Modulo de Teoria de Conjuntos

Teoría de Conjuntos

Fidel Vera Obeso

ACTIVIDAD N° 01

OBJETIVO N° 01 Determinar y representar conjuntos.

"studi "stu die e la in in#or #orma maci ci!n !n de dest stac acan ando do lo los s conceptos conceptos b0sicos, b0sicos, notaciones notaciones y #ormas exis ex iste tent ntes es pa para ra la de dete term rmin inac aci! i!n n de conjuntos.

Así Así como como en la Geom Geomet etrí ríaa las las idea ideass de Punto, Recta y Plano son Plano son conceptos básicos que se admiten admiten sin definición definición;; las ideas de Conjunto, Elemento y Pertenencia son, Pertenencia son, también, ideas no susceptibles de definición.

Conjunto:

I nt ui t i vame ment eun conj unt oesl ar euni ón,col ecci ón oagrupaci ón de obj et os r eal es o i deal es,a es t os obj et os se l es denomi mi nan ó miembros del del conj conjunt unto, o, y de ello elloss se dice dice que pertenecen pertenecen

element elementos os

al

conjunto.

Notación:

P ar a

de n ot a r

a

lo s

co n ju n to s

se

u sa n

le t ra s

mayúsculas: A, B, C, X, etc. y para representar a sus elementos se usan letras minúsculas: a, b, c, etc.

Relación de Pertenencia: Si un objeto “x” es elemento de un conjunto A, se dice ue “x pertenece al conjunto A ” ! ue “x está en A” , y se denota por: x ∈ A.

"n

c as o

contrario, “x no pertenece a A” y se denota por: x ∉ se A.

Ejemplo:

Si A es es el con conju junt nto o #orm #ormad ado o por: por: $, $, %&, %&, ', (), (),*+ *+, ,  y *-

y

B es el co conj njun unto to co cons nsti titu tuid ido o

por por: : )

y *-

escribimos: A  ( $, %&, ', ( ), * +,  , * /- B  ( ), * +. "n este caso:

*


Universidad Nacional del Santa

Fidel Vera Obeso


Fidel Vera Obeso

$ ∈ A A. ... 1 2 3

%& ∈ A...1 2 3

' ∉ A A. ... 1 2 3

* ∈ A ∧ * ∈ B...1 2 3

) ∈ A A. ... 1 2 3

 ∉ B...1 2 3

( ), *+ ∈ A A. . .. 1 2 3

( ( ), *+ + ∉ A...1 2 3

Se ob obse ser4 r4a, a, ad adem em0s 0s, , u ue e el co conj njun unto to B pe perte rtene nece ce al conjunto A. DIAGRAMAS DE VENN-EULER

Para Pa ra

repr re pres esen enta tar r

5r0# 5r 0#ic icam amen ente te

Diagramas de Venn-Euler

a

los lo s

conj co njun unto tos s

se

usan us an

los lo s

ue son re5ione re5iones s plana planas s limi limitad tadas as por por

#i5uras #i5uras 5eom6tricas 5eom6tricas cerradas, como se ilustra ilustra a continuaci!n continuaci!n con los conjuntos

A y B del ejemplo dado anteriormente. A

•(),* •

B

•)

•$

+

•*

•%&

•*

•' 7 ∉ A ∧ 7 ∈ B

12 3

8 ∉ B → ) ∈ B

12 3

( ), * + ∈ B

∨

( * + ∈ B

( ), * + ∉ A

I.

↓

%& ∈ A

12 3 12 3

POR EXTENSION O EN FORMA TABULAR

Cuando se indica expl9citamente expl9citamente cada uno de los elementos elementos del conjunto.

Ejemplo

:

A  ( &, , , 7, ** +

B  ( * , ; , 8 , *' , &  +

C  ( a, e, i, o, u +

II.

POR COMPRENSION O EN FORMA CONSTRUCTIVA

Cuando los elementos

del conjunto son caracteri
una propiedad común.

&



Fidel Vera Obeso


Fidel Vera Obeso

$ ∈ A A. ... 1 2 3

%& ∈ A...1 2 3

' ∉ A A. ... 1 2 3

* ∈ A ∧ * ∈ B...1 2 3

) ∈ A A. ... 1 2 3

 ∉ B...1 2 3

( ), *+ ∈ A A. . .. 1 2 3

( ( ), *+ + ∉ A...1 2 3

Se ob obse ser4 r4a, a, ad adem em0s 0s, , u ue e el co conj njun unto to B pe perte rtene nece ce al conjunto A. DIAGRAMAS DE VENN-EULER

Para Pa ra

repr re pres esen enta tar r

5r0# 5r 0#ic icam amen ente te

Diagramas de Venn-Euler

a

los lo s

conj co njun unto tos s

se

usan us an

los lo s

ue son re5ione re5iones s plana planas s limi limitad tadas as por por

#i5uras #i5uras 5eom6tricas 5eom6tricas cerradas, como se ilustra ilustra a continuaci!n continuaci!n con los conjuntos

A y B del ejemplo dado anteriormente. A

•(),* •

B

•)

•$

+

•*

•%&

•*

•' 7 ∉ A ∧ 7 ∈ B

12 3

8 ∉ B → ) ∈ B

12 3

( ), * + ∈ B

∨

( * + ∈ B

( ), * + ∉ A

I.

↓

%& ∈ A

12 3 12 3

POR EXTENSION O EN FORMA TABULAR

Cuando se indica expl9citamente expl9citamente cada uno de los elementos elementos del conjunto.

Ejemplo

:

A  ( &, , , 7, ** +

B  ( * , ; , 8 , *' , &  +

C  ( a, e, i, o, u +

II.

POR COMPRENSION O EN FORMA CONSTRUCTIVA

Cuando los elementos

del conjunto son caracteri
una propiedad común.

&



Fidel Vera Obeso


Fidel Vera Obeso

"jemplo: A  ( p = p es un número primo ∧ p < *& + B  ( x& = x ∈ Z+ ∧ x ≤  + C  ( x = x es una 4ocal + "suema 5eneral:

      Conjunto   Forma del elemento Caracteristicas      !r opiedadaes )  

Ejemplo: >  ( x = x es un pronombre personal en ?n5l6s + @tro di dia5 a5ra rama ma pa para ra re repr pres esen enta tar r 5r 5r0# 0#ic icam amen ente te a lo los s Nota: @tro conjuntos es el Diagrama de Lewis Carroll.

DIARA!A DE LE"I# CARR$LL

%$!&RE#

!'(ERE# ablan ?n5l6s No hablan Inglés

Se obser4a ue :

%om)res *e ,a)lan Ingl-s

%om)res *e no ,a)lan Ingl-s





Fidel Vera Obeso


So n

Fidel Vera Obeso

t9 p ic o s

en

m at e m0 ti c a

lo s

si 5 ui e nt e s

con onj j un to s

num6ricos: ¥ = { #,$,",%,&,...} ¢ = { ..., −%, − ", − $, #, #,$, ", ", %, %, .. ...}

n   d  ¤ ( = { decimales que no pueden ep resarse en ¡ = ¥ ∪ ¢∪¤ ∪¤ ( ¤ =  ' n, d ∈ ¢ ∧ d ≠ #

forma de fraccion}

£ = { * x + iy ' x, y ∈ ¡ ∧ −$ = i ↔ i " = − $}

C$N('N$ /INI$ n conjunto es #inito cuando posee una cantidad limitada de elem el emen ento tos, s,

es

deci de cir r

el

proc pr oces eso o

de

cont co ntar ar

sus su s

elem el emen ento tos s

termina en al5ún momento.

Ejemplo

:

A  ( x /

x

es un ablante nati4o de Duecua +

B  ( x /

x

es un mes del aEo +

C$N('N$ IN/INI$ n

conj co njun unto to

es

in#i in #ini nito to

cuan cu ando do

tien ti ene e

una un a

cant ca ntid idad ad

ilimitada de elementos di#erentes, es decir el proceso de contar sus elementos nunca termina.

Ejemplo : A  ( p =

p

es un número primo +

B  ( x = x ∈ F ∧ $ <

x < 8 +

C  ( x = x es una estrella de uni4erso +

0.

C$N('N$ N'L$ $ 1ACI$ "s auel conjunto ue carece de elementos.

Ejemplo

:

A  ( x = x

es el actual

2irrey del Perú +

B  ( x = x ∈ G ∧ 7 < x < $ +

Notación: ∅  (

+  { x ' x ≠ x} .

A  B  ∅  (

+.

;



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2.

Fidel Vera Obeso

C$N( N(' 'N$ 'N 'NIARI$ $ #INLE$N "s el conjunto ue tiene un s!lo elemento.

Ejemplo: A +   '  ∈ - ∧ $# <  < $"  + / +  ", ", ", ", ", ..... ........... ..

3.

 $$  +

"

CONJUNTO UN UNIVERSAL 0s un conjunto referencial para el estudio de una situación particular que contiene a todos los conjuntos considerados. 1o eiste un conjunto uni2ersal absoluto.

Ejemplo: A +  $, ", % ;

/ +  ", &, 3, 4 

!ueden ser conjuntos uni2ersales:

U +  $, ", %, &, 5, 3, ............. U + +  '  ∈ 1  H

Ir 0# ic am en t e

el

co n ju n t o

u ni 4 er sa l

se

r ep r e se nt a

5eneralmente mediante un rect0n5ulo.

ILUSTRACIÓN RESUMEN

G@ "S G?>AF?@

G@ "S 2ACK@ P@F "X>"GS?G "S: (%*, ), *, &, + "l conjunto B  ( x ∈ J = % & < x ≤  +. "S L?G?>@

est0 por comprensi!n >?"G" C@M@ CGNG>@ G?2"FSAO A J





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ACTIVIDAD N° 02

Compruebe su aprendi
E(ERCICI$# *.

R'P$ 0

A  ( a, ( a +, ∅ +. ?ndicar cuales de

Qado el conjuntos

las si5uientes proposiciones son 4erdaderas.

&.

a.

( a + ∈ A

d.

∅ ∈ A

b.

"l conjunto ∅ ∈ A

e.

∅  ( ∅ +

c.

( a, ( a + + ∈ A

SeEalar

cuales

de

las

si5uientes

proposiciones

son

4erdaderas. a.

∅  (

b.

A  ( x ∈ F = x&R*  ) +

c.

B  ( x ∈ F = x R &x  ) + es unitario.

d.

"l

+.

conjunto

A



(

es un conjunto no 4ac9o.

%*,

*,

,

,

..........+

por

comprensi!n es A  e. .

;.

( x = x  &n % ,

Si   ( x = x

n ∈ JR +.

∈ F, x& T &  & +, entonces T ∉ .

Qeterminar por extensi!n los si5uientes conjuntos: a.

A  ( x ∈ G = x % * <

b.

C  ( x ∈ J = % & <

c.

M  ( x = x

 +

≤  +

x

es un pronombre personal en ?n5l6s +

Qeterminar por comprensi!n los si5uientes a.

A  ( ;, ', $, *) +

b.

X  ( , , 7, 8, ..........+

c.

U  ( *, ;, 8, *', &, ..............+

'


conjuntos


Fidel Vera Obeso


Fidel Vera Obeso I MP ORT A NT E

Si sus respuestas no coinciden intente nue4amente resol4er el respuesta es err!nea.

con la cla4e, problema cuya

CLA1E DE RE#P'E#A# *. Son 4erdaderas a y d. &.

Son 4erdaderas a, b y c.

.

a.

A  ( , ;, , &, *, ) + ).

c.

M  ( ? am, Uou are, Se is, e is, ?t is, e are, Uou

C  ( %*, ), *, &,  +

are, >ey are +. ;.

a.

A  ( x = x

es par ∧ ; ≤ x

).

X  ( x = x

es impar ∧ x ≥  +

c.

U  ( x = x

∈ JR ∧ x&+

7


≤ *) +


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ACTIVIDAD N° 02

Analice los ejemplos ue se desarrollan a continuaci!n aciendo incapi6 en el uso correcto de la simboli
na

función

proposición

P1x3,

proposicional cuantificacional,

se

relacionada con4ierte

con

una

en

una

proposición lógica 1 2 ! L 3 de acuerdo con el 4alor ue

asume la 4ariable x.

Por ejemplo, la #unci!n P1x3: x& % ;  ) es una #unci!n preposicional ue se con4ierte en 4erdadera si x  &

!

x 

%&, y es #alsa cuando x toma otros 4alores. Aora consideremos un conjunto cualuiera A, por ejemplo : A  ( %&, *, &, %, ) + Oa proposici!n: “Existe por lo menos un x

∈ A,

tal que se verifica P(x”

! eui4alentemente:“∃ x ∈ A = P1x3”, es

4erdadera, pues

existe x  %& ∈ A, tal ue:

x& T ; 

). Así mismo, la proposición: “Para todo x ∈ A, se verifica P(x) ó equi2alentemente “∀ x ∈ A ! P(x), es falsa, pues no todo elemento de A, 2erifica " 6 & + #, basta tomar  +$∈ A ' $" 6 & es diferente de #. A la frase: “Existe un, “Para al"#n $ Al"unos, etc. que denota una parte de un uni2erso, se llama cuantificador eistencial y se denota por ∃; mientras que a la frase: “Para todo, “Para cada $ “Para cualquier, etc. que denota la totalidad de objetos, se llama cuantificador uni2ersal y se denota por ∀.

$



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$.

Fidel Vera Obeso

Nega !ue e"#$te un " A% tal !ue $e &e#'#(a )*"+; equi2ale a decir que% N#ng,n " A% &e#'#(a )*"+, ó que: To-o "% no &e#'#(a )*"+; simbólicamente: 78∃  ∈ A ' !)9 ⇔ ∀  ∈ A ' 7 !).

".

Nega !ue paa to-o " A% &e#'#(a )*"+, equi2ale a decir que: )aa alguno$ " A% no $e &e#'#(a )*"+; simbólicamente: 78∀  ∈ A ' !)9 ⇔∃  ∈ A ' 7 !)

Ejemplo 01: eterminar el 2alor de 2erdad de las siuientes proposiciones, siendo el conjuntoA +  #, $, ", %, &, 5 . a.

∀  ∈ A ' " 6 5 < 3 + #.

b.

∃  ∈ A ' % < " 6 " + #.

c.

∀ ∈ A,∃ y ∈ A '  < y ≤ &

Solu(#n/ a.

0s falsa, pues " 6& < 5 + # se cumple sólo para  + $, y  + 5 y no para todos los demás elementos de A.

b.

0s 2erdadera, puesto que la ecuación % < " 6 " + # tiene dos soluciones  + #, y  + $ en el conjunto A; bastaba que =ubiera una.

c.

0s falsa, pues para 5 ∈ A no eiste nin>n 2alor  ∈ A ' 5 < y ≤ &.

∀  ∈ A

∃ y ∈ A

# $ " % & 5

" % # $ # 1o eiste

'  < y ≤ & # < " ≤ & $ < % ≤ & " < # ≤ & % < $ ≤ & & < # ≤ & 1o se cumple

Ejemplo 0: eterminar el 2alor de 2erdad y near las siuientes proposiciones; dado el conjunto

/+'

∈ -,  ≤ & .

a.

∀  ∈ / '  ? $ @

b.

∀  ∈ /, ∃ y ∈ / ' " < y" ≥

c.

∃  ∈ /, ∃ y ∈ / '  6 y + #.

". 4.

Solu(#n/ a.

alsa, pues para  + %, y para  + & no se satisface la inecuación, burlando el cuantificador ∀. !or otro lado, su neación es:

8



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Fidel Vera Obeso

7 8 ∀  ∈ / '  ? $ @ " 9 ⇔ ∃  ∈ / '  6 $ ≥ " B.C) b.

Cerdadera.

∀  ∈ /,

∃ y ∈ /

$ " % &

% " $ $

' "
Du neación es: 7 8 ∀  ∈ /, ∃ y ∈ / ' " < y" ≥ 4 9 ⇔

∀  ∈ /, ∃ y ∈ / ' " < y" @ 4....C) c.

Cerdadera.

∃  ∈ /,

∃ y ∈ /

$ " % &

$ " % &

'6y+# $6$ "6" %?% &?&

+ + + +

# # # #

Du neación es: 7 8∃  ∈ /, ∃ y ∈ / '  6 y + #9

⇔

∀  ∈ /, ∀ y ∈ / '  6 y ≠ #

*)


...........)


Fidel Vera Obeso


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"s 4erdadero

: es el Cuanti#icador ni4ersal

Oa proposici!n : es el Cuanti#icador "xistencial

∀  ∈ /, ∃ y ∈ / ' " < y" ≥ /+'

4. donde

∈ -,  ≤ & .

Su negac!n es "F#$

%

x& R y& ≥

B& '( )

B * %+ , )+ - .

$ es

la #unci!n proposici!n

ACTIVIDAD N° 03

**



Fidel Vera Obeso


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Analice los ejemplos ue se desarrollan a continuaci!n aciendo incapi6 en el uso correcto de la simboli
E(ERCICI$# R'P$ 2 *.

Qeterminar por extensi!n

el conjunto J ue satis#ace la

proposici!n ue se da en cada caso. a. b.

&.

J  ( x = x ∈ J , x % & V ; .+. J  ( x = ∃ x ∈ J, ∃ y ∈ J = x&

R

y&

V

$ +.

?ndicar cuales de las si5uientes proposiciones son 4erdaderas. As9 mismo, escribir la ne5aci!n en cada caso. x ∈ F, ∀ y ∈ F =1 % x 3 y  % 1 x y 3.

a.

∀

b.

∃ r ∈ D, ∀ p ∈ J

=

p W r.

Compare sus respuestas con la cla4eY

CLA1E DE RE#P'E#A# *.

&.

a.

J  ( Z, %*, ), *, &, , ;, , ' +.

b.

J  ( ), ± *, ± 2 +.

a.

2,

∃ x ∈ F,

b.

L,

∀ r ∈ D, ∃ p∈ J = p \ r.

∃ y

∈ F = 1 % x 3 y [ % x y.

*&



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OBJETIVO N° 0

ACTIVIDAD N° 01

0stablecer la relación entre conjuntos y demostrar las propiedades de Hnclusión e Hualdad de conjuntos.

Analice el si5uiente texto remarcando las de#iniciones, ilustraciones y propiedades de la ?nclusi!n e ?5ualdad de conjuntos.

0ntre dos conjuntos cualesquiera se pueden establecer las siuientes relaciones:

A.

INCLUSI2N/ De dice que un

(onjunto A e$t #n(lu#-o% (onten#-o  e$ un $u4(onjunto -el (onjunto

B, si todo elemento de A es también elemento de /. De denota por: A⊂ /. 0s decir:

A ⊂ / ⇔ 8 ∀  ∈ A ' 

∈ A ⇒  ⊂ / 9.

De lee :EA es subconjunto de / si y sólo si todo " de A es tal que si " ∈ A entonces

" ∈ /F. O4$e&a(#n/ A partir de la definición, basta que un sólo elemento de A no perteneca / para aseurar que A no está incluido o contenido en /; en tal caso se denota por: A ⊄ /.

Ejemplo.

Di

A +  q, s 

r

/ +  p, q, r, s 

⇒ A ⊂ /

&

p A

s

.*

O4$e&a(#n/ Di un conjunto tiene En5 elementos entonces tiene: "n subconjuntos Ejemplo. Di / +  a, b  ⇒

*



Fidel Vera Obeso


Fidel Vera Obeso

∅,  a ,  b ,  a, b .

Ios subconjuntos de / son:

∴ 1umero de subconjuntos de / es:

"" + &.

Ejemplo. Diendo / +  %,  % ,  & ,   &   . ar el 2alor de 2erdad a las siuientes proposiciones : 6

 %  ∈ /

BBBB. C)

6

 %  ⊂ /

BBBB. C)

6

%

6

   &    ⊂ /

BBBB. C)

6

  &   ⊂ /

BBBB. C)

6

J⊂/

BBBB. )

6

J⊄/

BBBB. )

⊂/

BBBB. C)

Gráficamente se representa:

'

'

&

A

%

A

A ⊂ B

Ejemplo/

A ⊄ 

emostrar que la proposición A

B, equi2ale a demostrar que:

6E"#$te al meno$ un " A tal !ue " B5. 0n efecto, la proposición: A ⊄ / equi2ale a decir: E1o es cierto que A está contenido en /F; esto es : A ⊄ /

⇔

⇔

] ^∀ ∈ A =

⇔

∃  ∈ A ' 7   ∈ A ⇒  ∈ / )

⇔ ⇔

7 8 A ⊂ / 9

∃  ∈ A '

 ∈ A

x ∈ A ⇒ x ∈ B / Qe#inici!n

∧

Aplicando la neación

¬   ∈ / ) 9

∃  ∈ A ' 8  ∈ A ∧

 ∉ / 9

∴ A ⊄ / ⇔ ∃  ∈ A '  ∈ A ∧

Iey de p ⇒ q 1eación

 ∉ / )

)op#e-a-e$ -e la In(lu$#n. Ia relación de Hnclusión entre conjuntos oa de las siuientes propiedades:

*;



Fidel Vera Obeso


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A ⊂ A,

∀ conjunto A.

$.$

Keflei2a:

$."

Antisimétrica: Di A ⊂ / y / ⊂ A entonces A + /. L)

$.%

Mransiti2a:

$.&

∀ A, ∅ ⊂ A.

Di A ⊂ / y / ⊂ N entonces A ⊂ N.

L) Norresponde a la definición de Nonjuntos Huales, que se 2erá mas adelante.

7emo$ta(#n -e 1.1 emostrar que: A ⊂ A equi2ale a demostrar que,

∀  ∈ A '  ∈ A ⇒  ∈ A, la cual es una proposición siempre 2erdadera, pues: p ⇒ p

es

una tautoloía como se ilustra a continuación: ! C 

!

⇒

!

C C

∴ A ⊂ A 7emo$ta(#n -e 1.3 Di A ⊂ / y / ⊂ N entonces A ⊂ N.

∀ x ∈ A = x ∈ A ⇒ x ∈ B pues Adem0s,

A ⊂ B.

∀ x ∈ B = x ∈ B ⇒ x ∈ C pues B ⊂ C.

Por la propiedad transiti4a de la Condicional: ^1p ⇒ 3 ∧ 1 ⇒ r 3/ ⇒ ^p ⇒ r/. "n consecuencia,

∀ x ∈ A = x ∈ A ⇒ x ∈ C.

"s decir A ⊂ B

7emo$ta(#n -e 1.8

∅ ⊂ A, ∀ A.

Fecuerde ue la proposici!n p ⇒  es #alsa s!lo si p es 4erdadera y  es #alsa. Oue5o,

∅ ⊂ A ⇔ ∀ x ∈ ∅ = 1 x ∈ ∅ 3 ⇒ 1 x ∈ A3, esta ultima proposici!n es 4erdadera puesto ue el antecedente 1 x ∈

∅ 3 es #also, por ue el conjunto 4ac9o carece de elementos. Conjntos Compara)les. Oos conjuntos A y B son comparables si: Si A ⊄ B

B.

!

B ⊄ A

A ⊂ B

!

B ⊂ A.

se dice ue A y B son no compara)les.

I9UAL7A7 7E CONJUNTOS/ : Ios conjuntos A y / son iuales si y sólo si tienen eactamente los mismos elementos. De denota por: A + / ⇔ 8A ⊂ /) ∧ / ⊂ A)9. 0n caso contrario se escribe: A ≠ /.

*



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Nota/ Ia definición establece la necesidad de demostrar la doble inclusión a fin de demostrar la iualdad de dos conjuntos.

Ejemplo.

0stablecer si los siuientes conjuntos son iuales: A +  $, 6", 3 ,

/ +  $, 6", 3, $, 3 .

De 2erifica que A + / pues todo elemento de / es también elemento de A, / ⊂ A; y todo elemento de A es elemento de /, A ⊂ /.

O4$e&a(#n. el ejemplo se concluye que un conjunto no 2aría si sus elementos repetidos se escriben una sola 2e, en este caso  $, 6", 3, $, 3  +  $, 6", 3 .

)op#e-a-e$ -e la Igual-a".$

Keflei2a:

A + A, ∀ A.

"."

Dimétrica:

A + / ⇒ / + A.

".%

Mransiti2a:

A+/

∧

/ + N ⇒ A + N.

7emo$ta(#n -e . ebemos demostrar que / + A, es decir. / ⊂ A y A ⊂ /. !or =ipótesis A + / y por definición: A + / ⇔  A ⊂ / ) ∧  / ⊂ A )

⇔  / ⊂ A ) ∧  A ⊂ / )

!rop. Nonmutati2a de ∧

⇔ / + A. ∴ A + / ⇒ / + A. C.

SUBCONJUNTO )RO)IO. De dice que el conjunto A es un subconjunto propio del conjunto /, si A⊂ / ∧ A ≠ /. 0n otras palabras, A es subconjunto propio de /, si A ⊂ / ∧ / tiene uno ó más elementos que no pertenecen a A. Gráficamente,

' B

A

Ejemplo.

ados los conjuntos: A +   '  ∈ - ∧  < % + " ? O  / +  6%, & .

*'



Fidel Vera Obeso


Fidel Vera Obeso

 < % + " 6 O

e A :

A

" ?  ?$" + # 

6&



%

&

•% •;

  ? & )  < % ) + #  + 6% ó & ∴A

7.

+/

CONJUNTOS 7I;ERENTES/ os conjuntos son diferentes si uno de ellos tiene por lo menos un elemento que no posee el otro. De define :

A

&

A

&

&

A

Ejemplo. ados: A +   '   ? $ )  ? " )  ? % )  + #  / +  #, $, ", %, &  e A:   ? $ )  ? " )  ? % )  + #  + #; $; "; %

∴ A

E.

≠ /.

CONJUNTOS 7ISJUNTOS De dice que los conjuntos A y / son disjuntos cuando no poseen elementos comunes Dimbólicamente :

A

3

Ejemplo. Diendo:

& son disjntos

4 5 4

A + ",%,& y / + 5,3,J.

Gráficamente :

&

A

&

• •;

•7

•

;.

4

∴ A y / son disjuntos

•&

P

A

•'

CONJUNTOS Emero de sus elementos son iuales.

Ejemplo. Diendo:

*7



Fidel Vera Obeso


Fidel Vera Obeso

A +  $#, $$, $"  / +  m, n, p 

∴ A y / son equipotentes. Dimbólicamente:

A

67

&

n8 A 9 n8 & 9

7IA9RA=AS LINEALES Don representaciones raficas que sir2en para indicar relaciones de inclusión entre conjuntos

Di

:

A ⊂ /

A

⇒

B Si

:

A  B

⇒

A

B

PROPIEDAD

N

Z

Q

R

C

ILUSTRACIÓN RESUMEN "s unitario

>iene &*& subconjuntos

es s!lo un s9mbolo

Qado el conjunto A  ((φ++

Sus subconjuntos son ( A, conjunto φ +

*$



Fidel Vera Obeso


Fidel Vera Obeso

ACTIVIDAD N° 02

Fesuel4a los si5uientes ejercicios rea#irmar su aprendi
para sus

E(ERCICI$# R'P$ ; *.

Si A  ( &, ;, ', ),

5

+, indicar el 4alor de 4erdad de

las si5uientes proposiciones. a.( & + ⊂ A b.( x = 1 x& T  31 x T & 3  )- x ∈ JR + ⊄ A b. #. i. &.

; ⊂ A 5

∈ A

c.

A ⊂ F

e.

( ' + ⊄ A

5.

∅ ∈ A

.

∅ ⊂ A

( ∅ + ⊄ A

Qados los conjuntos A  ( x = x ∈ G, & ≤ x ≤ 8 +, B  ( &, ;, ', $ +

C  ( , , 7 +, Q  ( &, ; +, "  ( *,  +. Qeterminar en cada caso, cu0l de estos conjuntos puede ser el conjunto X tal ue: a.

X ⊂ A

y

X ⊂ B

b.

X ⊄ A

y

X ⊂ "

c.

X ⊄ B

y

X ⊄ "

d.

X ⊂ A

y

X ⊂ "

e.

X ⊄ C

y

X ⊂ Q.

#gerencia: Ap!yese con un dia5rama. .

;.

Fepresentar 5r0#icamente las si5uientes relaciones: a.

A ⊂ B

d.

A y B son comparables.

b.

B ⊂ A

c.

A  B

allar todos los subconjuntos de A, si: a.

A  ( &, %, ; +

A  ( ( ∅ + + c.

b.

A  ∅

_Cu0ntos subconjuntos tiene A en cada caso`

*8



Fidel Vera Obeso


.

Fidel Vera Obeso

Qemostrar las si5uientes propiedades: a.

Si A ⊂ B y B ⊂ A, entonces A  B.

b.

A  A, ∀ A.

c.

Si A  B y B  C, entonces

d.

Si  ⊂ M ∧ M ⊂ G, entonces  ⊂ G.

e.

Si A ⊂ ∅, entonces A  ∅.

A  C.

CLAVE DE RESPUESTAS

*.

Son 4erdaderas: a, d, e, #, ,

&.

X puede ser i5ual al conjunto ue se indica en cada caso a.

Q ! B

b.

S!lo B

d.

Gin5uno

e.

Q

i.

c.

S!lo C

Ir0#icamente:

A

•'

& /

•& •;

C

•

E

•& • •8

.

a.

•*

b.

B

A

A

B

A

A

d.

A  & &

B

e.

&)


c. A


Fidel Vera Obeso


Fidel Vera Obeso

OBJETIVO N° 03

ACTIVIDAD N° 01

0fectuar operaciones con conjuntos e interpretar ráficamente los resultados.

?n#!rmese sobre las operaciones entre conjuntos: de#inici!n, notaci!n, representaci!n e ilustraci!n 5r0#ica, leyendo el si5uiente texto.

0ntre conjuntos se pueden realiar las siuientes operaciones: Qnión, Hntersección y iferencia.

0.

'NI


B #ormado por todos los elementos ue pertenecen a

A, a B ! a ambos. A



B  ( x = x ∈ A

∨

x ∈ B+-

Para representar 5r0#icamente A relaciones

entre

los



∨

 S9mbolo de la

B, se tendr0 presente las

conjuntos

dados

en

cada

caso

particular.

A

B

A

A

B

B U

$)ser=ación. B ⊂ 1A



Ejemplo.

U

U

Qe la de#inici!n se deduce ue A ⊂ 1A

B3 y

B3. Si A  ( &, , ;, , ', 7 +, B  ( , ;, , ' +, C  ( &, , ', $, *) +. allar 

1a3 A



B

1b3 B

C. Fepresentar 5r0#icamente cada caso.

&*





Fidel Vera Obeso


Fidel Vera Obeso

#olción. A



B  ( x = x

∈

A ∨

∈ B

x

+  ( &, , ;, ,

', 7 + B



C  ( x = x

∈ B ∨

x ∈ C+  ( , ;, , ', &, $, *) +

Se obser4a ue B ⊂ A, y ue B y C son no comparables con al5ún elemento común, lue5o se tiene:

• 7

• &

•

B

•  •  • ' • ;

• ;

• 7

• '

• 

• *)

• &

• &

B ∪ C

A ∪ B

Ejemplo.

• $

Sea A  (x ∈ F = x& T *  )+, B  (x ∈ F = x& R   )+ y M  F. allar 1a3 A



B

1b3 M



B 1c3 A



M

#olción. B  ∅,

A  (%*, * +, lue5o:A



B  A



M  F-

∅  ( x = x ∈ A ∨

x ∈ ∅ +

pero no existe x ∈ ∅. "ntonces:

2.

a.

A



B  (%*, *+, es decir A

b.

M



B  F

c.

A



M  ( x = x ∈ A ∨



∅  A, ∀ A.

x ∈ M + +  F.

INER#ECCI
?ntersecci!n

de

los

conjuntos

A

y

B

es

el

conjunto

denotado con A ∩ B #ormado por los elementos comunes a ambos conjuntos. "s decir, A ∩ B  ( x = x ∈ A

∧

x ∈ B +

Ir0#icamente. A

Gota :

B

A

A

1 A ∩ B 3 ⊂ A

B

y B 1 A ∩ B 3 ⊂ B

Conjntos Disjntos: A y B son disjuntos si A ∩ B  ∅. U

U

&&


U


Fidel Vera Obeso


Ejemplo.

Fidel Vera Obeso

Siendo A  ( &, ;, a +, B  ( a, b, c, d +, C  ( b, c +. allar A ∩ B,

a.

B ∩ C

b.

A ∩ C

c.

Fepresentar 5r0#icamente cada caso.

#olción. A ∩ B  ( x = ( x = x ∈ A ∧

x ∈ B +  ( a +

B ∩ C  ( x = x ∈ B

∧ x ∈ C +



( b, c +

A ∩ C  ( x = x ∈ A

∧ x ∈ C +



∅

>enemos: 

A

•; ; •b •c •& •d a.

Nota. ;.

B

B

•; •'

•a

A

C

•d

U

•& •a •;

B

•b •c

U

U

A ∩ B,

B ∩ C

b.

c.

A ∩ C

Si X ⊂ U, entonces X ∩ U  X.

DI/ERENCIA DE C$N('N$# Oa Qi#erencia de los conjuntos A y B, en ese orden, denotado por A T B, es el conjunto #ormado por todos los elementos de A ue no pertenecen a B. "s decir, A T B  ( x = x ∈ A ∧

x ∉ B +

Se lee : “A di#erencia B” ! “A menos B” Ir0#icamente: A

B

A

A

B

B U

U

U

A > & A partir de la de#inici!n se deduce ue: a.

A T B ≠ B T A

b. A T A  ∅

c.

A T B  A ∩ B

Complemento de n Conjnto. "l complemento del conjunto A respecto al conjunto uni4ersal

', es el conjunto A #ormado por todos los elementos de  ue no est0n en A. "s decir, "n

otras

A  ( x = x ∈ ' ∧ x ∉ A + palabras, el complemento de A

es

el

conjunto

#ormado por los x ∉ A, esto es:

&



Fidel Vera Obeso


Fidel Vera Obeso

A  ' T A.

Ir0#icamente:

A0 A

@tras notaciones

:

C

@bser4aciones

:

a.

A

b.

A ∩ A  φ

Ejemplo.

A !

A. 

A  '

Qemostrar ue A T B  A ∩ B.

#olción. A % B 1 ? 3

 A ∩ B

eui4ale a demostrar ue:

1 A T B 3⊂1 A ∩ B 3 y

Qemostraci!n

1 A ∩ B3⊂1A T B 3.

1 ?? 3

de 1 ? 3:

^1 A T B 3 ⊂ 1 A ∩ B 3/ ⇔ x ∈ 1 A T B 3 = x ∈ 1 A T B 3 ⇒ x ∈ 1 A ∩ B 3 Pero x ∈ 1A T B3⇒1x ∈ A3 ∧ 1 x ∉ B3

Qe#. de di#erencia

⇒

1 x ∈ A 3

⇒

x ∈ 1 A ∩ B 3 Qe#. de intersecci!n

∧ 1 x ∈ B 3 Qe#. de B

Se a demostrado ue si un elemento cualuiera x, tal ue x

∈ 1 A T B 3 implica ue x ∈ 1 A ∩ B 3. Por de#inici!n de inclusi!n, se concluye ue : 1 A T B 3 ⊂ 1 A ∩ B 3. Qemostraci!n

de 1 ?? 3:

^1A ∩ B3 ⊂ 1A T B3/ ⇔ x ∈1A ∩ B3=x∈1A ∩B3⇒x∈1A T B3. Pero x ∈ 1A ∩ B3 ⇒ 1x ∈ A3 ∧ 1x ∈ B3 Qe#. ?ntersecci!n

⇒ 1 x ∈ A 3 ∧ 1 x ∉ ⇒

x ∈ 1 A T B 3

Oue5o,x ∈ 1 A ∩ B 3 ⇒ Qe 1 ? 3

y

1 A %

Qe#.

de B

Qi#erencia

B 3.

1 ?? 3 se concluye la demostraci!n.

Ejemplo. allar A,

si A  ( x = x

#olción: A  ( x = Siendo:

x

∈  ∧

x ∉

∈ J,

x es impar +.

A +

  J

A  ( x = x

?.

x ∈

B 3 Qe#.

∈ J,

x es par .+

DI/ERENCIA #I!@RICA DE C$N('N$#.

&;



Fidel Vera Obeso


Fidel Vera Obeso

Oa Qi#erencia Sim6trica de los conjuntos A y B, denotado por A ∆ B, es el conjunto #ormado por todos los elementos ue pertenecen solamente a A ! solamente a B, es decir: A ∆ B  1 A T B 3 ∪ 1 B T A 3 Ir0#icamente:

A

B

' A ∆ B

Ejemplo.

Si A  (&, , ;, , ', 7+,

B  (*, ;, ', 7, 8 + y

C  ( *, 8 +. allar: a.

A ∆ B

B ∆ C

b.

c.

A ∆ C

#olción. a.

A ∆ B  1 A T B 3



1 B T A 3, donde:

A T B  ( x = x ∈ A ∧ B T A  ( x = x ∈ B "ntonces b.

∧

x ∉ B +  ( &, ,  + x ∉ A +  ( *, 8 +

A ∆ B  ( &, , , *, 8 +.

B ∆ C  1 B T C 3  ∅  B T Ces decir: B ∆ C  (x =x ∈ B ∧ x ∉ C +(;, ', 7+ C T B  (x = x ∈ C ∧ x ∉ B+  x ∉ ∅ pues C ⊂ B. Oue5o, B ∆ C  1 B T C 3  ∅  B T C, es decir: B ∆ C  ( ;, ', 7 +.

b.

An0lo5amente, siendo A y C conjuntos disjuntos: A ∆ C  ( &, , ;, , ', 7, *, 8 +

Ir0#icamente,

A

B

A

A

B

B

a. A ∆ B @bser4aciones

: &



Fidel Vera Obeso


*.

Fidel Vera Obeso

Si C ⊂ B entonces B

∆

C es el complemento de C

con respecto a B. &.

Si A y B son conjuntos disjuntos entonces A ∆ B 

.

A ∆ B

A ∪ B.

 1 A ∪ B 3 % 1 A ∩ B3.

ACTIVIDAD N° 02 &'



Fidel Vera Obeso


Fidel Vera Obeso

Analice los ejercicios resueltos sobre operaciones con conjuntos y su interpretaci!n 5ra#ica.

EJEMPLOS DE APLICACIÓN

A continuaci!n se presentan al5unos ejercicios resueltos sobre uso de las de#iniciones y operaciones con conjuntos.

0.

Oa proposici!n x ∈ 1 A ∩ B3 es eui4alente a: a.

1 x ∈ A 3 ∨ 1 x ∈ B 3

b.

1 x ∈ A 3 ∧ 1 x ∉ B 3

c.

x ∈ 1A % B 3

d.

1 x ∈ A 3 ∧ 1 x ∈ B 3

#olción. x ∈ 1A ∩ B3

⇔ ^1x ∈ A3 ∧ 1x ∈ B3/ Qe#. de ?ntersec. ⇔ ^1 x ∈ A 3 ∧ 1 x ∉ B 3/

Qe#. de B

⇔ ^ x ∈ 1 A% B 3/ Qe#. de di#erencia. Oue5o, las expresiones eui4alentes a x ∈ 1A ∩ B3 son 1c3 y1 d3.

2.

_A cu0l de las expresiones corresponde la re5i!n sombreada` a.

^B T 1 A ∩ C 3/



^1 A ∩ C 3 T B /

b.

^B T 1 A ∪ C 3/



^1 A ∩ C 3 T B /

c.

^B ∩ 1 A ∪ C 3/  ^1 A ∩ B 3 ∩ C/

A

B

C

#olción. Qistin5uimos la reuni!n de dos re5iones sombreadas: %

Oa super#icie #ormada por elementos ue solo est0n en B y no en A ! C- esto se expresa por: B T 1 A  C 3.

&7



Fidel Vera Obeso


%

Fidel Vera Obeso

Oa in#erior #ormada por los elementos ue est0n en la intersecci!n de A con C pero ue no pertenecen a Besto es:

1A ∩ B3 T B.

Oue5o la expresi!n dada es 1b3 correspondiente a la re5i!n sombreada.


 A%B  ( x = B  B%A  ( x = A

x ∈ A + x ∈ & +

∧

x ∉

∧

x ∉

B  ( x = x ∈ A ∈ B+ A

x

@peraciones con conjuntos

A ∆ B  1 A T B 3 ∪ 1 B T A 3

A ∩ B  ( x = x ∈ A

x ∈ B +

&$


∧


Fidel Vera Obeso


Fidel Vera Obeso

ACTIVIDAD N° 02

Fesuel4a los si5uientes ejercicios para autoe4aluar su aprendi
E(ERCICI$# R'P$ ? *.

Qados los conjuntos: A  { x ∈ & + : x < $#} , B  C 

{ " x − $:

x ∈ & + , x ≤ 5} ,

{ " x :

Q (, ;, +,

x ∈ & + , x < 5} ,

"  (, +.

allar: (  ( C ∆  ) A ∩ ( ' ∪ E )

a.

{

c. ( ' ∪ E ( ( ) ∩ ( A( E

{

∆

( '

 (C ) ∆ ( C

d. ( ' ( ∆ C ( ( ) ∩ ( ' ( E ∩  (C ) &.

( A ∩ E ) ∆ (  − 

b.



(

} U ( C ∆  )

E ( A )

∪



∆  ∪ C ( E ) (  ( A∆E )

}I

C ) ( '∆E ) (



∩ ( ' ∪ E ) A

(

(

'

( A ∩ E ) ∆ ( ( − C ) (  ( '∆E  ) 

_Du6 condiciones deben cumplir los conjuntos Ay B para ue se 4eri#iuen las si5uientes relaciones` a. A∩ B Φ b. A∪ B  B c. A∩ B   d.

A ∪ Φ  

5.

A T B  B T A

*. Si

e.

A T B  A

#.

A ∆  = A ∪ 

.

A ∩ B  B i.

A ∆  =  − A

A = { x ∈ ¢ + : x > & → x = 3}  = { x ∈ ¢ + : x > # C

={ x∈¢ ' :

∧

x ≤ 3}

 x ≥ $ → x"

≠ & x − %)}

allar: ( a. ( C ∆ ( ) A ∩ ( A ∪ C ) (



c.

{ ( A ( ∆



( (

C ( ( ) ∩ ( A(C ∩  (C )



b. (

( A∆C )

∆( 

&8


( A ∩ C () ∆ (  − C ) (  ( '∆E  )  ( ∪ C (( ) I ( A ∩ C ) ∆ (  − A ( ) ( A∆C ) 

}


Fidel Vera Obeso


Fidel Vera Obeso

OBJETIVO N° 03

ACTIVIDAD N° 01

Qemostrar las leyes del

0l5ebra

de

conjuntos.

Analice la si5uiente in#ormaci!n sobre las propiedades de las operaciones con conjuntos y las demostraciones reali
Oas de#iniciones de las operaciones con conjuntos, son: *3

A ⊂ B

⇔

∀ x ∈ A

x ∈ A

&3

A  B

⇔

A ⊂ B ∧ B ⊂ A

3

A ∪ B



( x =

x ∈ A

∨

x ∈ B +

;3

A ∩ B



( x =

x ∈ A

∧

x ∈ B +

3

A T B



( x = x ∈ A ∧ x ∉ B +

'3

A ∆ B



1 A T B 3

73

A



( x = x ∈ ' ∧ x ∈ A+ !

=

∪

⇒

x ∈ B

!

A T B

 A ∩ B

1 B T A 3 A  ( x = x ∉ A +

A continuaci!n se presentan las Propiedades de las @peraciones con conjuntos, bajo el t9tulo de Le3es &sicas del Blge)ra de

Conjntos. Se demuestran al5unas de ellas.

1.

I-empoten(#a $ a) A ∪ A + A

.

Conmutat#&a " a) A ∪ / + / ∪ A

3.

$ b) A ∩ A + A

" b) A ∩ / + / ∩ A

A$o(#at#&a % a) A ∪  / ∪ N ) +  A ∪ / ) ∪ N % b) A ∩  / ∩ N ) +  A ∩ / ) ∩ N

)



8.

Fidel Vera Obeso

7#$t#4ut#&a & a) A ∪  / ∩ N ) +  A ∪ / ) ∩  A ∪ N ) & b) A ∩  / ∪ N ) +  A ∩ / ) ∪  A ∩ N )

>. 5 a) A ∪ ∅ + A

5 a) A ∩ ∅ + A

?. 3 a) A ∪ U + A

3 b) A ∩ U + A

@. J a) A ∪ AR +

J b) A ∩ AR +

U

∅

. 4 b) UR +

4 a)  AR ) R + A

.

∅ % ∅ R + U

Lee$ -e 7 =ogan O a)  A ∪ / )( + A(

∩

/(

O b)  A ∩ / )( + A(

∪

/(

10. Lee$ -e A4$o(#n $# a) A ∪  A ∩ / ) + A $# b) A ∩  A ∪ / ) + A A continuación se demuestran: " a), & b), 4 a) y O b).

7emo$ta(#n *a+

A B : B A.

Kecuerde que dos conjuntos son iuales si y sólo si se 2erifica la doble inclusión: H)  A ∪ / ) ⊂  / ∪ A )

HH)  / ∪ A )

y

⊂

 A ∪ / )

0ntonces debe demostrarse H) y HH); recurriendo a la definición de Hnclusión. H) A ∪ /) ⊂ / ∪ A) ⇔ ∀  ∈ A ∪ /) '  !ero,  ∈  A ∪ /) ⇒   ∈ A )

⇒   ∈ / ) ∨ ⇒

∨

∈/)

  ∈A)

 ∈  / ∪ A )

Iueo,  ∈  A ∪ / )

∈ A ∪ /) ⇒  ∈ /∪A) ef. Qnión

Nonmut. de ∨ ef. Qnión

⇒  ∈  / ∪ A).

Non lo que queda demostrado:

A ∪ /) ⊂ / ∪ A)

ef. Hnclusión

HH)  / ∪ A) ⊂  A ∪ /) ⇔ ∀  / ∪ A)'  ∈ / ∪ A) ⇔  ∈ A ∪ /) !ero,  ∈  / ∪ A ) ⇒   ∈ / ) ∨   ∈ A ) ef. Qnión

⇒

  ∈ A ) ∨   ∈ / ) Nonmut. de ∨

⇒

∴

 ∈  A ∪ / )

 ∈  / ∪ A) ⇒  ∈  A ∪ /) , esto es  /

*

ef. Qnión

∪ A ) ⊂  A ∪ / ) por



Fidel Vera Obeso

definición de Hnclusión. e H) y HH) se siue: A ∪ / + / ∪ A.

Demostración 8?)9 A

8 &

C 9



8 A

& 9

8 A

C 9

"ui4ale a demostrar: H) [ A ∩  / ∪ N ) ]

⊂

[  A ∩ / ) ∪  A ∩ N ) ]

HH) [  A ∩ / ) ∪  A ∩ N ) ]

⊂

y

[ A ∩  / ∪ N ) ] .

H) ∀  ∈ A ∩  / ∪ N ) '  ∈ A ∩  / ∪ N) ⇒  ∈  A ∩ /) ∪ A ∩N) !ero  ∈ A ∩  / ∪ N ) ⇒  ∈ A

∧

  ∈ / ∪ N ) ef. Hntersec

⇒  ∈ A ∧

8  ∈ /

∨

 ∈ N9 ef. Qnión

⇒   ∈ A ∧  ∈ / ) ∨

  ∈ A

∧  ∈ N ) !ropiedad

distributi2a de ∧ con respecto a ∨: 8p ∧  q ∨ r ) ⇔  p ∧ q ) ∨  p ∧ r )9.

⇒   ∈ A ∩ / ) ∨

  ∈ A ∩ N ) ef. Hntersec

⇒  ∈ 8  A ∩ / ) ∪  A ∩ N ) 9 0ntonces  ∈ [ A ∩  / ∪ N ) ]

ef. Qnión

⇒  ∈ 8  A ∩ / ) ∪  A ∩ N ) 9

8 A ∩  / ∪ N) 9 ⊂ 8  A ∩ / ) ∪ A ∩ N )9 ef. de

⊂

.

Análoamente se demuestra HH). 0n efecto,

∀  ∈ [ ⇒

 A ∩ / ) ∪  A ∩ N ) ] '  ∈ [  A ∩ /) ∪  A ∩ N ) ]

 ∈ A ∩ / )

⇒ 8  ∈ A ∧

∨

 ∈ A ∩ N)

 ∈ / 9

∨

ef. de Hntersección

8  ∈ A

∧

 ∈ N 9

[ p ∧ q) ∨ p ∧ r) ] ⇔ p ∧  q ∨ r) ⇒  ∈ A

⇒

ef. de Qnión ef. de Hntersección

⇒

 ∈[

Iueo  ∈ [  A ∩ / ) ∪  A ∩ N ) ]

∧   ∈ / ∨

∈ A A

∩

⇒  ∈ [

∧

 ∈ N )

[  ∈  / ∪ N ) ]

 / ∪ N ) ] A ∩  /

∪ N )

]

ef. de Hnclusión

∴[

 A ∩ / ) ∪  A ∩ N )

]

⊂

[

] A ∩  / ∪ N) .

e H) y HH) se concluye que:

&



Fidel Vera Obeso

A

7emo$ta(#n *a+

∩  / ∪ N ) +

A ∩ /) ∪ A ∩N).

* AD + D : A.

ebe demostrarse que :  H )  AR ) R

⊂

A

H) ∀  ∈  AR ) R '  ∈  AR )R ⇒ 

y

∉

 HH ) A ⊂  AR )R.

AR

ef. Nomplemento

⇒ ∼ 8  ∈ AR9

1eación de ∈

⇒ ∼ 8  ∉ A 9

ef. Nomplemento

⇒ ∼ 8∼  ∈ A ) 9 1eación de ∈ ⇒ ∼  ∈ A

pues: ∼∼ p) ⇔ p

Iueo  AR )R ⊂ A por definición de Hnclusión. HH) ∀  ∈ A '  ∈ A

∴

A

⊂

⇒ ∼ 8∼  ∈ A ) 9

oble 1eación

⇒ ∼ 8  ∉ A9

1eación de ∈

⇒ ∼ 8  ∈ AR 9

ef. Nomplemento

⇒

 ∉ AR

1eación de ∈

⇒

 ∈  AR )R

ef. Nomplemento

 AR )R por definición de Hnclusión.

e H) y HH) se siue la iualdad.

7emo$ta(#n *4+ * A B + : A

B.

ebe demostrarse: H) A∩/ )R ⊂ AR∪/R

HH)AR∪/R

y

⊂  A∩/ )R

!ara H

∀  ∈  A∩/ )R '  ∈  A∩/ )R ⇒  ∉ A∩/ ⇒ ∼ 8  ∈ A∩/)9 ⇒ ∼ 8 ∈ A ∧

ef. Nomplemento

1eación de ∈

 ∈ /9

ef. Hntersección

Kecuerda que: ∼ p ∧ q) ⇔ ∼ p ∨ ∼q.

⇒ ∼   ∈ A ) ∨ ∼   ∈ / ) ⇒

  ∉ A )

∨

  ∉ / )

1eación de ∈

⇒

  ∈ AR )

∨

  ∈ /R )

ef. Nomplemento

⇒

 ∈  AR ∪ /R )

ef. Qnión

Iueo,  ∈  A∩/ )R ⇒  ∈  AR ∪ /R )

∴

 A∩/ )R ⊂ AR∪/R

!or ef. de Hnclusión





Fidel Vera Obeso

!ara HH

∀  ∈ AR ∪ /R)R '  ∈ AR ∪ /R) ⇒  ∈ AR) ∨  ∈ /R) ⇒

  ∉ A ) ∨   ∉ / )

ef. Nomplemento

⇒ ∼   ∈ A ) ∨ ∼   ∈ / ) ⇒ ∼ 8  ∈ A) ∧

ef. Qnión

1eación de ∈

 ∈ /) 9

!or que  ∼ p ∨ ∼q ) ⇔ ∼ p ∧ q)

⇒ ∼ 8  ∈ A ∩ / 9 ⇒

 ∉ A ∩ /

⇒

 ∈  A ∩ / )R

ef. Hntersección 1eación de ∈ ef. Nomplemento

Iueo,  ∈  AR ∪ /R ) ⇒  ∈  A ∩ / )R, lo cual demuestra que:  AR ∪ /R ) ⊂  A ∩ / )R. e  H ) y  HH )

 A ∩ / )R + AR ∪ /R.


Asociativa A(BC) = (AB) C A(BC ) = (AB) C

Distributiva A (BC) =(AB)(AC)

Oeyes del l5ebra de conjuntos

Absorci!n A (AB) = A A( AB) = A A(A’B) = AB A( A’B) = AB

Morga (A B) ’ = A’ B’ (A B) ’ = A’ B’

Conmutati4a A B  B A B  B

;

A A



Fidel Vera Obeso

ACTIVIDAD N° 02

Qemuestre a continuaci!n las leyes del 0l5ebra ue se mencionan

EJERCICIOS 9RU)O > H.

Qtilia con2enientemente las definiciones de las operaciones con conjuntos para resol2er los problemas que se plantean a continuación.

*.

&.

.

_Cu0l es la expresi!n eui4alente a: x ∈ ^A ∪ 1A∩B 3/` a.

x ∈ A

∧

x ∈ B

b.

x ∈ A

c.

1 x ∈ A 3 ∨ 1 x ∈ B 3

_Cu0l es la expresi!n eui4alente a: x ∈ ^A∩1B T C3/` a.

x ∈ A ∧ 1 x ∉ B ∧ x ∉ C 3

b.

x ∈ 1 A ∩ B 3

c.

x ∈ 1 A ∩ B 3 ∧ 1 x ∈ C 3

d.

x ∈ A

∧

∨

x ∉ 1 A ∪ B 3

x ∉ B

∧

x ∉ C

_Cu0les de las si5uientes proposiciones son siempre 4erdaderas` a.

A ⊂ B ⇔ A ∪ B  B

c.

A ⊂ B ⇒ B ∩ A  1 A ∩ B 3

d.

A ⊂ B ⇒ A ⊂ B



b.

A ∆ B  B ∩ A



??.

Fidel Vera Obeso

Qesarrollar: *.

Qados

los

conjuntos

A,

B,

C

y

Q,

e#ectuar

las

operaciones indicadas y representar 5r0#icamente los resultados, siendo: "n

A  ( x = x 

−

%

$

, n ∈ ¢ +

B  ( x = x& T 7x  ) + C  ( x = 1 x T & 31 x& T 8 31 x T ; 3  ) + a.

1 B T A 3 ∪ C

c.

1 B ∆ C 3 ∩ A

b.

1 B ∪ C 3 %

A

A ∩ C

d.

Gota.   ¤ . &.

Con los conjuntos A y B se de#ine una nue4a operaci!n

Ξ, tal ue : A Ξ B  1 A T B 3 ∩ B. Si

A  ( , ;, 7, ', & +,

B  ( *, , , 7, 8 +.

allar: a.

??.

A Ξ B

B Ξ A

b.

c.

1 B Ξ A 3 Ξ B

Fepetir el si5uiente dia5rama y sombrear la re5i!n ue se solicita en cada caso. A a.

A ∩ 1 B ∪ C 3

b.

A ∪ 1 B ∩ C 3

c.

1 A ∩ B 3 T

d.

1 A ∆ C 3

∩

B

C C

A

???. allar la expresi!n ue representa sombreada. A



la si5uiente re5i!n

B

C

HC.

STué relación conjuntista representa la reión sombreadaU.

'



Fidel Vera Obeso

a) [  A ∪ ) ∩ C (] U ( A (∪  (∪ C () (

B C

b)

( A ∆ ( ) ∪ C

A

c)   ∆ C ) ∪  A ∩  ∩ C ) d)  A (∪  (∪ C () ( U  A ∩ C () U   ∩ C () e)  A ∩  ∩ C ) U C ∩ A () U  C ∩  () C.

educir del siuiente diarama las operaciones que se =an realiado para obtener la reión sombreada. M

# !

a)  P ∪ ) ∆ * (∩ + ) b) ( * (∩ + ) c)  P ∩ )

"

∆  P ∪ )

∆  * ∪ + )

d)  *

∪ + ) U  P ∪ )

e3

 P ∪ )

7

∆  * ∪ + )



Fidel Vera Obeso

OBJETIVO N° 03

ACTIVIDAD N° 01

Wallar el Nonjunto !otencia de un Nonjunto cualquiera y demostrar sus propiedades.

"studie la si5uiente in#ormaci!n ue se o#rece sobre el Conjunto potencia y sus propiedades.

7e'#n#(#n. 0l Nonjunto !otencia de un conjunto A, denotado por

! A), es el conjunto

formado por todos los subconjuntos de A. 0s decir,

! Nota.

Ejemplo 1.

1 A 3



( X = X ⊂ A +

$) V ∈

! A) ⇔ V ⊂ A.

") A ∈

! A) , ∅ ∈ ! A); pues: A ⊂ A , ∅ ⊂ A.

Di A +  $, " , %  , entonces  $  ⊂ A ,  "  ⊂ A, etc. 0ntonces:

! A) +  ∅ ,  $  ,  "  ,  %  ,  $, "  ,  $, %  ,  ", %  , A . Ejemplo .

! ∅) +  ∅ .

Ejemplo 3.

A+  ' ?&+# 

Ejemplo 8.

ado el siuiente conjunto:

⇒

! A) +  ∅ , A .

A +  ∅,  ∅ ,  

∅  ,    ∅    

eterminar el 2alor de 2erdad de cada proposición.

$



Fidel Vera Obeso

•

∅ ∈ A

.........  C )

•

∅ ⊂ A

.........  C )

•

  ∅   ∈ A

.........  C )

•

  ∅   ⊂ A

.........  C )

•

  ∅  

•

   ∅   

•

    ∅    

)op#e-a-e$ -el

! A)

∈

.........  C )

! A)

⊂

.........  C )

∈

! A)

.........  C )

P *A+/

$)

A ⊂ /

⇔

! A) ⊂ ! /).

")

A+/

⇒

! A) + ! /).

%)

8

! A) ∪ ! /) 9 ⊂ ! A ∪/).

! A ∪ /) + ! A) ∩ ! /). 7emo$ta(#n -e * 1+/ A B P *A+ P *B+. &)

⇒ ) Di A ⊂ / ⇒ 0n efecto, sea

! A) ⊂ ! /).

V

∈

!

A)

⇒

V ⊂ A ef. de

⇒

V⊂/

! A)

!rop. Mransiti2a

de

la Hnclusión.

⇒

! /) Iueo, V ∈ ! A) ⇒ V ∈ ! /)

V∈

! /)

∴!

A)

! A) ⊂ ! /)

⇐)

⇒

efinición de

⊂

! /).

A ⊂ /

8



Fidel Vera Obeso

Dea  ∈ A

⇒



⊂A

Dubconjunto de A

⇒



∈

! A) ef . ! A)

⇒



∈

! /) pues ! A) ⊂ ! /)

⇒



⊂

/

⇒



∈

/

∴

ef.

! /) Dub conjunto de /

A ⊂ / por definición de Hnclusión.

P *A+ P *B+ F P *A B+. !A) ∪!/) ] ⇒ [ V∈!A) ] ∨ [ V ∈!/) ]

7emo$ta(#n -e *3+ Dea V∈

[



7e'.

Un#n

⇒

 V ⊂ A )

⇒

V ⊂  A ∪ / )

Oue5o

∨

V⊂/)

⇒

! 1A3

∪

V

7e'. Conj. )ot.

∈

! A ∪ /)

! 1B3

⊂

! 1A

;)


∪ B3


Fidel Vera Obeso


φ P1A3 Se denota por P1A3

X ⊂ P1A3 ↔ X ⊂ A Co$uto %ot&cia '& A

Se de#ine por (X=X⊂A+

Si X  φ, (φ+

A P1A3

P1A3 

>iene &n elementos, n es el número de letras de A

;*



Fidel Vera Obeso

ACTIVIDAD N° 02

Fesuel4a los si5uientes ejercicios para e4aluar su aprendi
EJERCICIOS 9RU)O > $)

Wallar el Nonjunto !otencia de N, siendo N +  ∅ , c ,  ∅  .

")

S0n qué caso se cumple que: A

%)

Diendo A +  a , ∅  y / +   ∅  ,  a   , =allar:

&)

a.

! A) ∩ ! /)

b.

! A ∪ /)

⊂

! A) U

emostrar que:

⇒

! A)

+

! /)

a.

A+/

b.

! A ∩ /) + ! A) ∩ ! /).

CLAVE DE RESPUESTAS

$)

! N) +  ∅ ,  ∅  , c ,   ∅   ,  ∅,c  ,  ∅, ∅   ,  c,  ∅   , N

")

Di A + ∅ ó A + ∅

%)

! A) ∩ ! /) + ∅

!

1A3

 (∅,(a+,(∅+,((∅++,((a++,(a,∅+,(a,(∅++,(a,(a++,(∅, (∅++,(∅,((a++,((∅++,(a++,(a,∅,(∅++,(a,(∅+,(a++,

;&



Fidel Vera Obeso

(∅,(∅+,(a++,(a,∅,(a++,A∪B+

ACTIVIDAD N° 01

OBJETIVO N° 0? Kesol2er problemas di2ersos relati2os al 1>mero Nardinal de Nonjuntos.

Inórmese so)re las propiedades del nmero cardinal de conjntos 3 ss aplicaciones *e se orecen en el sigiente te4to.

1aturalmente que la idea del n>mero de elementos de un conjunto finito cualesquiera, es primiti2a por lo que se admite como la cantidad de elementos que =ay en un conjunto. De denota por, n A ) + card A).

Nota.1 A 3 tambi6n se llama número Ejemplo.

Si

cardinal del conjunto A.

A  (a,b,c+ y B  (*,%,,(+,&+,

entonces

n1A3 , n1B3 , n^P1A3/  &  $, n^P1B3/  &.

Propiedades: *3 Si A y B son conjuntos #initos disjuntos, entonces: n1A ∪ B3  n1 A 3 R n1 B 3, si A ∩ B @b4iamente ue si A ∩ B  ∅ , entonces n 1 A ∩ B 3  ). A ∪ B es la parte sombreada del 5r0#ico, A

entonces: n1A ∪ B3  n1 A 3 R n1 B 3.

;

B

U



&3

Si

A

y

Fidel Vera Obeso

B

arbitrarios,

son

conjuntos

no

#initos

necesariamente

A

B

disjuntos, expresamos: A–B

A +  A ? / ) ∪  A ∩ / ),

A

B

B–A

U

Non  A ? / ) ∩  A ∩ / ) + ∅.

"ntonces

por 1*3: !

n1A T B3  n1A3 R n1A∩B3

3

Si

A

y

B

arbitrarios,

son

conjuntos

no

n1A3  n1A T B3 R n1A ∩ B3

#initos

necesariamente

A

B

disjuntos, entonces: A–B

A

B

B–A

U

n1A ∪ B3  n1A3 R n1B3 T n1A∩B3

"n e#ecto, en el 5r0#ico dado obser4amos ue: A ∪ B  ^1A T B3 ∪1A ∩ B3/ ∪ 1B T A3- es decir A ∪ B

es la uni!n de tres conjuntos disjuntos entre s9.

Oue5o: n1A ∪ B3

 n^1A T B3 ∪ 1A ∩ B3/R n1B T A3

por 1*3

 n1A T B3 R n1A ∩ B3R n 1B T A3

por 1*3

 ^n1A3T n1A ∩ B3/R n1A ∩ B3R n1B3T n1A ∩ B3 por 1&3

∴ n1 A ∪ B 3  n1A3 R n1B3 T n1A∩B3. Nota .> d. puede tomar A ∪ B  1A T B3 ∪ B

y demostrar

lo mismo. ;3 Si A, B y C son conjuntos #initos tales ue: A ∩ B ∩ C ≠ ∅ entonces: n1A ∪ B ∪ C3  n1A3 R n1B3 R n1C3T n1A∩B3 T n1A∩C3 T n1B∩C3 R n1A ∩ B ∩ C3.

;;



Fidel Vera Obeso

Basta tomar: 1A ∪ B ∪ C3  A ∪ 1B ∪ C3 y aplicar 1*3 y 13. !ara fines prácticos es con2eniente representar A ∪ / en un diarama de Cenn compuesto por onas disjuntas como se ilustra a continuación: A

B b

a

c

U

onde:

a + n A ? / ) b + n A ∩ / ) c + n / ? A )

Ejemplo 1.

e un rupo de $## alumnos: &O no =ablan Hnlés, 5% no =ablan rancés y "J no =ablan Hnlés ni rancés.SNuántos alumnos =ablan uno de los idiomasU

Solu(#n/ Wablan Hnlés + H

Wablan rancés + 

n H R ) + &O

⇒

n H ) + 5$,

n  R ) + 5%

⇒

n  ) + &J.

Gráficamente:

ablan un solo idioma

I

F a

b

c

U

!or dato: c < "J + &O

⇒

c + "",

a < "J + 5%

⇒

a + "3.

Iueo:

a R c  ;$.

;



Fidel Vera Obeso


P "

P $

Cardinal de un conjunto

P %

"s el número de elementos de un conjuntos

;'



Fidel Vera Obeso

ACTIVIDAD N° 02

Fesuel4a los si5uientes ejercicios para e4aluar su aprendi
E(ERCICI$# R'P$  $)

Ios conjuntos A, / y N, tienen X, %X y  X6$) elementos, respecti2amente. A y / tienen X'" elementos comunes; A y N tienen X'&, y / y N tienen ". Di eiste un >nico elemento com>n a los tres conjuntos. Wallar el n>mero de elementos 8  A ∪ / ) ?  A ∩ /) 9 ? N.

de:

")

0n una encuesta realiada a $5# personas sobre sus preferencias de tres productos A, / y N, se encontró el siuiente resultado:

•

4" consumen el producto A.

•

5& consumen el producto /.

•

5# sólo consumen el producto A.

•

%# sólo consumen el producto /.

•

0l n>mero de personas que consumen sólo / y N es la mitad de las personas que consumen sólo A y N.

•

0l n>mero de personas que consumen sólo A y / es el triple de las personas que consumen los tres productos.

•

0l n>mero de personas que no consumen los productos mencionados son tantos como los que consumen sólo N.

;7



Fidel Vera Obeso

eterminar: a) 0l n>mero de personas que consumen sólo dos de los productos. b) 0l n>mero de personas que no consumen A, / ni N. c) 0l n>mero de personas que por lo menos consumen uno de los productos.

%)

Qn club consta de J4 personas; de ellas 5# juean f>tbol , %" básquet y "% 2óley. Deis fiuran en los tres deportes y $# no practican deporte aluno. 0ntonces:

&)

a)

SNuántas personas practican sólo un deporteU

b)

SNuántas personas practican sólo dos deportesU

c)

SNuántas personas practican al menos dos deportesU

d)

SNuántas personas practican como máimo dos deportesU

0n un Nonreso Hnternacional de Yedicina, se debatió el problema de la 0utanasia, planteándose una moción: 

$$5 europeos 2otaron a fa2or de la moción,



J5 cardióloos 2otaron en contra,



3# europeos 2otaron en contra,



4# cardióloos 2otaron a fa2or.

Di el n>mero de cardióloos europeos ecede en %# al n>mero de americanos de otras especialidades y no =ubo abstenciones. S Nuántos médicos participaron en el conresoU

5)

De =io una encuesta a $3# alumnos del N0!Q1D sobre la preferencia de & carreras profesionales: Hneniería de Distemas D), 0nfermería 0), Nomunicación Docial N) y /ioloía en Acuicultura /), obteniéndose los siuientes datos:

•

1inuno de los que prefieren N) simpatian con /).

•

"" sólo con D)

•

"# sólo con 0)

•

"# sólo con N)

•

"# con D) y /) pero no con 0)

•

3 sólo con N) y 0)

•

& con D) y N)

•

"& con /) y 0)

•

"4 sólo /).

SNuántos prefieren sólo D) y 0), si a todos por lo menos les usta una carrera profesionalU

;$



3)

Fidel Vera Obeso

e J## postulantes que se presentaron a la Q1D o a la Q1M, &## lo =icieron a la Q1M, iual n>mero a la Q1D, inresando la mitad del total de postulantes. Ios no inresantes se presentaron a la Q1YDY, de éstos O# no se presentaron a la Q1D y $4## no se presentaron a la Q1M. SNuántos postulantes inresaron a la Q1M y a la Q1DU.

J)

Dupona que los bre2etes sólo se consiuen lealmente, los que tienen bre2ete profesional saben mecánica mientras que los que tienen bre2ete particular sólo están autoriados a manejar automó2iles y así lo =acen. Di tienen los siuientes datos referente a un rupo de personas:

•

"$ no tienen bre2ete profesional o no manejan camiones.

•

$% saben encender un 2e=ículo pero no tienen bre2ete.

•

4 saben manejar 2e=ículos pero no tienen bre2ete.

•

" saben mecánica y manejan camiones. 0l mismo n>mero sabe manejar 2e=ículos pero no maneja camiones ni tiene bre2ete.

•

$$ no tienen bre2ete pofesional y no manejan camiones.

•

% tienen bre2ete particular.

Además, ténase en cuenta que los que saben mecánica tienen bre2ete profesional. De preunta lo siuiente: a) SNuántos son en totalU. b) SNuántos no tienen bre2eteU. c) SNuántos cometen infracción de manejar 2e=ículos sin tener bre2eteU. d) SNuántos saben encender un 2e=ículo pero no manejarlosU. 4)

0n un a2ión =ay O jó2enes, 5 niZos peruanos, O =ombres, J jó2enes etranjeros, $& peruanos, 3 peruanos 2arones, y J mujeres etranjeras. a) SNuál es el n>mero de personas del a2iónU b) SNuántos son solamente peruanosU

;8


Modulo de Teoria de Conjuntos

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