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INTRODUCCION Cada unidad de este modulo contiene los elementos teóricos necesarios de cada uno de los temas señalados utilizando un lenguaje sencillo, el cual pueda generar confianza hacia el estudiante, además cada capítulo contiene un número suficiente de ejercicios resueltos junto con ejercicios propuestos, actividades diagnosticas, actividades actividades evaluativas, talleres y evaluaciones tipo SABER-ICFES.
TABLA DE CONTENIDO .................................................................................................................. 6 Sistemas lógicos. Lógica matemática Proposiciones. Términos de enlace. Negación de proposiciones simples. Proposiciones compuestas. compuestas. Conectivos lógicos. Conjunción, Conjunción, disyunción. Valor de Verdad. Verdad. Negación de proposiciones compuestas. Cuantificadores. Conjuntos.- Elemento. Diagramas de Venn – Euler. Determinación de conjuntos. Subconjunto. Conjunto vacio. Conjunto universal. Operaciones entre conjuntos: Unión, intersección, complemento. Propiedades de los conjuntos. Diferencia. Diferencia simétrica. Sistema de numeración. Sistemas antiguos de numeración. Sistema de numeración Maya. Sistema de numeración decimal. Lectura y escritura de números. Sistema Sistema de numeración binario. Sistema de numeración en otras bases. Sistema de numeración Romano. UNIDAD 1 “PENSAMIENTO NUMERICO”
UNIDAD 2 “PENSAMIENTO NUMERICO -VARIACIONAL”
................................ ................ ........................... ........... 39 Sistema numérico natural. Operaciones en el conjunto de los números naturales (adición, sustracción, multiplicación, división y solución de expresiones aritméticas). Otras operaciones en el conjunto de los números naturales (Potenciación y propiedades, expresiones con potencias, radicación, expresiones con raíces y Logaritmación). Variación y ecuaciones. Nociones de cambio (fenómenos con cambio de tiempo y cambio de posición, cambios simultáneos)Ecuaciones (conceptos iníciales, solución de ecuaciones y lenguaje algebraico). Números enteros .Propiedades. Aplicación de los números enteros en la vida cotidiana. Operaciones en el conjunto de los números enteros (adición, sustracción, multiplicación, división y solución de expresiones aritméticas). Otras operaciones en el conjunto de los números enteros (potenciación y propiedades, expresiones con potencias, radicación, expresiones con raíces y logaritmación).Variación y ecuaciones. UNIDAD 3 “PENS AMIENTO
GEOMÉTRICO-METRICO” ............................... ............... ................................ ................ 81 Conceptos básicos de la geometría. Punto. Línea recta. Semirrecta. Segmento. Plano. Construcción de perpendiculares y de paralelas con escuadras. Elementos básicos de geométria. Definición de ángulo. Clasificación de los ángulos según su amplitud y según la suma de sus medidas. Ángulos determinados por dos paralelas y una secante. Construcción de ángulos con transportador. Polígonos. Definición.
Propiedades y aplicación. Unidades de medida. Unidades de longitud, de peso, capacidad, superficie, volumen
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UNIDAD 4 “PENSAMIENTO ALEATORIO”
.............................................................................................................110 .............................................................................................................110 Estadística. Conceptos (Estadística. Tipos de estadísticas. Aplicaciones. Usos). Población. Muestra. Elemento. Datos. Variables. Clases de variables. Concepto de investigación y de estudio. Medidas de tendencia central. Moda, mediana y media aritmética. BIBLIOGRAFIA.......................................................................................... 125 NOTA: NOTA: todas las unidades cuentan con actividades, ejercicios, talleres, evaluaciones, trabajos prácticos, actividades de nivelación, talleres tipo SABER-ICFES, ejercicios o actividades complementarias, ejercicios resueltos, entre otras.
UNIDAD 1 “PENSAMIENTO
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NUMERICO”
PROPOSICIONES LÓGICAS Enunciado.- Es Es toda frase u oración que se utiliza en nuestro lenguaje PROPOSICIÓN.-Es todo enunciado, enunciado, respecto de la cual se puede decir decir si es verdadera (V) (V) o falsa (F) Notación Por lo general, a las proposiciones se las representa por las letras del alfabeto desde la letra p, es decir, p, q, r, s, t,... etc. Así, por ejemplo, podemos citar las siguientes proposiciones y su valor de verdad: Proposición q: Rímac es el distrito de la provincia de Lima (V) r: El número 15 es divisible por 3. (V) s: El perro es un ave. (F) t: Todos los triángulos tienen tienen cuatro lados lados (F) u: ¿Qué día es hoy? hoy? No es una una proposición proposición p: ¡Viva el Perú 1! EXPRESIONES NO PROPOSICIONALES a) ¡Levántate temprano! b) ¿Has entendido entendido lo que es una proposición? c) ¡Estudia esta lección! d) ¿Cuál es tu nombre l? e) e) Prohibido pasar f) Borra el pizarrón No son proposiciones por no poder ser evaluadas como verdaderas ni falsas. Las exclamaciones, órdenes ni las preguntas son proposiciones ACTIVIDAD 1 I.-Indique I.-Indique cual (es) de los siguientes enunciados son proposiciones: proposiciones: a) 5 + 7 = 16 - 4 ( ) b) ¡Estudie lógica proposicional! ( ) c) Los hombres no pueden vivir sin oxigeno ( ) d) 3 x 6 = 15 + 1 y 4 - 2 23 x 5 ( ) e) ¿El silencio silencio es fundamental para estudiar? estudiar? ( ) f) 20 -18 = 2 ( ) g) Breña es un distrito de la provincia provincia de Lima ( ) h) Un lápiz no es un cuaderno ( )
i) ¿Eres estudiante de matemática? j) 15 < 13 k) Ponga atención
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( ) ( ) ( )
ENUNCIADOS ABIERTOS.- son aquellos enunciados que constan de variables. Se convierte en una proposición cuando se le asigna asigna un valor específico a la variable". variable". Ejemplos: a) p: x es es la capital del Perú Sí x: Lima, Quito…
Para p (Lima): Lima es la capital del del Perú Perú es verdadero (V) Para p (Quito): Quito es la capital del Perú es falso (F) b) q: y + 4 = 11 , y es número natural Y: 0; 1; 2; 3; 4;…..
Para q (1): 1+ 4 = 11 q (7): 8+4 = 11
, es falso (F) , es verdadero (V) ACTIVIDAD 2
1. Determine cuales de los siguientes enunciados son enunciados abiertos y para que valores de la variable las proposiciones son verdaderas y falsas a) x es hermano de y b) 28 < 15 c) El es arquitecto d) Tenga calma ,no se impaciente e) 9x + 3 = 12 , x R f) x es Ingeniero y Juan J uan es Matemático g) 3x – 8 > 15 , x R h) x + y 15 , x , y R i) 2x + + 5 > 11, x R j) 3x + + 7 = 11, x N l) x es un animal CLASE DE PROPOSICIONES A) Proposición Simple o Atómicas.- Son aquellas proposiciones que constan de un solo enunciado proposicional. Por ejemplo, sea la proposición p: 3 + 6 = 9 B) Proposición Compuesta o molecular.- Son aquellas proposiciones que constan de dos o más proposiciones simples. Ejemplo:
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r: Pitágoras era griego y era geómetra p q Encontramos dos enunciados. El primero (p) nos afirma que Pitágoras era griego y el segundo (q) que Pitágoras era geómetra. Ejemplo: p: Juan es profesor o Manuel es arquitecto Donde podemos observar que la proposición p, se divide en dos proposiciones simples: r: Juan es profesor y s : Manuel es arquitecto Es decir , p : r o s CONECTIVOS LÓGICOS.- Enlazan proposiciones simples A partir de proporciones simples es posible generar otras, simples o compuestas. Es decir que se puede operar con proposiciones, y para ello se utilizan ciertos símbolos llamados conectivos lógicos OPERACIONES PROPOSICIONALES Definiremos las operaciones entre proposiciones en el sentido siguiente: dadas dos o más proposiciones, de las que se conoce los valores veritativos, se trata de caracterizar la proposición resultante a través de su valor de verdad. A tal efecto, estudiaremos a continuación el uso y significado de los diferentes conectivos lógicos mencionados arriba:
1.-NEGACIÓN Dada una proposición p, se denomina denomina la negación de p a otra proposición denotada por ~p (se lee "no p") que le asigna el valor veritativo opuesto al de p. Por ejemplo: P : Diego estudia matemática ~p : Diego no estudia matemática Por lo que nos resulta sencillo construir su tabla de verdad: p
~p
V F
F V
Se trata de una operación unitaria, pues a partir de una proposición se obtiene otra, que qu e es su negación.
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Ejemplo: La negación de p: todos los alumnos estudian matemática es ~p: no todos los alumnos alumnos estudian estudian matemática matemática o bien: ~p: no es cierto cierto que todos los alumnos estudian matemática ~p: hay alumnos que no estudian matemática matemática
2.-CONJUNCIÓN
Símbolo ~
Operación asociada Significado no p o no es Negación cierto que p pyq Conjunción o producto lógico
p o q (en sentido incluyente)
Disyunción o suma lógica Implicación Doble implicación
p implica q, o si p entonces q p si y sólo si q
Diferencia simétrica p o q (en sentido excluyente) Dadas dos proposiciones proposiciones p y q, se denomina conjunción conjunción de estas proposiciones proposiciones a la proposición p q (se lee "p y q") Ejemplo: Ejemplo: Sea la declaración declaración i) 5 es un número impar y 6 es un número par
p q vemos que está compuesta de dos proposiciones a las que llamaremos p y q, que son
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p: 5 es un número impar q: 6 es un número par y por ser ambas verdaderas, verdaderas, la conjunción de ellas ellas (que no es sino la declaración declaración i) es verdadera. verdadera. Tabla de verdad p V V F F
q V F V F
p q V F F F
La tabla que define esta operación, establece que la conjunción es verdadera sólo si lo son las dos proposiciones componentes. En todo otro caso, es falsa. Ejemplo 2: 2: Si p: 3 es mayor que 7 q : Todo número número par es es múltiplo de dos Entonces : p q : q : 3 es mayor que 7 y todo número par es múltiplo de dos Por ser ambas verdaderas verdaderas la conjunción de ellas ellas es verdadera verdadera 3.-DISYUNCIÓN Dadas dos proposiciones proposiciones p yq, la disyunción de las proposiciones proposiciones p y q es la proposición p q , se lee ” poq“ Ejemplo 1.
Tiro las cosas viejas o que no me sirven El sentido de la disyunción disyunción compuesta por p y q (p: tiro las cosas viejas, viejas, q: tiro las cosas cosas que no me sirven) es incluyente, pues si tiro algo viejo, y que además no me sirve, la disyunción es V. La disyunción o es utilizada en sentido sentido excluyente, ya que la verdad verdad de la disyunción se da en en el caso de que al menos una de las proposiciones sea verdadera Tabla de verdad p V V F F
q V F V F
p q V V V F
Ejemplo2 Si p : Hace frió en Invierno , y q : Napoleón invadió Lima p q : Hace frió en Invierno o Napoleón invadió Lima Por ser al menos una de la proposiciones proposiciones verdadera verdadera la conjunción conjunción es verdadera
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4.-IMPLICACIÓN O CONDICIONAL Implicación de las proposiciones p y q es la proposición p q (si p entonces entonces q). La proposición p se llama antecedente, antecedente, y la proposición q se llama consecuente de la implicación o condicional. Ejemplo. Supongamos la implicación i)Si apruebo, ENTONCES te presto el libro p
q
La implicación está compuesta de las l as proposiciones p: apruebo q: te presto el libro Nos interesa conocer la verdad o falsedad de la implicación i), en relación a la verdad o falsedad de las proposiciones p y q. El enunciado puede pensarse como un compromiso, compromiso, condicionado por p, y podemos asociar su verdad al cumplimiento cumplimiento del compromiso. Es evidente que si p es F, es es decir si no apruebo el examen, quedo liberado del compromiso y preste o no el apunte la implicación es verdadera. Si p es verdadera, es decir si apruebo el examen, y no presto el libro, el compromiso no se cumple y la proposición i) es es falsa. Si p y q son verdaderas, entonces la proposición i) es es verdadera verdadera pues el compromiso se cumple.
p V V F F
Tabla de verdad q p q V V F F V V F V
La tabla nos muestra que la implicación sólo es falsa si el antecedente es verdadero y el consecuente es falso.
5.-DOBLE IMPLICACIÓN O BICONDICIONAL Doble implicación de las proposiciones p y q es la proposición p q (se lee "p si y sólo si q")
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Ejemplo 1: p : Karina ingresa a la universidad universidad q : Karina estudia mucho Entonces: p q : Karina ingresa a la universidad u niversidad si y sólo si estudia si estudia mucho. Ejemplo 2: Sea i) a = b si y sólo si a² = b² El enunciado está compuesto por las proposiciones: p: a = b q: a² = b² Esta doble implicación es falsa si p es F y q es V. En los demás casos es V.
p V V F F
Tabla de verdad q p q V V F F V F F V
La doble implicación o bicondicional sólo es verdadera si ambas proposiciones tienen el mismo valor de verdad. La doble implicación implicación puede definirse definirse como la conjunción de una implicación y su recíproca. De este modo, la tabla de valores de verdad de p q puede obtenerse mediante mediante la tabla de (p q) (q p), como vemos: p
q
V V F F
V F V F
p q V F V V
qp V V F V
(p q) (q p) Diferencia Simétrica Diferencia simétrica o disyunción en sentido excluyente V de las proposiciones p y q es la proposición p q (se lee F "p o q en sentido excluyente") cuya tabla de valores de F verdad es: V
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p V V F F
q V F V F
p q F V V F
La verdad de p q está caracterizada por la l a verdad de una y sólo una de las proposiciones pr oposiciones componentes. componentes. Ejemplo. Sea i) o vamos a Lima o vamos a Ica Queda claro que sólo podremos ir a uno de los dos lugares, y sólo a uno. Es decir que el enunciado i) es verdadero sólo si vamos a una de las dos ciudades. En caso de ir a ambas, o de no ir a ninguna, el enunciado es Falso. PROPOSICIONES LÓGICAMENTE EQUIVALENTES Dos proposiciones p y q se llaman equivalentes si sus tablas de verdad son idénticas. De ser así se denota: p q Ejemplo. Sea p: p q, recordamos su tabla de verdad
p V V F F
q V F V F
p q V F V V
Ahora bien , si analizamos la proposición q: ~p q, su tabla de verdad resulta: p V V F F
q V F V F
~p q V F V V
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Como vemos, luego de realizar las tablas de valor veritativo encontramos que ambas proposiciones tienen el mismo resultado resultado final. Con esto, decimos que ambas proposiciones son son lógicamente equivalentes, y en este caso particular lo simbolizamos: simbolizamos: (p q) (~p q)
TAUTOLOGÍA, CONTRADICCIÓN Y CONTINGENCIA Al conjunto de proposiciones, conectivos lógicos y símbolos de agrupación lo denominamos fórmula lógica. lógica. Por ejemplo:
~{ (p q) (s t) } Tautología Si al evaluar una fórmula lógica, resulta que todos los valores de verdad resultantes son siempre V para cualquier combinación de sus valores veritativos, decimos que dicha fórmula es una Tautología o Ley lógica. lógica. Ejemplo.
Si analizamos la proposición t: p ~p realizando su tabla tabl a de verdad: p
~p
p ~p
V F
F V
V V
Vemos que para cualquier combinación de las proposiciones p y su negación ~p, la proposición t: p ~p es siempre verdadera. Entonces, la proposición t es una tautología. Ejemplo.Analizemos ahora la fórmula lógica { ( p q ) p } q
p V V F F
q V F V F
p q V F V V
qp V F F F
{ ( p q ) p } q V V V V
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En este caso comprobamos también que q ue independientemente independientemente de la combinación de valores de verdad de las proposiciones p y q, el resultado de la fórmula fórmula lógica es siempre V. Decimos, aquí también, que esta esta fórmula es una tautología o ley lógica. Contradicción Si al estudiar una fórmula lógica, a diferencia de los ejemplos anteriores resulta que para cualquier valor de verdad de las proposiciones intervinientes el resultado de dicha fórmula es siempre falso, decimos que dicha fórmula es una Contradicción. Contradicción. Ejemplo Analizemos la fórmula lógica p ~p
p
~p
p ~p
V F
F V
F F
Contingencia Encontramos que la fórmula es siempre falsa, es entonces una Contradicción. Si una proposición no es una tautología ni una contradicción (es decir que contiene al menos un valor V y otro F) es una contingencia. p LEYES DEL ÁLGEBRA PROPOSICIONAL V V F F
q V F V F
pq V F V V
(p ~q) F V F F
~(p ~q) p q ~(p ~q) V V F V V V V V
Como bien dijimos arriba, aquellas fórmulas lógicas que resultan ser siempre verdaderas no importa la combinación de los valores veritativos de sus componentes, componentes, son tautologías tautologías o leyes lógicas. lógicas. En el cálculo proposicional existen algunas tautologías especialmente útiles cuya demostración se reduce a la confección de su correspondiente tabla de verdad, a saber: Involución ~(~p) p (se lee "no, no p, equivale a p") Idempotencia (p ~p) p (p ~p) p Conmutatividad
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a) de la disyunción: p q q p b) de la conjunción: p q q p Asociatividad a) de la disyunción: (p q) r p (q r) b) de la conjunción: (p q) r p (q r) Distributividad a)de la conjunción respecto de la disyunción: (p q) r (p r) (q r) b)de la disyunción respecto de la conjunción: (p q) r (p r) (q r) Leyes de De Morgan ~( p q ) ~p ~q " La negación de una disyunción equivale a la conjunción de las negaciones" ~( p q ) ~p ~q "La negación de una conjunción equivale a la disyunción de las l as negaciones" Negación de una Implicación
Las proposiciones p q y ~(p ~q) son equivalentes, como vemos realizando la tabla de valores correspondientes: Con esto, comprobamos que la negación de la primera equivale a la negación de la segunda, es decir ~(p q) ~{ ~(p ~q)}, y podemos p odemos concluir entonces que: ~( p q ) ( p ~q) Es decir, la negación de una implicación no es una implicación sino la conjunción del antecedente con la negación del consecuente.
Funciones proposicionales y cuantificadores
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Cuantificadores A partir de funciones proposicionales es posible obtener proposiciones generales mediante un proceso llamado de cuantificación. cuantificación. Asociados a la indeterminada indeterminada x, introducimos introducimos los símbolos x y x, llamados cuantificador universal y universal y cuantificador existencial respectivamente. Las expresiones Cuantificador Universal: Universal: Para todo x, se verifica p (x) ,se denota por x : p(x) Cuantificador existencial Existe x, tal que se verifica p (x) , se denota por x / p(x) Corresponden a una función proposicional p (x) cuantificada universalmente en el primer caso, y existencialmente en el segundo. Ejemplo.
Una función proposicional cuantificada universalmente es V si y sólo si son V todas las proposiciones particulares asociadas a aquella. aquella. Para asegurar la verdad de una proposición cuantificada cuantificada universalmente universalmente es suficiente que sea verdadera alguna de las proposiciones asociadas a la función proposicional. Un problema de interés es la negación de funciones proposicionales cuantificadas. Por ejemplo, La negación de "Todos los enteros son impares" Es "Existen enteros que no son impares" y en símbolos: x / ~p(x) Entonces, para negar una función proposicional cuantificada universalmente se cambia el cuantificador en existencial, y se niega la función proposicional. Ejemplo.
Supongamos la proposición: Todos los alumnos de mi colegio son aplicados La vamos a escribir en lenguaje simbólico, negarla y retraducir la negación al lenguaje ordinario. Nos damos cuenta pronto que se trata de la implicación de dos funciones proposicionales: p(x) : es alumno de mi colegio q(x) : es aplicado Tenemos: x : p(x) q(x)
Teniendo en cuenta la forma de negar una función proposicional cuantificada universalmente y una implicación resulta:
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x / p(x) ~q(x)
Y traduciendo al lenguaje ordinario resulta: Existen alumnos de mi colegio que no son aplicados TALLER 1 1.-Halle el valor de verdad de las siguientes proposiciones proposiciones:: a).- Lima es la capital del del Perú y Bolivia se encuentra ubicada en América América del Sur. b).-Si 2 > 1 , entonces 3 > 2 ó 21 < 5 c).- 24 es un número número par y 42 es un número impar impar d) Si Bolivia limita con el Perú , entonces Perú limita con Chile. 2.- Formalice las siguientes proposiciones p roposiciones a).- Si ella no viene entonces nos vamos al cine b)- Si trabajas y estudias te preparas mejor para el futuro c) Ser bachiller o titulado en Ciclo Superior y tener 18 años cumplidos son condiciones para poder ejercer ejercer la docencia d).- Si dominas las asignaturas y te relacionas bien con todas las personas del colegio entonces no has perdido el tiempo" e)- Si tengo muchos exámenes que corregir y he descansado un poco al mediodía, trabajo hasta las doce de la noche. Pero hoy no trabajo hasta las doce. Por tanto, será que no he descansado al mediodia f) Si te cuesta entender las cosas , pero te esfuerzas diariamente, seguro que no suspendes g).-Estudio Álgebra si y solo si estudio Física , o si no estudio Física entonces estudio Aritmética h) Roxana estudia o trabaja , pero si no estudia entonces entonces trabaja . En consecuencia consecuencia , Roxana no trabaja hoy no es lunes 3. - Clasifique como tautología, contradicción moleculares: a)[(pΛ q)
→
q]v p
b) (p q) v p c) p (pΛq) →
→
d) ˜(p v q) Λ p e) [ (p ˜ q) Λ p ] f) ˜p v ˜( p v q ) →
˜q
→
y contingencia. Los siguientes
esquemas
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4. - Si p y q son proposiciones falsa y verdadera respectivamente , halle el valor de verdad de las siguientes proposiciones: proposiciones: a) p V ( p q ) b) ( p V q ) p
c) p Λ ( p q ) d) (p V q ) [ p Λ ( p q ) ]
→
→
→
↔
→
5.- Si p=V , q= V, r= F. Halle el valor de verdad de los siguientes esquemas moleculares: moleculares: r e) ( p ˜ q ) r a) (p Λ q ) ( ˜ p V r ) c) p Λ q →
b) ˜ r Λ [p
→
(rV q)]
→
6.- a)Si la proposición p
d) )[(pΛ q)
→
↔
(q Λ r )]
↔
˜p
f) ( ˜ p V q )
→
(˜rΛq)
→
( ˜ p V q ) es falso , determine el valor de verdad de : ˜ (p V q ) determine el valor de : p V r b) Si la proposición ( p Λ q ) ( q r ) , es falsa determine →
→
→
7. Formaliza los siguientes razonamientos. ¿Son tautologías, contradicciones o indeterminaciones(contingencias)? a).Si tengo razón, entonces estoy loco. Pero si estoy loco, l oco, entonces tengo razón. Por tanto, no estoy loco. b).Si tengo razón, entonces estoy loco. Pero si estoy loco, entonces tengo razón. Por tanto, no tengo razón. c.)A menos que me equivoque, estoy loco. Pero si estoy loco, tengo que estar Equivocado. Por tanto, estoy equivocado. d).Si tengo razón, entonces tú estás loco. Si yo estoy loco, no tengo razón. Si Tú eres un loco, tengo razón. Por tanto, no estamos los dos locos al mismo Tiempo. e) Si la prima de Mayra no quiere quiere cenar, entonces entonces come su empanada. empanada. Si come su su empanada, no le dan torta. La prima de Mayra no quiere cenar y se retira de la mesa. Por lo tanto no le dan torta. 8. Clasifica los siguientes enunciados: Proposición, Enunciado abierto, enunciado I)
35 – 17 = 18
(…………….) (…………… .) II) 2 + 5 > 3 (…………….) III) ¿Estudias Matemática? Matemática? (…………….) IV) 9 es número primo (…………….) V) ¡Eres grande Perú! (………… ..) VI) 27 - x = 40 (……………)
9. -Formalice la siguiente proposición: Es falso que, estudie y no voy al cine 10. - Decir si la siguiente proposición es es tautología, contingencia o contradicción: ( p q) (
p
q)
11. - Dada las siguientes premisas: p: Hoy es feriado
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q: Mañana es día laborable r: Voy a clase
Formaliza la proposición: “No es verdad que, Hoy sea feriado y que no asista asista a clase. clase. Por lo tanto voy voy a
clase. 12. -Si la proposición: ( p q)
p
(p
p
q)
(
p
q)
, es falsa indicar el valor de verdad de la proposición:
13. -A menos menos que me equivoque, estoy loco. loco. Pero si estoy estoy loco, tengo tengo que estar equivocado. equivocado. Por tanto, tanto, estoy equivocado CONECTIVOS LÓGICOS ^ conjunción
~ negación
V disyunción p
P
q implicación
q
SINÓNIMOS y También Aún A la vez No obstante Además Pero Sin embargo Aunque No es cierto que Es falso que No es el caso que No sucede que O A menos que p es condición suficiente para q Si p , q q si p Que p siempre que q Cuando p , q q es condición necesaria para p En caso de que p entonces q p solo si q Si y sólo si Cuando y sólo cuando Equivale a Es necesario y suficiente para En el caso , y sólo en el caso , de que
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14. - Cuáles de los siguientes enunciados son proposiciones , función proposicional .Determine su valor de verdad: a) El pisco es peruano b) 3 es un número racional c) ¡ Viva el Perú! d) Un triángulo triángulo es un polígono de tres lados e) x es hermano de y f) 28 < 15 g)¿Te gusta la Matemática? h) El es arquitecto i) 36 2 2 8
2
1
j)Tenga calma ,no se impaciente k) 9x + 3 = 12 , x R l)18 es múltiplo de 3 ll) x R, x x1 m)x es Ingeniero y Juan es Matemático n) x Q / 1 .x 1 3
ñ)Los cuadriláteros cuadriláteros tienen 3 lados o)3x – 8 > 15 , x R p) x + y 15 , x , y R q) 2x + + 5 > 11, x R r) 3x + + 7 = 11, x N t)x es un animal 15. a) Si p es verdadera determinar el valor de verdad de ~p q b)Si p es falsa falsa p vq c) Si p es falsa , entonces ~p q es d) Si la proposición (p ^ q) r es falsa , determina el valor de las proposiciones: →
→
d .1( p r ) q d .2( p q) r
d .3( p q) r d .4(r p) (q p)
16. Determinar Determinar el el valor valor de verdad de las las proposiciones proposiciones p y q si se conoce conoce la siguiente información :
[(p v q ) ^ ~q] q es falsa y
[(~p ^ ~q )
→
→
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q ] ^ (p v q ) es verdadera
17. - Determinar el valor de verdad de las siguientes proposiciones: e) x R, x
a) x N , x 1 2 b) x N / x 7 0 c) x Q, x 2
4 d ) Si. x , x 2 0
0
1
f ) x R / x 1 g ) x R /
ll ) x / x 4
1 x
x 2 4 x 2
h) x R / x 2
x 2
4
i ) x Q / 2 x 1 0
m) x R , x
x
j ) x Z , x 2
n) x R , x
x
ñ) x R, x 1
2 x 1 0 k ) x I / x 3 0 l ) x x 2 0
1 x
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TEORÍA DE CONJUNTOS Definición Conjunto: es la colección de reunión de objetos en la que se sabe cuáles pertenecen a ella y cuáles no. Los objetos que componen un conjunto se denominan elementos. Hay conjuntos que tienen un solo elemento; otros no tienen elemento alguno. Ejemplos de conjuntos:
Conjunto formado por todas las piezas de un carro. Conjunto compuestos por los objetos dentro de la cartera de una Dama. Conjunto constituido por las instalaciones de un Conjunto Residencial. Conjunto formado por los componentes de un computador. Conjunto formado por las piezas publicitarias para un producto. Conjunto al que pertenecen los números pares.
Formas de determinar o describir conjuntos Existen dos formas para determinar, describir o definir un conjunto: por extensión y por compresión. compr esión.
Por Extensión Un conjunto se determina por extensión cuando se nombran cada uno de los elementos del conjunto. Ejemplos: A={parachoques, cauchos, amortiguadores, motor, caja, volante..........} B={monedero, lentes, lápiz labial, polvo compacto, pastillero..............} C={apartamentos, conserjería, ascensores, estacionamiento, escaleras....} D={pantalla, mouse, teclado, unidad de discos, cpu}
E={comercial de tv, anuncio de radio, vallas, anuncios de prensa, volantes, internet}
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Por Comprensión Un conjunto se determina por extensión cuando se da por una propiedad o una regla que verifican todos sus elementos y solo ellos. Ejemplos: A={ piezas de un carro} B={ objetos dentro de la cartera de una Dama} C={ instalaciones de un Conjunto Residencial} D={ componentes de un computador} E={ piezas publicitarias para un producto} Simbología Los conjuntos como ya se expreso en los puntos anteriores se representan usualmente con letras mayúsculas (A, B, C....), los elementos con letras minúsculas van separados por comas y encerrados entre llaves ({}).
La forma gráfica de representar los conjuntos es mediante el uso del diagrama de Venn. En estos diagramas se utilizan áreas rectangulares y circulares para visualizar los conjuntos. Como se muestra en la siguiente figura. D
C
E
Para denotar que un elemento x forma parte de un conjunto A, lo denotamos dela siguiente forma: x A que expresa que: “ x pertenece a A”. La no pertenencia o bien la propiedad de no ser el elemento a un objeto del conjunto A, lo expresamos como sigue: a A que expresa: “ x no pertenece a A”. En el desarrollo del curso se usaran con frecuencia entre otros los siguientes símbolos: = símbolo de igualdad símbolo usado para expresar “diferente de”
> mayor que mayor o igual que
< menor que
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menor o igual que
/ tal que subconjunto de intersección de conjuntos
C complementación de conjuntos Clases de Conjuntos
Conjunto Vacío: es el que no contiene ningún elemento y se simboliza por Ø o { }. Ejemplo: A={conjunto de perros que hablan} Conjunto Unitario: reciben el nombre de conjunto unitario aquellos conjuntos compuestos por un sólo elemento. Ejemplo: B={mes del año que empiece por f} Conjunto Finito: es el conjunto compuesto por un número determinado de elementos. C= {x / x Z+ , x < 5} o C=={1,2,3,4} C== {1,2,3,4} Conjunto Infinito: es el conjunto que qu e por su cantidad de elementos es difícil de cuantificar. Ejemplo: C= {x / x Z} Z son los números enteros Conjunto Universal Conjuntos Disjuntos o Disyuntos son los conjuntos cuya intersección no existe, es decir no se interceptan entre sí Operaciones con Conjuntos
Antes de describir las operaciones de conjuntos vale destacar las siguientes relaciones de conjuntos. Relación de Contenencia o Subconjunto: si todos los elementos de un conjunto cualquiera S pertenecen a otro R, decimos que el primero está incluido en el segundo o que S es subconjunto de R y se denota: S R
R S
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Partes de un conjunto: se denomina parte de un conjunto A, al conjunto formado por todos los subconjuntos de A y se simboliza por P(A). El número de elementos del conjuntos partes de A es 2n, donde n es el número de elementos de A. Ejemplo: Dado el conjunto A={ guante, pelota, bate} El número de subconjuntos de A es 8, ya que 2 3 = 8 y dichos subconjuntos son: {guante},{pelota}, {bate},{guante, pelota}, {guante, bate}, {pelota, bate}, { guante, pelota, bate}, { } Luego P(A)= {{guante},{pelota}, {bate},{guante, pelota}, {guante, bate}, {pelota, bate}, { guante, pelota, bate}, { }} El cardinal de un conjunto: es el número de elementos de un determinado conjunto y se denota con la letra n y acompañado entre paréntesis del nombre del conjunto. Ejemplo el cardinal del conjunto A se representará como n(A). Las operaciones con conjunto más comunes son: la unión, unión, la intersección, intersección, el complemento y complemento y la diferencia. diferencia. Unión: cuando se unen dos conjuntos A y B, se obtiene un tercer conjunto C formado por todos los elementos de A, de B de a ambos. La unión se simboliza A B En general: AB = C ={ x / x A x B } U A
B
n(A B)= n(A)+n(B)- n(A B) Intersección: cuando se intersecan dos conjuntos A y B, se obtiene un tercer conjunto C formado por los elementos comunes a los dos conjuntos. La unión se simboliza simb oliza A B y se lee A intersección B. En general: AB = C ={ x / x A x B }
24
Diferencia cuando se hace la diferencia entre dos conjuntos A y B, se obtiene un tercer conjunto C formado por los elementos que pertenecen a A y no pertenecen a B. La unión se simboliza A-B y se lee A diferencia con B. En general: A-B = C ={ x / x A x B } A
B
U
A-B
Complemento: cuando se quiere obtener el complemento de un conjunto A dado, se escribe un conjunto C, formado por todos los elementos del conjunto universal que no están en A. Se simboliza A C y se lee A complemento. En general: A C = C ={ x / x U x A }
Conjunto Numérico Entre los conjuntos numéricos que existen están los conjunto de puntos de una recta, el conjunto de puntos de los puntos de un plano que constituyen una figura geométrica, entre otros.
El conjunto de los números naturales: N = {0, 1, 2, 3, 4,...........} El conjunto de los números enteros: Z = {....-4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4,...........} El conjunto de los números racionales:
25
Q = {a/b / a Z, bZ , b0} ACTIVIDAD 1 1.- Describa por extensión los siguientes conjuntos: P={x / x es país de sur América que tiene costa sobre el océano Pacífico} A={x / xZ+ , x<15} H={x / xZ, x≥10x≤25} D={x / xR/ x2-9x+14=0} L={x / x es letra de la palabra América} F={x /xN x sea par} 2.- Escriba por comprensión los siguientes conjuntos: A={1,2,3,4,5,6,..........} B={x,y,z} C={2,4,6,8} D={-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2} E={a,b,c,d,e,f.............z} 3.- En cada diagrama diagrama sombree la operación indicada indicada A) (A-B) (A-C) U
B
A
C) ACBC CC
B) (AB) (BC) A
B
C
U
C
U
A
C
B
4.- A continuación se presentan los principales productos de exportación de países de la comunidad andina de naciones Bolivia
Colombia
Ecuador
Perú
Venezuela
Estaño
Café
petróleo
cobre
petróleo
gas natural
petróleo
camarones
petróleo
acero
Plata
Banano
banano
derivados pescado
Antimonio
esmeraldas
café
zinc
aluminio
Café
Frutas
cacao
café
cacao
del
café
26
a) Determinar por extensión los conjuntos B, C, P y V, cuyos elementos son los principales productos de exportación de Bolivia, Colombia, Ecuador, Perú y Venezuela, respectiva. b) Determinar un conjunto que sirva como conjunto universal universal para B, C, E, P y V. c) Encuentre: I. CP II. BC III. EC (exprese en palabras el significado de este conjunto) IV. B-E V. BCEPV ¿Qué significado tiene este conjunto? 5.- En el siguiente diagrama de Venn muestra ciertas características de los empleados de una empresa donde: H: representa el conjunto de los hombres
E
C: representa el conjunto de casados E: representa el conjunto de extranjeros Determine:
C 4 8 16
9 3 2 H 5
a) ¿Cuántas personas forman el conjunto universal? b) ¿Cuántos hombres casados hay? c) ¿Cuántas mujeres extranjeras solteras hay? d) ¿ Cuántas personas extranjeras hay en la empresa? e) ¿ Cuántas hombres nativos solteros hay? f) ¿Hay igual números de hombres que de mujeres? g) ¿Hay igual número de extranjeros que de nativos? h) ¿Cuántas mujeres casadas hay? i) ¿ Cuántas mujeres nativas solteras hay? 6.- Sabiendo que: n(A) =35 y n(B)=40, halle n(A B) si: a) n(AB)=8 b) A y B son disjuntos.
7
27
7.- En una encuesta realizada a 100 personas sobre sus su s inversiones, se observó que 45 personas poseían acciones, 60 poseían bonos y 90 poseían por lo menos una de las dos inversiones. Se desea obtener la siguiente información: a) El número de personas que tienen ambas inversiones b) El número de personas que no tienen ninguna de las dos inversiones c) El número de personas que posee p osee solamente acciones d) El número de personas que poseen p oseen exactamente una de las dos inversiones 8.- En una encuesta sobre tres artículos A, B, C se obtuvieron los siguientes datos: n(AB)=75, n(A)=43, n(C)=52, n(A B)=15, n(AC)=18, n(BC)=16, n(AC)=77 y n((ABC)C=113 Se desea saber: a) El número de personas que prefieren el artículo B b) Cuántas prefieren sólo el artículo B o C, pero no ambos c) Cuántas prefieren por lo menos uno de los artículos d) El número de personas a las que se les hizo la encuesta e) El número de personas que sólo prefieren el artículo A f) El número de personas que no prefiere ninguno de los tres artículos. 9.- En una universidad al analizar los horarios de clase se observo que: El 43% de los estudiantes tienen clase a las 7 a.m 47% tiene a las 8 a.m. 40% a las 9 a.m 16% tienen clase a las 7 a.m. y a las 8 a.m 18% a las 7 a.m y a las 9 a.m 14% a las 8 a.m y a las 9 a.m 6% a las 7 a.m, 8 a.m y a las 9 a.m Se desea conocer: a) Que porcentaje de estudiantes tienen clase durante esas tres horas b) Sólo a las 8 a.m c) Qué porcentaje no tiene clase durante esas tres horas d) Sólo a las 7 a.m y a las 8 a.m
TALLER 2 1.
Dado el conjuntos A = { a, { a }, }. Indicar cuales de las siguientes proposiciones son verdaderas. a. {a}A d. A b. El conjunto A e. = { } c. { a, { a } } A
2. Señalar cuáles de las siguientes proposiciones son verdaderas. a. b. c. d. e. f.
El conjunto vacío se representa por: = { }. A = { x R / x2+1 = 0 } es un conjunto conjunto no vacío. B = { x R / x3 + 2x = 0 } es unitario. El conjunto C = { -1, 1, 3, 5, ..........} por comprensión es C = { x / x = 2n - 3, n Z+ }. Si W = { x / x R, x2 – 23 = 2 }, entonces –5 W. Los conjuntos: D = x Z / x3 x x2 3 0 y E = 2 x 3 / x N , x 5 son iguales.
g. 3.
F=
93 x
x R /
x 3
1 27
es unitario.
Determinar por extensión los siguientes conjuntos: a. A = { x N / x - 1 5 }. b. B = { x Z / - 2 x 3 }. c. C = { x / x es un pronombre personal personal en Inglés }. d. D = 2 x 1 / x N , 3 x 5 . e.
4.
28
E =
2
x 1 2
/ x Z ,
2 x 5 .
Determinar por comprensión los siguientes conjuntos a. A = { 4, 6, 8, 10 }. b. B = { 3, 5, 7, 9, ..........}. c. C = { 1, 4, 9, 16, 25, ..............}. d. D = 9,9 . e.
E = 2,23 ,25 ,27 .
f.
F = 2, 3, 3 .
g.
G = 1 , 1
. 9 11 13 15 17 19 21 ,
1
,
1
,
1
,
1
,
1
29
5.
Indicar cuáles de los siguientes conjuntos son: unitarios, vacíos, finitos o infinitos. a. A = x N / x2 7 x 12 1 2 0 . b.
B = 2 x 1 /
x Z , 1 x 2 .
c.
C = x R 0 / x x1 .
d. D = x R / x2 4 2 x 3 6. Sean los conjuntos A a, b, c, d B c, d , e, f , g a) A B b) B A B c) C d) ( A C ) B e) A ( B C ) f) ( A B) ( A C )
y C b, d , e, g Determine:
SISTEMAS DE NUMERACIÓN SISTEMA DE NUMERACIÓN DECIMAL Es el sistema que utilizamos normalmente para expresar cantidades. Se llama DECIMAL porque tiene 10 cifras o dígitos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 Es un sistema posicional porque una cifra cambia de valor según la posición que ocupe: Por ejemplo ¿Qué valor tiene el número 3 en las siguientes cantidades? 123 3 unidades 3124 3 unidades de mil = 3000 unidades 324 3 centenas = 300 unidades 8432 3 decenas = 30 unidades
Recordemos los valores de las distintas posiciones: 3.457.892 3 4 5 7 8 9 2 Unidades Centenas Decenas Unidades Centenas Decenas Unidades de Millón de Mil de Mil de Mil EXPRESIÓN POLINÓMICA DE UN NÚMERO DEL SISTEMA DECIMAL Descomponemos un número en una suma: 3.457.892 = 2 + 90 + 800 + 7.000 + 50.000 + 400.000 + 3.000.000 Pero ya sabemos cómo se pueden pu eden expresar las potencias de 10 0 10 = 1 101 = 10 102 = 100
3
30
10 = 1.000 104 = 10.000 105 = 100.000 106 = 1.000.000 Y también sabemos que un número que termina en ceros se expresa con una potencia de 10 así: 90 = 9 x 10 800 = 8 x 100 = 8 x 10 2 7.000 = 7 x 1.000 = 7 x 10 3 50.000 = 5 x 10.000 = 5 x 10 4 400.000 = 4 x 100.000 = 4 x 10 5 3.000.000 = 3 x 1.000.000 = 3 x 10 6 Por tanto la descomposición descomposición polinómica del número será: 3.457.892 = 2 + 9.10 + 8.10 2 + 7.103 + 5.104 + 4.105 + 3.106 Como todos los números en el sistema decimal se descomponen con potencias de 10 y se usan u san 10 cifras, se dice que este sistema es de BASE 10 Ejercicio 1: 1: Halla la descomposición polinómica de los siguientes números: 1.043, 23.500, 7.520.000, 508 SISTEMA DE NUMERACIÓN BINARIO Este sistema es de base 2, o sea que sólo tiene dos cifras, el 0 y el 1. Contemos en base 2 comparando con la base 10. Binario 0 1 10 11 100 101 110 111 1000 Decimal 0 1 2 3 4 5 6 7 8
Para pasar un número del sistema binario al decimal se hace lo siguiente: Ejemplo, pasemos el número 111 (2 al sistema decimal. 111(2 = 1 + 1.2 + 1. 22 = 1 + 2 + 4 = 7 1000(2 = 0 + 0.2 + 0.22 + 1.23= 8 1011100 (2 = 0 +0.2 + 1.22 + 1.23 + 1.24 + 0.25 + 1.26 = 4 + 8 + 16 + 64 = 92 Pero ¿cómo pasamos de sistema decimal al binario? Ejemplo: pasar a binario el número 75:
El número buscado se forma con el último cociente seguido de los restos de todas las divisiones desde la última a la primera, o sea que será: 1001011 (2 Probemos con el 92:
31
Por tanto el número será 1011100(2, como ya sabíamos. Ejercicio 2: 2: a) Pasar los números 25 y 1034 de base decimal a base 2. b) Pasar los números 10101 (2 y 110010 (2 de base 2 a base 10. EL SISTEMA BINARIO EN LOS ORDENADORES El sistema binario se utiliza en los circuitos electrónicos que componen los ordenadores. El 1 es que hay corriente y el cero que no la hay, y de esa forma se interpretan los funcionamientos de los circuitos digitales. Cada carácter, letra o número, en un ordenador se expresan con un byte (8 dígitos del sistema binario) Por ejemplo 01100001 representa el número 97 y en el ordenador es la letra “a” minúscula El número 01000100 representa representa el número 68 y en el ordenador es la letra “D” mayúscu la
En total hay 28=256 números de 8 dígitos del sistema binario, o sea 256 bytes distintos y que representan las letras minúsculas y mayúsculas, los números, otros símbolos como el punto, la coma, abrir paréntesis, etc y otros que representan órdenes del ordenador como imprimir, espacio, copia, etc. Fíjate que en el sistema binario hay: Dos números de una cifra, el 0 y el 1 y supone 2 1 números Cuatro números de dos cifras, o sea 2 2 números: 00, 01, 10, 11 Ocho números de tres cifras o dígitos, o sea 2 3 números: 000, 001, 010, 011, 100, 101, 110, 111 Dieciséis números de cuatro dígitos, o sea 2 4 números: 0000, 0001, 0010, 0011, 0100, 0101, 0110, 0111, 1000, 1001, 1010, 1011, 1100, 1101, 1110, 1111 Ejercicio 3: 3: ¿Cuántos números de cinco dígitos se pueden formar? ¿Serías capaz de escribirlos todos? En informática se toma como unidad el byte (8 bits), así decimos kilobytes, Megabytes, Gigabytes. La relación entre unas unidades y otras es la siguiente:
32
Nombre Abrev. Factor binario
Tamaño en el SI
bytes
B
20 = 1
100 = 1
kilo
k
210 = 1024
103 = 1000
mega
M
220 = 1 048 576
106 = 1 000 000
giga
G
230 = 1 073 741 824 10 9 = 1 000 000 000
SISTEMA DE NUMERACIÓN HEXADECIMAL
El sistema hexadecimal, hexadecimal, a veces abreviado como hex, hex, es el sistema de numeración posicional de base 16 —empleando por tanto 16 símbolos—. Su uso actual está muy vinculado a la informática informática y y ciencias de la computación,, pues los computadores suelen utilizar el byte u octeto como unidad básica de memoria computación memoria;; y, debido a que un byte representa 2 8 valores posibles, y esto puede representarse como , que equivale al número en base 16 10016. En principio dado que el sistema usual de numeración es de base decimal decimal y, y, por ello, sólo se dispone de diez dígitos, se adoptó la convención de usar las seis primeras letras del alfabeto latino para suplir los dígitos que nos faltan. El conjunto de símbolos sería, por tanto, el siguiente:
Se debe notar que A = 10, B = 11, C = 12, D = 13, E = 14 y F = 15. En ocasiones se emplean letras minúsculas en lugar de mayúsculas. Como en cualquier sistema de numeración posicional, el valor numérico de cada dígito es alterado dependiendo de su posición en la cadena de dígitos, quedando multiplicado por una cierta potencia de la base del sistema, que en este caso es 16. Por ejemplo: 3E0 16 = 3×162 + E×161 + 0×160 = 3×256 + 14×16 + 0×1 = 992 Tabla de conversión entre decimal, binario, octal y hexadecimal
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0hex 1hex 2hex 3hex
=0dec =1dec =2dec =3dec
=0oct =1oct =2oct =3oct
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 1 1
0 1 0 1
4hex 5hex 6hex 7hex
=4dec =5dec =6dec =7dec
=4oct =5oct =6oct =7oct
0 0 0 0
1 1 1 1
0 0 1 1
0 1 0 1
8hex 9hex Ahex Bhex
=8dec =9dec =10dec =11dec
=10oct =11oct =12oct =13oct
1 1 1 1
0 0 0 0
0 0 1 1
0 1 0 1
Chex Dhex Ehex Fhex
=12dec =13dec =14dec =15dec
=14oct =15oct =16oct =17oct
1 1 1 1
1 1 1 1
0 0 1 1
0 1 0 1
Para pasar un número escrito en el sistema decimal al sistema hexadecimal se divide entre 16 las veces que se pueda, y el número resultante estará formado por el último cociente y los sucesivos restos desde el último al primero. Por ejemplo 19035 escrito en forma decimal vamos a pasarlo a hexadecimal. 19035:16 = 1189 y de resto 11 = B 1189:16 = 74 y de resto 5 74:16 = 4 y de resto 10 = A El 4 ya no lo podemos dividir entre 16. El número sería 4A5B 16. Ejercicio 4: 4: a) ¿Qué número representa en el sistema decimal el número 25 16 del sistema hexadecimal? ¿Y en el binario? b) Pasa el número 111011 (2 de base 2 a base 10 y luego a base 16. c) Pasa el número 2376 del sistema de numeración decimal al hexadecimal. d) Pasa el número 11100011 (2 del sistema binario al decimal, y del decimal al hexadecimal. e) ¿Cuánto suman 111 + 10 en el sistema binario?
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SISTEMA DE NUMERACIÓN ROMANO
El sistema de numeración que usaba el Imperio Romano estaba formado por letras mayúsculas. La equivalencia con el sistema decimal es la siguiente: Romano Decimal I
1
V
5
X
10
L
50
C
100
D
500
M
1000
Los romanos desconocían el cero, introducido posteriormente por los árabes, así que no existe ex iste ningún símbolo en el sistema de numeración romano que represente el valor cero.
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Romano mayúsculas
Romano minúsculas
II
ii
dos
III
iii
tres
IV
iv
cuatro
VI
vi
seis
VII
vii
siete
VIII
viii
ocho
IX
ix
nueve
XXXII
xxxii
treinta y dos
XLV
xlv
cuarenta y cinco
Nominación
Reglas para escribir con números romanos 1) Una letra escrita a la derecha de otra de igual o menor valor, le suma a ésta su valor. EJEMPLOS: VI = 5 + 1 = 6. LX = LX = 50 + 10 = 60 2) Las letras I, X y C escritas a la izquierda de una de las dos siguientes de mayor valor, le restan a ésta su valor. EJEMPLOS: IV = IV = 5 – 1 = 4. XC = XC = 100 – 10 = 90. 3) Sólo las letras I, X, C y M se pueden repetir, y además, tres veces como máximo. EJEMPLOS: CC = CC = 100 + 100 = 200. MMM = MMM = 1000 + 1000 + 1000 = 3000 4) Una rayita escrita encima de una o varias letras multiplica por mil su valor. Sólo se usa para valores mayores o igual a 4.000. 4.000. EJEMPLO: = 10 x 1000 1000 = 10.000 10.000 Ejercicio 5: 5: a) Convertir los siguientes números de decimal a romano: 125, 38, 2008, 457, 539.
b) Convertir los siguientes números de romanos a decimal: LXV, DLV, XXXIX, LXXXVIII, MCCXXXIV, DCCXXIV, XLIX, CDXC, CMLXII, , MDCV, .
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TALLER 1: 1. Compara los sistemas de numeración romano y romano y decimal, decimal, piensa, y responde: a.) ¿Cuál de los dos sistemas es posicional? ¿Por qué? b.) En el número 5.345 ¿Qué indican la primera y la última cifra? c.) ¿Cuál de los dos sistemas es de base diez? ¿Por qué? d.) ¿En cuál de los dos sistemas el cero tiene símbolo propio? ¿Por qué? 2. Siguiendo las reglas de formación formación de ambos sistemas sistemas de numeración, completa completa la siguiente tabla: ROMANO XII DECIMAL
XL
CC
CCI
XXVIII 3100
156
479
3. Los siguientes números están mal escritos porque no no cumplen algunas delas delas reglas de formación. formación. Descubre el error, escríbelos correctamente y explica que regla no se cumple. d.) 110 = XC
a.) 40 = XXXX b.) 99 = IC c.) 15 = VVV
e.) 500 = CCCCLL f.) 18 = IIXX 4. a.) Observa los siguientes ejemplos en los que se aplica la regla de formación del sistema romano para escribir números a partir del 4000: Ejemplos: 4000 = IV
15000 = XV
5300 = V CCC
b.) Ahora, inventa otros tres ejemplos de aplicación de la regla. 5. Investiga qué hecho histórico importante importante ocurrió en cada uno de los años indicados indicados y ubícalos en una línea de tiempo a.) MCMXXX
b.) MDCCCX
c.) MDCCCLIII
d.) MCMXLV
e.) MCMLXXXIII
6. Averigua en qué años y en qué siglos se produjeron los siguientes siguientes hechos y exprésalos en el el sistema de numeración romano
a.) Descubrimiento de América 7. a.) b.) 8. 9.
10. 11.
b.) Revolución Francesa
c.) Fundación de Córdoba
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Con las cifras 3 – 7 – 1 - 6 – 0 - 9 escribe el mayor y el menor número natural posible, escribe como se leen los dos números formados, indica el valor absoluto y el valor relativo de cada cifra realiza la descomposición de ambos números en forma sumativa, multiplicativa y polinómica. ¿Qué números formas en cada caso? a.) 5d; 4c; 2d de mil = b.) 1c de mil; 4c; 5u de mil; 3u = c.) 23u; 18u de mil = d.) 136d; 21u= ¿Qué lugar ocupa el número 2 en los siguientes números? a.) 12.561 b.) 3.402 c.) 725
d.) 23.457
Forma el número y escríbelo en la segunda columna
Datos Número 4u de mil; 5c; 3d 8u; 5u de mil; 4d de mil 6c; 5c de mil; 4u de mil; 7d 4d de mil; 6u; 3c; 4d; 2u de mil 12. Escribe los siguientes números a.) trescientos cinco mil uno c.) doscientos diez mil ciento treinta y dos 13. a.) b.) c.) d.)
b.) quince mil veinticuatro d.) cincuenta y cinco mil seiscientos cuatro
Piensa y responde: ¿Cuántas unidades de mil hay en dieciséis docenas? ¿Cuál es el mayor número de tres cifras iguales? ¿Cuál es es el el menor menor número número de de 3 cifras que que se se puede puede formar, formar, sin repetir, con 9; 4 y 6? 6? ¿y el mayor? mayor? ¿Cuántas unidades hay en veintiocho decenas?
14. Lee atentamente las siguientes situaciones problemáticas, razona y responde de forma completa a.) En una reunión, tres hacendados comentan sobre la cantidad de ganado que que poseen en en sus establecimientos: • El primero dice: tengo once grupos de cien vacas cada uno, sesenta y ocho decenas de vaquillonas, una decena de toros y tres tr es terneritas. • El segundo dice: tengo nueve centenas de novillos, cuarenta y seis decenas de vacas, cuatrocientos veintitrés terneros y una decena de toros.
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El tercero plantea un acertijo a los demás: la cantidad de hacienda que poseo puede expresarse combinando los símbolos 2;3 y 4. Como surgieron varias posibilidades (¿pueden escribirlas a todas?) el tercer hacendado dio una 2º pista: El número de animales es par (tacha las que no correspondan ¿Ahora cuántas posibilidades quedan?). Como todavía quedan varias alternativas, se ve obligado a dar una 3º pista: Es el menor número múltiplo de cuatro que se puede formar ¿Pueden asegurar asegurar ahora cuántos animales animales tiene en total cada hacendado? hacendado?
•
b.) Juan escribió un número. La cifra de las decenas decenas es un 4 y la cifra de las unidades es el doble de la de las decenas. La cifra de las centenas es la mitad de la de las unidades. ¿Qué número escribió? ¿Cuál es el número de cuatro cifras más grande que tiene entre sus dígitos a 1 y 7, y que no tiene dos dígitos iguales? ¿Cuál es el menor número que se puede formar con cinco cifras diferentes, excluido el cero, si se sabe que el 2 ocupa el lugar de las centenas? c.) ¿Cuál es la “diferencia” (resultado de la operación “resta”) que hay entre el mayor número de cuatro cifras (todas distintas entre sí) y el menor número de cuatro cifras (todas distintas entre sí)?.
UNIDAD 2 “PENSAMIENTO
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NUMERICO-VARIACIONAL”
NUMEROS NATURALES El conjunto de los números naturales está naturales está formado por: N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,...} Con los números naturales contamos naturales contamos los elementos de un conjunto (número cardinal) cardinal). O bien expresamos la posición u orden que ocupa un elemento en un conjunto (ordinal ordinal)). Los números naturales están naturales están ordenados, ordenados, lo que nos permite comparar dos números naturales: naturales: 5 > 3; 5 es mayor que 3. que 3. 3 < 5; 3 es menor que 5. que 5. Los números naturales naturales son ilimitados, ilimitados, si a un número natural le sumamos 1, obtenemos otro número natural. natural. Representación de los números naturales
Los números naturales se naturales se pueden representar en una recta ordenados de menor a mayor. Sobre una recta señalamos un punto, que marcamos con el número cero. A la derecha del cero, y con las mismas separaciones, situamos de menor a mayor los siguientes números naturales: naturales: 1, 2, 3...
Suma de números naturales a+b=c
Los términos de la suma, a y b, se llaman sumandos y sumandos y el resultado, c, suma. suma. Propiedades de la suma de números naturales
