ÁNGULO LLANO
SEMANA I ÁNGULOS
1 8 0 °
Es la reunión de dos rayos que tienen el mismo origen o extremo.
0
A
= 180° 2. ÁNGULO CÓNCAVO Se mide más de: 180° < < 360°
V értice
O
B
Notación : AOB ; Medida del ángulo : m AOB = ; AOˆ B = AOˆ B
BISECTRIZ DE UN ÁNGULO Rayo que biseca al ángulo. A ˆB B isectrizdeA O
+ + + = 360° POR SU POSICIÓN
B
ÁNGULOS CONSECUTIVOS O ADYACENTES
CLASIFICACIÓN DE LOS ÁNGULOS I. ÁNGULO CONVEXO: Cuya medida está comprendida entre 0° < < 90° ÁNGULO AGUDO
A B
C
0
Son consecutivos si tiene el mismo vértice, un lado común. ÁNGULOS OPUESTOS POR EL VÉRTICE
0° < < 90°
ÁNGULO RECTO
ÁNGULOS COMPLEMENTARIOS
90° 0
= 90°
ÁNGULO OBTUSO + = 90° Complemento de un ángulo “x” : CX
B 0
CX = 90º - x
90° < b < 180° 1
3. La suma de los ángulos consecutivos AOˆ B y BOˆ C es 80° ( AOˆ B < BOˆ C ) se trazan las bisectrices ON y OM de dichos ángulos. Calcula el ángulo BOC sabiendo que la bisectriz del ángulo NOˆ M forma con OB un ángulo de 10°. A) 30° B) 60° C) 20° D) 90° E) 10°
ÁNGULOS SUPLEMENTARIOS
+ = 180° Suplemento de un ángulo “x” : SX SX = 180º - x NOTA: El complemento del suplemento de “x” : CSX SSX = X CC = ÁNGULOS DETERMINADOS PARALELOS Y UNA SECANTE L1 y L2 son los paralelos L3 la secante
SOBRE
4. Se tiene los ángulos consecutivos AOB , BOC,
3 COD y DOE tal que 2 Calcula: m AOB + m COD, si: m BOC + m DOE = 40° y mBOD = 30° A) 10° B) 20° C) 30° D) 40° E) 15° mAOC
DOS
5 6 8 7
mCOE . 4
5. En los ángulos adyacentes AOB y BOC, se cumple que mBOC = 90°; la bisectriz OB del ángulo BOC es perpendicular a OA. Calcula la medida del ángulo formado por la bisectriz del ángulo AOB y ON. A) 60° B) 96° C) 71°30’ D) 67°30’ E) 65°
L3
1 2 4 3
mBOD
L1
6. El complemento de un ángulo es igual a los 2/5 del suplemento del mismo ángulo ¿ Calcula cuál es su valor?. A) 60 B) 30 C) 45 D) 75 E) 90°
L2
ÁNGULOS CORRESPONDIENTES ; 1ˆ 5ˆ 2ˆ 6ˆ ; 3ˆ 7ˆ 4ˆ 8ˆ ÁNGULOS ALTERNOS INTERNOS ; 3ˆ 5ˆ 4ˆ 6ˆ ÁNGULOS ALTERNOS EXTERNOS ; 1ˆ 7ˆ 2ˆ 8ˆ PROPIEDAD:
7. Si: C complemento S suplemento. Siendo: C + SC + SSCC4 = 200° Calcula: “”. A) 10 B) 15 C) 5 D) 20 E) 25° 8. La medida de un ángulo es x°, si la diferencia entre los 5/6 del suplemento de x° y el complemento de la mitad de la medida de dicho ángulo excede en x°/15 al doble del complemento de x°. Calcular el suplemento del complemento de x°. A) 125° B) 135° C) 145° D) 155° E) 165°
y
x
++ =X+Y
9. Un ángulo llano es dividido en cinco ángulos parciales en progresión aritmética. Calcula el ángulo menor sabiendo que el cuadrado de su medida es igual al ángulo mayor. A) 8° B) 12° C) 16° D) 20° E) 25°
PRACTICA Nº 01 1. AOˆ B , BOˆ C , COˆ D , DOˆ E y EOˆ F , son consecutivos y AOˆ F llano. OB biseca AOˆ C , OE biseca DOˆ F y BOˆ E mide 112°. Halla la medida de COˆ D . A) 44° B) 54° C) 64° D) 68° E) 34°
10. Se tienen los ángulos consecutivos AOB, BOC, COD, DOE, EOF de tal manera que: m AOD=m
2. Desde un punto “O” es un mismo plano se trazan los rayos OA , OB, OC y OD de modo que se forman los ángulos AOB, BOC, COD y DOA consecutivos, si se sabe que ángulo AOC = 3 AOB 2mBOC = mCOD mDOA = 2 mCOD . Halla el valor de mAOB y mBOC. A) 24° Y 48° B) 40° Y 20°C) 20° Y 40° D) 53° Y 37°E) 30° Y 60°
rayo OE , si: m
E) 102º
11. Se tiene dos ángulos adyacentes, AOB y BOC, cuya suma de sus medidas es 100º (m AOB< m BOC). Se trazan las bisectrices ON
2
y OM . Evalúa la medida del ángulo BOC si la
bisectriz del ángulo NOM determina con OB un ángulo que mide 20º. A) 90º B) 40º C) 80º D) 60º E) 70º 12. Siendo L1 // L2 calcula “” L1
20°
A) 100°
B) 80°
17. Si: L1 // L 2 , Identifica el valor de “X”. A) 150° B) 130° C) 120° D) 160° E) 135° 18. Si: L1 // L 2 Determina el valor de “X”.
L2
C) 120°
D) 60° E) 110º
A) 55° D) 60°
13. Calcular el valor de si L1 // L2
L3 // L4 y L6 L5
B) 77° E) 35°
L15
C) 67°
19. Si: L1 // L 2 , Determina el valor de “X”.
L1
L4 30°
L6 2
L2 L3
A) 40°
B) 15°
C) 45°
D) 60°
E) 30°
A) 55° D) 60°
14. Si: L1 // L2 ; toma su máximo valor entero y las prolongaciones de AB y CD se intersecan. Calcular el valor de x. A) 10° B) 15° C) 20° D) 25° E) 30°
B) 77° E) 72°
C) 36°
20. Si: L1 // L 2 , evalúa el máximo valor entero de “X”. Si ) JCR es agudo
15. Si: L1 // L2 ; calcular el valor de x si: + = 275°. L1
L2 x
A) 55° D) 47°
260-
B) 44° E) 46°
C) 45°
4x
TRIÁNGULOS PROPIEDADES BÁSICAS CONCEPTO. Es la figura geométrica que se obtiene al unir tres puntos no colineales mediante segmentos de recta.
A) 50° B) 40° C) 35° D) 30° E) 25°
16. Según el gráfico
L 1 // L 2 y L 3 // L 4
y
L 5 // L 6 . Identifica el valor de “x”. A) 25° B) 40° C) 10° D) 30° E) 20°
3
I. b – a < c < b + a II. c – a < b < c + a III. c – b < a < c + b 3. PROPIEDADES ADICIONALES: a)
1.
ELEMENTOS: Vértices: A , B y C Lados: AB , BC y AC Medida de los ángulos internos: , , Medida de los ángulos externos: X , Y, Z Perímetro de la región triangular ABC: (2PABC) = a + b + c Semiperímetro de la región triangular: (PABC) = 2. PROPIEDADES TRIANGULO:
abc 2 FUNDAMENTALES
DEL
b)
TEOREMA 1:
TEOREMA 2: c)
TEOREMA 3:
4. CLASIFICACIÓN DE TRIÁNGULOS: 4.1. SEGÚN LAS MEDIDAS DE SUS ÁNGULOS: a) Triangulo Rectángulo: Es aquel triángulo que tiene un ángulo interno que mide 90°.
TEOREMA 4: En todo triángulo al lado de mayor longitud se le opone el ángulo de mayor medida y viceversa (Propiedades de Correspondencia).
b) Triángulo Acutángulo: Es aquel triángulo cuyos ángulos internos son agudos. TEOREMA 5: En todo triángulo la longitud de un lado es mayor que la diferencia de las longitudes de los otros dos y menor que la suma de las mismas (Propiedad de existencia).
c) Triángulo Obtusángulo: Es aquel triángulo que tiene un ángulo interior obtuso.
Sea : a < b < c 4
4.2. SEGÚN LAS MEDIDAS DE SUS LADOS: a) Triángulo Escaleno: Es aquel triángulo cuyos lados tienen diferente longitud.
A) 45° D) 30°
B) 60° E) 25°
C) 75°
04.En un triángulo de Semiperímetro igual a 10m, se tiene un punto “P” interior a dicho triángulo. Marcar el valor que puede tomar la suma de las distancias desde “P” a todos los vértices del triángulo. A) 10 B) 20 C) 3 D) 5 E) 8 05. Se tiene un triángulo, en el cual uno de sus ángulos internos mide el triple del otro, y el tercer ángulo mide 20° más que el menor ángulo. Calcular el mayor ángulo interno de dicho triángulo. A) 32° B) 52° C) 84° D) 96° E) 90°
b) Triángulo isósceles: Es aquel triángulo que tiene dos lados de igual longitud.
06. En la figura mostrada, calcular X, si AB = AD y BD = DC. c) Triángulo Equilátero: Es aquel triángulo cuyos lados tienen la misma longitud.
RECUERDA 60 º
A) 40° B) 20° C) 30° D) 50° E) 10° 07. Se tiene un triángulo en el cual dos de sus lados miden 3 y 6, el tercer lado es un número impar. Calcular el menor valor entero del perímetro de la región triangular. A) 12 B) 14 C) 13 D) 16 E) 11
Equilátero
PRACTICA Nº 02
08. En la figura mostrada, calcular x, si AD = BC y BD = DC.
01. Hallar: x
A) 10° B) 12° C) 15° D) 18° E) 36° 09. Según la figura mostrada, DE biseca al ángulo ADC. Calcular x, si además ED = DC.
A) 30º B) 120º C) 140º D) 150º E) 160º 02. Hallar el suplemento de x
A) 80° B) 40° C) 50° D) 60° E) 70° 10. Se tiene un triángulo rectángulo ABC (recto en B) en el cual se trazan las cevianas interiores BD y BE , de tal manera que se cumple lo m ACB 2m ABD siguiente y m BAC 2m EBC . Calcular DE, si además AB = 3 y BC = 4 A) 1 B) 0,5 C) 2 D) 3 E) 5
A) 3 + 2 B) 90º–3–2C) 180º–2–3 D) 180º–3–2 E) 90º–2–3 03. Las medidas de los ángulos internos de un triángulo son proporcionales a 3, 4 y 5 Hallar el menor ángulo interno de dicho triángulo 5
11. Si el triángulo ABC es equilátero y BD = DC. Calcular x.
D) 28º
E) 24º
18. En la figura: AB = CD. Calcular “x” B
C x
60° -
2
A) 90° B) 120° C) 150° D) 105° E) 135°
A
A) 15 D) 30
12. Según la figura, AB=BC y AD = CE, calcular x.
D
B) 18 E) 36
C) 22,5
19. En la figura: AB =4, calcular FC sabiendo que es un número entero. B 3
A) 10° B) 20° C) 30°D) 15° E) 25° 13. En la calcular x + y + z
figura
2
A
mostrada,
A) 5 D) 8
F
B) 6 E) 9
C
C) 7
20. En la figura: AB = BC, Calcular “x” B C 60 °- A
A) 90° B) 180° C) 300° D) 60°
2
E) 120°
14. Según el gráfico, AM = AN y PC = NC, calcular x.
A) 30 D) 15
B) 45 E) 12
x D C) 60
21. Calcular , si AB = AD = DC B
9 2 3
A A) 15° B) 30° C) 45°D) 36° E) 60° 15. Sobre el lado AC de un triángulo ABC se ubica el punto M, de tal manera que AB=BM=MC y AC=BC. Calcular m
C
D A) 5 D) 12
B) 9 E) 15
C) 10
22. Interiormente a un triángulo ABC se considera el punto D, de modo que AD = DC = BC, además: m < BAD=3, m < DCB=8 y m < DCA=45–5. Calcular:
16. Sobre los catetos AB y BC de un triángulo rectángulo ABC se ubican los puntos M y N respectivamente. Sobre la hipotenusa AC se ubican los puntos E y F, de tal manera que EA=EM=BM y FC=FN=BN. Calcular m
A) 5 D) 8
17. Dado el triángulo isósceles ABC(AB=BC); P AB y Q PC de modo que BP=BQ y m
B) 6 E) 10
C) 7,5
CEVIANA: Es aquel segmento que une un vértice con un punto cualquiera del lado opuesto o de su prolongación.
SEMANA II LÍNEAS NOTABLES BISECTRIZ: Es aquella ceviana interior o exterior que biseca a un ángulo interior o exterior respectivamente.
Bisectriz Interior: En el ABC interior relativa a
BD Bisectriz
AC En el ABC: * BD : Ceviana interior relativo a AC * BE : Ceviana exterior relativo a AC
Bisectriz Exterior: En el ABC exterior relativa a
MEDIANA: Es el segmento que une un vértice con el punto medio del lado opuesto.
BE : Bisectriz
AC
En el ABC: BM : Mediana relativa a AC MEDIATRIZ: Es la recta perpendicular a un lado y que contiene al punto medio de dicho lado.
PROPIEDADES DE ÁNGULOS DETERMINADOS POR BISECTRICES:
Angulo determinado por las bisectrices de un ángulo interior y un ángulo exterior:
En el ABC:
L = Mediatriz de AC Ángulo determinado por las bisectrices de dos ángulos interiores:
ALTURA: Es una ceviana perpendicular al lado al cual es relativa; la posición de una altura respecto al triángulo depende del tipo de triángulo.
Ángulo determinado por las bisectrices de dos ángulos exteriores:
En el ABC: Acutángulo
BH : Altura relativa a AC
En el ABC: Rectángulo
AB : Altura
relativa a
BC
En el ABC: Obtusángulo (>90°) BH : Altura relativa a AC CQ : Altura relativa a AB 7
3. ABC es un triángulo cuyos ángulos A y C miden 80º y 20º respectivamente. Si la bisectriz del ángulo B intersecta al lado en D, hallar la medida del ángulo ABD. A) 40º B) 37º C) 20º D) 80º E) 60º PROPIEDADES ADICIONALES
x 45
x
4. Calcular “x”
A) 60º D) 90º
a 2
B) 10º E) 50º
C) 70º
5. Del gráfico, calcular “x”
a b 2
A) 70º D) 60º
B) 80º E) 40º
C) 45º
6. Según la figura: A + B = 200º, hallar “x”
x
a b 2
PRACTICA Nº 03 1. Según la figura: A) 10º D) 40º
B) 20º E) 50º
C) 30º
7. Hallar “xº” z equivale a: A) 30º B) 40º D) 80º E) 35º
C) 60º
2. Calcular “x” A) 11º D) 14º
A) 20º C) 0º
B) 25º D) 35º
B) 12º E) 15º
C) 13º
8. En un ABC la bisectriz interior de A, forma con la exterior de B un ángulo de 18º, calcular la medida del ángulo que forman las bisectrices exteriores de A y C si: m∢BAC = m∢BCA + 4º A) 36º B) 37º C) 38º D) 39º E) 40º
50º
8
17. Según el gráfico, calcular “c +d”, si: a + b = 120°
9. Dado un triángulo isósceles ABC, AB = BC y m B = 40°. Se traza la bisectriz interior AD y la bisectriz exterior DF del triángulo ADC. Calcular mDFC. A) 10° B) 16°30’ C) 12°30’ D) 15° E) 17°30’
a) b) c) d) e)
10. En un triángulo ACQ se trazan las cevianas interiores CB y CM tal que M BQ. Si AB = BC, CM = MQ, m BCM = x y el ángulo exterior de vértice C mide 2x, calcular “x” A) 24° B) 36° C) 32° D) 48° E) 28°
180° 120° 200° 240° 300°
18. Calcular “x + y + z”
11. En un triángulo isósceles ABC de base AB se traza la ceviana BD tal que AB = AD. Si m ADB = 50° , calcular m ACB A) 25° B) 20° C) 30° D) 10° E) 40°
A) 150° D) 180°
B) 120° E) 270°
C) 360°
19. En un ABC, AB = BC, se traza la altura BH y la mediana AM que se interseca en “P”. Si: PM 2 y < BPM = 45 A) 6 B) 7 C) 8 D) 9 E) 10
12. En un triángulo ABC se traza la bisectriz interior BP tal que BP = PC. Si mA = 75°, calcular mC A) 30° B) 40° C) 35° D) 45° E) 50°
20. Se tiene un triángulo obtusángulo ABD, obtuso en “D”, tal que: AB = 18, se traza la bisectriz AM , M en BD y luego se traza BC AM (“C” en la prolongación de AM ). Si: AM = 2MC. Calcular DC. A) 6 B) 8 C) 9 D) 12 E) 5
13. En un triángulo acutángulo ABC se trazan las alturas AM y BN, y las bisectrices de MBN y MAN que se interceptan en T. Hallar mATB A) 135° B) 75° C) 90° D) 105° E) 150°
CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS I CASO: (ALA). Ángulo – Lado – Ángulo Postulado: dos triángulos son congruentes, si presentan un lado de igual longitud y los ángulos adyacentes a él de igual medida.
14. En un triángulo ABC mA = 2mC. Si la altura relativa a AC y la bisectriz de ABC forman un ángulo de 10°, hallar mC A) 30° B) 16° C) 25° D) 20° E) 18° 15. En la figura calcular “x” a) 10° b) 30°
Entonces: ABC PQR Ej: Calcular “b”
c) 45°
Q
B
d) 60° 4
e) 75°
A
60º
b 45º
C
6 P
45º
4 60º
R
II CASO: (LAL). Lado – Ángulo – Lado Teorema dos triángulos son congruentes, si estos presentan un ángulo de igual medida y los lados adyacentes a él de igual longitud
16. En la figura hallar “ x ” A) 60° B) 90° C) 80° D) 40° E) 70°
Entonces: 9
ABC PQR
Ej: Si los son congruentes. Calcular “b”.
PROPIEDAD ISÓSCELES
EN
EL
TRIÁNGULO
B b
6
28º
º º
28º 4
4
BH
III CASO: (LLL). Lado – Lado – Lado Teorema: Dos triángulos son congruentes, si estos presentan sus tres lados de igual longitud.
Entonces: ABC PQR Ej: Calcular: a + b B
a
2 b A
C
4
A
TEOREMA DE LA BASE MEDIA:
Q 6
P
R
C
H
Altura Mediana Bisectriz Segmento de mediatriz
MN// AC
MN
AC 2
TEOREMA DE LA MEDIANA QUE CAE EN LA HIPOTENUSA Esta mediana mide la mitad de la hipotenusa.
APLICACIONES DE LA CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS PROPIEDADES DE LA BISECTRIZ
Siendo OP la bisectriz de AOB se cumple PA = PB
OA = OB
PRACTICA Nº 04 01. En un triángulo ABC, Aˆ = 60; Cˆ 40 se traza la bisectriz interior BP y sobre BC se ubica
A O
º º
un punto Q tal que QC = AB. Calcular B Pˆ Q. A) 10° B) 20° C) 15° D) 18° E) 25°
P B
Ej: Calcular “x” a) 24 b) 7 c) 31 d) 17 e) 25 24
02. En
triángulo
ABC,
Bˆ 2Cˆ 2
y
Aˆ = . Se traza la bisectriz interior BP y sobre BC, se ubica un punto Q tal que Q = AB. Calcular B Pˆ Q.
7 x
A)
2
D)
PROPIEDADES DE LA MEDIATRIZ Siendo: L mediatriz de AB se cumple:
E
M
2 E) 2 B)
C)
2
03. Sobre la hipotenusa AC de un triángulo rectángulo se construye exteriormente un triángulo rectángulo isósceles CAD recto en A. Si AB = 2 y BC = 7. hallar la distancia desde “D” hasta BC . A) 8 B) 9 C) 7 D) 5 E) 4
L
A
un
04. Sobre la hipotenusa AC de un triángulo rectángulo se construye exteriormente el triángulo rectángulo isósceles CAD recto en A. Si AB = C y BC = a. Hallar la distancia desde “D” hasta BC
B
10
A)
ac 2
D)2b a
B)a c E)
14. Calcular . A) 8° B) 9° C) 10° D) 11° E) 12°
C ) 2a b
ac 3
05. En un triángulo ABC se traza la ceviana BE tal que:AB=EC=8. Además EBˆ C = ABˆ E + Cˆ . Hallar BC A) 6 B) 7 C) 8 D) 9 E) 10
15. Calcular x: A) 30° B) 37° C) 22,5° D) 18,5° E) 53°
06. En un triángulo ABC, se traza la ceviana BE tal que: AB = EC. Además EBˆ C = 8x = ABˆ E + Cˆ y Cˆ = 2x. hallar x A) 8° B) 9° C) 12° D) 15° E) 10°
16. En el gráfico, calcule: "xº", si : AD = DC.
B 07. En un triángulo ABC, Aˆ = 2 Cˆ = 40° sobre AC se toma el punto F tal que AB = FC. Hallar B Fˆ C. A) 140° B) 120° C) 110° D) 40° E) 80°
xº
08. En un triángulo ABC, Aˆ = 2 Cˆ , A = 2C = 2. Sobre AC se toma el punto F talque AB = FC. Hallar F Bˆ C A) 90- B) 180- C) 180-2 D) 2 E)
A A) 15°
xº
45º D
B) 20°
C
C) 25° D) 30° E) 35°
17. En el gráfico, calcule α.
10. En la figura ED = 12 y CD = 5. Hallar AB. A) 13° B) 22° C) 17° D) 19° E) 21°
A) 9°
º
30º
20
09. En la figura Bˆ = 150°, A Cˆ B = 10° AM es bisectriz del Aˆ y CM= 4, hallar AB. A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) 8
70º
10º º B) 10° C) 15° D) 22,5° E) 30°
SEMANA III POLÍGONOS Figura geométrica formada de la unión de tres o más puntos no colineales y coplanares, mediante segmentos de recta.
11. Calcular x: A) 4° B) 8° C) 10° D) 16° E) 12° 12. Calcular : A) 10° B) 12° C) 15° D) 20° E) 25°
ELEMENTOS: - Vértices : A, B, C, D, E - Lados : AB, BC, CD, DE, EA - s Interiores : - s Exteriores: 1, 2, 3, 4, 5 - Diagonales : AC, AD, BD, BE, CE - Perímetro : 2p = a + b + c + d + e
13. Hallar x: A) 70° B) 60° C) 50° D) 40° E) 53°
CLASIFICACIÓN I. De acuerdo a su región: 11
Polígono convexo
Polígono no convexo
Número Total de Diagonales Medias en un Polígono DM
II. De acuerdo a su número de lados: - Triángulo 3 lados - Cuadrilátero 4 lados - Pentágono 5 lados - Hexágono 6 lados - Heptágono 7 lados - Octógono 8 lados - Nonágono 9 lados - Decágono 10 lados - Endecágono 11 lados - Dodecágono 12 lados - Pentadecágono - Icoságono 20 lados
Número de Diagonales Trazadas desde los “v” Primeros Vértices Consecutivos en un Polígono de “n” Lados:
n(n 1) 2
Dv.n n.v
(v 1)(v 2) 2
Número de Diagonales Medias Trazadas desde los “m” Primeros Lados Consecutivos en un Polígono de “n” Lados:
Dm.n = n.m -
m(m+1) 2
PRACTICA Nº 05 01. ¿Cuántos lados tiene un polígono cuya suma de las medidas de sus ángulos internos y externos es 3960°? A)18 B)20 C)22 D)24 E)32
III. De acuerdo a sus ángulos y a sus lados: a. Polígono equilátero: Tienen sus lados de medidas iguales.
02. ¿En qué polígono el número de diagonales medios es el doble del número de diagonales de dicho polígono? A) Pentágono B) Hexágono C) Heptágono D) Octágono E) Decágono
b. Polígono equiángulo: Tiene internos de medidas iguales.
ángulos
03. Dados los polígonos regulares cuyos números de lados son consecutivos. Calcular el número de lados del polígono de mayor ángulo central si la diferencia entre las medidas de sus ángulos exteriores es 12°. A)1 B)2 C)3 D)4 E)5
c. Polígono regular: Es aquel polígono equiángulo y equilátero a la vez.
04. Calcular la medida del ángulo interior de un polígono regular, sabiendo que excede en 20° a lo de otro que tiene 3 lados menos. A)110° B)120° C)130° D)140° E)150°
sus
05. Calcular el número de lados de un polígono si la suma de las medidas de los ángulos interiores es el triple de la suma de las medidas de los ángulos exteriores. A)8 B)12 C)16 D)18 E)20
PROPIEDADES
Número Total de Diagonales en un Polígono:
Suma de Ángulos Internos en un Polígono Convexo:
06. En un polígono convexo la diferencia entre el número de diagonales y el número de ángulos rectos a que equivale la suma de las medidas de los ángulos internos es igual al número de lados de dicho polígono. Calcular su número de lados. A)7 B)8 C)12 D)116 E)10
n(n 3) D 2
S i 180º (n 2)
07. Al aumentar en 3 el número de lados de un polígono, el número de diagonales se duplica. Calcular la suma de las medidas de los ángulos internos. A)1260° B)1120° C)1416° D)1024° E)1825°
180(n-2) Ángulo interno: i , se cumple en n polígonos equiángulos y regulares.
Suma de Ángulos Externos en un Polígono Convexo: S e 360º
12
08. En un polígono regular al disminuir en 10° cada ángulo interior resulta otro polígono regular cuyo número de lados es los 2/3 partes del número de lados del polígono original. Calcular el número de lados de dicho polígono? A)14 B)18 C)19 D)20 E)36
A) 135 B) 125 C) 120 D) 145
E) 165
09. Decir cuál es el polígono regular en el que se cumple que al aumentar 30° a su ángulo externo se obtiene otro polígono regular en el que su ángulo externo sería a su ángulo interior como 1 es a 2. A)8 B)10 C)12 D)4 E)16
18. Calcular el número de lados de aquel polígono en donde el máximo número de diagonales es el doble de la suma del número de lados mas dos A) 4 B) 8 C) 10 D) 12 E) 14
17. En un polígono regular ABC....... de n lados m∢ACE=140. Calcular el número de diagonales A) 153 B) 146 C) 156 D) 135 E) 170
19. Si ABCDEF........ es un polígono regular y BQEP es un rombo; calcular el número total de diagonales del polígono regular.
10. Calcular la medida de un ángulo exterior de un polígono regular si se sabe que: Si al número de diagonales se le quita la cantidad de ángulos rectos a que equivale la suma de las medidas de los ángulos internos se obtiene el número de lados. A)20° B)25° C)30° D)35° E)45°
Q C
D
B θ° θ°
E
A
11. De dos polígonos regulares, uno de ellos tiene tres lados menos que el otro, pero el ángulo central de uno de ellos mide 27° menos que la medida del ángulo central. Hallar la suma de las medidas de los ángulos interiores de dichos polígonos. A)1620° B)1440° C)1080° D)900° E)1000°
F
P
A) 27 B) 54 C) 35 D) 64 E) 44 20. El número de diagonales de un polígono aumentado en K es igual al número de diagonales medias disminuido en 2K, calcule el número de lados de dicho polígono. A) 5K B) 4K C) 3K D) 2K E) K
12. El número de lados de un polígono regular excede en 2 al número de lados de otro polígono regular, y la medida del ángulo externo del otro polígono. Hallar la suma del número de diagonales de dicho polígono. A)29 B)36 C)27 D)44 E)18
21. Se tiene que en un polígono se cumple que el número de diagonales y el número de diagonales medias suman 80, calcule el número de diagonales del polígono que se forma al unir los puntos medios de los lados del polígono original. A) 36 B) 20 C) 54 D) 44 E) 35
13. Se tiene dos polígonos regulares cuyos números de diagonales se diferencian en 342 y cuyas medidas de sus ángulos centrales están en la relación como 2 es a 3. Hallar la diferencia de las medidas de sus ángulos centrales. A)5° B)6° C)12° D)15° E)18
22. Hallar los números de lados de dos polígonos regulares, cuyo número de diagonales, se diferencian en 4 y sus ángulos centrales son como 5 es a 6. a) 4 y 5 b) 5 y 7 c) 6 y 5 d) 7 y 8 e) 9 y 7
14. Calcular el número de lados de un polígono equiángulo sabiendo que la suma de las medidas de siete ángulos internos es igual a 1 134. A) 18 B) 20 C) 22 D) 15 E) 25
23. En un Calcular:
pentágono
X VZ IZ
15. ¿En qué polígono se cumple que al reducir a la mitad su número de lados, el número total de diagonales se reduce a la séptima parte? A) Octágono B) Nonágono C) Pentadecágono D) Dodecágono E) Decágono
A) 0, 5
Si:
B) 1, 5 C) 2
equiángulo
VELIZ.
VE LI D) 1
E) 3
24. En un polígono regular de “n” lados VELIZ (Firulays), las prolongaciones de VE y ZI se cortan en “R”. Hallar “n” si m < ERI = 126°. A) 16 B) 17 C) 18 D) 19 E) 20
16. En un polígono convexo se sabe que el cociente entre la suma de las medidas de sus ángulos interiores y exteriores es 8. Calcular el número de diagonales de dicho polígono 13
CUADRADO:
SEMANA IV CUADRILATEROS DEFINICIÓN Es aquel polígono de cuatro lados. Puede ser convexo o no convexo.
TRAPECIOS Es aquel cuadrilátero convexo que sólo tiene un par de lados opuestos paralelos.
Cuadrilátero Convexo: Cuando sus ángulos interiores son menores de 180º.
180º
Cuadrilátero No Convexo: Cuando uno de los ángulos interiores mide más de 180º.
En la figura, si: BC // AD , AB // CD Clasificación de Trapecios: Los trapecios se clasifican de acuerdo a la longitud de sus lados laterales en: Trapecio Escaleno: Es aquel trapecio cuyos lados laterales tienen diferente longitud.
PARALELOGRAMOS PARALELOGRAMO (Romboide): Es aquel cuadrilátero convexo que tiene sus dos pares de lados opuestos paralelos.
En la figura, si: BC // AD y AB CD ABCD: trapecio escaleno Trapecio rectángulo
En la figura, ABCD: romboide. Se cumple 180º
En la figura m < ABC=m < BAD=90° ABCD: trapecio rectángulo Recto en A y B. También es un trapecio escaleno. Trapecio Isósceles: Es aquel trapecio cuyos lados laterales son de igual longitud.
ROMBO:
En la figura,
ABCD: rombo. Propiedades en Trapecios: Teorema 1: Medina del Trapecio
RECTÁNGULO (cuadrilongo):
. En la figura,
ABCD. Rectángulo. 14
PRACTICA Nº 06
En la figura, MN es la base media del trapecio ABCD. Se cumple:
MN // BC
01. Dado un cuadrilátero convexo cualquiera al unir en forma consecutiva los puntos medios de los lados se forma un: A) Cuadrado B) Rectángulo C) Rombo D) Paralelogramo E) Trapecio
ab x 2
Observación:
02. Exteriormente a un cuadrado ABCD, Se construye el triángulo isósceles BCP. Siendo BP=BC. Calcular mAPC. A)15° B)30° C)45° D)53° E)60°
Se cumple: m
x=y
03. En un trapecio rectángulo ABCD, siendo las bases BC y AD , las bisectrices interiores de los ángulos C y D se intersectan en “E”. Si BC=3: CD=4 y AD=5. Entonces la distancia del punto “E” al lado AB es: A)1 B)2 C)1,5 C)2,5 E)3
ab 2
Teorema 2: Segmento que une los puntos medios de las diagonales
b
B
04. En un cuadrado ABCD se prolonga AD hasta un punto “E” tal que: mACE=98° y CE=20cm. Entonces el perímetro de cuadrado es: A)48 B)46 C)44 D)42 E)40
C Q
P
x
A
D
a
x
ab 2
Observación: En la figura, M es punto medio de AC MH BD .
05. En un romboide ABCD se considera los puntos medios M y N de los lados AD y BC . AC intersecta a BM y DN en P y Q respectivamente. Hallar PQ si:AC=18m. A)3m B)4m C)5m D)6.5m E)6m
y
06. Calcular la mediana del siguiente trapecio: A) 15.1 5m B) 15.2 C) 15.3 15m D) 15.4 E) 15.5 45° 53°
Si: x = y
07. Si “O” es centro cuadrado, calcular “x” A) 1,5 B) 2,5 O C) 3,5 x D) 4,5 E) 5,5
ab d 2
PROPIEDADES
5
1. Suma de Ángulos Internos
08. Si BD=8, calcular “x” A) 1,5 B) 2,5 C) 3 D) 3,5 E) 4
= 360º
2. Suma de ángulos exteriores z y
2
09. Si: ABCD es un cuadrado, calcular “x” A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 3,5
x + y + z + w = 360º w
x
15
10. Calcular “” A) 30° B) 37° C) 45° D) 53° E) 22,5° 11. Calcular “” si ABCD es un trapecio: A) 30° B) 37° C) 45° D) 53° E) 60° 12. En un trapecio ABCD de base BC y AD ; tal que mA=mD; AB=5 y CD=8; calcular mC. A)123° B)133° C)143° D)153° E)160°
18. En un trapezoide ABCD (AC>BD) las diagonales se interceptan en “O”. Siendo OC=3AO. Bajo el vértice “D”. Se traza una recta exterior al cuadrilátero, calcular la longitud de la distancia del vértice “B” a esta recta; si las longitudes de las distancias de los vértices A, D y C a la recta exterior son 12m, 6m y 8m respectivamente. A)18m B)14m C)16m D)20m E)15m 19. En el interior de un cuadrilátero convexo ABCD se ubica el punto “P”, tal que AB AP ; CD DP , m
13. Del trapecio mostrado: calcular “”. A) 15° B) 18.5° C) 22.5° D) 26.5° E) 30°
20. Dibuja al trapecio ABCD, de modo que su mayor se AB y los otros tres lados sean congruentes entre sí. Si: AC AB . Hallar m < BCD. A) 120° B) 135° C) 145° D) 108°
14. Del trapecio mostrado; calcular “x”: 6 A) 5 B) 4 x 4 5 C) 3 D) 2 11 E) 1
21. En un paralelogramo ABCD se levanta las AQ y CR a AD y CD respectivamente. Si: AQ AD y RC CD . Hallar m < QBR. A) 72° B) 90° C) 75° D) 85° E) 80º
15. Calcular: “”
A) 15° D) 37°
B) 18,5° E) 45°
22. En un paralelogramo ABCD la m
C) 30°
23. Se tiene cuadrilátero ABCD, donde se sabe que AB BC CD 2 y BC // AD . Hallar el ángulo formado por las bisectrices exteriores de Bˆ y Cˆ . A) 100° B) 110° C) 90° D) 80° E) 60°
16. Calcular “”
AD
16
3
18
8 2
A)15° D)45°
B)18.5° E)30°
24. En un trapecio ABCD AB // CD si: AB 8 ;
C)37°
BC 6 ; AD 10 y CD 18 . Las bisectrices de los ángulos “A” y “D” se intersectan en “M” y las bisectrices de los ángulos “B” y “C” se intersectan en el punto N. Hallar MN . A) 4 B) 5 C) 6 D) 4, 5 E) 7
17. Calcular “” x 8 6
A)1
B)2
C)1.5
25. En un trapecio ABCD AB // CD se cumple:
D)2.5
m < BCD + m < ADC = 90° y CD AB 24 . Hallar la longitud del segmento que une los puntos medios de las bases. A) 24 B) 10 C) 15 D) 6 E) 12
E)3
16
MAGNITUDES SUPLEMENTARIAS 1. ANGULO plano Radian rad. 2. Angulo sólido estereoradián sr. SISTEMA ABSOLUTO. Considera como magnitudes fundamentales a la longitud (L), masa (M), y tiempo (T). ANÁLISIS DIMENSIONAL. Trata de las relaciones matemáticas de las dimensiones de las magnitudes físicas. La fórmula dimensional o dimensión de una magnitud derivada está representada por un monomio formado por el producto de los símbolos de las magnitudes fundamentales elevadas a ciertas potencias enteras o fraccionarias, positivos o negativos. Así la fórmula dimensional de la magnitud derivada X, tendrá la forma.
SEMANA 01 ANÁLISIS DIMENSIONAL Y VECTORES MAGNITUD FÍSICA.- Es todo Aquello que puede ser cuantificado y/o comparado y que representa a alguna propiedad física de la materia. MEDIR. Es comparar dos magnitudes de la misma especie donde el ente de comparación es la unidad de medida. CLASIFICACIÓN DE LAS MAGNITUDES Las magnitudes físicas pueden clasificarse de dos formas: 1. Por su origen a) Magnitudes fundamentales. Son aquellas cuyas unidades se han elegido como fundamentales de acuerdo a los convenios internacionales. b) Magnitudes derivadas. Son aquellas cuyas unidades se forman de una combinación de las unidades de las magnitudes fundamentales. c) Magnitudes auxiliares. No tienen unidad física. 2. Por su naturaleza. a) Magnitudes escalares. Estas magnitudes solo necesitan de un número real y una unidad de medida para quedar bien definida. b) Magnitudes vectoriales. Estas magnitudes aparte de tener un número y una unidad física necesitan de una dirección y sentido para estar bien definidas. c) Magnitudes tensoriales. Son aquellas que a diferencia de las vectoriales tienen muchas direcciones. SISTEMA DE UNIDADES. Es el conjunto ordenado y coherente de unidades fijan las magnitudes básicas o fundamentales y luego se obtienen las magnitudes derivadas. SISTEMA INTERNACIONAL DE UNIDADES (S.I.). Es el producto final de la evolución lógica del antiguo sistema métrico decimal o MKS, que incrementado en cuatro unidades se convierte ahora en el sistema legal de unidades de casi todos los países del mundo. MAGNITUDES FUNDAMENTALES (S.I.) MAGNITUD UNIDAD SÍMBOLO
X La M bT cd Ie J f Ng
X= Símbolo de la magnitud o unidad X. X = Ecuación dimensional de “X”. PROPIEDADES DE LA ECUACIÓN DIMENSIONAL 1. Las ecuaciones dimensionales, cumplen con las leyes del álgebra; a excepción de la suma o resta. a) ABC A B C
b) c) d)
Metro
m
L
Masa
Kilogramo
Kg
M
Tiempo Intensidad de corriente Temperatura termodinámi ca Intensidad luminosa Cantidad de sustancia
Segundos
s
T
Ampere
A
I
Kelvin
K
θ
Candela
cd
J
mol
mol
N
A y B son dos magnitudes físicas cualquiera. 2. Las ecuaciones dimensionales de los números, ángulos, funciones trigonométricas, funciones logarítmicas, etc. es igual a la unidad. Estas magnitudes se denominan adimensionales.
0,2542 1 2rad 360º 1 Sen 37ºTg53º 1 log100 1
3. Las ecuaciones dimensionales de las constantes numéricas son igual a la unidad.
3,1416 1
e 2,71... 1
4. Las ecuaciones dimensionales de las constantes físicas, es diferente a la unidad.
DIMENSIÓN
Longitud
A A B B A n An n A m Am n
g aceleració n de la gravedad 1
5. La ecuación dimensional de todo exponente y argumento es igual a la unidad. PRINCIPIO DE HOMOGENEIDAD DIMENSIONAL Toda igualdad matemática que expresa la relación entre las diferentes magnitudes físicas, deberá tener homogeneidad dimensional. Es decir, las dimensiones de cada uno de los términos deben ser las mismas en ambos miembros.
AX Dtg(BY C) AX Dtg(BY C) ZE
17
BY C
De las proposiciones anteriores son ciertas: a) Solo I y II b) Solo II c) Solo I y III d) Solo II y III e) Solo III
ECUACIONES DIMENSIONALES BÁSICAS 1. Velocidad (v = d / t) [v] = ...... 2. Aceleración (a = v / t) [a] = ...... 3. Area (A = b.h) [A] = …… 4. Volumen (V = b.h.e) [V] = ...... 5. Fuerza (F = m.a) [F] = ...... 6. Densidad ( = m / V) [] = ...... 7. Trabajo (W = F.d) [W] = ...... 8. Potencia (P = W / t) [P] = ...... 9. Presión (Pr = F / A) [Pr] = ...... 10. Período( T = t) [T] = ...... 11. Frecuencia (f = 1 / T) [ f ] = ...... 12.Velocidad Angular ( = / t) [] = ...... 13.Aceleración Angular ( = / t) [] = ...... 14.Carga Eléctrica (q = I.t) [q] = ...... NOTA IMPORTANTE [Calor] = [energía] = [Trabajo] = [Momento] Peso = Fuerza
6. En la siguiente ecuación homogénea. Hallar las dimensiones de A, B y C.
Ax3 x 2 y AB 2 (Sen 2 Cos 2) C C C Donde: x = Longitud y = Masa -3 -2 -1 a) L , ML , M b) ML , L3, ML2 c) M-1L, L3, M-1L-2 d) ML-1, L3, ML-2 -3 2 e) ML, L , ML 7. Dada la ecuación dimensionalmente correcta. F = nx . r y . v z Donde: F = Fuerza Masa n = Viscosidad = Longitud Tiempo r = Radio v = Velocidad Halla: x + y + z a) 1 b) 2 c) 3 d) -1 e) -2
PROBLEMITAS
8. En la ecuación dimensionalmente correcta, halla las dimensiones de “P”. v = Velocidad x 2 v.m m = Masa X P 2 . C . Log w = Trabajo w c = Constante a) LT-2 b) LT1/2 c) L1/4T-1/4 d) LT1/4 e) L1/4T
1. Halla la ecuación dimensional de A, si se cumple la
relación:
C
A2 .D F. V2
Donde:
C = Velocidad F = Fuerza 12 -2 a) L T b) L6T-2 d) L12T-4 e) L6T-2M-2
D = Densidad V = Volumen c) L6T-4
9. En la ecuación dimensionalmente correcta. Halla las dimensiones de x e y, si A es Área.
2. En la fórmula física, marca verdadero (V) o falso (F) sabiendo que: X = Abw. Sec(wt) * Si [A] = L entonces [x] = L2 ............( ) -1 * Si [t] = T entonces [b] = T ............ ( ) * Siempre se cumple que [x] = [A] ........... ( ) a) VVF b) FVF c) FFV d) VVV e) FFF
A
2
a) L ; T d) L-2 ; L-2
z Sen y 2 Cos x yz b) L2 ; T-1 e) L-1T-1
c) L-1 : L2
10.De las proposiciones siguientes son correctas: I. La ecuación dimensional de la temperatura es ө. II. La carga eléctrica dimensionalmente es IT. III. La dimensión de la cantidad de sustancia es M. a) Solo I b) Solo III c) Solo I y III d) Solo I y II e) Solo II y III
3. Indica las dimensiones de “E” en la ecuación dimensionalmente correcta.
E
w
A6 A3 V R W2 2Q
xy 12. Halla z si la ecuación: es homogénea.
Donde: V = Velocidad W = Energía -2 -2 2 2 a) M L T b)MLT c)M LT d)M2L2T-2 e) ML2T-2
F
4. Experimentalmente se demuestra que el espacio recorrido (e) por un cuerpo con M.R.U.V., depende del tiempo empleado (t) y de su aceleración (a). Determina la fórmula física para dicho espacio. (Considere K: constante de proporcionalidad numérica) a) kat b) ka2t c) kat2 d) kat-1 e) ka-1t
( z xm ) ( xmgd ) y (log 25 x ) 2
Si: F = Fuerza, g = 9,8 m/s , m = Masa, d= distancia a) M b) L c) T d) ML e) MT 13.En el sistema “ALFA” se considera como unidades fundamentales a la masa (M), velocidad (V) y el tiempo (T). Determina la ecuación dimensional de la presión en este sistema. a) MVT-1 b) MV-1T-3 c) MVT -3 -2 d) MVT e) MVT
5. Según las reglas del análisis dimensional podemos decir: I. El trabajo y la velocidad angular tienen la misma ecuación dimensional. II. [Sec ө] = [tan ө] III. La velocidad angular y la frecuencia tienen la misma ecuación dimensional.
18
14.La energía E de movimiento lineal P, están relacionados por la ecuación homogénea: E2 = AP2 + BC2 Donde: C = Velocidad de la luz Halla las dimensiones de A y B. a) L2M-2 ; L2M-2 b) L2T-2 ; L2M2T-2 -2 -2 c) LMT ; LMT d) L2TM ; L2MT-2 e) L2M2T-2 ; L2 M2T-2
e) Faltan datos 21.La fuerza de sustentación del ala de un avión depende el área S del ala, de la densidad Ө del aire y de la velocidad V del avión. Halle la suma de los exponentes de S y Ө. a) -2 b) -1 c) 0 d) 2 e) 4 ANÁLISIS VECTORIAL VECTOR.- Es un segmento de recta orientado que sirve para representar a las magnitudes Físicas vectoriales. ELEMENTOS DE UN VECTOR: 1. Punto de Aplicación. Está dado por el origen del vector. 2. Intensidad, Módulo o Magnitud. Es el valor del vector, y generalmente, esta dado en escala; ejemplo. 10 m, 15 N. 3. Sentido. Es la orientación del vector. 4. Dirección. Está representada por la línea de acción
15.En la siguiente expresión dimensionalmente correcta:
8 Q (2g) x H y tan 15 2
KSVo
Cuáles son los valores de x e y. volumen Donde: H = Altura Q = Caudal = tiempo g = Aceleración S = Longitud Vo = Velocidad a) x = 3/2 ; y = 3/2 b) x = 1/2 ; y = 3/2 c) x = 1/2 ; y = 5/2 d) x = 3/2 ; y = 1/2 e) x = 5/2 ; y = 1/2
del vector y el ángulo que forma el vector A con el eje +X. COMPONENTES RECTANGULARES: AX = A. Cos AY = A. Sen
16.Si la ecuación es dimensionalmente homogénea, halla los valores de a y b. 1 / 3 2 a b
m
Módulo del A :
V Kg D
A = A X ;A Y
Donde:
m = Masa V = Velocidad g = Aceleración D=Densidad K=Número a) 1/3 ; 1 b) -1/3 ; -1 c) 1 ; -1/3 d) 1 ; 1/3 e) 1/3 ; -1/3
Dirección: tg
B
AY AX
A = OP = P-0
17.Halla la ecuación dimensional de “A”, si la ecuación dada es homogénea (A y B son magnitudes físicas) Sen 2 KFSen 2
A
A A2x A2y
Y
K
P AY
Siendo: F = Fuerza Ө = 30º 2 -2 4 2 2 a) M L T b) M L T4 c) M-4L-4T8 d) Absurdo e) Faltan datos 18. En el SI el OHM es la unidad para la resistencia eléctrica. Las dimensiones para esta unidad son: a) M2T-2 L2 I-2 b) M L2T-2 I-2 c) ML2T-3 I-2 -2 2 -2 -2 2 -3 -2 d) M L T C e) ML T C
A
X
0
Ax
A Ax ,Ay A A cos , Asen
19.Relaciona correctamente las magnitudes físicas de la columna “A” con las ecuaciones dimensionales de la columna “B”. Columna “A” Columna “B” A. Calor ( ) ML-3 B. Velocidad Lineal ( ) ML-1T-2 C. Presión Atmosférica ( ) ML2T-2 D. Densidad ( ) LT-1 E. Potencia mecánica. a) ABCE b) CBDA c) DCAB d) DEBA e) EBCD
VECTOR UNITARIO. Es aquel vector cuyo módulo es la unidad y tiene por misión indicar la dirección y sentido
A de un determinado vector. u A A Au x A VECTORES UNITARIOS RECTANGULARES: i (1,0) , i (1,0) , j (0,1) y j (0,1) A ( A x , A y ) A x i A y j
20.En la siguiente ecuación dimensionalmente correcta, para determinar las dimensiones de “m”. Y = bn + mn2 Datos: I. b = Velocidad II. y = Longitud a) El dato I es suficiente b) El dato II es suficiente c) Cada uno de los datos en forma independiente es suficiente d) Es necesario el dato I y II conjuntamente
MÉTODOS GRÁFICOS PARA SUMAR VECTORES: 1. MÉTODO DEL PARALELOGRAMO:
B
19
R AB R
A
MODULO DE LA RESULTANTE:
A B C sen sen sen
R A B 2ABcos 2
2
a. R es máximo cuando A y B forman un ángulo de 0° (
PROBLEMITAS 1) En el rectángulo mostrado, determine el módulo del vector resultante. AB = 3 m y BC = 4 m C B A) 8 m B) 9 m C) 10 m D) 11 m E) 12 m D A
)
b. R es mínima cuando A y B forman un ángulo de 180°(
)
A 2 B2 cuando A y B forman un ángulo de
c. R =
2) Siendo el triángulo ABC equilátero. Calcule el
90°
módulo del vector resultante de dicho sistema. BH = 10 m. B A) 50 m B) 60 m C) 70 m D) 80 m E) 90 m C ║ ║
METODO DEL TRIANGULO B R ==A + B
A
║
║
H
3) Determina el módulo del vector resultante del
A
sistema mostrado. Si | A |= 10. B A) 10 B) 20 C) 30 E A C D) 40 E) 50
MÉTODO DEL POLIGONO: R=A+B+C+D B A
D
C
4) Calcula el módulo de la resultante del conjunto de
0
vectores que se muestra: D B
R
a/4
A
a/16
…
a/2
R=0
0
a/8
C
a
A) 1 a B) 2 C) 3 a D) 4 a E) 5 a
E
D
5) En el sistema de vectores, determine el módulo de la resultante, si: AD = 4 . A) 12 B) 16 A C) 18 D) 20 E) 22
DIFERENCIA DE VECTORES. B
D AB
C
B
D F
E
θ
0
A
6) Calcula: | A + B + C |.
D A 2 B2 2ABcos
A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) 8
LEY DE SENOS. Es muy usual cuando se conocen los ángulos internos y por lo menos el módulo de uno de los vectores. En el triangulo vectorial mostrado se cumple que:
C
Si: | A | = 4, | B | = 4, | C | = 8. A
60°
B
7) Dos vectores A y B originan una resultante mínima C
α
de 3, halle sus módulos, si cuando forman un ángulo de 60°, la resultante es 39. A) 13 y 16 B) 10 y 20 C) 24 y 21 D) 5 y 15 E) 15 y 4
B
β
γ
8) Si el módulo de la resultante de 2 vectores es 5 y la magnitud del primer vector es
A
20
3 4 de la del
segundo vector. Calcule el módulo del segundo vector, si éstos forman un ángulo de 90°. A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5
15) Calcule la magnitud de
9) Que módulo tendrá el vector resultante del sistema mostrado, sabiendo que cada vector es de módulo 1 cm A) 3 B) 13 C) 26 D) 16 E) 31 60°
A) 40 B) 50 C) 60 D) 70 E) 80
A C D
(-4, -1)
N
M
A) B) C) D) E)
15 16 17 18 19
b
a
c P
Q
17) Siendo el triángulo equilátero de lado 8 cm. Calcule el módulo de a + b + c . A) 8 cm a B) 9 cm C) 10 cm D) 14 cm E) 16 cm
A=
B
A
b
c
18) Que módulo tendrá el vector resultante del sistema 135°
mostrado sabiendo que cada vector es de módulo 1cm A) 3 B) 13 C) 26 60° 60° D) 37 E) 41
C
A) 4 13
A 37°
C
19) La figura muestra un cuadrado de lado 4 cm, donde
C) 5 13
x
45°
M es punto medio. Determinar el módulo del vector resultante. B C A) 4 cm B) 6 cm C) 8 cm M D) 10 cm E) 12 cm
D) 5 17 B
85
13) Determine el ángulo θ para que la resultante del sistema este en el eje “x”
y
20
A
5 60°
D
20) Si el lado de la cuadricula es 1 cm, determine el
53°
módulo del vector resultante, en cm:
x
θ
1 cm
A) 2 B) 4 C) 6 D) 10 E) 18
28
14) Las fuerzas mostradas tienen resultante nula. Cuál F3 debe ser el valor de θ, si se sabe que: F 1 y F 1 F2
A) 30° B) 37° C) 45° D) 53° E) 60°
B
del vector resultante. Si MN = 8 y NP = 2
127°
y
A) 30° B) 37° C) 45° D) 53° E) 60°
(4, 2)
16) Siendo MNPQ un rectángulo. Calcule el módulo
la resultante; si: | A | = 20; | B | = 5 2 ; | C | = 10
E)
5
(-2, -3)
12) En el sistema de vectores, determine el módulo de
B) 3 5
B)
(-2, 3)
E) 4 5
11) En el siguiente sistema vectorial, determine el 14; B = 50 C = 8 2
2
D) 3 5
| A + B + C | = 0; Si:| A |= 6, | B |= 10, | C |= 14 Determine la medida del ángulo . A) 60° A B) 74° C) 75° C D) 90° E) 120° B Cuando:
A)
C) 2 5
10) En el sistema vectorial mostrado cumple que:
módulo del vector resultante.
la resultante de los
siguientes vectores:
6 5
c d
1 cm b a
21) Dados los vectores: | a | = 5 73° θ
θ
| b | = 3 20°. A) 2 B) 3 D) 5 E) 6
x
F3
21
Calcule: | a C) 4
y
- 2 b |.
ello es necesario establecer elementos y medidas para que la descripción de realice en forma objetiva.
22) Los puntos A, B, C y D determinan un cuadrado de lado 2 m. Donde M es punto medio del segmento AB. Determine el módulo del vector resultante. A) 4 C B B) 5 C) 6 M D) 7 E) 8
Concepto.- Es aquella parte de la mecánica que se encarga de estudiar, el movimiento de los cuerpos sin considerar las causas que lo originan o modifican. El movimiento Consiste en el cambio de posición que efectúa un cuerpo con respecto a un sistema de referencia al cual se considera fijo. Si un cuerpo permanece en el mismo lugar decimos que no se mueve o está en reposo; pero, si cambia de lugar se dice que el cuerpo se mueve.
D
A
23) Según la figura mostrada, halle | A - B |, si: | A | = 12, | B | = 9 B A) 14 B) 15 C) 16 D) 17 65° E) 18
A
El movimiento es relativo Un objeto puede estar moviéndose para un observador pero no para otro observador. Si cerca de nosotros pasa un automóvil, al ver que se aleja diremos que se mueve, pero el piloto ve que el automóvil siempre está junto a él, luego para el piloto el automóvil estará en reposo relativo. Conductor Observador
25°
24) Determina la dirección del vector resultante del conjunto de vectores mostrados en la figura. y 10 2
A) 45° B) 53° C) 60° D) 74° E) 75°
25
45°
16°
x
53°
10
3
El camión se mueve con relación al observador (O); pero está en reposo con respecto al conductor.
25) Halla «α» si el módulo de la resultante es nula. Movimiento Mecánico
a) 5º b) 8º
12 3
c) 10º
22°
Para comprenderlo, examinemos el siguiente acontecimiento: “un observador observa a un avión que avanza en línea recta y desde cierta altura se deja en libertad a un proyectil”.
24
d) 20º e) 30º
Y(m)
22° Reloj
12
r0
r
26) Halla la resultante de dos vectores perpendiculares, si se sabe que al aumentar en 30º dicho ángulo, la
3 , pero si se disminuye en
resultante de ellos es 30º la resultante es
7
5 c)
3
a) 2
b)
SEMANA 02
O
d)
2
X(m)
Observador
e) 1
Para poder examinar lo que acontece, al observador (A) se le debe asociar un sistema de ejes coordenados y un sistema temporal (reloj). A todo este conjunto se le denomina: “Sistema de referencia” (S.R.).
CINEMÁTICA
Introducción: El movimiento ha sido tema de estudio durante casi toda la historia de la humanidad, por ejemplo en la antigüedad el hombre observaba el movimiento de los cuerpos celestes, en el siglo XVIII se estudiaba el movimiento de las moléculas en un gas, en el siglo XX se estudiaba el movimiento de los electrones alrededor del núcleo atómico, y en la actualidad se estudia el movimiento existente en el interior del núcleo. En este capítulo estudiaremos el “movimiento mecánico” pero sin considerar las causas, del porqué se origina tal o cual movimiento mecánico, tan sólo lo describiremos; para
Para ubicar al cuerpo en estudio (proyectil), se traza un vector que parte del origen de coordenadas y se dirige hacia el cuerpo; a este vector se le denomina “vector posición
r ”.
Nota: El vector posición puede ser expresado de la siguiente forma: r (x, y) o también r xi yj ; donde i, j son los vectores unitarios en la dirección de los ejes coordenados:
22
“Una velocidad es constante cuando su módulo (rapidez) y su dirección no cambian”.
Examinemos el movimiento del proyectil Y(m)
V
V
Reloj r0
r0
* En el movimiento rectilíneo uniforme un móvil recorre distancia iguales en tiempos iguales.
rf
O
X(m)
t
t
V
V
V
Observador
d
r 0 : Vector posición inicial
En conclusión: El “movimiento mecánico” es un fenómeno que consiste en el cambio continuo de posición de un cuerpo con respecto a un sistema de referencia. Para poder describir el movimiento mecánico necesitamos conocer ciertos conceptos previos:
D :
d t
* Si la rapidez del móvil está aumentando diremos que está acelerando su aceleración y velocidad tienen el mismo sentido. a V
* Si la rapidez del móvil está disminuyendo diremos que está desacelerando o retardando. Su aceleración tiene sentido contrario a la velocidad.
Elementos del movimiento: Móvil - Sistema de Referencia - Trayectoria
r
V
MOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORMEMENTE VARIADO (M.R.U.V.) Un móvil tendrá un movimiento rectilíneo uniformemente variado (MRUV) si al desplazarse describe una trayectoria recta y su rapidez aumenta o disminuye uniformemente.
r f : Vector posición final El observador nota que el proyectil cambia continuamente de posición, entonces para él, el proyectil se encuentra en “movimiento” o experimenta movimiento mecánico.
Vector posición o radio vector
d
a
- Desplazamiento
V
Distancia (d) - Espacio Recorrido (e) DEFINICIÓN: En el MRUV la aceleración es la variación de la velocidad (V) en cada unidad e tiempo.
Clasificación del Movimiento: 1. De acuerdo a su trayectoria: 2. De acuerdo a su rapidez:
a
Velocidad V : Magnitud vectorial que se define como el cambio que experimenta el vector de posición en un determinado intervalo de tiempo cuyo valor indica el espacio recorrido por unidad de tiempo.
V t
;
a
VF Vo t
Para la resolución de problemas emplearemos las siguientes fórmulas:
Características: Ser tangente a la trayectoria en todos los puntos. Definir el sentido de la velocidad. En cinemática se acostumbra llamar “rapidez” al módulo de la velocidad
1. Vf Vo at
Vf Vo t 2. d
2 2 3. Vf Vo 2ad
4. d Vot
2
1 2 at 2
*Cuando el móvil acelera se tomará el signo “ +”. *Cuando el móvil desacelera se tomará el signo
Unidades de velocidad: En el S.I.: m/s Otras unidades: km/h , pies/s, cm/s, millas/h, etc.
“-“
PROBLEMITAS 1) Un motociclista viaja de A a B a una velocidad uniforme de 55 km/h a las 7 de la mañana esta en B que dista 220 km de A. Calcular a que hora partió de A. a) 2 a.m. b) 3 a.m. c) 4 a.m. d) 6 a.m. e) 5 a.m.
V V
V
MOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORME (M.R.U.) Es uno de los movimientos más simples de la cinemática, tiene las siguientes características: a.La trayectoria que describe el móvil es una línea recta . b.La velocidad del móvil es constante ( V : constante)
23
2)
Del problema anterior; si en el caso que el motociclista continua su viaje, a que distancia de “B” estará al mediodía. a) 200 km. b)300 km c) 495 km d) 245 km e) 250
3)
Calcular el tiempo que empleará la luz en llegar del sol a la tierra si la distancia que los separa es de 6 150 x 10 km. a)500seg. b)400seg. c)8min.20seg. d)ayc e) 20
4)
Un auto recorre una distancia entre dos ciudades con 60 km/h de velocidad constante en forma rectilínea. Cuando le faltaban 12 km para llegar a su destino sufre un desperfecto que lo obliga a detenerse 4 minutos ¿con qué velocidad constante deberá reanudar el viaje para llegar sin retraso? a) 80 km/h b)100 km/h c) 90 km/h d)120 km/h e) 110
14)
¿Cuál es la velocidad de un móvil luego de 4 2 segundos si desacelera a razón de 2m/s , sabiendo que parte con una velocidad de 20m/s? a) 56 m/s b) 32 m/s c) 40 m/s d) 28 e) 64 m/s
5)
Rocío esta trabajando durante 4 horas. Si hubiera viajado 1 hora menos con una velocidad mayor en 5 km/h, habría recorrido 5 km menos. ¿Cuál fue su velocidad en km/h? a) 20 b) 23 c) 30 d) 21 e) 27
16)
6)
Dos móviles A y B parten del mismo punto con M.R.U. el móvil A lo hace 10 seg. Antes a 5 m/s. Si el móvil B emplea sólo 5 seg. en alcanzar a A. ¿Cuál es la velocidad de B? a) 15m/s b)16m/s c) 20m/s d) 18m/s e)17 m/s
7)
Dos móviles separados por 210 m. parten al encuentro con velocidades de 5 m/s y 8 m/s. Al cabo de que tiempo estarán separados 50 m y alejándose el uno del otro? a) 20 seg b) 10 seg. c)8seg. d)18seg. e)15 seg.
15)
Un carro disminuye su velocidad de 36m/s a 18m/s en 6s. Calcular la distancia recorrida? a) 18 m b) 180 m c) 162 m d) 134 m e) 170 m Calcular la distancia que recorre un móvil que tiene una velocidad inicial de 6m/s luego de 2s con 2 una aceleración de 4m/s a) 22m b) 124m c) 180m d) 20m e) 120m
Dos móviles separados en 800 metros y avanzan en línea recta uno al encuentro del otro con velocidades 25 m/s y 15 m/s. Los móviles se cruzan y se alejan. ¿Al cabo de cuanto tiempo estarán separados en 1600 m.? a) 20 seg. b) 40 seg. c) 60 seg. d) 50 seg. e) 45 seg.
18)
Un ciclista tarda 4s en pasar entre dos puntos “A” y “B” separados 120m, si su velocidad en “B” Es el doble que la velocidad en “A”, hallar su aceleración 2 2 2 2 2 a) 1m/s b) 2 m/s c) 3 m/s d) 4 m/s e)5 m/s
20) Dos móviles van uno al encuentro del otro, si ambos parten del reposo con aceleraciones de 2 2 4m/s y 8m/s ¿Qué distancia los separaba inicialmente sabiendo que el encuentro se produce luego de 2s? a) 4m b) 8m c) 16m d) 20m e) 24m
9)
Un bus sale a las 2:00 pm con una velocidad constante de 10 km/h, una hora más tarde sale un segundo bus del mismo punto y alcanza el primero a las 8:00 pm. Determina la velocidad del segundo bus a) 6 km/h b) 10 km/h c)12 km/h d) 16 km/h e)18 km/h
11)
Un móvil recorre la distancia AB de 80m, con una velocidad en “A” de 10m/s y al pasar por “B” con una velocidad de 30m/s ¿Cuál es la aceleración del móvil? 2 2 2 2 2 a) 2m/s b) 4m/s c)5m/s d) 6m/s e) 7m/s
19) Dos móviles parten del reposo en dos direcciones 2 2 perpendiculares con aceleración de 6m/s y 8m/s ¿Qué distancia lo separa a cabo de 5s? a) 25m b) 50m c) 75m d) 125m e)100m
8)
10)
17)
21) Un móvil parte del reposo. Calcular la distancia que recorre en el sexto segundo de su movimiento con 2 una aceleración de 6m/s constante a) 11m b) 22m c) 33m d) 40 e) 50m
Dos móviles están separados por una distancia de 1000 m y se acercan con velocidades constantes de módulos de 20 m/s y 30 m/s respectivamente.¿Qué tiempo mínimo debe transcurrir para que ambos móviles estén separados 200m? a) 2s b) 4s c) 8s d) 16s e) 24s
22) Un ciclista se desplaza con una velocidad de 90km/s aplica los frenos y empieza a acelerar uniformemente durante 6s hasta detenerse. Hallar la distancia que recorre en ese tiempo. a) 25m b) 30m c) 50m d) 75m e) 100m
En el problema anterior, ¿qué tiempo máximo debe transcurrir para que estén separados 200m? a) 2s b) 4s c) 8s d) 16s e) 24s
Un auto realizado un recorrido entre “A” y ”B”, en el camino de ida mantiene una rapidez constante de 60 km/h y el camino de regreso lo realiza con una rapidez constante de 90 km/h, si el viaje de ida y vuelta dura en total 10 horas, ¿cuál es la distancia entre “A” y “B”? a) 180 km b)360km c)450km d)550 km e) 600 km
23)
Un móvil parte del reposo y recorre una trayectoria rectilínea con M.R.U.V. de tal manera que durante los dos primeros segundos se desplaza 16m. determinar la distancia que recorre el móvil durante su noveno segundo de movimiento a) 34m b) 43m c) 86m d) 68m e)34m
24)
Dos móviles parten del reposo estando separados 180m. y se observa que se encuentran 10s después de tal modo que la relación de las distancias recorridas por los móviles es como 5 a 4. hallar la aceleración mayor 2 2 2 2 2 a) 1,6m/s b) 2m/s c) 1m/s d) 0,8m/s e) 1,4m/s
25)
Un móvil parte del reposo y recorre una trayectoria recta de 270m. La trayectoria fue recorrida durante los tres primeros segundos, con
12)
13)
La velocidad de un tren aumenta de 30km/h a 60km/h en 5 horas, calcular la aceleración del tren: 2 2 2 2 2 a) 6 km/h b) 3 km/h c) km/h d) 5 km/h e) 2 km/h
24
una aceleración constante; luego con la velocidad adquirida hace nula la aceleración del móvil durante 6s más, con lo cual completa su recorrido. Hallar la aceleración del móvil durante el primer segundo 2 2 2 2 2 a) 12m/s b) 18m/s c) 24m/s d) 36m/s e) 0m/s 26)
27)
determinado ángulo con la horizontal, éste describe una parábola como trayectoria; la componente vertical de la velocidad disminuye conforme el cuerpo sube y aumenta conforme el cuerpo cae, en cambio la componente horizontal permanece constante. Principio de independencia de los movimientos: “Si un cuerpo tiene un movimiento compuesto, cada uno de los movimientos componentes se cumplen como si los demás no existiesen Características: - El tiempo de subida es igual al tiempo de bajada. La velocidad resultante es tangente a la trayectoria (parábola) y su módulo se obtiene por:
Un auto se acerca a una mina con una velocidad de 10m/s y cuando se halla a 350m de la mina, en esta sucede una explosión, el conductor al oír la explosión inmediatamente aplica los frenos desacelerando el auto a razón de 20m/s2, ¡a qué distancia de la mina se detiene el auto?. En el aire la velocidad del sonido es de 340m/s. a) 337,5m b) 327,5m c) 317,5m d) 325,5m e) 323,5m
Vo Vox 2 Voy 2 - El módulo de la velocidad de subida es igual al módulo de la velocidad de bajada, en un mismo nivel, y el módulo de la velocidad de disparo es igual al módulo de la velocidad de llegada. - Dos proyectiles disparados con la misma velocidad inicial, logran el mismo alcance horizontal cuando los ángulos de lanzamiento son complementarios. - Si un proyectil es disparado con la misma velocidad inicial, se logra el máximo alcance cuando el ángulo de lanzamiento es de 45°. Fórmulas: - La velocidad horizontal es constante:
Se comete un robo a un banco y los ladrones huyen en un automóvil a velocidad constante de 72km/h si después de 12segundos llega Superelectrico al banco. ¿Con qué aceleración (en m/s2) debe partir Superelectrico del banco para alcanzarlos, si los alcanza después de 4 segundos y parte del reposo? a) 20 b) 72 c) 40 d) 144 e) 60
CAÍDA LIBRE Se denomina así al movimiento vertical que ejerce los cuerpos en el vacío, por acción de su propio peso. Leyes: - Todos los cuerpos, independientemente de su masa y volumen, caen con la misma rapidez en el vacío. - El movimiento natural de caída de un cuerpo es vertical, rectilíneo y uniformemente acelerado. Aceleración de la gravedad (g): Es aquella aceleración con la cual caen los cuerpos. Su valor depende íntegramente del lugar en que se tome. En la superficie terrestre esta aceleración no es constante como se cree, esto se debe a que la tierra no es perfectamente esférica y además posee superficies accidentadas. Algunos valores de g: 2 v f vo gt En los polos: g = 9,83 m/s 2 En el Ecuador: g= 9,79 m/s Sin embargo, se considera como v f vo valor promedio, el correspondiente g al t localizado a 45° latitud norte y al nivel del mar, el valor es: g=9,8 2 2 2 1 m/s óg=32,2 pies/s . y g=10m/s h vot gt2 previa advertencia. 2 Fórmulas: Donde: v f 2 vo 2 2 gh vf = velocidad final vo= velocidad inicial t = tiempo v f vo t h h = altura 2 g = aceleración de la gravedad. Usar: (+) si el cuerpo baja.(-) si el cuerpo sube.
Vox Vo Cos
- La velocidad vertical es variable:
Voy Vo Sen gt
- Espacio (e) horizontal recorrido en “t” segundos:
e Vo .t.Cos
- Altura (h) alcanzada en “t” segundos:
h Vo .t.Sen
1 2 gt 2
- Altura máxima: -
Vo .Sen 2 2g 2
H max
- Tiempo para alcanzar la altura máxima:
t
Vo .Sen g
- Tiempo de vuelo:
t
2Vo .Sen g
- Alcance máximo horizontal alcanzado:
V .Sen 2 o g 2
Lmax
PROBLEMITAS 1. Un cuerpo se lanza verticalmente hacia arriba con una velocidad de 20m/s, luego de que tiempo su 2 velocidad será de 80m/s. (g=10m/s ) a) 2s b) 4 c) 6 d) 8 e) 10
MOVIMIENTO PARABÓLICO Como su nombre lo indica, es aquel movimiento en el cual la trayectoria es una parábola. Provienen generalmente de dos movimientos simples (MRU y MRUV). Una aplicación directa de este movimiento es el problema del tiro. Si un cuerpo se lanza formando un
2. Desde lo alto de un edificio se lanza un cuerpo verticalmente hacia arriba con una velocidad de
25
30m/s llegando al piso luego de 8s. hallar la altura 2 del edificio. (g=010m/s ) a) 20m b) 40 c) 60 d) 80 e) 100
12. Un avión que vuela horizontalmente a razón de 90m/s deja caer una piedra desde una altura de 720 m. ¿Con que velocidad, llega la piedra a la tierra si se desprecia el efecto de amiento del aire? 2 (g=10m/s ) a) 120 m b) 100 m c) 150 d) 160 e) 200
3. Un cuerpo se lanza desde el piso y permanece en el 2 aire 10s, hallar su altura máxima. (g=010m/s ) a) 45m b) 55 c) 75 d) 85 e) 125
13. Un cuerpo es lanzado horizontalmente desde una altura de 7.2 m con una velocidad inicial de 16m/s. ¿Con que velocidad choca con el piso? (Velocidad vertical) a) 16 m/s b) 18 m/s c) 20 m/s d) 24 m/s e) 30 m/s
4. Un cuerpo se lanza hacia arriba desde una altura de 100m ¿Qué tiempo demora en llegar a tierra si su 2 velocidad fue de 40m/s? (g=10m/s ) a) 4seg. b) 20 c) 6 d) 7 e) 10
14. Un cuerpo que se encuentra cayendo libremente choca con la superficie de la tierra, con una velocidad de 40 m/s. ¿Determinar el tiempo que 2 tarda en recorrer los últimos 60 m? (g=10m/s ) a) 1 seg b) 2 seg c) 3 seg d) 4 seg e) 5 seg
5. Un árbitro de fútbol lanza una moneda hacia arriba con velocidad ”v” la cuál toca el césped con velocidad “2v”, considerando que la mano del árbitro suelta la moneda a 1,2m sobre el césped, halle “v”, 2 en m/s. (g=10m/s ) a) 3 d) 3
b) 2
2
2
c) 2 3
15. Se lanza una piedra desde la superficie de la tierra con una velocidad inicial de 50 m/s. si después de un tiempo “t” la piedra se encuentra acercándose a la tierra con una velocidad de 30 m/s, hallar “t” a) 4 seg b) 6 seg c) 8 seg d) 10 seg e) 12
e) 5
6. Una pelota se lanza verticalmente hacia arriba con una velocidad de inicial, si luego de 6 seg. su velocidad es 30m/s hacia arriba, ¿Cuál es el valor de Vi en m/s? a) 30m/s b) 60m/s c) 90m/s d) 120m/se) 100m/s
16. Un avión vuela horizontalmente a 500 m de altura con una velocidad de 30 m/s. Faltando 250 m para pasar por la vertical levantado sobre un blanco suelta un proyectil. Este caerá. a) en el blanco c)antes del blanco b) a 40 m del blanco d) a 50 metros del blanco
7. Se lanza verticalmente hacia arriba una piedra con una velocidad de 60m/s. calcular en que posición se encontrará la piedra, respecto al punto de lanzamiento. a) 30 b) 225 ( ) c)225 ( ) d) 25 ( ) e) absurdo
17. Desde una altura de 100m se deja caer una partícula y al mismo tiempo desde el piso es proyectada otra partícula verticalmente hacia arriba. Si las dos partículas tienen la misma velocidad cuando se encuentran ¿qué altura (en m) ha recorrido la partícula lanzada desde el piso? a) 60 b) 35 c) 50 d) 20 e) 75
8. Un cuerpo es lanzado verticalmente hacia arriba y cuando le falta 2 seg para alcanzar su altura máxima, se encuentra a 60m del piso. ¿Cuál fue la velocidad del disparo? a) 30m/s b) 40m/s c) 50m/s d) 55m/s e) 64m/s
18. Un hombre sostiene un trozo de plomo fuera de una ventana a 20m del suelo soltándolo después, ¿qué tiempo tarda el plomo para golpear en el suelo? (g=10m/s2) a) 1s b) 2s c) 3s d) 4s e) 5s
9. Tres segundos después de lanzar un cuerpo verticalmente hacia arriba, se observa que su velocidad se ha reducido a la cuarta parte. ¿Cuál será la altura máxima que alcanzará? a) 40 m b) 60 m c) 80 m d) 90 e) 100 m
19. Una piedra soltada desde un globo, que baja verticalmente con una velocidad constante de 20 m/s, llega hasta la superficie de la Tierra 4 segundos antes que el globo. ¿A qué distancia del suelo, la piedra fue soltada? (g 10 m/s 2 ) . a) 180 m b) 160 m c) 150 m d) 140 m e) 120 m
10. Se lanza un móvil con una velocidad de 50 m/s, si al cabo de cierto tiempo ha recorrido 45 m. Hallar la velocidad en ese instante. a) 30m/s b) 40m/s c) 50m/s d) 20m/s e) 10
20. Supereléctrico sostiene una moneda en la mano, que esta parado sobre una plataforma que sube con
11. Un avión vuela a 500 m de altura y con una velocidad de 360 km/h ¿A qué distancia horizontal de un blanco ubicado en tierra (debe soltar una bomba para no fallar? a) 1km b) 0,5 km c) 200 m d) 700 m e) 300 m
2
una aceleración constante de 1, 2 m/s . Si lanza la moneda verticalmente hacia arriba con una velocidad de 22 m/s. ¿Qué tiempo debe esperar para volver a tener la piedra entre sus manos? a) 2 s b) 3 s c) 4 s d) 5 s e) 6 s
26
21. En la figura mostrada, determinar con qué velocidad V se debe lanzar la esfera, si debe ingresar horizontalmente por el canal B. Desprecie la
F : medida o módulo de F : dirección de la fuerza
línea de acción
resistencia del aire g 10m / s 2 . a) 10 3 m/s
F
B
b) 20 3 m/s
V
c) 10 m/s
15 m
d) 20 m/s e) 30 m/s
Se lee fuerza "F "
F
A
x
FUERZAS MÁS USUALES EN MECÁNICA TENSIÓN O TRACCIÓN Son aquellas fuerzas que aparecen en el interior de los cuerpos (cables, sogas, hilos, cadenas, vigas o barras). Para graficar esta fuerza se debe hacer un corte imaginario sobre el cuerpo. La tensión se caracteriza por apuntar al punto de corte.
60º
22. Con una inclinación de 45º una piedra es lanzada con 60 2 m/s de velocidad. Para qué tiempo la velocidad de la piedra tendrá una inclinación de 37º al subir. (g 10 m/s 2 ) . a) 1,2 s b) 1,4 s c) 1,5 s d) 1,6 s e) 1,7 s
D.C.L. T
Barra sometida a Trac c ió n
T
SEMANA 03 ESTÁTICA Es una rama de la mecánica, cuyo objetivo es el estudio de las condiciones que debe cumplir un conjunto de fuerzas que actúan sobre un cuerpo o un sistema rígido para que este se encuentre en equilibrio mecánico. Equilibrio Mecánico
COMPRESIÓN. Es aquella fuerza interna que se manifiesta en los cuerpos cuando son comprimidos o aplastados por fuerzas externas Para graficar esta fuerza se debe efectuar un corte imaginario sobre el cuerpo. La compresión se caracteriza por alejarse del punto de corte.
Un cuerpo se halla en equilibrio cuando se halla en reposo (equilibrio estático); o en movimiento rectilíneo uniforme (equilibrio cinético). Equilibrio estático
D.C.L.
Barra sometida a Co mpres ió n
C
C
V cte; a 0; 0
Polea
Equilibrio cinético
Polea V cte; a 0; 0
FUERZA ELÁSTICA ( F e ).- Es aquella fuerza externa que se manifiesta en los cuerpos elásticos, cuando son estirados o comprimidos por fuerzas externas. Esta fuerza se opone a las fuerzas externas y trata que el cuerpo elástico recupere su longitud original. La fuerza elástica es directamente proporcional a la deformación longitudinal.
V 0; a 0; cte
FUERZA
LEY DE HOOKE
Magnitud física vectorial bastante utilizada en la estática y dinámica que viene a ser el resultado de la interacción (la acción mutua de dos cuerpos) de dos o más cuerpos. Una fuerza tiende a desplazar un cuerpo en la dirección de su acción sobre dicho cuerpo. También es todo agente capaz de modificar el estado de movimiento o reposo de un cuerpo. La acción de una fuerza sobre un cuerpo produce deformaciones sobre él. Unidades (S.I.) Newton (N) La fuerza se representa por medio de un segmento dirigido (vector)
Fe Resorte sin deformar
Fe K
x0
x V0
M
Resorte sin deformar
F
F
Fe
27
Fe
F
Fe
F
K= Constante de elasticidad o rigidez :
CONDICIONES GRAFICAS. Se sabe que si la resultante de un sistema de vectores forma un polígono cerrado entonces la resultante es cero.
N N ó m cm
Fe Kx
F1
x Elongación o estiramiento:m ó cm
FUERZA NORMAL ( F N ).-Es una fuerza externa que se encuentra en el contacto de 2 cuerpos o superficies, surge debido a la presión que un cuerpo ejerce sobre otro. La fuerza normal siempre es perpendicular a la superficie donde se apoya un cuerpo.
F4 F3
TEOREMA DE LAMY. Si un sólido se encuentra en equilibrio bajo la acción de tres fuerzas coplanares y concurrentes en un plano el valor de cada una de estas fuerzas es directamente proporcional al seno del ángulo que se le opone.
Bloque
Bloque
FN
F1 F 2 F 3 F 4 0
F2
F1
FN
360
F2
F1 F F 2 3 sen sen sen
Pis o
LEYES DE NEWTON: Las leyes de newton constituyen verdaderos pilares de la mecánica, fueron enunciadas en la famosa obra de Newton “Principios matemáticos de la filosofía natural” publicada en 1686 y de ellas son conocidas como la 1ra. 2da. y 3ra. Ley de Newton, de acuerdo al orden que aparecen en la obra citada en este capítulo estudiaremos la primera y la tercera ley que nos permiten analizar el equilibrio del cuerpo dentro del estudio de la estática; la segunda ley será estudiada en el capítulo de dinámica.
F3
MOMENTO
era
F2
5 cm
F 10 N
10 cm
¡El perno no gira!
Punto de giro
¡El perno gira!
10 cm F 10 N ¡El perno gira lentamente!
10 cm F 30 N ¡El perno gira rápidamente!
Si se expresa en forma matemática este fenómeno, podemos representar el momento de fuerza mediante un esquema que nos ayudará a comprender mejor su significado. M rxF
Método Práctico
En el eje X:
F() F()
En el eje Y:
F() F()
TORQUE
F 10 N
R F1 F 2 F 3 F 4 R X 0 R 0 RY 0 R Z 0 F 0
F3
O
Cabeza hexagonal de un perno
CONDICIONES DE EQUILIBRIO PRIMERA CONDICIÓN DE EQUILIBRIO MECÁNICO (para una partícula) Un cuerpo se encuentra en equilibrio cuando la fuerza resultante que actúa sobre él, es igual a cero; para esto las fuerzas componentes deben ser necesariamente coplanares y concurrentes, esto implica que en cada eje, la sumatoria de fuerzas también debe ser cero.
F1
FUERZA
Al observar los ejemplos gráficos y notamos que el momento de una fuerza (capacidad de producir giro) depende del valor de la fuerza aplicada y la distancia al centro o eje de giro, luego:
era
3 LEY DE NEWTON (LEY DE ACCIÓN Y REACCIÓN) Cuando dos cuerpos "A" y "B" interactúan, a la ACCIÓNde "A" se opone una REACCIÓN de "B" en la misma dirección, con la misma intensidad pero de sentido opuesto.
F4
UNA
).Siempre que abres una puerta o un grifo o que ajustes una tuerca con una llave, ejercerás una fuerza de giro que produzca un torque. El torque no es lo mismo que la fuerza, si quieres que un objeto se desplace le aplicaras una fuerza, la fuerza tiende a acelerar los objetos. Si quieres que un objeto gire o de vueltas le aplicaras un torque, los torques producen giros alrededor de un punto o eje de rotación. El momento o torque de una fuerza es una magnitud vectorial. ¡Observe!
1 LEY DE NEWTON (LEY DE INERCIA) Todo cuerpo trata de mantener su estado de reposo o movimiento rectilíneo a no ser que un agente exterior le obligue a cambiar su estado de reposo.
Condición Algebraica
DE
( MF0
Línea de acción de F
O Eje de giro
28
r
d
P
F
La distancia del punto “O” a la línea de acción de “F”
TEOREMA DE VARIGNON. El momento resultante de un grupo de fuerzas respecto de un punto arbitrario es siempre igual a la suma algebraica de los momentos de las fuerzas componentes respecto del mismo punto.
es: d rsen El módulo del Momento de la fuerza “F” con respecto al punto “O” será: M0 Frsen
F4
Nota: Un mismo momento de fuerza puede ser causado por una fuerza de módulo pequeño, cuyo brazo es grande y por una fuerza de módulo grande cuyo brazo es pequeño.
F3
r3
“El momento de la resultante es igual a la suma de los momentos de cada una de las fuerzas componentes”
r4
O r2
Qué fácil
Qué dificil
FR = F1 + F2 + F3 + F4
F1
r1
MR F2 Mi
F
F
r× FR = r1 × F1 + r2 × F 2 + r3 × F 3 + r4 × F 4 PROBLEMITAS
¡El brazo de palanca es más corto!
1. Hallar la tensión si el peso de la esfera es 100 3 N.
¡El brazo de palanca es más largo!
Nota curiosa: El hombre ya tenía conocimientos de las propiedades de la palanca y fue Arquímedes, uno de los sabios de la Grecia antigua, quien enunció la ley del equilibrio de la palanca, tal como hoy se conoce y a él se le atribuye la curiosa frase universal: “Dadme un punto de apoyo y moveré la tierra” según describe Pierre Varignon en su famosa obra “Proyecto de una Nueva Mecánica”.
2.
CONVENCIÓN DE SIGNOS
a) 10 N
d
Antihorario
F
e) 200 3 N
30°
60°
A
c) 30 3 N d) 40 N e) 50 N
B W B = 80 N
Horario
W 3. En el sistema en equilibrio hallar la reacción en el punto “A”
F M0 F ()
M0 F ()
Hallar la tensión en A:
b) 20 3 N
O
O d
d) 100 3 N
Momento Negativo
Momento Positivo
a) 100 N b) 150 N c) 200 N
30°
SEGUNDA CONDICIÓN DE EQUILIBRIO. Para que un cuerpo mantenga su estado de equilibrio, no debe rotar por lo tanto, el momento resultante que actúa sobre el debe ser cero, respecto a cualquier punto (centro de giro).
A
m =12 kg
37°
EQUILIBRIO DE UN CUERPO RÍGIDO Cuando un grupo de fuerzas externas, están actuando sobre un cuerpo rígido, es necesario considerar: 1ra. condición: decir: Fx 0 ; 2da. condición:
Fi 0 :
Fy 0
;
4. Hallar la tensión en la cuerda “A”, si el peso del bloque es 15N. 30°
es
Fz 0
A
M0 = 0
MOMENTO RESULTANTE. Si sobre un cuerpo actúan varias fuerzas externas entonces el momento resultante será igual a la suma algebraica de los vectores del momento, generado por cada fuerza externa.
15N
29
a) 30n
b) 15 3 N
d) 60N
e) 60 3 N
c) 15N
5. Hallar la fuerza “F” que se debe aplicar para que el sistema permanezca en equilibrio. Si sabe que A pesa 20N y B pesa 30N
11. En la figura las tensiones en las cuerdas A y B son 7 N y 24N respectivamente. Hallar el peso del bloque si hay equilibrio.
F
A
B
W B
a) 20N d) 10N
a) 25N d) 16N
b) 50n c) 30N e) 15N
b) 8 10 N c) 8 3 N e) 20N
12. Si la figura se encuentra en equilibrio encontrar el valor de “E”; W= 300 N
6. Si el sistema está en equilibrio. Hallar “” 40° P
37° P
a) 35° d) 70°
b) 45° e) 80°
W
c) 50°
F
a) 500N d) 200 N
7. Calcular la tensión en la cuerda AB, si cada esfera pesa 5N.
b) 400 N e) 100N
c) 300 N
13. El sistema está en reposo el peso del bloque b es: 2 m 1Kg (g=10m/s ) A
A B
a) 10N d) 25N
b) 15N e) 8N
c) 20N
A
Liso
30° B
8. Hallar el peso del bloque “B” para que exista equilibrio, no hay rozamiento. ( WA 120 N)
A
B
30°
37°
a) 5N d) 40N
b) 10N e) 25N
c) 20N
14. Hallar la tensión en la cuerda AB, la barra es imponderable. B
a) 200N d) 100N
b) 300N c) 150N e) 250N W
9. Hallar la tensión en la cuerda AO si el bloque pesa 48N y la tensión en la cuerda OB es de 20N
30°
A
A
60°
a) W 3 d) W B
Lis o
b) W/2 e) 3W
c) W 2
O
a) 28N d) 52N
b) 36N e) 64N
15. Si la barra AB pesa 12N y se encuentra en equilibrio apoyada en superficie lisa, hallar la reacción en “B” sabiendo que en “A” la reacción vale 5N.
c) 48N
A
10. Calcular el peso de “A” para el equilibrio. No hay rozamiento
B
a) 10N d) 13N
B 20N
30°
c) 7N
16. Si el bloque “B” pesa 300N, hallar el peso de “A” para que el equilibrio (Peso de las poleas es despreciable)
A
a) 20N d) 80n
b) 5N e) 17N
b) 40N e) 10N
c) 50N
30
21. Una barra AB de peso 100N, tal como se muestra, se encuentra en equilibrio. Calcular el peso del bloque. A A
B a) 30N b) 150N
c) 50N
d) 100N
e) 200N B
17. El sistema mostrado se encuentra en equilibrio, hallar el valor de F de tal manera que la reacción en “A sea cero. (W
esfera
a) 50N d) 250N
100 N)
b) 150N e) 25N
c) 200N
22. Encontrar la carga Q y la lectura del dinamómetro si se sabe que el sistema mostrado está en equilibrio. La barra es de peso despreciable.
A 60° F
Dinamómetro
4m
2m Q
60N
a) 100n
b) 100 3 N c) 200 N
a) 60N; 120N c) 12N; 18N e) 120N; 90N
d)150 Ne)100 3 /3 N
18. En el siguiente sistema en equilibrio, determinar la tensión en la cuerda que pasa por las poleas. (W = 150 3 N)
23. En el sistema mostrado la barra mide “2L metros y es de peso despreciable. Si se cumple que 2Q = 3P, entonces x es igual a:
60°
P
Q
30°
x
W
a)
a) 5N b) 70 3 N c) 84 3 N
d) 75N e) 200 3 N d)
19. Una barra uniforme de 200N se muestra en la figura. Donde estará ubicado el punto de apoyo para que la barra se mantenga en equilibrio. Hallar “x”. ( longitud de la barra “L”). x
200N a) 4/7L d) L/7
b) 2/7L e) 2/5L
b) 60N; 180N d) 120N; 180N
3 4 2 3
1
L
b)
L
e) L/3
3
L
c)
1 2
L
24. La barra homogénea mostrada en la figura se encuentra en reposo y pesa 80N. Calcular la tensión del cable. 53°
300N c) 3/5L
a) 80N d) 30N
b) 50N e) 20N
c) 40N
25. En el siguiente sistema en equilibrio, calcular la tensión de la cuerda, si la barra uniforme pesa 60 3 N y
20. Determinar el momento resultante en la barra ingrávida con respecto al punto “O”. _10 3N 60°
el bloque “P2 es 30 3 N. 60°
2m 15N
3a
5m
3m
P
30° O a) 45 N.m d) 75
a
b) 120 e) 85
a) 75N d) 175N c) 165
31
b) 105N e) 180N
c) 150N
26. Los bloques A y B de 2kg y 3kg respectivamente están en equilibrio. Determine la deformación en el resorte de rigidez K 200 N/m . Desprecie el rozamiento
31. Determine el mayor valor de F, si la cuña B está a punto de deslizar m A 15 kg ; m A 15 kg ; m A 15 kg ; 2 g 10 m/s .
m polea 1kg ; g 10 m/s 2
a) 20 cm
B
b) 10 cm c) 25 cm
A
d) 35 cm e) 40 cm
27. En la figura se muestra una barra homogénea de 8kg y 14m de longitud. Determine el momento
a)
200 N
b)
300 N
A
c)
240 N
37º
d)
160 N F
e)
50 N
a) b) c) d) e)
40 m
37º
9m
100 N
e 0, 2
B
32. Determina «F» para el equilibrio de la barra homogénea de 80N de peso.
resultante (en N.m.) respecto de A. g 10 m/s 2 .
A
Liso
40N 60N 70N 90N 100N
F
a
3a
F
a) 100 b) 120 c) 130 d) 140 e) 220 28. Sabiendo que la barra mostrada pasa 120N y la tensión en la cuerda horizontal es 90N. a) ¿Cuál es la reacción en el apoyo A? b) ¿Cuál es el valor de ?
33. En el sistema mostrado la barra uniforme y homogénea pesa 50N y esta sostenida por tres resortes de constantes K1= 10N/cm, K2=16N/cm y K3=5N/cm. Sabiendo que la barra está en equilibrio y que el resorte 2 presenta un estiramiento de 5cm. Calcula la deformación del resorte Nº 3. a) 5 cm b) 1 cm K2 c) 2 cm d) 3 cm e) 4 cm 5a 3a K1 K3
A
34. La viga de masa “m” se encuentra en reposo, el dinamómetro ideal indica 300 N. Determine el número de pescados de 0,2 kg que se encuentra en ese instante, (Considere masa del platillo de 0,2 kg y dinamómetro g 10 m/s 2 ). M: punto medio de la viga.
1 2 1 a)150N; Tg 1 b)150N; Tg 1 c) 180N ; Tg 1 3
d) 180N ; Tg
1 2
3
3
3
1 4
e) 160N ; Tg 3
29. En la figura se muestra a un joven de 70 kg elevando lentamente a un bloque de 25 kg con ayuda del sistema de poleas, si las poleas son cada una de 1 kg. ¿Cuánto indica la báscula?. (Considere: 2 g 10 m/s ). a)630 N
37º
a) 28 M
b) 30 c) 32
74º
b)570 N d) 34
c)700 N d)130 N
e) 36
Báscula
e)470 N
35. Se muestra una barra homogénea a punto de resbalar, determine el coeficiente de rozamiento entre la barra y la superficie.
30. El cilindro homogéneo de 8 kg se encuentra en reposo. Determine el módulo de las reacciones en los puntos A y B. (Considere: g 10 m/s 2 ).
a)
a) 80 3 N y 160 b)
b)40 N y 40 N c) 40 3 N y 80 N d)50 N y 30 N e)40 N y 40 3 N
Platillo
c)
A
B
d)
60º
e)
32
10 41 12 41 12 31 11 37 11 40
37º
Por consiguiente:un cuerpo cambia su velocidad debido a las fuerzas externas que lo afectan. La conclusión que anteriormente hemos logrado fue planteada por Isaac Newton en su segunda ley del movimiento.
DINÁMICA
SEMANA 04
CONCEPTO: Parte de la Mecánica de sólidos que estudia el movimiento teniendo en cuenta las causas que lo producen. Las velocidades son pequeñas en comparación a la velocidad de la luz. La velocidad y la aceleración se miden con respecto a un sistema inercial de referencia. La propiedad de todo cuerpo, de mantener su reposo o movimiento (mantener su velocidad) recibe el nombre de inercia. Vemos entonces que la ley de la inercia permite apreciar el movimiento desde un punto de vista totalmente distinto. Nuestros antepasados pensaban que el movimiento se debía a la acción de alguna fuerza, pero hoy sabemos que los objetos pueden seguir moviéndose por sí mismos. Se requiere una fuerza para superar la fricción y para poner los objetos en movimiento en el instante inicial. Una vez que un objeto se halla en movimiento en un entorno libre de fuerzas, seguirá moviéndose en línea recta por un tiempo indefinido.
La segunda ley de Newton dice: La aceleración que adquiere un objeto por efecto de una resultante, es directamente proporcional al módulo de la fuerza resultante e inversamente proporcional a la masa del cuerpo. Matemáticamente:
a
FR FR ma m
o también
F ma
Donde: m
: Fuerza resultante (N) : masa (kg)
a
: aceleración del cuerpo ( m/s )
FR
2
La aceleración ( a ) de un cuerpo tiene igual dirección que la fuerza resultante ( F R ) sobre él.
La masa: una medida de la inercia Si pateas una lata vacía, la lata se mueve con mucha facilidad, en cambio si está llena de arena no lo hará con tanta facilidad, y si está llena de plomo además de hacerte daño no se moverá. Una lata llena de plomo tiene más inercia que una lata llena de arena y esta a su vez tiene más inercia que una vacía.
F1
m m
F2
Fn
a
FR Si sobre el cuerpo hubiera varias aceleraciones y es factible descomponerlos en los ejes cartesianos, entonces conviene aplicar: F3
Para cuantificar la inercia de los cuerpos introducimos una magnitud llamada masa (Kg). La cantidad de inercia de un objeto, tanto mayor será la fuerza necesaria para cambiar su estado de movimiento.
Fx m a x
Ya sabemos que por inercia, todo cuerpo tiende a mantener su velocidad, queda pues la pregunta, ¿quién causa los cambios de velocidad en los cuerpos?
Fz m a z
Consideremos un pequeño ladrillo que es lanzado sobre una superficie horizontal áspera:
10 m/s
Observaciones y Conclusiones I. En el estudio de la mecánica clásica, donde la velocidad que alcanzan los cuerpos es pequeña en comparación con la velocidad de la luz, la masa es constante. Pero en mecánica relativista, donde la velocidad del cuerpo es próxima a la velocidad de la luz, la masa varía.
V0
A A Notamos que el ladrillo después de recorrer cierto tramo, se detiene ( V 0 ), esto se debe a la fuerza de rozamiento cinético (opuesta a la traslación del ladrillo) que causa la disminución de su velocidad; pero si el piso fuese liso, mantendría su velocidad hasta que alguien o algo trate de modificarlo. En pis o ás pe ro
Fg
a
Nuestro estudio está enmarcado en la mecánica clásica; en consecuencia: la masa se considera constante. II. Para que un cuerpo experimente una aceleración, es necesario que sobre él exista una fuerza resultante. Si: FR 0 No existe aceleración (a 0) FR 0 Existe aceleración (a 0) III. Si la fuerza resultante sobre el cuerpo es constante, su aceleración también lo será; pero, si la fuerza resultante varía, la aceleración también varía.
En pis o lis o
Fg
V cte
fk FN
Fy m a y
Si:
FN
F R cte a cte F R cte a cte
33
IV. Si hay dos cuerpos interactuando entre sí por medio de cuerdas o apoyados uno en el otro, de modo que no hay movimiento relativo entre ellos; entonces: la aceleración del sistema es la misma para cada componente del conjunto. Por ejemplo:
D.C.L. del bloque "A" R a
a
A
B
Newton se preguntaba si en el universo existe algo que fuera completamente estacionario, a partir de lo cual todo movimiento pudiera ser reconocido de forma absoluta. Newton suponía que ningún cuerpo del universo se hallaría realmente en reposo. Este es el principio clásico de relatividad, conocido como relatividad newtoniana. Relatividad newtoniana
mg
La Físicanewtoniana se basa en las leyes de Newton. La más importante es la primera, conocida como ley de inercia. Un marco de referencia inercial dejará de serlo si sobre él actúa una fuerza. Por lo tanto un marco inercial de referencia es un sistema "no acelerado". Dicho de otro modo; un marco inercial se define como aquél en el cual es válida la primera ley de Newton. Un cuerpo en reposo no experimenta aceleración. Por lo tanto las leyes de Newton son válidas en todos los marcos de referencia inerciales.
El bloque "A" acelera horizontalmente
Sistema inercial de referencia Un sistema inercial es aquel que cumple con las leyes de Newton, lo que significa que un cuerpo sobre el cual no actúan fuerzas esta o bien en reposo (velocidad = 0), o bien en movimiento rectilíneo uniforme (velocidad = constante y aceleración = 0). El movimiento uniforme es movimiento no acelerado, es decir velocidad constante. Un caso particular es cuando la velocidad es cero, decimos que el sistema está en reposo. En cualquiera de estas condiciones el sistema es un
La tierra no es un marco de referencia porque debido a su movimiento de translación alrededor del Sol, y a su movimiento de rotación alrededor de su propio eje, experimenta aceleraciones. La mejor aproximación de un marco inercial de referencia es aquél que se mueve con velocidad constante respecto de las estrellas distantes. No hay un marco de referencia privilegiado. Esto significa que los resultados de un experimento efectuado en un marco inercial serían idénticos a los resultados del mismo experimento efectuado en otro con movimiento relativo. El enunciado formal de este fenómeno se denomina principio de relatividad newtoniana, o Física newtoniana.
sistema inercial. Supongamos que nos encontramos dentro de un avión, se mueve con velocidad constante, (sistema inercial) entonces dentro de éste podemos poner en marcha un sistema mecánico, tal como jugar tenis de mesa, o billar, del mismo modo que lo hacemos en la Tierra. Independientemente de la velocidad que tenga el avión, no hay efecto perceptible sobre los objetos, y estos seguirán sujetos a las leyes de la mecánica. Podemos resumir diciendo que un sistema mecánico es bastante independiente del movimiento uniforme del marco en el que se encuentra. Por lo tanto siempre que un sistema mecánico se halle dentro de un marco que se mueve con velocidad constante (sistema inercial) el comportamiento del sistema mecánico obedecerá las leyes de la mecánica. a
Sistema de Referencia no Inercial Las leyes de Newton presentan limitaciones cuando el análisis del fenómeno físico se realiza desde un S.R.N.I. (sistema acelerado). El criterio de D’Alembert, consiste en agregar una fuerza al D.C.L. del cuerpo, para que las leyes de la mecánica cumplan para dicho observador no inercial. Usualmente denominan a esta fuerza: Fuerza Inercial, y se grafica en dirección opuesta a la que se encuentra el observador no inercial, respecto de otro inercial (el que por comodidad puede ser uno fijo a tierra). El valor de esta fuerza será: F ' ma F' : Fuerza inercial m : Masa del cuerpo en análisis a : Aceleración del observador respecto de un S.R.I.
O' O
A
B
SISTEMA ACELERADOS
Vectorialmente: F ' m(a) . Observe, el siguiente ejemplo el bloque no se mueve:
O : Observador inercial O’ : Observador no inercial Para el observador O el péndulo se encuentran en movimiento, pero para el observador O’ el péndulo se encuentra en reposo.
N Observador no inercial
m
Con cierta certeza podemos decir que un marco de referencia inercial o sistema inercial, no tiene ningún efecto perceptible sobre los sistemas mecánicos. Galileo y después Newton habían reconocido esta propiedad de los sistemas inerciales. “Las leyes de Newton valen en un sistema con movimiento uniforme”.
a
Fig. 1: Esquema original
34
N
mg
F' ma
mg
Fig. 2: Para el observador no inercial, el bloque no se mueve y al hacer el D.C.L. del bloque se nota que las fuerzas no cumplen con el equilibrio.
En un movimiento circunferencial, se tiene:
Fcf
Fig 3: Por el criterio de D’Alembert agregamos al D.C.L. del bloque una fuerza (fuerza inercial), dirigida en sentido contrario al movimiento, para lograr el equilibrio, cuyo valor es:
mgsen
F ' ma N
T
mg cos
Fc
mg
mg
Fuerza Centrípeta y Fuerza Centrífuga
ma
V
Note que el observador y el bloque tienen la misma aceleración “a” con respecto a la Tierra. Ahora es posible construir un triángulo vectorial: Dinámica Lineal Es la parte de la física que estudia el movimiento en una recta considerando las causas que lo producen.
Fuerza centrípeta Fuerza centrífuga
Dinámica Circunferencial Es la parte de la mecánica que estudia el movimiento de los cuerpos, cuya trayectoria es una circunferencia y las causas o efectos que la producen. En general, para que un cuerpo describa un movimiento circunferencial, debe ser afectado por una fuerza resultante no nula dirigida hacia el centro de la circunferencia a la que denominamos “Fuerza centrípeta
Fuerza centrípeta: Fc T mgsen Fuerza centrífuga: Fcf Fc Recomendaciones Dinámica
( Fc )”, la misma que provoca una aceleración (dirigida hacia el centro de la trayectoria circunferencial)
FR ma Fc ma c
V R
V
Ahora
2
pero: V R a c R
4. Asuma signo positivo al sentido del movimiento. En el sentido del movimiento (eje “X”), utilice la 2da. Ley de Newton:
:rapidez tangencial o lineal (m/s)
F ma
:rapidez angular (rad/s)
En sentido perpendicular al movimiento (eje “Y”), utilice generalmente:
:radio de la circunferencia (m) es
mV Fc R
posible
definir
la
fuerza
F 0
centrípeta:
2
(Condición de equilibrio)
5. En dinámica circunferencial, lo más importante es definir la fuerza centrípeta, la cual es en realidad una fuerza resultante de todas las fuerzas centrales, (fuerzas que pasan por el centro de curvatura) debido a lo cual no tiene representación en un D.C.L.
Pero cuando existe más de una fuerza radial actuando en el cuerpo, se aplica: que Fuerzas que Fc Fuerzas van al centro salen del centro
en
3. Descomponga toda fuerza oblicua en componentes rectangulares, en el sentido de los ejes coordenados “X” e “Y”.
Donde:
R
dominio
2. Utilice un sistema de coordenadas de tal modo que el eje “X” sea paralelo al sentido de la aceleración (sentido del movimiento) y un eje “Y” perpendicular al sentido de la aceleración.
La aceleración centrípeta mide el cambio de dirección y sentido de la velocidad tangencial a través del tiempo y se calcula así:
ac
adquirir
1. Elabore los diagramas de cuerpo libre de todo el conjunto si fuera posible o por separado para cada bloque.
denominada “aceleración centrípeta ( a c )” o normal. De la 2da. Ley de Newton:
2
para
En todo movimiento circunferencial, se puede notar la presencia de los siguientes elementos:
35
7.
Aceleración centrípeta, normal o radial ( a c ): es la magnitud vectorial cuyo punto de aplicación es el móvil, su dirección es radial y su sentido hacia el centro de la circunferencia.
En la figura, hallar la tensión de la cuerda que sujeta a los bloques. MA = 3kg MB = 7kg g = 2 10m/s
Fuerza centrípeta ( Fc ): es la fuerza resultante de las fuerzas con dirección radial que actúan sobre un cuerpo en movimiento circunferencial. Dicha fuerza centrípeta es la constante de la aceleración centrípeta y es debido a ella que existe el movimiento circunferencial.
A
Fuerza centrífuga ( Fc f ): es la fuerza ficticia o inercial, que agregada al diagrama de cuerpo libre de un cuerpo en movimiento circunferencial, hace que la resultante de fuerzas actúan en dirección radial sobre dicho cuerpo, sea cero nula. En consecuencia dicha fuerza deberá estar dirigida radialmente hacia fuera del centro de curvatura y tener el mismo valor que la fuerza centrípeta.
B a) 12N
b) 21N
c) 36N
d) 42N
e) 48N
8. En la figura mostrada, hallar la aceleración del carrito, si en su techo se suspende un péndulo cuyo 2 hilo forma 37° con la vertical. (g = 32 pies/s ) a
PROBLEMITAS 1. Un objeto de 5 kg se desliza sin rozamiento, debido a una fuerza horizontal de 10 N. Su aceleración resultante es: 2 2 2 a. 500 m/s b. 15 m/s c. 2 m/s 2 2 d. 105 m/s e. 0 m/s
37
2. Calcular la masa de un bloque al cual se le aplica 2 una fuerza de 25N, acelerando a razón de 5m/s . a) 1kg b) 2kg c) 3kg d) 4kg e) 5kg
2
a) 32p/s 2 d) 64p/s
2
b) 24p/s 2 e) 48p/s
c) 16p/s
2
3. ¿Cuál es la fuerza en Newton que actúa sobre un cuerpo de 15kg de masa que parte del reposo y en los primeros 10s recorre 200m. a) 15N b) 10N c) 30N d) 20N e) 60N
9. Calcular la fuerza necesaria para que el bloque de masa M = 20Kg, partiendo del reposo recorre 20m en 10s.
4. En la figura, hallar la aceleración de los bloques. m1 = 2g F1 = 25 Dinas m2 = 3g F2 = 15 Dinas m3 = 5g F3 = 25 Dinas
a) 8 N d) 25 N
2
2
a) 1cm/s 2 d) 4cm/s
b) 2cm/s 2 e) 5cm/s
M2
c) 3cm/s
a) 20N 6.
b) 4 N e) 20 N
c) 2 N
10. La fuerza “F” mueve al cuerpo hacia la derecha. Calcular la fuerza de rozamiento cinético. = 0,5 ; 0,8 g = 10m/s2
M3
a) 10 N d) 5 N
2
F
b) 16 N e) 14 N
c) 0 N
11. Halla la aceleración del carrito para que el bloque “m” no resbale (no hay fricción)
5. En el gráfico, hallar la tensión de la cuerda que sujeta a los bloques (F = 80N, m A = 6kg, mB = 2kg) A
L i s o
M
2 K g
M1
37
F
B b) 48N
c) 60N
d) 80N
A) gSen D) gCsc
e) 50N
B) gCtg E) gTg
C) gCos
12. Se usa una cuerda de 0,5m de longitud hacer girar una piedra de 1kg en un vertical, con una rapidez constante de Determinar el valor de la fuerza de tensión cuerda, cuando la piedra se encuentra: a. En el punto más alto 2 b. En la parte inferior de la curva g = 10m/s
Un bloque de 4kg de masa se mueve sobre una 2 superficie rugosa con una aceleración 5m/s , si la fuerza horizontal que origina el movimiento es 30N, hallar la fuerza de rozamiento. a) 30N b) 20N c) 10N d) 5N e) 50N
36
para plano 5m/s. en la
A) 10N; 20N D) 40N; 70N
B) 30N; 50N E) 60N; 80N
C) 40N; 60N
a) 100m b) 10m c) 1000m d) 50m e) 200m 19. Un cuerpo de 5 kg de masa varía su velocidad de 5 m/s a 20 m/s en 5s. Hallar la fuerza resultante que actúa sobre el cuerpo a. 15 N b. 25 N c. 20 N d. 30 N e. 50 N
13. El siguiente gráfico muestra el movimiento de dos bloques debido a la acción de la fuerza “F” = 100N, se pide hallar el coeficiente de rozamiento entre los bloques en contacto, de tal forma que el bloque “A” que se encuentra encima del bloque “B” no se desprenda.
20. ¿Qué fuerza se necesita para detener un automóvil de 1 200 N, que lleva una velocidad de 90 km/h, a 2 una distancia de 30 m? (g = 10 m/s ) a. 1 000 N b. 625 N c. 650 N d. 1 2500 N e. 1 100 N
2 k g
a) 0,25
= 0 ,2 5
F
8 k g b) 0,50
c) 0,75
d)0,90
21. Si la esfera de masa “m” se suelta en el punto “A”. Calcule la rapidez (m/s) en el punto “B”. (g = 10 2 m/s )
e) 0,20
14. Hallar la aceleración del bloque 2 m = 2kg; g = 10m/s ; = 0,5; F= 50N a
A
37°
F
a) 10m/s
2
37º b) 15
c) 20
a.
d)18 e) 35
20 kg
53 c) 20N
d) 70N
b. 8,3 e. 30,6
c. 12,5 2
24. Un bloque posee una aceleración de 6 m/s . Si la fuerza resultante que actúa sobre el se triplica y se duplica la masa. ¿Cuál es la nueva aceleración (en 2 m/s )? a. 9 b. 10 c. 12 d. 15 e. 18
e) 140N
17. Un ladrillo de 5kg de masa se apoya en una pared vertical mediante una fuerza horizontal “F”, como se ve en la figura. Si S = 0,25, hallar el valor mínimo de “F” para que el ladrillo se mantenga inmóvil. (g = 2 10m/s ) a) 100N b) 50N c) 220N d) 200N e) 120N
10 kg
Superficie lisa
a. 0,1 d. 25,2
b) 10N
e. 6
250 N
2
m
a) 5N
c. 5 3 d. 8
23. Determinar la aceleración con que se moverá el bloque de 20 kg. Mostrado en la figura:
En la figura, calcular la fuerza de rozamiento, si m 2 = 10kg y g = 10m/s a=6m/s
b. 2 3
3
22. Un hombre pesa 900 N dentro de un ascensor. Halle el peso del hombre cuando el ascensor desciende con una velocidad constante de 1m/s a. 900 N b. 909,8 N c. 980,2 N d. 901 N e. 810 N
15. Un bloque de 30n de peso descansa sobre una superficie horizontal. Si los coeficientes de fricción entre las superficies son 0,6 y 0,2; calcular la fuerza de fricción sobre el bloque, si se le aplica una fuerza horizontal de 12N. a) 18N b) 12N c) 6N d) 15N e) 30N 16.
B
0,8m
25. Un bloque de 10 kg se eleva con aceleración igual a 2 2 3 m/s . Hallar F (g = m/s ) F
F
18. Se arroja un cuerpo sobre una superficie horizontal rugosa con una velocidad de 10m/s. si el coeficiente de rozamiento cinético entre el cuerpo y el piso es 0,5;¿Cuál es el recorrido del móvil hasta detenerse? 2 ( g = 10m/s )
a. 30 N d. 150 N
37
b. 60 N e. 200 N
c. 130 N
26. Dos partículas de pesos iguales son dejadas en libertad en un sistema liso. Halle su aceleración. g = 2 10 m/s
2
32. Si el sistema se mueve con a 15 m/s , determinar la acción ejercida por la pared sobre la esfera de peso 100 N. Considere superficies lisas y 2 g 10 m/s . a) 25 N
53º
a
b) 50 N
a. 0,5m/
b. 1
c. 2
d. 3
c) 125 N
e. 4
37º
d) 150 N 27. Si el sistema se deja en libertad. Hallar el valor de la 2 tensión T, si no hay fricción. (g = 10 m/s )
e) 75 N 33. En la figura el coeficiente de rozamiento cinético entre los bloques de 2 kg y 3 kg es 0,3. No hay rozamiento en la superficie horizontal y las poleas. Hallar la magnitud de la aceleración con que se desplaza el bloque de 2 kg. a) 7,5 m/s 2
T 1kg 3kg
a. 25 N b. 5 N c.7,5 N d. 10 N e. 12,5 N
a. 0,2 b. 0,1
10k g 20k g
c. 0,3 d. 1
3 kg
c) 8,8 m/s 2 d) 5,86 m/s 2
28. En la figura el resorte se encuentra comprimido y en equilibrio por efecto del peso de A = 10 kg y B = 20 kg. Al quitar el bloque A, B adquiere una aceleración 2 2 en m/s , de: (g = 10 m/s )
K = 300 N/m
2 kg
b) 2,3 m/s 2
10 kg
e) 9,2 m/s 2 34. Una esfera de 1 kg pasa por el punto más bajo con una rapidez de 4 m/s, en ese instante. Determine el módulo de la reacción del piso sobre la caja de 10 kg. ( g 10 m/s 2 ). a) 100 N 0, 5 m
b) 90 N
μ = 0,2
c) 136 N
e. 0,01
d) 142 N
29. Un cuerpo de 8 kg apoyado sobre una superficie horizontal se le aplica una fuerza de 12 N. Calcule la aceleración del cuerpo, donde μk = 0,1; g = 10 2 m/s . 2 2 a. 0,25 m/s b. 0,5 m/s c. 0,1 m/s 2 2 d. 0,4 m/s e. 2 m/s
e) 130 N 35. El sistema mostrado está en reposo; de pronto en “P” suspendemos la esfera de 2 kg y el sistema acelera con 2, 5 m/s 2 ; ¿cuál es la masa del bloque A? ( g 10 m/s 2 ). a) 2 kg
30. Si el bloque está a punto de resbalar ¿Cuál es el valor del coeficiente estático?
b) 3 kg c) 4 kg d) 1,5 kg e) 3,6 kg
37° a. 0,25
b. 0,5
A
B P
36. Un extremo de una cuerda de 1,6 m está fijo en el punto O y al otro extremo está atada una esfera de masa “m” la cual se suelta cuando la cuerda está horizontal. Hallar la aceleración tangencial del cuerpo (en m/s 2 ) y su velocidad en (m/s), cuando la cuerda forma 60º con la vertical, sabiendo además que en dicha posición la tensión de la cuerda es los 3/2 del peso de la esfera.
c. 0,6 d. 0,75 e. 1,3
31. Hallar la máxima velocidad angular alrededor del poste vertical, para que el anillo no se desprenda del brarufoso. El coeficiente de rozamiento es 0,5. 2 (g = 10 m/s ) 1m
O 53°
60º
W
a) 5 3; 4
a. 2 rad/s b. 2 5 rad/s c. 3 rad/s d.4rad/s e. 4 5 rad/s
38
b) 5 3; 2 c) 5; 4 3 d) 5 3; 16 e) 10 3; 4
SEMANA 01
MATERIA
ESTADO SÓLIDO. Posee forma y volumen propio. En ellos, las fuerzas de atracción que actúan entre las moléculas prevalecen sobre las fuerzas de repulsión. Es materia condensada no fluida, incompresible. Ej. Piedra, plásticos, madera, etc. ESTADO LÍQUIDO. Es un estado condensado y fluido que tiene volumen y adopta la forma del recipiente que lo contiene. En ellos se equilibran las fuerzas de atracción con las de repulsión. Ej. Bebidas, lagos, ríos, mar, etc. ESTADO GASEOSO. No presenta forma o volumen propio. Son fácilmente compresibles. Prevalecen las fuerzas de repulsión molecular. Ej. Oxígeno, aire, gas de cocina, nitrógeno, Neón, CO2(g); CH4, etc. ESTADO PLASMÁTICO. Es un estado muy energético donde la materia está en forma de cationes y electrones libres. (E+ + e-). Es el más abundante
QUÍMICA: Es una ciencia que estudia las propiedades, transformaciones y combinaciones que sufre la materia. Sirve de apoyo a otras ciencias como la física, biología, geología, agronomía, medicina, Ingeniería relacionado de ciencias ambientales, etc. Además permite satisfacer las necesidades humanas en diferentes áreas o campos de la actividad humana. Veamos: Medicina: Antibióticos analgésicos, vacunas, hormonas, genoma Humano, transgénicos, hidroponía, etc. Agricultura: Insecticidas, pesticidas, abonos y fertilizantes, humus etc. Industria: papel, cartón, resinas, ácidos, productos de limpieza...
OBJETO DE ESTUDIO: MATERIA LA MATERIA: Es todo aquello que se encuentra en el universo y posee masa y volumen. Se muestra ocupando un espacio, determinando un volumen, moviéndose y transformándose constantemente. Es necesario establecer la diferencia entre masa y peso de un cuerpo. MASA: cantidad de materia que este posee. PESO: masa afectada por la fuerza de gravedad.
OBSERVACIÓN: Existe materia sustancial (cuerpo o sustancia material que tiene masa y volumen necesariamente) y materia insustancial (que hace explícita a la energía). Según Albert Einstein la masa y la energía tienen 2
del universo (por encontrarse en las estrellas), a 4 temperaturas muy altas (T⁰> 10 ⁰C). Ej.Erupciones volcánicas, en las explosiones nucleares, sol ESTADO CONDENSADO BOSE-EINSTEIN. Se manifiesta a bajas temperaturas, descubierto en 1995, se obtiene al enfriar unas partículas llamadas bosones. Cerca al cero absoluto - Para alcanzar el estado de Bose-Einstein es necesario enfriar muchísimo los átomos, su velocidad disminuye hasta que su longitud de onda se hace tan larga que su onda es casi plana. En este punto, las ondas de todos los átomos enfriados se superponen, formando una única onda y alcanzando el estado de Condensado de Bose-Einstein (BEC). En este estado los átomos son Bosones, ellos se caracterizan por reaccionar entre sí. La especie química a reaccionar es el Rb- 87 ; la Tº ( 60º C ) ESTADO CONDENSADO FERMIÓNICO. Es un estado muy fluido que se manifiesta a temperaturas extremadamente bajas. Se obtiene al enfriar átomos llamados fermiones. Similar el estado anterior se encuentra a temperaturas muy bajas, los átomos son poco interactuante, se encuentran de manera aislada, los átomos que reaccionan son los Fermiones (Electrones) para ello el cuerpo a poder utilizar es el K-40 CAMBIOS DE ESTADOS FÍSICOS La materia puede pasar de un estado a otro al variar el movimiento de sus moléculas por la acción de la
relación estrecha, asumiendo la ecuación E = m.c .
ESTADO PLASMÁTICO ESTADO SÓLIDO ESTAD O LÍQUID O ESTADO GASEOSO
ESTADO CONDENSADO BOSE EINSTEN
ESTADOS DE LA MATERIA ESTADO CONDENSADO
FERMIÓNICO 39
temperatura. Aquí se muestran los nombres de los distintos cambios de estado CON DISMINUCIÓN DE TEMPERATURA LIBERACIÓN DE CALOR
SUBLIMACIÓN
FUSIÓN
SÓLIDO
DIRECTA
GASIFICACIÓN
GASEOSO
LÍQUIDO
SOLIDIFICACIÓN
LICUACIÓN
SUBLIMACIÓN INVERSA
CON AUMENTO DE TEMPERATURA ABSORCIÓN DE CALOR
I.FUSIÓN: Proceso por el cual un cuerpo se funde por acción del calor, cada sustancia tiene un a Tº o punto de fusión donde se inicia su paso al estado líquido. Ej. Derretimiento de los glaciares, nevados, Hielo a agua líquida II.SOLIDIFICACIÓN: Paso de una sustancia del estado líquido al estado sólido, Consiste en hacer enfriar a un cuerpo opuesto a la fusión Ej. Elaboración de chupetes con sabor a frutas III. VAPORIZACIÓN : Cambio del estado líquido al estado gaseoso, según como ocurra se distingue 3 clases: a) Evaporización: Cuando las moléculas van escapando solo desde la superficie libre del líquido. Ej. Hacer hervir el agua b) Ebullición: Cuando el cambio ocurre desde diferentes puntos del líquido, se produce en abundantes burbujas, cada liquido tiene un punto de ebullición, característico acorde con la altitud y la presión atmosférica. c) Volatización: Es un proceso de vaporización violenta, los líquidos volátiles deben guardarse en frascos herméticamente cerrados. Ej. Bencina, alcohol, cloroformo, etc. IV. LICUACIÓN: Proceso por el cual la sustancia gaseosa pasa al estado líquido cuando dicha sustancia a temperatura ambiental no tiene forma ni volumen definido. Ej. Hidrogeno, Oxigeno, El Helio para licuarse necesita descender a -269ºC; Gas propano, Metano, Etano. V. SUBLIMACIÓN DIRECTA : Cuando un cuerpo sólido pasa directamente al estado gaseoso, eso ocurre con el Helio seco las bolillas de naftalina
SUBLIMACIÓN INVERSA/ DEPOSICIÓN/ COMPENSACIÓN: Cuando el cuerpo pasa del estado gaseoso al sólido, como cuando se enfría el yodo gaseoso en tubo de ensayo, o los copos de nieve.
PROPIEDADES DE LA MATERIA. Son formas diversas en las que los cuerpos se manifiestan a nuestros sentidos o a los instrumentos de medida. Se clasifican en: A) PROPIEDADES GENERALES/ EXTENSIVAS/ EXTRINSICAS Referida a toda materia sin excepción y al margen sus estado físico Son aditivas, es decir depende de la cantidad de masa Ejemplos podemos mencionar a continuación Masa Peso Volumen Extensión Impenetrabilidad Inércia Porosidad Visibles Invisibles Divisibilidad Atracción Ponderabilidad Presión de un gas Calor ganado Calor perdido Capacidad calorifica 1. MASA. Es la cantidad de sustancia que posee un cuerpo (se expresa en gramos) 2. PESO. Es la fuerza con que es atraído un cuerpo material por acción de la gravedad.(Newton) Ej. La caída de una manzana, caída de los cuerpos, etc. 3. VOLUMEN. Es el espacio cúbico ocupado por un 3 cuerpo. (m ) Ej. Medida de caja TV, agua mineral. 4. INDESTRUCTIBILIDAD. La materia no se crea ni 2 se destruye, solo se transforma. E=mC 5. EXTENSION: Propiedad que tiene um cuerpo para ocupara uma porción limitada de espacio llamada volumen del cuerpo. Ej. La Cajá de un Televisor ocupa um volumen que se puede calcular midiendo y multiplicando sus tres dimensiones largo, ancho y altura 6. IMPENETRABILIDAD: Propiedad por la cual la porción limitada del espacio que ocupa un cuerpo, no puede ser ocupado por otro al mismo tiempo. Ej. Vaso com água, si se añade la piedra se derrama por elingreso de la piedra. 7. INÉRCIA: Es la incapacidad que manifiestan los cuerpos para modificar por si mismos sus estado de reposo o movimiento rectilíneo uniforme, mientras no intervenga una fuerza ajena que modifique su estado. Ej.La pelota no se movera mientras no lo impulso el jugador; Si pateara la mosca la pelota aún mas no se moverá porque su masa es muy inferior a la del jugador 8. POROSIDAD : Propiedad por la cual la materia tiene espacios vacíos llamados poros; estos poros pueden ser : a. VISIBLES O SENSIBLE: Son aquellos que se aprecia a simple vista.Ejemplo los poros de la esponja. b. INVISIBLES O FÍSICO : Son aquellos espacios que separan a lãs moléculas y átomos entre si, no son visibles a simple vista 9. DIVISIBILIDAD: Propiedad por la cual un cuerpo partirse en fragmentos cada vez menores hasta llegar a um limite constituído por átomos. 10. ATRACCIÓN: Todos los cuerpos se atraen entre si com uma fuerza directamente proporcional al producto de sus masas e inversamente proporcional
40
c.
DUCTIBILIDAD: Propiedad por la cual algunos cuerpos tienen a reducirse a finos hilos, Ej. Oro, plata, etc. d. TENACIDAD: Es la resistencia que oponen algunos cuerpos a ser rotos por atracción, torsión o presión, el metal más tenaz es el hierro. e. ELASTICIDAD: Propiedad que tienen algunos cuerpos d recuperar su forma y volumen primitivos, cuando cesa la acción que los ha deformado. Ej. Resorte, liga, pelota. f. COMPRESIBILIDAD : Propiedad que tienen algunas formas de materia por la cual reducen sus dimensiones por presión( El aire - gas en un balón) g. VISCOSIDAD. Esla resistencia de un cuerpo material a fluir. Ej. Clara de huevo, sangre. A su vez las propiedades específicas pueden ser químicas o físicas atendiendo a su alteración molecular. CLASIFICACIÓN DE LA MATERIA SUSTANCIA: A) SIMPLE B) COMPUESTA MEZCLA: A) HOMOGENEA/ SOLUCIÓN B) HETEROGENEA SUSTANCIA QUÍMICA Es forma de materia homogénea de composición química definida, uniforme e invariable y cuyas propiedades físicas y químicas son idénticos sea cual fuere su procedencia. Representa-se mediante fórmulas o símbolo;
al cuadrado de la distancia que los separa. Esta fuerza es conocida como la fuerza de la gravitación universal. B)
PROPIEDADES PARTICULARES/INTENSIVAS Estas son características específicas que lo cumplen algunas formas de materia y que se permiten diferenciar el uno del otro. No depende la cantidad de masa Dureza Tenacidad Comprensibilidad Maleabilidad Elasticidad Ductibilidad Punto de Ebullición Punto de Fusión Punto critico Densidad Viscosidad Reactividad Electronegatividad Calor latente de fusión Brillo Propiedades Organolépticas (Olor, color, sabor) Reactividad Plasticidad Equivalente Gramo Masa equivalente Acidez Basicidad Solubilidad Propiedades atómicas (Energía de ionización, Electronegatividad, etc) Calor latente de fusión Índice de refracción de la luz Temperatura
CaO, H2O2 , Fe, Ag, O2 , etc.
Las sustancias químicas se llaman también sustancias puras o especies químicas y se clasifican en: 5.1.1. SUSTANCIA SIMPLE. Es aquel cuerpo material constituido por átomos de un mismo elemento por tal no se pueden descomponer o dividir a sustancias más simples por medios químicos ordinarios. Así tenemos: Se representan com símbolos químicos Elementos químicos: Li, Na, K , Rb, Co, Hg ,W , Be, Mg , Ca, Sr, Ba, Ra Molécula
Conductividad eléctrica Conductividad térmica
Viscosidad resistencia al flujo
a. DUREZA.- Es la resistencia que ofrece un cuerpo a ser rayado por otro, existen cuerpos blandos como y duros como el diamante. La escala de MOHS establece el grado de dureza de los cuerpos: 1. Talco 2. Yeso 3. Calcita 4. Fluorita 5. Apatita 6. Feldespato 7. Cuarzo 8. Topacio 9. Corindón 10.Diamante b. MALEABILIDAD: Propiedad que tienen algunos cuerpos d reducirse a laminas muy delgadas tales como el oro, plata, cobre, etc.
s homo atômicas: O2 , H 2 , N2 , F2 , P5 , C60 , S8 , etc. Moléculas poliatômicas 5.1.2. SUSTANCIA COMPUESTA. Sustanciaquímica conformada por átomos de elementos diferentes (moléculas heteroatómicas), que se pueden descomponer mediante diferentes métodos químicos en dos o más sustancias simples. Se representan com formulas Ejemplos: Compuestos inorgánicos: HNO3 , HCl , NaCl , H 2O, H 2 SO4 , Compuestos NO, CO2 , HCN , H 3 PO4 , etc.
Orgánicos: CH 4 , C2 H 5OH , C2 H 5OC2 H 5 , CH 3COOH , CH 3COOCH 3 , etc.
MEZCLA Es la adición de sustancias sin interacción química
41
entre ellos. Las propiedades de las mezclas varían según su composición y pueden depender del método y la manera de preparación de las mismas. Es la constitución de sustancias químicas (dos o más) que mantienen su identidad y propiedades específicas. Se tiene dos tipos de mezclas: MEZCLA HOMOGÉNEA O SOLUCIÓN. Es aquella que tiene un aspecto y composición uniforme en todas las partes de la misma. Se presenta en una sola fase no distinguible ni diferenciable en sus componentes. Para separar sus componentes se utiliza técnicas como la cromatografía, la destilación fraccionada.
Se debe tener en cuenta que las condiciones que impliquen, Cambios de estado Tracción * Flexión Disolución * Ebullición de líquidos dilatación destilación decantación, etc. CAMBIOS QUÍMICOS: Son procesos de transformación que alteran la composición interna de la materia, este proceso se denomina reacción química y se forman sustancias diferentes con nuevas propiedades. Todo lo que implique: Combustión Respiración Corrosión Fotosíntesis Oxidación Procesos metabólicos Reducción Cambio de acidez Ignición. Putrefacción, fermentar
Ejemplos: agua azucarada CH3HS en C3H8(Mercaptano en propano) O2 en N2 (Aire artificial) Aguardiente * Ácido Muriático el acero * Alcohol 96° agua potable * Alcohol yodado bebidas carbonatadas latón * Gasolina(Hidrocarburos) bronce * Gas natural kerosene *Aire (N2+ O2, otros gases) amalgama dental(Hg + Metal) agua oxigenada(H2O + H2O2) vinagre agua regia(HCl + HNO3)
CAMBIOS NUCLEARES: Son aquellos en los que se modifica la constitución de un núcleo. Es muy frecuente que un elemento se transforme en otro y la cantidad de energía implicada es enorme. Ejemplo: Cuando el Uranio-238 emite una partícula alfa, se convierte en Thorio-234.Polonio, radio Explosión nuclear de Fukushima - 2011(Uranio)
MEZCLA HETEROGÉNEA. Es aquella que presenta componentes individuales físicamente separados y pueden separarse como tales. Estos componentes se pueden recuperar por medios físicos como la filtración, la decantación o la separación magnética. Ejemplos: Suspensiones: agua y aserrín, laxantes, jarabes, etc. Coloides: leche, almidón, clara de huevo, pintura, gel, mayonesa, mantequilla, neblina, queso, espuma, piedra pómez, sangre, niebla, humo, crema batida, pintura, malvavisco, vidrio, rubí, gelatina, teknopor, asfalto Benceno y agua, concreto, espuma de cerveza, nata batida, agua con aceite. CAMBIOS QUE SUFRE LA MATERIA La materia en su constante modificación (transformación) interna o externa con el pasar del tiempo, sufre cambios que de una u otra forma nos permite conocer y apreciar variedad de cuerpos materiales, estos fenómenos son: CAMBIOS FÍSICOS: Son aquellos que ocurren sin que se produzca alteración en la composición química de la materia. Se cambia la forma, el tamaño, el estado físico o de agregación. Un fenómeno físico implica que el cuerpo material que sufre dicho proceso mantiene su identidad.
CAMBIOS ALOTRÓPICOS: La alotropía es un fenómeno en la cual ciertos elementos químicos se encuentran en formas diferentes en la naturaleza, pero en el mismo estado físico. Por Ejemplo: El elemento oxígeno se encuentra en la naturaleza como: O2:(oxígeno)O = O Ozono (O3) O
O
O
Otros: El azufre: rómbico y monoclínico El fósforo: rojo y blanco Hierro alfa, beta, gama El carbono: diamante y grafito Estaño blanco , estaño gris PROBLEMAS 1. Determina la cantidad de sustancias (P) o mezclas (O) I. agua oxigenada II.sodio III. oro de 24 kilates IV. HCl acuoso V. Azufre rómbico
42
A) POPOP D) OPPOP
B) OPOOP E) OPOOO
C) OOPOP
cerveza; el mercurio en los termómetros y el ácido acético en el vinagre. Determina en orden de presentación si es sustancia simple, compuesta o mezcla en el texto indicado: A) SS; SS; SS; SC; M D) SC; SS; SS; SC; SC B) SC; SC; SC; M; M E) SC; SS; SS; SC; M C) M; SS; SS; M; M
2. ¿Cuántos de estas sustancias se encuentran en estado líquido a condiciones ambientales?. I.Bromo. II.Oro III.Grafito IV.Mercurio A) solo I B)solo IV C)II y III D)I y IV E)I y III
10. No es un compuesto químico. A) Amoniaco C) metano E)borano B) Platino D)bromuro de calcio
3. Determina las sustancias simples que se presentan a continuación. I.metano. II.Aluminio III.acero IV.ozono A) solo I B) II y IV C) Sólo II D) II y III E) I y IV
11. No presenta fórmula química. A) Carbonato de calcio D)acero B) cloruro de calcio E)bicarbonato de calcio C) sulfuro de hidrógeno
4. Identifica dentro del listado los que corresponden a mezclas. I.vinagre. II.Magnesio III.yogurt IV.cobre V.agua marina A) II y IV B) Solo III C) I y III D) III y V E) I, III y V
12. Es una propiedad extensiva: A) Corrosión C)impenetrabilidad B) densidad D)dureza
E)Volume
13. Es una propiedad química: A) Maleabilidad. C) Tenacidad. E) Color. B) Elasticidad. D) Fermentación.
5. Un metal se puede laminar gracias a la propiedad de la ………………. y se puede convertir en hilos gracias a la propiedad de la ……………….. A) Ductibilidad – maleabilidad B) Tenacidad – dureza C) Maleabilidad – ductibilidad D) Flexibilidad – dureza E) Maleabilidad – divisibilidad
14. ¿Cuántas propiedades generales se mencionan en el siguiente listado?. Inercia Oxidación Divisibilidad Flexibilidad Impenetrabilidad Peso A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 15. Es una propiedad que nos permite diferenciar un cuerpo de otro cuerpo. A) Compresibilidad C)Peso D)Volumen B) Impenetrabilidad E)Porosidad
6. Determina la sustancia que se pueden licuar. A) Naftalina. C) Etanol. E)Hierro. B) Amoniaco. D) Sodio. 7. Escribe V si es verdadero o F si es falso, según convenga para cada proposición. I. El estado líquido posee forma y volumen definido ( ) II. En el estado sólido la fuerza de atracción de sus moléculas - unidades fórmula son mayores con respecto a la fuerza de repulsión ( ) III. Los coloides son mezclas homogéneas ( ) IV. El estado plasmático es el más abundante de nuestro planeta ( ) A) FVFF B)FVVF C)VVFF D)FFFF E)FVFV
16. Cuántas propiedades que se mencionan a continuación no son físicas. I. punto de ebullición II. inoxidabilidad III. dureza IV. combustibilidad V. densidad VI. acidez A) I, III y V B) II y IV C) IV, V y VI D) I, II y IV E) II, IV y VI 17. Indica verdadero (B) o falso (A) según corresponda. I. Las propiedades extensivas son aquellas que no dependen de la masa. II. La inercia, el calor y el peso son ejemplos de propiedades intensivas III. El volumen es una propiedad aditiva A) AAB B) ABA C) BAA D) BAB E) BBA 18. El éter es una sustancia líquida que pasa rápidamente al estado gaseoso. ¿Cómo se llama específicamente el proceso? A) Fusión C)Licuación E)Volatilización B) Sublimación D)Solidificación
8. Se tiene los sistemas I, II y III que indican: I. Glucosa II.Agua regia III.Agua pesada Identifica lo incorrecto: A) I es un compuesto B) II es una sustancia compuesta C) III es una sustancia química D) II es una mezcla E) I es una especie química 9. El propano se emplea como combustible doméstico, el aluminio se encuentra en las latas de
43
19. El fosforo blanco arde vigorosamente cuando se le saca del recipiente que lo contiene. Clasifique al fósforo blanco y mencione el fenómeno que ocurre con el fósforo blanco al aire libre. A) Sustancia simple – cambio físico B) Sustancia compuesta – cambio químico C) Sustancia simple – cambio alotrópico D) Mezcla – cambio químico E) Sustancia simple – cambio químico
25. Determina la alternativa que contiene muestra que posee una sola fase. A) Yogurt B)Concha de nácar C)Lejía D) Leche de magnesia E)Sacarosa
una
26. Determina las mezclas homogéneas del siguiente listado. I. Bronce II.Salmuera III.Bismutol IV. Mazamorra morada V.Vino blanco A) II y III B) I y III C) I y V D) III y IV E) I, II y V
20. Utiliza la (F) o (Q) para indicar respectivamente un fenómeno físico o químico, los siguientes casos. I. Formación de granizo II. Fermentación de las uvas III. Dilatación de los metales IV. Neutralización de un ácido A) FQFQ B) QQFQ C) FQQQ D) FQFF E)FFQQ
27. No son alótropos: A) Diamante – fullereno B) Carbono – 12; carbono – 14 C) Dioxígeno – ozono D) Fósforo blanco – fósforo rojo E) Azufre cíclico – azufre monoclínico 28. Es una mezcla homogénea. A) Jarabe B) Milanta C) Sangre D) Oclusión de paladio E) Agua pesada
21. Señala en cada caso, cuál es un cambio físico y un cambio químico I. Cuando se une a temperatura alta Zinc y cobre se obtiene latón. II. Si combinamos cobre metálico con ácido nítrico obtenemos nitrato de cobre. III. Si dejamos un pedazo de hierro expuesto al aire se recubre de una capa rojiza. IV. Cuando se hace el tamizado de una muestra de azufre y hierro aserrín. A) QQQF B) QQQQ C) FQFF D) FFFF E) FQQF
29. Es un estado caótico, muy fluido y compresible en comparación al otro estado de condición ionizado y energético. Infiere los estados de la materia implicados en la mención correlativamente: A) Gaseoso – Condensado Bose Einstein B) Gaseoso – plasmático C) Líquido – gaseoso D) Líquido – plasmático E) Gaseoso – sólido
22. Identifica el número de fenómenos físicos y químicos en ese orden en la siguiente lista: I. Dilatación II.Destilación III.Oxidación IV. Lluvia ácida V. Digestión de alimentos VI. Descomposición de la luz V. Descomposición del agua II. Corrosión de un metal A) 4 – 4 B) 5 – 3 C) 3 – 5 D)6 – 2 E)2 – 6
30. En la expresión materia es todo aquello que ocupa un lugar en el espacio” la palabra subrayado hace mención a : A) Masa B) Peso C) dureza D) Volumen E) inercia 31. Señala la expresión correcta que indica la materia sustancial expresa A) Sonido y volumen B) volumen, masa, peso C) Solo volumen D) Energía y masa E) peso y energía
23. Identifica como sustancia (S) o mezcla (M), los siguientes: I. agua oxigenada ( ) II.Clara de huevo ( ) III.Oro de 24 quilates ( ) IV.H2SO4 acuoso ( ) II. Fullereno ( ) A) SMSMS B)MMMMS C)MMSMS D) MMSSS E)MMMMM
32. Uno de los términos no está en relación a la química A) El metabolismo C)El cuerpo B) La molécula D) El átomo E) Corpúsculos atómicos.
24. Escribe V o F según corresponde a cada proposición. I. A las sustancias químicas se les conoce como especies químicas ( ) II. Los elementos químicos son un conjunto de mezclas ( ) III. Las sustancias compuesta poseen composición definida ( ) A) VVV B) FVF C) VFF D) VFV E) FFV
33.Completa la alternativa correcta en los espacios faltantes: “el camote, la papa, frutas, son sustancias en estado …… mientras que la radiación solar, la luz y el calor son sustancias en estado …… A) natural – transformado B) Combinación – mezcla C) Gas – sólido D) Energético – condensado E) Condensado- Energético
44
34. Marque la proposición correcta: A) En el estado plasmático la materia está formada por cationes y electrones libres. B) Los estados fluidos de la materia son el sólido y el líquido. C) Los estados fluidos de la materia son el sólido y el gaseoso. D) Los estados condensados de la materia son el sólido y el gaseoso. E) Los estados condensados de la materia son el líquido y el gaseoso
II. Volatilización de la gasolina. III. Producción de sonidos por cuerdas vocales. IV. Fusión del hielo. A) Solo II y IV B) I y II C) Solo II y III D) I, III y IV E) II, III y IV 43. Al evaporarse la naftalina, decimos ha efectuado el siguiente cambio llamado: A) Condensación B) Licuación C) Vaporización D) Sublimación E) Volatilización
35. El cuarto estado de la materia, se denomina: A) Condensado Bose- Einstein B) Gaseoso C) Liquido D) Plasmático E) Amorfo
44. De las siguientes proposiciones: I. La fusión es el pasó de sólido a líquido , es un fenómeno físico II. El fenómeno químico es irreversible III. La gasificación es : L G Son verdaderas A) I, II y III B) I y II C) I D) I y III E) II
36. Un ejemplo del estado plasmático es: A) El jebe D)La gelatina B) La capa de ozono atmosférico C) La esponja E)El corcho 37. Un ejemplo del estado plasmático es: A) El jebe D) La gelatina B) La capa de ozono atmosférico C) La esponja E)El corcho
45. Completa las proposiciones según convenga La resistencia de un cuerpo a ser rayado se denomina…………….. La ……………………….en los gases resulta de la repulsión entre las moléculas El paso de un líquido a través de poros sensibles se denomina…………………. A) Tenacidad, licuación, fluidez. B) Dureza , comprensión, fluidez C) Inercia, extensión, sensibilidad. D) Ductibilidad, Licuación, solubilidad E) Dureza, expansibilidad, permeabilidad
38. ¿Cuál de los elemento no poseen alotropía?.
A) Carbono B) Oxígeno C) Fósforo D) Azufre E) Bromo 39. Un cuerpo en general donde presente menor temperatura es: A) Estado gaseoso D) Estado sólido B) Estado coloidal E) Sublimación C) Plasmático.
46. El metanol, a temperatura ambiental es un líquido, es más ligero que el agua, a 12 °C se inflama con facilidad, a 1 atm hierve a 65 °C, es tóxico, es volátil, por oxidación se transforma a formaldehído, y es miscible con el agua. ¿Cuántas propiedades físicas y químicas del metanol se han mencionado respectivamente? A) 4 y 4 B) 5 y 3 C) 5 y 2 D) 6 y 2 E) 4 y 3
40. Según Ud. ¿Cuál de las siguientes proposiciones es la idea más aproximada de un gas?. A) Tienen forma variable y volumen definido. B) Tienen forma variable y volumen variable. C) Tienen forma definido y volumen constante. D) Tienen forma definido y volumen variable. E) Todas son falsas 41. Los procesos comunes que se observan en el crecimiento de las plantas son : I. Absorción de agua del suelo húmedo II. Difundir el agua absorbida por todas sus hojas por el fenómeno de capilaridad. III. Evaporar una parte del agua a la atmósfera IV. Producir carbohidratos a partir de dióxido de carbono y agua, por un proceso de fotosíntesis Indica quienes son fenómenos físicos (F) o químicos (Q) y luego la respuesta correcta A) QFQQ B) FFFF C) QQFQ D) QFFF E) FFFQ
SEMANA 2 BREVES ANTECEDENTES HISTÓRICOS
DEMÓCRITO: Plantea el término átomo para designar a lo indivisible. DALTÓN: (1808): considera al átomo como una esfera compacta, indivisible e indestructible. Thomson: (1897): Hacia finales del siglo XIX, se descubrió que los átomos no son indivisibles, pues se componen de varios tipos de partículas elementales. La primera en ser descubierta fue el electrón en el año 1897 por el investigador Sir Joseph Thomson, quién recibió el Premio Nóbel de Física en 1906.
42. En qué acción ocurre cambio físico: I. Digestión de los alimentos.
45
“El átomo es una esfera compacta dentro de la cual se encuentran incrustados los electrones, la carga positiva (átomo neutro) se distribuye homogéneamente a través de toda la esfera”. A este modelo se le conoce como “Budín de Pasas”.
Robert A. Millikan (1868 – 1953), en la cual se estableció la carga relativa (-1) -19 -28 (-1,6X10 C) y la masa del electrón [9, 109 x 10 g; (0, 0005486 uma)]. Rutherford: (1911) Descubre el núcleo. Modelo: Sistema planetario en miniatura”, donde el electrón se mueve en orbitas. El experimento se denominó “PAN DE ORO”; Rutherford bombardeó con partículas alfa a una lámina de oro y pudo observar que la gran mayoría de estas partículas atravesaba la lámina, mientras que el resto se desviaba de su trayectoria normal. Rutherford deduce que el átomo posee un núcleo y por ese motivo nos señala un nuevo modelo atómico - El modelo atómico de Rutherford presenta las siguientes características: 4.1 Considera al átomo como un “sistema planetario en miniatura” 4.2 El átomo posee un núcleo diminuto y positivo, donde se concentra casi la totalidad de su masa (99,99%). 4.3 Los electrones giran alrededor del núcleo en órbitas circulares y concéntricas. -8 4.4 El diámetro del átomo es 10 m -12 4.5 El diámetro del núcleo es 10 m
Niels Bohr: (1913) Exclusivo para el hidrógeno. El electrón gira en orbitas circulares que son niveles estacionarios de energía. BOHR - SOMMERFIELD (1913): Órbitas Circulares y Elípticas Arnold Sommerfield completó el modelo atómico de Bohr formulando la existencia de los subniveles de energía. Sostuvo + también que los electrones además
de seguir órbitas circulares seguían también órbitas elípticas. CHADWICK: Fue descrito por primera vez en 1932. Es una partícula nuclear que pertenece a los bariones y no tiene carga nuclear eléctrica, su masa es de [ 1, -24 6748 x 10 g; ( 1, 0087 uma ). Un neutrón está formado por 3 quarks (udd), 1 quark arriba “up” = u y 2 quarks abajo “down” = d MODELO ATÓMICO ACTUAL El átomo actual es representado como un sistema energético en equilibrio constituido por una parte central donde prácticamente se concentra toda su masa, llamada núcleo y una región de espacio exterior llamada nube electrónica donde existe la máxima probabilidad de encontrar electrones. Presenta dos partes: 1.1. NÚCLEO. El espacio central con carga eléctrica positiva formada por protones y neutrones como partículas subatómicas fundamentales (nucleones fundamentales). Concentra aproximadamente el 99,99% de la masa total del átomo. Está constituido por más de 230 partículas subatómicas (llamadas nucleones). De aquí se concluye que los 2 primeros nucleones: protones y neutrones son fundamentales y el resto son los no fundamentales como los eones, mesones y fermiones. Es una zona de alta densidad cuyo valor aproximado 14 3 es de 2,44 x 10 g /cm . El mesón se encuentra internamente impidiendo la repulsión nuclear El núcleo es positivo por la presencia de protones
1.2. ENVOLTURA O ZONA EXTRANUCLEAR. Es aquella región espacial que rodea al núcleo atómico en la cual los electrones se encuentran moviéndose velozmente, de manera constante, con trayectoria y posición indeterminados; para lo cual es necesario el concepto de orbital. Es una zona de baja densidad que constituye el 99, 99% del volumen atómico. Este representa el 0,01% en masa del cual se concluye que el átomo es prácticamente vacío Es una zona que determina las propiedades químicas de un elemento. Influye en el tipo de enlace de un átomo. Determina las propiedades paramagnéticas y diamagnéticas de un elemento.
46
A= nucleón fundamental (≠ de masa) + Z= carga nuclear/ ≠ de protones/ ≠ atómico) p = z n= (≠ de neutrones, nucleón neutro) partícula neutra En un átomo neutro se cumple. + p = ē= z
Los electrones giran en trayectorias, elípticas de modo indefinido ya que es imposible determinara la posición del electrón Zona extranuclear +
DA DN
+ + +
+ +
NÚMERO DE MASA (A): Indica la cantidad de
+
nucleones fundamentales de un átomo. Para nombrar a un átomo se utiliza el número de masa. Ejemplos:
Núcleo atómico
Observaciones En el vacío las partículas estables son p>e>>>n Orden de masas( m n>mp> me) mn= 1836me ; mp1834 me En cualquier átomo el número de Protones y electrones son idénticos El mesón se encarga de la cohesión nuclear Un átomo es eléctricamente neutro debido a que las partículas que conforman el átomo son protones, electrones y neutrones El modelo de Bohr es válido solo para el átomo de Hidrógeno El que brinda la identidad de un elemento químico es el número de protones (Z) La palabra electrón fue propuesto por Stoney, pero nombrado por Thomson Soddy se le atribuye el descubrimiento de los isótopos, y a Rutherford el descubiertos de los isótopos artificiales La partícula más pequeña de la materia no es el átomo es el quark Los protones ,neutrones, mesones tienen quark -12 El diámetro de la núcleo es 10 cm frente al -8 diámetro del atomo10 cm
C (A = 14) # p+ = 6 N=8
El carbono tiene 12 nucleones Carbono - 12
El carbono tiene 14 nucleones Carbono - 14
PARTICULAS ELEMENTALES LEPTONES Partículas de interacción débil, parecen no tener ninguna estructura.
Partículas Sub Atómicas
Del cual se concluye que el núcleo es muy pequeño en comparación al átomo. Dónde:
C (A = 12) # p+ = 6 N=6
Electrón (e-) Neutrino (N) Muón (u)
BARIONES Tienen espín fraccionario y están formados por 3 Quark Protón Neutrón Hiperón Hiperón Hiperón
D A 10000DN
DA Diámetro del átomo DN Diámetro del núcleo HADRONES Partículas constituidas por Quarks.
PARTÍCULAS SUBATÓMICAS FUNDAMENTALES.
Son aquellas que están presentes en cualquier átomo generalmente. La materia está formada por tres partículas fundamentales, los electrones, protones y neutrones. (Excepto el protio que carece de neutrón) Observación:
• A nivel Pre:
MESONES Tienen espín entero y están formados por 2 Quark
m n m 1 uma 1, 67 10 24 g p
Mesones (Pión) Mesones K (Kaón)
NUCLIDO: Representación del átomo
47
NUMERO ATÓMICO: también se llama carga nuclear, nos indica el número de protones que el átomo contiene en el núcleo, este número identifica a los átomos que pertenecen a un elemento y los diferencia de otros átomos que pertenecen a otros elementos + p =z
TIPOS DE ELEMENTOS: A. Isótopos o Hilidos: Son átomos de un mismo elemento que presentan igual número atómico (igual Z) y diferente número de masa, es decir, diferente cantidad de neutrones. No todos los elementos tienen isótopos naturales. Ejemplo 01: Isótopo
Es un átomo que posee carga, si la carga es positiva recibe el nombre de catión y si la carga es negativa recibe el nombre de anión. Un ion se genera por ganancia o pérdida de electrones. El átomo se cargará positivamente si pierde electrones y negativamente si los gana.
Z > #e
#e>z q= z- #e
N
12 6
Carbono - 12
12
6
6
13 6
Carbono - 13
13
6
7
14 6
Carbono - 14
14
6
8
C
RECUERDE
Nombre : Catión trivalente
Que generalmente el isótopo de menor masa es el más abundante La forma de hallar la masa promedio es
# p+ = 13
: m A A1 (% a) A2 (%b) 100
# e = 10
m A A1 ( w 1 ) A2 ( w 2 ) w1 w 2
# n = 14
31 3 15 P
Z
C
-
q= z- #e
A
C
ION
27 3 13 Al
Nombre
B. Isóbaros: Son átomos de elementos diferentes, que presentan igual número de masa
Nombre : Anión trivalente # p+ = 15
Isóbaros
# e- = 18 55 24
# n = 16
40 20 Ca
# p + = 24
Nombre : Átomo neutro
55
Cr
N = 31 Cantidad de = 55 nucleones
25
Mn
# p + = 25 N = 30 Cantidad de nucleones = 55
C.Isótonos: Son átomos de diferentes elementos que tienen el mismo número de neutrones
# p+ = 20 # e- = 20
Isótonos
# n = 20 54 26
Fe
52 24
Cr
ESPECIE IONIZADAS N = 28
N = 28
ESPECIES ISOELECTRÓNICAS Son aquellas especies químicas que poseen igual cantidad de electrones. igual configuración electrónica átomos diferentes Ejemplo:
48
–3
7
+1
N
Na
11
#e– = 7 + 3 = 10 Nota:
II. En la zona extranuclear solo se encuentran los electrones III. El protón tiene mayor masa que el electrón A) VVV B) VVF C) VFV D) VFF E) FVF
#e– = 11 – 1 = 10
3. En relación al átomo analiza y señala las proposiciones incorrectas: I. La mayor masa del átomo se encuentra concentrada en el núcleo. II. La masa de un protón del átomo de hidrogeno es menor que la del protón del átomo de oxÍgeno. III. Su masa es aproximadamente igual a la masa de su núcleo A) I y II B) Solo II C) Solo III D) II y III E) Solo I
#e– = Z – (Carga del ión)
PARTÍCULAS ELEMENTALES QUARKS. Este término fue tomado de la frase : “THREE QUARKS FOR MUESTER MARK” Esta palabra de quark es producto de una obra literaria de James Joyce titulada “FINNEGANS WAKE”. Concepto.- Es la mínima porción de la materia, cuerpo diminuto hasta donde aún s e conservan sus propiedades. Son partículas cuánticas o elementales puntiformes de espín fraccionario, se presentan en 6 sabores:
4. Muchos elementos químicos no se encuentran en la naturaleza, tal es el caso del tecnesio-99. Si en dicho elemento el número de neutrones excede en 13 unidades al número de protones, calcula el número atómico del tecnecio. A) 45 B) 56 C) 41 D) 43 E) 44
TIPOS DE QUARK
5. Completa adecuadamente la siguiente tabla y luego dé como respuesta el valor de (a+b+c)(d+f+n) Especie Z #n° A #e3+
Mn s
2-
Ca
n+
25
a
55
b
c
18
d
18
f
24
44
18
A) 16 D) 10
-
C) 14
6. De las siguientes proposiciones, ¿cuáles son incorrectas? I. El neutrón se desvía frente a un campo eléctrico. II. El átomo es un sistema casi vacío. III. Las características del electrón del hierro son las mismas que las del electrón del oxígeno. A) solo I B) I y III C) solo III D) I y II E) solo II 7 7. En un millón de átomos de torio hay 9 x 10 protones y en 5 millones del mismo átomo hay 7x 8 10 neutrones. ¿Cuál es la notación del núclido de torio?
RECUERDE: -
B) 12 E) 18
Un protón = 2 U + 1 d Un neutrón = 2d + 1U Quark es la parte pequeña de la materia y no es el átomo Electrón no tiene quark
PRACTICAMOS 1. Respecto al átomo, selecciona las proposiciones que son correctas. I.Es indivisible. II.Su núcleo tiene carga positiva. III.Es la partícula más pequeña de la materia. A) I y II B) II y III C) solo III D) solo I E) solo II 2. Marca la secuencia correcta de verdad (V) o falsedad (F) respecto a las siguientes proposiciones. I. Las partículas subatómicas fundamentales son el protón, neutrón y electrón.
A)
C)
E)
Th234
90
90Th
B)
230 D)
Th228
90
232 Th 90
Th231
90
8. El germanio es un material semiconductor utilizado en transistores. El número de neutrones
49
de 4 isótopos de este elemento son 38; 40; 42 y 44. Si la suma de sus números de masa es 292, calcula el número de partículas subatómicas fundamentales del isótopo más pesado. A) 108 B) 110 C) 104 D) 106 E) 102
A) 25,211 uma C)25,021 uma D) 24,211 uma B) 24,311 uma E) 24,422 uma 16. Si la carga nuclear absoluta de un anión -18 divalente es 2,56x10 C, ¿cuántos electrones posee dicho anión?. A) 20 B) 16 C) 14 D) 18 E) 13
9. En un catión tetravalente, el número de partículas subatómicas fundamentales es 166. Si en dicho catión el número de neutrones excede en 20 unidades al número de protones, ¿cuántos electrones tiene el catión? A) 52 B) 50 C) 44 D) 46 E) 48
17. Cierto catión posee una carga nuclear igual a 2,08 -18 x 10 C. Si posee la misma cantidad de electrones que el neón, halla la carga del catión. A) -3 B) -1 C) +3 D) +1 E) +2 18. Para cierto ión la relación entre la cantidad de electrones y protones es como 9 a 8. Si la carga -19 neta del ión es -3,2x10 C, halla la identidad del átomo. A) Cl B) Mg C) Zn D) Ca E) S
10. Una molécula de agua está constituida por dos átomos de protio y por un átomo de
8
O16 .Calcula
el
número
de
protones
y
neutrones, respectivamente, en 50 moléculas de agua. A) 500 y 450 B) 450 y 600 C) 500 y 500 D) 450 y 400 E) 500 y 400
19. El peso atómico del elemento cloro es 35,46 uma, siendo la masa de sus 2 isótopos naturales: 34,96 uma y 36,96 uma, respectivamente. Calcula la abundancia del isótopo más pesado. A) 58% B) 75% C) 25% D) 60% E) 35%
11. Marca la secuencia correcta de verdad (V) o falsedad (F) respecto a las siguientes proposiciones. I. Los nucleones se mantienen unidos por fuerzas de naturaleza eléctrica. II. Cuando un átomo se oxida o se reduce, la composición nuclear no se altera. III. En los fenómenos físicos y químicos, los átomos conservan su identidad. A) VVF B) VFV C) FVV D) FVF E) FFV
20. Un catión divalente posee un número de protones que está en relación de 5 a 7 con el número de neutrones. Si el número de electrones es 28. Calcula el número de masa. A) 65 B) 60 C) 72 D) 48 E) 120 21. Un catión divalente presenta 78 electrones y 120 neutrones. Calcula su número de masa. A) 198 B) 194 C) 205 D) 196 E) 200
12. A partir de la siguiente información, calcula el peso atómico del magnesio ISÓTOPO MASA (uma) % de abundancia Mg – 24 Mg – 25 Mg – 26 A) 24,67 D) 24,32
23,99 24,99 25,99 B) 24,54
22. Un elemento químico posee 2 isótopos cuyos números de masa son 80 y 82 respectivamente. Si el número total de neutrones es 92. Calcula el número atómico del elemento. A) 31 B) 32 C) 33 D) 34 E) 35
78,30 10,13 11,57 C) 25,12 E) 25
13. El bromo tiene dos isótopos de masa 78,92 y 80,92. Halla la abundancia del isótopo más liviano si el peso atómico de dicho elemento es 79,90 A) 40% B) 50% C) 30% D) 51% E) 20%
23. La suma de los cuadrados de los números de masa y atómico es 169. Si el número de neutrones es 7. Calcula el número atómico. A) 12 B) 5 C) 10 D) 3 E) 15 24. Se tiene 3 isótopos cuya suma de sus números de masas es 39 y la suma de sus neutrones 21. Halla cuantos electrones tiene su catión divalente? A) 2 B) 4 C) 6 D) 8 E) 10
14. Un elemento “X” tiene 2 isótopos, cuyas masas atómicas son 18 uma y 20 uma. Por cada átomo liviano existen 4 átomos pesados, entonces la masa atómica (en uma) del elemento “X” es: A) 18,2 B) 19,6 C) 19,0 D) 18,8 E) 18,4
2-
25. El ión es isoelectrónico con el ión 30J Determina el número de protones que posee el ión
15. Si por cada ocho átomos de Mg-24, cuya masa atómica es 23,99, hay un átomo de Mg-26 que cuenta con una masa isotópica de 25,98 uma; determina la masa atómica promedio.
A) 10 D) 34
50
B) 12 E) 80
C) 20
26. El número de masa de un átomo excede en uno al doble de su número atómico. Determina cuál será el número de electrones. Si posee 48 neutrones y su carga eléctrica es 2-. A) 18 B) 33 C) 69 D) 45 E) 49
36. Una especie química presenta un número de neutrones que está en relación de 5 a 4 con el número de electrones. Además el número de neutrones está en relación de 9 a 7 con el número de protones. Halla el número atómico y la carga posible del ión. A) 70, + 2 B) 17, - 1 C) 35, - 1 D) 43, + 3 E) 72, - 2
27. Calcula la carga y signo de un ión que tiene 24 electrones asociados a un núcleo que tiene una carga positiva de 26. A) 26, negativo B) 2, positivo C) 2, negativo D) 4, negativo E) 12, positivo
37. Un átomo posee 123 partículas subatómicas fundamentales. Cuando se convierte en ión posee 1 40 electrones y es isóbaro con la especie 80 . 35 Br
28. Un ion tripositivo tiene 39 electrones. Calcula el número de masa del ion. Si el número de protones y neutrones están en la relación de 1 a 2. A) 126 B) 65 C) 137 D) 34 E) 123
Identifica la carga del ión. A) – 2 B) – 1 C) + 1 D) + 3 E) + 4 n+
29. En un anión trivalente hay 12 neutrones más que el número de protones, además el número de masa es proporcional al número de electrones como 13 es a 6. Halla la carga nuclear. A) 35 B) 33 C) 37 D) 12 E) 43
39. Dos átomos de elementos consecutivos son isótonos entre sí, si la suma del número de masa y el número atómico del que posee mayor carga en el núcleo es 32. El número de electrones que posee menor carga está en la relación de ¾ con respecto al número de neutrones del mayor. Halla el número másico del menor. A) 20 B) 32 C) 23 D) 21 E) 19
30. La diferencia de los cuadrados de los números de masa y atómico es 481. Si el número de neutrones es 13. Calcula el número de masa. A) 25 B) 12 C) 13 D) 24 E) 26 31. Un catión divalente presenta 36 electrones y 38 neutrones. Calcula el número de masa. A) 74 B) 75 C) 76 D) 77 E) 78
SEMANA 3 - 4 ESTRUCTURA ELECTRÓNICA DEL ÁTOMO El estudio de la estructura electrónica del átomo ha sido posible por los aportes cristalizados en principios por grandes figuras las cuales son:
32. Dos isótonos de números atómicos consecutivos poseen números de masa que suman 53. Calcula el número de masa del isótono liviano. A) 25 B) 26 C) 27 D) 28 E) 29
3.1
33. Un anión divalente es isoelectrónico con el ión +1 y además es isótono con la especie química 87Fr 200 90 Th .Señala el número de masa del anión. A) 116 D) 190
B) 182 E) 194 +4
-19
38. El ion Q de carga neta +3,2x10 C tiene 10% más protones que electrones. Si dicho ion tiene 28 neutrones, calcula su número de masa. A) 52 B) 48 C) 45 D) 60 E) 50
ESTADOS CUANTIZADOS DE ENERGÍA. Los aportes de Niels Bohr que se consideran son: Los electrones sólo existen en ciertos niveles discretos de energía, que se describen con números cuánticos. En el movimiento de un electrón de un nivel otro interviene energía.
C) 188
+3
4. PRINCIPIO DE DUALIDAD DE LA MATERIA Louis de Broglie (1892 – 1987) determina el comportamiento ondulatorio de la materia e indica que el electrón en su trayectoria circular alrededor del núcleo, tiene asociada una longitud de onda específica. Además propuso que la longitud de onda característica del electrón o de cualquier otra partícula depende de su masa (m) y su velocidad (v).
–2
34. Los iones x ; J ; R son especies isoelectrónicas cuyos números atómicos suman 155. Identifica el número atómico de x. A) 50 B) 46 C) 54 D) 58 E) 48 35. Tres isótopos poseen números de masa consecutivos y presentan en total 123 neutrones. Calcula el número de neutrones del isótopo pesado. A) 41 B) 40 C) 42 D) 43 E) 39
h mv
h = constante de Planck -34
h = 6, 63 x 10
51
J.s
5. PRINCIPIO DE INCERTIDUMBRE. Werner Heisenberg (1901 – 1975) concluyó: La naturaleza dual de la materia impone una limitación fundamental a la precisión con que podemos conocer tanto la posición como la trayectoria (momentum) de cualquier objeto (esta limitación se vuelve importante sólo cuando tratamos en el nivel subatómico). Si aplicamos este principio a los electrones de un átomo, nos dice que es inherentemente imposible conocer simultáneamente la trayectoria (momentum) del electrón y su posición exacta en el espacio.
La capacidad electrónica de un determinado nivel se halla con la regla de Rydberg:
6. ORBITAL Es la región espacial energética de manifestación más probable del electrón (REEMPE), es decir, es aquel espacio en la cual hay probabilidad de ubicar un electrón.
FORMAS DE ORBITALES
# Máx. e- = 2n 8.2
ℓ = 0 1 2 3… (n-1) p d f
Z
Z
X X
Y Esféricas
Y Dilobular
Z X Y Tetralobular
Compleja (OCTALOBULAR) (Fundamental)
8.3
8. NÚMEROS CUÁNTICOS. Son parámetros que describen el estado energético de un electrón y las características de un orbital. Un electrón queda definido por los cuatro
8.1
NÚMERO CUÁNTICO AZIMUTAL O SECUNDARIO (ℓ). Indica para el electrón el subnivel de energía y la forma geométrica para el orbital.
s
7. ECUACIÓN DE ONDA. En 1926 el físico austríaco Erwin Schrödinger propuso una ecuación conocida como la ecuación de onda, que incorpora los comportamientos tanto ondulatorio como de partícula del electrón y cuantifica la energía de los estados energéticos para el electrón sobre la base de ciertos parámetros numéricos llamados números cuánticos. Los tres primeros números cuánticos son obtenidas como consecuencia de la resolución matemática de la ecuación de Schrödinger, mientras que el cuarto número cuántico lo introdujo Paúl Dirac en 1928, reformulando la ecuación de onda.
números cuánticos:
2
NÚMERO CUÁNTICO MAGNÉTICO (ml): Indica para el electrón el orbital donde se encuentra dentro de un determinado subnivel de energía. Para el orbital determina la orientación espacial que adopta cuando el átomo es sometido a la acción de un campo magnético externo.
ml l ,..., 1,0. 1,..., l
(n, l , ml , ms )
8.4
NÚMERO CUÁNTICO PRINCIPAL (n) Indica el nivel energético principal que ocupa el electrón y determina el volumen para el orbital Toma valores enteros positivos: 1, 2, 3, etc. Cuando aumenta (n), el orbital se hace más grande y el electrón pasa más tiempo lejos del núcleo.
NÚMERO CUÁNTICO DE SPIN MAGNÉTICO (ms): Se refiere al sentido de rotación del electrón sobre su propio eje. Los electrones que se ubican en un mismo orbital deben tener necesariamente spin opuesto.
n = 1 2 3 4 5 6 7,...∞ notación espectroscópica K L M N O P Q, … notación cuántica
ENERGÍA
NÚCLEO
1 2 3 4 5 6 7 …..
CAPAS
ESTABILIDAD
52
n
determina el nivel
n yl
determina n el subnivel
n, l y m l
determina n el orbital
n, l, m 1 y m s
determina n el electrón
9. CONFIGURACIÓN ELECTRÓNICA Consiste en ordenar los electrones en torno al núcleo en diferentes estados energéticos (niveles, subniveles y orbitales). Para configurar los electrones correctamente se consideran los siguientes principios: NIVEL
K 1 1s
SUBNIVELES
L
M
N
O
P
9.3 PRINCIPIO DE PAULI. Llamado el principio de exclusión. “No es posible la existencia de un átomo que tenga dos electrones cuyos cuatro números cuánticos sean iguales, deben diferenciarse por lo mínimo en el spin”. Los tres principios estudiados en la configuración electrónica se aplican a átomos no excitados.
Q
2 2s
3 3s
4 4s
5 5s
6 6s
7 7s
2p
3p
4p
5p
6p
7p
3d
4d
5d
6d
4f
5f
4
4
Ejemplo:
S2 = __
10. CONFIGURACIÓN ELECTRONICA KERNEL. Es la configuración de simplificación, haciendo uso la configuración electrónica de un gas noble
# subniveles
1 #orbitales Real
1
2 4
3 9
16
16
3 9
; S2__
2
2
He 1s 2
10
Ne 2 s 2 , 2 p 6
18
Ar 3s 2 , 3 p 6
36
Kr 4 s 2 ,..., 4 p 6
4
#orbitales teórico (n2)
1
#e- capacidad Real
2
8
18
32
32
18
8
54
Xe 5s 2 ,..., 5 p 6
2
8
18
32
50
72
98
86
Rn 6 s 2 ,..., 6 p 6
#e- capacidad Teórica: 2n2
4
9
16
25
36
49
El uso de la configuración simplificada consiste en usar a los gases nobles debido a la cercanía y lo más importante por la estabilidad química que estas presentan por tener sus octetos completos
9.1
PRINCIPIO DE AUFBAU (Principio de construcción). Los electrones se distribuyen en orden creciente de la energía relativa. ENERGÍA RELATIVA Se obtiene sumando los valores del número cuántico principal y el número cuántico secundario
GASES NOBLES
ER = n + l Propiedades: 1. A menor energía relativa, mayor estabilidad de los orbitales atómicos.
2He- 10Ne- 18Ar- 36Kr- 54Xe
4px 4py; 4pz ER= 5
F 1 :1s 2 , 2s 2 , 2 p 6
Ejemplo: 9 Para el catión primero se debe hacer la configuración electrónica de sus electrones que tiene antes de cargarse, después se quita los electrones según su carga. Ejemplo:
3. Si dos o más orbitales presentan igual suma “n+l” entonces su energía aumenta en el orden creciente de “n”.
Ej. 3d < 4p<5s
26 26
Fe3 Ar 4s 2 ,3d 6 primero Fe3 Ar 4s 0 ,3d 5después
12. CASOS ESPECIALES DE C.E. Los elementos que necesitan un tratamiento especial en la configuración de sus electrones son: 1 5 24 Cr Ar 4 s , 3d
9.2 PRINCIPIO DE HUND Llamado el principio de máxima multiplicidad. Establece que: “Ningún orbital de un mismo subnivel pueden contener dos electrones antes que los demás contengan por lo menos uno”.
p4
86Rn
11. C.E. SIMPLIFICADA (KERNEL) configuración electrónica de un anión se determina la cantidad de electrones totales (electrones ganados más electrones de su estado basal).
2. Los orbitales de un mismo subnivel son “degenerados” porque tienen la misma energía relativa.
Ejemplo:
-
px p y pz
53
42
Mo Kr 5s1 , 4d 5
29
Cu Ar 4 s1 , 3d 10
47
Ag Kr 5s1 , 4d 10
79
Au Xe 6 s1 ,..., 5d 10
46
Pd Kr 5s 0 , 4d 10
( ) Un orbital “d” en general tiene forma tetralobular. A) VFVF B) VVVV C) VFFF D) VFFV E) VFVV
Reglas que no cumplen: 2 8 28Ni: (18Ar)= 4s 3d
78Pt: (54Xe)=
4f
14
9
5d 6s
1
13. PARAMAGNETISMO. Propiedad que tienen las sustancias simples o compuestas de manifestar propiedades magnéticas por lo cual son atraídos por un campo magnético externo. Para las sustancias paramagnéticas es posible hallar la fuerza relativa de atracción por un campo magnético [susceptibilidad magnética (μ)]
3. Indica verdadero o falso según corresponda El número cuántico secundario define al orbital. El número cuántico principal define al orbital. El número cuántico magnético define al REEMPE. A) VVV B) FVV C) FVF D) FFV E) FFF
k k 2
4. ¿Cuántas proposiciones son incorrectas? I. El número cuántico azimutal indica la forma de la REEMPE. II. Si I=3 entonces es posible siete valores para el número cuántico magnético. III. Para un electrón del orbital 3pz: n=3 y I=1 IV. Un orbital “d” admite como máximo 10 electrones. V. El número cuántico spin, indica la traslación del electrón. VI. El electrón: n=4, I=2; m i=0; ms= ½ es de un subnivel f. A) 5 B) 1 C) 0 D) 3 E) 4
μ = momento magnético k = número de orbitales con electrones desapareados 14. DIAMAGNETISMO. Propiedad que tiene las sustancias simples o compuestas de no manifestar propiedades magnéticas aún en presencia de un campo magnético externo por lo cual son repelidos débilmente por el campo magnético. El momento magnético para las sustancias diamagnéticas es cero. 15. FERROMAGNETÍSMO. Es un caso extremo del paramagnetismo debido a que estas sustancias conservan sus propiedades magnéticas aún luego de retirar el campo magnético. Como por ejemplo, el hierro, el cobalto, el níquel, etc; los que, cuando se le somete a la acción de un campo magnético externo, sufren una atracción fuerte y se imantan en forma permanente.
5. Pronostica el tipo de orbitales que describe números cuánticos n = 5 y ℓ= 2 A) 5s B) 5p C) 5d D) 5f E) 5g
los
6. Número cuántico del último electrón
PROBLEMITAS 1. Con respecto a la estructura de la nube electrónica. Señala cuantas proposiciones son correctas: ( ) Los subniveles son regiones que contienen a los electrones que poseen la misma energía relativa ( ) Los orbitales son regiones de máxima probabilidad electrónica ( ) En los niveles, los electrones presentan alejamiento promedio respecto al núcleo ( ) Los orbitales de cualquier átomo se describen exactamente con la ecuación de onda de Schrödinger ( ) Los átomos excitados pueden tener más niveles que en estado basal A) 5 B) 4 C) 2 D) 1 E) 3
a) 1s
; 2s
b) 1s
; 2s
; 2p
c) 5s d) 2p ( ) 2, 1, 0, +½ ( ) 5, 0, 0, –½ 1. b, a, d, c C) b, a, c, d A) c, d, a, b
( ) 2, 0, 0, +½ ( ) 2, 1, +1, +½ B) d, b, c, a D) b, c, d, a
7. Indica la alternativa no falsa: I. El número cuántico principal toma los siguientes valores: 0; 1;2; 3... II. El valor del ℓ siempre es menor que “n”, a lo más podrá ser igual. III. El número cuántico magnético nos indica el sentido horario o antihorario del orbital. IV. El número cuántico spin nos indica el sentido de giro del electrón alrededor de su eje.
2. Marca verdadero (V) o falso (F) según convenga: ( ) Según Pauli dos electrones de un mismo átomo no pueden tener sus cuatro números cuánticos idénticos. ( ) El tamaño del orbital queda definido con el número cuántico azimutal. ( ) Los electrones antiparalelos tienen diferente “spin”
54
V. El número cuántico azimutal nos da orientación del orbital. A) I B) II C) III D) IV E) V
B) ns2=__ Aquí se viola el principio de exclusión de Pauli 2 C) La siguiente configuración electrónica viola 1s 2 6 1 2s 2p 3s , viola el principio de exclusión de Pauli. D) La configuración electrónica del átomo de plata 1 10 es Kr 5s 4d E) Dos especies químicas con igual número de electrones no necesariamente tienen la misma configuración
la
8. Número cuántico del penúltimo electrón
a) 5p6 ( 2 b) 5s ( c) 5d4 ( d) 5f8 ( A) c, d, b, a B) a,b,c,d
) 5; 3; 3; +½ ) 5; 2; 0; +½ ) 5; 0; 0; +½ ) 5; 1; 0; –½ C) d,b,c,a E) d, c, b, a D) d, a, c, b
15. La configuración electrónica de un átomo neutro en su estado basal es: 1s2 2s2 2p6 3s2 3p2
9. El átomo de un elemento presenta 4 niveles de energía y 9 electrones en la capa M. ¿Cuáles son los números cuánticos del penúltimo electrón en distribuirse en su catión monovalente? A) (4, 0, 0, -1/2) C)(3, 0, 0, +1/2) D)(4, 0, 0, +1/2) B) (3, 0, 0, -1/2) E) (3, 2, +2, +1/2)
A partir de esta información deduzca en el orden respectivo Número de electrones no apareados Número de electrones en la capa N Número atómico A) 4, 4, 14 B) 2, 2, 14 C) 3, 6, 28 D) 4, 2, 14 E) 2,0,14
10. Responda verdadero o falso a las siguientes aseveraciones. I. Los valores n, l, ml, corresponden a un sub nivel energético. II. Para algunos casos el N.C principal puede tener el mismo valor que el N.C azimutal III. El subnivel 4p tiene n= 4 y l= 0 IV. Un subnivel “d” puede aceptar 4eV. El orbital “p” aceptar 6eA) FFFVV B) VFVFV C) VVFVF D) FFFVF E) FFFFF
16. La configuración electrónica de un átomo termina 2 1 1 en 4px , 4py , 4pz , si en su núcleo existe 39 neutrones. ¿Cuál será su número de masa? A) 34 B) 39 C) 68 D) 78 E) 73 17. Un metal posee tres isótopos cuyos números másicos suman 120. Si en total tiene 57 neutrones. ¿Cuántos electrones tienen su catión divalente? A) 14 B) 28 C) 19 D) 32 E) 21
11. Indica el orbital más estable en: A) 5fXYZ B) 6PY C) 3 dz2 D) 4s
E) 2PX
18. Con relación a la configuración electrónica, determina la verdad (V) o falsedad (F) de las proposiciones: I. Se basa en el principio de AUFBAU II. Se distribuyen todos los electrones que tiene la especie química. III. Conforme aumenta el nivel aumenta la energía y disminuye la estabilidad del electrón. A) VVV B) VVF C) VFV D) FVV E) VFF
12. En relación a la configuración electrónica, indica lo incorrecto: I. Los elementos se distribuyen tomando en cuenta el orden decreciente de sus energías relativas II. En los orbitales los electrones se distribuyen buscando el máximo desaparamiento III. Cuando un átomo presenta todos sus orbitales llenos se denomina paramagnético. A) Solo I B) I, II y III C) II y III D) Solo III E) I y III
19. Halla la suma de las capacidades electrónicas teóricas máximas de las capas energéticas “P” y ”Q” A) 170 B) 122 C) 118 D) 200 E) 158
13. Halla el número atómico de un átomo que presenta 20 electrones en el sub nivel principal A) 30 B) 54 C) 48 D) 50 E) 38
20. El átomo de un elemento “J” tiene el mismo 3+ número de electrones que L , Si el átomo “J” posee sólo 6 orbitales apareados con energía relativa de 5. ¿Cuál es el número atómico de “L”? A) 39 B) 37 C) 31 D) 35 E) 47
14. ¿Cuál de las siguientes proposiciones, que a continuación se indica es incorrecta? A) np3=_ _ _ aquí se viola el principio de máxima multiplicidad
55
SEMANA 01 SISTEMA DE MEDIDAS ANGULARES A. Sistema de medida sexagesimal:
S: Número de grados sexagesimales del ángulo C: Número de grados centesimales del ángulo R: Número de radianes del ángulo Luego se cumple:
1v 360 Subunidades: 1': minuto sexagesimal 1": segundo sexagesimal Dónde:
S C R 180 200
1 60 ' 1' 60 " 1 3600 "
También:
S C 20R R 9 10
S 9 k; C 10 k; R
k 20
CONVERSIÓN DE ALGUNAS UNIDADES
B. Sistema de medida centesimal
1v 400g Subunidades: 1m: minuto centesimal 1s : segundo centesimal Dónde:
1g 100m 1m 100s 1g 10000s C. Sistema de medida radial a) Sistema Sexagesimal: Para pasar de una unidad superior a una inferior se multiplica por la equivalencia respectiva y para pasar de una unidad inferior a una unidad superior se divide entre la equivalencia respectiva.
1v 2rad Se cumple:
1rad 1 1g
3600
27 ' 50m 81 " 250
Grados
s
60 60
Minutos
60 60
Segundos
3600
TENER EN CUENTA QUE:
D. Relación sistemas
numérica
entre
los
b) Sistema Centesimal: Es similar al anterior de una unidad mayor a menor se multiplica y de una unidad menor a mayor se divide. 10000
tres
Grados
100
100
Minutos
100 100
Segundos
10000
FÓRMULA DE CONVERSIÓN: Si: S, C y R representan la medida de un mismo ángulo en los tres sistemas. Se cumplirá la relación:
Siendo: 56
07).Siendo S y C los números de grados sexagesimales y centesimales de un mismo ángulo que cumplen C 10S Calcula su número de radianes. A) B) o
CONVERSIÓN DE OTRA MANERA: Para convertir de un sistema a otro, lo que se tiene que hacer es que a la medida angular que se ha de convertir se le multiplica por una fracción, denominada factor de conversión. ....... .......
D)
Calcular:
rad
3
B) 20 E) 4
C) 10
a g am b ob ' ' '' amas bb B) 13600 E) 161 g
03).Si 3 40
m
04).Si a ob ' b o ab 1. A) 30 o1' D) 30 o 59 '
C) 2
B) 32 E) 39
72
C) 27
rad , determine el ángulo
B) 31o1' E) 31o
k1
, si se sabe que
3
k
18
E) 8 rad
rad
15
11).Siendo S y C los números de grados sexagesimales y centesimales de un mismo ángulo que cumple
C) 29 o 59 '
S
05).Se crea un nuevo sistema de medición angular, cuya unidad de medida es el grado k
rad
10).Siendo S el número de grados sexagesimales y C el número de grados centesimales de un mismo ángulo, calcule el menor valor que asume o 9 C rad . 3 S 10 o A) 59 B) 60 o C) 61o o o D) 62 E) 63
a o b ' c '' determine el valor
de a b c. A) 30 D) 36
5
09).Siendo S y R lo convencional para un mismo ángulo que cumple 3 R 2 R 2 Determina el valor de S. A) 60 B) 50 C) 40 D) 30 E) 20
02).Calcule el valor de la expresión:
A) 160 D) 162
6
rad 20 D) 65 rad 137
x 0 .5
A) 2 D) 8
8
08).Siendo S el número de grados sexagesimales de un determinado ángulo, que ' cumple 15 4 S 2 4 S Determina la medida de dicho ángulo en radianes. A) 9 B) 7 C) 5
PROBLEMAS PROPUESTOS 2 o g 01).Si:
C)
E)
10
Unidad que s e tie ne
3x 10 x
rad 2 o
15
5
Unidad que s e quie re
g
S
S
S ...
2C.
Determina el número de minutos centesimales de dicho ángulo. A) 70,5 B) 71,5 C) 72 D) 71 E) 72,5
equivale a la
quinceava parte de un ángulo rad 2
k
Exprese 1 en minutos sexagesimales. A) 110 ' B) 115 ' ' D) 145 E) 120 '
12).Siendo “S” y “C” lo números de grados sexagesimales y centesimales de un ángulo, para los cuales se tiene que:
C) 130 '
S 13 C 2 x2x 2 3
06).Siendo S y C conocidos para un mismo 1 c s 2 ángulo, tal que cumple c s determinar el número de minutos centesimales del ángulo. A) 250 B) 5000 C) 550 D) 900 E) 500
Calcular el valor de: E (3 x 2) A) 1 B) 0,5 D) 3 E) N .A. 57
1 x2
C) 2
20). Dos números que representan las medidas de un determinado ángulo en los sistemas sexagesimales y centesimales, respectivamente son S y C, siendo estos los catetos de un triángulo rectángulo cuya área numéricamente es igual a la media geométrica de dichos catetos .Halle la medida de dicho ángulo en radianes. A) 10 B) 10 C) 10
13).Si “S”, “C” y “R” son los números de grados sexagesimales y centesimales y radianes de un ángulo y están relacionados de la siguiente manera: 76 C 2 S 2 R 2 10 R 100
Hallar el ángulo en radianes A) / 2 B) / 10 D) / 100 E) N .A.
C) / 25
14).Siendo “x” e “y” los números de minutos sexagesimales y centesimales contenidos en un ángulo, calcula el valor de:
A) 1
B) 0,5
C) 2
D) 3
Se cumple que: A) A B C D) A B C
S C C S ..............1
xy 20 R ...........2 x y
E) N .A.
Donde S, C y R son los convencionales, calcula: x y A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4
B) B A C E) B C A
22).Si S° , es la medida del ángulo, determine la medida del ángulo en radianes, si:
C) C A B
S
16).La fórmula general de conversión de sistemas de medidas de ángulos consta de tres razones, la suma de ellas es igual a 3 / 4000 veces el cuadrado del número que expresa la medida del ángulo en grados centesimales. Halla el ángulo. A) 50 g B) 30 g C) 20 g D) 10 g E) N .A.
300 '
18).Si
m
23 100 A) 27 D) 540
m
120
2S 4C 6 R 3R C 57 5 ; 3R C 57 2S 4C 6 R 2 2S 3R 3C 57
107
Calcula el número de radianes del ángulo que cumple dicha relación. A) B) 3 C) 5
calcular
C) 270
x 1
A) 150º D) 104º
B r
rad , se obtiene:
B) 112º E) 120º
18
SECTOR CIRCULAR Es una porción de círculo limitado por dos radios y un arco comprendido entre ellos.
13 rad 1x º y3'1z ' ' . Luego al 125 en grados sexagesimales:
x z y 1
10 E) 7 40
5 D) 3 20
T
19).Si:
24).Si S, C y R son los convencionales y cumplen:
, calcula el valor de:
B) 81 E) 810
720
23).Si el suplemento del complemento de un determinado ángulo es 234,745°, entonces sí a b 'c '' , calcula: a b c A) 230 B) 140 C) 150 D) 160 E) 170
g
121
C)
360 E) 360
Siendo S y C dos números que expresan la medida de un mismo ángulo en los sistemas sexagesimal y centesimal. A) 4 B) 6 C) 103 D) 107 E) 105 5
B)
180 D) 180
5
1 1 1 1 ................. 3 15 35 63
A)
17).Exprese el equivalente de en radianes, si: S 5S ' C g 2C m ' Sm C
150
21).Dadas las condiciones:
3661o Ao B ' C '' 80
15).Si:
450
E) 10
300
54 x y 2 77 x
E
600
900
D) 10
O
C) 86º
r A
58
Del gráfico: Área del sector circular AOB:
ÁREA DEL SEGMENTO CIRCULAR Tener en cuenta que " " siempre debe estar en radianes para utilizar dichas fórmula
(A
) Seg Cir.
Del gráfico: r
AREA DE UN TRAPECIO CIRCULAR r
A
1 (R 2 r 2 ) 2
A
a 2 b h
PROBLEMAS PROPUESTOS 01).Calcula el radio de un sector circulas de longitud de arco 245 m , sabiendo que el número
ab h
9
de grados sexagesimales del ángulo central es numéricamente igual al radio. A) 30m B) 50m C) 70m D) 90m E) 77m
PROPIEDADES ADICIONALES 1. Del gráfico: L1
02).De la figura mostrada. Calcular: L 12 OB
A1
r
L2
A2
2
Centro
A
D
R O
r Se cumplirá la relación:
rad
7
8
R 2
; y en radianes
B
A) 20 D) 26
B) 22 E) 30
C) 24
2. Del gráfico:
A
3A
5A
03).La medida de un ángulo central de un sector circular de radio R es 48° y se desea disminuirlo 28° de tal manera que el área no varié si aumentamos el radio una longitud x. Calcule: 2R 15 5 x A) 3R B) 5R C) 7 R D) 9 R E) 10 R
7A
Si el radio de un determinado sector circular se prolonga en longitudes iguales, entonces las áreas de los trapecios circulares formados seguirán incrementándose siguiendo la siguiente serie: A, 3A, 5A, 7A, 9A, …….. ÁREA DE LA CORONA CIRCULAR (A Cor. Cir)
04).Se tiene un terreno que tiene la forma de un sector circular cuyo perímetro mide 1000 m . ¿Cuánto debe medir su radio para que tenga área máxima? A) 100 m B) 150 m C) 350 m D) 250 m E) 500 m
2b R
05).El área de un sector circular cuyo ángulo central mide 72º es de 45cm2 si duplicamos el radio de dicho sector y disminuimos rad a su
r
59
12).Si a un sector circular le cuadruplicamos su ángulo central y aumentamos 5 m a su radio, se obtendrá un nuevo sector circular que tiene un área que es 49 veces el área del sector circular inicial. Determine el radio del nuevo sector. A) 2 m B) 3 m C) 5 m D) 7m E) 9 m
ángulo central tal que el área del nuevo sector disminuye en un tercio del anterior, cuál debe ser el valor de en radianes A) B) C) D)
6 3
E)
10 5
18
06).Del gráfico, hallar “L”
13).La suma de las áreas de dos sectores circulares, cuyos radios son dos números enteros consecutivos es 17 2, si la longitud de arco para
L
6
60º
cada uno de los sectores es y
5
6
B)1/3 E)5
C)1/5
4 3
D)
07).Se tiene un sector circular de radio “r” y un ángulo central 36º. ¿Cuánto hay que aumentar el ángulo central de dicho sector para que su área no varíe, si su radio disminuye en un cuarto del anterior? A) 64º B) 100º C) 36º D) 20º E) 28º
B) 2
D) 2 y 8
E) 0,5 y 8
2 3
2
6
E)
2
3
6 7
el arco con un hilo de
de longitud este no
queda cubierto totalmente, faltando un acierta longitud de hilo. Pero si es cubierta con una longitud de 8 m, sobra una longitud igual a la 7
que faltaba anteriormente. Determine el radio de la lámina. A) 3m B) 4m C) 5m D) 6m E) 7m 15).Se tiene un sector circular AOB de ángulo central 37º, la distancia de AB es 4m, se traza un segmento TP( P sobre el arco AB) que varía de A hacia B y es paralelo a uno de los radios del sector en todo el segmento circular. Si TP es máximo halle el área del sector circular POB A) 37 2 B) 37 2 C) 37 2
09).La longitud del arco correspondiente a un sector circular disminuye en un 20%. ¿Qué ocurre con el área de sector circular? A) Aumenta en 5% B) Disminuye en 5% C) No varía D) Falta información E) Disminuye en 20% 10).Calcular la medida del ángulo central en radianes de un sector circular tal que su perímetro y área son 20m y 16m2 respectivamente.
2
2
14).Se tiene una lámina en forma de sector circular cuyo ángulo central mide rad, al cubrir
08).El ángulo central de un sector mide 80º y se desea disminuir en 75º; en cuanto hay que alargar el radio del sector, para que su área no varíe, si su longitud inicial era igual a 20cm. A) 20 cm B) 40 cm C) 60 cm D) 80 cm E) 100 cm
A) 0,5
para el de
menor y mayor radio respectivamente. Calcular la diferencia de las áreas de estos sectores. A) 5 2 B) 3 2 C)
L
A) 1 D)3
2 3
D)
9 53 18
2
18 53 2 9
E)
16).De la figura, calcule P
C) 8
36
S1 S2
S1: área del sector AOD S2: área del sector COB
11).Del gráfico hallar “x+y”
C
D
x
0
a
B
A
Y
A)
A) a
B) 2a
D) 4a
E) 5a
C) 3a
D)
60
2
B)
E)
2
C)
17).El ángulo central de un sector circular AOB es a rad; en el arco AB se toma un punto P tal que LBP = 2LAP y se crea con esto un paralelogramo ONPM. Halle el área del sector circular NPR (P: centro) tal que:
21).Dos ángulos centrales de una circunferencia cumplen: I. Son suplementarias II. La diferencia de la longitud de los arcos que subtienden es 2 cm. III. La razón entre la medida de los ángulos es
N OA; M OB; R MPyON b 1 1 3 A) b 2 B) b 2 C) b 2 4 2 4 1 1 D) b 2 Sec 2 E) b 2 Sec 2 8 3 2 3
4 , halle (en cm) la longitud del radio
de la circunferencia.
2 4
A)
C)
18).En la figura mostrada, determine el perímetro de la región sombreada.
B)
4
7 4
2 4
R A) 6 5R D) 3
9 4
D)
R B) 3 7R E) 6
2 4
E)
5 4 4
23).En la figura mostrada, si mAOB=90º, DAC, EBC y AOB son sectores circulares y AO = OB = R. Calcule el área máxima de la región sombreada.
5R C) 6
A
19).Un sector circular de radio r y un central . Si el área es (Am2) y además es constante y el perímetro es mínimo. Halle r (en m) y (en rad.) A) A ; 2
A;1
4
22).Las áreas de un sector circular y la región encerrada por un cuadrado son iguales y además de igual perímetro; determine el número de radianes del ángulo central de dicho sector. A) 0,5 B) 0,75 C) 1 D) 1,5 E) 2
R
D)
3 4
B) E)
A ;2
C
3 A; 2
C)
D
A; 1/ 2 O
20).Calcula el área de la superficie sombreada, si A es el centro del sector circular BAE y ABCD es un rectángulo. B
1
A) 1
C
D) 2
2
E
R 4 2
B) 2
2 R 4
E) 1
2
R2 4 2
C) 1
B
R 4
2
R2 4 4
SEMANA O2 APLICACIONES MECÁNICAS Número de vueltas, distancia y ángulo recorrido por una rueda ( aro, disco, …) sobre una superficie plana
A
1 4 3 3 6 1 C) 3 2 3 6 1 2 3 2 E) 6 A)
D
E
1 2 3 3 3 1 D) 3 2 2 6 B)
r
P
61
d
Q
L1 L 2 ( R) ( r ) n1( R ) n 2 ( r )
n : Número de vueltas que realiza la rueda al ir desde el punto P hasta el punto Q.
n
n
g 360º
d 2 r
g
400
g
n1 : Número
g
de vueltas que gira la rueda de
radio “R” n2 : Número de vueltas que gira la rueda de radio “r”
2 rad
g : Ángulo
de giro en radianes al ir desde el punto P hasta el punto Q. g
II) Poleas: Nos indica que la longitud recorrida por un punto del borde de una polea será igual a la longitud recorrida por un punto de la faja y por ende igual a la longitud recorrida por otro punto de la polea a la cual está conectada.
d r
d : Distancia recorrida por la rueda, esta distancia debe ser la longitud recorrida entre sus centros. d = 2r n
L2
Número de vueltas, distancia y ángulo recorrido por una rueda sobre una superficie curva.
L fa
L2
r
d : Longitud recorrida entre sus centros
r
R
r
L fa
L1
R
r
L 1 L 2 L fa ( R) ( r ) n1( R ) n 2 ( r )
d Número de vueltas: n
2 r
n
g 360º
400
g
g
n1 : Número
g
III)Transmisión por un eje: Nos indica que si dos ruedas están conectadas mediante un eje de rotación común, entonces los ángulos centrales descritos son iguales, es decir:
d r
TRANSMISIÓN DE MOVIMIENTOS Los sistemas mecánicos, los cuales nos permiten transmitir movimientos pueden realizarse debido a un contacto entre sus elementos o mediante la unión de ellos a través de una faja o un eje común.
L1 L2
r
r R n1 r n 2 R
.
L1 L2
r
R
I) Engranajes: Nos indica que las longitudes de arco determinados por dos puntos al girar un determinado ángulo en cada uno de los piñones serán iguales.
R
de vueltas que gira la rueda de
radio “R” n2 : Número de vueltas que gira la rueda de radio “r”
2 rad
d = 2r n
Distancia recorrida: Ángulo de giro:
g
L1
n1 : Número
.
Eje comun
L1 L 2 R1 r2
de vueltas que gira la rueda de
radio “R” n2 : Número de vueltas que gira la rueda de radio “r”
62
DESPLAZAMIENTO DE UNA RUEDA SOBRE UNA SUPERFICIE CIRCULAR Cuando la rueda (aro, disco,….) se desplaza sobre una superficie circular se presentan dos situaciones: I. Si la rueda se desplaza exteriormente a la superficie circular.
03).Del sistema determinar cuántas vueltas gira la rueda C, cuando la rueda A da 12 vueltas.
L
A) 15
r R n
(R r) 2r
C) 30
D) 42
E) 45
04).Los radios de la rueda de una bicicleta son (x +1) m y (x-1). Si la rueda mayor da (x-2) vueltas y la menor (x-1) vueltas, ¿cuántas vueltas en total darán las dos ruedas? A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5
r
B) 25
05).Una bicicleta recorre 40 cm. Si los radios de sus ruedas miden 2cm y 5cm respectivamente. Calcular la suma del número de vueltas que dan dichas ruedas. A) 14 B) 15 C) 16 D) 18 E) 20
L (R r)
n : Número de vueltas que realiza la rueda de radio “r” L : Longitud recorrida por la rueda menor entre sus centros. II. Si la rueda se desplaza interiormente a la superficie circular.
06).Calcular la longitud de arco recorrido por “A”, si la longitud de arco recorrido por “C” es 12. (RA = 1; RB = 4; RC = 3)
R r
r A) 12 D) 15
L n
( R r ) 2 r
L (R r)
PROBLEMAS PROPUESTOS 01).En la figura, se muestran dos ruedas fijas A y B; cuando A gira (2n – 4), B gira (3n + 4) vueltas. Calcula “n”.
B) 7 E) 17
C) 14
07).De la figura mostrada determinar cuántas vueltas da la rueda de radio “r” sobre la pista circular de centro “O”, al recorrer el tramo AB (R = 9r). A) 1 B) 1,5 C) 2 D) 2,5 E) 3
n: Número de vueltas que realiza la rueda de radio “r” L : Longitud recorrida por la rueda menor entre sus centros.
A) 5 D) 12
B) 13 E) 16
08).¿Cuántas vueltas da la rueda en ir desde “A” hasta “C”?, sabiendo que AB= 13m.
C) 10 A) 1,5 D) 4,5
02).Se tiene dos ruedas en contacto cuyos radios están en la relación de 2 a 5. Determinar el ángulo que girará la rueda menor, cuando la rueda mayor de 4 vueltas. A) 4 B) 5 C) 10 D) 20 E) 40
B) 2,5 E) 5,5
C) 3,5
09).Se tiene dos ruedas en contacto, cuyos radios se encuentran en la relación de 5 a 2. Determine cuántas vueltas dará la rueda menor, cuando la mayor de 4/5 dé vuelta. 63
A) 1 D) 4
B) 2 E) 5
C) 3
rueda barre un ángulo de 64 rad. Calcule cuál es el radio del circuito en m si el radio de la rueda es de 0,125 m. A) 8 B) 10 C) 12 D) 14 E) 16
10).Calcular el número de vueltas que da la rueda de radio “R”, al trasladarse desde “P” hasta chocar con la pared.
A) D/2R D) D-R/R
B) D/R E) D-2R/2R
16).Dos ruedas cuyos radios miden 15m y 3m recorren espacios iguales ¿cuánto debe medir el radio de una tercera rueda, para que recorriendo el doble del espacio de las anteriores realice como número de vueltas, cinco veces la diferencia de las otras dos. A) 1m B) 1,25 m C) 1,5 m D) 1,75 m E) 2m
C) D-R/2R
11).Dos ruedas de radios R y r, tal que: R > r, recorren la misma longitud L. Si la diferencia de número de vueltas de la menor y la mayor es L 8 r
17).En el sistema adjunto cuando el engranaje de menor radio gira 1.25 vueltas, ¿cuál será la distancia entre los puntos “A” y “B”, si inicialmente están diametralmente opuestos.
,entonces al evaluar: r , se obtiene:
A) 3
B)
D)
E)
4 3 5
R 1 4 1 6
C) 1 2
12).Si una rueda de radio “6a” se mantiene fija y otra rueda de radio “a”, puede girar alrededor de ella. ¿Cuantas vueltas dará la rueda pequeña si parte y llega al mismo punto por primera vez? A) 3 D) 6
B) 4 E) 7
B) 6
D) 2 13
E) 2 15
18).De la figura mostrada determinar el número de vueltas que da la rueda de radio “r” en su recorrido de A hasta B (R=7r).
C) 5
13).Dos ruedas de radios R y r (R > r) recorren la misma longitud L. Si la diferencia del número de vueltas de la menor y la mayor es L/8r.
Calcule A) –1 D)
1 2
r A
r 2 1 Rr 4 M Rr
B)
4
C) 2 11
A) 4
R
135º
B
r
R
C) 0 A) 2 D) 5
B) 3
C) 4
E) 6
E) 2 19).Los radios de las ruedas de una bicicleta, son entre sí como 3 es a 4. Calcular el número de vueltas que da la rueda mayor cuando la rueda menor gire 8 radianes. A) 2 B) 3 C) 4 D) 6 E) 8
14).Se tienen tres poleas de radio 1u, 2u y 3u respectivamente en un mismo plano, cuyos centros forman un triángulo equilátero cuya longitud es 29u. Además dichas poleas se encuentran conectadas por una faja. Si la polea de radio 3u da 3 vueltas, halle la suma de los ángulos girados por las otras poleas. A) 18 rad B) 9 rad C) 12 rad D) 24 rad E) 27 rad
20).Calcular el espacio que recorre una bicicleta, si la suma del número de vueltas que dan sus ruedas es 80. Se sabe además que los radios de las mismas miden 3u y 5u. A) 100 B) 200 C) 250 D) 300 E) 500
15).Una bicicleta en un circuito circular recorre un ángulo central del circuito igual a
2 rad y su 3
21).Cuánto avanza la rueda de la figura adjunta si el punto “A” vuelve a tener contacto otras 7 veces 64
y al detenerse el punto “B” está es contacto con el piso (r=12u).
A) 6 cm 5
B
C
B) 7 cm 2
120º
2 3
C) 5 cm D) 3 4 3
A
A) 88 D) 168
B) 92 E) 184
C) 172
E)
22).Se tienen dos ruedas en contacto cuyos radios están en la relación de 2 a 5. Determinar el ángulo que girará la rueda menor, cuando la rueda mayor de 4 vueltas. A) 4 B) 5 C) 10 D) 20 E) 40
"44n"
r 1m
7
E
8m
5m
A 5m B A) 125 D) 295
B) 175 E) 376
A
B
98 3 6
C) 267
24).En el sistema mostrado, si la rueda A da
3 4
de vuelta, entonces la longitud recorrida la por la rueda C es:
Observaciones Importantes En todo ABC (recto en B)
B
mA + mC = 90°
2
8
60º
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULO AGUDOS La razón trigonométrica de un ángulo agudo se define como el cociente que se obtiene al dividir las medidas de las longitudes de sus lados del triángulo rectángulo que lo contiene con respecto a este ángulo agudo. De esta manera, con respecto a un mismo ángulo agudo, podemos obtener seis distintos cocientes para los cuales se define:
Asumir que: 22
C 5m D
26).Un hexágono regular ABCDEF, gira respecto al vértice A, hasta que el punto F se encuentra en la diagonal AD, de la posición primera. ¿Qué longitud recorre el vértice C, si el perímetro del hexágono es 36 cm. A) 3 5 B) 2 2 C) 3 D) 3 3 E) 5
23).En la figura mostrada se sabe que n es el número de vueltas que da la rueda de radio r 1 m al ir del punto A hasta el punto E, sobre la superficie indicada. Se pide determinar el valor de:
5
Teorema de Pitágoras En todo ABC (recto en B) se cumple: a2 + c2 = b2
6 A
C
A) 3,6
B) 36
D) 18
E)
PROPIEDADES DE TRIGONOMÉTRICAS
C) 1,8
9 4
LAS
RAZONES
A.Razones recíprocas Sen A Csc A 1 Cos A Sec A 1 Tan A Cot A 1
25).En la figura se tiene un triángulo rectángulo ABC recto en B, calcular la longitud que recorre el vértice C si se gira al triángulo (en el sentido indicado) una vuelta.
B. Razones complementarias (Co-razones) De las definiciones; se observa: 65
Sen A Cos C Tan A Ct gC Sec A Csc C
ÁREA DE UNA REGIÓN TRIANGULAR El área de un triángulo cualesquiera se puede conocer conociendo dos lados y el ángulo comprendido entre ellos.
m A m C 90
B
RT() CO RT(90 )
En general:
a h
TANGENTE Y COTANGENTE DEL ÁNGULO MITAD A Csc A Ctg A 2
Tan
Ctg
C
Área
c
A
b
abSenC bcSenA acSenB 2 2 2
ÁREA DE UNA REGIÓN CUADRANGULAR
A Csc A Ctg A 2
TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS NOTABLES A. Exactos 45º k 2
60º 2k
1k
45º
S 1k
PROBLEMAS PROPUESTOS 01).En un triángulo rectángulo ABC (recto en B).
30º
1k
k 3
2 Reducir: E (a b ) 2ac
B. Aproximados
5k
37º
1 mnSen 2
A) a2 D) 1
53º
25 k
3k
1 cosC 1 cosC
B) b2 E) 0
C) c2
74º
02).Del gráfico calcular BC siendo: AC 5 3
7k
B
16º 4k
24 k
30° A
37°
C
B) 5 - 3 E) 3 + 33
A) 4 - 23 D) 2 + 33 RESOLUCIÓN DE RECTÁNGULOS Resolver un triángulo rectángulo lados cualesquiera a partir de conocidos (un lado cualquiera ángulos agudos).
TRIÁNGULOS
03).Si: Sec
es calcular dos dos elementos y uno de los
Calcular: A) 5 D) 10
Forma de resolver:
M
37 35
C) 4 + 33
( es agudo)
1 cos Sen
B) 6 E) 12
C) 3
04).De la figura calcular AB en términos de y R.
Lado incognita = R.T. () Lado dato
B R A A) R sen D) R sec 2 66
D
O
B) R cos E) R csc 2
C C) R tan2
12).En la figura que se indica: “O” es el centro de la semicircunferencia y CD = 5AC. D 2 V tan 5 Hallar: A)2 B)3 C C)4 D)5 E)6 A B O
05).Del gráfico calcular Ctg.
A
C
M B
37°
D
A) 1/2 D) 4/3
B) 1/3 E) ¾
C) 1/4
06).En un triángulo ABC recto en “C” se tiene que: Tan B = cos A (4 – csc A) Hallar sen A. 1 A) 22 B) – 1 C) 2 D) 1
E)
13).En un triángulo de perímetro 420 se tiene que: tan A = 7/24 y tan B = 5/12. Hallar la superficie del triángulo. A) 3570 B) 1690 C) 7280 D) 4350 E) 1500 14).Dado un triángulo rectángulo ABC, recto en C (A > B). Determinar el valor de la altura relativa a la hipotenusa, si la longitud de la hipotenusa es de 162m y además: Sec(A – B) = 1,5 A) 60,75m B) 27m C) 54m D) 18m E) 36m
3 2
07).En un triángulo rectángulo (recto en B); se cumple: secA secC = 2,5 Calcule: M = (sena + senC)2 A) 7/5 B) 9/5 C) 3/5 D) 4/5 E) 1/5
15).Si: sen (x + sen x) – cos (y + cos y) = 0 Calcular:
08).Los lados de un triángulo rectángulo están en progresión aritmética. Calcule el coseno del mayor ángulo agudo A) 1
2
D)
4 5
B)
2 2
E)
3 2
C)
A
3 5
A) –1 D) 2
09).En un triángulo rectángulo el producto de secantes de sus ángulos agudos es 4. Calcule la tangente del mayor ángulo agudo A) 2 B) 3 C) 1 D) 2 + 3 E) 2 - 3
Calcular: F
5
A)
15 6 136
D)
6 138
B)
C)
B) 3/2 E) 2/3
C) 3/4
17).ABCD es un cuadrado de lado EA.
sabiendo que A<45º
35 6 138
C) 1
sen 6x . cos 3x . tan 7x . sec 5x csc 4x . cot 2x
A) 1/2 D) 1/4
triángulo relativa a la hipotenusa. tg 2A 2
B) 0 E) 3
16).Si: sen (x + 25°) . Sec (2x + 35°) = 1
10).En un triángulo rectángulo ABC (recto en C) se cumple que h b , donde h es la altura del Determine L =2tgA+
sen( x y) tan(senx cos y) cos(senx cos y) cot(x y) cos(x y) cosc (senx cos y)
4 6 19
A
6m
, Hallar
B
E) 2
11).En un triángulo rectángulo ABC recto en B la suma de sus lados mayores es 27cms y la diferencia de sus lados menores es 3cm. Calcular: V = 4 tan A + 3 tan C A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) 8
D
15º
C
30º
E
A) 3 D) 6
67
B) 4 E) 7
C) 5
23).Si AB CD y demás CD = 2u y AB = 6u. Calcular M Csc 2Ctg , siendo O centro de la semicircunferencia. C D
18).En un triángulo rectángulo con ángulo recto
A 2 C 1 c cot 2 2 2
en B se cumple: a2cot
α
Si el perímetro del triángulo es 1u, halle la longitud de la hipotenusa (en unidades u) θ
5 2 4 5 D) 4 A)
5 2 2 3 1 2
B) E)
5 1 2
C)
A
A) 4 B) 3 2 C) 7 D) 5 E) 2 3 24).En un triángulo ABC (B = 90°) se traza la mediana AM y luego la mediana AN del triángulo ABM prolongándola hasta P tal que PM AM . S: mBAC = 53° y AC = 5. ¿Cuánto mide la perpendicular trazada de “P” a BC ?
19).En la figura; la circunferencia de centro “O”. ABCD, rectángulo inscrito en la circunferencia, AB = a; RS // AB, mARD =. Hallar el radio de R la circunferencia. A) a/2 csc B C
A) 3/10 D) 3/11
B) a/2 sec O
C) 2a cos D) a sen
A
B) 6/11 E) 5/6
S
20).Se tiene un triángulo ABC, en el cual se
A)
trazan las alturas AD y CF cortándose en el punto H, de modo que AH = 3HD, halle tanB. TanC. A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5
1 4
B)
D) 1
1 2
R .r
E
A)
sen 1 cos
D) ctg (45° +)
O
B) 2/27 E) 7/27
B)
cos 1 sen
2
C) tan (45°+)
E) 1 + tan (45°+)
27).En un triángulo ABC se toma el punto “M” en BC tal que: 2CM = BC. Calcular la cotangente del ángulo BAM en términos de A y B A) TanA + tanB B) 2tanA + tanB C) cotA + cotB D) 2cotA + cotB E) tanA + cotB
D
A) 3/7 D) 4/27
5 4
E) 2
C
A
C)
26).De la figura, hallar R/r en términos de “”
21).Hallar: Tan sabiendo que: m CBE = , CD = 8 y m CAD = 53º
B
C) 1/3
25).Una semicircunferencia de radio ( 3 + 1) se divide en treinta arcos iguales. Calcular la proyección del arco comprendido entre la quinta y décima división sobre el diámetro horizontal.
D
E) a/2 cos
B
O
C) 5/27
22).Calcular: Tan Tan
B
28).En un triángulo rectángulo ABC (recto en B) se traza la bisectriz AD relativa al lado BC . Si AD = m, halle tg
A en función de los lados del 4
triángulo.
A A) 1/2 D) 2/3
2
D B) 1/3 E) 3/8
3
C
A)
C) 1/4 68
m2 (a b)(a c)
B)
ac (b c)(m c)
C)
ab (b c)(m c)
E)
ab (a c)(m c)
D)
m2 (m c)(b c)
29).La siguiente figura es un cubo. Calcular: A = 5 cos + 3 cos E A) 2 B) 5 D C) 6 C D) 7 E) 8 H A
F
A) 3 – 1 D) 3 + 1
G
R
C) 3 + 3
SEMANA 03
B) R2 csc E) 2R2 csc
B) 2 + 3 E) 33 + 1
34).Desde la parte más alta de un poste se observa en el suelo a dos piedras separadas una distancia de 10m con ángulos de depresión de 45º y ( para la piedra que se halla más cerca al poste). Calcular la tan si la altura del poste es de 30m, además ambas piedras se hallan a un mismo lado del poste. A) 1 B) 1,5 C) 2,5 D) 3 E) 4
30).Calcular la superficie del trapecio isósceles mostrado.
A) 2R2 sec D) R2 sec
x
2
B
45°
30°
DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS DEL PLANO CARTESIANO Sean P1 x1; y1 y P2 x2 ; y2 dos puntos del
C) 4R2 csc
31).Dos edificios de alturas H y h (H > h) están separados una distancia “d”. Desde el punto más alto del edificio de altura H, se observa la parte más alta y más baja del otro edificio con ángulos de depresión de 30° y 60° respectivamente. Hallar: H/h. A) 5/2 B) 8/3 C) 3/2 D) 6/5 E) 4/3
plano cartesiano, entonces la distancia "d" entre los puntos y está dada por:
32).Los ángulos de elevación de la cúspide de una torre vistos desde dos puntos situados en línea recta con el pie de la torre son de 45° y 30° respectivamente. Si la distancia entre los puntos de observación es de 60 m. La altura de la torres es. A) 603 B) 60 C) 1603 3 1
segmento de extremos P1 x1; y1 y P2 x2 ; y2 tal
D)
3 2 60
d
x2 x1 y2 y1 2
2
DIVISIÓN DE UN SEGMENTO EN UNA RAZÓN DADA: Sea P0 x0 ; y0 un punto cualquiera sobre un que:
P1P0
a (razón ) b
P0 P2
y
E) N.A
b
33).Un reflector situado al ras del suelo ilumina un monumento bajo un ángulo de 30°, se traslada el reflector a 2 m más cerca del monumento y éste se ve bajo un ángulo de 45° ¿Cuál es la distancia del monumento al segundo lugar de iluminación?
a
P (x ;y ) 2 2 2
P (x ;y ) 0 0 0
P (x ;y ) 1 1 1
x Las coordenadas de P0 son:
69
x0
ax 2 bx1
y0
a b
La pendiente de una recta “L” se denota por “m” y se define como la tangente de su ángulo de inclinación “ ”. Es decir: m = tan
ay 2 by1 a b
y
L
PUNTO MEDIO DE UN SEGMENTO Las coordenadas del punto medio M del Segmento de extremos P1 x1; y1 y P2 x2 ; y2
30° 0
m = tan30° x
m=
3 3
Se calcula así: y P (x ;y ) 2
2
2
x0
x 1 x2 2
y0
y1 y2 2
PROPIEDAD: Si una recta “L” pasa por los puntos P1(x1;y1) y P2(x2;y2) la pendiente “m” se calcula como sigue:
M(x ;y ) 0
0
P (x ;y ) 1
1
1
x
L
COORDENADAS DEL BARICENTRO DE UN TRIÁNGULO En el triángulo cuyos vértices son A x1; y1 , B x2 ; y2 y C x3 ; y3 . y
P2(x2;y2)
m=
P1(x1;y1)
y2 - y1 x2 - x1
C( x ;y ) 3
3
G
ECUACIÓN DE UNA RECTA Si P(x;y) es un punto cualquiera de una recta “L” y P1(x1;y1) es un punto conocido de ella, entonces la recta “L” queda determinada mediante la ecuación:
B(x ;y ) 2
2
A(x ;y ) 1
1
x
Las coordenadas del baricentro están dadas Por:
m
x x 2 x 3 y1 y 2 y 3 G 1 ; 3 3
x y 2 1 x 3 y 2 xy 1 3
C(x ;y ) 3 3
S
B(x ;y ) 2 2
x1
1 1
x
PROPIEDADES I. Dada la ecuación de una recta: Ax + By + C = 0, su pendiente “m” se calcula como
A B II. Si dos rectas “L1” y “L2” son paralelas entonces sus pendientes son iguales. sigue: m
x3 x1
A S
L2
L1
y1 y 2 x1 y 2 y3 x 2 y 3 y 1 x 3 y1
x2
B Luego :
A(x ;y )
Forma punto pendiente
Esta ecuación la convertimos a una expresión lineal y resulta: Ax + By + C = 0 forma general
ÁREA DE UNA REGIÓN TRIANGULAR Para calcular el área "S" de una región Triangular, se colocan las coordenadas de uno de los vértices y seguimos el sentido anti horario hasta cerrar la figura y volver a colocar el primer vértice escogido, finalmente, se procede como a continuación se indica. y
y y1 x x2
AB 2
L1 // L2
m1 = m 2
III. Si dos rectas “L1” y “L2” son perpendiculares entre sí, entonces el producto de sus pendientes es -1.
PENDIENTE DE UNA RECTA
70
L2
L1
02).Las coordenadas de las vértices de un triángulo son A (a + 2, 4 – b); B (9; b + 3); C (7 – a; 11). Determine las coordenadas del baricentro A) (3; 3) B) (a; b) C) (a + 3; b + 3) D) (6; 6) E) (6; 9)
m1 . m2 = -1
L1 L2
03).Dados tres vértices de un paralelogramo A (3; –5) B (5; –3) C (–1; 3).Determinar las coordenadas del cuadro vértice "D" A) (1; 0) B) (–3; 1) C) (2; 0) D) (1; 1) E) (0; 2)
ANGULO ENTRE DOS RECTAS Sean L1 y L2 dos rectas no verticales cuyas pendientes son m1 y m2 respectivamente; si es el menor ángulo formado por dichas rectas; entonces: tan
m2 m1 1 m1 .m2
04).Del grafico mostrado, coordenadas del punto Q.
DISTANCIA DEL PUNTO A LA RECTA Sea: Ax By C 0 la ecuación general de una recta y (x1;y1) un punto exterior a ella; la distancia de este punto a la recta se obtiene del modo siguiente:
A) 3; 11 4
B) (1; 5)
D) (3; 9)
E) 8; 1 5
determine
las
C) 2; 1 3
05).La distancia entre los puntos (2, –1) y (5; –5) es la misma que entre los puntos (–3; 0) y (x; 0). Hallar los valores de "x" A) {–3, 4} B) {3, –7} C){2, –3} D) {–7, 1} E) {–5, 1} 06).Del grafico calcular las coordenadas de A, si la abscisa de T es 8 y RITA es un cuadrado
DISTANCIA ENTRE RECTAS PARALELAS Sean L1 : Ax By C1 0 y L2 : Ax By C2 0 . Las ecuaciones de dos rectas paralelas; la distancia entre estas rectas se determina del modo siguiente: A) (5; 6) D) (14; 6)
d
B) (10; 8) E) (8; 2)
C) (12; 6)
07).Hallar la altura del triángulo ABC, relativa al lado si:A (–2,5); B (–2; –8); C (3; 17) A) 2 B)3 C)4 D) 5 E)6
C2 C1 A 2 B2
08).Si A (–2,3) B (1; 6) y C (4; n) son colineales, calcular "n" A) 6 B)7 C)8 D) 9 E) 10
PROBLEMAS PROPUESTOS 01).Identifica el punto en el eje de ordenadas que equidista de los puntos A (3; 1) y B (6; 4) A) (0; –1) B) (0; –2) C) (0; 8) D) (0; 7) E) (0; 3)
09).Dados los puntos P (1; 1) y Q (10; 2) hallar sobre el eje de las abscisas el punto M de tal manera que la suma de las distancias, hacia los puntos P y Q sea mínima. 71
A) (2; 0) D) (5; 0)
B) (3; 0) E) (3,5, 0)
10).En la figura mostrada, coordenadas del punto "E"
C) (4; 0)
determina
las
A) 11/3 D) 3
B) 14/3 E) 13/3
C) 14/3
18).Halla la ecuación de una recta cuya pendiente es (–3) y que pasa por el punto (5, 8). A) (1; 2) D) (6; –1)
B) (3, –2) E) (–3; 5)
C) (6; –3) A) =0 C) =0 E)
11).Calcular la longitud de la mediana relativa al lado mayor del triángulo ABC. A (3; 1) B (–3; –1) C (1; 6) 73 A) B) 181 C) 37 2 2 21 D) E) 79 2 2 12).Se tiene el paralelogramo ABCD donde: A (– 4; –2) B (3; –2) y C (5; b). Hallar las coordenadas del punto D. Sabiendo que se tiene como área 56m 2 y b 0 A) (–2; 0) B) (–2; 6) C)(6; –2) D) (–6; 2) E) (2; 6)
A) D)
3x – y – 21 = 0
D)3x – y + 21
3x + y + 20 = 0
1 1 ; 3 3 2 3; 3
B)(6,–1)
C) 5; 1 3
E) (1, –1)
20).Determina la naturaleza del triángulo cuyas coordenadas de los vértices son A (3, 8), B (–11, 3) y C (–8, –2). A) Rectángulo-isósceles B)Rectángulo C) Isósceles D) Equilátero E) Escaleno
14).Si el punto P (m, m+1) equidista de los puntos A (2,1) y B (–6,5), calcula: m – 1. A) –5 B) –6 C) –7 D) –8 E) –9 15).Calcular el área de una región triangular formada por la recta 3x - 5y - 60 = 0 y los ejes cartesianos. A) 105u2 B) 110u2 C) 115u2 D) 120u2 E) 125u2
21).Se tiene un triángulo ABC. Tal que A (-2, -3), B (1, 1), C (1, 3). Calcular la longitud de la bisectriz del triángulo que parte del vértice B.
17).La ordenada de un punto es (8) y su distancia al punto B (5, –2) es 2 41 . Calcula la abscisa del punto. A) 13 B)–13 C)3 D) –3 E) Hay 2 respuestas. AP
B)3x + y – 23
19).Observa la figura e indica las coordenadas del punto P
13).Señala cuál no pertenece a la recta: y – 3x + 8 = 0 A) (–4, –20) B) (0, –8) C) (3, 1) D) (2, –4) E) (–1, –11)
6).De la figura
3x + y + 23 = 0
A)
10 7
B) 2 10 7
D)
4 10 7
E)
C) 3 10 7 5 10 7
22).Hallar la ecuación de una recta de pendiente -0,75 y que forma con los ejes cartesianos un triángulo de área 24u2. A) 3x + 4y + 6 = 0 B)3x + 4y + 8 = 0 C) 3x + 4y + 12 = 0 D)3x + 4y + 16 = 0 E) 3x + 4y + 24 = 0
26 3
Calcular las suma de las coordenadas del punto "P" 72
30).Dadas las rectas L1: 2x - y + 4 = 0 y L2: x + 2y + 1 = 0. Determine la ecuación de la recta bisectriz L (pendiente positiva) del ángulo que forman L1 y L2. A)3x - y + 3 = 0 B) x - 3y + 3 = 0 C)2x - y + 3 = 0 D)3x - 2y + 1 = 0 E) x - 3y - 3 = 0
23).Se tiene un triángulo ABC donde A (3,7) B (2,-3) C (-1,4). Calcular la longitud de la altura del triángulo que parte del vértice B. A)
3,4 5,4
D)
6,4
B) 4,4
C)
E) 7,4
24).Hallar la proyección del punto P (-8,12) sobre la recta que pasa por los puntos. A)
(5,12)
D)
(12,-5)
B) (-12,5)
CIRCUNFERENCIA Es el lugar geométrico de todos los puntos del plano que equidistan de un punto fijo A este punto fijo se le denomina centro y la distancia constante se le llama radio de la circunferencia.
C) (5,-12)
E) (-5,-12)
25).Hallar la ecuación de la recta que es perpendicular a la recta L1: 3x - 4y + 11 = 0 y
ECUACIONES DE LA CIRCUNFERENCIA
que pasa por el punto P (-1,-3)
1).Ecuación canónica
A)
4x + 3y + 13 = 0
B)4x + 3y + 12 = 0
C)
4x + 3y + 11 = 0
D)4x + 3y + 10 = 0
E)
4x + 3y + 9 = 0
26).Se tiene un triángulo ABC con A (2,-1); B (1,2); C (3,3) y G = Baricentro además mGAB calcular tan A)
9/5
B) 5/9
D)
5/3
E) 4/9
C) 3/5
2).Ecuación ordinaria
27).Determine la ecuación de la recta perpendicular a la recta L: 4x + y - 1 = 0 y que pasa por el punto de intersección de las rectas L1: 2x - 5y + 3 = 0 y L2: x - 3y - 7 = 0 A)
4x - y + 42 = 0
B) x + 2y - 12 = 0
C)
3x - 2y + 35 = 0
D)2x + y - 21 = 0
E)
x - 4y - 24 = 0
3).Ecuación general Es de la forma: x 2 y 2 Dx Ey F 0
E D ; 2 2 1 D2 E 2 4F Radio: 2
Centro:
28).Una recta cuya ordenada en el origen es el doble que la de la recta L1: 7x - 4y + 3 = 0 y es paralela a la recta A (3,1) B (1,6). Determine su ecuación. A)
5x + 2y - 1 = 0
B)5x + 2y - 3 = 0
C)
5x + 2y - 5 = 0
D)5x + 2y - 7 = 0
E)
5x + 2y - 9 = 0
4).Ecuación de la recta tangente Sea (x0;y0) las coordenadas del punto de tangencia de la recta L y la circunferencia: x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0 la ecuación de la recta L será:
29).Determine el valor de (K) para que la recta L: 3x - Ky - 8 = 0, forme un ángulo cuya medida sea 45º, con la recta L2: 2x + 5y - 17 = 0 A) 7 B)-7 C)9/7 D) -9/7 E) Hay dos respuestas
73
x x0 y y0 E F 0 2 2
06).Determina la ecuación general de la circunferencia que pasa por los puntos (4; 5), (3; – 2), (1; – 4). A) x2 + y2 + 7x – 2y – 22 = 0 B) x2 + y2 + 7x – 3y – 44 = 0 C) x2 + y2 + 7x – 5y – 44 = 0 D) x2 + y2 + 5x – 7y – 66 = 0 E) x2 + y2 + 5x – 9y – 66 = 0
L: xx yy0 D
5).Ecuación de la cuerda común La ecuación de la cuerda común a las circunferencias C1 y C2 se obtiene restando sus ecuaciones y eliminar los términos cuadráticos.
07).Determina la ecuación de la circunferencia donde los puntos A (3; 2) y B (–1; 6) son extremos de uno de los diámetros. A) x2 + y2 – 2x – 8y + 9 = 0 B) x2 + y2 + x + y – 9 = 0 C) x2 + y2 – 2x – 9y – 8 = 0 D) x2 + y2 – 2x – 2y – 4 = 0 E) x2 + y2 – 3x – 3y + 4 = 0 08).Determina la ecuación de la circunferencia que tiene su centro en el eje y, con un cuerda cuyos extremos son los puntos A (2; 7) y B(4; 1) A) (x – 3)2 + y2 = 20 B) x2 + y2 = 20 2 2 C) x + (y – 3) = 20 D) (x – 3)2 + (y – 4)2 = 26 2 2 E) (x – 4) + (y – 3) = 20
PROBLEMAS PROPUESTOS 01).Halla el centro y el radio de la circunferencia cuya ecuación es: x2 + y2 – 4x + 12y – 20 = 0 A) c: (2; – 6) , R = 2 15
B) c: (4; – 2) , R =
15 C) c: (4; 1) , E) c: (1; 1) ,
R = 17 R=1
D) c: (2; – 2) , R = 1
09).Determina la ecuación de la circunferencia que es concéntrica con la circunferencia C1: x2 + y2 + 8x + 2y + 8 = 0 y que pasa por el punto (1; 7) A) x2 + y2 + 8x + 2y – 72 = 0 B) x2 + y2 – 8x + 2y – 72 = 0 C) x2 + y2 – 8x – 2y + 72 = 0 D) x2 + y2 + 8x – 2y – 72 = 0 E) x2 + y2 – 8x + 2y + 15 = 0
02).Determina el área de la región formada en u2 por el semieje positivo de abscisas, la circunferencia x2 + y2 = 144 y la recta y 3.x 0 . A) 22 B) 24 C) 26 D) 28 E) 30 03).Determina la suma de las abscisas de los puntos de intersección de la circunferencia
10).Halla la ecuación de la circunferencia, donde los puntos A (3; 2) y B (1; 6) son extremos de uno de los diámetros. A) x2 + y2 + 4x – 8y + 15 = 0 B) x2 + y2 – 4x + 8y + 15 = 0 C) x2 + y2 – 4x + 8y + 16 = 0 D) x2 + y2 – 4x – 8y + 16 = 0 E) x2 + y2 – 4x – 8y + 15 = 0
C: (x 6)2 (y 6)2 25 y la recta L: x – y + 12 = 0. A) – 24 B) – 12 C) – 6 D) 6 E) 12 04).Halla el centro y el radio de la circunferencia cuya ecuación es: x2 + y2 – 4x + 12y – 20 = 0 A) c: (2; – 6) , R = 2 15 B) c: (4; – 2) , R = C) c: (4; 1) , E) c: (1; 1) ,
R = 17 R=1
11).Determina la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos (1; 2), (1; 4) y (7; 4)
15
A) x 4 (y 3)2 10
D) c: (2; – 2) , R = 1
2
B) x 3 (y 4)2 10 2
05).Determina la ecuación de la recta que une los centros de las circunferencias: x2 + y2 + 2x – 4y –
2 C) x 4 (y 3) 100 2
8 = 0 y x y 2x 6y 10 0 2
1 3 x 2 2 x 5 C) y 2 2 x 5 E) y 2 2 A) y
2
2 D) x 3 (y 4) 100 2
x 5 x 2 2 x 3 D) y 2 2
E) x 1 (y 4)2 10
B) y
2
12).Determina la ecuación de la circunferencia concéntrica con la circunferencia de ecuación: x2 + y2 + x – 3y – 4 = 0 y tangente al eje y. A) 4x2 + 4y2 + 4x – 12y + 9 = 0 B) 4x2 + 4y2 + 4x – 12y + 7 = 0 74
C) 4x2 + 4y2 + 4x – 12y + 5 = 0 D) 4x2 + 4y2 + 4x – 12y + 3 = 0 E) 4x2 + 4y2 + 4x – 12y – 9 = 0
19).Los puntos A (1, 3) y B (3, 1) son los extremos del diámetro de una circunferencia, halle la ecuación de la circunferencia. A) x2 + y2 + 2x + 2y – 3 = 0 B) x2 + y2 – 2x – 2y + 3 = 0 C) x2 + y2 – 4x – 4y + 6 = 0 D) x2 + y2 + 4x + 4y – 6 = 0 E) x2 + y2 – 3x + 3y + 4 = 0
13).Determina la ecuación de la circunferencia que pasa por el origen de coordenadas y es concéntrica a la circunferencia x2 + y2 + 4x + 8y + 5 = 0. A) (x + 2)2 + (y + 4)2 = 20 B) (x – 2)2 + (y + 4)2 = 20 C) (x + 2)2 + (y – 4)2 = 20 D) (x – 2)2 + (y – 4)2 = 20 E) (x + 4)2 + (y + 2)2 = 20
20).Dada la circunferencia: x2 + y2 – 2x – 4y = 20 y el punto exterior A = (7; 10), halle la mínima y máxima distancia del punto A a la circunferencia. A) 5 y 10 B) 5 y 15 C) 6 y 12 D) 7 y 14 E) 4 y 8
14).Determina la ecuación de la circunferencia con centro en (2; – 3) y que es tangente a la recta 4y + 3x – 4 = 0 A) x2 + y2 – 4x + 6y + 9 = 0 B) x2 + y2 – 8x + 6y – 19 = 0 C) x2 + y2 – 4x + 6y + 19 = 0 D) x2 + y2 – 8x + 6y + 9 = 0 E) x2 + y2 – 8x + 6y + 9 = 0
21).Halla la ecuación de la circunferencia que pasa por A (0; 2) y es tangente a la recta L1: 2x + y = 0 en el origen. A) (x – 2)2 + (y – 1)2 = 5 B) (x – 1)2 + (y – 1)2 = 5 C) (x – 3)2 + (y – 1)2 = 5 D) (x + 1)2 + (y + 1)2 = 5 E) (x – 2)2 + (y – 2)2 = 5
15).Determina la ecuación de la circunferencia con centro en (–1; 4) y es tangente a la recta que pasa por los puntos (3; – 2) y (– 9; 3) A) x2 + y2 + 2x + 8y + 9 = 0 B) x2 + y2 – 2x + 8y + 1 = 0 C) x2 + y2 + 2x – 8y + 9 = 0 D) x2 + y2 + 2x – 8y + 1 = 0 E) x2 + y2 – 2x + 8y + 9 = 0
22).Determina la ecuación de la recta mediatriz a la cuerda común de las circunferencias: C1 : x2 + y2 + 8y = 64 C2 : x2 + y2 – 6x = 16
3 x4 4 3 C) y x 4 4 4 E) y 4 x 3
3 (x 1) 4 4 D) y 4 x 11 3
A) y
16).Determina una de la ecuaciones de las circunferencias con centro en la recta L1: 3x + 4y = 1 y que es tangente a la recta L2: 3x – 4y + 8 = 0 y cuyo radio sea de 5 unidades. A) (x + 3)2 + (y + 2)2 = 25 B) (x + 2)2 + (y – 3)2 = 25 C) (x – 3)2 + (y + 2)2 = 25 D) (x + 2)2 + (y – 3)2 = 25 E) (x – 3)2 + (y – 2)2 = 25
B) y 4
23).Una circunferencia pasa por los puntos A = (2; 4), B = (4; 2) y C = (1; 3), halla el área del círculo correspondiente. A) 1,5 B) 2 C) 2,5 D) 3 E) 4,5
17).Si las tangentes a la circunferencia x2 2 + y – 4x + 2y + 3 = 0 pasan por el punto (0; 3). Entonces, la suma de las pendientes de dichas rectas tangentes es: A) – 8 B) – 7 C) – 6 D) – 5 E) – 4
24).Hallar en el primer cuadrante el área de la región no convexa de una sola pieza limitada por las curvas (a > 0) C1 : x2 + y2 = (4a)2 C2 : y = – 2x + 4a C3 : y = 2x – 4a C4 : y = – 2x + 8a A) 8 a2 – 2a2 B) 16 a2 – 6a2 C) 12 a2 – 5a2 D) 4a2 – 6a2 E) 16a2 – 5a2
18).Halla la ecuación de la circunferencia cuyo centro está en la recta 2x – y – 3 = 0 y es tangente al eje x y a la recta y = 6. A) (x – 2)2 + (y – 2)2 = 9 B) (x – 3)2 + (y – 2)2 = 9 C) (x – 3)2 + (y – 3)2 = 9 D) (x + 3)2 + (y + 3)2 = 9 E) (x + 2)2 + (y + 2)2 = 9
25).Se tiene las ecuaciones de las circunferencias C1 : x2 + y2 = 1;C2 : x2 + y2 + 20x + 4y + 100 = 0. Halle la longitud de la tangente común externa a las dos circunferencias.
75
A)
103
B)
104
D)
108
E)
109
C)
105
26).Sean las circunferencias C1: x2 + y2 = 1 y C2: x2 + y2 – 2x + 2y + 1 = 0, halle la ecuación de la recta que pasa por las intersecciones de C1 y C2. A) x – y = 1 B) x + y = 1 C) x + y = – 1 D) x – y = – 1 E) x = 1
Ecuación de la parábola Para la deducción de la ecuación se aplica la condición de que cualquier punto de la parábola equidiste del foco y de la recta directriz. Abiertas se tendrá que el vértice es el punto medio del segmento HF . Es decir: HV = VF
27).Una circunferencia cuyo centro es (1; – 1) pasa por el punto (3; 5), halle su ecuación. A) (x –1)2 + (y – 1)2 = 2 10 B) (x –1)2 + (y + 1)2 = 40 C) (x +1)2 + (y – 1)2 = 2 10 D) (x +1)2 + (y + 1)2 = 40
y
P(x,y)
E) (x –1)2 + (y – 1)2 = 2 10 F
28).Halla la ecuación de la recta tangente, de menor pendiente, trazada del punto (8, 6) a la circunferencia: x2 + y2 + 2x + 2y – 24 = 0 A) x – y + 22 = 0 B) x – 5y + 22 = 0 C) x + y – 11 = 0 D) 2x – y + 11 = 0 E) x + y + 22 = 0
V H
Ecuación de la parábola con la recta directriz.
29).Halla la ecuación de la recta tangente a la circunferencia: C: y2 + x2 – 10x + 2y + 18 = 0 que tiene de pendiente 1 y está más próximo al origen (0, 0) A) y = x + 4 B) y = x – 2 C) y = x – 10 D) y = x – 6 E) y = x – 3
y P(x,y)
SEMANA 04 PARÁBOLA La parábola es una curva plana abierta y que se extiende indefinidamente. Elementos de la parábola D M
(0,0) V
H
H
D ’
x D
PF = PH
(x o)2 (y p)2 (y p)
2 4py = x
P
P
‘E
F
R
A
x
(0,0)
Con vértice en cualquier punto F
H
E y
S D’
F
N
P(x,y)
B
Recta Directriz: DD'
V (h,k)
Eje focal: EE' Foco: F Vértice: V Cuerda: AB
D’
P: PARÁMETRO
H
(0,0)
P = (x – h)2 = 4p (y – k)
Cuerda Focal: RS Lado recto: MN 76
D x
03).Si (x – h)2 = 4p(y – k) es la ecuación ordinaria de una parábola que tiene por directriz la recta y = 1 y por foco el punto (–3; 7); halla el valor numérico de F = 3h + 2k + 3p A) 2 B) 4 C) 6 D) 7 E) 8
Obs: p > O se abre hacia arriba p < O se abre hacia abajo
Si:
Ecuación de la parábola con la recta directriz paralela al eje y D
y
H O
V
04).Si y2 – 8x – 6y + 1 = 0 es la ecuación general de una parábola; halle las coordenadas de su foco, y el valor de su parámetro (p). A) (– 1, 3); 2 B) (– 1, 3); 4 C) (1, 3); 2 D) (1, 3); 4 E) (1, – 3); 2 x
F
05).Determina la ecuación de la parábola cuyo vértice es el punto (2; – 1) y pasa por el punto (– 4; 3) A) x2 – 4x – 9y + 5 = 0 B) x2 – 4x + 9y – 5 = 0 C) x2 + 4x – 9y – 5 = 0 D) x2 + 4x + 9y + 5 = 0 2 E) x – 4x – 9y – 5 = 0
D’
06).El foco de una parábola es el punto F = (2; 1) y el vértice (–1; 2). Determina la ecuación de la recta directriz. A) y – 3x – 10 = 0 B) y – 3x – 15 = 0 C) y + 3x – 15 = 0 D) y + 3x + 15 = 0 E) y – 2x – 15 = 0
Dónde: y = 4Px Con el vértice en cualquier punto del plano cartesiano 2
y D
E’
H
V (h,k)
P(x,y)
F
07).Sea la parábola x2 = 20y, se traza la cuerda focal MN que contiene a A (2; 9). Determina la ecuación de MN . A) 2x – y + 15 = 0 B) 2x + y – 5 = 0 C) 2x – y + 5 = 0 D) x – y – 5 = 0 E) 2x – 3y + 5 = 0
E
(0,0)
08).Determina la ecuación de la recta que pasa por el foco de la parábola P: 3x2 – 12x + 2y + 15 = 0 y tiene pendiente igual a la longitud del lado recto. A) 3x + 2y = 9 B) 2x + 3y = – 9 C) 3x – 2y = – 9 D) 2x + 5y = 3 E) 2x – 3y = 9
x
P: (y – k)2 = 4p (x – h) Obs: Si: p > O se abre hacia la derecha p < O se abre hacia la izquierda
09).Si se trazan desde el origen de coordenadas, cuerdas de la circunferencia x2 + y2 + 4x = 0, entonces el conjunto de puntos medios de estas cuerdas constituye: A) una recta B) una circunferencia C) una parábola D) una elipse E) una hipérbola
PROBLEMAS PROPUESTOS 01).Determina la ecuación del lugar geométrico de los puntos de un plano cartesiano que equidistan del punto (4; 10) y de la recta y = 6 A) (x – 4)2 = 4(y – 8) B) (x + 4)2 = 8(y – 8) 2 C) (x – 4) = 8(y – 8) D) (x – 2)2 = 8(y – 8) 2 E) (x – 4) = 2(y – 8)
10).Una parábola cuyo vértice está en el origen y cuyo eje coincide con el eje x pasa por el punto (–2, 4). Determina las coordenadas del foco y la longitud de un lado recto. A) (– 1, 0), 4 B) (– 1, 2) C) (– 2, 0), 8 D) (– 2, 0), 4 E) (– 2, 0), 2
02).Determina la ecuación de la parábola cuyo vértice es (0; 0) y cuyo foco es (7; 0). A) y = 28x2 B) y2 = 28x C) y = x2 2 2 D) y = 4x E) y = 25x
11).Una parábola cuyo vértice es (1, 2), y su foco de coordenadas (– 5, 2), tiene por ecuación: A) y2 – 4y + 24x – 20 = 0 B) y2 – y + 20x – 24 = 0 77
C) y2 – 2y – 24x – 16 = 0 D) y2 – y – 24x – 16 = 0 E) y2 + y + 24x – 20 = 0
20).Determina la ecuación de la recta tangente a la curva dada por x2 + y – 4 = 0, en el punto (1; 3). A) 2x + y – 5 = 0 B) 2x + y + 5 = 0 C) x + 2y – 5 = 0 D) x + 2y + 5 = 0 E) x + y – 4 = 0
12).Determina la ecuación de la parábola cuyo eje focal es paralelo al eje de abscisas y pasa por los puntos (0;0), (8;– 4) y (3; 1). A) y2 – x + 2y = 0 B) x2 – y + 2y = 0 2 C) y – x + 2y = 0 D) y2 – 2x + 2 = 0 2 E) y – 8x + 1 = 0
21).Halla la ecuación de la recta tangente a la circunferencia x2 + y2 – 8x – 6y + 20 = 0 en el punto P(3, 5). A) 2y – x – 7 = 0 B) y – x – 3 = 0 C) y + x + 7 = 0 D) 2y + x – 5 = 0 E) x + y – 7 = 0
13).Determina la ecuación de la directriz de la parábola cuyo vértice y foco son los puntos (– 4; 3) y (– 1; 3) respectivamente. A) x = – 11 B) x = – 7 C) x = – 5 D) x = – 1 E) x = 7
22).Halla la ecuación canónica de la parábola cuyo vértice es (0, 0) y cuyo foco es (7, 0) A) y = 28x2 B) y2 = 28x C) y = x2 D) y = 4x2 E) y2 = 25x
14).Dada la parábola: x2 – 6x + 8y – 23 = 0, determine la longitud de su lado recto. A) 5 B) 6 C) 7 D) 8 E) 9
23).Dada la ecuación de la parábola: y2 – 4y – 8x + 44 = 0, entonces la suma de las coordenadas del foco de la parábola es: A) 7 B) 8 C) 9 D) 10 E) 11
15).Halla la ecuación de la tangente de la parábola: y2 = 4x en el punto (1; – 2). A) x – y – 3 = 0 B) x + y + 1 = 0 C) x – y + 3 = 0 D) x + y – 1 = 0 E) 2x + 3y – 9 = 0
24).Una cuerda de la parábola: y2 = 4x, es el segmento de recta: x – 2y + 3 = 0, halla la longitud del segmento. A) 5 B) 2 5 C) 3 5
16).Halla la ecuación de la tangente a la parábola y2 – 2x + 2y + 3 = 0, que es perpendicular a la recta 2x + y + 7 = 0. A) x + 2y + 1 = 0 B) x – 2y – 1 = 0 C) x + 2y = – 1 = 0 D) x + y – 1 = 0 E) 2x – y + 1 = 0
D) 4 5
25).Un espejo parabólico tiene una profundidad de 35 cm en el centro y el diámetro su parte superior es 66 cm. Halla la distancia aproximada (en cm) del vértice al foco. A) 6,08 B) 6,58 C) 7,18 D) 7,78 E) 9,68
17).El foco de una parábola es el punto F = (2; 1) y el vértice (–1; 2), halla la ecuación de la recta directriz. A) 3x – y + 15 = 0 B) – 3x – y + 15 = 0 C) 3x + 2y + 15 = 0 D) 2x – y + 12 = 0 E) 3x – 2y + 15 = 0
26).Halla la ecuación de la parábola cuyo vértice es el origen, sabiendo que es simétrica respecto al eje Y, y que pasa por el punto P (4; – 8)
18).Determina la ecuación de la circunferencia que pasa por el vértice y los extremos del lado recto de la parábola y2 – 4x + 2y + 9 = 0. A) x2 + y2 – 9x + 2y + 15 = 0 B) x2 + y2 – 9x – 2y + 15 = 0 C) x2 + y2 + 9x – 2y + 15 = 0 D) x2 + y2 – x + 12y – 1 = 0 E) x2 + y2 + 9x + 2y + 15 = 0
y2 2 x2 D) y 2 A) x
recto es 6u . Si por cada extremo de su lado recto se trazan rectas tangentes a la parábola, calcule el área de la región triangular limitada por las dos rectas y el lado recto (en u2) A) D) 4
3
B) x
y2 2
C) y
x2 2
E) 4y = – x2
27).Se plantea hacer un arco parabólico con eje vertical y cuyos puntos de apoyo están separados por una distancia de 30 cm. Si el foco de la parábola debe estar a 8 m de altura, ¿Cuál es la altura, en metros, que debe tener el arco? A) 10 B) 10,5 C) 11 D) 11,5 E) 12,5
19).Se tiene una parábola cuya longitud del lado
3 B) 2
E) 5 5
28).Encuentre los puntos de intersección entre la recta x – y – 21 = 0 y la parábola – y2 – x + 8y + 21 = 0. Realice un gráfico.
C) 2 3
E) 6 78
A) (21, 0) (28, 7)
B) (0, 21) (28, 7)
D) (0, 21) (7, 28)
E) (0, – 21) (28, – 7)
C) (– 21, 0) (28, – 7)
III. SIGNOS DE LA RAZONES TRIGONOMÉTRICAS EN LOS CUADRANTES
29).El techo de un pasillo de 8m de ancho tiene la forma de una parábola con 10m de altura en el centro así como 6m de altura en las paredes laterales. Calcule la altura del techo a 2m de una de las paredes. A) 5 B) 6 C) 7 D) 8 E) 9 ÁNGULOS EN POSICIÓN NORMAL Un ángulo " " está en posición normal, posición estándar o canónica, si su vértice está en el origen de un sistema de coordenada rectangular y su lado inicial coincide con el eje x positivo y su lado final está en cualquier cuadrante.
PROBLEMAS PROPUESTOS 01).Si: x IVC y
csc x 4sen
Calcular: E = Senx A) 1 D) 2/3
B) -1/2 E) 3/2
6
0
C) -1/3
02).Una raíz de la ecuación x 2 2 x 3 0 : es un valor de “Tan ", si: IIIC Calcular: E 10 sen cos A) -1 B) -2 C) -3 D) -4 E) -5 03).Calcular: T senx cos x 1 A) 0 B) 1 D) 2 2 E) 2
C) 2
II. RAZONES TRIGONOMÉTRICAS 04).Se tienen dos ángulos coterminales tales que el mayor es al menor como 23 es a 2. Su suma está comprendida entre 2820º y 3100º. ¿Cuál es la medida del mayor? A) 2540º D) 2420º
r:
C) 2820º
05).Si “P” es un punto del lado terminal del ángulo en posición normal, donde: P (–9; 40) 0° < < 180° Calcular: M 4 tg 5ctg
x: abscisa del Punto P y: ordenada del Punto P r: radio vector
B) 2760º E) 3000º
2
2
B) –9 E) 1
A)9 D) –5
x 2 y2 ; r 0
Un método para hallar las razones trigonométricas de un ángulo en posición normal es trazar una perpendicular desde el punto hacia el eje x; y luego hallar dichas razones en el triángulo rectángulo formado respecto del eje x. A continuación veremos los cuatro posibles casos; esto es debido al cuadrante que pertenece al lado final del ángulo.
06).Si: Sen x 1 2 Cos 1 2 0 Halle: Csc x Sec A) 0 B) 1 D)
2 3
E)
C) 2
4 3
07).Si: Sen2 2Sen Además 90º;270º Halle el valor de: tan c os A) 0 B) 1 D) 2 E) 4 79
C) 5
C) –1
08).Si: f Sen 2
14).Siendo ABC un triángulo equilátero, obtenga el valor de: K tan 2 tan
2
Evaluar:
y
J 2f f 4 2
A) 1 D) 5
B) 2 E) 6
A) 3
C) 3
B)
09).Si: SK Sen k Cos k Sec k
C) 3
Hallar: A) –2 D) 0
D) 3
2 S1 S2 S3
2
B) –1 E) 2
se
que:
C
y
A)4
(3;10)
B)–6
1
C)9
1 3
A) 0 D) –3
15).En el gráfico, el área del triángulo sombreado es igual a 60 2 . Calcule: R 2a tan 3bcot
1 4
x
E) 3
1 3
2
C) 1
conoce
3 1,5 Sec 2 4
B
3
10).Siendo un ángulo del segundo cuadrante, calcular el valor de: P 2 Sen Csc Si
A
3 3
1
(a;b)
D)–10
B) –1 E) 3
C) 1
(9;1) x
E)–11
11).Del gráfico mostrado, calcular: “tan cot”
16).Si 0; y ; 2,
Si: MP = MO = MQ
Determinar el signo de “N”, “M” y “P” siendo:
Y
G: baricentro del OMQ A) 17/31 P(-8; 0) B) 19/32 M C) 28/33 G
M tan cos 2 2
0
X
N cos M csc 2
D) 29/33 E) 40/33
P M sen N csc
Q(-7; -7) A) –; +; – D) +; –; –
12).El punto P(x; y) está en el lado final de un ángulo en posición normal “ ”, siendo “d” su radio vector, tal que: s en c os d Calcule el radio vector del punto:
2
D) 5 3 2
B) 3
(Sec)
C) 2
2
A) 7 9 D) 7 2
13).Si 0º < < 360º; 0º < < 360º; 3 , sen 1 cos tg 4
Calcule: J 2sen( ) cos B) 0
D) 1
E) 2
tan 1 2
Halle el valor de: E csc
2
A) –1
Sec
2
C) –
2
Donde se tiene que: tan
E) 3 2
C) –; –; +
17).Siendo “ ” un ángulo estándar positivo y del cuarto cuadrante, para el cual se cumple:
Q(x 0,5; y 0,5)
A) 2
B) –; –; – E) +; +; –
2 2
80
2
64
2
cot B) 9 7 E) 2 3
C) 2 7
