden ser llamadas medidas de localización ya que, igual determinan posiciones ―centrales‖ de la información. Se les denomina CUANTILES (Q). Su función es informar del valor de la variable que ocupará la posición (en tanto por cien) que nos interese respecto de todo el conjunto de variables. Podemos decir que los Cuantiles son unas medidas de posición que dividen a la distribución en un cierto número de partes de manera que en cada una de ellas hay el mismo de valores de la variable. Las más importantes son: CUARTILES, dividen a la distribución en cuatro partes iguales (tres divisiones): C 1, C2, C3, correspondientes al 25%, 50%, 75%. DECILES, dividen a la distribución en 10 partes iguales (9 divisiones): D 1,..., D9, correspondientes a 10%,...,90%.
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PERCENTILES, cuando dividen a la distribución en 100 partes (99 divisiones): P 1,..., P99, correspondientes a 1%,...,99%. Existe un valor en cual coinciden los cuartiles, los deciles y percentiles esto es cuando son iguales a la Mediana y así veremos
2 5 50 4 10 100 Para su cálculo distinguiremos entre distribuciones agrupadas y enlistadas: En las distribuciones sin agrupar, primero hallaremos el lugar que ocupa: Entonces tendremos que: Ni-1 < (%).n < Ni Q = xi En el supuesto que (%).n = Ni
Q
x i x i 1 2
Primero encontraremos el intervalo donde estará el cuantil: Lugar Ni-1 < (%) n< Ni Intervalo [Li-1, Li) , en este caso: Q L i 1 Ejemplo: DISTRIBUCIONES AGRUPADAS: En la siguiente distribución xi fi 5 10 15 20 25
% N N i 1 ni
ai
Fi
3 7 5 3 2 n = 20
3 10 15 18 20
Calcular la mediana (Me); el primer y tercer cuartil (C1, C3); el 4º decil (D4) y el 90 percentil (P90). Mediana (Me) Lugar que ocupa la mediana lugar 20/2 = 10. Como es igual a un valor de la frecuencia absoluta acumulada, realizaremos el cálculo:
Me
x i x i 1 10 15 12,5 2 2
Primer cuartil (C1) Lugar que ocupa en la distribución (¼). 20 = 20/4 = 5 Como Ni-1 < (25%).n < Ni, es decir 3 < 5 < 10 esto implicara que C1 = xi = 10 Tercer cuartil (C3) Lugar que ocupa en la distribución (3/4).20 = 60/4 = 15, que coincide con un valor de la frecuencia absoluta acumulada, por tanto realizaremos el cálculo:
C3
x i x i 1 15 20 17,5 2 2
Cuarto decil (D4) Lugar que ocupa en la distribución (4/10).20 = 80/10 = 8. Como Ni-1 < (%).n < Ni ya que 3 < 8 < 10 por tanto D4 =10.
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Nonagésimo percentil (P90) Lugar que ocupa en la distribución (90/100).20 = 1800/100 = 18, que coincide con un valor de la frecuencia absoluta acumulada, por tanto realizaremos el cálculo:
P90
x i x i 1 20 25 22,5 2 2
Ejemplo: DISTRIBUCIONES AGRUPADAS: Hallar el primer cuartil, el cuarto decil y el 90 percentil de la siguiente distribución: [Li-1 , Li)
fi
Fi
[ 0 , 100) [100 , 200) [[200 , 300) [300 , 800)
90 140 150 120 n = 500
90 230 380 500
Primer cuartil (C4) Lugar ocupa el intervalo del primer cuartil: (1/4). 500 = 500/4 = 125. Por tanto C4 estará situado en el intervalo [100 – 200). Aplicando la expresión directamente, tendremos: C 4 100
125 90 100 125 140
Cuarto decil (D4) Lugar que ocupa: (4/10).500 = 200. Por tanto D4 estará situado en el intervalo [100 – 200). Aplicando la expresión tendremos:
D 4 100
200 90 100 178,57 140
Nonagésimo percentil (P 90) Lugar que ocupa: (90/100).500 = 450. Por tanto P90 estará situado en el intervalo [300 – 800). Aplicando la expresión tendremos:
P90 300
450 380 70 500 300 500 591,67 120 120
Lección 8: Medidas de dispersión: Rango, Varianza, Desviación típica, coeficiente de variación, puntaje estandarizado. Como se mencionó anteriormente, las medidas de tendencia central tienen como objetivo sintetizar los datos en un valor representativo; como complemento, las medidas de dispersión nos dicen hasta que punto estas medidas de tendencia central son representativas como síntesis de la información; de esta manera, las medidas de dispersión cuantifican la separación, la dispersión, la variabilidad de los valores de la distribución respecto al valor central como la media aritmética. Cuanto menor es la dispersión, tanto mayor será la precisión
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del sistema de medición. Si los estadígrafos de posición se relacionan con el concepto de exactitud, los de dispersión se relacionan con la precisión de las técnicas. La dispersión es importante porque:
Proporciona información adicional que permite juzgar la confiabilidad de la medida de tendencia central. Si los datos se encuentran ampliamente dispersos, la posición central es menos representativa de los datos.
Ya que existen problemas característicos para datos ampliamente dispersos, debemos ser capaces de identificarlos antes de abordar esos problemas.
Quizá se desee comparar las dispersiones de diferentes muestras. Si no se desea tener una amplia dispersión de valores con respecto al centro de distribución o esto presenta riesgos inaceptables, necesitamos tener habilidad de reconocerlo y evitar escoger distribuciones que tengan las dispersiones más grandes.
Ya que la dispersión ocurre frecuentemente y su grado de variabilidad es importante, ¿cómo medimos la variabilidad de una distribución empírica? Vamos a considerar sólo algunas medidas de dispersión: el rango, el rango inter-cuartílico, la varianza, la desviación estándar y el coeficiente de variación.
EL RANGO O RECORRIDO ( R ): Es la medida de variabilidad más fácil de calcular. Para datos finitos o sin agrupar, el rango se define como la diferencia entre el máximo valor (X n ó XMax) y el mínimo (X1 ó XMin) en un conjunto de datos, de manera más formal: R = XMáx – XMín = Xn - X1 Ejemplo: Se tienen las edades de cinco estudiantes universitarios de 1er año, a saber: 18,23, 27,34 y 25., para calcular el rango o recorrido de la variable, se tiene que: R = Xn – X1 = 34 – 18 = 16 años Rango para datos agrupados Con datos agrupados no se saben los valores máximos y mínimos. Si no hay intervalos de clases abiertos podemos aproximar el rango mediante el uso de los límites de clases. Se aproxima el rango tomando el límite superior de la última clase menos el límite inferior de la primera clase, de manera más formal: R= (lim. Sup. de la clase n – lim. Inf. de la clase 1)
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Ejemplo: Dada la siguiente distribución de frecuencia determinar el rango o recorrido: Clases
P.M. mi
ni
fi
Ni
Fi
7,420 – 21,835
14,628
10
0,33
10
0,33
21,835 – 36,250
29,043
4
0,13
14
0,46
36,250 – 50,665
43,458
5
0,17
19
0,63
50,665 – 65,080
57,873
3
0,10
22
0,73
65,080 – 79,495
72,288
3
0,10
25
0,83
79,495 – 93,910
86,703
5
0,17
30
1,00
30
1,00
Total El rango de la distribución de frecuencias se calcula así: R = (lim. Sup. de la clase n – lim. Inf. De la clase 1) = (93.910 – 7.420) = 86.49
Propiedades del Rango o Recorrido:
El recorrido es la medida de dispersión más sencilla de calcular e interpretar puesto que simplemente es la distancia entre los valores extremos (máximo y mínimo) en una distribución. Puesto que el recorrido se basa en los valores extremos, éste tiende a ser errático. No es extraño que en una distribución de datos económicos o comerciales incluya a unos pocos valores en extremo pequeños o grandes. Cuando tal cosa sucede, entonces el recorrido solamente mide la dispersión con respecto a esos valores anormales, ignorando a los demás valores de la variable. La principal desventaja del recorrido es que sólo esta influenciado por los valores extremos, puesto que no cuenta con los demás valores de la variable. Por tal razón, siempre existe el peligro de que el recorrido ofrezca una descripción distorsionada de la dispersión. En el control de la calidad se hace un uso extenso del recorrido cuando la distribución a utilizarse no la distorsionan y cuando el ahorro del tiempo al hacer los cálculos es un factor de importancia.
RANGO INTERCUARTÍLICO: Teniendo en cuenta la principal desventaja del rango (toma en cuenta solo los valores extremos), surge el rango intercuartílico, denotado por RI, su cálculo se limita a la diferencia entre el tercer y el primer cuartil, es decir
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Esto nos dice en cuántas unidades de los valores que toma la variable se concentra el cincuenta por ciento central de los casos.
VARIANZA 2
Se representa por S . Se define como el promedio de las desviaciones de los datos entre si. La suma de los cuadrados de los desvíos de la totalidad de las observaciones, respecto de la media aritmética de la distribución, es menor que la suma de los cuadrados de los desvíos respecto de cualquier otro valor que no sea la media aritmética. Si observamos, veremos que la varianza no es más que el desvío estándar al cuadrado. Precisamente la 2 manera de simbolizarla es S .
∑(
̅)
Propiedades de la varianza: Es siempre un valor no negativo, que puede ser igual o distinta de 0. Será 0 solamente cuando X i= X La varianza es la medida de dispersión cuadrática optima por ser la menor de todas. Si a todos los valores de la variable se le suma una constante la varianza no se modifica. Veámoslo:
Si a Xi le sumamos una constante Xi’ = Xi + K. tendremos (sabiendo que
)
Si todos los valores de la variable se multiplican por una constante la varianza queda multiplicada por el cuadrado de dicha constante. Veámoslo: Si a xi’ = xi · k tendremos (sabiendo que
)
Si en una distribución obtenemos una serie de subconjuntos disjuntos, la varianza de la distribución inicial se relaciona con la varianza de cada uno de los subconjuntos mediante la expresión
Siendo Ni el nº de elementos del subconjunto (i) Página 66 de 177
S i2 la varianza del subconjunto (i)
LA DESVIACIÓN ESTÁNDAR También recibe el nombre de desviación tipo o desvío típico. Es posible identificar conjuntos de datos que a pesar de ser muy distintos en términos de valores absolutos, poseen la misma media. Una medida diferencial para identificar esos conjuntos de datos es la concentración o dispersión alrededor de la media.
Desviación estándar para datos sin agrupar Una manera que aparece como muy natural para construir una medida de dispersión sería promediar las desviaciones de la media, pero como vimos
Una manera de evitar que los distintos signos se compensen es elevarlas al cuadrado, de manera que todas las desviaciones sean positivas. La raíz cuadrada del promedio de estas cantidades recibe el nombre de desviación estándar, o desviación típica y es representada por la siguiente fórmula:
√ ∑
(
̅)
La desviación estándar sólo puede utilizarse en el caso de que las observaciones se hayan medido con escalas de intervalos o razones. A mayor valor de la desviación estándar, mayor dispersión de los datos con respecto a su media. Es un valor que representa los promedios de todas las diferencias individuales de las observaciones respecto a un punto de referencia común, que es la media aritmética. Se entiende entonces que cuando este valor es más pequeño, las diferencias de los valores respecto a la media, es decir, los desvíos, son menores y, por lo tanto, el grupo de observaciones es más ―homogéneo‖ que si el valor de la desviación estándar fuera más grande. O sea que a menor dispersión mayor homogeneidad y a mayor dispersión, menor homogeneidad.
Desviación estándar para datos agrupados 1. Cálculo usando las frecuencias absolutas
2. Cálculo usando las frecuencias relativas
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Propiedades de la Desviación Estándar
La desviación estándar es siempre un valor no negativo. Es la medida de dispersión óptima por ser la más pequeña. La desviación estándar toma en cuenta las desviaciones de todos los valores de la variable. Si a todos los valores de la variable se le suma una misma constante la desviación estándar no varía. Si a todos los valores de la variable se multiplican por una misma constante, la desviación estándar queda multiplicada por el valor absoluto de dicha constante.
EL COEFICIENTE DE VARIACIÓN: Para comparar la dispersión de variables que aparecen en unidades diferentes (metros, kilos, etc.) o que corresponden a poblaciones extremadamente desiguales, es necesario disponer de una medida de variabilidad que no dependa de las unidades o del tamaño de los datos. Este coeficiente únicamente sirve para comparar las dispersiones de variables correspondientes a escalas de razón. Una manera de construir una medida de variabilidad que cumpla los requisitos anteriores es el llamado coeficiente de variación:
(Las barras del denominador representan el valor absoluto, es decir, indican que debe prescindirse de la unidad de medida de la media). A menor coeficiente de variación consideraremos que la distribución de la variable medida es más homogénea.
PUNTAJE ESTANDARIZADO: Cuando se tiene una distribución simétrica, su polígono de frecuencias revelará una forma de campana muy común en estadística. Esta curva es llamada curva normal, de error, de probabilidad o campana de Gauss. En ella la media aritmética se localiza en la mitad de la distribución. En el eje horizontal se ubican los valores que toma la variable y en el vertical la frecuencia absoluta o relativa. El área bajo la curva tendrá un valor del 100%
Figura: Curva normal o campana de Gauss
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El puntaje típico o estandarizado o variable normalizada, es una medida de dispersión muy utilizada como variable estadística en este tipo de distribución, denominada distribución normal. El puntaje estandarizado mide la desviación de una observación con respecto a la media aritmética, en unidades de desviación estándar, determinándose así la posición relativa de una observación dentro del conjunto de datos. Por lo general se simboliza por Z.
Z
X x s
Por ser adimensional, el puntaje Z es útil para comparar datos individuales de distribuciones que tienen distintas unidades de medida, así como diferentes medias y desviaciones estándar. Propiedades:
z 0 2 2. z 1 1.
EJEMPLO Al terminar el segundo semestre de laño 2010, un grupo de 150 estudiantes de primer semestre de Ingeniería 10.110.1 de un CEAD, obtuvieron los siguientes resultados en el puntaje final de los cursos Lógica Matemática y Estadística Descriptiva:
Lógica Matemática: puntuación media de 3.9 y varianza 3.2. Estadística Descriptiva: puntuación media de 3.7 y desviación estándar 1.7.
a. ¿En cuál curso hubo mayor dispersión absoluta? ¿En cuál hubo mayor dispersión relativa? b. Si un estudiante obtuvo como nota final en Lógica Matemática 3.8 y en Estadística Descriptiva 3.5. ¿En cuál curso fue su puntuación relativa superior?
Solución: a. Para determinar la dispersión absoluta: Lógica Matemática: s 3.2 Estadística Descriptiva: s 1,7 2
s 3.2 1.79
Se tiene entonces que en Lógica Matemática hubo una mayor dispersión absoluta que en Estadística Descriptiva.
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Para la dispersión Relativa:
1.79 100 45.9% 3.9 1.7 Estadística Descriptiva: CV 100 46% 3.7 Lógica Matemática: CV
En Estadística Descriptiva hubo una mayor dispersión relativa 46% > 45.9%
b. Para el cálculo de la puntuación relativa, se hace uso del puntaje estandarizado. Es decir, se requiere estandarizar las calificaciones convirtiéndolas en puntuaciones Z.
x x 3.8 3.9 0.06 s 1.79 x x 3.5 3.7 Estadística descriptiva: Z 0.12 s 1.7 Lógica Matemática:
Z
Estos valores de puntuación Z negativos indican que ambas calificaciones se encuentran por debajo de la media. Este es un principio del puntaje estandarizado: Siempre que un valor sea menor que la media, su puntuación Z correspondiente será negativa. Estos resultados afirman entonces que el estudiante con calificaciones de 3.8 en Lógica Matemática y 3.5 en Estadística Descriptiva, está por debajo del promedio del grupo en ambos cursos. Dado que -0.06 se encuentra más cera a 0 (la media de la variable estandarizada), se dice que la puntuación relativa del estudiante fue superior en Lógica Matemática.
Lección 9: Medidas de forma: Asimetría y Curtosis. Después de conocer cómo varía un grupo de datos respecto a su media e identificar otras medidas de variación, a continuación se estudiará algunos aspectos sobre la forma de las curvas que presentan los datos. Asimetría: La primera característica que se estudia es el coeficiente de asimetría, el cual mide el grado de simetría en la distribución de los datos, ya que conocer la distribución de los datos, permite tomar ciertos caminos para el análisis de los mismos. Si un conjunto de datos tiene distribución simétrica es porque se cumple:
x Me Mo
En las distribuciones asimétricas la media se corre en el sentido del alargamiento o sesgo por efecto de las frecuencias y de los valores extremos de la variable; la mediana también se corre pero menos que la media ya que en ella sólo influyen las frecuencias; en tanto que la moda no es influenciada ni por las frecuencias ni por los valores extremos. Una distribución es asimétrica positiva cuando presenta un alargamiento o sesgo a la derecha: Mo Me x Una distribución será asimétrica negativa cuando presenta un alargamiento o sesgo a la izquierda: x Me Mo Las asimetrías positivas son las más frecuentes que las sesgadas hacia la izquierda, porque con frecuencia es más fácil obtener valores excepcionalmente grandes que valores excepcionalmente pequeños. Ejemplo de ello es la distribución de valores en los consumos de servicios públicos, las calificaciones en pruebas, los sueldos, etc. Se reconocen, entre otras, las siguientes medidas para calcular el grado de la asimetría:
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Coeficiente de Pearson. Asimetría en función de la media y la moda. Varía entre ±3 y es 0 en la distribución normal.
As
As
3 ( x Me) s
Media cuartil de asimetría o media de Bowley. Varía entre ±1 y es 0 en la distribución normal.
As Si Si Si
x Mo s
Q1 Q3 2Q2 Q3 Q1
As 0 la distribución es simétrica. As 0 la distribución es asimétrica positiva. As 0 la distribución es asimétrica negativa.
Apuntamiento O Curtosis: Las curvas de distribución, comparadas con la curva de distribución normal, pueden presentar diferentes grados de apuntamiento o altura de la cima de la curva. Esta agudeza en la cima se observa en la moda. Si la curva es más plana que la normal se dice que la curva es platicúrtica; si es más aguda que la normal, recibe el nombre de apuntada o leptocúrtica. Si la distribución es normal, la curva se conoce también como mesocúrtica. La curtosis es la medida de la altura de la curva y está dada por: Si Si
Ap 3 Ap 3 Ap 3
Z Ap
4 i
ns
fi 4
la distribución es normal o mesocúrtica. la distribución es apuntada o leptocúrtica.
Si la distribución es achatada o platicúrtica. Otra medida de curtosis que se emplea está basada en el rango semiintercuartílico y los percentiles 10 y 9:
Ap
QD 2 Q3 Q1 P90 P10 2( P90 P10 )
En el siguiente ejemplo se puede comprender de una manera práctica, la forma de calcular éste tipo de medidas.
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EJEMPLO El coordinador académico del programa de Administración de Empresas, desea conocer el rendimiento 10.110.1 académico de los estudiantes de primer semestre en el 2010, en los cursos de Lógica Matemática, Competencias Comunicativas, Cultura Política, Estadística Descriptiva y Herramientas Informáticas. Para esto selecciona una muestra de 55 estudiantes de los distintos programas que se ofrecen en el CEAD. La siguiente tabla, arroja los resultados de la investigación realizada por el funcionario.
Tabla: Distribución de frecuencias de las calificaciones de primer semestre Calificación 0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 4,0 4,5 5,0 Total
Lógica Competencias Cultura Estadística Herramientas Matemática Comunicativas Política Descriptiva Informáticas 1 3 2 1 1 4 3 2 1 2 7 5 3 2 3 9 6 4 4 7 9 7 6 11 9 8 7 8 14 11 6 7 9 12 9 4 6 9 6 7 3 5 7 3 3 2 3 4 1 2 2 3 1 0 1 55 55 55 55 55
En la tabla siguiente se reporta un resumen de las medidas estadísticas por cada uno de los cursos. Medida
x Me Mo
s2
s Q1 Q2 Q3
Lógica Matemática 2.25 2.0 1.5 y 2.0
Competencias Comunicativas 2.5 2.5 2.0, 2.5 y 3.0
Cultura Política 2.75 3.0 3.0 y 3.5
Estadística Descriptiva 2.53 2.5 2.5
Herramientas Informáticas 2.5 2.5 2.5
1.45 1.20
1.84 1.36
1.45 1.20
0.76 0.87
1.12 1.06
1.5
1.5
2.0
2.0
2.0
2.0
2.5
3.0
2.5
2.5
3.0
3.5
3.5
3.0
3.4
a-) Asimetría: Para Lógica Matemática: Se observa que Mo Me x , lo que indica que la distribución tiene asimétrica positiva. Para confirmarlo se hace uso del coeficiente de Pearson y la media de Bowley: En este caso se trabajará con la media de Bowley, pues la distribución tiene dos modas y no permite un resultado seguro con el coeficiente de Pearson. Página 72 de 177
As
Q1 Q3 2Q2 1.5 3 2(2) 0.33 0 Q3 Q1 3 1.5
El polígono de frecuencias de las calificaciones de Lógica Matemática confirma los resultados. Figura: Curva asimétrica positiva Polígono de frecuencias de calificaciones de Lógica Matemática 10 9
Frecuencia
8 7 6 5 4 3 2 1 0,0
0,5
1,0
1,5
2,0
2,5
3,0
3,5
4,0
4,5
5,0
Calificación
La curva lleva a concluir que la mayoría de los estudiantes están por debajo de la media en el curso de Lógica Matemática y son pocos los estudiantes que la superan. Para Competencias Comunicativas: Se observa que Mo Me x , lo que indica que la distribución es simétrica. Para confirmarlo se hace uso del coeficiente de Bowley, pues la distribución tiene tres modas y no permite un resultado seguro con el coeficiente de Pearson.
As
Q1 Q3 2Q2 1.5 3.5 2(2.5) 0 Q3 Q1 3.5 1.5
El polígono de frecuencias de las calificaciones de Competencias Comunicativas confirma los resultados.
Figura: Curva simétrica platicúrtica Polígono de frecuencias de calificaciones de Competencias Comunicativas con el coeficiente de Pearson. 10 9 8
Frecuencia
7 6 5 4 3 2 1 0,0
0,5
1,0
1,5
2,0
2,5
3,0
3,5
4,0
4,5
5,0
Calificación
Para determinar el grado de apuntamiento o curtosis, se debe determinar el puntaje típico o estandarizado de cada clase y luego aplicar la fórmula que lo calcula. En la siguiente tabla se indican estos valores.
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Tabla: Cálculo de Z para la distribución de frecuencias de las calificaciones de Competencias Comunicativas 4
Calificación
f
Z
Zi f i
0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 4,0 4,5 5,0
3 3 5 6 7 7 7 6 5 3 3
-1,838235294 -1,470588235 -1,102941176 -0,735294118 -0,367647059 0 0,367647059 0,735294118 1,102941176 1,470588235 1,838235294
34,2551328 14,0309024 7,39910869 1,7538628 0,12788583 0 0,12788583 1,7538628 7,39910869 14,0309024 34,2551328
Total
55
0
115,133785
Z Ap
4
fi
i
ns
4
Ap
115.13 0.62 3 55 1.36 4
Por lo tanto, la curva es simétrica platicúrtica o achatada. Estos resultados indican que la mayoría de los estudiantes en Competencias Comunicativas están en el rango de la media del curso, además sus notas son muy homogéneas alrededor de la media. Para Cultura Política: Se observa que Mo Me x , lo que indica que la distribución es asimétrica negativa. Para confirmarlo se hace uso de la media de Bowley, pues la distribución tiene dos modas y no permite un resultado seguro con el coeficiente de Pearson.
As
Q1 Q3 2Q2 2.0 3.5 2(3.0) 0.33 0 Q3 Q1 3.5 2.0
El polígono de frecuencias de las calificaciones de Cultura Política confirma los resultados. Figura: Curva asimétrica negativa Polígono de frecuencias de calificaciones de Cultura Política 10 9 8
Frecuencia
7 6 5 4 3 2 1 0,0
0,5
1,0
1,5
2,0
2,5
3,0
3,5
4,0
4,5
5,0
Calificación Esto quiere decir que las calificaciones de la mayoría de los estudiantes del curso Cultura Política están por encima de la media.
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Para Estadística Descriptiva: Se observa que Mo Me x , lo que indica que la distribución es simétrica. Para confirmarlo se hace uso del coeficiente de Pearson y la media de Bowley:
As
x Mo 2.53 2.5 0.03 0 s 0.87
As
y
Q1 Q3 2Q2 2.0 3.0 2(2.5) 0 Q3 Q1 3.0 2.0
Para determinar el grado de apuntamiento o curtosis, se debe determinar el puntaje típico o estandarizado de cada clase y luego aplicar la fórmula que lo calcula. En la tabla siguiente tabla se indican estos valores. Tabla: Cálculo de Z para la distribución de frecuencia de las calificaciones de Estadística Descriptiva 4
Calificación
f
Z
Zi f i
0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 4,0 4,5 5,0
1 1 2 4 11 14 12 6 3 1 0
-2,908045977 -2,333333333 -1,75862069 -1,183908046 -0,609195402 -0,034482759 0,540229885 1,114942529 1,689655172 2,264367816 -1,352941176
71,516306 29,6419753 19,1301647 7,85835926 1,51502275 1,9794E-05 1,02210536 9,27173856 24,4519547 26,289837 0
Total
55
-4,571331981
190,697484
Z Ap
4 i
ns
4
fi
Ap
190.70 6.05 3 55 0.87 4
Por lo tanto, la curva es simétrica leptocúrtica o apuntada. Lo anterior indica que las calificaciones de Estadística Descriptiva de la muestra de 55 estudiantes están muy cerca de la media y que existe además, un pico en 2.5, señalando una alta frecuencia en esta calificación.
Frecuencia
Figura: Curva simétrica leptocúrtica Polígono de frecuencias de calificaciones de Estadística Descriptiva 15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 0,0
0,5
1,0
1,5
2,0
2,5
3,0
3,5
4,0
4,5
5,0
Calificación
Para Herramientas Informáticas: Se observa que Mo Me simétrica. Para confirmarlo se hace uso del coeficiente de Pearson:
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x , lo que indica que la distribución es
As
x Mo 2.5 2.5 0 s 1.06
El polígono de frecuencias de las calificaciones de Herramientas Informáticas confirma los resultados. La curva es simétrica mesocúrtica o normal.
MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL Y DE DISPERSION EN EXCEL El proceso a seguir, cuando los datos estén SIN AGRUPAR, es decir, tal como se recolectaron, si trabajamos con la variable número de hermanos, para la aplicación de las diferentes medidas, serán las siguientes:
Consideremos los datos del CUADRO No. 1, que contiene información de 10 variables correspondiente a 50 estudiantes seleccionados como muestra, de una población de 1.080 estudiantes, que a continuación se reedita: Cuadro No. 1.
No. Promedio No. No. Facultad Sexo libros calificación orden hermanos leídos matemáticas 2 2 2 2 2 4,1 9 3 2 0 6 3,4 12 3 1 6 3 3,6 35 2 2 0 7 3,6 41 3 1 3 5 4,1 63 3 2 4 2 3,1 74 2 2 2 4 3,6 113 1 1 1 3 3,4 147 3 1 1 8 5,0 175 1 2 3 2 2,6 199 2 2 0 2 3,9 214 1 1 1 7 3,5 234 1 1 1 2 3,6 268 3 1 3 12 3,9 327 3 1 1 8 5,0 331 1 2 0 6 3,4 364 1 2 3 2 3,3 400 3 2 0 6 3,6 405 1 2 2 11 4,6 470 1 2 3 2 3,0 507 3 1 1 8 5,0 512 1 2 0 3 2,8 545 2 1 6 10 3,9 557 2 1 6 2 3,1 587 3 1 1 4 3,3 589 3 2 2 3 2,6 590 1 1 0 2 2,7 616 3 2 0 3 3,8 621 3 1 0 3 3,0 653 1 1 1 3 3,4
Actualmente Calificaciones Edad Estatura Peso trabaja ICFES (años) (Cm) (Kg) 1 2 2 1 2 2 2 2 1 1 2 2 2 1 1 2 2 2 2 1 1 1 2 1 2 1 1 2 2 2
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360 320 330 280 320 320 325 280 310 270 290 310 320 310 310 380 280 280 400 300 310 310 310 270 300 270 280 265 290 280
20 20 18 22 16 24 20 23 17 15 26 22 20 21 17 20 16 17 24 20 17 20 17 21 32 17 19 19 17 23
158 170 174 155 170 172 169 178 174 165 171 172 168 166 174 165 166 148 165 164 174 171 171 168 160 165 168 156 171 178
48 70 78 60 72 69 66 82 83 60 66 80 70 64 83 58 58 46 60 70 83 59 64 60 65 59 71 54 82 82
665 669 721 747 748 761 771 825 873 876 923 933 936 943 976 982 1001 1017 1025 1037
2 3 2 2 1 3 3 2 1 3 1 1 2 3 3 3 3 2 2 3
1 2 1 2 2 1 1 2 2 2 1 2 2 2 2 1 1 1 1 2
1 1 3 2 3 3 1 8 3 6 1 3 3 2 0 0 3 5 1 0
2 1 4 2 2 5 1 2 5 2 3 10 10 6 3 6 5 2 2 2
3,2 4,0 2,6 4,0 3,3 4,1 2,8 3,7 4,2 4,0 4,2 2,8 2,8 3,8 3,8 3,0 3,1 3,8 3,2 3,3
2 1 1 1 2 2 1 1 2 2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2
Ubiquémonos en la barra de MENU, con el MOUSE aparecer la siguiente figura:
360 315 410 330 310 320 290 320 350 380 390 260 260 280 265 410 280 290 360 325
21 16 18 18 17 16 24 22 22 20 22 20 28 20 19 18 17 15 21 19
158 165 140 158 159 170 171 167 169 165 174 165 158 168 156 174 169 162 158 164
haciendo CLIC en HERRAMIENTAS
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72 61 46 60 58 72 79 54 64 58 80 58 55 64 54 86 76 70 72 60
debiendo
Figura No. 1. Microsoft Excel
Al hacer CLIC en el submenú ANÁLISIS DE DATOS , debe aparecer la siguiente figura (Fig. 2):
Figura No. 2. Funciones para análisis Con la figura No. 2, correspondiente a ANÁLISIS DE DATOS, procederemos a seleccionar una de las funciones, en nuestro caso la opción identificada como ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA, luego al hacer CLIC en ésta y ACEPTAR debe aparecer la figura siguiente (Fig. 3):
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Figura No. 3. Estadística Descriptiva
Teniendo en cuenta la Figura No. 3 ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA, se comienza el procesamiento de los datos. Recordemos que el RANGO DE ENTRADA es el correspondiente a la variable número de hermanos registrados en el Cuadro No. 1.
En la misma figura anterior, aparecen unas opciones de salida, con alternativa de ser una HOJA NUEVA o en un LIBRO NUEVO.
Además, aparecen: RESUMEN DE ESTADÍSTICAS; NIVEL DE CONFIANZA PARA LA MEDIA: 95% o cualquier otro valor establecido; K-ESIMO MAYOR y, finalmente, K-ESIMO MENOR, activando o haciendo CLIC en cada uno de ellos, En caso de considerar la obtención de un mayor número de resultados para el análisis.
Al hacer CLIC en ACEPTAR, se obtiene la información, tal como puede observarse en la figura No. 4.
Medidas
Resultados Media Error típico Mediana Moda Desviación estándar Varianza de la muestra Curtosis Coeficiente de asimetría Rango Mínimo Máximo Suma Cuenta Mayor (1) Menor(1) Nivel de confianza (95.0%)
2,04 0,27547362 1,5 1 1,94789263 3,79428571 0,92539916 1,11511128 8 0 8 102 50 8 0 0,55358463
Figura No. 4. Resultados
Para lograr los anteriores resultados en todas y cada una de las opciones (Resumen de estadísticas; nivel de confianza para la media, K-ésimo mayor y K-ésimo menor), deben señalarse.
Los resultados de la figura No. 4, nos muestra un cuadro resumen con los valores de la Media, Error Típico; Mediana; Asimetría; Mínimo; Máximo; Suma; Conteo para la variable NUMERO DE HERMANOS.
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CAPÍTULO 3. ANÁLISIS DE REGRESIÓN Lección 10: Regresión lineal Simple La palabra Regresión fue utilizada por primera vez por Francis Galton, (1.822 – 1.911) en sus estudios de Biología sobre la herencia, done él noto que las características promedio de la siguiente generación de un grupo particular, tendía a moverse en la dirección de las características promedio de la población, más que a la generación previa de dicho grupo.
La regresión es considerada una asociación cuantitativa entre las variables que participan en el fenómeno. Existen diversas clases de regresión, las cuales son visibles por medio de un modelo matemático, el cual relaciona las variables. Según el modelo matemático se conocen diversas clases de regresión: - Regresión lineal:
y x
y 1 x 2 x 2 - Regresión logarítmica: y Ln(x) - Regresión cuadrática:
Así existen otros tipos de regresión, que describen fenómenos particulares. Las variables que se estudian en una regresión son: Variable de Respuesta: Es la variable Y, la cual se observa bajo condiciones experimentales, pero no se puede controlar, lo que se mide por medio del llamado Error aleatorio. En todo modelo, se asume que la variable de respuesta Y tiene distribución normal, con media
E (Y X ) x
y con varianza
2.
Además,
los valores observados y1, y2, y3,…,yn. no están correlacionados estadísticamente: Cov(yi, xi) = 0 para i ≠ j. Variables Predictoras: Son las variables x1, x2, x3,…,xn; cuyos valores se asumen de antemano, por lo cual no son variables aleatorias, ya que pueden ser controlables en el fenómeno o experimento.
Diagrama de Dispersión. Una distribución bidimensional o bivariante puede representarse gráficamente en un plano cartesiano, ubicando en el eje horizontal o abscisa los valores de la primera variable denominada X y en el eje vertical u ordenada, los valores de la segunda variable, Y. De manera pues que se grafican tantas parejas ordenadas como observaciones hayan de las variables. A este conjunto de puntos o nube de puntos se le denomina diagrama de dispersión, dado que los puntos se ubican de forma dispersa en el plano cartesiano. En muchos casos el sólo diagrama de dispersión indica una tendencia de agrupación de los puntos, que puede ser lineal (hacia arriba o hacia abajo), exponencial, curvilínea o poligonal. Parte del análisis estadístico que hace el investigador es determinar cuál es la mejor línea o curva que representa a ese conjunto de datos. El mejor ajuste se hace cuando se elabora bien la gráfica, se conoce la distribución y se va adquiriendo experiencia en su cálculo y determinación.
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Figura: Gráficas de dispersión (a) lineal; (b) curvilínea; (c) sin relación Y
Y
(a)
Y
(b)
X
(c) X
X
Regresión Lineal Simple. La regresión examina la relación entre dos variables restringiendo una de ellas respecto a la otra, con el objeto de estudiar las variaciones de la primera cuando la otra permanece constante. La regresión es un método que se emplea para pronosticar o predecir el valor de una variable en función de los valores dados de la otra o de las otras variables. La regresión lineal simple, se caracteriza porque se tiene la variable de respuesta y Una sola variable explicativa o independiente. Los datos se pueden representar por medio de parejas ordenadas (xi, yi) para i = 1, 2, 3, … , n. En la regresión lineal simple, la media llamada ecuación de regresión:
( y xi )
se relaciona linealmente con los valores x i, por medio de la
( y xi ) i xi .
Donde α y β son los parámetros del modelo, que se
relacionan linealmente, son desconocidos y corresponden a los coeficientes de correlación. El modelo de regresión lineal simple se expresa como se presenta a continuación:
yi xi i
Donde εi es llamado Error Aleatorio o Error del Modelo, el cual tiene como características: Media:
0
y Varianza:
2
la cual no es medible.
Los parámetros se estiman por medio de datos muestrales, obteniendo una ecuación de regresión ajustada. Así cada par de observaciones satisface: Donde a = Estimador de α. b = Estimador de β ei = Los residuales. Se miden así:
yi a bxi ei
ei yi yi
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Grafica: Regresión el Modelo Lineal
Cuando se considera, después de una inspección en la gráfica de dispersión, que una línea recta es la mejor curva que se ajusta al conjunto de puntos se procede entonces a emplear el método de la regresión lineal simple. La mejor línea es aquella que hace mínima la suma de los cuadrados de las diferencias entre los puntos dados y los obtenidos mediante la línea ajustada o estimada. Es por eso que a este método también se le conoce como el método de los mínimos cuadrados. La ecuación de regresión ajustada será:
y a bx
Donde:
y
Variable dependiente (la que se va a predecir) Intercepto de la variable Y Variable predictiva o independiente Pendiente de la recta
a: x b:
En esta ecuación hay dos valores desconocidas: a y b, que deben determinarse aplicando el criterio de los mínimos cuadrados, buscando así la mejor recta que se ajuste a los datos. Para hallar los estimadores a y b, se utiliza las siguientes ecuaciones. la demostración se deja como ejercicio de investigación, es muy interesante.
b
n XY X Y n X X
Donde: b: a: X: Y: n:
2
2
a
Y b X n
Pendiente de la recta Intercepto de la variable Y Valores de la variable independiente Valores de la variable dependiente Tamaño de la muestra
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Algunos autores calcular los valores de a y b en términos de las medias de de los conjuntos de datos con las siguientes dos ecuaciones:
b
n xi y i xi y i
a y bx
n xi2 ( xi ) 2
Donde: xi: Valores de la variable independiente yi: Valores de la variable dependiente n: tamaño de la muestra
EJEMPLO
10.110.1
El departamento de publicidad de una industria alimenticia desea saber si existe una relación entre las ventas y el número de comerciales de televisión transmitidos por día. Para ello, toma una muestra aleatoria de siete ciudades. La siguiente tabla muestra los resultados obtenidos. Tabla: Relación de ventas de un producto y la emisión del comercial en televisión Ventas Cantidad de millones por mes
Comerciales Número transmitido por día
8,4 5,2 7,1 10 12,9 12,1 14,4
9 6 8 11 12 13 14
a-) Diseñar el diagrama de dispersión para identificar el comportamiento de los datos. b-) Determinar la ecuación de regresión estimada. Solución: a-) Para conocer el tipo de relación que puede existir entre estas dos variables, el primer paso es determinar es si el diagrama de dispersión efectivamente insinúa una tendencia lineal. Figura: Diagrama de dispersión de ventas de un producto y la emisión del comercial en televisión
transmitidos por día
Número de comerciales
16 14 12 10 8 6 4 2 0 0
2
4
6
8
10
12
Ventas, cientos de unidades por mes
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14
16
El diagrama confirma la sospecha, se procede ahora a determinar la ecuación de la recta que más se ajusta. b-) Para determinar la ecuación de regresión: mínimos cuadrados. Donde: b
b
n xi y i xi y i n xi2 ( xi ) 2
a y bx
X Millones por mes 8,4 5,2 7,1 10 12,9 12,1 14,4
Y Comerciales 9 6 8 11 12 13 14
XY
X
75,6 31,2 56,8 110 154,8 157,3 201,6
70,56 27,04 50,41 100 166,41 146,41 207,36
70,1
73
787,3
768,19
n xi y i xi y i n x ( xi ) 2 i
y a bx se debe estimar los parámetros, por medio de los
2
2
7 * 787,3 (70,1)(73) 393,8 0,85 463,32 7 * 768,19 (70,1) 2
a 10,43 0,85 *10,01 1,92 Con la otra ecuación: a Así la ecuación de regresión ajustada es:
Y b X n
73 (0.85 70,1) 13,415 1,92 7 7
y 0,85x 1,92 EJEMPLO
Con los datos del ejemplo anterior, cual serían las ventas si se pasan: a-) 10 comerciales b-) 7 comerciales. Solución:
y 0,85(10) 1,92 10,42 Millones por mes y 0,85(7) 1,92 7,87 Millones por mes.
a-) Como x = 10. Entonces: b-) Para x = 7.
10.110.1
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Lección 11: Relación y Correlación CORRELACIÓN: La correlación es una medida del grado de asociación entre las variables explicativas, respecto al variable de respuesta. El análisis de correlación mide ―La Fuerza‖ de relación entre las dos variables a través del llamado coeficiente de correlación de Pearson. Se representa con r siendo este un valor entre -1 y 1. Si el coeficiente de correlación r es igual o menor que uno, nos indica que tanto la covarianza, como los coeficientes angulares, son negativos y por tanto la recta será descendente, por ser la pendiente negativa. Además si es igual a -1, nos indica que existe una relación inversa perfecta entre las variables. Para el caso de que r sea positivo, la recta es creciente y si es igual a 1, indica que existe una relación directa perfecta. En estas condiciones, cada valor de la variable deberá ser exactamente igual al estimado y, por tanto la varianza residual es igual a cero; además, la varianza explicada igual a la varianza total. Figura: Gráficas de dispersión lineal (a) positiva
(b) negativa Y
Y
(a)
(b) X
X
Propiedades: a-) El coeficiente de correlación no depende de los valores de x e y. b-) El valor del coeficiente es independiente de las unidades de x e y c-) El valor del coeficiente está entre -1 y 1: -1 ≤ r ≤ 1 d-) Cuando r = 0, entonces no existe correlación lineal entre las variables. e-) Cuando r = 1, existe correlación positiva perfecta y además es directa, en estos casos hay dependencia total entre las variables. f-) Cuando r = -1, existe correlación negativa perfecta y además es inversa, en estos casos también hay dependencia total entre las variables.
El coeficiente de correlación poblacional se define como:
xy x y
σxy: Covarianza de x e y. σx y σy Desviación típica de las distribuciones marginales de x e y. Si (x i, yi) son valores de una muestra aleatoria proveniente de una población bivariada, entonces el coeficiente de correlación muestral esta dado por:
r
s xy s xx s yy
Donde:
s xy xi yi
1 xi yi n
s xx xi2
1 xi 2 n
s yy yi2
1 yi 2 n
Es pertinente tener presente que si se tiene dos correlaciones: r1 = 0,3 y r2 = 0,9 está indicado que las dos son positivas, pero NO se puede pensar que: r2 = 3r1
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EJEMPLO
10.110.1
Un estudio sobre la transformación de una sustancia en cierto proceso a diferentes temperaturas, originó la siguiente tabla: x y
0
C Kg
1,0 8,1
1,1 7,8
1,2 8,5
1,3 9,8
1,4 9,5
1,5 8,9
1,6 8,6
1,7 10,2
1,8 9,3
1,9 9,2
2,0 10,5
Hallar el coeficiente de correlación de Pearson e interpretar el resultado. Solución: x 1,0 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 1,7 1,8 1,9 2,0 16,50
r
y 8,1 7,8 8,5 9,8 9,5 8,9 8,6 10,2 9,3 9,2 10,5 100,4
x
2
1,0 1,21 1,49 1,69 1,96 2,25 2,56 2,89 3,24 3,61 4,0 25,85
2
y 65,61 60,84 72,25 96,04 90,25 79,21 73,96 104,04 86,49 84,64 110,25 923,58
xy 8,1 8,58 10,2 12,74 13,3 13,35 13,76 17,34 16,74 17,48 21,0 152,59
s xy s xx s yy
1 16,50100,4 1,99 11 1 2 s xx 25,85 16,50 1,1 11 1 2 s yy 923,58 100,4 7,201 11 1,99 1,99 r 0,708 1,1 7,201 2,81 s xy 152,59
Como r es positivo y relativamente grande, entonces hay una alta relación entre las variables temperatura y cantidad de masa, lo que nos indica que a mayor temperatura, mayor cantidad de transformación de masa.
DETERMINACIÓN: El coeficiente de determinación es una medida de la bondad de ajuste del modelo de regresión. El coeficiente de determinación establece el grado de proporción de la variación total de la variable de respuesta, (Y) que es explicado por el modelo, específicamente por la variación de la variable explicativa. Lo anterior significa que es necesario medir el porcentaje de la información recogida o explicada por el modelo de regresión obtenido.
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Medidas de Variación: Por el análisis de regresión, se sabe que el i-ésimo residual
ei yi yi se puede
minimizar por el método de mínimos cuadrados, cantidad conocida como la suma de cuadrados del error SSE, el cual es la medida del error que se comete cuando se utiliza la ecuación de regresión, para hallar yi a partir del modelo obtenido.
2 SSE yi yi
De la misma manera, para el i-ésimo valor de la variable de respuesta yi, se tiene la diferencia
yi y que es
y para estimar el valor de la variable de respuesta, obteniendo lo
la medida del error ocasionado al utilizar llamado suma total de cuadrados SST.
SST yi y
2
La otra medida de regresión, es la desviación de los valores estimados medidos en la línea de regresión respecto al valor promedio, originando la llamada suma de cuadrados de la regresión SSR. 2 SSR yi y
Las tres sumas de cuadrados, se relacionan en una de las ecuaciones más importantes en estadística: SST = SSR + SSE A partir de la ecuación anterior, se puede ver que el modelo ajusta perfectamente cuando
yi yi 0 esto
indica que el valor de la variable de respuesta estaría sobre la línea de regresión. Así como SSE = 0, entonces SST = SSR. Tomando esta ecuación, se hace la siguiente relación.
SST SSR SSR 1 Ajuste perfecto. SST SST SST Entonces el Coeficiente de Determinación:
Lo anterior significa:
r
2
y y
y
r2
2
i
y
2
i
SSR SST
Variación exp licada Variación total
El coeficiente de determinación toma valores entre 0 y 1, inclusive. Cuando el coeficiente es cercano a uno, indica que el modelo es explicado muy bien por la línea de regresión. Cuando el coeficiente es cercano a cero, entonces la variación de la variable de respuesta no es causada por la variable explicativa. Resumiendo: Cuando r 1 hay dependencia total de y respecto a x. r 0 hay independencia entre las variables. 2
2
Obtención de las Variaciones: Las variaciones SST y SSR, se pueden calcular de la siguiente manera:
SST yi2
1 xi yi n
1 xi y i n xi yi SSR 1 2 xi2 n xi
2
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EJEMPLO Un estudio sobre la transformación de una sustancia en cierto proceso a diferentes temperaturas, originó la 10.110.1 siguiente tabla: x y
0
C Kg
1,0 8,1
1,1 7,8
1,2 8,5
1,3 9,8
1,4 9,5
1,5 8,9
1,6 8,6
1,7 10,2
1,8 9,3
1,9 9,2
2,0 10,5
Hallar el coeficiente de determinación e interpretar el resultado. Solución: x 1,0 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 1,7 1,8 1,9 2,0 16,50
y 8,1 7,8 8,5 9,8 9,5 8,9 8,6 10,2 9,3 9,2 10,5 100,4
x
2
1,0 1,21 1,49 1,69 1,96 2,25 2,56 2,89 3,24 3,61 4,0 25,85
2
y 65,61 60,84 72,25 96,04 90,25 79,21 73,96 104,04 86,49 84,64 110,25 923,58
xy 8,1 8,58 10,2 12,74 13,3 13,35 13,76 17,34 16,74 17,48 21,0 152,59
1 16,50100,4 772,98 11 2 1 2 152,59 11 16,50100,4 1,99 3,60 SSR 1 2 1,1 25,85 16,50 11 SST 923,58
2
r = 0,004657 Lo que indica el coeficiente es que sólo el 0,4657% de la variación, es explicada por el modelo.
Lección 12: Regresión Múltiple. Cuando se emplea más de una variable independiente para evaluar una variable dependiente es conveniente utilizar un método de regresión múltiple, que consiste en el mismo procedimiento de una regresión lineal simple: describir la ecuación de regresión, determinar el error de estimación y analizar la correlación entre las variables. A continuación se desarrollarán estos conceptos suponiendo dos variables independientes. Para más variables independientes, sólo basta con seguir los mismos pasos. La ecuación de regresión está dada por:
Y a b1 X 1 b2 X 2
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Donde: Variable dependiente. Yˆ : a: Intercepto de la variable Y. X 1 , X 2 : Valores de las dos variables independientes.
b1 , b2 : Pendientes asociadas con cada variable independiente, respectivamente. Los valores de las tres constantes numéricas se obtienen resolviendo el siguiente sistema de ecuaciones:
Y na b X b X X Y a X b X b X X X Y a X b X X b X 1
1
1
1
2
2
2
2
2 1
1
1
2
1
2
1
2
2
2 2
Una vez obtenida la ecuación de regresión, se determina el error estándar de la estimación de regresión múltiple:
Se
(Y Y ) n3
2
Se
Y
2
a Y b1 X 1Y b2 X 2Y n3
Y el coeficiente de determinación múltiple, estará dado por:
R 2
a Y b1 X 1Y b2 X 2Y ny
Y
2
ny
2
2
Donde:
Y:
Valores de la variable dependiente.
a: Intercepto de la variable Y. X 1 , X 2 : Valores de las dos variables independientes.
b1 , b2 : Pendientes asociadas con cada variable independiente, respectivamente. y:
Media de los valores de la variable dependiente.
EJEMPLO
10.110.1
El jefe de producción de una empresa manufacturera desea estimar los gastos indirectos de producción con base en el número de horas de trabajo y en el número de horas máquina. En la siguiente tabla se relaciona la información correspondiente al primer semestre del año. El jefe de producción define: X1 : Horas de trabajo (cientos). X2 : Horas de máquina (cientos) Y : Gastos indirectos de producción (cientos de miles de pesos)
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Tabla: Gastos indirectos de producción Mes Enero Febrero Marzo Abril Mayo Junio TOTAL
X1 45 42 44 45 43 46 265
X2 16 14 15 13 13 14 85
Y 29 24 27 25 26 28 159
X1 Y 1305 1008 1188 1125 1118 1288 7032
Y na b X b X X Y a X b X b X X X Y a X b X X b X 1
1
1
1
2
2
2
1
1
X2Y 464 336 405 325 338 392 2260
1
2
2
1
X1 2025 1764 1936 2025 1849 2116 11715
X2 256 196 225 169 169 196 1211
2
2
2260 85a 3756b1 1211b2
(3)
Ecuación (1) multiplicada por 85/6 y restada por la ecuación (3):
2252.5 85a 13754.17b1 1204.17b2 2260 85a 3756b1 1211b2 7.5 1.83b1 6.83b2
(4)
Se despeja la variable b1 de la ecuación (4):
7.5 6.83b2 1.83
Ecuación (1) multiplicada por 265/6 y restada por ecuación (2):
7022.5 265a 11704.17b1 3754.17b2 7032 265a 11715b1 3756b2 9.5 10.83b1 1.83b2
(5)
Variable b1 reemplazada en la ecuación (5):
7.5 6.83b2 9.5 10.83 1.83b2 1.83 7.5 6.83b2 b2 reemplazada en la ecuación (4): b1 0.7 1.83 a
(1) (2)
2 2
b1
2
Y 841 576 729 625 676 784 4231
7032 265a 11715b1 3756b2
Se resuelve el sistema de ecuaciones:
b1 y b2 reemplazada en la ecuación (1):
2
159 6a 265b1 85b2
2
2 1
2
X1X2 720 588 660 585 559 644 3756
b2
67.19 0.91 73.97
159 265b1 85b2 17.31 6 Página 90 de 177
Se obtiene así la ecuación de regresión múltiple:
Y a b1 X 1 b2 X 2
Y 17.31 0.7 X 1 0.91X 2
Ejercicios: 1. Explique claramente en qué consiste el proceso de regresión. 2. Cuál es la utilidad del coeficiente de regresión y de determinación. 3. La Compañía LISTO, ha obtenido los siguientes resultados con respecto al costo de la mano de obra directa y la cantidad de unidades producidas (en miles), de la siguiente manera: Mano de Obra Producción
18 44
23 60
15 40
21 56
30 80
26 70
28 74
27 71
29 78
19 48
22 64
24 69
Con la información anterior se requiere lo siguiente: a-) Estimar el valor mínimo de la mano de obra directa que debe obtenerse para una producción de 72.870 unidades. b-) Determinar que tanto están relacionadas las variables en estudio. c-) Explicar que tan confiable es la bondad de ajuste del modelo: mano de obra directa en función de la producción. 4. Una oficina de finca raíz está interesada en analizar si la renta de los apartamentos que arrienda son típicas, por tanto, a escogido una muestra aleatoria de 11 alquileres y del tamaño de los apartamentos de edificios similares. Los datos se transcriben enseguida. Renta 230 190 450 310 218 185 340 245 125 350 280 No habitaciones 2 1 3 2 2 2 1 1 2 1 1 a-) Desarrolle el modelo de regresión lineal simple que mejor describa el fenómeno b-) Hacer el diagrama de dispersión de los datos c-) Calcular el coeficiente de regresión y determinación d-) Hacer el grafico ajustado según el modelo obtenido. e-) Realizar los análisis correspondientes del caso en estudio. 5. Una compañía de ahorro y crédito, desea saber cómo son afectadas las ventas de viviendas por diferentes tasas de interés. Durante ocho meses se recopiló la información y se obtuvo el siguiente resultado: Tasa de interés (%) 7 6.5 5.5 6 8 8.5 6 6.5 Ventas de viviendas 23 38 45 36 16 18 39 41
a. b. c. d. e.
Estimar las ventas en función de la tasa de interés. ¿Cuántas viviendas se pueden vender si el interés es del 7.5%? Determinar el error estándar del estimado. ¿Es confiable el modelo? Calcule el tipo de asociación entre las variables.
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UNIDAD DOS PRINCIPIOS DE PROBABILIDAD
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CAPÍTULO 4: FUNDAMENTACIÓN EN PROBABILIDAD Lección 13: Historia de la Probabilidad Para hablar del origen de la probabilidad, se presentan discrepancias, ya que algunos lo reconocen como una ciencia relativamente reciente, edad media e inicios de la edad moderna. Pero es pertinente hacer un recorrido a través de la historia, para conocer cómo ha evolucionado tan interesante ciencia estadística, lo cual se estudiará en tres fases. ANTECEDENTES. JUGOS DE AZAR: Se tienen evidencias arqueológicas del antiguo Egipto, Pompeya, Irak y otros, sobre ―Dados‖ elaborados en hueso, cristal piedra, marfil, madera y arcilla, que estaban tallados, dando la percepción de que eran Dados Perfectos. Algunos estudiosos consideran que en la sitiada Troya, se origino los juegos de azar, pretexto de las largas jornadas de espera (10 años) que los soldados debían soportar en dicho asedio. Los primeros juegos de azar de que se tenga evidencia, además de los dados son las cartas, los cuales se utilizaban con propósitos adivinatorios. En el Imperio Romano, se tenía la ley de prohibición de éste tipo de juego y, solo se podía practicar en ciertas épocas del año. Este tipo de eventos se hicieron tan populares que hasta el Cesar lo practicaba en cualquier momento, según historiadores de esta civilización. En la Europa se presentaban leyes de prohibición de juegos de este tipo, auspiciado por la Iglesia Cristiana, quienes consideraban que este tipo de prácticas eran artificios del demonio, para desviar sus principios cristianos. En Francia Luis IX prohibió los juegos de azar y la elaboración de dados. En Inglaterra, Eduardo III y Enrique VIII, incluyeron los dados y cartas en una lista de juegos prohibidos, estimulando otro tipo de juegos, como el tiro con el arco. Sin embargo, a pesar de la prohibición este tipo de juegos se hizo cada vez más popular, lo que motivo a algunos pensadores a darles algún tipo de explicación desde el punto de vista matemático. Lo anterior con el fin de conocer las ventajas o desventajas de apostar. El tema motivo a los científicos del Renacimiento a realizar estudios, con la inquietud del porque no se había analizado con anterioridad, a lo cual Kendall sugiere varios motivos que impidieron la evolución del Cálculo de Probabilidades, antes del siglo XVI. 1. 2. 3. 4.
Desconocimiento del Álgebra Combinatoria que resolviera situaciones de juegos. Ausencia de la noción de suceso aleatorio Barreras morales y religiosas impuestas en contra de los fenómenos de azar y aleatoriedad. Superstición de los jugadores.
Otros pensaban que la falta de simetría y de equiprobabilidad en el lanzamiento de los dados, eran obstáculos al desarrollo del cálculo de probabilidad, pero se pudo saber que algunos de los dados diseñados presentaban simetría perfecta. Sin embargo quedaron muchos interrogantes sin respuesta. EL CÁLCULO ARITMÉTICO: En el renacimiento, el espíritu inquieto, ansioso, rebelde y renovador de los científicos, motivo darle importancia al estudio de fenómenos de azar, así es pertinente nombrar los que se consideran que dieron aportes relevantes al estudio de la probabilidad. Lucas Paccioli, (1.445 – 1.514) Geómetra y Matemático Italiano, aunque sus aportes son más conocidos en el área de la Contabilidad, por su formulación del Método Anfisográfico o de partida doble contable. Pero también fue precursor el Cálculo de Probabilidades, planteando los juegos de azar, donde su objetivo era hallar la solución a problemas específicos más que una teoría sobre probabilidad.
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Gerolamo Cardano, (1.501 – 1.576) Célebre matemático, médico y astrónomo Italiano, pero también tenia la fama de Jugador, por lo cual se motivo a estudiar sobre teoría acerca de juegos de azar. En sus libro; el primero escrito, sobre juegos de azar escrito en 1.560, pero publicado sólo hasta 1.663. La idea central de la obra era la idealización explícita del número de alternativas iguales basadas en un dado ideal. Para Cardano cuando el número de observaciones es pequeño, la frecuencia puede desviarse sustancialmente de la probabilidad de ocurrencia. Pero si el número de repeticiones es grande, la desviación es despreciable, así aparece rudimentariamente la conocida Ley de los Grandes Números. Sus aportes más significativos fue en al solución de ecuaciones de tercer y cuarto grado, donde ofrece una metodología de solución general a este tipo de ecuaciones. También propone la solución de un caso particular de la ecuación de tercer grado. Nicollo Tartaglia, (1.499 – 1.557) Nicolo Fontana; su verdadero nombre, gran matemático y Geometra Italiano, autodidacta. Sus esfuerzos se centraron en buscar una técnica de solución de ecuaciones de tercer grado. Respecto a la Probabilidad, sus aportes fueron a la búsqueda de solución para problemas de combinatorias que estaban relacionadas con juegos, disertando la solución dada por Paccioli al problema del reparto de la apuesta en el caso del juego interrumpido. Diseño el llamado Triángulo de Tartaglia, que determina los números combinatorios.
Triángulo de Tartaglia Galileo Galilei, (1.564 – 1.642) Matemático, Físico, Astrónomo y Filósofo, nacido en Pisa (Italia). Considerado el gestor de la revolución científica y de la ciencia moderna. Sus aportes a las ciencias son innumerables, no dejando de aportar a la Probabilidad. En este campo se dedico a analizar problemas sobre juegos de azar, por ejemplo hace el análisis de los posibles sucesos que se pueden obtener, cuando se lanzan tres dados. Su ingenio lo llevo a intuir sobre la ―Teoría del error‖. Existía un problemas son la estimación de errores en mediciones astronómicas, a lo cual galileo comenta que ―..Los errores en las mediciones son inevitables…‖, los cuales están simétricamente distribuidos. Blaise Pascal, (1.623 – 1.662) Matemático, Físico, Filósofo y Teólogo, nacido en Clermont (Francia), se le considera el padre de la computadora junto con Babbage, contribuyó de manera efectiva en la teoría matemática de la probabilidad. En intercambio con Fermat, desarrollo fuertemente la teoría de probabilidad. La motivación de los estudios de Pascal fue los problemas con apuestas que tenía el llamado Caballero de Meré (1.607 – 1.684) de la corte de Luis XIV, quien le planteó a Pascal el conocido problema de los puntos, lo que
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se asume motivo la Correspondencia entre Pascal y Fermat. Pascal le envía a Fermat una carta el 29 de julio de 1.654 en donde le expone el problema de los puntos: ―Dos jugadores han pactado el juego a tres rondas y cada uno apuesta 32 pistolas; el primero ha ganado dos veces y el segundo solamente una vez”. Pascal argumenta que para encontrar la distribución justa en la apuesta realizada es * ―... si ellos juegan otra ronda y el primero gana, este se lleva toda la apuesta, esto es, las 64 pistolas; si el otro gana, entonces cada uno tiene dos rondas a su favor, en cuyo caso, si desean parar el juego, cada uno deberá tomar su propia apuesta, esto decir, 32 pistolas, Entonces, si el primer jugador gana, este se queda con las 64 pistolas, si pierde se queda con 32, solamente. Luego, si ellos no desean correr el riesgo de una última ronda y desean separarse del juego, el primer jugador argumentaría lo siguiente: Estoy convencido que me corresponden 32 pistolas, aún cuando pierda la ronda, ellas me pertenecen; con relación a las otras 32, existen las mismas posibilidades de que sean para usted como para mí. Entonces dividamos estas 32 pistolas en partes iguales y déme una de ellas, así como las 32 que de seguro son mías‖. En resumen, al primer jugador le corresponden 48 pistolas y al segundo 16; en otras palabras, Pascal propone que la apuesta se divida de acuerdo a las probabilidades que tendrían los jugadores de ganar en caso de que el juego continuara. * APUNTES DE HISTORIA DE LAS MATEMÁTICAS VOL.1, NO.1, ENERO 2002/ 61 En la misma carta, Pascal encuentra la distribución justa de la apuesta para otros casos usando el mismo tipo de situaciones, con argumentos relativamente simples, pero se consideraron inadecuados en situaciones más complicadas. En los intercambios con Fermat, Pascal propone una solución general al Problema de los Puntos para juegos en los que participan dos personas, apoyándose en resultados sobre el triángulo aritmético, que había obtenido en 1653. Así pues, Pascal dio dos soluciones al Problema de los Puntos: Una para casos particulares y Otra de manera general, que en su opinión diferían de la solución de Fermat. Dentro de sus grandes aportes a la probabilidad y en el análisis de las apuestas, surge el concepto de Esperanza Matemática, a partir de argumentar que el cálculo de probabilidades es función de la esperanza matemática que cada jugador tiene de ganar. Pero también dio los principios sobre la Teoría de la Decisión. Pierre de Fermat, (1.601 – 1.665) Matemático y Jurista, nacido en Beaumont – de – Lomagne (Francia), junto con Descartes, fue un de los principales Matemáticos de la primera mitad del siglo XVII, descubrió el cálculo diferencial antes que Newton y Leibniz, gestor de la teoría de probabilidad junto con Pascal, pero es conocido también por sus aportes a la Teoría de Números, especialmente el famoso ―Ultimo Teorema de Fermat‖, el cual fue resuelto en 1.995. La correspondencia con Pascal sobre el problema planteado por el Caballero de Meré. La carta original de Fermat, en la que se supone describe su método de solución, se extravió; sin embargo, sus argumentos se han podido reconstruir de una carta que Pascal envió a Fermat el 24 de agosto de 1654. El problema que Fermat se plantea es el siguiente: * Dos individuos, A y B, que participan en una serie de juegos se encuentran en la situación de que el primero necesita ganar dos juegos y el segundo tres para ganar la apuesta; ¿cómo podemos encontrar la distribución justa de la apuesta?, en su planteamiento, Fermat ya no hace referencia a los juegos ganados que tiene cada individuo sino a la cantidad de juegos que le falta a cada uno para llevarse la apuesta completa. La solución de Fermat es la siguiente: El juego puede continuarse a lo más en cuatro rondas. ¿Cuáles son los resultados posibles para estas cuatro rondas? Indiquemos con el símbolo + las victorias de A y con el símbolo - las victorias de B. Existen 16 resultados posibles, los cuales se describen en siguiente tabla. 1 + + + +
2 + + + -
3 + + +
4 + + +
5 + + +
6 + + -
7 + + -
8 + + -
9 + +
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10 + +
11 + +
12 +
13 + -
14 + -
15 + -
16 -
De los 16 resultados posibles, las primeros 11 favorecen a A y los restantes a B. En consecuencia, al jugador A le corresponden 11/16 de la apuesta y a B le corresponden 5/16. Es decir, la distribución justa de la apuesta es 11::5. * APUNTES DE HISTORIA DE LAS MATEMÁTICAS VOL.1, NO.1, ENERO 2002 62 Los métodos de solución para el problema del Caballero de Meré, dados por Pascal y Fermat, eran similares, por tal razón de les da el calificativo de gestores del cálculo de probabilidades. Christiaan Huygens, (1.629 – 1.695) Matemático, Físico y Astrónomo, nacido en La Haya (Holanda), en su libro ―De ratiociniis in ludo aleae‖ publicado en 1.656, deja ver lo relacionado al cálculo de juegos de azar, considerado el primer manual sobre Cálculo de Probabilidades. En éste deja ver la solución del Problema de los Puntos de forma general con un método diferente a los empleados por Pascal y Fermat, introduciendo formalmente el concepto de Esperanza Matemática, como una generalización de la media aritmética. También resolvió algunos problemas planteados por Pascal y Fermat. Trabajó sobre problemas Demográfico – Actuariales, construyendo una curva de mortalidad y definiendo claramente la noción de Vida Media y Esperanza de Vida. La obra de Huygens se considero la más importante aportación teórica de probabilidad de dicho siglo, esto hizo ejercer gran influencia en los trabajos de Bernoulli y De Moivre.
LA PROBABILIDAD MODERNA: El desarrollo de la probabilidad actual, fue dinamizada desde finales del siglo XVII, al igual que en las épocas anteriores hubo varios investigadores que aportaron a tal fin. Veamos los más representativos. Jacob Bernoulli, (1.654 – 1.705) Matemático y Científico Suizo, hermano mayor de Johann Bernoulli, de la dinastía Bernoulli. Su aporte fundamental se dio por medio de su obra: Ars Conjectandi, el Arte de la conjetura, un trabajo relevante en la Teoría de Probabilidad. La obra fue publicada por su sobrino Nicholas Bernoulli en el año 1.713, ocho años después de su muerte. Por medio de este trabajo la Probabilidad adquiere la categoría de Ciencia. La obra esta compuesta de cuatro partes: Primera Parte: Explicación crítica de la obra expresada por Huygens, usado por Bernoulli para dar a conocer su punto de vista sobre los problemas de azar, así logró obtener la fórmula de la Función de Probabilidad para esquemas dicotómicos con n repeticiones, conocida actualmente como la ―Distribución de Bernoulli‖. Segunda Parte: En esta parte Bernoulli, hace un completo manual sobre el tema de combinatoria, necesario para resolver problemas de probabilidad, complementado los estudios realizados por Pascal y Leibniz. Tercera Parte: Plantea 24 problemas diferentes de probabilidad con su respectiva solución. Cuarta Parte: En esta parte están los aportes más relevantes para la probabilidad. Por un lado explica la concepción subjetiva de Probabilidad, por otro lado la demostración detallada del que se denomino Teorema Aureo,, conocido actualmente como Ley de los Grandes Números. Abraham De Moivre, (1.667 – 1.754) Matemático nacido en Champagne (Francia) un Autodidacta, leyó y analizó el trabajo de Huygens. En 1.711
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publicó sus memorias ―De mensura sortis‖ en latín en la revista Philosophical Transactions of the Royal Society. En 1718, publicó su libro ―The Doctrine of Chance: A method of calculating the probabilities of events in play‖. En dicha obra explicita el principio de la Independencia Estadística. Además, problemas de dados y juegos. En la segunda edición de la obra publicada en 1.738 presenta el Teorema Límite para fenómenos dicotómicos. Otro trabajo interesante de este matemático fue el que denominó ―Miscellanea Analytica‖ donde aparece la fórmula de Stirling que utilizó para derivar la curva normal como una aproximación a la distribución Binomial. También logró obtener una aproximación para n!, equivalente a la obtenida por Stirling. Es pertinente comentar que resultados tradicionalmente atribuidos a Laplace y Poisson, se encontraron en la obra de De Moivre. Daniel Bernoulli, (1.700 – 1.782) Matemático Suizo, hijo de John Bernouulli. Daniel fue un de los más destacados matemáticos y científicos de la última década del siglo XVIII. Una de sus principales trabajos fue la famosa paradoja de San Petersburgo, relacionada con la teoría de probabilidad y de Decisión, específicamente sobre la teoría para medir el Riesgo. Uno de los primeros intentos para analizar estadísticamente problemas relacionados con data censal fue el análisis que hizo Bernoulli en 1766 sobre la mortandad de la viruela y la eficacia de la vacunación. Pero la más importante aportación fue la famosa distribución llamada con su nombre: Distribución de Bernoulli, es una distribución discreta de probabilidad, para valores dicotómicos: p como éxito y q como fracaso. Jean D’Alembert, (1.717 – 1.783) Matemático y físico Francés, planteó que en probabilidades muy pequeñas, se podría considerar equivalente a cero, por lo cual, se podría asumir que dichos sucesos no ocurrirían. Su teoría sobre “Ley de Equilibrio” supone un equilibrio de éxitos y fracasos de ciertos eventos, para una serie larga de dichos eventos. Thomas Bayes, (1.702 – 1.761) Matemático y Teólogo Británico, su obra no reconocida en ese entonces, inicia con el planteamiento del siguiente problema: Dado el número de veces en el cual un suceso desconocido tiene lugar y ha fallado; se requiere la probabilidad de que la posibilidad de ocurrencia en un único ensayo, este comprendida entre dos valores que pueden ser dados. Otro aporte de su obra es la definición sobre relaciones entre sucesos. Seguido enuncia y prueba siete teoremas. Pero el trabajo más reconocido de Bayes es el reconocido y famoso ―Teorema de Bayes‖, que en síntesis hace referencia a la probabilidad de un suceso condicionado por la ocurrencia de otro. El teorema resuelve el problema conocido como ―De la probabilidad inversa‖; es decir, valorar desde el punto de vista probabilistico, las posibles condiciones que rigen el supuesto de haber observado cierto suceso, situación denominada ―de probabilidad inversa". Con este aporte se da origen a la llamada Inferencia Bayesiana, cuyo principio es tomar la probabilidad (Probabilidad Inductiva) como una creencia más que una frecuencia, ya que se procura sacar conclusiones generales (enunciar leyes) a partir de lo objetivamente observado, y no viceversa. Adrien Marie Legendre, (1.752 – 1.833) Matemático Francés, fue uno de los primeros que aporto al desarrollo de la probabilidad en los inicios del siglos XIX, inicialmente sobre los aportes al modelo lineal, por medio del desarrollo del Método de Mínimos Cuadrados, que posteriormente fue perfeccionado por Gauss. El método es muy utilizado para hacer estimación de parámetros.
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Carl Friedrich Gauss, (1.777 – 1.855) Matemático, Astrónomo y Físico, nacido en Brunswick (Alemania), considerado el Matemático más grande de la Historia, ya que sus aportes han influenciado significativamente las Matemáticas y las Ciencias en general. Entre los aportes a la probabilidad, está el perfeccionamiento de método de Mínimos Cuadrados, considero que en la teoría de probabilidad, se incluyera el análisis de los errores en las observaciones, desarrollo la muy conocida ―Ley Normal‖ o Ley de Gauss, desarrollo la distribución muestral de medias en muestreo donde loa datos provienen de distribuciones normales. Gauss es el padre de la moderna teoría de errores.
Descubrió que la función de distribución de los errores es
( x)
x2 2
e h , la célebre campana de Gauss. h
También investiga sobre la distribución hipergeométrica y sobre estimadores.
Pierre Simon De Laplace, (1.749 – 1.827) Matemático, Astrónomo y Físico Francés, se le llamó ―El Newton de Francia‖ por algunos de sus descubrimientos. Buen amigo de Napoleón, prominente matemático que con sus descubrimientos y trabajos en el campo de la probabilidad, fueron de gran impulso sobre la actual estadística. Su trabajo denominado ―Thèorie Analytique des Probabilities‖ publicada en el año 1.912 y donde deja establecido la definición básica de probabilidad, partiendo del principio de razón insuficiente. Otro aporte de su obra fue la definición de las Funciones Generatrices, muy utilizado hoy día en teoría estadística. Profundizó sobre el método de mínimos cuadraos y sobre demografía. Pero se considera que la principal aportación que dejo Laplace fue la demostración rigurosa de uno de los teoremas más importantes en estadística. Teorema Límite. Laplace extiende el teorema de De moivre a otros casos donde p no sea necesariamente ½, haciendo una completa demostración de convergencia, que posteriormente Poincaré llamo Ley Normal. En el año 1.814 escribe un trabajo fija una postura Filosófico – Metodológico sobre el concepto de Azar y el papel de la Probabilidad en situaciones en que el conocimiento del Ser Humano no es completo. Laplace creó una curiosa fórmula para expresar la probabilidad de que el Sol saliera por el horizonte. Él decía que la probabilidad era: (d + 1) / (d + 2), donde d es el número de días que el sol ha salido en el pasado. Laplace decía que esta fórmula, que era conocida como la regla de sucesión, podía aplicarse en todos los casos donde no se sabe nada. Simeon Denis Poisson, (1.781 – 1.840) Matemático y Físico, nacido en Sceaux (Francia) Alumno de Laplace y Lagrange, dentro de sus trabajos se conocen: La ecuación de Poisson, Ley de Poisson, Distribución de Poisson, procesos Poisson, muy aplicados en diversos campos del conocimiento. Dentro de sus investigaciones encontró la conocida ―Ley de los Grandes Números‖, la cual supera el teorema límite de Bernoulli, especialmente sobre la convergencia de la distribución Binomial, en aquellos casos donde el número de repeticiones se hace suficientemente grande (n → α) y a su vez la probabilidad se acerca a cero (p → 0). Dicha distribución se le denominó ―Ley de los Pequeños Números‖ y posteriormente ―Ley de los Sucesos Raros‖.
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Para completar este recorrido por la historia de la probabilidad, no podemos olvidar los aportes relevantes de la Escuela de San Petersburgo (Rusia), que dejo marcado el camino de la probabilidad de manera robusta.
Pafnuttii Lvovich Chebychev, (1.821 – 1.894) Nacido en Okatovo (Rusia). En 1.846 defendió su tesis "Un intento de análisis elemental de la teoría probabilística". Es conocido por su trabajo en el área de la probabilidad y estadística. La desigualdad de Chebychev dice que la probabilidad de que una variable aleatoria esté a una distancia de su media en más de a veces, la 2 desviación típica es menor o igual que 1/a . Si E(X) es la media (esperanza matemática) y σ es la desviación típica, entonces:
P X E ( X ) a
1 para todo número real positivo a. La desigualdad a2
de Chebychev se emplea para demostrar que la ley débil de los grandes números.
Andreí Markov, (1.856 – 1.922) nació en Ryazán (Rusia) Fue discípulo de Chebychev, se doctoró en la Universidad de San Petersburgo. Se le recuerda por sus resultados relacionados con la Teoría de Probabilidad, en el año 1.887 completo una demostración que le permitió generalizar el Teorema Central del Límite, el cual había trabajo con anterioridad Chebychev. Se le conoce más por su trabajo sobre los llamados Procesos Estocásticos, fenómenos aleatorios que fueron analizados y concentrados en los llamados ―Procesos de Markov‖ y específicamente las Cadenas de Markov. Una herramienta esencial en áreas como la Economía, Ingeniería, Investigación de Operaciones y muchas más. Permite analizar fenómenos aleatorios a través del tiempo y pronosticar a corto plazo.
Richard Von Mises, (1.883 – 1.953) Matemático nacido en Lemberg (Austria), profesor de las Universidad de Berlín y Harvard. Su obra denominada: ―Fundamentos del Cálculo de Probabilidades‖ publicada en 1.919 y donde hace referencia a las frecuencias relativas y a partir de esto planteó la definición frecuentista de probabilidad tal y como se conoce en la actualidad. Uno de sus estudios sobre Teoría de las probabilidades: Problema del Cumpleaños, cuyo principio es que si se elige en un grupo aleatoriamente un par de personas, la probabilidad de que coincidan en sus cumpleaños. En un grupo de 23 o más personas elegidas aleatoriamente, hay una probabilidad superior al 50% que cierto par de personas tendrá el mismos cumpleaños.
Entre sus escritos se rescatan: Teoría matemática de la probabilidad y de la estadística, Nueva York, prensa académica, 1964. y Probabilidad y estadística, generales, Society matemática americana, 1964.
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Andrei Nikoláyevich Kolmogorov, (1.903 – 1.987) Matemático, nacido en Tambor (Rusia), desarrollo la base axiomática, el cual fue el pilar de la Teoría de Probabilidad, a partir de la teoría de conjuntos. En 1.993 publica su libro ―Los Fundamentos de la Teoría de la Probabilidad‖ en donde se dejan sentadas las bases modernas de la teoría axiomática de probabilidad, adquiriendo reputación como experto en dicha área. En 1.938 por medio de un documento deja ver algunos teoremas básicos de alisado y predicción de procesos estocásticos estacionarios, lo cual fue muy útil en aspectos militares, durante la guerra fría. En la misma línea de los procesos estocásticos, (Procesos Aleatorios) basado en los estudios de Markov, el Matemático Británico Chapman y los suyos propios, desarrolló de manera independiente el conjunto de ecuaciones fundamentales de dicha área, conocidas como ―Ecuaciones de Chapman – Kolmogorov‖. Este matemático Ruso, aporto a diversas áreas de conocimiento, respecto a la Probabilidad, se le reconoce los trabajos sobre: Los Tres Axiomas de Kolmogorov, son la base de la teoría de probabilidad axiomática y más aceptada en la actualidad. Prueba de Kolmogorov – Smirnov, prueba no paramétrica para determinar la bondad de ajuste de dos distribuciones de probabilidad entre ellas. La ecuación de Chapman – Kolmogorov, que dentro de los procesos estocásticos markovianos, se considera una identidad sobre las distribuciones de probabilidad conjunta. La Ley Cero – Uno de Kolmogorov, hace referencia a que cierto tipo de evento, llamado ―Evento de Cola‖, que son aquellos definidos por una sucesión infinita de eventos independientes, el valor dado a estos eventos son cero o uno. Es evidente que existen otros investigadores, que han aportado a la teoría de probabilidad, especialmente a la teoría moderna.
Emile Borel, (1.871 – 1.956), Matemático y Político Francés, fue uno de los pioneros de la conocida ―Teoría de la Medida‖ y sus aplicaciones a la Teoría de Probabilidad En un de sus libros sobre probabilidad, introduce el experimento mental; conocido popularmente como Teorema de los infinitos Monos. También publico investigaciones sobre la teoría de juegos.
Lección 14: Experimento Aleatorio, Evento ó Suceso, Espacio muestral. Fenómenos Aleatorios: Son todos que aunque se repiten en las mismas condiciones, un resultado específico NO se puede determinar de antemano. En este tipo de fenómenos, lo único que se puede conocer son todos los posibles resultados. Algunos ejemplos. 1. Lanzar un dado o una moneda y obtener un número de 1 a 6, o, cara / sello. 2. El número de defectuosos en una línea de producción. 3. La cantidad de llamadas recibidas en una central telefónica por hora. 4. El tiempo de atención de un cliente en un Banco. Seguido analizaremos algunos conceptos importantes en probabilidad.
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Modelo Matemático: Desde la perspectiva de probabilidad, un modelo es una expresión matemática, usada para estudiar los resultados de un experimento, donde se busca establecer la probabilidad de ocurrencia de un evento, utilizando el modelo propuesto.
Experimento: Son fenómenos en los cuales se pueden tomar datos y donde un resultado en particular, NO se puede saber de antemano. Los experimentos que nos ocupan en este curso, son los llamados aleatorios. Fenómenos como sacar una carta de una baraja, elegir un estudiante según alguna característica definida, medir la cantidad de lluvia en un lugar y tiempo determinado, otros muchos.
Evento: También llamado suceso, se considera el resultado o resultados de un experimento, los cuales pueden ser simples o compuestos. Por lo anterior, un evento es un subconjunto del espacio muestral. a-) Evento Simple: Cuando el resultado es uno solo. Tal es el caso de sacar un 2 al lanzar un dado, obtener cara al lanzar una moneda, obtener un rey al sacar un carta de una baraja. A todo evento de este tipo se le llama, eventos elementales. b-) Eventos Compuestos: Son todos aquellos que están conformados por eventos elementales, los cuales se obtienen utilizando operaciones entre conjuntos. Ejemplos de este tipo: Obtener número par al lanzar un dado, obtener un dos al sacar una carta de una baraja.
Espacio Muestral: (E) Se considera al conjunto de todos los posibles resultados de un experimento aleatorio. Es precisamente el conocer todos los posibles resultados, lo que hace a un fenómeno aleatorio. Los espacios muestrales se pueden determinar utilizando el conocido Diagrama de Árbol o las técnicas de conteo, cuando el número de eventos son muy grandes. Ejemplo No 1: En el experimento de lanzar un dado: E = (1, 2, 3, 4, 5, 6) En el experimento de lanzar una moneda: E = (cara. Sello) En el experimento sacar una carta de la baraja: E = (4 ases, bastos, espadas,… ) En el experimento de sacar una bola de una caja: E = (número de bolas que esta en la caja)
Lección 15: Principios matemáticos aplicados a fenómenos aleatorios: Operaciones entre conjuntos y propiedades. Por la importancia que tienen las operaciones entre conjuntos en el análisis de probabilidad, es pertinente hacer un repaso de los mismos. Conjunto: Se define como una colección de elementos, que desde la teoría de probabilidad se le conoce como observaciones. Si el número de elementos es finito, el conjunto será finito, pero si el número de elementos es infinito y tiene relación biunívoca con los números naturales, se le conoce como conjunto infinito numerable. Los conjuntos se denominan con letras mayúsculas y los elementos con letras minúsculas. Ejemplo No 2: A = {a, b, c, d, e} Finito. B = {1, 2, 3,...} Infinito numerable. Contenencia: Un conjunto puede tener subconjuntos, que se relacionar por medio de la contenencia. Sea el conjunto U y sea el conjunto S, se dice que S es subconjunto de U, si cada elemento de S, pertenece a U, luego: lo que significa que S esta contenido en U.
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Según la gráfica: Todo conjunto S es subconjunto de si mismo. Igualdad de Conjuntos: Sean los conjuntos S1 y S2, si cada elemento de S1 pertenece a S2 y viceversa, entonces se dice que S1 = S2. Por consiguiente: y Conjunto Vacio: Cuando un conjunto no tiene elementos, se dice que es vacio. S = {Ø}. Para todo conjunto universal. El conjunto vacio es subconjunto de todos los conjuntos y en particular de si mismo.
Operaciones entre Conjuntos: Para los intereses de la teoría de probabilidad, analizaremos las operaciones de unión, intersección y complemento. UNION: Sean S1, S2,…, Sn, una serie de conjuntos, entonces la unión de éstos es otro conjunto compuesto por los elementos comunes y no comunes de todos. (⋃ ) Para i = 1, 2, 3,..., n E es un conjunto cuando aparece S1, ó S2,…, ó Sn. Consecuencia de esto: 1. 2. Cuando 3. INTERSECCIÓN: Sean S1, S2,…, Sn, una serie de conjuntos, entonces la intersección de éstos es otro conjunto compuesto por los elementos comunes de todos los conjuntos. (⋂ ) Para i = 1, 2, 3,..., n I es un conjunto cuando aparece simultáneamente S1, y S2,…, y Sn. Consecuencia de lo anterior: 1. 2. Cuando 3. DIFERENCIA: Dados los conjuntos A y B, entonces Esto significa la diferencia son los elementos que están en A y no están en B. COMPLEMENTO: Sean S y U dos conjuntos tales que Entonces S’ es el complemento de S, si y solo si, Se debe aclarar que Siendo U el conjunto universal. Consecuencia de esto: 1. 2. Propiedades de las Operaciones: Veamos las siguientes propiedades cuando se operan conjuntos. Conmutativa: Página 102 de 177
( ( ( Complemento: ( ) (
) ( ) ( ) (
Asociativa: Distributiva:
)
) ) )
( ( y
) ) (
)
Propiedades aplicadas a la teoría de probabilidad. [ ( ) ( ) ( ) ( )] ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
Lección 16: Definición de probabilidad: Clásica, frecuentista y Axiomática. La probabilidad se ha definido desde tres enfoques: El cásico, el frecuentista y el axiomático. Enfoque Clásicas de Probabilidad: En la segunda mitad del siglo XVII se hacen los primeros intentos para medir la probabilidad de un evento, entre los pioneros se tienen a Pascal, Fermat, Huygens, Bernoulli, Leibniz entre otros. Pero la definición formal se le debe al gran matemático Laplace. Definición: Pierre Simon Laplace, en 1.812 define la probabilidad como el cociente entre el número de eventos favorables y el número de eventos totales, siempre que todos aquellos tangan la misma probabilidad de ocurrencia. ( )
n = Casos favorables, N = Casos totales y
La característica fundamental de esta teoría, es que todos los eventos del espacio muestral E, tiene la misma probabilidad.
Ejemplo No 3: Al lanzar un dado, cual es la probabilidad de obtener el 4. Solución: El espacio muestral S = (1, 2, 3, 4, 5, 6) La probabilidad de ocurrencia es igual para todos loe elementos del espacio muestral: 1/6 P(X=4) = 1/6 Propiedades: A partir del enfoque clásico se origina tres propiedades fundamentales de probabilidad. 1. ( ) Como la probabilidad es un cociente entre dos números positivos, donde el numerador puede ser cero o positivo, entonces NO puede haber probabilidades negativas. 2. ( ) El número de eventos favorables no puede ser mayor al número de eventos totales; a lo sumo igual, por tal razón lo máximo del cociente será uno. 3.
( )
La probabilidad de un evento está acotada entre cero y uno.
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Limitaciones: En le enfoque clásico, los fenómenos que están bajo esta connotación, son ideales, como el caso del dado, la moneda, las cartas y otros, ya que no existe dados ideales, tampoco monedas ideales, tales como su simetría, propiedades físicas y forma perfecta, igual para el caso de las cartas. Así el enfoque clásico esta delimitado al mundo matemático, ya que sólo admite objetos ideales. En la misma línea, éste enfoque asume eventos totales finitos, lo que limita su aplicabilidad. Enfoque Frecuentista de Probabilidad: El principio frecuentista o ―Regularidad Estadística‖ fue establecida formalmente por Von Mises en 1.919, cuyo fundamento está soportado en dos principios: Primer Principio: La experiencia de la regularidad en las frecuencias relativas, se le conoce como Regularidad Estadística, cuyo fundamento es que a pesar de la irregularidad de los resultados individuales, los resultados promedios en largas sucesiones de experimentos aleatorios, muestra una sorprendente regularidad. Esto significa que en las repeticiones a largo plazo, se observa una regularidad en el fenómeno. Segundo Principio: En la teoría estadística, la probabilidad es objetiva, lo que indica que la probabilidad tiene propiedades como que es determinable y es medible. Desde esta teoría, se requiere realizar el experimento, por lo cual se le ha llamado también Probabilidad Empírica. Con estos principios, se define el enfoque frecuentista, en dos partes. Definición No 1: La frecuencia absoluta de un evento en el desarrollo de un experimento aleatorio; cuando éste se repite N veces en forma independiente, es la cantidad n de apariciones del evento. Así la frecuencia relativa, es el cociente entre la frecuencia relativa y el número de ensayos. Definición No 2: La probabilidad desde le punto de vista frecuentista, esta definida como el límite; cuando el número de repeticiones se hace infinita, del cociente entre la frecuencia absoluta y el número de ensayos. ( ) ( ) Limitaciones: La teoría frecuentista también tiene ciertas limitaciones. En primera instancia, el concepto de límite utilizado en la definición, supone que el número total de eventos del experimento denotado con N alcance el infinito, caso que en la realidad no ocurre, con esto la estabilidad de las frecuencias es un enunciado imposible, desde la demostración matemática. Por otro lado, el uso de sucesión infinita en eventos aleatorios no es suficiente, ya que matemáticamente los términos de las sucesiones siguen una ley inexorable; es decir, a partir del término general todos los términos quedan definidos claramente.
Enfoque Axiomático de Probabilidad: Las limitaciones de los enfoques clásicos y frecuentista, condujeron a buscar una teoría de probabilidad más amplia y soportada en principios matemáticos sólidos y verificables lógicamente. Fue así como en 1.933 Kolmogorov planteó su teoría de probabilidad desde la axiomática. Para analizar el enfoque axiomático de Kolmogorov, se debe analizar dos situaciones previas, que permitirá comprender mejor dicho enfoque. 1. Limitaciones del Enfoque Axiomático: El planteamiento axiomático de Kolmogorov presenta la limitación de no ofrecer un método práctico de obtención de probabilidad de eventos aleatorios en el mundo real, para eliminar dicha limitación Kolmogorov estableció una conexión del modelo matemático con el mundo real, para lo cual utilizó la base empírica de la teoría frecuentista. Él considero que si un experimento aleatorio se repite gran cantidad de veces, la frecuencia relativa de un evento difiera ligeramente de la probabilidad del evento. En términos de FISZ: La axiomática del cálculo de probabilidades formaliza ciertas regularidades de las frecuencias relativas del ocurrimiento de un evento aleatorio, regularidad que se observa a través de una larga serie de ensayos, realizados bajo condiciones constantes. 2. Algebra de Sucesos: Existen muchos experimentos cuyos números de eventos planteados es superior a los eventos elementales que se definen en el espacio muestral. Los eventos compuestos se definen a partir de los eventos elementales, por medio de operaciones entre conjuntos como la unión, intersección y
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complemento. El conjunto obtenido presenta una estructura de álgebra. imposible y el evento cierto.
El álgebra incluye el evento
Ejemplo No 4: Sea el espacio muestral definido como: E = {a, b, n}. Hallar el álgebra generada. Solución: Álgebra: Ω = {{Ø}, {a}, {b}, {n}, {a, b}, {a, n}, {b, n}, {a, b, n}} En la solución obtenida se observa el evento imposible y el evento cierto. DEFINICIÓN: Sea E el espacio muestral integrado por los eventos elementales, sea A una colección de subconjuntos de E; llamados eventos aleatorios, entonces: 1. El espacio muestral E debe pertenecer a A: 2. Si un suceso B pertenece a A, entonces su complemento también pertenece a A. Consecuencia de esto E también cumple la condición; es decir, el conjunto vacio. Entonces B’ Entonces 3. Sean S1 y S2, subconjuntos de A, entonces la unión pertenece a A y por las leyes de De Morgan, la intersección también pertenece a A. y Álgebra de Boole: Toda colección Ω que cumpla las tres condiciones anteriores (1, 2, 3) se le llama álgebra de Boole, dado para un número finito de eventos. σ – álgebra: Si se tiene una serie de Eventos Infinitos, pero numerables, S1, S2, … , Sn que pertenecen a E, entonces: ⋃
⋂
A la colección se le conoce como sigma algebra (σ-álgebra) representada por Ω, la cual reúne todos los posibles eventos del experimento aleatorio. Al par (S, Ω) se le conoce como Espacio Probabilizable o medible. Ejemplo No 5: Sea E = {1, 2, 3}. Hallar el σ-álgebra completa generada. Solución: Ω = ({Ø}, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {1, 2, 3}). En la solución se observa los eventos elementales y los compuestos. Con los precedentes, ya se puede plantear el enfoque axiomático. Teoría Axiomática de Kolmogorov: Esta teoría se soporta en tres axiomas. Axioma No 1: Si E es un elemento de una σ-álgebra (Ω), existe un número P(E) ≥ 0. Llamado probabilidad del evento E.
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Axioma No 2: Si E es el espacio muestral de un experimento aleatorio, entonces P(E) = 1. Axioma No 3: Sean los eventos numerables S1, S2,…, Sn los cuales son disyuntos dos a dos. Entonces: (⋃ ) ∑ ( ) A la tripleta (S, Ω, P) se le llama Espacio de Probabilidad.
Ejemplo No 6: Sea E = {1, 2, 3}. Asumiendo que P(X=1) =3/12, P(X=2) = 4/12, P(X=3) = 5/12. Hallar Ω y P. Solución: Utilicemos el siguiente esquema que nos ayuda a comprender el problema. Ω
E
P
{Ø} 1 2
0
{1}
1 2 3
3/12
{2}
4/12
{3}
5/12
{1, 2}
7/12
{1, 3}
8/12
{2, 3}
9/12
{1, 2, 3}
1
Ejemplo No 7: Realizar las siguientes operaciones a-) b-) c-) d-) e-) ) f-) ( Solución: a-) b-) c-) d-) e-) f-) (
)
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CAPITULO 5: TÉCNICAS DE CONTEO Lección 17: Principio fundamental del conteo Regla de la Suma: La regla de la suma se utiliza cuando un evento se puede hacer de m ó n formas diferentes; además, NO es posible que ocurra el mismo evento de dos maneras distintas y al mismo tiempo.
Definición: Sea A un evento que se puede hacer de n1 formas, sea B un evento que se puede hacer de n 2 formas, donde NO es posible que ocurra el mismo evento de dos maneras diferentes al mismo tiempo, por consiguiente el número de veces que se puede realizar el evento esta dado por la siguiente expresión: o
N Maneras Diferentes = n1+ n2 Este tipo de eventos son mutuamente excluyentes. Ejemplo No 27: Un ciudadano debe pagar el recibo del agua, para hacerlo puede utilizar 4 bancos, 3 agencias de pago y 2 oficinas privadas. ¿Cuántas opciones para pagar tiene el ciudadano? Solución: No Formas Diferentes = 4 + 3 + 2 = 9 opciones para pagar. Ejemplo No 28: Una persona que esta predispuesta a ver televisión un domingo a las 3 p. m. observa la programación, para lo cual puede ver 4 partidos de fútbol, 3 películas de acción y 2 programas culturales. ¿Cuantas posibilidades tiene la persona para ver televisión? Solución: No Formas Diferentes = 4 + 3 + 2 = 9 opciones para pagar. Ejemplo No 29: En una compañía se desea codificar los Lokers de los empleados, para signar a cada uno su respectivo Loker. El gerente decide utilizar los números dígitos y las letras del alfabeto ¿Cuantos códigos se pueden crear, si éste puede ser dígito, letra o combinación de los dos, no importa que primero sea letra o número? Solución: Número de dígitos = 10 Número de letras = 26
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Número o Letra = 10 + 26 Combinación = 26*10 ó 10*26 Cantidad de Códigos = 10 + 26 + (26*10) + (10*26) = 556 opciones. Ejemplo No 30: Jorge Leonardo debe matricular el próximo semestre un curso de Matemáticas o un curso de Idiomas en el mismo horario; de Matemáticas cuatro profesores que orientan el curso y de Idiomas hay tres profesores; además, debe matricular Estadística; con tres profesores disponibles y Ética con dos profesores disponibles. ¿De cuantas formas se puede organizar el horario de clase Jorge Leonardo? Solución: Para Matemáticas = 4 Para Idiomas = 3 Estadística y Ética = 3*2 Cantidad de formas para organizar el horario = 4 + 3 + (2*3) = 13 opciones. Ejemplo No 31: Un Restaurante tiene como plato principal pescado, pero se debe preparar de una sola forma de las siguientes: Cuatro formas de hacerlo frito, tres formas de hacerlo sudado y dos formas de hacerlo horneado ¿Cuantas formas tiene el restaurante de preparar el pescado? Solución: Frito = 4 Sudado = 3 Horneado = 2 Cantidad de formas para prepararlo = 4 + 3 + 2 = 9 opciones.
La Regla del Exponente: Se tiene un tipo de combinaciones o arreglos ordenados, en donde se admite reemplazo. Definición: Sea un conjunto con N elementos, se desea obtener un subconjunto de n elementos, de tal manera que cualquier elemento se puede reemplazar, entonces el número de subconjuntos de n elementos posibles será: No Arreglos = N
n
Los casos más conocidos son el lanzamiento de una moneda y de un dado. Ejemplo No 38: En el lanzamiento de una moneda ¿Cuántos casos posibles se obtiene en los siguientes procesos: a- Tres lanzamientos b- Cinco lanzamientos Solución: 3 a- Para tres lanzamientos: N = 2 y n = 3, entonces: 2 = 8 casos posibles. 5 b- Para cinco lanzamientos: N = 2 y n = 5, entonces: 2 = 32 casos posibles. Ejemplo No 39: En el lanzamiento de un dado ¿Cuántos casos posibles se obtiene en los siguientes procesos: c- Dos lanzamientos
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d- Cuatro lanzamientos Solución: 2 c- Para dos lanzamientos: N = 6 y n = 2, entonces: 6 = 36 casos posibles. 4 d- Para cinco lanzamientos: N = 6 y n = 4, entonces: 6 = 1.296 casos posibles. Ejemplo No 40: Una ruleta consta de los colores blanco, rojo, azul y amarillo ¿Cuántos casos posibles se obtiene en los siguientes intentos: e- Tres intentos f- Cinco intentos Solución: 3 e- Para tres intentos: N = 4 y n = 3, entonces: 4 = 64 casos posibles. 5 f- Para cinco intentos: N = 4 y n = 5, entonces: 4 = 1.024 casos posibles.
Lección 18: Regla de la multiplicación La regla de la multiplicación se aplica en situaciones en donde se tienen varios grupos diferentes de eventos y se desea obtener uno agrupado.
Definición: Sea A un evento que se puede hacer de n 1 formas, sea B un evento que se puede hacer de n2 formas y sea C evento que se puede hacer de n3 formas, el número de veces que se puede hacer simultáneamente A, B y C está dado por la siguiente expresión: o
N Acciones Conjuntas = n1*n2*n3 Ejemplo No 32: Un Artista tiene 4 vestidos y 3 pares de zapatos, ¿De cuantas formas se puede vestir el Artista? Solución: Sea A = 4 vestidos y B = 3 pares de zapatos. Entonces: o N Formas de Vestir = 4*3 = 12 formas diferentes. Ejemplo No 33: En un concesionario hay autos de dos y cuatro puertas, de rines de lujo y niquelados; además, hay de color rojo, azul y plateado. ¿Cuántas formas diferentes de exhibición tiene el concesionario? Solución: Sea A = Número de puestas, B = Tipo de rines y C = Color del auto. Entonces: o N Formas de exhibición = 2 * 2 * 3 = 12 formas diferentes de exhibición. Ejemplo No 34:
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Un experimento consiste en lanzar un dado y luego seleccionar aleatoriamente una letra del ¿Cuántas observaciones habrá en el espacio muestral?
alfabeto.
Solución: Sea A = Elementos del dado: 6 y B = Letras del alfabeto: 26. Entonces: Elementos del espacio muestral = 6*26 = 156 elementos diferentes Si se expresa por extensión el espacio muestral: E = [(1,a),(1,b),(1,c),…,(6,y),(6,z)] Ejemplo No 35: En un plan turístico, a los turistas se les ofrece seis recorridos por día, el plan es de cuatro días y hay doce sitios diferentes para visitar. ¿De cuantas formas diferentes puede un turista disfrutar el paseo? Solución: Sea A = Número de recorridos, B = Número de días y C = Número de sitios a visitar. o N Formas de disfrutar el paseo = 6 * 4 * 12 = 288 formas diferentes de disfrutar el paseo. Ejemplo No 36: Un billete de lotería consta de 4 cifras de números, los cuales se pueden repetir y una serie que corresponde a una letra. ¿Cuantos billetes de lotería se pueden imprimir? Solución: CIFRA 1 10
CIFRA 2 10
CIFRA 3 10
CIFRA 4 10
SERIE 26
10*10*10*10*26 = 260.000 Billetes Ejemplo No 37: Las placas de un carro constan de 3 letras y tres números, las cuales se pueden utilizar más de una vez. ¿Cuantas placas se pueden emitir? Solución: LETRA 1 26
LETRA 2 26
LETRA 3 26
NÚMERO 1 10
NÚMERO 2 10
NÚMERO 3 10
26*26*26**10*10*10 = 17’576.000 Placas.
Lección 19: Permutaciones y variaciones Las Permutaciones: Las permutaciones se pueden utilizar para encontrar el número de arreglos posibles en un solo conjunto de objetos. Por medio de las permutaciones se puede determinar los resultados posibles en forma Ordenada o arreglada de maneras diferentes. Definición: Si se tiene n objetos diferentes y se desean ordenar, entonces para el primer puesto se tienen n posibilidades, para el siguiente puesto (n – 1) posibilidades, para el último puesto se tiene sólo una posibilidad, luego: El Número de permutaciones de n objetos diferentes sin repetición es dela forma: Pn = n! Por definición 0! = 1.
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Ejemplo No 41: En un equipo de baloncesto de cinco jugadores ¿De cuantas formas se puede alinear el equipo para un partido? Solución: Como se requiere alinear el equipo, es pertinente el orden de los jugadores dentro de la cancha. PRIMER PUESTO SEGUNDO PUESTO TERCER CUARTO PUESTO QUINTO PUESTO PUESTO 5 4 3 2 1 Por la definición: 5! = 120 formas de alinear el equipo. Ejemplo No 42: A una fiesta asisten 4 hombres y 4 mujeres, si todos balan ¿Cuantas parejas diferentes se pueden formar? Solución: n = 4 parejas. 4! = 24 parejas diferentes. Ejemplo No 43: En la primera fila de un cine hay 9 sillas ¿De cuantas formas se pueden ordenar 9 personas en la primera silla? Solución: Se requiere ordenar las personas en la fila. F1 F2 F3 F4 F5 F6 9 8 7 6 5 4
F7 3
F8 2
F9 1
Por definición: 9! =362.880 formas de ordenar las personas en la primera fila del cine. Ejemplo No 44: Un estuche tiene 7 casillas y se deben colocar 7 discos en el estuche. ¿De cuantas formas se pueden ordenar los discos en el estuche? Solución: C1 C2 C3 C4 C5 C6 C7 7 6 5 4 3 2 1 Según la definición: 7! = 5.040 formas de ordenar los discos en el estuche.
Las Variaciones: Existen permutaciones donde del total de elementos, sólo se utiliza parte de ellos. Definición: Si se tiene n objetos diferentes y se desean ordenar r de ellos, de tal forma que r < n, entonces para determinar la cantidad de ordenamientos se aplica la siguiente ecuación: (
)
Ejemplo No 45: Las placas de los carros constan de tres letras y tres números, de tal manera que no se puede repetir número tampoco letra. ¿Cuantas placas diferentes se pueden diseñar?
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Solución: LETRA 1 26
LETRA 2 25
LETRA 3 24
NÚMERO 1 10
NÚMERO 2 9
NÚMERO 3 8
26*25*24*10*9*8 = 11’232.000 Utilizando la ecuación: (
(
)
)
Cantidad de placas = 15.600*720 = 11’232.000 Ejemplo No 46: De un conjunto de 7 elementos, se desea organizar subconjuntos de 4 elementos. ¿Cuantos grupos se pueden obtener? Solución: PRIMER ELEMENTO SEGUNDO ELEMENTO 7 6 Cantidad de grupos a organizar: 7*6*5*4 = 840 Utilizando la ecuación:
(
TERCER ELEMENTO 5
CUARTO ELEMENTO 4
)
Ejemplo No 47: Si en un Club hay 20 personas y se desea escoger 4 de ellos para el comité directivo ¿De cuantas formas se puede conformar el comité? Solución: En el problema n = 20 y r = 4 entonces: Formas diferentes para conformar el comité. ( ) Ejemplo No 48: Con los números dígitos, utilizándolos una sola vez ¿Cuantas cifras de cuatro números se pueden formar? Solución: (
)
Cifras diferentes
Permutaciones Con elementos Que Se Repiten: Cuando en el conjunto de elementos hay algunos que se repiten, entonces se presentan permutaciones con elementos que se repiten. Definición: El número de observaciones de n objetos, de los cuales n 1 se repite a veces, n2 se repite b veces y así sucesivamente, por lo cual el número de arreglos posibles se puede determinar con la siguiente ecuación:
Ejemplo No 49:
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De cuantas formas diferentes se puede ordenar la palabra MISSISSIPI? Solución: En el conjunto: n = 11, ni = 4, ns = 4, np = 2 Luego:
Ejemplo No 50: Un coleccionista tiene tres pinturas de Picasso, cuatro pinturas de Botero y tres pinturas de Rembranth. De cuantas formas se pueden organizar juntos, las pinturas? Solución: En el conjunto: n = 10, nPicasso = 3, nBotero = 4, nRembranth = 3 Luego:
Con base en lo anterior, podemos resumir: Las permutaciones se aplican cuando: Se tiene en cuenta el orden No se admiten repeticiones.
Lección 20: Combinaciones Si el interés es determinar la cantidad de formas en que r observaciones son seleccionadas de un conjunto de n observaciones diferentes. Sin tener en cuenta el Orden de Selección, se está hablando de Combinaciones. Hablar de combinaciones es hacer referencia a subconjuntos. Si se tiene r! permutaciones de un conjunto de n observaciones, entonces las nPr permutaciones contiene cada subconjunto r! veces, al dividir nPr entre r! se obtiene la cantidad de formas sin tener en cuenta el orden. Definición: Sea n el número de objetos de un conjunto dado, si se toman r objetos a la vez, el número de combinaciones obtenidas está dada por la siguiente expresión: nCr
=( )
(
)
Para r = 0, 1 2, 3, …, n
Ejemplo No 51: Al lanzar una moneda 6 veces, De cuantas formas se puede obtener: a) 2 caras b) 3 sellos Solución: a) n = 6 y r = 2, entonces: 6C2 =( ) b) n = 6 y r = 3, entonces: 6C3 =( )
(
)
(
)
Ejemplo No 52: Si hay 10 hombres y 8 mujeres para conformar un comité que debe estar conformado por 4 hombres y 3 mujeres ¿De cuantas formas se puede conformar dicho comité?
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Solución: Para los hombres: 10C4 =( Para las mujeres: 8C3 =( )
)
( (
) )
Número de comités posibles: 210*56 = 11.760
Las combinaciones se aplican cuando: No se tiene en cuenta el orden No se admiten repeticiones
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CAPITULO 6: PROPIEDADES BÁSICAS DE LA PROBABILIDAD Lección 21: Interpretaciones de la probabilidad Con el fin de comprender la teoría de probabilidad, es pertinente estudiar algunos teoremas, que soportan el desarrollo probabilístico. Teorema No 1: (Evento Imposible) Dado Ø como conjunto vacio, entonces P (Ø) = 0. La probabilidad de un evento imposible es cero. Demostración: Sea un evento A, luego ( ) ( ) ( ) ( ) Luego ( ) cero.
( )
Dado que A y Ø son mutuamente excluyentes, entonces ( ) Para que se cumpla la igualdad ( ( ) debe ser
NOTA: En la práctica la probabilidad que un evento sea cero, no implica que sea imposible, sino más bien raro, por el principio de la frecuencia observada, así el recíproco del teorema no siempre se cumple. Teorema No 2: (Evento Cierto) Dado E el espacio muestral, entonces P (E) = 1. La probabilidad del espacio muestral es la unidad. Demostración: Dado E el conjunto total, la ocurrencia es altamente probable, el axioma No 2 axiomático lo hace evidente.
del enfoque
Teorema No 4 (Sucesos Disyuntos) Sean los eventos S1 y S2, entonces: S1 y S2 son disyuntos si se cumple: Cuando dos eventos son tal que su intersección es vacio, se dice que son Mutuamente Excluyentes. Demostración: Sean los conjuntos S1 y S2, donde S1 son elementos exclusivos de S1 y S2 Elementos que ninguno es de S1, entonces la intersección será vacio. Teorema No 6: (Probabilidad Acotada) A partir del teorema 1 y 2, se puede inferir que la mínima probabilidad es cero y la máxima uno, entonces: ( ) Teorema No 7: (Probabilidad del Complemento) Sea S un evento y E el espacio muestral, dado que Entonces: P(S) + P(S’) = 1.
Ejemplo No 9: Si A y B, son eventos mutuamente excluyentes, además P(X = A) = 0,37 y P(X = B) = 0,44, Encontrar: a) P( A’)
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y
b) P( B) c) ( d) (
) )
Solución: a-) Como P ( A’) + P(A) = 1, entonces: P ( A’) = 1 - P(A) = 1 – 0,37 = 0,63 b-) Como P (B’) + P(B) = 1, entonces: P ( B’) = 1 - P(B) = 1 – 0,44 = 0,56 ) ( ) ( ) c-) Por la regla general de adición: ( ( ) Como los eventos son ) ) ( ) ( )= 0,37 + 0,44 = 0,81. mutuamente excluyentes: ( Entonces: ( ) ( ) ( ) d-) Se debe calcular: ( ( ) Reemplazando: ) 0,81 = 0,37 + 0,44 – 0, como se cumple la igualdad, entonces ( Ejemplo No 10: A partir del ejemplo No 9, hallar Solución: ) Utilizando la propiedad: ( ) ( ) Como ( ( ) ( ) ( )
(
) ( ) ( Entonces:
)
Lección 22: Axiomas de probabilidad: regla de la adición Teorema No 3: (Regla General de Adición) Dados los eventos cualesquiera S1 y S2, entonces: ( ) ( ) ( ) ) ( La probabilidad de la unión de dos eventos cualquiera, es igual a la suma de probabilidades de los dos eventos, menos la probabilidad de su intersección. Demostración: El siguiente gráfico nos ayuda a hacer la demostración.
Entonces: ( ) ( ) ( ) ( ) ( Finalmente: (
( ( )
) Donde: ) Así: ( )
)
( )
( ( (
( )
) )
( (
) Por lo tanto: ) Restando las dos ecuaciones: (
)
)
El teorema tres, prolongado a tres eventos: Dados los eventos cualquiera A, B y C, entonces ( ) ( ) ( ) ) ( ) ( ) ( ) La probabilidad de la unión de tres ( ) ( eventos, es igual a la suma de las probabilidades de cada uno, menos la intersección de los pares, más la probabilidad de la intersección de todos. Demostración: Partimos de
(
)
aplicamos el mismo principio del teorema No 3.
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Teorema No 5: (Regla Especial de Adición) Sean los eventos S1 y S2, los cuales son disyuntos, entonces ( ) ( ) ( ) ) ∑ En general: (⋃ ( ) Demostración: Buscar los argumentos para realizar la demostración.
Ejemplo No 7: Una Empresa realiza un estudio sobre sus ejecutivos, el uso de corbata y determinó que su uso es del 42%, el uso de vestido del 70% y del uso de los dos es del 35%. Al seleccionar aleatoriamente un ejecutivo de la empresa ¿Cuál es la probabilidad de que éste use vestido, corbata o los dos? Solución: Según los datos: P(X = C) = 0,42; P(X = B) = 0,70 y P(X = C y X = B) = 0,35. Por la forma del problema se puede aplicar la regla general de adición. P(C o B) = 0,42 + 0,70 – 0,35 = 0,77 Ejemplo No 8: Un dado es tal que: P(X = 1) = 0,1; P(X = 2) = 0,2; P(X = 3) = 0,3; P(X = 4) = 0,01; P(X = 5) = 0,02; P(X = 6) = 0,37. Al lanzar el dado una vez ¿Cuál es la probabilidad de obtener par? Solución: La pregunta es hallar P(X = Par); además, se trata de eventos donde se puede aplicar la regla especial de adición. Luego: P(X = 2 o X = 4 o X = 6) = P(X = 2) + P(X = 4) + P(X = 6) Por consiguiente: P(X = Par) = 0,2 + 0,01 + 0,37 = 0,48 Ejemplo No 11: En una caja se encuentran 20 papeletas blancas enumeradas del 1 al 20, 10 papeletas rojas enumeradas del 1 al 10, 40 papeletas amarillas enumeradas del 1 al 40 y 10 papeletas azules enumeradas del 1 al 10. Las
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papeletas se mezclas de tal manera que cada una tiene la misma probabilidad de ser elegida. Al sacar una papeleta, hallar: a-) Que sea azul o blanca. b-) Que este enumerada de 1 al 5. c-) Que sea roja o amarilla y enumerada con 1, 2, 3, 4. d-) Que este enumerada con los números 5, 15, 25, 35. Solución: a-) Como se tienen 10 papeletas azules y 20 papeletas blancas. Siendo el total de 80 papeletas, entonces se puede aplicar la regla especial de adición: (
)
(
)
( )
( )
b-) Se tienen 4 tipos de papeletas y cada una tiene los números 1, 2, 3, 4, 5. También corresponde a la regla especial de adición. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (
)
(
)
(
)
(
)
(
)
c-) Se tienen 10 papeletas rojas y 40 papeletas amarillas; además, están enumeradas con 1, 2, 3, 4. Al igual que los casos anteriores, se trata de regla especial de adición. ( ) ( ) ( ) ) ( d-) De las papeletas se tienen enumeradas: 5, 15, 25, 35 tenemos: De 20 blancas hay 5 y 15. De 10 rojas hay 5. De 40 amarillas hay 5, 15, 25, 35. De 10 azules hay 5. Así se tienen 4 papeletas del número 5, 2 papeletas del número 15, una con el número 25 y una con le número 35. Las posibilidades son: 4 +2 +1+ 1 = 8. (
)
Ejemplo No 12: El manejo de una máquina nueva para empaque de producto líquido, tiene las siguientes probabilidades. Muy difícil: 0,12 Difícil: 0,17 Promedio: 0,43 Fácil: 0,29 Muy fácil: 0,08 Encontrar las siguientes probabilidades: a-) Difícil o muy difícil. b-) Ni muy difícil ni muy fácil. c-) Promedio o mejor. Solución: a-)
(
)
b -) ( ( c- ) ( (
(
) )
) )
(
)
( (
) )
(
)
)
Lección 23: Independencia de Sucesos, regla de multiplicación A partir de la independencia de eventos y la probabilidad condicional, surge una regla muy importante de probabilidad, conocida como la Regla de la Multiplicación para eventos dependientes.
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DEFINICIÓN: Sean A y B dos eventos cualquiera de un espacio muestral E y sea P(A) > 0, entonces: ( ) ( ) ( ) La ecuación expresa que la probabilidad de que ocurra A y B simultáneamente, siendo P(A) > 0, es igual al producto de la probabilidad de que ocurra A y la probabilidad de que ocurra B dado que ha ocurrido A; es decir, la probabilidad condicional. DEFINICIÓN: Sean A y B dos eventos cualquieras de un espacio muestral E y sea P(A) > 0, entonces: ( ) ( ) ( ) La ecuación expresa que la probabilidad de que ocurra A y B simultáneamente, siendo P(B) > 0, es igual al producto de la probabilidad de que ocurra B y la probabilidad de que ocurra A dado que ha ocurrido B; es decir, la probabilidad condicional. Generalizando: DEFINICIÓN: Sean S1, S2,…, Sn eventos cualquieras de un espacio muestral E, entonces: (⋂ )
( )
(
)
(
)
(
)
Ejemplo No 17: En una caja hay 30 artículos, de los cuales 8 son defectuosos. Si se extraen 4 artículos aleatoriamente y en forma sucesiva y sin reemplazamiento. ¿Cuál es la probabilidad de que los 4 artículos son defectuosos? Solución: P(S1) = 4/30. Sacar defectuosos el primer artículo. P(S2 S1) = 3/29. Sacar defectuosos el segundo artículo. P(S3 S1 S2)=2/28. Sacar defectuosos el tercer artículo. P(S4 S1 S2 ) = 4/30*3/29*2/28*1/27 = 24/657.720 = 0,00003645 Ejemplo No 18: Un empaque de 1.000 artículos es tal que presenta el 1% de defectuosos. Cual es la probabilidad de que al sacar aleatoriamente 5 artículos, todos sean no defectuosos. Solución: Sea X1 artículo uno defectuoso, entonces X’1 artículo no defectuoso P(X1) = 10/1.000 Entonces: P(X’1) = 990/1.000 P(X2) = 9/999 Entonces: P(X’2) = 989/999 P(X3) = 8/998 Entonces: P(X’3) = 988/998 P(X4) = 7/997 Entonces: P(X’4) = 987/997 P(X5) = 6/996 Entonces: P(X’5) = 986/996 Luego: P(X’1)* P(X’2)* P(X’3)* P(X’4)* P(X’5) = 990/1.000*989/999*988/998*987/997*986/996 = 0,9509 Regla de Multiplicación: Eventos Independientes En el análisis de independencia de eventos, se estableció que los eventos son independientes cuando se realiza extracción Con Reemplazamiento, donde el espacio muestral es constante para cada extracción.
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DEFINICIÓN: Sean A y B dos eventos se dice que son independientes, si se cumple la siguiente igualdad: ( ) ( ) ( ) La ecuación expresa que la probabilidad de la intersección entre dos eventos, es igual al producto de las probabilidades marginales. La definición se puede extender a tres o más eventos, éstos pueden ser independientes por pares; sin ser independientes. Para el caso de tres eventos. ( ) ( ) ( ) ( ) DEFINICIÓN: Sean A y B dos eventos independientes, entonces A y B’ también son independientes, por consiguiente: ( ) ( ) ( ) Ejemplo No 19: Se lanza una moneda tres veces, ¿Cuál será a probabilidad de obtener tres caras en los lanzamientos realizados? Solución: Sea A primer lanzamiento y que sea cara: P(X = A) = 1/2 Sea B segundo lanzamiento y que sea cara: P(X = B) = 1/2 Sea C tercer lanzamiento y que sea cara: P(X = C) = 1/2 (
)
( )
( )
( )
Ejemplo No 20: La probabilidad de comprar Taxi es del 25% y la probabilidad de comprar colectivo es del 65%, si se compra un transporte para trabajar ¿Cuál es la probabilidad de comprar Taxi y Colectivo? Solución: Sea P(X = T) = 0,25 y Sea P(X = C) = 0,65, entonces: ( ) ( ) ( )
Lección 24: Probabilidad condicional En fenómenos donde se hacer extracciones sin reemplazamiento, se presenta dependencia de eventos a partir del segundo en adelante. La siguiente situación nos ilustra el principio de probabilidad condicional. Sea A evento que una persona gane el mínimo. Sea B una persona que sea bachiller. Sea N una persona que no es bachiller. Sea T una persona que sea técnico profesional. Entonces interpretemos las siguientes situaciones. P(A B) = La probabilidad de que una persona gane el mínimo, dado que es bachiller. P(A N) = La probabilidad de que una persona gane el mínimo dado que no sea bachiller. P(A T) = La probabilidad de que una persona gane el mínimo dado que es técnico profesional. P(N A) = La probabilidad de que una persona no sea bachiller, dado que gana el mínimo. Para estos casos los primeros términos se les llama Condicionantes tales como A y N, mientras que a los segundos se les llama condicionados, tales como B, N, T y A.
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DEFINICIÓN: Sean los eventos A y B, de tal manera que A está condicionado por el evento B, si la probabilidad de que suceda A depende de que haya ocurrido B, entonces: ( ) ( ) Siempre que P(B) > 0. ( )
Análogamente: Sean los eventos A y B, de tal manera que B está condicionado por el evento A, si la probabilidad de que suceda B depende de que haya ocurrido A, entonces: ( ) ( ) Siempre que P(A) > 0. ( )
Ejemplo No 14: Al lanzar un dado, cual es la probabilidad de que caiga dos, dado que ha caído par. Solución: La probabilidad de que caiga par es P(X=Par) = 3/6 La probabilidad de que caiga dos es P(X=Dos) = 1/6 (
)
Ejemplo No 15: En un estudio sobre consumidores de servicios que brindan cierta compañía, los resultados se presentan en el siguiente cuadro. A = Compañías con buen servicio B = Compañías con mal servicio. 1 = Compañías con 10 años o más 2 = Compañías con menos de 10 años A 1 2
18 12 30
B 6 16 22
24 28 52
a-) Cual es la probabilidad de seleccionar una compañía que proporcione buen servicio. b-) Cual es la probabilidad de seleccionar una compañía con más de 10 años de experiencia que proporcione buen servicio. c-) Cual es la probabilidad de seleccionar una compañía con menos de 10 años, que proporcione mal servicio. Solución: a-) Compañía con buen servicio: 30 ( ) b-) Compañía con más de 10 años: 24 Compañías que proporcionan buen servicio y con más de 10 años: 18 ( ) ( ) ( )
c-) Compañía que con menos de 10 años y que proporcione mal servicio: 16 Compañía que proporciona mal servicio: 22. ( ) ( ) ( )
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Ejemplo No 16: En un salón de apuestas hay un Dado arreglado de tal forma que el número Impar tiene el doble de posibilidad de salir que el número Par. Si se lanza el dado: a-) Cual es la probabilidad de caiga un número mayor a tres. b-) Cual es la probabilidad de el número de puntos tirados sean un cuadrado perfecto. c-) Cual es la probabilidad de que se obtenga un cuadrado perfecto, dado que es mayor a tres. Solución: Espacio muestral: Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6} a-) Si a es probabilidad de par entonces 2a probabilidad de impar, entonces: 2a+a+2a+a+2a+a=1 así: 9a = 1, a = 1/9, por consiguiente: P(X > 3) = P(X=4) + P(X=5) + P(X=6) = 1/9 + 2/9 + 1/9 = 4/9 b-) Los números que son cuadrados perfectos son 1 y 4, entonces: B {1, 4} P(B) = P(1) + P(4) = 2/9 + 1/9 = 3/9 = 1/3. c-) P(B A). Donde B = Cuadrado perfecto y A = Número mayor a tres. ( )
Lección 25: Probabilidad total y teorema de Bayes Ley de Probabilidad Total: Sean A1, A2, …,Ak eventos mutuamente excluyentes, ( (deben ocurrir uno de ellos) entonces para cualquier otro evento B: P(B) = P(B A1)*P(A1)+ P(B A2)*P(A2)+…+ P(B Ak)*P(Ak) ( ) Generalizando: ( ) ∑ ( )
)
y exhaustivos
Ejemplo No 21: Se desea rentar Autos de tres agencias de la siguiente manera: El 60% de la agencia Velox, el 30% de la agencia Rap y el 10% de la agencia Service. Los autos de la agencia Velox requieren revisión en un 9%, los de la agencia Rap en un 20% y los de la agencia Service en un 6%. ¿Cuál es la probabilidad de que un auto rentado requiera revisión? Solución: Sea A el evento que un auto requiera revisión, sean V, R y S los eventos que los autos provengan de las agencias Velox, Rap y Service respectivamente. Entonces: P(V) = 0,60; P(R) = 0,30; P(S) = 0,10 Por otro lado: P(A V) = 0,09; P(A R) = 0,20; P(A S) = 0,06 La probabilidad total se obtiene así: P(A) = P(A V)*P(V)+ P(A R)*P(R)+ P(A S)*P(S) Reemplazando: P(A) = 0,60*0,09 + 0,30*0,20 + 0,10*0,06 = 0,054 + 0,06 + 0,006 = 0,116 Entonces el 11,6% de los autos requieren revisión. Ejemplo No 22: En un estudio sobre cierta enfermedad, se ha determinado que la probabilidad de que una persona tenga la enfermedad es del 3%. Se ha diseñado una prueba diagnóstico para determinar si una persona sometida a la misma tiene la enfermedad. La probabilidad de que la prueba diagnóstica de resultado positivo; sabiendo que la enfermedad está presente es de 0,90. La probabilidad de que la prueba diagnóstica de resultado positivo; sabiendo que la enfermedad no está presente es de 0,02. Si se le aplica la prueba a una persona, ¿cual es la probabilidad de que la prueba sea positiva?
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Solución: Sea E el evento prueba positiva, sean T y N los eventos tiene la enfermedad y no tiene la enfermedad respectivamente. Entonces: P (T) = 0,03; P (N) = 0,97 Por otro lado: P(E T) = 0,90; P(E N) = 0,02 La probabilidad total se obtiene así: P(E) = P(E T)*P(T)+ P(E N)*P(N) Reemplazando: P(E) = 0,90*0,03 + 0,02*0,97 =0,0464 Entonces la probabilidad de que una persona sometida a la prueba de diagnóstico positivo es del 4,64%. Ejemplo No 23: Una compañía de seguros clasifica a sus clientes en dos grupos: Los que son propensos a accidentes (P) y lo que no son propensos a accidentes (N). Según las estadísticas de la compañía, la probabilidad de que un cliente propenso a accidentes tenga uno en un año es de 40% y la probabilidad de que un cliente no propenso a accidentes tenga uno en un año es del 20%. Sabiendo que el 30% de la población es propensa a accidentes, ¿Cuál es la probabilidad de que una persona que compra una póliza sufra un accidente en un año? Solución: Sea A el evento sufrir un accidente, sean P y N los eventos propensos a accidentes y no propensos respectivamente. Entonces: P(P) = 0,4 y P(N) = 0,2 Por otro lado: P(A P) = 0,30; P(A N) = 0,70. Así: P(A) = P(A P)*P(P) + P(A N)*P(N) Reemplazando: P(A) = 0,30*0,4 + 0,70*0,2 = 0,26 Entonces la probabilidad de que una persona que compra la póliza sufra un accidente es del 26%. Teorema de Bayes: Analizada a ley de probabilidad total, ya se puede definir la muy conocida teorema de bayes:
Sean B1, B2, …, Bk. una partición del espacio muestral E, dado que P(Bi) ≠ 0, para i = 1, 2, …, k; entonces para cualquier evento A en el espacio muestral E; tal que P(A) ≠ 0, se tiene: 𝑃(𝐵𝑗 ) 𝑃(𝐴 𝐵𝑗 ) ∑𝑘 𝑃(𝐵𝑖 ) 𝑃(𝐴|𝐵𝑖 ) 𝑖
𝑃(𝐵𝑗 𝐴)
Para j = 1, 2, .., k
Ejemplo No 24: Utilizando los datos del ejemplo 21, si un auto es rentado y requiere revisión, ¿Cuál es la probabilidad de que sea de la agencia Rap? Solución: Se debe hallar P(R A). Entonces P(A R)*P(R) = 0,30*0,20 = 0,06 Como P(A) = 0,60*0,09 + 0,30*0,20 + 0,10*0,06 = 0,054 + 0,06 + 0,006 = 0,116 ( ) ( | ) ( | ) ∑
(
)
( |
)
Así el 51,72% de los autos que requieren revisión, provienen de la agencia Rap.
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Ejemplo No 25: Utilizando los datos del ejemplo 22, si la prueba diagnóstica dio resultado positivo ¿Cuál es la probabilidad de que la enfermedad este en realidad? Solución: Se debe hallar P(T E). Entonces P(E T)*P(T) = 0,90*0,03 = 0,027 Como P(E) = 0,90*0,03 + 0,02*0,97 =0,0464 ( ) ( | ) ( | ) ∑
(
)
( |
)
Entonces la probabilidad de que la enfermedad esté en realidad es del 58,19%, dado que ha ocurrido resultado positivo. Ejemplo No 26: Un investigador esta 60% de seguro que la persona detenida es culpable, éste tiene cierta característica que la posee el 20% de la población. En estas condiciones ¿Qué tan seguro está el investigador sobre la culpabilidad de la persona detenida? Solución: Sea C el evento que la persona es culpable. Sea M el evento que la persona tiene la característica. P (C) = Probabilidad de que la persona sea culpable. 60% P (M) = Probabilidad de que la persona tenga la característica. P (C’) = Probabilidad de que la persona no sea culpable. 40% P (M’) = Probabilidad de que la persona no tenga la característica P (M C) = Probabilidad de que la persona tenga la característica dado que es culpable. 100% P (M C’) = Probabilidad de que la persona tenga la característica dado que no es culpable. 20% Se debe hallar: P (C M) P (M C)*P(C) = 1*0,6 = 0,6 P (M) = P (M C)*P(C) + P (M C’)*P(C’) = 1*0,6 + 0,2*0,4 = 0,68 Entonces: ( ) ( | ) ( | ) ( )
( | )
( )
( | )
Entonces el investigador esta en un 88,24% seguro de la culpabilidad de la persona detenida.
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UNIDAD TRES VARIABLES ALEATORIAS Y DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD
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CAPITULO 7: VARIABLES ALEATORIAS Lección 26: Concepto intuitivo y matemático de variable aleatoria VARIABLE ALEATORIA Concepto Intuitivo: Una variable aleatoria X es aleatoria si el valor que asume de acuerdo al resultado de un experimento, es una probabilidad de un evento aleatorio, es decir; transforma eventos aleatorios en números reales.
Las variables aleatorias se clasificar en dos grandes grupos: Variables Cualitativas: Son aquellos que generan datos cualitativos, como es el caso de las variables dicotómicas, tales como Blanco-Negro, Masculino-Femenino, Cara-Sello. Las variables nominales, tales como Raza, Genero, Programa Académico, Canal Favorito, Color. Las variables ordinales, tales como Estrato, Talla, Sabor, cuerpo de una sustancia, Nivel Académico. Variables Cuantitativas: Son las que generan datos cuantitativos, las cuales se subdividen en discretas y continuas. -Variable Aleatoria Discreta: Son las que se pueden contar y organizar en una secuencia utilizando los números enteros positivos, sólo se sume un número finito de valores. Ejemplos: Número de personas que visitan un almacén en un día, número de llamadas telefónicas recibidas en un call center por hora, cantidad de carros vendidos por mes, edad años cumplidos, -Variable Aleatoria Continua: Son las que toman valores dentro de un intervalo, se dice que están dentro de los números reales. Ejemplos: El ancho de un edificio, el tiempo transcurrido en un desplazamiento, el peso medido a una persona, el salario de una población, la duración de un bombilla, la estatura de una persona, la temperatura. Concepto Matemático: Sea S un espacio muestral sobre el cual se encuentra definida una probabilidad, sea X una función de valor real definida sobre S. Entonces X es una variable aleatoria debido a que transforma los resultados de S en puntos sobre la recta real.
Se dice que X es aleatorio ya que involucra la probabilidad de los resultados del espacio muestral. Ejemplo No 53: Página 127 de 177
Experimento: Lanzar una moneda. Solución: S = {C, S} P(X = C) = 1 y P(X=S) = 0 Ejemplo No 54: Experimento: Lanzar un dado. Solución: S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} P(X = 1) = 1/6, P(X = 2) = 1/6, P(X = 5) = 1/6 P(X = 7) = 0 Una variable aleatoria queda definida en un experimento aleatorio, cuando se conoce su campo de variación y el conjunto de probabilidades en donde toma valores dicho campo.
Lección 27: Distribución discreta de probabilidad. VARIABLE ALEATORIA DISCRETA: Función de Probabilidad o Distribución de Probabilidad: Una variable aleatoria X representa los resultados de un espacio muestral de tal forma que P(X =x), esto significa que debe existir una función matemática que asigna una probabilidad a cada realización x de la variable aleatoria, a esta función se le llama Función de Probabilidad o Distribución de Probabilidad. DEFINICIÓN: Sea X una variable aleatoria discreta, entonces f(x) = P(X = x) se le conoce como función de probabilidad de la variable aleatoria X. El par ordenado obtenido se de la forma [x, f(x)]. La función debe satisfacer las siguientes condiciones: 1. P(x) ≥ 0 Para todo x que pertenece a X 2. ∑ ( ) 3. P(X = x) = f(x) Función de Distribución Acumulada: La función de distribución acumulada F(x) representa la suma de probabilidades puntuales hasta el valor x inclusive. DEFINICIÓN: La función de distribución acumulada de una variable aleatoria X, es la probabilidad de que X sea menor o igual a un valor específico x; según: ( )
(
)
∑ ( )
Características de F(x): a-) La función F(x) de una variable aleatoria discreta, es una función no negativa, por ser una probabilidad. b-) La función F(x) es no decreciente, por ser acumulativa. c-) La función F(x) es acotada; es decir, 0 ≤ F(x) ≤ 1. Para todo x. d-) ( ) ( ) Para ) ( ) e-) ( ( ) ) ( ) ( ) ( ) f-) ( ( ) ( ) ( ) g-) ( ) ( ) ( ) Ejemplo No 55: Sea el experimento: Lanzar dos dados simultáneamente, identificar el espacio muestral, los valores de x y la probabilidad asociada a cada valor de x. La premisa es la suma de las caras obtenidas. Solución: 2 Espacio muestral: S = 6 = 36 resultados posibles. Utilizando la regla de exponente.
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RESULTADOS (1, 1) (1, 2); (2, 1) (1, 3); (3, 1); (2, 2) (1, 4); (4, 1); (2, 3); (3, 2) (1, 5); (5, 1); (3, 3); (4, 2); (2, 4) (1, 6); (6, 1); (4,3); (3, 4); (5, 2); (2, 5) (2, 6); (6, 2); (3, 5); (5, 3); (4, 4) (3, 6); (6, 3); (4, 5); (5, 4) (4, 6); (6,4); (5, 5) (5, 6); (6,5) (6, 6)
X=x 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
P( X = x ) 1/36 2/36 3/36 4/36 5/36 6/36 5/36 4/36 3/36 2/36 1/36
Ejemplo No 56: A partir del ejemplo 55, referente al lanzamiento de los dos dados. Hallar F(x=4). Solución: Por la función de distribución acumulada (
)
(
)
(
)
(
)
(
)
∑ ( ) (
)
(
)
(
)
Ejemplo No 57: A partir del ejemplo 55, referente al lanzamiento de los dos dados. ¿Cuál será el valor de probabilidad para P(X > 4) Solución: Por la función de distribución acumulada. (
)
(
)
( )
Ejemplo No 58: A partir del ejemplo 55, referente al lanzamiento de los dos dados. ¿Cuál será el valor de probabilidad para ) P(X =3) y ( Solución: Por la función de distribución acumulada. ( (
)
( )
) (
( )
) (
( ) )
( ) ( )
( )
Ejemplo No 59: Un dado está arreglado de tal forma que cada número impar tiene el doble de probabilidad de ocurrencia que el número par. Sea G el evento que el número que cae es mayor a tres. ¿Hallar P(X =G )? Solución: El espacio muestral: S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Sea u = Número par, entonces 2u = Número impar. Entonces según los valores del espacio muestral: 2u + u +2u + u + 2u + u = 1. 9u = 1, así u = 1/9 Como G = 4, 5, 6 entonces: u + 2u + u = 1/9 + 2/9 + 1/9 = 4/9, por consiguiente: P(X =G ) = 4/9
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Ejemplo No 60: ¿Cuál será la expresión que describe la distribución de probabilidad para la variable aleatoria X = Número total de caras al lanzar una moneda 4 veces? Solución: 4 El espacio muestral = 2 = 16. Según la regla del exponente. P(X = 0) =1/16, P(X = 1) = 4/16, P(X = 2) = 6/16, P(X = 3) =4/16, P(X = 4) = 1/16. Haciendo el análisis: Para X = 0. Tenemos: ( ) Para X = 1. Tenemos: ( ) Generalizando: ( )
Para X = x = ( ) Ejemplo No 61: Mostrar que ( ) aleatoria discreta X.
( )
Para x = 0, 1, 2, 3, 4.
para x = 1, 2, 3, 4, 5. Es una función de distribución de probabilidad de la variable
Solución: Se debe mostrar primero que f(x) ≥ 0, lo cual se cumple para los valores de la variable aleatoria. Seguido debemos mostrar que ∑ ( ) . Entonces: ∑ ( )
( )
( )
( )
( )
( )
Como se puede ver f(x) cumple las dos condiciones, así queda mostrado que f(x) es función de distribución de probabilidad. Ejemplo No 62: En un casino se tiene un dado cargado para jugar, según la siguiente tabla. 1 2 3 4 5 ∑ (
0,1
0,1
0,2
0,4
0,15
6 0,05
Hallar la función de distribución acumulada y hacer la grafica de P(X = x) y F(x). Solución: Función de distribución acumulada. 1 2 ∑ (
0,1
0,2
3
4
5
6
0,4
0,8
0,95
1,0
La grafica de P(X = x)
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La grafica de F(x)
Lección 28: Distribución continúa de probabilidad. VARIABLE ALEATORIA CONTÍNUA: Función de Probabilidad o Función de Densidad de Probabilidad: La distribución de probabilidad de una variable aleatoria continua X tiene función de densidad de probabilidad f(x), la cual representa la probabilidad de que a≤ X ≤ b. DEFINICIÓN: Sea f(x) una función considerada función de densidad de probabilidad, si cumple las siguientes condiciones. 1. f(x) ≥ 0 Para -α < x < α ( ) 2. ∫ 3. (
)
∫
( )
La gráfica que representa la función de densidad de probabilidad, es el área bajo la curva, cuyo valor total es uno. La probabilidad en un intervalo a≤ X ≤ b será el área acotada por la función de densidad y las rectas x = a y x = b.
La curva normal se desarrolla alrededor de la media, donde con una desviación estándar se abarca el 68,3% de la información, con dos desviaciones estándar se abarca el 95,5% de la información y con tres desviaciones estándar se abarca el 99,7% de la información.
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Función de Distribución Acumulada: La función de distribución acumulada F(x) es el área acotada por la función de densidad que va desde -α < x < α, la curva de F(x) es lisa y no decreciente. DEFINICIÓN: La función F(x) se considera función de distribución acumulada para la variable aleatoria X si cumple: ( ) ( ) ∫ ( ) Donde t = Variable de transición
Características de F(x): a-) F (-α) = 0 b-) F (α) = 1 ( ) ) Para -α < x < α c-) ( ) ( ) ∫ d-) P( a< X < b ) = F( b ) – F( a ) e-) La derivada de la función de distribución acumulada es la función de densidad. ( ) ( ) Ejemplo No 63: El estudio de intervalo de llegada a un Banco es una variable aleatoria, cuya función de densidad es: ( )
*
Determinar: a-) El valor de k b-) La función de distribución acumulada c-) La probabilidad de que x ≤ 8 d-) La probabilidad de que 2 < X < 6 Solución: a-) Por definición: ∫ Entonces: Evaluando ( k = 1/2 ( ) ∫ b-) Como ( ) ∫ ( ) Donde: ( ) ∫ Para x > 0 ) ( ) c-) ( Entonces el 98,17% es la probabilidad de que transcurra 8 minutos entre dos visitas consecutivas en el Banco. d-) ( Así: (
)
( ) )
( )
(
)
(
)
(
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)
(
)
)|
Ejemplo No 64: Dada la función de distribución acumulada ( ) Hallar: a-) La función de densidad b-) P ( X ≤ 5 ) c-) P( X > 8 )
Para x > 3 y 0 En otros casos.
Solución: (
a-) Por definición f(x) se obtiene derivando F(x). ( ) b-) (
)
c-) (
)
( )
)
Así:
( )
( )
(
)
( )
(
)
Así:
(
)
Lección 29: Esperanza matemática y varianza de variables aleatorias ESPERANZA MATEMÁTICA El concepto de Esperanza Matemática o Valor Esperado fue motivado por los juegos de azar, siendo Jacob Bernoulli en 1.713 utilizo la esperanza para indicar cual sería la situación de un jugador que deseaba ganar en un juego. Bernoulli, analizó la siguiente situación: Si la ganancia por juego (g) se multiplica por el porcentaje de veces que se gana P(g) y se le resta la pérdida(p) multiplicada por el porcentaje de veces que ocurre pérdida P(p), se obtiene el valor esperado del juego:
E(Juego) = g*P(g) + p*P(p) Posteriormente Von Mises le dio carácter estadístico al concepto de esperanza, aplicada a variables aleatorias que dieron alternativas de ganar o perder, llegando a la expresión:
( )
∑
( )
Donde: xi son los valores de las alternativas y
p (xi) la probabilidad de las alternativas.
-) Por la regularidad estadística, el valor límite de la frecuencia relativa de cada posibilidad se da como: ( ) -) La media se define como: ̅
∑
Por lo anterior, la esperanza matemática E(X) se considera como el valor medio de la distribución teórica de probabilidad del fenómeno estudiado. Dicho de otra manera, es el valor hacia donde tiende la media aritmética, cuando el número de observaciones es muy grande; es decir, es el lugar hacia donde se centra la distribución de probabilidad.
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Caso Discreto: (Una Variable) DEFINICIÓN: Sea X una variable aleatoria discreta y sea f(x) el valor de la distribución de probabilidad en X, entonces el valor esperado de la variable aleatoria está dada por la siguiente expresión:
( )
∑
( )
Ejemplo No 78: Una variable aleatoria X puede tomar los valores: 1, 2, 3, 4. Las probabilidades de cada caso son: 0.20, 0.25, 0.30, 0.25 respectivamente. Hallar la esperanza matemática. Solución: Por definición
( )
∑
( )
Caso Continuo: (Una Variable) DEFINICIÓN:
Sea X una variable aleatoria continua y sea f(x) el valor de la densidad de probabilidad en X, entonces el valor esperado de la variable aleatoria está dada por la siguiente expresión:
( )
( )
∫
Ejemplo No 79: 4 Sea la variable aleatoria continua X, cuya función de densidad f(x) = 5x para 0 ≤ X ≤ 1. Hallar E(X) Solución: Por definición
( )
∫
(
)
∫ (
)
(
)
E(X) = 5/6
Ejemplo No 80: 3 Sea la variable aleatoria continua X, cuya función de densidad f(x) = 4x para 0 ≤ X ≤ 1. Hallar E(X) Solución: Por definición
( )
∫
(
)
∫ (
)
(
)
E(X) = 4/5 La esperanza matemática no siempre existe, para el caso discreto, E(X) existe si la serie infinita que tenga, sea convergente. Para el caso continuo, cuando la integral es impropia, la esperanza existe si la integral es convergente. Propiedades del Valor Esperado: 1.) La esperanza matemática de una constante, es igual a la constante: E(k) = k 2.) La esperanza matemática de la suma de algebraica de variables aleatorias, es igual a la suma algebraica de las esperanzas matemáticas de cada una de las variables aleatorias. E(X1 ± X2 ±…±Xn) = E(X1) ± E(X2) ± … ± E(Xn)
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3.) La esperanza matemática del producto algebraico de variables aleatorias, es igual al producto algebraico de las esperanzas matemáticas de cada una de las variables aleatorias, si y solo si, son estadísticamente independientes. E(X1 * X2 *…*Xn) = E(X1) * E(X2) * … * E(Xn) 4.) La esperanza matemática de las desviaciones de los valores de la variable aleatoria, respecto a la media es cero. E(X – μ) = 0 Luego: E(X) = μ Lo anterior deja ver que la esperanza matemática es un parámetro o característica de la tendencia central de la distribución. 5.) Si la variable aleatoria X se le suma una constante, la esperanza matemática de la variable queda modificada en la constante; es decir; un cambio del origen en la variable aleatoria, afecta su esperanza matemática. E(X + k) = E(X) + K 6.) Si una variable aleatoria X se le multiplica por una constante, su esperanza matemática también queda multiplicada por la constante. Un cambio en la escala de la variable aleatoria, afecta su esperanza matemática. E(k*X) = kE(X) Para k = Constante 7.) La esperanza matemática de una transformación lineal de una variable aleatoria, será la transformación lineal de la esperanza matemática de la variable aleatoria. E(a + bX) = a + bE(X). Ejemplo No 81: En un pedido de 12 computadores se incluyen 2 de marca DELL, si se seleccionan 3 aparatos aleatoriamente para hacer un despacho. ¿Cuántos aparatos de marca DELL pueden ser despachados? Solución: El planteamiento: x computadores de marca DELL y 3 – x computadores de otras marcas. El total de aparatos a seleccionar es: (
) Computadores marca DELL ( ) Computadores de otras marcas (
)
La función de probabilidad cuya variable aleatoria X son los computadores de marca DELL despachados será: ( )
( )( (
) )
Para x = 0, 1, 2
Entonces: X f(x)
0 6/11
1 9/22
2 1/22
Con estos datos se calcula E(X). Como la variable aleatoria es discreta, entonces: E(X) = 0*6/11 + 1*9/22 + 2*1/22 = 1/2. El promedio de envíos repetidos es 1/2. Ejemplo No 82: 2 Sea la variable aleatoria X con función de densidad f(x) = 1/3 x Para -1 < X < 2 Solución: A partir de la definición y por las propiedades de la esperanza matemática. E(g(X)) = E(4X + 3) = 4E(X) + 3 ( ( ))
∫
(
∫ ( ( ))
) (
( )
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(
))
VARIANZA DE UNA VARIABLE ALEATORIA Se sabe que la media o valor esperado describe el lugar donde se centra la distribución de probabilidad, pero no ofrece una descripción adecuada de la forma de la distribución. Es pertinente y necesario caracterizar la variabilidad de dicha distribución. La medida de variabilidad más importante en estadística es la varianza de la variable aleatoria o de la distribución de probabilidad. Caso Discreto: DEFINICIÓN: Sea X una variable aleatoria discreta, con distribución de probabilidad f(x) y media μ, entonces la varianza de X está dada por la siguiente expresión: [(
( )
) ]
∑(
)
( )
Donde (x - μ) se conoce como la desviación de las observaciones respecto a la media. Esta al ser evaluada al cuadrado y luego promediadas, serán menores para valores de x muy cercanas a μ. Una forma alternativa para la varianza es: ( ) ( ) Ejemplo No 86: Sea la variable aleatoria X que representa las funciones de distribución A y B. x 0 1 2 3 4 A f(x) 0.3 0.4 0.3 B f(x) 0.2 0.1 0.3 0.3 0.1 a-) Hallar la varianza de X en el caso A b-) Hallar la varianza de X en el caso B c-) Cual de las dos distribuciones tiene menor varianza Solución: a-) Primero se calcula E(X) = μ = 1*0.3 + 2*0.4 + 3*0.3 = 2.0 ( )
)
∑(
( )
(
) (
)
(
) (
)
(
) (
)
( ) b-) E(X) = μ = 0*0.2 + 1*0.1 + 2*0.3+3*0.3+4*0.1 = 0+0.1+0.6+0.9+0.40 = 2.0 ( ) ( )
(
) (
)
(
) (
)
(
) (
)
(
) (
)
(
) (
)
c-) La varianza del caso B es mayor que la varianza del caso A, así la varianza del caso A es menor, lo que indica que la función de distribución de la variable A es más estable que la B. Caso Continuo: DEFINICIÓN: Sea X una variable aleatoria continua, con función de densidad de de probabilidad f(x) y media μ, entonces la varianza de X está definida como sigue a continuación: [( ( ) ) ( ) ) ] ∫ ( Ejemplo No 87: La demanda mensual de un producto está dada por la variable aleatoria X, cuya función de densidad se define como:
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(
)
(
{
)
Hallar la varianza de X. Solución: Por de definición ∫ [ (
( )
( )
(
( )
∫(
( )
(
[(
( ) )]
)
) ]
∫(
(
)
)
(
∫ (
)
(
)
( )
)
Así que debemos hallar primero la media. (
)
Ahora si podemos hallar la varianza.
)
∫(
)
)
Desarrollando el mismo ejercicio, utilizando la forma alternativa de la varianza. ( ) ( ) ( ) ( ) Primero: ( ) ∫ ) ∫ ∫ ( (
)
[
Segundo: ( )
(
] (
)
(
)
)
Propiedades de la Varianza: 1. La varianza es siempre no negativa, Como ( ) entonces: ( ) Cuando la varianza es cero, los fenómenos se conocen como distribuciones degenerativas o causales. 2. La varianza de una constante es cero.
( )
Para K = Constante
3. La varianza de la suma de dos variables aleatorias, es igual a la suma algebraica de las varianzas de dichas ) ( ) variables aleatorias mas dos veces su covarianza. ( ( ) ( ) 4. Si a una variable aleatoria se le suma o resta una constante, la varianza no cambia. ( ) ( ) ( ) ( ) 5. Si a una variable aleatoria se le multiplica por una constante, la varianza se modifica, tal que la constante ( ) ( ) queda al cuadrado y multiplicada por la varianza de la variable aleatoria. 6. El error cuadrado medio (ECM) es la dispersión de la variable aleatoria entorno a un origen K, dicho error se hace mínimo cuando coinciden con la varianza. ( ) ( ) ( )
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Lección 30: Teorema de Chébyshev La varianza de una variable aleatoria nos muestra el grado de agrupamiento que tienen los datos alrededor de la media, así la probabilidad de que una variable aleatoria tome un valor dentro de cierto intervalo alrededor de la media, será mayor si tiene una varianza menor que otra variable aleatoria que tenga mayor varianza. 2
En términos de área, una variable aleatoria con V(X) = σ grande, presentará mayor área y muy lejana de la 2 media μ. Por el contrario una variable aleatoria con V(X) = σ pequeña, nos dirá que la mayor parte del área está alrededor de la media μ.
El matemático ruso P L Chebyshev (1.821 – 1.894) descubrió descubrió que la fracción de área entre dos valores simétricos cualquiera alrededor de μ, está relacionado con la desviación estándar. EL siguiente teorema nos da una estimación de la probabilidad de que una variable aleatoria tome un valor entre K desviaciones estándar de la media μ, para cualquier valor de K. TEOREMA: Sean μ y σ la media y desviación estándar de una variable aleatoria X, entonces para cualquier constante K, la probabilidad de que X asuma al menos un valor dentro de K desviaciones estándar de la 2 media, está dado por 1 – 1/K . Entonces: (
)
El teorema de Chebyshev nos ofrece un límite inferior de probabilidad, pero no se puede saber el valor real de probabilidad. Como se verá en el siguiente ejemplo, la probabilidad de que la variable aleatoria esté entre dos desviaciones estándar, no puede ser menor a 3/4 Ejemplo No 88: ¿Cuál será la probabilidad de que la variable aleatoria X, asuma al menos un valor dentro de 2 desviaciones estándar? Solución: Como K = 2, Luego: Entonces: (
(
) )
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Ejemplo No 89: Una variable aleatoria X tiene una media de 12 y varianza 16, la distribución de probabilidad es desconocida, hallar P (4 < X < 20) Solución: ) Por el teorema de Chebyshev: ( Como 12 – 4K = 4, entonces: K = 2, de igual manera: 12 + 4K = 20, K = 2. Por consiguiente: ( ( ) ( )) Así: P (4 < X < 20) ≥ ¾ Ejemplo No 90: 2
Una variable aleatoria X tiene una media μ = 8 y varianza σ = 9, hallar P ( X - 8 ≥ 6) Solución: Por principios de probabilidad: P ( X - 8 ≥ 6) = 1 - P ( X - 8 < 6) Ahora: P ( X - 8 < 6) = P (-6 < X < 6) = P(-6+8 < X < 6+8) = P(2 < X < 14). Por Chebyshev: ( ( ) ( )) Como: 8 – 3K = 2 y 8 + 3K = 14, entonces: K = 2. Luego: P (2 < X < 14) ≥ 3/4. Entonces: 1 - P ( X - 8 < 6) = 1 – 3/4 = 1/4. Finalmente: P ( X - 8 ≥ 6) ≤ 1/4 Ejemplo No 91: 2
Una variable aleatoria Y tiene una media μ = 10 y varianza σ = 4, hallar P ( Y - 10 < 3) Solución: P ( Y - 10 < 3) = P (-3 < Y - 10 < 3) = P (-3 + 10 < Y < 3 + 10) = P (7 < Y < 13) . ) Por Chebyshev: ( Pero: 10 – 2K = 7, así: K = 3/2. 2 Luego: P (7 < Y < 13) ≥ 1-1/(3/4) = 5/9 Entonces: 1 - P (7 < Y < 13) ≥ 5/9
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CAPÍTULO 8: DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD DISCRETA Lección 31: Distribución uniforme discreta La distribución uniforme discreta es la más sencilla de las distribuciones de probabilidad, los valores que toma la variable aleatoria tienen igual probabilidad. DEFINICIÓN: Una variable aleatoria X tiene una distribución uniforme discreta y se conoce como variable aleatoria uniforme discreta, si y solo si, su distribución de probabilidad está dada por: ( ) Para x = x1, x2, ... , xK y xi ≠ xj para i ≠ j. Según la expresión, los valores de x1, x2, ... , xK toman la misma probabilidad.
Propiedades: Media: Varianza:
De otra manera: De otra manera:
∑ ∑
(
)
Ejemplo No 92: En el lanzamiento de un Dado normal, cual es la probabilidad de ocurrencia de los eventos, ¿corresponde a una distribución uniforme? Solución: Espacio muestral: S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} P(X = xK) = 1/6. f(x, 6) = 1/6 Para x = 1, 2, 3, 4, 5, 6 Como la probabilidad es constante en todo el espacio muestral, evidentemente la distribución es uniforme discreta.
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Ejemplo No 93: En una caja hay USB de 1, 2, 3, 4, 6 GB, a-) ¿Cuál es la distribución de probabilidad? b-) ¿Cual es la probabilidad de seleccionar una USB de 3GB? Solución: Espacio muestral: S = {1, 2, 3, 4, 6} P(X = xK) = 1/5. f(x,5) = 1/5 Para x = 1, 2, 3, 4, 6. Como la probabilidad es constante en todo el espacio muestral, evidentemente la distribución es uniforme discreta.
Lección 32: Distribución Binomial y Poisson DISTRIBUCIÓN BINOMIAL. La distribución Binomial es una de las distribuciones más utilizadas, dentro de las distribuciones discretas. Se dice que la Binomial, es una generalización de la distribución Bernoulli, ya que la Bernoulli ocurre para un ensayo y la Binomial ocurre para n ensayos. La distribución Binomial se caracteriza porque tiene dos posibles resultados: Éxito y Fracaso. Si p(x) es la probabilidad de éxito, q(x) = 1 – p(x) es la probabilidad de fracaso. DEFINICIÓN: Sea X una variable aleatoria que representa el número de éxitos en n ensayos y sea P la probabilidad de éxito en cualquiera de los ensayos, entonces X tiene distribución de probabilidad Binomial, cuya función de probabilidad se define de la siguiente manera: (
)
( )
Para x = 0, 1, 2,…, n y n = Entero
Los parámetros de la Binomial son: n y p Un experimento Binomial tiene las siguientes características: 1 - ) Tiene n ensayos idénticos 2 - ) Cada ensayo tiene sólo dos resultados posibles. 3 - ) Los ensayos son independientes 4 - ) El interés es hallar el número de éxitos en n ensayos. Propiedades: Media:
Varianza: Página 141 de 177
Asimetría:
Curtosis:
√
Veamos algunas distribuciones binomiales , para un X dado y una probabilidad definida. X = 20 y P(X=x) = 0,2
X = 20 y P(X=x) = 0,5
X = 20 y P(X=x) = 0,75
X = 20 y P(X=x) = 0,95
Ejemplo No 94: En un experimento se realizan 10 ensayos, la probabilidad de éxito es 0,1 Hallar P(X = 2) Solución: Según el problema: n = 10, p = 0.1, q = 0.9 (
)
(
)
(
)(
) (
)
(
) (
)
Ejemplo No 95: En una industria farmacéutica se quiere determinar la efectividad de un medicamento, en ensayos preliminares se ha establecido que de cada 50 pacientes, 40 responden bien al producto. Si se toman 4 pacientes ¿Cuál es la probabilidad de que dos de ellos respondan positivamente al medicamento? Solución: Según los datos del problema: n = 4, x = 2, p = 4/5 = 0,8
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Entonces: (
)
( )(
) (
)
(
) (
)
La probabilidad de que dos de los pacientes tomados como muestra respondan positivamente al medicamente es del 15,36% Ejemplo No 96: La compañía Q.ac fabrica Benzoato de Sodio como preservante contra hongos. La experiencia muestra que el producto tiene problemas de efectividad en un 5%. Se realizó un experimento con 25 productos idénticos. a-) ¿Cuál es la probabilidad de que por lo menos 2 de ellos presente problemas de efectividad? b-) ¿Cuál es la cantidad esperada del producto con problemas de efectividad? Solución: a-) Se debe hallar: P(X ≥ 2) = 1 – P(x ≤ 1) (
)
(
)(
) (
)
(
)
(
)(
) (
)
(
)
Donde: P(X ≤ 1) = P(X = 0) + P(X = 1) ( ) ( (
) ) (
Así: (
) )
b-) Se debe hallar E(X) = μ E(X) = μ = n*p = 25 * 0,05 = 1,25 Ejemplo No 97: En un estudio sobre la Vitamina C para resfriado, se probó que de cada 10 personas que la consumen, 8 personas no presentan resfriado durante un año. Si la probabilidad de no presentar resfriado es del 50% cuando no se consume la vitamina ¿Cuál es la probabilidad de observar 8 o más personas sin resfriado? .Se asume que la vitamina es ineficaz para aumentar la resistencia al resfriado. Solución: Según los datos: p = 0.5, q = 0.5, n = 10, x ≥ 8. P(X ≥ 8) = P(X = 8) + P(X = 9) + P(X = 10) (
)
(
)(
) (
)
(
(
)
(
)(
) (
)
(
(
)
(
(
)(
) (
)
) (
)
) ( (
)
) ( )
)
Ejemplo No 98: 2
En un estudio sobre la Vitamina C para resfriado, (ejemplo 97) hallar: μ, σ , A, K Solución: (
)
√
La distribución de la efectividad para la vitamina C es simétrica.
Tabla de la Distribución Binomial: Para simplificar los cálculos, casos donde x toma muchos valores, se ha diseñado la tabla de distribución. Página 143 de 177
Ejemplo No 99: Hallar, utilizando la tabla: a-) P(X = 2) Para n = 10 y p = 0,5 b-) P(X = 3) Para n = 10 y p = 0,3 c-) P(X = 2) Para n = 6 y p = 0,4 Solución: a-) En la tabla se busca para n = 10 y p = 0,5. Entonces: P(X = 2) = 0,0439 b-) En la tabla se busca para n = 10 y p = 0,3. Entonces: P(X = 3) = 0,2668 c-) En la tabla se busca para n = 6 y p = 0,4. Entonces: P(X = 2) = 0, 3110
Ejemplo No 100: Hallar, utilizando la tabla a-) P(X ≥ 2) Para n = 6 y p = 0,15 b-) P(X ≤ 3) Para n = 8 y p = 0,25 Solución: a-) En la tabla se busca para n = 6 y p = 0,15, el valor para x = 0 y para x = 1. Para P(X ≥ 2) = 1 – P(X ≤ 1) = 1 – (0,3771 + 0,3993) = 0,2236 b-) En la tabla se busca para n = 8 y p = 0,25, el valor para x = 0, para x = 1, para x = 2 y para x = 3. Para P(X ≤ 3)=P(X = 0)+ P(X = 1) + P(X = 2) + P(X = 3)=0,1001 + 0,2670 +0,3115 + 0,2076 = 0,8862 La tabla de distribución Binomial, por lo general va hasta n = 20, así x = 0, 1, 2, 3, … , 20
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DISTRIBUCIÓN POISSON. Cuando n es muy grande, el cálculo de probabilidades binomiales es muy complicado, casi imposible. Para superar dicha limitación, el estadístico francés Simeon Denis Poisson (1.781 – 1.840), quien en 1.838 desarrolló una distribución de probabilidad discreta, bajo los siguientes argumentos: Qué forma tiene el límite de la distribución Binomial cuando n → α, p → 0, mientras n*p permanece constante. A n*p lo llamó λ. La distribución de probabilidad Poisson de variable discreta, aplica a eventos independientes ocurridos medidos en el tiempo o espacio, a velocidad constante. Casos como: -) Número de bacterias en un volumen de líquido -) Número de defectos de una máquina en unidad de tiempo. Las probabilidades individuales son cada vez más pequeñas conforme la variable aleatoria toma valores cada vez más grande. DEFINICIÓN: Sea X una variable aleatoria, que representa el número de eventos aleatorios independientes que ocurren a rapidez constante sobre el tiempo o espacio, entonces se dice que X tiene distribución Poisson con función de probabilidad, dada por la siguiente expresión: (
)
Para x = 0, 1, 2, 3, … y
λ = n*p = Parámetro
λ Se define como el promedio de ocurrencia del evento en el tiempo o espacio.
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Propiedades: Media: Asimetría:
Varianza: Curtosis:
√
Ejemplo No 105: Sea λ = 2, Hallar P(X=0) Solución: (
)
Ejemplo No 106: Un fabricante de envases plásticos compra a un proveedor el polipropileno, el cual garantiza que de cada 100 Kg, sólo 1 Kg, es defectuoso. En un pedido de 1.000 Kg, ¿Cuál es la probabilidad de que todo el pedido trabaje bien? Solución: A partir de los datos del problema: n = 1.000 Kg, p = 1/100 = 0,01 x = 0 Número de defectuosos λ = n*p = 1.000*0,01 = 10 ) Entonces: ( La probabilidad de que todo el pedido trabaje bien es del 0,004% Ejemplo No 107: A partir del ejemplo sobre el fabricante de envases plásticos, ejemplo 106. ¿Cuál es la probabilidad que a lo más 3 Kg sean defectuosos? Solución: ) ( El planteamiento es: ( ( ) Ya calculado (
)
(
)
(
)
Entonces: (
)
(
)
(
)
(
)
)
Ejemplo No 108: A partir del ejemplo sobre el fabricante de envases plásticos, ejemplo 106. Hallar la media, varianza, asimetría y curtosis. Solución: Media: Asimetría:
√
Varianza: Curtosis:
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Tabla de la Distribución Poisson: Al igual que la distribución Binomial, la distribución Poisson tiene una tabla que simplifica los cálculos. Ejemplo No 109: Para λ = 2, Hallar P(X = 0) y P(X = 2)
Solución: a-) Para P(X = 0) = 0,1353 b-) Para P(X = 2) = 0,2707
Ejemplo No 109: Para λ = 1,5 Hallar P(X = 2) y P(X = 5) Solución: a-) Para P(X = 2) = 0,2510 b-) Para P(X = 5) = 0,0141
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Lección 33: Distribución Binomial Negativa. DISTRIBUCIÓN BINOMIAL NEGATIVA. Con los principios de distribución Binomial y sus propiedades, excepto que los ensayos se repiten hasta obtener un número fijo de éxitos. Para el caso de la Binomial Negativa el interés está en hallar la probabilidad de que ocurra el k-eximo éxito en el x-eximo ensayo. Experimentos de esté tipo se conoce como experimento Binomial negativo o distribución de tiempo de espera Binomial o distribuciones de pascal. Casos de Este Tipo: -)La probabilidad de que el sexto paciente expuesto a una enfermedad, sea el segundo en adquirirla. -) La probabilidad de identificar el tercer retraso de llegada al trabajo de los últimos 30 días. -) La probabilidad de que el séptimo paciente presente alivio, sea el doceavo paciente que recibe el medicamento. Así que el k-eximo éxito va a ocurrir en el x-eximo ensayo. DEFINICIÓN: Sea X una variable aleatoria, se considera Binomial Negativa, si y solo si, su distribución de probabilidad esta dada por la siguiente expresión: (
)
(
)
Para x = K, K + 1, K + 2,…
En este tipo de distribución, los ensayos son independientes y repetidos, las repeticiones se hacen hasta obtener éxito. Propiedades: Media:
De otra forma: (
Varianza:
)
De otra manera:
Ejemplo No 101: Al lanzar 3 monedas ¿Cuál es la probabilidad de obtener sólo caras o sólo sellos por segunda vez en el quinto lanzamiento? Solución: Según los datos del problema: x = 5, K = 2, p = 1/4 (En el primer lanzamiento hay 2 posibilidades y en el segundo lanzamiento otras dos posibilidades). Entonces: (
) (
(
)
(
)( ) ( )
( )( ) ( )
)
La probabilidad de obtener solo caras o solo sellos por segunda vez en el quinto lanzamiento, es del 10,55% Ejemplo No 102: La probabilidad de que un niño expuesto a una enfermedad, la contenga es del 0,4 ¿Cuál es la probabilidad de que el decimo niño expuesto, sea el tercero en contraerla?
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Solución: Según los datos del problema: x = 10, K = 3, p = 0,4. Entonces: (
)
( )(
) (
)
(
)(
)
La probabilidad de que el decimo niño expuesto, sea el tercero en contraerla es del 6,43%
Ejemplo No 103: En el cobro de penaltis un jugador falla en el 5% de veces. ¿Cual es la probabilidad de que falle por segunda vez al cobrar 15 penaltis? Solución: Según los datos del problema: x = 15, K = 2, p = 0,05. Entonces: (
)
(
)(
) (
)
(
)(
)
La probabilidad de que el jugador falle por segunda vez al cobrar 15 penaltis es del 1,796%
Ejemplo No 104: Para los ejemplos del niño expuesto a la enfermedad (ejemplo No 102 y No 103) Hallar la media y la varianza.
Solución: a-) Media:
Varianza:
b-) Media:
Varianza:
( (
) )
Lección 34: Distribución Geométrica e Hipergeométrica. DISTRIBUCIÓN GEOMÉTRICA. Cuando se analiza la distribución Binomial Negativa, se observa que K toma valores positivos mayores que uno (K > 1), pero existen fenómenos donde la Binomial Negativa tiene K = 1; es decir, son casos donde se tienen una distribución de probabilidad para el cual número de eventos requeridos donde se obtiene Un Solo Éxito, como es el caso de lanzar una moneda hasta obtener cara. DEFINICIÓN: Sea X una variable aleatoria discreta, se considera variable aleatoria geométrica, si y solo si, su distribución de probabilidad está dada por la siguiente expresión.
(
)
Para x = 1, 2, 3, … Donde q = 1 – p
En esta distribución de probabilidad, se caracteriza por las siguientes razones: -El proceso consta de un número no definido de pruebas o experimentos separados o separables. El proceso concluirá cuando se obtenga por primera vez el resultado deseado (éxito). -Cada prueba puede dar dos resultados mutuamente excluyentes: A y no A Página 150 de 177
-La probabilidad de obtener un resultado A en cada prueba es p y la de obtener un resultado no A es q, siendo (p + q = 1). -Las probabilidades p y q son constantes en todas las pruebas, por tanto, las pruebas, son independientes. Este es un proceso típico con reemplazamiento. Propiedades: Media: Varianza: Ejemplo No 110: En una ciudad capitalina la probabilidad de que un ciudadano adquiera su licencia de conducción en un solo ensayo es del 75% ¿Cuál es la probabilidad de que un solicitante obtenga su licencia de conducción en el cuarto ensayo? Solución: Los datos: x = 4, p = 0,75 Entonces: ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) La probabilidad de que el solicitante obtenga su licencia de conducción en el cuarto ensayo es del 1,171% Ejemplo No 111: En un proceso de fabricación se ha establecido que de cada 200 artículos, 3 son defectuosos. ¿Cuál es la probabilidad de que el sexto artículo de los inspeccionados sea el primero defectuoso? Solución: Según el planteamiento: x =6, p = 3/200 = 0,015 Entonces: ( ) ( ) ( )( ) La probabilidad de que el sexto artículo de los inspeccionados sea el primero defectuoso es del 1,39% Ejemplo No 112: La probabilidad de que un estudiante apruebe un examen escrito para obtener una certificación de competencias es de 0,70. Cuál es la probabilidad de que un estudiante apruebe el examen: a-) En el tercer intento b-) Antes del cuarto intento Solución: a-) Según el planteamiento: x =3, p = 0,70 Entonces: ( ) ( ) ( )( ) La probabilidad de que un estudiante apruebe el examen en el tercer intento es de 6,3% b-) P(X < 4) Entonces: P(X < 4) = P(X = 1) + P(X = 2) + P(X = 3) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) La probabilidad de que un estudiante apruebe el examen antes del cuarto intento es de 97,30%
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DISTRIBUCIÓN HIPERGEOMÉTRICA. En los principios de probabilidad de analizó el muestreo con reemplazamiento y sin reemplazamiento, que ilustran la regla dela multiplicación para eventos independientes y dependientes respectivamente. Ahora nos ocuparemos en buscar una ecuación análoga a la Distribución Binomial, pero que sea válida para el muestreo sin reemplazamiento, donde los ensayos no son independientes. Considerando un conjunto de N elementos de los cuales M son considerados como éxitos y N – M como fracasos, el interés es hallar la probabilidad de obtener x éxitos en n ensayos, de los N elementos del conjunto. La distribución hipergeométrica es útil en fenómenos donde el número de elementos de la población es pequeño respecto al tamaño de la muestra (n/N ≥ 0,05). Entonces la probabilidad de un éxito en un ensayo dado, depende de los resultados de los ensayos anteriores, así la distribución de x éxitos sigue una distribución hipergeométrica. DEFINICIÓN: Sea N el número total de observaciones de una población finita, de tal manera que K de las observaciones son de un tipo y N – K de las observaciones de otro tipo. Si elegimos una muestra aleatoria de tamaño n, la probabilidad de que la variable aleatoria X sea de un tipo y n – K sea de otro tipo, está dada por la función de probabilidad según la siguiente expresión: (
( )(
)
)
( )
Para x = 0, 1, 2, …, n.
x ≤ K; (n – x) ≤ (N – K)
y
N, n, K Є Z
+
Los parámetros de esta distribución son: N, n, K. La hipergeométrica es my utilizada en Control de Calidad y aceptación de muestreo. El tamaño de la población es pequeña, respecto al tamaño de la muestra. La probabilidad en cada evento cambia. Propiedades: ( )
Media: Asimetría:
(
)(
(
(
Varianza:
)√
)( (
) )(
Curtosis: K
)
)( (
(
)
( )
) (
)( )
)(
)(
)(
(
)
(
)
)
Ejemplo No 113: Un producto industrial es envasado en lotes de 20 unidades, el plan de muestreo consiste en tomar 5 unidades de cada lote y rechazar si se observa más de una unidad defectuosa. Si en un lote hay 4 unidades defectuosas ¿Cuál es la probabilidad de que el lote sea aceptado? Solución: Para que el lote sea aceptado se debe cumplir: P(X ≤ 1). Donde: N = 20, n = 5, K = 4. Entonces: ( ) ( ) ( ) (
)
(
)
( )( (
) )
( )( (
( )
)
( )(
) )
( )( (
) )
Página 152 de 177
( ) ( ) ( ) La probabilidad de que el lote sea aceptado, en las condiciones dadas es del 75,12% Ejemplo No 114: Hallar las propiedades del producto industrial envasado en lotes de 20 unidades (Ejemplo No 113) Solución: Media:
( )
Varianza: Asimetría: Curtosis: K
( ) (
)( (
(
) )
)( ( (
)( ( )(
)√ ( )(
) )(
)
√
)
)(
)(
)
Ejemplo No 115: Una población consta de 12 unidades, sea X el número de éxitos en una muestra de 4 unidades, si de un lote 8 son éxitos ¿Cuál es la probabilidad de no obtener éxito en la muestra? Solución: Del problema: N = 12, n = 4, K = 8. Entonces: P(X = 0) (
)
( )( (
) )
( )( ) (
)
La probabilidad de no obtener éxito en la muestra es del 0,202% Ejemplo No 116: Del ejercicio sobre la población que consta de 12 unidades, (Ejemplo No 115). a-) Cual es la probabilidad de obtener exactamente 2 éxitos. b-) Cual es la probabilidad de que por lo menos 2 sean éxito. Solución: Del problema: N = 12, n = 4, K = 8. Entonces: a-) (
)
( )( (
) )
( )( ) (
)
La probabilidad de obtener exactamente dos éxitos es del 33,94% b-) P(X ≥ 2) = 1 – P(X < 2) = 1 – {P(X =0) + P(X =1)} (
)
(
)
(
)
( )( (
) )
( )( ( (
( )
)
( )( ) )
( )( ) (
) ) Página 153 de 177
La probabilidad de que por lo menos 2 sean éxito, es del 93,334%
CAPÍTULO 9: DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD CONTINUA Lección 35: Distribución uniforme continua La distribución uniforme continua es la más sencilla de estas distribuciones, la variable aleatoria toma el mismo valor en un intervalo finito. LA Función de densidad de probabilidad de la variable aleatoria es uniforme sobre el intervalo de definición. ], se conoce DEFINICIÓN: Una variable aleatoria X tiene una distribución uniforme continua en el intervalo [ como variable aleatoria uniforme continua, si y solo si, su función de densidad está dada por la siguiente expresión:
Donde Esta distribución se simboliza: Función de distribución: La función de distribución acumulada esta dada por:
Propiedades: Media: [ ] Veamos la demostración:
[ ]
[ ]
∫
( )
∫
[
( (
)(
)
Varianza: [ ]
(
(
]
(
)
) )
)
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(
)
Veamos la demostración: Primero hallamos: [
[ ]
[ ]
[
]
(
( [ ]) )
(
(
]
∫
(
(
)
(
)
)
[ ]
(
(
)
)
)
)
Lección 36: Distribución normal y sus aplicaciones. Es una de las distribuciones de probabilidad más importantes en todo el campo de la estadística ya que gran parte de la teoría estadística y de probabilidad que se ha construido y de las distintas técnicas estadísticas para el análisis de datos que se aplica en la actualidad se fundamenta en esta distribución; en especial, juega un papel clave en el desarrollo de la inferencia estadística, pues muchas de las herramientas usadas en la toma de decisiones o en las pruebas de hipótesis, tienen su fundamento en la distribución normal. Un gran número de estudios pueden ser aproximados usando una distribución normal:
Algunas variables físicas datos meteorológicos (temperatura, precipitaciones, presión atmosférica, etc.). Caracteres morfológicos de individuos (personas, animales o plantas) o mediciones en organismos vivos. Caracteres sociológicos, por ejemplo, consumo de ciertos productos por individuos de un mismo grupo. Notas o puntajes en pruebas de admisión o de aptitud. Errores en instrumentación. Proporciones de errores en diversos procesos, etc. 2
ión de densidad viene dada por la siguiente expresión matemática:
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(o desviación
f(x, μ, σ 2 )
1 2π .
e
1 x μ 2 σ
2
, - x
X N μ, σ 2
Donde, e = base de los logaritmos naturales = 2,71828
Su gráfica, denominada curva normal, tiene forma de campana, tal como se muestra a continuación.
Al dar a la función los valores de , y valores a x, obtendremos la distribución en cuestión, la que tiene forma de campana, por lo que también se le conoce como campana de Gauss. Hay un número infinito de funciones de densidad Normal, una para cada combinación de y . La media mide la ubicación de la distribución y la desviación estándar mide su dispersión. De esta manera, podemos tener distribuciones con distintas medias pero con la misma medida de variación, o distribuciones con la misma media pero con distintas variaciones o, simplemente distribuciones con distintas medias y distintas variaciones, tal como se observa en los siguientes gráficos: 2
Algunas características especiales de la distribución normal se enumeran a continuación:
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a) b) Es asintótica con respecto a su eje horizontal; esto quiere decir que jamás va a tocar el eje de las equis. c) El área total bajo la curva es 1, esto es,
1 2π σ
e
1 X -μ - 2 σ
2
dx 1
f) Sí sumamos a , se observará que aproximadamente el 68,26% de los datos se encuentran bajo la curva, si sumamos a 2, el 95,44% de los datos estará entre esos límites y si sumamos a 3, entonces el 99,74% de los datos caerá dentro de esos límites. Esta característica es a la vez una forma empírica y rápida de demostrar si los datos que se analizan tienen una distribución Normal; ya que para trabajar los datos con esta distribución, debe verificarse que efectivamente así se distribuyen, ya que de no hacerlo, las decisiones que en un momento dado se tomarán de un análisis de los datos con la distribución Normal, serían erróneas.
¿Cómo se determinan probabilidades con la distribución Normal? Acuerdo a como se trataron las distribuciones de probabilidad continuas, lo más lógico es que la función f(x,, 2 ), se integre entre los límites de la variable x; esto es,
Pa X b Pa X b f(x; μ; σ 2 )dx b
a
La integral anterior nos daría el área bajo la curva de la función, desde a hasta b, que corresponde o es igual a la probabilidad buscada. Debido a la dificultad que se presenta para integrar esta función cada vez que sea necesario, lo que se hace es tipificar el valor de la variable x, esto es, x se transforma en un valor de z, de la siguiente manera:
z
x
valor
Este valor de z es buscado en una tabla donde vienen áreas asociadas a este valor, y haciendo uso de los valores tabulados, se determina la probabilidad requerida. La tabla que es usada para calcular las probabilidades es la que nos da el área que se muestra a continuación:
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0
Z
Ejemplo 1: El acero que se utiliza para tuberías de agua a menudo se recubre internamente con un mortero de cemento para evitar la corrosión. En un estudio de los recubrimientos de mortero de una tubería empleada en un proyecto de transmisión de agua en California (Transportation Engineering Journal, Noviembre de 1979) se especificó un espesor de 7/16 pulgadas para el mortero. Un gran número de mediciones de espesor dieron una media de 0,635 pulgadas y una desviación estándar de 0,082 pulgadas. Sí las mediciones de espesor, tenían una distribución Normal, ¿qué porcentaje aproximado fue inferior a 7/16 de pulgada? Solución: x = variable que nos define el espesor del mortero en pulgadas = 0,635 pulgadas = 0,082 pulgadas
X = 7/16 =0.635
Z
7 / 16 0.635 Z= 0.4375 0.635 2.4085 2.41 0.082 0.082
p(z = -2.41) = 0.492 p(x 7/16 pulgadas) = 0.5- p(z = -2.41) = 0.5-0.492 = 0.008
Por tanto, 0.008 x 100% = 0.8% de los recubrimientos de mortero tienen un espesor menor de 7/16 pulgadas.
Ejemplo 2: Un tubo fluorescente estándar tiene una duración distribuida Normalmente, con una media de 7.000 horas y una desviación estándar de 1.000 horas. Un competidor ha inventado un sistema de iluminación fluorescente compacto que se puede insertar en los receptáculos de lámparas incandescentes. El competidor asegura que el nuevo tubo compacto tiene una duración distribuida Normalmente con una media de 7.500 horas y una desviación estándar de 1.200 horas. a. ¿Cuál tubo fluorescente tiene mayor probabilidad de tener una duración mayor de 9.000 horas? b. ¿Cuál tubo tiene mayor probabilidad de tener una duración de menos de 5.000 horas? Solución: a) Tubo 1 Página 158 de 177
X1 = variable que nos define la duración en horas de un tubo fluorescente = 7.000 horas = 1.000 horas
Tubo 2 X2 = variable que nos define la duración del tubo fluorescente del competidor = 7.500 horas = 1.200 horas
=7.000
9,000 7 ,000 z1 2.00 1,000
X= 9000 p(z1 = 2,00) = 0,4772
p(x1 9.000 horas) = 0,5 – p(z1 = 2,00) = 0.5 – 0.4772 = 0.0228
=7.500
z2
9,000 7 ,500 1.25 1,200
X = 9.000
p(z2 = 1.25) = 0.3944
p(x2 9,000 horas) = 0.5 – p(z2 = 1.25) = 0.5 –0.3944 = 0.1056 Por tanto el tubo fluorescente del competidor tiene una probabilidad mayor de durar más de 9,000 horas. b)
X = 5000
=7000
Página 159 de 177
z1
5,000 7 ,000 2.00 1,000
p(z1 = -2.00) = 0.4772
p(x1 5,000 horas) = 0.5 – p(z1 = -2.00) = 0.5 – 0.4772 = 0.0228
X = 5000
z2
5,000 7 ,500 2.08 1,200
= 7500
p(z2 = -2.08) = 0.4812
p(x2 5,000 horas) = 0.5 – p(z2 = - 2.08) = 0.5 – 0.4812 = 0.0188 Por tanto, el tubo fluorescente que tiene una mayor probabilidad de durar menos de 5,000 horas es el del primer fabricante.
Ejemplo La distribución de la demanda (en número de unidades por unidad de tiempo) de un producto a menudo puede aproximarse con una distribución de probabilidad Normal. Por ejemplo, una compañía de comunicación por cable ha determinado que el número de interruptores terminales de botón solicitados diariamente tiene una distribución Normal, con una media de 200 y una desviación estándar de 50. a) ¿En qué porcentaje de los días la demanda será de menos de 90 interruptores? b) ¿En qué porcentaje de los días la demanda estará entre 225 y 275 interruptores? c) Con base en consideraciones de costos, la compañía ha determinado que su mejor estrategia consiste en producir una cantidad de interruptores suficiente para atender plenamente la demanda en 94% de todos los días. ¿Cuantos interruptores terminales deberá producir la compañía cada día? Solución: a) X = variable que nos indica el número de interruptores demandados por día a una compañía de cable = 200 interruptores por día = 50 interruptores por día
X = 90
= 200
Página 160 de 177
z
90 200 2.20 50
p(z = - 2.20) = 0.4861
p(x 90) = 0.5 – p(z = -2.20) = 0.5 – 0.4861 = 0.0139 Por tanto, 0.0139 x 100% = 1.39% de los días se tendrá una demanda menor de 90 interruptores.
b)
= 200
X2 = 275 X1 = 225
z1
225 200 0.50 50
p(z1= 0.50) = 0.1915
z2
275 200 1.50 50
p(z2 = 1.50) = 0.4332
p(225 x 275) = p(z2) – p(z1) = 0.4332 – 0.1915 = 0.2417 Por tanto, 0.2417 x 100% = 24.17% de los días se tendrá una demanda entre 225 y 275 interruptores.
d) c) En este caso se trata de determinar que valor toma x cuando se pretende cumplir con el 94% de la demanda de todos los días. Por tanto despejaremos de la fórmula de z;
94%
= 200
X=¿
Z
Página 161 de 177
Z
x
;
x = + z
x = + z(p = 0.44) = 200 + z(p = 0.44)(50) = = 200 + (1.55)(50) = 277.5 278 interruptores terminales por día ¿cómo se obtiene el valor de z? En la tabla buscamos la z que corresponde a una probabilidad de 0.44 y nos damos cuenta de que no existe un valor exacto de 0.44 por lo que tomamos los valores de área más cercanos; luego, z(p = 0.4394) = 1.50;
z(p = 0.4406) = 1.60
Por tanto si interpolamos, encontramos que el valor de z para una probabilidad de 0.44 es de 1.55, y es el valor que se sustituye en la ecuación.
¿Cuál es la razón de usar un área de 0.44 en lugar de una de 0.94 para buscar en la tabla el valor de z? Es muy simple, la tabla que estamos usando es una tabla que solo trabaja con áreas que son definidas de la media hasta el valor de x y x puede estar tanto del lado derecho de la media, como del lado izquierdo de la media, es por esto que el área a utilizar es de 0.44 que se encuentra al lado derecho de la media.
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En un examen de matemáticas, en el que se ha evaluado de 0 a 20 puntos, el 67% de los alumnos ha obtenido una puntuación igual o menor que 12,2 y el 9% ha obtenido puntuación superior a 16,7. Suponiendo que la distribución de las puntuaciones sea normal, calcule su media y su desviación típica. Solución
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Los paquetes recibidos en un almacén tienen un peso medio de 300 Kg. y una desviación típica de 50 Kg. ¿Cuál es la probabilidad de que 25 de esos paquetes, elegidos al azar, excedan el límite de carga del montacargas donde se van a meter, que es de 8200 Kg.? Solución
Lección 37: Distribución Exponencial. La distribución exponencial, como función de distribución de variable continua, tiene una gran utilidad práctica ya que podemos considerarla como un modelo adecuado para la distribución de probabilidad del tiempo de espera entre dos hechos que sigan un proceso de Poisson. De hecho la distribución exponencial puede derivarse de un proceso experimental de Poisson con las mismas características que las que enunciábamos al estudiar la distribución de Poisson, pero tomando como variable aleatoria, en este caso, el tiempo que tarda en producirse un hecho Obviamente, entonces , la variable aleatoria será continua. Por otro lado existe una relación entre el parámetro a de la distribución exponencial , que más tarde aparecerá , y el parámetro de intensidad del proceso l , esta relación es a = l Al ser un modelo adecuado para estas situaciones tiene una gran utilidad en los siguientes casos: · Distribución del tiempo de espera entre sucesos de un proceso de Poisson · Distribución del tiempo que transcurre hasta que se produce un fallo, si se cumple la condición que la probabilidad de producirse un fallo en un instante no depende del tiempo transcurrido .Aplicaciones en fiabilidad y teoría de la supervivencia.
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Función de densidad. A pesar de lo dicho sobre que la distribución exponencial puede derivarse de un proceso de Poisson , vamos a definirla a partir de la especificación de su función de densidad: DEFINICIÓN: Dada una variable aleatoria X que tome valores reales no negativos {x > 0} diremos que tiene una distribución exponencial de parámetro a con a > 0, si y sólo si su función de densidad tiene la expresión:
( )
Se dice que x → Exp(α)
Grafica de la Función Exponencial
Gráficamente como ejemplo planteamos el
Función de Distribución Acumulada:
En la principal aplicación de esta distribución, que es la Teoría de la Fiabilidad, resulta más interesante que la función de distribución la llamada Función de Supervivencia o Función de Fiabilidad. La función de Supervivencia se define cómo la probabilidad de que la variable aleatoria tome valores superiores al valor dado X:
Si el significado de la variable aleatoria es "el tiempo que transcurre hasta que se produce el fallo": la función de distribución será la probabilidad de que el fallo ocurra antes o en el instante X: y , en consecuencia la función de supervivencia será la probabilidad de que el fallo ocurra después de transcurrido el tiempo X ; por lo tanto, será la probabilidad de que el elemento, la pieza o el ser considerado "Sobreviva" al tiempo X ; de ahí el nombre.
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Grafica de la Función de distribución Acumulada: Para
En la que se observa lo que sería la diferencia entre función de distribución y la de supervivencia
Propiedades: Media: Varianza:
( ) ( )
La distribución exponencial es un caso particular de distribución gamma con k = 1. Además la suma de variables aleatorias que siguen una misma distribución exponencial es una variable aleatoria expresable en términos de la distribución gamma. Ejemplo: El tiempo durante el cual cierta marca de batería trabaja en forma efectiva hasta que falle (tiempo de falla) se distribuye según el modelo exponencial con un tiempo promedio de fallas igual a 360 días.
a) ¿qué probabilidad hay que el tiempo de falla sea mayor que 400 días?.
b) Si una de estas baterías ha trabajado ya 400 días, ¿qué probabilidad hay que trabaja más de 200 días más?
c) Si se están usando 5 de tales baterías calcular la probabilidad de que más de dos de ellas continúen trabajando después de 360 días.
Solución Sea X=el tiempo que trabaja la batería hasta que falle. El tiempo promedio de falla es de 360 días. Entonces, X ~Exp (ß=1/360) y su función de densidad es:
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EJEMPLO: Suponga que la vida de cierto tipo de tubos electrónicos tiene una distribución exponencial con vida media de 500 horas. Si X representa la vida del tubo (tiempo q dura el tubo).
a) Hallar la probabilidad que se queme antes de las 300 horas.
b) ¿Cuál es la probabilidad que dure por lo menos 300 horas?
c) Si un tubo particular ha durado 300 horas. ¿cúal es la probabilidad de que dure otras 400 horas?
Solución
Los dos ejemplos fueron tomados de:http://www.monografias.com/trabajos84/distribucion-exponencial/distribucionexponencial.shtml. Tomado 19 Julio 2012
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Lección 38: Distribución Weibull. La tecnología actual nos permite diseñar muchos sistemas complicados cuya operación, o quizá seguridad, depende de le confiabilidad de los diversos componentes que conforman los sistemas. Por ejemplo, un fusible puede quemarse, una columna de acero puede torcerse. Componentes idénticos sujetos a idénticas condiciones ambientales fallaran en momentos diferentes. Se tiene un modelo continuo asociado a variables del tipo tiempo de vida, tiempo hasta que un mecanismo falla, etc. La función de densidad de este modelo viene dada por:
Los parámetros de la función son: α > 0 y β > 0, donde α es un parámetro de escala y β es un parámetro de forma. La función de distribución acumulada se obtiene por la integración de la función de densidad y se define de la siguiente manera:
Grafica de la Función de Densidad
Grafica de la Función acumulada
Propiedades: Media:
( )
(
)
Página 168 de 177
Varianza:
( )
* (
)
(
)+
Asimetría:
Curtosis:
Donde:
.
Al igual que la distribución gamma y la exponencial, la distribución de weibull también se aplica a problemas de confiabilidad y de vida como los de tiempo de antes del fallo o la vida de un componente que se mide desde algún tiempo especifico hasta que falla .
Ejemplo El tiempo de vida x, en horas , de un artículo en el taller mecánico tiene una distribución de Weibull con =0.01 y ß=2 ¿ cuál es la probabilidad de que falle antes de ocho horas de uso. Solución: P(x<8)=f(8)=1- e(0.01 )8 =1-0.527=0.473
Lección 39: Distribución Ji–cuadrado La (distribución ji) o también llamada distribución chi - cuadrada es un caso especial de la distribución gamma esta tiene muchas aplicaciones como los temas que se tratan de muestreo, análisis de varianza y estadística no paramétrica
La familia de distribuciones Chi-cuadrado ( ) es una distribución unimodal con asimetría positiva. Esta caracterizada por un parámetro llamado grados de libertad (gl). La media en esta familia es igual a gl. La varianza es igual a 2 veces la media. Representa la distribución de la suma de los cuadrados de n variables aleatorias independientes normalmente distribuidas. 2
La variable aleatoria continua x tiene una distribución j-i cuadrada, con v grados de libertad, si su función de densidad está dada por :
para x >0 n
0, en cualquier otro caso
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Donde v es un entero positivo. Grafica de la Función Chi Cuadrado: Función de densidad de Probabilidad
Función de distribución Acumulada
Se puede ver una Ji Cuadrado con 5 grados de libertad. C h i-c u a d ra d o(g l=5 ) 0 ,2 0 0 ,1 5 0 ,1 0 0 ,0 5 0 ,0 0 0
5
1 0
1 5
2 0
Propiedades:
La media: μ = ʋ La Varianza: σ2 = 2ʋ Donde ʋ son los grados de libertad.
Página 170 de 177
Ejemplo:
Encontrar la P(c2 >4.11 ; gl=3)=0.25 Encontrar c2* tal que P(c2 > c2 * ; gl=5)=0.05 c2 *=11.07
Ejemplo: Cuál es la distribución de probabilidad de chi cuadrado de 4 grados de libertad de que x<1.2 Solución: Según la tabla en la columna 4y la fila de 1.2 tenemos P(x/<1.2)=0.121901
Lección 40: Distribución t-student. En Estadística y Probabilidad, existe una distribución creada por William Gosset, estadístico Británico, quien en sus investigaciones, desarrolló la distribución llamada con el seudónimo t Student, la cual surge del problema de estimar la media de una población normalmente distribuida cuando el tamaño de la muestra es pequeño. Aparece de manera natural al realizar la prueba t de Student para la determinación de las diferencias entre dos medias muestrales y para la construcción del intervalo de confianza para la diferencia entre las medias de dos poblaciones cuando se desconoce la desviación típica de una población y ésta debe ser estimada a partir de los datos de una muestra. Entre sus características se tiene: Es una familia de distribuciones con forma de ―campana‖, Simétrica y Unimodal. En esta familia de distribuciones la media es 0.
Se obtiene por el cociente entre la normal y la raíz cuadrada de una
√
⁄
Página 171 de 177
dividida por sus grados de libertad.
t de Student (g.l.= 10) 0,45
0,30
0,15
0,00 -3,50
-1,75
0,00
1,75
3,50
La desviación estándar depende de un parámetro denominado ―grados de libertad‖.
Ejemplo: Cuál es la probabilidad acumulada de que una distribución t student con 9 grados de libertad, de que x < 0,25. Solución: Según el planteamiento: P (t9 < 0,25). Entonces buscando en la tabla: Columna 9 y fila con 0,25, se obtiene: P (t9 < 0,25) = 0,596
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Ejemplo: Encontrar la P (t > 0,82; gl=2) Solución: En la tabla se observa que: P (t > 0,82; gl=2)=0.25 Ejemplo: Encontrar t* tal que P(t >t* ; gl=8)=0.05 Solución: Encontrar t* tal que P (t > 1,86; gl = 8) = 0.05, así que t = 1,86
Lección 41: Distribución de F-Fisher Existen ciertas situaciones donde se requiere comparar el comportamiento de dos poblaciones, por medio de la varianza, casos como identificar la precisión de un instrumento de medición con la de otro, la estabilidad de un proceso de manufactura contra otro, la calificación de docente contra otro y muchas situaciones más. Página 173 de 177
La comparación de varianzas son un tema importante en la inferencia estadística y en estudios de muestreo, de esto surge una distribución fundamental en estadística: Distribución de Fisher o Distribución de Fisher – Snedecor. Intuitivamente, cuando el cociente entre las dos varianzas
es muy pequeño, cercano a uno, se tiene poca
evidencia para pensar que las varianzas poblacionales ( ) no son iguales. De igual manera cuando el cociente es muy grande, hay evidencia de que la varianzas poblacionales son diferentes. Sean las variables aleatorias X y Y, con distribución Chi cuadrado e independientes, con ʋ1 y ʋ2 grados de libertad. Entonces, la distribución de variable aleatoria continua
⁄ ⁄
es distribución F de Fisher, cuya
función de densidad esta dad por la siguiente expresión:
( )
* (
(
⁄ ) (
)
+(
⁄
)
⁄
(
)(
⁄ )(
⁄
) )
Propiedades:
La media: La Varianza:
Para ʋ2 > 2 ( (
) ) (
)
Para ʋ2 > 4
Donde ʋ son los grados de libertad. Grafica de la Distribución Fisher:
Tabla de la Distribución Fisher: Para cada nivel de significancia (α), se da los grados de libertad del numerador en la primera fila y los grados de libertad del denominador en la primera columna, la intersección es el valor de la distribución.
Página 174 de 177
Ejemplo: Hallar el valor de la distribución F para los siguientes casos: a-) El área a la derecha de F para α = 0,25 si
ʋ1 = 4 y ʋ2 = 9.
Solución: Como el área que da la tabla es desde cero a un valor dado de Fisher, se tiene que localizar primero los grados de libertad del denominador que son 9, luego un área de 0.75 con 4 grados de libertad del numerador.
b-) El área a la izquierda de F para α = 0,95 si
ʋ1 = 15 y ʋ2 = 10.
Solución: En este caso se puede buscar el área de 0.95 directamente en la tabla con sus respectivos grados de libertad. 15 y 10, para α = 0,95
c-) El área a la derecha de F para α = 0,95 si
ʋ1 = 6 y ʋ2 = 8.
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Solución: Se tiene que buscar en la tabla un área de 0.05, puesto que nos piden un área a la derecha de F de 0.95.
d-) El área a la izquierda de F para α = 0,10 si
ʋ1 = 24 y ʋ2 = 24.
Solución: Se busca directamente el área de 0.10, con sus respectivos grados de libertad, 24 y 24 para numerador y denominador.
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BIBLIOGRAFÍA BEJARANO BARRERA, Hernán (1995). Estadística Descriptiva. Santa fe de Bogotá: UNISUR. CHRISTENSEN, Howard B. (1999). Estadística Paso a Paso. México: Editorial Trillas. MARTÍNEZ BENCARDINO, Ciro (2004). Estadística Básica Aplicada. Santa fe de Bogotá: ECOE Ediciones. MARTÍNEZ BENCARDINO, Ciro (2003). Estadística y Muestreo. Santa fe de Bogotá: ECOE Ediciones. MILTON, J. Susan (1999). Estadística para biología y ciencias de la salud. Madrid: McGraw Hill — Interamericana. PORTUS GOVINDEN, Lincoyán (2001). Introducción a la Estadística. Segunda edición. Santa fe de Bogotá. McGraw Hill. PORTILLA CHIMAL, Enrique (1980). Estadística, Primer Curso. Bogotá: Nueva Editorial Interamericana. SPIEGEL, Murria R. (1991). Estadística. Serie de compendios Schaum. México: McGraw Hill. SMITH, A. Stanley. (1992). Curso de Estadística Elemental para las ciencias aplicadas. Primera edición. Santa fe de Bogotá. Editorial Addison – Wesley Iberoamericana.
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