PRÁCTICA DE CALCULO DE PROBABILIDADES P ROBABILIDADES
Aprendizaje de conceptos básicos
4.1 4.1
Supo Supong ngaa que que se lanz lanzan an al aire aire dos dos mon moned edas as.. a) Dé un ejemplo de evento simple. Dé un ejemplo de evento conjunto. ¿Cuál es el complemento de una cara en el primer lanzamiento?
4.2
Supon Suponga ga que que una una urn urnaa co cont ntie iene ne 12 12 bola bolass roja rojass y och ochoo bola bolass blan blanca cas. s. a) Dé un un ej ejemplo de de eevvento ssiimple ¿Cúal es el complemento de una bola roja?
4.3
Supon Suponga ga que que se se ha elabo elabora rado do la la sigui siguien ente te tabl tablaa de conti continge ngenc ncia ia:: B B’ A 10 20 A’ 20 40 Total 30 60 Con sus probabilidades respectivas a continuación:
P(A) P(A’) Total
Tabla de Probabilidad P(B) P(B’) P(A∩B) P(A∩B’) 10/90 20/90 P(A’∩B) P(A’∩B’ 20/90 ) 40/90 30/90 60/90
Total 30 60 90
Total 30/90 60/90 1 .0 0
Calcule: a)
Probabil bilidad del Evento nto A? P(A) =
b)
Probabil bilidad de del Evento nto B? B? P(B) =
c)
Probabil bilidad de del Evento nto A’? P(A’) =
d)
Probabil bilidad de del Ev Evento nto A y B? B? 1
P(A ∩ B) =
4.4
e)
Evento A y B’? P(A ∩ B’) =
f)
Evento A’ y B’? P(A’∩ B’) =
g)
Evento A o B? P(A U B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B) =
h)
Evento A o B’? P(A U B’) = P(A) + P(B’) - P(A ∩ B’) =
i)
Evento A’ o B’? P(A’ U B’) = P(A’) + P(B’) - P(A’ ∩ B’) =
Suponga que se ha elaborado la siguiente tabla de contingencia: A A’ Total
B 10 25 35
B’ 30 35 65
Total 40 60 100
¿Cúal es la probabilidad del a) Evento A? P(A) = b)
Evento B? P(B) =
c)
Evento A y B?
d)
Evento A’?
e)
Evento A y B’
2
f)
Evento A’ y B’?
g)
Evento A o B? P(A U B) =
h)
Evento A o B’? P(A U B’) =
i)
Evento A’ o B’? P(A’ U B’) =
Aplicación De Conceptos
4.5
4.6
Para cada uno de los siguientes eventos, establezca si los eventos creados son mutuamente excluyentes. a)
Se preguntó a los votantes si estaban registrados como republicanos o como demócratas.
b)
Se clasificó a los estudiantes encuestados según el automóvil que poseían en las categorías americano, europeo, japonés o ninguno.
c)
Se preguntó a un grupo de personas: “¿Vive actualmente ( i ) En un departamento. (ii) En una casa?
d)
Se clasificó un producto como defectuoso o no defectuoso.
e)
Se preguntó a un grupo de personas: “¿Tiene la intensión de comprar un automóvil nuevo durante los próximos séis meses?” (i) Sí, (ii) No.
La probabilidad de los eventos siguientes es cero. Para cada uno, establezca por qué. Diga qué característica común de estos eventos hace que su probabilidad sea cero. a)
Una persona registrada como republicana y como demócrata. 3
b) b) 4.7
Un producto que es defectuoso y no defectuoso. . Una casa estilo rancho y estilo Cape Cod.
En los últimos años, las compañías de tarjetas de crédito han hecho un gran esfuerzo para lograr nuevas cuentas de estudiantes universitarios. Suponga que una muestra de 200 estudiantes en su universidad proporcionó la siguiente información sobre si poseía una tarjeta bancaria y/o una tarjeta de crédito de viaje y entretenimiento.
Tarjeta de Crédito Bancaria A Sí A’ No Total
Tarjeta de Crédito para viaje y entretenimiento B Sí B’ No 60 60 15 65 75 125
Total 120 80 200
a)
Dé un ejemplo de evento simple?
b)
Dé un ejemplo de evento conjunto? . ¿Cuál es el complemento de tener una tarjeta de crédito bancaria? . ¿Por qué es un evento conjunto “tener una tarjeta de crédito bancaria y tener una tarjeta de viaje y entretenimiento”?
c) d)
Si se selecciona un estudiantes al azar, ¿Cuál es la probabilidad de que
.
e)
Tenga una tarjeta de crédito bancaria?
f)
Tenga una tarjeta de crédito de viaje y entretenimiento?
g) .
Tenga una tarjeta de crédito bancaria y una tarjeta de viaje y entretenimiento?
h)
No tenga una tarjeta de crédito bancaria ni una tarjeta de viaje y entretenimiento?
4
i) Tenga una tarjeta de crédito bancaria o tenga una tarjeta de viaje y entretenimiento?
j)
4.8
No tenga una tarjeta de crédito bancaria o tenga una tarjeta de viaje y entretenimiento?
El director de una agencia de empleo grande desea estudiar varias características de las personas que solicitan trabajo. S e selecciona una muestra de 150 solicitantes y se proporciona la siguiente información acerca de si los solicitantes estuvieron en sus últimos trabajos por lo menos 5 años y si tienen un título universitario o no:
Estuvo en el último empleo por lo menos 5 años A Sí A’ No Total
Grado Universitario B Sí B’ No 25 45 55 25 80 70
Total 70 80 150
a)
Dé un ejemplo de evento simple
b)
Dé un ejemplo de evento conjunto
c)
¿Cuál es el complemento de “estuvo en su último empleo por lo menos 5 años”?
Si se selecciona un solicitante al azar, ¿Cuál es la probabilidad de que ella o el d)
Tenga un título universitario
e)
Haya estado en el último menos de 5 años?
.
f)
Tenga título universitario y haya estado en el último empleo menos de 5 años?
g)
No tenga título universitario y haya estado en el último empleo menos de 5 años?
5
h) i) 4.9
Tenga título universitario o haya estado en el último empleo menos de 5 años No tenga título universitario o haya estado en el último empleo menos de 5 años? Se seleccionó una muestra de 500 encuestados en un área metropolitana para determinar cierta información acerca del comportamiento de los consumidores. Entre las preguntas estaba: “¿Disfruta usted comprando ropa?” De 240 hombrea, 136 respondieron que sí. De 260 mujeres, 224 respondieron que sí.
a) Establezca una tabla de 2 * 2 para evaluar las probabilidades. Disfruta comprando ropa A Sí A’ No Total
Hombres B
Mujeres B’
Total
b) Dé un ejemplo de evento simple. . c) Dé un ejemplo de evento conjunto. d) ¿Cuál es el complemento de “disfrutar comprando ropa”? ¿Cuál es la probabilidad de que un encuestado elegido al azar e) Sea hombre? . f) Disfrute comprando ropa? g) Sea mujer y disfrute comprando ropa? h) Sea hombre y no disfrute comprando ropa? i) Sea mujer o disfrute comprando ropa? j) Sea hombre o no disfrute comprando ropa? k)
Sea hombre o mujer?
6
4.10
Una compañía ha puesto a la disposición de sus empleados (sin cargo extra) un gimnasio que pueden usar antes del trabajo, durante la hora del almuerzo, después del trabajo o en fines de semana. Los registros del último año indican que de 250 empleados, 110 usaron, el gimnasio en alguna ocasión. De 170 hombres empleados por la compañía, 65 usaron el gimnasio. a) Establezca una tabal de 2*2 para evaluar la probabilidad de uso del gimnasio. Uso del gimnasio A Sí A’ No Total
Hombres B
Mujeres B’
Total
b) Dé un ejemplo de un evento simple. . c) Dé un ejemplo de un evento conjunto. . d) ¿Cuál es el complemento de “usaron el gimnasio”? ¿Cuál es la probabilidad de que un empleado elegido al azar e) Sea hombre? f) Haya usado el gimnasio? g) Sea mujer y haya usado el gimnasio? h) Sea mujer y no haya usado el gimnasio? i) Sea mujer o haya usado el gimnasio? j) Sea hombre o no haya usado el gimnasio? k) Haya usado el gimnasio o no haya usado el gimnasio? 4.12. Cada año se recopilan evaluaciones del desempeño de los automóviles nuevos durante los primeros 90 días de su uso. Suponga que los autos están clasificado de acuerdo a dos atributos, si necesita reparaciones amparadas por la garantía (si o no) y el país sede de la compañía que fabrico el auto (Estados Unidos, otro diferente a Estados Unidos). Con base en los datos recopilados, la probabilidad de que un automóvil nuevo necesite una reparación garantizada es 0.04, la probabilidad de que un auto se haya fabricado en una compañía en Estados Unidos es 0.06 y la probabilidad de que necesite un reparación garantizada y se haya fabricado en una compañía en Estados Unidos en 0.025. 7
.a Establezca una tabla 2x2 para evaluar las probabilidades. .b De un ejemplo de un evento simple .c De un ejemplo de un evento compuesto .d Cual es el complemento de “fabricado por una compañía en Estados Unidos” Cual es la probabilidad de que un automóvil nuevo seleccionado al azar: .e Necesite una reparación amparada por garantía .f No la haya fabricado una compañía en Estados Unidos .g Necesite una reparación amparada por garantía y lo haya fabricado una compañía en Estados Unidos .h No necesite una reparación amparada por garantía y lo haya fabricado una compañía en Estados Unidos. .i Necesite una reparación amparada por la garantía y no lo haya fabricado en una compañía en Estados Unidos. .j Necesite una reparación amparada por la garantía y no necesite una reparación amparada por la garantía 4.13. Suponga que se estableció la siguiente tabla de contingencia:
A A'
Tabla de Contingencia B B' 10 20 20 40 30 60
30 60 90
Tabla de Probabilidad B B' 10/90 20/90 20/90 40/90 30/90 60/90
A A'
30/90 60/90 1.00
Cual es la probabilidad de: a. A|B? b. A|B´? c. A´|B´? d. Son los eventos A y B estadísticamente independientes 4.14. Suponga que se estableció la siguiente tabla de contingencia:
A A'
Tabla de Contingencia B B' 10 30 25 35 35 65
40 60 100
Tabla de Probabilidad
8
A A'
B 10/100 25/100 35/100
B' 30/100 35/100 65/100
40/100 60/100 1.00
Cual es la probabilidad de: a. A|B? b. A|B´? c. A´|B´? d. Son los eventos A y B estadísticamente independencia? 4.15. Si P(AyB)=0.4 y P(B)=0.8, calcule P(A|B) 4.16. Si P(A)=0.7 y P(B)=0.6, y A y B son estadísticamente independientes encuentre: P(AyB). 4.17. Si P(A)=0.3, P(B)=0.4 y P(AyB)=0.20, son A y B estadísticamente independientes?
4.18. En los últimos años, las compañías de tarjeta de créditos han hecho un gran esfuerzo por lograr nuevas cuentas entre estudiantes universitarios. Suponga que una muestra de 200 estudiantes en la universidad indico la siguiente información acerca de si el estudiante poseía una tarjeta de crédito bancaria y/o una tarjeta de crédito para viaje y entretenimiento. a. Suponga que se sabe que el estudiante tiene una tarjeta de crédito bancaria. Cual es la probabilidad de que ella o el tenga una tarjeta de crédito para viaje y entretenimiento? b. Suponga que se sabe que el estudiante no tiene una tarjeta de crédito para viaje y entretenimiento. Cual es la probabilidad de que ella o el tenga una tarjeta de crédito bancaria? c. Son los dos eventos, tener tarjeta de crédito bancaria y tener una tarjeta de crédito para viaje y entretenimiento, estadísticamente independientes?. Explique.
9
TCB
TCB
Tabla de Contingencia TCVE SI (B) NO (B´) SI (A) 60 60 NO (A`) 15 65 75 125 Tabla de Probabilidad TCVE SI (B) NO (B´) SI (A) 60/200 60/200 NO (A`) 15/200 65/200 75/200 125/200
120 80 200
120/200 80/200 1.00
4.19. El director de una agencia de empleos desea estudiar varias características de las personas que solicitan empleos. Se selecciono una muestra de 150 solicitantes, y se tiene la siguiente información de si los solicitantes estuvieron en sus últimos trabajos por lo menos 5 años y si tienen un titulo universitario o no? a. Dado que el solicitante tiene un titulo universitario. Cual es la probabilidad de que el o ella haya estado en su ultimo empleo menos de 5 años? b. Si el solicitante estuvo en su último empleo menos de 5 años. Cual es la probabilidad de que el o ella tenga un titulo universitario? c. Explique la diferencia en los resultados (a) y (b). d. Son estadísticamente independientes tener titulo universitario y estar en su último empleo por lo menos 5 años. Explique Respuesta Tabla de Contingencia T. Univ SI (B) por lo menos 5 años SI (A) 25 NO (A`) 55 80
NO (B´) 45 25 70
70 80 150
Tabla de Probabilidad T. Univ SI (B) Por lo menos 5 años
NO (B´)
SI (A) NO (A`)
10
4.20. Se selecciono una muestra de 500 encuestados en una área metropolitana para determinar cierta información acerca del comportamiento de los consumidores. Entre las preguntas estaban: “Disfruta usted comprando ropa?”. De 240 hombres, 136 respondieron que si, de 260 mujeres, 224 respondieron que si. a. Suponga que el participante elegido es mujer. Cual es la probabilidad de que no disfrute comprando ropa? b. Suponga que el participante elegido disfruta comprando ropa. Cual es la probabilidad de que la persona sea hombre? c. Los eventos disfrutar comprando ropa y sexo del participante, Son estadísticamente independientes?. Explique Tabla de Contingencia Sexo H (B) Disfruta comprando ropa
Disfruta comprando ropa
4.21.
M (B´)
SI (A) NO (A`)
Tabla de Probabilidad Sexo H (B) SI (A) NO (A`)
M (B´)
Un compañía a puesto a disposición de sus empleados (sin costo) los servicios de un gimnasio que puede usar antes 11
del trabajo, durante la hora de almuerzo, después del trabajo o en fines de semana. Los registros del ultimo año indican que de 250 empleados, 110 hicieron uso del gimnasio en alguna ocasión . De 170 hombres en la compañía, 65 usaron el gimnasio. a. Suponga que se elige a una empleado de la compañía. Cual es la probabilidad de que haya utilizado el gimnasio? b. Suponga que se selecciona a un empleado de la compañía. Cual es la probabilidad de que no haya usado el gimnasio c. Son el genero de la persona y el uso del gimnasio estadísticamente independientes? Explique. Respuesta Tabla de Contingencia Sexo H (B) Usaron el gimnasio SI (A) 65 NO (A`) 105 170
M (B´) 45 110 35 140 80 250
Tabla de Probabilidad Sexo H (B) M (B´) Usaron el gimnasio
SI (A) 65/250 45/250 110/250 NO (A`) 105/250 35/250 140/250 170/250 80/250 1.00
. 4.22. Cada año se recopilan evaluaciones del desempeño de los automóviles durante los primeros 90 Días de uso. Suponga que los autos se clasificaron de acuerdo con los dos atributos, si necesita una reparación amparada por garantía (si o no) y el país de 12
manufactura del automóvil (Estados Unidos, otro diferente a Estados Unidos). Con base en los datos recopilados, la probabilidad de que un auto nuevo necesite una reparación amparada por la garantía es 0.04, la probabilidad de que el auto se haya fabricado en Estados Unidos es 0.60 y la probabilidad de que el auto requiera una reparación amparada por la garantía y se haya fabricado en Estados Unidos es 0.025. a. Suponga que se sabe que el automóvil fue fabricado por una compañía en Estados Unidos. Cual es la probabilidad de que necesite una reparación amparada por la garantía? b. Supona que se sabe que el automóvil no fue fabricado por una compañía en Estados Unidos. Cual es la probabilidad de que necesite una reparación amparada por la garantía? c. La necesidad de una reparación amparada por la garantía y la ubicación de la compañía que fabrica automóvil, Son eventos estadísticamente independientes? Respuesta
Reparacion
Tabla de Probabilidad Fabricado en USA (B) SI (A) 0,025 NO (A`) 0,575 0,6
Otro (B´) 0,015 0,385 0,4
0,04 0,96 1
4.23 Suponga que piensa que la probabilidad de que obtener una A en estadística es 0.6 y que la probabilidad de obtener una A en comportamiento organizacional es 0.8. Si estos eventos son independientes. ¿Cuál es la probabilidad de obtener A en estadística y en comportamiento organizacional? Dé algunas razones posibles por las cuales por las cuales estos eventos puedan no ser independientes, aun cuando los profesores de estas materias no se comuniquen entre ellos acerca de su trabajo. 4.24 Se usa una baraja estándar para jugar. Hay cuatro palos (corazones, diamantes, tréboles y espadas) y cada uno tiene 13 cartas (as, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, jota, reina y rey) con un total de 52. Las cartas se revuelven de manera exhaustiva y usted recibe las dos primeras cartas de la baraja sin reemplazo. a) ¿Cuál es la probabilidad de que ambas cartas sean reinas? b) ¿Cuál es la probabilidad de que la primera carta sea 10 y la segunda 5 ó 6? c) Si se hiciera un muestreo con reemplazo, ¿cuál sería la respuesta de a? d) En el juego de veintiuno las cartas con retrato (jota, reina, rey) valen 10 puntos y el as 1 u 11 puntos. El resto de las cartas tiene el valor del número. Se logra veintiuno si las cartas de un jugador suman 21 puntos. ¿Cuál es la probabilidad de obtener veintiuno en este problema? 4.25 Una caja con nueve guantes de golf contiene dos guantes para la mano izquierda y siete para la mano derecha a) Si se eligen dos guantes al azar sin reemplazo. ¿Cuál es la probabilidad de que ambos guantes sean para la mano derecha? b) Si se eligen dos guantes al azar sin reemplazo. ¿Cuál es la probabilidad de que salga un guante para la mano derecha y uno para la mano izquierda? 13
c) Si se seleccionan tres guantes ¿Cuál es la probabilidad de que los tres sean para la mano izquierda? d) Si se obtuviera una muestra con reemplazo. ¿Cuál serian las respuestas para (a) (b) y c? 4.26 Si P(B)= 0.05, P(A│B)= 0.80, P(B’)= 0.95 y P(A│B’)=0.40, obtenga P(B│A). 4.27 Si P(B)= 0.30, P(A│B)= 0.60, P(B’)= 0.70 y P(A│B’)=0.50, obtenga P(B│A). 4.28
En el ejemplo 4.12, suponga que la probabilidad de que una prueba de diagnóstico médico dé un resultado positivo si la enfermedad no está presente se reduce de 0.02 a 0.01. de acuerdo con esta información, se desea saber lo siguiente: a) Si la prueba de diagnóstico médico da un resultado positivo. ¿Cuál es la probabilidad de que la enfermedad esté presente en realidad? b) Si la prueba de diagnóstico médico da un resultado negativo. ¿Cuál es la probabilidad de que la enfermedad no esté presente?
4.29
Un ejecutivo de publicidad estudia los hábitos de televidentes casados durante las horas “pico”. Con base en registros históricos, el ejecutivo determinó que durante las horas “pico”, los maridos ven televisión 60% del tiempo. También determinó que cuando el marido ve televisión, 40% del tiempo la esposa también la ve. Cuando el marido no mira la televisión, 30% del tiempo la esposa si la ve. Encuentre la probabilidad de que: a) Si la esposa ve televisión, el marido también la vea. A = esposo ve televisión V= esposa ve televisión b) La esposa vea televisión, en horas “pico”.
4.30 La Olive Construction Company quiere determinar si debe someter una licitación para un nuevo Centro comercial. En el pasado, el principal competidor de Olive, la Base Construction Company, ha sometido licitaciones 70% de las veces. Si la Base Construction Company no licita un trabajo, la probabilidad de que la Olive lo gane es de 0.50. Si la Base licita un trabajo, la probabilidad de que la Olive lo obtenga es 0.25. a) Si la Olive Construction Company obtiene el trabajo, ¿Cuál es la probabilidad de que la Base Construction Company no haya licitado? A = Base Construction Company B = Olive Construction Company
14
b) ¿Cuál es la probabilidad de que la Olive Construction Company obtenga el trabajo? P(Olive obtienetrabajo)= 0.20 + 0.25 = 0.45 4.31 El editor de una gran compañía que edita libros de texto quiere decidir si va a publicar un libro de estadística para administración. El análisis de los libros de texto que se publicaron anteriormente indica que 10% fueron grandes éxitos, 20% tuvieron un éxito modesto, 40% lograron recuperar los gastos de inversión y 30% fueron un fracaso. Sin embargo, antes de tomar una decisión, se va a realizar un dictamen del libro. En el pasado 99% de los grandes éxitos obtuvieron dictámenes favorables, 70% de los éxitos modestos obtuvieron dictámenes favorables, 40% de los títulos que alcanzaron a recuperar gastos de inversión obtuvieron dictámenes favorables y 20% de los fracasos fueron sometidos a esta clase de dictámenes. a) Si el libro propuesto obtiene un dictamen favorable, ¿Cómo debe revisar el editor las probabilidades de los diferentes resultados para tomar en cuenta esta información? b) ¿Qué proporción de libros de texto reciben dictámenes favorables? 4.32 Una emisora de bonos municipales tiene tres categorías de clasificación (A, B y C). Suponga que el año pasado, de los bonos municipales que se emitieron en Estados Unidos, 70% tuvieron clasificación A, 20% clasificación B y 10% clasificación C. De los bonos municipales con clasificación A, 50% fueron emitidos en ciudades, 40% en suburbios y 10% en áreas rurales. De los bonos municipales con clasificación B, 60% fueron emitidos en ciudades, 20% en suburbios y 20% en áreas rurales. De los bonos con clasificación C, 90% fueron emitidos en ciudades, 5% en suburbios y 5% en áreas rurales. a) Si una ciudad emitiera un nuevo bono municipal. ¿Cuál sería la probabilidad de que tuviera clasificación A. b) ¿Qué proporción de bonos municipales emiten las ciudades? c) ¿Qué proporción de bonos municipales emiten los suburbios?
15
